Hctor Rago A. Centro de Astrofsica Terica

Departamento de Fsica, Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes

Mrida Artculo basado en una conferencia dictada en el marco de la Octava Jornada de Matemticas, realizada en el Jardn Botnico de la UCV, Caracas, Abril de 1995

LA RUPTURA IMPOSIBLE: Variaciones, Reflexiones e Interrogaciones

Sobre La Fsica Y Las Matemticas

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Las matemticas son la puerta y la llave a las Ciencias.

Francis Bacon -ao 1.276

omencemos con una frase rotunda: la fsica es matemtica o no es. Aceptemos que entre una y otra disciplina se tienden una infinidad de puentes y que puede ser

imposible dibujar fronteras que deslinden ambos territorios. Pero ms all de la convivencia burocrtica bajo los mismos techos en las Facultades de Ciencias, ms all de materias en el pensum de toda licenciatura como Mtodos Matemticos de la Fsica I, II, ... de reas como Fsica- Matemtica, de revistas de prestigio como Journal of Mathematical Physics o Communications in Mathematical Physics; habra que preguntarse: Cul es la naturaleza de esa relacin?. Qu tienen que ver ellas y su relacin con la manera como conjeturamos al mundo? Las lneas que siguen pretenden hablar de esta debatida relacin.. Son comentarios sesgados, no pueden dejar de serlo, desde la perspectiva de la fsica terica, de una cuestin que tal vez no admita sino puntos de vista, opiniones particulares llenas de prejuicios pero que a pesar de eso o tal vez por eso mismo, puedan despertar algn inters. Hemos procurado el equilibrio en el enfoque, aunque hemos constatado que una deformacin profesional nos demor en los terrenos de la geometra y la gravitacin. La relacin entre las matemticas y la fsica son de vieja data y ha oscilado como todas las relaciones, entre la armona total y el conflicto. Siempre inspiradora, a veces la fsica ha seducido a las matemticas por la riqueza de los problemas que le susurra al odo. En otras ocasiones es la fsica la seducida por la elegancia de una estructura matemtica que le viene bien para sus intenciones. Polmica y contradictoria a veces, no pueden ser indiferentes ni abandonarse, y como en el bolero aquel, ... ni cerca ni distante podemos ya vivir ... . Relacin prolfica, por la abundancia de frutos que ha ocasionado, no vacilamos en calificarla de decididamente incestuosa, no presuminos acaso un desconocido padre comn?. Mantenemos entonces la indisolubilidad de la relacin y la imposibilidad de la ruptura. El Estilo es el Hombre Wolfang Goethe deca que

los matemticos son como los franceses, t les dices algo, ellos lo trasladan a su lenguaje y presto! es algo enteramente nuevo.

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Y es que para los fsicos, los matemticos tienen un estilo que los intriga y hasta los exaspera, pero que al final los subyuga. El fsico quisiera entender los conceptos de tal forma de utilizarlos en su trabajo lo ms rpido posible y por eso prefiere a menudo ejemplos simples e ilustrativos de conceptos abstractos. El matemtico opta por la construccin ms general posible. Si ha pensado en trminos concretos en la elaboracin de estos conceptos, a la hora de presentar los resultados lo hace de tal forma de ocultar su cadena de pensamientos: definiciones- axiomas- proposiciones- lemas- teoremas y corolarios con el pretexto de la claridad, rigor y elegancia, resultan en un estilo impenetrable para el fsico, quien opta por el diagrama y el caso particular. A la hora de calcular, el fsico suele prestigiar su intuicin. Casi acepta el precepto de John Wheeler: nunca emprendas un clculo sin saber cual es el resultado. Pero luego se beneficiar de la generalidad del mtodo de su colega matemtico. Por supuesto, la lnea fronteriza entre ambas actividades es difusa, (es posible que en otras pocas nunca existiera tal frontera) y hemos caricaturizado las profesiones; en todo matemtico hay algo de ingeniero y en todo fsico resuena algo de la hiperaxiomatizacin de Nicols Bourbaki. La verdad matemtica vs. la verdad fsica Es un hbito de los cientficos sospechar que la filosofa de las ciencias les es tan til a ellos, como la ictiologa a los peces. A pesar de compartir la hereja, tocaremos algunos temas que pertenecen a su mbito. Ms de una vez se ha afirmado que las matemticas son una gigantesca tautologa sin ms informacin que las que pusimos en los axiomas. Las matemticas por si mismas no son la explicacin de nada, o dicho de manera ms cruda, de algn modo las matemticas no tienen nada que ver con la realidad. Las matemticas son un lenguaje ms unas leyes de razonamiento; una manera de deducir afirmaciones a partir de otras; tiene que ver con la estructura del razonamiento, no con la naturaleza de los objetos con los que trata. Tal vez por eso, por no considerarla una ciencia natural, Alfred Nobel la excluy en su testamento, de los apetecidos premios. Aunque pudiera haber sido por la profunda enemistad que le profesaba al matemtico sueco Mitag-Leffer por los encantos de una dama, si le damos crdito al insistente rumor de la Suecia chismosa. No teniendo nada que ver con la realidad, el criterio de verdad en matemticas se apoya en el apego a su lgica interna, es decir, a su coherencia. Andr Weil deca: las matemticas son consistentes, por eso Dios existe. Pero no podemos probarlo, por eso el Diablo tambin existe. Por consiguiente, el conocimiento en matemticas es acumulativo. Una vieja teora es tan buena y por tanto no puede ser sustituida por una nueva. La geometra de Euclides es coherente y por tanto insustituib le. El teorema de Pitgoras siempre ser cierto. No hay una flecha del progreso en matemticas y en esto, aunque no slo en esto, tiene puntos en comn con el arte: La Consagracin de la Primavera no sustituye a los Conciertos de Branderburgo ni Rodin a Fidias. Ni viceversa.

