la geometría en las escuelas

Volumen 5

Estudios en educación matemática Enseñanza de geometría

Editado por Robert Morris

La enseñanza de las ciencias fundamentales

Estudios en éiikcación matemática

La geometría en las escuelas

Volumen 5

Editado por Robert Florris

Impreso en 1986 par la Uficina Regional de Ciencia J Tecnolopía de la l’nesco para América l.atine y el Carihe - ROSTLAC Nontevideo. Crupuay

ISBS 92-3-302373-7

versión inglesa: 92-3-1n2373-s

PREFACIO

La publicacitk de la serie de EAtickOA en Educa&5n Mn .tmát¿ca, al igual que la serie de NUCLW.U Tendencim enea tM aeñunza de la MaJtemd/t¿ca, constituye una parte del programa de Unesco para el mejoramiento de la instrucción matemdtica proporcionando recursos documentales para uso delos responsa bles de su enseñanza. Los lectores de los primeros cuatro VG lúmenes de EAttud¿OA han señalado la utilidad de proporcionar informaciónreferentea las diversas regiones del mundo,

No existe consenso respecto al contenidodelcurrículode lageometrfaescolar. Por 10 tanto, y para ayuda en la tomade decisiones al respecto, se dedica el presente volumen a la consideración de la geometrfa a nivel escolar, presentandoun panorama de las formas actuales con que se encara esta cuestibn a lo largo del mundo sugiriendo, a la vez, futuras ten dencias. Se aborda el tema desde dos direcciones: algunos ca pftulos se ocupan de los diversos niveles escolares,mientrae que otros presentan información surgida de los relevamientos practicados en diversas regiones.

Unesco desea expresar su reconocimiento al editor Robert Morris, a los especialistas en educación matemática que con tribuyeron con información relativa a los programas'de georne trfa de sus respectivos países, asf como a Los autores de es te volumen de EAAU~LOA en Educac.65~ Maakntica. Los puntos& vista expresados en este volumen son, por supuesto, los de los diversos autores y no representan, necesariamente, ningu - na posición atribuible a la Unesco o al editor.

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CONTENIDO

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Desarrollos en la enseñanza de geometría en tres Estados Arabes Hicham Bannout y Mansour Hussain . . . . . . . . . . .

Geometrfa para alumnos de 13 años de edad en Canadá y en los Estados Unidos de América David F. Robitaille y Kenneth J. Travers . . . . . , .

Enseñanza de geometría en América Latina Emilio LZuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometrfa en Asia Sudoriental Lee Peng-yee, Lim Chong-keang . . . . . . . . . . . .

Una visión retrospectiva de la geometría de transformaciones D.K.Sinha................ . . . . . .

Geometria a nivel secundario en Sierra Leona Adonis F. Labor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrfa en la escuela primaria: iqué es posible y qué es deseable? Jan de Lange Jzn . . . . . . . . . . . . . + . . . . . Algunos problemas relativos a la enseñanza de geometria a alumnos de diez a catorce años de edad Milan Koman, Frantizek Ku&inay Marie Ti& . . . . .

Enseñanza de geometrfa en la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas L. Yu Chernysheva, V.V. Firsov y S.A. TeZjakovskii . .

La crisis de la enseñanza de geometrfa G. Glaeser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Un análisis de la enseñanza de geometria en el Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte D.S. FieZker . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

iCuáles son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de geometría? A&n J. Bishop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

La formación de docentesyla enseñanza de geometria Bruce E. Meserve y Dorothy T. Meserve . . . . . . . . 209

Cursos de geometrfla plana para la escuela secundaria basados en el microcomputador Mm S. B&tl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 227

Notas biográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

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TNTRODUCCION

"De todas las decisiones que se pueden tomar dentro de un proyecto de desarrollo curricular con respecto a la elec- ción de contenido la que normalmente resulta ser la mãs controversia1 y la menos justificable es la decisiónrespectc a geometría". (1).

Estas palabras, escritas en 1970, aparecen en el informe de una conferencia sobre enseñanza de geometrfa convocada por los miembros del equipo del Comprehensive School Mathema tics Project (CSMP) de los Estados Unidos de Am6rica. A esa conferencia le siguieron otras dos conferencias importantes dedicadas a la misma cuestión: en Bielefeld, República Fede- ral de Alemania, en 1974 y en Mons, Bélgica, en 1982. Los re sultados de estas conferencias, asf como de las diversas reÜ niones realizadas en Africa, Asia, Europa, América del Norte y Am6rica del Sur en los años recientes, son concordantes, pero solamente en un sentido negativo: no existe consensores pecto al contenido de los currículos de geometrfa en el nir ve1 escolar, y muchos educadores recibirían de muy buen grado una amplia consideración de los problemas que esta situa - ción plantea.

Es esta la razón que ha llevado a considerar oportunode dicar integralmente al tema de la geometría este volumen de los EbtidiOd. Las respuestas a esta proposicián fueron altamente alentadorasycomo lo revelarán las páginas que siguen, Unesco tiene que hacer constar su agradecimiento a todos los que con su contribución (proveniente de más de veinte paises diferentes) hicieron posible presentar un cuadro global de las condiciones actuales de la enseñanza de geometrfa en las escuelas primarias y secundarias, asf como en lo relativo a la formaci6n docente.

(1) The CSMP STAFF, The CSMP Development in Geometry, Educa tiokz& !Xtud¿e~ ti k&?maticd (Dordrecht/Boston), Vol. 3, No 3/4, junio 1971, pãg. 281.

Introducción

El volumen comienza con un relevamiento de las diversas formas como se encara esta cuestión en varias regiones y paz ses del mundo. Y esta información se presenta en seis partes: cuatro son relevamientos regionales y dos constituyen contri buciones de carácter nacional. El primer informe regionalras trea las implicaciones para la enseñanza de la geometria eñ tres Estados Arabes del Proyecto Regional de Matemática de la Unesco iniciado en 1967. El segundo, que constituye un re levamiento de la enseñanza de geometrfa en Canadá y en 10s Estados Unidos de América, está basado en los resultados del Segundo Estudio Internacional de Matemática patrocinado por la AsociaciGn Internacional para la Evaluación del Rendirni- to Educativo (sigla inglesa IEA). Esta informacifk ea seguí da,adecuadamente, por un resumen de las tendencias y de 10; desarrollos en los pafses de América Latina surgidos a partir de los grandes y rápidos cambios provocados por el movimiento de reforma de los años de 1960. El cuarto informe regional corresponde a los paises pertenecientes a la Asocia- ción de Pafses Asiáticos Sudorientales (ASEAN), conjuntamente con Hong Kong, que concretan su afinidad matemática a tra vés de las actividades de la Sociedad Matemática del Sudeste Asiático.

Las dos contribuciones nacionales provienen de la India y de Sierra Leona. En el primero, el Profesor Sinha conforma una mirada retrospectiva a la geometrfa de las transformacio nes argumentando, en una breve pero vivida defensa, que ell; tiene antecedentes incuestionables en la geometria euclideana. Se presentan, a continuación, en un informe sobre geome- tría de Adonis Labor referente a las escuelas de Sierra Leo- na, los detalles de las exigencias de examen en los pafsesde habla inglesa del Africa Occidental.

Siguiendo este relevamiento respecto a la situación de la geometría, una contribuci& de los Paises Bajos discute dos cuestiones relativas a la enseñanza de geometría en la 2 ducación primaria: qué es posible y qué es deseable a ese ni vel. Sugiere el Profesor de Lange que las respuestas debene: centrarse en el método de enseñanza más que en el contenido- de los programas. Y éste, para decirlo en pocas palabras, de be estar dirigido a ayudar a los niños a "captar el espacioy idea que el capitulo describe en forma muy viva y con rique- za de ilustraciones.

Introducción

Mrtlan Koman y sus colegas checoslovacos abordan los pro blemas que presenta la enseñanza de geometrfa a niñosalgo- yores, aquellos que podrfan clasificarse como alumnos de pri maría superior o de secundaria inferior o de escuela interz media. Esta contribución, que resulta fascinante, está basada en trabajo experimental con alumnos de 10 a 14 años de edad realizado en siete escuelas en Praga. Para tales niños, se percibe la geometría como un estudio vinculado al medio ambiente, que está basado en la consideración de problemas, que emplea procedimientos algorftmicos y movimientos y V@ aunque incluye demostraciones, se abstiene de introducir una base asio&tica. Se presentan muchos ejemplos para ilustrar la forma como se ponen en práctica estos principios.

Queda excluida de este volumen la geometrfa a nivel de la enseñanza secundaria superior considerada especfficamente como tal. En cambio, se han elegido tres estudios de casospc ra referirse a la situacdbn actual en Unión de Repúblicas So- cialistas Soviéticas, en Francia y en el Reino UnidodeGran Bretaña e Irlanda del Norte. El primerodeestosestudio constituye una discusión franca del problema de reconciliar uncuy so lógicamente desarrollado con la inmadurez mental delosni ños menoresy con las necesidades contemporáneas de comprender las transformaciones geométricas, los métodos analíticos y el álgebra vectorial. Esta tarea plantea la cuestibndellx gar de los axiomas, de las definiciones, de la heurfstica,de los teoremas y de los ejercicios de aplicación asf como la de determinar si la geometrfa debe ser presentada comouncu: so de estudio separado o si ella debe estar integrada con el álgebra.

La experiencia soviética refleja, de diversas formas,la de muchos otros países. Y es por esta razón que las solucio nes encontradas en la Unibn de Repúblicas Socialistas Sovié- ticas resultan interesantes en alto grado.

La experiencia francesa aparece, a su vez, discutida de; tro del' contexto de crisis que acusa un medio rápidamentecam biante. Y, en este contexto, se considera a la matemática, 7 a la geometrfa, en particular, como de suma importancia, sieE do "localmente útil, pero globalmente esencial". Considerada como un solvente social e industrial, se sostiene que la ge2 metrfa aparece desempeñando cinco funciones: comouna- Ciencia

Introducción

del espacio; como un modelo de precisión de enunciados y de argumentación lógica; como un medio de estimular y de desarrollar la capacidad para razonar; como un lenguaje heurísti - co y como un arte de transformar.

La contribución procedente del Reino Unido de Gran Bre- taña e Irlanda del Norte ofrece un informe claro de una si- tuación confusa. Su forma de presentación es histBrica dado que la geometrfa, dentro del contexto británico, aparece como una guerra de cien años contra los Elementos de Euclides. Esta lucha, tal como ha sido conducida sin la disciplina de un currfculo acordado, ha encontrado un consenso en "el proceso" más bien que en "el contenido".

Los estudios de casos están seguidos por un análisisde los obstáculos que presenta el aprendizaje de geometría, obs táculos que se consideran agrupados bajotres amplios rubros7 aprender acerca del espacio, aprender a matematizar el espacio (clasificado, describiendo, relacionando) y aprender geo metrfa pti be. Esta parte exhibe una perceptividad inusual 7 levanta varias cuestiones importantes que reclaman un estudio en profundidad con miras a una incorporación subsiguien- te dentro de la formación docente.

Sigue, a continuaci&, un capítulo sobre formación docente que es obra de un equipo formado por un matrimonio y que está basado en la experiencia madurada por largos años de trabajo realizado en ese campo en los Estados Unidos de América. Se discuten las necesidades de los estudiantes así como las técnicas en que deben ser preparados para permitir- les atender adecuadamente la jerarquía de etapas de desarro 110 mental que encontrarán en el aula. Se explican, des- pués, las implicaciones de este análisis y se sugieren, en consecuencia, muchas maneras útiles de abordar las distintas situaciones.

Se cierra el volumen con una rápida mirada hacia el futuro que ya está en nuestra mira. Ella consiste en un informe de un curso de geometría desarrollado comercialmente, basado en el empleo de un microcomputador y proyectadoparalas

Introducción 5

escuelas secundarias en los Estados Unidos de Amgrica. El pro pbsito de este curso es doble: proporcionar nociones intuíti= vas de geometrfa e impartir habilidades para reproducir demos traciones formales de geometria a la manera euclideana.Elsig tema gira sobre dos programas fundamentales, denominados "Ge; dibujo" y "Cuadro de Prueba" nombres, ambos, w resultan autodescriptivos. El autor pretende que el sistema ha tenido éxito logrando sus dos objetivos principales conjuntamentecon una ganancia,incidental:la de proporcionar una invalorable preparación para la vida en la nueva era de la informática.

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DESARROLLOS EN LA ENSEÑANZA DE GEOMETRIA EN TRES ESTADOS ARABES

Hicham Bannout y Mansour Hussain

En este breve informe identificamos las principales tendencias detectables en el desarrollo de la enseñanza de geo- metría en tres estados árabes: Kuwai, Túnez y Lfbano..Nuestro estudio se ocupa de los cambios de currfculo en ciencia que han tenido lugar en estos pafses en décadas recientes, delas ideas educativas que han acompañado estos cambios asf como de ciertos aspectos de la enseñanza llevada a cabo.

Primera parte: Los currfculos anteriores al movimiento de reforma de la décadadk 1960

En esta parte examinamos el periodo que precedió al movi miento internacional de reforma de los años de 1960. Una mi= rada al número de horas dedicadas al tema muestra que la en- señanza de matemática (Unesco, 1969) ocupaba el segundolugar detrás de la enseñanza del idioma árabe, y que se le acorda- ba tanta importancia como en los pafses desarrollados.Elcofi tenido y los métodos de enseñanza podrfan caracterizarse como clásicos y tradicionales. Era una forma de educación que no podfa desarrollar la capacidad de los alumnos para descu brir matemática por sf mismos dado que se preocupaba por 17 solución mecánica de problemas más que por estimular una com prensión auténtica de los conceptos matemáticos subyacentes: por una verdadera comprensión del razonamiento empleado. Y la importancia atribuida a la enseñanza de la geometrfa va- riaba de un país a otro.

En Kuwa¿t, y en general en los estados del golfo, no se asignaba gran importancia a la enseñanza de geometrfa, dado que la principal asignatura de matemática era el álgebra. En la escuela elemental (cuatro grados) no se estudiaba geometrfa, y en la escuela media (cuatro grados) existfa poco in- terés en enseñarla. Al comienzo de la escuela secundaria(cu2 tro grados), se enseñaban algunas nociones de geometrfa clá-

I!lcham Bannout y Manscur Russain

sica (la lfnea recta, el triángulo y el cfrculo), pero ha- ciéndose, a veces, de forma incorrecta. En el primer año, se dedicaban a geometrfa tres de las seis clases semanales de matemática, y dos de cada cinco clases en el segundo año. Sin embargo, estas clases aparecen como una p6rdida de tiem po para los alumnos dado que los resultados de esta enseñan zaeran ínsatisfactorios. En el tercer año, las tres clases- dedicadas a geometría, dentro de las siete clases semanales no fueron suficientes para poder estudiar algo de geometrfa s6lida (planos y lfneas rectas) y algunas nociones preliminares de geometrfa analftica. En el último año, se reserva- ron tres clases semanales, de un total de ocho, para trigonometrfa, geometrfa sólida (volúmenes de ciertos s61idos) y para geometrfa analitica (ecuaciones de la recta y Ae la circunferencia, longitud de segmentos de rectas).

En Túnez, se substentaba el punto de vista de que ""la geometrfa es, todavía, el mejor medio para estimular el es- píritu de investigacióny la intuición" (Túnez, 19.59, pág. 3). Sin embargo, la experiencia realizada permití6 llegar a la conclusión que fue diffcil la implementación del punto de vista señalado. Se consider6 que el álgebra y el análisis constituyen los "ingredientes básicos de la investigaci6nma temática moderna y que resultan más fácilmente comprendidos por la mayoria de los alumnos". (Túnez, 1959, pág. 3). Con- secuente con ello, el documento referido expresa que "se ha considerado prudente reducir eI énfasis sobre geometria,sin desconocer su valor educativo, y poner el mayor esfuerzo en el álgebra y en el análisis". (Túnez, 1959, pág. 3).

A pesar de estos comentarios, puede verse que el currf culo oficial (Túnez 1959, pág. 3) asignaba un lugar impar- tante a la geometría - lugar asignado esencialmente a los conceptos de la geometrfa clásica,

El currfculo prescribe, bajo el rubro de "trabajo prác tico", la manipulación de objetos reales con la finalidadd; elaborar definiciones, "descubriendo relaciones entre ciertos hechos o entidades, verificando resultados (Túnez, 1959, pág. 6) e interpretando diagramas geométricos dentro de un1 contexto real. Este tipo de enfoque favorecí6 una forma de educación basada en la organización práctica y conceptual del espacio real.

Desarrollos en la enseñinza de geomtría en tres Estados Arabes

En el primer año del nivel secundario de educación(seis grados que siguen a los seis años de educaci6n primaria) el centro del currfculo se situó en la noci6n de medida (medida de longitudes, áreas,volúmenes, ángulos, arcos de circunsferencia, pesos y tiempos). El currículo del segundo año intro ducfa nociones básicas de geometría euclideana (líneas rectas, ángulos, triángulos, cuadriláteros, las circunsferencia, definiciones y propiedades). En el tercer año se estudiaba geometrfa plana (semejanza de triángulos, relaciones mdtri- cas y trigonométricas en el triángulo rectángulo, polígonos regulares y las propiedades del cfrculo). En lo concerniente a geometrfa sólida, el currículo cubrfa los conceptos de lfneas rectas y de planos en el espacio. El programa de cuarto año contenfa cuatro secciones principales: vectores (suma de vectores, producto escalar), geometrfa plana (relaciones mé tricas y trigonométricas en triángulos, potencia de un punto respecto a una circunsferencia, lugares geométricos y la re- lación arm6nica) y geometrfa sólida (superficies planas y 1L neas rectas).

El currículo de quinto año trataba de transformaciones puntuales,completaba la geometrfa sólida (proyecciones, triz dros,sdlidos y las áreas y volúmenes de estos sãlidos) y ge2 metrfa analftica (ecuaciones del círculo y lugares geométri- cos simples). En el sexto año se introducían las nociones de polo y de polar, transformaciones puntuales y secciones cóni cas. En geometrfa vectorial y en geometrfa analítica, i0S temas considerados eran el producto vectorial, ecuaciones de una recta, circunferencia, plano y esfera y coordenadas pola - res.

En el Ubano, el currfculo de geometrfa era, en térmi - nos generales, análogo al que se termina de describirconuna o dos diferencias. Por ejemplo, no se estudiaba nada de geometrfa sólida en la escuela de nivel medio (cuatro grados si guientes a los cinco años de educación primaria) ya queelea tudio de esta parte de la geometrfa quedaba enteramente re- servado para el segundo nivel del ciclo secundario(tres años). La geometrfa vectorial y parte de la geometrfa analftica (las ecuaciones de las secciones cbnicas) se estudiaban en el úl- timo año. Y en el currfculo de los dos últimos años ue in- cluían algunas nociones preliminares de geometría descriptiva.

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En la práctica de la enseñanza, la geometrfa habfa re- cibido un status privilegiado y se le habfa atribuido un pa pel destacado en la enseñanza de matemática. La teorfa de la educación de la época consideraba a la geometrfa como una de las ramas m6s importantes de la matemática. El autén tico razonamiento matemático radica en los procesos deducti vos y lógicos presentes en las demostraciones geomdtricass rrectas. Mientras que el álgebra era un campo al alcancede todos, la geometrfa estaba reservada para los bien dotados matemáticamente. Esta geometría tom6 la forma de un tipo de organizaci6n conceptual y local del espacio y se enseñabaen directa relacibn con la experiencia del mundo real, sin hacer ningún intento por distinguir los objetos matemáticosde los otros objetos. No quedaba claro si los enunciados geomé trices (definiciones y teoremas) operaban independientemente del modelo físico o si ellos describfan objetos y relaciones que existfan antes del proceso matemAtico.

Segunda parte: los currfculos del movimiento de reforma de la dkada de 1960

Dentro del contexto del movimiento de reforma de la dg cada de los años sesenta, Unesco cooperó con grupos naciona les, en ciertos estados árabes, en la preparacidn deun"pro yecto de reforma para la educación matemática en la escuelã secundaria" (15 a 18 años de edad). Para describir el papel de la geometrfa en este proyecto, citemos el siguiente pasa je de la obra del grupo Bourbaki: "ES esta estructuración- bourbakiana de las matemáticas la que se califica como ma- Xemtica catiempakhea 0 machna.

"La matemática contemporánea, desde la aritmética más elemental al álgebra abstracta, la geometrfa y el análisis más avanzados, puede ser descrita suscintamente como el estudio del par ordenado (conjunto, estructura) conjuntamente con todas las actividades que pueden originarse a partir de este par ordenado. Por ejemplo . . . la geometría es el estudio del espacio, considerado como un conjudo de puntos con lfneas y planos como subconjuntos importantes. Y se describe la estructura del espacio mediante relaciones llamadas postulados, tales como las relaciones de estar comprendidoo

Desarrollos en la enseñanza de geometría en tres Estados Arabes

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entre, de paralelismo y de perpendicularidad. Las activida des, a su vez, consisten en transformaciones tales como rotã ciones, simetrfas, traslaciones y dilataciones y relaciones- de isometrfa y de semejanza". (Unesco, 1969, pág. 21).

De esta manera, la geometrfa se encuentra, como las otras ramas de la matemática, dentro del mundo de las estruc turas algebraicas, donde el contenido se organiza de fo& distinta a la de la geometrfa tradicional. Kuwa¿t fue uno de los estados árabes que adoptb el programa de Unesco. En 1970 se puso a prueba el currfculo correspondiente al segundo año de la escuela secundaria,en el que la parte correspondientea geometrfa comprendfa geometrfa afín y geometrfa de transformaciones. Se pudieron apreciar, a lo largo de este ensayo,al gunas de las dificultades que encontraron los alumnos en ei estudio de las nociones geométricas introducidas, dificultades debidas, en gran medida, a la forma con que se presentaron los temas en los libros preparados por Unesco y a la fa1 ta de familiaridad de los docentes con las nuevas nociones.- La segunda parte del proyecto, que cubría la parte de geometrfa vectorial, se puso en vigencia en 1972. Las comisiones encargadas de la evaluación del proyecto solicitaron una re- visión global, en especial de la parte de geometrfa que habfa sido incluida por primera vez en los currfculos. El resultado de esta accibn se concretó en el desarrollo, en 1973, de un currfculo para los tres niveles de educación (elemental, escuela media y secundario). En este currfculo, la ense ñanza de geometría -que comenzaba en el primer año de la edÜ cación elemental- utilizaba el lenguaje de conjuntos e ín-- clufa operaciones con conjuntos. Las actividades desarrolladas a nivel elemental inclufan un cierto númerodenocionesbs sicas (puntos, lineas rectas, ángulos, curvas, formas geomé- tricas planas y espaciales, medida de áreas y de volúmenes). En la escuela media, se trataban estas mismas nociones conma yor amplitud conjuntamente con otras nociones. Se introdujeron las transformaciones i porprimera vez en el currículo,se emplearon en el estudio de otros conceptos y se estudió geometria vectorial conjuntamente con algunas nociones Pr-2 liminares de geometria analitica. El estudio de transformaciones geométricas se ubicó en los dos primeros años de la educación secundaria y en el tercer año los alumnos estudiaban geometria sólida y geometria vectorial en tres:di mensiones. En el cuarto año no se estudiaba geometría. De be observarse que la geometria afín quedó excluida del CU-

Hicham Bannout y Yansour Russain

rrfculo y que no se continu6, en el primer año, con el estu - dio de triángulos y del circulo.

En lo que concierne a Túnez, puede detectarse, desde los primeros años de la educaci6n secundaria, una marcada tendencia hacia la abstracción , utilizándose el método axio mático para enseñar geometrfa en forma estructurada. Al ha= terse abstracta, la geometría quedaba completamente separa- da del mundo ffsico. Las directivas curriculares ponían en tela de juicio "los conceptos tradicionalmente descritos co mo prácticos y concretos", (Túnez, 1970, pág. 5). Aunque se reconocfa que el alumno necesita un punto de referencia para identificar un concepto, se argumentaba que este punto de referencia no necesitaba ser el mundo de todos los días.

