Lanzamiento de un proyectil.

a) La altura máxima alcanzada por el proyectil.

𝑦 =? (𝑚)

𝑌0 = 0 (𝑚)

𝑡 = 2,6484(𝑠)

𝑉0 = 30 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 60°

𝑦 = 𝑌0 + 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∗ 𝑡 −1

2∗ g ∗ 𝑡2

𝑦 = 𝑜(𝑚) + 30 ∗ 𝑠𝑒𝑛60° ∗ 2,6484 −1

2∗ 9,81 (𝑚/𝑠2) ∗ (2,6484(𝑠))2

𝑦 = 68,80745038(𝑚) − 34,49378066(𝑚)

𝑦 = 34,4(𝑚)

b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. 𝑉 = 0 (𝑚/𝑠)

𝑡 = ? (𝑠)

𝑉0 = 30 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 60°

𝑣 = 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔 ∗ 𝑡

0(𝑚/𝑠) = 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60° − 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡

𝑡 =30 (𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60°

9,81(𝑚/𝑠2)= 2,6484(𝑠).

c) El tiempo total de vuelo del proyectil al llegar al suelo. 𝑦 = 34,4(𝑚)

𝑌0 = 0 (𝑚)

𝑡 = ? (𝑠)

𝑉0 = 30 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 60°

𝑦 = 𝑌0 + 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∗ 𝑡 −1

2∗ g ∗ 𝑡2

34,4(𝑚) = 0(𝑚) + 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60° ∗ 𝑡 −1

2∗ 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2

34,4(𝑚) − 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60° ∗ 𝑡 +1

2∗ 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2 = 0

34,4(𝑚) − 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60° ∗ 𝑡 + 4,905(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2 = 0

𝑡 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑡 =(30 ∗ sen60°) ± √(30 ∗ sen60)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ 34,4

2 ∗ 4,905

𝑡 =(30 ∗ sen60°) ± √(30 ∗ sen60)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ 34,4

2 ∗ 4,905

𝒕 =(𝟑𝟎 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎°) + √(𝟑𝟎 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎)𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟒, 𝟗𝟎𝟓 ∗ 𝟑𝟒, 𝟒

𝟐 ∗ 𝟒, 𝟗𝟎𝟓= 𝟓, 𝟐𝟗𝟕𝟓(𝐬)

𝑡 =(30 ∗ sen60°) − √(30 ∗ sen60)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ 34,4

2 ∗ 4,905= 0,00141(𝑠)

d) Alcance horizontal máximo.

𝑥 =? (𝑚)

𝑥0 = 0 (𝑚)

𝑡 = 5,2975 (𝑠)

𝑉0 = 30 (𝑚/𝑠)

𝛼 = 60° 𝒙 = 𝑥0 + 𝑉0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∗ 𝑡

𝒙 = 0(𝑚) + 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑐𝑜𝑠60° ∗ 5,2975(𝑠) 𝑥 = 79,455(𝑚)

e) Velocidad con que el proyectil llega al suelo.

v = √ 𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦

2

𝑉𝑥 =? (𝑚/𝑠)

𝑣0 = 30 (𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 =? (𝑚/𝑠)

𝛼 = 60°

𝑡 = 5,297(𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝑉𝑥 = 𝑉0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑉𝑥 = 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑐𝑜𝑠60° = 15(𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 = 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔 ∗ 𝑡

𝑉𝑦 = 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60° − 9,81 (𝑚

𝑠2) ∗ 5,297(𝑠) = −25,982(𝑚/𝑠)

v = √(15)2 + (25,982)2

v = 30 (m/s)

f) La altura del proyectil cuando alcanza una velocidad de 20 m/s. 𝑌 =? (𝑚)

𝑉0 = 30 (𝑚/𝑠)

𝑌0 = 0 (𝑚)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝑣 = 20(𝑚/𝑠)

𝛼 = 60°

𝑦 = 𝑦0 +(𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼)2 − (𝑉)2

2𝑔

𝑦 = 0(𝑚) +(30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60°)2 − (20(𝑚/𝑠))2

2 ∗ 9,81(𝑚/𝑠2)

𝑦 =275(𝑚/𝑠)

19,62(𝑚/𝑠2)= 14,0163(𝑚)

g) Tiempo en que se demora en alcanzar la velocidad de 20 (m/s).

