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5/28/2018 LECCIONES DE ESTADISTICA.doc

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LECCION 1Introduccin a la Estadstica Descriptiva

Laestadstica descriptivaes una ciencia que analiza series de datos (por ejemplo, edad de una poblacin,altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, etc) y trata de extraerconclusiones sobre el comportamiento de estas variables.

Las variables pueden ser de dos tipos:

Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de lapiel, sexo).

Variables cuantitativas: tienen valor numrico (edad, precio de un producto, ingresos anuales).

Las variablestambin se pueden clasiicar en:

Variables unidimensionales:slo recogen inormacin sobre una caracter!stica (por ejemplo: edad de losalunmos de una clase).

Variables bidimensionales:recogen inormacin sobre dos caracter!sticas de la poblacin (por ejemplo: edady altura de los alumnos de una clase).

Variables pluridimensionales:recogen inormacin sobre tres o m"s caracter!sticas (por ejemplo: edad, alturay peso de los alumnos de una clase).

#or su parte, las variables cuantitativasse pueden clasiicar en discretas y continuas:

Discretas:slo pueden tomar valores enteros ($, %, &, ', etc.). #or ejemplo: nmero de *ermanos (puede ser$, %, +....,etc, pero, por ejemplo, nunca podr" ser +,).

Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. #or ejemplo, la velocidad de un ve*!culopuede ser &-,+ m/*, 0,1 m/*...etc.

2uando se estudia el comportamiento de una variable *ay que distinguir los siguientes conceptos:

Individuo: cualquier elemento que porte inormacin sobre el enmeno que se estudia. 3s!, si estudiamos laaltura de los ni4os de una clase, cada alumno es un individuo5 si estudiamos el precio de la vivienda, cadavivienda es un individuo.

Poblacin:conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten inormacin sobre elenmeo que se estudia. #or ejemplo, si estudiamos el precio de la vivienda en una ciudad, la poblacin ser" eltotal de las viviendas de dic*a ciudad.

Muestra:subconjunto que seleccionamos de la poblacin. 3s!, si se estudia el precio de la vivienda de unaciudad, lo normal ser" no recoger inormacin sobre todas las viviendas de la ciudad (ser!a una labor muycompleja), sino que se suele seleccionar un subgrupo (muestra) que se entienda que es suicientementerepresentativo.

LECCION 2Distribucin de frecuencia

1


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La distribucin de frecuenciaes la representacin estructurada, en orma de tabla, de toda la inormacin quese *a recogido sobre la variable que se estudia.

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada

x x x x xX1 n1 n1 f1=n1/ n f1X2 n2 n1+ n2 f2= n2/n f1+ f2... ... ... ... ...

Xn-1 nn-1 n1+n2+..+ nn-1 fn-1= nn-1/ n f1+f2+..+fn-1Xn nn n fn= nn/ n f

SiendoXlos distintos valores que puede tomar la variable.

Siendonel nmero de veces que se repite cada valor.

Siendofel porcentaje que la repeticin de cada valor supone sobre el total

6eamos un ejemplo:

7edimos la altura de los ni4os de una clase y obtenemos los siguientes resultados (cm):

Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estaturax x x x x x

!lumno 1 1"2# !lumno 11 1"2$ !lumno 21 1"21!lumno 2 1"2% !lumno 12 1"2& !lumno 22 1"2'!lumno $ 1"2( !lumno 1$ 1"$) !lumno 2$ 1"2&!lumno * 1"21 !lumno 1* 1"21 !lumno 2* 1"22!lumno # 1"22 !lumno 1# 1"2% !lumno 2# 1"2%!lumno & 1"2' !lumno 1& 1"$) !lumno 2& 1"2(!lumno ( 1"$) !lumno 1( 1"22 !lumno 2( 1"2&

!lumno % 1"2* !lumno 1% 1"2# !lumno 2% 1"2$!lumno ' 1"2( !lumno 1' 1"2) !lumno 2' 1"22

!lumno 1) 1"2' !lumno 2) 1"2% !lumno $) 1"21

8i presentamos esta inormacin estructurada obtendr!amos la siguiente tabla de frecuencia:


x x x x x

1"2)1

1 $"$ $"$

1"21 * # 1$"$ 1&"&1"22 * ' 1$"$ $)")1"2$ 2 11 &"& $&"&1"2* 1 12 $"$ *)")1"2# 2 1* &"& *&"&1"2& $ 1( 1)") #&"&1"2( $ 2) 1)") &&"&1"2% * 2* 1$"$ %)")1"2' $ 2( 1)") ')")1"$) $ $) 1)") 1))")

2


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8i los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entoncesconviene agruparlos por intervalos, ya que de otra manera obtendr!amos una tabla de recuencia muy extensaque aportar!a muy poco valor a eectos de s!ntesis. (tal como se ver" en la siguiente leccin).

LECCION 3Distribuciones de frecuencia agrupada

8upongamos que medimos la estatura de los *abitantes de una vivienda y obtenemos los siguientes resultados(cm):

Habitante Estatura Habitante Estatura Habitante Estatura

x x x x x x,abitante 1 1"1# ,abitante 11 1"#$ ,abitante 21 1"21,abitante 2 1"*% ,abitante 12 1"1& ,abitante 22 1"#',abitante $ 1"#( ,abitante 1$ 1"&) ,abitante 2$ 1"%&,abitante * 1"(1 ,abitante 1* 1"%1 ,abitante 2* 1"#2,abitante # 1"'2 ,abitante 1# 1"'% ,abitante 2# 1"*%,abitante & 1"$' ,abitante 1& 1"2) ,abitante 2& 1"$(

,abitante ( 1"*) ,abitante 1( 1"*2 ,abitante 2( 1"1&,abitante % 1"&* ,abitante 1% 1"*# ,abitante 2% 1"($,abitante ' 1"(( ,abitante 1' 1"2) ,abitante 2' 1"&2,abitante 1) 1"*' ,abitante 2) 1"'% ,abitante $) 1")1

8i present"ramos esta inormacin en una tabla de recuencia obtendriamos una tabla de +- l!neas (una paracada valor), cada uno de ellos con una recuencia absoluta de $ y con una recuencia relativa del +,+9. statabla nos aportar!a escasa imormacin

n lugar de ello, preerimos agrupar los datos por intervalos, con lo que la inormacin queda m"s resumida (sepierde, por tanto, algo de inormacin), pero es m"s manejable e inormativa:

Estatura Frecuencias absolutas Frecuencias relativasCm Simple Acumulada Simple Acumulada

x x x x x

1")1 - 1"1)1

1 $"$ $"$

1"11 - 1"2) $ * 1)") 1$"$1"21 - 1"$) $ ( 1)") 2$"$1"$1 - 1"*) 2 ' &"& $)")1"*1 - 1"#) & 1# 2)") #)")1"#1 - 1"&) * 1' 1$"$ &$"$1"&1 - 1"() $ 22 1)") ($"$

1"(1 - 1"%) $ 2# 1)") %$"$1"%1 - 1"') 2 2( &"& ')")1"'1 - 2")) $ $) 1)") 1))")

l nmero de tramos en los que se agrupa la inormacin es una decisin que debe tomar el analista: la regla esque mientras m"s tramos se utilicen menos inormacin se pierde, pero puede que menos representativa einormativa sea la tabla.

LECCION !edidas de posicin central

$


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Las medidas de posicin nos acilitan inormacin sobre la serie de datos que estamos analizando. stasmedidas permiten conocer diversas caracter!sticas de esta serie de datos.

Las medidas de posicinson de dos tipos:

a) Medidas de posicin central: inorman sobre los valores medios de la serie de datos.

b) Medidas de posicin no centrales: inorman de como se distribuye el resto de los valores de la serie.

a) Medidas de posicin central

Las principales medidas de posicin central son las siguientes:

1. Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. 8e pueden calcular diversos tipos de media, siendolas m"s utilizadas:

a) Media aritm!tica: se calcula multiplicando cada valor por el nmero de veces que se repite. La suma de

todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:

Xm =

X1 n1 + X2 n2 + X$ n$ + .....+ Xn-1 nn-1 + Xn nn---------------------------------------------------------------------------------------

n

b) Media "eom!trica:se eleva cada valor al nmero de veces que se *a repetido. 8e multiplican todo estosresultados y al producto iinal se le calcula la ra!z ;n; (siendo ;n; el total de datos de la muestra).

8egn el tipo de datos que se analice ser" m"s apropiado utilizar la media aritmtica o la media geomtrica.

La media geomtrica se suele utilizar en series de datos como tipos de inters anuales, inlacin, etc., donde elvalor de cada a4o tiene un eecto multiplicativo sobre el de los a4os anteriores. n todo caso, la mediaaritmtica es la medida de posicin central m"s utilizada.

Lo m"s positivo de la media es que en su c"lculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no sepierde ninguna inormacin.

8in embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmtica como geomtrica)se puede ver muy inluido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. stos valoresanmalos podr!an condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo sta representatividad.

#. Mediana: es el valor de la serie de datos que se sita justamente en el centro de la muestra (un -9 devalores son ineriores y otro -9 son superiores).


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%jemplo:vamos a utilizar la tabla de distribucin de recuencias con los datos de la estatura de los alumnosque vimos en la leccin %=.


x x x x x

1"2) 1 1 $"$ $"$1"21 * # 1$"$ 1&"&1"22 * ' 1$"$ $)")1"2$ 2 11 &"& $&"&1"2* 1 12 $"$ *)")1"2# 2 1* &"& *&"&1"2& $ 1( 1)") #&"&1"2( $ 2) 1)") &&"&1"2% * 2* 1$"$ %)")1"2' $ 2( 1)") ')")1"$) $ $) 1)") 1))")

6amos a calcular los valores de las distintas posiciones centrales:

1. Media aritm!tica:

Xm =

1"2)1 + 1"21* + 1"22 * + 1"2$ 2 + ......... + 1"2' $ + 1"$) $

--------------------------------------------------------------------------------------------------

$)

Luego:

Xm =

1"2#$

#or lo tanto, la estatura media de este grupo de alumnos es de $,%+ cm.

#. Media "eom!trica:

X =

1"2)0 1 1"210* 1"220 * ..... 1"2'0$ 1"$)0$0 1/$)

Luego:

Xm =

1"2#$

n este ejemplo la media aritmtica y la media geomtrica coinciden, pero no tiene siempre por qu ser as!.

$. Mediana:

La mediana de esta muestra es $,%> cm, ya que por debajo est" el -9 de los valores y por arriba el otro -9.sto se puede ver al analizar la columna de recuencias relativas acumuladas.

