INTRODUCCIÓN

En este documento se presentan los resultados de una investigación realizada por

alumnos de segundo semestre de Ingeniería en computación, con la finalidad de

encontrar la utilidad del cálculo integral en la carrera de ingeniería en computación.

Se partió de la hipótesis de que “el cálculo integral es muy poco utilizado en la

carrera”, siguiendo con una investigación documental sobre las aplicaciones a

diversas áreas de Ingeniería en computación que dio como resultado: Redes de

Markov, teorema de Bayes, análisis de sistemas y señales, eliminación de ruido,

series de Fourier, transformada Z, variable compleja, circuitos eléctricos, robótica,

modelado en tercera dimensión, etc., lo que llevó a un cambio de la hipótesis inicial

por la siguiente: “El cálculo integral es una herramienta muy útil en la carrera de

ingeniería en computación”.

Más tarde se elaboró una entrevista y un par de encuestas con la finalidad de

obtener más información de cuestiones como: la importancia que le dan los

ingenieros en computación al cálculo, las aplicaciones más comunes en la vida

profesional, el nivel de conocimientos actual de un profesionista, así como sus

hábitos de repaso en lo visto durante la carrera, por parte de los alumnos

intentamos conocer cuál es la posición de los estudiantes hacia esta materia, en

diferentes etapas de la carrera, es decir, entrevistamos a alumnos desde reciente

ingreso hasta los alumnos de últimos semestres de la carrera. Que terminó por

hacer prevalecer una perspectiva aplicable a toda la ingeniería y materias de

Ciencias Básicas, donde la importancia de todas la materias básicas se aprecia

mucho más estando en la práctica, son una herramienta tal vez no indispensable,

pero sí muy útil, donde el trabajo del ingeniero es: Pensar.

Al final se sintetizó la información obtenida mediante las herramientas de

investigación. Se elaboraron conclusiones y una modificación a la hipótesis inicial,

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dando como resultado y finalmente se redactó el documento que tiene como lector

en sus manos.

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CUERPO

Marco teórico

El cálculo integral en la ingeniería en computación ha sido de gran importancia en

los distintos ámbitos en los que se desarrolla esta ingeniería, ya sea en lo que se

refiere al software, al hardware, al manejo de datos o de señales. En fin, son

muchas y muy variadas las aplicaciones que tiene el cálculo integral, el cual ha sido

base de distintos procesos y avances tecnológicos actuales tanto en la ingeniería

en computación como en las demás ingenierías.

Un ejemplo claro acerca de la trascendencia del cálculo integral en lo que respecta

al hardware de una computadora, es en el análisis de circuitos, en el cual podemos

ver aplicaciones directas de integrales, como es el caso del cálculo de la energía

disipada a partir de la potencia que tenga el circuito, asimismo, es importante al

observar el comportamiento de un condensador debido a que la tensión de éste, no

solo depende de la corriente que circula por él, sino que también de la suma de las

corrientes que atravesaron con anterioridad, es decir, la carga acumulada, lo cual

es posible calcular mediante integrales y con esto se podría afirmar que dicho

dispositivo tiene memoria de corrientes, como es el caso también de las bobinas;

esto nos lleva al análisis de circuitos RLC debido a que muchos de los elementos

que están presentes en estos casos tienen en sus ecuaciones algunas integrales,

las cuales tienen que ser derivadas y para lograrlo es necesario utilizar el Teorema

Fundamental del Cálculo.

En este sentido, no solamente el cálculo integral es enfocado a las operaciones con

aparatos físicos, sino también está presente en fenómenos como son las señales,

especialmente las sinusoidales. Para estas señales, es posible determinar el valor

medio de una señal genérica en cierto intervalo de tiempo, así como su valor eficaz

e inclusive determinar otra señal sinusoidal de la misma frecuencia, gracias a las

integrales definidas. Es importante señalar que el cálculo integral no solamente

nos permite ver las características de las señales, sino también nos permiten

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expandirlas trigonométricamente mediante las series de Fourier, lo cual nos puede

ser útil si queremos conocer las frecuencias de los componentes que forman la

señal, lo cual podría llevarnos a poder eliminar los ruidos de alta frecuencia, lo cual

es necesario conocer si se está diseñando algún software de edición de música.

