LECCIUN 2 a

ESTUDIO DE LOS PROMEDIOS

SIGNIFICACIÓN Y NATURALEZA DE LOS PROMIDIOS.-El examende las tablas y curvas de frecuencias de caracteres cuya variarbilidad dep^ende ^del azar, demuestra una ten^dencia a concen-írarse los datos en torno a un valor central, Este valor cen^tral

\-^--- ----•-Tnodo

Figura 4.-Curva de una distribución de frecuencias en que elmodo no tiene un valor muy característico.

adqui^ere por eso mismo una significación especial, al correa-ponderle la mayor freouencia de la distribución, 1o que equi-vale a decir en el examen de una raza que dicho valor es elque tiene las mayores probabilidades de presentarse, AI estu-diar en el ejemplo del capítulo anterior las variaciones de la

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alzada en una población animal de la raza parda alpina, vemosque hay una clase, la 134, a la que correspon^de el mayor nú-mero de individuos (49), lo que quiere decir que la alzada de43^ centínietros es la mds frecu^ente. Se comp,rend^e que 1,nd^, va-^or oentral, cual éste de que tratamos, conocido con la denuini-naciún ^de 7rtodo, sólo adquiere carácter repre:,entativo en la ^e^s-tadística cansidera.da, cuantlo el mayor número de variantes co-rre^sponde a valores de clase iguales o znu^• prdximos a aquél,o se^a cuando ^exista una acumuiación de las mavores frecuen-ci^a; alrededor ^de ^él ^^ ]as ^dos mita^de^s ,de la ^curva ^desciendcn ^rá-pidam^ente ^hacia el ^j^e de las t.

E^ta mayor o menor concentración de las variantes en tornoal modo, ^d,epende ^de lo que se denomina la ^dispersi,ón del carác-

--- -^„^«, V - - - - -

Figura 5.-Curva de datos muy concentrados alrededor delmodo en que éste toma un valor representativo.

ter consi^d^erado, y^en el capítulo sibui^ente aprenderemos a eva-luarla.

Gráficamente, el modo es el valor de X, para el cual Y esmáxima. Es la alzada más corriente, el períme^tro torácico másfrecuente, la longitud ^de cabeza mris vecos hall^ada, la prad^uc-ción láctea dada por el mayor número de vacas, etc.

Puede elegirss también para representar una distribuciónel punto de la escala de las x, q^ue deja a uno y otro lado igualnúmero d^e casos. Este valor se llama mecliana, y es eIl verdaderoval^or ceniral, en el sentido de que divide a tada la distribuciónen dos pant,es iguales. Una mitad de las variantes posee valoresiinferiores a la mediana y la otra mitad superiores. A las pri-

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meras las podríamos llamar en el lenguaje biométrico v^rtant^esz^nferio^res o m.inu.sv,ari^rintes, y a las segundas variarubes ^pe^do-res o p^usv^zria^n,t^ecl. Cuando una distribución estád repre^eutl^apor una curva de frecuencias, el área que la curva^.encie7^r^'reYsultará dividida en das partes iguales por una orderia^`iit^,qq,e. ^sblevante en el punto de las X, que corresponde a la me^iana.gasta. recordar que el área del espacio contenido dentro de lacurva nepresenita el número total de variantes de la di,s^tri-bución.

La ^m,edi,a arztmú^ica es el tercer promedio que estu^diam^as.Cuando, por ejemplo, medimos una longitu^d, lo corriente es que±,odas las medidas no sean iguales, por más cuidado que ponga-mos en ello. Come^teremos errores, unos por defecto y otros porexceso; entonces, para obtener un valor aceptable ^de la longi-tud, lo que hacemos es medirla muchas veces y hallar la mediaaritmética de las medidas obtenidas. Comprendemos que esamedia ^aritmética es el val^or más aproxima^do y más p^rabable.

La media aritmé^tica, es un valor que puedé o no coincidircon el valor real de la co5a. medida. Lo más probable es que Jnocoinci^da, salvo euando los val^ores obtenidos por las distintasmedidas se dis^tribuyen simétricamente. Por ejemplo, en la dis-tribución de fre^cuenci^as de las alzadas ^de la raza parda alpina,tarvtas veces citada,, la media aritméica. es 133,5, que puede ono haberse hallado al medir ese caráĉter, La media aritméticaes un valo^° ^de c^ílcn,^úo, en ian^to que el modo y la mediana sonivalores existentes en 1a disiribución, determinados por su loca-lización ^dentro de e41a, y ^qu^e nada ti^enen ^que v^e^r con los valo-res indivi^duale^s tie las variantes, al contrario ^de !la media, ^quedrp^end^e de cada uno.

