Aplicación de las Matemáticas

Introducción:

En este trabajo se reconoce la importancia de las matemáticas para la ciencia química, dándose algunos ejemplos de su utilidad en la resolución de problemas prácticos de química que involucran sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, ecuaciones de segundo grado, logaritmos, y se muestra que una ecuación química es una ecuación algebraica. Se plantea la conveniencia de realizar reuniones interdisciplinarias con los maestros de matemáticas para darles a conocer ejemplos de aplicación de las matemáticas en las diversas disciplinas.

Los desafíos que enfrentan hoy la ciencia y la ingeniería son tan complejos que sólo pueden resolverse con la relación interdisciplinaria y en la cual la matemática juega un papel muy destacado. La matemática, la ciencia y la ingeniería tienen una larga y estrecha relación que es crucial y de creciente importancia para ellas. Disciplinas como la física y la ingeniería eléctrica que han sido siempre muy matemáticas lo son aún cada día más. Ciencias como la biología, la fisiología y la medicina en las cuales la matemática no tenía una presencia relevante, están demandando nuevas herramientas matemáticas para poder analizar y explicar muchos problemas sobre los cuales tienen cada vez mas información experimental. También la matemática es requerida hoy de manera muy significativa por la tecnología de las comunicaciones, las finanzas, la elaboración de manufacturas y los negocios. El progreso científico, en todas sus ramas, requiere una estrecha y fuerte interacción con la matemática.

Entre los principales temas que emergen sistemáticamente en la relación de la matemática con la ciencia se pueden señalar los siguientes:

Modelado matemático: la adecuada descripción de un fenómeno científico en un marco matemático permite el uso de poderosas herramientas para la construcción de algoritmos efectivos para la caracterización, el análisis y la predicción del fenómeno. Los modelos matemáticos permiten realizar experimentos virtuales cuyos análogos reales serían caros, peligrosos o imposibles; hacen innecesarios la destrucción real de un avión, diseminar un virus mortal o presenciar el origen del universo.

Complejidad y dimensión: como la realidad casi nunca es simple requiere modelos complejos. Sin embargo modelos más complejos conducen eventualmente a problemas fundamentalmente diferentes, no sólo más grandes y más complicados. Es imposible caracterizar sistemas desordenados con las mismas herramientas que son adecuadas para los sistemas de buen comportamiento.

Incertidumbre: aunque la incertidumbre es inevitable, ignorarla puede justificarse cuando se estudian procesos físicos aislados, de pequeña escala y bien entendidos.

Esto no es así para sistemas de gran escala con muchas componentes, como la atmósfera y los océanos, procesos químicos donde no hay forma de determinar exactamente la secuencia de reacciones y por supuesto en las aplicaciones biológicas y médicas, o en sistemas que dependen de la participación humana.

Múltiples escalas: la necesidad de modelar o calcular en múltiples escalas surge cuando escalas muy dispares (de espacio, de tiempo o ambos) contribuyen simultáneamente a un resultado observable. Por ejemplo en una combustión turbulenta, la forma de la cámara es tan importante como lo son las pequeñas fluctuaciones de la temperatura que controlan las reacciones químicas.

Computación: a los dos elementos clásicos del método científico, el experimento y la teoría, se les ha unido la computación como una tercera componente crucial. Cómputos que eran intratables hace pocos años atrás son realizados hoy de manera rutinaria, y muchas personas esperan poder dominar el tamaño y la complejidad de los problemas con el advenimiento de computadoras más grandes y más rápidas. Ésta es una vana esperanza si se carece de la matemática adecuada. Por más de cuarenta años, el incremento de la potencia en la resolución de problemas gracias a mejores algoritmos matemáticos ha sido comparable con el crecimiento de la velocidad de las computadoras. En muchas situaciones, especialmente en problemas con múltiples escalas o caóticos, máquinas más veloces no serán suficientes.

Grandes conjuntos de datos: los enormes conjuntos de datos que hoy se generan en muchas áreas científicas deben ser exhibidos, analizados y escudriñados para descubrir el orden y los patrones escondidos. No todos los grandes conjuntos de datos tienen las mismas características, la calidad de los mismos varía desde los muy precisos a aquellos consistentemente ruidosos, muchas veces con variaciones en un mismo conjunto. También los grandes conjuntos de datos que deben ser analizados en tiempo real, por ejemplo en una cirugía guiada o en el control de un avión, plantean importantes desafíos matemáticos.

Más allá de las asociaciones más conocidas, criptografía y teoría de números, ondículas y análisis de huellas digitales, las cuales exhiben logros más que notables, mencionaremos otras con el objeto de dar una idea de la riqueza y fuerza de las diversas conexiones entre la matemática y las ciencias en un sinnúmero de importantes aplicaciones.