Que contribución - se preguntb- "puede aportar un car- t6n, un trozo decuerda o un par de tijeras, a nivel de ense ñanza secundaria, a la formación del concepto de superficie plana, de línea o de ángulo". (Túnez, 1970, pág. 5).Parece- rfa que en la enseñanza desarrollada de acuerdo al currfculo anterior fueron empleados tales materiales. El métodopro puesto consistfa en presentar la geometría medianteunaconc trucción axiom6tica cuyos elementos básicos eran conjuntos- denominados "conjuntosde puntos". Estosignificabaun"juego" ene1 que se jugaba con puntos y con conjuntos de puntos dados por definición y las reglas del juego fueron denominados "axiomas". El juego consistía en utilizar las definicio nes y los axiomas para construir lo que el matemático llama teoremas. (Fayala y colb., pág. 133). Se observa que las di versas partes del currfculo para los primeros cuatro años e ran "estrechamente interdependientes y, por lo tanto, eran- tratadas como relacionadas entre ellas". (Túnez, 1970, págs. 10-12). Los conceptos que figuraban en el currfculo bajo el rubro de "conjuntos y relaciones" se utilizaban en el estudio de todas las otras partes del currfculo, particularmente en geometrfa, lo que proporcionaba motivaciones y áreas de aplicacián. Es asf que se aprecia un empleo básico de transformaciones - definidas como biyecciones- en el estudio de conceptos geom6tricos, conjuntamente con la adopción de un enfoque algebraico empleado en algunas situaciones.Ba jo el titulo de "Introducción a la geometrfa y a la medida7 aparecen conceptos elementales (superficie plana, linea rec ta, rectas paralelas y rectas perpendiculares, sectores an-

Desarrollos en la enseñanza de geometría er. tres Estados Arabes

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gulares, triángulos, rectángulo, paralelogramo y cfrculo)asf como la medida, por vfa experimental, de un segmento yde su perficies. Se ha sostenido que una adecuada introducción a la geometrfa debe destacar las propiedades topológicas elementales (fronteras, interior, exterior) así comolaspropie dades métricas elementalesdelas figuras estudiadas. El cÜ rrfculo de segundo año inclufa bajo el mismo rubro el estudio descriptivo del espacio, rectas y planos perpendiculares, sólidos y sus áreas y volúmenes. Aparecfa, también, el capitulo titulado "identificación e introduccidn a translaciones y simetrías en el plano cartesiano" en el que se su- gería que el empleo de un cuadriculado cartesiano puede introducir al alumno a la composición de transformaciones mediante procesos algebraicos y geométricos, que se complemen tan mutuamente. El propósito que se plantea la enseñanza ã este nivel es capacitar a los alumnos para "identificar las características de los objetos geométricos familiares, para definir nuevos objetos llegando aellos porabstracci6n,crean do,asf, nuevas entidades matemáticas (Túnez, 1970, pag. 6): Los docentes pueden aprovechar cada oportunidad "para pasar del nivel experimental al de la explicacián y, cuando ello sea posible, al del descubrimiento". (Túnez, 1970, pág. 6). En el currículo de tercer año encontramos "la elaboracián concreta e intuitiva del grupo de las isometrfas del plano" asf como "el uso de las isometrfas". Los alumnos estudiansi metrfa axial y simetría central, las que aparecen definidas como biyecciones del plano y se utilizan para estudiar todas las nociones geométricas del plano. En resúmen, se imparte el contenido de geometrfa a trav6s de sus aplicaciones. El currículo de cuarto año incluye los conceptosde cam po de vectores, de vector, paralelismo de rectas y planos,-. proyecci6n sobre una recta y sobre un plano, teoremadeTha- les, el grupo de las traslaciones y el grupo aditivo de vec tores, el estudio analftico de la recta en el plano, el pro dueto escalar de dos vectores y relaciones métricas en ei triángulo y en el círculo. En el currfculo de quinto año se concibe la geometrfa como un medio para la elaboración de las estructuras algebraicas. La finalidad de la partedelcg rrfculo titulada "geometrfa y R - módulos" es la de "capaci tar a los alumnos para que conciban la idea de estructura& espacio vectorial recurriendo a conceptos geométricos simples, introducidos desde el cuarto año en adelante" (Túnez- 1970, pág. 30). La noción de coordenadas facilita una "des-

14 Hicham Bannout y Wansour Hussair.

cripci6n" algebraica de las propiedades de la recta. Se di- rige la atenci6n hacia los conceptos que permiten realizarla misma operaci6n para el plano, evitando la introducci6n de toda métrica; se tratan los temas de la recta geométrica, de espacio vectorial, de aplicación lineal, de aplicacidn affny el grupo de dilataciones del plano vectorial. Bajo el tftulo de "geometrfa métrica plana", se encuentra 18 desigualdad de Cauchy-Schwarz, desigualdades triangulares y la expresión del producto escalar en un sistema ortonormal. El currfculo de sexto año incluye, bajo el título de "geometria vectorial -y geometrla afin" las bases de un espacio vectorial, la matriz de una aplicación lineal, el espacio affn de dimensión 2 ó 3, y translaciones; le sigue a estos temas el producto es calar (R-módulo de dimensión 2 ó 3) y el grupo de rotacior nes vectoriales. En la parte de geometría métrica se incluye la distancia entre dos puntos, la proyección ortogonal, planos perpendiculares y la esfera. En el séptimo año, el currf - culo comprende:

1) "Elementos de geometrfa affn y euclideana", donde se desarrollan las nociones precendentes, incluyendono ciones nuevas tales como adición y composición de ã plicaciones lineales, grupo lineal, homotecias vectoriales, baricentro, transformaciones lineales de espacios vectoriales euclideanos, las isometrfasdel plano euclideano affn y el producto vectorialde dos vectores del espacio affn.

2) "Complementos de geometrfa euclideana plana", incluyendo grupos de ángulosde semirectas vectoriales, grupos de semejanzas y ecuaciones de las secciones cónicas.

En el Libano, la teorfa de conjuntos y las estructuras algebraicas no tuvieron mucha influencia sobre la enseñanza de la geometrfa. Se empleó el lenguaje conjuntista en la escuela media para desarrollar un programa de geometría deriva do de la geometrfa clásica, pero sin modificación de su es-- tructura. Como consecuencia de la eliminaci6n de ciertos con ceptos y explicaciones imprecisas, se hizo un intento por de finir otros conceptos, a la vez que se rintrodujeron, en ei cuarto año, nociones elementales de geometría s6lida.Se pres cribió la construcción de figuras geométricas con el propdsi to de introducir los conceptos asociados a tales construcciõ nes haciéndolo, particularmente, en los dos primeros años.Eñ

l?esarrollos en la enseñanza de geometría en tres Estados Arabes

el primer año de la escuela secundaria los alumnos estudia ban geometrla vectorial y analitica, continuando en el ter= cer año, conjuntamente con el estudio,de secciones cónicas por vIIa analitica y de transformaciones por vía vectorial, pero sin recurrrir a la noción de espacio vectorial. El estudio de la geometrfa sólida se ubicó siempre en el segundo año! Puede detectarse, desde el punto de vista educativo, la existencia de una tendencia para definir la nueva termi- nología sin hacer ningún intento formal franco- al margende unos pocos intentos tfmidos- por distinguir los objetos ma- temáticos de los demás objetos. En los textos escolares apa recen expresiones matemáticas junto a expresiones provenien tes de otros origenes. Puede decirse, en último término,qu< dentro de la enseñanza de matemática, la geometría aparece en un mismo pie de igualdad con las otras ramas de la asignatura.

Tercwa parte: los currículos posteriores al movimiento de reforma de la década de 1960

Puede comprobarse que durante este per-lodo los centros nacionales de educaci6n comienzan a desempeñar un papel ca- ca vez más importante en el desarrollo del curriculo yenla produccibn de textos escolares. Se solicitó la revisión de los currkulos anteriores diseñados bajo la influencia de matemáticos universitarios. El movimiento de reforma de la década de 1960, fue tachado, en el Coloquio patrocinado por ALECSCO en 1981, como excedido en la cantidad de teo - ría propuesta, como carente de aplicación a otros campos cientlficos y de no estar relacionado con las capacidadesde los estudiantes. Se colocó el énfasis en la enseñanzadegez metrfa sobre una construcci6n estrictamente. formal,sin con siderar la experiencia adquirida en el mundo concreto. E< ciertos países, incluso, se emprendid la modernización de la enseñanza de geometrfa con la intención puesta en la ru2 tura con el contenido tradicional. Puede observarse en los curriculos actuales una tendencia a asignar considerableim portancia a la enseñanza de geometrfa así como una preocu- pacibn por utilizar las estructuras sin descuidar la base fisica que les sirve de apoyo intuitivo. Parece probableque esta tendencia continúe en el futuro.

El curriculo actualmente vigente en las escuelas primarias y medias de KUWC& aparece como una reorganización del

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16 Hichan Bannout y Vanscaur Hussain

contenido del currículo anterior, habiéndose colocado el a- cento sobre la construcción de figuras geométricas asf como sobre la verificación de sus propiedades. En los primeros dos años de escuela secundaria se introducen nocionesdegeo metría analitica, de geometría de transformaciones y de ge; metrla euclideana (triángulos semejantes, relaciones métri- cas en el triángulo rectángulo, etc.). En el tercer año se estudia geometría sólida y geometrfa vectorial del plano y del espacio. Y en cuarto año no se estudia geometria.

En Túnez, el foco de preocupación en las observaciones que acompañaba al currfculo oficial (Túnez, 1978 y 1982) ya no es más el concepto de conjunto y de estructura algebraica, lo que pone de manifiesto un cambio en las ideas dominantes en educación. El enunciado de objetivos generales simplemen te recuerda el papel de la educación matemática en el desarrollo intelectual del alumno y en la promoción del espfritu científico. Algunas actividades no incluidas en el curriculo anterior son incorporadas otra vez entre las nociones a considerar y aparecen también incluidas en las guias curriculares. Los conjuntos y las estructuras continúan teniendounlu gar en la presentación de la geometrfa pero, al mism8 tiempo, resurge la idea tradicional de la enseñanza de geometría, Se pone el énfasis sobre las actividades prácticas, utilizando materiales y objetos del mundo real para extraer yapoyarlas ideas matemáticas. Se le asigna una gran importancia a la ob servación y a la construcción de figuras geometricas en ei estudio de los conceptos asociados. Se excluye todo tipo de enfoque axiom6tico en el primer año de educación secundaria y se coloca al alumno frente a actividades que consolidarán su conocimientoprevio, que lo ayudarán a describir las figuras geométricas y a organizar en una clara secuencia las diversas fases de su construcción. El contenido del curriculo de la escuela media, que es virtualmente idéntico al del cu- rrículo anterior, está ordenado bajo tftulos como "el estudio de los objetos fisicos y geométricos que dan origenala, medida“ (primer año), "introducci6n al estudio práctico ael espacio" (segundo año), "geometrfa de la recta", "geometrfa plana" (tercer año), "el plano euclfdeo", "geometría euclideana plana" (cuarte año). El currfculo de quinto año incluye, bajo el titulo "álgebra lineal y sus aplicaciones", una introducción al concepto de R-módulos y de aplicaciones lineales, acompañado de la siguiente nota: "se intentará demos -

Desarrolles en la enseñanza de eeonetría en tres Estados Arabes

17

trar, a través de esta secciBn, la utilidad de las figuras, tanto porque ellas representan el espacio fisico del que debe construirse un modelo matemático, como porque ellas brin- dan un cuadro ilustrativo de un estudio teórico. En particular, se indicarán las convenciones relativas a la representa ción de vectores". Los otros dos tftulos son "geometrfa pia- na" y "geometrfa sólida". El currfculo actual consiste, en su mayor parte, en una adaptación de los temas contenidos en los currlculos anteriores, guiada por el propósito de establecer un balance entre una formadeeducacibn geométrica en la que la realidad ffsica reemplaza, a veces, a la idea mats mática, yuna forma estructurada de educación en la que se o- torga menos atención al empleo de la idea que podrla sugerir el medio ffsico. En los textos, la presentación de unconcep- to está precedida por una serie de actividades prácticas des tinadas a preparar el terreno. Si bien se emplea el lenguaje conjuntista en la presentación de conceptos, se puede ver en ella la huella de las actividades prácticas ya realizadas.

En el L-&ano, el proyecto estructurado (pero no implementado todavía) para la reforma de la educación secundaria contiene algunos cambios notables. Las asignaturas del currL culo se estructuran bajo la forma de unidades de enseñanzare flejando, con ello, un intento para integrar las diversas rc masdela matemática escolar y paraasegurar la unidad dela ense - ñanza . El currículo de primer año incluirla, junto a estruz turas algebraicas, dos unidades de geometria: la primera tr2 tando el plano afín, seguida por el plano vectorial, con ciertas aplicaciones (divisidn armónica, baricentro, ecuación de la recta) y la segunda dedicada al plano euclideano (producto escalar, ortogonalidad). Y dentro del marco de estas dos unidades se introducirian las transformaciones (transla- ción, simetrías, rotacibn). De forma similar, se tomaríanpro visiones para realizar en el segundo año el estudio ordenado de tres espacios: afin, vectorial y euclideano. En terceraño se introducirfan los espacios vectoriales reales al comienzo de la unidad de álgebra lineal, mientrasotras unidades se o- cuparfan del estudio de la geometrla analftica en los espacios affn y vectorial, asf como de algunos conceptos de geometrfa~descriptiva. Se tomarfan, finalmente, las providencias necesarias para el estudio en forma analftica de las secciones cónicas y de las transformaciones en el plano, poniendo particular énfasis sobre los grupos deestastransformaciones.

Vista desde un punto de vista educativo, la educación matemática actual muestra una tendencia a introducir los ob-, jetos y el lenguaje dela.matemática y a presentar su conteni do en un orden tal que no sigue, necesariamente, la clasifi- cación tradicional de los diversos temas.

Conclusibn

Bajo la influencia de la matemática universitaria y de los movimientos internacionales de reforma, la enseñanza de geometria experimentó cambios considerables en los estados á rabes que, en algunos casos, fueron radicales pero variando- siempre de un país a otro. Tales cambios fueron sometidos a un proceso de revaluación con la finalidad de llegar a un equilibrio entre la enseñanza tradicional de geometria y una enseñanza de geometrfa basada en estructuras algebraicas.La enseñanza de geometria está abocada a la tarea de desarrollarse según estas lineas, prestando la debida atenci6n ala experiencia nacional de cada psis en particular, asi como a las circunstancias culturales, cientificas y educativas que presenta cada uno.

Referencias

Fayala; Pinchinat; Trebitsch. hk&~&n~at¿~u~-'I. Túnez, Socie- dad Nacional de Edición y de Difusión.

Túnez. Ministeriode Educación de Juventud y de Deportes.1970. Phogmmmu o~,$kid~ de l’ena&nemeti aecondahe; - Ma&i&mat¿que¿, fásciculo 12. Túnez.

Túnez. Ministerio de Educacibn Nacional. 1978; 1982.Phog/ram- rned o,-j&kk.b de L’enmignment aeconda&e; b%hntiqueb Túnez.

Túnez. Secretarla de Estado de Educación Nacional. 1959. PhOgh.iU??mU o~~ici~b de ~‘enbeigivwnl 4econdaihe; kd%C mntiqua, fascfculo 7.

-

Unesco. 1969. SchooP 6la.thema.tic~ in Ahab Couti~. 'Paris, Unesco. (Proyecto de Matemáticas de Unesco para los Es- tados Arabes) [SC/WS/201].

* * *

GEOMETRIA PARA ALUMNOS DE 13 ANOS DE EDAD ENCANADAYENLOSESTADOSUNIDOSDEAMERICA

David F. Robitaille y Kenneth J. Travers

El control de la educación en Canadá y en Estados Uní dos de América en contraste con la situacibn en muchos paix ses, no está centralizado. En Canadá, cada provincia ejer- ce un control independiente sobre su sistema escolar. En Estados Unidos de Am6rica esta autoridad reside o en el estado o a nivel de distrito escolar local. En consecuencia, existen diferencias importantes tanto dentro de ellos como entre los dos países en relación a la estructura delos sis temas educativos y los currfculos. A pesar de tales difez rencias hay, no obstante, muchas semejanzas en los currfculos de matemática de ambos paises. Este es el caso para el currfculo de geometria, donde, muchos de los mismos temas son tratados en el mismo nivel escolar en ambos países.

En el período comprendidoentre 1980-82, los estudiantes de matemática, canadienses y americanos y sus profesores, participaron en el Second International Studyof Mathematics el que fue patrocinado por la fnternational Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) (Asociación Internacional para la Evaluación de los Logroe Educativos). El estudio de la IEA, que fue realizado en veinte pafses,se centralizó sobre dos grupos de estudiantes: 13 años de edad (Población A), y los estudiantes del último año de escuela secundaria que se estaban especializando en el estudio de la matemática [23] (Población B). Canadá estaba representado en el estudio, por muestras de profesores y estudiantes de dos provincias: Columbia Británica y Ontario. En los Es- tados Unidos de América se us una amplia muestra nacional.

El estudio internacional comprendí6 un examen en profun didad.del currfculo de matemática en tres niveles: el programado, el implementado y el logrado. El primer nivel, el curriculo phoghamado es el currfculo descrito en las pautas curriculares, en el curso diseñado, en los programas y en

20 David F. Robitaille y Kenneth J. Travers

los textos, adoptados a nivel del sistema. El segundo nivel es el currículo impkhn~tido, está centrado en el nivel del aula, donde el curso, lo enseña un maestro. Los maestros e- jercitan sus decisiones profesionales trasladando las pautas curriculares y los textos aprobados a los programas-para sus clases de donde resulta que su selección de temas o lfneas de énfasis pueden no estar completamente de acuerdo con aquellos que fueron propuestos a nivel del sistema. Pa- ra evaluar este currfculo implementado,seles solicitó a los maestros completar una cantidad de cuestionarios que habian sido desarrollados especfficamente para uso de este proyec- to. Por ejemplo, para cada uno de los items de los tests em pleados en el proyecto se les preguntó si a sus estudiantes se les habfa enseñado o no, la matemática que necesitaban para responder correctamente: esto fue denominado una medida de Oportunidad para Aprender (OTL). También se les pidió que suministraran una información detallada acerca delios& todos y materiales empleados en la enseñanza de una canti-- dad de temas específicos de matemática.

El tercer nivel, el currfculo kkg/rado es el currfculo aprendido por el estudiante. En el estudio internacional,el currículo logrado fue evaluado por medio de tests de rendimiento. Esto, junto con una cantidad de escalas de actitud, fueron administrados a los estudiantes en los veinte paises participantes.

Cinco ramas principales de contenido formaron las bases de la estructura del estudio internacional a nivel de la Población A: arittitica, álgebra, medida, geometria y estadística descriptiva. Para la Población B, el contenido geométrico fue limitado a la geometría analftica. En este articulo, nosotros discutiremos el currículo de geometríapc para la escuela eecundaria inferior o escuelas mediasdeAmé rica del Norte representado por las muestras de maestros 7 estudiantes de los Estados Unidos de Amgrica y las dos provincias canadienses.

La geometría en el currículo programado

En contraste con áreas tales como álgebra y arftmetica donde se manifiesta un acuerdo bastante amplio sobre lo que

Geometría para alunnos de 13 años de edad en Canadá y en los Estados Unidos de América

21

debiera enseñarse, hay muy poco acuerdo entre los paises de la IEA acerca del contenido de las ramas de la geometría, por lo menos a nivel de la Población A. Datos de estudiosin dican que hay un meollo común de contenido, pero es muy por co. El consiste casi enteramente en el trabajo elemental con figuras planas y el uso de las coordenadas. Otros temas en geometría plana,incluyendo congruencia y semejanza, son tr2 tados en la mayorfa de los paises pero no en. todos. Se da un poco menos de 6nfasis a la visualización espacial o a o- tros temas de geometría sólida.

En la Tabla 1 están presentadas las cantidades relati vas de geometría que están incluidas en el currfculo prog;a mado para Columbia Británica, Ontario y los Estados Unidos- de América. Las cifras en cada columna son las proporciones de items de tests en cada área de geometrfa incluida en el conjunto de items de la IEA, los que fueron juzgados como a propiados por comités de educadores matemáticos encadapaís.

El orden de los temas en la tabla, reflejan la frecuencia de aparicidn de aquellos temas en los currfculos de los paises de la IEA. Esto es, los items de la cateogrfa de cla sificaci6n de figuras planas tuvieron la más alta y adecuaz da calificación para los veinte pafses de la IEA, mientras temas que reflejan un enfoque formal de las transformaciones geomgtricas tuvieron el más bajo.

Los resultados indican que, a nivel del currfculo progra mado, Ontario tiene considerablementemás contenido geom6tri.I co en sus currfculos a este nivel que lo que contienen los de Columbia Británica o de los Estados Unidos de América.El aparente énfasis colocado sobre geometría de las transforma - ciones es particularmente notable.

22 David F. Robltaille y Kenneth J. Travers

Tabla 1: Indices de Extensih del Currfculo en Geometrfa

No Columbia Ontario Estados Británica Unidos

de América

Clasificacihn de figuras planas

Propiedades de figuras planas

Coordenadas

Congruencia de figuras planas

Deducciones simples

Visualización espacial

Semejanza de figuras planas

Transformaciones informales

Triángulos pitagóricos

Transformaciones formales

6 0.83 1.00 0.83

8 0.63 1.00 0.75

7 0.43 0.71 0.57

4 0.50 1.00 0.75

4 0.50 1.00 0.25

3 0.67 1.00 1.00

6 0.33 1.00 0.83

4 0 .oo 1.00 0.00

3 0.67 1.00 0.33

4 0.25 0.25 0.00

La enseñanza de geometrfa

Una clara mayorfa de docentes norteamericanos, casi un 70X, caracterizan su enfoque de instrucción en geometrfa como euclideano informal, basado en el razonamiento inductivo, la medición yapelandoa la intuición de los estudiantes. Po- cos de ellos usan un enfoque formal o vectorial, pero la ma-

Gecmetrla para alumnos de 13 años de edad en Canadá y en los Estados Unidos de América

23

yorfa lo hacen incluyendo algún trabajo con transformacio nes y geometrfa de coordenadas, como se indicó enla seccibñ previa.

Una evidencia adicional de la orientacián de los docentes viene de SUS reacciones a una serie de enunciados acerca de las prácticas de enseñanza en geometrfa. Casi un 70% están de acuerdo en que un enfoque intuitivo dela geometrfa es más significativo para alumnos de 13 años que un enfoque formal, y el 75% está de acuerdo en que el uso de ayudascon cretas y modelos es esencial en la enseñanza de geometrfa.- Inversamente, solamente 9% piensan que el dominio de procedimientos deductivos deberfa ser un importante objetivo para la geometrfa en esta etapa, y un 20% que la presentacián de contenido geométrico deberla seguir un orden determinado por un sistema axiomático.

En lo que se refiere al uso de materiales, equipos y otras ayudas audio-visuales o equiposdelaboratorio,haypreo cupacibn, pero lo único que parece tener un amplio uso soñ las reglas, compaces, transportadores y papel de gráficas. Con poca frecuencia se usan otros elementos tales como geoplanos, papeles para recortar, modelos sólidos tridimensionales, pelfculas, diapositivas y plegados. Estos resultados parecen estaren discordancia con la opiniãn de los maestros acerca de la importancia de usar tales materiales y ellopue de indicar que los docentes no tienen acceso a ellos o que por alguna razón son renuentes a usarlos.

Casi el 75% de los maestros, están de acuerdo en que los estudiantes deberfancapacitarseen.las construcciones geomé- tricas, usando regla y compás, y esto es apoyado por su in forme del uso de reglas y compases más que cualquier otro item del equipo. No está claro, no obstante, por qu6 los tE mas comunmente incluidos bajo este rótulo - transportar o bisecar un ángulo, construir una mediatriz o una paralela a una recta dada, etc. - aparecen tan prominentemente enelcu rrfculo a este nivel, ya que estas habilidades están raramente ligadas a cualquier uso posterior.

Los métodos que los maestros emplean para enseñar geometrfa varian de un tema a otro. En algunos casos, ellos intro ducen conceptos por vfa concreta, por ejemplo midiendo obje tos o coleccionado datos.

24 David F. Robitaille y Kennech J. Travers

En otros casos, es claramente didáctica: se dan definiciones y reglas. Como un ejemplo de lo anterior la mayorfa de los maestros dicen que ellos invitan a los estudiantes a medir los ángulos de un triángulo y encontrar que su sumaes de 180". Por otro lado, la mayoría de los docentes enseñan a los alumnos las propiedades de las rectas paralelas haciendo usos de definiciones y ejemplos ilustrativos. Sola- mente alrededor de un cuarto emplea actividadesdemedición o ejemplos del mundo físico. Para otros tres temas -triángu los congruentes, teorema de Pitágoras y triángulos semejantes- no habfa entre los docentes un claro consenso de opi- nión; en cambio, ellos estaban divididos, casi uniformemen- te, entre tres 0 cuatro opciones, algunas de las cuales e- ran abstractas mientras que otras eran concretas.,

Logros de los estudiantes en geometrra

De los 157 items incluidos en el fondo común de items para el estudio de la Población A, 39 trataban sobre geometrfa. Cierta información básica relativa a lo adecuadode aquellos items para los currfculos de América del Norte y el desempeño de los estudiantes en ellos, está presentadaen la Tabla 2

Tabla 2: Resumen Estadístico - Items de Geometrfa

Estados Columbia Ontario Unidos Británica de

América

Porcentaje medio de edad correcta

Conveniencia (por ciento)

Oportunidad para aprender (por ciento)

42 43 38

44 77 59

48 48 44

Geometría para alurnos de 13 aF.os de edad en Canadá y en los Estados Unidos de Anérica

25

La media internacional en geometrfa, para los veinte pafses fue 41%, pero la comparación de logros entre América del Norte y otros pafses son difíciles de establecer en el caso de la geometrfa porque fueron relativamente pocos los items apropiados para todos los países. Por ejemplo, el hecho que los estudiantes de la Columbia Británica tuvieranun procentaje medio de edad correcta de 42% y que esto fueraca si exactamente el mismo que el resultado logrado por los eg tudiantes en Bélgica, no es fácilmente interpretable, pues= to que el currfculo de geometrfa en estos dos paises es radicalmente diferente.

Los resultados expuestos en la segunda y tercera fila de la Tabla 2, muestran que solamente 44% de los items de geometrfa eran considerados apropiados para la Columbia Br& tánica, currículo diseñado por un Comité de especialistasen matemática de Columbia Británica, y esto coincide con el re sultado de OTL, del 48% suministrado por los maestros de clase, cuyos estudiantes respondieronaquellos items. Estos números nos dicen que menos de la mitad de los items referí dos a contenido geom6trico habían sido enseñados a aquellos estudiantes.

Hay una mayor discrepancia entre estos dos conjuntosde resultados para Ontario y los Estados Unidos de Am&rica, y esta puede ser tomada como una ilustración de la brecha que puede existir en un pafs, entre el currfculo programadoyel implementado.

Hubieron solamente dos items a los que se le atribuye- ron más del 75% del puntaje OTL, en las tres jurisdicciones norteamericanas. Estos están exhibidos en las Figuras 1 y 2.

26 ikid-F. Róiiitaille y Kenneth J. Travers

iCuál de los ángulos indicados es AGUDO?

