1

ISMAEL HERRERA REVILLA PREMIO NACIONAL DE CIENCIAS

INVESTIGADOR NACIONAL DE EXCELENCIAInstituto de Geofísica, UNAM

LA MODELACIÓN MATEMÁTICA Y

COMPUTACIONAL EN LA CRISIS

PETROLERA DE MÉXICO

2

A.A.

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓN N

3

MÉXICO EN CRISIS

MMééxico se encuentra en una encrucijada debido a la xico se encuentra en una encrucijada debido a la declinacideclinacióón de su produccin de su produccióón petrolera. La discusin petrolera. La discusióón que n que este problema ha generado ha sido abundante, pero los este problema ha generado ha sido abundante, pero los

aspectos taspectos téécnicos no se han tocado con amplitud suficiente. cnicos no se han tocado con amplitud suficiente. Un punto del que no hay conciencia plena es que estas Un punto del que no hay conciencia plena es que estas

dificultades son consecuencias, en buena medida, de nuestro dificultades son consecuencias, en buena medida, de nuestro subdesarrollo tecnolsubdesarrollo tecnolóógico. Otro gallo nos cantargico. Otro gallo nos cantaríía si en a si en

MMééxico, en todos sus niveles, se reconociera que vivimos en xico, en todos sus niveles, se reconociera que vivimos en un mundo en el que la ciencia y la tecnologun mundo en el que la ciencia y la tecnologíía son a son

predominantes y que, por lo mismo, no prestarles la atencipredominantes y que, por lo mismo, no prestarles la atencióón n adecuada puede tener consecuencias desastrosas.adecuada puede tener consecuencias desastrosas.

4

UNA COMPARACIÓN

Para que una empresa petrolera mantenga su producciPara que una empresa petrolera mantenga su produccióón n estable necesita reponer sus reservas; es decir, asegurar que estable necesita reponer sus reservas; es decir, asegurar que

estestéén a su disposicin a su disposicióón nuevos voln nuevos volúúmenes equivalentes al menes equivalentes al menos a los volmenos a los volúúmenes que se han extramenes que se han extraíído del subsuelo. Las do del subsuelo. Las compacompañíñías petroleras internacionales, en promedio, reponen as petroleras internacionales, en promedio, reponen

mmáás de lo que extraen y aumentan sus reservas en un volumen s de lo que extraen y aumentan sus reservas en un volumen equivalente al 14% de su producciequivalente al 14% de su produccióón. Las reservas de n. Las reservas de

PEMEX, en cambio, disminuyen a un ritmo equivalente al PEMEX, en cambio, disminuyen a un ritmo equivalente al 75% de su producci75% de su produccióón. n.

5

PRODUCCIPRODUCCIÓÓN SECUNDARIA N SECUNDARIA Y MEJORADA Y MEJORADA

¿¿A quA quéé se debe esto? Cuando un yacimiento petrolero se debe esto? Cuando un yacimiento petrolero despudespuéés de descubierto se explota utilizando exclusivamente s de descubierto se explota utilizando exclusivamente

la tecnologla tecnologíía ma máás elemental, al cabo de su vida s elemental, al cabo de su vida úútil aporta til aporta solamente alrededor del 15% de su contenido. Las solamente alrededor del 15% de su contenido. Las

compacompañíñías internacionales una vez transcurrido este peras internacionales una vez transcurrido este perííodo, odo, al que llaman de al que llaman de producciproduccióón primarian primaria, los explotan con , los explotan con

tecnologtecnologíías mas máás avanzadas, las cuales han venido s avanzadas, las cuales han venido desarrollando desde hace adesarrollando desde hace añños a base de investigarlas os a base de investigarlas

constantemente. A esta forma de explotar a los yacimientos constantemente. A esta forma de explotar a los yacimientos se le llama se le llama producciproduccióón secundaria y terciarian secundaria y terciaria (o (o

recuperacirecuperacióón mejoradan mejorada))

