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. BIBLioTECA SALVAT Igt I~E GRANDES TEMAs ....

I nueva matemática

salvat editores, s.a.

l I LlOTEC'A SALVAT DE GRANDES TEMAS -LIBROS GTla problemática del hombre actual en un conjunto estructurado, unitario y coherente.

Págs.

7

821212327333340475455

In: Manuel Salvatun lo de Redacción para la edición en lengua española: Ignacio Burk, Alvaro Gál-

v z y Fuentes, Pedro laín Entralgo, Jacques Masui, Ernesto Mayz Vallenilla,Antonio Prevosti. Jorge Rojas. Emilio Teixidor

Ir u 16neditorial: Joaquín Marco

I 111 ntos de la matemática moderna ........................................111I vi 111C)Of1 André Lichnerowicz .......................................................1111111vo 1I IlOllaje .

I " tllIOVII matemática c~~~· ~'~~i~i~'~~ '~~~~'~¡i~'~~' ..................................

1'111Y 1l()Il~ra de enseñar la nueva matemática ......................................111IIIIlOV 1 ión del pasado

111111VII 111(:t:ionario para un n~~~~ 'I~~~'~~j~"::::: :::: :::: ::::::::: :::::::::::::::::::::I j¡ 1 o: ( oría de conjuntosIn I II IH conjuntista de los ini~'i~'~"" " " .

...................................................l l mótodo axiomático ................................................. : .l l luturciorusrno .lo lhnit s del conocimi~'~~~' ~~~~~~~;~~ .. ::::::: .

...................................

tru turas matemáticas y sus aplicaciones ................................vi 1 1 (continuación) ..................................................................I 11111H structurasAIIIIIIIIS estructuras ~~.~~.~~~~~~;~~ .

.................................................AIII hra. análisis y topología .A 1)1cto unitario de la matemática actual ...........................................l () Iabricantes de estructuras111 IIGt! pura y matemática apli~~~·~··················································

......... - .1I I( mplo de las matrices .

M uricss y cadenas de Mar~~~·······················································

Apllc:nciones generales de la ma~~·~·~~i·~~············································..........................................

""'11 leo, hombre y máquina ..........................................................II 11I iquina universalAlIJO que ninguna máq'~i'~~' ~.~~;~ .~~~~~ .

............................................111II rocomendadas ...................................................................

lA NU VA MATEMATICA•••1 horndores:

1'111111111111Ir111ontrevistada: André LichnerowiczI ~III Jo rquín NavarroI 1101111111I:lón ditorial: Amadeo Montoto1111,,11111,1111ti la entrevista: Pierre Kister"" 1111I1c"1I1:M." Dolores Alba, Josefa Casals, Carmen Llopis, Jaime PisoneroI 1111111111111111:111:Edistudio11111111I11111: 1\. F.P., Paris. Los Alamos-Photo Laboratory, Universitv of California (U.S.A.). A.P.N.

NOVOSII, P ris. Atlas Photo, Paris. Bonniers Forleq-Lennert Nilson, Stockholm. Culver Pictures,

1",'.. NI w York. Edistudio, Barcelona. Frieman, Paris. Gamma, Paris. Gemeente Museum(I/I/VI,,/7 iqe, Escher Foundation, s'<Gravenhaqe. Philippe Halsman, New York. Hermann, Pa-

I1 11111/(.'1,,;Tokio. I.B.A., Zürich. Paolo Koch, Zürich.' Gloria Lolivier, Paris. Carmen López, Bar-111101111. Mllynum, Paris. Museum of Science and Industry, Chicago. D.N.E.R.A., Paris. Rapho,1""1 1/11I1i16s,Paris. Photo Researchers, lnc., New York. H. Roaer Viollet, Paris. Archives Tal-/",,,1//11I, 1'1111. Time-Life Picture Agency (J. R. Eyerman; Alfreld Eisensteed}, New York. Top,1'1111 /'//(/1 l urner, New York. Photo U.S.I.S., Paris. Zardoya-Camera Press, Barcelona. Zefa,1111 ,,11111I1(Oborkassel},

11111111011I11I11C110

Al VA i I DII ORES, S. A. - Barcelona, 19731IlIIIONS ("~AMMONT, S. A. - Lausanne, 1973

11 "/JfII,~ I/I,Wtvut!111I1'1111(111(1I(IIII:U9 E tella. Estella (Navarra), 197511 po 111111111111:NA. 165-19751 IIN /\11 '11Ih 13b8-X (obra completa)1 IN HII :llIh 11178411111111111 pllll1

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102110117133137140143

fundaméntos de la nueva matemática

dré Lichnerowicz

i\ ,ltb'l' Lichnerowicz nació el 21 de enero de 1915'" Iluurbcn-I'Archambault (Francia), Sus estudios01, 1IIIIIl'I11úticas le llevaron a la agregaduría y al doc-"" ,,0111de Ciencias, Ha sido profesor de la Facultad01, ('il'n .ias de Estrasburgo (1941) y, más tarde,01, lu de París (1949). Desde 1952 es profesor del( ',,11,¡(l' UC France. Asimismo, fue presidente de laI ,,1'1,1' Mathématique de France en 1955-1956. Ha,'"I"hOl'IIUO activamente en la organización de laIIIVI'Hli¡(ación y de la enseñanza de las matemáticas"11 Frnncia, así como en el plano internacional. Esuuomhro del consejo de perfeccionamiento de la1, cuela Politécnica, del comité consultivo de la in-v,, Ii¡(lIción científica y del progreso técnico y, desde1'I~7, miembro titular del directorio del Centro Na-rumnl de la Investigación Científica. De 1960 a1%4 presidió la comisión internacional dc la ense-, '"1~1I matemática y, en 1963 fue elegido miembro,1t,1Instituto (Academia de Ciencias).

Hila trabajos e investigaciones personales hanversudo particularmente acerca de la {'fsica mate-'" rica, la geometría diferencial, la ,. 'Inlividacl, la11'11,.(11unitaria de campos, etc.

I in matemáticas han experimentado en los últimos cien años una reno-1"' ha acentuado su carácter unitario y dado origen a expresiones tales

"nu 'va matemática" o "matemática moderna". La profunda reestructuraciónI "OHIlS disciplinas y la creciente importancia de otras relativamente nue-

le I H pcrcibida por el gran público merced a la todavía reciente actualizaciónI n ·ñanza.

IOH temas dirigimos nuestras preguntas al profesor Lichnerowicz.

En el transcurso de los últimos treinta o cincuentaaños las matemáticas parecen haber cambiado deaspecto. ¿Cómo ve usted este cambio? ¿En quémedida podemos hablar de una nueva matemá-tica? ¿Representa únicamente un nuevo lenguajeo bien el cambio es más profundo?

Cincuenta o treinta años es un período muy restrin-gido; se trata de más de un siglo. Lo que el gran públi-co ve emerger en nuestra época, en realidad aparecióen la ciencia al terminar la 1 Guerra Mundial, y sus orí-genes se remontan claramente hasta 1840. ¿ Qué suce-dió? Se trata de algo bastante profundo que podemosllamar matemática contemporánea, No me atrevo adecir que sea nueva. Las matemáticas se han conver-tido. poco a poco en algo así como un mecano cuyaspiezas elementales son lo que llamamos las "estruc-turas elementales", cuya finalidad es favorecer un sis-tema de economía de pensamiento extremadamentegrande; economía en el estricto sentido de la palabra.Lo ocurrido desde hace un siglo ha metamorfoseadolas matemáticas en distintos sentidos. Les ha hechotomar conciencia de su unidad. Este es el sentido de las

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celas matemáticas" y "la matemática". Eni iplinas que hubieran podido evolucionar deiv rgente al romperse los marcos tradicionales,d a la constitución de un lenguaje y de unas

•• trueturae omunes, válidos en todas las especialida-i mo tiempo, ha habido una ampliación de

YII~icclady de la potencia de las aplicaciones.

ACltuallnent , el público está un poco impresiona-nonadado por la potencia de las mate-arece un edificio sin fallos y casi Ii-

produce la sensación de poder seguirsemJln\IOlolamente, sin que sea necesaria la ima-

una sensación totalmente falsa que tienezones. La primera, creo yo, es que la ense-i a, por su aspecto seudohistórico, hacía creert máticas habían terminado. En mi juventud

id personas que al saberme matemático seIIc)mbrllban: "¿ Acaso pueden encontrarse cosas nuevas

t máticas?" Creo que esta pregunta es yaui itoria contra determinado tipo de enseñan-i n que la opinióri pública se dé cuenta, unah y tomado conciencia de la metamorfosis

rimentado la física reciente, de que la ex-l B matemáticas ha sido parecida y que, en

ntribuido a ayudarla. Esto es muy impor-

base necesaria para queasentara la matemática

dsrna fue el nacimientola lógica moderna. The

M,thematical A nalysis of Lo-,ID. de George 8001e, es ellIi ro que señala este naci-

miento.

parte, a las matemáticas no se les puedem delo totalmente lineal. Estas se han con-

a poco en una especie de universo. Tal

TIlE MATHE:~{A'1'IOAI, ANAT.YSIS

OF LOGIe,

lHHNG AN fLSSAy TQWARDS A C.UCULUSQF "Orml,fCTI\'E llEA.SONIX(T.

BY OEúROE BúúLE,

OAMBRrDOE:~IACMlLLAN. UAROLAY, & MACMILLAN:

LONDO!'" OEOROE BllLL.

1847

vez, el último hombre del que podemos decir que cono-ció todas las matemáticas de su tiempo fue Henri Poin-caré; murió en 1912. En 1" actualidad, la constituciónde un lenguaje y unas estructuras comunes permitenque nos orientemos rápidamente en terrenos muy varia-dos. Si yo, personalmente, me veo obligado a iniciarmeen una rama de las matemáticas que ignoro, puedoconseguirlo en tres meses, porque tengo unas clavescomunes. Si no fuera así, necesitaría un tiempo muchomayor.

Las .matemáticas contemporáneas no sólo son unnuevo lenguaje: son un lenguaje distinto, porque es por-tador de pensamientos y métodos nuevos. Son algo mu-cho más profundo que un simple lenguaje.

Cuando hablamos de una actividad matemática siem-pre existen dos fases: la que podríamos denominarfase del discurso de creación, y la del discurso de comu-

11

"matemática moderna"mprende un nuevo len-

U le, pero también unanu va actitud ante el apren-

Iz je. El contacto directon el mundo corriente a

Ir vés de la teoría de con-Juntos es sumamente repre-

sentativo.

nicación. A menudo, lo que el matemático comunica esel discurso ascético, abstracto, que se presenta tal cuales y no pretende dar ninguna justificación. Pero laactividad matemática no es esto, o por lo menos no esúnicamente esto. En algunos momentos existe un verda-dero discurso de creación. Los entes matemáticos noestán ligados, en absoluto, por lazos realmente lógicos.Se adquiere cierta experiencia de la situación que per-mite moverse en ella antes de llegar al discurso apre-miante, que será el de comunicación.

¿Cuál es el papel de la intuición en la compren-sión de las matemáticas tal como se exponenactualmente?

El papel de la intuición es capital, incluso para se-guir un discurso de comunicación. Por una parte, pode-mos hacer "juridicismo", es decir, seguir paso a pasoel proceso para ver si se han hecho trampas al pasarde una proposición a la siguiente. Pero esto no propor-cionará la guía del pensamiento. No se habrá dominadoo asimilado realmente una situación matemática si nose ha comprendido globalmente la marcha de este pen-samiento. El parapeto, la verificación, es necesaria, yaque todo matemático puede equivocarse en un momentodeterminado. Pero es el propio pensamiento matemá-tico quien lleva esa intuición.

En el fondo, hay una nueva matemática, pero elprofano ve claramente que también en la formaexiste una nueva manera de expresar las mate-máticas. Se habla de "matemáticas modernas" ...

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¿Cuál ha sido el papel del álgebra moderna enla renovación de las matemáticas?