A. LL

D. <

B. 3

c. L

E. A

Columbia Estados Británica Ontario Unidos

deAmérica

Porcentaje

Correcto

OTL (por ciento)

57 76 52

79 92 86

Figura 1

x es igual a

A. 75 B. 70 C. 65 D. 60 E. 40

Geometría para alumnos de 13 años de edad en Canadá y en los Estados Unidos de América

27

Columbia Estados

Británica Ontario Unidos de América

Porcentaje

Correcto

OTL (por ciento)

71 73 52

84 84 82

Figura 2

El hecho de que sólo dos items, ambos requiriendo única- mente recordar una definición o una aplicación directa de la suma de los ángulos de un triángulo, recibió una alta califi cación de OTL constituye una evidencia más de la falta de a= cuerdo sobre contenido apropiado para geometrfa. En el -contexto norteamericano, ello puede ser, también, la evidencia del hecho de que un cierto número de maestros en este nivel, no incluye ningún contenido geométrico en sus cursos.

Otra caracterfstica interesante de los itemsdegeometrfa en el estudio de IEA fue la inclusión de un número de items como los exhibidos en la Figura 3, los que se relacionan con la visualización espacial. En general, los estudiantes se de sempeñaron en aquellos items , mucho mejor de lo que sus maes tros*hubiesen esperado, en base a las bajas calificacionesde OTL que ellos habían obtenido. Respecto a este ftem, por e- jemplo, la brecha entre los logros y las calificaciones de OTL es mayor del 40 por ciento en cada caso.

28 David F. Robltaille y Kenneth J. Travers

La Figura de arriba muestra un cubo de madera con un vértice cortado y sombreado. iCuál de los siguientes dibujos muestra cómo sería visto es te cubo cuando se observa directa-- mente desde arriba?

r7\ cu D D

E q \ Columbia Británica

Estados Ontakio Unidos

de América

Porcentaje

Correcto

OTL @or ciento)

75 66 60

21 18 17

Figura 3

Geometría para alumnos de 13 afios de edad en Canadá y en los Estados Cnldos de América

29

Conclusión

El cuadro del currfculo de matemática de Américadel Nor te, en geometría, en la escuela secundaria inferior o a ni ve1 de escuela media, que emerge de un análisis de los datos del Segundo Estudio Internacional de Matemática, no es particularmente alentador. Queda la impresión de la falta de una clara dirección o progreso hacia una meta identifica da. Figura geometría en el currfculo, pero nadie parece es= tar seguro del por qué está allí, cuánto tiempo dedicarle o c6mo enseñarla mejor. En realidad, más de la mitad de los maestros dedicaron menos del 10 por ciento del tiempode cla se disponible para matemática, durante el año escolar, par; trabajar en geometrfa.

* * *

ENSEFIANZA DE GEOMETRIA EN AMERICA LATINA

Emilio Lluis

Diversidad en medio de la heterogeneidad

Si se nos preguntara cuál es la principal caracterfsti ca de la enseñanza de geometrfa en América Latina, en el rno mento actual, yo replicarfa que es, sin dudas, la carencia- de ideas acerca de lo que se debe enseñar. Y también dirfa que esta condición no es exclusiva de América Latina ya que se mantienen puntos de vista radicalmente opuestos, aun en algunos de los paises más avanzados del mundo. En algunos paises, la enseñanza de la geometrfa, como tal, ha sido casi completamente suprimida, Otros, respestuosos de la tradi ción y defendiendo los valores formativos de la geometríapu raS suministran cursos completos e independientes de varios años de duración en esta disciplina. Otros, además,evitando la fácil precisión del álgebra, enseñan una geometría caren te de su carácter especifico y generalmente pobre en contez nido.

Aunque no se lleg6 a tales extremos, América Latina es tá atravesando un período similar de indecisidn y carente- de dirección. Esto dificulta la descripción, en términosge nerales, del estado actual de la enseñanza de geometrfa. Nc sotros también tenemos que tener presente que América Latí=, na no es una regidn completamente homogénea. Sus paises podrfan, tal vez, agruparse en tres regiones, mostrando, cada una, caracterfsticas relativamente uniformes. La primera po drfa incluir ciertos paises en la parte norte de Américada Sur, América Central, México y algunos países del Caribe;el vasto territorio de Brasil con sus características muy espe cíales podría constituir la segunda región; la tercera re- gión estarfa formada por países tales como Argentina, Chile y Uruguay. Resulta de ello, que las descripciones, datos y observaciones contenidas en este informe, no son siempre a- plicables a todos los países de América Latina, si bienellos son aplicables a regiones particulares.

Eci!io Lluis

Puesto que no hay uniformidad en cuanto a la división de los alumnos en los niveles educativos, es necesario, por razones de conveniencia lingüfstica, definir el significado de ciertas expresiones. Los primeros seis años de escola ridad, aproximadamente el grupo de edad 6 a 11 años, ser3 referido como escuela primaria o nivel elemental. Los pro- ximos cinco a 6eis años, aproximadamente de 12 a 17 años,se rá referido como educación escolar media o nivel secundario. Después viene el nivel más alto o sea nivel universita. - rio.

Algunos antecedentes

Puesto que la enseñanza actual de la geometría es el resultado de una larga serie de cambios,unas pocas observaciones sobre sus antecedentes hist6ricos en América Latina pueden ser útiles.

Mientras la primera mitad de este siglo fue marcada por una serie de cambios en la enseñanza de la aritmética y el álgebra, la geometrfapermaneció básicamente íncambiada. Se puede decir que, desde el principio de siglo hasta 1950y 1960, se enseñó la misma clase de geometrfa, tanto a nivel primario como secundario, es decir pasó medio siglo sin cam bios. Ciertos textos, tales como el admirable de Wentworth-y Smith (editado en 1915) se continuó usando en muchas áreas de América Latina durante este perfodo. En otras partes,los textos de geometría estaban en una línea similar. Vale la pena puntualizar que durante este perfodo la población estu diantil permaneció moderadamente estable, y que los docen= tes del nivel secundario recibieron unamuybuena formaciónen geometr$a.

Como resultado, un alto porcentaje de alumnos egresa- ron de la escuela secundaria con un fuerte conocimiento de la geometrfa euclideana. Sin embargo, la dificultad parapre sentar adecuadamente la geometrfa en los primeros años de educación secundaria, junto con el enorme crecimiento de la población estudiantil en muchos países, con la correspondiente formación acelerada de docentes, condujo, en el espa cio de pocos aiios, a un serio deterioro en la enseñanza de geometrfa. Además, hubo una drástica reducción en el sumi- nistro de cursosde geometrfa. He aqufun ejemplo:

Enseñanza de geometrfa en América Latine 33

Educaciõn media (12 a 17 años)

Años (apoximadamente) 1870 1910 1960

Duración de la educaciãn media (años) 4 4 5-6

Número total de cursos (todas las materias) 29 36 64

Número de cursos de matemática 5 4 6

Número de cursos de geometria 2 2 1

La tabla muestra que la proporcibn de los cursos de geo metria cay6 de 7 a 5 por ciento y subsecuentemente a 1.5%. - Ello muestra, también, que la proporciãn de cursos de mate- mltica cay6 de 17 a 11 por ciento y subsecuentemente a 9%. AdemSs, la única clase de geometría que se enseña últimamen- te es geometría analítica. Esta se enseña en losúltimos años de educación secundaria y su contenido geomãtrico es casi nu - lo.

Como un resultado de esta reducci6n en el número de cur sos de geometrla, unos pocos temas de geometría euclideana- diseminados en todos los cursos de álgebra fue todo lo que permaneció en los currlculos de matemática. Esto causb una pérdida gradual de conexión entre ellos; además, los temaede geometrla más interesantes desaparecieron, retrasando aquellos temas "que no requerían un conocimiento previo". Estos en lo principal eran descripciones, clasificaciones, resulta dos casi triviales y, desde luego, "definiciones". Fue en eS te punto y en muchos lugares, (aunque no en todos los paf= ses como corresponde puntualizar) que la enseñanza de geo- tría a nivel secundario, alcanzb su más bajo nivel, como se puede notar por una simple mirada a los libros de textos uti - lizados en la oportunidad.

- El punto geométrico es un elemento cuya dimensión no puede ser cuantificada.

Emilio Lluls

- Un plano es una superficie plana ilimitada, o usando "teoría de conjuntos" (para ser modernos):

- Un plano es un conjunto de puntos que forman una su+ perficie completamente plana.

- Un rayo es un conjunto de puntos que siguen a su ori - gen 0 vértice.

- Los extremos de una recta se denominan puntos. Y es- to, con un toque de "nueva matemática".

- Un conjunto es finito si se puede contar en un periodo razonable de tiempo

El impacto de la “nueva matemática”

Fue, precisamente, durante esta oscura etapa -cuandola enseñanza de geometrla cay6 en muchos lugares a esa increi- ble profundidad- que lasamplias corrientes de la "nueva ma- temática” 0 “ma&mcfXica modmna” (dependiendo de su origen) hicieron su aparición repentinamente, seguidas por fuertes gritos de "abajo Euclides" -un slogan que, incidentalmente, no tenfa sentido en aquellos lugares donde Euclides ya no existfa. Antes de continuar con este informe, puedeserútil comentar, entre paréntesis, la influencia que los pafses e- jercen entre ellos. Tal influencia es mucho más grande de lo que se piensa. Y es obvio que la influencia más grandevi no de los paises m5.s avanzados. Por ejemplo, en paises si-- tuados en bajas latitudes, cerca del Ecuador, los niños dibujan la luna, frecuentemente asl:

Enseñanza de geocetría en América Latina 35

Mientras que ellos la ven asf:

La influencia señalada es demasiado obvia. Generalmen- te, esta clase de cosas no causa mayor problema, pero dema- siada influencia puede ser algunas veces, una fuentede gran preocupacidn. Un ejemplo es la enseñanza irregular de geome trfa, en loe años a que no hemos referido, bajo la poderosa influencia de la "matemática moderna" y el slogan "abajo Eu - clides".

Con la necesidad primordial de adaptarse a las nuevas ideas, tuvieron lugar una serie de cambios. Mientras los re sultados eran buenos en algunas áreas,en otras ellos fueron solamente regulares y en muchas áreas muy malos. En los e- jemplos ya citados se encuentran algunos elementos de "mate mática moderna" puesto que ya se hizo referencia a la "teo- r-fa de conjuntos". Esto es evidente por ejemplo, en el e- nunciado de que "un plano es un conjunto de puntos que forman una superficie completamente plana", 0 que "un conjunto es finito sise puede contarenunperlodode tiempo razonable".

A continuación hay dos ejemplos más del efecto de estas influencias (en la escuela secundaria).

1) Cuando dos líneas tienen uno o más puntos en común el conjutio de estos puntos se denomina infehbectión de los conjuntos en cuestión. Según el tipo de intersección las If - neas se clasifican en:

36

Y- Secantes: un punto de

intersección.

fAteas incideti~: la intersección es una

lfnea.

r Tangentes: un punto de

intersección sin atraversarse

Uneas cointidetiu: la in tersección es toda su ex-

tensión.

Enseñanza de .qeometrla en América Latina 37

2. En el estudio de cuerpos deberfamos distinguir cuatro tipos de conjuntos: puntos, lineas, superficies, cuerpos. Los puntos son &kmenikU indivisibles. Las lineas son conjun Xo de puntos en sucesidn y de manera continua. (En otras pa= labras, por muy carente de sentido que una "definicibn" pueda ser, solamente se tiene que agregar palabras mágicas ta= les como "conjunto", "elemento" o "intersección", palabras presentes en la corriente de la "matem6tica moderna", dado el uso que se hace de la "teoria de conjunto").

Causas de la declinación

En vista de esta situación, una observación de una con- tribuci6n de A.G. Howson (Congreso Internacional de Educa- ción Matemática, 1977, pbg. 205) toma una gran significacián: "Durante la década de 1960, los materialesproyectados fueron traducidos y transferidos entre (yo dirfa a) los pafses pero con insuficiente atencibn prestada a las diferencias sociales, educativas y culturales" (1).

Nosotros comentamos a continuación algunas deestasdife cias, pero comenzaremos enunciando las tres principales cau= sas que, desde nuestro punto de vista, llevan a la enseñanza de geometría a su más bajo nivel. La primera fuelaextensión y aceptación de la idea de que la necesidad básica y más importante era la "teorfa de conjuntos", de manera que la ense ñanza, tanto a nivel primario como secundario, se concentrd sobre esto. Puesto que tales conceptos no formaban parte de la formación del maestro, otra consecuencia fue que se dedicara, en cada clase, mucho tiempo a la enseñanza de teorfade conjuntos y que otros temas del currfculo no se dieran -casi invariablemente aquellos del campo de la geometría. En segun do lugar, aún el maestro con un buen conocimiento de la geometrfa euclideana no sabia si debfa o no enseñarla. Por una razdn, Euclides no era "moderno" y además, la palabra era

(1) Los paréntesis están en el informe; ellos no son del au tor.

Emilio Lluis

"abajo Euclides". En tercer lugar, aún, si él decidía, a pesar de todo, enseñar geometrfa euclideana él era asaltadopor la duda de cómo proceder: jcomo antes? iusando transformacio - nes? lusando coordenadas? iusando vectores?.

Algunos problemas tfpicos

Se ha hecho ya una breve referencia a lo que puede suce der en un pafs cuando él recibe, adapta, prueba y ocasiona7 mente adopta alguna de las nuevas ideas "flotantes" en el me dio ambiente internacional. Los resultados son algunas veces muy buenos, algunas veces regulares, pero algunas veces también muy malos (ya hemos dado ejemplos). Estodependeen gran medida de las diferencias sociales, culturales y educativas. Los resultados son generalmente buenos cuando las con diciones específicas en el pafs son similares a aquellas de los paises más comprometidos eneldesarrollo denuevas ideas; donde las condiciones son muy diferentes, los resultados son generalmente malos.

Las diferencias son, generalmente,muygrandes,muchomás grandedelo que se piensa. Aún entre pafses de América Lati- na hay grandes diferencias.

La figura de la página siguiente da datos para un siste ma educativo tfpico en una de las regiones. (Aspectos sociales y culturales son más diffciles de cuantificar).

Enseñanza de

geometrfa

en Am

érica Latina

39

r 0

r-i

cy

0%

S”

40 Emilio Lluis

Como en el ejemplo anterior, los estudiantes con edu- cación a tiempo completo, en muchos pafses de América Lati- na, muestran este tipo de curva:

41

La curva correspondiente en los pafses más avanzados es probablemente como esta:

42 Emilio Lluis

Un ejemplo es la situación en Japón, hace diez o quince años.

Grado Edad

~,scuela de graduados

las de formación

ESCUELAS PRIMMtIti

Enseknza de gecmetría en América Latina 43

Algunos , pero solamente unos pocos, paises de América Latina tienen modelos similares.

Podrfa pensarse que una curva que alcanza un punto an guloso, refleja un gran incremento en poblaci6n. Hay algode verdad en esto, pero no demasiado. Esto surge claro para la población de una generación (Castrejón Dfez, 1983, pág. 51).

CANTIDADES PARA UNA GENERACION

AñO Años de Número de estudio estudiantes

Porcentaje de Número de estudian estudiantes en tes que abandonaron

el año los estudios

1959 60 61 62 63 64

3 007 013 100% 1172317 1 834 696 61% 375 053 1 459 643 49.74% 319 245 1 140398 37.92% 170855

969 543 32.24% 69 284 900 259 29.97% 580 709

65 7 329 550 10.63% 79 086 66 8 240 464 8% 36 395 67 9 204 069 6.79% 66 164 68 10 137 905 4.59% 33 758 69 11 104 147 3.46% 12 935 70 12 91 212 3.03% 6 396

71 13 84 816 2.82% 72 14 64 282 2.14% 73 15 57 559 1.91% 74 16 43 208 1.44% 75 17 36 867 1.23%

20 534 6 723

14 351 6 341

Emilio I luis

Una simple ojeada a tales datos (necesariamente limita-' dos, puesto que ellos se refieren solamente al número de a lumnos) muestra el amplio espectro de problemas involucra= dos, que no resultan pertinentes aún en los sistemas más avanzados. Por ejemplo, en el simposio realizado en Varso- via en 1983 por la Comisión Internacional para la Instruc- ción Matemática (ICMI), una de las cuestiones para discs sión fue: "iQué matemática deberia enseñarse en las escuelas secundarias en el caso en que la preparación para la u- niversidad no es más el objetivo básico de aquellas escuelas"?

En muchos países de América Latina esta pregunta se di vide en muchas otras preguntas. Por ejemplo, teniendo en- mente geometrla, nosotros preguntarlamos: "iQu6 clase de geometrfa deberfa enseñarse en las escuelas primarias,pues to que el 90 por ciento de los alumnos no continúan su edÜ cación?" Además, dado que el porcentaje de alumnos que co; pletan su educación superior es tan pequeño (por ejemplo,- 1.23% de aquellos que la iniciaron) y también, que el papel que este limitado grupo jugará en el futuro del país, será vital, iqué clase de geometria deberla enseñarseatra vés del sistema educativo? isolamente la que es requerid; por otras asignaturas? ¿La que puedan necesitar los estudiantes en su vida de trabajo? ¿La diseñada para ofrecer una mejor formaci6n intelectual? iCuál es el peso relativo que debiera darse a tales consederaciones?

Esta clase de preguntas sonlasque enfrentan las auto ridades educativas en muchos paises y tambi6n los grupos- de matemáticos que están preocupados por la situación presente.

Pero hay amplias dudas acerca de como proceder, particularmente en sociedades donde los sistemas educativos (y la situaci6n general) plantean la clase de problemas que hemos visto.

Enseñanza de geometria en América Latina 45

Caracterlsticas imperantes

Históricamente,la influencia del medio ambiente interna- cíonalylas caracterIsticasespecificas de cada región o pais han llevado,eomo se dijo anteríormente,a una gran variedad de situaciones. Nosotros resaltaremos algunas que son, tal vez, caracteristicas particulares de la enseñanza de geometrfaen, América Latina.

1. Se tian .toda clase de endoque bddcos. Ellos incluyen: el método euclídeano tradicional (el que tiende a desa parecer rápidamente); métodos basados sobre la axiomática& Hilbert (poco usado hoy día); métodos basados sobre la axio mática de Bírkhoff (siguiendo, por ejemplo, el Mathematicai Study Group); método de las transformaciones (en algunas á- reas en la escuela primaria); método vectorial, algunas veces combinado con algunos de los otros mgtodos mencionados; y mgtodo que utilizan coordenadas.

Dos puntualizaciones son necesarias aqui. Primero, el enfoque varia, a menudo, en un psis como entre los distintos niveles educativos y aún dentro de un nivel dado. Se en cuentra, por ejemplo, casos extremos, como el siguiente: uñ alumno comienza estudiando geometrfa, en la escuela primaria, usando el metodo de las transformaciones geométricas; en el primer curso de escuela secundaria pasa al tipode geo metria euclideana; en el segundo, vuelve a usar transforma= ciones; en el tercero, estudia la geometrla basándola en la axiomática de Hilbert; en el cuarto se usa en enfoquedeBir hoff y en el quinto curso se usan coordenadas.

-

La segunda puntualización es que, aunque en muchos paf ses el concepto de coordenadas se introduce a nivel primario, no es usadosistemáticamente en la geometria analítica hasta los últimos años de enseñanza secundaria.

Curiosamente, además,casi nunca resulta claro determinar si las coordenadas están siendo introducidas en el plano euclideano y en el espacio con el que el alumno ya es fa miliar, o si el plano y el espacio están siendo construi-- dos iobre la base de los número reales.

46 Emilio Lluls

2. Analizando los resultados de los datos disponibles, se llega a la conclusión de que el dtio en &L etieñunza de geome,Ocla ha Gdo v,&.t&!mente independiente de cu.ft de LOA mt.todob anttiohes ha aido tiado.

Como podrfa esperarse, el principal factor ha sido la calidad de los grupos iniciadores de los cambios - la calidad de sus materiales y de su contacto con los docentesenel aula.

3. Una caracterfstica ya mencionada es que, en la edu- cación secundaría, tu eizneñanza de La geom&h...&, como &IL, ha nido ptic~cametie. e,t!imimda. Aún la geometría analftica es

- tá, algunas veces, incorporada a los cursos de cálculo.

4. En un periodo de unos pocos años, la enseñanza de geometrfa en la mayoríadelos paises de América Latina ha pa sado por muchob cambioa. (Esta caracteristica es común a mu= chos pafses del mundo). Antes que un cambio se haya asimila- do, se ha introducido otro. Los cambios se hacen, generalmen te, sobre la base de poca o ninguna expeAmenRaci6n. No hay tiempo para llevar a cabo evaluaciones, puesto que falta la documentación adecuada. La causa principal de estos rápidos cambios es la influencia del medio ambiente internacional. 0 tros factores son el rápido crecimiento de la población esco - lar y la diversificación de estudios.

5. En un cierto número de pafses, grupos de matemáti- cos están emprendiendo significativos estudios sobre la ense ñanza de la matemática, particularmente de geometrfa. Una ca racteristica común a todos estos grupos son los pocos recurz sos financieros de que disponen. La divulgaci6n de sus resul tados es limitada y la colaboración entre ellos es casi íne- xistente. Por ejemplo, el trabajo del School Mathematics Pro ject, el Institut de recherche sur l'enseignement des Ma-- thematiques (IREM), el del Mathematical Study Group, etc. es conocido en todos lados. Pero las pUUona.4 no son coticíen- tteb de LO que be c%C.f haciendo en otros paises de América La tina, ni aún del trabajo que se está realizando en su propi: país.

6. Lo mismo puede decirse de los grupos que están rea lizando valioso trabajo en el área de la evaluación educativa.

EnseKmza de geonetría en América Latina 47

7. La ~ohmacián docente eb de caL¿dad muy vahiada.Por ejemplo, en la educación medía, se encuentra, algunas veces en el mismo pafs, docentes con mejor capacitaciõn en geometrfa y docentes que carecen de toda formación en geometrfa.

8. No hay casi estudios sobre el tema de qu6 mate&- ca deber-fa enseñar en general, (menos aún en geometrfa) en las próximas décadas en los distintos países de América Latina.

¿Una vuelta a la geometrfa?

Lo extraño, en el último análisis, es que a pesar de los problemas muy especiales demuchos pafses de Am&rica La- tina, los resultados obtenidos en la enseñanza de geometrfa son muy similares a aquellos obtenidos en casi todas partes del mundo. Y, como en el resto del mundo, muchos grupos de matemáticos están expresando la esperanza de que la geometrfa -la más antigua teorfa matemática, que fue por tantos siglos el método por excelencia para la formacián del @ne- ro humano en el pensamiento 16gico.y que, de pronto, en el espacio de unas pocas décadas, desaparecí6 completamentedel horizonte educativo- jugará, otra vez su propio papel y que, parafraseando a Polya, nosotros podemos decir una vezmás que "la geometrfa desarrolla la mente" - después que sepamos qu6 clase de geometría enseñar y como hacerlo.

Referencias

Castrejón Diez, J. PUL&&A EducativoA. México, Universidad Nacional Autónoma de México.

Tercer Congreso Internacional de Educación Matemática Karlsrühe, 1976. 1977. Phoceedingd 06 tie Tkühd ítiehntiona! Congkebb on Hua%emti&! Eaúcat¿on. Karlsriiie, Universidad de Karlsrühe.

* * *

GEOMETRIA EN ASIA SUDORIEhTAI,

Lee Peng-yee, Lim Chong-keang

Este breve relevamiento cubrirá los paises pertenecíen tes a la Asociación de Paises Asiáticos Sudorientales (ASEA@ (Brunei, Indonesia, Malasia, Filipinas, Singapur y Tailandia) y Hong Kong. Aproximadamente, ellos pueden ser divididos .en dos grupos:aquellos con una fuerte influencia británica y a quellos que reflejan una influencia más americana. El primer grupo incluye Brunei, Malasia, Singapur yHongKong; el segup do grupo incluye los otros. Todos los paises mencionados anteriormente, excepto Filipinas, tienen de once a doce añosde educación primaria y secundaría; Filipinas tiene solamente diez años.

La mayoría de los pal[ses sufren, en distinto grado, la carencia del número de escuelas y la falta de calificados do - centes en matemática.

Antes y después de la nueva matemática

La geometria euclideana clásica se enseñaba antes de la introducción de la asf llamada "Nueva Matemática". Ella tendia a declinar antes del cambio. Pero con el cambio a la Nueva Matemática, se enseñó menos geometria aún. No se exi- gi6 más la demostracibn de teoremas y, por otro lado, se introdujeron transformaciones geométricas.

Aunque, más adelante tuvo lugar un movimiento de regre so a lo "básico", esta reacción no restituyb la geometriapre viamente descartada. En la mayoría de los casos se mantuvo- cierta cantidad de geometría Euclideana asi como algunas transformaciones geométricas.

P rog ramas

De un examen cuidadoso de los programas, parecerla que ee están enseñando en las esucelas, lo siguientes temas: a) Geometría Euclideana: angulas, rectas paralelas, triángulos,

50 Lee Peng-yee y Lim Chong-kesng

circulos, congruencia y semejanza. Las pruebas son limitadas a simples resultados, no incluyendo, por ejemplo, el teorema del circulo de nueve puntos. b) Geometría de Coordeandas: rectas, cfrculos y lugares geo- métricos. c) Transformaciones geométricas: traslación, rotaciBn, simetrla y transformaciones simples dadas por matrices de dos por dos. Normalmente no se incluyen los desplazamientos- si- metrfa. d) Temas afines: vectores y trigonometria, incluyendo proble mas tridimensionales simples, tal como la determinación de una distancia.

Hay desde luego variaciones locales en el resumen anterior, pero se puede notar que se enseña en las escuelas muy poca geometria tridimensional.

Influencias

Hay varios factores importantes -social, tecnológico y comercial- que influyen en la enseñanza de geometrfa enlia es cuela. El más inmediato es, tal vez, la influencia de las u= niversidades. Nos guste o no, lo que se está enseñando en las escuelas-es, en alguna medida, afectado por los currfculos universitarios. Los currfculos universitarios son en gran parte una consecuencia de lo que pasa en el mundo. En el pre sente, el análisis y el álgebra están predominanado en la rna temática universitaria. Esto no ayuda al deseo de muchos, de que se debe enseñar más geometrla en las escuelas.