Modelado predictivo de reacciones muy complejas. Modelos matemáticos de la cosmología. Modelado predictivo del comportamiento financiero de los mercados. Computación y estadística aplicadas a la medicina, por ejemplo en la Resonancia

Magnética Funcional. Sistemas híbridos para el control y tráfico aéreo. Diseño y operación de procesos asistidos por modelos matemáticos.

Análogamente se pueden dar otros ejemplos relacionados con la Internet, las ciencias de materiales, las mezclas oceánicas y atmosféricas, la fisiología o las ciencias de la información.

La importancia de los fuertes vínculos entre la matemática y la ciencia debería resultar evidente de los ejemplos presentados, que no son más que una pequeña muestra de un conjunto mucho más grande. Desafortunadamente, hay en el país una clara escasez de personas capaces de cubrir la brecha entre la matemática y las ciencias. Esto se reconoce

en los países desarrollados donde se establecen políticas activas para superar esta deficiencia, por su alto impacto económico. En nuestro país esta escasez alcanza niveles francamente alarmantes y uno de los desafíos que nos plantea es como superar el problema educativo subyacente. Es evidente que los matemáticos y los estudiantes de matemática deberían ser capaces de entender problemas científicos, y que los investigadores y estudiantes de ciencias deberían entender la fuerza y los alcances de la matemática.

Líneas temáticas

I. Áreas de vacancia de la matemática y sus aplicaciones

Los siguientes campos de la Matemática, junto con las actividades interdisciplinarias y aplicaciones que la involucran, son áreas de vacancia en nuestro país que, en virtud del desarrollo alcanzado por algunos grupos de investigación en temas relacionados, deberían tener buenas posibilidades de desarrollarse. El apoyo se distribuirá en partes iguales entre las cinco áreas de la Matemática aquí descriptas.

Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico

Las ecuaciones diferenciales juegan un papel esencial en el modelado de procesos físicos, químicos, biológicos, económicos, atmosféricos, oceanográficos, etc.

También son utilizadas en la industria para el control de procesos de producción, para la simulación por computadora de procesos, etc.

Además, son parte fundamental de modelos ecológicos y de propagación de infecciones.

La resolución efectiva de las ecuaciones diferenciales requiere, en casi todos los casos, el uso de métodos numéricos. Su diseño y el análisis de su efectividad es uno de los temas centrales del Análisis Numérico. Cabe señalar que un tipo de métodos numéricos ampliamente utilizado, especialmente en la ingeniería, es el de elementos finitos. Esta clase de métodos requiere la aplicación de avanzadas técnicas matemáticas.

Se pretende incentivar la participación de matemáticos tanto en el desarrollo de modelos de procesos como los antes mencionados como en la resolución numérica de los mismos.

Análisis Armónico, Funcional y Teoría de Aproximación

Importantes desarrollos en Análisis Armónico, Funcional y Teoría de Aproximación, tales como Descomposición Atómica de Espacios de Señales, Teoría de Wavelets, Teoría de Marcos, Análisis de Transformadas, Acotación de Operadores, Teoría de Muestreo, Caracterización de Espacios de Funciones como Modelos en Ingeniería, Espacios de Aproximación y Multiresolución, Análisis Tiempo Frecuencia, constituyen el marco teórico adecuado para el tratamiento, entre otras, de las siguientes aplicaciones tecnológicas:

• Procesamiento de Imágenes - Imágenes Biomédicas - Mamografía digital

• Radiografía Digital - Resonancia Magnética y Tomografía

• Proceso de la Voz - Eliminación de Ruido - Teoría de Antenas

• Telefonía celular y satelital - Telecomunicaciones

• Transmisión de Datos – Transmisión de Imágenes por Internet

• Tecnologías militares para la defensa

• Prospección petrolera

• Modelos Fractales en Biología.

Geometría Algebraica y Teoría de Números

Tanto en la Teoría de Códigos como en la Criptografía se aplican, de manera esencial, sofisticados conceptos y técnicas de la Teoría Algebraica de Números (congruencias, sumas exponenciales, ecuaciones de cuerpos finitos) y de la Geometría Algebraica (curvas elípticas).

• Teoría de Códigos Autocorrectores: los códigos autocorrectores tienen por objeto la transmisión de datos y la posible reconstrucción de información a partir de una pequeña parte de la misma. Un importante ejemplo de esto es la construcción de CD’s poco vulnerables a rayaduras.

• Criptografía: trata sobre la transmisión de datos privados de manera segura. Se utiliza, por ejemplo, en las transacciones comerciales con uso de tarjetas de crédito y en las operaciones bancarias.