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El fsico en cambio, no goza de esa libertad creativa cuasi-absoluta de su colega matemtico. Sus teoras no slo deben tener coherencia interna sino que adems tienen una deuda de compatibilidad con lo que vagamente se suele llamar Naturaleza, Mundo Externo, Realidad, Universo, Mundo Fsico....En otras palabras, el fsico debe (en la medida de lo posible) rendir cuentas de los hechos, datos experimentales u observaciones con los que la teora est conectada a travs de una complicada red de relaciones e interpretaciones que a su vez se apoyan en otras teoras. El hecho, al menos el hecho de valor cientfico es siempre un hecho contextualizado; no existe el datum puro sino visto a travs del prisma de una teora que es la que lo interpreta y le otorga sentido. Sir Arthur Eddington exageraba hasta la irona ...no creer en los hechos hasta que no sean explicados por la teora . Los hechos sin teoras son mana de coleccionista, filatelia. La teora sin hechos, fantasa tropical. Qu pretende una Teora Fsica? Una teora fsica es una parodia de la realidad, un mapa conceptual del mundo, su alter ego, una representacin simblica del universo o mejor, de una parte de l. En trminos ms actuales, un modelo del universo fsico que le d coherencia e inteligibilidad a un mundo que se nos presenta con una apariencia errtica, desordenado y polimorfo. En la base misma de la empresa cientfica subyace la fe de que en algn nivel de la realidad hay leyes, principios fundamentales que determinan la estructura y el funcionamiento del universo, y adems que es posible y es nuestro deber encontrarlos. La historia ha imaginado sucesivamente al Universo como un organismo vivo cuando los griegos, como una secuencia de figuras geomtricas regulares cuando Ptolomeo y sus seguidores, como un reloj o mecanismo de exacto funcionamiento de acuerdo con los newtonianos, como una mquina de vapor sujeta a las recin descubiertas leyes de la termodinmica a finales del siglo pasado, o como un computador en imagen tan cara a nuestros modernas tecnologas. Pero sea cualquiera la fantasa con que representemos al universo, la pasin por develar sus princ ipios reguladores ha sido la misma. Entre el griego y sus cuatro elementos y un terico que intenta unificar las interacciones fundamentales han cambiado los mtodos, obviamente, pero no las motivaciones. El desideratum lo expresa Einstein as:

El test supremo del fsico es llegar a leyes universales y fundamentales a partir de las cuales el Cosmos se pueda construir por pura deduccin.

Es decir, de la misma manera como un lgico descubre a partir de una gota de agua, las Catartas del Nigara o el Atlntico, como sugiere Conan Doyle.

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Para intentar satisfacer su pretensin, los fsicos recurren a las matemticas, sindole fiel a la tradicin inaugurada por Johannes Kepler en la descripcin de las curvas que describen los cuerpos celestiales; por Galileo Galilei matematizando el movimiento de cuerpos en la superficie de la Tierra y sobre todo por Isaac Newton, quien usurpando convenientemente el esfuerzo de los dos anteriores, logr concebir la primera teora fsica en el sentido contemporneo de la palabra, su teora del movimiento y su ley de gravitacin universal.

La Irrazonable efectividad de las Matemticas ... As llam el premio Nobel Eugene Wigner [1]al hecho aparentemente desconcertante de cmo las matemticas pueden colaborar con la fsica en su afn de explicar la realidad, a pesar de que en ocasiones la estructura matemtica no haya sido concebida para tales fines. Muchos han credo vislumbrar en esta irrazonable efectividad una suerte de armona preestablecida cuya explicacin es un verdadero rompecabezas. Es la naturaleza intrnsecamente matemtica o slo as nos parece como un reflejo por la manera como hemos optado por describirla?. En trminos ligeramente distintos, obedece realmente el mundo fsico a leyes matemticas o simplemente pareciera adecuarse a ellas porque los fsicos han sido cada vez ms capaces de meterlo en el cors de las matemticas? Bertrand Russel nos da su respuesta:

La fsica es matemtica no por lo mucho que sabemos del mundo fsico sino por lo poco que sabemos de l. Son slo sus propiedades matemticas las que podemos descubrir.

Las presuntas explicaciones dependen por supuesto de la concepcin que se profese acerca de las matemticas. Habra que parafrasear las preguntas anteriores: tienen los nmeros y los objetos matemticos una existencia sin tiempo e independiente de las mentes de los hombres, o son producto de la invencin de nuestros cerebros y por tanto tienen una existencia accidental y terrcola moldeada por una enmaraada red de causas y azares, visicitudes y peculiaridades de nuestra evolucin? Para un platnico o un neoplatnico no hay motivo de sorpresa. Ocurre que la realidad es matemtica, o en todo caso es un reflejo del mundo matemtico ideal, el nous. Los objetos y las estructuras matemticas las descubrimos. En otras palabras, Dios es un consumado y hbil matemtico. Esta posicin est conspicuamente ilustrada por las palabras de Galileo:

La Filosofa Natural est escrita en el gran libro que siempre est ante nosotros. Quiero decir el Universo, pero no podemos entenderlo si no

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aprendemos primero el lenguaje y no captamos los smbolos en los que est escrito. Y el libro est escrito en lenguaje matemtico y los smbolos son tringulos y crculos y otras figuras geomtricas sin cuya ayuda es humanamente imposible comprender una sla palabra de l.

Para un formalista, para quien ni los smbolos ni las reglas de manipulacin de los smbolos tienen algn significado ms all de ellos mismos, la conexin con la realidad es totalmente irrelevante, tal vez una curiosidad pero que nada tiene que ver con las matemticas. Para un conceptualista o un intuicionista, que mantienen que las leyes las construimos, las inventamos y no meramente las descubrimos, la explicacin es que la naturaleza ha impreso su huella en nuestras mentes en el decurso de la adaptacin evolutiva, luego construimos estructuras matemticas que reflejan lejana pero fielmente esa huella y forzamos a la realidad (o a los modelos que de ella hacemos) a adaptarse a estas estructuras. De no ser porque la palabra est tan desprestigiada, podramos decir que hay una relacin dialctica entre las matemticas y su uso en la descripcin de la realidad, es el movimiento pendular entre dos polos: de algunas suposiciones fsicas a su elaboracin matemtica que a su vez sugiere nuevos principios fsicos que incitan innovaciones matemticas....De modo que el supuesto milagro de la armona no es otra cosa que el resultado de un largo y ardoroso proceso de ajuste mutuo. En medio de ese vaivn se cuela furtivamente el experimento y de su mano, la tecnologa, pero ese es otro cantar. Matemticas, Fsica y Esttica Hay matemticas sencillas y matemticas difciles, matemticas feas y matemticas hermosas. A pesar de lo problemtico que pueda resultar discernir con precisin estos trminos, el cient fico profesional es capaz de intuir las diferenc ias entre estos opuestos. Es un prejuicio atvicamente arraigado dentro de los fsicos tericos que las matemticas pueden y deben colaborar guindonos en la mirada correcta de la realidad invocando principios expresables matemticamente en trminos simples y elegantes. A travs de estos principios la fsica hereda de las matemticas un sentido de belleza no demasiado alejado de la nocin de belleza que utiliza el arte. En efecto, en una buena medida los matemticos estn guiados en la construccin de sus teoras por ideas estticas. El matemtico ingls G. H. Hardy mantena que

...los patrones matemticos como el de los pintores o el de los poetas deben ser hermosos. Las ideas, como los colores y las palabras deben ajustarse unos a otros de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba. No hay lugar permanente para las matemt icas feas.

