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ACTAS DEL X ENCUENTRO DE CIENCIAS COGNITIVAS DE LA MÚSICA

Alejandro Pereira Ghiena, Paz Jacquier, Mónica Valles y Mauricio Martínez (Editores) Musicalidad Humana: Debates actuales en evolución, desarrollo y cognición e implicancias socio-culturales. Actas del X Encuentro de Ciencias Cognitivas de la Música, pp. 249-260. © 2011 - Sociedad Argentina para las Ciencias Cognitivas de la Música (SACCoM) - ISBN 978-987-27082-0-7

LA TEORÍA DEL ESPACIO TONAL COMO BASE PARA ANÁLISIS DE DIFICULTAD MELÓDICA

JAVIER ANDRÉS DAMESÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA

Resumen Categorizar la dificultad melódica es una práctica habitual para la selección de

repertorios en la educación musical. Este trabajo busca desarrollar una herramienta para sistematizar su análisis y categorización. Como paso inicial se midió la dificultad de los enlaces de alturas de diez melodías. Se diseñó una fórmula matemática para expresar ese resultado en una magnitud simple. En segunda instancia se realizaron encuestas a docentes de educación musical para obtener sus valoraciones heurísticas sobre la dificultad de las melodías seleccionadas. Finalmente se procedió a comparar las valoraciones heurísticas con las obtenidas por la aplicación del dispositivo. Los resultados evidenciaron coincidencias en la categorización de dificultad en ocho de las diez melodías utilizadas. Se discuten variables que no han sido neutralizadas en esta primera etapa de la investigación y se plantean posibles caminos para profundizar la validez del modelo.

Abstract Pitch sequence difficulty’s categorization is a common practice in repertoire selection for

music educators. In this paper we want to set the basis for developing a tool to improve tune´s analysis and categorization of tonal melodies. First step was measured the pitch’s link difficulty of ten selected tunes. We designed a math formula to express this result in a simple scale. Secondly, surveys were conducted for music educators, looking forward their heuristic evaluations on selected tunes. Finally we compared the heuristics with those obtained by the application of the device. The results showed similarities in the difficulty categorization on eight of the ten tunes selected. The discussion attempts variables that have not been neutralized and possible ways to deepen the validity of the model.

Introducción En la enseñanza inicial del lenguaje musical, como de la práctica vocal, es necesaria la

utilización de repertorios de melodías. Estas deben responder a un nivel de contenidos y dificultad determinados.

Es práctica habitual del docente de música la búsqueda de melodías y la correspondiente evaluación y categorización de su dificultad. La determinación de la dificultad de una melodía en esta práctica habitual se realiza a través de valoraciones heurísticas. Este trabajo intentará:

1. Aplicar de la teoría del espacio tonal de Lerdahl (2001) como marco teórico para calcular la dificultad del parámetro altura en melodías tonales en modo mayor.

2. Verificar si resulta pertinente y apropiado avanzar en el desarrollo de este modelo de análisis melódico, en vista de aplicaciones pedagógicas.

Fundamentación La definición de redes jerárquicas para la organización básica del sistema tonal se inicia con

los trabajos de Deutsch y Feroe (1981) y lo profundiza Lerdahl (2001). En el espacio tonal básico, establece cinco niveles jerárquicos. El primero es el ámbito de octava, el segundo la octava con la inclusión del espacio de quinta, el tercero es el espacio tríadico, el cuarto el espacio diatónico y el quinto el espacio cromático. Cada uno de estos niveles de denominan alfabetos fundamentándose en su alto nivel de enculturación (Shifres 2004). Se plantea que el análisis del procesamiento de secuencias melódicas puede mensurarse en términos algebraicos; contabilizando el intervalo entre dos notas por la cantidad de pasos (steps) a recorrer en la red del espacio tonal básico. El modelo de relaciones jerárquicas se establece como lo muestra la figura 1. La lectura del espacio tonal se realiza tanto en el eje horizontal como en el vertical y permite la combinación de ambos (lectura entre niveles). Por ejemplo, si establecemos como espacio tonal referente la tonomodalidad de Do mayor

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(C), el intervalo de D a C, tendrá una magnitud de 1 (uno) en el nivel diatónico, de E a C se mantendrá la magnitud 1 (uno) esta vez realizando la lectura en el nivel tríadico. Ahora la magnitud F a C será 2 (dos), un paso de F a E en el alfabeto diatónico y otro de E a C en el tríadico. De A a C también tendrá una magnitud 2 (dos) un paso de A a G en el nivel diatónico y un paso de G a C en el nivel de quinta. Un ejemplo desde el nivel cromático, la magnitud del intervalo entre G# y C es 3 (1 de G# a A + 1 de A a G + 1 de G a C).

