lectura 2- m1-ejercitacion_2013

- 1 - Materia: HERRAMIENTAS MATEMTICAS II (ANLISIS MATEMTICO) Profesor: Mnica Bocco

Mdulo I:

FUNCIONES. FUNCIONES LINEALES y

CUADRTICAS

Ejercitacin


Realizar, para afianzar la ejercitacin y aplicacin de estos temas los ejercicios propuestos en el texto.

Ejercicio 1: Cul de los siguientes grficos representan funciones? Justificar la respuesta. a) b) c) d) y y y y

x x x x

Ejercicio 2: Dada la funcin (x) = 3x + 2 encontrar:

a) (0)

b) (-1)

c) (a)

d) (x + x)

Ejercicio 3: Para la funcin f cuyo grfico se encuentra a continuacin indicar, si es posible:


a) Dominio de la funcin

b) Imagen de la funcin

c) Corte con el eje y d) f (2) e) f (5) f) f (0) g) La imagen de 4 h) La imagen de 10 i) El valor de x cuya imagen es 1 j) El intervalo donde f es constante k) Los intervalos donde f es creciente l) Los intervalos donde f es decreciente Ejercicio 4: Indicar el dominio de las siguientes funciones:

a) (x) = 3x + 1

b) g (x) = x3 + 2x2 + 5x 1

c) H (z) =

d) M (x) =

e) F (x) =

f) G (x) = Ejercicio 5: Para las funciones (x) = x2 x y g (x) = encontrar si es posible: a) ( + g) )(1) b) ( - g) )(2) c) ( . g) )(0) d) (-2) e) (-1) f) (1)

z

1

2x

x3

5

5

x

x2

3

g

f

g

f

f

g


Ejercicio 6: Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, las siguientes funciones lineales. a) f (x) = 2 x b) y = 2 x + 3 c) y = 2 x -1 Indicar para cada una: i) Cul es la pendiente de la recta? ii) Cul es la ordenada al origen? Ejercicio 7: Encontrar la ecuacin de la recta y realizar el grfico en cada caso:

a) con pendiente a 2 y ordenada al origen 4

b) con pendiente a 2 y pasa por el punto (2,5) c) con ordenada al origen 3 y que pasa por el punto (3,0)

d) que pasa por los puntos ( 2 ,1) y (10,9) e) corta al eje x en 2 y al eje y en 4.

f) paralela a la recta y 2x 1 y que pasa por el origen g) perpendicular a la recta y 3x 5 y tiene ordenada al origen 2

Ejercicio 8: Graficar, sin dar valores numricos a los coeficientes a, b y c, una

parbola de ecuacin f x ax2 bx c, que cumpla en cada caso:

a) a 0 b 0 c 0

b) a 0 b 0 c 0

c) a 0 b 0 c 0

Ejercicio 9: Graficar las siguientes funciones. Indicar para cada funcin:

i) Punto de corte de la parbola con el eje y. ii) Las coordenadas del vrtice de la parbola. iii) Puntos de corte de la parbola con el eje x (si existen). a) y = 3 x2 b) -2 x2 + 2 c) x2 + 2x d) - x2 + 2x - 4

2

1


Situaciones Problemas: Modelizacin. Ejercicio 10: La empresa Remi-tax cobra para sus viajes en la ciudad $1 la bajada de bandera y $4 por 1.000 metros recorridos. a) Indicar la funcin que permite modelar el costo de un viaje para x kilmetros recorridos. b) Calcular el precio de un viaje del centro al aeropuerto de 15 Km. de distancia. Ejercicio 11: Si el costo de producir 30 refrigeradores es de $25.000 y el de 40 unidades del mismo refrigerador es de $30.000. Sabiendo que el costo de produccin C de la empresa est relacionado linealmente con la cantidad x de refrigeradores producidos. a) Cul es la funcin que permite describir los costos de produccin? b) Estimar el costo de producir 35 unidades del mismo producto. c) La empresa vende los refrigeradores a $1.500 cada uno, cul es la funcin de ingreso I si se supone tambin un comportamiento lineal de la misma?


Respuesta a los ejercicios y problemas Ejercicio 1: a) No es funcin, existen elementos con ms de una imagen. b) Si es funcin. c) No es funcin, existen elementos con ms de una imagen. d) Si es funcin.