En efecto, la media a^ritm^ti^a es una resu^ltante de los valo-res de cada varianíe, y en una distribución de frecuencias, losvalores clasificados ^en intervalas influyen con arre^lo a susfrecuencias; en el ejemplo de la raza parda alpina., e^s evideníeque las clases centrales ^de la distribución 1'31, 132, 133, etc., quecontienen las mayores frecu^encias, influyen mucho más en ,elvalor ^de la media aritmética, que las clases extremas 122, 123,42^, ^4^, 445, cuVas frecuencias ^s^on .muy p^equ^e^ñas. Cabe ima-f^nar que el proc^uct^o de cada clase, por su frecuencia, es comoun p^eso que actúa sobre la distribución, y la media aritméticaes como el centro de gravedad, el cual se desplaza, naturalmen^te,hacia los pun'tos ^donde es!tos pesos son ma.yores, de Ia mismalnanera que en un cu^erpo hete;ro^géneo el centro ,d^e gravedadse sitúa allí don,d,e se acumulan las moléculas m,ás pe.sadas.

E

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El proclucbo de las clases por las frecuencias toma así unasignificación pondernl, y a la media aritmética, calcula^da, s^wrruun-de los productos de Gas clases por las jrecuencias y aéividienctoesta suma por el número total de variantes, se illama media pon-cierada.

Se puede repetir aquí respecto al valor representativo de lamed:ia aritmética, lo que ya dijimos al tra^tar del mací^o. Tadvalor va ligado a la existencia de una concentración de variantesen torno a la media. La. media aritm^ética de los números 25.á5, 36, 49, 47, 38, ^es un valor representativo ,de esto^ núm^eros.la de los números 5, 20, 6, 45, 2, 56, no posee rlingun^a signi-ficación.

CÁLCULO DE LA MIDIA ARITMÉfICA.-En casos especiales, lamedia aritmética se encuentra inznediatamente sin necesidadde cálculo. Tal sueede en toda distribución de frecuencias simé-trica, como la ded^ucida del desarrollo bindmico. Entonces la me-dia, la meKliana y el modo coinci^den. Ba,si,a ver cu^1 es la clasede máxima frecuencia, o sea el m^ado para obtener el valor dela m.edia.

EJEMPLO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SUJETA A LA LEYUE QU^7fELET (DESARROLLO BINÓMICO) .

T.a medición ^del perímetro torácico -en una raza bovina hadado lugar a la siguienie tabla de frecuencias :

Claeee ( en cui) FrecuenciaeI'roductoa

do lae clases porlas frecuenciae

136 ............................ 1 136138 ........................ . .. 10 1380140 ....................... ..... 45 6300142 ............................. 120 17040144 ....... ... ................ 210 30240146 . .. ........ ......... ..... 252 36792148 ........ .. ....... .. ..... 210 31080150 ....... ............. .... .. 120 18000162 ........ ................... 45 5840164 ............ ........ ...... 10 1540156 .......................... .. 1 156

Número total de variantes ... ^ 1.024 ^ Ecxf-14y504

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La clase ^ie mayor frecuencia es 44^6, y es tam^bién su mcxliaari`^mética, como puede c^omprobarse por cálculo.

Las frecuencias de esía tabla corresponden a los coeficiente^sdte la patencia 10 del binomio, o sea a(a -}- b)10, ya que el nú-m^ero de clases es 11, una más que el exponente del binomio,según nicimos notar en el capítulo anterior al tratar del desrarrollo binómioo.

