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Introduccion a la modelacionmatematica

J. Hector Morales Barcenas

[email protected]

Departamento de Matematicas

Universidad Autonoma Metropolitana

Unidad Iztapalapa

J. Hector Morales Barcenas c� 2015

Aspectos estadısticos y matematicos de los problemas inversos 1/100

Christiane Nusslein-Volhard (1943), Premio Nobel de Medicina (1995).

¿Hay algo mas fascinante que la vida? Un simple huevo de gallina, que no

es mas que un pequeno saco de vitelo envuelto por una cascara protectora,

se convierte en cuestion de dıas en un pollo capaz de caminar, ver y comer.

Todo un milagro, si tenemos en cuenta que el unico aporte exterior ha sido una

temperatura adecuada, que incluso se puede conseguir con una incubadora.

Pero, milagros aparte, los seres vivos tambien estamos formados por moleculas,

y estas, por atomos de distintos elementos, en su mayorıa carbono, oxıgeno,

nitrogeno e hidrogeno. Sus estructuras determinan su manera de reaccionar

con otras moleculas y estan regidas por las leyes de la fısica y la quımica,

que a su vez nos recuerdan que lo unico que se crea espontaneamente es el

caos. Entonces, ¿como se mantiene el orden y, mas importante aun, como surge?

Prefacio de “Genesis y desarrollo de la vida”. Crıtica Barcelona, 2009.



Ejemplo introductorio de ecologıa

Modelo de predador-presa como proceso de nacimiento-muerte

• Un ejemplo muy conocido es el de la interaccion entre el lince (Lynx canadensis) y lasliebres (Lepus americanus).

Figura 1: Ejemplares de lince canadiense y liebre

• La “contabilidad” del numero de individuos de cada especie se obtuvo a partir de la recolectapor ano que realizo la Hudson Bay Company entre 1900 y 1920. Los datos son mostradosen la Tabla 1.




Figura 2: Region de la Bahıa de Hudson, Canada, en donde se tomaron las “muestras”.




Ano Linces Liebres Ano Linces Liebres1900 4.0 30.0 1911 8.0 40.31901 6.1 47.2 1912 12.3 57.01902 9.8 70.2 1913 19.5 76.61903 35.2 77.4 1914 45.7 52.31904 59.4 36.3 1915 51.1 19.51905 41.7 20.6 1916 29.7 11.21906 19.0 18.1 1917 15.8 7.61907 13.0 21.4 1918 9.7 14.61908 8.3 22.0 1919 10.1 16.21909 9.1 25.4 1920 8.6 24.71910 7.4 27.1

Cuadro 1: Numero de pieles recolectadas por la Hudson Bay Company (en miles).




1900 1905 1910 1915 19200

20

40

60

80

An~o

Pobl

acio

nes

(mile

s)

Numero de pieles colectadas por la Hudson Bay Company

LincesLiebres

Figura 3: Numero de pieles (miles) recolectadas por ano por la Hudson Bay Company.




• Una gran variedad de fenomenos se pueden modelar por una clase particular de procesosllamados de nacimiento-muerte.

• Dicho nombre proviene, obviamente, de los modelos de poblaciones humanas y animales enla que los individuos nacen y mueren.

• Un modelo muy conocido en ecologıa de poblaciones es un sistema de predador-presa, queconsiste de dos clases de animales: un que predar al otro y ese otro que representa unafuente inagotable de individuos.




• Escribamos con X a la presa, con Y al predador y con A al alimento de la presa. De formaabstracta consideremos el siguiente proceso

X + A ! 2X,

X + Y ! 2Y,

Y ! B.

Lo cual posee la siguiente ingenua pero encantadora interpretacion.

• La primer expresion simboliza a la presa comiendo una unidad de alimento y reproduciendoseinmediatamente.

• La segunda simboliza a un predador consumiendo una presa (la que irremediablementemuere – este es, en realidad, el unico mecanismo considerado de muerte de la presa) einmediamente se reproduce.

• La expresion final simboliza la muerte natural de un predador.




Ahora consideremos, en vez de individuos, una densidad o concentracion de losmismos.

• Nuestro caso seguira siendo un numero de individuos localizados en una posicion de-terminada del espacio: la region de la Bahıa de Hudson en Canada, lo que representaen si mismo una concentracion; sin embargo, cabe destacar que los modelos basados enecuaciones diferenciales ordinarias no toman en cuenta la variable espacial, los modelosque la incuyen son las ecuaciones diferenciales parciales.

• Escribimos x en vez de X y y en vez de Y denotando, respectivamente, las concentracionesde presas y predadores y construimos, paso a paso, un sistema de ecuaciones diferencialesde este proceso de nacimiento-muerte.

• Por cierto, la expresiones anteriores, bien pueden ser consideradas como el prototipo dereacciones quımicas en donde tenemos reactivos, Y , y sustratos, X. Estos ultimos sonconsumidos con cierta rapidez, llamada tasa de reaccion, dando lugar a productos.




• Las ecuaciones diferenciales son modelos matematicos que consisten de procesos contınuos,en este caso, en el tiempo. Las variables x y y dependeran, por lo tanto, de esta variableindependiente, ası como de parametros y de condiciones iniciales.

• Supongamos que la “primer reaccion” simboliza una tasa de produccion de presas, propor-cional al producto de x (su densidad) y la cantidad de alimento que consumen.

• Si las presas solo se reprodujeran comiendo sin la intervencion de predadores, es de esperarque

tasa de crecimiento

poblacion actual

=

�x/�t

x= k

1

a = constante,

donde k1

es la tasa de reaccion, o tasa de alimentacion de la presa y a es la cantidad dealimento a su disposicion.

