lección 1: razones - u-46.org · inventa dos ejemplos de relaciones de razones que te interesen....

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 1 6 1

Lección 1: Razones Trabajo en clase

Ejemplo 1

El equipo de fútbol mixto tiene cuatro veces más niños que niñas. Decimos que eso significa que la razón de la cantidad de niños en relación con la cantidad de niñas en el equipo es 4:1. Leemos esto como "cuatro a uno". Supón que la razón de la cantidad de niños en relación con la cantidad de niñas en el equipo es 3:2.

Ejemplo 2: Razones de la clase

Anota una razón para cada uno de los ejemplos que proporcione el maestro. 1. ___________________________ 2. ___________________________

3. ___________________________ 4. ___________________________

5. ___________________________ 6. ___________________________

Lección 1:

Razones S.1

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1

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 1 6 1 Ejercicio 1 Mi propia razón compara ______________________________________________________________ con

______________________________________________________________________________________.

Mi razón es ____________________________.

Ejercicio 2 Utilizando palabras, describe una razón que represente cada una de las siguientes razones.

a. 1 a 12 __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

b. 12:1 __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

c. 2 a 5 __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

d. 5 a 2 __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

e. 10:2 __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

f. 2:10 __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Lección 1:

Razones S.2


2


Resumen de la lección

Una razón es un par ordenado de números no negativos, donde no son cero los dos.

La razón se escribe 𝐴𝐴:𝐵𝐵 o 𝐴𝐴 a 𝐵𝐵 para indicar el orden de los números. El número 𝐴𝐴 es el primero, y el número 𝐵𝐵 es el segundo.

El orden de los números es importante para el significado de la razón. Alternar los números cambia la relación. La descripción de la relación de razones nos indica el orden correcto de los números de la razón.

Conjunto de problemas 1. En 6.° grado de la escuela de danza, hay 132 niños, 89 niñas y 14 adultos.

a. Escribe la razón de la cantidad de niños en relación con la cantidad de niñas. b. Escribe la misma razón utilizando otra forma (𝐴𝐴:𝐵𝐵 vs. 𝐴𝐴 a 𝐵𝐵). c. Escribe la razón de la cantidad de niños en relación con la cantidad de adultos. d. Escribe la misma razón utilizando otra forma.

2. En la cafetería, se ofrecieron 100 cartones de leche en el desayuno. Al final del desayuno, sobraron 27.

a. ¿Cuál es la razón de la cantidad de cartones de leche que se tomaron en relación con la cantidad total de cartones de leche?

b. ¿Cuál es la razón de la cantidad sobrante de cartones de leche en relación con la cantidad de caratones de leche que se tomaron?

3. Elije una situación que se pudiera describir con las siguientes razones y escribe una oración para

describir la razón en el contexto de la situación que elegiste. Por ejemplo: 3:2. Al hacer pintura rosa, la maestra de arte utiliza la razón 3:2. Por cada 3 tazas de pintura blanca que utiliza en la mezcla, necesita utilizar 2 tazas de pintura roja.

a. 1 a 2 b. 29 a 30 c. 52:12

Lección 1:

Razones S.3


3


Lección 2: Razones Trabajo en clase Ejercicio 1 Inventa dos ejemplos de relaciones de razones que te interesen. 1. 2. Desafío

Una empresa de fabricación de camisetas encuestó a niñas adolescentes acerca de su color de camiseta favorito para orientar a la empresa sobre cuántas camisetas de cada color deberían diseñar y fabricar. Los resultados de la encuesta se muestran aquí.

Colores de camiseta favoritos de las niñas adolescentes encuestadas

X

X X X X

X X

X X X X X X X

X X X X X

X X X

X X X X

Rojo Azul Verde Blanco Rosa Naranja Amarillo Ejercicios del desafío

1. Describe una relación de razones, en el contexto de esta encuesta, para la cual la razón sea 3:5.

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Lección 2:

Razones S.4


4

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 2 6 1 2. Para cada relación de razones dada, completa la razón que describe.

Descripción de la relación de razones (subraya o resalta las palabras o las frases que indiquen que la descripción es una razón) Razón

Por cada 7 camisetas blancas que fabrican, deberían fabricar 4 camisetas amarillas. La razón de la cantidad de camisetas blancas en relación con la cantidad de camisetas amarillas debería ser...

Por cada 4 camisetas amarillas que fabrican, deberían fabricar 7 camisetas blancas. La razón de la cantidad de camisetas amarillas en relación con la cantidad de camisetas blancas debería ser...

La razón de la cantidad de niñas a las que les gustaban más las camisetas blancas en relación con la cantidad de niñas a las que les gustaban más las camisetas de color fue...

Por cada camiseta roja que fabrican, deberían fabricar 4 camisetas azules. La razón de la cantidad de camisetas rojas en relación con la cantidad de camisetas azules debería ser...

Deberían comprar 4 rollos de tela amarilla por cada 3 rollos de tela naranja. La razón de la cantidad de rollos de tela amarilla en relación con la cantidad de rollos de tela naranja debería ser...

La razón de la cantidad de niñas que eligieron azul o verde como su color favorito en relación con la cantidad de niñas que eligieron rosa o rojo como su color favorito fue...

Tres de cada 26 camisetas que fabrican deberían ser naranjas. La razón de la cantidad de camisetas naranjas en relación con la cantidad total de camisetas debería ser...

3. Por cada razón dada, completa una descripción de la relación de razones que describiría utilizando el contexto de la encuesta.

Descripción de la relación de razones (subraya o resalta las palabras o las frases que indiquen que tu ejemplo es una razón) Razón

4 a 3

3:4

19:7

7 a 26

Lección 2:

Razones S.5


5



Las razones se pueden escribir de dos maneras: 𝐴𝐴 a 𝐵𝐵 o 𝐴𝐴:𝐵𝐵. Describimos las relaciones de razones con palabras tales como "a", "en relación con" y "por cada". La razón 𝐴𝐴:𝐵𝐵 no es igual a la razón 𝐵𝐵:𝐴𝐴 (a menos que 𝐴𝐴 sea igual a 𝐵𝐵).

Conjunto de problemas 1. Utilizando el diseño de las baldosas del piso que se muestra a continuación, crea 4 razones diferentes

relacionadas con la imagen. Describe la relación de razones y escribe la razón en la forma 𝐴𝐴:𝐵𝐵 o en la forma 𝐴𝐴 a 𝐵𝐵.

2. Billy quería escribir una razón de la cantidad de manzanas en relación con la cantidad de pimientos en

su refrigerador. Escribió 1:3. ¿Escribió Billy la razón correctamente? Explica tu respuesta.

Lección 2:

Razones S.6


6


Lección 3: Razones equivalentes Trabajo en clase Ejercicio 1 Escribe una historia numérica con una oración sobre una razón. Escribe la razón de dos maneras diferentes. Ejercicio 2 Shanni y Mel están utilizando cinta para decorar un proyecto en su clase de arte. La razón de la longitud de la cinta de Shanni en relación con la longitud de la cinta de Mel es 7:3. Dibuja un diagrama de cintas para representar esta razón.

Lección 3:

Razones equivalentes S.7


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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 3 6 1 Ejercicio 3 Mason y Laney corrieron dando vueltas para entrenarse para el equipo de carreras de larga distancia. La razón de la cantidad de vueltas que corrió Mason en relación con la cantidad de vueltas que corrió Laney fue 2 a 3.

a. Si Mason corrió 4 millas, ¿qué distancia corrió Laney? Dibuja un diagrama de cintas para demostrar cómo encontraste la respuesta.

b. Si Laney corrió 930 metros, ¿qué distancia corrió Mason? Dibuja un diagrama de cintas para

determinar cómo encontraste la respuesta. c. ¿Qué razones podemos decir que son equivalentes a 2:3?

Lección 3:



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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 3 6 1 Ejercicio 4 Josie realizó un examen de fin de año de vocabulario con opciones múltiples. La razón de la cantidad de problemas que Josie respondió incorrectamente en relación con la cantidad de problemas que respondió correctamente es 2:9.

a. Si Josie respondió incorrectamente 8 preguntas, ¿cuántas respondió correctamente? Dibuja un diagrama de cintas para demostrar cómo encontraste la respuesta.

b. Si Josie respondió incorrectamente 20 preguntas, ¿cuántas respondió correctamente? Dibuja un

diagrama de cintas para demostrar cómo encontraste la respuesta. c. ¿Qué razones podemos decir que son equivalentes a 2:9?

Lección 3:



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d. Inventa otra razón posible de la cantidad de respuestas incorrectas de Josie en relación con la cantidad de respuestas correctas.

e. ¿Cómo encontraste las cantidades? f. Describe cómo crear razones equivalentes.

Lección 3:



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Resumen de la lección Dos razones 𝐴𝐴:𝐵𝐵 y 𝐶𝐶:𝐷𝐷 son razones equivalentes si hay un número positivo, 𝑐𝑐, tal que 𝐶𝐶 = 𝑐𝑐A y 𝐷𝐷 = 𝑐𝑐B. Las razones son equivalentes si hay un número positivo que se pueda multiplicar por las dos cantidades de una razón a fin de igualar las cantidades correspondientes de la segunda razón.

Conjunto de problemas 1. Escribe dos razones que sean equivalentes a 1:1. 2. Escribe dos razones que sean equivalentes a 3:11. 3.

a. La razón del ancho del rectángulo en relación con la altura del rectángulo es ________ a ________.

b. Si cada cuadrado de la cuadrícula tiene una longitud lateral de 8 mm, ¿cuál es el ancho y el alto del rectángulo?

4. Para un proyecto de la clase de salud, Jasmine y Brenda anotaron la cantidad de leche que bebieron

cada día. Jasmine bebió 2 pintas de leche por día y Brenda bebió 3 pintas de leche por día.

a. Escribe una razón de la cantidad de pintas de leche que bebió Jasmine en relación con la cantidad de pintas de leche que bebió Brenda por día.

b. Representa este escenario con diagramas de cintas.

c. Si una pinta de leche equivale a 2 tazas de leche, ¿cuántas tazas de leche bebieron cada una, Jasmine y Brenda? ¿Cómo lo sabes?

d. Escribe una razón de la cantidad de tazas de leche que bebió Jasmine en relación con la cantidad de tazas de leche que bebió Brenda.

e. ¿Son equivalentes las dos razones que diste? Explica por qué sí o por qué no.

Lección 3:



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Lección 4: Razones equivalentes Trabajo en clase

Ejemplo 1

Los anuncios matutinos indicaron que dos de cada siete estudiantes de 6° grado de la escuela tienen un libro de la biblioteca vencido. "¡Eso significaría que 24 de nosotros tienen libros de la biblioteca vencidos!", dijo Jasmine. Grace argumentó: "De ninguna manera. Eso es mucho". ¿Cómo puedes determinar quién tiene razón? Ejercicio 1

Decide si cada uno de los siguientes pares de razones es equivalente o no.

Si las razones no son equivalentes, halla una razón que sea equivalente a la primera razón.

Si las razones son equivalentes, identifica el número positivo, 𝑐𝑐, que se podría utilizar para multiplicar por cada número de la primera razón a fin de obtener los números de la segunda razón.

a. 6:11 y 42:88 ____ Sí, el valor c es _______.

____ No, una razón equivalente sería ______.

b. 0:5 y 0:20 ____ Sí, el valor c es _______. ____ No, una razón equivalente sería ______.

Lección 4:



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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 4 6 1 Ejercicio 2 En una bolsa que contiene una mezcla de nueces y castañas, la razón de la cantidad de nueces en relación con la cantidad de castañas es 5:6. Determina la cantidad de nueces que hay en la bolsa si hay 54 castañas. Utiliza un diagrama de cintas para justificar tu trabajo. Justifica tu respuesta mostrando que la nueva razón que creaste de la cantidad de nueces en relación con la cantidad de castañas es equivalente a 5:6.

Lección 4:



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Resumen de la lección Recuerda la descripción:

Dos razones 𝐴𝐴:𝐵𝐵 y 𝐶𝐶:𝐷𝐷 son razones equivalentes si hay un número positivo, 𝑐𝑐, tal que 𝐶𝐶=𝑐𝑐A y 𝐷𝐷=𝑐𝑐B.

Las razones son equivalentes si hay un número positivo que se pueda multiplicar por las dos cantidades de una razón a fin de igualar las cantidades correspondientes de la segunda razón.

Esta descripción se puede utilizar para determinar si dos razones son equivalentes.

Conjunto de problemas 1. Utiliza diagramas o la descripción de razones equivalentes para mostrar que las razones 2:3, 4:6 y 8:12

son equivalentes. 2. Demuestra que 3:8 es equivalente a 12:32.

a. Utiliza diagramas para justificar tu respuesta.

b. Utiliza la descripción de razones equivalentes para justificar tu respuesta. 3. La razón del dinero de Isabella en relación con el dinero de Shane es 3:11. Si Isabella tiene $33, ¿cuánto

dinero tienen Shane e Isabella juntas? Utiliza diagramas para ilustrar tu respuesta.

Lección 4:



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Lección 5: Resolver historias numéricas encontrando razones

equivalentes Trabajo en clase

Ejemplo 1

El Superintendente de Carreteras de un condado está interesado en la cantidad de tipos diferentes de vehículos que viajan con regularidad dentro de su condado. En el mes de agosto, se compró un total de 192 registros para automóviles de pasajeros y para camionetas pick-up en el Departamento de Vehículos Motorizados local. Este departamento informó que, en el mes de agosto, por cada 5 automóviles de pasajeros registrados, había 7 camionetas pick-up registradas. ¿Qué cantidad de cada tipo de vehículo se registró en el condado en el mes de agosto?

a. Utilizando la información de la historia numérica, escribe cuatro razones diferentes y describe sus significados.

b. Haz un diagrama de cintas que represente las cantidades de las razones (comparando una parte

con otra parte) que escribiste. c. ¿Cuántas partes de igual tamaño tiene el diagrama de cintas? d. ¿Qué cantidad total representa el diagrama de cintas?

Lección 5:

Resolver historias numéricas encontrando razones equivalentes S.15


15


e. ¿Qué valor representa cada parte individual del diagrama de cintas? f. ¿Qué cantidad de cada tipo de vehículo se registró en agosto?