Cuando la distribución no es rigurosamente simétrica, quees ]o que puede ocurrir en la realidad, el cálculo de la mediaaritmética se desprende de su definición, que, camo es sabido,es igiual a la suma ^le .todos los valores dividida por su número.Si ^e.l núm^ero d^e valores es 7i, y repres^entamo^ por m uno de

^' m .

de ell^c^^ la me+dia aritmética 1-f será M= ^, en que ^ es unn

eímbolo de sumación.Ante una dis^tribución de frecuencias, no precisa que vaya-

mos Tnidiendo el carácter est.udiado uno a uno en cada individuo,para luego sum;arlos y dividir la suma por el número total deéstas, ^sino que simplifieamos la operación al a^dscribir e,l valormedio de cada intervalo a^todos los sujetos comprendidos enél, Así, nos basta m^ultiplicar este valor medio por el númerode individuos del int.ervalo (frecuencia), para obtener la sumade todas las medidas comprendidas en ^él. Por ejemplo: en laanterior tabla de frecuencias hay 120 varian^tes carrespondien-tes a un perímetro torácico de 142 centímetros. La suma de losperímetros torácicas de esos 120 individuos es 120 X 142- 17.040 centímetros. La media aritmética es obtiene multipli-cando las clases por las fnecuencias, sumando eístos produGtosy dividiendo la suma por el número ^total de variantes. La fór-mula es :

.M- e en que f representa las frecuencias y c las cla$es,

n

Apliquémosla a la tabla ^de frecuencias anteri^or:En la t^ercera col,umna van los produc^os de cada clase po^r

su frecuenci.a respectiva, y ^su suma ^c ^( f es i^ual a 449.504.El número total de variantes es 1.024.

^ _ 149504 _ 146 cm .

1024

Como se ve, la media calculada coincide en este caso con el

-20-

moclo, según ya inclicalnos, a. cavsa ,de la simetría ^de la distri-bución.

Cuando tal simetría no existe--que es lo que acontece ge-neralmente^--, la media aritmética está desviada en un sen-tido o en otro con respecto al modo o valor ^de máxima fre-cuencia. Si las frecuencias cargan su peso por delante del modo,la media se dicP que está desviada hacia la izquierda; en elcaso contrario, hacia la derecha.

^LÉTODO ARREVIADO PARA CALCULAR I,A MEDIA ARITMÉTICA TO-

bt.4ND0 UN PROb1H]llI0 ARBITRARIO.-En todos estos casos pod^emashallar ^et valor de dzt media aritmética a partír ^de un valor ambi-

3'1ed. 7Iod.Figura 6. Curva en que las mayores frecuencias se concentran delante del mo-

do provocando la dcaviación de la media hacia la izquierda.

trario tíe los q^ue aparecen en la distribución, y que, general-mente, es el modo o valor de máxima frecuencia. Se simplificanlos cálculos, sobre ^todo cuandA la tabla de frecuencias compren-de un númera grande de clases y elevados valores de frecuen-cias, pues en este método que vamos a explica.r en los productosc X f, ae sustituyen los factores c por las desviaciones con res-pecto al promedio elegido, desviaciones que vienen expresadaspor números sencillos.

La desviación de ca^da clase com respecto al promedio ele-gi^do es la diferencia entre su valor y el de dicho prome^dio.Estas diferencias son negativas para los valores menores que

-- 21 -

el promedio y positivas para l^os valores mayores qu^ el mi^mo.^La fórmula que sirve para hallar la modia aritmética .p^ar

este método se funda en el siguiente razorla.miento:*^ -Si sumamos algebraica,mente las desviaciones de ^uú^ aexie

de valores con respecto a su media aritmética, la suma es iguala cero, lo cual se comprende fácilmente, ya que las desviacionesen un sentido quedan anuladas por las de sentido opuesto.

^Si llamamos d,, ^dZ, d9 .... d„ a estas desviaciones, m,, mn,m, .... m„ a los valores de las variantes y M a la media aritmé-tiaa, m, - b'í = d'1, m2 - M= á2 .... ni„ -:^Z := d„ , Y se^g'un ^lodicho anteriorm^ente.:

^d-0

Podemos medir las desviaciones con relación a un promedioarbibrario que llamaremos M'. Entre M y M' ^l^ebe haber unadiferencia b: M- M' = b(1) .