• La hipotesis anterior nos conduce, en el lımite �x ! 0 y �t ! 0, a la ecuacion diferencialde reproduccion normal o de Malthus con k

1

a > 0.




• Si renombramos a k1

a por � > 0, obtenemos que

dx

dt= �x

y, por lo tanto, que x(t) = x0

exp(�t), donde x0

= x(t = 0) es la condicion inicial.

• Pero insistimos en la intervencion de los predadores en la vida de las presas; luego entonces,la segunda “reaccion” nos conduce a que la reproduccion de Y (que es igual a la tasa deconsumo de X) es proporcional al producto xy; es decir,

tasa de crecimiento presa

poblacion actual presa

=

�x/�t

x= k

1

a � k2

y,

donde k2

es la tasa a la cual se encuentran ambas especies. El signo menos del termino�k

2

y significa que la poblacion de presas disminuye por la intervencion o interaccion conlos predadores.




• El termino xy, que representa el producto de las concentraciones de presas y predadores esmuy importante y, de hecho, en el contexto de las reacciones quımicas, se conoce como leyde accion de masas.

• La ley de accion de masas establece que una reaccion entre dos compuestos quımicos selleva al cabo en proporcion al producto de la concentracion de ambas sustancias.

• La interaccion entre especies en un sistema ecologico se supone parecida a la que establecedicha ley.

• Regresando a nuestras ecuaciones diferenciales, establecemos en el lımite �x ! 0 y�t ! 0 que,

dx

dt= k

1

ax � k2

xy,

representa la tasa de consumo de la presa.




• De la misma forma llegamos a la ecuacion diferencial de crecimiento del predador. Para ellotomamos encuenta la tercer expresion que representa la tasa de muerte de Y , que nos diceque es simplemente proporcional a su concentracion y; es decir,

dy

dt= k

2

xy � k3

y,

• En conclusion, establecemos un modelo matematico que dicta la dinamica contınua en eltiempo de las concentraciones de ambas especies en “competencia”. Tal modelo se conoceen la literatura como Lotka-Volterra.

dx

dt= k

1

ax � k2

xy,

dy

dt= k

2

xy � k3

y.

• El estudio de este modelo, como sistema dinamico, lo dejaremos pendiente. Nos enfocaremosen resolver el problema practico de compararlo con los datos de la Hudson Bay Company.




Historia.

• El modelo predador-presa de Lotka-Volterra, fue inicialmente propuesto por Alfred J. Lotkaen la teorıa de reacciones quımicas autocatalıticas en 1910. En realidad se trata de laecuacion logısitica, que fue obtenida por Pierre Francois Verhults. En 1920 Lotka extendio elmodelo a “sistemas organicos”, empleando especies de plantas y animales herbıvoros comoun ejemplo y, en 1925, utilizo las ecuaciones para analizar las interacciones predador-presaen su libro de biomatematicas, llegando a las ecuaciones como las conocemos hoy dıa. VitoVolterra, quien hizo una analisis estadıstico de pesquerıas en el Mar Adriatico, investigoindependientemente las ecuaciones en 1926.

• C. S. Holling extendio este modelo en dos artıculos en 1959, en los cuales propuso la idea dela respuesta funcional. Tanto el modelo Lotka-Volterra como las extensiones de Holling, hansido usadas para modelar poblaciones de alces y lobos en Parque Nacional Isle Royale en losEUA que, con mas de 50 publicaciones al respecto, es uno de los casos mejor estudiados derelaciones predador-presa.




En economıa.

• Las ecuaciones Lotka-Volterra tienen una larga historia en la teorıa economica, cuyaaplicacion inicial se le acredita a Richard Goodwin entre 1965 y 1967. En los estudioseconomicos las ligas son entre las industrias supone una competencia; una forma de proponerun modelo dinamico de varias industrias ha sido introducido mendiante funciones troficasentre varios sectores, ignorando los sectores menores y considerando solo las interaccionesentre los dos de mas peso.




Problema 1. Supongamos que la solucion al modelo de Lotka-Volterra fuera una “buena”aproximacion a las mediciones de la Hudson Bay Company. ¿Cuales son los valores de losparametros del modelo que mejor reproducen, como solucion al modelo, la tendencia de losdatos?

• ¿Que valores deben tener los parametros k1

, k2

, k3

y a en el sistema de ecuaciones dife-renciales? ¿Cuales son los valores iniciales x

0

y y0

?

dx

dt= k

1

ax � k2

xy,

dy

dt= k

2

xy � k3

y.

• ¿Es posible que soluciones al sistema Lotka-Volterra reproduzcan las oscilaciones que seobservan en los datos?




Ajuste de curvas sobre datos

La idea central, para resolver el problema planteado, es poder hacer regresiones linealessobre los datos transformados.

• Reescribimos al sistema Lotka-Volterra de la siguiente forma:

1

x

dx

dt= k

1

a � k2

y,

1

y

dy

dt= k

2

x � k3

,

siempre que x y y no se anulen y renombramos variables y constantes:

L =

1

ydydt , H =

1

xdxdt ,

k2

= c, k3

= r,k1

a = a, k2

= b.




• Por lo que el sistema es ahora:

H(x) = a � by,

L(y) = cx � r,

0 10 20 30 40 50 60 70 80−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Phase Space

Har

es

Lynx0 10 20 30 40 50 60

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6Phase Space

Hares

Lynx

Figura 4: Datos transformados graficados en el plano fase H vs y y L vs x.




• Regresion sobre el sistema:H(x) = a � by.