Geometría Diferencial, Física-Matemática y Teoría de Control

Entre las aplicaciones y las actividades interdisciplinarias relacionadas con esta área pueden ser mencionadas las siguientes:

• Teoría de Bifurcación y Robótica: estudia los saltos cualitativos que aparecen en el comportamiento de sistemas mecánicos, eléctricos o electrónicos y su posible estabilidad. Esto es de crucial importancia en el diseño de grúas robóticas, piernas y brazos de robots, vehículos autónomos como los utilizados en la explotación minera y en rodamientos sobre aire.

• Sistemas Dinámicos Lagrangianos y Hamiltonianos: en los sistemas mencionados en el párrafo anterior se utilizan, cada vez con mayor eficacia, métodos de la mecánica geométrica Lagrangiana y Hamiltoniana. A esto hay que agregar aplicaciones a la Física de plasmas y al diseño de cristales líquidos y materiales de todo tipo así como al control de su comportamiento (caso de pantallas de cristales líquidos, por ejemplo). Por otra parte, el diseño de órbitas y el control de naves espaciales se basan en técnicas de la Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana. En este marco, los sistemas no-holónomos y los sistemas algebraico-diferenciales merecen una mención especial por sus aplicaciones a cierto tipo de robots, a los sistemas electromecánicos y electrónicos de potencia, a sistemas de locomoción de microorganismos y a la nanotecnología.

• Física Teórica: la Geometría Diferencial juega un rol central en la Teoría de Campos de la Física Teórica de nuestros días. Las teorías de gauge, con la teoría de Yang-Mills como punto de partida, o la teoría de cuerdas son ejemplos de una fuerte interacción entre Física y Matemática que ha dado lugar a una fértil actividad interdisciplinaria en los principales centros científicos del mundo. Esta interacción debería ser incrementada en nuestro país en atención a la relevancia que tiene en los más importantes avances de la Física Teórica en la actualidad.

II. Integración interdisciplinaria de la matemática

En todos los casos el o los grupos que aspiren al financiamiento deberán demostrar claramente el carácter interdisciplinario del proyecto tanto en sus objetivos como en la integración del grupo humano que lo desarrollará. En otras palabras, el problema a resolver debe ser extraído de una disciplina diferente de la matemática y los integrantes del grupo de investigación tienen que pertenecer a dos o más disciplinas siendo la matemática sólo una de ellas. Sobre estas bases se definen las siguientes posibles líneas de acción:

Matemática y Biología: A medida que la biología se convierta en una de las ciencias dominantes, se requerirán nuevos métodos para estudiarla. Muchos de esos métodos provendrán de la computación, la química, la física y la matemática.

Matemática e informática y comunicaciones: Este amplio campo podría ocasionar tantos cambios en la sociedad como la revolución industrial. Quienes entren temprano tendrán una ventaja competitiva de largo plazo. Los que tarden mucho en incorporase encontrarán dificultades para ponerse al día.

Matemática e Ingeniería: En la modelización de procesos mediante representaciones matemáticas la resolución numérica juega un papel esencial en razón de que la complejidad de los fenómenos habitualmente no permite soluciones analíticas. La matemática juega un papel crucial no sólo en la formulación de los modelos sino también en el desarrollo de las necesarias herramientas para resolverlos.

Matemática y Economía: Las finanzas modernas, aunque no son una ciencia en el sentido tradicional de la palabra, tienen una interacción con la matemática que no se limita a la teoría; hoy la matemática juega un rol central en el funcionamiento diario de los mercados financieros del mundo. Son muchas las oportunidades de investigación que existen en las zonas limítrofes de la matemática con la economía y las finanzas, en las que se usan métodos matemáticos avanzados, como ecuaciones lineales y no lineales en derivadas parciales, análisis estocástico y estadísticas de procesos estocásticos.

Matemática y Física: la matemática es cada vez más necesaria en la representación de los diferentes fenómenos que estudia la física y en la solución de los modelos que resultan de estas formulaciones. Se pretende estimular en nuestro país una relación secular que ha existido entre estas dos disciplinas que como lo demuestra la historia, ha contribuido al progreso de ambas.

Matemática y Química: Una de las principales causas del progreso de la química en el siglo XX ha sido la provechosa relación que se estableció con la matemática para el establecimiento de nuevas teorías y la solución de los problemas emergentes de ella. Se intenta lograr a nivel de nuestro país una mayor convergencia entre ambas.

La Matemática en Las Ciencias Biológicas

En el área de las ciencias biológicas, en la enseñanza media ya aparecen aplicaciones matemáticas, como son los logaritmos para calcular el pH en química, las ecuaciones químicas, el cálculo de mezclas... En biología, la forma en que los padres transmiten su información a sus hijos, o genética, es una materia que utiliza mucho la estadística y

probabilidad. Es el caso de los estudios de Medel, por ejemplo, quién se dedicó a estudiar el comportamiento de ciertas plantas a las que cruzó y determinó cómo se relacionaban genéticamente los padres con los hijos, hablando de Genotipo y Fenotipo.