Además, la industria y el comercio están siendo cadavez más dependientes de las técnicas de la estadfstica, la inves tigación operacional y el análisis numérico, y estos derivan do de la matemática, están atrayendo, gradualmente, más aten ción. Algo de ello ya ha penetrado en los currfculos escolares, particularmente la estadlstica. El hacer lugar parala estadfstica conduce a que se enseñe menos mecáncia en las es cuelas y en las universidades. La enseñanza de la mecánica - en las escuelas es una marcada tradición británica. Ella ayu da a los estudiantes a adquirir conceptos espacíales, asi como a suministrarles un modelo para una aplicación de la ma temática. Con los modelos estadisticos, reemplazando gradual mente los modelos ffsicos, la batalla por la geometría, asi como por la mecánica, parece estar perdida.

Geometría en Asia Sudoriental 51

Pero la amenaza más grande viene de la ciencia de la computación. Su énfasis está sobre la computación digital y los algoritmos. Ella ya ha ejercido una gran presidn sobre la matemática universitaria y con el tiempo llegará a las escuelas. Por lo tanto, la prediccidn de cambios en la edu- cacián matemática en un futuro cercano es que ella será más discreta y más algorítmica, lo que está en directa .oposi- ci6n al desarrollode~los aspectos geométricos. Nosotros tenemos que encontrar un modo de acomodar estosnue vos cambios sin sacrificar más a la geometría.

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Otro factor es la condición de la formación inicial de los docentes. Sean o no graduados, a los maestros no se les expone, en general, temas avanzados de geometría, durantesu formación. Esta situación está combinada con el hecho de no tener una idea clara de la dirección en que se mueve la en- señanzadela geometría. Por consiguiente, varias secciones de la geometría (euclideana, analítica o de transformaciones) no se enseñan, al presente, en forma unificada. Esto continuará hasta que nosotros tratemos de recurrir al pasa- do, en nuestro esfuerzo por revivir la enseñanza de geome- tría. En relación con esto, la sociedad matemática del Asia Sudoriental recomienda que se debería introducir en los cu- rrículos escolares másgeometrlavectorial en tres dimensiones. Esto es factible y será aceptable. Esto está de acuerdo con la tendencia en las universidades de insertar la geo metría tridimensional en el álgebra lineal. Ello conducirá- también, a relevantes temas de cálculo, que serán enseñados en la escuela secundaria superior o en el primer año de la universidad. Además, sirve para suministrar una conexián en tre varios temas de geometría de la escuela actual.

-

Observaciones finales

El presente relevamiento puede aparecer como subjetivo. No obstante, representa la situación de la enseñanza de la geometrfa en esa parte del Asia Sudoriental bajo relevamien to. Han tenido lugar en la región, como en otras partes dei mundo; muchas discusiones sobre el restablecimiento delageo metría. Se han hecho planes, la intención existe y también - hay disposición para el cambio. Hasta ahora, nada ha tenido éxito. En base a ello, debemos reconocer los siguientes hechos:

Lee Peng-yee y Lim Chong-keeng

a) En el presente se enseña menos geometría en las escuelas de lo que se enseñaba.

b) La situación planteada no es favorable al restablecimien- to de la geometría clásica.

c) Han fallado muchos intentos por introducir más geometría en las escuelas. Por consiguiente, cualquier cambio en el futuro debería mirar hacia adelante en vez de considerar lo ya experimentado.

d) A menos y hasta que pongamos más atención en la enseñan za de la geometría durante la formación docente, la ens< ñanza de la geometría en las escuelas continuará sufrieñ - do

* * *

UNA VISION RETROSPECTIVA l?E LA GEOMETRIA DE TRANSFORMACIONES

D. K. Sinha

En la historia contemporánea del desarrollo curricular, ningún aspecto de la matemática escolar en el terreno de la educación matemática ha motivado una controversia más viva y una exitación más marcada que la geometría. Sehaatribuido, con frecuencia, esta conmoción a los esfuerzos hechos por de salojar a la geometría euclideana de su lugar consagrado en el currGulo a nivel escolar. El ataque, alimentado por gri tos de combate tales como el "Abajo Euclides" y conducido,e< pecialmente, por el matemático francis Dieudonné,desencadenz muy pronto,unacontraofensiva de los admiradores de Euclides animada por los gritos de "No tocar a Euclides" y que propi- ci la restitución de Euclides a su posición anterior dentro de la matemática escolar.

Uno de los efectos que produjo este debate es que algunos educadores han proporcionado algunas alternativas notables que hubieran deseado defender tanto los admiradores co lo los detractores de Euclides. El informe ('Behnke,. 1960)- de la Conferencia de Aarhus brinda una amplio testimonio al respecto. Podrfa decirse, obviamente, que Aarhus generó más calor que luz a través de los marcados intercambios de puntos de vista y de posiciones adoptadas por matemáticosdela estatura de Dieudonné, Behnke, Freundenthal, Choquet y otros. Y es asl que la denominada "geometría de transformaciones" a parece siendo la victima de este tipo de polémica, llevándox se las cosas a una situación tal, que ha hecho ganar terreno a la impresión de quela geometría de transformaciones es algo que se opone a lo que la geometrfa de Euclides sostieneal respecto. Y, precisamente, el tema de este breve artículo es establecer que esto no es asf, y que esta situación constitu ye una oportunidad para rectificar nuestros puntos de vist< distorsionados de la geometrla de transformaciones. El artí- culo contiene, también, los fundamentos para un currículo a- ceptable de geometrla de transformaciones que ha sido puesto a prueba en la India.

Una mirada retrospectiva a la historia de la matemática nos permite señalar que el desarrollo de la geometria no ha estado nunca exento de algún tipo de controversia. Parece- rfa como si el mismo día que los matemáticos comenzaron a cuestionar los puntos débiles de la lógica del sistema euclideano, se hubieran iniciado, también, vigorosos intentos por desarrollar diferentes versiones de aquel sistema. Po- drfamos decir que lo que se encuentra hoy en la esfera dela enseñanza de la matemática no es nada menos que un desbor- de de diferencias que han afectado el camino del desarrollo de la geometria. Nadie,en la actualidad, parece preocuparse por el hecho de que "punto", "recta" y "plano" se tomen como entidades no definidas (contrariamente a lo que hacia Eu clides en sus Ehmetioh). Muchos partidarios de Euclides pa recen haberse reconciliado con el dnfasis puesto sobre ei "orden" de puntos, un concepto que está notoriamente ausente en el tratamiento euclideano (y que es el responsable de muchas falacias). Pero el punto principal en cuestión parece ser el relativo a la "congruencia" de figuras. En realidad Euclides, al exponer su idea de "superposición" no reco noció que la superposición requiere alguna forma de "movi-- miento". Si bien cabe señalar que la matemática de la épo ca no contenfa ningún recurso en que apoyar su uso del tér- mino "movimiento".

El geómetra italiano del siglo diecinueve Mario Perrieno siguió tratando la cuestión pero, también entonces, sin las herramientas matemáticas de apoyo necesarias. Le estaba re- servado a Félix Klein en la década de 1870, presentar una versibn explicita del tema dando, con ella, nacimiento a la "geometrfa de transformaciones". El genio de Euclides fue capaz de preveer que la presencia del "movimiento", o de su sinónimo "transformación", resulta inevitable si se quiere constituir el concepto de figuras congruentes, y es asi que David Hilbert, el gran matemático de este siglo, pagó un significativo tributo a la percepción que tuvo Euclides de esta necesidad.

Infortunadamente, la definición de geometrfa introducida por Felix Klein no recibió una atencibn suficiente.Sise toma el trabajo de examinarla, puede decirse, entonces, que la geometria euclideana es el estudio de aquellas transformaciones euclideanas que dejan invariantes las propiedades

55

de las figuras geométricas. En el plano euclideano,las trans formaciones básicas son la simetrla, la traslación y la ro= tación. Se dice que dos figuras son "congruentes" si, para decirlo en forma sencilla, pueden hacerse coincidir mediante una aplicación apropiada de una o más de tales transformacio nes, 0 si, para expresarlo en términos más precisos, ellas- pueden relacionarse por transformaciones euclideanas o con gruentes, también llamadas isometrfas. De esta manera, parece no existirdesacuerdo entre lo que Euclides querfa lograr en su época y lo que Klein trat6 de hacer con las herramientas matemáticas disponibles en su tiempo. El enfoquedeKlein reforzó, reorganizó y reformó el tratamiento euclideano, lo que permite afirmar que la geometría de transformaciones es la geometria euclideana. No existe entre ellas la menor dife rencia, excepto cuando se imagina alguna provocada porlanoi - talgia, 0, quizás, por obscurantismo.

Habiendo establecido las razones que reivindican a la geometría de Euclides en lo que concierne a las transformacio nes, se hace necesario, todavia y a nivel de la enseñanza, a- quietar diversas dudas respecto a ella. Y se le ha dedicado- mucha reflexión a esta tarea, dentro de la cual tiene, toda- vía, mucha importancia el aspecto lógico de la geometria. A- parece todavia una cierta aprensión que considera que un enfoque a través de transformaciones no puede proporcionar el tratamiento axiomático de la geometría que tanto apreciamos. Y surge la pregunta: ¿qué puede hacerse, a pesar de las lagu nas lógicas que afectan el tratamiento euclideano? El Schooi Mathematic Study Group (SMSG) buscó las formas de taponarlos huecos, lo que lo condujo a una especie de tratamiento eucli deano modificado. El University of Illinois Committee 0: School Mathematics (UICSM) present6 una mezcla de los dos en foques ye1 Secondary School Mathematics Currículum Improve- ment Study (SSMCIS) ha tomado posición a favor de esta solu- ción. Todos estos proyectos son movimientos de vanguardia en los Estados Unidos de América. Los esfuerzos soviéticos no temieron en llegar hasta el final con las transformaciones (como lo atestiguan los textos bien conocidos de Kutuzovy de Yaglom) . Los proyectos británicos parecen estar divididos en este aspecto. Asf, el School Mathematics Project (SMP) y el Scottish Mathematics Group (SMG) parecen estar francamentein clinados a las ideas de transformaciones. La Conferencia de Ditchley intentó separar las caracteristicasdeestos intentos.

D. K. Sinha

Los materiales británicos no parecen llevar el enfoque de transformaciones al punto de dar demostraciones lógicas de los teoremas, aún cuando existen esfuerzos marginales en esta dirección. Los esfuerzos belgas, a su vez, estánimpreg nados de ideas de transformación; y algunosdelos esfuerzos de los franceses y de la República Federal de Alemania asi como los de algunos de los países nórdicos contienen, análo - gamente, enfoques de este tipo.

La creencia de que la "actividad" constituye un medio que tiende a asegurar una enseñanza matemática más efectiva se ha abierto camino, implantándose más especialmente en los niveles elemental y post-elemental que en el nivel secundario. Saquemos partido de ello, tomándolo como artfculo de fe, y además de acción, para la enseñanza de geometria a nivel escolar. Y haciéndolo, podemos imaginar numerosas actividades que permiten insistir,y en consecuencia afirmar, las nociones de simetrfa, de traslación y de rotaciBn,trans formaciones que pueden ser utilizadas, también, para demostrar algunas propiedades geométricas. Y por esta misma vía de actividades puede introducirse también, y aplicarse, la composición de transformaciones, pudiendo dejar la consoli- dación de todos los..otros resultados para el nivel medio(de 13 años en adelante). Pueden tomarse estos resultados como proposiciones iniciales, o como axiomas para desarrollar un estudio axiomático de geometría, y los primeros enfrenta- mientos con la necesidad de axiomas pueden aparecer, y considerarse, en ocasión de la demostración de teoremas tales como "los ángulos opuestos por el vértice de dos rectas secantes son congruentes", "los ángulos correspondientes de dos rectas paralelas son congruentes", etc. (teoremas que pueden demostrarse con el empleo de traslaciones o simetrfas inmediatas). Y una vez establecidas las bases para un tratamiento axiomático, se puede pasar a la demostración de los teoremas bien conocidos de la congruencia de triángulos (identificas por las siglas LAL, AAL, LLL,etc., en las que A significa ángulo y L significa lado). Pueden seguir, ahora, las transformacionesque tienen que ver con el tamaño y con la semejanza haciéndolo, como es natural, de forma axio mática pero dejando lugar para una introducción apoyada en

Una visión retrospectiva de la gecmetría de transformaciones

57

actividades concretas que preparen el camino para estas transformaciones estrechamente relacionadas, dejando la i- niciación de un ejercicio axiomático formal para los alumnos de 14 años de edad.

Esta experiencia haresultado extremadamente útil, pero que tiene que estar precedida por una actualización masiva de docentes que comprenda la orientación pertinentepara es ta forma de desarrollo, de manera de disipar la impresión- de que la geometriade transformaciones no es geometría euclideana, y remachando el hecho de que todo lo esencialdel tratamiento euclideano puede conservarse dentro del marco de un enfoque mediante transformaciones. Y se han podido de sarmar las criticas a este enfoque, introduciendo el mismo- tratamiento en el curso de matemática complementaria, conjuntamente con una cierta dosis de formalismo que aparecea hora justificado por la madurez a este nivel. Es obvio que los buenos estudiantes se han enriquecido con este enfoque y que su éxito ha contribuido, de cierto modo, a allanar el caminopara su introducción en los cursos de nivel elemental y medio de una forma más gradual.

Los materiales didácticos, los textos para alumnos, los libros y guias para docentes producidos por la Asociaciónpa ra el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática de la- India (sigla inglesa AIMT), asi como los programas de capa citación organizados por la misma Asociación, han aportado- una significativa contribución, para facilitar la introduc- ción de la geometría de transformación a nivel escolar. Pe- ro para mantenerla y apoyarla se necesitan no ~610 programas decapacitaciónpara docentes sino, también, oportunida des para apoyarla en los cursos universitarios, en los programas para certificados de educación superior, etc. Todos estos expedientes están siendo ensayados en el contexto edu cativo de laIndia, aunqueno excentosde oposición.Pero exis= ten razones, para esperar quela enseñanzade geometria flore cerá con unadieta de transformacionessinserempujada a 12 creencia infundada dela quela geometríaeuclideanaha sido enterrada por las transfarmaciones.En realidad, ha resucitado.

Referencias

Behnke, H. y colb. 1960. Le&w~e6 un hlodem Teaching 06 Geomeaky and Reldted Topic~. Aarhus, Instituto de Mate mática.

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GEOMETRIA A NIVEL SECUNDARIO EN SIERRA LEONA

Adonis F. Labor

El propósito de este artículo es explicar las caracte- rísticas actuales de la geometría en la escuela secundaria de Sierra Leona. Primero se describe, en forma resumida, el sistema escolar en Sierra Leona. Se relata el intento que se hizo en la última mitad de la década del 70 para reformar la enseñanza y el aprendizaje de matemática (incluyendo geometrfa). El resumen concluye con una breve discusión de los recientesesfuerzos para estandarizar el contenido de ma temática (incluyendo geometrfa) que se enseña a nivel de eS - cuela secundaria.

El sistema escolar en Sierra Leona

El sistema de educación formal en Sierra Leona consis- tede sieteañosde escuelaprimaria, decincoasieteañosde CA clo secundaria general, y de tres a cuatro años de programa universitario. Se tomanlos exámenesdelCertificadoGenera1 de Educación (CGE) del nivel Ordinario (0) al final de los primeroscincoañosde educaciónsecundaria.Loscandidatosapro bados pueden, entonces, continuar dos años más en la sexta- clase de la escuela secundaria para tomar los exámenes del nivel (A) Avanzado GCE, o ir directamente a la universidady proseguir un curso de cuatro años.

Todo el sistema educativo, incluyendo el nivel universitario depende del Ministerio de Educación. La administra- ción del sistema primario y secundario está, no obstante, conducida, en gran medida, con una amplia cooperación de o- tras.autoridades.Estasestáncompuestas de cuerpos religio- sos, autoridades municipales y locales y grupos privados.

A'nivel de escuela primaria, la administración de las escuelas está delegada por el Ministerio de Educación a las autoridades mencionadas. Hay, básicamente, tres tipos de eE

Adonis F. Labor

cuelas primarias. Primero, hay escuelas asistidas, dirigidas por autoridades en nombre del gobierno; éstas recibenuna sub vención estipulada por los costos de funcionamiento y el py go del lOO%, de los salarios de los docentes. Además, exis-- ten escuelas independientes, las quesson de propiedad priva- daysu dirección está fuera del control del Ministerio de Educación, pero que mantienen el standard educativo mínimo e xigido por el Ministerio de Educación. Estas también reciben 100% de los salarios de los maestros calificados. Finalmente existen escuelas privadas que no reciben ayuda del gobierno.

Las escuelas secundarias están dirigidas por un Consejo Directivo designado conjuntamente por el Ministro de Educa- ción sobre lo aconsejado por los propietarios de las escuelas. El gobierno posee y controla unas pocas escuelas secundarias. Algunas escuelas primarias y secundarias operan :.en el sistema de doble turno.

El marco general de referencia de los currículos en el nivel de enseñanza secundaria

El programa a nivel de escuela secundaria es principalmente académico, ampliamente orientado a pasar el examen del nivel "0" del GCE, después del quinto curso. De las 130 escuelas secundarias, pocas ofrecen materias tgcnicas, vocacio nales 0 agrícolas, aunque se están haciendo grandes esfuerzos para diversificar la educación que se ofrece.

En general, se sigue un amplio programa de estudios en los primeros tres años (curso 1, II y III), después deloscua les los alumnos pueden especializarse en diferentes áreas& les como ciencia, artes y materias comerciales en los cursos IV y v.

Las escuelas son libres para planear cualquier contenido de curso que ellas deseen, con tal que se mantengan dentro delas pautas de los programas del nivel "0" del GCE del Consejo de Exámenes de Africa Occidental (WAEC). Además, la especificación de objetivos y el método de enseñanza conteni do en áreas de temas, a cualquier nivel dado, se dejan enteramente a la opinión de las escuelas, y en consecuencia, a la opinión del personal docente, director y.maestros de cada escuela.

Geonerrla a nivel secundario en Sierra I.eona 61

Un intento para introducir la "Nueva Matemática" en las escuelas de Sierra Leona

Un relevamiento del comité de textos en 1974, revelóque era necesaria una minuciosa revisión en la enseñanza y apren dizaje de la matemática, tanto en contenido como en mgtodo.- Los textos del Programa de Matemgtica Regional de Africa Oc- cidental (WARMP) desarrollados por el esfuerzo conjunto de participantes de Ghana, Liberia y Sierra Leona, estuvieron prontamente disponibles. Y, a causa de una indicacidn anterior, dada por el gobierno de Sierra Leona, para usar los ma teriales del WARMF, el sub-comité del currfculo parael apreñ dizaje de matemática a nivel primario, secundario y formacizn docente, fue encargado de investigar la posibilidad de utilizar las series del WARMP (con o sin modificación) en un in tento para reformar la enseñanza y aprendizaje de la matemáz tica.

Este sub-comité, después de una serie de deliberaciones seguidas de un amplio trabajo de campo, recomend6 que las se ries para la escuela primaria podian ser implementadas sin- modificaciones pero que las series para la escuela secundaria y para la formaci6n docente necesitaban amplias modificaciones y adaptaciones antes de ser usadas.

El gobierno de Sierra Leona decidí6 implementar las re - comendaciones del sub-comitédematemática, y delegó la ta- ra de implementar las series, asi como la de actualizara los docentes, en el uso de las series de la WARMP, en el Insti- tuto de Educación. La responsabilidad diaria recayó,porcon siguiente, sobre la División Matemática de la Unidad de Re- visión del Curriculo del Instituto de Educación.

Brevemente, las series delWARMP requieren un cambio de énfasis en la enseñanza. Uno de los propósitos es ayudar a los alumnos a descubrir por ellos mismos, las ideas matemá- ticas. Asi, ello constituye un cambio, desde darle la infor mación a los alumnos a la creación de situaciones tales,que los niños puedan investigar y descubrir por sí mismos. En este cpntexto, el papel del maestro es guiar alosalumnospn ra que sean participantes activos en el aprendizaje v desc; brimiento matemático. Otra extraordinaria característica de las series del WARMP es que, en algunas instancias,al intrz ducir ciertos temas se adopta un enfoque pr;íctlco, que invz lucra actividades de los alumnos.

62 Adonis F. Labor

Para introducir las series, tanto a nivel primario como secundario, se adoptd un enfoque vertical modificado. Los materiales del WAFMP, de Primaria 1 fueron introducidos en las escuelas en 1975, Primaria II en 1976, Primaria III en 1977 y los otros textos en esta serie iban a ser introducidos, en las escuelas, en los años subsiguientes. El material de Secundaria 1 fue introducido en 1976,el de Secundaria II en 1977 y, como las series de escuela primaria, el resto de los textos iban a ser introducidos, secuencialmente, en los años siguientes.

Pero, en 1978, una cantidad de factores comenzaron a actuar contra la continuación de la implementación de las se ries del WARMP en las escuelas primarias y secundarias. Es- tos fueron, el excesivo costo en la actualización de docentes en la %ueva" matemática puesto que ellos habfan sido formados profesionalmente en la matemática tradicional, la carencia de textos en las escuelas, debido a las limitaciones econ6micas para obtener programas para continuar impri- miendo y publicando los textos localmente, y para enfrentar agentes externos de publicación, y las reacciones de los padres que no podían ofrecer más ayuda a sus hijos en esta"nu_e va" matemática. Alrededor de 1980 la mayoria de las escuelas habían vuelto a la matemática tradicional que existía an tes de la introducción de las series del WARMP. Al presente son muy pocas las escuelas quesiguen enseñando la matemática del WARMP.

Una vista general del lugar que hoy ocupa la geometría en las escuelas secundarias

Como se mencionó anteriormente, la especificacidn de objetivos, el contenido, así como los métodos que serán usados en la enseñanza de geometría, se dejan, sobre todo,a jui cio de las escuelas, y en consecuencia al personal del depar tamento de matemática, ya que la geometria forma partedelos temas del área "matemática". Como consecuencia de esta liber tad no hay uniformidad en los programas y textos de georne- tris a nivel de escuela secundaria. Esto agrava el problema de la enseñanza de geometría enlasescuelas - una situaci6n ya dificil por la carencia de docentes de matemática competentes y calificados.

Geometria a nivel secundario en Sierra Leona 63

Cada escuela diseña y usa su propio currfculo en geometrfa y los programas para los cursos más elementales (cursos 1, II, III) son preparados por miembros del grupo de profeso res. Los programas para los cursos más avanzados (curso IV,V) sc2n, en lo principal, extractados de los programas de matemá - tica del WAEC para el GCE examen de nivel "0".

La lista de temas que sigue está extraída del programa de matemática de una escuela particular, o tal vez, tipifica con carácter de muestra, la geometría que se enseña en cada curso del nivel secundario de cinco años.

Una muestra de programas

Cwrba 1 - Introducción itiformal de planos, rectas, puntos,@ gulos y sus relaciones; paralelismo y perpendicula ridad, unidades de medida (métricas e imperiales); segmentoderecta dibujar y medir ángulos; uso del transportador.

CUAAO 71- Dibujar triángulos dados - los tres lados, dos lados y el ángulo comprendido, un lado y dos Snguloe; introducción iãformal de poligonos; tipos de tri@ gula > sus nombresypropiedades; cuadriláteros, pa- ralelogramos, rectángulo y cuadrado; dibujar rectas paralelas.

CWL60171- Bisecci6n de segmentos y de ángulos; copiar un án- gulo; construcción de mediatrices; introduccidn formal de poligonos; introducción del circulo; de- finición formal de ángulos especiales-30", 45",60" y 90".

CUh6alV - Construir el suplemento de un ángulo obtuso - 150", 135", 120°, bisecar los ángulosdados; construcción

decuadriláteros con datos suficientes; investiga- ción informal del circulo, mediatrices y bisectrices interpretados como lugares geométricos.

64 ndonis F. Labor

CUrA V - Otros lugares geométricos,circulo, segmentos, sec tores, tangente y sus propiedades; planos y pro= yecciones; tridngulos semejantes; longitud y lati - tud.

Futuras direcciones en la estandarizaciõn del contenido de matemática

Hay muchas diferencias en el contenido de la geometrfa que se enseña en las distintas escuelas y a los diferentesni veles, y (como es de esperar) en los métodos de enseñanza. A causa de estas diferencias en el contenido, ha surgido una creciente preocupación entre los docentes de matemática de nivel secundario, por estandarizar los programas de matemáti ca en los cursos más bajos, dejando que los cursos superiores de las escuelas usen los programas del nivel "0"de WAEC GCE. En respuesta al pedido de la Asociación de Docentes de Matemática y bajo los auspicios de la Unidad de Revisión Ma- temática del Instituto de Educación, tuvieron lugar una se - rie de seminarios semanales en el año académico 1983/84.Uno de los objetivos de los seminarios fue iniciar la preparación de un programa de matemática para uso de los primeros cursos de las escuelas secundarias de Sierra Leona. Los programas provisorios de geometrfa que surgieron de dichos seminarios son reproducidos más abajo. Han sido sometfdos al Ministe- rio de Educación y aún se espera la decisión politica sobre su uso. Mientras tanto, las escuelas continúan usando sus programas individuales.

Programa provisorio para Geometría

cufLb0 7 - Figuras planas: planos, rectas, puntos, ángulos (introducción informal); paralelismo y perpendicu laridad; construcción de un segmento, dibujar y medir gngulos, uso del transportador, dibujar triángulos dados los tres lados; dos lados y el ángulo comprendido; un lado y dos ángulos.

Geometrfa a nivel secundario en Sierra leona 65

CuhAo 77

cwo 177

Figuras planas: Introduccibn informal de los pali gonos, tipos de triángulos (propiedades y nombre;). Cuadriláteros y rectángulos. Construcciones: bisección de un segmento y de un ángulo, transportar un ángulo, trazado de paralelas, construccidn de mediatrices.