Ejemplo 2

El Superintendente de Carreteras está más interesado en la cantidad de vehículos comerciales que utilizan frecuentemente las carreteras del condado. Él obtiene información del Departamento de Vehículos Motorizados para el mes de septiembre y halla que por cada 14 vehículos no comerciales, hay 5 vehículos comerciales. Si hay 108 vehículos no comerciales más que vehículos comerciales, ¿qué cantidad de cada tipo de vehículo utiliza frecuentemente las carreteras del condado durante el mes de septiembre?

Lección 5:



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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 5 6 1 Ejercicios 1. La razón de la cantidad de personas que tienen un teléfono inteligente en relación con las personas que

tienen un teléfono plegable es 4:3. Si hay 500 personas más que tienen un teléfono inteligente que las que tienen un teléfono plegable, ¿cuántas personas tienen cada tipo de teléfono?

2. Sammy y David estaban vendiendo botellas de agua a fin de recaudar dinero para tener nuevos

uniformes de fútbol americano. Sammy vendió 5 botellas de agua por cada 3 botellas de agua que vendió David. En total, vendieron 160 botellas de agua. ¿Cuántas vendió cada niño?

3. La señora Johnson y la señora Siple estaban plegando boletas de calificaciones para enviar a los padres.

La razón de la cantidad de boletas de calificaciones que plegó la señora Johnson en relación con la cantidad de boletas de calificaciones que plegó la señora Siple es 2:3. Al final del día, la señora Johnson y la señora Siple plegaron un total de 300 boletas de calificaciones. ¿Cuántas plegó cada una?

4. En un concierto de música country, la razón de la cantidad de niños en relación con la cantidad de niñas

es 2:7. Si hay 250 niñas más que niños, ¿cuántos niños hay en el concierto?

Lección 5:



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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 5 6 1 Conjunto de problemas 1. El verano pasado, en el campamento Okey-Fun-Okey, la razón de la cantidad de niños excursionistas en

relación con la cantidad de niñas excursionistas fue 8:7. Si había un total de 195 excursionistas, ¿cuántos niños excursionistas había allí? ¿Cuántas niñas excursionistas había?

2. La razón estudiantes-docentes en un colegio pequeño es 17:3. El total de estudiantes y de docentes es

740. ¿Cuántos docentes hay en el colegio? ¿Cuántos estudiantes hay? 3. El centro turístico de esquí Speedy Fast ha comenzado a tomar nota de la cantidad de esquiadores y de

snowboarders que compraron pases de temporada. La razón de la cantidad de esquiadores que compraron pases de temporada en relación con la cantidad de snowboarders que compraron pases de temporada es 1:2. Si 1250 snowboarders más que esquiadores compraron pases de temporada, ¿cuántos snowboardears y cuántos esquiadores compraron pases de temporada?

4. La razón de la cantidad de adultos en relación con la cantidad de estudiantes en el baile de graduación

tiene que ser 1:10. El año pasado había 477 estudiantes más que adultos en el baile de graduación. Si la escuela espera la misma asistencia este año, ¿cuántos adultos tienen que asistir al baile de graduación?

Lección 5:



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Lección 6: Resolver historias numéricas encontrando razones

equivalentes Trabajo en clase Ejercicios 1. El hotel Business Direct aloja a personas que viajan por distintos viajes de negocios. El sábado por la

noche no hubo muchos viajes de negocios; entonces, la razón de la cantidad de habitaciones ocupadas en relación con la cantidad de habitaciones desocupadas fue 2:5. Sin embargo, el domingo por la noche, la razón de la cantidad de habitaciones ocupadas en relación con la cantidad de habitaciones desocupadas fue 6:1 debido a la cantidad de empresarios que asistieron a una conferencia importante en la zona. Si el domingo por la noche hubo 432 habitaciones ocupadas en el hotel Business Direct, ¿cuántas habitaciones desocupadas hubo el sábado por la noche?

2. Peter está intentando realizar ejercicios haciendo sentadillas y flexiones para ganar masa muscular.

Originalmente, Peter hacía cinco sentadillas por cada tres flexiones, pero luego se lesionó el hombro. Después de la lesión, Peter hizo la misma cantidad de repeticiones que hacía antes de la lesión, pero hizo siete sentadillas por cada flexión. Durante una sesión de entrenamiento posterior a la lesión, Peter hizo ocho flexiones. ¿Cuántas flexiones hacía Peter antes de la lesión?

Lección 6:



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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 6 6 1 3. Tom y Rob son hermanos a los que les gusta hacer apuestas sobre los resultados de diferentes

competiciones entre ellos. Antes de la última apuesta, la razón de la cantidad de dinero de Tom en relación con la cantidad de dinero de Rob era 4:7. Rob perdió la última competición y ahora la razón de la cantidad de dinero de Tom en relación con la cantidad de dinero de Rob es 8:3. Si Rob tenía $280 antes de la última competición, ¿cuánto dinero tiene Rob ahora que perdió la apuesta?

4. Una tienda de artículos deportivos encargó nuevas bicicletas y monopatines. Se encargaron 4

monopatines por cada 3 bicicletas. Sin embargo, las bicicletas eran mucho más populares que los monopatines, por lo que la tienda cambió su siguiente pedido. La nueva razón de la cantidad de bicicletas que encargaron en relación con la cantidad de monopatines pedidos fue 5:2. Si se encargó la misma cantidad de equipos deportivos en ambos pedidos y originalmente se encargaron 64 monopatines, ¿cuántas bicicletas se encargaron como parte del nuevo pedido?

5. Al comienzo de 6° grado, la razón de la cantidad de estudiantes avanzados de matemáticas en relación

con la cantidad de estudiantes promedio de matemáticas era 3:8. Sin embargo, después de realizar exámenes de nivel, se pasó de clase a algunos estudiantes cambiando la razón de la cantidad de estudiantes avanzados de matemáticas en relación con la cantidad de estudiantes promedio de matemáticas a 4:7. ¿Cuántos estudiantes comenzaron en la clase promedio y en la clase avanzada de matemáticas si había 92 estudiantes en la clase avanzada después de los exámenes de nivel?

Lección 6:



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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 6 6 1 6. Durante el primer semestre, la razón de la cantidad de estudiantes en la clase de arte en relación con la

cantidad de estudiantes en la clase de gimnasia era 2:7. Sin embargo, las clases de arte eran realmente pequeñas y las clases de gimnasia eran grandes, por lo que el director cambió las clases de los estudiantes para el segundo semestre. En el segundo semestre, la razón de la cantidad de estudiantes en la clase de arte en relación con la cantidad de estudiantes en la clase de gimnasia era 5:4. Si en el segundo semestre había 75 estudiantes en la clase de arte, ¿cuántos había en la clase de arte y en la clase de gimnasia durante el primer semestre?

7. Jeanette quiere ahorrar dinero, pero en el pasado no le fue bien con eso. La razón de la cantidad de

dinero en la cuenta de ahorros de Jeanette en relación con la cantidad de dinero en su cuenta corriente era 1:6. Como Jeanette está intentando ser mejor ahorradora, pasó algo de dinero de su cuenta corriente a su cuenta de ahorros. Ahora la razón de la cantidad de dinero en su cuenta de ahorros en relación con la cantidad de dinero en su cuenta corriente es 4:3. Si Jeanette tenía $936 en su cuenta corriente antes de pasar el dinero, ¿cuánto dinero tiene Jeanette en cada cuenta después de pasar el dinero?

Lección 6:



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Resumen de la lección Al resolver problemas en los que una razón entre dos cantidades cambia, es útil dibujar un diagrama de cintas con la situación "anterior" y un diagrama de cintas con la situación "posterior".

Conjunto de problemas 1. Shelley comparó la cantidad de robles con la cantidad de arces como parte de un estudio sobre árboles

de madera dura en una parcela de árboles. Contó 9 arces por cada 5 robles. Más tarde en el año, hubo una plaga de insectos y muchos árboles murieron. Se plantaron nuevos árboles para asegurar que hubiera la misma cantidad de árboles que la que había antes de la plaga de insectos. La nueva razón de la cantidad de arces en relación con la cantidad de robles es 3:11. Después de plantar los nuevos árboles, había 132 robles. ¿Cuántos arces más había en la parcela de árboles antes de la plaga de insectos que después de esa plaga? Explica.

2. La banda de la escuela está formada por estudiantes de la escuela media y de la escuela secundaria,

pero siempre tiene la misma capacidad máxima. El año pasado, la razón de la cantidad de estudiantes de la escuela media en relación con la cantidad de estudiantes de la escuela secundaria fue 1:8. Sin embargo, este año la razón de la cantidad de estudiantes de la escuela media en relación con la cantidad de estudiantes de la escuela secundaria cambió a 2:7. Si hay 18 estudiantes de la escuela media en la banda este año, ¿cuántos estudiantes menos de la escuela secundaria hay en la banda este año en comparación con el año pasado? Explica.

Lección 6:



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Lección 7: Razones asociadas y el valor de una razón Trabajo en clase

Ejemplo 1

¿Cuál de las siguientes opciones representa correctamente que la cantidad de chicles rojos es 5

3 de la

cantidad de chicles blancos?

a. Rojo b. Rojo

Blanco Blanco

c. Rojo d. Rojo

Blanco Blanco

Ejemplo 2

A continuación se representa la duración de dos películas.

Película A

Película B

a. La razón de la longitud de la película A en relación con la longitud de la película B es ______:______.

b. La longitud de la película A es

de la longitud de la película B.

c. La longitud de la película B es

de la longitud de la película A.

Lección 7:

Razones asociadas y el valor de una razón S.23


23

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 7 6 1 Ejercicio 1 Sammy y Kaden fueron a pescar utilizando camarones vivos como carnada. Sammy llevó 8 camarones más que Kaden. Cuando juntaron sus camarones tenían 32 en total.

a. ¿Cuántos camarones llevó cada niño? b. ¿Cuál es la razón de la cantidad de camarones que llevó Sammy en relación con la cantidad de

camarones que llevó Kaden? c. Expresa la cantidad de camarones que llevó Sammy como una fracción de la cantidad de

camarones que llevó Kaden. d. ¿Cuál es la razón de la cantidad de camarones que llevó Sammy en relación con la cantidad total de

camarones? e. ¿Qué fracción de la cantidad total de camarones llevó Sammy?

Lección 7:



24

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 7 6 1 Ejercicio 2 Una empresa de alimentos que produce mantequilla de cacahuate decide probar una nueva versión extra crujiente de su mantequilla de cacahuate, utilizando el doble de trozos de cacahuate que lo normal. La empresa ofrece degustaciones de su nuevo producto en supermercados y descubre que 5 de cada 9 clientes prefieren la nueva versión extra crujiente.

a. Hagamos una lista de las razones que podrían ser relevantes para esta situación.

i. La razón de la cantidad de clientes que prefieren la nueva versión extra crujiente en relación con la cantidad total de clientes encuestados es _________.

ii. La razón de la cantidad de clientes que prefieren la versión clásica en relación con la cantidad

total de clientes encuestados es _________. iii. La razón de la cantidad de clientes que prefieren la versión clásica en relación con la cantidad

de clientes que prefieren la nueva versión extra crujiente es _________. iv. La razón de la cantidad de clientes que prefieren la nueva versión extra crujiente en relación

con la cantidad de clientes que prefieren la versión clásica es _________.

b. Utilicemos el valor de cada razón para hacer comparaciones multiplicativas por cada una de las razones que describimos aquí.

i. La cantidad de clientes que prefieren la nueva versión extra crujiente es _________ de la

cantidad total de clientes encuestados. ii. La cantidad de clientes que prefieren la versión clásica es _________ de la cantidad total de

clientes encuestados. iii. La cantidad de clientes que prefieren la versión clásica es _________ de aquellos que prefieren

la nueva versión extra crujiente. iv. La cantidad de clientes que prefieren la nueva versión extra crujiente es _________ de aquellos

que prefieren la versión clásica.

c. Si la empresa está planeando producir 90 000 envases de mantequilla de cacahuate crujiente, ¿cuántos de estos envases deberían tener la nueva variedad extra crujiente y cuántos deberían tener la mantequilla de cacahuate clásica? ¿Qué sería útil para resolver este problema? ¿Nos ayuda alguno de nuestros enunciados comparativos de arriba?

Lección 7:



25

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 7 6 1 Prueba los siguientes escenarios:

d. Si la empresa decide producir 2,000 envases de mantequilla de cacahuate clásica, ¿cuántos envases de la nueva mantequilla de cacahuate extra crujiente produciría?

e. Si la empresa decide producir 10,000 envases de la nueva mantequilla de cacahuate extra

crujiente, ¿cuántos envases de mantequilla de cacahuate clásica produciría? f. Si la empresa decide producir solamente 3,000 envases de la nueva mantequilla de cacahuate extra

crujiente, ¿cuántos envases de mantequilla de cacahuate clásica produciría?

Lección 7:



26



En general, para una razón 𝐴𝐴:𝐵𝐵, nos interesa la razón 𝐵𝐵:𝐴𝐴 asociada. Asimismo, si 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 pueden medirse con la misma unidad, generalmente nos interesan las razones asociadas 𝐴𝐴:(𝐴𝐴+𝐵𝐵) y 𝐵𝐵:(𝐴𝐴+𝐵𝐵). Por ejemplo, si Tom atrapó 3 peces y Kyle atrapó 5 peces, podemos decir: la razón de la cantidad de peces que atrapó Tom en relación con la cantidad de peces que atrapó

Kyle es 3:5; la razón de la cantidad de peces que atrapó Kyle en relación con la cantidad de peces que atrapó

Tom es 5:3; la razón de la cantidad de peces que atrapó Tom en relación con la cantidad total de peces que

los dos niños atraparon es 3:8; la razón de la cantidad de peces que atrapó Kyle en relación con la cantidad total de peces que

los dos niños atraparon es 5:8. Para la razón 𝐴𝐴:𝐵𝐵, donde 𝐵𝐵 ≠ 0, el valor de la razón es el cociente 𝐴𝐴

𝐵𝐵.