0 10 20 30 40 50 60 70 80−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 5: Regresion lineal a datos transformados graficados en el plano fase H vs y.




• Regresion sobre el sistema:L(y) = cx � r.

0 10 20 30 40 50 60−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura 6: Regresion lineal a datos transformados graficados en el plano fase L vs x.




1 %% Sc r i p t to f i t Lotka�Vo l t e r r a to data .2 % Data : Number o f p e l t s c o l l e c t e d by the Hudson Bay Company3 % c x � r = dy/y45 c l e a r a l l , c l f , c l c67 %% Loading data and p l o t t i n g8 import LV ( ’ l v d a t a . t x t ’ )9 % load l v d a t a . t x t

10 % g l o b a l data11 T = data ( : , 1 ) ;12 L = data ( : , 2 ) ;13 H = data ( : , 3 ) ;14 f i g u r e (1 )15 p l o t (T, L , ’�.o ’ ,T,H, ’�.o ’ , ’ L ineWidth ’ , 2)16 t i t l e ( ’Number o f p e l t s c o l l e c t e d by the Hudson Bay Company ’ )17 y l a b e l ( ’ Popu l a t i o n s ’ )18 x l a b e l ( ’ Year ’ )19 l egend ( ’ Lynx ’ , ’ Hare ’ )




1 %% Trans f o rmat i on o f the Lotka�Vo l t e r r a System2 Y = ze r o s (1 , 19 ) ;3 X = z e r o s (1 , 19 ) ;4 f o r k=1:195 Y( k ) = (1/L( k+1) ) ⇤(L ( k+2)�L( k ) ) /2 ;6 X( k ) = H( k+1) ;7 end8 f i g u r e (2 )9 p l o t (X,Y, ’ o ’ )

10 t i t l e ( ’ Phase Space ’ )11 y l a b e l ( ’ Hares ’ )12 x l a b e l ( ’ Lynx ’ )




1 %% Trans f o rmat i on o f the Lotka�Vo l t e r r a System2 P = z e r o s (1 , 19 ) ;3 Q = ze r o s (1 , 19 ) ;4 f o r k=1:195 P( k ) = (1/H( k+1) ) ⇤(H( k+2)�H( k ) ) /2 ;6 Q( k ) = L( k+1) ;7 end8 f i g u r e (3 )9 p l o t (Q,P , ’ o ’ )

10 t i t l e ( ’ Phase Space ’ )11 x l a b e l ( ’ Hares ’ )12 y l a b e l ( ’ Lynx ’ )




1 p1 = p o l y f i t (X,Y, 1 ) ;2 f 1 = p o l y v a l ( p1 ,X) ;34 f i g u r e (4 )5 p l o t (X,Y, ’ o ’ )6 ho ld on7 p l o t (X, f1 , ’�r ’ , ’ L ineWidth ’ , 2 )8 ho ld o f f9

10 %% P o l y f i t 211 p2 = p o l y f i t (Q,P , 1 ) ;12 f 2 = p o l y v a l ( p2 ,Q) ;1314 f i g u r e (7 )15 p l o t (Q,P , ’ o ’ )16 ho ld on17 p l o t (Q, f2 , ’�r ’ , ’ L ineWidth ’ , 2 )18 ho ld o f f1920 [ t , y ] = ode45 ( @lv , [T(1 ) T( end ) ] , [H(1 ) L (1 ) ] ) ;21 f i g u r e (10)22 s ubp l o t ( 2 , 1 , 1 ) ;23 p l o t ( t , y ( : , 1 ) ,T,H, ’�.o ’ , ’ L ineWidth ’ , 2)24 s ubp l o t ( 2 , 1 , 2 )25 p l o t ( t , y ( : , 2 ) ,T, L , ’�.o ’ , ’ L ineWidth ’ , 2)




1900 1902 1904 1906 1908 1910 1912 1914 1916 1918 19200

10

20

30

40

50

60

70

80

1900 1902 1904 1906 1908 1910 1912 1914 1916 1918 19200

10

20

30

40

50

60

Figura 7: Regresion sobre los datos.




• Nuestro problema ahora consiste en ajustar un par de rectas a los datos, de tal forma quedeterminemos las pendientes b y c y las ordenadas al origen a y r.

• Estas constantes se conocen como parametros y son importantes por dos razones:

1. Representan biologicamente las tasas de nacimiento y muerte de las especies involucradas.

2. No son medibles directamente en un muestreo, se determinan indirectamente.

• La situacion es tal que el problema esta sobredeterminado, o bien, tambien se dice, malplanteado, ya que tenemos 2⇥21 parejas de datos (liebres y linces respectivamente vstiempo) y solo 2⇥2 parametros (2 en cada recta). Ver Tabla 1.

• En el lenguaje del algebra lineal tenemos el siguiente problema:

Ay = d,

donde la matriz A no es cuadrada, d es funcion del numero de individuos (liebres o linces)y y son los parametros (a, b) o (r, c).




• Como vamos a comparar nuestro modelo dinamico de Lotka-Volterra con datos observacio-nales, nos convendra discretizar el modelo de la siguiente forma:

H(x) :=

1

x

dx

dt⇡ 1

x

x(t + h) � x(t)

h,

lo que se conoce en analisis numerico como una aproximacion en diferencias finitas.

• De la misma forma tendremos:

L(y) :=

1

y

dy

dt⇡ 1

y

y(t + h) � y(t)

h.

• Recordemos que tenemos, a nuestra disposicion, los datos de las liebres {xk}k=1,...,21 y delos linces {yk}k=1,...,21 vs el tiempo discreto t

1

, . . . , t21

.

