la relación marginal de sustitución técnica

Teoría de la Empresa

La Tecnología de Producción

La Empresa¿Qué es una Empresa?

En la práctica, el concepto de empresa, y el papel quelas empresa desempeñan en la economía, sonextraordinariamente complejos.

En esta introducción a la teoría de la empresa adoptaremos unavisión simple de la actividad de las empresas: nos limitaremosa considerarlas como agentes económicos cuya actividadconsiste en transformar bienes; es decir, producir ciertos bienes(outputs) utilizando otros bienes como inputs. Así, unaempresa queda completamente caracterizada por su tecnología.


La tecnología de producción puede describirse mediante elconjunto de posibilidades de producción Y, un subconjuntode ℜl. Un plan de producción es un vector en ℜl en el que lascoordenadas positivas son los outputs y las negativas soninputs.

Ejemplo: Supongamos que hay 5 bienes (l=5). Si el plan deproducción (-5, 2, -6, 3, 0) es factible, esto significa que laempresa puede producir 2 unidades del bien 2 y 3 unidadesdel bien 4 usando 5 unidades del bien 1 y 6 unidades delbien 3 como inputs. En este plan de producción el bien 5 niaparece ni como input ni como output.


Para simplificar el problema, supondremos que la empresaproduce un sólo output (Q) utilizando dos inputs (L y K)

Así, una tecnología de producción se puede describirmediante una función de producción, F(L,K), que nosindica la cantidad máxima Q de output que se puedeproducir para cada vector de inputs (L,K) ≥ 0

El conjunto de posibilidades de producción Y se puededescribir como los niveles de producción Q ycombinaciones de factores (L,K) que satisfacen ladesigualdad Q ≤ F(L,K).

La ecuación Q = F(L,K) describe la frontera deposibilidades de producción.

Función de Producción

Q = F(L,K)Q = producción

L = trabajo

K = capital

FK = ∂F / ∂K > 0 (producto marginal del capital)

FL = ∂F / ∂L > 0 (producto marginal del trabajo)

Ejemplo: Función de Producción

1 20 40 55 65 75

2 40 60 75 85 90

3 55 75 90 100 105

4 65 85 100 110 115

5 75 90 105 115 120

Cantidad de capital 1 2 3 4 5

Cantidad de trabajo

Isocuantas

La función de producción describe también lascombinaciones de factores que permiten obtenerun mismo nivel de producto.

Así, podríamos diferenciar entre

- tecnologías intensivas en trabajo

- tecnologías intensivas en capital.

Isocuantas

L

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5Combinaciones de trabajo ycapital que permiten producir 75 unidades de producto.

K75

75

75

75

Isocuantas

L

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5 Isocuanta: curva que describe todas las combinaciones de trabajo y capital que generan el mismo nivel de producción.

Q= 75

K

Mapas de Isocuantas

L

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

Q1 =

Isocuantas: describen las combinaciones de factoresque permiten obtener 55, 75 y 90 unidades de producto.

Q2 =

Q3 =

K

7555

90

Las isocuantas muestran la flexibilidad que tienenlas empresas para sustituir un input por otro inputmanteniendo constante el nivel de producción.

Esta información permite al productor responder acambios en los precios de factores.

Mapas de Isocuantas

Factores Sustitutivos y ComplementariosImperfectos

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

1

1

1

1

2

1

2/3

1/3

L

KA

B

CD

E

La tasa a la que losfactores pueden sustituirsevaría a lo largo de laisocuanta

L

K

1 2

1

2

0

Función de producción: F(L,K)= L + K.

Factores Sustitutivos Perfectos

3

Q1Q2

Q3

Los factores pueden sustituirse auna tasa constante, cualquieraque sea la combinación defactores que se esté utilizando(veremos que la RMST es unaconstante).

L (Carpinteros)

K (Martillos)

2 3 41

1

2

3

4

0

Función de producción: F(L,K) = min{L,K}

Factores Complementarios Perfectos

Es imposiblesustituir un factor deproducción por otro:un carpintero sinmartillo no produce,y viceversa

Vamos a estudiar las curvas de producto.

