Modelización, Simulación y Validación de Sistemas Dinámicos

Presentado por: Héctor Camilo Serrano Sánchez- 2420111015

Daniel Felipe Pérez Borja- 2420111005

Grupo Numero: 10

Presentado a: Oscar Barrero Mendoza, PhD.

Profesor Asociado, Programa Automatización Industrial

Universidad de Ibagué

Control electrónico II

Ibagué

2015

OBJETIVOS GENERALES

Verificar y simular el modelo matemático de la planta

Preparar herramientas base para el desarrollo de las practicas siguientes

de laboratorio

Aplicar y validar conceptos de modelamiento matemático en sistemas

dinámicos

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Comprobar el diseño del filtro, comparando el comportamiento del sistema

real con el modelo de simulación que para nuestro caso será nuestra planta

Realizar una validación cuantitativa del modelo en un valor que nos

permita valorar el ajuste de la respuesta del modelo con respecto al

sistema original, se utilizara un indicador llamado la ‘’raíz cuadrada del error

medio cuadrático’’

Realizar la correcta adquisición de la señal ya que en tiempo discreto es

de gran importancia cuando hablamos de diseños de sistemas de control

digital o en tiempo discreto

Hacer el adecuado análisis del proceso o planta para el muestreo de

señales, basándonos en un tiempo constante ‘T’, el cual nos indicara el

tiempo de muestreo de nuestra señal

INTRODUCCION

El modelamiento de los sistemas dinámicos es una etapa muy importante

en el diseño de controladores basados en modelos matemáticos, los cuales

se basan en información presente y pasada de las variables, y esta descrito

por una ecuación diferencial, para llegar al modelamiento matemático

podemos iniciar desde varios puntos como , el circuito eléctrico , el diagrama

de bloques, espacio de estados , la función de trasferencia .Para nuestro

caso partimos de la función de transferencia que caracterizaba un filtro activo

de tercer orden pasa bajo que sería analizado no como un filtro si no como

nuestra planta , la cual tendría una respuesta paso de segundo orden ante

una entrada paso, con la función de transferencia podemos relacionar la

ubicación de los polos s1 y s2 con las respuesta transitoria del sistema de

segundo orden para caracterizar nuestra señal de salida con los siguientes

parámetros ‘’tiempo pico , tiempo de asentamiento, tiempo de oscilación,

tiempo de establecimiento’’ etc. Luego se procede a realizar la toma de datos

para la validación del modelo con ayuda de la tarjeta de adquisición, para

esto lo más importante es tener claro nuestro tiempo de muestreo la cual la

obtendremos con ayuda de nuestro ‘’Td’’, para la adquisición de datos se

utilizó un tarjeta de adquisición de la National Instruments (Figura 1).

Fig.1 Tarjeta de adquisición para tomar los datos

Por último se procedió a Realizar la validación cuantitativa del modelo, en

un valor que nos permitiera valorar el ajuste de la respuesta del modelo

con respecto al sistema original, con ayuda de la raíz cuadrada del error

medio cuadrático

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Primera Sesión (1 clase) - Modelamiento y Simulación de sistemas

dinámicos

En esta sesión se obtiene previamente la función de transferencia del sistema de

un filtro activo de tercer orden topología Sallen-Key, Y se prosigue a obtener

.

Figura N°1 Filtro de tercer orden topología Sallen-Key

Función Transferencia Filtro

𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐅𝐢𝐥𝐭𝐫𝐨 𝟏𝐞𝐫 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧

1Cs Vin

R3 +1Cs

= R5 ∗ Vo

R5 + R4

𝐃𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐧𝐝𝐨𝐕𝐨

𝐕𝐢𝐧

R5 + R4

R5(Cs ∗ R3 + 1)=

Vo

Vin

1 +R4R5

Cs ∗ R3 + 1=

Vo

Vin

𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐅𝐢𝐥𝐭𝐫𝐨 𝟐𝐞𝐫 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧

𝐕𝐨𝐥𝐭𝐚𝐣𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐍𝐨𝐝𝐨𝐬

𝐍𝐨𝐝𝐨 𝐕𝟏

Vin − V1

R1= (V1 − Vo)C2s +

V1 − Vo

R2

𝐎𝐫𝐠𝐚𝐧𝐢𝐳𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨𝐬

Vin

R1+ Vo ∗ C2s +

Vo

R2=

V1

R1+ V1 ∗ C2s +

V1

R2

Vin

R1+ Vo (C2s +

1

R2) = V1(

1

R1+ V1 ∗ C2s +

1

R2)

Vin ∗ R2 + Vo(C2s + 1)R1

R1 ∗ R2= V1(

R2 + R1 ∗ R2 ∗ C2s + R1

R2 ∗ R1)

𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 (𝟏)