• El valor del incremento h tambien lo podemos elegir a nuestra entera voluntad y

Hk :=

xk+h � xk

hxk+1

, Lk :=

yk+h � yk

hyk+1

.




• Ahora podemos escribir el sistema Lotka-Volterra transformado de la siguiente forma(recordemos que en esta etapa solo queremos determinar los parametros del sistema linealde ecuaciones y no resolver el sistema de ecuaciones diferenciales):

0

BB@

H1

H2

...H

21

1

CCA =

0

BB@

1 �y1

1 �y2

... ...1 �y

21

1

CCA

✓ab

◆.

• De la misma forma tendremos que

0

BB@

L1

L2

...L

21

1

CCA =

0

BB@

1 �x1

1 �x2

... ...1 �x

21

1

CCA

✓cr

◆.

• El problema lineal, como hemos mencionado, esta sobredeterminado: tenemos mas ecuacio-nes que incognitas (parametros).



Introduccion a la regresion

• Llamamos regresion al problema de hallar una curva (superficie) parametrizada que ajustade forma aproximada un conjunto de datos.

• Cuando el modelo de regresion es lineal, respecto a los parametros ajustados, tenemosentonces un problema de regresion lineal, de otra forma, es un problema de regresion nolineal.

• El estudio de los problemas inversos o de estimacion de parametros es importanteporque contesta la pregunta de

¿que tan apropiado es un modelo matematico describiendo y explicando un fenomenonatural en relacion con datos experimentales (respuesta del sistema o fenomeno)?

• La formulacion, implementacion y analisis correctos de un problema inverso requiere deun marco teorico que comprenda a un modelo estadıstico tanto como a un modelomatematico.



Regresion lineal

Problema inverso lineal y discreto

• Vector de datos d, N observaciones y un vector de parametros x que deseamos determinar.

• Sistema lineal de ecuaciones Ax = d, con

A 2 RN⇥M, x 2 RN y d 2 RM.

• Puede ocurrir que rank(A) = N ; es decir, la matriz es de rango completo en sus columnasy, por lo tanto, d 2 rank(A) esta en este espacio, luego entonces

x = A�1d.

• Si no fuera el caso, es posible que halla una solucion aproximada, que denotaremos por x+.



Regresion lineal

• En este caso, la dimension del rango de A puede ser menor que N y, ademas, el vector dedatos d puede contener ruido y no estar en el rango de A.

• Una aproximacion puede consistir en hallar el conjunto de valores de x tales que minimiceen alguna medida el ajuste del modelo Ax y los datos d.

• Definimos al vector residuos r:

r(x) = d � Ax.

• Una forma de medir o cuantificar su magnitud es por medio de la norma L2

mın

xr(x) := mın

xkAx � dk

2

.



Regresion lineal

• Esto significa que en realidad el sistema es inconsistente y d no esta en el espacio columnade A.

• La construccion de la solucion aproximada x+ consiste en proyectar a d en el rango deR(A):

Ax+

= proj

R(A)

(d)



Regresion lineal

• Luego entonces, Ax � d debe ser perpendicular a R(A). En particular, cada columna deA es ortogonal a Ax � d. Ası:

AT(Ax+ � d) = 0,

o bien,ATAx+

= ATd.

• De donde obtenemos las llamadas ECUACIONES NORMALES

x+

= (ATA)

�1ATd.

• Y, por lo tanto,xL

2

= x+.



Regresion lineal

El problema de regresion lineal en el plano

• Determinar dos parametros x1

y x2

de una lınea, y = x1

+ x2

x, que mejor ajuste a unconjunto de N > 2 datos.

• A partir del sistema de ecuaciones

Ax =

2

664

1 a1

1 a2

... ...1 aN

3

775

x1

x2

�=

2

664

d1

d2

...dN

3

775 = d.

• Aplicamos las ecuaciones normales:

xL2

= (ATA)

�1ATd =

0

BB@

1 · · · 1

a1

· · · aN

�2

664

1 a1

1 a2

... ...1 aN

3

775

1

CCA

�1

1 · · · 1

a1

· · · aN

�2

664

d1

d2

...dN

3

775



Regresion lineal

• De donde se obtiene:

xL2

=

2

4N

PNi=1

ai

PNi=1

aiPN

i=1

a2

i

3

5

2

4PN

i=1

di

PNi=1

aidi

3

5

=

1

NPN

i=1

a2

i �⇣PN

i=1

ai

⌘2

2

4�PN

i=1

a2

i �PNi=1

ai

PNi=1

ai �N

3

5

2

4PN

i=1

di

PNi=1

aidi

3

5 .



Formula del error

• Supongamos que tenemos un conjunto de datos i 2 [1, N ] dados como parejas (Xi, di)

que siguen una tendencia lineal.

• Nuestro objetivo es determinar los parametros a1

y a2

del modelo

yM = a1

x + a2

.

• Queremos minimizar el error de mınimos cuadrados

E2

=

1

N

NX

i=1

(di � yM(Xi))2

=

1

N

NX

i=1

(di � a1

Xi � a2

)

2 .



Formula del error

• Este error se puede escribir distribuyendo la suma

E2

(a1

, a2

) =

1

N

NX

i=1

d2

i � 2a1

1

N

NX

i=1

Xidi + a2

1

1

N

NX

i=1

X2

i � 2a2

1

N

NX

i=1

di

+2a1

a2

1

N

NX

i=1

Xi + a2

2

=hd2i � 2a1

hXdi + a2

1

hX2i � 2a2

hdi + 2a1

a2

hXi + a2

2

=h ˜d2i � 2a1

h ˜X ˜di + (a2

� hdi + a1

hXi)2 .



