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Mdulo: Desarrollo Objetivos de Aprendizaje

POLIEDROS

El concepto intuitivo de curva se puede extender del plano al espacio imaginando figuras

dibujadas por un lpiz "mgico" cuyos puntos dejan un trazo visible en el aire.

Cualquier superficie sin agujeros y que encierra una regin hueca -su interior- se dice que

es una superficie cerrada simple.

La unin de todos los puntos de una superficie cerrada simple y todos los puntos de su

interior forman una figura espacial llamada un slido.

Una superficie cerrada simple es convexa si el segmento que une cualquier par de puntos

de la superficie est contenido en el interior de dicha superficie; esto es, el slido limitado

por la superficie es un conjunto convexo en el espacio. Por ejemplo, la esfera, que es el

conjunto de puntos situados a una distancia constante de un punto fijo (el centro), es

convexa.

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Curso: Geometra 1 a 3 Bsico

Titulo: Leccin 1: POLIEDROS

Unidad: N 3

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Aclarado el concepto de convexidad, consideraremos a un poliedro como un slido

delimitado por una superficie cerrada simple formada por regiones poligonales planas.

Cada regin poligonal se dice que es una cara del poliedro, y los vrtices y lados de las

regiones poligonales se dicen que son los vrtices y aristas del poliedro.

En el caso del prisma anterior (especficamente el recto), la superficie que lo cierra est

constituida por siete regiones poligonales planas: dos caras pentagonales y cinco en

forma de paralelogramo.

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Como en toda clasificacin, sta depender de los criterios que se usen. En el caso de

los poliedros, podemos tomar como criterios la regularidad y nmero de caras que

concurren en los vrtices. Otros criterios de clasificacin de los poliedros son:

Inclinacin (rectos y oblicuos)

Poliedros con bases (con una base, o varias bases)

Segn la construccin del modelo:

Con polgonos regulares (Poliedros regulares, semirregulares, deltaedros)

Con polgonos iguales (Poliedros de caras iguales: Poliedros regulares,

deltaedros, bipirmides de base regular)

Con vrtices iguales (Poliedros. regulares, semirregulares, prismas rectos

de base regular, ...)

Combinaciones de distintos criterios

Ejes y planos de simetra, diagonales, ngulos.

De todas las clases mencionadas anteriormente, solo haremos mencin a los siguientes

poliedros: poliedros regulares, prismas y pirmides.

Poliedros regulares:

Un poliedro regular es un poliedro con las siguientes caractersticas:

- la superficie es convexa;

- las caras son regiones poligonales regulares congruentes;

- concurren el mismo nmero de caras en cada uno de los vrtices.

La suma de los ngulos interiores de los polgonos que forman las caras de un poliedro

regular que concurren en un mismo vrtice debe ser menor de 360, de lo contrario no

podran cerrar un espacio interior. Los ngulos interiores del tringulo equiltero miden

60; por tanto, podemos formar poliedros regulares cuyas caras son tringulos cuando

ponemos 3, 4 o 5 de tales tringulos concurriendo en cada vrtice, ya que la suma de sus

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ngulos cumple la condicin indicada. Esos poliedros son el tetraedro regular, el octaedro

regular y el icosaedro regular.

Con caras que sean cuadrados slo se puede formar el hexaedro o cubo, en el que

concurren 3 cuadrados en cada vrtice. Si utilizamos pentgonos regulares como caras

de un poliedro se obtiene el dodecaedro.

Tetraedro Hexaedro o cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Prismas

Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas que son polgonos y reciben el

nombre de bases. Las caras restantes que son paralelogramos se llaman caras laterales.

En los prismas rectos, todas las caras laterales son rectangulares y su altura es igual a las

aristas laterales. En los prismas oblicuos, algunas de sus caras no son rectangulares.

Los paraleleppedos son prismas cuyas bases son paralelogramos.

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Pirmides

Las pirmides son poliedros que tienen una cara llamada base y que es una regin

poligonal. Si la base es un polgono regular, la pirmide tambin se llamar regular. Las

dems caras, llamadas laterales, son triangulares y concurren en un nico vrtice llamado

cspide.

La altura es la perpendicular que baja desde la cspide hasta la base.

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