Muy importante. En realidad, ha sido uno de los mo-tores que ha llevado a la toma de conciencia de las re-laciones existentes entre disciplinas que se estudiabanpor separado. En contextos extremadamente distintosaparece la misma situación matemática: la noción deeconomía. Era totalmente inútil que en diez situacionesaparentemente diferentes se repitiera un mismo razo-namiento.

La primera noción, la de grupo, se remonta a Eva-riste Galois, a quien podríamos tomar como símbolode la evolución contemporánea de las matemáticas.

hn IIn momento dado, ha sido necesario tomar con-1 in de una ruptura entre la enseñanza impartida1 Huelas de enseñanza media, por una parte, y

I tudo de la ciencia matemática contemporánea, porI u l. No podía permitirse que se mantuviera indefini-I 1 nt '1 tipo de enseñanza media que, más o menos,

I tln n todo el mundo hace unos veinte años. EstaI t nía, aproximadamente, en la Restauración fran-n (primer cuarto del siglo XIX) con una caracterís-

I '11 bustunte curiosa, pues en cada momento habíaIIdOJlllldo la filosofía del tiempo que la había visto nacer:1, orn 'tría era griega y se basaba casi en una filosofía

10(11 j 1 álgebra se situaba entre la árabe y el si-lo VI j el análisis era del siglo de las luces ..., y aquí

donde terminaba más o menos. No había una unifica-No era una filosofía de nuestro tiempo. Todorn muy molesto. El gran esfuerzo de renovación'11M -ñanza de las matemáticas, que tiene lugar en

I I lo 1 mundo, trata de que todos se beneficien de esa1 'i d potente visión sintética y de esas cosas nue-

, por otra parte, de hacemos hablar el lenguajetro tiempo. .

habla mucho de la teoría de los conjuntos. Franca-t ,1 diré que esta teoría no se enseña nunca exceptoIIo(IInoHt irccros ciclos universitarios. Incluso, exis-

1 I )(1 rias t sorias de los conjuntos, al igual que hay;(4 lo(xrmetrias euclidianas y no euclidianas. Sin em-

l, lo matemáticos hablan un lenguaje conjuntistao i fu ra HUlengua natural básica. Se trata, simple-t ,d una cuestión de lenguaje. Un lenguaje cómo-

do, claro y preciso que incluso, en algunos casos, em-pieza a superar el terreno de las matemáticas. En Franciahe tenido la sorpresa de ver determinadas reglas nuevas

. del código de la circulación que han sido redactadas enun lenguaje casi conjuntista. Este, al principio, sor-prende no a los niños, sino a sus padres, pero es extra-ordinariamente natural y muy cómodo: como máximo,tendría que comprender una decena de palabras y deexpresiones nuevas. En realidad no se paga un pre-cio muy alto a cambio de poder hablar una lengua re-lativamente universal. Este lenguaje conjuntista permiteconstruir estructuras matemáticas elementales: las al-gebraicas, en el sentido actual de la palabra, y las co-rrespondientes a la topología. Asimismo, todas lasmatemáticas conocidas pueden utilizarlo como lenguanatural de punto de partida ... No cie~a ninguna salida.

15

u i6 a los 21 años de edad, en un duelo dudoso,I r inado de Luis Felipe, y fue el creador de

n de grupo. Sin embargo, esa idea apareceubyacente en Euclides. La noción de gr:uponte en todas partes, incluso diría que en el

humano, pero, en todo caso, en las matemá-n sus aplicaciones. Los grupos son extraor-

i im nte universales. Podríamos decir que son la[uinn h srrarnienta en comparación con los instru-I lo rt sanales.

tro j mplo muy importante es lo que actualmenteI nomina álgebra lineal. Cuando observamos los

lntercambio entre dos economías, cuando estudiamosti i d los precios, todo ello puede geometrizarse

1 forma de un álgebra en espacios de dimensionesi : dimensiones 3, 4, S... Mediante un cálculoi 'O, sto puede representarse por puntos en es-

I ios, Es lo que se denomina álgebra lineal, latituye uno de los instrumentos fundamentaleso as prácticas, que abarca desde el cálculo deiones a los cálculos económicos. Por tanto,

r moderna desempeña un papel extraordinaria-portante.

L matemática contenida enI papiro Rhind es rudimen-

I rla, tanto como el lenguajen que está expresada. La

matemática de hoyes un útilItamente sofisticado, y su

I nguaje, por lo tanto, tarn-I6n lo es. Así, no puedextrañar que el profano se

sienta desconcertado.

ha visto influida la geometría por el ál-d rna?

h 1gebrificado. El primer axiomatizador de lasmlltelmAti as fue Euclides, el cual, con los medios de que

f n aquella época, intentó, muy conscientemen-liz r un esfuerzo en este sentido. Axiomatizar

directamente la geometría es una tarea difícil. Esto lorealizó correctamente por primera vez, hacia el año1900, un gran matemático alemán llamado David Hil-bert.

Por el contrario, la teoría de los espacios vectorialespermite, a través del álgebra, entroncar con la geometríaeuclidiana de manera muy económica. Pero, en reali-dad, se la algebrifica, es decir, los vectores se introdu-cen directamente antes de introducir los puntos. Unavez obtenido el cálculo sobre los vectores, se erige denuevo la geometría sobre bases muy sólidas. ¿ Por qué?Había algo muy molesto: en Euclides y en la enseñanzade la geometría tradicional, una parte de los razona-mientos primeros, los postulados, eran, en realidad,falsos razonamientos. La sutileza griega, subrepticia-mente, supo introducir unas dosis de evidencia de tal

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18

topología; dice así; "Tomemos un poliedro regularcualquiera, por ejemplo un cubo; si sumamos el nú-mero de caras y vértices y restamos el número de aris-tas, siempre da dos." Eso era realmente sorprendente.Poincaré fue quien, al fin, dio la razón de ello. Desdeel punto de vista topológico, esos poliedros regularesequivalen a una esfera. Suponiendo que una de esasfiguras es de goma, introduciéndola e hinchándola po-dría aplicarse al interior de una esfera. Sea cual fuere lamanera en que se trace una red sobre una esfera, tendrávértices, caras y aristas, y la misma operación darásiempre dos. En realidad, este dos es una constantetopológica, es decir, un número ligado a todas las super-ficies que son topológicamente equivalentes a la esfe-ra, o sea, que por deformación continua pueden equi-valer a ella. Si tomamos una anilla de cortina, lo queen matemáticas se llama toro, este número será total-mente distinto y todos los poliedros inscritos en esetoro tendrán el mismo número topológico.

Existe también otro problema famoso, aún no resuel-to: el de los cuatro colores. Cómo colorear cualquiermapa plano con un mínimo de colores, pero de maneraque en dos países contiguos no se repita el mismo co-lor. Se cree que, para el plano, el número es de cuatro,pero hasta ahora nadie ha sido capaz de demostrado.Estos problemas topológicos tienen un aspecto desca-bellado, mas no lo son en absoluto: se aplican a proble-mas de física y al concepto que podemos tener de nues-tro cosmos, nuestro universo global.

(Sigue en la pág. 64.)

19

u ofrecían un aspecto justo. Pero, ~e vez en"ullndlo uando los niños pretendían hacer lo rmsmo, lesWI , l· 1" N"IAh, nol, [no son las regla~ de Jueg~. ocOlnplrcndfanmuy bien a qué estaban Jugan?o, mientras

podemos definir el juego geométnco de m~ne-imple y rigurosa desde el punto de partl~a.ambia nada el que la geometría se~ un~ dis-

apasionante por sí misma, que permita ejercer, ualidades de imaginación de que hablaba us-

1 renovación de las matemáticas han apare-nu vas disciplinas. Se ha creado ~n.a r~mamental, como es la topología. ¿Que slgmficaparición?

Ti n u ted mucha razón. La topología es, pro~a-ntc, la más fundamental e interesante de las dIS-

aparecidas recientemente. . ..u s la topología? Esencialmente, significa que seatizan cosas que estaban un poco separadas, de-

inadas proximidad, convergencia, continuid~d. Lalogía reina sobre el terreno de la convergen.~la: por

j plo, en el estudio de las mallas de lo~ tejidos demto, los nudos, la famosa cinta de M~eblU~... Acabo

d hablar de espacios de más de tres dImensIOnes quedi "ve", en el sentido vulgar de l~ palabra. Hay querapaz de razonar correctamente sm ver, ~ ~at~pol~,-

lo( s una disciplina cuyo desarrollo ha perrnjtrdo ver .H aquí un ejemplo, debido a E~er, d~ lo que tal vezpodriamos considerar como el mas antiguo teorema de

El matemático moderno lo mira todo con ojospoco convencionales. La belleza del Apolode Belvedere sugirió a Felix Kleinuna relación entre la estética y lasruroas de curvatura gaussiana nula.

Un nuevo lenguaje

nueva matemáticamo noticia de actualidad

"Un campesino ruso llegó a Moscú por111 ra vez, y se fue a ver 10 más inte-IInl • de la ciudad. Fue al zoo y vio lasfllH: «Mirad, dijo, 10 que han hechoholcheviques con nuestros caballos.»

lo H lo que .han hecho las matemá-modernas a la simple geometría y

imple aritmética" (E. Kasner yN wman, Mathematics and Imagina-

nitud de la mayoría de padres y1m frente a la matemática modernan 111 línea de la cita anterior. DesdeI ún tiempo, cuando un padre toma

11110 de los libros de sus hijos sejudo: no entiende absolutamentepartir de ahora, ni siquiera esmiar a los hijos a realizar los

I h res; se expone uno a caer enI , J). este reproche tiene toda la"muternática moderna", dos pala-

'o tumbran a pronunciarse conmor y reverencia, entreveradasiomo los estadounidenses pro-

palabra "impuestos". Peroxmcrctar: ¿ Qué son exacta-li snen de particular las re-ti 'as modernas?

Giuseppe Peana, uno de los lógicosy matemáticos cuyos trabajos pueden situarse

en la base de la nueva matemática.

En primer lugar, adolecen de un nom-bre singularmente desafortunado; las ma-temáticas modernas datan, en el mejorde los casos, de la introducción de la ter-minología simbólica por Giuseppe Peano(1858-1932) o de la sistemática introduc-

21

Georg Cantor es el cread~r de la célebreteoría de conjuntos. Sus ideas estab~nclaramente muy por delante de s~ tiempoy levantaron grandes controversws.

Paralelamente al progreso de la nuevamatemática en la enseñanza elemen~al

ha ido apareciendo abundante mate:wlpedagógico de características insólttas.

ción de los conjuntos, obra de GeorgF. Cantor (1845-1918); tales novedade.s seremontan a los albores del 1900, o d~c~ode otro modo más directo, la mat~r.n~tlcamoderna lo es tanto como los .dmgIblesdel conde Von Zeppelin. Yeso SID remo~-tar el curso de la historia; la pa:te masimportante del álgebra moderna tiene .susfundamentos arraigados en los es~ntosde Evariste Galois (1811-1832), .un Jovenmatemá~ic?, que_ pereció en trágIc0'fueloa los vemtmn anos. lt~ ,

Así pues, no se trata de una mat ~a-tica excesivamente moderna. Lo que ~I esactual es su introducción en la _ensenan-

1 mental Durante muchos anos .se haza e e . r •

enseñado en las escuelas una matematlcacontemporánea de Newton y aun de Eu-clides; mientras que en los progr~m~s dela biología, de la física o de la qUlmIca s.eiban introduciendo los grandes descubr~-mientos del siglo, en tanto que la teonade la evolución, la estructura del átomo o d 'los polímeros se introducían en el ba~a-je de conocimientos del hombre medio,los profesores de matemáticas, a~cla?oHen el pasado y utilizando un lenguaje CIen

"El Señor a quien pertenece el oráculo de Delfos no revela ni esconde, sino pro-

vee símbolos." HERÁCLITO

22

propiado, seguían enseñando exac-lo mismo y de la misma manera

que Euclides enseñaba a sus discí-so no sería tan grave si, por loenseñanza impartida fuera co-

ro es 'que, además, incurría confrecuencia en errores e impreci-

tan te, en los centros de estudios, la matemática moderna habíahacía ya mucho tiempo carta

1 za: . difícilmente un catedrá-iv rsidad, un matemático pro-

Itanto del decurso de su ciencia,xplicado otra cosa que mate-

d rna. Pero, mientras que las8 impartían una enseñanzarogramas de las escuelas pri-undarias permanecían anqui-

losados. El shock que el cstudinntrimentaba al ingresar en 1111

superior era considerable. Vcníu 11 I

algo así como pasar de leer la Utl/alltlll dJean de Mandeville, donde ac P ,,1sobre el origen de los corderos 11 p II I

de las flores de algodón, a leer 1)/,1 "'/N 11

de las especies, de Charles Durwin. l' loya no ocurre hoy día, lo cual no l' P 11"ño beneficio. Sin embargo, He pro 111 11

nuevos problemas que parecen tun ¡(III

como los anteriores.