Por ejemplo: para la razón 6:8, el valor de la razón es 68 o 3

4.

Conjunto de problemas 1. Maritza está horneando galletas para llevar a la escuela y compartir con sus amigos en su cumpleaños.

La receta lleva 3 huevos por cada 2 tazas de azúcar. Para tener suficientes galletas para todos sus amigos, Maritza determinó que necesitaría 12 huevos. Si su mamá compró 6 tazas de azúcar, ¿tiene Maritza suficiente azúcar para preparar las galletas? ¿Por qué sí o por qué no?

2. Hamza compró 8 galones de pintura marrón para pintar su cocina y su comedor. Desafortunadamente,

cuando Hamza comenzó a pintar, pensó que la pintura era demasiado oscura para su casa, por lo que quiso aclararla. El gerente de la tienda no le permitía a Hamza devolver la pintura, pero le informó que si utilizaba 1

4 de galón de pintura blanca mezclado con 2 galones de pintura marrón, obtendría el tono

de marrón que él deseaba. Si Hamza decidiera usar este método, ¿cuántos galones de pintura blanca tendría que comprar para aclarar los 8 galones de pintura marrón?

Lección 7:



27


Lección 8: Razones equivalentes definidas por medio del valor de una razón Trabajo en clase Ejercicio 1

Encierra en círculos las razones equivalentes de la siguiente lista.

Razón: 1:2 Razón: 5:10 Razón: 6:16 Razón: 12:32

Encuentra el valor de las siguientes razones y escribe tu respuesta en forma de fracción, y reescríbela utilizando la mayor unidad posible.

Razón: 1:2 Valor de la razón: Razón: 5:10 Valor de la razón:

Razón: 6:16 Valor de la razón: Razón: 12:32 Valor de la razón:

¿Qué observas acerca del valor de las razones equivalentes? Ejercicio 2

Lee este teorema:

Si dos razones son equivalentes, tienen el mismo valor.

¿Puedes proporcionar un contraejemplo que refute el teorema anterior?

Lección 8:

Razones equivalentes definidas por medio del valor de una razón S.28


28

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 8 6 1 Ejercicio 3 Taivon está entrenando para un duatlón, que es una carrera que consiste en correr y montar en bicicleta. El tramo de ciclismo es más largo que el tramo de carrera. Por lo tanto, cuando entrena, Taivon monta en bicicleta más que lo que corre. Durante el entrenamiento, Taivon corre 4 millas por cada 14 millas que monta en bicicleta.

a. Identifica la razón asociada con esta historia numérica y encuentra su valor. Utiliza el valor de cada razón para resolver lo siguiente.

b. Cuando Taivon completó su entrenamiento para el duatlón, la razón de la cantidad total de millas que corrió en relación con la cantidad total de millas que montó en bicicleta fue 80:280. ¿Es esto congruente con el programa de entrenamiento de Taivon? Explica por qué sí o por qué no.

c. En una sesión de entrenamiento, Taivon corrió 4 millas y montó en bicicleta 7 millas. ¿Representa

esta sesión de entrenamiento una razón equivalente de la distancia que corrió en relación con la distancia que montó en bicicleta? Explica por qué sí o por qué no.

Lección 8:



29



El valor de la razón 𝐴𝐴:𝐵𝐵 es el cociente 𝐴𝐴𝐵𝐵

.

Si dos razones son equivalentes, tienen el mismo valor.

Conjunto de problemas 1. La razón de la cantidad de secciones sombreadas en relación con la cantidad

de secciones sin sombrear es 4 a 2. ¿Cuál es el valor de la razón de la cantidad de partes sombreadas en relación con la cantidad de partes sin sombrear?

2. Utiliza el valor de la razón para determinar qué razón(es) es(son) equivalente(s) a 7:15.

a. 21:45 b. 14:45 c. 3:5 d. 63:135

3. Sean estaba en la práctica de bateo. Bateó 25 veces, pero solo golpeó la pelota 15 veces.

a. Describe y escribe más de una razón relacionada con esta situación. b. Para cada razón que creaste, utiliza el valor de la razón para expresar una cantidad como fracción de

la otra cantidad. c. Inventa una historia numérica que un estudiante pueda resolver utilizando una de las razones y su

valor. 4. Tu escuela intermedia tiene 900 estudiantes. 1

3 de los estudiantes llevan su almuerzo en lugar de

comprarlo en la escuela. ¿Cuál es el valor de la razón de la cantidad de estudiantes que llevan su almuerzo en relación con la cantidad de estudiantes que no lo hacen?

Lección 8:



30


Lección 9: Tablas de razones equivalentes Trabajo en clase

Ejemplo 1

Para hacer papel maché, la maestra de arte mezcla agua y harina. Por cada dos tazas de agua, necesita mezclar tres tazas de harina para preparar la pasta.

Encuentra las razones equivalentes para la relación de razones de 2 tazas de agua a 3 tazas de harina. Representa las razones equivalentes en la siguiente tabla:

Tazas de agua Tazas de harina

Lección 9:

Tablas de razones equivalentes S.31


31


Ejemplo 2

Javier tiene un nuevo trabajo en el que diseña páginas web. Recibe un salario de $700 por cada 3 páginas web que crea. Crea una tabla de razones para mostrar la cantidad total de dinero que ganó Javier en relación con la cantidad de páginas que creó.

Total de páginas creadas

Total de dinero ganado

Javier está ahorrando para comprar un automóvil usado que cuesta $4,200. ¿Cuántas páginas web necesitará crear Javier antes de que pueda pagar el automóvil?

Lección 9:



32

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 9 6 1 Ejercicio 1 Rociar plantas con "jugo de harina de maíz" es una manera natural de prevenir el crecimiento de hongos en las plantas. Se prepara humedeciendo harina de maíz en agua, utilizando dos tazas de harina de maíz por cada nueve galones de agua. Completa la tabla de razones para responder las siguientes preguntas.

Tazas de harina de maíz Galones de agua

a. ¿Cuántas tazas de harina de maíz se deberían añadir a los 45 galones de agua? b. Paul solo tiene 8 tazas de harina de maíz. ¿Cuántos galones de agua debería añadir si quiere

preparar todo el jugo de harina de maíz que pueda? c. ¿Qué puedes decir acerca de los valores de las razones de la tabla?

Lección 9:



33

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 9 6 1 Ejercicio 2 James va a instalar una pecera. Él está comprando una especie de pez dorado que, por lo general, crece hasta tener 12 pulgadas de largo. Se recomienda que haya 1 galón de agua por cada pulgada que mide un pez en la pecera. ¿Cuál es la razón recomendada de galones de agua por pez dorado adulto en la pecera?

Completa la tabla de razones para ayudarte a responder las siguientes preguntas:

Cantidad de peces Galones de agua

a. ¿Qué tamaño de pecera (en galones) necesita James para tener 5 peces dorados adultos? b. ¿Cuántos peces dorados adultos pueden caber en una pecera de 40 galones? c. ¿Qué puedes decir acerca de los valores de las razones de la tabla?

Lección 9:



34



Una tabla de razones es una tabla de pares de números que forman razones equivalentes.

Conjunto de problemas Supón que cada una de las siguientes tablas representa una tabla de razones equivalentes. Completa los valores que faltan. Luego, elige una de las tablas y crea un contexto real para las razones que se muestran en la tabla. 1.

22

12

16 44

55

24 66

2.

14

15 21

25 35

30

3.

34

51

12

15 85

18 102

Lección 9:



35


Lección 10: La estructura de las tablas de razones - De suma y de

multiplicación Trabajo en clase Desafío Imagina que estás preparando una ensalada de frutas. Por cada cuarto de galón de arándanos que añades, te gustaría poner 3 cuartos de galón de fresas. Crea tres tablas de razones que muestren las cantidades de arándanos y de fresas que usarías si necesitaras preparar ensalada de frutas para una cantidad mayor de personas.

La tabla 1 debería contener cantidades en donde hayas agregado menos de 10 cuartos de galón de arándanos a la ensalada.

La tabla 2 debería contener cantidades de arándanos entre 10 y 50 cuartos de galón.

La tabla 3 debería contener cantidades de arándanos mayores que 100 cuartos de galón.

Tabla 1 Tabla 2 Cuartos de galón de

arándanos Cuartos de galón de

fresas Cuartos de galón de


fresas

Tabla 3 Cuartos de galón de


fresas

Lección 10:

La estructura de las tablas de razones – De suma y de multiplicación S.36


36


a. Describe cualquier patrón que veas en las tablas. Sé específico en tus descripciones. b. ¿Cómo se relacionan las cantidades de arándanos y de fresas entre ellas? c. ¿Cómo se relacionan los valores de la columna de arándanos entre sí? d. ¿Cómo se relacionan los valores de la columna de fresas entre sí? e. Si sabemos que queremos añadir 7 cuartos de galón de arándanos a la ensalada de frutas de la

tabla 1, ¿cómo podemos utilizar la tabla para ayudarnos a determinar cuántas fresas añadir?

Lección 10:



37


f. Si sabemos que utilizamos 70 cuartos de galón de arándanos para preparar nuestra ensalada, ¿cómo podemos utilizar una tabla de razones para averiguar cuántos cuartos de galón de fresas se utilizaron?

Ejercicio 1 Las siguientes tablas se hicieron incorrectamente. Encuentra los errores, crea la tabla de razones correcta e indica la razón que se utilizó para hacer la tabla de razones correcta.

a. Horas Pago en dólares Horas Pago en dólares 3 24

5 40

7 52

9 72

Razón _____________________

b. Azul Amarillo Azul Amarillo 1 5

4 8

7 13

10 16

Razón _____________________

Lección 10:



38

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 10 6 1 Resumen de la lección Las tablas de razones se crean de una manera especial. Cada par de valores de la tabla será equivalente a la misma razón.

rojo blanco 3 12 6 24

12 48 21 84

6 : 2 4 2 1 : 8 4 1 : 4 1 : 4

Puedes utilizar sumas repetidas o multiplicación para crear una tabla de razones. Hay un valor constante por el que podemos multiplicar los valores de la primera columna a fin de obtener los valores de la segunda columna.

Rojo blanco 3 x4 12 6 x4 24 12 x4 48 21 x4 84

Si sumas un número determinado a cada entrada de una columna, podrías no ser capaz de sumar ese mismo número a las entradas de la otra columna y mantener la misma razón. En su lugar, los números que sumes a las entradas se deben relacionar con la razón utilizada para hacer la tabla. Sin embargo, si multiplicas las entradas de una columna por un número determinado, puedes multiplicar las entradas de la otra columna por el mismo número para crear razones equivalentes.

Rojo blanco 3 12

x7 6 24 x7 12 48 21 84

Lección 10:



39

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 10 6 1 Conjunto de problemas 1. a. Crea una tabla de razones para preparar limonada con una razón jugo de limón a agua de 1:3.

Muestra cuánto jugo de limón se necesitaría si utilizaras 36 tazas de agua para preparar limonada.

b. ¿Cómo se utiliza el valor de la razón para crear la tabla? 2. Ryan hizo una tabla para mostrar cuánta pintura azul y roja mezcló para obtener el tono de púrpura que

utilizará para pintar la habitación. Quiere utilizar la tabla para que le ayude a preparar tandas más pequeñas y más grandes de pintura púrpura.

Azul Rojo 12 3 20 5 28 7 36 9

a. ¿Qué razón se utilizó para crear esta tabla? Justifica tu respuesta. b. ¿Cómo se relacionan los valores de cada fila entre sí? c. ¿Cómo se relacionan los valores de cada columna entre sí?

Lección 10:



40


Lección 11: Comparar razones utilizando tablas de razones Trabajo en clase Ejemplo 1 Crea cuatro razones equivalentes (2 en aumento y 2 en descenso) utilizando la razón 30 a 80. Escribe una razón para describir la relación que se muestra en la tabla.

Horas Cantidad de pizzas vendidas

2 16 5 40 6 48

10 80 Ejercicio 1 Las siguientes tablas muestran cuántas palabras puede enviar cada persona en un mensaje de texto en una determinada cantidad de tiempo. Compara las tasas de mensajes de texto para cada persona utilizando la tabla de razones.

Michaela

Minutos 3 5 7 9 Palabras 150 250 350 450

Jenna


Maria


Lección 11:

Comparar razones utilizando tablas de razones S.41


41

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 11 6 1 Completa la tabla de manera que muestre que Max tiene una tasa de envío de mensajes de texto de 55 palabras por minuto.

Max

Minutos

Palabras

Ejercicio 2: Preparación de jugo (comparación de jugo con agua) a. Las siguientes tablas muestran la comparación de la cantidad de agua en relación con la cantidad de

concentrado de jugo (CJ) en el jugo de uva preparado por tres personas diferentes. ¿Qué jugo tiene la mayor razón de agua-concentrado de jugo y qué jugo tendría el sabor más fuerte? Asegúrate de justificar tu respuesta.

Jugo de Laredo Jugo de Franca Jugo de Milton

Agua CJ Total Agua CJ Total Agua CJ Total 12 4 16 10 2 12 8 2 10 15 5 20 15 3 18 16 4 20 21 7 28 25 5 30 24 6 30 45 15 60 40 8 48 40 10 50

Coloca los jugos en orden, desde el jugo que contiene la mayor cantidad de agua hasta el jugo que contiene la menor cantidad de agua.

___________________ ____________________ _____________________ Explica cómo utilizaste los valores de la tabla para determinar el orden. ¿Qué razón se utilizó para crear cada tabla? Laredo: ___________________________ Franca: ____________________________ Milton: ___________________________

Lección 11:



42

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 11 6 1 Explica cómo la razón podría ayudarte a comparar los jugos. b. Al día siguiente, cada una de las tres personas preparó jugo nuevamente, pero esta vez era jugo de

manzana. ¿Qué jugo tiene la mayor razón de agua-concentrado de jugo y qué jugo tendría el sabor más fuerte? Asegúrate de justificar tu respuesta.