Vin ∗ R2 + Vo(C2s + 1)R1 = R2 + R1 ∗ R2 ∗ C2s + R1

𝐕𝐨𝐥𝐭𝐚𝐣𝐞 𝐕+= 𝐕 −

𝐕−= 𝐕𝐨

𝐍𝐨𝐝𝐨 𝐕 +

V1 − Vo

R2= VoC1s

𝐃𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐕𝟏

V1 = Vo ∗ C1s ∗ R2 + Vo

𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 (𝟐)

V1 = Vo (C1s ∗ R2 + 1)

𝐑𝐞𝐞𝐦𝐩𝐥𝐚𝐳𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐥𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟐 𝐞𝐧 𝟏

Vin ∗ R2 + Vo(C2s + 1)R1

= R22C1sVo + R22R1C2sC1sVo + R2R1C1sVo + R2Vo + VoR1R2C2s

Vin ∗ R2 = Vo( R22C1s + R22R1C2sC1s + R2R1C1s + R2 + R1R2C2s + R1 − R1

− R1C2SR2)

Vin

Vo=

1

1 + C1(R1 + R2)s + R1R2C1C2 s2

Multiplican Las dos Funciones de Transferencia de ambos filtros

Vout(s)

Vin(s)=

1

1 + C1(R1 + R2)s + R1R2C1C2 s2.

1 +R4R5

1 + R3C3s

Diseño del filtro de tercer orden, para este caso la planta:

Vout(s)

Vin(s)=

1

1 + C1(R1 + R2)s + R1R2C1C2 s2.

1 +R4R5

1 + R3C3s

C2 = 10C1

R1,2 =C2 ± √C22 − 4C1C2

2Wc. C1. C2

R3 =1

WcC3,

R4

R5= 0.5

Wc = 15 − NG

Wc = 15 − 10

𝐖𝐜 = 𝟓𝐫𝐚𝐝

𝐬

𝐒𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐂𝟏 = 𝟏𝐮𝐟

C2 = 10(1uf)

𝐂𝟐 = 𝟏𝟎𝐮𝐟

R4 = 0.5R5

𝐒𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐑𝟓 = 𝟐𝟏𝐤Ω

𝐑𝟒 = 𝟗, 𝟕𝐤Ω

𝐒𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐂𝟑 = 𝟏𝐮𝐟

R3 = 1/wcC3

R3 =1

(4rad

s ) (10uf)

𝐑𝟑 = 𝟏𝟗𝟗. 𝟔𝐤Ω

R1 =C2 + √C22 − 4C1C2

2WcC1C2

𝐑𝟏 = 𝟏𝟖𝟒. 𝟑𝐤Ω

R2 =C2 − √C22 − 4C1C2

2WcC1C2

𝐑𝟐 = 𝟐𝟏. 𝟒𝐤Ω

Simulación en Matlab

Código mediante el cual obtenemos Respuesta en el tiempo de la

planta de tercer orden

%Funcion de Transferencia Hs1=tf(1,[R1*R2*C1*C2 C1*(R1+R2) 1]); Hs2=tf(1+R4/R5,[R3*C3 1]); Hs=Hs1*Hs2; step(Hs);

FIGURA 1° SEÑAL DE LA RESPUESTA DE NUESTRA PLANTA OBTENIDA DE

MATLAB

Para corroborar que la respuesta de nuestra planta es la obtenida en Matlab,

procedemos a simular nuestro filtro de tercer orden en proteus y observaremos si

la señal de salida de ese filtro es el mismo que obtuvimos en Matlab.

Simulación en proteus del filtro de tercer orden

FIGURA 2° SEÑAL DE LA RESPUESTA DE NUESTRA PLANTA OBTENIDA DE

PROTEUS

ANALISIS Y RESULTADOS

SALIDA SOBRE ENTRADA

(737,5mV) / (518.8mV) =1,48V

En la figura 3° el tiempo pico (Tp)

de esta figura podemos observar

que es de 1.080 seg, es el pico

más alto de esta figura.

Figura 3°

En la figura 4° hallamos el tiempo de

establecimiento (Ts) que nos da un valor

aproximado de 2.160 seg, este tiempo de

establecimiento es el tiempo que tarda

en entrar a la banda de tolerancia

Figura 4°

En la figura 5° obtenemos el valor del

sobreimpulso (Mp) nos dio un valor

aproximado de 12,50mV. Este valor

es la diferencia entre el valor máximo

y el valor de estado estable.

Figura 5°

En la figura 6° podemos observar el

valor de Td es de 1 seg, ese tiempo lo

obtenemos del tiempo pico máximo y

el periodo de una oscilación senoidal

Figura 6°

En la figura 7° obtenemos el valor del tiempo de elevación (Tr) , que es el tiempo que la respuesta tarda de ir del 10% al 90% del valor de estado

estable.