La principal diferencia cualitativa de los enlaces interválicos queda establecida entre los enlaces de movimiento adyacente en el espacio tonal denominado step (paso) y los de movimiento no adyacente, denominado skip (salto), el cual involucra dos a más steps (Lerdahl 2001). Aplicando esta lectura de magnitudes jerárquicas entre niveles es que queremos comprobar si es posible analizar la dificultad de melodías tonales en modo mayor.

Como precedente se encuentra el trabajo La teoría del espacio tonal como dispositivo didáctico (Shifres et al. 2004) en donde se toma “… esta representación como artefacto didáctico para facilitar la realización de determinados procesos cognitivos vinculados a la compresión de melodías…”, señalando que “…la ventaja del mismo frente a otras teorías de estructuras jerárquicas en música reside en su presentación como un esquema abstracto independiente de cualquier obra musical en particular…” (s/p), lo cual nos permite una aplicación generalizada a un extenso repertorio.

Aplicación del modelo en el análisis de melodías Se seleccionaron diez melodías para realizar las primeras pruebas. En primera instancia se

consideró la utilización melodías propias de los cancioneros infantiles, porque entendemos que será útil para los docentes de música contar con una herramienta que permita medir esta dificultad, para la gradación didáctica de repertorios. Los primeros resultados llevaron a ampliar la muestra para testear el método con ejemplos de mayor dificultad.

En el apéndice se transcriben las partituras utilizadas en el presente trabajo.

Referencias para la lectura del apéndice En las partituras, debajo de cada nota, se indica la cantidad de ‘pasos’ para recorrer el

espacio tonal entre las notas que conforman cada intervalo. El concepto skip mencionado por Lerdahl quedará definido por la cantidad de pasos (steps)

necesarios para recorrer el espacio tonal entre un sonido y otro. Utilizaremos la sigla Mst (Magnitud de step) para enunciar el concepto.

En el gráfico de torta se representan los porcentajes de ocurrencia de cada magnitud de step. El valor 0 no se incluye en los porcentajes porque representa la ausencia de movimiento en el espacio tonal y el objetivo es medir la dificultad de los movimientos en dicho espacio.

Recopilación de datos En el cuadro de la tabla 1 se comparan los porcentajes de ocurrencia de steps

en cada una de las melodías. La figura 2 es para referenciar la lectura de la figura 3. Por ejemplo, la línea de color azul

(referencia 1) comienza en el 100% de la magnitud de step (Mst) 1 y finaliza en el 0 % de la Mst 3; es decir que esta hipotética melodía está constituida en su 100% por steps de magnitud 1. Esta línea representa la melodía de menor dificultad posible. En el otro extremo la línea de color verde claro (referencia 9) comienza en 0% de Mst 1 y termina con el 100% de Mst 3. Esta línea grafica la melodía de mayor dificultad posible. Las líneas intermedias (referencias 2 a 8) son posibles melodías con dificultades en incremento.

C C

C G C

C E G C

C D E F G A B C

C Db/C# D Eb/D# E F Gb/F# G Ab/G# A Bb/A# B C Figura 1. Espacio tonal de la tonomodalidad Do mayor.

LA TEORÍA DEL ESPACIO TONAL COMO BASE PARA EL ANÁLISIS DE DIFICULTAD MELÓDICA

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Ocurrencia de Steps de: Magnitud 1 Magnitud 2 Magnitud 3 Magnitud 4 Canción para tomar el té 90% 10% Canción de títeres 90% 10% Canción del jardinero 94% 6% El duende de siete colores 43% 50% 7% Mis canciones de papel 82% 18% El gato que pesca 72% 28% When you wish 71% 8% 21% La pomeña 67% 20% 13% A dream is a wish 54% 34% 8% 4% Zamba de Argamonte 65% 28% 7%

Tabla 1. Cuadro comparativo de porcentajes.