6

CÓMO AMPLIAR LAS RESERVAS

A las empresas petroleras internacionales, los avances A las empresas petroleras internacionales, los avances tecnoltecnolóógicos de la gicos de la producciproduccióón secundaria y terciarian secundaria y terciaria les les aportan el 43% de la tasa de su producciaportan el 43% de la tasa de su produccióón; n; een cambio en n cambio en

PEMEX, la tasa de su producciPEMEX, la tasa de su produccióón que proviene de esa fuente n que proviene de esa fuente es insignificante. Si tomamos en cuenta los grandes es insignificante. Si tomamos en cuenta los grandes yacimientos, incluido el de Cantarel, que Myacimientos, incluido el de Cantarel, que Mééxico ha xico ha

explotado exclusivamente con los mexplotado exclusivamente con los méétodos de la todos de la recuperacirecuperacióón primarian primaria, salta a la vista que las reservas de , salta a la vista que las reservas de PEMEX se ampliarPEMEX se ampliaríían sustancialmente si contara con esas an sustancialmente si contara con esas

tecnologtecnologíías.as.

7

LA MMC ES HERRAMIENTA FUNDAMENTAL DE LA PRODUCCIÓN

DEL PETRÓLEO

De acuerdo con los tratados especializados, la De acuerdo con los tratados especializados, la MMC MMC de de los yacimientos petroleros es herramienta indispensable los yacimientos petroleros es herramienta indispensable

que integra a los conocimientos cientque integra a los conocimientos cientííficos y tecnolficos y tecnolóógicos gicos para aplicar los mpara aplicar los méétodos de todos de producciproduccióón secundaria yn secundaria y

terciariaterciaria..

MMééxico se ha rezagado en el conocimiento y desarrollo xico se ha rezagado en el conocimiento y desarrollo de la de la MMCMMC de los yacimientos petroleros de los yacimientos petroleros

Esta Plática Inaugural está dedicada a dar una visión panorámica de la MMC de la Producción del Petróleo

8

B.B.

LOS PROCESOS DE LA LOS PROCESOS DE LA

PRODUCCIPRODUCCIÓÓN DEL PETRN DEL PETRÓÓLEO LEO

9

¿CÓMO ES UN YACIMIENTO DE PETRÓLEO?

EstEstáá constituido de un material sconstituido de un material sóólido y poroso lido y poroso ((la matrizla matriz), cuyos huecos est), cuyos huecos estáán llenos de fluidos n llenos de fluidos que se separan en tres fases: agua, aceite y gas. que se separan en tres fases: agua, aceite y gas. En la fase agua sEn la fase agua sóólo hay Hlo hay H22O, pero tanto en la O, pero tanto en la

fase de aceite como en la fase de gas hay fase de aceite como en la fase de gas hay muchos hidrocarburos de distinta composicimuchos hidrocarburos de distinta composicióón. n.

10

¿CÓMO SE EXPLOTA UN YACIMIENTO DE PETRÓLEO?

•• PRODUCCIPRODUCCIÓÓN PRIMARIA: Se extrae a N PRIMARIA: Se extrae a travtravéés de pozos utilizando su presis de pozos utilizando su presióón n originaloriginal

•• PRODUCCIPRODUCCIÓÓN SECUNDARIA: Se N SECUNDARIA: Se inyecta agua para desplazar al petrinyecta agua para desplazar al petróóleo leo

•• PRODUCCIPRODUCCIÓÓN TERCIARIA: Se inyecta N TERCIARIA: Se inyecta vapor, aditivos quvapor, aditivos quíímicos, calor, y se hace micos, calor, y se hace combusticombustióón n in situ in situ

11

¿QUÉ PROCESOS HAY QUE MODELAR?