Figuras planas: Poligonos (enfoque formal) defini, ción formal de figuras planas, circunsferencias, Construcciones: Construcción de un ángulo de 60", 90", 30" y 4s". Construcción de cuadriláteros.

CUAAO 7v y v - Programas del nivel “0" delWAEC CCE. Como mues tra el programa provisorio, el contenido de georne

trfa que se recomienda para los primeros cursos es básicame; te euclideano. El se centra sobre figuras planas y construcciones geométricas. La intenciih de este programa provisorio es fortalecer la flexibilidad en el método de enseñanza.

Y por último,desde luego, están los requerimientos del examen de nivel "0" del WAEC, que dominan el contenido de la geometria que se enseña en las escuelas secundarias de Sie- rra Leona. Pareceria apropiado concluir esta breve explica- ción estableciendo en detalle cuales son los mencionados requerimientos.

Programa de geometrla a nivel “0” del WAEC GCE

GEúMETRlA PLANA

(a)Angulos en un punto: Angulos en un punto que suman 360"; (b) los ángulos adyacentes son suplementarios; (c) los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Propiedades de las rectasparalelas: (a) los ángulos al- ternos son iguales; (b) los ángulos correspondientes sonigua les; ,(c) los ángulos conjugados son suplementarios; teoremade intercepción.

Adonis F. Labor

Triángulos y otros poligonos: (a) la suma de los ángulos deun triángulo es dos rectos; (b) el dngulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interioresno adyacentes; (c) triángulos congruentes; (d) propiedades de triángulos especiales (isóceles, equilátero, rectángulo); (e) propiedades de cuadriláteros especiales (paralelogramo, rom- bo, rectángulo, cuadrado, trapecio); (f) propiedades de los triángulos semejantes; (g) la suma de los ángulos de un pali: gono; (h) propiedades de los ángulos exteriores de un polfgo no.

Circunferencias: (a) propiedades de las cuerdas; (b) to do ángulo al centrodeuna circunferencia es el doble de todõ ángulo inscripto que comprende el mismo arco; (c) todo ángu- lo subtendido por un diámetro de la circunferencia es un án- gulo recto; (d) los ángulos en el mismo segmento son iguales (e) los ángulos en segmentos opuestos son suplementarios;(f) si una rectatocauna circunferencia y si se traza una cuerda desde el punto de contacto, cada uno de los ángulos que esta cuerda forma con la tangente es igual al ángulo en el segmen to alterno; (g) si dos circunferencias se tocan, el punto de contacto está alineado. con los centros; (h) las tangentes a un cfrculo desde un punto exterior son iguales.

TRíGON¿'METRlA Y GEÚMETRTA PRACTlCA

Razones: (a) Seno, coseno y tangente de ángulos; (b) ángulos de elevación y de depresión; (c) relaciones-reglas del seno y del coseno.

Longitudes y perímetro: (a) Empleo de teorema de Pitágo- ras para determinar longitudes de lados, alturasydistancias; (b) perimetros de figuras planas.

Areas: (a) Triángulos y cuadriláteros particulares; (b) circulos y sectores de un circulo; (c).área de la superficie de sólidos de sección recta constante; (d) relación entre á- reas de figuras semejantes.

Volúmenes: (a) sólidos de sección recta constante; (b) esferas, pirámides y conos; (c) relación entre volúmenes de figuras semejantes.

Geometría a nivel secundarlo en Sierra Leona 67

Geometría tridimensional: (a) Croquis de sólidos; (b) res tas paralelas; (c) planos paralelos; (d) normal a un plano; (e) ángulo de recta y plano; (f) ángulo de dos planos; (g) croquis de sólidos y de sus secciones planas; (h) mallas de sólidos simples.

Construcciones: (a) Bisector de ángulos y de segmentos de recta; (b) recta paralela o perpendiculara una recta dada;(c) ángulos de 60", 45", 30", y ángulo igual a un ángulo dado; (d) triángulos con datos suficientes; (e) cuadriláteros con datos suficientes; (f) divisióndeun segmento de recta en un número dado de partes iguales o en una razón dada; (g) tangentes a una circunferencia desde punto exterior; (h) segmez to de cfrculo conteniendo un ángulo dado.

Lugares geométricos: (a) Puntos a una distancia dadadeun punto dado; (b) puntos a una distancia dada de una recta dada; (c) puntos equidistantes de dos puntos dados; (d) puntos desde los cuales un segmentode recta subtiende un ángulo dado (lugar del ángulo constante).

* * *

GEOMETRIA EN LA ESCUELA PRIMARIA: ¿QUEESPOSIBLE Y QUE ES DESEABLE?

Jan de Lange Jzn

Cafda y resurgimiento

Enlamayoria de los sistemas, la enseñanza formal de geo metría parece comenzar alrededor de la edad de doce años-k poniendo que siempre se enseña algo de geometria. Es necesã ria la precisión, dado que el interés en la geometrfa ha de- clinado a lo largo de las últimas décadas. Y, enlaeducación secundaria, especialmente, la carencia de interés ha erosio- nado tanto el tema, que ella ha desaparecido completamente del curriculo de algunas escuelas.

La geometria solfa ser geometrfa euclideana -una hermosa pieza de ciencia deductiva. Y no fue por accidente que el con tenido de la primera lección registrada, fuera la lección eX perimental de geometrla en la cual Sócrates enseña al esclaz VO de Meno ante los ojos del maestro. Fue más o menos asf:

Sócrates (al esclavo): Dime, jes este cuadrivértice un cuadrado? iEntiendes?

Esclavo: Si

Sbcrates: iPuedes agregar aquí, uno igual?

Esclavo: Sí

Sócrates: iY a ambos, un tercero?

Esclavo: Sí

Sócrates: Y finalmente, para completar en el Gngulo, este otro?

Esclavo: Ciertamente

Sócrates: Entonces,¿serfan cuatro cuadrados?

Esclavo: SI

Sócrates: iCuántas veces es ahora el todo del original?

Esclavo: Cuatro veces

S6crates: Aunque seria el doble, jtúno recuerdas?

.- -_ --.-_-_..-

70 Jan de Lange ~2x1

Esclavo: Ciertamente sf

Sócrates: iUna linea de esta clase, de un vértice al o- puesto, no divide al cuadrado en dos partes iguales?

La mayorfa de los matemáticos piensan, todavfa, que la geometrfa deberla enseñarse de acuerdo a un sistema deductivo. Algunas veces se piensa que la geometrfa falló a causa deque no era lo suficientemente deductiva. Otros, con Freu- denthal (1973) piensan que la geometrfa deductiva fracasó porque su sistema deductivo no podfa ser reinventado por el que aprende , sino solamente impuesto por el maestro. En rela ción con éste, tenemos que aceptar que hay personas que nunca construirán un sistema deductivo por sf mismos, o aGn,que serán capaces de reconstruir algún otro sistema. Asf, algunos podrían argumentar que aquellos que censuran la cafdadel lugar de la geometrfa en la enseñanza delamatemática, son aquellos que han resistido la innovación en la enseñanza de la matemática.

Lo que, no obstante, es sorprendente, que paralelamente a la caída del interés en geometrfa en el nivel secundario, ha existido un creciente interés a nivel de escuela primaria. Se han hecho toda clase de propuestas. Pero no hay, aún, a- cuerdo general acerca de lo que debiera enseñarse a los ni- ños de escuela primaria. Pero existe una tendenciaaaceptar que "captar el espacio" jugaría un papel importante en ello.

iQué se quiere significar por "captar el espacio, mediante las actividades geométricas"? Si ello empieza como captar el espacio f$iTbiCO, la geometría estará estrechamente relacionada con la realidad que dfa a día está presente ene1 medio ambiente del niño. Si se la entiende en esta forma, la geometrfa puede ser un excelente medio para enseñar matemáti ca cargada de relaciones. En realidad, es probable que nE haya otro tipode.experiencia que forme una actitud matemáti- ca mejor que la educación geométrica realista.

Captando el espacio

En los Pafses Bajos, Tatiana Ehrenfest (1931) propagóes te enfoque en una serie de trabajos y a través del trabajoen

Geometria ep. la escuela primaria: ¿wé es posible y qué es deseable?

71

grupos alrededor de 1920. Las objeciones a su enfoque se oyen, aún, hoy en dfa:

"Esto es ffsica experimental, más bien que matemática" y por otro lado:

"iCómo puede un maestro mantener la disciplina en una cla se, donde los niños están caminando alrededor, contando pasos, midiendo distancias, tomando decisiones y manipulando goma y tijeras?"

La última objeción es,en efecto, muy válida, como Alan Bishop (1982) lo señal6 durante la reunibn de Mons, sobre la enseñanza de geometrfa. Deberfamos ser conscientes del hecho que el maestro tienequemanejarse con treinta 0 más niños en una clase. Esto hace que sea virtualmente imposible concen- trarse en cada niño o en las actividades de pequeños grupos. iCómo podemos crear un medio ambiente ãptimo para realizar la enseñanza de la geometrfa? Esta pregunta no se ha contestado aún.

La mejor formadeenseñar una actividad es mostrándola,de cía Comenius. El resto de este articulo se ocupará de ofrecer una variedad de ejemplos que la experiencia ha demostrado que son actividades posiblesdellevar a cabo a nivel de escuela primaria.

Procesando la observación

No es necesario ser un sic6logo para observar como apren de a moverse un niño ensu medio ambiente, durante los primer ros años de su vida.

Mirando y haciendo, el descubre su medio ambiente. Los primeros conceptos intuitivos de forma, tamaño, interioryex- terior, horizontal, y vertical, dirección, distancia, adelante y atrás, todo esto se origina durante dicho perfodo.No con sideraremos la forma en que esto tiene lugar. El hecho es que a los cuatro años, entra en el pre-escolar con una experiencia intuitiva tridimensional. Ha llegado entonces el tiempo de hacerlos más conscientes de unos pocos conceptos geométri- cos elementales. Al mirar y hacer, se agrega el razonamiento.

Los niños juegan con cuentas y bloques. Construyen enla caja de arena. Arman rompecabezas, hacen mosaicos, dibujan, pegan y recortan. Todo es geometrfa. Y, como vfa de mejorar su orientación tridimensional, hay varias actividades de ob servación apropiadas para este grupo de edad, tales como: -

a.

b.

C.

d.

e.

f.

g. h.

i.

j.

k.

1.

Mire a la cara del maestro. iPuede Ud. cubrirla con la punta de su dedo?

Este pedazo de cartón tiene un agujero. iCómo debe mantenerlo y dónde debe pararse para ver el cuadro que está en la pared?

iE camión que vemos desde un quinto piso no es más largo que mi dedo!

Los rieles de un tren parecen juntarse a la distancia.

¿En qué dirección está volando ese pájaro?

LPor qué es que ese aeroplano va tan lento?

tCuá1 es más grande, el sol o la luna?

¿La luna nos sigue alrededor?

Nosotros podemos ver al limpiador de la chimenea sobre el techo iPuede él vernos a nosotros?

LQué puede ver dentro de un cuarto cuando mira desde afuera?

¿Dé dónde vienen las sombras?

¿Qué parecerá la sombra de esta figura?

Geometrfa en la escuela primaria: iqué es posible y qué es deseable?

73

Una actividad que puede motivar a los niños es hacerles construir una "caja-panorámica" (IOWO, 1976, p. 198). Cons truir una escena en una caja de zapatos, es popular entre los niños holandeses. La tapa de la caja es reemplazada por papel transparente (algunas veces coloreado). En uno de los cortos se hace un agujero. Colocando objetos en el interior se crea una escena. Mirando con un ojo a través del agujero aumenta el sentido de profundidad y tamaño de la escena. No sotros llamaremos a este juguete caja panohdm.ica. Haciendo- una caja panorámica surgirán varias e importantes ideas ma- temáticas:

La altura de la caja determina el tamaño de las figuras. No hay problema de porporción de una figura con otra.

lugah - Al colocar las figuras, la pregunta es: i,Se pueden ver? Y entonces surgen los conceptos de: próximo - lejos; adelante-atrás; pequeño-m& grande; izquierda-derecha.

Cambiodevihán-Las figuras están colocadas en una línea vertical pero nosotros debemos mirar a través del agujero en una lfnea horizontal.

lugti de La decomcibn - Colocando una "pared" en la caja podemos determinar qué es y qué no es visible. Esto se pue-

de hacer manual o visualmente.

Vesconeotanto k?a coofm!intibn ojo-mano. "Hacer" y "ver" no van juntos. Asf la coordinacibn ojo-mano se rompe. Las figuras se colocan manualmente, pero cuando la escena esti termi - nada, ellas se pueden ver a través del agujero.

Ebtiuc~tL(hd - Si el fondo de la caja está dividida en cuadrados de césped, arena, tierra, piedras, etc. nosotros pode mos usarlos para describir la posición de una figura. Si las partes no están coloreadas, podemos usar palabras como: "el cuadrado en el frente izquierdo"; "el cuadrado de atrds";etc. Esto conduce a una estructurade reticulada. Todo ésto es ma- temática, aunque a distintos niveles de desarrollo.

Rompecabezas de observación

Comience con el cuadro de una isla imaginaria y haga toda clase de preguntas relativas a la orientación espacial.(IOWO 1976 a, pp. 204, 206,7):

74 Jan de Lange Jzn

iDesde que puntó se tomó esta vista?

Gecmtría er. la escuela primaria: iqué es posible y qué es deseable?

75

0, usando el proyector elevado, proyecte una "Montañade Bloques" sobre la pared.

Entonces, haga preguntas como estas:

iCómo puede Ud. escalar la montaña?

Indique un buen camino.

iPuede Ud. construir esta montaíia con bloques? iCuánto tiempo le llevarfa? iCuántos bloques necesitarla?

76 Jan de Lsnge Jzn

Observe estas figuras:

ACuál puede Ud. construir?

LPuede usar cola?

0, este rompecabezas de escalera:

P

LQué camino conduce a la cima?

Georetrfa el? la escuela primaria: iqué es posible y quE es deseable?

77

Pensar en un mapa de una isla es demasiado difícil. Ud. puede comenzar con una maqueta, como lo hizo proyecto O.S.M. (Gravemeijer, 1983).

In l In

el autor del

iDesde dónde se tomaron estas vistas?

Ahora el problema se puede resolver de diferentes formas: Ud. puede caminar alrededor de la maqueta y observarla desde diferentes ángulos. Asf, Ud. forma un cuadro mental de la si

- tuación y puede hacer un juicio relativo a dicho cuadro.

La orientación espacial ofrece, ahora, una fuente de numz rosas actividades matemáticas. Ud. puede, por ejemplo, usar conceptos aritm6ticos para describir una situacián; puede ir traducir rotación, traslaci6n, y simetrfa de figuras (en el plano); tambidn puede usar pictogramas y mapas, incluyendola fotograffa.

Aquí hay otro rompecabeza pictórico. El mapa representael área costera de los alrededores de Wemelringe (IOW0,1976b,pp. 216-17).

I lkm

1 cm corresponde z en la realidad a -=+

Jí km

Un remolcador, el ¿ktmuda, pasó por la costa cercadela villa de Wemelringe. El capitán reconocí6 algunos puntosen tierra: la iglesia, el molino y el faro. El tomó fotogra- ffas y las que nosostros vemos, ahora, son las que el capi- tán del Betvnuda tomó mientras él curzó Wemelringe. Desafor- tunadamente las fotograffaa se cayeron y se mezclaron.tPue - de arreglarlas en el orden correcto?

Geometrfa en la escuda primaria: iqué es posible y qué es deseable?

a b

d

j,En quéorden se tomaron las vistas?

Sombras

Las sombras ofrecen un campo rico para toda clase de acti vidadas matemáticas.

-

Es una sorpresa para nuestros alumnos que la luz del sol se propague en linea recta. Un experimento simple puede ser, para ellos, una sorpresa (Schoemaker y colb., 1981). Pegarun

Jan de Lange Jzn

pequeño pedazodepapel sobre la ventana . Tratar de "agarrar" su sombra, en cualquier lado, entre la ventana y el piso.En tonces, seguir la sombra, todo el camino, hasta el piso. Lã tarea no es fácil.

El "modelo de sombra" puede usarse para introducir las razones aritméticas. Existen distintas formas, con las cuales se puede investigar la razón entre la longitud de un objeto y la longitud de su sombra. He aquí una tarea: "¿Cuáles la altura del edificio de apartamentos que está cercadenues tra escuela?"

-

La contestación se puede encontrar por distintos caminos. Uno es comparando la longitud de la sombra de una varillaver tical y la del edificio. Esto da una estimación bastante a- proximada de la altura del edificio. Los niños puedenserpre parados para esta actividad por medio de tareas que compren- den trabajos con razones, así como también, cálculosconrazo nes. Podemos ver un ejemplo en la siguiente hoja de trabajo- (IOWO, 1976 c, pág. 276).

Dibuje la sombra para cada edificio.

Gecmetría en la escuela primaria: iqué es posible y qué es deseable?

Otro ejemplo lo da Goddijn (1983):

El sol está brillando. La sombra de uno de los postes ya ha sido dibujada en la figura. Dibuje las sombras de todos los otros postes. Dibuje, también, la sombra del farol dela calle.

Durantelanoche el sol no brilla, pero la luz del farol delacalle si. Dibuje, ahora, las sombras delos pequeñospos tes, arrojadas por el farol de la calle.

He aqui, otra situación: Ud. está caminando calle abajoy es de noche. Su sombra lo sigue a Ud. Mientras Ud. pasa por el farol de la calle, su sombra lo alcanza, pasando después, delante de Ud, Eventualmente,la sombra desaparece; pero en el próximo farol ella lo alcanza a Ud. otra vez. He aquí al gunas preguntas: iMientras Ud. se aproxima al farol,su sorn= bra aumenta o disminuye? i Y si Ud. se aleja del farol? ¿Por qué la sombra se mueve más rápido que Ud.?

82 .Jan de Lanpe Jzn

Algunos problemas

Aqufhayuno muy interesante:

LA qué distancia deberia estar un espejo para que Ud. pueda verse de cuerpo entero?

ACin a nivel del maestro éste no es un problema simple. (Schoemaker, 1984). Hubieron dos reacciones espontáneas. "Ud. puede hacerlo con un espejo pequeño si Ud. se aleja lo suficiente de él".

tra “El espejo debe tener la misma altura que yo. ¿De qué o - forma puedevermis propios pies?".

IEstá de másdecir que ambas son equivocadas!

Otro problema:

iCuánto! más cerca Ud. eetá menos puede ver! Este es el problema del guarda faro. (Schoemaker, 1979).

Geometrla en la escuela primaria: iqué es posible y qué es deseable?

83

El camina hacia el faro. Detrás del faro los conejos es tán jugando en el césped. Regresando al hogar, el hombre les cuenta a sus niños: "Cuando yo me aproximo al faro, yo estoy mgs cerca de los conejos. Aunque ellos no se alejan,yoveome nos conejos cuando me acerco. Yo mepongoen contactocon ell&. iPor qué es esto".

Ahora un problema de perspectiva:

"Es, o no, la torre más alta que el puente"?

Jan de Lange Jzn

"Explique su respuesta". Sin una adecuada preparación, este es un problema muy diffcil. Todos han experimentado el fenómeno, pero muy pocas personas pueden explicar la causa de él. El diseñador del problema espero que una vista de costado (como está) podria ofrecerse más o menos espontánea -

PUENTE j- TORRE .l 1 Pi

mente, pero esto no era el caso. Aún tan pronto como se su- girió una vista de costado, los alumnos fueron capaces de hacer algunas afirmaciones. Aunque estos problemas fueronpre sentados a niños de 12 y 13 años, ellos tuvieron muchas difi - cultades.

Sobre la forma de la tierra:

"iCómo sabes que la tierra es una esfera?"

"Porque, cuando Ud. está en la playa y un vapor se aproxima a la costa, lo primero que se ve es la parte más al ta, y solamente después todo el vapor".

-


Esta contestacidn puede no ser completamente correcta, pero la siguiente es totalmente sofisticada:

"Cuando Ud. ve una fotografía de la tierra desde un saté lite Ud. ve un circulo."

-

El maestro: "iPero entonces, ella puede ser una torta plana?"

"No, porque donde quiera que el satélite gire,ellasiem pre es un chculo."

-

Clasificación de objetos

Una de las más exitosas entradasenel mundo de las figu ras y de las formas, es permitir que los niños coleccionenG teriales usados, como cajas, latas, etc. (Sweers, 1978). -

La pregunta que surge, más 0 menos naturalmente,es: iC mo puede clasificarse.este material? Existen, desde luego, varias posibilidades:

Se puede observar el contenido;

se puede observar el tamaño (iqué es tamaño?);

se pueden observar los "bordes", o no;

se puede observar el material (papel, metal, plástico);

se puede observar la forma.

Después de la discusión, se puede usar la última posibi lidad, clasificar el material de acuerdo a la forma geométri - ca: cubos, cilindros, pirámides, prismas, etc.

También son posibles algunas otras actividades:

iCómo se puede construir una caja?

iCómo se puede dibujar una caja, (un cilindro, una pirá - mide)demanera que parezcan tan reales como sea posible?

Razones y proporciones

Las razones y proporciones, asf como también la intro- ducción de los ángulos, puede ser llevada a cabo con las som -

86

bras, como se indicó anteriormente. Pero hay, desde luego, otras posibilidades. Unas de ellas es experimentar conelvue lo de aviones de papel (Lange, 1984). Existen numerosas for mas de construir rápidamente un exitoso avión de papel,yesz ta actividad, en si misma, tiene algunos aspectos geométri- cos interesantes. Pero, los aviones de papel pueden usarse para distintos experimentos. Es necesario que ellos puedan volar adecuadamente - esto es, más o menos en linea recta. Una actividad interesante es comparar el desempeño de un aeroplano con otro. Esto se puede hacer anotando la distancia que cada aeroplano vuela, en relación a la altura desde donde se tiró.

--_ -_ --_ --_ --_ --_ -- --__ -- __ --__ --__

--_ _ -_ d --_ --

Desde luego, la altura h será diferente para cada estu diante (pero más o menos la misma para un estudiante) y 1: longitud del vuelo, variará.

Comparemos dos aviones:

avión 1 h 90 90 90 90 90 d 450 400 360 500 480

avión 2 h 120 120 120 120 120 d 600 550 620 550 580

Geocetrla en la escuela primaria: jcué es posible y qué es deseable?

07

Parece que es necesario hacer algunos experimentos más con el avión 1 para sacar conclusiones acerca de la distancia a que ~016.

El avión 2 se comporta razonablemente. Se podrfa decir que él vuela casi 580 cm. cuando es lanzado desde una altura de 120 cm. Algunos vuelos más con el avión 1 permiten decir que el avión 1 vuela casi 480 cm. cuando se lanza desde 90cm de altura. Ahora, surge la pregunta: "iCuál de los aviones se desempeña mejor? Esto nos conduce directamente a los distintos aspectos de razones,proporciones, fracciones, ángulos y porcentajes. IJna forma más simple de resolver el problema en forma geométrica es, dibujando escalas, recortándolas,super poniéndolas, y comparando el "ángulo de deslizamiento".

Cuánto más pequeño es el ángulo mejor es el avión. iPor quéesesto?

Areas

No sólo los ángulos se pueden comparar recortándolos si no que tambien las áreas se pueden comparar en formasimilar:

l- _---____ --

i‘

iCuál de los pedazos de torta es el más grande?

--

La próxima etapa es cortar papel mentalmente. Finalmen- te se atribuye una medida al área.

Cantidad de problemas surgen con un proyecto llamado Gahdeti (Dogger, 1982).

Los miembros de un club han comprado un pedazo de tierra y les gustaría plantar toda clase de vegetales. Cadauno desea su propio pedazo.

El pedazo de tierra del club tiene esta forma:

iCuál es el área de todo el pedazo de tierra?

iCómo se puede dividir en numerosos pedazos pequeños?


Uno de los problemas relativos a este terreno:

Su renta es de 10 florines por año.

Dibuje otro terreno que cueste lo mismo.

Aquf hay algunos resultados. No son todos correctos, pe ro el ingenio está presente en todos. -

MSS sobre simetrfa

Las tarjetas-espejo pueden ser muy útiles (Walter,1966; Spiegel 1984). Aqui hay una tarjeta-espejo,

90 .~an de Lanp;e Jzn

La tarea del niño es colocar un espejo sobre ella (formando un ángulo recto con la tarjeta) y tratar de encontrar cuáles de las figuras que se muestran abajo pueden ono,ha- terse.

Geometría en la escuela primaria: iqué es posible y qué es deseable?

91

Es un nivel inferior, se le da a los chicos etiquetasro jas y verdes de forma triangular (ver Gravemeijer, 1983) comõ se muestra aquí:

rojo verde

El problema es decidir dónde encaja la etiqueta verdeen lo siguiente:

Esta actividad puede continuarse con la historia de un barco. Los barcos tienen luces verdes y rojas. Cuando el barco está movidndose hacia adelante, la luz verde está a la derecha y a la izquierda está la roja.

rojo verde

Jan de Lange Jzn

Así, mirando a las luces, Ud. puede decidir si el barco está alejándose o acercándose a Ud. como se muestra aquf:

rojo verde verde verde rojo

alejándose pasa a la derecha aproximándose

Las luces en el barco están representadas por las eti- quetas coloreadas.

Los estudiantes están considerando un 'barco" que ellos puedan utilizar para resolver el problema.

C-eonetrla en la escuela primaria: iqué es posible y qué es deseable?

He aqui un problema:

93

La figura muestra los movimientos de un barco. Descu- brir,las luces que Ud. verfla desde el faro y desde el molino, mientras el barco hace el viaje.

Otro buen ejemplo es el siguiente:

Reparar el plato roto con el espejo.

El plato roto:

Un ensayo de "x

"Reparado": / PY /

Este ejemplo da una información interesante. Durante el experimento, los niños 'sienten" cuando ellos están cer- canos a la solución. Este sentimiento los capacita eventualmente para explicar por qué su solución es correcta.

