PRINCIPIO DE ARQUIMIDES
Pertuz Angie, Barrios Mateo, De Alba Stephanny Universidad del Atlántico.
Departamento de Ingeniería Química. Coordinación de Física.
Laboratorio de Física II, 27 de Octubre de 2016
La siguiente práctica de laboratorio se
realizó con el objetivo de comprobar el
principio de Arquímedes en 4 sólidos de
diferente composición y forma que
estaban en contacto con dos tipos de
líquidos (agua y aceite), que presentaban
distintas propiedades que los hacían útil
para su estudio, con la ayuda de los
instrumentos de laboratorios se pudo
obtener unos datos experimentales, que
luego fueron usados para obtener los
datos teóricos como el empuje y las
densidades de los sólidos y líquidos
utilizados.
Palabras Claves: Empuje, Fluido, peso
aparente, peso real, densidad.
1. Introducción
Esta práctica se hizo con el fin de
responder algunas preguntas cotidianas,
que usualmente se le da importancia, por
ejemplo el hecho de que un objeto tenga
un “menor peso” en ciertos fluidos, o ver
si la forma o la composición tienen algún
efecto en el cuerpo sumergido, por lo que
el objetivo fue resolver estas inquietudes
y se usaron cuerpos de distintos formas y
composición para este fin, que
inicialmente se conocía su peso y que
posteriormente fueron sumergidos en
fluidos como agua y aceite y se
observaron ciertos desplazamientos que
era el volumen desalojado y con este y
otros datos que se obtuvieron
experimentalmente, finalmente se pudo
hallar el empuje y las densidades todo
esto fue posible al principio de
Arquímedes que nos permite relacionar
las variables mencionadas de una manera
sencilla y realizando medida directa e
indirectas.
2. Discusión Teórica
Principio de Arquímedes
Afirma que todo cuerpo sumergido en un
fluido experimenta un empuje vertical y
hacia arriba igual al peso de fluido
desalojado.
La explicación del principio de
Arquímedes consta de dos partes como
se indica en la figura 1.
El estudio de las fuerzas sobre una
porción de fluido en equilibrio con
el resto del fluido.
La sustitución de dicha porción de
fluido por un cuerpo sólido de la
misma forma y dimensiones.
Fig.1. Principio de Arquímedes
Cuerpos sumergidos
Sobre un cuerpo sumergido actúan dos
fuerzas; su peso, que es vertical y hacia
abajo y el empuje que es vertical pero
hacia arriba.
Si queremos saber si un cuerpo flota es
necesario conocer su peso específico,
que es igual a su peso dividido por su
volumen.
Entonces, se pueden producir tres casos:
1. si el peso es mayor que el empuje (P >
E), el cuerpo se hunde. Es decir, el peso
específico del cuerpo es mayor al del
líquido.
2. si el peso es igual que el empuje (P =
E) el cuerpo no se hunde ni emerge. El
peso específico del cuerpo es igual al del
líquido.
3. Si el peso es menor que el empuje (P
<E), el cuerpo flota. El peso específico del
cuerpo es menor al del líquido.
El principio de Arquímedes se formula así:
(ecuación 1).
𝐸 = 𝑉𝜌𝑔 (1)
Donde E es el empuje, que equivale al
peso del objeto en unidad Newton (N)
V el volumen de cuerpo desplazado.
g Aceleración de la Gravedad (9.8 𝑚/𝑠)
ρ Densidad del Fluido.
El peso se puede calcular con el preso
específico y el volumen según la siguiente
ecuación 2.
𝑃𝑒 =𝑚𝑔
𝑉 (2)
Tenemos que, como el volumen del
líquido desplazado y el volumen del
cuerpo son iguales, se da el equilibrio
justo cuando la densidad del cuerpo es
igual a la densidad del líquido (Ecuación
3)
𝜌1𝑔𝑉𝑙 = 𝜌𝑐𝑔𝑉𝑐 (3)
Se sustituye la porción de fluido por un
cuerpo sólido de la misma forma y
dimensiones.
Si se sustituye la porción de fluido por un
cuerpo sólido de la misma forma y
dimensiones. Las fuerzas debidas a la
presión no cambian, por tanto, su
resultante que hemos denominado
empuje es la misma y actúa en el mismo
punto, denominado centro de empuje.