•• PRODUCCIPRODUCCIÓÓN PRIMARIA: El N PRIMARIA: El movimiento una o dos fases movimiento una o dos fases

•• PRODUCCIPRODUCCIÓÓN SECUNDARIA: Al caer la N SECUNDARIA: Al caer la presipresióón parte del petrn parte del petróóleo pasa a ser gas y se leo pasa a ser gas y se tienen tres fases (agua, aceite y gas) tienen tres fases (agua, aceite y gas)

•• TERCIARIA: El movimiento del vapor y los TERCIARIA: El movimiento del vapor y los aditivos quaditivos quíímicos, los cambios de micos, los cambios de composicicomposicióón qun quíímica de las fases. El mica de las fases. El transporte y difusitransporte y difusióón del calor. La n del calor. La combusticombustióón n in situin situ del petrdel petróóleo leo

12

¿QUÉ NOS DA LA MODELACIÓN DE ESTOS PROCESOS?

•• CCóómo se debe desarrollar y producir el mo se debe desarrollar y producir el yacimiento para aumentar su rendimiento yacimiento para aumentar su rendimiento

•• Cual es la estrategia de Cual es la estrategia de producciproduccióón n mejorada mejorada mmáás adecuada y cs adecuada y cóómo debe mo debe implementarse implementarse

•• Cuando el comportamiento observado se Cuando el comportamiento observado se desvdesvíía del esperado, ca del esperado, cóómo corregirlo mo corregirlo

•• CuCuáál serl seráá su vida su vida úútil y su rendimiento total til y su rendimiento total

13

C.C.

MMÉÉTODO UNIFICADO TODO UNIFICADO

PARA PARA

FORMULAR LOS MODELOS DE FORMULAR LOS MODELOS DE

LA PRODUCCILA PRODUCCIÓÓN PETROLERA N PETROLERA

14

LA FLA FÍÍSICA MACROSCSICA MACROSCÓÓPICA PICA

Hay dos grandes ramas de la FHay dos grandes ramas de la Fíísica: sica:

••La FLa Fíísica Microscsica Microscóópica, ypica, y

••La FLa Fíísica Macroscsica Macroscóópica pica

Los yacimientos de petrLos yacimientos de petróóleo pertenecen leo pertenecen

al al áámbito de la Fmbito de la Fíísica Macroscsica Macroscóópica pica

15

LA GRAN DIVERSIDAD DE LOS PROCESOSLA GRAN DIVERSIDAD DE LOS PROCESOS¿¿CCóómo abordarla?mo abordarla?

• El método axiomático es la clave para desarrollar procedimientos efectivos para construir modelos de sistemas muy diversos;

• Para la Física Macroscópica el método axiomático fue desarrollado en la segunda mitad del Siglo XX;

• La formulación axiomática se presenta en nuestros libros: AllenAllen, Herrera y Pinder , Herrera y Pinder ““NumericalNumerical modelingmodeling in in sciencescience andand engineeringengineering””, , JohnJohn WileyWiley, 1988, 1988Herrera y Pinder Herrera y Pinder ““General General principlesprinciples ofofmathematicalmathematical computationalcomputational modelingmodeling””, , JohnJohnWileyWiley, , ToTo be be publishedpublished. .

16

BASE DE LA FORMULACIBASE DE LA FORMULACIÓÓN N

AXIOMAXIOMÁÁTICA DE LOS TICA DE LOS

MODELOS MODELOS

Contabilidad

C I EΔ = −

17

PROPIEDADES EXTENSIVAS E INTENSIVAS

( )B t

( ) ( )( )

,B t

E t x t dxψ= ∫

B∂

“Propiedad extensiva”: Cualquiera que se puede expresar como una integral de volumen

“Propiedad intensiva”: Cualquier extensiva por unidad de volumen; es decir, ψ

18

AXIOMA FUNDAMENTALAXIOMA FUNDAMENTALCONDICICONDICIÓÓN DE BALANCE N DE BALANCE

Al transcurrir el tiempo, las propiedades extensivas solamente varían porque se producen en el interior del sistema o porque entran por la frontera

