LA REPRESENTACIÓN Y EL SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS. EL PRINCIPIO DE VALOR RELATIVO

PARA LOS NÚMEROS NATURALES.

3.4.1. PRIMEROS CONTACTOS CON LOS NÚMEROS MAYORES QUE DIEZ.El aprendizaje de los números es un proceso lento por el que se va aprendiendo lo que representa un número y su cantidad gráfica. Es normal que a los niños les cueste aprender números mayores que diez. Los escuchan a diario pero no saben realmente su significado, simplemente tienen la idea de que un número mayor que diez es “mucho” y menor “poco”.

⇒ BROWNWELL (1941): aprecia que los niños de 5 años saben contar hasta 20, por lo general.

⇒ FUSON (1980): dice que los niños de 5 y 5 años y medio saben contar hasta 44, llegando a 84 en niños de 5 años y medio y 6 años.

⇒ GINSBURG(1977): pone como ejemplo a Paul, un niño que sabe contar hasta un millón con solo 5 años.

Ginsburg dice que los niños aprenden a contar números grandes por repetición verbal. Cita el caso de Rebecca (4 años) una niña que sabe contar hasta 9 pero al llegar a dicho número tienen que decirle el que va después (el 10) para que ella pueda seguir contando. Si no se lo dicen, ella misma se inventa el nombre de tal número, por ejemplo: “dicienta¨.

3.4.2. LA IDEA DE AGRUPAMIENTO.PRINCIPIO DE VALOR RELATIVO: es el procedimiento que usamos para registrar números. Se clasifica en unidades, decenas, centenas, unidades de millar…Este sistema se funda a partir del principio de agrupación sucesiva: las unidades se agrupan en decenas, 10 decenas es una centena, 10 centenas es un millar y así sucesivamente.Por ejemplo: en el número 542, la posición que ocupa el 5 representa las centenas, y no 5 unidades o 5 decenas.

3.4.3. LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS.Lectura y elocución de los números se realiza de izquierda a derecha: 342 es trescientos cuarenta y dos.Para leer correctamente los números y dar un significado correcto a un número que tenga muchas cifras hemos de evaluar, primero de todo su tamaño.Algunos adultos leen sin problemas y a simple vista números grandes como 19930, ya que los agrupan por tríos. Sin embargo los niños tardan en adquirir esa técnica, como así indica:

* BROWN en un estudio que hizo en un niño que leía 19930 como “mil, noventa y nueva, treinta”. Si el niño no reconoce el numero a simple vista tenemos que evaluarlo de derecha a izquierda (al contrario de lo habitual).

Por ejemplo este mismo autor nos explica el caso de una niña de 12 que tenía un rendimiento superior a la media y realizaba este proceso para determinar que numero era mayor si 20100 o 20010.El problema viene cuando tenemos colecciones que se agrupan y reagrupan en números distintos de 10 como por ejemplo en base 5 el número 2143 puede ser leído de izquierda a derecha como “dos, uno, cuatro, tres” pero para poder evaluarnos tenemos que leer de derecha a izquierda como 3 unidades (unos), 4 cincos, 1 veinticinco y 2 veces ciento veinticinco.

* GINSBURG identificaba tres fases en el desarrollo de la comprensión del valor relativo:

⇒ 1ª fase: el niño escribe correctamente los números pero no tiene ni idea de por qué.

⇒ 2ª fase: el niño comprende que otras formas de escribir un numero son erróneas, por ejemplo escribir 31 para denotar 13.

⇒ 3ª fase: el niño es capaz de relacionar la notación escrita de los números con el principio de valor relativo, por ejemplo un niño de 7 años a la pregunta de por qué había escrito 1 seguido de un 3 para decir 13 contesto que el 1 representa 10 y el 3 expresa 3, luego diez más trece son tres. Pocos niños alcanzan la fase 3 en educación primaria.

La capacidad de los niños para tratar con números en forma simbólica queda superada por su capacidad aritmética informal (lo que se puede hacer mentalmente o a nivel oral).El niño tiene que asimilar la simbolización del número según lo que ya sabe.

Ejemplo: Una niña con 7 años le pidieron que escribiera veintitrés. Escribió 203.Su forma de simbolizar los números es un claro reflejo de la representación oral, veintitrés eran 203(20 y 3).

Ejemplo: otro niño escribióNumero dictado número escritoDiecinueve 19Cuatrocientos setenta y dos 472Tres 3Seis mil veintitrés 600,023Setenta y un mil ochocientos cuarenta y cinco 710,00845Cincuenta y seis 56

El niño era incapaz de escribir números de 4 o más cifras sin volver a las reglas que usaba, por ejemplo, la niña anterior.El proceso inverso de decir los números a partir de su forma simbólica también puede derivar en problemas.