Pro y contra de enseñarla nueva matemática

La nueva matemática es, en principlu,la misma matemática de siempre ('on .1gunas importantes adquisiciones nu

El niño que aprende matemática nueva manejauna simbología también nueva, por lo generalincompensible para los padres no preparados.

24

el lenguaje en el que está escrita, el mé-todo con el que trabaja y las estructurasabstractas entre las cuales se mueve. Porlo demás, un buen matemático de hacecien años seguiría siéndolo hoy; lo únicoque necesitaría es una buena preparaciónprevia para entender el lenguaje, practicarel método y comprender las estructurasabstractas. Si recibiera esta preparación,nada le impediría trabajar con la, Qo,pamate.mática como trabajó co~ la suyapropIa. J

Esta es poco más o menos la situaciónactual de la enseñanza de las matemá-ticas. A todos los niveles se producenquejas, a menudo justificadas, acerca delos discutibles resultados que está alcan-zando la nueva matemática con los alum-nos a los que se le enseña; objetivamente,puede decirse que en, gran parte de loscasos los muchachos calculan mucho peory más lentamente que antes, asimilan uncontenido menor de conocimientos y seretrasan en los programas. Nos encontra-mos con la paradójica situación de queel maestro explica abstracciones como"f(x) = sen x no es inyectiva" y los alum-nos, mientras tanto, efectúan insensatoscálculos, bien concretos, como

sen x = sencos x cos

Se ha escrito mucho denunciando estohechos, pero raramente proponiendo so

Voces ilustres, entre ellas lasde Alfred Kastler, premio Nobel, han

defendido polémica mente lo innecesariodel cambio de la matemática nueva por

/1/ clásica. No obstante, la nueva pareceque gana de modo definitivo la batalla.

, La nueva matemática tiene aho-fama dudosa y se la critica desde

variados frentes acusándola de ex-I abstracción, de falta de utili-I capricho pedagógico, de error

fI 'O, de insania psicológica, y de11 'osas que sería prolijo enumerar.

Allln,h, plantea problemas sociológicospr ciables, como el derivado de la

.llmlld1~crsi6n casi unánime de aquellosl dominan, pero se ven obligados s

_Hlt.rl Los "viejos" profesores de•• lImAI as hicieron frente a la recién

mo a una imposición desagra-oiesta que les obligaba a aban-

11 habitual método de trabajo ylo por otro totalmente nuevo e

que apenas conocían. El resul-I tuquc a sus esquemas mentales

l 'os" no fue precisamente unaimpatía hacia: lo nuevo.va iones científicas y técnicas) siempre bien acogidas, y han

a situaciones tales como laos que tronaban contra el para-d los miembros de la Liga de

IU pretendían prohibir los ra-n el caso de la matemática lamás grave; al fin y al cabo,

e ría no' interferir se en losignios de la voluntad divina,n no instalar un pararrayos

ro al veterano profesor de

matemáticas no le quedaba el !'l1('11! CI

de negarse a enseñarlas, puesto que tlt· ('1111dependía su sustento. La situación ('UI

peoró más tarde con la interven -¡óu cI('otros estamentos; por ejemplo, 'it'rl CI

insignes físicos y hombres de ciencia 11I11

nifestaron muy claramente que no VI' 1111

la necesidad de cambiar de matemáticn iincluso podía ganarse un premio Noh Iignorando la nueva. Ello es evidentcmentcierto, como cierto es el que puede obtcnerse un premio Nobel postulando que 111

teoría de la relatividad, obra del judío EillHtein es indigna de ser aceptada por In unsica aria" (caso del premio Nobel PhilippLénard). Pero el que pueda obtcncrse 111I

Nobel ignorando un determinado cucrpo

de doctrinas no es razón suficiente paranegar la utilidad de éstas.

En realidad, la polémica está mal enfo-cada; no parece que deba ser siquieraobjeto de discusión la pertinencia de en-señar nueva matemática. Esto es un hechoincontrovertible y obedece a la pura diná-mica innovadora y siempre cambiante dela ciencia misma. En el mundo quedantodavía enemigos irreconciliables de Dar-win, partidarios feroces de que la Tierraes plana ..., sin embargo, su porvenir esoscuro y nadie se preocupa excesivamentepor su existencia. No se trata, pues, dediscutir ahora si es lícito o no enseñarla matemática del siglo XX en el curso delpropio siglo XX. Lo que se cuestiona es

?f.

la renovación del pasado

La matemática modern~ ha obligado, entre otras cosas, a reenseñar11 los maestros el contenido de la asignatura (izquierd )1'?/1 efecto~, 1!0r lo general, poco satisfactorios. a ,111/ esta pagz~a, el universitario y pedagogo belga Georges Pap/11I1/ de los pumeros de la enseñanza elemental de la nueva ma~'-mática.

el modo de enseñar esta matemática.Algunos jóvenes recién salidos de la uni-versidad o de las escuelas superioresemprenden la enseñanza de la matemáti-ca con un ejemplar, pero algo peligros,espíritu de cruzada. Su principal emp -ño parece ser el conseguir explicar a 1niños lo mismo que la universidad les huenseñado a ellos, lo cual es manifiestamente erróneo, puesto que la mente dl,1

niño no funciona del mismo modo. J ,11

reacción general de los profesores novicios a este tipo de crítica acostumbraser muy negativa, pues para ellos la palalnpedagogía no significa gran cosa. Estánconvencidos de saberlo todo, y ese todo,mejor que nadie. El espíritu de cruzad

lleva también a olvidar -olvido comúnmás de,~ matemático profesional- quematematIca es algo más que una torremarfil aislada del mundo exterior: aun-

l' s cierto que la matemática es algo1 tracto por naturaleza, su vinculación1 mundo real es directísima e inmediata.

bsurdo, .por ejemplo, saber que losroa racíonales forman un cuerpo

mutativo e ignorar paralelamente cé,. amourr u.n capital entre varios socios. Lamnllca y la física, la matemática ymomia, la matemática y las cienciasI no son tan independientes una delit o algunos pretenden.otra p~te, numerosos maestros y

11I, oblIgados a enseñar una nuevat. 'o en cuyos métodos no han sido

11 , Il¡{r~~an el problema, pues al nou Ofl:IO con la suficiente profun-

nsenanza que imparten es de-

() parece, el principal problemamatemática es el inadecuado

nto de los canales de transmi-V n del profesor al alumno, la

sólo mejorarlos; pero optarÓn por la supresión pura ynueva matemática no es unalible. Ello equivale a conde-

() de creencias simplementeólito no las practique o

1,

La matemática moderna (' 11.. Iluego' Ii '. '. mas amp la en contenido '1'11 111tradicional, pero ello se d 'he 0111. IlId.a .que en el intervalo de ti 'mpo 111111 • 11

rrI~o .entre el fallecimiento dt' 111111 Vnacirmenm de otra se han 1 I ¡

• (' ('11 I • 111m~chas cosas nuevas; no en VIII.II • 1'11

bl~can actualmente varias IIl'('('1I11 elmiles de ~ículos de matemlít ¡('II 11110 Ien las revistas especializadnq, I )('111111111

un lado esta diferencia, fruto <ll' 111. 11111

Es equivocado pensar que todo es nuevo en la nueva matemática.Las fracciones, por ejemplo, son útiles de trabajo que conservan todasu vigencia: en esta modernísima clase, los alumnos estudianfracciones con ayuda de modelos autoadhesivos.

(mo 'puede verse, no ha habido cambiosmasiado drásticos.De lo. que ha desaparecido no es pre-o decir nada; las isogonales, por ejem-, no se es~ud~an ya a fondo porque son

pura reliquia griega y, matemática-nte, son hoy tan poco interesantes como

1I?lución de cuadrados mágicos. Eso1\I~credecir que ya no las estudie na-

ino que sólo las estudia el especia-

cónicas, relaciones métricas entre circun-ferencias, uso de las tablas de logarit-mos, etc.- se considera hoy de tan pocointerés que ha desaparecido del panorama.Un tercer bloque de conceptos de la ma-temática moderna, desconocidos para laclásica, ha llenado el hueco. La introduc-ción de un lenguaje simbólico especial yde un vocabulario matemático nuevocompleta hoy el cuadro de la enseñanza.

ción delos tiempos, la matemática moder-na y la tradicional.poseen el mismo conte-nido, sólo que explicado en otro lenguaje,vertebrado lógicamente con el uso de otrosmétodos y reordenado de un modo distinto.

Lo que antes era fundamental -deriva--das, integrales, ecuaciones, polinomios,etc.~ continúa siéndolo. Gran parte de lamateria integrante de los programas tra-dicionales de enseñanza -estudio de las

tu, todo término de-este producto " de la lonna

a-b"~ •.. ~a, n ..;;lit P " l •...•• " i.' 14)

u,n divisor del numero N. • y PD~ KI' todot a •• nte, todo divi&or de N es de I f

.ntl.d ••••Luego es un lénnino .: p=~J.Q)D la coo--d•••••• que: (3(.

d. dilll.on. del número N' =.el bIJ eT ••• h 1. es' •- (a + n Ul + 1) (r + 1) ... (l + 1) ~5J

-. ,,,,,,,, loa d/IJIi.on. del nmnrro N es

0+"'+ ... +0")(1+&+ i")... (I~h+h.+ ... +h')=···+ ...

• J + ""1-1 ¡'~I J• -¡¡:::r + ...+ ~ [6(

_ •••• .,.....,..u...-.eJric:a.

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•••• :.:. e;:~ n......-l. y _le"'-·eonninpoolhk.parqued_

I•• o I~ alg{m factor DOee-,. 110eumpUrfl 'dfch. COIIdJdÓD aecesuiII

Ab . d .aJo, os páginas qtu: 1'.\'1'//1111/ /11'" 1//"

el máximo común diuisor; II//tl t' I !tI /,,/. Y l~ 0t:a es dI' /11/ ,,',\111 tlt 1"'1"

La diferencia, Incluso i'S1¡lfim. t'\ , yl,tI, //1,

lista' per h ., o no ay rnn una 1'a;101I 1111111'111

deba apr~nderlas el alumno di' 1'11 I ( 1111

secundaria,En .el campo de lo vi 'jo, 11"1111<11111.. 1

leng~aJe de lo nuevo, hay IIIlIdlO de 11111

elegir, Po.dríamo~ tomar 01110 ('¡('III!,I •• 1

p~~sentat1vo el SIstema binario d(' 1111111 111

cion, tan caro a la matemática l'hillll 1111"

val o. a ~eibniz (1646-1716). hn ti ¡ Ima binario, todo número Se l'''JlIl' 11 e '"111

'lJJSOYQIlf'HJSWt~ "" -.pYoa des ••• urth ti. ti 1

&...-rudebpc"04)OSoItlOl'l1

~

.· - ..· .· .· . . .. .· ... - ...

PoorlOllC4.ÓEw.--~-0::::=::: •.••......•.__ .•._ •.•.••

l'_ -l' ~elcto.:~~m.D.!!J€c..

01 lIylluu de O y 1, de acuerdo con las11\ ni 11 'lJllivalencias:

Sistema binarioO1

1011

100101110111

10001001101010111100110111101111

10000

34567H<)

10111213141516

Tal sistema de numeración, aba~~ona-do durante varios siglos, es hoy utlh.za?opor los ordenadores Y por .los eSP:clalls-tas en teoría de la información- Su lmp?;--tancia es, pues, muy grande. Tamble~H • utiliza en actividades tan poco matema-ricas, al parecer, como jugar al nim ..