Nosotros terminamos con el famoso problema: ¿,Por qué un espejo intercambia derecha e izquierda, aunque no arriba y abajo? iY qué sucede si no estoy parado, sino acostadofren - te al espejo?

Observaciones finales

"Geometria en la escuela primaria: iqué es psible y qué es deseable?" es el titulo de este artículo. Lo que yo he descrito no es la proposición de un currículo de geometría en la escuela primaria sino, simplemente, un número de actividades de naturaleza geométrica, esencialmente en el con-

Geomtría en la escuela prinaria: iqcé es posible y qué es deseable?

95

texto de un "apretado espacio". Este aspecto, por lo menos, es muy deseable de cultivar. Pero, desde luego, es necesario que se siguiera en el nivel secundario y terciario de educa- ción. Los ejemplos dados no son imaginarios. Todos han sido experimentados en las escuelas y en gran escala,

Es bueno hacer notar el renovado interés en geometria. Como se dijo anteriormente, existe un creciente intertss a ni ve1 de escuela primaria, pero, en algunos paises existe tamz bién un movimiento de "vuelta a la geometria" a nivel secundario. Este es un buen desarrollo. Como dijo Dutchman en el siglo 17: "El conocimiento de la geometrila es el primer paso para llegar a ser un hombre sensible".

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Gemecrfa en la escuela primaria: iqué es posible y qué es deseable?

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* * *

ALGUNOS PROBL,EblAS RELATIì'OS A LA ENSERANZA DE GEOMETRIAAALUb"NOSDE 10 A 14 AK'OS DEEDAì,

Milan Koman, Frantizek Kurina y Marie Tichà

Jan Vysin (1908-1983) pionero en Checoslovaquia en la di dáctica de la matemática, caracterizó el lugar de la georne- tris uniendo y haciendo más preciso todos los enfoques objetivos del conocimiento matemático.Nosotros estamos convencidos que este aspecto nunca puede ser descuidado por los docentes de matemática en actividad y que la geometria, por lo tanto, juega un papel significativo en la matetitica escolar.

Además, creemos que la enseñanza de geometría para alumnos de diez a catorce años deberia estar basada sobre consideraciones sicológicas, teóricas y prácticas. Nosostros nos ocuparemos de algunas de ellas en las primeras dos partes de nuestro articulo.

Sicología de la enseñanza

Preguntemos, primero, de dónde proviene la naturaleza ob jetiva de la geometrla. Consideramos como el hecho más impar tante el que un alumno llegue a conocer las propiedades dei espacio en el que él vive y las que percibe por medio de sus sentidos, particularmente aquellas de tocar y ver. Lo básico para el aprendizaje deberia ser, por lo tanto, la experiencia basada sobre la actividad prematedtica (tal como el juego con modelos, construir conjuntos, etc.) así como, también,en actividad matemática (tal como dibujos, copiar figuras, clasificar, etc.). Muchas situaciones importantes conducen natu ralmente a modelar conceptos geométricos y a ilustrarlos por medio del dibujo libre y por el dibujo técnico.

Es importante que el tema presentado a los alumnos sea atractivo y que les resulte interesante.

Consideramos como muy importante que la acumulación de experiencia matemática se haga sobre la base de la actividad matemática, llevada a cabo por los alumnos. Desde este punto

100 Milan Koman. Prantdek K&ina y Marie Tichi

de vista podemos distinguir dos fases. En la primera - la fa se preparatoria - los alumnos trabajan con correspondencia 7 funciones como con operadores. Por esto, intentamos actividades que apliquen las reglas de construcción a las corres pendencias y funciones dadas,por ejemplo, dibujar puntos par titulares y figuras. Entonces, en la segunda fase, los aluz nos trabajan con correspondencias y funciones como con is morfismos. Por ejemplo ellos investigan las propiedades ge; métricas (relaciones) que no cambian en las correspondencias dadas y las usan para resolver problemas. Las actividades si guientes son muy importantes y, con ellas, el niño se familiariza desde muy temprano: llenar espacios o dividirlo en partes. Estas actividades pueden ser modeladas,en una forma simple, o estudiadas en forma de interesantes y didácticos juegos geométricos. Aqui, no solamente el resultado del jue go esmuy importante, sino también, el curso que toma cuandõ la actividad se hace, precisamente, de acuerdo conlasreglas dadas.

Ilustremos este enfoquecontres problemas

Ejmpb 1 (para nueve años de edad) Sobre un papel cuadriculado, mostrar como se desarrolla una víbora si sigue las leyes dadas:

A significa crecimiento 171

B significa crecimiento m

C significa crecimiento L/I

Entonces, si utilizamos el sfmbolo para significar "seguido por", la Figura 1 ilustra Figura 1

Algunos problemas relativos a la enseñanza de geometria a alumnos de diez B catorce años de edad

101

Un conjunto de juegos de este tipo conduce a una serie de conceptos matemáticos: el concepto ae "semirrecta" o "rayo" (para alumnos denueve años de edad); de "vector" (para alumnos de diez años de edad); "diseño de un algoritmo y perioci dad" (para alumnos mayores). Como un ejemplo de llenar espa- Ci@ y* simultáneamente, de un operador de movimiento, intro- duzcamos un problema, que conduce al concepto de traslación espacial y de coordenadas espaciales.

EjempLo 2 (para once años de edad)

Construir un modelo de una casa con cubos blancos. Usando cubos coloreados mostrar su nueva posición sobre

la plataforma más alta. Para llevar el cubo coloreado a su nueva posición, se hicieron tres traslaciones: "3 pasos a la derecha, 4 hacia atrás y 1 hacia arriba". 'Llenar la tabla de abajo mostrando el movimiento de cada cubo.

Figura 2

TRASLACION DE UNA CASA DE CUBOS

Original (casa ~ISIICS) III 211 311 121 221 321 122 123 124

hdqen (casa coloreada) 652

Ejemplo 3 (para catorce años de edad)

Dibujar un polfgono y marcar un punto interior (exterior) desde el cual no se pueda ver completamente ninguno de sus lados.

Despues de un primer intento, muchos alumnos se conven- cende que no existe soluci6n. Pero, el interés de algunos de ellos crece y sus experimentos los llevan, eventualmente, a una soluci6n del problema. La Figura 3 ilustra el progresode un alumno.

102 Hilan Kaman. Frantiåek Ku&~a y Marie Tichà

Figura 3

Dado que consideramos como muy importante la máxima actividad del alumno durante las lecciones, enfatizamos la importancia de los problemas y su resolución, no solamente en el curso de geometrla escolar, sino para la totalidad de la matemática. Es importante motivar a los niños con problemas que preparan nuevo conocimiento, nuevos métodos y nuevos con ceptos. La elección de una apropiada serie de problemas moti -

Algunos problemas relativos a la enseñanza de geo,mtrfa a alumnos de diez a catorce años de edad

103

vadores representa, por si mismo, una forma de aprendizaje programado que apunta a la adquisición de nuevos algoritmos para resolver problemas.

Impulsos de práctica y de teorfa

Es necesario enfatízar que la geometría se originó en el estimulo y las necesidades prácticas de la sociedad huma na. No obstante, no podemos negar que para los alumnos de hoy dfa, la necesidad de medir o la necesidad de encontrar su ubicación en el espacio han dejado de ser problemas a- tractivos. Sin embargo, particularmente en nuestro pais,don de la educación está unificada para todos los niños hastã los 14 años, creemos que se deberla prestar atención al tema de la dimensión de las figuras geométricas y a los problemas de medida, ya que éstos son importantes para la for- mación práctica de los alumnos.

Consideramos que tales necesidades prácticas son,en cier to sentido, más importantes para los alumnos quela construc- cíóndeun sistema de conocimiento enunorden lógico,especiai mente,un sistema comolaaxiomática euclideanaclásica, donde elnúmeronoestá realmente involucrado.Uncurso escolardema temática bajo la influencia de la axiomática conduce, necesariamente, a demasiados conceptos que tienen pocas aplicaciones. La derivación de teoremas intuitivamente obvios,des de las suposiciones formuladas en los axiomas, resultan de la necesidad de ordenar las partes del conocimiento en un sistema.

Nosotros creemos que dicho sistema no está de acuerdo a la edad que estamos considerando. Cuando los alumnos carecen de experiencia, su conocimiento no puede ser clasificado en un sistema y en uno construido previamente-les parece antinatural y artificial.

El contenido y métodos de trabajo en geometrfa deberia, desde luego, estar influenciados por algunos motivos prácti cos. Ellos fueron incluidos en la geometrfa axiomática tañ tarde como en los siglos 19 y 20. Aquf, nosotros estamos es pecialmente interesados en el concepto de movimiento en general y en el concepto de vector, en particular.

Cuando los niños son muy pequeños se famiíiarizanconel movimiento y con el hecho de que el movimiento origina muchas y diferentes construcciones.

104 Hilan Koman. Frantí&zk Ku;ine Y Uarie Tichà

-En consecuencia, estamos convencidos que el movimiento (principios cinemáticos) deberia jugar un importante papel en la geometría escolar. El movimiento deber-fa ser un tema de estudio, asf como también, un método para resolver diferentes problemas. Para la parte de geometría, construida en esta forma, usaremos el nombre de "geometría de movimiento". El uso de la geometria de movimiento tiene significado cuan do se estudian correspondencias (geomdtricas). El estudiõ del "movimiento geométrico" favorece, además, la forma de pensar en otras situaciones: por ejemplo, en la resolución de problemas de geometrfa.tradicional, basados sobre tareas de construcci&, y tareas sobre conjuntos de puntos (lugares geométricos) con ciertas propiedades, asf como también en muchas situaciones no tradicionales.

Ejemplo 4 (para doce años de edad)

a) Situaci6n real: Una pasarela está acercándose a un aeroplano. Averiguar, en el dibujqcuándo la pasarela toca- rá al aeroplano.

b) Tarea matemática: dibujar un segmento de recta de longitud dada y de dirección dada, tal que sus extremos se sitúen sobre una recta dada y sobre un círculo dado.

/ 0 + Figura 4

Ejemplo 5 (para once a doce años de edad)

a) Situación real: Un acrábata atraviesa una zanja en un monociclo. En un cuadro, dibujar la trayectoria del centro del monociclo.

Algunos problemas relativos a la enseñanza de geometria a alumnos de diez a catorce años de edad

105

b) Tarea matemática: dibujar un cfrculo de radio dado que toca dossemirrectasqueforman un ángulo dador.

Figura 5

Los alumnos pueden formular tareas matemáticas y,hacién dolo, aprenden a llevar situaciones reales a situaciones rnaz temáticas. Emplear movimiento en geometrfa significaestarm&s cerca de la física. El fortalecimiento de la concepción "flsica" de la geometria está ejemplificado en nuestra concep- ción de poner más atención a la medida y por la introducción en la geometrfa del concepto fisico de centro de gravedad.

Ejempkk 6 (para trece años de edad)

Los vértices de un triángulo ABC tienen masas 1,2,3 res - pectivamente.

a) Construir gráficamente el centro de masa de los tres puntos, A,B,C de tres formas diferentes (cuando se dibujacon precisión se debe obtener, siempre, el mismo resultado).

b) Verificar el resultado experimentalmente: cuelgue el modelo de un hilo.

C(3) D(5)

Figura 6

106 Milan Roman. Prantdek Ku;ina y Marie Ti&

La tarea se puede emplear para probar "fisicamente" el llamado teorema de Ceva: las transversales AD, BE, CF de un triángulo ABC pasan por un punto si, y solamente si:

AF BD CE 1 BF -CD*AE=

El enfoque cinemático de la geometría lleva naturalmente al concepto de vector y su aplicación. Aqui juegan su papel tanto el enfoque aritmético como el enfoque geométrico del concepto de vector. El punto de vista aritmético resulta del movimiento en un reticulada cuadrado e implica una apli- cación más profunda del método de las coordenadas.

Ejetnpb 7 (para niños de once años de edad)

Un auto modelo "caja de fósforos" tiene como punto de partida S. Debe pasar por las "áreas de chequeo" A y B y, e- ventualmente, llegar al destino G.

Para partir, el alumno hace el primer movimiento como él desee. Los movimientos siguientes se hacen de acuerdo a la regla P (sin cambio de dirección y velocidad) o de acuerdo a la regla Q (cambiando la dirección y velocidad). Las reglas P y Q se definen como sigue:

Regla P . . . "repita el último movimiento"

Regla Q . . . "repita el último movimiento y complete el movimiento, moviéndose hacia un cuadrado adyacente", por ejemplo:

Figura 7

algunos prctileoas relativos a la enseñanza de gearretría a alumnos de diez a catorce años de edad

107

Otra ventaja del enfoque cinemático es laayudaquepres ta a los alumnos para captar la concepción funcional de 1; geometria. Introduciendo el movimiento y estudiando las tra yectorias de puntos y figuras en movimiento aparecen, clar: mente en geometría, las variables, asl: como cuestiones de continuidad.

El uso del movimiento geométrico como un método de resolver diversas tareas, enfatiza el papel que jueganlas ex periencias y, en consecuencia, suscita la creatividaddelos alumnos durante la tarea de resoluci6n. Al mismo tiempo se hace evidente lo adecuado del desarrollo sistemático de modelos matemáticos de situaciones reales (y matemáticas) y la necesidad de prestar atención sistemática a las aplicaciones que se presentan. Verfamos que la geometrfa tiene un alcance más amplio de lo que ha sido considerado tradicional mente. Muchas situaciones, tanto de la vida real como arit- mética pueden llevarse a situaciones geométricas. Por otro lado, las situaciones geométricas deberian estudiarse tanto del punto de vista aritmético como algebraico.

Ejem@ b

Sobre un camino que conduce a las afueras de la ciudad, hay tres cruces, A, B y C, con luces automáticas para el tránsito. En el gráfico, los intervalos de la luz verde es- tán ilustrados con líneas gruesas, para cada cruce. El grá- fico también muestra dos vehlculos moviéndose en dirección opuesta.

a) Compare como los dos vehiculos pasan el cruce. (para alumnos de 11 años).

b) Explique qué se quiere significar cuando decimos que las luces del tráfico, en varios cruces, forman una "onda verde". Investigar si las luces del tráfico, en la figura, formanuna onda verde. Si es así, dibújelo en color. (Para a lumnos de doce años).

c) Dibuje las luces del tráfico en los cruces A, B y C (la velocidad está dada) que forman una onda verde en ambas direcciones. (Para alumnos de catorce años).

108

I p

Hilan Koman, Franti:ek Ku;ina y Marie Tíchà

Figura 8

La tarea es un ejemplo de una aplicación no tradicional de problemas de movimiento y de sus soluciones. Para resol - ver el problema c) se usan triángulos semejantes para determinar las longitudes comunes de los ciclos de luces (verde + roja) para todos los cruces. En nuestro problema, para los cruces A, B y C, estos ciclos deben ser de dos minutos de du - ración (o una fracción de dos minutos).

Se ha descrito brevemente, algunas de las ventajas de la concepción cinemática de la geometrla. No afirmamos, de? de luego, que se debiera usar en todas las circunstancias.Es tamos interesados solamente en el uso adecuado y funcional - del movimiento.

En nuestra opinión, una de las características dela geo metría escolar, que surge de las necesidades de la actividad social, deberla ser la puesta de énfasis en el enfoque algo- rítmico de la resoluci6n de tareas. Por ejemplo, puede ser ventajoso presentar construcciones geométricas (aún en los grados escolares más bajos) en la forma de diagramas de bloques. Los alumnos de diez a catorce años son capaces de tra- bajardeacuerdo a programas lineales o ramifícados, o aún de acuerdo a programas que contienen cirlos.Losdiagramas de blo quespuedentambiénusarserenotras situaciones.Por ejemplq 10; pueden también usarse en otras situaciones. Por ejemplo, los

Aljynos problemas relativos a la enseñanza de geonetrla a alumnos de diez B catorce años de edad

109

alumnos se familiarizan con laconstrucción de definicionesde diversas correspondencias. La tarea de los alumnos no deberfa estar limitada, solamente, a trabajar de acuerdo a programas, pre-establecidos, sino que ellos mismos deberían aprender a escribirlos.

Ejemplo 9 (para niños de once años)

Dibuje un cuadrilátero 9

l 1 Marque dos lados adyacentes coloreándolos

Marque otro par de ledos adyacentes del cuadrilátero 9

I

Coloree el peralel”Rram” P

0 FINAL

.-_-_ ..-- _

110 Hilan Koman. Prantdek K”;ina y Marie Tichà

Creemos que el dibujo es el método para obtener respu- tas a preguntas que no son evidentes a partir de la percep- ción corriente. Por medio del dibujo o del dibujo técnico,se pueden resolver tareas que, a la edad considerada, no pueden ser resueltas por otros métodos (por ejemplo, por cálculo).

Ejemplo 10 (para doce años de edad)

Cuando se va a construir una escalera, el arquitecto, normalmente, la planea de manera que la altura v y la 1ongL tud 1, de un escal& cumpla la ecuación: 1 + 2V = 60 (60,ly v, se miden en cm. y 60 cm. es la longitud aproximada del ps so de una persona).

En libros de textos de arquitectura este problema es re suelto, algunas veces, gráficamente, como se muestra en lã Figura 9.

INCLINACION DE LA ESCALERA

CONSTRUCCION DE ESCALONES

Figura 9

Alqunos problemas relativos a la enseìianza de georretrfa a alumnos de diez a catorce años de edad

111

La deducción en geometrfa

Dado que no consideramos adecuado un desarrollo deducti VO de la geometría en la escuela media, se plantea la cues- tión de determinar sí esta importante componente de la ense señanza de matemática no debería emplearse en geometrfa. Ex nuestra opinión "demostrar" tiene un lugar solamente en aque 110s casos en que es necesario justificar una afirmación y cuando fracasan otros medíos (por ejemplo, experimentación).

Tal situación puede ocurrir, por ejemplo, cuando se re- suelve la siguiente tarea:

Ejemph 77 (para alumnos de catorce años)

Dibujar ocho segmentos de recta de manera que cada uno de ellos intercepte solamente tres de los restantes. Resol- ver una tareaanálogapara siete segmentos.

Los alumnos resuelven la primera parte del problema des pués de algunas experimentaciones. Ellos no pueden tener éxi to al resolver la segunda parte, aún después de largo tiempõ de experimentaciones. Asl, ellos conjeturan que, para siete segmentos, la tarea no tiene solución. Y aquí se presenta la oportunidad correcta para usar un argumento lbgico.

Otra contribución de la geometria al desarrollo del pen samiento de los alumnos es la resolucióndetareasquell~

- van a la construcción de figuras con propiedades dadas.

Eiemplo 12 (para catorce años de ,:edad)

Un prisma cuadrangular tiene todas sus caras congruentes. iSe deduce que todas las aristas son iguales?

Un prisma cuadrangular tiene todas las aristas iguales. LSe deduce que todas las caras son congruentes?

Objetivos de la enseñanza de la geometrfa

Tratemos de contestar una pregunta de cierta trascenden cía. iQué finalidades perseguimos cuando enseñamosgeometríañ alumnos de diez a catorce años?

Pensamos que existen tres finalidades principales:

La primera, es familiarizar a los alumnos con los conceptos y propiedades más.importantes del espacio euclideanoy enseñarles a usarlos.

Para alcanzar este objetivo, organizamos las actividades de los alumnos alrededor de modelos flsicos, gráficos y aritméticos de objetos geométricos, o les proporcionamos actividades con objetos geométricos. Entre los modelos fisicos preferimos los modelos m6viles a los estáticos. El manipular modelos móviles motiva una cantidad de relaciones matemáti- cas, operaciones o correspondencias. Se consideran, en parti cular, las siguientes actividades: -dividir el espacio : eñ partes (por ejemplo, semiplanos, semiespacios, ángulos,etc); -cubrir el espacio (por ejemplo,construyendo formas geométri cas con propiedades dadas, determinar el tamaño de formas dã das, etc.); -modelar algunas relaciones geométricas en el eS patio (por ejemplo, objetos que exhiban paralelismo y per-- pendicularidad); -modelar movimientos (de figuras geométri- cas) en el espacio (por ejemplo,trayectorias de puntos y tra zos de figuras moviéndose en una dirección dada con sus apli caciones respectivas); -relevamiento y proyección de figuras y sólidos; - medidas en el espacio; -experiencias geométri- cas; y conclusiones deductivas en situaciones simples (por e jemplo, las propiedades de un triángulo equilátero, etc.>. -

Creemos que la segunda finalidad es equipar a los alumnos con recursos para la resolucián de problemasgeométricosy realización de tareas prácticas simples, de carácter geomé- trico.Estos recursos son, en particular: - modelos gráficos de geometrla euclideana; - medios gráficos, pero no geomét- cos para describir y estudiar las propiedades de situaciones geométricas (por ejemplo, diagramas de bloques, árboles de posibilidades lógicas, gráficas y diagramas, etc.); - herramientas numéricas para la resolución de problemas geométri- cos (fórmulas para calcular las áreas de figuras, teoremade Pitágoras, trigonometría del triángulo rectángulo, etc); y un modelo "topográfico" de la geometría euclidena (por ejemplo, ubicando una linea, un rectángulo, etc. en el terreno).

La tercera finalidad es equipar a los alumnos con la ha bilidad para usar algunos procedimientos y métodos simples de matemática. Consideramos los siguientes, como los más importantes: - dibujo técnico de tareas geométricas y bosquejosde situaciones geométricas; - resolver tareas geométricas me-

Algunos problemas relativos a la enseñanza de geometrfa a alumnos de diez a catorce años de edad

113

diante el cálculo (incluyendo el uso simple de coordenadas); -resolver tareas por medio de una "fórmula"; aquí, fbrmula se toma en el significado más amplio de la palabra; puedeser por ejemplo, un algoritmo conel que los alumnos están familia rizados, una construcción, una descripción, etc.; - el méto-- do cinemático; -experimentación geométrica; - derivación deductiva; - clasificar y transformar situaciones reales y tareas aritméticas en tareas geométricas.

Una tarea y una finalidad muy importante en la enseñan- za de geometrla, es el desarrollo sistemático de la fantasla geométrica y de la creatividad matemática, a través de la re solución de problemas. El nuevo enfoque didáctico y algunos- temas nuevos son los medios que contribuyen, esencialmente, para esta finalidad.

Como ilustración, incluiremos en este punto, nuestra i- dea, respecto al contenido de un curso de geometría para los grupos de edad que tenemos en mente.

:orrespon- iencías y unciones

lectores

Medida

seno y tangente.

Vectores geom Coordenadas de vectores.

del teorema tagoras, etc.). C&lculo de medidas de

algunas otras figur

-. ~ . . . - ..__.

114 Hilan Koman, Frsntl:ek Ku;ina y Marie Tichà

Propieda

des de f íguras en E2

Propiedade de figuras

e” E3

Problemas de cons- truccián

Redes Cuadradas

: y circunferencia . TKi Teorema de YitBKorae y de TBeles. Triwnometrle de rec -

tãngu1q. un tri6n@o

Paralelismo, oblicuidad, Perpendicularidad.

Conjuntos de puntos engendrados por movimiento.

btros conjuntos de p,,ntr,n. Centroide. centro de masa.

Greficae de trãf Le onda verde de las luces

del trãfico. Velocidad angular. vectorea en ffsica. Uerclae (empleando vectoree). Camino aleatorio en una red

cuadrada. en geometrla.

ficies tecnícas. Bf íCO8 en e1.cerreno

Muestras (1) de experiencia docente

Estamos convencidbs que los problemas de enseñanza no pueden resolverse únicamente Iconestudios teóricos,ycreemos que lo mismo es cierto en lo que se refiere a currículos y a textos. Los nuevos contenidos, al igual que su tratamien- to metodol6gico deben ser verificados en la práctica escolar. Es esta la razón que nos lleva a agregar dos muestras tomadas de la experiencia escolar a nuestras notas referen- tes a la enseñanza de geometría.

Hemos encontrado que los alumnos de once años de edad manejan muy bien las tareas presentadas en forma programada (ver Ejemplo 9) y la mayoría de ellos aprendieron a escribir sus propios programas muy simples. Se emplearon, además

(1) Los puntos de vista que se expresan en esta sección es- tán basados en los resultados de la investigaciónquelle vamos a cabo en ocho escuelas elementales a las que asi< - ten alumnos de siete a catorce alos de edad, con una po- blación promedio de 450 alumnos en cada grupo de edad.

Algunos problmas relativos a la enseñanzs de geomerrla a alunnos de diez a catorce años de edad

115

otros métodos durante las lecciones y entre ellos el de jugar y competir (realizados a menudo congrupos de dos a cuatro alumnos). Por ejemplo, se le da una figura al primer grupo y su tarea consiste en escribir el programa de acuerdo al cual fue dibujado. Sele da este programa al segundo grupo, cuya tarea es, ahora, dibujar una nueva figura de a- cuerdo al programa. Finalmente se compara la figura dibujada con la figura que se le dio al primer grupo. Hemos visto que se hacia necesario comprobar un programa escrito utilizándo- lo para dibujar una figura, dado que los niños tienden a a- breviar su programa con la consiguiente pérdida de precisión.

Ejemplo (trabajo de alumnos de once años de edad)

Dada la figura (inicial)

Programa escrito por un alumo:

Dibujar un cuadrado ABCD con AB = 5 cm.

Dibujar una circunferencia k: (S-B; r=5 cm).

Dibujar una circunferencia 1: (S=D; r = 5 cm).

En la figura 11 se muestra la figura resultante-dibujada de acuerdo al programa del alumno.

Figura ll

116 Milan Kmnan. Frandek K&ina y Marie Tichà

A la comparacih de la figura resultante con la figura inicial le sigue la discusión pertinente, la que conduce a la corrección de los errores cometidos por los alumnos.