En esta categoría es también donde se realizan los mayores avances de la humanidad, en descubrimientos. Cada año se descubren miles de formulas científicas que relacionan fenómenos de la naturaleza matemáticamente.

Uno de los avances más sorprendentes de la actualidad matemática es el llamado “Cálculo de escala de tiempo”, una nueva herramienta, la cual utiliza la estadística y probabilidad para determinar el tiempo en que podría sanar una herida, por ejemplo.

Los científicos que se dedican a esto realizan estudios estadísticos, recogiendo datos y muestras, investigando la posible regularidad que podría haber en la cicatrización de una herida, el tiempo de reproducción de un virus, el comportamiento migratorio de algunas aves, además de factores de tamaño y volumen del crecimiento de una duna de arena en el desierto, entre otros.

Todo esto funciona con la idea de recopilar información, muestrear ciertas áreas para ver cómo se han comportado algunas aves, por ejemplo, luego utilizar la estadística, con lo cual se pueden dibujar curvas que se supone que son relativamente parecidas al comportamiento migratorio de aves. Con esta herramienta se podrían determinar también las épocas de mayor probabilidad de contagio de algún virus transmitido por insectos. Lo más nuevo sobre todo esto, es el estudio matemático de detectar la bulimia, utilizando estas curvas para conocer el factor de riesgo de adquirir esta enfermedad. Y todo esto se hace con muchas variables de todo tipo, como el estado de ánimo del paciente, la situación familiar, relaciones de amistad, etc.

Estas nuevas herramientas parecieran estar revolucionando la matemática. Los científicos piensan que esto podría ser algo así como un paralelo a la teoría unificada, en la física.

Biología matemática

Biología Matemática o Biomatemática es un área interdisciplinaria de estudios que se enfoca en el modelamiento de los procesos biológicos utilizando técnicas matemáticas. Tiene grandes aplicaciones teóricas y prácticas en la investigación biológica.

Debido a la gran diversidad de conocimiento específico involucrado, la investigación biomatemática es a menudo hecha en colaboración entre matemáticos, físicos, biólogos, zoólogos, químicos y fisiólogos, entre otros científicos.

Importancia

Su importancia puede ser en parte por las siguientes razones:

El incremento explosivo de conjuntos de información debido a la revolución genómica, las cuales son difíciles de entender sin el uso de herramientas analíticas.

El reciente desarrollo de herramientas matemáticas (como por ejemplo la teoría del caos) ayuda para el entendimiento de mecanismos complejos y no lineales en biología.

Un incremento en la capacidad computacional que permite hacer cálculos y simulaciones que no eran previamente posibles.

Un incremento en el interés en la experimentación in sillico debido a las complicaciones involucradas en investigación animal y humana.

Áreas de investigación

A continuación sigue una breve descripción de algunas áreas de investigación de la biomatemática.

Dinámica de poblaciones

La dinámica de poblaciones ha tradicionalmente sido el campo dominante de la biología matemática. Trabajo en esta área se remonta al siglo XIX. La ecuación Lotka-Volterra es un famoso ejemplo. Hacia finales del siglo XIX y en la primera década del siglo XX, la dinámica de la población ha sido complementada por la teoría evolutiva de juegos, desarrollada primero por John Maynard Smith. Bajo estas dinámicas, conceptos de la biología evolucionaría pueden tomar forma determinista y matemática.

La dinámica de poblaciones está relacionada con otra área activa de investigación en biomatemática: epidemiología matemática, el estudio de las enfermedades infecciosas afectando las poblaciones. Varios modelos de esparcimiento viral han sido propuestos y analizados, y éstos proveen resultados importantes que pueden ser aplicados a políticas de salud.

Modelamiento celular y biología molecular

Esta área ha recibido un incremento en interesados debido a la creciente importancia de la biología molecular.

Modelamiento de neuronas y la carcinogénesis

Mecánica de los tejidos biológico

Enzimología teórica y cinética enzimática

Modelamiento del cáncer y simulación

Modelamiento del movimiento de poblaciones celulares interactivas

Modelamiento matemático la formación de un tejido de granulación

Modelamiento matemático de dinámica intracelular

Modelamiento de sistemas fisiológicos

Modelamiento de enfermedades arteriales

Modelamiento multi-escalar del corazón

Modelos matemáticos

Un modelo de un sistema biológico es convertido a sistemas de ecuaciones, aunque la palabra modelo es a menudo usada como el sistema de las ecuaciones correspondientes. La solución de las ecuaciones, ya sea por medios analíticos o numéricos, describe cómo el sistema biológico se comporta ya sea a en el tiempo o en equilibrio. Hay muchos diferentes tipos de ecuaciones y el tipo de comportamiento que puede ocurrir es dependiente tanto del modelo como de las ecuaciones utilizadas. El modelo a menudo hace suposiciones sobre el sistema. Las ecuaciones pueden también hacer suposiciones sobre la naturaleza de lo que puede ocurrir.