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Los cuadros del pintor holands Maurits Escher ilustran cmo el arte, seducido por las simetras, puede estar lleno de alusiones y referencias a conceptos matemticos abstractos. Por otra parte, es notable el inters que los fsicos y matemticos le han prestado a las espectaculares curvas fractales que los computadores han generado profusamente y sin reserva. Tal vez lo llamativo de estas figuras de innegable belleza es que nos conecta a travs de su apreciacin esttica, con la naturaleza misma. El patrn repetitivo y autosimilar de los fractales recuerda a estructuras del mundo natural que tenemos demasido cerca, como la manera de ramificarse de algunos follajes, o los cristales de hielo. En ellos se esconde una invariancia no lineal detrs de la que se se esconde un profundo atractivo por la simetra visual y la sugerida armona matemtica. Y la pregunta nuevamente se impone: Es que la naturaleza es intrnsecamente hermosa y Dios es un artista? O es que consideramos estticamente valiosas las estructuras que servirn para describir parte de la naturaleza con xito? Ha impreso su huella la naturaleza en el decurso del proceso de adaptacin y los matemticos reflejan en sus trabajos esa huella? Ser que la sensacin de belleza proviene del tipo de problemas que los cientficos han elegido o de las simplificaciones y simetras que le hemos impuesto para hacerlo tratable? No se nos escapa que como en todo juicio esttico, considerar bella a una teora es una cuestin de gusto educado, de experiencia subjetiva, de un adiestramiento previo. No se puede pretender percibir el encanto de una teora sin el conocimiento de las matemticas, como no se puede disfrutar de una sinfona sin escucharla. Que las matemticas suelen tener la costumbre de ser difciles? Cuentan que Euclides respondi a las quejas de un Rey a quien vanamente intentaba ensearle geometra: no existe ningn camino real hacia la geometra. Lo verdaderamente notable es que esta nocin difusa de belleza ha desempeado un papel heurstico en la construccin de muchas teoras fsicas y ha sido importante a la hora de juzgar y privilegiar teoras incluso en contra de la evidencia experimental, porque entre otras razones la evidencia experimental puede provenir de experimentos poco rigurosos. Paul Dirac, uno de los creadores de la fsica cuntica, ha sido uno de los ms vehementes defensores de la idea de que el desarrollo de matemticas bellas aquellas con simetra, economa, conexin con otras partes de las matemticas debera ser una de las prioridades del fsico terico en su anhelo por describir los fenmenos fsicos. Desde su posicin extrema, Dirac [2]apunt:

La idea dominante en la aplicacin de las matemticas a la fsica es que las ecuaciones que representan las leyes de movimiento deben tener una forma simple. El xito del esquema es que las ecuaciones simples parecieran funcionar .... Lo que hace que la teora de la relatividad sea tan aceptable a los fsicos a pesar de a veces ir contra el principio de simplicidad, es su gran belleza matemtica. Esta es una cualidad que no puede ser definida, de la misma forma que belleza en arte no puede ser definida...La teora de

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la relatividad introdujo belleza matemtica de una manera sin precedentes en el estudio de la naturaleza. Vemos que debemos cambiar el principio de simplicidad por un principio de belleza matemtica. A menudo ocurre que el requerimiento de simplicidad y el de belleza coinciden, pero donde ellos choquen, debe privilegiarse el segundo.

Cierto que estas matemticas hermosas le han sido sugeridas al fsico por modelos visuales o principios fsicos, pero es notable que pueda ocurrir que los principios fsicos o los modelos visuales suc umban y sin embargo la construccin matemtica subsista, posiblemente reinterpretando sus trminos. Todo fsico percibe la teora electromagntica de Maxwell como una bella teora. Sin embargo los modelos visuales en que Maxwell concibi los campos, como poleas y engranajes y muchos de los principios bsicos como el tiempo y el espacio absolutos, se quedaron en el camino. Pareciera como si las matemticas slo pudieran adaptarse a la naturaleza de muy pocas maneras y que formulando principios errados poda mos atinar con estructuras correctas debidamente interpretadas. Por supuesto, suele ocurrir que seducidos por el guio cmplice de la naturaleza optemos por una pista falsa: la gua esttica puede no llevar a ninguna parte. Tanto Johannes Kepler en el siglo XVI como Murray Gell-mann y Yuval Neeman en 1960 usaron esa gua en sus investigaciones. El primero explicando las rbitas de los cinco planetas conocidos en la poca, Mercurio, Venus, Marte, Jpiter y Saturno en base a los cinco slidos pitagricos, el cubo, la pirmide, la doble pirmide, el octahedro y el icosahedro. Los segundos para imponer un esquema de clasificacin por familias en la multitud de partculas elementales que producan los grandes aceleradores, en base a las simetras de un grupo matemtico bien conocido. La simetra matemtica sugera que una de las familias de partculas estaba incompleta y que deba existir una nueva partcula para completarla. Gell-mann tuvo xito, la partcula fue conseguida en 1964 con las propiedades que l haba anticipado. El fracaso de Kepler no se debi al mtodo sino en haber juzgado a los planetas y sus rbitas como fundamentales (claro que lo son para nuestra existencia !) en lugar de considerarlos como el resultado de una secuencia de accidentes y azares. Las partculas elementales, en cambio son mucho ms fundamentales. El propio Dirac descubri las leyes correctas de la mecnica cuntica relativista argumentando sobre vagos principios estticos de simetra y de simplicidad. Sin embargo, algn tiempo despus modific por razones estticas las ecuaciones de Maxwell hacindolas ms simtricas. La teora as modificada supone la existencia de una partcula hipottica conocida como monopolo magntico, con interesantes propiedades fsicas, entre ellas la de no existir sino en las pginas del Physical Review y en la fantasa de algunos tericos. A pesar del esfuerzo de los fsicos experimentales, nunca fue detectado ni un ejemplar de la presunta partcula. La hermosa teora de Dirac no funciona. Cuando Kepler descubri que las rbitas de los planetas son elipses alrededor del sol en lugar del crculo, privilegiado esttica y filosficamente, se lament agriamente: He poblado la

