laboratorio ondas electromagnéticas

Redes Inalámbricas

Laboratorio Ondas Electromagnéticas

Esteban De La Fuente Rubio

SASCO http://sasco.cl Redes Inalámbricas Laboratorio Ondas Electromagnéticas (licencia GFDL)

Índice de contenido 1 Introducción............................................................................................................................3

1.1 Objetivos...........................................................................................................................3 2 Representación matemática..................................................................................................4

2.1 Ejercicios..........................................................................................................................5 3 Zona de Fresnel.....................................................................................................................7

3.1 Ejercicios..........................................................................................................................7 4 Potencia................................................................................................................................10

4.1 Ejercicios........................................................................................................................10 5 Planificación de enlaces.......................................................................................................11

5.1 Pérdida en la línea de transmisión.................................................................................11 5.2 Pérdida en el espacio libre.............................................................................................11 5.3 Ejemplo..........................................................................................................................13 5.4 Ejercicios........................................................................................................................14

6 Recursos..............................................................................................................................15

20120624 Esteban De La Fuente Rubio 2/15

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1 IntroducciónLa física esta rodeada de las matemáticas, estas se utilizan para elaborar modelos con

el fin de explicar y poder comprender fenómenos físicos. De esta forma se pueden analizar y predecir comportamientos sin tener que recurrir a la experimentación.

Supongamos que se requiere implementar un enlace inalámbrico punto a punto entre dos ubicaciones distantes, las cuales poseen diferentes obstáculos entre si. ¿Cuál deberá ser la altura de las torres para que la señal llegue de un lado a otro con una intensidad adecuada? Aquí existen dos alternativas, la primera, la experimentación, levantar ambas torres a cierta altura y probar si se llega con la señal suficiente, sino ir subiendo la altura. La segunda alternativa, la correcta, será calcular la altura requerida según las distancias entre los puntos y los obstáculos.

Ahora pensemos en el caso que el terreno presenta elevación, y lo dos puntos se encuentran a alturas diferentes, ¿cómo determinará el ángulo en que debe apuntar las antenas de forma vertical? ¿Prueba y error? ¿O usará trigonometría?

Es cierto que los cálculos no lo son todo, ya que, en general, representaran un escenario ideal, por lo cual muchas veces serán la base sobre la cual comenzar la experimentación. Volviendo al ejemplo del ángulo, quizás las matemáticas dicten que el ángulo deberá ser “X”, pero puede ocurrir que al apuntar las antenas se descubra que con un ángulo “Y” se obtiene una mejor calidad en el enlace, entonces ¿qué ángulo utilizará?

Para poder resolver los cálculos matemáticos de forma más rápida se utilizará durante el laboratorio, y el curso, la herramienta Sage. Esta se puede considerar como una alternativa libre a aplicaciones como Maple o Matlab. Esta escrita en lenguaje Python y los scripts que se utilizan funcionan igualmente en este.

1.1 Objetivos

• Uso de la herramienta Sage para la resolución matemática.

• Realizar gráficos de ondas.

• Estudiar Zonas de Fresnel en diferentes escenarios.

• Cálculo de la potencia de un enlace.


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2 Representación matemáticaUna onda electromagnética corresponderá a la propagación de la alternación periódica

de campos eléctricos y magnéticos en el espacio. Este tipo de ondas es de tipo transversal donde la dirección de propagación de la onda es perpendicular a la dirección de la perturbación, lo cual se puede observar en la Imagen 1.

Imagen 1: Onda electromagnética con sus dos componentes

Para facilitar el dibujo y cálculos se utilizará la representación de la Imagen 2 para la onda.

Imagen 2: Onda con frecuencia de 2 [Hz]

La fórmula matemática que describe a la onda de la Imagen 2 se puede observar en la Fórmula 1.

Fórmula 1

A :amplitud ; f : frecuencia; t : tiempo;θ : fase

Es importante mencionar que la velocidad de cualquier onda electromagnética es igual a la velocidad de la luz (la cual también es una onda electromagnética). Por lo anterior se puede expresar la relación entre la longitud de onda y su frecuencia según se muestra en la


O(t)=A∗sen(2∗π∗f∗t+ θ)

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Fórmula 2.

Fórmula 2

La relación entre frecuencia y periodo se aprecia en la Fórmula 3.

Fórmula 3

En el Gráfico 1 se muestra una onda con frecuencia de 1 [Hz], realizada con Sage mediante la siguiente instrucción:

sage: plot(sin(2*pi*x), x, 0, 5)

Gráfico 1: Onda con frecuencia 1 [Hz]

2.1 Ejercicios1. En el Gráfico 1,¿cuál es la fase de la onda?

2. Crear la función matemática en Sage para encontrar la longitud de onda de una onda electromagnética a partir de su frecuencia.