Pero no solamente las series de Fourier nos ayudan para el manejo de frecuencias

y señales, sino que también se aplica en la compresión de datos, ya que permite

identificar ciertos términos de la expansión trigonométrica necesarios y poder

conservarlos. Si lo que queremos es trabajar con imágenes es necesario contar

con histograma que represente la relación entre la escala de grises que tenga una

imagen con la cantidad de pixeles que posea dicha imagen; al tratar el histograma

como una función continua en cierto rango, el cual su tratamiento tiene que ver con

el cálculo integral; esto con el fin de modificar la imagen, ya sea para que se vea

más nítida o para comprimirla.

Todas estas aplicaciones de las integrales guardan una estrecha relación con la

ingeniería en computación, de cierta forma esta ingeniería se presta para poder

realizar muchas aplicaciones, inclusive en el desarrollo de cierto tipo de software

que resuelva problemas matemáticos de diversa índole. Pareciera ser que las

aplicaciones del cálculo integral no son directas a la computación, sino que se

trabaja en otras áreas que se relacionan; sin embargo, hay una aplicación directa

de las integrales al funcionamiento de las computadoras, y por lo tanto a la

computación, este es el teorema de Bayes, principalmente en las llamadas redes

bayesianas, las cuales nacen de la necesidad de mejorar la calidad de la

clasificación de los datos y así evitar confusiones sobre los atributos de la

información. También puede ser utilizada para determinar el conocimiento obtenido

de un subconjunto de datos cuando las demás variables son observadas, además

de ser un modelo de probabilidad que relaciona variables aleatoria con gráficos, lo

cual hace que se consigan soluciones a diversos problemas si se tiene cierta

incertidumbre y gracias a ellas se han eliminado algunos problemas probabilísticos.

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Modelado en 3ra dimensión

En general, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos,

infinitamente pequeños.

Para poner un buen ejemplo de la importancia del cálculo en la computación,

veremos el método de exhaución usado por los egipcios para calcular áreas de

círculos, el cual es aplicado para modelar en tres dimensiones. El método de

exhaución consiste en que en un círculo se traza un polígono, el cual tiene las

características de que todos sus lados o esquinas tocan al círculo, y al sacar el

área de ese polígono, sale un área que es aproximada al área real del círculo. Es

obvio que entre más lados tenga el polígono, más precisa será el área que

sacamos, ya que se reduce el espacio ocupado por las áreas despreciables que se

forman entre el polígono y el círculo. Esto podría ser interpretado en cálculo integral

como una suma infinita de las áreas en el polígono de n lados que se forman en

cada n “pedazos” del polígono.

Este mismo principio es usado en las gráficas por computadora, para producir las

gráficas más precisas y reales de acuerdo a las capacidades de sus procesadores.

No importa cuánto avance la computación, nunca se podrá alcanzar a modelar una

figura tridimensional que sea perfectamente redonda. Esto, aparte de que es

humanamente imposible de hacer para el usuario, también es imposible de

procesar para la computadora. Lo que se hace es “aproximar” una figura que

parezca redonda para nuestros ojos pero en realidad sea un polígono

tridimensional con superficies planas, pero que nosotros no podemos alcanzar a

ver. No se puede conseguir una figura perfectamente redonda debido a que no se

puede sumar infinitamente áreas ó volúmenes para formar una figura, así que se lo

que se hace en la computación gráfica es fijar un límite de cuántas sumas puede

hacer el procesador para obtener la figura deseada, que aunque no sea perfecta,

es más que suficiente para convencer al ojo humano. Esto se hace en base al

concepto de sumas de Riemann.

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Para dejar más claro esto, usaré el ejemplo de la consola Nintendo 64.

Esta fue de las primeras consolas en el mercado en usar gráficas tridimensionales,

por lo cual, sus capacidades eran limitadas comparadas con las consolas actuales,

por lo cual, se tenían que hacer modelos tridimensionales con los que la consola

trabajara correctamente (es decir, que no fueran exageradamente detallados) y que

fueran lo suficientemente reales para los jugadores.