Repre^sentaremos por ^d'1, ^d'2, tl'3 .... d'„ las desviaciones delos diferentes valores respecto de M' :en donde:

cl'1=m1-(l^í-b)d'^ = m= - (M - b) .rd' 3 = ]llg - (i^i - b) ^ ^ -Y.^d'„ ,= m n - (11^ - b)

puesio que M' = M- b, según la igualdad (1).Igualdades que se pueden poner de esta otra forma:

d'1=m1--11í^-b=d1--f-b,yaqu©m, -M=d1

d'z =-ml-M-I-b=dz-E-b

cl'n=m„-M-}-b=clo -}-b

Sumando miembro a miembro estas igualdades se obtiene :d'x -^- d'Q -^- d'g -}- . . .,, -}- d'„ = d^ -f- d2 -F- ds - ♦-- . • ^- -^----F dn -}- Nb. Buscando una expresión ;en^ral, tendremas :

Ed'=^'d-}-Nb

Pero ^^d es la suma algé'brica ^de las desvi^aciones con respec-to a la media aritmética, que, como ya d.ijimos, es igual a cero;luego ^d' - Nb.

^22-

. ^; d'D^e dande b= . Sustituyendo este valor de b en la igual-

Ndad (1) :

bt = M' -}- b M= M' -^-^: d'

' NSegtín esí.a iDualdad, la media aritmética es igual al promedio

arbitrario más un término de corrección, que es igual al co-ciente de dividir la suma algébrica de todas las desviacionescon re^speCto al promedio arbitrario pqr el número total decasos.

Este término de corrección puede ser positivo o negativo,dep^en^íien^do ^iel siguo de la suma algói^rica 2,^d', el cual, t^ su vez,

Mod Me^^Figura ?.-Curva asimétrica exagerada para mostrar la desviación de la mediahacia la der^cha, como consecuencia de predominar las rnayores frecuencias

detrás del modo.

depende de la posición de la media aritmética con relación alpromedio arbitrario. Si la media aritmética as menor que elprome^dio ^arbitrario, quiere ^d,ecir que hay un exceso da frecu^en-cias en las elases inferiores al promedio, clases que van afecta;-das por el signo menas. Lo contrario sucede cuando la mediaaritmética es superior al promedi^o elegido.

Las operaciones sucesivas que exige el cálculo de la mediaaritmética por este procedimiento son las siguientes :

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. ^1 a Ordenar los datos en una distribución de ^fr^cue^teias.2.` Adoptar, como promedia arbitrario, el valor ^dé^^máxima

frecuencia (por ser generalmente el centno de la distr^k,iúciány facilitar asi el establecimiento de las desviaciones en ^n eeb-tido y en atro) .

3 a llispon^er en col.umna las desviaciones (d') de la msdiaarbitraria con relación a los datos de ca,da clase, tomando camounidad para medir dichas ^desviaciones, el valor que hayamosdaclo al .intervalo que limita las clases. La desviación será ceropara los datos de la clase central, tomada como promedio arbi-trario, - 1 para las de la clase inmediata inferior, - 2 parala siguiente, etc. ; -}- 1 para los de la clase inmediata superior,^- 2 para 1a ^si^gui^ente, e^tc.

4.` Multiplicar la desviación de cada clase por su frecuen-cia, teniendo en cuenta los signos, colocando estas productos enla columna encabezada con fd'.

5.` Sumar algébricamente estos produetos.6.° Dividir e^sta suma por el número total de variantes N.

El cociente así obtenido será el término de corrección b.7.` Sumar algébricamente la oorrección al promedio arbi-

trario para aplicar la fórmula M- M' -^- b.8 a Para obtener el valor de la media en las unidades em-

pleadas en la experiencia biométrica., multiplicar el término decorrección por el valor del intervalo en dichas +unidades.

EJEMPLOS

EJEMPLO I.

Nuevamente vamos a utilizar la distribución de frecuenciasya donocida de la alzada en una población vacuna de la razaparda alpina.

CALCULO DE LA MEDIA AILITMÉTICA POR. EL MÉTODO DEL PAO--MEDIO ARBITRAAIO:

ClAaee cFracuen-

ciaa f

U©avia-

cionea d'

Productos f d'

- -^L Á ^ c u 1 o M' =-= 1 8 4

122 1J - 12 12 I 1. Suma algébrica de las

123 1 - 11 11 desviaciones con respecto

124 1 - 10 10 a M':

126 1 - 9 9 -}- 599

126 1 - 8 8 - 482

-f- 117127 6 - 7 42

128 6 - 6 36

129 17 - 5 85 Ctílculo d©1 tórmino de co-

130 17 - 4 68 rrección b:

131 25 - 3 75 117= 0,3

b-132 4^i - 2 90 389

133 36 - 1 36

134 49 0 .. .