19

CONDICIÓN DE BALANCE EN TÉRMINOS DE LA PROPIEDAD EXTENSIVA

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

, ,

,

,

B t B t

dE g x t d x x t nd xdt

g x t es la 'generación' de la propiedad extensiva

x t es el vector de 'flujo' de la propiedad extensiva

τ

τ

∂= +∫ ∫ i

20

( )

La "ecuación diferencial de balance" :

gtψ ψ τ∂ +∇ = ∇ +∂

i iv

CONDICIÓN DE BALANCE EN TÉRMINOS DE LA PROPIEDAD INTENSIVA

21

MMÉÉTODO UNIFICADO PARA FORMULAR LOS TODO UNIFICADO PARA FORMULAR LOS MODELOS DE LOS SISTEMAS DE VARIAS FASESMODELOS DE LOS SISTEMAS DE VARIAS FASES

• Se identifica una familia de propiedades extensivas;• El modelo básico del sistema se obtiene al expresar la

condición de balance de cada una de ellas en términos de las propiedades intensivas correspondientes y está constituido por el sistema de ecuaciones diferencial parciales de balance que así se obtiene;

• Las propiedades asociadas a una misma fase se mueven con la misma velocidad; y

• El conocimiento científico del sistema se incorpora a través de las “Leyes Constitutivas”

22

LAS LEYES CONSTITUTIVASLAS LEYES CONSTITUTIVAS

Son las relaciones que incorporan los Son las relaciones que incorporan los

conocimientos cientconocimientos cientííficos y ficos y

tecnoltecnolóógicos disponibles acerca del gicos disponibles acerca del

sistema de que se trate sistema de que se trate

23

MODELO UNIFICADO DE LOS SISTEMAS MULTIFÁSICOS

( )

1,...,

gt

m

αα αα αψ ψ τ

α

∂ +∇ = ∇ +∂

=

i iv

24

D.D.

RECUPERACIRECUPERACIÓÓN SECUNDARIA: N SECUNDARIA:

EL MODELO DE EL MODELO DE ““PETRPETRÓÓLEO NEGROLEO NEGRO””

25

CARACTERÍSTICAS GENERALES

•• Tiene tres fases: agua, aceite y gas Tiene tres fases: agua, aceite y gas •• En la fase aceite hay dos componentes: aceite En la fase aceite hay dos componentes: aceite no no

volvoláátiltil y y gas disueltogas disuelto•• En cada una de las otras dos fases hay una sola En cada una de las otras dos fases hay una sola

componente componente •• Entre las fases de aceite y gas hay intercambio: el Entre las fases de aceite y gas hay intercambio: el

gas disuelto puede pasar a ser gas gas disuelto puede pasar a ser gas •• No hay difusiNo hay difusióón n

26

FAMILIA DE PROPIEDADES EXTENSIVAS

•• La masa del La masa del aguaagua•• La masa del aceite La masa del aceite no volno voláátil til (fase aceite)(fase aceite)•• La masa del La masa del gas disueltogas disuelto (fase aceite)(fase aceite)•• La masa del La masa del gas gas

27

FAMILIA DE PROPIEDADES EXTENSIVASSU EXPRESIÓN MATEMÁTICA

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

ww wB t

oo oB t

dgo dgB t

gg gB t

M t S dx

M t S dx

M t S dx

M t S dx

φ ρ

φ ρ

φ ρ

φ ρ

⎧ =⎪

=⎪⎪⎨ =⎪⎪ =⎪⎩

∫∫∫∫

28

FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS

ww w

oo o

dgo dg

gg g

S

S

S

S

ψ φ ρ

ψ φ ρ

ψ φ ρ

ψ φ ρ

⎧ =⎪⎪ =⎪⎨

=⎪⎪⎪ =⎩

29

ECUACIONES DE BALANCE GLOBAL

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

ww

B t

oo

B t

dgdg o

gB t

gg g

oB t

dM t g dxdt

dM t g dxdt

dM t g g dxdt

dM t g g dxdt

⎧=⎪

⎪⎪ =⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎪⎪ = +⎪⎩

∫

∫

∫

∫

30

EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE

( )( )( )