La introducción de la "geometria de movimiento" ha resultado muy exitosa en nuestra experiencia de enseñanza con alumnos de once años de edad. Los maestros han hecho resaltar que los temas concebidos de esta forma interesan a los alumnos,motivansuparticipaciónactivaysoncomprendidos aún por los alumnosmenos capaces.La enseñanzaexperimentalha con firmadonuestro supuesto de queel"método de movimiento" pro - blemas y los ayuda a desarrollar su capacidad para cons - truir modelos matemáticos de situaciones reales. Asi, por ejemplo, los alumnos de once años de edad son capaces de re solver exitosamente problemas que, en la enseñanza tradiciõ nal de geometrla, eran resueltos, normalmente, por alumnos- de alrededor de quince años de edad.

Problema: En la Figura 12, el piso ático tiene 5 mdean - cho.

a) Dibujarlo en la figura empleando un cm para representar 1 m.

b) Averiguar la altura en metros del piso ático.

6

m

, /

7m

ático

Figura 12

Algunos problemas relativos a la enseñanza de geometrfa a alumnos de diez a catorce años de edad

117

Ejemplos de soluciones dadas por los alumnos:

Figura 13 a

1) Una solución experimental 2) Empleando traslacibn

Figura 13 b

Conclusión

En este artfculo nos hemos referido, bnicamente, a algu nos de los problemas relativos a la enseñanza de geometrfa 2 alumnos de diez a catorce años edad.

Y estas son nuestras ideas en relación con la enseñanza de geometrfa: que es esencial partir de la experienciadelos alumnos;

que es necesario organizar un sistema de actividades preparatorias que actuarán como una "armazbn" que debe rellenarse con la educación geométrica pertinente;

que el penaamiento abstracto debe desarrollarse gradualmente.

Quedan, todavfa, problemas y he aquí algunos de ellos:

iCuál debe ser la relación entre la experiencia (pre-ma temática y matemática) y el pensamiento abstracto de acuerdõ a los diversos niveles de edad?

Es evidente que las aplicaciones deben estar incluidas en los programas, pero la forma de incluirlas de manera que constituyan una colección pertinente constituye, todavía una cuestión abierta.

118 Milan Koman, Fiantitek Kuha y Marie Tichi

¿Qué relación debe existir entre matemática y otras a- signaturas escolares?

iCuál debe ser el alcance y la concepción de ciertoste mas (tales como vectores, trigonometría,construcciones,etc.)?

i Cuál es el papel y el significado de "distancia" en la geometria escolar? ¿Y cuál es la relación entre geometria métrica y geometría afin?

* * *

ENSEÑANZA DE GEOMETRIA Eh’ 1.A UNION DE REPUBLICAS SOCIALISTAS SOVIETICAS

L.Yu. Chernysheva, V. V. Firsov y S. A. Teljakovskii

Introducción

La enseñanza de geometría resulta ser, probablemente,el campo más interesante y más paradoja1 de la educaciõn matemá tica. Lo prueba el hecho de que aparecen asociados con esta- cuestibn ganancias convincentes y fracasos significativos, tradiciones fósiles, asi como una experimentación realizada con la mayor libertad. La enseñanza de geometrfa ha sido el tema de discusiones a largo plazo que han conducido a la ex- presión de puntos de vista completamente opuestos, que van desde aquellos que rechazan completamente la necesidad de en señar geometria en forma sistemática en la escuela, hastã los que sostienen que la geometrfa constituye la principal 2 signatura en el currfculo escolar. Algunos reclaman,a suvez, la combinación, a nivel escolar, de los cursos de geometrla y de álgebra, mientras que otras desearfan mantenerlos estrictamente separados. Puede comprobarse, por otra parte, que el período de experimentación extrema llevado a cabo en varios pafses está llegando, ahora, a su fin, lo que impli ca que se abre la época de examinar detenidamente, de discuz tir y de comparar los resultados logrados, as? comolas ideas surgidas y las opiniones sustentadas.

Antecedentes históricos

Para analizar el sistema soviético contemporáneo de la enseñanza de geometrfa, es necesario considerar las activida des desarrolladas por A.P. Kiselev (1852-194(I), el promine; te matemático y docente, cuyos manuales de geometría fueroñ utilizados en la enseñanza durante varias décadas. En 1893 se publica la primera edición de su curso de "Geometría Ele- mental" y, hasta 1930, hablan aparecido alrededor de cuaren ta ediciones del texto que, y a trav6s de continuas mejoras, se mantuvo como el manual básico de geometría a nivel esco-

120 L. Yu.Chernysheva. V.V. Firsov y S.A. Teljakovskii

lar hasta los años de 1960. Los graduados en 1976 fueron los últimos que estudiarongeometrla siguiendo a A.P. Kiselev. La obra de Kiselev ejercid, evidentemente, una influencia deci- siva sobre el sistema soviético de enseñanza de geometrfa es colar. Todo nuevo curso, ya sea desarrollado bajo la fonmg tradicional de la materia o proponiendonuevos enfoques, tiene que ser comparado con el curso clásico de Kiselev de 1980.

La caracterfstica especifica de los manuales de geometris de Kíselev radica en el hecho de que tenfan, para su tiempo, un elevado nivel científico en la presentación del material y una estructura metodológica perfecta, lo que aseguraba una comprensión segura y sólida del curso. Estas caracterfsticas estaban predeterminadas por la personalidaddel autor. Kiselev poseía el más actualizado conocimiento matemá tico, acompañado de un interés permanente en los nuevos conceptos matemáticos y en los más recientes conceptos educativos. Combinaba su infatigable capacidad para el trabajo con su vasta experiencia como profesor de matemática a nivel escolar. Kíselev estaba lejos de rechazar las nuevas tendencias y parecfa, a lo largo del tiempo, hacer uso en sus libros de todas las innovaciones que iban apareciendo (axiomática estricta y semiestricta, el empleo de transformaciones geomé- tricas como herramienta principal en la demostración de teoremas, diferentes modalidades para el empleo de álgebra, etc). Como consecuencia, su curso de geometría aparecfa, y se con- vertla, en el curso estándar y en el punto de referencia per manente para todo trabajo posterior en este campo. Los de- más aceptaban sus puntos de vista o los discutlan, susconcep tos eran adoptados o rechazados, pero todo diálogo y todo de sarrollo posterior se cumplida siempre dentro de los paráme- tros establecidos por el manual de Kiselev. Muchas generacio nes de docentes han estudiado y han enseñado, después, a sus alumnos siguiendo los textos de Kiselev, lo que testimoniala larga vida de sus libros en la escuela. Esta situación permi ti6 acumular una vasta experiencia pedagógica, apoyada poS métodos eficientes de enseñanza, asi como por una amplia 'y bien elaborada coleccibn de problemas para la enseñanza, con lección que sirvió, m6s tarde, de base para los bien conocidos libros de problemas compilados por N.A. Rybkin (1973). Todos estos antecedentes reclaman algunas razones muy significativas para tener que separarse de esta tradición.

Enseñanza de geometrfa en la Unión de Repúblicas Socfallstas Soviéticas

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El curso de geometrfa presentado en los manuales de Kise lev constituía una presentacibn sistemática de la geometrfa- euclideana tradicional, precedida por una descripcidn de los objetos geométricos más simples, después de la cual se defi- nian, con más o menos claridad, las propiedades de estos objetos. Se establecía la congruencia de triángulos mediante una operación de superposicibn, introducida en base auna com prensión intuitiva lo que constitufa una base para desarroz 110s posteriores. La congruencia de triángulos actuaba como la herramienta más importante para demostrar teoremas al comienzo del curso. A partir de alli se presentaba el siguiente material: triángulos, rectas paralelas, cuadriláteros,teo remas sobre la circunferencia, semejanza, elementos de trigo nometrfa, polfgonos regulares y el cálculo de la longitud&. la circunferencia. La medida de áreas era el último tema de la geometrfa plana.

Se incrementb el grado de exactitud lógica en el cursode geometría sblida, en el que se introdujeron los axiomas del plano posibilitando, así, la consideraci6n en detalle de las consecuencias de estos axiomas. El curso de geometría sdlida comenzaba con el estudio de rectas y planos en el espacio,al que segufa el análisis de poliedros y de la esfera. Se dedu- cían las fórmulas para volúmenes y áreas de la manera más e- lemental posible.

Se presentaba el material poniendo el énfasis sobre la claridad, combinándolo con una presentacibn geométrica que seguía, estrictamente, un orden sistemático. La variedad y la pertinencia de los problemas propuestos durante el curso1 ayudaban al estudiante a aprender la teorfa no tanto con el estudio de teoremas, como con la solución de problemas relacionados con los teoremas. Y se asignaba a esta tarea el nú- mero de horas necesario. Esta metodología aseguraba el desarrollo de la aptitud creadora, de la intuicibn geométrica y del ingenio. Por otra parte, el orden sistem5tico observado en la presentacibn del material, conjuntamente con el gran número deproblemas tratados, desarrollaban la capacidad de los estudiantes para el pensamiento lágico.

Inevitablemente, los textos de Kiselev no eran perfectos y sus Jmperfecciones sehicieronmásevidentes a medida que au mentaba el número de estudiantes graduados en la escuela secundaria. El denominado "problema del sexto curso" aparecfa

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como el inconveniente más debatido delosmanuales deKiselev. Los alumnos comenzaban a estudiar geometría en el sexto curso y la experiencia habla mostrado queelcomienzo del curso resultaba dificil para la mayoria de ellos. Y se buscó la solución en el desarrollo de un curso introductorio para los cursos inferiores. Se consideraban comootros puntos débiles de los textos de Kiselev su escasovínculo con manuales semejantes de álgebra, asf como la deduccción demasiado pesada de las fármulas para volúmenes y áreas llevada a cabo con métodos elementales (en aquella gpoca, los alumnos no tenían ningún contacto con los elementos del cálculo integral.). Se sostenía que una presentación un tanto arcai- ca del material generaba un gran número de teoremas caren tes de importancia, mientras que muchos conceptos importantes de geometría moderna, tales como vectores,coordenadasy transformaciones geométricas o no se estudiaban en absoluto o no se estudiaban con la amplitud y la profundidad necesarias. Los editores científicos hicieron diversos intentospor mejorar los textos, pero no tuvieron éxito.

El fmpetu de la ciencia y de la tecnología que caracte riz6 la mitad de nuestro siglo, conjuntamente con el papel de la ciencia como una fuerza directamente productiva de la sociedad, marcaron el comienzao de la revolución cientffica y tecnológica. Bajo estas condiciones, la polftica de la LJ- ni6n de Repiíblieas Socialistas Soviéticas apuntó hacia un incremento significativo de la calidad de la educación uni- versal, haciéndola compatible con las necesidades prácticas de la vida moderna. Y se evidenció esta tendencia con la im plementación de la educación secundaria obligatoria y con el mejoramiento simultáneo del contenido de ciencia de todos los programas escolares. Es asf que la década de 1960 pudo ver el comienzo de este proceso de cambio en las escue las hacia el nuevo contenido de la enseñanza, en armonía cEn las exigencias generales de la sociedad socialista desarrollada.

Aquella época fue testigo de una reforma fundamental y en serio de la enseñanza de matemática. Se actualizaron sus cursos removiendo todo el material obsoleto e introduciendo reformas en un todo compatibles con las exigencias contempe - ráneas.

Enseñanza de geomecria en la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas

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Sin embargo, la tarea de seleccidn y de mejoramiento de los contenidos de la enseñanza de matemática resulta ser una tarea a largo plazo y que no puede considerarse, todavfa, co - mo totalmente realizada.

En lo que concierne a la enseñanza de geometrfa, se hizo necesario incrementar significativamente su componente cientffico, actualizando el contenido de los cursos pero mante- niendo todas las caracterfsticas positivas del sistema tradi cional. Se hizo necesario, también, incrementar el contenid; de los cursos introductorios en las clases elementales de ma nera de posibilitar una comprensión más fácil del material- posterior.

Se procesaron dos tendencias principales en la elabora- ción del nuevo curso de geometría. La primera asociada con el académico A.N. Kolmogorov,eminente matemático ruso, que tuvo a su cargo la direccción de la reforma. El grupo de autores dirigidos por Kolmogorov (1981) realizó un esfuerzo ím presionante para elaborar un curso fundamentalmente nuevo de geometría basado en las trasformaciones geométricas. La segunda tendencia estuvo a cargo del académico A.V. Pogorelov, uno de los grandes geómetras soviéticos. El punto de partida de su tarea (1984) fue el curso tradicional de Kiselev. Poga relov siguió de forma plenamente consciente el sistema meto- dolbgico de Kiselev, pero con un nivel más elevado de exacti - tud y con carácter más completo.

Una formalización axiomática, un análisis completo tanto de los conceptos indefinidos como de los conceptos definidos a partir de la iniciación misma de la enseñanza, y el empleo de transformaciones geométricas como la herramienta principal para la demostración de teoremas, constituyeron las caracte- rísticas que contribuyeron a elevar el nivel cientffico del curso de Kolmogorov. Esta última fue, naturalmente, la más destacada al comienzo del curso. A medida que iban aparecien do los teoremas clásicos de geometrfa métrica, se hacía cadã vez más tradicional la presentación del material. Debe agre- garse que, en el curso asociado de geometrfa sálida, se dedu cían las fórmulas de medida con el empleo del análisis mate- mático.

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124 L. Yu.Chernysheva. V.V. Piraov y S.A. Tcljakovskii

A medida que se iba introduciendo este curso en las escuelas, iba decayendo el entusiasmo inicial de matetiticos y de docentes (que habían acogido con deleite la interesantees tructura matemática del curso y que hablan sido inspirados - por sus ideas nuevas y elegantes) para dar paso al escepti- cismo. Se pensó, al principio, que esto constituirfa, simplE mente, una reacción frente al nuevo enfoque y que las dificultades de los maestros desaparecerfan después que se familiarizasen mejor con el curso y que adquirieran una mayor ex periencia en el manejo del nuevo material. Sin embargo, ei largo periodo de perfeccionamiento del texto y más de diez - ños de trabajo con él'en la escuela no lograron mejorar la calidad de la educación como se habla esperado.

Parecerla que esta conclusión estuviese lejos de ser ac cidental, y que aparecfa como el resultado inevitable de introducir, a nivel escolar, un curso sistemático de geometría basado.en transformaciones geométricas. Puede aprobarse el empleo de transformaciones geométricas desde el comienzo de la enseñanza ~610 en el caso de cursos informales y fragmen-: tarios cuyos ojetivos sean familiarizar a los alumnos con el lenguaje geométrico y desarrollar su intuición geométrica,a- si como estudiar algunos teoremas y f6rmulas geométricas.Por el contrario, un curso con una sistematización rígida, basado en este enfoque, exige un elevado nivel de generalización teórica que está más allá de la madurez de comprensión de los alumnos.

Se ha criticado, a menudo, como arbitrarios los métodos tradicionales de demostración mediante la construcción de ca denas de triángulos iguales: jcómo puede saber el estudiante cuáles son los práximos triángulos cuya igualdad debe probar se? Tales demostraciones carecen de una gufa, a diferencia - del álgebra de transformaciones que permite a los geómetras simplemente calcular los pasos necesarios para resolver un determinado problema. Pero el estudiante, a diferencia del experto, carece de una tal guía. Es por ello que el alumno ~610 puede resolver problemas por tanteos, guiado por la in- tuición, por analogia y con el empleo de nociones igualmente vagas. Este procedimiento desarrollará, con el tiempo, la ca pacidad creativa de su mente pero, en cada caso indívidual,no le indicará al estudiante "como resolverlo".

Enseñanza de geometria er: la Unión de RepúbLicas Socialistas Soviéticas

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Es cierto que hace tiempo que Polya (1971) dio respuesta a esta cuestión en sus excelenteslibros mostrando, a la vez* el papel jugado por la heurística en la resolución de proble mas. Pero, tanto la conocida forma heurfstica (tal comoenei caso en que se dan una circunferencia y una tangente, dibujar el radio del punto de contacto), como la forma heurísti- ca completamente desconocida, constituyen el núcleo invisible de un conjunto clásico de problemas que pertenecen al curso tradicional de geometrfa. Durante muchas décadas, gene raciones de maestros han seleccionado en forma empfrica 10s problemas, ordenándolos en un orden conveniente de manera de crear los métodos eficientes, pero ocultos, de enseñanza de geometría. Y es debido, precisamente, a estas caracterfsticas que la enseñanzadela geometría, cumplida en forma tradi cional, prob6 ser tan exitosa. Sin embargo, la vieja colec- ción de problemas demostr6 resultar inadecuada como nuevosen foques para demostraciones de teoremas reclamados por nuevos problemas,por nuevos sistemas de problemas y por nuevas heu- rfsticas. La elaboración de una nueva coleccián de problemas que han iniciado los autores de cursos, probb ser completamen te diferente. Fueron necesarios años de trabajo y una larga- experiencia en la implementación del curso para ubicarunnue - VO conjunto de problemas en el nivel necesario.

Pero parece que esta tarea no es solamente cuestidn de experiencia y de tiempo, ya que elaborar una coleccidndepro blemas distintos que aseguren una enseñanza cualitativay si; temática basada en transformaciones geométricas resulta impõ - sible.

En efecto, la búsqueda heurística para una demostracibn sólo es posible si cada uno de sus pasos es fácil de reali - zar. El intento del estudiante por encontrar el paso siguien te de la prueba será diferente y exitoso solamente en el ca= so en el que él pueda ver fácilmente este paso. La misma si- tuación se presentabaenlos cursos tradicionales, donde el paso requerido consideraba, por lo general, el triángulo siguiente, mientras que en el caso de requerirse una construc- ción adicional, ésta consistfa en la unión de dos puntos mediante un segmento de recta. No resulta demasiado diffcilpre veer y realizar este paso, y es siempre posib1.e volver atrás- y comenzar de nuevo la búsqueda. Esto constit,uye, además,una caracterfstica significativa del curso tradicional.. Pero si es necesario, por ejemplo, transformar un triángulo por una simetría central respecto a uno de sus puntos, ello resulta muy difícil, y es aún imposible para un estudiante, visualí-

126 L.. Yu.Chrrnysheva, V.V. Firsov y S.A. Teljakovskii

zar mentalmente el resultado de la transformación. Es así que la búsqueda de una demostración se hace difícil.

Las consideraciones anteriores muestran que el comienzo de un curso sistemático de este tipo, es decir el momento en que se emplea una transformación por primera vez como herramienta para demostrar teoremas (y en particular para resolver problemas), debe constituir una de las reales dificultadesque enfrentan los alumnos de 12 a 13 años de edad. La experiencia didáctica lo ha confirmado plenamente. Para asegurar una ense ñanza efectiva, la geometría escolar volvía, en realidad, ai lenguaje de los triángulos iguales y al tradicional conjunto de problemas.

La experiencia rechazó, también, otra innovación de mé- todo -las definiciones minuciosas y escrupulosas de las nocio nes geométricas introducidads desde el comienzo mismo del cur so sistemático, en el que- y desde el punto de vistadela "ge% metrla visual" - el análisis de definiciones aparecía como cã rente de importancia. Los estudiantes memorizan fácilmente6 figuras y las propiedades representadas en ellas, pero no ca2 tan la precisa descripción verbal de un objeto que se refiere a algunas reglas que no les son, todavia, completamente claras. El análisis de definiciones resulta relativamente ine- fectivo en esta etapa del desarrollo de los estudiantes, ya que la primera necesidad es enseñarles a establecer vinculos lógicos entre afirmaciones, lo que significa aprender la verdadera esencia de la prueba. Se sabe bien, y en general, que "definir" resulta mucho más diflcil que "demostrar". Un ejemplo común de esto es "una tabla": podemos utilizarla porque conocemos sus propiedades, pero si tratamos de definir "una tabla", caeremos, enseguida, en dificultades.

Los objetivos de la enseñanza de geometrfa

El análisis anterior se refiere a una estructuración sis temática de la geometría, y a las concepciones de los autores vinculados a la hipótesis de que se trata de un curso sistemá ticamente estructurado. La experiencia educativa en otras par tes del mundo muestra, sin embargo, que esta hipótesis no eS aceptada en su totalidad en todas partes. Desde el punto de vista de los autores, esta característica es una caracterfsti caclave, directamente vinculada a la finalidad yalaorienta- ción de la enseñanza de geometrla en la escuela secundaria.

Enseñanza de geoaetria an la Unión de RepGblicas Socialistas Soviéticas

127

La geometrfa, como ciencia, tiene muchos aspectos que están directamente vinculados con el programa escolar y es tos vínculos generan una variedad de objetivos para el estu dio de la geometria. El lenguaje de la geometris y la intui ción geométrica juegan un papel decisivo en posibilitar 1; comprensión de muchas concepciones que, aunque no son necesariamente geométricas, relacionan la matemática con las de más ciencias. La geometría desempeña un papel significativo en la ciencia aplicada, en la tecnologia y en la produccibn, ynuestra propia existencia se hace imposible si no contamos con un sentido espacial y si nuestras ideas geométricas no se han desarrollado suficientemente. Y, en iíltimo término,y muy probablemente, la teoría geométrica ha demostrado ser el instrumento más idáneo para el desarrollo del pensamien- to lógico del niño. Estos aspectos son importantes,tanto in vidualmente considerados como considerados en combinación,-y cada uno de ellos define su propia tendencia en relación a los objetivos de la enseñanza de geometria en la escuela.

El académico A.D. Alexandrov (1980), un eminente geóme- tra soviético, expresa lo siguiente respecto a la geometria y a los objetivos de su enseñanza: "En su esencia, la geome tris es una combinación de imaginación gráfica y de lógica- estricta a las que organiza reciprocamente y hace que se guíen la una a la otra... La tarea de la enseñanza dela gec metría es la de desarrollar tres cualidades correspondientes de los alumnos: imaginación espacial, comprensibn prác- tica y pensamiento lógico".

En esta terna, los primeros dos componentes actúan como base mientras que el significado de la tercera crece actual mente. Y es importante que una épocaenquelaciencia,como G sultado de la revolución científica y tecnológica, - se h< transformado en un fuerza productiva directa de lasociedad, los estudiantes tomasen conciencia con un ejemplo de c6mo se construye una teoria cientifica y se familiarizasen con elmétodo cientifico:de otra manera su educación general se - rá incompleta.

A este respecto, la geometría constituye un ejemplo in- comparable de un sistema cientlfico en la historia del mundo civilizado en el que, partiendo de bases firmes y claras y con el empleo del método de razonar (en un visible número de pasos), conduce en forma secuenciala una serie de consecuencias no triviales que tienen un amplio campo de aplica-

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ción. Por consiguiente, la enseñanza de geometrfa promueveen los graduados escolares la formación de una visión cientIfi- ca del mundo. La geometria introduce a los escolares en el método cientlfico. Ella forma algunas nociones relativas a la estructura de una ciencia en su forma ideal y, por esta forma, la geometrfa escolar ae transforma en el elemento cen tral para desarrollar el pensamiento científico y tebrico de los estudiantes. Entonces, y a medida que se reconoce que el desarrollo completo y armonioso de los alumnos incluye su preparación para la vida y para el trabajo-y ello dentro de las condiciones de la producci6n moderna- surge como conclu- sión inevitable que la geometria escolar debería ser estu- diada, no ~610 como un conjunto de hechos útiles sino, y en primer término, como un sistema cientffico. Esta conclusión predetermina los aspectos más importantes del sistema que se emplee paraenseñar geometrla. Y estos aspectos fueron ant$- cipados en el curso de Kiselev y están siendo reconocidos a- hora dentro del nivel científico moderno de las escuelas so- viética-s.

El primero de los aspectos señaladosse refiere al estudio de un curso sistemático de geometría. Este curso debe ez tar apoyado, como es natural, en una base sólida de conceptos geométricos claros aprendidos durante la etapa introduc- toria de estudio de geometría. Sin embargo, y en el caso en que los alumnos estén lógicamente desarrollados y que hayan acumulado un número suficiente de nociones geométricas, debe rían, entonces, continuar con un estudio sistemático de geo - metrla.

Todo esto sugiere la conveniencia de estudiar geometrfa como un sistema dentro del marco de un curso independiente, en lugar de estudiarla enun sólo curso conjuntamente con otros temas de matemática. Se defiende, a menudo, la conveniencia de estudiar álgebra y geometria formando un curso in tegrado, esgrimiendo la necesidad de unidad en la matemáticã y la necesidad de establecer ciertos vinculos entre los temas de matemática. Se sostiene, sin embargo, que la esencia de la unidad matemática radica en su método, con el que los estudiantes no van más allá de un conocimiento inicial. La presentación gradual y sistemática de material geométrico contribuirá a una mucho mejor comprensión del método lógico en mayor medida que con una galvanizaci6n artificial de los vlnculos entre los elementos. En otras palabras, desde el punto de vista de lograr una mejor comprensión de la esencia

Enseñanza de ~eometrfa en la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas

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de la matemática, los vínculos lógicos dentro del material geométrico, juegan, en realidad, un papel mucho más importan te que cualquier vinculación fragmentaria con el álgebra. Ei obvio que esto no significa que sea mejor evitar toda referencia a las relaciones con el álgebra. Todo lo contrario,ya que las referencias a tales vínculos pueden resultar muy úti les, pero siempre que se respeten las debidas prioridades. -

La importancia que atribuimos al desarrollo de un punto de vista científico nos lleva a la conclusión de que un curso sistem6tico de geometrfackbe estar basado en una estructu - ra axiomática.

Además, una tal construccibn debe ser completa y precisa en lo que hace, por lo menos, a las partes esencialesdelcon tenido. Si existe un gran número de lagunas y de principios indefinidos y de afirmaciones no demostradas, la demostra - ción misma queda destruida, su comprensión queda amenzadaim pidiéndose, así, el reconocimiento de la necesidad de una de mostración. Porque, si más y más hechos pueden dejarse Siñ

demostracidn: ipor qué, entonces, tienen que demostrarse algunos de ellos? S610 puede aceptarse una presentacibn incompleta, con lagunas, en el caso en el que la enseñanza esté dirigida al tratamiento de hechos individuales, aislados. Pz ro, si la finalidad de la enseñanza es asegurar la compren- si6n del sistema completo, no pueden tolerarse lagunasenlas demostraciones, en la medida en que tales carencias destru- yen los enlaces entre los componentes del sistema.