Jugo de Laredo Jugo de Franca Jugo de Milton

Agua CJ Total Agua CJ Total Agua CJ Total 12 2 14 15 6 21 16 6 22 18 3 21 20 8 28 24 9 33 30 5 35 35 14 49 40 15 55 42 7 49 50 20 70 64 24 88

Coloca los jugos en orden, desde el que tiene el sabor a manzana más fuerte hasta el que tiene el sabor a manzana más suave.

___________________ ____________________ _____________________ Explica cómo utilizaste los valores de la tabla para determinar el orden. ¿Qué razón se utilizó para crear cada tabla? Laredo: ___________________________ Franca: ____________________________ Milton: ___________________________

Lección 11:



43


Explica cómo la razón podría ayudarte a comparar los jugos. ¿En qué se diferencia este problema con las preguntas sobre el jugo de uva de la parte (a)?

c. Max y Sheila están preparando jugo de naranja. Max mezcló 15 tazas de agua con 4 tazas de

concentrado de jugo. Sheila preparó su jugo mezclando 8 tazas de agua con 3 tazas de concentrado de jugo. Compara las razones de concentrado de jugo en relación con el agua utilizando tablas de razones. Indica qué bebida tiene una razón concentrado de jugo-agua más alta.

d. Victor está preparando recetas para batidos. Su primera receta lleva 2 tazas de fresas y 7 tazas de otros

ingredientes. Su segunda receta indica que 3 tazas de fresas se combinan con 9 tazas de otros ingredientes. ¿Qué receta de batido tiene más fresas que otros ingredientes? Utiliza tablas de razones para justificar tu respuesta.

Lección 11:



44



Las tablas de razones se pueden utilizar para comparar dos razones.

Busca cantidades iguales de una fila o de una columna para comparar la segunda cantidad asociada con ella.

3 6 12 30

10 25 30 45 7 14 28 70 16 40 48 72

También puedes ampliar los valores de las tablas para obtener cantidades comparables. Otro método sería comparar los valores de las razones. Escribe los valores de las razones como fracciones y luego utiliza tus conocimientos de fracciones para comparar las razones. Cuando las razones se expresan con palabras, los estudiantes pueden crear una tabla de razones equivalentes para comparar las razones.

12:35 en comparación con 8:20

Cantidad 1 12 24 36 48 Cantidad 1 8 56 Cantidad 2 35 70 105 140 Cantidad 2 20 140

Conjunto de problemas 1. Sarah y Eva estaban nadando.

a. Utiliza las siguientes tablas de razones para determinar quién nada más rápido.

Sarah Tiempo (min) 3 5 12 17

Distancia (en metros) 75 125 300 425

Eva Tiempo (min) 2 7 10 20

Distancia (en metros) 52 182 260 520

b. Explica el método que utilizaste para determinar tu respuesta. 2. Una persona de 120 lb pesaría aproximadamente 20 lb en nuestra luna. Una persona de 150 lb pesaría

28 lb en Io, una luna de Júpiter. Utiliza tablas de razones para determinar qué luna haría que una persona pesara más.

Lección 11:



45


Lección 12: De tablas de razones a diagramas de líneas numéricas dobles Trabajo en clase Ejercicio 2 La cantidad de bebidas azucaradas que consumen los estadounidenses es una de las principales preocupaciones sobre la salud. 12 onzas de una determinada bebida de cola contienen aproximadamente 40 gramos de azúcar. Completa la tabla de razones utilizando la razón dada para encontrar razones equivalentes.

Bebida de cola (onzas) 12

Azúcar (gramos) 40

Ejercicio 3

Una botella de 1 litro de bebida de cola contiene aproximadamente 34 onzas líquidas. ¿Cuántos gramos de azúcar habría en una botella de 1 litro de bebida de cola? Explica y muestra cómo llegaste a la solución. Ejercicio 4

La cafetería de una escuela tiene una restricción respecto a la cantidad de bebidas azucaradas disponibles para los estudiantes. Las bebidas no pueden contener más de 25 gramos de azúcar. Según esta restricción, ¿cuál es la bebida de cola de mayor tamaño (en onzas) que la cafetería puede ofrecer a los estudiantes?

Lección 12:

De tablas de razones a diagramas de líneas numéricas dobles S.46


46

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 12 6 1 Ejercicio 5 Shontelle resuelve tres problemas matemáticos en cuatro minutos.

a. Utiliza esta información para completar la siguiente tabla.

Cantidad de preguntas 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Cantidad de minutos

b. Shontelle tiene una práctica de fútbol el jueves por la noche. Tiene media hora antes de la práctica para trabajar en su tarea de matemáticas y para hablar con sus amigas. Tiene 20 preguntas de habilidades matemáticas de tarea y quiere terminarlas antes de hablar con sus amigas. ¿Cuántos minutos le quedarán a Shontelle después de terminar su tarea de matemáticas para hablar con sus amigas?

Utiliza un diagrama de líneas numéricas dobles para justificar tu respuesta y muestra todo tu trabajo.

Lección 12:



47



Diagrama de líneas numéricas dobles: es una herramienta utilizada para comprender la equivalencia de dos números relacionados. Se llama doble porque cada marca de la línea tiene dos números asociados a ella. La fila superior de números describe el entero representado por la línea de una manera, y la fila inferior describe el entero representado por la línea de otra manera. Dado que la línea entera es la misma, es posible ver las equivalencias entre las filas de números en cualquier punto de la línea.

Conjunto de problemas 1. Mientras estaba de compras, Kyla encontró un vestido que le gustaría comprar, pero cuesta $52.25 más

que lo que tiene. Kyla cobra $5.50 por hora por cuidar niños. Ella quiere averiguar cuántas horas debe cuidar niños para ganar $52.25 y comprar el vestido. Utiliza una línea numérica doble para justificar tu respuesta.

2. Frank ha estado manejando a una velocidad constante durante 3 horas, durante las cuales recorrió 195

millas. A Frank le gustaría saber cuánto le tomará completar las 455 millas restantes si mantiene la misma velocidad constante. Ayuda a Frank a determinar cuánto tiempo le tomará lo que queda del viaje. Incluye una tabla o un diagrama para justificar tu respuesta.

Lección 12:



48


Lección 13: De tablas de razones a ecuaciones utilizando el valor de una

razón Trabajo en clase Ejercicio 1 Jorge está mezclando un tono especial de pintura naranja. Mezcló 1 galón de pintura roja con 3 galones de pintura amarilla. Según esta razón, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 3

4 de una mezcla de 4 galones sería pintura amarilla.

Cada galón de pintura amarilla requiere 13 de galón de pintura roja.

Cada galón de pintura roja requiere 3 galones de pintura amarilla.

Hay 1 galón de pintura roja en una mezcla de 4 galones de pintura naranja.

Hay 2 galones de pintura amarilla en una mezcla de 8 galones de pintura naranja.

Utiliza el siguiente espacio para determinar si cada enunciado es verdadero o falso.

Lección 13:

De tablas de razones a ecuaciones utilizando el valor de una razón S.49


49

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 13 6 1 Ejercicio 2 Según la información de la pintura roja y amarilla del ejercicio 1, completa la siguiente tabla.

Pintura roja (R) Pintura amarilla (Am) Relación

3 3 = 1 X 3

2

9 9 = 3 X 3

12

5

Ejercicio 3

Azul (Az) Roja (R) Relación

Lección 13:



50

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 13 6 1 a. Utilizando la misma relación de rojo a azul anterior, crea una tabla que muestre la relación de los 3

colores de pintura: azul, rojo y púrpura (total). Az representa la cantidad de galones de pintura azul, 𝑅𝑅 representa la cantidad de galones de pintura roja, y 𝑇𝑇 representa la cantidad total de galones de pintura (púrpura). Luego, escribe una ecuación que muestre la relación entre la pintura azul y la pintura total, y responde las preguntas.

Azul (Az) Rojo (R) Pintura total (T)

Ecuación

Valor de la razón de la pintura total en relación con la pintura azul:

¿Cómo se relaciona el valor de la razón con la ecuación?

b. Durante un ejercicio de entrenamiento especial de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos, la razón de la

cantidad de hombres en relación con la cantidad de mujeres era 6:1. Utiliza la tabla de razones que se proporciona a continuación para crear al menos dos ecuaciones que muestren la relación entre la cantidad de hombres y la cantidad de mujeres que participan en este ejercicio de entrenamiento.

Mujeres (M) Hombres (H) Ecuación

Si participaron 200 mujeres en el ejercicio de entrenamiento, utiliza una de tus ecuaciones para calcular la cantidad de hombres que participaron.

Lección 13:



51

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 13 6 1 c. Malia está en un viaje en automóvil. Durante los primeros cinco minutos de su viaje, ve 18 automóviles y

6 camiones. Suponiendo que esta razón de automóviles en relación con camiones permanece constante a lo largo del viaje, completa la tabla de razones utilizando esta comparación. C representa la cantidad de camiones que ve, y A representa la cantidad de automóviles que ve.

Camiones (C) Automóviles (A) ¿Cuál es el valor de la razón de la cantidad de automóviles en relación con la cantidad de camiones? ¿Qué ecuación mostraría la relación entre automóviles y camiones? Al final del viaje, Malia había contado 1,254 camiones. ¿Cuántos automóviles vio?

1

3

18

12

60

d. Kevin está entrenando para correr una media maratón. Su programa de entrenamiento recomienda que

corra durante 5 minutos y camine durante 1 minuto. Cor representa la cantidad de minutos que corre, y Cam representa la cantidad de minutos que camina.

Minutos que corre (Cor) 10 20 50

Minutos que camina (Cam) 1 2 8

¿Cuál es el valor de la razón de la cantidad de minutos que camina en relación con la cantidad de minutos que corre? ¿Qué ecuación utilizarías para calcular los minutos que caminó si conoces la cantidad de minutos que corrió?

Lección 13:



52



El valor de una razón se puede determinar utilizando una tabla de razones. Este valor se puede utilizar para escribir una ecuación que también represente la razón.

Ejemplo:

1 4

2 8

3 12

4 16

La tabla de multiplicación puede ser un recurso valioso que podemos utilizar al observar razones. Las diferentes filas se pueden utilizar para hallar razones equivalentes.

Conjunto de problemas Una receta de galletas necesita 1 taza de azúcar blanca y 3 tazas de azúcar morena. Haz una tabla que muestre la comparación de la cantidad de azúcar blanca con la cantidad de azúcar morena.

Azúcar blanca (B) Azúcar morena (M)

1. Escribe el valor de la razón de la cantidad de azúcar blanca en relación con la cantidad de azúcar morena. 2. Escribe una ecuación que muestre la relación de la cantidad de azúcar blanca con la cantidad de azúcar

morena. 3. Explica cómo se puede ver el valor de la razón en la tabla. 4. Explica cómo se puede ver el valor de la razón en la ecuación.

Lección 13:



53

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 13 6 1 Utilizando la misma receta, compara la cantidad de azúcar blanca con la cantidad total de azúcar que se utiliza en la receta.

Haz una tabla que muestre la comparación de la cantidad de azúcar blanca con la cantidad total de azúcar.

Azúcar blanca (B) Total de azúcar (T)

5. Escribe el valor de la razón de la cantidad total de azúcar en relación con la cantidad de azúcar blanca. 6. Escribe una ecuación que muestre la relación del total de azúcar en relación con el azúcar blanco.

Lección 13:



54


Lección 14: De tablas de razones, ecuaciones y diagramas de líneas

numéricas dobles a gráficos en el plano de coordenadas Trabajo en clase Kelli está viajando en tren con su equipo de fútbol de Yonkers, Nueva York, a Morgantown, Virginia Occidental, por un torneo. La distancia entre Yonkers y Morgantown es de 400 millas. El viaje total durará 8 horas. El programa del tren se proporciona a continuación:

Partida de Yonkers, Nueva York

Partida de Morgantown, Virginia Occidental

Destino Distancia Destino Distancia Allentown, Pensilvania 100 millas Berkeley Springs,

Virginia Occidental 100 millas

Carlisle, Pensilvania 200 millas Carlisle, Pensilvania 200 millas

Berkeley Springs, Virginia

Occidental 300 millas Allentown,

Pensilvania 300 millas

Morgantown, Virginia

Occidental 400 millas Yonkers, Nueva York 400 millas

Ejercicios

1. Crea una tabla para mostrar el tiempo que le tomará a Kelli y a su equipo viajar desde Yonkers hasta cada ciudad enumerada en el programa, suponiendo que la razón de la cantidad de tiempo viajado en relación con la distancia recorrida es la misma para cada ciudad. Luego, amplía la tabla para incluir el tiempo total que les tomará llegar a cada destino en el viaje de regreso.

Horas Millas

Lección 14:

De tablas de razones, ecuaciones y diagramas de líneas numéricas dobles a gráficos en el plano de coordenadas S.55


55

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 14 6 1 2. Crea un diagrama de líneas numéricas dobles para mostrar el tiempo que le tomará a Kelli y a su equipo

viajar desde Yonkers hasta cada ciudad enumerada en el programa. Luego, amplía el diagrama de líneas numéricas dobles para incluir el tiempo total que les tomará llegar a cada destino en el viaje de regreso. Representa con una ecuación la razón de la distancia recorrida en el viaje de ida y vuelta en relación con la cantidad de tiempo que tomó.

Utilizando la información del diagrama de líneas numéricas dobles, ¿cuántas millas se recorrerían en una hora? _________ ¿Cómo lo sabes?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Ejemplo 1

El servicio de cena comienza una vez que el tren está a 250 millas de distancia de Yonkers. ¿Cuál es el tiempo mínimo que los jugadores tendrán que esperar antes de poder cenar?

Horas Millas Pares ordenados

Lección 14:



56


Resumen de la lección Se puede utilizar una tabla de razones, una ecuación o un diagrama de líneas numéricas dobles para crear pares ordenados. Estos pares ordenados se pueden trazar luego en un plano de coordenadas como una representación de la razón.

Ejemplo:

Ecuación: 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥

x y

0 0

1 3

2 6

3 9

Pares ordenados (x; y) (0; 0) (1; 3) (2; 6) (3; 9)

Conjunto de problemas 1. Completa la tabla de valores para hallar lo que se solicita a continuación.

Encuentra la cantidad de tazas de azúcar que necesita Karrie si, por cada pastel que prepara, tiene que utilizar 3 tazas de azúcar.

