PRINCIPIO DE ARQUIMIDES

Pertuz Angie, Barrios Mateo, De Alba Stephanny Universidad del Atlántico.

Departamento de Ingeniería Química. Coordinación de Física.

Laboratorio de Física II, 27 de Octubre de 2016

La siguiente práctica de laboratorio se

realizó con el objetivo de comprobar el

principio de Arquímedes en 4 sólidos de

diferente composición y forma que

estaban en contacto con dos tipos de

líquidos (agua y aceite), que presentaban

distintas propiedades que los hacían útil

para su estudio, con la ayuda de los

instrumentos de laboratorios se pudo

obtener unos datos experimentales, que

luego fueron usados para obtener los

datos teóricos como el empuje y las

densidades de los sólidos y líquidos

utilizados.

Palabras Claves: Empuje, Fluido, peso

aparente, peso real, densidad.

1. Introducción

Esta práctica se hizo con el fin de

responder algunas preguntas cotidianas,

que usualmente se le da importancia, por

ejemplo el hecho de que un objeto tenga

un “menor peso” en ciertos fluidos, o ver

si la forma o la composición tienen algún

efecto en el cuerpo sumergido, por lo que

el objetivo fue resolver estas inquietudes

y se usaron cuerpos de distintos formas y

composición para este fin, que

inicialmente se conocía su peso y que

posteriormente fueron sumergidos en

fluidos como agua y aceite y se

observaron ciertos desplazamientos que

era el volumen desalojado y con este y

otros datos que se obtuvieron

experimentalmente, finalmente se pudo

hallar el empuje y las densidades todo

esto fue posible al principio de

Arquímedes que nos permite relacionar

las variables mencionadas de una manera

sencilla y realizando medida directa e

indirectas.

2. Discusión Teórica

Principio de Arquímedes

Afirma que todo cuerpo sumergido en un

fluido experimenta un empuje vertical y

hacia arriba igual al peso de fluido

desalojado.

La explicación del principio de

Arquímedes consta de dos partes como

se indica en la figura 1.

El estudio de las fuerzas sobre una

porción de fluido en equilibrio con

el resto del fluido.

La sustitución de dicha porción de

fluido por un cuerpo sólido de la

misma forma y dimensiones.

Fig.1. Principio de Arquímedes

Cuerpos sumergidos

Sobre un cuerpo sumergido actúan dos

fuerzas; su peso, que es vertical y hacia

abajo y el empuje que es vertical pero

hacia arriba.

Si queremos saber si un cuerpo flota es

necesario conocer su peso específico,

que es igual a su peso dividido por su

volumen.

Entonces, se pueden producir tres casos:

1. si el peso es mayor que el empuje (P >

E), el cuerpo se hunde. Es decir, el peso

específico del cuerpo es mayor al del

líquido.

2. si el peso es igual que el empuje (P =

E) el cuerpo no se hunde ni emerge. El

peso específico del cuerpo es igual al del

líquido.

3. Si el peso es menor que el empuje (P

<E), el cuerpo flota. El peso específico del

cuerpo es menor al del líquido.

El principio de Arquímedes se formula así:

(ecuación 1).

𝐸 = 𝑉𝜌𝑔 (1)

Donde E es el empuje, que equivale al

peso del objeto en unidad Newton (N)

V el volumen de cuerpo desplazado.

g Aceleración de la Gravedad (9.8 𝑚/𝑠)

ρ Densidad del Fluido.

El peso se puede calcular con el preso

específico y el volumen según la siguiente

ecuación 2.

𝑃𝑒 =𝑚𝑔

𝑉 (2)

Tenemos que, como el volumen del

líquido desplazado y el volumen del

cuerpo son iguales, se da el equilibrio

justo cuando la densidad del cuerpo es

igual a la densidad del líquido (Ecuación

3)

𝜌1𝑔𝑉𝑙 = 𝜌𝑐𝑔𝑉𝑐 (3)

Se sustituye la porción de fluido por un

cuerpo sólido de la misma forma y

dimensiones.

Si se sustituye la porción de fluido por un

cuerpo sólido de la misma forma y

dimensiones. Las fuerzas debidas a la

presión no cambian, por tanto, su

resultante que hemos denominado

empuje es la misma y actúa en el mismo

punto, denominado centro de empuje.