Lo que cambia es el peso del cuerpo
sólido y su punto de aplicación que es el
centro de masa, que puede o no coincidir
con el centro de empuje. (Figura 2)
Fig.2. Centro de masa y centro de empuje.
Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos
fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo,
que no tienen en principio el mismo valor
ni están aplicadas en el mismo punto.
En los casos más simples, supondremos
que el sólido y el fluido son homogéneos
y por tanto, coincide el centro de masa del
cuerpo con el centro de empuje.
1. Métodos Experimentales
En este laboratorio estuvo acompañado
de 4 sólidos, en este caso Cubo de Hierro,
rueda de Aluminio, Cubo de madera y
Cilindro de Bronce, para los cuales se
dispuso a medir la cantidad de masa en el
aire de cada uno con un dinamómetro,
seguido se tomó el volumen a partir de
una probeta, el cual se llenó con una
cantidad de agua aproximadamente 150
mL, se agregó el sólido a la probeta y al
volumen desplazado de agua por el sólido
se calculó el volumen experimentado,
posteriormente se con esos mL de agua
se ató un hilo con el sólido para registrar
los datos del peso aparente dentro de
dicho líquido. De igual Manera se
continuó con estos pasos pero con
Aceite.
2. Análisis de Resultados y Discusión
Inicialmente se calculó los pesos de cada objeto, llevándolos en unidades
adecuadas por el S.I. (los resultados están adjuntos en las respectivas tablas)
En el cálculo del peso se utilizó con la ecuación
𝑊
𝑚= 𝑔
𝑊 = 𝑚𝑔
El volumen de agua inicialmente en la probeta era de 150 mL
El volumen del cuerpo será por lo tanto:
𝑉𝑐 = 𝑉𝑑 − 𝑉𝑜
Donde Vc es el volumen del cuerpo en cierta cantidad de líquido.
Tabla.1. Registro de Cálculos Experimentales (Muestra 1)
Muestra 1
Fluido (Agua)
Objeto m (kg) 𝑾𝒓 𝑽 (mL) 𝒎𝒂𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑾𝒂𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆
Cubo de Fe 0.062 0.608 8 0.054 0.529
Rueda de Al 0.012 0.118 6 0.008 0.0784
Cubo de Madera 0.004 0.039 4 0.001 0.00980
Cilindro de Bronce 0.02 0.196 2 0.018 0.176
El volumen de aceite inicial en la probeta era de 110 mL
Tabla.1. Registro de Cálculos Experimentales (Muestra 2)
Muestra 1
Fluido (Aceite)
Objeto m (kg) 𝑾𝒓 𝑽 (mL) 𝒎𝒂𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑾𝒂𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆
Cubo de Fe 0.062 0.608 10 0.054 0.529
Rueda de Al 0.012 0.118 6 0.008 0.0784
Cubo de Madera 0.004 0.039 4 0.002 0.0196
Cilindro de Bronce 0.02 0.196 2 0.018 0.176
Cabe aclarar que debido al efecto del empuje, los cuerpos sumergidos en un fluido tienen
un peso aparentemente menor a su verdadero peso, que se le llama peso aparente. El valor
de la fuerza de empuje se determina mediante la diferencia del peso real y la del peso
aparente, es decir:
𝐸𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑙𝑜𝑗𝑎𝑑𝑜
𝐸 = 𝑊𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑊𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
Por lo tanto introduciendo esto en la
ecuación 1
𝐸 = 𝑊𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑊𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝜌𝑙 × 𝑔 × 𝑉
El concepto de empuje ayuda a
determinar la densidad de un cuerpo
sólido. Para ello se utiliza masa real del
cuerpo, después la densidad del líquido al
que fue sometido a un líquido de densidad
conocida, en este caso el agua y aceite.