135 47 1 ,,,,, ^}7 Cálculo de M, sc;gún la fór-

mula M= M' -}- b.136 38 2 .,,., 7fi

^T = 134 -{- 0,3 = 134,3.137 33 3 , _ , , _ ^g

138 16 ^l ..... 64

139 19 5 ..... ^^5 Conv©rsión en unidades bio-

140 14 6 ... . 84 mótricas experimentale5:

141 4 7 ..... 28 como el intervalo vale 1

142 7 8 ..... 56 centímetro, al multiplicar

143 2 9 ,,,,, lg Por él el término do co-

rrección b, queda igual el144 1 10 ..... 10

resultado.145 2 11 ..... 22

389 - 482 -{-599

-25-

DISPOSICIÓN MÁS PftÁCTICA DE LAS OPERACIONES PARA GALCZI.LAR LA MEDIA ARITMÉTICA.-Tenlerid0 eri CUerita qUe el tgrltllnQsuma de todas las desviaciones con respecto al pnomedio ^r19i-trario ^e^^s un ^,fd, o se^a se c^om^p^nne ^d^e la suma ^d^e ^los p^duçtaS ^^de las frecuencias por las desviaciones respectivas, si llama-mos a las ,desviaciones ^positivas -}- d,, ^- ^d2, -I- d3 .... a las des-viaciones nega.tivas - d,, - d^, - d^ ...., siend^o f,, f2, f^ .... 1asfrecueneias correspondientes ^a, ias primeras, y f',, f'2, f'3 .... lascorrespondientes a ^las segunilas, tendremos:

,`r^ f d = f^ dl -i- f: dz -^ fs ds -^- .....- dl f', - clx f'2 -- d^ f'3 - . . . . .

Sacando factor común a d,, ^d27 ^d3 .... ^de la suma de ca^da ^dostérminos en que aparecen como factores, obtendremos :

:.'fd^d^^f^-f^^)-f-d2^£,-f'..)-f-ds(fs-f^s)-i-....

A^ho^ra t^ien: dl(fl - f",) y todos los demás sumandos, se ob-tienen multiplicando cada desviación por la suma algébrica, delas dos frecuencias q^ue le son adscritas ;^de donde en vez demultiplicar, como lo hicimos en el cuadro anterior, cada desvia-ción por su frecuencia y sumar luego algébricamente estos pro-ductos, podemos hallar las sumas algébricas de cada par defrecuencias co^rrespondiente a un mismo valor de la ^desviación,multiplica,r dicha suma por este valor y sumar todos estos pro-duc^tas algébrica,mente. F^1 resultado es el mismo que con elpnocedimiento usado en el cuadro anterior y se simplifican loscálculos, como ahara veremos con un ejemplo.

EJEMPLO II.

La mediida de la anahura entre las ancas ^de una poblaciónvacuna de la raza Simmenthal d^a los ^siguientes resu'ltados:

Clases en cm. 46 47 48 49 50 51 52 53

P'recuencias... 0 2 2 7 12 15 21 33

54 55 5G 57 58 59 f0

28 25 1^ 9 1 1 1

- 26 -

Tome[nos como media arbitraria el valor 53, que corres-ponde a la máxima frecuencia 33. E'1 niímero total ^de varianteses de 169.

M'=63 N = 169

UF.NV[ACIONES ^d) ^ 1 2 3 ^ 5 6 7

Frecuenc:ias:Positivas -}- .. ... (33) 28 25 12 9 1 1 1Ne^;ativas -.... 21

-15 12 7 2 2 -

Uifercncias(±)..

I

I

..-

-}- 7i

-}- 1O'-

0 I----_

-{- 2- 1 - 1 + 1

-}- ^ X 1 - -}--.,,,-{- 1^ X 2 = ^--{- 2 X 4=-{-

positivas par las desviaciones:

r Idem de las diferen-20 cias negativas:

8 - 1 X 5=- 57 = 1 X 6=- 6

+ 4^ - 11

álgébrica. ^de ambas desviaci^ones: -{- 42 - 11 --}- 31.Por^to, hay 31 desviaciones pasitivas más que negativaa. Eltérmino de corrección b es:

b - -^ - 31 - ^- 0,183169

Aplicando la fórmula M- M' + b= 53 -}- 0,183 - 53,18'3.