Al nim (también llamado el marzenbad)HC juega de la siguiente =r=" Se ~e-parten las cerillas de una caja ~n vanosmontones menores. Los dos Jugadoresretiran alternativamente cada vez de un

30

Al nim vence siempre el jugador que decide quién efectúa lajugada inicial; suponiendo que la distribución de cerillas sea

la del dibujo, vencerá quien retire cerillas en primer lugarsiempre que siga la siguiente estrategia: escribiendo el número

de cerillas de cada montón en sistema binario, unos encima de otros,debe hacer que la cantidad de números 1 de cada columna sea par.

cr'!/!.-"10 paridad::1 ••

paridad deseada modo deDI ID jugadaS'3 por columnas conseguirlaDI

101 O 1 O n01 =,13 1....•,•.........•

O O O 1 O O O 19-13¡=6 r •....;'1000 Deben \

1 O 1 O 1retirarse "

....•,6 cerillas

del montón ,..- ,-,3' 3' 3' _. 'ti 'ti 'ti 'ti al 'ti10011 3 DI DI DI DI DI de 19 , .",..t''ti al al 'ti .. .. .. .. .. ..

DI DI •• ..1 ••• ,.. ,.. .. ..

solo montón la cantidad de cerillas queles acomoda; pueden elegir el montón qU,e .les plazca e incluso retirar todas la~ c.en-llas del montón. Quien se lleva la úl:1macerilla, gana la partida. ,¿Cómo ganar siem-pre en este juego? EXiste, en efe~to, unaestrategia óptima que proporciOna lavictoria con la sola condición ,d: ,pode~elegir quien efectúa la jugada inicial. SIse juega bien naturalment,~' Porque .setrata de un juego de reflexiOn pura e. rn-

formación perfecta, para el cual existsiempre una estrategia ganadora, Paraaprender a jugar bien,. basta con s~bel'contar en sistema binano de numeración.En el Festival of Britain de 1951 se expuso una máquina automática. que crninvencible jugando al nim. NI NorbcrtWiener el creador de la cibernética, puch I

1, De hecho no podía venccrlnvencer a. ,nadie, ni siquiera ella misma... .

A los niños no se les. enseña hoy el 1

tema binario en las escuelas porque loutilicen los ordenadores o porque pernu

. g ndo al nim Las razones pOIta ganar JU a . ,las que se ha incluido el estudiO de 1

sistema en los programas modernos tlll

, f ndas Residen en la voluntad timas pro u . '1separar la noción abst~act~ .de nume~'~11

sus representaciones slmbohcas conc~ t 1I

es evidente que "catorce" sigue ~1~1I11cando lo mismo, tanto si se escr~bl' 1(sistema decimal), como 1110 (siat I

) o 112 (sistema ternario). La ma-moderna pretende que el alumnolo que es "catorce" prescindien-odo particular en que lo repre-

otra parte, sólo aprendiendo an varios sistemas de numera-

tOI! es como se apercibe unonti 'a importancia que revisterrll tan especial que tantos si-

ntar., lor último, zonas de la mate-

lutumente nuevas, inaccesibles'Im de los procedimientosI mas dos ejemplos perte-I topología, una disciplinaI1 BC ha desarrollado extra-

n el siglo XX y de la qued lante.

1. Se disponen al azar en el espacio unapastilla de mantequilla, una loncha dejamón y un panecillo. ¿Existe algún planodel espacio cortando a lo largo del cualresulten dos bocadillos con idéntica com-posición cuantitativa?

11. Todos conocemos la pretensión delos emperadores españoles en la época enque España desempeñaba políticamente unpapel hegemónico en el mundo: en losdominios de España, jamás se ponía elsol. Supongamos que se decidiera repar-tir el mundo entre varios imperios ¿cuán-tos de ellos debería haber para que, cual-quiera que fuese el reparto, necesari~menteen uno de ellos no se pusiera nunca el sol?

Poca gente admitirá que estos dos ejem-plos puedan ser cuestiones matemáticas;

31

[Cuántos colores son necesarios para colorear un mapa planocualquiera sin que dos países que tengan líneas fronterizas comunesettén coloreados del mismo modo? El mapa de arriba -prescindiendo delcolor azul del mar, que se ha conservado para hacer identificable el mapa-muestra que 4 colores parecen suficientes. El dibujo pequeño muestra que,por lo menos, se precisan cuatro. Hasta hoy, nadie ha sido capazd(/ probar matemáticamente esta cuestión, que concierne a la topología.

tiene por absurda. De hecho, ni siquieraexiste el infinito; el infinito es un absur-do en sí mismo. Imaginemos un rebañoinfinito de caballos negros y otro reba-ño infinito de caballos blancos: repenti-namente, por alguna súbita e inexplicableenfermedad, todos los caballos blancosennegrecen. La situación es del todo ab-surda, pues de pronto se tiene un infinitode caballos negros a partir de dos infini-tos iguales. ¿ Dónde se ha visto que1 + 1 = 1? Conclusión, quizás precipita-da, a decir verdad: el infinito es un absur-do metafísico. Metafísico, tal vez, pero deningún modo es un absurdo matemático.

En el marco de la teoría de conjuntos,. obra maestra de Georg Cantor, las colec-ciones infinitas como la anterior encuen-tran su lugar adecuado, libres por completode llamadas a la metafísica. Hablemos puesde la teoría de conjuntos.

Buena parte de la nueva matemáticaconsiste en un simple cambio de lengua-je. Antes de ella se hablaba, matemática-mente, de determinada manera; después deella, de otra totalmente distinta. Respe-tando las distancias, viene a ser algo pare-cido al cambio de lenguaje experimentadopor los médicos, los biólogos o los quí-micos. No se habla de protóxidos, ni deproboscídeos, ni de otros mil términosparecidos, no porque carezcan de sen-tido, sino porque el lenguaje científico se

precisamente la condición para que noponga jamás el sol: cuando en un puntoIza, en su antípoda se pone, y viceversa.ñadamos, para terminar, que tambiéncambiado, y mucho, los métodos dejo. La matemática moderna se distin-por exigir un rigor perfecto en todo ra-miento. No está permitido ni el menor

IIz, yeso se aprende a veces a costa deB pesadas. Tómense, por ejemplo,ho problemas de las páginas 7+ y 75

I libro de Laurent Schwartz MéthodesIh matiques pour les sciences physiques.

o se ha terminado con los siete pri-resulta que el octavo dice: "Una dete cuestiones anteriores es falsa,

ti ellas?" Eso también es matemáti-ti rna.

pero lo son, Y además tienen respuesta:Para la primera cuestión, la respuesta parece ser no; como mínimo parece hartoinverosímil que puede llevarse a cabo tal

h - No obstante Stanislav Ulam yazana. ' iblKarol Borsuk probaron que es P?SI ehacerla. En cuanto a la segunda, el numer

. uno dede imperios preCISO para que en fellos jamás se ponga el sol es 3. Esto u'

b do en 1930 por dos destacados m,~-pro a . k L Schnitemáticos ruSOS, L. Lustermc Y .

lmann: es un típico teorema de topolog~a.~uando 'una esfera se divide en tres re~1O

lo menos una de ellas conUClll'nes, por , d Estuforzosamente dos .purrtos annpo as. ,

uevo diccionarioun nuevo lenguaje

: teoría de conjuntos

las más respetadas argumenta-la filosofía tomista es la de la

ra. Esta argumentación pre-bar que para toda sucesión def ctos existe forzosamente una

ra; en efecto, la idea de quenos al pasado existan infini-in solución de continuidad se

33

h iho más preciso y los ha desechadoo 11 tltuido por otros. •

I,n matemática la situación es ligera-11 I 1 diferente, pues, en realidad, sus'e nt nidos generales no han cambiado;Ioy N saben más cosas, pero las que se

I 1111 antes no eran sustancialmenteI 1 IIN. Scncillamente, los conocimientos

1 i 'O!! se han incorporado a los nuevos yh n pasado a expresarse en la misma1 Il~UIl moderna que estos últimos. LaI I 1 mática no crece destruyendo sus ci-I ¡ ntos antiguos, sino incorporándolos

1 1111 vo edificio. Este se caracteriza sobrelodo por su lenguaje: el lenguaje conjun-ti tll. Y bien, ¿ qué es un conjunto? Enprlm rn aproximación, un conjunto escualquier colección, familia o agregado11 ohj los "pensados como formando par-t d una totalidad", tal como decía Cantor.

En lenguaje más llano, un conjunto es-siguiendo a R. Dedekind (1831-1916)- unsaco lleno de elementos. Dentro del sacopuede haber números, letras, plantas, per-sonas, mastodonte s, zapatos, ..., práctica-mente cualquier cosa. Hay conjuntos denúmeros, como el formado por 1,2, 3, Y 4,o conjuntos de letras, como el formado pora, e, i, o y u. Hay conjuntos finitos, comolos dos anteriores, y conjuntos infinitos,como el de los números naturales, quempieza con el ° y continúa con 1,2,3,4,5,6,7,8,9, ... , sin terminar jamás. Para de-signar a los conjuntos con comodidad, ~los escribe encerrando sus elementoentre llaves y nombrándolos con una le-tra, generalmente mayúscula:

A = {1,2,3,4\V = {a, e, i, o, u }N = {O,1,2,3,4,s,6,7,8,9,10,1l,

"A medida que las ciencias (.. .) llegaron a ser más y más exactas, exigieronininterrumpidamente más y más de la inventiva matemática y fueron respon-sables principales de una gran parte de la expansión enorme de todas las mate-máticas desde 1637. Asimismo, a medida que la industria y las invencionesllegaron a ser más y más científicas, después de la Revolución Industrial de laúltima parte del siglo XVIII y la primera parte del XIX, también ellas estimula-ron la creatividad matemática (... ). La curva de la productividad matemáticacon relación al tiempo se dispara hacia .10 alto con rapidez cada vez mayor ... "

E. T. BELl,

35

Abajo, pares¡e impares son conjuntos complementarios'no poseen e ementos com " 'de todos lo ' unes y su unton es el conjunto

d l "t'"?" naturales. Este es el modo conjuntistae ectr que todo número natural es par o es impar.

ro~ conjuntos admiten, evidentemente,njuntos ? partes; por ejemplo, {1, 2}

subconjunto de {1 2 3 4} 1 .d ' , , ,e conjun-las vocales es un subconjunto del

unto de las letras del abecedario etf ' c.p~es, para el p~ofano, el mejor modogmar un conjunto es considerarlo

un saco lleno de cosas y rotulado conI Ira, que le dé nombre. En cuanto a loonuene, basta con enumerarlo explí-nt (" ' 1e contiene a e i o u") o d f ,, , , , e InIr-I:,n modo inequívoco ("contiene las

), Desde este punto de vista, lasdel pl~no pasan a ser conjuntos deI los gIrOS en el espacio pasan a ser) de movimientos rígidos con una, las operaciones pasan a ser con-

I p,ares ordenados, etc. En cuanto11I 'lados matemáticos, pasan a ser

entre conjuntos; por ejemplo,

una simple expresión como "tod 'nat al ' o numerour es par o impar, pero no ambas co-

sas" ., se convierte en "el conjunto de lospm:es y el de los impares son complemen-tarios".

Naturalmente, el interés de los conjun-to~ no se reduce a poder hablar de cual-quier cosa de un modo nuevo, Eso seríapedante y excéntrico, además de inútil'el punto de vista conjuntista aporta nove~dades m~cho más amplias y constructivas,

Ocupemonos brevemente de los caba-llos blancos de los que hablábamos antes -para ver adónde nos lleva el punto d 't ,. e VIS-~ conjuntista. Tenemos un conjunto infi-

nito de caballos blancos, B, y otro, N, deca,ballos negros, Ambos poseen el mismonumero de elementos. Bien, acabamos detopar con la primera dificultad' 'Que' .ifi ' e SIg-n icado tiene hablar de "el mis 'monumero

Existen infinitos números infinitos, y el menor de ellos~ 1 número de elementos del conjunto 0,1,2,3, ...; ~ l' eTf

es o' :ambio es el número de puntos que figuran en una recta,, IV 1 número de elementosun cuadrilátero, un cubo, etc.; \'1 2' es e

del conjunto de todas las curvas del plano, etc.