Figura 2. Posibles resultados de dificultad según porcentaje de pasos en el espacio tonal.

En la figura 3 se plasman los valores de las melodías analizadas con el fin de visualizar la curva de dificultad de cada canción. Por ejemplo la melodía 1 Canción para tomar el té (color azul con marcador rombo) está constituída por un 90% de steps de magnitud 1; y un 10% de steps de magnitud 2. Otro ejemplo, la melodía 9 A dream is a wish (color verde claro) está constituída por un 54% de steps de magnitud 1; un 34% de steps de magnitud 2;un 8% de steps de magnitud 3; y un 4% de steps de magnitud 4.

Comprobación de validez en base al análisis heurístico de profesionales de la enseñanza musical

Cuando los músicos calculan la dificultad de una melodía generalmente es a través de una valoración heurística. De acuerdo a mi conocimiento no se registran estudios que hayan medido el grado de acuerdo entre profesionales acerca del nivel de dificultad de las melodías tonales de uso frecuente en el medio académico de la educación musical.

Para recopilar datos que establezcan una evidencia inicial se realizó una encuesta a cinco educadores musicales de formación superior que habitualmente trabajan en la enseñanza de canciones.

Procedimiento de la encuestas Las encuestas fueron individuales. Se les entregó diez fichas cada una con la transcripción

de una melodía. Todas transportadas a la tonalidad de do mayor. Se les pidió que valoraran la dificultad de la melodía según la constitución de los enlaces de alturas, desestimando cualquier otra variable de dificultad que ellos considerarán evidente. Se les requirió la utilización de sus criterios habituales en la selección de repertorios para sus alumnos, focalizándose en el parámetro altura. Se dispuso que la valoración se expresara en una escala del 1 al 5, donde 1 corresponde a la melodía más fácil y 5 a la melodía más difícil.

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Figura 3. Proyección de dificultad de las melodías analizadas.

Número de orden según dificultad Nombre S1 S2 S3 S4 S5

Media con redondeo

1 Canción para tomar el té 2 1 1 1 1 1,15 2 Canción de títeres 2 2 1 1 2 1,50 3 Canción del jardinero 2 2 2 2 2 2,00 4 El duende de siete colores 2 4 3 2 3 2,70 5 Mis canciones de papel 3 2 3 3 3 2,77 6 El gato que pesca 3 3 4 3 3 3,18 7 When you wish upon a star 3 4 4 3 4 3,56 8 La pomeña 3 3 4 5 4 3,73 9 A dream is a wish 4 4 4 3 4 3,78 10 Zamba de Argamonte 4 3 5 5 5 4,32

Tabla 2. Estudio de valoración heurística con docentes de música.

En la tabla 2 se han volcado los datos de las encuestas a los profesionales (s1, s2, s3, s4, s5) con la valoración heurística de la dificultad de las melodías. Se calculó la media con redondeo para obtener el orden de gradación de este conjunto de melodías y se procedió a asignarles un número ordinal según su dificultad (ver tabla 2).

En la tabla 3 se presenta un cuadro de estadísticos. En él se refleja que fueron encuestados cinco sujetos, de los cuales sus cinco encuestas fueron válidas. Se procedió a calcular la media y se verificó la desviación típica para comprobar la consistencia de los valores obtenidos. La desviación típica en todos los casos fue inferior a 1 (uno) lo cual confiere solidez a los valores obtenidos en la encuesta.

Procedimiento de la fórmula Se calculó una fórmula para generar a partir de los porcentajes de ocurrencia de Mst una

escala de dificultad de las melodías. De esta manera podremos comparar los resultados con los datos de las valoraciones heurísticas obtenidos en la encuesta.