E.rEMrr.o III.

En l,a fármula M-- M' -{- b, el término de corrección bpuede ser nulo. Bastará para ello que la suma algébrica de lasdesviaciones positivas y negativas sea igual a 0. Entonce.s lamedia calculada coincide con la media verdadera. He aquí unejernplo:

La variabilidad comprobada de la alzada en ^una raza ca-ballar Iws da el valo^r modal igual a 169 centímetros, que com-

Productos ^de las diferencias

^-^"^l X7=-}-

-2T-

prende la clase de mayor frecuencia (12 individuos) sobre untotal de 70 variantes.

Las desviaciones se distribuyen de la manera siguiente :

d 0 1 2 3 4 5 G 7

+-

(i2^ s9

s7

s3

54

23

i3

i-

;^uma algébrica - 1 I - 1 -{- 3 -}- 1 - 1 - 2 -}- l

^ProductoS de las sumas algébriaas de frecuencias por l^asdesviaciones :

Desviaciones positivas: Desviaciones negativas

-i-- 3 X 3 = -I- 9 -1X1-- 1-}-1 X4=-f- 4 -1 X 2=- 2-}- 1 X 7 = -{- 7 -1X5=- 5

^- 20 -2Xfi=-12

- 20

b=-^Ñ f= 0; ya que E d f= 20 - 20 = 0; luego b=

=0; M=M'=169cm.

MODIFICACIONES EN II, CÁLCULO CUANDO LA MAGNITUD DEL IN-TERVALO DE LAS CLASES ES MAYOR O MENOR @UE LA UNIDAD.-Entodos los ejemplos que hasta ahora hemos puesto, la magnituddel intervalo era la unidad, o sea que los valores de las^ clasesvariaban de unidad en unidad. Cuanda esto no ocurre, podemoshacer el cálculo de dos maneras : o expresamos las desviacionescon arreglo al valor del intervalo y el ^cálculo no ^difiere de losanteriones, o r^e^du^cimos e^l inte^rvalo^ a ^la unid^a^d, d^es!pués mul-tiplicamos el valor ^obtenido de b por la magnitu^ del intervalo.

En los ejemplos siguientes se verá las dos maneras deoperar.

_Zg_

E,r^ri.o IV.

Longitud del tronco de una raza vacuna de montaña (segúnZorn) .

Límites de clases.. .. 140 143 146 149 152 155 158 161Frecuencias........ 3 4 6 13 15 24 1S

Lílnites de clases.. .. 164 167 170 173 176 179

Frecuencias........ 19 ? G 3 2 1

El valor d^e la clase ^de Ináxima frecuencia ^está comp^ren^li-dos entre 155 y 158; podemos tomar la media de este intervalo,o sea 156,5. El número de variantes es 120.

Como se ve, el valor del intervalo es aquí de tres unidades.

DESVIACIONFe: d U 3 ^ 6 9 ^ 12 l5 ^ 18 21

Positivos -}- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (24 ► 18, 19 7 5 3 2 1

Negativas - . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'

15I 13 6'

4^

3 -

Suma algébrica . . . .. .. . .I-+3^-6-^11

-^-1^-0--^-2

---}--1

Productos do las sumas algébricas de la5 frecuencias por lasdesviacion©s:

llesviaciones negativas: Desviaciones positivas:

_ -f - 3 X 3 - -{- g__ -}- 6 X 6 = -i- 36

-^- 1 X 9 = + 9

_ -{- 1 X 12 = -{- 12_ -}- 2 X 18 = -{- 360 + 1 X 21 =-+- 21

-}- 123

b0251 M 156 5 - - 1 025 157 525

^;^

120= , } , ,=

-29-

Pero podemos hacer el cálculo reduciendo a la unidad el.;'in-tervalo 3, con tal de luego multiplicar b X 3: ^-----.