* DICKSON encontró niños de calificaciones bajas que llamaban trescientos tres a “3003”.En nuestros dígitos el causante de la mayoría de los problemas es el 0.su papel no es nada obvio para los niños los cuales sufren confusión con este número.

* LEEB-LUNDBERG trabajo con niños de 8 años para hacerles comprender el valor relativo. Estudiaron números como 100, 110 y 101 y para algún niño el 0 era “nada de algo”.

Brown también descubrió que los niños de secundaria tenían dificultades con el papel del cero especialmente en números grandes.EJEMPLO un niño de 13 años sabía leer correctamente el numero 521400, el numero 8030 era “ochenta cientos treinta”. También calculo mentalmente y dio respuestas verbales correctas a la suma de diez más 3597 pero escribió la escribió como 367.

El estudio “concepts in secondary mathematics and science” de BROWN:Escribir con cifras “cuatrocientos mil setenta y tres”… las respuestas tenían disposiciones de números variables de ceros intercalados entre las tres cifras.Estos chicos tienen debilidad con los números mayores que mil. No están familiarizados con los nombres posicionales de las cifras que están a la izquierda de los millares. Según Brown esto puede ser a que no saben reconocer que en los números hablados, a diferencia de los escritos, se hace uso de base diez y base mil. No hay nombres nuevos para las columnas entre los millares y los millones.En nuestro sistema utilizamos el espacio o el punto para separar cada grupo de millares, el 21730 000.esta forma oculta de utilizar el millar como nueva base de numeración parece crear confusión en los niños. Muchos niños dan el nombre de millones a los números de la columna de decenas de millar.5214 el 2 denota 2 centenas521 400 el 2 denota 2…

Pocos niños acertaron. El trabajo de LURIYA realizado en la 2ª Guerra Mundial se centra en la investigación de los efectos de la acalculia una deficiencia en el concepto de numero y calculo provocada por un cierto tipo de enfermedad cerebral localizada (afecta a la faceta semántica del habla).El estaba convencido de que la destrucción del concepto de numero era a causa de la enfermedad que refleja, a la inversa, la secuencia primitiva en que se desarrollan los conceptos. Los aspectos más difíciles son los que primero se lesionan. Sus pacientes fueron individuos con capacidad computacional media o superior. Ahora aun eran capaces de efectuar cálculos sencillos con los diez primeros números tenían dificultad para leer, escribir o componer números bidígitos, tridígitos, etc. El concepto de valor posicional había surgido daños.Ejemplos: leían 22100 como 22 y 100.Algunos asignaban a 71 y a 17 el mismo valor y significado. Tenían por mayor 489 que 701 porque se fijaban solo en las cifras individuales.Sus pacientes eran incapaces de escribir el número correcto si el nombre de un numero polidígito no coincidía con su estructura simbólica si al hablar tampoco se especificaban los ceros.Ejemplo: numero mil tres escrito como 10003.

3.4.4. ORDENACIONValor relativo respecto a la ordenación de números en posiciones relativas, tal como aparece en la recta numérica. Noción de adición y sustracción, es decir, la obtención de números mayores o menores.

BERDNARZ Y JANVIER investigaron hasta que punto era comprendido el principio de valor relativo en los niños de 8 a 9 años, analizando estrategias usadas en este ejemplo:Cada niño jugaba una partida con el investigador. 4 2 3 y se le daba un casillero vacío ___ ___ ___Debían componer dentro de él cualquier número mayor que 423.se lanzaba por turnos un dado marcado de 0 a 5.Cuando lanzaba anotaba en una hoja el numero que salía. Decidía si usarlo o no. Si no lo quería se tachaba.El 15% de los niños no fueron capaces de conseguir un número mayor que 423.El 40% uso estrategia posicional, solo usaban el digito en una cierta posición si este era mayor que el que ya la ocupaba.Acabaron con números cuyas cifras eran mayores de 423 en todas las posiciones.El 35% uso estrategias no sistemáticas como por ejemplo esperar a que saliera un 5 para empezar por la izquierda, rehusar los dígitos pequeños como el 0 y el 1 a pesar de tener un 5 ganador a su izquierda.El 10% comprendió bien el principio de valor relativo:Seleccionaron el primer 5 y cantaban “Gané” tras colocarlo en la casilla de la izquierda.Aceptaban 0 y 1 y los ponían en posición central o derecha cuando la casilla de la izquierda tenía un 5.Usaban 4 para ponerlo a la izquierda cuando las condiciones eran favorables, cuando ya se tiene un 3, 4 y 5 en posición central.