Para ello, supongamos que todos los factoresmenos uno son fijos, y consideremos cómo varía laproducción con el factor variable:

La producción con un factor variable

Q = F(L,K0) = f(L)

Cantidad Cantidad Producciónde trabajo (L) de capital (K) total (Q)

Ejemplo numérico: producción con unfactor variable

0 10 01 10 102 10 303 10 604 10 805 10 956 10 1087 10 1128 10 1129 10 108

10 10 100

Suponemos queel capital es elinput fijo y eltrabajo el factorvariable

Producto total

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Curva de producto total

Definimos el producto medio del trabajo(PMeL) como la cantidad de outputproducida por cada unidad de trabajo

Producto medio

PMeL= Q / L

Cantidad Cantidad Producción Productode trabajo (L) de capital (K) total (Q) medio

Ejemplo numérico: producto medio

0 10 0 01 10 10 102 10 30 153 10 60 204 10 80 205 10 95 196 10 108 187 10 112 168 10 112 149 10 108 12

10 10 100 10

Producto total

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Curvas de producto total y de productomedio

Producto medio

8

10

20

0 2 3 4 5 6 7 9 101

30

Q/L

L

Producto marginal

ΔL ΔQ

PML =

El producto marginal del trabajo (PML) sedefine como la producción adicionalobtenida cuando se incrementa la cantidadde trabajo en una unidad

Cantidad Cantidad Producción Producto Productode trabajo (L) de capital (K) total (Q) medio marginal

Ejemplo numérico: producto marginal

0 10 0 0 ---1 10 10 10 102 10 30 15 203 10 60 20 304 10 80 20 205 10 95 19 156 10 108 18 137 10 112 16 48 10 112 14 09 10 108 12 -4

10 10 100 10 -8

Producto total

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Curvas de producto total y de productomarginal

Producto marginal

8

10

20

0 2 3 4 5 6 7 9 101

30

Q/L

L

Producto medio y producto marginal

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 91

B

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 91

D

C

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 91

En B → Q/L < dQ/dL

En D → Q/L > dQ/dL

En C → Q/L = dQ/dL

Producto medio y producto marginal

L0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

30

Producto medio

Producto marginal

C

A la izquierda de C: PM > PMe y PMe es crecienteA la derecha de C: PM < PMe y PMe es decrecienteEn C: PM = PMe y PMe alcanza su máximo

Q/LPML

Relación Marginal de Sustitución Técnica

La Relación Marginal de Sustitución Técnica (RMST)indica las proporciones en las que puede sustituirsetrabajo por capital de manera que la producciónpermanezca constante.

Si la definimos como RMST = -FL/FK, indica el númerode unidades adicionales de capital necesarias paramantener constante el nivel de producción cuando lacantidad del input trabajo disminuye en una unidad.

RMST = -(-2/1) = 2

RMST ΔLΔΚ −=

ΔL=1 ΔΚ= - 2


1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

L

KA

B

1

2


ΔLΔΚ −=

L

K

RMSTA

B

ΔL

ΔKLa RMST es la pendiente dela recta que une A y B.

C


K

L

RMST = lim -ΔΚ/ ΔL ΔL 0

Cuando ΔL tiende a cero,RMST es la pendiente de laisocuanta en el punto C.

Cálculo de la RMST

Análogamente a lo que hacíamos con las funciones de utilidad,podemos calcular la RMST como un cociente de productosmarginales utilizando el Teorema de la Función Implícita:

F(L,K)=Q0 (*)donde Q0=F(L0,,K0).Derivando totalmente la ecuación (*), tenemos

FLdL +FK dK = 0.La derivada de la función que define la ecuación (*) es

dK/dL= -FL/FK .

Esta fórmula nos permite evaluar la RMST en cualquierpunto de la isocuanta.