1 mentos"? En la nueva matemáticauede tener uno: es posible tomar

N, colocarlos uno junto al otro y esta-una correspondencia uno-uno, sinbre ni falte ningún caballo. Admita-

ra, para simplificar el razonamien-los caballos blancos van numera-ejemplo, siguiendo la numeraciónpares, mientras que los negros sesegún los pares. Al volverse ne-

os los blancos, obtenemos unnjunto, T, que contiene tan sólonegros. En concreto, contienenumerados del O en adelante,lt ni un solo número.

ahora si la pretensión de queconjunto infinito nos lleva ado: ¿ Cuántos caballos hay en

T?; pues el mismo número de cubnl]n IJIIen N o B, puesto que pueden pone 1 ( lotres conjuntos en correspondencln '11I0uno. ¿ Hemos llegado acaso a nl¡.(lIl1ucnntradicción? En absoluto. Nos hemo III1ltado a probar que si n es el 11111111'111tielementos del conjunto B, y n N uuuhl 1\el número de elementos de N, ,1 111'1111lO

de elementos de T es también 1/, (), iprefiere, que hay el mismo núm sro ti 1111meros pares, que de números impure ,IJIIde números naturales en total. EN crn lo o,pero nada más. A decir verdad, CN el 1'1imero de los teoremas que se pruohnn 111111curso elemental de aritmética II'UIIMIIII1(la aritmética de los números infinito ), l'más, la cosa sólo hace que cmpezur, 1'"no es difícil ver que existen conjuntos '11 11

17

lementos, siendo infinito tam-"más infmito" todavía. Tomemos

zar el conjunto S de los puntosan parte de un segmento de lon-

1. Todo punto podrá designarse conro decimal que expresa su longitud

tar a partir de un extremo; tendre-, pues, que los puntos del segmento S

qu darán traducidos numéricamente pord imales comprendidos entre O y 1. Re-ord mos ahora que los números decimales

pos en un desarrollo infinito de cifras.xisten decimales como 0,8976 que se

"acaban", por decirlo así, con sólo darcuatro cifras exactas; pero existen otros,como el número 7t (pi), o como el inofensi-vo 12, o como 2/3, que no se terminancon unas cuantas cifras exactas, ni siquie-ra con uno número muy grande de ellas:

7t = 3,1415926535 ...J2= 1,4142 ...

2/3 = 0,6666666666 ...cuyo desarrollo decimal es infinito. Inclusoel desarrollo de 0,8976 es infmito; bastacon añadirle ceros a la derecha:

0,8976 = 0,89760000000000000 ...

Bien, nuestro segmento S tiene tantospuntos como decimales infinitos sea posi-ble hallar entre O y 1. Tales decimales deinfinitas cifras reciben el nombre de núme-ros reales; el conjunto S es, pues, una partedel conjunto de todos los números reales,

38

... 0,1642098472110875 ...

... 0,3141592653576210 .'..

... 0,3333333333333333 .

... 0,5210009998513876 .... 0,4444431902743971 .... 0,1004287591721659 .... 0,2341415937845100 .... 0,3222218709367287 .... 0,1987654321098765 .... 0,2593758011925375 .... 0,4127537856901895 .... 0,5611090908727437 .

decimal }que no está 0,257959680006 .en la lista

y comprende todos los números reales en-treOy1.

Es evidente que S tiene infinitos ele-mentos. Recordemos que N, el conjuntode los números naturales, también teníainfinitos elementos. La pregunta siguientees: ¿tienen S y N el mismo número -infi-nito, por supuesto- de elementos? Supon-gamos que podemos contar los elementosde S como si fueran números naturalescorrientes; entonces podríamos numerarestos decimales como si fueran nuestroscaballos de antes, obteniendo, por ejem-plo, la siguiente ordenación:

to de los números naturales. Pero,do 1, porque uno-uno quiere decir que

ningún decimal en la lista, que es-olutamente todos. Con sólo que fue-capaces de encontrar uno que no

i pueda estar jamás, ya fallaría landencia. Y en efecto, así ocurre.e el último número escrito en esaha construido eligiendo una pri-

fra decimal distinta de la primera"decimal 1", una segunda cifra

d la segunda de "decimal 2",00'yivamente. ¿ Puede estar este nue-1 en la lista que creíamos comple-rque difiere de todo "decimal n"nte en la cifra n. Luego no los

ontado, y, lo que es peor, comoi6n se repetiría todas las veces

Ya los tenemos numerados, o lo que es Imismo, en correspondencia uno-uno con 1

que lo intentáramos, nos sería imposiblecontarlos jamás. Conclusión: hay más pun-tos en S que en el conjunto de números na-turales. Es un infinito mayor. Y los haytodavía mayores; en realidad hay infmitosinfinitos. No parece difícil hallar un con-junto "más infinito" que S; puesto que Ses el conjunto de los números reales entreO y 1, el conjunto de todos los númerosreales parece que será "más infinito" aún .

Dado un segmento de longitud 1 y unarecta, ilimitada por ambos extremos, pa-rece que la recta poseerá más puntos. Eldibujo de esta página muestra que no escierto: cada uno de los puntos del segmen-to curvilíneo de longitud 1 está en corres-pondencia uno-uno con un punto de la rec-ta, y viceversa. Como quiera que dos

decimal 1decimal 2decimal 3decimal 4decimal 5decimal 6decimal 7decimal 8decimal 9decimal 10decimal 11decimal 12

39

,

conjuntos poseen el mismo número de ele-mentos si, y sólo si, es posible estable-cer entre ellos una correspondencia uno-uno, concluimos que hay tantos puntos enuna recta como en una de sus partes.

Repárese que el número de puntos de unconjunto de puntos no tiene nada que vercon su medida. En efecto, tanto la rectacomo el segmento tienen el mismo númerode puntos y, no obstante, sus longitudesson evidentemente distintas. Número ymedida son términos distintos.

Cuando Georg Cantor, el "padre" de lateoría de conjuntos, expuso por primeravez --en pleno siglo XIX- estas desconcer-tantes opiniones, el mundo matemático sedividió en dos grandes grupos: el de losque se irritaron y el de los que se entusias-maron. Cantor lo pasó muy mal, pues en suconservadora época abundaban más losprimeros que los segundos. Cantor, hom-bre de ejemplar espíritu científico, decía:"La libertad es la esencia de la matemá-tica", pero a él se la negaron sistemática-mente sus numerosos adversarios, tanpoderosos que consiguieron mantenerlearrinconado en una universidad de provin-cias toda su vida. Teniendo en cuenta queera, a buen seguro, el mejor y más creativomatemático de su época, su suerte es todoun tributo a la intolerancia del sistema.Hoy, la situación es muy distinta y la teo-ría conjuntista se ha adueñado de toda Ia

40

matemática. ¿ Hasta cuándo? Quizá has-ta siempre, quizá no. Los vaivenes de laciencia han enseñado la virtud del escep-ticismo a los científicos. Además, pareceno muy lejana una reconsideración a fondodel lenguaje conjuntista, por lo menos talcomo se ha venido utilizando hasta ahora.Hoy son muchos los que piensan que nobasta con hablar de conjuntos y de lasestructuras que se forman con ellos. Seacentúa cada vez más la tendencia aentender la matemática como un entrama-do de relaciones entre estructuras conjun-tistas semejantes; el punto de vista funcio-nal y dinámico predomina sobre el conjun-tista y estático. Es posible que los día~la matemática conjuntista tradicional esténpróximos a su fin y que nuestros hijos onietos deban enfrentarse en las escuelascon la llamada matemática categorial queapunta en el horizonte. Posiblementealgúnmaestro vengativo se frotará las manos desatisfacción pensando en lo que les esperaa los jóvenes dentro de unos años.

la .crisis conjuntistade los inicios

En la década de los 70 no hay más cri-sis conjuntista que la provocada por su in-troducción en la enseñanza elemental; sinembargo, la situación no ha sido siemprela misma. Por ejemplo, a principios de si-

(

"La matemática es el trabajo del espíritu humano que está destinado tanto 11

estudiar como a conocer, tanto a buscarla verdad como a encontrar/a. "

____________________ E. GAL()!.'

glo los conjuntos fueron protagonistas degunos escándalos más que regulares. Laasi totalidad de la culpa de tales escánda-

los la tuvieron las antinomias conjuntís-icas. Hoy han pasado de moda; mañanaueden volver a aparecer (aunque no es de-asiado probable). Vale la pena, pues,dicarles un poco de espacio.Vayamos a por la antinomia más anti-

ua, la de Epiménides. Aparentemente,ne poco que ver con la matemática ma-ma: se debe a la pluma de San Pablo,

uien en la Epístola a Tito (v. 1, 12-13),vierte a éste que los cretenses son siem-

mentirosos; como testimonio de tal ad-rtencia cita a un cretense: Epiménides.alicemos más detenidamente la afirma-n del apóstol: si Epiménides -que estense- afirma que todos los cretenses

n embusteros, él mismo se incluye dentrola categoría; luego miente. Pero si mien-al decir que todos mienten él tambiénnte, y, por lo tanto, los cretenses nounos embusteros. Pero entonces estosn la verdad, y, particularmente, Epi-

nides también la dice.Bien se ve que es imposible llegar a una

conclusión final. Se trata de 1111111'0111111dicción pura y simple, de una 11111illlHlIl1ICualquiera que sea la respuesta qru- 1 d ,siempre se nos atrapa "en fu '1'1IdI' ju o"Naturalmente, tal argumentación no 111111ventó San Pablo, sino que viene dI ""IVantiguo. Según Diógenes Lacr 'io, 111In\'111tó Eubúlides.

Esa antinomia, junto a otras 111lid 111qupueden encontrarse en textos 111111'1110relacionados con las matemáticu ('01110El Quijote, se solucionan 16gi('11I1I1111acudiendo a expedientes muy sut ill'. 01vamos a la paradoja de Epiménide«. dmitiendo que el cerebro hU11I1I1I1ll' UIIórgano que funciona correctamente, 11111na explicación tendrá el que I<.l'il1l'11It1nos cause tantos problemas. Lo qllc' nlltlladmitirá es que nuestros hábilo ti Izonamiento sean equivocad s. 1<.111" 'lo,nuestros hábitos de razonami 'nlo on orrectos, pero la formulación ti '11I(11I1¡I'11tila paradoja no es correcta. 'lIundo 111111111mas de que los cretenses mienten, l' 1111110en nuestro derecho. Pero al afiruuu quuno de los miembros de la l'Of'rlldflld,embusteros miente, debemos l'xl'liclllllO

Paradojas similares a la de Epiménidespueden hallarse en textos tan pocomatemáticos como El Quijote (Cap. LI).

- 'o y esté vuesa, ." d s términos de un mismo senon .,.ñor un caudaloso no dividia o . Igo dificultoso Digo, pues, que sobre

r d atento porque el caso es de importancia Y a na como casa de audiencia, en la, I abo delta una horca Y u l rí d la

I rl taba una p,uente, y a e iuz aban la ley que puso el dueño de no, eu I el orelinario habla cuatro Jueces, que J ~ "Si alguno pasare por esta pu~nte de un~u nI y del señorío, que era en est,a;orma. ué va; y si jurare verdad, déjenle pasar,

Prl otra ha de jurar pnmero adon e Y sdq la horca que allí se muestra, sin

'. por ello ahorca o en h luegoV I elij re mentira, muera . condición della, pasaban muc os, Y .r mi i6n alguna". Sabida esta ley y la ngur~sa dad y los jueces los dejaban pasar libre-

n lo que juraban se echaba de ver que de~~~nav~~ hombre. juró y dijo que para el juramentom ntu, ucedi6. pues. que tomando jurarne ue allí estaba. Y no a otra cosa. Repararon, los111 h cla. que iba a morir en aqu:"a horca ~ombre le dejamos pasar libremente, rnmtro enu n el juramento. y diJeron: SI a este.. si le ahorcamoS. él juró que iba a monr enI u [ur m nto, y. conforme a la ley. debe m~rll~.~isma ley debe ser libre." Pídese a vu~sa rner- ,

qu 1111 horca. y. habiendo Jurado verdad. po d t I hombre que aún hasta agora estan dudo-el. llar gobernador. qué harán los Jueces e a .