#


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n este ejemplo, como el valor $,%> se repite en + ocasiones, la media se situar!a exactamente entre el primer yel segundo valor de este grupo, ya que entre estos dos valores se encuentra la divisin entre el -9 inerior y el-9 superior.

&. Moda:

?ay + valores que se repiten en ocasiones: el $,%$, el $,%% y el $,%&, por lo tanto esta seria cuenta con +

modas.

LECCION "!edidas de posicin no central

Medidas de posicin no centrales

Las medidas de posicin no centrales permiten conocer otros puntos caracter!sticos de la distribucin que noson los valores centrales. ntre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestraen tramos iguales:

Cuartiles: son + valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de orma creciente o decreciente, en cuatrotramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el %9 de los resultados.

Deciles: son 0 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de orma creciente o decreciente, en dieztramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el $-9 de los resultados.

Percentiles: son 00 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de orma creciente o decreciente, encien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el $9 de los resultados.

%jemplo: 6amos a calcular los cuartiles de la serie de datos reeridos a la estatura de un grupo de alumnos(leccin %=). Los deciles y centiles se calculan de igual manera, aunque *ar!a alta distribuciones con mayornmero de datos.


x x x x x

1"2)1

1 $"$ $"$

1"21 * # 1$"$ 1&"&1"22 * ' 1$"$ $)")1"2$ 2 11 &"& $&"&1"2* 1 12 $"$ *)")1"2# 2 1* &"& *&"&1"2& $ 1( 1)") #&"&

1"2( $ 2) 1)") &&"&1"2% * 2* 1$"$ %)")1"2' $ 2( 1)") ')")1"$) $ $) 1)") 1))")

1' cuartil: es el valor $,%% cm, ya que por debajo suya se situa el %9 de la recuencia (tal como se puede veren la columna de la recuencia relativa acumulada).

&


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#' cuartil: es el valor $,%> cm, ya que entre este valor y el $@ cuartil se situa otro %9 de la recuencia.

$' cuartil: es el valor $,%& cm, ya que entre este valor y el %@ cuartil se sita otro %9 de la recuencia. 3dem"s,por encima suya queda el restante %9 de la recuencia.

(tencin: cuando un cuartil recae en un valor que se *a repetido m"s de una vez (como ocurre en el ejemploen los tres cuartiles) la medida de posicin no central ser!a realmente una de las repeticiones.

LECCION #!edidas de dispersin

studia la distribucin de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran m"s o menos concentrados,o m"s o menos dispersos.

xisten diversas medidas de dispersin, entre las m"s utilizadas podemos destacar las siguientes:

1. an"o: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por dierencia entre el valor m"s elevado yel valor m"s bajo.

#. Varian*a: 7ide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. 8e calcula como sumatorio delas direncias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el nmero de veces que se *a repetidocada valor. l sumatorio obtenido se divide por el tama4o de la muestra.

La varianza siempre ser" mayor que cero. 7ientras m"s se aproxima a cero, m"s concentrados est"n losvalores de la serie alrededor de la media. #or el contrario, mientras mayor sea la varianza, m"s dispersos est"n.

$. Desviacin tpica: 8e calcula como ra!z cuadrada de la varianza.

&. Coeficiente de vari*acin de Pearson: se calcula como cociente entre la desviacin t!pica y la media.

%jemplo:vamos a utilizar la serie de datos de la estatura de los alumnos de una clase (leccin %=) y vamos acalcular sus medidas de dispersin.


x x x x x

1"2)1

1 $"$ $"$

1"21 * # 1$"$ 1&"&1"22 * ' 1$"$ $)")1"2$ 2 11 &"& $&"&1"2* 1 12 $"$ *)")1"2# 2 1* &"& *&"&1"2& $ 1( 1)") #&"&1"2( $ 2) 1)") &&"&1"2% * 2* 1$"$ %)")1"2' $ 2( 1)") ')")

(


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1"$) $ $) 1)") 1))")

1. an"o: Aierencia entre el mayor valor de la muestra ($,+-) y el menor valor ($,%-). Luego el rango de estamuestra es $- cm.

#. Varian*a: recordemos que la media de esta muestra es $,%+. Luego, aplicamos la rmula:

#or lo tanto, la varianza es -,--$-

$. Desviacin tpica: es la ra!z cuadrada de la varianza.

Luego:

&. Coeficiente de variacin de Pearson: se calcula como cociente entre la desviacin t!pica y la media de lamuestra.

Luego,

l inters del coeiciente de variacin es que al ser un porcentaje permite comparar el nivel de dispersin de dosmuestras. sto no ocurre con la desvacin t!pica, ya que viene expresada en las mismas unidas que los datosde la serie.

#or ejemplo, para comparar el nivel de dispersin de una serie de datos de la altura de los alumnos de unaclase y otra serie con el peso de dic*os alumnos, no se puede utilizar las desviaciones t!picas (una viene vienes

expresada en cm y la otra en g). n cambio, sus coeicientes de variacin son ambos porcentajes, por lo que s!se pueden comparar.

LECCION $!edidas de for%a& 'rado de concentracin

Las medidas de formapermiten conocer que orma tiene la curva que representa la serie de datos de lamuestra. n concreto, podemos estudiar las siguientes caracter!sticas de la curva:

v = )")$2) / 1"2#$

v = )")2##

%


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a) Concentracin: mide si los valores de la variable est"n m"s o menos uniormemente repartidos a lo largo dela muestra.

b) (simetra: mide si la curva tiene una orma simtrica, es decir, si respecto al centro de la misma (centro desimetr!a) los segmentos de curva que quedan a derec*a e izquierda son similares.

c) Curtosis:mide si los valores de la distribucin est"n m"s o menos concentrados alrededor de los valores

medios de la muestra.

a) Concentracin

#ara medir el nivel de concentracin de una distribucn de recuencia se pueden utilizar distintos indicadores,entre ellos elIndice de +ini.

ste !ndice se calcula aplicando la siguiente rmula:

3 =pi- qi

----------------------------pi

itoma valores entre 1 4 n-1

n donde pimide el pocentaje de individuos de la muestra que presentan un valor igual o inerior al de xi.

pi =

n1+n2+ n$+ ... + ni

---------------------------- x 1))

n

7ientras que qise calcula aplicando la siguiente rmula:

qi=

X1n1 + X2n2 + ... + Xini

----------------------------------------------------- x 1))

X1n1 + X2n2 + ... + Xnnn

l Indice +ini(BC) puede tomar valores entre - y $:

I+ , -: concentracin m!nima. La muestra est" uniomemente repartida a lo largo de todo su rango.

I+ , 1: concentracin m"xima. Dn slo valor de la muestra acumula el $--9 de los resultados.

%jemplo: vamos a calcular el Bndice Cini de una serie de datos con los sueldos de los empleados de unaempresa (millones pesetas).

'


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Sueldos Empleados (Frecuencias absolutas) Frecuencias relativas(Millones) Simple Acumulada Simple Acumulada

x x x x x

$"#1)

1) 2#") 2#")

*"# 12 22 $)") ##")&") % $) 2)") (#")%") # $# 12"# %("#1)") $ $% ("# '#")1#") 1 $' 2"# '("#2)") 1 *) 2"# 1))")

2alculamos los valores que necesitamos para aplicar la rmula del Bndice de Cini:

Xi ni ni pi Xi*ni Xi* ni qi pi qix x x x x x x x

$"#1)

1) 2#")$#")

$#") 1$"& 1)"%$

*"# 12 22 ##")#*")

%'") $*"& 1%"'(

&") % $) (#") *%") 1*(") #("2 1'"#$%") # $# %("# *)") 1%(") (2"% 1#"%*1)") $ $% '#") $)") 21(") %*"* 11"1'1#") 1 $' '("# 1#") 2$2") ')"$ ("&22#") 1 *) 1))") 2#") 2#(") 1))") )

x x x x x x x x

pientre 1 4 n-1= *$#") x pi- qi entre 1 4 n-1 = %$"''

#or lo tanto:

3 = %$"'' / *$#") = )"1'

n Indice +ini de -/10indica que la muestra est" bastante uniormemente repartida, es decir, su nivel deconcentracin no es excesivamente alto.

%jemplo: 3*ora vamos a analizar nuevamente la muestra anterior, pero considerando que *ay m"s personal dela empresa que cobra el sueldo m"ximo, lo que conlleva mayor concentracin de renta en unas pocaspersonas.

Sueldos Empleados (Frecuencias absolutas) Frecuencias relativas(Millones) Simple Acumulada Simple Acumulada

x x x x x

$"#1)

1) 2#") 2#")

*"# 1) 2) 2#") #)")&") % 2% 2)") ()")%") # $$ 12"# %2"#

1)


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1)") $ $& ("# ')")1#") ) $& )") ')")2)") * *) 1)") 1))")

n este caso obtendr!amos los siguientes datos:

Xi ni ni pi Xi*ni Xi* ni qi pi qix x x x x x x x

$"#1)

1) 2#")$#

$# 11"( 1$"2&

*"# 1) 2) #)")*#

%) 2&"% 2$"1#

&") % 2% ()") *% 12% *$") 2(")#%") # $$ %2"# *) 1&% #&"* 2&"121)") $ $& ')") $) 1'% &&"* 2$"#&1#") ) $& ')") ) 1'% &&"* 2$"#&2#") * *) 1))") 1)) 2'% 1))") )"))

x x x x x x x x

pientre 1 4 n-1= *)("# x pi- qi entre 1 4 n-1 = 1$&"&'

l Indice +iniser!a:

3 = 1$&"&' / *)("# = )"$*

l Bndice Cini se *a elevado considerablemente, relejando la mayor concentracin de rentas que *emoscomentado.

LECCION (

!edidas de for%a& Coeficiente de )si%etra

b) (simetra

?emos comentado que el concepto de asimetr!a se reiere a si la curva que orman los valores de la seriepresenta la misma orma a izquierda y derec*a de un valor central (media aritemtica)

#ara medir el nivel de asimetr!a se utiliza el llamado Coeficiente de (simetra de is2er, que viene deinido:

11


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Los resultados pueden ser los siguientes:

"1, -(distribucin simtrica5 existe la misma concentracin de valores a la derec*a y a la izquierda de lamedia)

"13 -(distribucin asimtrica positiva5 existe mayor concentracin de valores a la derec*a de la media que asu izquierda)

"14 -(distribucin asimtrica negativa5 existe mayor concentracin de valores a la izquierda de la media que asu derec*a)

%jemplo: 6amos a calcular el 2oeiente de 3simetr!a de Eis*er de la serie de datos reeridos a la estatura de ungrupo de alumnos (leccin %=):


x x x x x

1"2)1

1 $"$ $"$

1"21 * # 1$"$ 1&"&1"22 * ' 1$"$ $)")1"2$ 2 11 &"& $&"&1"2* 1 12 $"$ *)")1"2# 2 1* &"& *&"&1"2& $ 1( 1)") #&"&1"2( $ 2) 1)") &&"&1"2% * 2* 1$"$ %)")1"2' $ 2( 1)") ')")1"$) $ $) 1)") 1))")

Fecordemos que la media de esta muestra es $,%+

((!i !)"#)*ni ((!i !)"$)*nix x

)")))11) )")$)*&(

Luego:

1/$) )")))11)

51=-------------------------------------------------

= -)"1#%&

1/$) )")$)*&(0$/2

#or lo tanto el Coeficiente de is2er de 5imetrade esta muestra es '-,$&>, lo que quiere decir que presentauna distribucin asimtrica negativa (se concentran m"s valores a la izquierda de la media que a su derec*a).