Fórmula: ((100-Mst1) + (Mst2/3) + (Mst3/2) + (Mst4)) /10 (Los valores de las variables Mst (Magnitud de step) se desprenden del cuadro de la tabla 1). La fórmula se construyó de la siguiente manera: Del 100% de los steps de una melodía, se restan los Mst 1 (los de menor dificultad), a ese



valor se le suma el porcentaje de los Mst 2 dividido 3, los Mst3 dividido 2 y los Mst4 en su totalidad. Estas divisiones progresivas se decidieron en con el fin de encontrar un valor que refleje la mayor incidencia de dificultad de los Mst4 en comparación con los Mst2. Desconocemos datos precisos para calcular el incremento ‘real’ de dificultad. El valor final se divide por diez para que la escala quede expresada en una cifra.

En la tabla 4 se transcriben los resultados obtenidos para cada melodía.

Sujetos Válidos Sujetos Perdidos Media Desviación típica

Canción para tomar el te 55 00 1,1500 ,44721

Canción de títeres 55 00 1,5000 ,54772

Canción del jardinero 55 00 2,0000 ,00000

El duende de siete colores 55 00 2,7000 ,83666

Canciones de papel 55 00 2,7700 ,44721

El gato que pesca 55 00 3,1800 ,44721

When you wish 55 00 3,5600 ,54772

La pomeña 55 00 3,7300 ,83666

A dream is a wish 55 00 3,7800 ,44721

Zamba de Argamonte 55 00 4,3200 ,89443

Tabla 3. Estadísticos.

Ej. Mst1 Mst2 Mst3 Mst4 Coeficiente según fórmula

1 90 10 0 0 1,33

2 90 10 0 0 1,33

3 94 6 0 0 0,80

4 43 50 0 7 8,06

5 82 18 0 0 2,40

6 72 28 0 0 3,73

7 71 8 21 0 3,95

8 67 20 13 0 4,61

9 54 34 8 4 6,53

10 65 28 7 0 4,78 Tabla 4. Cuadro con los resultados de la aplicación de la fórmula.

Ej. Coeficiente según fórmula Media s/estudio de sujetos Desviación típica

1 1,33 1,15 0,13

2 1,33 1,50 0,12

3 0,80 2,00 0,85

4 8,06 2,70 3,79

5 2,40 2,77 0,26

6 3,73 3,18 0,39

7 3,95 3,56 0,28

8 4,61 3,73 0,62

9 6,53 3,78 1,94

10 4,78 4,32 0,33 Tabla 5. Comparativa entre el valor de dificultad de la medición modelada por la fórmula y las valoraciones de los

sujetos. Desviación típica entre las mismas.

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Figura 4. Visualización en barras de la tabla 5.

En la tabla 5 se comparan los valores de dificultad obtenidos a través de la fórmula, y los valores de la encuesta a sujetos. En la última columna se muestra la desviación típica de cada ejemplo. Se encontraron desviaciones que no son aceptables en el ejemplo 4 y en el ejemplo 9. Sin embargo se destaca la consistencia entre los dos procedimientos de valoración (fórmula y sujetos) por su eficacia en el 80% de los ejemplos.

En la figura 4 se visualiza con un gráfico de barras las evidentes diferencias de los ejemplos 4 y 9.

Discusión Un punto débil de la valoración heurística propuesta en la encuesta, es cómo asegurar la

neutralización del parámetro altura por parte de los sujetos, y evitar las incidencias de parámetros rítmicos y/o armónicos.

También existe la posibilidad de que se manifiesten valoraciones sobre la dificultad de ejecución vocal según parámetros físico-musculares. Desde esta perspectiva un intervalo de octava (Do a Do, en Do mayor) que tiene una Mst1 (fácil) el sujeto lo considerará como de mayor dificultad para la ejecución vocal que un intervalo de segunda (Do a Re) que es de la misma magnitud (Mst 1).

A pesar de esto los resultados obtenidos a través de la fórmula coinciden en un 80% con la media de las valoraciones heurísticas de los expertos de área y esto nos alienta a profundizar en el modelo diseñado para lograr una mayor validez en sus resultados.

Nos atrevemos a alentar la idea de que la aplicación de la teoría del espacio tonal de Lerdahl constituye un marco teórico pertinente y apropiado para calcular la dificultad de melodías tonales en modo mayor.

En principio para establecer medias más exactas deberíamos ampliar el número de melodías analizadas y replicar la encuesta con mayor número de sujetos a fin de obtener valores más exactos.