Formula del error: puntos crıticos

• La idea de optimizar este error (minimizarlo) implica hallar los puntos crıticos en donde E2

se anula:

@E2

@a1

= � 2h ˜X ˜di + 2a1

h ˜X2i + 2hXi (a2

� hdi + a1

hXi)

@E2

@a2

=2 (a2

hdi + a1

hXi) .

a1

=

h ˜X ˜dih ˜X2i

a2

=hdi � a1

hXi.



Formula del error

Finalmente, el modelo lineal dado los parametros a y b:

yM = hY i + h ˜X ˜dih ˜X2i (x � hXi)

El valor del error mınimo E2 se puede hallar evaluando los valores crıticos de a y b:

E2

= h ˜d2i � 2

h ˜X ˜di˜X2

h ˜X ˜di + h ˜X ˜di˜X2

= h ˜Y 2i � h ˜X ˜dih ˜X2i

que no es otra cosa que:

E2

= h ˜d2i (1 � rXd) .



Introduccion a la soluciones numericas de ecuaciones diferenciales

La ultima etapa de la solucion a nuestro problema original, de comparacion del modeloLotka-Volterra y los datos observacionales, consiste en la solucion del sistema de ecuacionesdiferenciales

x0= ax � bxy,

y0= cxy � ry,

en donde conocemos, de forma aproximada a los parametros a, b, c y r y las condicionesiniciales x

0

= x(0) y y0

= y(0). El sımbolo 0 significa derivada respecto al tiempo t.

• Nos restringiremos a sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden de coefi-cientes constantes.

• Una ecuacion diferencial ordinaria admite, en general, una infinidad de soluciones.

• Para fijar una de ellas, debemos imponer condiciones adicionales que prescriban valores dedicha solucion en algun punto en el dominio de integracion.



El problema de Cauchy

Consideraremos el siguiente

Problema 2. El problema de Cauchy. Hallar la funcion y : I ! R, tal que(y0(t) = f(t, y(t)), 8 t 2 I,

y(t0

) = y0

,

donde I es un intervalo de R, f : I ⇥R ! R es una funcion dada y y0 denota la derivadade y respecto a t. Finalmente, t

0

es un punto de I y y0

se conoce como dato inicial.

• Del analisis matematico sabemos que

Proposicion 1. Supongamos que la funcion f(t, y(t)) es

1. contınua con respecto a ambos argumentos;

2. contınua segun Lipschitz con respecto a su segundo argumento; es decir, existe una cons-tante positiva L tal que

8 t 2 I, 8 y1

, y2

2 R, |f(t, y1

) � f(t, y2

)| L|y1

� y2

|.

Entonces, la solucion y = y(t) del problema de Cauchy existe, es unica y pertenece aC 1

(I).



Introduccion a la soluciones numericas de ecuaciones diferenciales

• Desafortunadamente, el resultado anterior no nos dice como obtener una solucion al proble-ma de Cauchy en ningun caso.

• Por otro lado, tampoco existe garantıa de poder hallar explıcitamente alguna solucion paralas ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, como en nuestro caso.

• Geometricamente hablando, la ecuacion diferencial y0= f(t, y) define a un campo de

direcciones f . Resolver la ecuacion diferencial significa hallar funciones cuyas graficasempatan con este campo.

Tarea 1. Analizar el sistema Lotka-Volterra en el plano fase, sus puntos puntos crıticos, lasnullclinas (isoclinas de crecimiento cero) y, de ser posible, hallar las cantidades conservadasdel sistema, o bien, las hipotesis bajo las que se pueden hallar. Se podrıa necesitar transformaprimero el sistema.



Metodos de Euler

Adoptamos la siguiente

Definicion 1. El problema de valor inicial de la ecuacion diferencial ordinaria

y0= f(t, u),

consiste en hallar una solucion contınuamente diferenciable, y, que satisfaga la condicioninicial y(t

0

) = y0

para un valor dado t0

y un valor inicial dado y0

.

• El siguiente metodo simple para hallar la solucion numerica del problema de valor inicial fueempleado por el mismo Euler (1707-1783).

• Dado un tamano de paso h > 0, el metodo consiste en reemplazar la derivada y0= f(t, y)

dentro de un intervalo [t0

, t0

+ h], por la derivada y00

= f(t0

, y0

) en el punto inicial; esdecir, geometricamente, reemplazamos la solucion por su lınea tangente en el punto inicialt0

.



Metodos de Euler

• Lo anterior nos conduce a la siguiente aproximacion

y1

= y0

+ hf(t0

, y0

)

con el valor y(t1

) de la solucion exacta en el punto t1

= t0

+ h.

• Repitiendo este proceso nos conducirıa al metodo de Euler como es descrito en la siguiente

Definicion 2. El metodo de Euler, para hallar la solucion numerica del problema de valorinicial, construye aproximaciones yj a la solucion exacta y(tj), en los puntos de la mallaequidistantes

tj := t0

+ jh, j = 1, 2, . . . ,

con tamano de paso h, dadas por

yj+1

:= yj + hf(tj, yj), j = 1, 2, . . . .

Este metodo tambien se conoce como el metodo del polıgono, dado que aproxima a la curvade la solucion exacta por un polıgono.



Metodos de Euler

Existen 3 diferentes interpretaciones de la formula de aproximacion del metodo deEuler:

1. Reemplacemos la derivada por la diferencia de la razon

y(t1

) � y(t0

)

h⇡ y0

(t0

) = f(t0

, y0

)

y resolvamos para y(t1

).