Tartas Tazas de azúcar

1

2

3

4

5

6

Utiliza un gráfico para representar la relación.

Lección 14:



57

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 14 6 1 Crea un diagrama de líneas numéricas dobles para mostrar la relación.

2. Escribe el contexto de una historia que se representaría con la razón 1:4.

Completa una tabla de valores para esta ecuación y para este gráfico.

Lección 14:



58


Lección 15: Una síntesis de representaciones de recopilaciones de

razones equivalentes Trabajo en clase Desafío

Al final del segmento de noticias de esta mañana, la estación de televisión local destacó las mascotas de la zona que necesitan ser adoptadas. La estación mostró en pantalla una página web específica para que los televidentes encontraran más información sobre las mascotas que se mostraron y el proceso de adopción. El productor de la estación verificó la página web dos horas después del final de la transmisión y vio que había recibido 24 visitas. Una hora después de eso, la página web había recibido 36 visitas. Ejercicio 1

Crea una tabla para determinar cuántas visitas tuvo probablemente la página web una hora después del final de la transmisión según la cantidad de visitas que tuvo dos y tres horas después del final de la transmisión. Utilizando esta relación, predice cuántas visitas tendrá la página web 4, 5 y 6 horas después del final de la transmisión. Ejercicio 2

¿Cuál es el número constante, 𝑐𝑐, que hace que estas razones sean equivalentes? Utilizando una ecuación, representa la relación entre la cantidad de visitas, 𝑣𝑣, que recibió la página web y la cantidad de horas, ℎ, posteriores a la transmisión de noticias de esta mañana.

Lección 15:

Una síntesis de representaciones de recopilaciones de razones equivalentes S.59


59

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 15 6 1 Ejercicio 3

Utiliza la tabla creada en el ejercicio 1 para identificar grupos de pares ordenados que se puedan representar en el gráfico. Ejercicio 4

Utiliza los pares ordenados que creaste para representar la relación entre las horas y la cantidad de visitas en un plano de coordenadas. Marca tus ejes y crea un título para el gráfico. ¿Los puntos que representaste en el gráfico están sobre una línea recta? Si es así, dibuja la línea recta a través de los puntos.

Lección 15:



60


Predice cuántas visitas tendrá la página web después de doce horas. Utiliza, al menos, dos representaciones (por ejemplo, un diagrama de cintas, una tabla o un diagrama de líneas numéricas dobles) para justificar tu respuesta.

Lección 15:



61


También, en la transmisión de noticias, un chef de un restaurante italiano local demostró cómo prepara pasta fresca a diario para su restaurante. La receta para esta pasta se encuentra a continuación:

3 huevos batidos

1 cucharadita de sal

2 tazas de harina común

2 cucharadas de agua

2 cucharadas de aceite vegetal

Determina la razón de cucharadas de agua en relación con la cantidad de huevos. Completa la siguiente tabla para determinar los pares ordenados según la información que se brinda en ella. Utiliza los pares ordenados para representar en el gráfico la relación de la cantidad de cucharadas de agua en relación con la cantidad de huevos.

Cucharadas de agua

Cantidad de huevos

2

4

6

8

10

12

¿Qué tendrías que hacerle al gráfico para encontrar cuántos huevos se necesitarían si la receta fuera para más porciones y llevara 16 cucharadas de agua? Demuéstralo en tu gráfico.

¿Cuántos huevos se necesitarían si la receta llevara 16 cucharadas de agua?

Lección 15:



62


Determina cuántas cucharadas de agua se necesitarán si el chef estuviera preparando una tanda grande de pasta y la receta aumentara a 36 huevos. Justifica tu razonamiento utilizando, al menos, un diagrama que encuentres que se aplique mejor a la situación y explica por qué esa herramienta es la más útil.

Lección 15:



63


Resumen de la lección Hay varias maneras en las que podemos representar la misma recopilación de razones equivalentes. Estas incluyen tablas de razones, diagramas de cintas, diagramas de líneas numéricas dobles, ecuaciones y gráficos en planos de coordenadas.

Conjunto de problemas 1. El productor de la estación de noticias publicó un artículo sobre la ceremonia del campeonato de fútbol

americano de la escuela secundaria en una nueva página web. La página web tuvo 500 visitas después de cuatro horas. Crea una tabla para mostrar cuántas visitas tendría la página web después de la primera, de la segunda y de la tercera hora posteriormente a la publicación si la página web recibiera visitas a la misma tasa. ¿Cuántas visitas recibiría la página web después de 5 horas?

2. Escribe una ecuación que represente la relación del problema 1. ¿Ves alguna conexión entre las

ecuaciones que escribiste y la razón de la cantidad de visitas en relación con la cantidad de horas? 3. Utiliza la tabla del problema 1 para hacer una lista de pares ordenados que podrías representar en un

plano de coordenadas. 4. Representa los pares ordenados en un plano de coordenadas. Marca tus ejes y crea un título para el

gráfico. 5. Utiliza varias herramientas para predecir cuántas visitas hubiera recibido el sitio web después de 12

horas.

Lección 15:



64


Lección 16: De razones a tasas Trabajo en clase

Las razones se pueden transformar en tasas y en tasas unitarias.

Ejemplo 1: Introducción a tasas y a tasas unitarias

La bebida de cola dietética estuvo en oferta la semana pasada. Los 4 paquetes de bebida de cola dietética costaban $10.

a. ¿Cuánto costaban 2 paquetes de bebida de cola dietética? b. ¿Cuánto costaba 1 paquete de bebida de cola dietética?

Desafío

1. Teagan fue a Gamer Realm para comprar nuevos videojuegos. Gamer Realm tenía una oferta: 4 videojuegos por $65. Compró 3 juegos para él y uno para su amigo, Diego; sin embargo, Teagan no sabe cuánto le debe Diego por ese juego. ¿Cuál es el precio unitario de los videojuegos? ¿Cuál es la unidad de la tasa?

Lección 16:

De razones a tasas S.65


65

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 16 6 1 2. Cuatro fanáticos de fútbol se turnaron para manejar la distancia desde Nueva York hasta Oklahoma para

ver un gran partido. Cada conductor colocó el control de velocidad crucero durante su parte del viaje, lo que le permitía viajar a una velocidad constante. El grupo cambiaba de conductor cada vez que se detenían a echar gasolina, y anotaban sus tiempos de conducción y las distancias en la siguiente tabla.

Fanático Distancia (millas) Tiempo (horas)

Andre 208 4

Matteo 456 8

Janaye 300 6

Greyson 265 5

Utiliza los datos proporcionados para responder las siguientes preguntas. a. ¿Qué dos cantidades se están comparando? b. ¿Cuál es la razón de las dos cantidades para la parte del viaje de Andre? ¿Cuál es la tasa asociada?

Razón de Andre: _________________ Tasa de Andre: ________________ c. Responde las mismas dos preguntas de la parte (b) para los otros tres conductores.

Razón de Matteo: _________________ Tasa de Matteo: _________________ Razón de Janaye: _________________ Tasa de Janaye: _________________ Razón de Greyson: _________________ Tasa de Greyson: _________________

d. Por cada conductor de las partes (b) y (c), encierra en un círculo la tasa unitaria y coloca un recuadro

alrededor de la unidad de la tasa.

Lección 16:



66

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 16 6 1 3. Una editorial está buscando nuevos empleados para que mecanografíen novelas que se publicarán

pronto. La editorial quiere encontrar a alguien que pueda mecanografiar al menos 45 palabras por minuto. Dominique descubrió que puede mecanografiar a una tasa constante de 704 palabras cada 16 minutos. ¿Mecanografía lo suficientemente rápido Dominique como para calificar para el trabajo? Explica por qué sí o por qué no.

Lección 16:



67


Resumen de la lección Una razón de dos cantidades, tal como 5 millas cada 2 horas, se puede escribir como otra cantidad llamada tasa. La parte numérica de la tasa se llama tasa unitaria y es simplemente el valor de la razón, en este caso 2.5. Esto significa que, en 1 hora, el automóvil recorre 2.5 millas. La unidad para la tasa es millas/hora, que se lee "millas por hora". Conjunto de problemas La familia Scott está intentando ahorrar todo el dinero que les sea posible. Una manera de recortar sus gastos es encontrar ofertas en las compras del supermercado; sin embargo, la familia Scott necesita ayuda para determinar qué tiendas tienen las mejores ofertas. 1. En Grocery Mart, las fresas cuestan $2.99 por 2 lb; y, en Baldwin Hills Market, las fresas cuestan $3.99

por 3 lb. a. ¿Cuál es el precio unitario de las fresas en cada almacén? Si es necesario, redondea al centavo más

cercano. b. Si la familia Scott quiere ahorrar dinero, ¿dónde deberían ir a comprar fresas? ¿Por qué?

2. Las papas están de oferta tanto en Grocery Mart como en Baldwin Hills Market. En Grocery Mart, una

bolsa de 5 lb de papas cuesta $2.85; en Baldwin Hills Market, una bolsa de 7 lb de papas cuesta $4.20. ¿Qué tienda ofrece la mejor oferta de papas? ¿Cómo lo sabes? ¿Cuánto mejor es la oferta?

Lección 16:



68


Lección 17: De tasas a razones Trabajo en clase Dada una tasa, puedes calcular la tasa unitaria y las razones asociadas. Reconoce que todas las razones asociadas con una tasa dada son equivalentes porque tienen el mismo valor.

Ejemplo 1

Escribe cada razón como una tasa.

a. La razón de millas en relación con la cantidad de horas es 434 a 7.

b. La razón de la cantidad de vueltas en relación con la cantidad de minutos es 5 a 4.

Ejemplo 2

a. Completa el siguiente modelo utilizando la razón de la parte (b) del ejemplo 1.

Razón Tasa unitaria Tasa

vueltas/minuto

Lección 17:

De tasas a razones S.69


69


b. Completa el siguiente modelo ahora utilizando la tasa que se enumera a continuación.

Razón Tasa unitaria Tasa

6 ft/segundo

Ejemplo 3 a 6

3. Dave puede limpiar piscinas a una tasa constante de 3

5 de piscina/hora.

a. ¿Cuál es la razón de la cantidad de piscinas en relación con la cantidad de horas? b. ¿Cuántas piscinas puede limpiar Dave en 10 horas? c. ¿Cuánto tiempo le toma a Dave limpiar 15 piscinas?

Lección 17:



70

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 17 6 1 4. Emeline puede mecanografiar a una tasa constante de 1

4 de página/minuto.

a. ¿Cuál es la razón de la cantidad de páginas en relación con la cantidad de minutos? b. Emeline tiene que mecanografiar un artículo de 5 páginas, pero solo tiene 18 minutos hasta el

momento de la entrega. ¿Tiene suficiente tiempo Emeline para mecanografiar el artículo? ¿Por qué sí o por qué no?

c. Emeline tiene que mecanografiar un artículo de 7 páginas. ¿Cuánto tiempo le tomará?

5. Xavier puede nadar a una velocidad constante de 5

3 de metro/segundo.

a. ¿Cuál es la razón de la cantidad de metros en relación con la cantidad de segundos? b. Xavier está intentando clasificarse para el Encuentro Nacional de Natación. Para hacerlo, debe

terminar una carrera de 100 metros en 55 segundos. ¿Podrá clasificarse Xavier? ¿Por qué sí o por qué no?

c. Xavier también está intentando clasificarse para el mismo encuentro en el evento de 200 metros.

Para hacerlo, Xavier debería terminar la carrera en 130 segundos. ¿Podrá clasificarse Xavier para esta carrera? ¿Por qué sí o por qué no?

Lección 17:



71

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 17 6 1 6. La tienda de la esquina vende manzanas a una tasa de 1.25 dólares por manzana.

a. ¿Cuál es la razón de la cantidad en dólares en relación con la cantidad de manzanas? b. Akia solo puede gastar $10 en manzanas. ¿Cuántas manzanas puede comprar? c. Christian tiene $6 en su billetera y quiere gastarlos en manzanas. ¿Cuántas manzanas puede comprar

Christian?

Lección 17:



72


Resumen de la lección Una tasa de 2

3 de gal/min corresponde a la tasa unitaria de 2

3 y también corresponde a la razón 2:3.

Todas las razones asociadas con una tasa dada son equivalentes porque tienen el mismo valor. Conjunto de problemas 1. Una vez que un avión comercial alcanza la altitud deseada, el piloto viaja por lo general a una velocidad

crucero. En promedio, la velocidad crucero es de 570 millas/hora. Si un avión viaja a esta velocidad crucero durante 7 horas, ¿qué distancia recorre el avión mientras viaja a esta velocidad crucero?

2. En Denver, Colorado, hay tormentas de nieve con frecuencia, lo que genera la acumulación de varias

pulgadas de nieve. Durante la última tormenta, la nieve se acumuló a 45 de pulgada/hora. Si la nieve

continúa a esta tasa durante 10 horas, ¿cuánta nieve se acumulará?

Lección 17:



73


Lección 18: Encontrar una tasa dividiendo dos cantidades Trabajo en clase Ejercicios de modelos matemáticos 1. En Fun Burger, el cocinero puede preparar hamburguesas a una tasa de 4 hamburguesas/minuto. Para

atender el gran volumen de clientes, necesita continuar a esta tasa durante 30 minutos. Si continúa preparando hamburguesas a este ritmo, ¿cuántas hamburguesas preparará el cocinero en 30 minutos?

2. Chandra es una editora en el periódico New York Gazette. Su trabajo es leer cada artículo antes de que

se imprima en el periódico. Si Chandra puede leer 10 palabras/segundo, ¿cuántas palabras puede leer en 60 segundos?

Lección 18:

Encontrar una tasa dividiendo dos cantidades S.74


74

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 18 6 1 Ejercicios Utiliza la siguiente tabla para escribir tu trabajo y las respuestas para las estaciones. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Lección 18:



75


Resumen de la lección Podemos convertir unidades de medida utilizando tasas. La información se puede utilizar para interpretar aún más el problema. He aquí un ejemplo:

Conjunto de problemas 1. Enguun gana $17 por hora enseñando a atletas estudiantes en la Universidad de Brooklyn.

a. Si Enguun enseñó durante 12 horas este mes, ¿cuánto dinero ganó este mes? b. Si Enguun enseñó durante 19.5 horas el mes pasado, ¿cuánto dinero ganó el mes pasado?