𝑦 = 14,0163(𝑚)

𝑌0 = 0 (𝑚)

𝑡 = ? (𝑠)

𝑉0 = 30 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 60°

𝑦 = 𝑌0 + 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∗ 𝑡 −1

2∗ g ∗ 𝑡2

14,0163(𝑚) = 0(𝑚) + 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60° ∗ 𝑡 −1

2∗ 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2

14,0163(𝑚) − 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60° ∗ 𝑡 +1

2∗ 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2 = 0

14,0163(𝑚) − 30(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛60° ∗ 𝑡 + 4,905(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2 = 0

𝑡 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑡 =(30 ∗ sen60°) ± √(30 ∗ sen60)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ 14,0163

2 ∗ 4,905

𝑡 =(30 ∗ sen60°) ± √(30 ∗ sen60)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ 14,0163

2 ∗ 4,905

𝒕 =(𝟑𝟎 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎°) + √(𝟑𝟎 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎)𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟒, 𝟗𝟎𝟓 ∗ 𝟏𝟒, 𝟎𝟏𝟔𝟑

𝟐 ∗ 𝟒, 𝟗𝟎𝟓= 𝟒, 𝟔𝟖𝟕(𝐬) 𝐁𝐚𝐣𝐚𝐝𝐚.

𝑡 =(30 ∗ sen60°) − √(30 ∗ sen60)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ 14,0163

2 ∗ 4,905= 0,609(𝑠)𝑆𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎.

2)

a) La altura máxima alcanzada por el proyectil. 𝑌 =? (𝑚)

𝑉0 = 60 (𝑚/𝑠)

𝑌0 = 55 (𝑚)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝑣 = 0(𝑚/𝑠)

𝛼 = 30°

𝑦 = 𝑦0 +(𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼)2 − (𝑉)2

2𝑔

𝑦 = 55(𝑚) +(60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30°)2 − (0(𝑚/𝑠))2

2 ∗ 9,81(𝑚/𝑠2)

𝑦 = 55(𝑚) +900(𝑚/𝑠)

19,62(𝑚/𝑠2)= 100,87(𝑚)

b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.

𝑉 = 0 (𝑚/𝑠)

𝑡 = ? (𝑠)

𝑉0 = 60 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 30°

𝑣 = 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔 ∗ 𝑡

0(𝑚/𝑠) = 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30° − 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡

𝑡 =60 (𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30°

9,81(𝑚/𝑠2)= 3,0581(𝑠).

c) El tiempo total de vuelo del proyectil al llegar al suelo.

𝑦 = 0(𝑚)

𝑌0 = 55 (𝑚)

𝑡 = ? (𝑠)

𝑉0 = 60 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 30°

𝑦 = 𝑌0 + 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∗ 𝑡 −1

2∗ g ∗ 𝑡2

0(𝑚) = 55(𝑚) + 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30° ∗ 𝑡 −1

2∗ 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2

−55(𝑚) − 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30° ∗ 𝑡 +1

2∗ 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2 = 0

−55(𝑚) − 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30° ∗ 𝑡 + 4,905(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2 = 0

𝑡 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑡 =(60 ∗ sen30°) ± √(60 ∗ sen30)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ −55

2 ∗ 4,905

𝑡 =(60 ∗ sen30°) ± √(60 ∗ sen30)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ −55

2 ∗ 4,905

𝒕 =(𝟔𝟎 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎°) + √(𝟔𝟎 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎)𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟒, 𝟗𝟎𝟓 ∗ −𝟓𝟓

𝟐 ∗ 𝟒, 𝟗𝟎𝟓= 𝟕, 𝟓𝟗𝟑(𝐬).

𝑡 =(60 ∗ sen30°) − √(60 ∗ sen30)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ −55

2 ∗ 4,905= −1,476(𝑠).

d) Alcance horizontal máximo. 𝑥 =? (𝑚) 𝑥0 = 0 (𝑚)

𝑡 = 7,593 (𝑠)

𝑉0 = 60 (𝑚/𝑠)

𝛼 = 30°

𝒙 = 𝑥0 + 𝑉0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∗ 𝑡 𝒙 = 0(𝑚) + 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑐𝑜𝑠30° ∗ 7,593(𝑠)

𝑥 = 394,544(𝑚)

e) Velocidad con que el proyectil llega al suelo.