12


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LECCION *!edidas de for%a& Coeficiente de Curtosis

c) Curtosis

l Coeficiente de Curtosisanaliza el grado de concentracin que presentan los valores alrededor de la zonacentral de la distribucin.

8e deinen + tipos de distribuciones segn su grado de curtosis:

Distribucin mesoc6rtica:presenta un grado de concentracin medio alrededor de los valores centrales de lavariable (el mismo que presenta una distribucin normal).

Distribucin leptoc6rtica: presenta un elevado grado de concentracin alrededor de los valores centrales dela variable.

Distribucin platic6rtica:presenta un reducido grado de concentracin alrededor de los valores centrales de

la variable.

l Coeficiente de Curtosisviene deinido por la siguiente rmula:

Los resultados pueden ser los siguientes:

"#, -(distribucin mesoc6rtica).

"#3 -7distribucin leptoc6rtica).

"#4 - 7distribucin platic6rtica).

%jemplo: 6amos a calcular el 2oeiente de 2urtosis de la serie de datos reeridos a la estatura de un grupo dealumnos (leccin %=):


x x x x x

1"2)1

1 $"$ $"$

1"21 * # 1$"$ 1&"&

1$


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1"22 * ' 1$"$ $)")1"2$ 2 11 &"& $&"&1"2* 1 12 $"$ *)")1"2# 2 1* &"& *&"&1"2& $ 1( 1)") #&"&1"2( $ 2) 1)") &&"&1"2% * 2* 1$"$ %)")

1"2' $ 2( 1)") ')")1"$) $ $) 1)") 1))")

Fecordemos que la media de esta muestra es $,%+

((!i !m)"%)*ni ((!i !m)"$)*nix x

)"))))*'&( )")$)*&&&(

Luego:

1/$) )"))))*'&(

52= -------------------------------------------------

- $ = -1"$'

1/$) )")$)*&&&(02

#or lo tanto, el Coeficiente de Curtosis de esta muestra es '$,+0, lo que quiere decir que se trata de unadistribucin platicrtica, es decir, con una reducida concentracin alrededor de los valores centrales de la

distribucin.

LECCION 1+Distribuciones bidi%ensionales

Las distribuciones bidimensionales son aquellas en las que se estudian al mismo tiempo dos variables de cadaelemento de la poblacin: por ejemplo: peso y altura de un grupo de estudiantes5 supericie y precio de lasviviendas de una ciudad5 potencia y velocidad de una gama de coc*es deportivos.

#ara representar los datos obtenidos se utiliza unatabla de correlacin:

X & ' $ m m! n1"1 n1"2 x n1"m-1 n1"m!$ n2"1 n2"2 x n2"m-1 n2"m x x x x x!n nn-1"1 nn-1"2 x nn-1"m-1 nn-1"m

1*


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!n nn"1 nn"2 x nn"m-1 nn"m

Las ;x; representan una de las variables y las ;y; la otra variable. n cada interseccin de una valor de ;x; y unvalor de ;y; se recoge el nmero de veces que dic*o par de valores se *a presentado conjuntamente.

%jemplo:7edimos el peso y la estatura de los alumnos de una clase y obtenemos los siguientes resultados:

Alumno Estatura +eso Alumno Estatura +eso Alumno Estatura +eso! ! ! ! ! ! ! ! !

!lumno 1 1"2# $2 !lumno 11 1"2# $1 !lumno 21 1"2# $$!lumno 2 1"2% $$ !lumno 12 1"2% $# !lumno 22 1"2% $2!lumno $ 1"2( $1 !lumno 1$ 1"2( $* !lumno 2$ 1"2( $*!lumno * 1"21 $* !lumno 1* 1"21 $$ !lumno 2* 1"21 $*!lumno # 1"22 $2 !lumno 1# 1"22 $$ !lumno 2# 1"22 $#!lumno & 1"2' $1 !lumno 1& 1"2' $1 !lumno 2& 1"2' $1!lumno ( 1"$) $* !lumno 1( 1"$) $# !lumno 2( 1"$) $*!lumno % 1"2* $2 !lumno 1% 1"2* $2 !lumno 2% 1"2* $$!lumno ' 1"2( $2 !lumno 1' 1"2( $1 !lumno 2' 1"2( $#!lumno 1) 1"2' $# !lumno 2) 1"2' $$ !lumno $) 1"2' $*

sta inormacin se puede representar de un modo m"s organizado en la siguiente tabla de correlacin:

Estatura & +eso # ,- #$ ,- ## ,- #% ,- #. ,-/$ cm

)) 1 2 )

/$$ cm ) 1 1 ) 1/$# cm ) ) ) ) )/$% cm ) 2 1 ) )/$. cm 1 1 1 ) )/$0 cm ) ) ) ) )/$1 cm 2 1 ) 2 1/$2 cm ) 1 1 ) 1/$3 cm $ ) 1 1 1/#4 cm ) ) ) 2 1

Gal como se puede ver, en cada casilla se recoge el nmero de veces que se presenta conjuntamente cada parde valores (x,y).

Gal como vimos en las distribuciones unidimensionales si una de las variables (o las dos) presentan grannmero de valores dierentes, y cada uno de ellos se repite en muy pocas ocasiones, puede convenir agruparlos valores de dic*a variable (o de las dos) en tramos.

1#


16/91

LECCION 11Distribuciones %arginales

3l analizar una distribucin bidimensional, uno puede centrar su estudio en el comportamiento de una de lasvariables, con independencia de como se comporta la otra. star!amos as! en el an"lisis de una distribucin

mar"inal.

Ae cada distribucin bidimensional se pueden deducir dos distribuciones mar"inales: una correspondiente ala variable x, y otra correspondiente a la variable y.

Distribucin mar"inal de 8

X nix x

x1 n1.x2 n2...... ...xn-1 nn-1.xn nn.

Distribucin mar"inal de 9

' n5x x

41 n.142 n.2..... ...

4m-1 n.m-14m n.m

%jemplo: a partir del ejemplo que vimos en la leccin anterior (serie con los pesos y medidas de los alumnos deuna clase) vamos a estudiar sus distribuciones marginales.

Estatura & +eso # ,- #$ ,- ## ,- #% ,- #. ,-

/$ cm ) ) 1 2 )/$$ cm ) 1 1 ) 1/$# cm ) ) ) ) )/$% cm ) 2 1 ) )/$. cm 1 1 1 ) )/$0 cm ) ) ) ) )/$1 cm 2 1 ) 2 1/$2 cm ) 1 1 ) 1/$3 cm $ ) 1 1 1

1&


17/91

/#4 cm ) ) ) 2 1

Las variables marginales se comportan como variables unidimensionales, por lo que pueden ser representadasen tablas de recuencias.

a) Distribucin mar"inal de la variable 8 7estatura)

Hbtenemos la siguiente tabla de recuencia:

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas(Estatura) Simple Acumulada Simple Acumulada

xx xx xx xx xx

1"21 $ $ 1)") 1)")1"22 $ & 1)") 2)")1"2$ ) & )") 2)")

1"2* $ ' 1)") $)")1"2# $ 12 1)") *)")1"2& ) 12 )") *)")1"2( & 1% 2)") &)")1"2% $ 21 1)") ()")1"2' & 2( 2)") ')")1"$) $ $) 1)") 1))")

b) Distribucin mar"inal de la variable 9 7peso)

Hbtenemos la siguiente tabla de recuencia:

x

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas(+eso) Simple Acumulada Simple Acumulada

xx xx xx xx xx

$1 & & 2)") 2)")$2 & 12 2)") *)")$$ & 1% 2)") &)")$* ( 2# 2$"$ %$"$$# # $) 1&"& 1))")

LECCION 12Coeficiente de correlacin lineal

n una distribucin bidimensional puede ocurrir que las dos variables guarden algn tipo de relacin entre si.

1(


18/91

#or ejemplo, si se analiza la estatura y el peso de los alumnos de una clase es muy posible que exista relacinentre ambas variables: mientras m"s alto sea el alumno, mayor ser" su peso.

%lcoeficiente de correlacin linealmide el grado de intensidad de esta posible relacin entre las variables.ste coeiciente se aplica cuando la relacin que puede existir entre las varables es lineal (es decir, sirepresentaramos en un g"ico los pares de valores de las dos variables la nube de puntos se aproximar!a a unarecta).


19/91

Ae todos modos, aunque el valor de ;r; uera prximo a $ o '$, tampoco esto quiere decir obligatoriamente queexiste una relacin de causa'eecto entre las dos variables, ya que este resultado podr!a *aberse debido al puroazar.

%jemplo: vamos a calcular el coeiciente de correlacin de la siguiente serie de datos de altura y peso de losalumnos de una clase:

Alumno Estatura +eso Alumno Estatura +eso Alumno Estatura +eso! ! ! ! ! ! ! ! !!lumno 1 1"2# $2 !lumno 11 1"2# $$ !lumno 21 1"2# $$!lumno 2 1"2% $$ !lumno 12 1"2% $# !lumno 22 1"2% $*!lumno $ 1"2( $* !lumno 1$ 1"2( $* !lumno 2$ 1"2( $*!lumno * 1"21 $) !lumno 1* 1"21 $) !lumno 2* 1"21 $1!lumno # 1"22 $2 !lumno 1# 1"22 $$ !lumno 2# 1"22 $2!lumno & 1"2' $# !lumno 1& 1"2' $* !lumno 2& 1"2' $*!lumno ( 1"$) $* !lumno 1( 1"$) $# !lumno 2( 1"$) $*!lumno % 1"2* $2 !lumno 1% 1"2* $2 !lumno 2% 1"2* $1!lumno ' 1"2( $2 !lumno 1' 1"2( $$ !lumno 2' 1"2( $#!lumno 1) 1"2' $# !lumno 2) 1"2' $$ !lumno $) 1"2' $*

3plicamos la rmula:

Luego,

#or lo tanto, la correlacin existente entre estas dos variables es elevada (-,1) y de signo pos!tivo.

