UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

LA PARÁBOLAMtro. José Salvador Beltrán León

Prof. César Lozano Díaz

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta (directriz, perpendicular al eje de simetría) y de un punto (el foco, que se encuentra situado en el eje de simetría de la parábola).

L A PARÁBOLA.

Su ecuación en el origen.

(0, ) :F p D y p

2 4x py

(0, ) :F p D y p

2 4x py

( ,0) :F p D x p

2 4y px

( ,0) :F p D x p

2 4y px

Su ecuación fuera del origen.

Desarrollando los cuadrados del binomio y ordenando la ecuación principal, se obtiene LA ECUACION GENERAL 2 0y Dx Ey F

De igual manera para X:

2 0x Dx Ey F

Estas ecuaciones describen el comportamiento de la parábola recordando que primero deberemos obtener sus elementos para graficarla.

También, dados sus elementos, obtener la ecuación.

Ejemplo:Dada la ecuación , determine los elementos de la parábola.

2 4 8 28 0y y x

¿Qué tenemos que hacer?Primero escribir la ecuación de la forma

¿Cómo?Ordenamos la ecuación para completar el trinomio cuadrado

perfecto.

2 4 8 28 0y y x

( ) ( )2y k 4 p x h

2 4 8 28y y x

2

2

2

4 4 8 28 4

2 8 24

2 8 3

y x x

y x

y x

Sus elementos son: h-3, k=2, p=-2, V(-3, 2), F(-5, 2), D(x=-1)

F

D

Algunas de las aplicaciones de las propiedades de la parábola son:

La característica principal en la reflexión de una onda, sea de sonido o electromagnética (de luz) en una superficie parabólica (superficie generada al girar la parábola sobre su eje de simetría) es que todos los rayos que parten del foco salen paralelos al eje de la parábola (eje de simetría); y viceversa, los rayos que incidan paralelos al eje convergerán en el foco.

Las aplicaciones de la propiedad citada anteriormente son muchas. Dos muy importantes son:

Las antenas receptoras de las señales de radio y televisión, procedentes de los satélites de comunicación tienen forma parabólica para así concentrar las débiles señales que le llegan en el foco.

Los telescopios reflectantes, (de Newton), se construyen con un espejo parabólico en cuyo plano focal se forma la imagen invertida del cielo.

Hornos solares. Se construye una "cocina" parabólica que concentra la radiación solar y la convierte en calor gracias a un reflector de láminas de aluminio sobre el que se pone la sartén, la paellera o cualquier otro recipiente utilizado para cocinar. En un día soleado se puede conseguir que un litro de agua hierva en unos 18 minutos y que el aceite alcance una temperatura máxima de 200 ºC. Al cocinar es necesario tomar ciertas precauciones, como evitar el deslumbramiento, usar cacerolas de color negro y utilizar manoplas para evitar quemaduras.

También, es la causa de que las superficies reflectantes de los faros de los automóviles sean paraboloides.

Con el puntero láser vamos a ver cómo se reflejan los rayos de luz en el espejo parabólico. La leche nos ayudarán a que la luz se refleje en las minúsculas partículas que la componen y podamos visualizar los rayos

FIN