( ) 1 y 0

w ww ww w

o oo oo o

o dg oo S oo dg g

gg g g gg g o

g ow o g o g

S S gt

S S gt

S R S g gt

SS g g

t

S S S g g

φ ρ φ ρφ ρ φ ρφ ρ φ ρφ ρ

φ ρ

∂⎧ +∇ =⎪ ∂⎪∂ +∇ =⎪⎪ ∂⎨∂⎪ +∇ = +∂⎪∂⎪ +∇ = +⎪ ∂⎩

+ + = + =

i

i

i

i

v

v

v

v

31

VELOCIDAD DE DARCY PARA FLUJO MULTIFÁSICO

,ll lS l w,o,gφ= =u v

32

EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO CON VELOCIDADES DE DARCY

( )

( )

( )( )

1 y 0

ww www

oo ooo

dg oo S oodg g

g g g ggg o

g ow o g o g

S gt

S gt

S R g gt

Sg g

t

S S S g g

φ ρ ρφ ρ ρφ ρ ρφ ρ

ρ

∂⎧ +∇ =⎪ ∂⎪∂ +∇ =⎪⎪ ∂⎨∂⎪ +∇ = +∂⎪∂⎪ +∇ = +⎪ ∂⎩

+ + = + =

i

i

i

i

u

u

u

u

33

EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO

( )

( )( )

( ) 1

ww www

oo ooo

g g o S o

g og og o S S

w o g

S gt

S gtS S R

tR g R g

S S S

φ ρ ρφ ρ ρ

φ ρ ρ

ρ ρ

∂⎧ +∇ =⎪ ∂⎪∂ +∇ =⎪⎪ ∂⎨∂ +⎪ +⎪ ∂⎪∇ + = +⎪⎩

+ + =

i

i

i

u

u

u u

34

LEY DE DARCY Y SOLUBILIDAD

( ) ,

ll l l

l

dg S o

Ley de D'Arcy : Flujo multifásicok

u p z l w,o,g

Solubilidad :

R

γμ

ρ ρ

= − ∇ + ∇ =

=

35

ECUACIONES CONSTITUTIVAS

••Para que el sistema de ecuaciones del Para que el sistema de ecuaciones del petrpetróóleo negro leo negro tenga la capacidad de predecir el comportamiento del tenga la capacidad de predecir el comportamiento del yacimiento, se necesita conocer cierto nyacimiento, se necesita conocer cierto núúmero de mero de ecuaciones constitutivasecuaciones constitutivas. Este n. Este núúmero es igual al mero es igual al nnúúmero de incmero de incóógnitas menos las gnitas menos las trestres ecuaciones ecuaciones diferenciales del modelo bdiferenciales del modelo báásico. sico. ••Dichas relaciones representan al Dichas relaciones representan al conocimiento conocimiento cientcientíífico y tecnolfico y tecnolóógicogico que es necesario incorporar en que es necesario incorporar en el el modelo matemmodelo matemáático y computacionaltico y computacional. Por ejemplo, . Por ejemplo, la diferencia la diferencia ppoo--ppww se debe a la se debe a la ‘‘presipresióón capilarn capilar’’ cuyo cuyo valor se puede establecer con valor se puede establecer con mméétodostodos teteóóricosricos o o empempííricosricos

36

E.E.