LECCION 13,egresin lineal

Fepresentamos en un gr"ico los pares de valores de una distribucin bidimensional: la variable ;x; en el eje*orizontal o eje de abcisa, y la variable ;y; en el eje vertical, o eje de ordenada. 6emos que la nube de puntossigue una tendencia lineal:

1/$) )"%2&

r= ----------------------------------------------------------1/$))")2#&%1/$)#1"$&&01/2

r= )"(1'x x

1'


20/91

l coeficiente de correlacin linealnos permite determinar si, eectivamente, existe relacin entre las dosvariables. Dna vez que se concluye que s! existe relacin, la re"resinnos permite deinir la recta que mejor seajusta a esta nube de puntos.

Dna recta viene deinida por la siguiente rmula:

6 a 7 b!

Aonde ;y; ser!a la variable dependiente, es decir, aquella que viene deinida a partir de la otra variable ;x;(variable independiente). #ara deinir la recta *ay que determinar los valores de los par"metros ;a; y ;b;:

l par


21/91

s la media de la variable ;y;, menos la media de la variable ;x; multiplicada por el par"metro ;b; que *emoscalculado.

%jemplo: vamos a calcular la recta de regresin de la siguiente serie de datos de altura y peso de los alumnosde una clase. 6amos a considerar que la altura es la variable independiente ;x; y que el peso es la variabledependiente ;y; (pod!amos *acerlo tambin al contrario):

Alumno Estatura +eso Alumno Estatura +eso Alumno Estatura +eso! ! ! ! ! ! ! ! !!lumno 1 1"2# $2 !lumno 11 1"2# $$ !lumno 21 1"2# $$!lumno 2 1"2% $$ !lumno 12 1"2% $# !lumno 22 1"2% $*!lumno $ 1"2( $* !lumno 1$ 1"2( $* !lumno 2$ 1"2( $*!lumno * 1"21 $) !lumno 1* 1"21 $) !lumno 2* 1"21 $1!lumno # 1"22 $2 !lumno 1# 1"22 $$ !lumno 2# 1"22 $2!lumno & 1"2' $# !lumno 1& 1"2' $* !lumno 2& 1"2' $*!lumno ( 1"$) $* !lumno 1( 1"$) $# !lumno 2( 1"$) $*!lumno % 1"2* $2 !lumno 1% 1"2* $2 !lumno 2% 1"2* $1!lumno ' 1"2( $2 !lumno 1' 1"2( $$ !lumno 2' 1"2( $#!lumno 1) 1"2' $# !lumno 2) 1"2' $$ !lumno $) 1"2' $*

l par


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1"2% $$"%1"2' $*"21"$) $*"&

LECCION 1-robabilidad& Introduccin

La probabilidadmide la recuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza unexperimento.

%jemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un %, o que salga unnmero par, o que salga un nmero menor que .

%l e=perimento tiene >ue ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de unconjunto posible de soluciones, y esto an realizando el experimento en las mismas condiciones. #or lo tanto, apriori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:

%jemplos: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemanocual de ellos va a salir.

n la Loter!a de ue no son aleatoriosy por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.

%jemplo: en lugar de tirar la moneda al aire, directamente selccionamos la cara. 3qu! no podemos *ablar deprobabilidades, sino que *a sido un resultado determinado por uno mismo.

3ntes de calcular las probabilidades de un experimento aleaotorio *ay que deinir una serie de conceptos:

5uceso elemental: *ace reerencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.

%jemplo: al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. 3l lanzar un dado, lossucesos elementales son el $, el %, .., *asta el >.

5uceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales.

%jemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un nmero par. l suceso ;numero par; es un sucesocompuesto, integrado por + sucesos elementales: el %, el y el >

H, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga ;menor o igual que $&;. ste es un sucesocompuesto ormado por $& sucesos elementales (todos los nmeros que van del $ al $&).

3l conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamosespacio muestral. 2ada experimentoaleatorio tiene deinido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).

22


23/91

%jemplo:si tiramos una moneda al a!re una sola vez, el espacio muestral ser" cara o cruz.

8i el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estar!aormado por (cara'cara), (cara'cruz), (cruz'cara) y (cruz'cruz).

LECCION 1"-robabilidad& ,elacin entre sucesos

ntre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:

a) n suceso puede estar contenido en otro:las posibles soluciones del primer suceso tambin lo son delsegundo, pero este segundo suceso tiene adem"s otras soluciones suyas propias.

%jemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero >, y b) que salga un nmeropar. 6emos que el suceso a) est" contenido en el suceso b).

8iempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. #or ejemplo, si el resultado uera el %,

se cumplir!a el suceso b), pero no el el a).

b) Dos sucesos pueden ser i"uales:esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumpleobligatoriamente el otro y viceversa.

%jemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplode %. 6emos que las soluciones coinciden en ambos casos.

c) nin de dos o m (es el nico resultado comn aambos sucesos: es mayor que y es nmero par).

e) 5ucesos incompatibles:son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementoscomunes (su intereseccin es el conjunto vacio).

%jemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero menor que +, y b) que

salga el nmero >. s evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.

f) 5ucesos complementarios:son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.

%jemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero par, y b) que salga unnmero impar. 6emos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).

LECCION 1#C.lculo de probabilidades

2$


24/91

Probabilidad

2omo *emos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se d undeterminado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.

La probabilidad toma valores entre - y $ (o expresados en tanto por ciento, entre -9 y $--9):

%l valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga elnmero 1 es cero (al menos, si es un dado certiicado por la H7A, ;Hrganizacin 7undial de Aados;).

%l valor uno corresponde al suceso se"uro:lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salgacualquier nmero del $ al > es igual a uno ($--9).

%l resto de sucesos tendr< probabilidades entre cero @ uno: que ser" tanto mayor cuanto m"s probable seaque dic*o suceso tenga lugar.

ACmo se mide la probabilidadB

Dno de los mtodos m"s utilizados es aplicando la e"la de aplace: deine la probabilidad de un sucesocomo el cociente entre casos avorables y casos posibles.

P7() , Casos favorables casos posibles

6eamos algunos ejemplos:

a) Probabilidad de >ue al lan*ar un dado sal"a el n6mero #: el caso avorable es tan slo uno (que salga eldos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier nmero del uno al seis). #or lo tanto:

#(3) K $ / > K -,$>> (o lo que es lo mismo, $>,>9)

b) Probabilidad de >ue al lan*ar un dado sal"a un n6mero par: en este caso los casos avorables son tres(que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. #or lo tanto:

#(3) K + / > K -,- (o lo que es lo mismo, -9)

c) Probabilidad de >ue al lan*ar un dado sal"a un n6mero menor >ue E: en este caso tenemos cuatrocasos avorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), rente a los seis casos posibles. #or lo tanto:

#(3) K / > K -,>>> (o lo que es lo mismo, >>,>9)

d) Probabilidad de >ue nos to>ue el ;+ordo; de avidad: tan slo un caso avorable, el nmero quejugamos (qu triste...), rente a $--.--- casos posibles. #or lo tanto:

#(3) K $ / $--.--- K -,----$ (o lo que es lo mismo, -,--$9)

7erece la pena ...... #or cierto, tiene la misma probabilidad el nmero .%>, que el nmero ----$, pero Mcu"lde los dos comprar!asN

#ara poder aplicar la e"la de aplaceel experimento aleatorio tiene que cumplir dos re>uisitos:

a) %l n6mero de resultados posibles 7sucesos) tiene >ue ser finito. 8i *ubiera ininitos resultados, al aplicarla regla ;casos avorables / casos posibles; el cociente siempre ser!a cero.

2*


25/91

b) Fodos los sucesos tienen >ue tener la misma probabilidad. 8i al lanzar un dado, algunas caras tuvieranmayor probabilidad de salir que otras, no podr!amos aplicar esta regla.

3 la regla de Laplace tambin se le denomina ;probabilidad a priori;, ya que para aplicarla *ay que conocerantes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismasprobabilidades.

A9 si el e=perimento aleatorio no cumple los dos re>uisitos indicados/ >u! 2acemosB/ Aponemos unadenunciaB


26/91

%jemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero >, y b) que salga un nmeropar. Aijimos que el suceso a) est" contenido en el suceso b).

#(3) K $/> K -,$>>

#(O) K + / > K -,-

#or lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad delsuceso que lo contiene, suceso b).

b) Dos sucesos pueden ser i"uales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.

%jemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplode %. Las soluciones coinciden en ambos casos.

#(3) K + / > K -,-

#(O) K + / > K -,-

c) Interseccin de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o m"ssucesos que se intersectan. La probabilidad ser" igual a la probabilidad de los elemntos comunes.

%jemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayorque +. La interseccin de estos dos sucesos tiene dos elementos: el y el >.

8u probabilidad ser" por tanto:

#(3 O) K % / > K -,++

d) nin de dos o m.

#(3) K + / > K -,-

#(O) K + / > K -,-

# (3 O) K % / > K -,++

#or lo tanto,

# (3 u O) K (-,- P -,-) ' -,++ K -,>>>

e) 5ucesos incompatibles: la probabilidad de la unin de dos sucesos incompatibles ser" igual a la suma delas probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su interseccin es el conjunto vacio y por lo tanto no *ayque restarle nada).

%jemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero menor que +, y b) quesalga el nmero >.

La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser" igual a:

2&


27/91

#(3) K % / > K -,+++

#(O) K $ / > K -,$>>

#or lo tanto,

#(3 u O) K -,++ P -,$>> K -,-

f) 5ucesos complementarios:la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (3) es igual a $ '#(3)

%jemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (3) es que salga un nmero par, luego su complementario,suceso (O), es que salga un nmero impar.La probabilidad del suceso (3) es igual a :

#(3) K + / > K -,-

Luego, la probabilidad del suceso (O) es igual a:

#(O) K $ ' #(3) K $ ' -,- K -,-

8e puede comprobar aplicando la regla de ;casos avorables / casos posibles;:

#(O) K + / > K -,-

-) 8ni9n de sucesos complementarios:la probabilidad de la unin de dos sucesos complementarios esi5ual a 1.

%jemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un nmero par, y b) que salga un nmero impar. Laprobabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser" igual a:

#(3) K + / > K -,-

#(O) K + / > K -,-

#or lo tanto,

#(3 DO) K -,- P -,- K $

LECCION 1(Co%binaciones/ 0ariaciones -er%utaciones I

#ara aplicar la e"la de aplace, el c"lculo de los sucesos avorables y de los sucesos posibles a veces noplantea ningn problema, ya que son un nmero reducido y se pueden calcular con acilidad:

Por ejemplo: #robabilidad de que al lanzar un dado salga el nmero %. Gan slo *ay un caso avorable,mientras que los casos posibles son seis.