V u P nso:s~. --~

más detenidamente. Un cretense puedementir cuando se le antoje; pero si mienteal referirse al enunciado particular queafirma que todos mienten, la contradic-i6n salta a la vista. Con más precisión,

hay que distinguir varias cat~gorti'S 'dembusteros: los cretenses vulgares queienten sobre cuestiones vulgares -salvo

uando dicen que mienten- son cretensestipo 1; los cretenses que mienten in-

. Juso cuando afirman que los cretensestipo 1 mienten -pero no mienten cuan-dicen que' ellos mienten-, son cretensesotro tipo, de tipo 2; los cretenses quenten, incluso al afirmar que los cre-

s de tipo 2 mienten, -pero que nonten si dicen que ellos mienten- sonoses de tipo 3; etc. No es difícil verSan Pablo redactó mal su Epístola:

6 decir primero a qué tipo de em-ros pertenecía Epiménides.

explicación anterior es un esbozoexplicación más detallada debida

trand Russell (1872-1970). El mé-general para afrontar esas parado-

el de distinguir entre lenguaje ynguaje. Por ejemplo, analicemosuiente expresión: «Esta frase es

, ¿ es o no es falsa? Esta forma dear carece de sentido, puesto quea a contradicción. Pero, profundi-O poco, nos damos cuenta de que lomente hubiéramos querido decir

es: «"Esta frase es falsa" es una frase fal-sa», ¡lo cual es muy distinto! Los dos adje-tivos falsa que aparecen en la expresiónno se refieren ni significan 30 mismo.Está claro que si la expresión «Esta frasees falsa» está escrita en un determinadolenguaje, la expresión «"Esta frase esfalsa" es una frase falsa», lo está en unlenguaje distinto, en un lenguaje que hacereferencia al lenguaje anterior, es decir. ren un metalenguaje .

El metalenguaje constituyo"én el lengua-je "un escalón más arriba' , y no es pruden-te mezclar sentencias en el lenguaje Xcon sentencias acerca del lenguaje X. Nopertenecen a mundos iguales.

Todo lo que antecede es bastante compli-cado y, a decir verdad, no parece llevar aninguna parte. En realidad, lo hemos ci-tado para preparar el terreno, porque sibien es verdad que en el dominio de la se-mántica pura hubo problemas en tiempo deRussell, en el de las matemáticas purastambién los hubo, y grandes.

La primera paradoja estrictamente ma-temática aparecida fue la de Cantor. Tra-bajando con su escala de número infinitos,Cantor probó que dado un conjunto A dex elementos ---con x finito o infinito-, elconjunto formado por todas las partesde A tenía un número de elementos mayorque x. La paradoja surge al considerarel conjunto de todos los conjuntos. Por un

43

- - -~ - ----

En las bibliotecas, .las características, colocación, etc., de cada librose agrupan en un catálogo. Si los libros son muchos, este catálogo es otrolibro, que algunos bibliotecarios incluyen entre los que figuran en elmismo catálogo. Otros bibliotecarios no quieren esto. Pero si el jefede todos los bibliotecarios ordenara hacer un catálogo que incluyera sólotodos aquellos catálogos que no figuran en ellos mismos, ese nuevo catálogo¿debe catalogarse a sí mismo, o no? Esta es una versión (tomada deMathematics in the Modern World, de M. Kline) de la famosa paradoja de Russell.

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lado, el conjunto de sus partes debe sermás numeroso, en virtud del teorema deCantor; por otro, como se trata del con-junto de todos los conjuntos, el conjuntode sus partes está incluido en sí mismo.

.,•

Por lo tanto, el conjunto de sus parteses menos numeroso que el propio conjunto.He aquí otra antinomia.

No fue ésta la única de las contradic-ciones. El propio Bertrand Russell, es elautor de la más famosa e ingeniosa de to-das. Supóngase que se distingue entreconjuntos "normales" y "anormales";por "normales" entendemos aquellos con-juntos que no se contienen a sí mismos.Por ejemplo, el conjunto de los árbolesfrutales en un campo es un conjunto "nor-mal", pues tal conjunto no es ningún ár-bol. Los conjuntos "anormales" son aque-llos que se contienen a sí mismos: sin irmás lejos, el conjunto de los conjuntos es"anormal" pues es a su vez un conjunto.Russell se preguntó por la naturaleza delconjunto de todos los conjuntos_normales,¿ era normal o anormal? Si era normal.no se contenía a sí mismo, con lo queformaba parte del conjunto de los conjun-tos normales y, por lo tanto, era anormalpues se contenía a sí mismo. Contradic-ción. Si era anormal, se contenía a sí mis-mo, con lo cual formaba parte del conjuntode los conjuntos normales y era por lo tantonormal. Contradicción de nuevo. Esta in-geniosísima paradoja mantuvo en vilo alos matemáticos varios años y provocótal maremágnum de discusiones entre losprofesionales como pocas veces se ha vistoen la historia de la ciencia.

Ello era del todo justificado, pues se aca-I aba ~e encontrar una paradoja en la ma-l mática y no en cuestiones de semánticamá~ o me?os intrascendentes. Hay qued cir también que esta amenazadora si-1~lnción fue extraordinariamente benefi-'I,osa, ya 9ue del enfrentamiento de opi-mo?es salieron, no una, sino varias so-111 rones ; por añadidura, el conocimiento

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iD &he proofofa114'5, in t.he ~1 olcardioal multiplication.'

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1-1 T,Cl&_1.1I e{TIp)")..'. 101M ,P.'>..JI-1'I.TjJl•... .1-• .aQ-14 .a7]·25.:l ""I Hp.:>. TI J( ,1-.ClI> .08<)·14._3<.:», IIp.:>. ¡;IJI~ TITIP.(a72·59]..a'"2] C!P1-.a8O'14 .a84·36.) ~ :Bp.'.D-MCD'T.[.3N'2] ,.a~¡;IJI}.a·JI.[_14J ~.a'Ó:IJI)-'>.(I}.(.).(S)._a.». Prcp

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Doble página de los Prin 'ipill M111111111111h 11donde puede apreciarse La Si1//{/lII// /'./ ,,111111

simbólica de esta C(J'lII/,lt!illll/l" /lb 1 11

que se tenía de los fundamento di' 11111111temática se profundiz6 llxtrllOldulI1I 11mente,

.De las soluciones que f¡ • d it-rnn 11I tI)enigmas hablaremos más "dl·IIIIIII', 1'1111ya. ~ue ~e ha mencionado el Origl'lI di 111CriSIS, bien vale la pena 1I\l'IWiolllll 111111bién su final. En 1908, '1 propio U11 I 11hallaba la primera de la Ilohlt'illlll 11111

ucn:on DJ 8Et.WTJON8 nON IlIU..•.TIV. r"'I'.,.". "' ••

~. hT.,Cls-tl.:>.(Tl/'),,').CTI"/',,'k ¡""ill.at-U. I-:Td_I,P"XCÚ·T.,.(TI/').'),_T "1', •••. 1•••••• "1.ss',". hT,QtX.I--+I.PI'fXCC¡·T.:\CH'Ij ••.•• V'. J

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l' IIIUlojll ; linos años más tarde aparecía1I Ibl'o tic matemáticas que abría todo11111I11t1VOsiglo del pensamiento, los Prin-111'/" MlIllwmatiúl, obra conjunta de Rus-1'11y 1\11'1"dN. Whitehead (1861-1947).

1', ti ('oloflul libro lo re inventó todo: un11IIHllllj formal en el Que escribir la lógica,\111111'Iodo de trabajo por el que se preten-d. tlt'lIlostrar que todas las matemáticas• l'I1t1U''o a la lógica -10 que en filosofíar 1I11111l1logicísmcr-, definiciones correctas

tll 1iúm CI'O , de operación y de función, la11'11I11ti ' los tipos -primer intento afortu-ruuln, aunque complicado, de eliminar las11111iIlOlllias-, etc.

EiI ilorprendente que ese ingente traba-lo I'IIOI'll liquidado por Russell -pues Whi-1I11('IHIsólo pensaba, no escribía- en me-llO ti' tres años. Los tres volúmenestllI 1\11' consta suman más de 2.000 pá-fi 111I. El lenguaje en que está escrito es10111mintc simbólico y se deriva directa-1111'111'de los símbolos ideados por Giu-(')lP' Peano, uno de los matemáticos más

IIdlltimdos por Russell en aquella época.f'ri/ll"il)itl M athematica es una obra fan-1(1Ii '1\, de la que todo el mundo habla conI ('V 'r in ia, pero que muy pocos han leído.EII .j .rta ocasión en que Hans Reichen-hlll'h hablaba a Russell de una nueva "teo-dll ti' la inducción", se llevó la sorpresatll' que le indicaran la página de los Prin-I'¡pia donde estaba expuesta. Principia

Mathematica ya no es, desde luego, unaobra actual, pero ha representado muchoen la historia de las matemáticas.

G. H. Hardy en A Mathematician'sApology explica una deliciosa anécdota aeste respecto: "Me acuerdo de que Ber-trand Russell me contó un sueño horroro-so que había tenido. Se encontraba en elúltimo piso de la University Library haciael año 2100. Un bibliotecario recorríalos estantes arrastrando un enorme cajónde basuras. Tomaba todos los libros unotras otro, les echaba un vistazo y los vol-vía a su sitio o los tiraba al cajón. Final-mente, llegó ante tres volúmenes y Russellpudo darse cuenta de que era el últimoejemplar del Principia M athematica quequedaba en la Tierra. El bibliotecariocogió uno de los volúmenes lo hojeó unpoco, pareció asombrado y perplejo porel curioso simbolismo, cerró el volumen,lo balanceó en el aire y vaciló ..." .

Posteriormente, los volúmenes de los Elé-ments de Mathématiques del grupo Bour-baki han superado con creces la monu-mentalidad y las dificultades de lecturade los Principia, así como la extensión.También hay ahora libros muchísimo másdensos de contenido. y también hay li-bros menos leídos, pero de cuya lecturatodo el mundo presume. Los Principia,sencillamente, fueron los primeros en to-dos estos órdenes.

/Bertra.nd Russell, conde de Russell, escritor espléndido(premio Nobel de Literatura en 19501) filá .r. . .h . /» lOsa) o mSlgneumamsta convencido, polemista incansable y pacifist~

a ultranza, no sólo ha sido una de las más agud. l' as. mte igencias del siglo, sino uno de los másimportantes lógico-matemáticos de la histori'a.

A modo de conclusión, citaremos la de-mostración que dan los Principia de queI ~ 1.= 2. Desde los lejanos tiempos deI.cibniz, proliferan pruebas de esta elemen-tul proposición aritmética; pero todas fa-llun por su base, ya que todas dan por su-puesto lo que es 1 y 10 que es 2, y aun 10que ~s la suma. Pero una prueba rigurosal' qUl~l\e .p.rimero dar cuenta exacta de 10que significa el enunciado, yeso significa

. linda ~enos que definir primero lo que esun numero. La primera prueba de queI . l. 1 es realmente 2 apareció en los Prin-l'IPza; es el teorema número 110.643.

ntes hay que leer el primer volumen de1 11monumental obra, pues la demostra-. Ófl se encuentra en la página 83 del se-lindo volumen. Lo anterior eran sólo pro-

I1¡(6menos... Una prueba algo más breve• :ncuentra en los Eléments de Mathé-

I/I//tlques del grupo Bourbaki; pero no ha!jlll' hacerse muchas ilusiones El núm y"1" . ero

no aparece hasta haber leído un par deI ni nares de páginas.

