Ing. Eduardo Orcs

Anlisis por Elementos FinitosLab 7

Problemas Parablicos eHiperblicos 2D

Ing. Eduardo Orcs P.

Agosto 29/20142014-I

Problemas Parablicos e Hiperblicos en 2D

En esta clase se analizar problemas parablicos ehiperblicos bidimensionales (Ecuaciones de lasOndas y de Difusin), usando la PDE Toolbox:

Flujo externo transiente sobre una placa Flujo de calor transiente Modos y frecuencias de vibracin Propagacin y dispersin de ondas

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Flujo Externo Transiente sobre una Placa(Problema de Blasius)

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Una lmina de agua de espesor h = 10 cm seextiende hacia el infinito en el plano x-z y estlimitada en su parte inferior por una placa rgidaen y = 0, y una superficie libre en y = h.En t = 0, la placa se pone en movimientoinstantneamente con una velocidad U = 5 cm/sen la direccin positiva x. Determinar la velocidadhorizontal u(y,t) si la viscosidad cinemtica es = 1.0 cm2/s.

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La solucin de este problema consiste en integrar la componente x de laecuacin de Navier-Stokes, que en este caso se reduce a:

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0),10( ,),0( :..

0)0,( :..

2

2

=

==

=

=

ytuUtuBC

yuICyu

tu

Se aade la condicin du/dx=0 en las fronteras verticales, para tomar encuenta que la solucin es independiente de x. Esto permite tambinreducir el dominio de solucin en la direccin x.

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Solucin con PDETool:

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Variacin de la velocidad horizontal con y.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y(cm

)

Velocidad horizontal(cm/s)

t=10.0 s

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Flujo de Calor TransienteEl flujo de calor transiente es regido por la siguienteecuacin diferencial parcial parablica.

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El segundo trmino del lado derecho de la ecuacinsirve para modelar problemas de aletas.En PDETool se puede resolver problemas en 2D yaxisimtricos.

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A continuacin se analiza un problema de transferenciade calor transiente en un cuerpo que consta de dosmateriales con diferentes caractersticas.

El dominio 2D consiste de un cuadrado con un inserto enforma de diamante (cuadrado rotado 45). La regincuadrada consiste de un material con un coeficiente detransferencia de calor de 10 y una densidad de 2. Laregin en forma de diamante tiene una fuente de caloruniforme de 4, un coeficiente de transferencia de calorde 2 y una densidad de 1. Ambas regiones tienen uncalor especfico de 0.1.

La regin cuadrada tiene esquinas en (0,0), (3,0), (3,3),(0,3). La regin en forma de diamante tiene esquinas en(1.5,0.5), (2.5,1.5), (1.5,2.5), (0.5,1.5).

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La temperatura se mantiene en 0 en todas las superficiesexteriores. La temperatura inicial del sistema es 0. No seconsidera conveccin transversal, por lo que el trminoh(Text T) se lo pone igual a 0.

La dinmica de este proceso es muy rpida se alcanzael estado estable en menos de 0.1 unidades de tiempo.Para capturar la parte interesante de la dinmica, usarlogspace(-2,-1,10) como el vector de tiempos en loscuales evaluar la solucin. Esto da 10 nmerosespaciados logartmicamente entre 0.01 y 0.1.

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Visualizacin de la temperatura y Flujo de Calor.

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Solucin con PDETool:

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Problemas de ValoresCaractersticos

Los problema de vibraciones de cuerpos de parmetrosdistribuidos (masa, rigidez), satisfacen la ecuacindiferencial parcial:

022

2

2

=+

+ u

yu

xu

Donde w es el modo de vibracin (eigenvector, o vectorcaracterstico) y = 2 , donde es el valorcaracterstico y es la frecuencia natural de vibracin.

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A continuacin se analiza la vibracin de una membranaen forma de L.

El problema consiste en hallar todos los modosnaturales de vibracin (eigenmodos) con valorescaractersticos (eigenvalores) menores a 100. Eldesplazamiento vertical u = 0 en los bordes.

Las esquinas de la membrana estn en (0,0), (-1,0),(-1,-1), (1,-1), (1,1), y (0,1).

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Curvas de nivel del primer modo de vibracin ( = 10.01)

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Solucin con PDETool:

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Propagacin y Dispersin de Ondas Los problemas de propagacin de ondas son importantes en

campos tales como Acstica (Ultrasonido, Control de Ruido,etc.), Ssmica, Telecomunicaciones, etc. Cuando las ondasson armnicas en el tiempo, la ecuacin de las ondas sereduce a la ecuacin de Helmholtz, la cual es una ecuacinelptica (independiente del tiempo):

0222

2

2

=+

+ uk

yu

xu

Donde k es el nmero de onda, f es la frecuencia y es lalongitud de onda. La velocidad de propagacin de las ondases c.

===

22

cf

ck

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El problema a analizar en PDETool consiste en una ondaincidente dispersada por un objetode aproximadamente el tamao de su longitud de onda.La solucin total del problema U(x,y,t) es la suma de laonda incidente ms la reflejada R(x,y,t).

La solucin en PDETool para la onda reflejada semuestra a continuacin.

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Anlisis por Elementos FinitosProblemas Parablicos e Hiperblicos en 2DFlujo Externo Transiente sobre una Placa(Problema de Blasius)Nmero de diapositiva 4Solucin con PDETool: Nmero de diapositiva 6Flujo de Calor TransienteNmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16