2(


28/91

#robabilidad de acertar al primer intento el *orscopo de una persona. ?ay un caso avorable y $% casosposibles.

8in embargo, a veces calcular el nmero de casos avorables y casos posibles es complejo y *ay que aplicarreglas matem"ticas:

Por ejemplo: matrimonios se sientan aleatoriamente a cenar y queremos calcular la probabilidad de que al

menos los miembros de un matrimonio se sienten junto. n este caso, determinar el nmero de casosavorables y de casos posibles es complejo.

Las reglas matem"ticas que nos pueden ayudar son el c"lculo de combinaciones, el c"lculo devariacionesyel c"lculo de permutaciones.

a) Combinaciones:

Aetermina el nmero de subgrupos de $, %, +, etc. elementos que se pueden ormar con los ;n; elementos deuna nuestra. 2ada subgrupo se dierencia del resto en los elementos que lo componen, sin que inluya el orden.

Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de % elementos que se pueden ormar con los nmeros $, % y+.

8e pueden establecer + parejas dierentes: ($,%), ($,+) y (%,+). n el c"lculo de combinaciones las parejas ($,%)y (%,$) se consideran idnticas, por lo que slo se cuentan una vez.

b) Variaciones:

2alcula el nmero de subgrupos de $, %, +, etc.elementos que se pueden establecer con los ;n; elementos deuna muestra. 2ada subgrupo se dierencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dic*oselementos (es lo que le dierencia de las combinaciones).

Por ejemplo, calcular las posibles variaciones de % elementos que se pueden establecer con los nmero $, % y+.

3*ora tendr!amos > posibles parejas: ($,%), ($,+), (%,$), (%,+), (+,$) y (+,+). n este caso los subgrupos ($,%) y(%,$) se consideran distintos.

c) Permutaciones:

2"lcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo, por lo tanto,lo que dierencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos.

Por ejemplo, calcular las posibles ormas en que se pueden ordenar los nmero $, % y +.

?ay > posibles agrupaciones: ($, %, +), ($, +, %), (%, $, +), (%, +, $), (+, $, %) y (+, %, $)

LECCION 1*Co%binaciones/ 0ariaciones -er%utaciones II

ACmo se calculanB

a) Combinaciones:

2%


29/91

#ara calcular el nmero de combinaciones se aplica la siguiente rmula:

l termino ; n G ; se denomina ;actorial de n; y es la multiplicacin de todos los nmeros que van desde ;n;*asta $.

Por ejemplo: Q K R + R % R $ K %

La expresin ;Cm/n;representa las combinaciones de ;m; elementos, ormando subgrupos de ;n; elementos.

%jemplo: 2$-, son las combinaciones de $- elementos agrup"ndolos en subgrupos de elementos:

s decir, podr!amos ormar %$- subgrupos dierentes de elementos, a partir de los $- elementos.

b) Variaciones:

#ara calcular el nmero de variaciones se aplica la siguiente rmula:

La expresin ;Vm/n;representa las variaciones de ;m; elementos, ormando subgrupos de ;n; elementos. n

este caso, como vimos en la leccin anterior, un subgrupo se dierenciar" del resto, bien por los elementos quelo orman, o bien por el orden de dic*os elementos.

%jemplo: 6$-, son las variaciones de $- elementos agrup"ndolos en subgrupos de elementos:

s decir, podr!amos ormar .-- subgrupos dierentes de elementos, a partir de los $- elementos.

c) Permutaciones:

#ara calcular el nmero de permutaciones se aplica la siguiente rmula:

La expresin;Pm;representa las permutaciones de ;m; elementos, tomando todos los elementos. Lossubgrupos se dierenciaran nicamente por el orden de los elementos.

2'


30/91

%jemplo: #$- son las permutaciones de $- elementos:

s decir, tendr!amos +.>%&.&-- ormas dierentes de agrupar $- elementos.

LECCION 2+Co%binaciones/ 0ariaciones -er%utaciones III

6amos a analizar a*ora que ocurrir!a con el c"lculo de las combinaciones, de las variaciones o de laspermutaciones en el supuestode que al ormar los subgrupos los elementos pudieran repetirse.

Por ejemplo: tenemos bolas de > colores dierentes y queremos ormar subgrupos en los que pudiera darse elcaso de que %, +, o todas las bolas del subgrupo tuvieran el mismo color. n este caso no podr!amos utilizarlas rmulas que vimos en la leccin anterior.

a) Combinaciones con repeticin:

#ara calcular el nmero de combinaciones con repeticin se aplica la siguiente rmula:

%jemplo: 2S$-, son las combinaciones de $- elementos con repeticin, agrup"ndolos en subgrupos de , en losque %, + o los elementos podr!an estar repetidos:

s decir, podr!amos ormar 1$ subgrupos dierentes de elementos.

b) Variaciones con repeticin:

#ara calcular el nmero de variaciones con repeticin se aplica la siguiente rmula:

%jemplo: 6S$-, son las variaciones de $- elementos con repeticin, agrup"ndolos en subgrupos de elementos:

s decir, podr!amos ormar $-.--- subgrupos dierentes de elementos.

c) Permutaciones con repeticin:

$)


31/91

#ara calcular el nmero de permutaciones con repeticin se aplica la siguiente rmula:

8on permutaciones de ;m; elementos, en los que uno de ellos se repite ; x$; veces, otro ; x%; veces y as! ...

*asta uno que se repite ; x; veces.

%jemplo: 2alcular las permutaciones de $- elementos, en los que uno de ellos se repite en % ocasiones y otrose repite en + ocasiones:

s decir, tendr!amos +-%,-- ormas dierentes de agrupar estos $- elementos.

LECCION 21E4ercicios

1. %jercicio

2alcular la probabilidad de acertar los $ signos de la quiniela:

5olucin:

8e aplica la e"la de aplace(casos avorables / casos posibles). l caso favorablees tan slo uno (acertarlos $ signos). Los casos posibles se calculan como variaciones con repeticin de + elementos ($, T y %),tomados de $ en $ (los signos que *ay que rellenar).

8on variaciones y no combinaciones ya que el orden inluye: no es lo mismo ($,$,T) que ($, T, $). J son conrepeticin, ya que cualquiera de los signos ($, T y %) se puede repetir *asta $ veces.

#or lo tanto, loscasos posiblesson:

J la probabilidad de acertar los $ resultados es:


32/91

3plicamos nuevamente la e"la de aplace. n este caso los casos favorablesse calculan comocombinaciones de $ elementos tomados de % en %, de esta manera obtenemos todas las posibles alternativasde allar % resultados de $ (lo que equivale a acertar $% resultados). Dtilizamos combinaciones y no variacionesya que el orden no importa (da lo mismo allar el +@ y el >@, que el >@ y el +@)

Loscasos posiblessiguen siendo los mismos:

#or lo que la probabilidad de acertar $% resultados es:

#or lo tanto, tenemos m"s probabilidades de acertar $% resultados que $ (Mser" por eso por lo que pagan

menosN).

$. %jercicio

2alcular la probabilidad de, en una carrera de $% caballos, acertar los + que quedan primeros (sin importar cualde ellos queda primero, cual segundo y cual tercero).

5olucin:

8e aplica la e"la de aplace. l caso favorablees tan slo uno: los + caballos que entran en primer lugar.Los casos posiblesse calculan como combinaciones de $% elementos tomados de + en + (es decir,determinamos todos las posibles alternativas de + caballos que pueden entrar en las + primeras posiciones).2omo el orden de estos + primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en lugar de variaciones.

#or lo tanto, los casos posibles son:

#or lo que la probabilidad de acertar los + caballos ganadores es:

3lgo mayor que en las quinielas.... so s!, se paga menos.

&. %jercicio

J si *ubiera que acertar, no slo los + caballos que ganan, sino el orden de su entrada en meta.

5olucin:

l caso favorablesigue siendo uno: los + caballos que entran en primer lugar, colocados en su ordencorrespondiente.

$2


33/91

Los casos posiblesse calculan a*ora como variaciones (ya que el orden inluye) de $% elementos tomados de+ en + (calculamos todas las posibles maneras en que los $% caballos podr!an ocupar las + primeras posiciones.

#or lo que la probabilidad de acertar los + caballos ganadores es:

7enor que en el ejemplo +@. Ja no vale acertar que + caballos entran en primer lugar, sino que tenemos queacertar el orden de su entrada.

LECCION 22-robabilidad condicionada

Las probabilidades condicionadasse calculan una vez que se *a incorporado inormacin adicional a lasituacin de partida:

%jemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un % es $/> (probabilidad a priori). 8iincorporamos nueva inormacin (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado *a sido un nmero par)entonces la probabilidad de que el resultado sea el % ya no es $/>.

Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente frmula:

Aonde:

P 7H()es la probabilidad de que se de el suceso O condicionada a que se *aya dado el suceso 3.

P 7H ()es la probabilidad del suceso simult"neo de 3 y de O

P 7()es la probabilidad a priori del suceso 3

n el ejemploque *emos visto:

P 7H()es la probabilidad de que salga el nmero % (suceso O) condicionada a que *aya salido un nmero par(suceso 3).

P 7H ()es la probabilidad de que salga el dos y nmero par.

P 7()es la probabilidad a priori de que salga un nmero par.

#or lo tanto:

# (O 3) K $/>

$$


34/91

# (3) K $/%

# (O/3) K ($/>) / ($/%) K $/+

Luego, la probabilidad de que salga el nmero %, si ya sabemos que *a salido un nmero par, es de $/+ (mayorque su probabilidad a priori de $/>).

#' ejemplo:

n un estudio sanitario se *a llegado a la conclusin de que la probabilidad de que una persona suraproblemas coronarios (suceso O) es el -,$- (probabilidad a priori).

3dem"s, la probabilidad de que una persona sura problemas de obesidad (suceso 3) es el -,% y laprobabilidad de que una persona sura a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso interseccin de 3 yO) es del -,-.

2alcular la probabilidad de que una persona sura problemas coronarios si est" obesa (probabilidadcondicionada #(O/3)).

# (O 3) K -,-

# (3) K -,%

# (O/3) K -,- / -,% K -,%-

#or lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. .

LECCION 23-robabilidad co%puesta

La probabilidad compuesta (o regla de multiplicacin de probabilidades) se deriva de la probabilidadcondicionada:

La probabilidad de que se den simult"neamente dos sucesos (suceso interseccin de 3 y O) es igual a laprobabilidad a priori del suceso 3 multiplicada por la probabilidad del suceso O condicionada al cumplimiento delsuceso 3.