Así, se marcaba un modelo en tercera dimensión que presentara el balance entre

estos dos elementos, que fuera procesable para la consola y que se viera real para

el usuario. Y como resultado quedaba un modelo que a pesar que se veía

claramente que era un polígono, la consola podía trabajar perfectamente con él.

Gracias al avance de la computación, actualmente se pueden lograr hacer modelos

tridimensionales cada vez más precisos.

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Resultados de la investigación

Entrevista:

A continuación se muestra un resumen que contiene las respuestas de diferentes

profesores ingenieros, acoplados en una sola respuesta.

● M en C. Cintia Quezada Reyes: Ingeniera en Computación

● M. en E. Rosalba Rodríguez Chávez: Ingeniera en Computación

● Sergio Valdez Sanchez: Ingeniero en Computación

● Orlando Zaldivar Zamorategui: Ingeniero en Computación

● M.C. Alejandro Velazquez Mena: Ingeniero en Computación

2. ¿Cuáles han sido los trabajos más satisfactorios que ha realizado?

Impartición de cátedra, cursos, dirección de tesis de licenciatura y maestría,

colaboración en diversos proyectos sobre Redes y Seguridad informática, un

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proyecto para la Facultad de Medicina, una simulación de los ganglios ante

diferentes factores internos y externos.

3. ¿Ha sido el cálculo una parte grata de su formación como Ingeniero? ¿Por qué?

Sí, ya que me ayudó a desarrollar la parte creativa y contribuyó a mi formación

ingenieril para ordenar mi pensamiento y estructurar las resoluciones a problemas

concernientes a mi carrera.

4. ¿Qué tan relevante ha sido el cálculo integral para el desarrollo de su vida laboral?

Muy relevante por ser una de las bases que permitieron estructurar mi forma de

pensar y de esta forma lograron convertirme en una ingeniera integral, el

conocimiento siempre es adecuado en todas las carreras y una ingeniera debe

saber diversos temas para desarrollarse como individuo y profesionista.

5. ¿En alguna situación de su vida profesional se ha presentado la necesidad de

ocupar el cálculo integral?

Al resolver una integral es necesario pensar y estructurar la mejor solución a un

problema para que ésta sea eficiente e inteligente, tomando esto como premisa, la

respuesta sería: SIEMPRE que se ha presentado un problema aplicó la formación

que me brindó el cálculo integral

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6. ¿Al presentarse el problema, le fueron suficientes los conocimientos adquiridos en

la facultad?

Tanto los que me brindó la Facultad como los que tenía de antecedentes y los

adquiridos de manera autodidacta y por la experiencia, el conocimiento es

continuo, no se centra únicamente en un día, una asignatura o un tema.

7. ¿Considera que tener conocimientos sólidos de cálculo le dará la opción de tener

un mejor trabajo a un alumno egresado de la carrera de Ingeniería en

computación? ¿Por qué?

Sí, si combinamos la práctica y la actualización en el campo de especialización de

cada individuo, aunado a la integración de estos conocimientos con el resto de los

que nos brindan a lo largo de los diversos semestres, debe considerarse que cada

tema tratado en las diversas asignaturas es importante y no se encuentran

aislados.

8. De ser posible, ¿Apoyaría la división de los grupos en el anexo por carrera, con la

finalidad de especializar las clases por área?

No lo creo conveniente, las diversas carreras no se encuentran aisladas y se

entrelazan unas con otras, por ende sería un gran inconveniente no darles esa

unión y hacer divisiones que al tiempo resultan contraproducentes, pues los

alumnos no aprenden a resolver problemas diversos independientemente de su

especialización, recordar que un ingeniero debe ser integral y tener la capacidad de

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abordar un problema y brindar una solución aunado a que debe trabajar en equipo

y no siempre los miembros del equipo son de la misma carrera.

Encuesta:

Se aplicó la encuesta a 25 alumnos.