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astronoma con el estircol de las elipses [3]. En realidad haba ocurrido un desplazamiento del concepto de belleza: ya no eran las soluciones (elipses) los depositarios de la belleza sino los principios ms generales que determinan estas soluciones, es decir las leyes del movimiento y la ley de gravitacin universal, descubierta poco despus. Los fenmenos suelen ser complicados y feos porque estn descritos por las soluciones de las ecuaciones que representan los princ ipios fsicos. La solucin a una ecuacin requiere de algunas condiciones (iniciales por ejemplo) producto de accidentes histricos o de algn azar. Por eso la solucin posee menos simetras que la ecuacin y por ello su valor esttico es menor. Mientras ms nos alejemos de los fenmenos y ms profundamente indaguemos en la explicacin de los principios fundamentales que los rigen, ms y ms belleza iremos encontrando. El universo es un lugar extrao y acaso lo que presentimos como belleza en las teoras actuales no sea sino la anticipacin de la belleza de la tan ansiada como elusiva teora final. Papel de las Matemticas en una Teora Fsica El ncleo de una teora fsica madura est hecho de matemticas. En una gran medida el modelo fsico es la estructura matemtica subyacente. La formulacin matemtica de una teora no es asptica, la contamina porque su papel no se reduce al ahorro de operaciones mentales ni a la utilizacin de un lenguaje minuciosamente puntual. Cierto que sus preceptos internos permiten extraer conclusiones legtimas, otorgndole precisin y rigor y excluyendo irrelevancias. Pero adems la estructura matemtica contribuye decididamente a la interpretacin del modelo, esqueletiza la teora, le otorga huesos. Esta rigidez evita convenientemente pequeas modificaciones ad hoc de la teora para cuadrar los hechos. Otro importantsimo papel de las matemticas en una teora fsica est en el clculo de soluciones especficas ante circunstancias fsicas determinadas. Muy frecuentemente una teora que gobierna la evolucin de un sistema fsico, evidencia los siguientes aspectos: Objetos matemticos que representan entidades fsicas, (funciones que representan la

posicin de partculas puntuales, campos vectoriales que representan campos electromagnticos, campos espinoriales que representan electrones, funciones de onda que representan probabilidades ..).

Una estructura algortmica, usualmente dada en forma de ecuaciones diferenciales, que

controlan la tasa de cambio de estos objetos. Los fsicos suelen llamar a esta estructura ecuaciones de movimiento o ecuaciones de campo.

Constantes universales, son parmetros caractersticos del sistema fsico, como la carga del

electrn, la velocidad de la luz, la constante de Plank, la constante gravitacional de Newton. Las teoras fsicas actuales (pensamos en el modelo estndar de partculas

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elementales y en la relatividad general), requieren de alrededor de veinte de estas constantes para describir la realidad. El valor de estas constantes slo puede ser conocido a travs de experimentos. No sabemos por qu valen lo que valen, aunque sabemos que el mundo sera muy diferente si estas constantes tuvieran otros valores.

La capacidad predictiva de las teoras se apoya en la existencia de soluciones a las

ecuaciones de movimiento, a partir de determinadas condiciones iniciales que especifican el estado del sis tema en algn instante. Adems es importante que el resultado no sea excesivamente sensible a las condiciones inciales, es decir, que sean causalmente estables, o dicho en trminos tcnicos, que las ecuaciones de movimiento tengan (admitan) un problema de Cauchy bien planteado.

As las cosas, las matemticas permiten en principio, resolviendo las ecuaciones analtica o numricamente, exacta o aproximadamente, con las condiciones iniciales y de contorno dadas, obtener una prediccin y compararla con la observacin y/o el experimento. De esta manera se descubri Neptuno en 1846 usando la teora de gravitacin de Newton; se predijo el valor del momento magntico del electrn con una precisin de una parte en 10.000.000.000, en los aos 40, usando la electrodinmica cuntica; se encontraron los bosones vectoriales W y Z en 1983 predichos por la teora electrodbil y el quark top en junio de 1994, gracias a la cromodinmica cuntica. Sin embargo, el desideratum de la predictibilidad total se ve entorpecido por numerosos factores. 1. Modelos tericos no lo suficientemente precisos. Por ejemplo, la teora de gravitacin

newtoniana no pudo predecir ni explicar el desplazamiento del perihelio de Mercurio, que slo despus del advenimiento de la relatividad general pudo ser explicado.

2. El inevitable error experimental al fijar las condiciones iniciales. Por ejemplo, si

logrsemos determinar la posicin de una bola de billar con una precisin de una parte en diez billones (es decir, un error del orden de un dimetro nuclear), y todos los dems datos conocidos con precisin total, en apenas quince choques la amplificacin de la incertidumbre inicial sera del tamao de la mesa y por tanto nada podramos afirmar acerca de la posicin de la bola.

3. Modelos tericos formulados en trminos estadsticos, bien sea por imposibilidad de fijar

condiciones iniciales en el caso de un gas es obvio que no podemos considerar cada molcula al detal o porque la descripcin es intrnsecamente probabilista como en el caso de la teora cuntica.

4. Sensibilidad extrema a las condiciones iniciales, que es lo que ocurre en los fenmenos no

lineales caractersticos de los procesos caticos tan en boga en estos das.

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5. Dificultades formidables tanto matemticas como conceptuales que imposibilitan la

formulacin de predicciones. Un ejemplo apropiado lo brinda la teora de supercuerdas, la ms firme candidata, segn muchos a ser la teora que unifica todas las interacciones fsicas, pero que no ha arrojado hasta ahora ninguna prediccin que permita vislumbrar su potencial.

6. Limitaciones causales. La existencia de una velocidad mxima en la naturaleza la

velocidad de la luz impide que en un instante dado conozcamos todos los factores que eventualmente podrn alterar al sistema en consideracin. Por ejemplo, en este preciso instante no tenemos manera de saber si el sol estall con las terribles consecuencias para predecir nuestro futuro. Es dentro de un lapso de ocho minutos, tiempo que se demora la luz en venir desde el sol hasta la tierra e informa rnos que hace ocho minutos no haba estallado.

7. Y finalmente, hasta la falta de confianza en la teora puede socavar su poder predictivo. El

propio Einstein eludi la gloria de haber predicho la expansin del universo por creer ms en el prejuicio de un universo esttico, que en sus ecuaciones que describan inexorablemente un universo dinmico. Para adaptarlas a su prejuicio modific arbitrariamente sus ecuaciones originales, agregndoles un trmino que contena a la famosa constante cosmolgica, del cua l abjur unos aos despus cuando Hubble descubri observacionalmente la expansin del universo. Einstein se referira luego al episodio como el mayor error de su vida.