La frmula para calcular esta probabilidad compuesta es:

%jemplo 1' : studiamos el suceso 3 (porcentaje de varones mayores de - a4os casados) y el suceso O(varones mayores de - a4os con m"s de % *ijos) y obtenemos la siguiente inormacin:

Dn +9 de los varones mayores de - a4os est"n casados.

$*


35/91

Ae los varones mayores de - a4os y casados, un +-9 tienen m"s de % *ijos (suceso O condicionado al suceso3).

Calcular la probabilidad de >ue un varn ma@or de &- aos est! casado @ ten"a m


36/91

sucesos 3 (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando *ace buen tiempo) por la probabilidad decada suceso (.

#ara que este teorema se pueda aplicar *ace alta cumplir un re>uisito:

os sucesos ( tienen >ue formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (lasuma de sus probabilidades debe ser el $--9).

%jemplo:al tirar una moneda, el suceso ;salir cara; y el suceso ;salir cruz; orman un sistema completo, no *aym"s alternativas: la suma de sus probabilidades es el $--9

%jemplo:al tirar un dado, que salga el $, el %, el +, o el no orman un sistema completo, ya que no contemplatodas las opciones (podr!a salir el o el >). n este caso no se podr!a aplicar el teorema de la probabilidad total.

%jercicio 1':n un saquito *ay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:

a) (marilla: probabilidad del -9.

b) Verde: probabilidad del +-9

c) oja: probabilidad del %-9.

8egn el color de la papeleta elegida, podr"s participar en dierentes sorteos. 3s!, si la papeleta elegida es:

a) (marilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del -9.

b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del >-9

c) oja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del &-9.

2on esta inormacin, A>u! probabilidad tienes de "anar el sorteo en el >ue participesB:

$.' Las tres papeletas orman un sistema completo: sus probabilidades suman $--9

%.' 3plicamos la rmula:

Luego,

# (O) K (-,- R -,-) P (-,+- R -,>-) P (-,%- R -,&-) K -,

#or tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 9.

%jercicio #':6an a cambiar a tu jee y se barajan diversos candidatos:

a) Carlos, con una probabilidad del >-9

$&


37/91

b) Juan, con una probabilidad del +-9

c) uis, con una probabilidad del $-9

n uncin de quien sea tu prximo jee, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:

a) 5i sale Carlos:la probabilidad de que te suban el sueldo es del 9.

b) 5i sale Juan:la probabilidad de que te suban el sueldo es del %-9.

c) 5i sale uis:la probabilidad de que te suban el sueldo es del >-9.

n deinitiva, Acual es la probabilidad de >ue te suban el sueldoB:

$.' Los tres candidatos orman un sistema completo

%.' 3plicamos la rmula:

# (O) K (-,>- R -,-) P (-,+- R -,%-) P (-,$- R -,>-) K -,$

#or tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del $9.

LECCION 2"5eore%a de 6aes

l Feorema de Ha@es viene a seguir el proceso inversoal que *emos visto en el Feorema de laprobabilidad total:

Feorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso 3 (probabilidad de que llueva o de

que *aga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso O (que ocurra un accidente).

Feorema de Ha@es: a partir de que *a ocurrido el suceso O (*a ocurrido un accidente) deducimos lasprobabilidades del suceso 3 (Mestaba lloviendo o *ac!a buen tiempoN).

La frmula del Georema de Oayes es:

Gratar de explicar estar rmula con palabras es un galimat!as, as! que vamos a intentar explicarla con un

ejemplo. Ae todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema tambin exige que elsuceso ( forme un sistema completo.

%jercicio 1':l parte meteorolgico *a anunciado tres posibilidades para el in de semana:

a) Kue llueva: probabilidad del -9.

$(


38/91

b) Kue nieve: probabilidad del +-9

c) Kue 2a@a niebla: probabilidad del %-9.

8egn estos posibles estados meteorolgicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) 5i llueve: probabilidad de accidente del $-9.

b) 5i nieva: probabilidad de accidente del %-9

c) 5i 2a@ niebla: probabilidad de accidente del 9.

Fesulta que eectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo *izo(nev, llov!o o *ubo niebla). l teorema de Oayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que *a ocurrido un accidente se denominan;probabilidades a priori;(lluvia con el >-9, nieve con el +-9 y niebla con el $-9).

Dna vez que incorporamos la inormacin de que *a ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso 3

cambian: son probabilidades condicionadas # (3/O), que se denominan ;probabilidades a posteriori;.

6amos a aplicar la rmula:

a) Probabilidad de >ue estuviera lloviendo:

La probabilidad de que eectivamente estuviera lloviendo el d!a del accidente (probabilidad a posteriori) es del1$,9.

b) Probabilidad de >ue estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del %$,9.

c) Probabilidad de >ue 2ubiera niebla:

La probabilidad de que *ubiera niebla es del 1,$9.

$%


39/91

LECCION 2#Independencia de sucesos

Aos sucesos son independientesentre s!, si la ocurrencia de uno de ellos no aecta para nada a la ocurrenciadel otro:

%jemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que unalumno sea m"s o menos alto no va a inluir en el color de su cabello, ni viceversa.

#ara que dos sucesos sean independientes tienen que veriicar al menos una de las siguientes condiciones:

P 7H() , P 7H)es decir, que la probabilidad de que se de el suceso O, condicionada a que previamente se*aya dado el suceso 3, es exactamente igual a la probabilidad de O.

%jemplo:la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso O), condicionada a que *aga buentiempo (suceso 3), es igual a la propia probabilidad del suceso O.

P 7(H) , P 7()es decir, que la probabilidad de que se de el suceso 3, condicionada a que previamente se*aya dado el suceso O, es exactamente igual a la probabilidad de 3.

%jemplo:la probabilidad de que *aga buen tiempo (suceso 3), condicionada a que al tirar una moneda salgacara (suceso O), es igual a la propia probabilidad del suceso 3.

P 7( H) , P 7() L P 7H) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto 3 y O es exactamenteigual a la probabilidad del suceso 3 multiplicada por la probabilidsad del suceso O.

%jemplo:la probabilidad de que *aga buen tiempo (suceso 3) y salga cara al tirar una moneda (suceso O), esigual a la probabilidad del suceso 3 multiplicada por la probabilidad del suceso O

8i el suceso ( es independiente del suceso H, entonces el suceso H tambin es independiente del suceso(.

%jemplo 1': analicemos dos sucesos:

5uceso (: la probabilidad de que *aga buen tiempo es del -,

5uceso H: la probabilidad de tener un accidente es del -,$

5uceso interseccin: la probabilidad de que *aga buen tiempo y tener un accidente es del -,-&

6eamos si se cumple alguna de las condiciones se4aladas:

# (O/3) K # (3 O) / # (3) K -,-& / -, K -,% (que no es igual a # (O))

# (3/O) K # (3 O) / # (O) K -,-& / -,> K -,$++ (que no es igual a # (3))

# (3 O) K -,-& (que no es igual a # (3) multiplicado por # (O))

#or lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones se4aladas por lo que estos dos sucesos no sonindependientes, sino que existe algn grado de dependencia entre ellos.

$'


40/91

%jemplo #': analicemos dos sucesos:

5uceso (: la probabilidad de que *aga buen tiempo es del -,

5uceso H: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del -,

5uceso interseccin: la probabilidad de que *aga buen tiempo y que salga cara es -,%

6eamos si se cumple alguna de las condiciones se4aladas:

# (O/3) K # (3 O) / # (3) K -,% / -, K -, (igual que # (O))

# (3/O) K # (3 O) / # (O) K -,% / -,> K -, (igual que # (3))

# (3 O) K -,% (igual a # (3) multiplicado por # (O))

#or lo tanto, estos dos sucesos s son independientes.

LECCION 2$Distribuciones discretas& 6ernouilli

Distribuciones discretas @ continuas

Las distribuciones discretasson aquellas en las que la variable puede pude tomar un nmero determinado devalores:

%jemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz5 si se tira un dado puede salir un nmero de $al >5 en una ruleta el nmero puede tomar un valor del $ al +%.

Las distribuciones continuasson aquellas que presentan un nmero ininito de posibles soluciones:

%jemplo: l peso medio de los alumnos de una clase puede tomar ininitos valores dentro de cierto intervalo(%,+1 g, %,+1> g, %, +1>$g, etc)5 la esperanza media de vida de una poblacin (1%, a4os, 1,$+a4os, 1%, $%+ a4os).

6amos a comenzar por estudiar las principales distribuciones discretas.

Distribuciones discretas: Hernouilli

s aquel modelo que sigue un experimento que se realiza una sola vez y que puede tener dos soluciones:acierto o racaso:

2uando es aciertola variable toma el valor 1

2uando esfracasola variable toma el valor -

%jemplo: #robabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no sale)5 probabilidad de seradmitido en una universidad (o te admiten o no te admiten)5 probabilidad de acertar una quiniela (o aciertas o noaciertas)

3l *aber nicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios:

*)


41/91

3 la probabilidad de xito se le denomina ;p;

3 la probabilidad de racaso se le denomina ;>;

6eriic"ndose que:

p > , 1

6eamos los ejemplos anteriores :

%jemplo 1: #robabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire:

#robabilidad de que salga cara: p K -,

#robabilidad de que no salga cara: q K -,

p P q K -, P -, K $

%jemplo #: #robabilidad de ser admitido en la universidad:

#robabilidad de ser admitido: p K -,%

#robabilidad de no ser admitido: q K -,1

p P q K -,% P -,1 K $

%jemplo $: #robabilidad de acertar una quiniela:

#robabilidad de acertar: p K -,----$

#robabilidad de no acertar: q K -,00000

p P q K -,----$ P -,00000 K $

LECCION 2(Distribuciones discretas& 6ino%ial

Las distribucin binomial parte de la distribucin de Oernouilli:

La distribucin de Hernouiilise aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene nicamentedos posibles resultados (xito o racaso), por lo que la variable slo puede tomar dos valores: el $ y el -

La distribucin binomialse aplica cuando se realizan un nmero;n; de veces el experimento de Oernouiili,siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:

-: si todos los experimentos *an sido racaso

*1


42/91

n: si todos los experimentos *an sido xitos

%jemplo:se tira una moneda $- veces: Mcuantas caras salenN 8i no *a salido ninguna la variable toma el valor-5 si *an salido dos caras la variable toma el valor %5 si todas *an sido cara la variable toma el valor $-

La distribucin de probabilidadde este tipo de distribucin sigue el siguiente modelo:

M3lguien entiende esta rmulaN 6amos a tratar de explicarla con un ejemplo:

%jemplo 1: M2u"l es la probabilidad de obtener > caras al lanzar una moneda $- vecesN

; N ;es el nmero de aciertos. n este ejemplo ; ; igual a > (en cada acierto dec!amos que la variable toma elvalor $: como son > aciertos, entonces K >)

; n;es el nmero de ensayos. n nuestro ejemplo son $-

; p ;es la probabilidad de xito, es decir, que salga ;cara; al lanzar la moneda. #or lo tanto p K -,

La rmula quedar!a:

Luego,

P 7= , O) , -/#-E

s decir, se tiene una probabilidad del %-,9 de obtener > caras al lanzar $- veces una moneda.