llESVIACIONEB d 0 1

--

`,2i Ĵ

---

4

- ^ ^5 ^ G 7

Positivas -}- . . . . . . . . . . . . (2;1) 18^ 19^

--

7 :'̂ ,

^

^3 ! 2 1

Negativas -.. ......... 15 13^ 6 4 3 - -

Suma algébrica .... + 3 -{- 6 -}- 1 -^ 1 0 i-}- 2i

-}- 1

Desviacionos negativas: Desviaciones positivas:

-f-3X±1=-^- 3^- 6 X -^- 2 = -^- 12-^- 1 X -^ 3 = -}- 3+ 1 X + 4 = + 4-I- 2 X -i- 6 = -f - 12-}- 1 X -}- 7 = -f- 7

0 -{- 41

l^ - 41 = 0,341.7; b X 3= 0,3417 X 3= 1,02^1120

Que es el mismo valor anteri^oxmente obtenido para b.'En los trabajos biométrico^ histológicos o mi^cmobialágicos,

las m^e^didas ^de lo^s element^os estudiados se ^establecen en ,mi^cra^s,y las diferenci^a,s halladas comurenden ^siempre varias miaras,con lo que ^se obt.i:enen mu,y arnlrlios intervalos, según se ve en elsiguiente ejemplo.

EJEMPLO V.

Ia medida ^del diámetro transversal de las cerdas, de la colade la raza porcina mongólica, arroja los siguientes ^datos :

I,ímite d© clases (en micras).

Frocuencias . . . . . . . . . . . . . .

Límite de clases (on rnicras).

Frecuencias . . . . . . . . . . . . .

Límite de clases (en micras).

Frecuencias . . . . . . . . . . . . . .

63 81 99 117 13^ 153 1711 2 7 10 12 13

189 207 225 243 26117 18 17 1^ 14 13

279 297 315 333S 2 1

-80-

La media arbitraria, que es el modo de la distribución, as198, valor medio entre los límites de aqulél (189 y 207). El va-lor de1 iniervalo es 18 micsas, y el número de variantas N= 451.

Si reducimos a la unidad el vaLor del intervalo, la disposi-ción del cálculo ea la siguiente :

d 0 1 2 3 4 5 6 7

+ (18) 1? 16 14 1; 8 2 1

- 1r 13 12 1 7 2 1

Suma algóbrica ±.. U -}- 3 -^ 2 -^- 8 ^-- 1 0 0

Producto de las sumas algébricas de las frecuencias porlas desviaciones:

^^m +^,, sviaciones negativas: Desviaciones positivas:

-}- 3 X 2 = ^- 6-{- 2 X 3 = -}- 6-}- 3 X 4 = ^-- 12+1X5=^- 5

-^ 29

b= - 0,19; multiplicando b por el valor del intervalo que151

es 18: 0,19 X 18 = 3,42„ M= AZ' -}- b= 198 -}- 3,42 == 201,42 µ.

29

Por último, vamos a poner un ejemplo de serie variante enque el valor del intervalo es menor que la unidad. La pruebade ^+es^stencia de 60 hebras d^e lana dal surUido a a a (DoerrLer),nos proporci,ona los siguientes resulta^dos :

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LfmiEes ds claaes en Arsmoa

Valor medio de cada clase

Variantes . . . . . . . . . . . . .

Desviaciones . . . . . . . . . .

0,0 0,5

1

4

1,0 7,5 8,0 a,5 0,0 0,510,1I ! I I I I

4

3

10

2

10

1

8, 25

13

+0-

9

1

9

2

4

3

La media arbitraria 1Vt' es el valor medio 8,25 de la clasemodal (límites 8,0 y 8,5). El valor del intervalo es 0,5 gramos.

^

PEBVIACIONES d I 0 1 2 3 4

+

-

(13) 9

10

9

10

4

4

-

1

Sumas algébricas ±. .. - 1 - 1 0 - 1

Desviaciones nogativas:

-1X1= -1

-1X2= -2

-1X4= -4

-7

7b= 60 =- 0,1167, b X intervalo =- 0,1167 X 0,5 =-

- 0,0584; M= M' -}- b= 8,25 -^- (- 0,0584) = 8,1916

LA MIDIANA.-Es aquel valor del ca.rácter conaiderado situa-do en el mismo centro de la serie, de moda ^}ue ^deja, por encimay por debajA de él, un mismo número de variantes.