3. Realizar gráfico de onda electromagnética a 2.4 [GHz] y a 5 [GHz], ¿cuál es el período de estas ondas?

4. Sumar dos ondas en un gráfico para mostrar interferencia a la frecuencia de 2.4 [GHz].


c=f∗λ=3∗108[ms]

T=1/ f

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5. Mostrar interferencia constructiva y destructiva en gráficos (mostrar ondas participantes y la resultante).

6. ¿Qué fase es requerida para que dos ondas de igual frecuencia e igual amplitud se anulen?


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3 Zona de FresnelLas zonas de Fresnel describen el volumen del espacio entre el emisor de la onda y su

receptor. Existen numerosas zonas de Fresnel sin embargo la de mayor interés en nuestro caso es la conformada por el primer radio, o primera Zona de Fresnel. La fórmula general para el radio de cualquier zona es la que se puede apreciar en la Fórmula 4, y en la Fórmula5 se muestra la correspondiente al radio de la primera Zona de Fresnel para la frecuencia de 2.4 [GHz].

Fórmula 4 Fórmula 5

Fórmula en sage

sage: def Fresnel1(d1,d2):

....: return n(0.354*sqrt(d1*d2/(d1+d2)),digits=4)

3.1 EjerciciosPara cada uno de los ejercicios resuelva según la imagen y los datos presentados.

Considere calcular para la Zona de Fresnel completamente despejada, y para lo recomendado de un 60% despejada. Notar que las distancias expresadas son respecto a T1.


rn=√ n∗λ∗d1∗d2

d1+ d2

r1=0,354∗√ d1∗d2

d1+ d2

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1. ¿Cuál es la altura de los obstáculos?

Datos: H = 30 [m] D = 1500 [M]

A = 80 [M] B = 350 [m] C = 600 [m] D = 850 [m]

Imagen 3: Ejercicio Fresnel 1

2. ¿Cuál es la altura de las torres?

Datos: D = 8000 [m] Ha = 20 [m] Hb = 30 [m] Hc = 15 [m]

A = 2500 [m] B = 5000 [m] C = 6500 [m]



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3. ¿Cuál es la altura de las torres?, considere que el barco se mueve por el lago de forma aleatoria.

Datos: D = 3000 [m] ha = 5 [m]



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4 PotenciaLas ondas electromagnéticas contienen energía, la cual se va disipando a medida que

estas recorren el espacio. Gracias a esta energía es que, por ejemplo, podemos sentir el calor del sol en nuestra piel.

La potencia esta relacionada con el campo eléctrico, componente de la onda. Esta potencia esta medida en Watts [W] (o lo mismo que Vatios), ya que las potencias en redes inalámbricas de 2.4 [GHz] son bajas, comúnmente se hablará de potencia medida en [mW].

La potencia también puede ser expresada utilizando decibelios, donde se compara la potencia P1 con una potencia “base” P2, ver Fórmula 6. En el caso que la potencia contra la que se compara sea 1 [mW] se habla de potencia medida en [dBm], ver Fórmula 7.


Fórmula en sage

sage: def dBm(p):

....: return n(10*log(p,10),digits=3)

Cálculo de mW a partir de una potencia en dBm, fórmula en sage

sage: def mW(p):

....: return n(10**(p/10), digits=3)

4.1 Ejercicios1. ¿Cuál es la potencia en [dBm] de 100 [mW]?

2. ¿Cuál es la potencia en [mW] de 17 [dBm]?

3. Realizar gráfico de potencia [mW] vs [dBm], para potencias en [dBm] negativas.

4. Si la potencia es 30 dBm y pasa a 40 dBm, ¿cuál fue el cambio lineal en mW de la potencia?

5. Si la potencia es 30 dBm y pasa a 50 dBm, ¿cuál fue el cambio lineal en mW de la potencia?


dB=10∗log10(P1P2

) dBm=10∗log10(P

1[mW ])

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5 Planificación de enlacesUn enlace inalámbrico involucra diferentes componentes que determinan la potencia

final de este, en la Fórmula 8 se aprecia la relación entre estos. Notar que RSL corresponde a la sensibilidad del radio receptor, por lo cual la potencia del enlace naturalmente debe ser mayor a la sensibilidad, ya que si fuese al revés, la señal no sería captada.