%jemplo #: M2u"l es la probabilidad de obtener cuatro veces el nmero + al lanzar un dado oc*o vecesN

; N ;(nmero de aciertos) toma el valor

; n;toma el valor &

; p ;(probabilidad de que salga un + al tirar el dado) es $ / > (K -,$>>>)

La rmula queda:

Luego,

P 7= , &) , -/-#O

s decir, se tiene una probabilidad del %,>9 de obtener cuatro veces el nmeros + al tirar un dado & veces.

*2


43/91

LECCION 2*Distribuciones discretas& -oisson

Las distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial:

2uando en una distribucin binomial se realiza el experimento un nmero ;n; muy elevado de veces y laprobabilidad de xito ;p; en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribucin dePoisson:

8e tiene que cumplir que:

; p ; I -,$-

; p L n ;I $-

La distribucin de Poisson sigue el siguiente modelo:

6amos a explicarla:

l nmero ;e;es %,1$&%&

; ;K n R p (es decir, el nmero de veces ; n ; que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad ; p; de xito en cada ensayo)

; N ; es el nmero de xito cuya probabilidad se est" calculando

6eamos un ejemplo:

La probabilidad de tener un accidente de tr"ico es de -,-% cada vez que se viaja, si se realizan +-- viajes,Mcual es la probabilidad de tener + accidentesN

2omo la probabilidad ; p ; es menor que -,$, y el producto ; n R p ; es menor que $-, entonces aplicamos elmodelo de distribucin de #oisson.

Luego,

# (x K +) K -,-&0%

#or lo tanto, la probabilidad de tener + accidentes de tr"ico en +-- viajes es del &,09

Htro ejemplo:

*$


44/91

La probabilidad de que un ni4o nazca pelirrojo es de -,-$%. M2u"l es la probabilidad de que entre &-- reciennacidos *aya pelirrojosN

Luego,

# (x K ) K ,>-%

#or lo tanto, la probabilidad de que *aya pelirrojos entre &-- recien nacidos es del ,>9.

LECCION 3+Distribuciones discretas& 7ipergeo%8trica

Las distribucin 2iper"eom!trica es el modelo que se aplica en experimentos del siguiente tipo:

n una urna *ay bolas de dos colores (blancas y negras), Mcu"l es la probabilidad de que al sacar % bolas lasdos sean blancasN

8on experimentos donde, al igual que en la distribucin binomial, en cada ensayo *ay tan slo dos posiblesresultados: o sale blanca o no sale. #ero se dierencia de la distribucin binomial en que los distintosensa@os son dependientesentre s!:

8i en una urna con bolas blancas y + negras en un primer ensayo saco una bola blanca, en el segundoensayo *ay una bola blanca menos por lo que las probabilidades son dierentes (*ay dependencia entre losdistintos ensayos).

La distribucin 2iper"eom!tricasigue el siguiente modelo:

Aonde:

6amos a tratar de explicarlo:

**


45/91

: es el nmero total de bolas en la urna

1: es el nmero total de bolas blancas

#: es el nmero total de bolas negras

N: es el nmero de bolas blancas cuya probabilidad se est" calculando

n: es el nmero de ensayos que se realiza

6eamos un ejemplo: en una urna *ay 1 bolas blancas y negras. 8e sacan bolas M2u"l es la probabilidad deque + sean blancasN

ntonces:

< K $%5


46/91

La distribucin multinomial es similar a la distribucin binomial, con la dierencia de que en lugar de dosposibles resultados en cada ensayo, puede *aber mltiples resultados:

%jemplo de distribucin binomial: a unas elecciones se presentaron % partidos pol!ticos: el #H#H obtuvo un1-9 de los votos y el UU el +-9 restante. M2u"l es la probabilidad de que al elegir ciudadanos al azar, deellos *allan votado al UUN

%jemplo de distribucin multinomial: a esas elecciones se presentaron partidos pol!ticos: el #H#H obtuvoun -9 de los votos, el UU el +-9, el 7D7D el %-9 y el L3L3 el $-9 restante. M2u"l es la probabilidad deque al elegir ciudadanos al azar, + *ayan votado al #H#H, $ al 7D7D y $ al L3L3N

La distribucin multinomialsigue el siguiente modelo:

Aonde:

81, =1: indica que el suceso T$aparezca x$veces (en el ejemplo, que el partido #H#H lo *ayan votado +personas)

n: indica el nmero de veces que se *a repetido el suceso (en el ejemplo, veces)

nG: es actorial de n (en el ejemplo: R R + R % R $)

p1: es la probabilidad del suceso T$(en el ejemplo, el -9)

6eamos el ejemplo:

Luego:

P , -/-#EO

s decir, que la probabilidad de que las personas elegidas *ayan votado de esta manera es tan slo del%,>9


47/91

Luego

P , -/-$&

#or lo tanto, la probabilidad de que el grupo est ormado por personas de estos pa!ses es tan slo del +,&9.

LECCION 32

Distribuciones discretas& !ulti9ipergeo%8trica

La distribucin multi2iper"eom!trica es similar a la distribucin *ipergeomtrica, con la dierencia de que enla urna, en lugar de *aber nicamente bolas de dos colores, *ay bolas de dierentes colores.

%jemplo: en una urna *ay 1 bolas blancas, + verdes y amarillas: Mcu"l es la probabilidad de que al extraer +bolas sea cada una de un color distintoN

La distribucin multi2iper"eom!tricasigue el siguiente modelo:

Aonde:

81, =1: indica que el suceso T$aparezca x$veces (en el ejemplo, que una de las bolas sea blanca)

1: indica el nmero de bolas blancas que *ay en la urna (en el ejemplo, 1 bolas)

: es el nmero total de bolas en la urna (en el ejemplo, $ bolas)

n: es el nmero total de bolas que se extraen (en el ejemplo, + bolas)

6eamos el ejemplo:

Luego:

P , -/#$-Q

s decir, que la probabilidad de sacar una bola de cada color es del %+,-19.

6eamos otro ejemplo:

*(


48/91

n una caja de l"pices *ay $- de color amarillo, + de color azul y de color rojo. 8e extraen 1 l"pices, Mcual esla probabilidad de que sean amarillos y % rojosN

3plicamos el modelo:

Luego

P , -/-QQQ

#or lo tanto, la probabilidad de que los l"pices sean de los colores indicados es del 1,119.

LECCION 33Distribuciones continuas& :nifor%e

La distribucin uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con lamisma probabilidad.

s una distribucin continua porque puede tomar cualquier valor y no nicamente un nmero determinado(como ocurre en las distribuciones discretas).

%jemplo: el precio medio del litro de gasolina durante el prximo a4o se estima que puede oscilar entre $- y$>- ptas. #odr!a ser, por tanto, de $+ ptas., o de $+, ptas., o de $+, ptas., o de $+, ptas, etc. ?ay

ininitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

8u funcin de densidad/aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo,viene deinida por:

Aonde:

b: es el extremo superior (en el ejemplo, $>- ptas.)

a: es el extremo inerior (en el ejemplo, $- ptas.)

#or lo tanto, la uncin de distribucin del ejemploser!a:

s decir, que el valor inal est entre $- ptas. y $$ ptas. tiene un 9 de probabilidad, que est entre $$ y$%, otro 9, etc.

*%


49/91

l valor medio de esta distribucin se calcula:

n el ejemplo:

#or lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el prximo a4o es de $- ptas.

6eamos otro ejemplo:

l volumen de precipitaciones estimado para el prximo a4o en la ciudad de 8evilla va a oscilar entre -- y --litros por metro cuadrado. 2alcular la uncin de distribucin y la precipitacin media esperada:

s decir, que el volumen de precipitaciones est entre -- y -$ litros tiene un $9 de probabilidades5 que estentre -$ y -% litros, otro $9, etc.

l valor medio esperado es:

s decir, la precipitacin media estimada en 8evilla para el prximo a4o es de - litros.

LECCION 3Distribuciones continuas& Nor%al I

s el modelo de distribucin m


50/91

sta distribucin viene deinida por dos par


51/91

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

/% )"'1'2 )"'2)( )"'222 )"'2$& )"'2#1 )"'2 )"'2(' )"'2'2 )"'$)& )"'$1'/. )"'$$2 )"'$*# )"'$#( )"'$() )"'$%2 )"'$'* )"'*)& )"'*1% )"'*2' )"'**1/0 )"'*#2 )"'*&$ )"'*(* )"'*%* )"'*'# )"'#)# )"'#1# )"'#2# )"'#$# )"'#*#/1 )"'##* )"'#&* )"'#($ )"'#%2 )"'#'1 )"'#'' )"'&)% )"'&1& )"'&2# )"'&$$/2 )"'&*1 )"'&*' )"'& )"'&&* )"'&(1 )"'&(% )"'&%& )"'&'$ )"'&'' )"'()&/3 )"'(1$ )"'(1' )"'(2& )"'($2 )"'($% )"'(** )"'(#) )"'(#& )"'(&1 )"'(&($/4 )"'((2# )"'(((% )"'(%$1 )"'(%%2 )"'('$2 )"'('%2 )"'%)$) )"'%)(( )"'%12* )"'%1&'$/ )"'%21* )"'%2#( )"'%$)) )"'%$*1 )"'%$%2 )"'%*22 )"'%*&1 )"'%#)) )"'%#$( )"'%#(*$/$ )"'%&1) )"'%&*# )"'%&(' )"'%(1$ )"'%(*# )"'%((% )"'%%)' )"'%%*) )"'%%() )"'%%''$/# )"'%'2% )"'%'#& )"'%'%$ )"'')1) )"'')$& )"'')&1 )"'')%& )"''111 )"''1$* )"''1#%$/% )"''1%) )"''2)2 )"''22* )"''2*# )"''2&& )"''2%& )"''$)# )"''$2* )"''$*$ )"''$&1$/. )"''$(' )"''$'& )"''*1$ )"''*$) )"''**& )"''*&1 )"''*(( )"''*'2 )"''#)& )"''#2)$/0 )"''#$* )"''#*( )"''#&) )"''#($ )"''#%# )"''#'% )"''&)' )"''&21 )"''&$2 )"''&*$$/1 )"''$ )"''&&* )"''&(* )"''&%$ )"''&'$ )"''()2 )"''(11 )"''(2) )"''(2% )"''($&$/2 )"''(** )"''(#2 )"''(&) )"''(&( )"''((* )"''(%1 )"''(%% )"''('# )"''%)1 )"''%)($/3 )"''%1$ )"''%1' )"''%2# )"''%$1 )"''%$& )"''%*1 )"''%*& )"''%#1 )"''%#& )"''%&1

ACmo se lee esta tablaB

La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La primera ila nosindica el segundo decimal del valor que estamos consultando.