Ejemplos de la intercolaboracin A veces la intuicin de los fsicos y las exigencias de las teoras que intentan construir han inspirado a los matemticos a la creacin de sus estructuras. Otras veces los matemticos han erigido sistemas que posteriormente resultan singularmente apropiados para las necesidades de los fsicos. En otras ocasiones los matemticos logran develar la estructura matemtica subyacente a una teora fsica que no la exhiba de manera explcita. Veamos algunos ejemplos. Apolonio desarrolla el estudio de las curvas cnicas que luego Kepler utilizara al formular

las leyes de las rbitas planetarias. Newton urgido de una herramienta matemtica inexistente para la poca, tuvo que

concebirla y desarrollarla l mismo: el clculo diferencial e integral. Fourier desarroll la teora matemtica de las series y transformadas que llevan su nombre,

sugerido por los estudios acerca de la transmisin del calor.

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Hilbert cre la teora de espacios infinito-dimensionales y de operadores que en ellos

actan, sin siquiera sospechar que sus resultados seran utilizados por los fsicos como fundamento axiomtico de la mecnica cuntica.

La teora de grupos fue iniciada por Evaristo Galois a comienzos del siglo XIX estudiando

las soluciones de ecuaciones algebraicas de quinto grado. Sophus Lie extendi la teora a grupos continuos, los grupos de Lie. En su tesis doctoral en 1894 Eli Cartan clasific los grupos simples y a pesar de que Sir James Jean afirmara que la teora de grupos era la parte de las matemticas ms intiles para los fsicos, hoy no se concibe la fsica de partculas sin la teora de grupos. El nfasis en las actuales teoras de las interacciones fundamentales es en las simetras e invariancias de la naturaleza. A ella le gustan las simetras y sus rupturas y la teora de grupos es el estudio sistemtico de las simetras.

A pesar del lamento de Richard Courant y David Hilbert en el prlogo de su famoso libro [4] acerca de un presunto deterioro de la relacin entre ambas disciplinas, deterioro que comprometera nada menos que a la empresa cientfica, el contubernio prosigue. No puede no hacerlo. Dirac tuvo una intuicin con una delta y Laurent Schwarz edific la teora de

distribuciones. Los matemticos le devuelven la teora repotenciada para que sea herramienta cotidiana en muchas reas de la fsica terica.

El estudio del movimiento browniano y una manera original y sugestiva de concebir los

procesos mecanico-cunticos, conducen al desarrollo de las integrales de Feynman-Wienner.

Los tericos de las supercuerdas han tenido que recurrir a los matemticos y junto a ellos,

desarrollar las estructuras necesarias. Si alguna vez los fsicos pierden el inters en las supercuerdas, estas estructuras formales persistirn para deleite de los matemticos.

La teora especial de la relatividad, formulada por Einstein en 1905 cuyas matemticas no

superan en dificultad a las del bachillerato, fue revestida tres aos ms tarde por Hermann Minkowski con el ropaje de una geometra cuadridimensional pseudoeuclideana. Einstein comentara: Los matemticos han tenido xito formulando mi teora en una manera en la que yo no la entiendo

En realidad se trata del joven Einstein, filosficamente muy cercano a un empirismo radical. Pocos aos despus lo conseguiremos en una bsqueda frentica y extenuante de modelos abstractos de geometras no euclideanas aptas para plasmar los nuevos conceptos fsicos que haba desarrollado sobre la gravitacin.

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El resultado final de esa bsqueda finalizada en 1915, la teora general de la relatividad, ilustra gloriosamente una de las ms hermosas y fructferas colaboraciones entre las matemticas y la fsica. Geometra y mundo fsico. Conviene establecer muy claramente la distincin entre geometra matemtica y geometra fsica. La primera tiene todas las libertades de cualquier sistema matemtico, mientras que la segunda es a la que se refera Einstein cuando afirmaba que la geometra es una de las ms antiguas teoras fsicas. La geometra fsica est en la obligacin de responder cul es la geometra vlida en nuestro mundo y en particular por qu la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180 y la relacin entre el permetro y el radio de una circunsferencia es 2p . En otras palabras, por qu localmente la geometra de Euclides d tan buenos resultados. Asombrosamente la respuesta es que es as porque el campo gravitacional de la Tierra es extremadamente dbil. Para comenzar a entender esta afirmacin podemos recordar a Sir Bernard Shaw quien urdi esta irona:

Newton, como buen ingls postul un Universo rectangular porque los ingleses usan la palabra square para demostrar honestidad, verdadero, rectitud. Newton saba que el Universo consta de cuerpos en movimiento y que ninguno de ellos se mueve en lnea recta, ni podra hacerlo. Pero un ingls no se amilana por los hechos. Para explicar por qu los cuerpos se mueven as, invent una fuerza llamada gravitacin y entonces erigi un complejo universo britnico y lo estableci como una religin en la que se crey por trescientos aos. El libro de esa religin no es esa cosa oriental mgica: la biblia, es el tablero de Trenes Ingleses, que da las estaciones de todos los cuerpos celestes, sus distancias, las velocidades a las que viajan y la hora a la que llegan a eclipsar puntos o estrellarse contra la Tierra. Todo item es preciso, comprobado, absoluto e ingls. Trescientos aos despus de establecido el sistema surge un joven profesor en el medio de Europa y le dice a los astrnomos: Caballeros, si Uds. observan el prximo eclipse de sol con cuidado, entendern qu pasa con el perihelio de Mercurio .... El joven profesor sonre y dice que la gravitacin es una hiptesis muy til y da resultados bastante buenos en muchos casos, pero que l, personalmente puede prescindir de ella. Le preguntan Cmo? si no hay gravitacin los cuerpos celestes se moveran en lneas rectas. El responde que no hace falta ninguna explicacin porque el Universo no es rectilneo ni exclusivamente britnico: es curvilneo. El universo newtoniano a partir de all cae muerto y es suplantado por el Universo de Einstein. Einstein no ha retado los hechos de la ciencia. Ha retado los axiomas de la ciencia y la ciencia ha sucumbido al reto.