𝑉𝑥 =? (𝑚/𝑠)

𝑣0 = 60 (𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 =? (𝑚/𝑠)

𝛼 = 30°

𝑡 = 7,593(𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2) 𝑉𝑥 = 𝑉0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑉𝑥 = 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑐𝑜𝑠30° = 51,96152423(𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 = 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔 ∗ 𝑡

𝑉𝑦 = 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30° − 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 7,593(𝑠) = −44,48733(𝑚/𝑠)

v = √(51,96152423)2 + (44,48733)2

v = 68,404 (m/s)

f) La altura del proyectil cuando alcanza una velocidad de 15 (m/s).

𝑌 =? (𝑚)

𝑉0 = 60 (𝑚/𝑠)

𝑌0 = 55 (𝑚)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝑣 = 15(𝑚/𝑠)

𝛼 = 30°

𝑦 = 𝑦0 +(𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼)2 − (𝑉)2

2𝑔

𝑦 = 55(𝑚) +(60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30°)2 − (15(𝑚/𝑠))2

2 ∗ 9,81(𝑚/𝑠2)

𝑦 = 55(𝑚) +900(𝑚/𝑠) − 225(𝑚/𝑠)

19,62(𝑚/𝑠2)= 89,404(𝑚)

f) Tiempo en que se demora en alcanzar la velocidad de 15 (m/s).

𝑦 = 89,404(𝑚)

𝑌0 = 55 (𝑚)

𝑡 = ? (𝑠)

𝑉0 = 60 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 30°

𝑦 = 𝑌0 + 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∗ 𝑡 −1

2∗ g ∗ 𝑡2

89,404(𝑚) = 55(𝑚) + 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30° ∗ 𝑡 −1

2∗ 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2

34,404(𝑚) − 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30° ∗ 𝑡 +1

2∗ 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2 = 0

34,404(𝑚) − 60(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛30° ∗ 𝑡 + 4,905(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2 = 0

𝑡 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑡 =(60 ∗ sen30°) ± √(60 ∗ sen30)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ 34,404

2 ∗ 4,905

𝑡 =(60 ∗ sen30°) ± √(60 ∗ sen30)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ 34,404

2 ∗ 4,905

𝒕 =(𝟔𝟎 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎°) + √(𝟔𝟎 ∗ 𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎)𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟒, 𝟗𝟎𝟓 ∗ 𝟑𝟒, 𝟒𝟎𝟒

𝟐 ∗ 𝟒, 𝟗𝟎𝟓= 𝟒, 𝟓𝟖𝟕(𝐬) 𝐁𝐚𝐣𝐚𝐝𝐚.

𝑡 =(60 ∗ sen30°) − √(60 ∗ sen30)2 − 4 ∗ 4,905 ∗ 34,404

2 ∗ 4,905= 1,529(𝑠) 𝑆𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎.

3)

a) El tiempo total de vuelo del proyectil al llegar al suelo. 𝑌0 = 85 (𝑚)

𝑡 = ? (𝑠)

𝑉0 = 55 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 0°

𝑦 = 0(𝑚)

𝑦 = 𝑌0 + 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∗ 𝑡 −1

2∗ g ∗ 𝑡2

0(𝑚) = 85(𝑚) + 55(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛0° ∗ 𝑡 −1

2∗ 9,81 (𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡2

85(𝑚)

4,905(𝑚/𝑠2)= 𝑡2

√17,32925586 = t

4,163(s) = t

b) Alcance horizontal máximo. 𝑣𝑥 =? (𝑚)

𝑣0 = 55 (𝑚/𝑠)

𝛼 = 0°

𝑡 = 4,163(𝑠)

𝑉𝑥 = 𝑉0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∗ 𝑡 𝑉𝑥 = 55(𝑚/𝑠) ∗ 𝑐𝑜𝑠0° ∗ 4,163 = 228,956(𝑚)

c) Velocidad con que el proyectil llega al suelo.

v = √ 𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦

2

𝑉𝑥 =? (𝑚/𝑠)