2. El club de natación Piney Creek se está preparando para el día de la inauguración de la temporada de

verano. La piscina tiene una capacidad de 22, 410 galones de agua, y el agua se bombea a 540 galones por hora. El club de natación tiene su primera práctica en 42 horas. ¿Estará la piscina llena a tiempo? Explica tu respuesta.

Lección 18:



76


Lección 19: Comparación de precios - Precio unitario y conversiones de

medidas relacionadas Trabajo en clase Analiza las tablas, los gráficos y las ecuaciones para comparar las tasas.

Ejemplos: Creación de tablas a partir de ecuaciones

1. La razón de las tazas de pintura azul en relación con las tazas de pintura roja es 1:2, lo que significa que por cada taza de pintura azul, hay dos tazas de pintura roja. En este caso, la ecuación sería roja =2 X azul, o 𝑟𝑟 = 2az, donde az representa la cantidad de pintura azul y 𝑟𝑟 representa la cantidad de pintura roja. Haz una tabla de valores.

2. La señora Siple es una bibliotecaria que disfruta mucho de la lectura. Puede leer 3

4 de libro en un día.

Esta relación se puede representar con la ecuación días = 34 de libro, lo que se puede escribir como

𝑑𝑑 = 34l, donde l representa la cantidad de libros y 𝑑𝑑 representa la cantidad de días.

Lección 19:

Comparación de precios - Precio unitario y conversiones de medidas relacionadas S.77


77

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 19 6 1 Ejercicios 1. Bryan y ShaNiece están entrenando para una carrera ciclista y quieren comparar quién monta su

bicicleta a una tasa más rápida. Ambos utilizan aplicaciones en sus teléfonos para registrar el tiempo y la distancia de sus recorridos en bicicleta. La aplicación de Bryan lleva el registro de su ruta en una tabla y la de ShaNiece presenta la información en un gráfico. La información se muestra a continuación.

Bryan:

Cantidad de horas 0 3 6

Cantidad de millas 0 75 150

Ca

ntid

ad d

e m

illas

ShaNiece: Horas vs. Millas

Cantidad de horas

a. ¿A qué tasa viaja cada uno? Explica cómo llegaste a tu respuesta. b. ShaNiece quiere ganar la carrera ciclista. Haz un nuevo gráfico para mostrar la velocidad a la que

ShaNiece tendría que montar su bicicleta para ganarle a Bryan.

Lección 19:



78

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 19 6 1 2. Braylen y Tyce trabajan en unos grandes almacenes y se les paga por hora. El gerente les dijo a los

muchachos que ambos ganan la misma cantidad de dinero por hora; sin embargo, Braylen y Tyce no estuvieron de acuerdo. Cada uno anotó cuánto dinero ganó para determinar si el gerente tenía razón. Sus datos se muestran a continuación.

Braylen: d = 10.50 ℎ, donde ℎ representa la cantidad de horas trabajadas y d representa la cantidad de dinero que se le pagó a Braylen.

Tyce:

Cantidad de horas 0 3 6

Dinero en dólares 0 34.50 69

a. ¿Cuánto ganó cada uno en una hora? b. ¿Tenía razón el gerente? ¿Por qué sí o por qué no?

Lección 19:



79

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 19 6 1 3. Claire y Kate participan en una competición de apilamiento de vasos. Ambas niñas tienen la misma

estrategia: apilar los vasos a una tasa constante de manera que la velocidad no disminuya al final de la carrera. Mientras practican, llevan un registro de su progreso, que se muestra a continuación.

Claire:

Can

tidad

de

vaso

s ap

ilado

s

Segundos vs. Vasos apilados

Cantidad de segundos

Kate: v = 4 t, donde t representa la cantidad de tiempo en segundos y v representa la cantidad de vasos apilados.

a. ¿A qué tasa apila sus vasos cada niña durante las sesiones de práctica? b. Kate nota que no está apilando sus vasos lo suficientemente rápido. ¿Cómo se vería la ecuación de

Kate si quisiera apilar los vasos más rápido que Claire?

Lección 19:



80


Resumen de la lección Al comparar tasas y razones, es mejor encontrar la tasa unitaria. La comparación de tasas unitarias puede hacerse en tablas, gráficos y ecuaciones. Conjunto de problemas Victor tenía problemas para decidir qué vehículo nuevo debía comprar. Decidió que tomaría la decisión definitiva según la eficiencia de gasolina de cada automóvil. Un automóvil que es más eficiente en términos de gasolina recorre más millas por galón de gasolina. Cuando le pidió al gerente de cada concesionario los datos sobre el consumo de gasolina, recibió dos representaciones diferentes, que se muestran a continuación. Vehículo 1: Legend

Galones de gasolina 4 8 12

Cantidad de millas 72 144 216

Vehículo 2: Supreme

Can

tidad

de

mill

as

Galones de gasolina vs. Millas

Galones de gasolina

1. Si Victor basa su decisión solamente en la eficiencia de gasolina, ¿qué automóvil debería comprar?

Proporciona una justificación para tu respuesta. 2. Después de comparar los automóviles Legend y Supreme, Victor vio una publicidad de un tercer

vehículo: Lunar. El gerente le dijo que Lunar puede recorrer aproximadamente 289 millas con un tanque de gasolina. Si el tanque de gasolina puede contener 17 galones de gasolina, ¿es Lunar la mejor opción para Victor? ¿Por qué sí o por qué no?

Lección 19:



81


Lección 20: Comparación de precios - Precio unitario y conversiones de

medidas relacionadas Trabajo en clase Vas a completar una actividad para ganar confianza al comparar tasas en tablas, gráficos y ecuaciones.

Ejemplo 1: Notas del Boleto de salida

Toma notas del debate en el siguiente espacio proporcionado.

Observaciones:

Desafío

1. Mallory tiene un presupuesto limitado y quiere determinar qué cereal le conviene comprar. Una caja de cereal de 10 onzas cuesta $2.79 y una caja del mismo cereal de 13 onzas cuesta $3.99.

a. ¿Qué caja de cereal debería comprar Mallory? b. ¿Cuál es la diferencia entre los dos precios unitarios?

Lección 20:



82

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 20 6 1 2. Vivian quiere comprar sandías. Kingston’s Market tiene sandías de 10 libras a $3.90, pero Farmer's

Market tiene sandías de 12 libras a $4.44.

a. ¿Qué mercado tiene el mejor precio de sandías? b. ¿Cuál es la diferencia entre los dos precios unitarios? 3. Mitch necesita comprar refrescos para una fiesta en el trabajo. Está intentando averiguar si es más

barato comprar el paquete de 12 refrescos o el paquete de 20 refrescos. El paquete de 12 refrescos cuesta $3.99, y el paquete de 20 refrescos cuesta $5.48.

a. ¿Qué paquete debería elegir Mitch? b. ¿Cuál es la diferencia entre los precios de una lata de refresco de cada paquete? 4. El señor Steiner necesita comprar 60 pilas AA. Una tienda cercana vende un paquete de 20 pilas AA por

$12.49 y un paquete de 12 de las mismas pilas por $7.20.

a. ¿Sería menos costoso para el señor Steiner comprar las pilas del paquete de 20 o del de 12? b. ¿Cuál es la diferencia entre los precios de una pila?

Lección 20:



83

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 20 6 1 5. La siguiente tabla muestra la cantidad de calorías que Mike quema a medida que corre.

Cantidad de millas recorridas 3 6 9 12

Cantidad de calorías quemadas 360 720 1440

Completa la parte que falta de la tabla. 6. Emilio quiere comprar una nueva motocicleta. Quiere comparar la eficiencia de gasolina de cada

motocicleta antes de realizar la compra. Los concesionarios presentaron los siguientes datos.

Motocicleta deportiva:

Cantidad de galones de gasolina 5 10 15 20

Cantidad de millas 287.5 575 862.5 1,150

Motocicleta recreativa:

Cant

idad

de

mill

as

Galones de gasolina vs. Millas

Galones de gasolina

¿Qué motocicleta tiene más eficiencia de gasolina y por cuánto?

Lección 20:



84

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 20 6 1 7. Milton Middle School está planificando comprar una nueva copiadora. El director redujo la elección a

dos modelos: SuperFast Deluxe y Quick Copies. Él planea comprar la máquina que copie a la tasa más rápida. Utiliza la siguiente información para determinar qué copiadora el director debería elegir.

SuperFast Deluxe:

Can

tidad

de

copi

as

Cantidad de segundos vs. Cantidad de copias

Cantidad de segundos

Quick Copies: 𝑐𝑐 = 1.5 𝑡𝑡

(donde t representa la cantidad de tiempo en segundos y c representa la cantidad de copias).

8. Elijah y Sean están participando en una caminata competitiva. Cada estudiante quiere calcular cuánto

dinero ganaría con sus patrocinadores en diferentes puntos de la caminata. Utiliza la información de las siguientes tablas para determinar qué estudiante ganaría más dinero si ambos caminaran la misma distancia. ¿Cuánto más dinero ganaría ese estudiante por milla?

Plan de patrocinadores de Elijah:

Cantidad de millas caminadas 7 14 21 28 Dinero ganado en dólares 35 70 105 140

Plan de patrocinadores de Sean:

Cantidad de millas caminadas 6 12 18 24 Dinero ganado en dólares 33 66 99 132

Lección 20:



85

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 20 6 1 9. Gerson va a comprar una computadora nueva a fin de usarla para su nuevo trabajo y también para

descargar películas. Tiene que decidir entre dos computadoras diferentes. ¿Cuántos kilobytes más descarga la computadora más rápida en un segundo?

Opción 1: La tasa de descarga se representa a través de la siguiente ecuación: k = 153t, donde t representa la cantidad de tiempo en segundos y k representa la cantidad de kilobytes.

Opción 2: La tasa de descarga se representa a través de la siguiente ecuación: k = 150t, donde t representa la cantidad de tiempo en segundos y k representa la cantidad de kilobytes.

10. Zyearaye está intentando decidir en qué compañía de sistemas de seguridad ganará más dinero

trabajando. Utiliza los siguientes gráficos que muestran la tasa de comisión potencial de Zyearaye para determinar qué compañía le pagará a Zyearaye una mayor comisión. ¿Cuánto mayor sería la comisión que Zyearaye ganaría si eligiera la compañía con la mejor tasa?

Superior Security:

Can

tidad

de

dine

ro g

anad

o en

dól

ares

Cantidad de sistemas de seguridad vs. Cantidad de dinero ganado

Cantidad de sistemas de seguridad

Top Notch Security:

Can

tidad

de

dine

ro g

anad

o en

dól

ares

Cantidad de sistemas de seguridad vs. Cantidad de dinero ganado

Cantidad de sistemas de seguridad

Lección 20:



86

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 20 6 1 11. Emilia y Miranda son hermanas, y su madre les acaba de contratar un nuevo plan de telefonía celular

porque envían demasiados mensajes de texto. Utilizando la siguiente información, determina qué hermana envía la mayor cantidad de mensajes de texto. ¿Cuántos mensajes más envía esta hermana por semana?

Emilia:

Cantidad de semanas 3 6 9 12

Cantidad de mensajes de texto 1,200 2,400 3,600 4,800

Miranda: m = 410s, donde s representa la cantidad de semanas y m representa la cantidad de mensajes de texto.

Lección 20:



87



La tasa unitaria se puede encontrar en tablas, gráficos y ecuaciones. Tabla – la tasa unitaria es el valor de la primera cantidad cuando la segunda cantidad es 1. Gráficos – la tasa unitaria es el valor de ts en el punto (1; ts). Ecuación – la tasa unitaria es el número constante en la ecuación. Por ejemplo, la tasa unitaria en

ts = 3𝑏𝑏 es 3.

Conjunto de problemas La siguiente tabla muestra la cantidad de dinero que Gabe gana trabajando en la cafetería.

Cantidad de horas trabajadas 3 6 9 12

Dinero ganado (en dólares) 40.50 81.00 121.50 162.00 1. ¿Cuánto gana Gabe por hora? 2. Jordan es otro empleado de la misma cafetería. Ha trabajado ahí más tiempo que Gabe y gana $3 más

por hora que Gabe. Completa la siguiente tabla para mostrar cuánto gana Jordan.

Cantidad de horas trabajadas 4 8 12 16 Dinero ganado (en dólares)

3. Serena es la gerenta de la cafetería. La cantidad de dinero que gana está representada por la ecuación:

d = 21 ℎ, donde ℎ representa la cantidad de horas que trabaja Serena y d representa la cantidad de dinero que gana. ¿Cuánto más dinero gana Serena por hora que Gabe? Explica tu razonamiento.

4. El mes pasado, Jordan recibió un ascenso y se convirtió en gerente. Ahora gana lo mismo que Serena.

¿Cuánto más dinero gana por hora, ahora que es gerente, que antes de su ascenso? Explica tu razonamiento.

Lección 20:



88


Lección 21: Terminar el trabajo - Velocidad, trabajo y unidades de medida Trabajo en clase Las tablas de conversión contienen razones que se pueden utilizar para convertir unidades de longitud, de peso o de capacidad. Debes multiplicar el número dado por la razón que compara las dos unidades. Ejercicio inicial

Identifica las razones asociadas con las conversiones entre pies, pulgadas y yardas. 12 pulgadas = ________ pie; la razón de pulgadas a pies es ________. 1 pie = ________ pulgadas; la razón de pies a pulgadas es ________. 3 pies = ________ yarda; la razón de pies a yardas es ________. 1 yarda = ________ pies; la razón de yardas a pies es ________.

Ejemplo 1

Trabaja con tu compañero para averiguar cuántos pies hay en 48 pulgadas. Prepara una tabla de razones que compare pies y pulgadas. Utiliza la tasa de conversión de 12 pulgadas por pie o 1

12 de pie por pulgada.