Figura 7°

Toma de datos Para la validación del modelo

Con el fin de obtener los datos para validar el modelo matemático, se deben

muestrear y almacenar los datos de la entrada y salida del sistema real, y así poder

comparar estos con la respuesta del modelo.

Ganancia= 1.48

Td=1.2 aplicando la fórmula para tiempo de muestreo a partir de Td

𝑡𝑑

30 ≤ 𝑇 ≤

𝑡𝑑

10

Obtenemos un tiempo de muestreo:

T= 0.06 tiempo de muestreo

FIGURA 8°

En la figura 8° anterior podemos observar la señal de entrada y salida de nuestra

planta, la señal de entrada es una señal cuadrada de 1v pp (señal azul), y la señal

de salida es la planta con una ganancia de A=1.48v (señal verde)

0 5 10 15 20 25 30 35-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

FIGURA 9°

Esta figura 9° es la validación de la planta real comparando los

datos adquiridos contra los datos de la planta en simulación,

con dichos datos podemos implementar la ecuación para hallar

el error medio cuadrático

IMPLEMENTADO CODIGO EN MATLAB PARA HALLAR EL

ERROR.

% Calculo del el error medio cuadratico RMSE

n=length(ysim);

RMSE=sqrt((1/n)*(sum((b-ysim).^2)))

RMSE = 0.4638

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Sistema Real Vs Sistema Modelado

CONCLUSIONES

Se concluye que para una mayor exactitud y correcta elección del tiempo de

muestreo se debe realizar una medición muy precisa del Tiempo de retardo

‘’td’’ y el valor máximo de amplitud en ese punto, ya que está directamente

relacionado a la hora de la elección de nuestro tiempo de muestreo.

Se concluye que nuestra practica no es necesario polarizar con una fuente

dual (+,-), ya que veremos en nuestro osciloscopio nuestra señal deseada y

una señal invertida que para fines de nuestra practica es innecesaria, tan

solo con una fuente de alimentación positiva nos basta para realizar el

correspondiente análisis de nuestra planta.

Se concluye que para la validación cuantitativa, que consiste en arrojar una

cifra de ajuste entre lo simulado y lo real, tenemos que realizar la

correspondiente medición de nuestros implementos a utilizar, tales como

resistencias, condensadores y nuestra propia alimentación si queremos unos

datos más reales ya que sabemos que dichos dispositivos presentan

perdidas por tanto sus valores no son exactos y difieren a los que tenemos

simulados.

Se puede concluir que con ayuda del modelamiento matemático, podemos

tener una representación numérica más sencilla de nuestro circuito, el cual

nos dará una mayor flexibilidad a la hora de realizar el correspondiente

análisis.

ANEXOS DE CODIGO

%LAB 1 DISEÑO DE LA PLANTA %DANIEL FELIPE PEREZ BORJA Y HECTOR CAMILO SERRANO %GRUPO NUMERO 10 %% Wc=15-10; C1=1e-6 C2=10e-6 C3=1e-6

R1=184.3e3 R2=21.4e3 R3=199.6e3 R4=9.7e3 R5=21e3 %R1=(C2+(sqrt(C2^2-(4*C1*C2))))/(2*Wc*C1*C2) %R2=(C2-(sqrt(C2^2-(4*C1*C2))))/(2*Wc*C1*C2)

%%Funcion de Transferencia Hs1=tf(1,[R1*R2*C1*C2 C1*(R1+R2) 1]); Hs2=tf(1+R4/R5,[R3*C3 1]); Hs=Hs1*Hs2; step(Hs);

código#2 obtención datos de la tarjeta de adquisición

%% Carga de datos y grafica del sistema real

load datos.lvm

t=datos(:,1);

t=t-t(1)

ch1=datos(:,2);

ch2=datos(:,3);

figure(2)

plot(t,ch1,t,ch2);% Grafica los voltajes tomados en los canales 1 y

2 en funcion del tiempo.

a=ch2(35:107);

b=ch1(35:107);

figure(3)

plot([a,b])

title 'Grafica Sistema Real'

grid on

Código #3 validación comportamiento del modelo %% Validacion del Modelo

Ts=0.06;

T=0:Ts:((length(a)-1)*Ts);%Para la grafica correcta, tiene que

hacer la entrada paso entre 0 y 2

ysim=lsim(Hs,a,T).*0.66; % a-a(1) para que la entrada este entre 0

y 2

figure(4)

plot(T,ysim,'b',T,a,'k',T,b,'r') %b-b(1) para que la grafica este

entre 0 y 3

%ysim:simulada azul,a+1:entrada negra,b:salida real roja

title 'Sistema Real Vs Sistema Modelado'

grid on