Las aplicaciones de las matemáticas en biología son infinitas, los campos que más desarrollo matemático tienen son la ecología y la genética de poblaciones, pero cada vez más la bioquímica y biología molecular con la bioinformática están demandando modelos matemáticos para plegamiento de proteínas, proteómica y genómica. En Microbiología están los modelos de crecimiento de poblaciones bacterianas y toda la cinética enzimática. En fin son muy numerosas las aplicaciones posibles, prácticamente a toda la Biología desde crecimiento tumoral a funcionamiento de los genes. En cuanto a la importancia de la Matemática, prácticamente ya es indispensable en todos los campos, a mediados de siglo ya había campos totalmente matematizados como la genética de poblaciones y evolutiva, pero en los años 70 entró fuerte en la Ecología y actualmente está más de moda la Bioinformática y la Física de Sistemas Complejos, con todo el desarrollo de tumores y problemas médicos y biológicos que requieren de la aplicación de principios físicos y modelos matemáticos.

La utilidad de las matemáticas

Actualmente, ya nadie pone en duda el gran interés que tienen los métodos matemáticos por su aplicación a otros campos del saber, no sólo a nivel científico, sino a niveles populares. Así, acciones cotidianas como sacar un billete de metro en una máquina expendedora o extraer dinero de un cajero automático no sería posible si no hubiese detrás un soporte matemático que facilitara el diseño y su uso.

Nacemos con una mínima estructura aritmética basada en los números enteros con sus propiedades intuitivas de asociatividad, elemento cero y elemento opuesto; de este modo, desde muy pequeños, de alguna manera ya estamos familiarizados con el concepto algebraico abstracto de grupo. Con ingenio y creatividad vamos enriqueciendo nuestra mente originando superestructuras que nos van permitiendo interpretar las leyes de la naturaleza. La imitación de muchas de ellas ha originado grandes avances tecnológicos. La mente humana es capaz de crear conceptos y con ellos desarrollar teorías, unas plenamente

justificables ante el inexperto, por su inmediata aplicabilidad, y otras por su aplicación a largo plazo.

La estructura de grupo, que como ya hemos dicho aparece en nuestros primeros estudios, se manifiesta también en la naturaleza tanto microscópicamente (en las cristalizaciones de las moléculas) como macroscópicamente (los cristales del plano y del espacio que se clasifican de acuerdo con los 17 grupos planos o los 256 grupos del espacio o de Fedorov). Cuando los árabes construyeron la Alhambra de Granada adornaron sus paredes con figuras ornamentales que incluían a la totalidad de las 17 estructuras de grupos cristalográficos. Actualmente se sabe que son los únicos que hay, y, curiosamente, los árabes en aquellos tiempos estaban muy lejos de la abstracción que conlleva el concepto de grupo, concepto que se formaliza hacia 1830 con los intentos de E. Galois de dar un método de resolución de la ecuación genérica de grado n por radicales, esto es, de decir, a priori, para qué ecuaciones podemos obtener una fórmula que nos dé sus raíces en términos de sumas, restas, divisiones y radicales. Las fórmulas que nos dan las raíces ecuaciones de grado 1 y 2, las estudiamos en la enseñanza media, existen fórmulas genéricas para las raíces de las ecuaciones de grados 3 y 4, y para ecuaciones de grado mayor o igual que 5 podemos decidir a priori si existe una fórmula o no (según sea su grupo asociado resoluble o no) y en el caso de que exista, calcularla utilizando la estructura del grupo asociado.

Otra de las aplicaciones que presenta el concepto de grupo está en el ámbito de la Economía. Así, la justificación de los 8 test que definen el mejor índice adecuado de precios al consumo (IPC) reside en las propiedades estructurales del grupo diédrico de orden 8. Resulta realmente curioso que todos los test fueran introducidos con significado económico. En 1978, se demostró que existía un único IPC que satisface estos test.

Un campo en el que las Matemáticas están resultando especialmente útiles es la Biología. La enorme complejidad dinámica que caracteriza a los sistemas biológicos ha constituido siempre un freno para los estudios encaminados a expresar las leyes que rigen sus comportamientos de modo similar a como se ha venido haciendo en el estudio de los sistemas físicos y químicos.