Asimismo podría diseñarse un estudio que mida la dificultad para entonar cada una de las melodías. Este estudio debería considerar una muestra de la población que presente un dominio aceptable del uso de su voz para el canto, presumiendo con certeza que esta variable técnica generaría interferencia en los valores a obtener. Así podríamos comparar los datos y analizar las correlaciones entre los dos estudios afianzando su validez.

Lerdahl en su teoría del espacio tonal, desarrolló fórmulas para medir los enlaces de acordes y la tensión armónica (Lerdahl 2001); asimismo existen modelos basados en la teoría del espacio tonal para medir secuencias de acordes (Haas et al. 2008). Futuros trabajos podrían ‘cruzar’ las mediciones armónicas con las propuestas en el presente trabajo para modelar mas consistentemente la dificultad tonal de una melodía.

Referencias Haas, W. B.; Veltkamp R. C. y FransWiering (2008). Tonal pitch step distance: A similarity measure

for chord progressions. Ninth International Conference on Music Information Retrieval ISMIR, pp. 51-56.

Lerdhal, F. (2001). Tonal Pitch Space. Oxford University Press.

Martinez, I. (inédita). Psychological bases of music hierarchy. The Cognitive Reality of Cognitive Reality of Prolongational Structures in Tonal Music. Tesis Doctoral, 2007.



Shifres, F.; Jacquier, M. de la P. y Martínez, G. (2004). La teoría del espacio tonal como dispositivo didáctico. Actas de las I Jornadas de Investigación en disciplinas Artísticas y Proyectuales. La Plata. Edición UNLP.

Referencias discográficas David, M.; Hoffman, A. y Livingstone, J. (1948). A dream is a wish. En Cinderella. Walt Disney music

company.

Furnó, S. (1987). El duende de siete colores. En Mis Canciones de Papel. Ricordi.

Furnó, S. (1987). Mis canciones de papel. En Mis Canciones de Papel. Ricordi.

Hairlaine, L. y Washington, N. (1949). When you wish upon a star. En Pinocchio. Bourne & Co.

Leguizamon, G. y Castilla, M. (1968). La Pomeña. Ed. Lagos.

Leguizamon, G. y Castilla, M. (1971). Zamba de Argamonte. Ed. Lagos.

Walsh, M. E (1962). La calle del gato que pesca. Doña Disparate y Bambuco. EP sin data.

Walsh, M. E. (1963). Canción de títeres. En Canciones para mirar. CBS 1098.

Walsh, M. E. (1963). Canción del jardinero. En Canciones para mirar. CBS 1098.

Walsh, M. E. (1963). Canción para tomar el té. En Canciones para Mí. CBS 1097.

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Anexo

Ejemplo 1

Porcentaje de ocurrencia de pasos (Steps): (i) Paso de magnitud 1: 90%. (ii) Paso de magnitud 2: 10%.

Ejemplo 2




Ejemplo 3


Ejemplo 4

Porcentaje de ocurrencia de pasos (Steps): (i) Paso de magnitud 1: 43%. (ii) Paso de magnitud 2: 50%. (iii) Paso

de magnitud 3: 00%. (iv) Paso de magnitud 4: 04%.

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Ejemplo 5


Ejemplo 6




Ejemplo 7

Porcentaje de ocurrencia de pasos (Steps): (i) Paso de magnitud 1: 71%. (ii) Paso de magnitud 2: 08%. (ii) Paso

de magnitud 3: 21%.

Ejemplo 8


de magnitud 3: 13%.

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Ejemplo 9


de magnitud 3: 08%. (iv) Paso de magnitud 4: 04%.

Ejemplo 10


de magnitud 3: 07%.

La teoría del espacio tonal como base para análisis de dificultad melódicaResumenAbstractIntroducciónFundamentaciónAplicación del modelo en el análisis de melodíasReferencias para la lectura del apéndiceRecopilación de datosComprobación de validez en base al análisis heurístico de profesionales de la enseñanza musicalProcedimiento de la encuestasProcedimiento de la fórmula

DiscusiónReferenciasReferencias discográficas

AnexoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10

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