De acuerdo al principio de Arquímedes,
esta diferencia se debe al empuje del
agua y al aceite por lo tanto esta
diferencia a es igual a la masa del agua
desalojada por el cuerpo. La densidad del
cuerpo está dada por la expresión:
𝜌𝐶𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 =𝑚𝑟
(𝑚𝑟 − 𝑚𝑎)𝜌𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
En agua
Calculando tenemos:
Densidad del cubo de Hierro
𝜌 =62 𝑔
(62 − 54)𝑔× 1 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 7.75
𝑔
𝑚𝐿
Densidad de la Rueda de Aluminio
𝜌 =12 𝑔
(12 − 8)𝑔× 1 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 3
𝑔
𝑚𝐿
Densidad de Cubo de madera
𝜌 = 4𝑔
(4 − 1)𝑔× 1 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 1.33
𝑔
𝑚𝐿
Densidad de Cilindro de bronce
𝜌 =20 𝑔
(20 − 18)𝑔× 1 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 10
𝑔
𝑚𝐿
Densidad del Aceite es 0.8 g/cm3
Densidad del cubo de Hierro
𝜌 =62 𝑔
(62 − 54)𝑔× 0.8 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 6.2
𝑔
𝑚𝐿
Densidad de la Rueda de Aluminio
𝜌 =12 𝑔
(12 − 8)𝑔× 0.8 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 2.4
𝑔
𝑚𝐿
Densidad de Cubo de madera
𝜌 =4 𝑔
(4 − 2)𝑔× 0.8 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 1.6
𝑔
𝑚𝐿
Densidad de Cilindro de bronce
𝜌 =20 𝑔
(20 − 18)𝑔× 0.8 𝑔 𝑚𝐿⁄ = 8
𝑔
𝑚𝐿
También se puede determinar la densidad
de los líquidos utilizados. Para ello,
primero obtenemos la masa aparente de
un cuerpo de masa sumergido en un
líquido de densidad conocida. La
diferencia de masa es igual a la masa del
volumen de líquido desalojado, por lo
tanto:
𝑉 =𝑚𝑟 − 𝑚𝑎
𝜌𝑙𝑖𝑞−𝑐
Después se introduce el mismo cuerpo en
el líquido problema y hallamos su masa
aparente. De nuevo la diferencia de masa
es igual a la masa del volumen de líquido
desalojado, por tanto:
𝑉 =𝑚𝑟 − 𝑚𝑎2
𝜌𝑙𝑖𝑞−2
Puesto que el volumen debe ser igual en
ambas ecuaciones, ya que el cuerpo es el
mismo, tenemos que la densidad del
líquido problema (desconocido) es:
𝜌𝑙𝑖𝑞.𝑑𝑒𝑠𝑐 =𝑚𝑟 − 𝑚𝑎2
𝑚𝑟 − 𝑚𝑎× 𝜌𝑙𝑖𝑞.𝑐
Hallar por medio de la pendiente la densidad de los fluidos
En este caso para el agua y aceite, experimentalmente.
Grafica.1. Empuje en función del volumen en el fluido de agua
Hallando la pendiente
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Tomando dos puntos: (4, 0.0194) y (6, 0.0396)
𝑚 =0.0396 − 0.0194
6 − 4= 0.0101
Se tiene que el empuje dependerá del volumen sumergido, siendo la densidad y la
gravedad constantes, que se puede apreciar como la pendiente de la línea, es decir:
𝜌 =𝑚
𝑔=
0.0101
9.8= 1.02
𝑔
𝑚𝐿
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
2 4 6 8
Emp
uje
(N
)
Volumen (mL)
Grafica E vs VFluido: Agua
%𝐸𝑟 =|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜× 100 =
|1 − 1.02|
1× 100 = 2%
Hallando la pendiente para un fluido como el aceite.
Grafica.2. Empuje en función del volumen en el fluido de aceite
Puntos
(4, 0.0292) y (6, 0.0396)
Pendiente
𝑚 =0.0396 − 0.0292
6 − 4= 5.2 × 10−3
𝜌 =𝑚
𝑔=
5.2 × 10−3
9.8= 0.53
𝑔
𝑚𝐿
%𝐸𝑟 =|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜× 100 =
0.83 − 0.53
1× 100 = 30%
Los resultados muestran que al comparar líquidos (fluidos) con distinta densidad, en función
de cuerpos, se nota que sumergiendo en un fluido experimenta la pérdida de peso entre
mayor sea el volumen sumergido, mayor será la pérdida de peso, ya que mayor será la
fuerza del empuje, por lo tanto entre más denso sea el líquido mayor será el empuje.