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Fsica Pre-relativista. Herman Weyl habl del acto de violencia que signific adscribirle triadas de nmeros a los puntos del espacio. Los fsicos suelen perpetrar un acto de violencia similar al otorgarle nmeros al conjunto de los eventos, es decir las cosas que ocurren en un instante de tiempo y en un lugar del espacio. A este conjunto de puntos etiquetados por cua tro nmeros llaman los fsicos espacio-tiempo. Antes de 1905 se pensaba que el espacio-tiempo tena la siguiente estructura. Dado un evento p hay una nocin natural y absoluta de fijar los eventos que comparten con p su coordenada temporal, es decir, que son simultneos a p. El conjunto de tales eventos forma una trisuperficie: el espacio ordinario. Se crea que dado otro evento q cualquiera, poda darse una y slo una de estas posibilidades: Es posible ir del evento p al evento q, en cuyo caso decimos que q est en el futuro de p. Es posible ir de q hasta p, y por tanto q est en el pasado de p. Es imposible estar presente en ambos eventos, ellos son simultneos.

fig. 1 La estructura causal pre-relativista El lector podr notar que las suposiciones anteriores son vlidas slo si la naturaleza permite velocidades tan altas como se quiera.

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Fsica Relativista. Sin embargo, a partir de 1905 el entendimiento de la velocidad de la luz como una constante universal alter la situacin anterior, y emergi la siguiente estructura causal: dado el evento p hay un cono llamado el cono de luz, definido por la ecuacin x + y + z - t = 0. El reflejo geomtrico de esta nueva estructura est provisto por las transformaciones que dejan invariante la mtrica de Minkowski, dada por ds = (dx) + (dy) + (dz) - (dt). Estas transformaciones, llamadas transformaciones de Lorentz son el diccionario que traduce los valores (x, y, z, t) de un evento segn un observador, a los valores (x, y, z, t) del mismo evento, visto por otro observador que se mueve con velocidad constante respecto del primero.

Fig. 2 La estructura causal relativista El advenimiento de la relatividad especial plante un programa a ser cumplido por las teoras fsicas: ellas deban adaptarse a la recin descubierta estructura causal del espacio -tiempo, es decir, tomar en cuenta el hecho empricamente verificable de que la velocidad de la luz en el vaco es una constante universal. Dicho en trminos tcnicos, toda teora fsica debe ser covariante bajo el Grupo de Transformaciones de Lorentz.

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La Gravitacin La teora de la gravedad aceptada unnimemente a comienzos de siglo era por su puesto la Teora de Gravitacin Universal propuesta en 1687 por Isaac Newton y desde entonces invicta en toda confrontacin con la realidad. Sin embargo, a pesar de su xito emprico, padeca de un pecado original: la teora newtoniana supone que la gravitacin se propaga instantneamente, es decir, con velocidad infinita y por tanto no se adeca a los principios de la relatividad especial. Einstein decide entonces exorcizar a la gravedad newtoniana de su pecado y se embarca en la monumental tarea de construir una nueva teora la relatividad general cnsona con la estructura del espacio-tiempo recin descubierta. Queremos enfatizar que las razones para emprender la bsqueda de una nueva teora de la gravitacin, son de orden conceptual, de coherencia en la descripcin de la naturaleza, de sospechar que los principios matemticos que subyacen a la realidad fsica son los mismos para diversas partes de esta realidad; y no porque la venerable teora de Newton hubiese mostrado su taln de Aquiles frente a las observaciones. A la saga de las nuevas ecuaciones Einstein advirti con perspicacia y una profunda intuicin fsica que los fundamentos de su nueva teora de la gravitacin requeran de novedosos formalismos matemticos con los cuales establecer una precisa relacin entre el contenido de energa en una regin y las propiedades geomtricas del espacio-tiempo en esa regin. En otras palabras, el rgido espacio-tiempo plano de la relatividad especial apropiado para sistemas en ausencia de gravitacin, deba ceder su lugar a un espacio -tiempo curvo, dinmico, voluble en su interaccin con la materia. La curvatura del espacio-tiempo deba estar ligada de alguna manera a la presencia de un campo gravitacional. De la mano de su antiguo compaero de clases, el matemtico Marcel Grossmann, Einstein recorri los vericuetos de las matemticas que sus ideas reclamaban. La geometra riemanniana haba sido desarrollada por el matemtico alemn Bernhard Riemann unos setenta aos atrs generalizando a cualquier nmero de dimensiones, las geometras no euclideanas de Karl Frederick Gauss, Jnos Bolyai y N. I. Lobachevski. Estos a su vez haban desarrollado estructuras geomtricas consistentes negando el famoso quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas. Posteriormente la geometra de Riemann fue enriquecida con los aportes de la conexin italiana: Gregorio Ricci, Tulio Levi-Civita, L. Bianchi y E. Beltrami; constituyendo lo que los matemticos llamaban clculo diferencial absoluto y los fsicos entre los aos 1915 y 1960, clculo tensorial.

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La confrontacin cara a cara con la teora que estaba concibiendo, cambi definitivamente la temprana actitud del joven Einstein hacia las matemticas. A finales de octubre de 1912 le escribi a su antiguo profesor Arnold Sommerfeld:

Me estoy ocupando ahora exclusivamente del problema de la gravitacin y creo que con la ayuda de un matemtico amigo , ser capaz de manejar todas las dificultades. Pero una cosa es cierta, que nunca en mi vida haba estado tan atormentado. Tengo ahora un gran respeto por las matemticas, algunas de cuyas partes en mi ingenuidad yo haba considerado como puro lujo, hasta ahora !. Comparado con este problema, la teora original de la relatividad es un juego de nios.

Faltaban aun tres aos de esfuerzo para redondear la teora. Si en 1907 vislumbr los principios fsicos claves de la teora, y en 1912 dio con la estructura matemtica que le urgan estos principios, fue en 1915 cuando encontr las ansiadas ecuaciones que describen el campo gravitacional. Cruel paradoja que el primero en exhibir pblicamente las ecuaciones no fuera Einstein sino un matemtico, uno de los mejores de todos los tiempos, David Hilbert. La historia ilustra claramente la potencialidad del modo de pensar matemtico en la bsqueda de principios fsicos: En junio de 1915, antes de tener la forma final de las ecuaciones, Einstein fue invitado durante una semana a Gottingen para dictarle unos seminarios al grupo de Hilbert. Poco tiempo despus, durante unas vacaciones de otoo en la isla de Rugen, en el Bltico, tuvo la idea clave y en pocas semanas obtuvo las leyes correctas de la gravitacin. Hilbert opt por construir el principio variacional ms simple con los elementos geomtricos a disposicin. Las ecuaciones de Euler-Lagrange de ese principio variacional deban ser las ecuaciones solicitadas. El atajo deductivo, elegante y poderoso de derivar las ecuaciones por una sucinta ruta matemtica, contrasta con el que segua Einstein, a fuerza bruta, por ensayo y error. Hilbert present su derivacin y las leyes resultantes a la Academia Real de Ciencias de Gottingen el 20 de noviembre. Cinco das despus Einstein presentaba las mismas leyes a la Academia Prusiana en Berln. Por supuesto que sin el acercamiento intuitivo que Einstein haba logrado y sin los preceptos fsicos que Einstein haba erigido como principios a los que las leyes de la naturaleza deban adaptarse, las matemticas slas, poco o nada podan hacer. Fue la acertada combinacin de intuicin fsica y sugestivos caminos matemticos la que condujo al establecimiento de la relatividad general. Las ecuaciones de campo Las ecuaciones del campo gravitacional establecen una relacin cuantitativa y precisa entre el contenido de materia-energa en una regin y las propiedades geomtricas del espacio y el flujo del tiempo en esa regin, y tienen una apariencia extraordinariamente sencilla:

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G = 8pT El lado derecho de esta ecuacin representa todo aquello que genera gravitacin (excepto el propio campo gravitacional). El lado izquierdo, llamado el tensor de Einstein, contiene toda la informacin sobre las propiedades geomtricas del espacio-tiempo. Antes de la relatividad general el espacio y el tiempo se conceban como un marco inmutable para la evolucin de los campos fsicos. De acuerdo con la relatividad general estos campos fsicos determinan va las ecuaciones de Einstein las propiedades geomtricas del espacio y el tiempo en el cual se mueven. La materia le dice a la geometra cmo se debe curvar y la geometra le dice a la materia cmo se debe mover, es la pintoresca manera como suelen los relativistas ilustrar el espritu de la relatividad general. Los fsicos han aprendido a manejar con soltura un diccionario que traduce de su jerga habitual, al argot preciso de los gemetras. Algunos ejemplos de ese diccionario son:

Para los Fsicos Para los Matemticos evento sistema de coordenadas transformacin de coordenadas espacio -tiempo campo gravitacional fuerza de marea potencial gravitacional trayectoria de partcula libre

punto carta difeomorfismo variedad lorentziana conexin mtrica tensor de curvatura tensor mtrico geodsica

Se ha acusado a los relativistas de padecer de hipergeometritis, de exaltar en demasa el papel de la geometra. En realidad la teora de Einstein le devuelve a la geometra la gloria que tena cuando los griegos, pero paradjicamente lo hace bajndola del pedestal privilegiado y transformndola en un campo fsico ms, que evoluciona sujeto a determinadas leyes dinmicas, y que interacta con los dems campos de la naturaleza. Ya la geometra no ser la precursora de la fsica; la geometra es fsica y por tanto de importancia csmica. Pero la relatividad general no es solamente nuestra mejor teora de la gravedad. Es un paso ms en el proceso de geometrizacin de la fsica ( o de fisicalizacin de la geometra?) y una invitacin a considerar la relevancia de otras estructuras geomtricas en la descripcin de la naturaleza. Inspirados por el xito de la geometra de Riemann, los fsicos han invocado a la geometra de Finsler, los espacios de Cartn, la geometra de Weyl, la geometra de Kaluza, geometras complejas de ocho dimensiones, geometras proyectivas, afines simplcticas, geometras bimtricas, pregeometras y pare Ud. de contar; para intentar entender mejor el mundo fsico.

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Las ecuaciones de Einstein: una segunda mirada. Desde su aparicin, la relatividad general ha sido catalogada como uno de los grandes logros del pensamiento humano y como una de las ms hermosas teoras de la fsica. Los mejores fsicos de la poca sucumbieron al atractivo de su coherencia interna y su simplicidad conceptual aun antes de que aprobara con bombos y platillos su primera confrontacin con la realidad emprica: la exitosa prediccin de la curvatura de un rayo de luz que pase cerca del sol. Sin embargo, las nociones de belleza y simplicidad en la relatividad general merecen alguna reflexin. Un breve examen de los presupuestos axiomticos donde se apoya la teora, revela una serie de sutilezas y detalles tcnicos que permanecen ocultos a primera vista. Ms aun, las sencillas ecuaciones de campo requieren ser decodificadas, explicados sus smbolos y desentraada su anatoma matemtica. Slo despus de realizado este examen podremos decir en qu sentido la teora es bella y simple. Los Postulados bsicos o el Rigor de nuestras creencias. A travs de sus teoras, los fsicos se han hecho una imagen de cmo son el espacio y el tiempo, y creen que esta imagen tiene validez sobre una escala considerablemente grande, al menos de 10 -16 cms., distancias explorada por los grandes aceleradores hasta 10 28 cms., el radio del universo observable. Las actuales teoras de la microfsica sugieren que ciertamente nuestra idea de tiempo y espacio pudiera desbaratarse: cambios en el nmero de dimensiones, extraas propiedades topolgicas, discretitud en lugar de continuidad. Pero situmonos en un terreno ms clsico y seguro. A estas creencias hay que darles rigor, una expresin formal que permita insertarlas en la estructura matemtica que usarn las teoras. Creemos o queremos creer que las mediciones y relaciones cuantitativas entre los eventos pueden aproximarse con cualquier precisin deseada (al menos en un contexto no cuntico) por funciones continuas. Por tanto, necesitamos como estructura mnima, la nocin de espacio topolgico, de forma que postulamos que: El mundo fsico puede ser modelado por un espacio topolgico cuyos puntos son los

eventos. El espacio topolgico debe satisfacer ciertas exigencias. Por ejemplo, quisiramos que dos

eventos cualesquiera se puedan separar por entornos disjuntos. Esta propiedad permite demostrar el teorema de la funcin inversa, piedra clave del anlisis clsico indispensable

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para la teora. Adems, si el espacio topolgico no fuese separable, la nocin de eventos distintos sera ambigua. Por consiguiente aceptaremos que:

El espacio topolgico satisface el axioma de separacin de Haussdorff, es decir es un

espacio topolgico de Haussdorff. Si el universo fsico estuviese constituido por partes desconectadas entre si, no habra manera de intercambiar informacin entre las diferentes partes. Adems, hasta donde podemos saber, no existen fronteras en el espacio tiempo (salvo quizs puntos aislados o singularidades), lo que no quiere decir que sea infinito en extensin. De all que post ulemos: El universo fsico puede ser modelado por un espacio topolgico de Haussdorff, conexo y

sin fronteras. En dicho espacio definiremos campos tensoriales que representarn sistemas fsicos cuyas leyes de evolucin son ecuaciones diferenciales. Queremos entonces que la estructura matemtica permita definir derivadas para lo cual exigimos una variedad diferenciable, preferiblemente C . La experiencia muestra que los eventos del mundo fsico pueden ser parametrizados usando 4 coordenadas, una llamada coordenada temporal y tres llamadas coordenadas espaciales, al menos en la enorme escala de distancias y energas accesibles hasta ahora. Ms aun, muchas cantidades estn representadas por integrales mltiples. Para que las series que definen a estas integrales, converjan, se requiere una imposicin tcnica llamada paracompacidad. De tal forma que: Nuestro mundo fsico puede ser modelado por una variedad diferenciable real, C ,

Haussdorff, paracompacta, sin fronteras, cuadridimensional y conexa. Para cualquier teora fsica es fundamental definir el concepto de distancia entre dos eventos. Aceptaremos entonces que: La variedad diferenciable est equipada en cada punto con un tensor simtrico no

degenerado de segundo orden llamado mtrica. Adems esta mtrica debe ser de signatura lorentziana1.