2. A partir del Teorema fundamental del calculo integramos la ecuacion diferencial y obtenemos

y(t1

) = y(t0

) +

Z t1

t0

f(⇠, y(⇠))d⇠.

Aproximamos la integral por la regla del rectangulo

Z t1

t0

f(⇠, y(⇠))d⇠ ⇡ hf(t0

, y0

).



Metodos de Euler

3. Usamos la formula de Taylor

y(t1

) = y(t0

) + hy0(t

0

) +

h2

2

y00(t

0

+ ✓h)

con 0 < ✓ < 1 y despreciamos los terminos residuales de orden h2; es decir,

y(t1

) ⇡ y(t0

) + hy0(t

0

).

Cada una de estas interpretaciones abre la posibilidad de mejorar el metodo de Euler. Porejemplo, en vez de emplear la regla del rectangulo, podrıamos usar una regla mas precisa comola del trapezoide

Z t1

t0

f(⇠, y(⇠))d⇠ ⇡ h

2

[f(t0

, y(t0

)) + f(t1

, y(t1

))],

lo que da lugar a la aproximacion

y1

= y0

+

h

2

[f(t0

, y0

) + f(t1

, y1

)].



Metodos de Euler

Lo anterior nos conduce al siguiente metodo:

Definicion 3. El metodo de Euler implıcito, para hallar la solucion numerica del problema devalor inicial, construye aproximaciones yj a la solucion exacta y(tj) en puntos equidistantesde la malla

tj := t0

+ jh, j = 1, 2, . . . ,

con tamano de paso h, dadas por

yj+1

= yj +h

2

[f(tj, yj) + f(tj+1

, yj+1

)], j = 0, 1, . . . .

Este metodo se llama implıcito dado que para determinar el valor yj+1

requerimos a lasolucion de una ecuacion que, en general, es no lineal.

En contraste, el metodo de la Definicion 1, es un metodo explıcito, ya que nos provee deexpresiones explıcitas para calcular el valor de yj+1

.



Aproximacion de derivadas de funciones (en R)

Consideremos una funcion f : I ! R contınuamente diferenciable en el intervalo I = [a, b].Buscamos una aproximacion a la primer derivada de f en un punto cualquiera x 2 I. Para hsuficientemente pequena y positiva definimos

Diferencias finitas de avance

(�

+

f)(x) :

f(x + h) � f(x)

h.

Diferencias finitas de retroceso

(��f)(x) :

f(x) � f(x � h)

h.

Diferencias finitas centradas

(�f)(x) :

f(x + h) � f(x � h)

h.



Aproximacion de derivadas de funciones (en R)

Figura 8: Aproximacion de diferencias finitas de f 0(x): retroceso (lınea solida), avance (lınea

punteada) y centrada (lınea rayada). m1

= (��f)(x), m2

= (�

+

f)(x) y m3

= (�f)(x)denotan las pendientes de 3 lıneas rectas.



Metodos de Euler

1 f u n c t i o n [ t , y ] = f e u l e r ( odefun , tspan , y , Nh , v a r a r g i n )2 %3 %FEULER So l v e d i f f e r e n t i a l e qu a t i o n s u s i n g4 % the fo rwa rd Eu l e r method .5 % [T,Y]=FEULER(ODEFUN,TSPAN, Y0 ,NH) wi th TSPAN=[T0 ,TF ]6 % i n t e g r a t e s the system o f d i f f e r e n t i a l e qu a t i o n s7 % y ’ = f ( t , y ) from t ime T0 to TF wi th i n i t i a l c o n d i t i o n8 % Y0 u s i n g the fo rwa rd Eu l e r method on an equ i s pa c ed9 % g r i d o f NH i n t e r v a l s . Func t i on ODEFUN(T,Y) must r e t u r n

10 % a column v e c t o r c o r r e s p ond i n g to f ( t , y ) . Each row i n11 % the s o l u t i o n a r r a y Y co r r e s pond s to a t ime r e t u r n e d12 % i n the column v e c t o r T.13 %14 % [T,Y] = FEULER(ODEFUN,TSPAN, Y0 ,NH, P1 , P2 , . . . ) p a s s e s15 % the a d d i t i o n a l pa ramete r s P1 , P2 , . . . to the f u n c t i o n16 %ODEFUN as ODEFUN(T,Y, P1 , P2 . . . ) .1718 h = ( t span (2 )�t span (1 ) ) /Nh ;1920 t t = l i n s p a c e ( t span (1 ) , t span (2 ) ,Nh+1) ;2122 f o r t = t t ( 1 : end �1)23 y = [ y ; y ( end , : ) + h⇤ f e v a l ( odefun , t , y ( end , : ) , v a r a r g i n { :}) ] ;24 end2526 t = t t ;2728 r e t u r n



Metodos de Euler

1 f u n c t i o n [ t , u]= b e u l e r ( odefun , tspan , y0 ,Nh , v a r a r g i n )23 %BEULER So l v e d i f f e r e n t i a l e qu a t i o n s u s i n g4 % the backward Eu l e r method .5 %6 % [T, Y] = BEULER(ODEFUN,TSPAN, Y0 ,NH) wi th TSPAN=[T0 ,TF ]7 % i n t e g r a t e s the system o f d i f f e r e n t i a l e qu a t i o n s8 % y ’ = f ( t , y ) from t ime T0 to TF wi th i n i t i a l c o n d i t i o n9 % Y0 u s i n g the backward Eu l e r method on an equ i s pa c ed