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
2 4 6 10
Emp
uje
(N
)
Volumen (mL)
Grafica E vs VFluido: Aceite
Preguntas
1. Compruebe el principio de
Arquímedes para un cubo
sumergido, determinando la
fuerza neta que ejerce el fluido
que lo rodea sobre sus caras.
Según el teorema fundamental de la
hidrostática: Es un hecho experimental
conocido que la presión en el seno de un
líquido aumenta con la profundidad.
Busquemos una expresión matemática
que nos permita calcularla. Para ello,
consideremos una superficie imaginaria
horizontal S, ubicada a una profundidad h
como se muestra en la figura 3
Fig.3. Presión ejercida por el líquido
La presión que ejerce la columna de
líquido sobre la superficie amarilla será:
𝑃 =𝑊 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐵𝑎𝑠𝑒
𝑝 =𝜌𝑉
𝑆=
𝜌𝑆ℎ
𝑆= 𝜌ℎ
Donde 𝑝 es el peso específico del líquido
y V es el volumen de la columna de fluido
que descansa sobre la superficie S.
Es decir que la presión que ejerce un
líquido en reposo depende del peso
específico (p) del líquido y de la distancia
(h) a la superficie libre de éste.
Si ahora consideramos dos puntos A y B
a diferentes profundidades de una
columna de líquido en equilibrio, el mismo
razonamiento nos permite afirmar que la
diferencia de presión será:
𝑃𝐴 − 𝑃𝐸 = 𝑝ℎ𝐴 − 𝑑ℎ𝐵
Este resultado constituye el llamado
teorema fundamental de la hidrostática:
La diferencia de presión entre dos puntos
dentro de una misma masa líquida es el
producto del peso específico del líquido
por la distancia vertical que los separa.
Ésta es la razón por la cual dos puntos de
un fluido a igual profundidad estarán a
igual presión. Por el contrario, si la presión
en ambos puntos no fuera la misma,
existiría una fuerza horizontal
desequilibrada y el líquido fluiría hasta
hacer que la presión se igualara,
alcanzando una situación de equilibrio.
2. Plantee un análisis y deduzca
porque la corona que Arquímedes
peso no era de oro puro.
El pesó la corona y además calculó la
diferencia de peso de volumen de agua
desplazada, además el peso de x piedras
utilizadas en la construcción de la corona
era el mismo que el de la corona, pero se
dio cuenta que el nivel del agua no subió
hasta el borde del recipiente, lo cual
significó que las piedras de oro ocuparon
menor volumen que la corona, por ello
demostró que la corona no estaba hecha
de oro puro, es decir contenía un metal
más ligero (aplicando el concepto de
densidad).
En conclusión Si la corona estaba hecha
de una aleación, al comienzo la balanza
estaría en equilibrio, pero al sumergirla en
agua, se desnivelaría porque la corona al
contener plata tendría más volumen y
recibiría más empuje que el trozo de oro
(al reemplazar oro por plata se requiere
más volumen de plata para obtener el
mismo peso porque es menos densa que
el oro)
Por lo tanto la corona no puede ser de oro
puro pues no tiene igual volumen que el
contrapeso de oro.
Conclusión
El laboratorio relacionó la tensión, el peso
y el empuje, el cual es evidenciable en la
tercera ley de Newton, de acción y
reacción, el cuerpo ejerce una fuerza igual
y de sentido contrario sobre el líquido,
estando el cuerpo está en equilibrio,
suspendido del hilo.
Se logró demostrar el principio de
Arquímedes.
Los resultados que arrojaron la práctica
con respecto a las densidades de agua y
aceite fueron muy cercanas a la realidad,
para ello el uso de gráficos fue importante
para este tipo de cálculos.
Cabe destacar que el volumen de fluido
desplazado por el objeto aumenta a
medida que está a mayor profundidad, y
por consiguiente la densidad disminuye
por ser inversamente proporcional a la
cantidad de volumen, esto mismo fue
evidenciado en la corona de Arquímedes.
Bibliografía
[1] Serway, Raimond. “Física”, tomo I, 4a.
edición.
[2] Sears-Semansky, “Física”, 1a. edición.
[3] Guías de Laboratorio Universidad del
atlántico Facultad de ciencias básicas
Departamento de física Principio de
Arquímedes.
[4] Temas Científicos; Principio de
Arquímedes Teorema de la Hidrostática
Empuje de Fluidos.