Lo que cambia es el peso del cuerpo

sólido y su punto de aplicación que es el

centro de masa, que puede o no coincidir

con el centro de empuje. (Figura 2)

Fig.2. Centro de masa y centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos

fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo,

que no tienen en principio el mismo valor

ni están aplicadas en el mismo punto.

En los casos más simples, supondremos

que el sólido y el fluido son homogéneos

y por tanto, coincide el centro de masa del

cuerpo con el centro de empuje.

1. Métodos Experimentales

En este laboratorio estuvo acompañado

de 4 sólidos, en este caso Cubo de Hierro,

rueda de Aluminio, Cubo de madera y

Cilindro de Bronce, para los cuales se

dispuso a medir la cantidad de masa en el

aire de cada uno con un dinamómetro,

seguido se tomó el volumen a partir de

una probeta, el cual se llenó con una

cantidad de agua aproximadamente 150

mL, se agregó el sólido a la probeta y al

volumen desplazado de agua por el sólido

se calculó el volumen experimentado,

posteriormente se con esos mL de agua

se ató un hilo con el sólido para registrar

los datos del peso aparente dentro de

dicho líquido. De igual Manera se

continuó con estos pasos pero con

Aceite.

2. Análisis de Resultados y Discusión

Inicialmente se calculó los pesos de cada objeto, llevándolos en unidades

adecuadas por el S.I. (los resultados están adjuntos en las respectivas tablas)

En el cálculo del peso se utilizó con la ecuación

𝑊

𝑚= 𝑔

𝑊 = 𝑚𝑔

El volumen de agua inicialmente en la probeta era de 150 mL

El volumen del cuerpo será por lo tanto:

𝑉𝑐 = 𝑉𝑑 − 𝑉𝑜

Donde Vc es el volumen del cuerpo en cierta cantidad de líquido.

Tabla.1. Registro de Cálculos Experimentales (Muestra 1)

Muestra 1

Fluido (Agua)

Objeto m (kg) 𝑾𝒓 𝑽 (mL) 𝒎𝒂𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑾𝒂𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆

Cubo de Fe 0.062 0.608 8 0.054 0.529

Rueda de Al 0.012 0.118 6 0.008 0.0784

Cubo de Madera 0.004 0.039 4 0.001 0.00980

Cilindro de Bronce 0.02 0.196 2 0.018 0.176

El volumen de aceite inicial en la probeta era de 110 mL

Tabla.1. Registro de Cálculos Experimentales (Muestra 2)

Muestra 1

Fluido (Aceite)

Objeto m (kg) 𝑾𝒓 𝑽 (mL) 𝒎𝒂𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑾𝒂𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆

Cubo de Fe 0.062 0.608 10 0.054 0.529

Rueda de Al 0.012 0.118 6 0.008 0.0784

Cubo de Madera 0.004 0.039 4 0.002 0.0196

Cilindro de Bronce 0.02 0.196 2 0.018 0.176

Cabe aclarar que debido al efecto del empuje, los cuerpos sumergidos en un fluido tienen

un peso aparentemente menor a su verdadero peso, que se le llama peso aparente. El valor

de la fuerza de empuje se determina mediante la diferencia del peso real y la del peso

aparente, es decir:

𝐸𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑙𝑜𝑗𝑎𝑑𝑜

𝐸 = 𝑊𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑊𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒

Por lo tanto introduciendo esto en la

ecuación 1

𝐸 = 𝑊𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑊𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝜌𝑙 × 𝑔 × 𝑉

El concepto de empuje ayuda a

determinar la densidad de un cuerpo

sólido. Para ello se utiliza masa real del

cuerpo, después la densidad del líquido al

que fue sometido a un líquido de densidad

conocida, en este caso el agua y aceite.