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Si el número de variantes lo llamamos N, la mediana ocupa^

^el l;u^ar , una vez colocaclas en serie aquéllas de la in^enor2

a Ifi ma}-or.Cuando la estadística está ordenada según una distr,ibución

de frecuencias, se facilita mucho e] hallazga de la mediana, des-arrollando las frecuencias de cada clase en una escala numera-da clel uno hasta el número tot.al de variantes. Un ejemplo acla-rará este m^odo de proceder.

Sea la siguiente distribución de frecuencias :

Clnaea .•. 96 97 98 99 100 101 102 103 104

Fre^neacina• 1 4 7 9 ll 9 6 3 2

Cl^:es

9697989910010l102103104

Frecnen^laa

i2 3 4 ; ^

6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 2G 27 28 29 30 31. 3333 34 35 36 37 38 39 40 41

42 43 44 45 46 4748 49 5051 52

La mitad de 52 es 26, lo q^ue quíere decir que la variantenúmero 26 es la que: corresponde a la mediana. Elsta variantese halla situa^da entr^e las límibes ^de intervalo 99,5 a 100,5.

Suponiendo una distribución uniforme de las variantes dentr+o de ca^da intervalo, la variante número 26, que es ^la quinta delas 11 que corresponden a todo el intervalo, !tendrá un valor

5igual a de la magnitud del intervalo. Añadiendb esta frac-

11ción al va.Lor d^el límite inferior d^e dic^ho .interva'lo, que es 99,5,óbtendremos la earpresión de la mediana. Llamándo^la 1^Id, ^se

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5

puede escribir: Md = 99,5 -i- X magnitud .de int^rvalo.11

Gomo aquí la magnitud del intervalo es la unida^l (las elareescrecen de ^uno en uno), la fórmula queda reducida á> ^`E^. '"

l^í d= 99,5 -}- ^= 99,5 -^ 0,454 = 99,954 ^

Cuando el intervalo comprenda varias unidades o sea mayorque la unidad, la fracción se muítiplica por el valor del initervalo.

También podíamos haber operado sobre la tabla de frecuen-cias, efectuando sumas parciales de las frecuencias hasta llegai^a la clase que debe contener la mediana. El mismo ejemplo n^ospuedle servir :

Clases Frecuencias

96 1

97 49b r99 9

100 11101 9102 6103 3104 2

Como ya hemos visto, la determinación de la mediana sereduce a encontrar un valor que deje a cada lado 26 datos. Sisumamos las frecuencias hs^ta la clase 400, obtenemo^s 20, ysi sumamos también la frecuencia correspondiente a la clase400, obtenamos 32. Luego la rnediana está comprendida en^rela variante 21 y la 32, o sea en el intervala de la ^clase 100. E1cálculo es e1 misrno que hemos ^expue'sto. A1 límite inferior ^dela clase 100, que es 99,5, hay que sumar la fracción que resultade dividir el lugar que ocupa la variante 26 dentro de la clase100, por el número total de variantes de ,dicha clase, que es 11,y multiplicarla por el valor del intervalo (en este ejempo talvalor es 1),

a

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CUARTII.AS Y DECILAS.-Si dividimAS el conjunto de varian-tes en cuatro partes iguales, la primera cuartila correspondeal valor por debajo del cual queda una cuarta parte del nú-mero de variantes y por encima quedan las tres ouartas partesrestantes; la segunda cuartila coincide con la mediana, etc., etc.

I.a primera decila corresponde al valor que tiene por ene^malas 9/10 de la distribución. Se empezará siempre a contar desdeel extremo inferior de la escala.

Llamando q,, q2, qs y q., a]rzs valores de las ^cuartilas, esevidente ^que el intervalo cumpreiidi-do enti^^e q, y q^ co^rrespon-de a la m^ún ' oenbral de la población, es decir, la part e más ca-racterística, la que depende menos del número total de indi-viduos.

Examinando 1a curva {la Gauss ( fi^. 8), se ve ,due la me-diana es ^el valor de x. cuya ordenada divide a la cur^va en dosmitades iguales, cuyas áreas son, iguales. Entre ^dos valo+ressucesiv^os de cada cuartila, las ordenadas correspondien' es limi-tan un espacio auya área es igual a la cuarta parte clel áreatotal de la curva.