RECUPERACIRECUPERACIÓÓN TERCIARIA: N TERCIARIA:

LOS MODELOS COMPOSICIONALES LOS MODELOS COMPOSICIONALES

Y LOS DE PROCESOS TY LOS DE PROCESOS TÉÉRMICOS RMICOS

37

EL MODELO EL MODELO ““COMPOSICIONALCOMPOSICIONAL””

38

CARACTERÍSTICAS GENERALES

•• Tiene tres fases: agua, aceite y gas; Tiene tres fases: agua, aceite y gas; •• Tanto en la fase aceite como en la de gas; Tanto en la fase aceite como en la de gas;

hay hay NNCC componentes componentes •• El sistema estEl sistema estáá en en equilibrio termodinequilibrio termodináámico mico

estable; y estable; y •• Entre las fases de aceite y gas hay Entre las fases de aceite y gas hay

intercambio de masa intercambio de masa

39

FAMILIA DE PROPIEDADES EXTENSIVAS

•• La masa del La masa del aguaagua•• Las masas de NLas masas de NCC componentes componentes en la en la

fasefase aceite aceite •• Las masas de NLas masas de NCC componentes componentes en la en la

fasefase gas gas

40

FAMILIA DE PROPIEDADES EXTENSIVASSU EXPRESIÓN MATEMÁTICA

( )( )

( )( )

( )( )

,

ww wB t

ioo io CB t

igg igB t

M t S dx

M t S dx i = 1,...,N

M t S dx

φ ρ

φ ρ

φ ρ

⎫= ⎪⎪= ⎬⎪= ⎪⎭

∫∫∫

41

FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS

,

ww w

ioo io C

igg ig

S

S i = 1,...,N

S

ψ φ ρ

ψ φ ρ

ψ φ ρ

⎫=⎪⎪= ⎬⎪⎪= ⎭

42

ECUACIONES DE BALANCE GLOBAL

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

,

ww

B t

ioio io

ig CB t

igig ig

ioB t

dM t g dxdt

dM t g g dx i = 1,...,Ndt

dM t g g dxdt

⎫= ⎪

⎪⎪= + ⎬⎪⎪

= + ⎪⎭

∫

∫

∫

43

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE

( )

( )

( ),

0

1

ww www

io ioo iooio ig

g ig ig iggig io

ig ioio ig

w o g

S gt

S g g tS

g gt

g g

S S S

φ ρ ρφ ρ ρφ ρ

ρ

∂ ⎫+∇ = ⎪∂ ⎪∂ +∇ = + ⎪∂ ⎬

∂ ⎪+∇ = + ⎪∂ ⎪+ = ⎭

+ + =

i

i

i

u

u

u

44

UNA ECUACIÓN CONSTITUTIVA BÁSICA

DETERMINA INTERCAMBIO ENTRE LAS FASES

La condición de equilibrio termodinámico estable

( ) ( )1 1, ,..., , ,..., ,C Cio o o N o ig g g N g

C

f p f p

i = 1,...,N

χ χ χ χ=

45

DENSIDAD MOLAR, DENSIDAD MOLAR DE UNA FASE Y FRACCIÓN MOLAR

1

,

C

w w w

io io i C

ig ig i

Ni

i ii

WW i = 1,...,NW

and αα α α

α

ξ ρξ ρξ ρ

ξξ ξ χ ξ=

⎫= ⎪= ⎬= ⎪⎭

= =∑

46

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE

( )( ) ( )

( ) ( ),

0

1

www w

w ww

o io ioio o ioio ig i

Cgig g ig ig

ig io i

ig ioio ig

w o g

S g qWtS g g W i = 1,...,NtS

g g Wt

g g

S S S

φξ ξφξ ρ ξφξ

ξ

∂ ⎫+∇ = ≡ ⎪∂ ⎪∂ +∇ = + ⎪∂ ⎬

∂ ⎪+∇ = + ⎪∂ ⎪+ = ⎭

+ + =

i

i

i

u

u

u

47

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE MOLAR

( )( )

( )