De acuerdo al principio de Arquímedes,

esta diferencia se debe al empuje del

agua y al aceite por lo tanto esta

diferencia a es igual a la masa del agua

desalojada por el cuerpo. La densidad del

cuerpo está dada por la expresión:

𝜌𝐶𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 =𝑚𝑟

(𝑚𝑟 − 𝑚𝑎)𝜌𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜

En agua

Calculando tenemos:

Densidad del cubo de Hierro

𝜌 =62 𝑔

(62 − 54)𝑔× 1 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 7.75

𝑔

𝑚𝐿

Densidad de la Rueda de Aluminio

𝜌 =12 𝑔

(12 − 8)𝑔× 1 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 3

𝑔

𝑚𝐿

Densidad de Cubo de madera

𝜌 = 4𝑔

(4 − 1)𝑔× 1 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 1.33

𝑔

𝑚𝐿

Densidad de Cilindro de bronce

𝜌 =20 𝑔

(20 − 18)𝑔× 1 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 10

𝑔

𝑚𝐿

Densidad del Aceite es 0.8 g/cm3

Densidad del cubo de Hierro

𝜌 =62 𝑔

(62 − 54)𝑔× 0.8 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 6.2

𝑔

𝑚𝐿

Densidad de la Rueda de Aluminio

𝜌 =12 𝑔

(12 − 8)𝑔× 0.8 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 2.4

𝑔

𝑚𝐿

Densidad de Cubo de madera

𝜌 =4 𝑔

(4 − 2)𝑔× 0.8 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 1.6

𝑔

𝑚𝐿

Densidad de Cilindro de bronce

𝜌 =20 𝑔

(20 − 18)𝑔× 0.8 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 8

𝑔

𝑚𝐿

También se puede determinar la densidad

de los líquidos utilizados. Para ello,

primero obtenemos la masa aparente de

un cuerpo de masa sumergido en un

líquido de densidad conocida. La

diferencia de masa es igual a la masa del

volumen de líquido desalojado, por lo

tanto:

𝑉 =𝑚𝑟 − 𝑚𝑎

𝜌𝑙𝑖𝑞−𝑐

Después se introduce el mismo cuerpo en

el líquido problema y hallamos su masa

aparente. De nuevo la diferencia de masa

es igual a la masa del volumen de líquido

desalojado, por tanto:

𝑉 =𝑚𝑟 − 𝑚𝑎2

𝜌𝑙𝑖𝑞−2

Puesto que el volumen debe ser igual en

ambas ecuaciones, ya que el cuerpo es el

mismo, tenemos que la densidad del

líquido problema (desconocido) es:

𝜌𝑙𝑖𝑞.𝑑𝑒𝑠𝑐 =𝑚𝑟 − 𝑚𝑎2

𝑚𝑟 − 𝑚𝑎× 𝜌𝑙𝑖𝑞.𝑐

Hallar por medio de la pendiente la densidad de los fluidos

En este caso para el agua y aceite, experimentalmente.

Grafica.1. Empuje en función del volumen en el fluido de agua

Hallando la pendiente

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Tomando dos puntos: (4, 0.0194) y (6, 0.0396)

𝑚 =0.0396 − 0.0194

6 − 4= 0.0101

Se tiene que el empuje dependerá del volumen sumergido, siendo la densidad y la

gravedad constantes, que se puede apreciar como la pendiente de la línea, es decir:

𝜌 =𝑚

𝑔=

0.0101

9.8= 1.02

𝑔

𝑚𝐿

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

2 4 6 8

Emp

uje

(N

)

Volumen (mL)

Grafica E vs VFluido: Agua

%𝐸𝑟 =|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜× 100 =

|1 − 1.02|

1× 100 = 2%

Hallando la pendiente para un fluido como el aceite.

Grafica.2. Empuje en función del volumen en el fluido de aceite

Puntos

(4, 0.0292) y (6, 0.0396)

Pendiente

𝑚 =0.0396 − 0.0292

6 − 4= 5.2 × 10−3

𝜌 =𝑚

𝑔=

5.2 × 10−3

9.8= 0.53

𝑔

𝑚𝐿

%𝐸𝑟 =|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜× 100 =

0.83 − 0.53

1× 100 = 30%

Los resultados muestran que al comparar líquidos (fluidos) con distinta densidad, en función

de cuerpos, se nota que sumergiendo en un fluido experimenta la pérdida de peso entre

mayor sea el volumen sumergido, mayor será la pérdida de peso, ya que mayor será la

fuerza del empuje, por lo tanto entre más denso sea el líquido mayor será el empuje.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

2 4 6 10

Emp

uje

(N

)

Volumen (mL)

Grafica E vs VFluido: Aceite

Preguntas

1. Compruebe el principio de

Arquímedes para un cubo

sumergido, determinando la

fuerza neta que ejerce el fluido

que lo rodea sobre sus caras.

