leccion 3.3 - Ángulos de referencia y gráficas de...

Leccin 3.3

ngulos de Referenciay Grficas de

Funciones Trigonomtricas

12/11/2017 Prof. Jos G. Rodrguez Ahumada 1 de 23

Actividades 3.3

Referencia Texto: Seccn 6.4 Valores de las

Funciones Trigonomtricas; Problemas impares 1-37

pgina 454 y 455 (416); Seccin 6.5 Grfica

Trigonomtricas; problemas impares 5 39, pginas 466

y 467(427)

Referencias del Web:

Videos ngulos Coterminales

Grficas de las Funciones Trigonomtricas

Grficas de las Funciones Trigonomtricas 2 (Seno)

Frecuencia de una funcin seno y coseno


http://myfaculty.metro.inter.edu/jahumada/algebra_trig_swokowski_14/pag416.pdfhttp://myfaculty.metro.inter.edu/jahumada/algebra_trig_swokowski_14/pag427.pdfhttp://youtu.be/ugDRLk8kaOshttp://youtu.be/Dkdxks2ifBshttp://youtu.be/64SbPG1ikrEhttp://youtu.be/I_UiJJ-nYEY

CLCULO DE VALORES

TRIGONOMTRICOS


Sea t un nmero real y P = (a, b) un punto en el

crculo unitario asociado a t. Entonces:

Funciones recprocas

Funciones Circulares de ngulos

tan (tangente)a

b t

bt

at

sin ) (seno

cos (coseno)

bt

1csc )(cosecante

at

1sec (secante)

b

at cot e)(cotangent

(0, 1)

(-1, 0)

(0, -1)

(1, 0)

ty

x

P = (a, b)


Ejemplo 6

Sea un punto en el crculo unitario asociado

a un nmero real t. Determine los valores

trigonomtricos de t si:

Solucin:

tan tb

a

154

14

15

4

15sin t

4

1cos t

4

15

41 ,

15

4

415

11csc

b

t

sec ta

1 1

14

4

15

1

415

41

cot

b

at


Ejemplo 1

a) Encuentre los signos de sin , cos , tan siel lado terminal del ngulo se encuentra

en el cuadrante IV.

Solucin:

b) Encuentre el signo de 285.

c) Encuentre el signo de tan7

6.

d) Encuentre el signo de cos 2.

cos > 0

12/11/2017 Prof. Jos G. Rodrguez Ahumada

sin < 0

t < 0

sin 285 < 0

tan7

6> 0

cos 2 < 0

6 de 23

Relaciones especiales para recordar

)1,0(2

)0,1(

)1,0(2

3

)0,1(2


90 =

180 =

270 =

360 =

7 de 23

Relaciones especiales para recordar

)2

1,

2

3(

6

2

2,

2

2

4

)2

3,

2

1(

3


30 =

45 =

60 =

8 de 23

Ejemplo 2

Use su calculadora para aproximar los siguientes valores

trigonomtricos a cinco lugares decimales (Nota: Asegrese

que su calculadora est en modalidad de radianes o grados

segn aplique).

1) sin 5.3

2) cos 153615"

3) tan

5

4) sec

5

5) cot 85

6) 2 38

0.83227

0.72654

1.23607


0.08749

= sin 38 2 0.37904

0.96314

9 de 23

NGULOS DE REFERENCIA


Sea un ngulo en posicin estndar. El ngulo de referencia es el

ngulo positivo agudo formado por entre su lado terminal y el eje de x.