Una variedad con estas propiedades se llama una variedad pseudoriemanniana. La existencia de la mtrica induce adems una conexin llamada conexin mtrica o smbolos de Christoffel que permite definir geodsicas, y tensores asociados con la curvatura de la variedad. La suposicin de que la mtrica tenga signatura lorentziana garantiza que localmente la variedad

1 En rigor, la mtrica as como los otros campos tensoriales se definen en el espacio tangente a la

variedad, su dual y los varios productos cartesianos entre ellos.

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es isomorfa al espacio-tiempo de Minkowski (localmente la gravitacin es anulable) y son vlidas las leyes de la relatividad especial. Aparte de los postulados geomtricos imponemos por supuesto el postulado dinmico:

En nuestra variedad pseudoriemanniana se satisfacen las ecuaciones de Einstein,

G = 8pT El anlisis matemtico de estas ecuaciones revela que ellas constituyen un sistema de 10 ecuaciones diferenciales parciales, de segundo orden, cuasi- lineales (lineales en las segundas derivadas, no lineales en el resto), acopladas, de tipo hiperblico, para determinar las 10 componentes de la mtrica. No es imposible de imaginarse que hallar soluciones de semejante sistema de ecuaciones es extremadamente dificultoso. Al menos para el comn de lo mortales; Einstein sola recordar que a Dios lo tienen sin cuidado las matemticas dificultosas, l integra empricamente. Sin embargo, algunas soluciones han conseguido los mortales. Soluciones por cierto que son muy pertinentes al universo que habitamos: buena parte de la jerga cientfica que a travs de los mass media ha devenido en cotidiana, provienen de soluciones matemticas a las ecuaciones de Einstein. Huecos negros, Big Bang, ondas gravitacionales, lentes gravitacionales, expansin del universo, singularidades... A modo de conclusin A pesar de las horribles no linealidades de la teora y de los endemoniados clculos que las soluciones exigen, a pesar de los sutiles supuestos en que se apoya, no dudamos en reiterar la unanimidad de varias generaciones de fsicos tericos al piropear sin rubor a la relatividad general. La belleza de la relatividad deriva sin duda, de la sensacin de inevitabilidad; de que no puede ser de otra manera; de que como en una sinfona o en una hermosa pintura, no se puede cambiar una parte sin que el todo se resquebraje. Ciertamente que cumplir la labor de explicar y de decodificar los smbolos que intervienen en las ecuaciones de campo es un proceso arduo, pero en recompensa hemos ganado la manera de describir el comportamiento del campo gravitacional en cualquier rincn del universo y en cualquier momento de su evolucin 2*, por lo tanto, la teora es simple.

2 La relatividad general contiene el germen de su propia destruccin: predice la aparicin de

singula ridades donde la curvatura y las cantidades fsicas se hacen infinitas, asociadas con el big bang y los huecos negros. Se cree que en las escalas tan pequeas donde esto ocurre, los efectos

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Nuestros conceptos fundamentales de espacio y tiempo han sido profundamente alterados por la relatividad general. Es imposible conjeturar la forma de las leyes de la naturaleza que nos deparar el futuro, pero no es aventurado sospechar que las nuevas leyes tengan que incorporar los conceptos bsicos que la relatividad nos ha legado. La teora de la gravitacin de Einstein es uno de los pilares en que se apoya nuestra concepcin del universo fsico; el prisma a travs del que miramos e interpretamos buena parte de la realidad. Como herramienta le es indispensable al astrofsico que pretende descifrar los fenmenos del universo violento; punto de partida para el cosmlogo en sus desvelos por comprender la estructura y evolucin del universo en su conjunto y quizs vislumbrar respuestas para las ancestrales preguntas acerca del origen y el destino del universo. Acicate y espuela para la imaginacin del matemtico, por los problemas tcnicos y conceptuales que de ella se desprenden, la relatividad es ejemplo paradigmtico de la imposibilidad de la ruptura entre la fsica y las matemticas. En las palabras de Einstein:

Estoy convencido de que podemos descubrir por medio de construcciones puramente matemticos, los conceptos y las leyes que los conectan entre si, y que proveen la clave para el entendimiento de los fenmenos naturales. La experiencia puede sugerir los conceptos matemticos apropiados pero stos no pueden ser deducidos de ella. La experiencia permanece por supuesto como el nico criterio de la utilidad fsica de una construccin matemtica. Pero el principio creativo reside en las matemticas. En un cierto sentido por tanto, mantengo como verdadero que el pensamiento puro puede capturar la realidad, como los antiguos soaron.

cunticos son importantes, y la relatividad deja de ser vlida y deber ser reemplazada por una teora cuntica de la gravitacin, aun no desarrollada.

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REFERENCIAS

1. Wigner E., The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. XIII, 001-14 (1960).

2. Dirac P. A. M., Development of the Physicist Conception of Nature, en The Physicist

Conception of Nature, de. por Jagdish Mehra, Reidel Pub. Company, (1973). 3. Koestler A., Los Sonmbulos, Tomo 2, Ed. Salvat (!986). 4. Courant R. y Hilbert D., Methods of Mathematical Physics, Interscience, New York (1953). 5. Citado por John D. Barrow, The World within the World, Oxford University Press, 1988. 6. Einstein A., Die Feldgleichungen der Gravitation, Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Dic. 2,

(1915).

ALGUNAS LECTURAS SUGERIDAS

John D. Barrow, The World within the World, Oxford University Press, 1988. Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory, Pantheon Books, New York, 1992 Murray Gell-Mann, The Quark and the Jaguar, Freeman and Company, New York, 1994 Richard P. Feynman, The Character of Physical Law, The MIT Press, 1965 Kip Thorne, Black Holes & Time warps: Einsteins Outrageous Legacy, Norton, 1994