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Como se puede observar, los resultados apuntan a que el Cálculo Integral es útil

para las ingenierías encuestadas pero en diferente medida, por una parte destacan

los Ingenieros Civiles quienes contestaron que el cálculo es de gran utilidad para

prácticamente cualquier tema que vean, mientras que por otro lado las Ingenierías

pertenecientes a la DIE nos hicieron notar que existen diversas aplicaciones del

cálculo en la carrera y que les ha servido para poder resolver problemas que se les

han presentado.

Cabe destacar que el 88% de los alumnos encuestados consideran a los

profesores como un factor de motivación para estudiar la asignatura. Otro aspecto

importante que se puede destacar de las encuestas realizadas es el hecho de que

la mayoría de los encuestados conocen alguna aplicación del cálculo integral

directa en su carrera y que ha contribuido a tener una perspectiva diferente en

cuanto a planteamiento y resolución de problemas que se relacionan con sus

carreras. También podemos observar que el interés puesto en la materia fue

grande al momento de que la cursaron, ya que se puede observar que la mayoría

sacó calificaciones entre 9-10, lo cual es indicador de que entre más esfuerzo se

ponga en la materia y se tengan las ganas de aprender, mejor se podrán manejar

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los problemas que se tengan más adelante. Cabe destacar el hecho de que a la

mayor parte de las personas les gusta mucho o cuando menos les agrada el

cálculo integral, salvo algunas excepciones que lo consideran indiferente, pero la

mayoría tiene muy presente que sin esta materia, no tendrían las herramientas

necesarias para poder resolver los problemas de otras asignaturas, e inclusive

problemas que tengan que ver con su desempeño en el campo laboral.

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APRENDIZAJES

Durante las entrevistas que hicimos, pudimos notar la semejanza de las respuestas

de los diferentes entrevistados, pues al pedirles una explicación sobre la

importancia del cálculo dentro de la carrera de Ingeniería en Computación, cada

uno mencionó aplicaciones específicas muy variadas, pero al final terminaron por

explicar que la verdadera importancia del cálculo y de todas las materias de

ciencias básicas no radica en las aplicaciones directas, sino en lo que ofrecen:

“...estas materias te dan otra perspectiva de la realidad, te permiten tener un

panorama más amplio, y son una herramienta muy valiosa para la interpretación de

la realidad mediante modelos matemáticos...”. También se nos aclaró lo siguiente:

“...El cálculo integral como tal, no tiene muchas aplicaciones, pero es fundamental

para la interpretación y aplicación de otras materias como ecuaciones diferenciales

y cálculo vectorial...”. Siguiendo estos conceptos, otros más afirman “...El dividir las

aplicaciones por áreas no es lo más adecuado, ya que como ingenieros no

utilizamos ninguna materia por separado, todas están relacionadas entre sí y nos

valemos de todas ellas para poder resolver los problemas que se nos presentan de

la mejor manera posible”.

Todas estas afirmaciones nos llevaron a generar conclusiones que nosotros no

esperábamos tener al principio, pues aprendimos que el cálculo es una herramienta

básica, como el resto de las materias de ciencias básicas para cualquier ingeniería.

Estos métodos y procedimientos son lo que nos identifica como ingenieros. Cuando

avancemos en nuestra carrera, tendremos más claro que como ingenieros en

computación, nosotros nos encargamos de sistematizar y automatizar procesos.

Para ejercer nuestra profesión de manera exitosa tenemos que preguntarnos

¿Cuáles son los datos de entrada que tendremos?, ¿Cuál será la información de

salida que requerimos? Y lo más importante: ¿Cuál es el proceso que nos permitirá

partir de las entradas para obtener las salidas? Aquí es donde nosotros aplicamos

todo lo que sabemos para obtener un modelo matemático que nos permita

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programarlo posteriormente, y dar así solución una al problema. Este proceso se

puede representar de la siguiente manera:

Es esta “caja negra” en la que nosotros formularemos una función para así

automatizar el procedimiento que nos están presentando, y por lo tanto, resolver el

problema. Así como podemos aplicar el cálculo para una infinidad de procesos

matemáticos distintos, también los podemos aplicar estos mismos conceptos

matemáticos a la computación para así realizar la automatización de millones de

procesos distintos y así poder extender nuestras capacidades humanas hasta

horizontes que nosotros nunca hubiéramos imaginado.