Ejercicio 2:

a) 2

b) -1

c) 3a + 2

d) 3x 3x 2

Ejercicio 3:

a) Dom f R {2}

b) Img f R0 0,c) 3 g) 0

i) No existe, 1Img f

j) (7,+) k) (-4,0), (2,5) y (6,7) l) (-,-4), (0,2) y (5,6)

Ejercicio 4:

a) Dom f R

b) Dom g R

c) Dom H R {0}

d) 2 [2, ) Dom M R

e) 3 ,3Dom F Rf) Dom G R {5}


Ejercicio 5: a) 1

b) 4

5

c) 0 d) No existe e) f) No existe Ejercicio 6: a) Pendiente: 0 Ordenada al origen: 2 b) Pendiente: 2 Ordenada al origen: 0 c) Pendiente: 2 Ordenada al origen: 3 d) Pendiente: 2 Ordenada al origen: -1

Ejercicio 7:

a) y = 2x + 4 b) y = 2x + 9 c) y = -x + 3

d) y = x +

e) y = - x + 2

f) y = -2x

Ejercicio 9: a) i) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,0) ii) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (0,0) iii) Races de la Parbola o corte eje x : x1 = x2 = 0 b) i) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,2) ii) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (0,2) iii) Races de la Parbola o corte eje x : x1 = 1 y x2 = -1

3

2

3

2

3

7

3

1


c) i) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,0) ii) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (-2,-2) iii) Races de la Parbola o corte eje x : x1 = 0 y x2 = -4 d) i) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,1) ii) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (1,0) iii) Races de la Parbola o corte eje x : x1 = x2 = 1 e) i) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,-4) ii) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (1,-3) iii) Races de la Parbola o corte eje x : No hay races reales.

Ejercicio 10: a) C ( x) = 4x +1 b) 61$

Ejercicio 11:

a) Costo de produccin de la empresa C(x) = 500x +10.000 con x nmero de refrigeradores.

b) Costo de producir 35 unidades del mismo tipo de refrigerador $27.500.

c) Ingreso de la empresa I (x) =1500x con x nmero de refrigeradores vendidos.


Autoevaluacin Ejercicio 1: Indicar en cada afirmacin si es verdadera o falsa y en la discusin grupal justificar la respuesta. a) La funcin y = a x2 + bx , con a > 0 y b > 0 tiene su vrtice en el cuarto cuadrante.

b) La parbola que representa la funcin cuadrtica y = a x2 + c con a > 0 y c < 0, tiene su vrtice sobre el eje negativo de las ordenadas.

Ejercicio 2: Para la funcin f cuyo grfico se presenta, responder:

i) Dominio de la funcin.

ii) Imagen de la funcin.

iii) Corte con el eje y.

iv) f (1).

v) La imagen de 5.

vi) El o los valor/es de x cuya imagen es 0.

vii) El intervalo donde f es constante.

viii) Los intervalos donde f es creciente. Ejercicio 3: El costo fijo de un productor de dulces artesanales es de $8500 y todos los restantes costos adicionales son de $7 por Kg. producido. a) Escribir la funcin lineal que permite expresar el costo total C (x) del productor para realizar x Kg. de dulce artesanal b) Indicar, para la funcin C (x) su dominio e imagen. c) Cunto le costar al productor realizar 10.000 kg. de dulce artesanal? d) Qu cantidad de dulce se produjo si los costos totales fueron de $102.650?


Ejercicio 4: Un especialista en marketing conoce que x das despus de lanzado al mercado una nueva golosina llega a K(x) kioscos pequeos. Si la funcin que modeliza los x das necesarios para llegar a los kioscos de la ciudad se representa por:

K ( x)= - 4,9 x 2

49 x + 155 para 0 x 12

a) A cuntos kioscos lleg el segundo da despus de lanzarse al mercado? b) Qu cantidad de das son necesarios para llegar con la golosina al mximo nmero de kioscos? c) Cul ser el mayor nmero de kioscos que dispondrn de la nueva golosina?


Respuestas a la Autoevaluacin Ejercicio 1: Indicar en cada afirmacin si es verdadera o falsa y en la discusin grupal justificar la respuesta. a) Verdadero, por tener a y b igual signo la coordenada x v es negativa y como corta al eje y en el origen su vrtice debe estar en el cuarto cuadrante. b) Verdadero, como el coeficiente del trmino lineal (b) es cero la parbola tiene su vrtice sobre el eje y, adems c < 0 entonces el vrtice se encuentra sobre el eje negativo de las ordenas. Ejercicio 2: La funcin f se verifica que:

i) Dom f = R{2}

ii) Img f = 2,iii) Corte con el eje y: (0,6) iv) f (1) = 2 v) f (5) = 5 vi) Los valores de x con imagen igual a 0 son x = -1 y x = -2,5

vii) Intervalo donde f es constante: 3,

viii) Intervalos donde f es creciente: 2,0,1,2y 2,5,3

Ejercicio 3:

a) Funcin lineal que expresa el costo total C (x) de fabricar x Kg. de dulce artesanal es: C (x) = 7x + 8500

b) Dom C (x) = [0,+) Img C (x) = [8500, +) c) Producir 10.000 Kg. de dulce cuesta: $78.500 d) Si los costos totales fueron de 102.650$ la produccin fue de 13.450 Kg. de dulce. Ejercicio 4: a) El segundo da despus de lanzarse al mercado la golosina llegar aproximadamente a 233 kioscos, pues K (2) = 233,4 b) La golosina llegar al mximo nmero de kioscos 5 das despus de lanzarse al mercado, puesto que el mximo la funcin lo alcanza en el xv = 5

c) El mayor nmero de kioscos que dispondrn de la nueva golosina ser de 277, aproximadamente, ya que y v = 277,5

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