Lección 21:

Terminar el trabajo - Velocidad, trabajo y unidades de medida S.89


89


Ejemplo 2

¿Cuántos gramos hay en 6 kilogramos? Anota otra vez tu trabajo antes de utilizar la calculadora. La tasa sería de 1,000 gramos por kg. La tasa unitaria sería 1,000. Ejercicio 1 ¿Cuántas tazas hay en 5 cuartos de galón? Como siempre, anota tu trabajo antes de utilizar la calculadora. La tasa sería de 4 tazas por cuarto de galón. La tasa unitaria sería 4.

Lección 21:



90

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 21 6 1 Ejercicio 2 ¿Cuántos cuartos de galón hay en 10 tazas?

Lección 21:



91


Longitud convencional de los Estados Unidos Conversión

Pulgada (in) 1 in = 112

ft Pie (ft) 1 ft = 12 in Yarda (yd) 1 yd = 3 ft

1 yd = 36 in Milla (mi) 1 mi = 1760 yd

1 mi = 5280 ft

Longitud métrica Conversión Centímetro (cm) 1 cm = 10 mm Metro (m) 1 m = 100 cm

1 m = 1000 mm Kilómetro (km) 1 km = 1000 m

Peso convencional de los Estados Unidos Conversión

Libra (lb) 1 lb = 16 oz Tonelada (t) 1 t = 2000 lb

Capacidad métrica Conversión

Litro (l) 1 l = 1000 ml Kilolitro (kl) 1 kl = 1000 l

Capacidad convencional de los Estados Unidos Conversión

Taza (T) 1 T = 8 onzas líquidas Pinta (pt) 1 pt = 2 T Cuarto de galón (qt) 1 qt = 4 T

1 qt = 2 pt 1 qt = 32 onzas líquidas

Galón (gal) 1 gal = 4 qt 1 gal = 8 pt 1 gal = 16 T 1 gal = 128 onzas líquidas

Masa métrica Conversión Gramo (g) 1 g = 1000 mg Kilogramo (kg) 1 kg = 1000 g

Lección 21:



92


Resumen de la lección Las tablas de conversión contienen razones que se pueden utilizar para convertir unidades de longitud, de peso o de capacidad. Debes multiplicar el número proporcionado por la razón que compara las dos unidades. Conjunto de problemas 1. 7 ft = _________ in 2. 100 yd = _________ ft 3. 25 m = _________ cm 4. 5 km = _________ m 5. 96 oz = _________ lb 6. 2 mi = _________ ft 7. 2 mi = _________ yd 8. 32 onzas líquidas = _________ T 9. 1,500 ml = _________ l 10. 6 g = _________ mg 11. Beau compra una bolsa de 3 libras de frutos secos para una excursión. Quiere preparar bolsas de una

onza para sus amigos con los que va a la excursión. ¿Cuántas bolsas de una onza puede preparar? 12. En las autopistas del estado de Nueva York el peso máximo para un camión es de 40 toneladas.

¿Cuántas libras es eso? 13. Los esquíes de Claudia miden 150 centímetros de largo. ¿Cuántos metros es eso? 14. Los esquíes de Claudia miden 150 centímetros de largo. ¿Cuántos milímetros es eso? 15. Escribe tu propio problema y resuélvelo. Prepárate para compartir la pregunta mañana.

Lección 21:



93


Lección 22: Terminar el trabajo - Velocidad, trabajo y unidades de medida Trabajo en clase Si un objeto se mueve a una tasa constante de velocidad durante una determinada cantidad de tiempo, es posible descubrir qué tan lejos fue el objeto multiplicando la tasa y el tiempo. En lenguaje matemático, decimos Distancia = Tasa • Tiempo

Ejemplo 1

Caminante: sustituye la distancia y el tiempo del caminante en la ecuación, y resuélvela para obtener la tasa de velocidad.

Distancia = Tasa • Tiempo 𝑑𝑑 = ts • tm

Pista: considera las unidades que quieres al final. Si quieres tener la tasa (pies/segundo), divide la distancia (pies) por el tiempo (segundos). Corredor: sustituye el tiempo y la distancia del corredor en la ecuación para hallar la tasa de velocidad.

Distancia = Tasa • Tiempo 𝑑𝑑 = ts • tm

Lección 22:



94


Ejemplo 2

Parte 1: Chris Johnson corrió una carrera de 40 yardas en 4.24 segundos. ¿Cuál es la tasa de velocidad? Redondea cualquier respuesta a la centésima más cercana.

Distancia = Tasa • Tiempo

𝑑𝑑 = ts • tm Parte 2: En la lección 21, convertimos unidades de medida utilizando tasas unitarias. Si el corredor pudo correr a una tasa constante, ¿cuántas yardas correría en una hora? Este problema se puede resolver dividiéndolo en dos pasos. Trabaja con un compañero y anota tus cálculos.

a. ¿Cuántas yardas correría en un minuto? b. ¿Cuántas yardas correría en una hora?

Completamos ese problema en dos pasos separados, pero es posible completar este mismo problema en un paso. Podemos multiplicar las yardas por segundo por los segundos por minuto, y luego por los minutos por hora.

_______ yardas

• 60 segundos

• 60 minutos

= _______ yardas en una hora segundo minuto hora

Tacha cualquier unidad que esté tanto en el numerador como en el denominador de la expresión porque se anulan a sí mismas.

Parte 3: ¿cuántas millas recorrió el corredor en esa hora? Redondea tu respuesta a la décima más cercana. Tacha cualquier unidad que esté tanto en el numerador como en el denominador de la expresión porque se anulan a sí mismas.

Lección 22:



95

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 22 6 1 Ejercicios: viaje en automóvil Ejercicio 1

Manejé mi automóvil con control de velocidad crucero a 65 millas por hora durante 3 horas sin detenerme. ¿Qué distancia recorrí? 𝑑𝑑 = ts • tm

d = _________ millas

• _______ horas hora

Tacha cualquier unidad que esté tanto en el numerador como en el denominador de la expresión porque se anulan a sí mismas. 𝑑𝑑 = ___________ millas Ejercicio 2 En el viaje en automóvil, el límite de velocidad cambió a 50 millas por hora en una zona en obras. El tráfico se movió a una tasa constante (50 mph), y me tomó 15 minutos (0.25 horas) atravesar la zona. ¿Cuál era la distancia de la zona en obras? (Redondea tu respuesta a la centésima de una milla más cercana). 𝑑𝑑 = ts • tm

d = _________ millas

• _______ horas hora

Lección 22:



96



Distancia, tasa y tiempo se relacionan por la fórmula 𝑑𝑑 = ts • tm.

Conocer cualquiera de los dos valores permite calcular el tercero.

Conjunto de problemas 1. Si el avión de Adam voló a una velocidad constante de 375 millas por hora durante seis horas, ¿qué

distancia recorrió el avión? 2. Un ratón cosechero corrió una carrera en línea recta de 360 centímetros en 9 segundos. ¿Qué tan

rápido corrió? 3. A otro ratón cosechero le tomó 7 segundos correr una carrera de 350 centímetros. ¿Qué tan rápido

corrió? 4. Un barco a China viaja a una velocidad constante de 17.25 millas por hora durante 200 horas. ¿Qué tan

lejos fue el viaje? 5. El Sopwith Camel fue un avión de caza biplano monoplaza británico de la Primera Guerra Mundial, que

fue presentado en el Frente Occidental en 1917. Si viajó a su máxima velocidad de 110 mph en una dirección durante 2 1

2 horas, ¿qué distancia recorrió el avión?

6. Un corredor de maratones de nivel mundial puede completar 26.2 millas en 2 horas. ¿Cuál es la tasa de

velocidad del corredor? 7. Las babosas banana se pueden mover a 17 cm por minuto. Si una babosa banana avanza durante 5

horas, ¿qué distancia recorrerá?

Lección 22:



97


Lección 23: Resolución de problemas utilizando tasas, tasas unitarias y

conversiones Trabajo en clase Si el trabajo lo realiza una persona a una tasa constante y otra persona a una tasa constante

diferente, ambas tasas se pueden convertir en sus tasas unitarias y luego se pueden comparar directamente.

El "trabajo" puede incluir tareas realizadas en un determinado período, tasas de correr o de nadar, etc.

Ejemplo 1: Césped recién cortado

Supón que un sábado por la mañana puedes cortar el césped de 3 jardines en 5 horas y tu amigo puede cortar el césped de 5 jardines en 8 horas. ¿Quién corta césped a una tasa más rápida?

3 jardines =

_________ jardines 5 jardines =

__________ jardines 5 horas 1 hora 8 horas 1 hora

Ejemplo 2: Publicidad de restaurante

_______ menús

= _________ menús _______ menús

= __________ menús

_______ horas 1 hora _______ horas 1 hora

Lección 23:

Resolución de problemas utilizando tasas, tasas unitarias y conversiones S.98


98


Ejemplo 3: La ley del más fuerte

_____ pies =

______ pies _____ pies =

_______ pies _____ segundos 1 segundo _____ segundos 1 segundo

Ejemplo 4: Dedos voladores

______________ = ______________ ______________ = ______________

Lección 23:



99


Resumen de la lección Los problemas sobre tasas, que incluyen problemas de tasas constantes, siempre cuentan o

miden algo que ocurre por unidad de tiempo. El tiempo siempre está en el denominador. A veces las unidades de tiempo en los denominadores de las tasas que se comparan no son las

mismas. Una debe convertirse en la otra antes de calcular la tasa unitaria de cada una.

Conjunto de problemas 1. ¿Quién camina a una tasa más rápida: alguien que camina 60 pies en 10 segundos o alguien que camina

42 pies en 6 segundos? 2. ¿Quién camina a una tasa más rápida: alguien que camina 60 pies en 10 segundos o alguien al que le

toma 5 segundos caminar 25 pies? Revisa el resumen de la lección antes de responder. 3. ¿Qué paracaídas tiene un descenso más lento: un paracaídas rojo que desciende 10 pies en 4 segundos

o un paracaídas azul que desciende 12 pies en 6 segundos? 4. Durante el invierno entre 2012 y 2013, Buffalo, Nueva York, recibió 22 pulgadas de nieve en 12 horas.

Oswego, Nueva York, recibió 31 pulgadas de nieve durante un período de 15 horas. ¿Qué ciudad tuvo una tasa de nieve más intensa? Redondea tus respuestas a la centésima más cercana.

5. Un marlín rayado puede nadar a una tasa de 70 millas por hora. ¿Es más rápido o más lento que un pez

vela, al que le toma 30 minutos nadar 40 millas? 6. John, un estudiante de matemáticas, puede resolver 6 problemas matemáticos en 20 minutos, mientras

que otro estudiante, Juaquina, puede resolver los mismos 6 problemas matemáticos a una tasa de 1 problema cada 4 minutos. ¿Quién trabaja más rápido?

Lección 23:



100


Lección 24: Porcentajes y tasas por cada 100 Trabajo en clase Ejercicio 1 La granja de frutas de Robb tiene 100 acres, en los que crecen tres tipos diferentes de manzanas. En 25 acres, la granja cultiva manzanas Empire. Las manzanas McIntosh crecen en el 30 % de la granja. En el sector restante de la granja, crecen manzanas Fuji. Sombrea la siguiente cuadrícula para representar la parte de la granja que ocupa cada tipo de manzana. Utiliza un color diferente para cada tipo de manzana. Crea una referencia para identificar qué color representa cada tipo de manzana.

Referencia de color Empire ___________ McIntosh __________ Fuji ______________

Razón de parte a entero _______________________ _______________________ _______________________

Ejercicio 2

La parte sombrada de la siguiente cuadrícula representa la parte restante de una barra de granola.

¿Qué porcentaje representa cada bloque de la barra de granola? ¿Qué porcentaje de la barra de granola sobra? ¿De qué otras maneras podemos representar este porcentaje?

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

Lección 24:

Porcentajes y tasas por cada 100 S.101


101


a. Para cada una de las figuras que se muestran, representa la región sombreada de gris como un porcentaje de la figura entera. Escribe tu respuesta en forma de decimal, de fracción y de porcentaje.

Imagen (a) Imagen (b) Imagen (c)

b. ¿Qué razón se muestra en cada imagen? c. ¿Cómo se relacionan las razones y los porcentajes?

Lección 24:



102


Cada una de las siguientes relaciones compara la parte sombreada (la parte) con la figura entera (el entero). Completa la tabla.

Porcentaje Decimal Fracción Razón Modelo

6 % 6:100

60 %

600 %

32 %

Lección 24:



103


0.55

9

10

Ejercicio 5 El señor Brown comparte con la clase que el 70 % de los estudiantes obtuvo una A en el cuestionario de vocabulario de inglés. Si el señor Brown tiene 100 estudiantes, crea un modelo para mostrar cuántos estudiantes recibieron una A en el cuestionario. ¿Qué fracción de los estudiantes recibió una A en el cuestionario? ¿Cómo representarías esta cantidad utilizando un decimal? ¿Cómo se relacionan el decimal, la fracción y el porcentaje?

Lección 24:



104

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 24 6 1 Ejercicio 6 Marty es dueño de un servicio de corte de césped. Su empresa, que consiste en tres empleados, tiene 100 jardines para cortar esta semana. Utiliza la cuadrícula de 10 x 10 para mostrar cómo se podría haber distribuido el trabajo entre los tres empleados.

Trabajador Porcentaje Fracción Decimal

Empleado 1

Empleado 2

Empleado 3

Colorea el nombre con el mismo color que utilizaste en el diagrama

Lección 24:



105



Porcentaje significa "de 100". Por lo tanto, los porcentajes son fracciones con un denominador de 100. Podemos crear modelos de porcentajes. Un ejemplo sería sombrear una cuadrícula de 10 x 10. Cada casilla en una cuadrícula de 10 x 10 representa el 1 % o 0.01.

Conjunto de problemas 1. Marissa acaba de comprar 100 acres de tierra. Quiere cultivar manzanos, durazneros y cerezos en su

tierra. Colorea el modelo para mostrar cómo se podrían distribuir los acres para cada tipo de árbol. Completa la tabla utilizando tu modelo.