𝑣0 = 55(𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 =? (𝑚/𝑠)

𝛼 = 0°

𝑡 = 4,162(𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝑉𝑥 = 𝑉0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑉𝑥 = 55 ∗ 𝑐𝑜𝑠0° = 55(𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 = 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔 ∗ 𝑡

𝑉𝑦 = 55(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛0° − 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 4,162(𝑠) = −40,82922(𝑚/𝑠)

v = √(55)2 + (40,82922)2

v = 68,5042 (m/s)

d) Velocidad que alcanza al tiempo de 2 (s). 𝑉𝑥 =? (𝑚/𝑠)

𝑣0 = 55(𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 =? (𝑚/𝑠)

𝛼 = 0°

𝑡 = 2(𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝑉𝑥 = 𝑉0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑉𝑥 = 55 ∗ 𝑐𝑜𝑠0° = 55(𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 = 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔 ∗ 𝑡

𝑉𝑦 = 55 (𝑚

𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛0° − 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 2(𝑠) = −19,62(𝑚/𝑠)

v = √(55)2 + (−19,62)2

v = 58,395 (m/s)

4)

a) La velocidad inicial del cuerpo. 𝑌0 = 30 (𝑚)

𝑡 = ? (𝑠)

𝑉0 = 5 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 40°

𝑦 = 0(𝑚)

𝑦 = 𝑌0 + 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∗ 𝑡 −1

2∗ g ∗ 𝑡2

0(𝑚) = 30(𝑚) + 𝑉0 (𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛40° ∗ 5(𝑠) −1

2∗ 9,81 (𝑚/𝑠2) ∗ (5(𝑠))2

0(𝑚) = 30(𝑚) + 3,213938048 𝑉0 − 122,625(m)

122,625 − 30

3,213938048= 𝑉0

28,82(𝑠) = 𝑉0

b) La altura máxima alcanzada por el proyectil.

𝑌 =? (𝑚)

𝑉0 = 28,82 (𝑚/𝑠)

𝑌0 = 30 (𝑚)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝑣 = 0(𝑚/𝑠)

𝛼 = 40°

𝑦 = 𝑦0 +(𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼)2 − (𝑉)2

2𝑔

𝑦 = 30(𝑚) +(28,82(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛40°)2 − (0(𝑚/𝑠))2

2 ∗ 9,81(𝑚/𝑠2)

𝑦 = 30(𝑚) + 17,491 = 89,404(𝑚)

c) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima

𝑉 = 0 (𝑚/𝑠)

𝑡 = ? (𝑠)

𝑉0 = 28,82 (𝑚/𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝛼 = 40°

𝑣 = 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔 ∗ 𝑡

0(𝑚/𝑠) = 28,82(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛40° − 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 𝑡

𝑡 =28,82 (𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛40°

9,81(𝑚/𝑠2)= 3,0581(𝑠).

d) Alcance horizontal máximo.

𝑉𝑥 =? (𝑚)

𝑣0 = 28,82 (𝑚/𝑠)

𝛼 = 40°

𝑡 = 5(𝑠)

𝑉𝑥 = 𝑉0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∗ 𝑡

𝑉𝑥 = 28,82(𝑚/𝑠) ∗ 𝑐𝑜𝑠40° ∗ 5(𝑠) = 110,387(𝑚)

e) Velocidad con que el proyectil llega al suelo.

v = √ 𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦

2

𝑉𝑥 =? (𝑚/𝑠)

𝑣0 = 28,82(𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 =? (𝑚/𝑠)

𝛼 = 40°

𝑡 = 5(𝑠)

𝑔 = 9,81 (𝑚/𝑠2)

𝑉𝑥 = 𝑉0 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑉𝑥 = 28,82 ∗ 𝑐𝑜𝑠40° = 22,0774(𝑚/𝑠)

𝑉𝑦 = 𝑉0 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔 ∗ 𝑡

𝑉𝑦 = 28,82(𝑚/𝑠) ∗ 𝑠𝑒𝑛40° − 9,81(𝑚/𝑠2) ∗ 5(𝑠) = −30,525(𝑚/𝑠)

v = √(22,0774)2 + (−30,525)2

v = 37,672 (m/s)

Manuel Bravo. Elias Avila.