Según el teorema fundamental de la

hidrostática: Es un hecho experimental

conocido que la presión en el seno de un

líquido aumenta con la profundidad.

Busquemos una expresión matemática

que nos permita calcularla. Para ello,

consideremos una superficie imaginaria

horizontal S, ubicada a una profundidad h

como se muestra en la figura 3

Fig.3. Presión ejercida por el líquido

La presión que ejerce la columna de

líquido sobre la superficie amarilla será:

𝑃 =𝑊 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐵𝑎𝑠𝑒

𝑝 =𝜌𝑉

𝑆=

𝜌𝑆ℎ

𝑆= 𝜌ℎ

Donde 𝑝 es el peso específico del líquido

y V es el volumen de la columna de fluido

que descansa sobre la superficie S.

Es decir que la presión que ejerce un

líquido en reposo depende del peso

específico (p) del líquido y de la distancia

(h) a la superficie libre de éste.

Si ahora consideramos dos puntos A y B

a diferentes profundidades de una

columna de líquido en equilibrio, el mismo

razonamiento nos permite afirmar que la

diferencia de presión será:

𝑃𝐴 − 𝑃𝐸 = 𝑝ℎ𝐴 − 𝑑ℎ𝐵

Este resultado constituye el llamado

teorema fundamental de la hidrostática:

La diferencia de presión entre dos puntos

dentro de una misma masa líquida es el

producto del peso específico del líquido

por la distancia vertical que los separa.

Ésta es la razón por la cual dos puntos de

un fluido a igual profundidad estarán a

igual presión. Por el contrario, si la presión

en ambos puntos no fuera la misma,

existiría una fuerza horizontal

desequilibrada y el líquido fluiría hasta

hacer que la presión se igualara,

alcanzando una situación de equilibrio.

2. Plantee un análisis y deduzca

porque la corona que Arquímedes

peso no era de oro puro.

El pesó la corona y además calculó la

diferencia de peso de volumen de agua

desplazada, además el peso de x piedras

utilizadas en la construcción de la corona

era el mismo que el de la corona, pero se

dio cuenta que el nivel del agua no subió

hasta el borde del recipiente, lo cual

significó que las piedras de oro ocuparon

menor volumen que la corona, por ello

demostró que la corona no estaba hecha

de oro puro, es decir contenía un metal

más ligero (aplicando el concepto de

densidad).

En conclusión Si la corona estaba hecha

de una aleación, al comienzo la balanza

estaría en equilibrio, pero al sumergirla en

agua, se desnivelaría porque la corona al

contener plata tendría más volumen y

recibiría más empuje que el trozo de oro

(al reemplazar oro por plata se requiere

más volumen de plata para obtener el

mismo peso porque es menos densa que

el oro)

Por lo tanto la corona no puede ser de oro

puro pues no tiene igual volumen que el

contrapeso de oro.

Conclusión

El laboratorio relacionó la tensión, el peso

y el empuje, el cual es evidenciable en la

tercera ley de Newton, de acción y

reacción, el cuerpo ejerce una fuerza igual

y de sentido contrario sobre el líquido,

estando el cuerpo está en equilibrio,

suspendido del hilo.

Se logró demostrar el principio de

Arquímedes.

Los resultados que arrojaron la práctica

con respecto a las densidades de agua y

aceite fueron muy cercanas a la realidad,

para ello el uso de gráficos fue importante

para este tipo de cálculos.

Cabe destacar que el volumen de fluido

desplazado por el objeto aumenta a

medida que está a mayor profundidad, y

por consiguiente la densidad disminuye

por ser inversamente proporcional a la

cantidad de volumen, esto mismo fue

evidenciado en la corona de Arquímedes.

Bibliografía

[1] Serway, Raimond. “Física”, tomo I, 4a.

edición.

[2] Sears-Semansky, “Física”, 1a. edición.

[3] Guías de Laboratorio Universidad del

atlántico Facultad de ciencias básicas

Departamento de física Principio de

Arquímedes.

[4] Temas Científicos; Principio de

Arquímedes Teorema de la Hidrostática

Empuje de Fluidos.