Esta actividad fue interesante por su valor instrumental en cuanto a determinación de la naturaleza de la comprensión y su utilidad didáctica.Los niños fueron mejores en la ordenación de números. El 91% de los niños de 11 años sabia seleccionar el mayor de los números de la serie: 1998, 2012, 2004,897.También WARD que trabajo con niños ingleses de 10 años con un éxito inferior cuando los números eran mayores: seleccionar la ciudad con más habitantesAberdeen 183 800Bath 151 500Fleetwood 28 800

3.4.5 SUMAR Y RESTAR MENTALMENTE.Brown en el estudio CSMS (Conceptos de Secundaria en Matemáticas y Ciencias) percibió que algunos niños sabían aproximadamente el valor posicional de los números, es decir, el valor relativo (postillón que ocupa en número con respecto: unidades, decenas, centenas…). Por lo tanto hacía falta calar en su aprendizaje debido a la endeblez de su comprensión. Para ello propone un ejemplo en el que solo debían sumar un número o añadir un número más.Este contador indica las personas que han entrado a un campo de fútbol, después de haber entrado una persona más ¿qué marcaría el contador?

0 6 3 9 9

Un tercio de los niños de 12 años dieron una respuesta errónea. De entre las que se dieron los distintos casos:

- Raimon de 12 años primero intentó añadir un “1” fuera del marcador, cuando le dijeron que solo podía usar las celdas del marcador, Raimon decidió cambiar el 3 por un 4. Señala ambos nueves (unidades y decenas) y dice que si se les suma 1 harían 10, por lo tanto no se pueden cambiar.

0

/6 /3 /9 /9 / 1

0 /6 /4 /9 /9

- Shakeel de 12 años dio la siguiente respuesta dado que “99 y 1 hacían 100“.

0 6 3 1 00

Brown también nos muestra los ejemplos de María y Kim, ambas de 13 años, quienes al pedirles que sumaran 10 a 3597, nos dieron el resultado 35917 objetando que 10+7 son 17.

3.4.6. DESCOMPOSICIONES.Otra característica fundamental para la comprensión del valor relativo es la facilidad para reorganizar o descomponer un número. Es necesario saber realizar correctamente la descomposición de un número para saber cual es su valor relativo.Flournoy, Brandt y McGregor (1963) realizaron un estudio a 106 chicos de 13 años en el que percibieron que los niños tenían dificultades para resolver cuestiones de este tipo: ¿Qué significa 25 centenas y 4 decenas? -- menos del 25% de estos dieron la respuesta correcta

APU (Azusa Pacific University - California) planteó a niños de 11 años la siguiente cuestión: “7 centenas, 5 decenas y 12 unidades hacen un total de?” -- a lo que solo el 60% dio la respuesta correcta mientras que el 20% respondió 7512.

Las dificultades de comprensión de la descomposición de un número revisten particular importancia para la sustracción.

3.4.8. ESTIMACIÓN Y APROXIMACIÓN (CON NÚMEROS ENTEROS).Debido a la facilidad con la que hoy en día se usan las calculadoras, parece probable que la enseñanza deje de hacer tanto hincapié en el cálculo con lápiz y papel, y lo haga en técnicas para usar eficazmente la calculadora. Una de estas técnicas se basa en estimar el tamaño aproximado del resultado esperado, con el fin de detectar errores al manejar la calculadora. Los niños se están acostumbrando a usar la calculadora de forma que, alguna vez, se

equivoquen al escribir la cuenta en la calculadora y no obtengan el resultado correcto pero ellos ni siquiera se den cuenta de ello. Por lo tanto, se debe fomentar la práctica.

La capacidad de estimación del niño depende de que primero haya comprendido correctamente el significado del valor relativo. Ginsburg realizó un experimento con el que pretendía demostrar cómo una niña había adquirido la comprensión del valor relativo, aunque su rendimiento en los procedimientos normales de cálculo era mediocre.La entrevistadora dictó algunos números para que Jane los sumase. La niña escribió:679163940234215700

Indicando que sumaría llevando de izquierda a derecha.El entrevistador le preguntó a Jane qué valor creía que iba a obtener, aproximadamente. Como respuesta, Jane dio el resultado exacto. El entrevistador le preguntó como había llegado a esa respuesta. Jane explicó cómo lo había hecho: los 15700 ya eran 15000, y los 2342 eran 2000, por lo que ya sumaban 17000; y que el resto de números probablemente sumarían más de 1000.

