La Integral

Conceptos y propiedades

En la misma forma en que hay funciones inversas tambin existen operacionesinversas. Por ejemplo en matemticas la sustraccin es la inversa de la adicin, y ladivisin es la inversa de la multiplicacin.. As el proceso inverso de la diferenciacin es laintegracin

La la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciacin.integracinEn otras palabras, si tenemos la derivada de una funcin, el objetivo es: "Determinar quefuncin ha sido diferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso deintegracin radica en la comprensin del proceso de la diferenciacin.

Supongamos que dado un funcin , deseamos obtener su derivada, por lo que procedemos del siguiente modo:

dado

f(x)

Funcin OrigenFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f '(x)

Obtiene

ddx f x Funcin Derivada

1

Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una funcin derivada de una cierta funcin, encontrar dicha funcin. El objetivo es determinar la funcin , la cual fue derivada (diferenciada).

Nota: A esta funcin , la vamos a llamar la funcin origen, funcin primitiva o la funcin inicial.

La idea grfica es:

f(x)

Funcin DerivadaFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f '(x)

Dado

f x dx f x'

Obtener

Funcin Derivada

Aplicando elOperador Antiderivada

As por ejemplo: Dado:

Aplicando el operador antiderivada , donde

Aplicando el operador antiderivada , donde

Aplicando el operador antiderivada ,

donde

Intuitivamente podemos pensar que dado una funcin derivada , podemos aplicar un proceso inverso a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada paraencontrar la funcin origen o primitiva que fue diferenciada.

Por lo tanto, podemos decir que:

f(x)

F uncin D erivadaFuncin Prim itiva

F uncin In icia l

f'(x)

f x dx f x'

F uncin D erivada

A plicando el O peradorAntiderivada(INTE G R AL)

A plicando el O peradorD E RIV AD A

ddx f x

Matemticamente hablando diremos. Sea:

Utilizando la interpretacin de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:

Definiendo la operacin de ahora en adelante como , con elantiderivada Integral

smbolo "operador integral" y aplicndolo a nuestra expresin anterior tenemos:

Donde:

Luego la funcin primitiva u origen se puede determinar como:

; "la integral de la derivada es la funcin origen"

A esta expresin se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA. Debemos notar lo siguiente:

f x x3

3

Funcin DerivadaFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f x x 2

f x dx f x'

Funcin Derivada

Aplicando el OperadorAntiderivada(INTEGRAL)

Operador DERIVADA

ddx

x x3

2

3

ddx

x x

ddx

x x

ddx

x C x

32

32

32

31

32

3

Conclusin:

- Una funcin derivable tiene una nica funcin derivada el reciproco tiene infinitassoluciones. - La derivada de una funcin tiene una familia de funciones primitivas. -Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la mismaderivada.

Definicin:

Si es una funcin primitiva de . La expresin define a la integral indefinida y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas ydan como resultado a (nica derivada). La cual se escribe como:

; donde es la constante de integracin (puede ser positiva o

negativa)

A esta expresin, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama IntegralIndefinida de .

Observacin:

(1) La constante de integracin surge del hecho de que cualquier funcin de laforma tiene derivada

(2) La constante de integracin se determinar por las condiciones especificas decada problema particular.

(3) A la cantidad se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no se puede asignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asignaun valor a .

(4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado , es una funcin dealguna variable y entonces permanece indefinida.

En general decimos que toda funcin tiene un numero infinito de antiderivadas, yaque a cada Antiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria paraobtener otra Antiderivada.

Mtodos de Integracin

Regla de Integracin.

La obtencin de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar lafuncin cuya derivada es una de las formas normales.

Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de Integrales Inmediatasque deben ser memorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades bsicas de laintegracin.

Propiedades:

1.La integral de una Sea la funcin Constante:

2.La integral de una y una . Sea la funcin funcin constante

3.Sea

Integrales Inmediatas

Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde es una constante deintegracin.

1.

2.

3. ; con

4.

5.

6.

Para funciones trigonomtricas

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13.

14. 15.

16.

17. 18.

Para funciones trigonomtricas inversas

19. 20.

Otras integrales

21.

22.

23.

24.

Ejemplos resueltos de integracin aplicando las reglas bsicas de integracin.

1.

2.

3.

4.

Ejemplos propuestos.

1.

2.

3.

4.

5.

Solucin

1.

2.