I método axiomático

hu 'Iides construyó su geometría, una11111 'tría que resistió el paso de casi dos

111 II~ s, utilizando un método de trabajo1"1('lulmente acertado' el método . ,. . . aXlOma-

1111, huchdes empezaba por enunciar una1 1 de verdades que le parecían eviden-

Los Elementos de Euclides son sin dudael libro científico más traducido y divulgado

de la historia: en esta página, el teoremade Pitágoras en árabe (izquierda),

chino (derecha) y griego (abajo), y en la otra,en latín (arriba) y enfrancés (abajo).

•

H

por .S,í mism~s y que aceptaba sin de-tracíon previa, Por ejemplo, aceptabapor dos puntos pasa siempre una rec-que dos rectas no paralelas se cortan

pre en un solo punto. Una vez acepta-stos presupuestos básicos, las solasdel razonamiento le proporcionaban

I~ demás. A partir de los enunciadosltivos, los axiomas, se iban encade-

una tras otra las deducciones que sendían de ellos; eran los teoremas. Yir de los teoremas surgían cada vezoremas. La situación recordaba elde las rama.s d~ un árbol, o, paratos, de varios arboles; a partir de

troncos primigenio s, los axiomasn desgajando más y más ramas:

49

En estas páginas se muestra cómo los axiomas (A" A2' A:J son a modo de troncosde árboles de los que brotan ramas, los teoremas (T" T). Cuando un teorema

se deduce de otros, le llegan flechas procedentes de éstos, y habrá flechas deida y vuelta en caso de que dos teoremas sean equivalentes, es decir, cuando

so impliquen mutuamente. Es posible también que un teorema resulte equivalentea algún axioma; entonces, éste puede ser remplazado por aquél. Así, en cierto

sentido, puede decirse que la elección de los axiomas es arbitraria.

mi ma rama puede estar conectadavarias. Ello significa que el teorema

lliz do por la rama se deduce de lost'(llr0l1n08 qu llegan hasta ella.

también ramas "de ida y vuelta"orr sponderán a teoremas equivalen-

d ir, a enunciados que con dis-p labras, expresen la misma verdad.

I supueato, la elección de los axiomasn i to sentido arbitraria; puede par-d un cierto conjunto de enunciados o

t () onjunto distinto. Lo único impor-l 11 que, aunque sea a partir de tron-

Ii tintos, y en posición posiblemente

o

también distinta, aparezcan precisamentelas mismas ramas. Quizá, 10 que antes 1'11

una rama (un teorema), ahora sea un trOI1co (un axioma), y viceversa. Lo que en verdad importa es que se respeten las reglndeductivas y se mantenga el entramadototal en toda su complejidad.

El método de trabajo de la matemátirmoderna es muy semejante al de Euclidc I

sólo que más perfecto y acabado. SU) 011gamos que queremos edificar una teorímatemática, por ejemplo la teoría de 011juntos. Empezaremos por definir unarie de axiomas que nos aclaren qué enu 11

11 por conjunto y qué reglas de juegotarán permitidas con esos con-luego nos pondremos a deducir de

con las reglas de juego, y éstatra teoría de conjuntos. Eligiendo,as c~n cuidado no hay que temer

lmomIas; precisamente, los axio-nsarán de manera que las anti-

puedan aparecer. Esta es launa teoría formalizada frenteintuitiva, como la de Cantor.

l que un concepto de conjuntomo el de "un saco lleno de ele-podía llevarnos lejos. A partir

~e ahora, entenderemos por conjuntoaq~e~o que satisface los axiomas de la

teona y pensaremos tal .es axiomas demanera que no puedan surgir antinomias.. Todas las teorías axiomáticas de con-Juntos, como la de Zermelo-Fraenkel o lade, Von Neumann-Bernays, tienen en co-~un el renunciar a la concepción intui-trva de que cualquier propiedad de un objetoex~resada en el lenguaje corriente otorgueentIda~ o carta de naturaleza al conjuntode obJet~s que satisfagan esa propiedad.Con propiedades como "tener el pelo rubio"esta concesión intuitiva no ofrece peli-

51

'1"",/ /" primeras axiomatizaciones de la teoría de conjuntos'" /",/ X"rlllI'[o-Fraenkel, enunciada en 1908 Y perfeccionada en 192

2.

1 lit 11,,,,10 1'011 ella, entendemos por conjunto aquello que verifica tales" 1"",,, , prl'Scil/C[ilmdopor completo de las ideas intuitivas que hubiéramos"",1 '/0 ,,/1'III'r COIIanterioridad. La versión que aquí se da de ella", I",plificm[a para hacer inteligible al no especialista una formulación

ti iN1,,,, 1 "I/Id/O más complicada (el símbolo E significa "pertenece a").

onJuntos son iguales si y solo si poseen los mismos elementos.

un conjunto sin elementos, 0, llamado vacío.

A y B son conjuntos, {A. B} es un conjunto.unl6n de un conjunto de conjuntos es un conjunto.I t por lo menos un conjunto X tal que 0 E X Y tal que si A E X, A U {A} EX.r toda relación unívoca R Y todo conjunto X, existe el conjunto Y formado por los

I mentas de X que satisfacen R.O un conjunto, existe el conjunto de todas sus partes.

do un conjunto de conjuntos es posible elegir un elemento de cada uno de ellos.

NIngún conjunto es elemento de sí mismo.

Axiomas de la teoría de conjuntos

) I pu '11 su conjunto de satisfactibili-1 , H decir, el conjunto de objetos que

ti f -en esa condición, es simplemente\ 'Ilnjunlo de quienes poseen el pelo rubio.

u 'un propiedades como "no ser ele-nto de si mismo", la cosa cambia. Sujunto de satisfactibilidad es el con-to de los conjuntos normales y, caso

, ptar su existencia, la antinomia deI u H \1 es cosa hecha. Por lo tanto, todas\11 l orías axiomáticas toman la precauciónd 1111 gurarse que sus axiomas inhiben la

xilll ncia de conjuntos de satisfactibili-dad arbitrarios. Sólo permiten la exis-1 n in a los conjuntos "buenos"; por ejem-plo, ,1 "conjunto de todos los conjuntos"dIque hablaba Cantor, no es ningún con-junto, ya que, de acuerdo con los axiomas,no existe.

52

El modo de "hacer matemáticas" consis-tente en partir de unos axiomas más o me-nos evidentes e ir deduciendo teoremas apartir de ellos mediante el uso de un con-junto de reglas de deducción o inferencia,también postuladas por adelantado, seasemeja mucho a un juego. A un juego ló-gico, pero juego al fin y al cabo. Jugar alajedrez es mucho más sencillo, pero nparece una actividad esencialmente di-ferente. Lo único que se le pide a estejuego lógico es que no nos lleve a contra-dicciones, es decir, que no podamos probara la vez, a partir de los axiomas, un teorema y su negación. Esta postura filosófica frente al quehacer matemático, interpretándolo como un juego simbólicomás o menos complejo, es lo que se hndado en llamar formalismo.

La axiomática no se aplica sólo a lateoría de conjuntos, sino a todas las teo-rías. matemáticas. Todas ellas están for-mallza~as (es decir, estructuradas en axio-mas, formulas y reglas de inferencia entrefórmulas) o lo estarán en fecha próximatan pronto como los matemáticos encuen~tr~n ~l. tiempo necesario para ello. La, xiomatica es un método seguro de traba-JO, fructífero, y que ha alcanzado un desa-rollo i~presionante, pero que en ningún

so esta exento de dificultades ..Tomemos, por ejemplo, el caso delloma. de e!ección. Este aparentementefensivo axioma, introducido por Zerme-~1~71-.1953) establece un hecho casi

VIal.: afirma que en una colección ar-ana de conjuntos es posible elegir un

mento de cada uno de ellos. Por su-to que si se tienen, pongamos por, 53 conjuntos, la cosa no ofrece duda:

t c?n "introducir la mano" en cada unopenr la operación 53 veces. Pero en el, n que la colección de conjuntos seatta, la elección de un elemento de cada

mpieza por ser físicamente imposi-intelectualmente, a veces parece ra-

1 y a veces no.paradoja de Banach y Tarski es unnte ejemplo de 10 que puede llegarsear aceptando el axioma de elección.uí su enunciado: Se toma una esfe-pacta, ¿ es posible cortarla o divi-

. David Hilbertfue el creadordel formalismo y una de las figuras fundamentales

en la génesis de la matemática actual.

dirla en pedazos de alguna manera tal queal volver a pegarlos -de modo distintoc1ar~ ~st~- resulten, no una, sino dos esfe~~as idénticas en tamaño a la de partida eIgualmente compactas?

La casi inconcebible respuesta es sí.Esto fue probado por Banach y Tarski cé-lebres matemáticos polacos, en 1924: Es

53

h probado posteriormente quedividir la esfera inicial en cinco

OIlda.lol. 1or desgracia la prueba del teo-in luye la receta mecánica con la

liz r tan asombrosa operación; elr alizarla depende del axioma de

, ircunstancia que deja muy pocoio a la posibilidad de que nadie

~ f 'ctuarla jamás. Y es que el suso-h xioma se limita a decir que puedeI un elemento, pero se guarda muy'hu d decimos cómo. Así pues, puedeu r la operación Banach- Tarski; sin

go, no se nos dice cómo, la maneratu rla.

specialistas del álgebra lineal sed 1 axioma de elección para probar

lodo espacio vectorial posee una108 especialistas en álgebra conmu-

valen de él para probar que todo1 posee un ideal maximal. Los espe-

1 l s n topología prueban con su auxi-qu todo filtro posee un ultraftltro.

no viene al caso el significado de lasras "base:', "ideal" o "ultraftltro";

onviene remarcar que la existenciatal s entes matemáticos es algo muy

Io '0 vidente. De hecho, el axioma del ' i6n s610 nos asegura que tales en-

l xisten, dándonos una tranquilidad que11 d agradecer, porque sin ellos gran par-

l d la matemática desaparecería. Pero elxioma no nos enseña a construir ni una

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base, ni un ideal ni un ultrafiltro. Simple-mente nos dice que existen.

El intuicionismo

Frente a la aceptación demasiado ale-gre de los axiomas y, en general, de pro-cedimientos de demostración Y cálculo quese limitan a decir que "un objeto x existeo es calculable", pero no dicen de un modoexplícito cómo encontrarlo, se alzaron aprincipios de siglo los matemáticos in-tuicionistas (Brouwer, n. en 1881; Weyl,1885-1955; Lebesgue, 1875-1941, etc.).Su credo, difícil de explicar brevemente,constituye una posición filosófica frenteal problema de la verdad matemática yde su elaboración: los intuicionistas sóloaceptan aquellos objetos matemáticos quepueden construir de un modo efectivo,por lo que, a causa de esta -y otras-limi-taciones, la matemática intuicionista ampu-ta a la tradicional mucho de su contenido.

Por otro lado, su particular modo de de-finir las cosas lleva a la matemática intui-cionista a formular enunciados como el de«toda función real es continua», que enlenguaje intuicionista son ciertos, peroen el lenguaje tradicional son absurdos. Di-gamos por último que los intuicionistasson minoría en el mundo matemático. Supostura es cientifícamente irreprochable,nadie duda de que es saludable, y posi-

Axiomas de Peano

• O es un número natural.