Se realizó un experimento parecido con 15 niños de Inglaterra y del País de Gales. Se les pidió que sumaran 1056+672 con una calculadora, operación que casi todos realizaron correctamente. Después se les pidió que razonaran su respuesta, y sólo unos pocos contestaron con lógica. Entre estas respuestas se observó que existía una tendencia al redondeo por defecto en lugar de por exceso, es decir, aproximar 97 a 90 en lugar de a 100. Se dedujo que los niños no estaban usando las reglas del cálculo aproximado, en las que se utilizan aproximaciones de una o dos cifras significativas. Por el contrario, estaban tratando de usar los métodos tradicionales de lápiz y papel, pero comenzando de izquierda a derecha. Esto explicaría que, por ejemplo, en vez de multiplicar 30 x 56, multiplicara 3 x 56.Con este experimento se demuestra que para comprobar que una solución es razonable debemos haber aprendido primero los principios de valor relativo.

3.4.9. CONSECUENCIAS PARA LA DIDÁCTICA. REQUISITOS PREVIOS Y TRABAJOS INICIALES.Ronshausen dice que antes de presentar el principio de valor relativo al escolar de primaria, éste debería ser capaz de hacer lo siguiente:

1. El niño debe conocer la cardinalidad de los números de 0 a 9. Debe saber seleccionar, por ejemplo, un conjunto de 5 objetos, aunque sean de diferentes formas y tamaños. De igual modo, cuando oye “siete” sabe construir un conjunto con siete objetos.

2. Sabe contar de uno a diez tanto rutinaria como racionalmente. Es decir, no solo contar de memoria, sino entendiendo lo que esta diciendo.

3. Sabe leer los símbolos de 0 a 9; así por ejemplo, si ve el número “8” sabe leer “ocho”.

4. Es capaz de asociar los símbolos con conjuntos. Así, si ve un conjunto con cuatro objetos, sabe relacionarlo con el símbolo “4”. De igual modo, si se le da un símbolo, por ejemplo “6”, sabe seleccionar de entre una colección de conjuntos aquel que tiene seis elementos.

5. El niño sabe escribir los símbolos de 0 a 9 cuando oye sus nombres o cuando ve un conjunto.

Una vez que el niño es capaz de hacer esto, se le puede presentar la noción de “diez” en sentido cardinal, oral y simbólico. Ahora el niño necesita adquirir experiencia práctica en la agrupación de decenas.Por ejemplo, se puede dar al niño un conjunto de 15 lápices, y luego un papel en el que tiene que escribir, en una casilla las decenas y en otra las unidades. Para saber las decenas que hay, el niño hace grupos de 10 lápices.

El Centro de Matemáticas ILEA Abbey Wood (1975) dio a conocer directrices para desarrollar las nociones de valor relativo correspondientes a decenas y centenas.1. Formar haces/grupos de lápices en decenas y unidades. Poner 10 bolas

en una bolsa, para formar decenas. Además adquirir el hábito de agrupar los materiales con las unidades a la derecha de las decenas.

2. Unir objetos en decenas y unidades. Por ejemplo, poniendo cuentas en un hilo hasta que haya diez.

3. Actividades con aparatos estructurales, como los bloques Dienes Base 10, en los que los cubos individuales siguen siendo distinguibles, pero son inseparables.

4. En la siguiente etapa se trabaja con objetos que representan una decena, pero en los que no vienen diferenciadas las unidades; por ejemplo, una tira de cartulina.

5. De este modo, el niño puede distinguir las decenas de las unidades, bien si unas se colocan en el lado derecho o en el izquierdo.

6. El niño se encuentra preparado para utilizar un ábaco.Es necesario que el niño pase por todas estas etapas para que pueda entender el significado del valor relativo.

Por el contrario, para Ronshausen se puede conseguir lo mismo en una sola etapa: la formación de haces, de grupos. Ronshausen realizó un experimento en el que puso a niños de 6 y 7 años a realizar actividades de formación de haces. Como resultado, observó que los niños mejoraron su destreza y capacidad. Todo esto es aplicable a números tridígitos y polidígitos.

De Magne realizó un experimento en el que mostraba como una niña captaba la idea de valor posicional. Al principio del experimento, la niña utilizaba los bloques Dienes Base 10 para trabajar; representaba con los bloques el número que se le pedía, y si se le mostraban unos bloques sabía decir que número era. Finalmente logró trabajar sin ellos, ya que podía hacerse una imagen mental de lo que se le pedía.