La herramienta más útil para el estudio de los procesos dinámicos en la naturaleza, y por tanto de los procesos biológicos, es el análisis matemático. Esta es una de las razones por las que, en la actualidad, la aplicación del cálculo en la Biología presenta un notable éxito y reconocimiento. La aparición de ordenadores suficientemente rápidos, así como el desarrollo experimentado en el análisis matemático, la termodinámica de procesos irreversibles, la geometría fractal, el caos determinista y la teoría de sistemas complejos, entre otros, ha permitido dotar a la Biología de instrumentos investigadores físico-matemáticos poderosos que están permitiendo modelar y describir de una manera coherente y eficaz muchos procesos biológicos que hasta ahora eran sencillamente inabordables desde una metodología investigadora estrictamente tradicional.

Desde hace un par de décadas un gran número de investigadores han constatado, desde la perspectiva biológico-matemática, la presencia de numerosas estructuras de geometría fractal en los sistemas vivientes, fundamentalmente el humano. De hecho, las investigaciones biológico-matemáticas han permitido encontrar estructuras fractales en las

redes nerviosas, conductos pulmonares, en el sistema Hizo Purkinge de conducción de los impulsos eléctricos cardiacos, tracto digestivo del intestino delgado, secreción hormonal, redes de vasos sanguíneos, conductos biliares, tejido conjuntivo, musculatura lisa, arterias y venas coronarias, recuento de células sanguíneas, etc. De entre todas estas estructuras, se puede destacar el sistema cardiaco, el cual constituye un buen ejemplo de las investigaciones sobre la fractalidad y el caos en el sistema humano.

En la actualidad, los estudios de los procesos dinámicos biológicos mediante técnicas físico-matemáticas están muy extendidos y abarcan a todas las áreas de la Biología. Desde esta perspectiva, líneas de investigación prometedoras se realizan en campos tan diversos como la respuesta inmune, las interacciones genéticas en el desarrollo temprano, los ritmos circadianos, la regulación metabólica, la quimiotaxis, las pautas epidémicas, la evolución prebiótica, las estructuras biomoleculares, las dinámicas de poblaciones y ecosistemas, las redes catalíticas, la diferenciación celular y la morfogénesis, la autorregulación genética, los ritmos fisiológicos, la actividad cerebral, las correlaciones existentes en las bases nucleotídicas del ADN, etc.

Pero no sólo en la Biología las matemáticas resultan útiles. A modo de ejemplo, citamos unas cuantas aplicaciones que nos encontramos en la vida cotidiana de las matemáticas:

1) Si un contable desea recuperar la información perdida en una factura por culpa de un descuido de una taza de café, las ecuaciones diofánticas le serán de ayuda.

2) ¿Cuál es el recorrido que debe hacer el camión de la basura de un pueblo para que los costes sean mínimos al ayuntamiento y además, pase por cada una de las esquinas del pueblo? La teoría de grafos será útil en la resolución del problema.

3) Para un agricultor ¿cuál es la disposición que debe usarse para el estudio de la fertilidad del terreno respecto del ensayo con unos abonos? Los cuadrados latinos ortogonales le aportarán la solución.

4) Para un bioquímico, ¿cómo diseñar balanzas químicas de precisión de una y dos cazuelas que haga pesadas con precisión 10n con n suficientemente grande? Las matrices de Hadamard son el soporte matemático que necesita.

5) Para una peña quinielista, ¿cuál es el número mínimo de columnas que hay que hacer para acertar 3 partidos de 4?, ¿o 12 partidos de 13? ¿Cuáles son explícitamente las columnas a realizar? ¿Cuáles son las apuestas que hay que hacer para acertar 3 números de la bonoloto?

6) En economía, el calcular lo que uno va a ganar en el momento de jubilarse ó la tasa de interés de un pago ó los cuadros de amortización de un préstamo es tarea sencilla empleando las matemáticas.

7) La teoría de códigos y la criptología son herramientas imprescindibles en esta sociedad que necesita transmitir información de forma segura. Sin ellas, no sería posible transmitir, por ejemplo, imágenes desde los satélites.

8) En medicina, se puede aplicar la propiedad reflexiva de las cónicas para el tratamiento de cálculos renales. Por otro lado, modelos matemáticos ayudan a estudiar las redes neuronales, facilitando la comprensión de los mecanismos cerebrales del aprendizaje.

9) Empleando los grupos cristalográficos, podemos generar figuras ornamentales distintas a partir de un mismo motivo ornamental. Por ejemplo, usando un mismo motivo ornamental podemos crear una colección de baldosas.

En general, hoy día se buscan uniformidades dentro de teorías donde abunda el caos. Para clasificar dicho caos y saber cómo funciona, la búsqueda se hace incluso local, haciendo uso de la infraestructura de que se dispone en cuanto a medios computacionales y lenguajes de programación. La modelización matemática y la simulación por ordenador permiten, en general, hacernos una idea aceptable de los comportamientos dinámicos que subyacen en los procesos investigados. Todo un mundo por descubrir.