10 % g r i d o f NH i n t e r v a l s . Func t i on ODEFUN(T,Y) must r e t u r n11 % a column v e c t o r c o r r e s p ond i n g to f ( t , y ) . Each row i n12 % the s o l u t i o n a r r a y Y co r r e s pond s to a t ime r e t u r n e d13 % i n the column v e c t o r T.14 %15 % [T,Y] = BEULER(ODEFUN,TSPAN, Y0 ,NH, P1 , P2 , . . . ) p a s s e s16 % the a d d i t i o n a l pa ramete r s P1 , P2 , . . . to the f u n c t i o n17 %ODEFUN as ODEFUN(T,Y, P1 , P2 . . . ) .1819 t t = l i n s p a c e ( t span (1 ) , t span (2 ) , Nh+1) ;2021 y = y0 ( : ) ; % a lways c r e a t e a v e c t o r column2223 u = y . ’ ;2425 g l o b a l g l ob h g l o b t g l o b y g l ob od e f un ;26 g l ob h = ( t span (2 ) � t span (1 ) ) /Nh ;27 g l o b y = y ;28 g l ob od e f un = odefun ;29 g l o b t = t t (2 ) ;30



31 i f (˜ e x i s t ( ’OCTAVE VERSION ’ ) )32 op t i o n s = opt imse t ;33 op t i o n s . D i s p l a y = ’ o f f ’ ;34 op t i o n s . TolFun = 1 . e�06;35 op t i o n s . MaxFunEvals = 10000 ;36 end3738 f o r g l o b t=t t ( 2 : end )39 i f ( e x i s t ( ’OCTAVE VERSION ’ ) )40 [w i n f o ] = f s o l v e ( ’ b e u l e r f u n ’ , g l o b y ) ;41 e l s e42 w = f s o l v e (@(w) b e u l e r f u n (w) , g l ob y , o p t i o n s ) ;43 end44 u = [ u ; w . ’ ] ;45 g l o b y = w;46 end47 t = t t ;48 c l e a r g l ob h g l o b t g l o b y g l ob od e f un ;49 end5051 f u n c t i o n [ z ]= b e u l e r f u n (w)52 g l o b a l g l ob h g l o b t g l o b y g l ob od e f un ;53 z = w � g l o b y � g l ob h⇤ f e v a l ( g l o b od e f un , g l o b t ,w) ;54 end



Metodos de Euler

1 f u n c t i o n [ t , y ] = f o r w a r d e u l e r ( f ode , xRange , y I n i t i a l , numSteps )2 %3 % [ x , y ] = f o r w a r d e u l e r ( f ode , xRange , y I n i t i a l , numSteps )4 % use s Eu l e r ’ s e x p l i c i t method to s o l v e a system o f5 % f i r s t �o r d e r ODEs dy/dx=f od e ( x , y ) .6 %7 % f = f u n c t i o n hand l e f o r a f u n c t i o n wi th s i g n a t u r e8 % dydx = f od e ( x , y )9 % where dydx i s a column v e c t o r

10 % xRange = [ x1 , x2 ] where the s o l u t i o n i s sought on x1<=x<=x211 % y I n i t i a l = column v e c t o r o f i n i t i a l v a l u e s f o r y at x112 % numSteps = number o f e qua l l y�s i z e d s t e p s to take from x1 to x213 % x = row v e c t o r o f v a l u e s o f x14 % y = mat r i x whose k�th column i s the approx imate s o l u t i o n at x ( k ) .15 %16 t (1 ) = xRange (1 ) ;1718 h = ( xRange (2 ) � xRange (1 ) ) /numSteps ;1920 y ( : , 1 ) = y I n i t i a l ;2122 f o r k = 1 : numSteps23 t (1 , k+1) = t (1 , k ) + h ;24 y ( : , k+1) = y ( : , k ) + h ⇤ f o d e ( t ( k ) , y ( : , k ) ) ;25 end



Determinacion de parametros

En esta Subseccion mostramos un ejemplo de estimacion de parametros con ayuda de unmodelo matematico (ecuacion diferencial) y sin el.

• Un problema canonico de estimacion de parametros es el ajuste de una funcion, definidapor una coleccion de parametros, a un conjunto de datos.

• Ya antes habıamos mencionado que se trata de un problema de regresion.

• Un problema antiguo de regresion lineal es la caracterizacion de una trayectoria balıstica.

• En este ejemplo los datos, y, son altitudes medidas (longitudes) de un cuerpo balısticosobre un conjunto discreto de tiempos t (segundos).

• El objetivo es hallar valores de un conjunto de parametros, m = (m1

,m2

,m3

)

T , cuyosignificado fısico son, respectivamente, la posicion inicial, la velocidad inicial y la aceleraciongravitacional de la Tierra sobre el objeto.




Estos son el conjunto de mediciones de altitud (metros) vs tiempo (segundos) de un objetobalıstico de nuestro ejemplo.

1 1 .0000 109.3827 8 .00002 2 .0000 187.5385 8 .00003 3 .0000 267.5319 8 .00004 4 .0000 331.8753 8 .00005 5 .0000 386.0535 8 .00006 6 .0000 428.4271 8 .00007 7 .0000 452.1644 8 .00008 8 .0000 498.1461 8 .00009 9 .0000 512.3499 8 .0000

10 10.0000 512.9753 8 .0000

La 3er columna representa la varianza respecto a cada medicion; es decir, � = 8 para cada dato,lo que significarıa que, sin importar la altitud del objeto, el error de medicion practicamente nocambia.