Árbol Porcentaje Fracción Decimal

Manzano

Duraznero

Cerezo

2. Después de realizar obras en la habitación de Kim, solamente el 30 por ciento de una pared permanece

sin decorar. Sombrea la cuadrícula para representar el espacio que falta decorar.

a. ¿Qué representa cada bloque? b. ¿Qué porcentaje de esta pared se ha

decorado?

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

Lección 24:

Porcentajes y tasas cada 100 S.106


106


Lección 25: Una fracción como porcentaje Trabajo en clase

Ejemplo 1

Sam dice que el 50 % de los vehículos son automóviles. Indica tres razones o modelos diferentes para demostrar o para refutar la afirmación de Sam. Los modelos pueden incluir diagramas de cintas, cuadrículas de 10 x 10, líneas numéricas dobles, etc. ¿Cómo se relaciona la fracción de automóviles con el porcentaje? Utiliza un modelo para demostrar que la fracción y el porcentaje son equivalentes. ¿Qué otras fracciones o decimales pueden representar 60 %?

Lección 25:

Una fracción como porcentaje S.107


107


Ejemplo 2

Se realizó una encuesta en la que se les consultó a los participantes si estaban felices con su trabajo o no. Se obtuvo un puntaje general. 300 de los participantes no estaban felices con su trabajo, mientras que 700 sí lo estaban. Proporciona una fracción de parte al total para comparar los participantes felices en relación con el total. Luego, escribe una fracción de parte al total de los participantes que no estaban felices en relación con el total. ¿Qué porcentaje estaba feliz con su trabajo y qué porcentaje no estaba feliz con su trabajo?

Feliz ____________ ____________ No feliz ____________ ____________ Fracción Porcentaje Fracción Porcentaje

Crea un modelo para justificar tu respuesta. Ejercicio 1 Renita dice que un puntaje de 80 % significa que respondió 4

5 de los problemas correctamente. Dibujó la

siguiente imagen para justificar su afirmación.

¿Tiene razón Renita? ______________ ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo podrías cambiar la imagen de Renita para que vea más fácilmente por qué tiene razón o no?

Lección 25:



108

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 25 6 1 Ejercicio 2 Utiliza el diagrama de cintas para responder las siguientes preguntas.

0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 % ¿80 % representa qué fracción de la cantidad total? ¿ 15 representa qué porcentaje de la cantidad total?

¿50 % representa qué fracción de la cantidad total? ¿1 representa qué porcentaje de la cantidad total?

Lección 25:



109

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 25 6 1 Ejercicio 3 Maria completó 3

4 de su jornada de trabajo. Crea un modelo que represente el porcentaje de la jornada de

trabajo que completó Maria. ¿Qué porcentaje de su jornada de trabajo le queda? ¿Cómo demuestra tu modelo que tu respuesta es correcta? Ejercicio 4 Matthew completó 5

8 de su jornada de trabajo. ¿Qué decimal describiría también la parte de la jornada de

trabajo que completó? ¿Cómo puedes utilizar el decimal para obtener el porcentaje de la jornada de trabajo que completó Matthew?

Lección 25:



110

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 25 6 1 Ejercicio 5 Completa las conversiones de fracción a decimal y a porcentaje.

Fracción Decimal Porcentaje 18

0.35

84.5 %

0.325

225

Ejercicio 6 Elige una de las filas de la tabla de conversión del ejercicio 5 y utiliza modelos para demostrar tus respuestas. (Los modelos pueden incluir una cudrícula de 10 x 10, un diagrama de cintas, una línea numérica doble, etc.).

Lección 25:



111



Las fracciones, los decimales y los porcentajes están todos relacionados. Para cambiar una fracción a un porcentaje, puedes aumentar o disminuir de manera que 100 esté en el denominador.

Ejemplo:

920

= 9 𝑥𝑥 5

20 𝑥𝑥 5=

45100

= 45 %

A veces puede ser más beneficioso convertir una fracción en un porcentaje escribiendo primero la fracción en forma de decimal.

Ejemplo:

58 = 0.625 = 62.5 centésimas = 62.5 %

Los modelos, como los diagramas de cintas y las líneas numéricas, también se pueden utilizar para mostrar las relaciones. 0 % 25 % 50 % 75 % 100 %

0 20 40 60 80 El diagrama muestra que 20

80 = 25 %.

Conjunto de problemas

1. Utiliza la cuadrícula de 10 x 10 para expresar la fracción 1120

como porcentaje.

2. Utiliza un diagrama de cintas para relacionar la fracción 11

20 con

un porcentaje. 3. ¿Cómo se relacionan los diagramas? 4. ¿Qué decimal también se relaciona con la fracción? 5. ¿Qué diagrama es el más útil para convertir la fracción en un

decimal? _______________ Explica por qué.

Lección 25:



112


Lección 26: Porcentaje de una cantidad Trabajo en clase

Ejemplo 1

Cinco de las 25 niñas del equipo de fútbol de Alden Middle School son estudiantes de 7° grado. Encuentra el porcentaje de estudiantes de 7° grado del equipo. Muestra dos maneras diferentes de resolverlo para obtener la respuesta. Uno de los métodos debe incluir un diagrama o un dibujo.

Ejemplo 2

De las 25 niñas del equipo de fútbol de Alden Middle School, el 40 % juega también en el equipo visitante. ¿Cuántas de las niñas del equipo de la escuela intermedia también juegan en el equipo visitante?

Lección 26:

Porcentaje de una cantidad S.113


113


Ejemplo 3

El equipo de fútbol de niñas de Alden Middle School ganó el 80 % de sus partidos esta temporada. Si el equipo ganó 12 partidos, ¿cuántos jugó? Resuelve el problema utilizando, al menos, dos métodos diferentes. Ejercicios

1. Hay 60 exhibiciones de animales en el zoológico local. ¿Qué porcentaje de exhibiciones del zoológico representa cada clase de animal?

Exhibiciones por clase de animal Cantidad de exhibiciones Porcentaje de la cantidad total de exhibiciones

Mamíferos 30

Reptiles y anfibios 15

Peces e insectos 12

Aves 3

Lección 26:



114

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 26 6 1 2. Por lo general, un suéter cuesta $32. Esta semana, tiene un descuento del 25 % del precio original.

a. ¿La cantidad que el comprador ahorró se consideraría parte, entero total o porcentaje? b. ¿Cuánto ahorraría un comprador comprando el suéter esta semana? Muestra dos métodos para

encontrar tu respuesta.

3. Un par de jeans tiene un descuento de 30 % del precio original. La oferta generó un descuento de $24.

a. ¿El precio original de los jeans se considera entero total, parte o porcentaje? b. ¿Cuál era el precio original de los jeans antes de la oferta? Muestra dos métodos para encontrar tu

respuesta.

Lección 26:



115

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 26 6 1 4. Comprar un televisor con un descuento del 20 % ahorrará $180.

a. Nombra las diferentes partes con las palabras: PARTE, ENTERO TOTAL, PORCENTAJE.

________________ ________________ ________________ 20 % de descuento $180 Precio original

b. ¿Cuál era el precio original del televisor? Muestra dos métodos para encontrar tu respuesta.

Lección 26:



116


Resumen de la lección Los modelos y los diagramas se pueden utilizar para resolver problemas con porcentajes. De manera similar, los diagramas de cintas, las cuadrículas de 10 x 10, los diagramas de líneas numéricas dobles y otros métodos se pueden utilizar con razones a fin de encontrar el porcentaje, la parte o el total.

Conjunto de problemas 1. ¿Cuál es el 15 % de 60? Crea un modelo para demostrar tu respuesta. 2. Si el 40 % de un número es 56, ¿cuál es el número original? 3. En una cuadrícula de 10 x 10 que representa 800, una casilla representa _________.

Utiliza las siguientes cuadrículas para representar el 17 % y 83 % de 800.

17 %

83 %

El 17 % de 800 es __________________________. El 83 % de 800 es __________________________.

Lección 26:



117


Lección 27: Resolución de problemas con porcentajes Trabajo en clase

Ejemplo 1

Resuelve los siguientes tres problemas. Escribe las palabras PORCENTAJE, ENTERO TOTAL y PARTE debajo de cada problema para mostrar cuál estabas resolviendo. 60 % de 300 = ___________ 60 % de __________ = 300 60 de 300 = ___________ %

____________________ ____________________ ____________________

¿En qué se diferenció tu método de resolución en cada problema?

Lección 27:

Resolución de problemas con porcentajes S.118


118

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 27 6 1 Ejercicio 1 Utiliza modelos, tales como cuadrículas de 10 x 10, tablas de razones, diagramas de cintas o diagramas de líneas numéricas dobles, para resolver la siguiente situación. Priya está haciendo sus compras para regresar a la escuela. Calcula todos los valores que faltan en la siguiente tabla, redondeando al centavo más cercano, y calcula el importe total que gastó Priya en su atuendo después de haber recibido los descuentos indicados.

Camisa

(25 % de descuento)

Pantalones (30 % de

descuento)

Zapatos (15 % de

descuento)

Collar (10 % de

descuento)

Suéter (20 % de

descuento)

Precio original $44 $20

Importe de descuento $15 $9 $7

¿Cuál es el costo total del atuendo de Priya?

Lección 27:



119


Resumen de la lección Los problemas con porcentajes incluyen la parte, el entero total y el porcentaje. Cuando falta uno de estos valores, podemos utilizar tablas, diagramas y modelos para descubrir el número que falta.

Conjunto de problemas 1. El señor Yoshi tiene 75 exámenes. Calificó 60 exámenes e hizo que un asistente calificara el

resto. ¿Qué porcentaje de exámenes calificó cada persona? 2. La señora Bennett calificó el 20 % de los exámenes de sus 150 estudiantes. ¿Cuántos exámenes

le quedan todavía por terminar de calificar?

Lección 27:



120


Lección 28: Resolución de problemas con porcentajes Trabajo en clase

Ejemplo

Si un artículo tiene un descuento del 20 %, ¿qué porcentaje del precio original es el precio de venta? Si el precio original del artículo es $400, ¿cuál es el importe en dólares del descuento? ¿Cuál es el precio de venta?

Lección 28:



121

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 28 6 1 Ejercicio Los siguientes artículos se compraron de oferta. Completa la información que falta en la tabla.

Artículo Precio original Precio de venta

Importe de descuento

Porcentaje ahorrado

Porcentaje abonado

Televisor $800 20 %

Tenis $80 25 %

Videojuegos $54 90 %

Reproductor de MP3 $51.60 40 %

Libro $2.80 80 %

Barrita $1.70 $0.30

Lección 28:



122


Resumen de la lección Los problemas con porcentajes incluyen la parte, el entero total y el porcentaje. Cuando falta uno de estos valores, podemos utilizar tablas, diagramas y modelos para descubrir el número que falta.

Conjunto de problemas 1. La empresa de limpieza Sparkling House ha limpiado 28 casas esta semana. Si esta cantidad representa

el 40 % del total de casas que contrataron a la empresa para limpiar, ¿cuántas casas en total habrá limpiado la empresa al final de la semana?

2. Joshua entregó 30 colmenas a la granja de frutas local. Si el granjero pagó por usar el 5 % del total de las

colmenas de Joshua, ¿cuántas colmenas tiene Joshua en total?

Lección 28:



123


Lección 29: Resolución de problemas con porcentajes Trabajo en clase Desafío 1

Afirmación: para encontrar el 10 % de un número, todo lo que necesitas hacer es mover el separador decimal a la izquierda una vez.

Utiliza, al menos, un modelo para resolver cada problema (por ejemplo, un diagrama de cintas, una tabla, un diagrama de líneas numéricas dobles o una cuadrícula de 10 x 10).

a. Haz una predicción. ¿Piensas que la afirmación es verdadera o falsa? ____________ Explica por qué. b. Determina el 10 % de 300. ____________ c. Encuentra el 10 % de 80. ____________ d. Determina el 10 % de 64. ____________ e. Encuentra el 10 % de 5. ____________ f. El 10 % de ____________ es 48. g. El 10 % de ____________ es 6.

Lección 29:



124


h. Gary leyó 34 páginas de un libro de 340 páginas. ¿Qué porcentaje leyó? i. Micah leyó 16 páginas de su libro. Si esto representa un 10 % del libro, ¿cuántas páginas tiene el libro? j. Utilizando las soluciones de los problemas anteriores, ¿a qué conclusiones puedes llegar sobre la

afirmación? Desafío 2 Afirmación: si un artículo ya está en oferta y luego se realiza otro descuento al nuevo precio, esto es lo mismo que quitar la suma de los dos descuentos del precio original.

Utiliza, al menos, un modelo para resolver cada problema (por ejemplo, un diagrama de cintas, una tabla, un diagrama de líneas numéricas dobles o una cuadrícula de 10 x 10).

a. Haz una predicción. ¿Piensas que la afirmación es verdadera o falsa? _____________ Explica. b. Sam compró 3 juegos por $140 después de que se aplicara un descuento del 30 %. ¿Cuál era el

precio original?

Lección 29:



125


c. Si Sam había utilizado un cupón del 20 % de descuento y solicitó una membresía de descuentos por comprador frecuente para ahorrar el 10 %, ¿los juegos todavía costarían $140 en total?

d. ¿Estás de acuerdo con la afirmación? _____________ Explica por qué sí o por qué no. Crea un nuevo

ejemplo para ayudarte a justificar tu afirmación.

Lección 29:



126



Los problemas con porcentajes tiene tres partes: el entero total, la parte y el porcentaje. Los problemas con porcentajes se pueden resolver utilizando modelos tales como tablas de razones, diagramas de cintas, diagramas de líneas numéricas dobles y cuadrícula de 10 x 10.

Conjunto de problemas 1. Henry cortó el césped de 15 jardines de un total de 60 jardines. ¿Qué porcentaje de jardines todavía

tiene que cortar Henry? 2. Marissa acertó el 85 % en su cuestionario de Matemáticas. Tenía 34 preguntas correctas. ¿Cuántas

preguntas había en el cuestionario? 3. Lucas leyó el 30 % de su libro de 480 páginas. ¿Qué página va a leer a continuación?

Lección 29:



127

lección 1: razones - u-46.org · inventa dos ejemplos de relaciones de razones que te interesen....

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