• Todo número natural tiene un siguiente.Dos números naturales con igual siguiente son a su vez iguales.O no es siguiente de ningún número natural.Un conjunto X que contenga a O y que si contie . . .todos los números naturales. ne a n contiene a su siguiente, contiene a

blemente en un futuro será muy útil p. ' erae.s demasiado restrictiva, demasiado aseé-tica .para ganar adeptos. Los matemáticosprefIeren la libertad dudosa y el riesgomherente a aceptar cualquier axioma contal ~ue les enseñe algo nuevo, que la se-guridad confortable del intuicionismo. En~to, los mate~áticos contemporáneos ac-

tuan con un CIerto paralelismo a como 10hacen los físic~s, a quienes no les importa.la extravagancia de las hipótesis con talque den cuenta satisfactoriamente de loshechos. A los matemáticos no les impor-

~ceptar axiomas siempre que produzcangun resultado, siempre que sirvan parago (en realidad, para hacer más matemá-as).~ olviend? al marco confortable del for-

ahsmo, aun no lo hemos dicho todo. Sa-~os ya que las teorías matemáticas seifIcan. a base de axiomas y de reglas de

rencia a partir de estos axiomas. Sa-os también que los objetos matemá-

ticos de cada teoría son aquellos que veri-fican los axiomas de esa teoría, y no aque-llos otros que el engañoso sentido comúnnos pueda hacer creer (recuérdese el casode "el conjunto de todos los conjuntos"). Yparece razonable suponer también que unteorema será verdadero si, y sólo si, se de-duce de los axiomas y con las reglas de in-ferencia de la teoría.

En este último punto vuelven a aparecerproblemas.

Los límites del conocimientomatemático

To~e~~s un conjunto de axiomas dela antmenca elemental, por ejemplo elde. los axiomas de Peana (véase la tablaadJunt~). Definamos adecuadamente lasoperaCIones suma y producto. A partirde ahí, ~odemos llegar a probar una curio-sa pr~pIedad de los números naturales, yaconocida por los griegos: la suma de los n

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más, puede comprobarse para todo n, ysiempre es cierta. Nunca falla. Es unafórmula verdadera, pero no demostrable, amenos que A5 se incorpore a los axiomas.

El conjunto de axiomas amputado de A5se dice que es incompleto, pues no todafórmula. "legal" es susceptible de ser pro-bada. Cuando toda fórmula verdadera pue-de ser probada, el sistema de axiomas sellama completo.

Veamos ahora lo que se entiende poraxiomas independientes. Un ejemplo his-tórico es lo mejor en este caso, sobre todosi el axioma es tan conocido como éste:"Por un punto exterior a una recta pasauna, y una sola, paralela a ella." Euclidesy centenares de sus sucesores se esforza-ron estérilmente en intentar demostrarloa partir del resto de los axiomas de la

Gran número de los sorprendentes grabados (izquierda) de M. G. Escherse basan en la magistral explotación de ilusiones geométricas.Todas ellas residen, en último extremo, en la violaciónsolapada de alguno de los axiomas euclídeos, preferentementede los de incidencia, perpendicularidad y paralelismo.

"La matemática pura consiste enteramente en afirmaciones tales como la deque sital o cual proposición es verdadera para cualquier cosa, entonces tal otraproposición es verdadera para dicha cosa. Lo esencial es no discutir si la pri-mera proposición es realmente verdadera y no mencionar cuál es esa cosa cual-quiera para la que se supone serlo (... J. Si nuestra hipátesis se refiere a unacosa cualquiera, y no a alguna o varias cosas particulares, entonces nuestradeducción forma parte de la matemática. Y así puede definirse la matemáticacomo aquel campo en el que no sabemos nunca de qué estamos hablando ni silo que decimos es verdad."Espero que la gente que se sintió embarazada al empezar las matemáticas seentirá confortada por esta definición y reconocerá que es exacta. "

primeros números impares es n2• Llame-mos T a este enunciado:

T: 1 + 3 + 5 + ... + (2n -1) = n2

Si deseamos probar T, es seguro que de-bemos apoyamos para ello en A5' el llama-do axioma de inducción, que reza así:

A5: Un conjunto X que contiene al nú-mero O y que si contiene al n contienetambién a su siguiente, n + 1, contiene atodos los números naturales.

No hay escapatoria posible, pues elteorema T está en una rama que parte deltronco A5: se necesita A5 para probar T.

or lo tanto, si del conjunto de axiomase la aritmética se elimina el A5' del con-unto de fórmulas válidas en aritmética ha-

á que eliminar T. Pero T es una fórmulaue no carece en absoluto de sentido; es

B. RUSSELL

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La variación de un solo axioma (abajo) proporciona dos geometrías:la euclídea y la hiperbólica, compatibles con el teorema de las paralelas,

y una tercera, la elíptica o de Riemann, incompatible con ese teorema.Tales geometrías "aberrantes" fueron utilizadas por primera vez

por Einstein (derecha) e integradas desde entoncesen los cálculos astronómicos. Derecha, abajo,el telescopio de Crimea, el mayor del mundo.

xloma de Euclides axioma d'e ·Riemannaxioma de lobachevsky

Por x no pasa ningunarecta paralela a A.

Por x pasa más deuna recta paralela a A

Por x pasa a lo másuna recta B paralela a A

•x

geometría. A todos les parecía que no eraun axioma, sino. un teorema, deduciblepor tanto de los axiomas. Pero todos es-taban equivocados, tal como demostraronGauss (1777-1855), Bolyai (1802-1860),Lobachevski (1792-1856) Y Riemann(1826-1866). Era un axioma, y no podíaprobarse a partir de los otros axiomas.Este hecho se describe matemáticamentediciendo que el axioma de las paralelas esindependiente del resto.

El procedimiento de prueba que usaronGauss, Bolyai y Lobachevski es muy ins-

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tructivo: supusieron que el axioma no eracierto y postularon que por un punto ex-terior pasa más de una paralela. Riemannsupuso también que no era cierto, pero élse inclinó por la hipótesis de que no pa-sara ninguna paralela. Ambas suposicio-nes eran en aquellos tiempos peores queun sacrilegio; sin embargo, y de modo extraño, aceptándolas no se llegaba 11

ninguna contradicción. Sencillamente, HI'

obtenían dos geometrías (la hiperbólica y 111

elíptica) distintas de la euclídea, pero sincontradicciones. Todavía más: no tardó

en demostrarse que si alguna de las dosnuevas geometrías llegara a presentar unacontradicción, también sería automáti-camente contradictoria la geometría deEuclides. Lás geometrías no euclídeaseran, por lo tanto, consistentes. Consis-tericia significa, pues, que no hay contra-dicciones. Con más precisión, un sistemade axiomas es consistente cuando no esposible probar a la vez un teorema y su.contrario.

La consistencia de las geometrías nouclídeas es relativa, pues reposa sobre la

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de la geometría euclídea; lo que se probóes que si la geometría no euclídea fuerainconsistente, también lo sería la euclídea.Pero queda por probar realmente que laeuclídea es consistente -.Bien es verdad quellevamos 2.000 años probando teoremasgeométrico s sin que jamás hayamos po-dido probar, a la vez, un teorema y su con-trario. Es tranquilizador, aunque no defi-nitivo; cualquier día puede aparecer un ge-nio matemático desconocido y probar unacontradicción de ese tipo.

El sueño de Fausto de todo matemático esprobar que su ciencia está libre. de contra-dicciones. que resiste todos los asaltos. Elsueño .del matemático es probar que suciencia es consistente. Y no sólo eso; susueño incluye el que sea completa, es de-cir, que todo teorema que haya sido opueda ser pensado sea susceptible de serprobado o refutado. Por desgracia, este am-bicioso programa, --el programa de Hil-bert- es sólo un sueño. Un sueño del quenos despertó cruelmente en 1931 KurtGodel (n. 1906).

El checoamericano Kurt Godel, proba-blemente el lógico más famoso del siglo, yquizá de la historia, nos ha enseñado mu-chas cosas y ha resuelto muchos problemasgrandes. Expongamos alguno de ellos. En _1900, David Hilbert (1862-1943) pro-puso 23 problemas en el Congreso Inter-nacional de Matemáticas de París; to-dos ellos parecían entonces irresolubles yse suponía que el encontrar su solución re-presentaría avances considerables en lasdistintas ramas de la matemática. Desdeentonces han sido estudiados a fondo, ybuen número de ellos han sido y¡t resuel-tos. El problema que llevaba el número unode la lista, llamado "hipótesis especial delcontinuo", ha sido uno de los atacadoscon éxito por GOdel.

Ya se ha visto anteriormente que elconjunto de los números naturales, N, po-see menos elementos que el conjunto delos números reales, R. Hilbert lanzó la hi-pótesis de que no era posible hallar ningúnconjunto -infinito, por supuesto- con máselementos que N, pero con menos que R.

"En lugar alguno mejor que en el análisis combinatorio puede verse la falaciacontenida en la bien conocida sentencia de Kronecker: «Dios creó los númerosnaturales; lo demás es obra nuestra». Una descripción más acertada sería:«Dios creó el infinito, y el hombre, incapaz de comprenderlo, tuvo que inventarlos conjuntos finitos». "

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G. C. ROTA

Lo de "hipótesis del continuo" se debe aque el conjunto R acostumbra a desig-narse genencamente como "el continuo".~a hipó.tesi~ de Hilbert no es, a primeraVista, m e~ldente ni inevidente: simple-men~~, es matacable por cualquier parte.

GOdel, en 1938, demostró que si agrega-mos este enunciado a la teoría de conjun-tos como un axioma más, no ocurre nadade particular. En concreto, probó que silos ~x~om~s de la teoría de conjuntos másla hlpotesls del continuo fueran inconsis-tentes, la teoría de conjuntos sola tambiénlo. sería. Por si fuera poco, probó que lo

ismo sucedía con el hasta entonces mis-er~oso axio~a de elección. Ni la hipó-SIS del contmuo ni el axioma de elección

uede demostrarse que sean falsos. En963, Paul Cohen (n. 1934) dio el defi-tivo carpetazo a la cuestión probandoe si se suponía que fuesen falsos, tampocollegaba a nmguna contradicción. Por loto, ni puede probarse que sean vá-

os ni que sean falsos. Se trata, de dosvos axiomas z·ndependz"entes del resto.

O puede hacer con ellos lo que quiera,nar con ellos o sin ellos -o incluso

tra ellos-o Nunca incurrirá en contra-i6n, aunque, eso sí, edificará matemáti-istintas.

on todo y ser mucho, esto es sólo una, la menos conocida,· de lo llevado' apor Godel. El resultado más célebre

Kurt Godel no sólo ha sido I 1ft

. brillante lógico de la ¡,¡ 1" l.sino el que más desconcierto ha .fllm",,,,/,,

Sus teoremas establecen (1/11 ",1, ,e insalvables limitaciones (11 /l1It1 ,1"

de la matemática y del pensamiento 11/1",,,,,,,

de Güdel es el que demuestra la imposibi-lidad del sueño de Fausto. Godel probóqlJ.e. ~i..se toma un conjunto de axiomaslo suficientemente amplio -que contengalos axiomas de la aritmética como míni-mo- no es posible probar, con las armas dededucción del sistema, que tal conjuntosea a la vez consistente y completo. Esdecir, que en caso de ser completo conten-dría contradicciones. Y en caso de no con-tener contradicciones -es decir, caso deser consistente- habría siempre teoremasverdaderos que nunca podríamos de-'mostrar.

Curiosa situación, que nos condena aaceptar que siempre habrá teoremas cuyacerteza podremos comprobar para todos loscasos particulares posibles, pero que nuncapodremos demostrarlos.

Existe, claro está, una manera que po-dríamos calificar de fraudulenta de probaruno de estos teoremas-fantasmas: puestoque es un teorema verdadero ¡puede tomár-sele por axioma! Ampliamos el sistema de

axiomas con uno más -precisamente elteorema-, y ya está. Ya hemos demos-trado el teorema, puesto que es UIÍ axiomay los axiomas son obviamente nenucib\~de sí mismos. Pero el procedimiento fa-lla, como era de temer, pues volvemos a es-tar como al principio: habrá otro teoremaverdadero e indecidible en el nuevo sis-tema axiomático.

-Oodelxpues, ha mostrado en cierto modolas limitaciones de la matemática. Eno puedeJprobarlo todo; en particular, DO

puede probar su propia consistencia.Tras tan importantes descubrimientos

que han hecho de Godel una figura casimítica para los matemáticos, podría pen-sarse que su nombre fuera ampliamenteconocido. Pero la matemática no es unaciencia popular; según testimonio de Bour-baki, cierto profesor universitario esta-dounidense afirmó en el curso deconferencia -y en presencia del propiGodel- que nada nuevo se había vistológica desde los tiempos de Aristótele