Aplicaciones de las Matemáticas en la Química:

¿Pero para qué sirven las matemáticas? Esta es una pregunta que se ha escuchado en el pasado y sigue resonando en las aulas y pasillos de las escuelas, principalmente de educación media y media superior.

Por paradójico que resulte, la respuesta a esa pregunta no debería ser responsabilidad de los maestros de matemáticas, sino de los maestros de las otras disciplinas. Se abordará aquí un esbozo de respuesta desde la perspectiva química, a través de algunos ejemplos de utilización de las matemáticas en esta disciplina.

Al margen de que las matemáticas son el fundamento y origen de las modernas teorías de la estructura atómica y molecular (la ecuación de Schrödinger utiliza segundas derivadas de la función de onda electrónica y de ahí derivamos las “formas” de los orbitales; Heisenberg utiliza álgebra de matrices para establecer su Principio de Incertidumbre en cuanto a la imposibilidad de conocer dos atributos, de una partícula como el electrón, como por ejemplo posición y velocidad, al mismo tiempo), y de la elegancia y simplicidad con que nos permite abordar problemas de termoquímica y de cinética; las matemáticas están presentes en toda actividad experimental química. Mostraremos solo algunos ejemplos que

son ilustrativos dentro de problemas prácticos que se inscriben dentro del nivel medio y medio superior de educación.

Ejemplo 1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Se tienen dos disoluciones acuosas diluidas y se considera que ambas tienen una densidad igual a la del agua. La disolución A es de cloruro de sodio al 10% en masa y la disolución B son de cloruro de sodio al 25% en masa, ¿Cuántos litros de estas disoluciones se deben utilizar para preparar 5 litros de una disolución acuosa de cloruro de sodio al 20%?

Llamamos X a los litros de disolución A y Y a los litros de disolución B

Entonces X + Y = 5 (porque se requieren preparar 5 litros)

Y también: 10X + 25Y = 20(5) = 100 (porque las concentraciones son 10%

Disolución A, 25% disolución B y 20% la solución que vamos a preparar)

Lo que tenemos entonces es un sistema de ecuaciones de dos incógnitas:

X + Y = 5

10X + 25Y = 100

Al resolver da X = 1.66 L y Y = 3.33 L

Ejemplo 2. Ecuación de segundo grado y logaritmos.

Se quiere saber el pH de una disolución 0.5 M de HF a 25ºC

La ionización de HF está dada por

HF (ac) H+ (ac) + F- (ac)

Y su Ka = [H+] [F-] = 7.1x10-4 (Dato de tablas)

[HF]

Los cambios en las concentraciones de HF, H+ y F- se pueden resumir como sigue:

HF (ac) H+ (ac) + F- (ac)

*Maestro de Química Encargado del área de Ciencias Naturales del Bachillerato de la Universidad Autónoma de Sinaloa Zona Norte.

**Maestro de Química del Colegio de Bachilleres del Estado de Sinaloa Plantel 57.

Inicial (M) 0.50 0.00 0.00

Cambio (M) -x +x +x

En equilibrio 0.50-x x x

Las concentraciones de HF, H+ y F- en el equilibrio expresadas en función de la incógnita x, se sustituyen en la expresión de la constante de ionización (Ka), para obtener:

Ka= (x) (x) = 7.1x10-4

0.50-x

Al redondear ésta ecuación se tiene

X2 + 7.1x10-4 X - 3.6x10-4 = 0

Que es una ecuación de segundo grado.

Resolviendo x= 0.019 = [ H+]

Y como PH = -log [ H+] = -log (0.019) = 1.72

Nótese que aquí también usamos el concepto de logaritmo que se estudia en matemáticas.

Ejemplo 3. Una ecuación química es una ecuación algebraica.

Consideremos la reacción en que el óxido cúprico se calienta para dar óxido cuproso y oxígeno.

La ecuación química es:

4 CuO 2 Cu2O + O2

Los coeficientes en la ecuación química son coeficientes algebraicos, y si representamos a las sustancias por literales: CuO=x, Cu2O=y, O2=z

Resulta 4x=2y+z que es una ecuación algebraica.

Se puede comprobar la igualdad consultando y utilizando los pesos atómicos de una tabla periódica. De hecho este tipo de ecuaciones son demostrativas de la Ley de la Conservación de la Masa en las reacciones químicas. En la práctica en el laboratorio se puede calcular la cantidad de oxígeno (z) que se escapa como gas simplemente por la diferencia en los pesos CuO (x) y Cu2O (y).

Podríamos mencionar muchos más ejemplos pero el objetivo de este proyecto solo es mostrar la conveniencia de realizar reuniones académicas interdisciplinarias con los

maestros de matemáticas para que los maestros de otras disciplinas les proporcionemos la información sobre este tipo de ejemplos de utilización de las matemáticas para resolver problemas de las diversas disciplinas, y contribuyamos todos así para la integración y desarrollo de conocimientos y habilidades en nuestros estudiantes.