Ejemplo: Cobb-Douglas

Sea Q = F(L,K) = L3/4K1/4

Calcule la RMST

Solución:

FL = 3/4 (K / L)1/4

FK = 1/4 (L / K)3/4

RMST = -FL / FK = -3 K / L

Ejemplo: Sustitutivos Perfectos

Sea Q = F(L,K) = L + 2K

Calcule la RMST

Solución:

FL = 1

FK = 2

RMST = -FL / FK = -1/2 (constante)

Rendimientos a Escala

Modificación de la escala: aumento detodos los factores en la misma proporción(ej. (L,K) → (2L,2K))

Rendimientos a escala: tasa a la queaumenta la producción cuando seincrementa la escala.

Rendimientos a Escala

Consideremos una modificacion de la escala:(L, K) → (rL, rK), con r > 1.

Decimos que• Hay rendimientos crecientes de escala si F(rL, rK) > r F(L,K)• Hay rendimientos constantes de escala si F(rL, rK) = r F(L,K)• Hay rendimientos decrecientes de escala si F(rL, rK) < r F(L,K).

Las isocuantasson equidistantes.

Q=10

Q=20

Q=30

155 10

2

4

0

6

Ejemplo: Rendimientos Constantes a Escala

L

K

L

K

Q=10

Q=20

Q=30

Las isocuantas están cada vez más cerca.

5 10

2

4

0 8

3.5

Ejemplo: Rendimientos Crecientes a Escala

Las isocuantas están cada vez más lejos.

5 15

2

0 L

K

6

Q=10

Q=20

Q=30

30

12

Ejemplo: Rendimientos Decrecientes a Escala

Ejemplo: Rendimientos a Escala

Sea la función de producción Q = F(L,K) = L + KDiga cómo son los rendimientos de escala.

Solución: Sea r > 1. Entonces F(rL,rK) = (rL) + (rK) = r (L+K) = r F(L,K)La función F presenta rendimientos constantes a escala.


Sea la función de producción Q = F(L,K) = LKDiga cómo son los rendimientos de escala.

Solución: Sea r > 1. Entonces F(rL,rK) = (rL)(rK) = r2 (LK) = r2 F(L,K) > r F(L,K).

La función F presenta rendimientos crecientes a escala.


Sea la función de producción Q = F(L,K) = L1/5K4/5.¿Cómo son los rendimientos de escala?

Solución: Sea r > 1. Entonces F(rL,rK) = (rL)1/5(rK)4/5

= r(4/5+1/5)L1/5K4/5

= r F(L,K).

La función F presenta rendimientos constantes a escala.


Sea la función de producción Q = F(L,K) =min{K,L}.¿Cómo son los rendimientos de escala?

Solución: Sea r > 1. Entonces F(rL,rK) = min {rL,rK} = r min{L,K} = r F(L,K).

La función F presenta rendimientos constantes aescala.


Sea la función de producción Q = F(L,K0) = f(L) = 4L1/2.¿Cómo son los rendimientos de escala?

Solución: Sea r > 1. Entonces f(rL) = 4 (rL)1/2

= r1/2 (4L1/2) = r1/2 f(L) < r f(L)La función f presenta rendimientos decrecientes a escala.

Transformaciones Monótonas

Al contrario de lo que ocurría con las funciones deutilidad, las funciones de producción no sonrepresentaciones ordinales de la posibilidades deproducción, sino representaciones cardinales.

Aunque una función de producción G sea unatransformación monótona de otra función deproducción F, las tecnologías que representan sondistintas.


Por ejemplo, las funciones de producción F y G, definidas comoF(L,K) = LK

yG(L,K) = (LK)1/2

representan tecnologías distintas. En particular, presentanrendimientos a escala distintos. Sea r > 1. Tenemos F(rL,rK) = r2LK = r2F(L,K) > rF(L,K)y G(rL,rK) = r(LK)1/2 = rF(L,K).

Por tanto, F presenta rendimientos crecientes a escala y Gpresenta rendimientos constantes a escala.


Sin embargo, sigue siendo cierto que las transformacionesmonótonas no modifican la RMST. Puede comprobarse que laRMST es la misma para las funciones de producción F y Gdescritas:

MRTSF(L,K) = K/L;

MRTSG(L,K) = (1/2)L(-1/2)K1/2/[(1/2)L(1/2)K(-1/2)] = K/L.

la relación marginal de sustitución técnica

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