Fórmula 8

PTX : potenciadel transmisor ;G : ganancia de las antenas ; Lc : pérdidade los cables :Lt :=L fs

5.1 Pérdida en la línea de transmisiónLa pérdida en los cables,o en la línea de transmisión, corresponde a la que se produce

en los componentes que conectan el transmisor (o receptor) y su antena. En general se recomienda utilizar un cable lo más corto posible, pero ya que todo cable tiene una pérdida (la cual es informada por cada fabricante) se debe considerar dentro de los cálculos para determinar la potencia. La pérdida en el cable dependerá, básicamente, de la frecuencia de la señal utilizada, el grosor y el largo del este. En la Tabla 1 se aprecian algunos de estos valores.

Cable Pérdida [dB/100m] Núcleo [mm]

LMR195 61.061 0.94

LMR400 21.703 2.74

LMR600 14.19 4.47

Tabla 1: Pérdida en cables

5.2 Pérdida en el espacio libreLa pérdida en el espacio libre, corresponde a la pérdida en el espacio entre los dos

puntos de un enlace, y depende únicamente de la distancia entre los dos lados. Sin embargo existen otros elementos como la atenuación o dispersión, el paso a través de objetos como vidrios o árboles que afectarán la potencia de la señal. Para esto se puede agregar una pérdida permitida (estimada según los obstáculos) y/o un factor a la fórmula de pérdida en el espacio libre. Sin embargo, ya que se planean enlaces con la primera zona de Fresnel libres y veremos situaciones ideales, estos se omitirán, dejando la pérdida Lt igual a la pérdida en el espació libre. La fórmula general se puede ver en la Fórmula 9, y la Fórmula 10 corresponde a la representación en [dBm] para la frecuencia de 2.4 [GHz].


Penlace=PTX+ G−Lc− Lt> RSL

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Cálculo de pérdida en espacio libre, fórmula en sage

sage: def fsl(d):

....: return n(40+20*log(d,10))

En el Gráfico 2 se puede observar la pérdida en el espacio libre hasta lo 100 [km], el cual fue generado con las siguientes instrucciones:

sage: g = Graphics()

sage: g += plot(fsl, 0, 100000)

sage: points = [(100, fsl(100)), (1000, fsl(1000)), \

(10000, fsl(10000)), (50000, fsl(50000))]

sage: g += point(points)

sage: for (pnt,letter) in zip(points,[100, 1000, 10000, 50000]):

....: g += text(letter, (pnt[0]+1.5, pnt[1]+1.5))

....:

sage: g.axes_labels(['[m]', '[dB]'])

sage: g.show()


Lfs=(4∗π∗d

λ)2

Lfs=40+ 20∗log10(d )

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Gráfico 2: Pérdida en espacio libre

5.3 Ejemplo 20 dBm (TX Potencia del Radio 1)

+ 10 dBi (Ganancia de la Antena de Radio 1)

- 2 dB (Pérdida en los Cables de Radio 1)

+ 14 dBi (Ganancia de la Antena de Radio 2)

- 2 dB (Pérdida en los Cables de Radio 2)

-------------------------------------------

= 40 dB Ganancia Total

Cálculo de pérdida en el espacio libre

Lfs = 40 + 20log10 (5000) = 114dB

Finalmente la potencia del enlace será

Penlace = 40dB − 114dB = −74dBm

Por lo cual con un equipo con sensibilidad 80 [dBm] el enlace funcionará.


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5.4 Ejercicios1. ¿Qué sucede con la factibilidad del enlace en la otra dirección?

2. ¿Qué sucede con la pérdida en el espacio libre en la otra dirección?

3. ¿Qué sucede con la pérdida en conectores en la otra dirección?

4. Determinar la factibilidad del enlace para el ejercicio descrito en la Imagen 3, considerando:

• Potencia transmisor ambos lados: 30 [mW]

• Ganancia de cada una de las antenas: 8 [dBi]

• Largo del cable LMR195 (61 [dBm/100m]) que une el radio con la antena, en ambas antenas: 1 [m]

• Sensibilidad de los radios: 85 [dBm]

De no ser factible el enlace que se puede mejorar para lograrlo.

5. Para el ejercicio descrito en la Imagen 4, calcule la ganancia necesaria en las antenas para lograr el enlace, considerando:

• Potencia transmisor ambos lados: 100 [mW]

• Pérdida en la línea de transmisión: 2 [dBm]

• Sensibilidad de los radios: 80 [dBm]


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6 Recursos• http://www.sagemath.org/

• http://www.sagemath.org/es/Manual_SAGE_principiantes.pdf

• http://wndw.net/download.html#spanish


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