%jemplo:queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor %,1.ntonces buscamos en la columna dela izquierda el valor %,1 y en la primera ila el valor -,-. La casilla en la que se interseccionan es suprobabilidad acumulada (-,001-%, es decir 00.19).

(tencin:la tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde el inicio de la curva por laizquierda *asta dic*o valor.


52/91

%jemplo: el salario medio de los empleados de una empresa se distribuye segn una distribucin normal, conmedia millones de ptas. y desviacin t!pica $ milln de ptas. 2alcular el porcentaje de empleados con unsueldo inerior a 1 millones de ptas.

Lo primero que *aremos es transormar esa distribucin en una normal tipiicada, para ello se crea una nuevavariable (J) que ser" igual a la anterior (T) menos su media y dividida por la desviacin t!pica

n el ejemplo, la nueva variable ser!a:

sta nueva variable se distribuye como una normal tipiicada. La variable J que corresponde a una variable Tde valor 1 es:

Ja podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor % (equivalente a la probabilidad desueldos ineriores a 1 millones de ptas.). sta probabilidad es -,011%

#or lo tanto, el porcentaje de empleados con salarios ineriores a 1 millones de ptas. es del 01,1%9.

F8D7?:@!Ao campana de Gauss-Laplace

6sta distribucin es frecuentemente utiliBada en las aplicaciones estadCsticas. Su propio nombre indicasu extendida utiliBacin" justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenmenostienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucin.

@ucDas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad cu4a 5rEfica tiene forma decampana.

6n otras ocasiones" al considerar distribuciones binomiales" tipo ;n"p" para un mismo valor de p 4valores de n cada veB ma4ores" se ve que sus polC5onos de frecuencias se aproximan a una curva enFforma de campanaF.

6n resumen" la importancia de la distribucin normal se debe principalmente a que Da4 mucDasvariables asociadas a fenmenos naturales que si5uen el modelo de la normal

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Caracteres morfolgicosde individuos personas" animales" plantas"... de una especie" p.ejm.tallas" pesos" enver5aduras" diEmetros" perCmetros"...

Caracteres fisiolgicos" por ejemplo7 efecto de una misma dosis de un fErmaco" o de una mismacantidad de abono.

Caracteres sociolgicos" por ejemplo7 consumo de cierto producto por un mismo 5rupo deindividuos" puntuaciones de examen.

Caracteres psicolgicos" por ejemplo7 cociente intelectual" 5rado de adaptacin a un medio"... Errorescometidos al medir ciertas ma5nitudes. Valores estadsticosmuestrales" por ejemplo 7 la media. Otras distribucionescomo la binomial o la de Goisson son aproximaciones normales" ...

H en 5eneral cualquier caracterCstica que se obten5a como suma de mucDos factores.

F8;CE >E;SA>

6mpleando cElculos bastante laboriosos" puede demostrarse que el modelo de la funci9n de densidadque corresponde a tales distribuciones viene dado por la frmula

:epresentacin 5rEfica de esta funcin de densidad

Aa distribucin normal queda definida por dos par?metros" su media 4 su desviacin tCpica 4 larepresentamos asC

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F8;CE >


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4 su funcin de distribucin es

siendo la representacin 5rEfica de esta funcin

a la variable K se la denomina variable tipificada de X" 4 a la curva de su funcin de densidad curvanormal tipificada.

Caracterstica de la distribuci9n normal tipificada (reducida/ est?ndar)

>o depende de nin5n parEmetro Su media es )" su varianBa es 1 4 su desviacin tCpica es 1.

Aa curva f(x es simItrica respecto del eje ?H

9iene un mEximo en este eje

9iene dos puntos de inflexin en B =1 4 B = -1

Apro!imaci9n de la Binomial por la ;ormal (@eorema deDe Moivre):

8emostr que bajo determinadas condiciones para n5rande 4 tantopcomo !no estIn prximos acero la distribucin ;inomial ;n" p se puede aproximar mediante una distribucin normal

##


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8ebemos tener en cuenta que cuanto ma4or sea el valor de n" 4 cuanto mEs prximo sea p a ).#" tantomejor serE la aproximacin realiBada. 6s decir" basta con que se verifique

5racias a esta aproximacin es fEcil Dallar probabilidades binomiales" que para valores 5randes de nresulten mu4 laboriosos de calcular.

,a4 que tener en cuenta que para realiBar correctamente esta transformacin de una variable discretabinomial en una variable continua normal es necesario Dacer una correccin de continuidad.

#&


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@!>6L? 86 9!;A!S. !S?S @MS J:696S.

Aa distribucin de la variable K se encuentra tabulada

#(
http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/p1_normal000.htmhttp://personal5.iddeo.es/ztt/pra/p1_normal000.htm


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LECCION 3#Distribuciones continuas& Nor%al III& E4ercicios

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%jercicio 1':La renta media de los *abitantes de un pa!s es de millones de ptas/a4o, con una varianza de$,. 8e supone que se distribuye segn una distribucin normal. 2alcular:

a #orcentaje de la poblacin con una renta inerior a + millones de ptas.

b) Fenta a partir de la cual se sita el $-9 de la poblacin con mayores ingresos.

c) Bngresos m!nimo y m"ximo que engloba al >-9 de la poblacin con renta media.

a) Porcentaje de la poblacin con una renta inferior a $ millones de ptas.

Lo primero que tenemos que *acer es calcular la normal tipiicada:

(R) Fecordemos que el denominador es la desviacin t!pica ( ra!z cuadrada de la varianza)

l valor de J equivalente a + millones de ptas es '-,&$>.

# (T I +) K # (J I '-,&$>)

3*ora tenemos que ver cu"l es la probabilidad acumulada *asta ese valor. Genemos un problema: la tabla deprobabilidades (ver leccin +) slo abarca valores positivos, no obstante, este problema tiene "cil solucin, yaque la distribucin normal es simtrica respecto al valor medio.

#or lo tanto:

# (J I '-,&$>) K # (J V -,&$>)

#or otra parte, la probabilidad que *ay a partir de un valor es igual a $ ($--9) menos la probabilidad acumulada

*asta dic*o valor:

# (J V -,&$>) K $ ' # (J I -,&$>) K $ ' -,10% (aprox.) K -,%-1

Luego, el %-,19 de la poblacin tiene una renta inerior a + millones ptas.

b) ivel de in"resos a partir del cual se sit6a el 1-S de la poblacin con renta m


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6emos en la tabla el valor de la variable normalizada J cuya probabilidad acumulada es el -,& (&-9). 2omosabemos que *asta la media la probabilidad acumulada es del -9, quiere decir que entre la media y este valorde J *ay un +-9 de probabilidad.

#or otra parte, al ser la distribucin normal simtrica, entre 'J y la media *ay otro +-9 de probabilidad. ndeinitiva, el segmento ('J, J) engloba al >-9 de poblacin con renta media.

l valor de J que acumula el &-9 de la probabilidad es -,&% (aprox.), por lo que el segmento viene deinidopor ('-,&%, P-,&%). 3*ora calculamos los valores de la variable T correspondientes a estos valores de J.

Los valores de T son %,01 y ,-+. #or lo tanto, las personas con ingresos superiores a %,01 millones de ptas. eineriores a ,-+ millones de ptas. constituyen el >-9 de la poblacin con un nivel medio de renta.

%jercicio #':La vida media de los *abitantes de un pa!s es de >& a4os, con una varianza de %. 8e *ace unestudio en una peque4a ciudad de $-.--- *abitantes:

a M2u"ntas personas superar"n previsiblemente los 1 a4osN

b) M2u"ntos vivir"n menos de >- a4osN

a) Personas >ue vivir-) K (J I '$,>) K # (J V $,>) K $ ' # (J I $,>) K -,-&

Luego, el ,&9 de la poblacin (& *abitantes) no llegar"n probablemente a esta edad

LECCION 3$Distribuciones continuas& Nor%al I0& E4ercicios

&)


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%jercicio 1':l consumo medio anual de cerveza de los *abitantes de una pa!s es de 0 litros, con unavarianza de +>. 8e supone que se distribuye segn una distribucin normal.

a 8i usted presume de buen bebedor, Mcu"ntos litros de cerveza tendr!a que beber al a4o para pertenecer al9 de la poblacin que m"s bebeN.

b) 8i usted bebe litros de cerveza al a4o y su mujer le caliica de borrac*o Mqu podr!a argumentar en su

deensaN

a) ES de la poblacin >ue m (aprox.). 3*ora calculamos la variable normal T equivalente a ese valor de lanormal tipiicada:

Aespejando T, su valor es >1,&1. #or lo tanto, tendr!a usted que beber m"s de >1,&1 litros al a4o parapertenecer a ese ;selecto; club de grandes bebedores de cerveza.

b) sted bebe &E litros de cerce*a al ao. A%s usted un borrac2oB

6amos a ver en que nivel de la poblacin se situar!a usted en uncin de los litros de cerveza consumidos.

2alculamos el valor de la normal tipiicada correspondiente a litros:

#or lo tanto

# (T I ) K (J I '%,%) K # (J V %,%) K $ ' # (J I %,%) K -,-$+0

Luego, tan slo un $,+09 de la poblacin bebe menos que usted. #arece un argumento de suiciente peso paraque dejen de catalogarle de ;enamorado de la bebida;

%jercicio #':3 un examen de oposicin se *an presentado %.--- aspirantes. La nota media *a sido un ,, conuna varianza de $,.

a Gan slo *ay $-- plazas. Dsted *a obtenido un 1,1. M8er!a oportuno ir organizando una iesta para celebrarsu xitoN

b) 6a a *aber una %= oportunidad para el %-9 de notas m"s altas que no se *ayan clasiicados. M3 partir deque nota se podr" participar en esta ;repesca;N

a) ?a obtenido usted un Q/Q

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6amos a ver con ese 1,1 en que nivel porcentual se *a situado usted, para ello vamos a comenzar por calcularel valor de la normal tipiicada equivalente.

3 este valor de J le corresponde una probabilidad acumulada (ver tablas) de -,0&%$ (0&,%$9), lo que quiere

decir que por encima de usted tan slo se encuentra un $,1&>9.

8i se *an presentado %.--- aspirante, ese $,1&>9 equivale a unos +

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