10 de 23

Ejemplo 3

Encuentre el ngulo de referencia de:

a) 210o

b)

c)

3

4

30180210

3

3

3

4

3

4

4

7

4

72

4

7

4

8

4

Prof. Jos G. Rodrguez Ahumada12/11/2017

3

11 de 23

Ejercicios - ngulos de referencia

Prof. Jos G. Rodrguez Ahumada12/11/2017 12 de 23

ECUACIONES

TRIGONOMTRICAS Es una ecuacin entre dos expresiones que

contienen valores trigonomtricos

= 0.45

2 x 1 = 0

2 5 + 6 = 0

sin = 0.45

2 sin 3x 1 = 0

2 5 tan + 6 = 0

12/11/2017Prof. Jos G. Rodrguez

Ahumada

13 de 23

Ejemplo 4

Determine

Como

Entonces

Y

En su calculadora:

12/11/2017

2

1,

2

3

6

Prof. Jos G. Rodrguez Ahumada

sin

6=1

2

) = []

11

21 0.542Determine

En su calculadora

. ) =

1 0.542 0.572815168

1 0.8139

Determine el ngulo en grados tal que

Ajuste modalidad de su

calculadora para grados. Luego, ..

. ) =

1 0.8139 54.47874114

11

2

6

14 de 23

Ejemplo 5 Resuelva la ecuacin en el intervalo [0,2) tal que:

Paso 1 - Encuentre el nmero o ngulo de referencia

Como

Paso 2 Identifique cuadrantes que coinciden con el signo del valor

trinomtrico

Seno es positivo en el cuadrante I y II,

Paso 3 Determine soluciones

Como senos es positivo, la primera solucin coincide con el nmero de

referencia:

4. El del cuadrante II se calcula as:


sin =2

2

Las dos soluciones son:

4,3

4

4

2

2,2

21

2

2=

4

4es el nmero de referencia.

4

4=3

4

15 de 23

Ejemplo 6

Resuelva la ecuacin en el intervalo [0,2) tal que:


Como

Paso 2 Identifique cuadrantes

Seno es negativo en el cuadrante III y IV,

Paso 3 Determine soluciones


sin = 3

2

3

+

3=4

3

3

1

2,3

21

3

2=

3

3es el nmero de referencia.

En el cuadrante III se calcula as:

3

2

3=5

3

En el cuadrante IV se calcula as:


4

3,5

3

16 de 23

Ejemplo 7

Resuelva la ecuacin en el intervalo [0,2) tal que:


Como

Paso 2 Identifique cuadrantes

Seno es negativo en el cuadrante III y IV,

Paso 3 Determinar soluciones


sin = 0.85

1.015985294

+ 1.015985294

4.157577947

1 0.85 1.0159852941.015985294

es el nmero de referencia (aprox.)

En el cuadrante III se calcula as:

1.015985294

2 1.015985294

= 5.267200013

En el cuadrante IV se calcula as:


4.157577947,5.267200013

17 de 23

GRFICAS DE LAS FUNCIONES

TRIGONOMTRICAS SENO Y COSENO


( , )

18 de 23

Grfica de f(x) = sin x

1 x 1

(,)

..., 2, , 0, , 2, ...Los interceptos en ocurren cuando =

2


1

1

El Dominio es:

El Rango es:

El valor mnimo que puede asumir es:

El valor mximo que puede asumir es:

La funcin repite sus valores cada (periodo)

19 de 23

Grficas de = sin

|| se conoce como la amplitud de la funciny determina el valor mximo y mnimo.

El Dominio ser:

axa

(,)

..., 2, , 0, , 2, ...


El rango ser:

Los interceptos ocurrirn en:

El valor mximo y mnimo

que puede asumir son: a a

Su periodo es: 2

=

=

20 de 23

Grficas de = sin


El Dominio ser:

axa

(,)

El rango ser:


Los valores mximos y mnimos que puede asumir son: a a

Su periodo es:

=

=

22

,3

,

2

,

, 0 ,

,2

,3

,

21 de 23

Ejemplo 1 Bosquje grfica de = sin


2

La amplitud es:


Los valores mximos y mnimos que puede asumir son: 2 2

Su periodo es:

=

2

, 0 ,

1 3

,2

1 3

,

=

=2

1 3

= 6

= , 0 , 3 , 6,

=2 =

22 de 23

Grfica de y = cos x

xy sin

xy cos

)sin(cos2 xx


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