0 1

ww ww w

io o o ig g g

o gio o ig g io o ig g

Cig ioio ig w o g

S qt

S St

q q , i = 1,...,N

g g y S S S

Aquí q qα α α

φξ ξ

φ χ ξ χ ξ

χ ξ χ ξ χ χ

ξ

∂ ⎫+∇ = ⎪∂ ⎪∂ + ⎪+⎪∂⎪∇ + = +⎪⎬

+ = + + = ⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎭

i

i

u

u u

48

LOS MODELOS TLOS MODELOS TÉÉRMICOS RMICOS

49

CARACTERÍSTICAS GENERALES

•• Tiene tres fases: agua, aceite y gas Tiene tres fases: agua, aceite y gas •• Tanto en la fase aceite como en la de gas; hay Tanto en la fase aceite como en la de gas; hay NNCC

componentes componentes •• Hay fuentes de energHay fuentes de energíía y cambios de temperatura a y cambios de temperatura •• El sistema estEl sistema estáá en en equilibrio termodinequilibrio termodináámico mico

estable estable •• Entre las fases de aceite y gas hay intercambio de Entre las fases de aceite y gas hay intercambio de

masa masa •• Entre todas las fases, incluida la sEntre todas las fases, incluida la sóólida, hay lida, hay

intercambio de energintercambio de energíía a

50

FAMILIA DE PROPIEDADES EXTENSIVAS

•• La masa del La masa del aguaagua•• Las masas de NLas masas de NCC componentes componentes en la faseen la fase

aceite aceite •• Las masas de NLas masas de NCC componentes componentes en la faseen la fase

gas gas •• La energLa energíía interna de cada una de las fases a interna de cada una de las fases

51

PROPIEDADES EXTENSIVASDE LA ENERGÍA INTERNA

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

,

1

ww w wB t

oo o oB t

Cgg g gB t

ss s sB t

E t S U dx

E t S U dx i = 1,...,N

E t S U dx

E t S U dx

φρ

φρ

φρ

φ ρ

⎫=⎪

= ⎪⎪⎬= ⎪⎪= − ⎪⎭

∫∫∫∫

52

PROPIEDADES INTENSIVAS

( )1

ww w w

oo o o

gg g g

ss s s

S U

S U

S U

S U

ψ φρ

ψ φρ

ψ φρ

ψ φ ρ

⎫=⎪⎪= ⎪⎬

= ⎪⎪⎪= − ⎭

53

ECUACIÓN DIFERENCIAL BALANCE DE ENERGÍA

( ) ( )1g g

s s s T c Lw w

S U S U U k T g gt αα α α α α

α αφ ρ φ ρ ρ

= =

⎛ ⎞∂ + − +∇ −∇ ∇ = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∑ ∑i iu

54

F.F.

MMÉÉTODOS NUMTODOS NUMÉÉRICOS Y RICOS Y

COMPUTACIONALES COMPUTACIONALES

55

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

• IMPES, IMPES mejorado e iterativo • Método de celdas (CVFE)• Newton-Raphson • SS (Simultaneous Solution)• Técnica secuencial • Método de sustituciones sucesivas

56

RECURSOS COMPUATCIONALES

• La programación orientada a objetos

• El supercómputo

• Computación en paralelo

57

CONCLUSIONES

58

DECLARACIONES DEL DIRECTOR GENERAL DE PEP

• El mayor yacimiento petrolero mexicano en la historia ha sido Cantarel, con una reserva original de 36 mil millones de barriles. Chicontepec tiene 3.8 veces lo que Cantarel.

• Se estima que para 2040, dentro 31 años, México podría desarrollar la infraescructura para sacar del subsuelo esta enorme riqueza.

59

CONCLUSIONES • PEMEX, el IMP, las instituciones de

educación superior y las de investigación deben formar una alianza para maximizar las reservas petroleras de México

• Nuestro país obtendría grandes beneficios en su economía, su tecnología y su educación

• A la Modelación Matemática y Computacional le correspondería el papel central en un plan así