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CONCLUSIONES GENERALES

● El cálculo integral es una herramienta indispensable en todas las

ingenierías.

● El estudio de cálculo permite el desarrollo de una visión más amplia en los

alumnos de ingeniería.

● El cálculo sirve como herramienta para agilizar procesos de pensamiento

abstracto para su posterior aplicación a problemas del mundo real.

● El Ingeniero en Computación debe tener la capacidad de análisis de

problemas y las herramientas necesarias para resolverlos.

● La importancia de Ciencias Básicas son la base para poder interpretar,

entender, modelar problemas reales.

● Tener bases sólidas de matemáticas, física y química entre otras materias

permitirá un mejor desempeño como ingenieros.

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● Las Ciencias Básicas son fundamentales para poder mejorar las cosas ya

existentes e incluso crear nuevas, ya que son los principios fundamentales

en los que se basa todo lo desarrollado en las distintas ingenierías.

● Es imprescindible conocer el cálculo para poder tener bases para resolver

los futuros problemas que se presenten, ya sea dentro de la facultad o en el

área laboral.

● El Ingeniero en Computación necesita conocer todas las bases de las

ciencias debido a que el campo laboral es muy amplio y variado, por lo cual

puede estar desde una empresa hasta un laboratorio de investigación física.

● El cálculo integral es necesario conocerlo para entender el cómo funcionan

algunas partes de la computadora, especialmente el hardware y también

para el desarrollo de algunos tipos de software.

● El ingeniero no debe quedarse simplemente con los conceptos teóricos

aprendidos en clase, sino que también ampliarlos para encontrar

aplicaciones en las cuales les pueda ser útil.

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ANEXOS

ENTREVISTA

1 ¿Con qué Ingeniería estudió?

2 ¿Cuáles han sido los trabajos más satisfactorios que ha realizado?

3 ¿Ha sido el cálculo una parte grata de su formación como Ingeniero? ¿Por qué?4 ¿Qué tan relevante ha sido el cálculo integral para el desarrollo de su vida laboral?

5 ¿En alguna situación de su vida profesional se ha presentado la necesidad de ocupar el cálculo integral?

6 ¿Al presentarse el problema, le fueron suficientes los conocimientos adquiridos en la facultad?

7 ¿Considera que tener conocimientos sólidos de cálculo le dará la opción de tener un mejor trabajo a un alumno egresado de la carrera de Ingeniería en computación?¿Por qué?

8 De ser posible, ¿Apoyaría la división de los grupos en el anexo por carrera, con la finalidad de especializar las clases por área?

Encuesta 1

● Carrera que estudias:____________________

● ¿Qué semestre cursas?a) 1 -<3 b) 3-<6 c)6-9 Posgrado,posgrado...

● Con respecto a tu experiencia, consideras que el cálculo en tu carrera es:

a) Indispensable b) Importante c) Necesario

d)Útil e) Innecesario

por qué_____________________________________________________

● ¿Has usado alguna vez cálculo para resolver algún problema relacionado con tu carrera?a) Si b) No Cuál(es):________________________________

● ¿Conoces alguna aplicación de Cálculo en tu carrera?a) Si b) No Cuál(es):_________________________________

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● ¿Consideras que haber estudiado cálculo, te permite tener una perspectiva diferente al resolver problemas?

a) Si b) No c) Tal vez

● ¿Consideras que el profesor juega un papel importante en la motivación para interesarte por el estudio del cálculo?

a) Si b) No c) Tal vez

● Personalmente, qué dirías de cálculo:a) Me gusta mucho b) Me agrada c) Me es indiferented) No me gusta e) Lo detesto

● Tu promedio en cálculo ○ Diferencial:

a) menos de 5 b) 5 - <7 c) 7 -< 9 d) 9-10○ Integral

a) menos de 5 b) 5 - <7 c) 7 - <9 d) 9-10○ Vectorial

a) menos de 5 b) 5 - <7 c) 7 -< 9 d) 9-10

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