Anécdota sobre la Aplicación de la Matemática en la Química:

RUTHERFORD Y BOHR

Sir Ernest Rutherford, presidente de la Sociedad Real Británica y Premio Nobel de Química en 1908, contaba la siguiente anécdota:

Hace algún tiempo, recibí la llamada de un colega. Estaba a punto de poner un cero a un estudiante por la respuesta que había dado en un problema de física, pese a que este afirmaba con rotundidad que su respuesta era absolutamente acertada. Profesores y estudiantes acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y fui elegido yo.

Leí la pregunta del examen y decía: "Demuestre cómo es posible determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro".

El estudiante había respondido: "lleva el barómetro a la azotea del edificio y átale una cuerda muy larga. Descuélgalo hasta la base del edificio, marca y mide. La longitud de la cuerda es igual a la longitud del edificio".

Realmente, el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había respondido a la pregunta correcta y completamente.

Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, podría alterar el promedio de su año de estudios, obtener una nota más alta y así certificar su alto nivel en física; pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel.

Sugerí que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedí seis minutos para que me respondiera la misma pregunta pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física.

Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada. Le pregunte si deseaba marcharse, pero me contesto que tenía muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas. Me excuse por interrumpirle y le rogué que continuara.

En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta: coge el barómetro y lánzalo al suelo desde la azotea del edificio, calcula el tiempo de caída con un cronometro. Después se aplica la formula altura = 0,5 por A por T2. Y así obtenemos la altura del edificio. En este punto le pregunte a mi colega si el estudiante se podía retirar. Le dio la nota más alta.

Tras abandonar el despacho, me reencontré con el estudiante y le pedí que me contara sus otras respuestas a la pregunta. Bueno, respondió, hay muchas maneras, por ejemplo, coges el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro y la longitud de su sombra. Si medimos a continuación la longitud de la sombra del edificio y aplicamos una simple proporción, obtendremos también la altura del edificio.

Perfecto, le dije, ¿y de otra manera? Si, contestó, este es un procedimiento muy básico: para medir un edificio, pero también sirve. En este método, coges el barómetro y te sitúas en las escaleras del edificio en la planta baja. Según subes las escaleras, vas marcando la altura del barómetro y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicas al final la altura del barómetro por el número de marcas que has hecho y ya tienes la altura. Este es un método muy directo.

Por supuesto, si lo que quiere es un procedimiento más sofisticado, puede atar el barómetro a una cuerda y moverlo como si fuera un péndulo. Si calculamos que cuando el barómetro esta a la altura de la azotea la gravedad es cero y si tenemos en cuenta la medida de la aceleración de la gravedad al descender el barómetro en trayectoria circular al pasar por la perpendicular del edificio, de la diferencia de estos valores, y aplicando una sencilla formula trigonométrica, podríamos calcular, sin duda, la altura del edificio.

En este mismo estilo de sistema, atas el barómetro a una cuerda y lo descuelgas desde la azotea a la calle. Usándolo como un péndulo puedes calcular la altura midiendo su periodo de precesión. En fin, concluyo, existen otras muchas maneras. Probablemente, la mejor sea coger el barómetro y golpear con él la puerta de la casa del conserje. Cuando abra, decirle: señor conserje, aquí tengo un bonito barómetro. Si usted me dice la altura de este edificio, se lo regalo. En este momento de la conversación, le pregunte si no conocía la respuesta convencional al problema (la diferencia de presión marcada por un barómetro en dos lugares diferentes nos proporciona la diferencia de altura entre ambos lugares) evidentemente, dijo

que la conocía, pero que durante sus estudios, sus profesores habían intentado enseñarle a pensar.

El estudiante se llamaba Niels Bohr, físico danés, premio Nobel de Física en 1922, más conocido por ser el primero en proponer el modelo de átomo con protones y neutrones y los electrones que lo rodeaban. Fue fundamentalmente un innovador de la teoría cuántica. Al margen del personaje, lo divertido y curioso de la anécdota, lo esencial de esta historia es que LE HABÍAN ENSEÑADO A PENSAR.

Conclusión

Mucha gente piensa que la matemática es una ciencia que no tiene nada que ver con otras disciplinas que no sean las ingenierías. Otros nunca le encuentran aplicaciones útiles a ésta, y por eso tampoco les gusta. Pero, la matemática en realidad tiene infinitas aplicaciones en todo el conocimiento adquirido por la humanidad, partiendo por todo lo relacionado con las ingenierías, economía, en las ciencias biológicas, en la Química e incluso en algunas ramas del área Humanista.