1 %% Sc r i p t OBSERVACIONES BALISTICAS23 %LECTURA DE DATOS PRECALCULADOS4 load data15 t = data1 ( : , 1 ) ;6 y = data1 ( : , 2 ) ;7 s igma = data1 ( : , 3 ) ;8 N = 10 ;9 t = t ( 1 :N) ;

10 y = y ( 1 :N) ;11 s igma = sigma ( 1 :N) ;1213 d i s p ( [ ’ mos t ra r t , y , s igma ’ ] )14 [ t , y , s igma ]




0 2 4 6 8 10 12100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

Tiempo (s)

Ele

vaci

on(m

)

datos

Figura 9: ¿Que modelo matematico reproduce la tendencia de los datos?




• Supongamos que no tuvieramos a nuestra disposicion ninguna teorıa fısica que nos pudieraguiar en la explicacion de la trayectoria balıstica.

• No obstante podemos insistir en construir una curva en el plano y � t de tal forma quepodamos reproducir la tendencia de los datos balısiticos.

• Construimos un polinomio como modelo matematico de la siguiente forma

1 p = p o l y f i t ( t , y , 8 ) ; % COEFICIENTES POLINOMIO GRADO 82 f = p o l y v a l ( p , t ) ; %EVALUACION DEL POLINOMIO EN t3 e r r o r b a r ( t , y , sigma , ’ o ’ ) ; % GRAFICA DE DATOS CON VARIANZA4 ho ld on5 p l o t ( t , f , ’ r ’ ) % GRAFICA POLINOMIO DE GRADO 86 x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ ) ;7 y l a b e l ( ’ E l e v a c i o n (m) ’ ) ;

El polinomio de grado 8 tiene 2 importantes desventajas como modelo matematico

(a) El numero de parametros a determinar es 8 y crece con el grado del polinomio.

(b) Estos parametros no tiene un significado fısico satisfactorio.




0 2 4 6 8 10 12100

200

300

400

500

600

Tiempo (s)

Elev

ació

n (m

)

datospolinomio grado 8

Figura 10: Regresion lineal con modelo polinomial. d(t) =

P8

i=1

miti




• Ley cuadratica del tiempo (Galileo, S. XVII, y Oresme, S. XIV)

d(t) = m1

+ m2

t � 1

2

m3

t2,

donde la funcion d(·) mide la posicion del proyectil y t es el tiempo.

• La funcion anterior es equivalente a la ecuacion diferencial ordinaria de 2o orden

d00(t) = �m

3

< 0, d(0) = m1

y d0(0) = m

2

.

En cambio, este modelo matematico tiene la ventaja de que (a) posee pocos parametrosy (b) los 3 parametros tienen significado fısico claro y satisfactorio respecto a las mediciones.

• Consideremos datos sinteticos con i = 10 observaciones y errores independientes distribui-dos normalmente (� = 8.0 m):

mverdadero =

2

410 m100 m s�1

9.8 m s�2

3

5




• Sistema de ecuaciones:

Am =

2

664

1 t1

t21

1 t2

t22... ...

1 t10

t210

3

775

2

4m

1

m2

m3

3

5=

2

664

d1

d2

...d10

3

775 = d

• Solucion de mınimos cuadrados: ecuaciones normales

mL2

= (ATA)

�1ATd,

que minimizan el residuo r = d � Am en la norma L2

.

mL2

=

2

416.4 m96.9 m s�1

9.4 m s�2

3

5




1 %% Sc r i p t OBSERVACIONES BALISTICAS23 %LECTURA DE DATOS PRECALCULADOS4 load data15 t = data1 ( : , 1 ) ;6 y = data1 ( : , 2 ) ;7 s igma = data1 ( : , 3 ) ;8 N = 10 ;9 t = t ( 1 :N) ;

10 y = y ( 1 :N) ;11 s igma = sigma ( 1 :N) ;1213 d i s p ( [ ’ mos t ra r t , y , s igma ’ ] )14 [ t , y , s igma ]1516 % SE CONSTRUYE MATRIZ DE SISTEMA PARABOLICO17 G = [ ones (N, 1) , t , �1/2⇤ t .⇤ t ] ;1819 % SE APLICAN PESOS ESTADISTICOS20 yw = y . / s igma ;21 Gw = G . / [ sigma , sigma , s igma ] ;2223 % SE HALLA LA SOLUCION DE MINIMOS CUADRADOS24 d i s p ( [ ’ S o l u c i o n de minimos cuadrados ’ ] )25 m = Gw\yw




0 2 4 6 8 10 120

100

200

300

400

500

600

Tiempo (s)

Ele

vaci

on(m

)

ajustedatos

Figura 11: Regresion lineal con modelo fısico.



Bibliografıa de la 1er Seccion

1. S. Heinz. Mathematical Modeling. Springer, 2011.

2. D. Calvetti and E. Somersalo. Computational Mathematical Modeling. SIAM, 2013.

3. H. van den Berg. Mathematical Models of Biological Systems. Oxford University Press, 2011.

4. V. Arnol’d. Ordinary Di↵erential Equations. Springer, 1992.

5. R. C. Aster, B. Borchers and C. H. Thurber. Parameter Estimation and Inverse Problems.Elsevier, 2005.

6. Heesterbeek, H. (2005) The law of mass-action in epidemiology: A historical perspective.In Ecological Paradigms Lost: Routes of Theory Change (Eds K. Cuddington and B. Beis-ner). Elsevier, Amsterdam, pp 81-106.

7. A. Quarteroni and F. Saleri. Scientific Computing with MATLAB and Octave. 2nd Ed. Sprin-ger, 2006.

8. R. Kress. Numerical Analysis. Springer, 1998.


introduccion a la modelacion matem´aticasgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/jhmb/leccion1.pdf ·...

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