Una presentación sistemática de geometrfa conduce a una secuencia natural: geometrfa plana seguida por la geometrfa sólida. Como es natural, la fusión de las dos geometríascon? tituye una idea atractiva, y en un curso introductorio, puede resultar altamente recomendable. Pero, en el caso de un curso sistemático, ~610 es posible la fusión de ambas geome- trías en el caso en que una tal fusión no contradiga la secuencia lógica.

La posición actual

En el presente se estudia geometrfa en todos los niveles en las escuelas secundarias generales soviéticas. Los alumnos de escuela primaria (o sea los cursos de lo a 3") llegan a conocer las figuras geométricas más simples, tales como puntos,segmentos, triángulos, rectángulos, circunferencias, etc.

130 L. Yu.Chemyshcva. V.V. Pireov y S.A. Teljakovskli

Se enseña a los niños a identificar estas figuras como partes de los objetos reales, de modelos y de dibujos y ellos aprenden, también, a dibujar los m¿?is simples. En el curso' introductorio de 4' y 5" año se resuelven problemas de mayor nivel y los alumnos aprenden a identificar y a represen tar figuras más complejas familiarizándose con sus propiedã des básicas. Toda esta actividad constituye una base parala presentación de los axiomas dentro del marco del curso sis- temático que sigue. Los alumnos adquieren, también, un cono cimiento elemental de dibujo asl como de la medida de magni tudes geométricas tales como longitud, áreas y volúmenesde los sólidos más simples.

En el 6" grado se inicia el curso sistemático de geometrfa continuando hasta el 10" al que se le asignan r dos lecciones semanales (de 45 minutos). Resulta as-I, una asig- nacidn total para el curso sistemático de alrededor de 350 lecciones de geometria.

En el curso en el que se hace un estudio sistemáticode geometrfa plana (grados 6' a 8'1, los alumnos adquieren al- gún conocimiento lbgicamente elaborado de las figuras PlE nas fundamentales y de sus propiedades más importantes; se familiarizan con la igualdad y con la semejanza de figuras, con clases fundamentales de transformaciones geométricas y con su aplicación en geometria; adquieren habilidadpara cons trucciones geométricas, tan necesaria para el trabajo gráfi- co, as-I como la habilidad para medir y para calcular longitudes, ángulos y áreas que resulta tan necesaria para poder resolver diversos problemas, tanto geométricos como prácti- cos; y, finalmente, se familiarizan con el empleo de las he rramientas analiticas (transformaciones algebraicas y ecus- ciones, elementos de trigonometría, de geometría anallticay de álgebra vectorial) para la resolución de problemas geomé - trices.

En los cursos de 9" y 10" grado, los estudiantes adquieren un conocimiento sistemático de los tipos fundamenta les de figuras sólidas y de sus propiedades; aprenden a uti lizar teoremas para dibujar en el plano figuras espaciales? para calcular las dimensiones de ángulos,longitudes, áreas y volúmenes. Se familiarizan, también, con métodos analiticos para la resolución de problemas geométricos en tres dimensiones. (Programa de Matemática para la Escuela de OchoAños y para la Escuela Secundaria, 1984).

Enseñanza de geometría en la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas

131

A partir de 1982-1983, se ha adoptado el texto estructurado por Pogorelov (1984) como la guia principal en geome - tris para todas las escuelas de la Unión Soviética. Tanto es te texto como el curso correspondiente resultan, probableme; te, únicos en su clase. El texto resulta de interés tantode% de el punto de vista matemático como Idesde el punto de vis= ta pedagógico.

Desde el punto de vista matem?ítico, el curso de Pogore- lov está basado en un sistema de axiomas original y completo. Es interesante hacer notar que el sistema axiomático de Pogo relov resulta de alguna manera cercano a la axiomática bien conocida de G. Birkoff, aunque fue elaborado independiente. Pogorelov construyó su sistema axiomático para darle una ba se sólida a la presentaci6n tradicional de geometria que ha= cla Kiselev. La presentación que sigue del material básico del curso (igualdad de triángulos, paralelismo, figuras, prc piedades, etc.) resulta totalmente desusado para un manuales colar desde el punto de vista de su exactitud lógica y del carácter completo de sus demostraciones. A parte del conteni do básico y en lo que se concierne al estudio de cuestiones- de aplicación, el nivel de rigor decae naturalmente. Al comienzo del curso, la consideración de la igualdad de triángx los constituye la principal herramienta para las demostracio nes. Más adelante se emplean coordenadas y transformaciones. El autor pudo encontrar algunas soluciones matemáticas interesantes que simplificaban significativamente el curso tradi - cional y que, sobre todo, lo abreviaban.

En lo que concierne al aspecto didáctico, el texto esta compilado de forma tal que apoya el trabajo individual del estudiante después de haber estudiado el material en la escuela, y que permite al autor reducir de forma apreciable el volumen del texto. En la actualidad cuenta con menos de 300 páginas. Se suplementa el texto con el número necesario de problemas yconunconjunto original de preguntas. Los estudian tes estudian ei material en el texto y contestan estas Pr5 guntas siguiendo un orden establecido.

Algunos aspectos puramente matemáticos parecen jugar un importante papel didáctico. Asf, la precisibn escrupulosa y el carácter completo de las demostraciones presentadas desde el comienzo mismo del curso sirven como ejemplos de razonamiento lógico. A medida que el estudiante va dominando estos ejemplos, va disminuyendo el grado de minuciosidad con10 que se hace más compacta la presentaci6n del material. El estan-

132 L. Yu.Chernyehcvs. V.V. Pireov y S.A. Telfakovskií

dar tan elevado de minuciosidad que constituye una caracterfstica de las demostraciones presentadas al comienzo del curso (tanto en relación con el material teórico como, tam- bién, con la solución de problemas) llega a ser un factor si colbgicopoderosopara motivar y para afianzar la necesidadde demostracián en una etapa posterior del curso.

Mientras que tanto docentes como estudiantes se familia rizan con el nuevo texto, otros autores preparan sus propios manuales orientados hacia los mismos propbsitos, poniendo en práctica los mismos principios de orden consecutivo y siste- mático, y proporcionando material de naturaleza científica comprensible por-los alumnos, asl como asegurando,también,la correlación imprescindible entre la educación y la vida. Y se adoptarán estos textos si la investigación teórica y expe rimental demuestra que tienen ventajas significativas sobre el manual de Pogorelov o que son, por lo menos, tan eficaces como ha probado serlo este manual después de cinco años de prueba.

Referencias

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Enseñanza de peometrfa en la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas

133

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* * *

LA CRISIS DE LA ENSENANZA DE GEOMETRIA

G. Glaeser

Crisis social

La tercera revolución industrial, que conmueve actualmente a la humanidad, esta caracterizada por un acelerado cambio tecnológico. Alrededor de 1960, una innovación en la industria en los Estados Unidos de América podia volverseob soleta a los cinco años de producida y aquellos que se hablan adaptado a los nuevos métodos disponían de unos pocos años de respiro antes de tener que prepararse para la inno- vación siguiente. En la actualidad el cambio es continuo y ya hemos entrado en la era de la educación permanente.

Los planes de estudio de nivel escolar tienen, actualmente, una vida media del orden de los cinco años. Tan pron to como aparece el último texto, apresuradamente preparado, resulta esencial para los docentes tener que adaptarse a él. Y después de tres años de esfuerzos piensan que ha llegado el momento de trabajar con más calma. Pero iqu(s va! Ya están en marcha nuevas agitaciones que implican cursos todavía más importantes y amplias tareas de actualizacián. La pertinencia del conocimiento que se imparte durante la formaci6nprc fesional tiene ~610 carácter phov~ioncd.

Estamos presenciando el colapso de la educaci6n tradicional basada en la adquisición de un cuerpo de conocimien- to parcial que aparecla indizado en los programas. Al presente, cada uno debe aprender a informarse y a documentarse por sí mismo -yaadquirir ciertas habilidades por sl- mismo- sabiendo, además, que no podrá emplearlos por mucho tiempo. La educac¿án (adquisición de hábitos) está reemplazandoala . CYIA~~CLIIZU (transmisión de conocimiento).

El célebre flsico P.L. Kapitza (1894-1984) describi6en 1970 otro aspectode la crisis actual, puntualizando clara mente los problemas de la educación de nuestro tiempo. He aqul unos pocos pasajes tomados de su conferencia "Los Prin cipios Generales de la Educacibn de los Jóvenes de Hoy y M? todos Generales de la Enseñanza de Flsica en la Escuela Se- cundaria":

136 G. Glaeser

"Duranteel útlimo siglo, del 80 al 90 por ciento de la población estaba ocupada en tareas agricolas de produc- ción de alimentos; sólo un 10 por ciento vivfa en las ciudades. Ahora, sólo un 10 por ciento de la población de América está ocupada en la producción de alimentospu diendo estar ocupados los demás en la industria y en lã producción,siendo elevado el poderproductivoindividual,. Por ejemplo, si se considera una fábrica moderna de au- tomóviles y se divide el número de autom6viles que produce por el número total de todos los operarios de la planta, se encontrará que el trabajo de una persona pro - duce más de un automóvil por mes. Nuestros economistas modernos calculan que se necesita solamente un cuarto de la población actual de un pais para la producción industrial dedicada a proporcionar alimento, ropa, alojamiento y servicios necesarios a toda la población. Una parte de la poblaci6n restante puede estar ocupada en la industria de guerra, en la a- yuda a los palses menos desarrollados y en -actividades tales como deportes, cine, televisión y en viajar". (Kapitza, 1971, pp. l-2).

Kapitza deduciaque"e1 incrementode productividadporper sona era tan grande que había un tremendo incremento de sax lud y de ingreso por persona en todos los pafses" (Kapitza, 1971, pp. 2-3)

Los nuevos objetivos de la escuela

Resulta, entonces, que toda pretendida solución a la crisis que enfrentamos debe implicar un aspecto cdti.. La modernización de la maquinaria resultará inútil a menos de que vaya acompañada por el desarrollo intelectual de sus rea - lizadores.

S610 se lograrán tales progresos alentando sistemática- mente el trabajo individual en el que se quite importanciaal aprendizaje memoristico de conferencias y se haga un empleo más libre de la documentación pertinente.

Es necesario poner a disposición de los alumnos en todas las aulas - particularmente en aquellas que atiende a- lumnos con problemas de aprendizaje y alumnos cuyos hogares no les proporcionan el ambiente cultural requerido - libros de referencia, particularmente diccionarios y enciclopedias. Y, eventualmente, cada escuela debería tener acceso a bancos de datos computarizados.

La educación permanente familiarizará a todos con la u tílízación de tales recursos. Pero se necesita, de todas rna neras, un plan de emergencia para poder rescatar intelectual mente a aquellos niños de doce años de edad que no llegan a- comprender lo que leen (consecuencia de una lectura ínsufí- cíente), elevándolos hasta el mínimo vital de desarrollo ín telectual antes de completar su escolaridad obligatoria. -

En estas circunstancias, la matemática -una ciencia en la cual hay poco para aprender y mucho para comprender- apa rece como un campo de primordial importancia, por lo que de be transformarse, de forma creciente, en un instrumento de educacíbn, dejando de ser un catálogo de los temas que deben enseñarse.

La lista de hechos matemáticos que cada uno debe conocer, dentro de los intereses de la sociedad, cambian año a año y significan muy poco. La matemática es ~OW.&Wvtte ÚXA! y glob&rnwXte ebencti. Por otra parte, existen mGtodos - verdaderas herramientas intelectuales- que resultan cada vez más útiles.

Nuestros niños no deben experimentar ninguna ansiedad, como les sucedia a nuestros padres, ante la simple pres- cía de una fórmula matemática. Todos deben tener conciencia de la economia de pensamiento y de la precisión de expresión que representa una expresi6n algebraica adecuadamente empleada. Por otra parte, la memorización excesiva de numero sas fórmulas resulta nocivo, particularmente sí no se comprende su uso o sí no pueden ser consultadas en un libro de referencia fácilmente accesible.

Es importante desarrollar un dominio de los dibujoA y de los dtigtim como medio para resolver muchas de las dificultades que se presentan a diario - asi como la habilí- dad para hacerlos, para leerlos y para interpretarlos. Ade- IIlá.5, todos deben ser capaces de transferir conocimiento de uncampoa otro. Es necesario alentar la transferencia del conocimiento (por ejemplo de la geografla a la matemática y recfprocamente).

Debemos insistir sobre la importancia realmente esencial de la*expresíón oral y escrita, ya que muchos fracasos en matetitíca son consecuencia de la falta de habilidad para leer y para comprender el enunciado de un problema. Pero dE be puntualizarse, para evitar malos entendidos, queelapren dizaje, basado en la educación, no excluye la adquísíci6ni-n cidental de una gran cantidad de conocimiento. Cuando un a-

138 G. Glaeser

lumno toma conciencia de un "hecho matemático" y comprende su contenido, lo recordará sin tener que hacer ningún esfuerzo para aprenderlo. Por ejemplo, se percibe más claramente la importancia de la asocíatívídad a través de un ejercicio ad- hoc que hace resaltar la diferencia de significado entre las expresiones . a(bc> y (ab)c que aprendiendo de memoria la de fínící6n de asocíatívídad. Análogamente, aprender a definir, a edad temprana, el limite a lo Cauchy (en E , 6 )resulta ínú t-11 (y aún perjudicial) sí no va precedido por un largo proceso de famílíarízací6n con la convergencia, cumplido a lo largo de un período de alrededor de diez años (Glaeser, 1976).

La geometria constituye un medio particularmente efecti VO de poner en vigencia la nueva forma de educación que requiere el futuro y que ha asumido, desde el comienzo, muchas funciones diferentes. Se dedica el resto de este artículo a describir cinco de tales funciones. Muchos de los errores CE metidos-, a lo largo de los últimos treinta años ,por los responsables de estructurar los programas escolares y de pla nífícar la formación docente han surgido, precisamente, como resultado de ignorar la diferencia entre tales funciones.

Estamos presenciando,en la actualidad, una decadenciage neral de la enseñanza de geometrla, pero resulta, todavia,má< preocupante la decadencia de la educación geométrica.

La geometrfa como la ciencia del espacio

Se ha venido acumulando, a partir de las observaciones empirícas de los egipcios y de otros agrimensores, una infor macíón abundante relativa a las figuras en el espacio. Y sÜ enseñanza ha consistido, principalmente, en el cálculodeuna parte de esta información dispar, sosteniendo que constítufa una ínformací6n útil.

JPodemos asegurar, por ejemplo, que la fórmula. paraca1 cular el grea deuntrí&ngulo es importante? A muchas persa- nas se le solicitará su empleo no más de una vez (a lo su- mo) en su vida después de abandonar la escuela. Es mucho más importante adquirir la habilidad de evaluar el área de una superficie dívídíéndola en partes más simples y reconstítu- yendo el rompecabeza en una forma diferente. Es natural que los ejercicios más simples para adquirir esta habilidad se

La crisis de la enseñanza de geometrfa 139

referirán al paralelogramo y al triángulo. Aquellos sorpren- didos por la facilidad con que pudo llegarse a la respuesta lo recordarán sin esfuerzo.

Estuve reflexionando recientemente sobre esto cuando estaba calificando algunos trabajos de examen de algunos estu díantes normalistas. Era necesario para resolver el problema planteado calcular el área de un determinado trapecío.Me sen tía indignado de encontrar que ningún trabajo se refería ã la f6rmula clásica. Y, en cambio, la mayoria de los candída- tos habían llegado a la respuesta correcta del problema díví díendo el trapecio en dos triángulos. Después de reflexíonar- sobre la situación desaparecí6 mí índígnací6n. ¿Cuãl fue la causa de mi insistencia sobre el conocimiento erudito sí el futuro docente fue capaz de resolver el problema rápidamente y de forma correcta? Lo que habían aprendido los candidatos no era la fórmula prefabricada sino la manera fácil de llegar al resultado (y a otros muchos resultados análogos, aún en casos menos comunes).

Este caso contítuye ,un ejemplo claro en el que la educación toma prioridad sobre la ínstruccí6n. Imaginemos, a hora, que un alumno, enfrentado a un triángulo, se planteaes ta pregunta natural: iEs posible calcular su Brea conocíendõ las longitudes de los tres lados ? El profesor lo alentar5 pa ra que busque esta informací6n en uno de los libros de refez rencía con los que toda aula debe estar equipada. El buen do - cente ínflamarásuentusíasmo señalando que la fdrmula

A=k d(a+b+c) (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b)

(atribuida aHerón) fue descubierta, en realidad, por ArqufmE des en una época en la que no se había inventado, todavfa,el lenguaje algebraico. Eventualmente y siguiendo el ejemplo de A. Wittenberg (1963) el maestro continuará mostrando a la clase que esta fórmula aparentemante providencial es,enefec to y dejando de lado el coeficiente, la única que resulta ra - zonable.

Y esto puede mostrarse empleando argumentos basados en el principio de ínvaríanza u homogeneidad. Los alumnos obser vados 'por Wíttenberg comprendieron, por sf solos, las raza- nes para la presencia debajo de la rafz de factores tales co --

--

140 G. Glaeser

mo (a+b-c), pudiendo justificarse la presencia del factor a considerando un caso particular conveniente (como el trián- gulo pitagórico 3,4,5 que lleva muy rápidamente a la respuesta.

"Pero", podria preguntar un lego, "Hay alguna necesí- dad para el empleo de esta fórmula?" La respuesta es "No". "Entonces, ipor qué se emplea?" Y nuestra respuesta seria: "iPor qué se escucha el concierto No 20 para piano en D me- nor de Mozart?" La educación sirve también para desarrollar el sentido eAaX.?Xca.

Es raro que existan algunas ocupaciones que no exijan famílíarídad con ampliaciones y con reducciones. La educa- ción comienza muy temprano con muñecas y con autos en mínía tura, pero debe continuarse con una reflexión sobre el proceso considerado. Yo recomendarla, a manera de ejemplo,.las actividades sugeridas por Guy Brousseau (1981) que incluyen la ampliación de un rsmpecabeza. En cuanto a la defínícíón de semejanza, y ello puede fácilmente recordarse, requiere una larga famílíarídad con lo que ella implica.

La geometrfa como un modelo de precisión

La geometría fue,durante largo tiempo, la ci~cti de- duct.iva por excelencia. Cuando un hombre como Spínozaseprg puso exponer la doctrina de su Etka con un alto níveldera cíonalídad, escogió un enfoque geométrico para hacerlo.

Hoy en dia esta ambición aparece como muy ingenua. No fue, en efecto, antes de 1899, con los Ghundeagen de& Geame &.& de David Hílbert, que el viejo proyecto de Euclides pE do realizarse, por fin, de forma adecuada. Sin embargo, no fue realizada esta tarea sin cierta pedanterla y cierta fa1 - ta de tacto en su estilo.

Aunque la idea era presentar los fundamentos (es decir los comienzos) de la ciencia, el texto resultante está más allá de la capacidad de los principiantes. Su enfoque es a- xiomático y se hace esencial para su comprensión una educa- ción previa durante un largo período de tiempo.

h crisis de le enseñanza de geometría 141

Aunque Bourbakí (1) no requiere de sus lectores ningún conocimiento matemático especial, piensa que ellos deben adquirir ciertos hábitos de razonamiento matemático asf como un cierto poder de abstracción. Y para poder desarrollar estos hábitos y este poder, tiene que haberse tenido la oportu nidad de practicar actividades ad-hoc. Adetis, sólo es posí= ble hacer funcionar una introducción axíomátícaalageometria en el caso de alumnos que ya se han famílíarízado con los te mas a considerar y que son capaces, ademãs, de reconocer 10; inconvenientes que presenta la geometrfa empfríca. En la actualidad, el análisis y, sobre todo, el álgebra ofrecen un modelo mejor de precisión matemática.

La geometrfa elemental y la axiomática de Hílbertnocons títuyen el punto de partida más efectivo para una exposí- cíán de la geometrfa enteramente basada en un enfoque hí- potétíco -deductivo. Resultaría más económico, tal como lo propuso Jean Díeudonné en 1964, tída un espacio affn sobre Rn

considerar como punto de par conjuntamente con un producto-

escalar. Sin embargo, una tal presentación, aunque satísfac- toría para un matemático profesional no desarrolla, de níngu na manera, la íntuícíón y la cultura del principiante. Y hã quedado verificado que cuando se trata de novídios este enfo - que lleva a un fracaso completo.

Estimulación de la capacidad de razonar

Dado que es esencial preparar a los jóvenes alumnos durante un largo periodo en la práctica y en la apreciación de la técnica de la demostración matemática, se hace necesario que el docente pueda disponer de un stock de situaciones e- ducativas y de actividades apropiadas. Y es aquf, precísamen te, donde la geometría juega un papel decisivo- no como un modelocompleto de precisión , sino como un trampolfn para el desarrollo dela capacidad deductiva.

La génesis del razonamiento aparece a edad muy temprana. SerPa útil compilar una antologfa de "pretextos para el razo namiento" para utilizar a partir del jardfn de infantes. En-

(1) En 1935 'se formó un grupo de jóvenes matemáticos franceses que comenzaron a publicar bajo el nombre de Nícholas Bourbakí.Detíempo en tiempo, se invita a nuevos matemá- ticos a integrarse al grupo y sus miembros deben abando- narlo cuando llegan a los 50 años de edad.

102 G. Glaeser

tre las actividades adecuadas para escolares menores de ocho años se incluyen la clasífícacíón, la selección, la ordena- ción y la dístríbucíón de objetos en diversas clases de equi valencia. La práctica en contar empleando btrbolti, doble-en- tida, baecchnti o p~~..C.~ti~eb prepara el camino para la compílací6n de listas completas. Tales actividades íntelec - tuales conservan su valor educativo, a pesar del fracaso de la denominada matemática moderna. La construcción de cuadrados mágicos pone en juego el pensamiento lógico y el pensamiento heurfstíco. Los pre-adolescentes disfrutan diseñando y tratando dedescifrar "cbdígos secretos" y les agrada ,lcom prender cómo se hacen los trucos con cartas. Sus ínvestiga- clones sobre tales cosas les enseñan a argumentar y a demostrar.

Y presentamos, ahora, un problema (IREM, 1974) que se resolverá mediante el descubrimiento de un contraejemplo que está al alcance de la comprensión de los alumnos de escuela primaria de nueve a diez años de edad. Se le pregunta a un joven alumno que piensa de los dos enunciados siguientes:

1~. enunckdo

"Estoy dentro de un campo cuadrado y camino en lfnearec ta. Al cumplir la mitad de mí recorrido encuentro el 1fmítG del campo. En consecuencia terminé mí marcha fueradelcampo".

En lo que respecta al primer enunciado, el niño no puede hacer otra cosa que expresar su convicción: la prueba es- tá más allá de sus posibilidades. Sin embargo,en el casodel segundo enunciado podría estar interesado en observar como su convíccíbn inicial podría llevarlo a la duda, culminando en el descubrimiento de un contraejemplo. De esta forma, un a- lumno llega gradualmente a reconocer, que lo que parece obvio no es siempre necesariamente cierto, y que una regla no es general sí permite una excepción-aún una única excepción.

Zdo . enunciado

"Estoy fuera de un campo cuadrado y camino en linea rec ta. Al cumplir la mitad de mí recorrido encuentro el lfmíte~ del campo. En consecuencia terminé mi marcha dentro del campo".

La crisis de la enseñanza de geometrle 143

Entre las muchas pruebas posibles a nivel de escuela prí maría, podemos mencionar el establecimiento de ciertas fórmÜ las relativas al área de un polígono, asf como también en 1; relativo a muchos juegos.

Los numerosos estudios realizados por Guy Brousseau en el IREM (Institut de Recherche sur 1'Enseígnement des Mathé- matíques) de Burdeos contienen una multitud de otros ejemplos.

Sin embargo, es principalmente alrededor de las edadesde doce y trece años (de acuerdo a los programas actuales) que comienza a exigirse a los alumnos demostraciones sístemãtí- cas en geometrfa. En relací6n con esto, me gustaría mencío- nar un incidente personal que no quisiera olvidar puesto que el fue el origen de mí decisión de hacerme matemático. Tenía entonces, exactamente doce años de edad y estaba en el tercer curso escolar cuando el maestro nos pidió, por primera vez y como parte de una tarea domícílíaría, la demostrací6n de lo siguiente: Dado un ángulo recto xóy, conjuntamente con dos ángulos AÓB y CbD cuyas respectvas bisectrices son Ox y Oy, probar que los ángulos AÓC y B&J son sumplementaríos.

Yo quedé perplejo por largo tiempo. Dándome cuenta, des- pués, que podría ser una ayuda poner letras en la figura, a- dopté, recuerdo todavfa, la tosca notación 7, 2, 3, que he reemplazado en la Figura 1 por las letras griegaso, p, r.(No conocfa estas letras en aquella época). Llegué, entonces, a la siguiente solución:

De donde resulta

A&=2â+3 y BôD=2T+â De.donde resulta Ah+ BôD =(2â+fi)+(2q+fi)= 2(â+P+ ?)=2 ángulos rectos

Q.E.D.

144 G. Glseser

Discutf recientemente este recuerdo con algunos matemá- ticos amigos. Es obvio que esta "demostrací6n" está lejos de ser perfecta sí se la enfrenta con las normas de Hílbert. En primer lugar, aunque la solución tenga un cierto grado de generalidad (dado que puede modificarse ligeramente la fígu- ra sin invalidar el razonamiento), ella depende, no obstante de un conjunto particular de figuras. Por ejemplo, alcanza con intercambiar las letras C y D en el diagrama para que el razonamiento en cuestión deje .de ser literalmente cierto.

Además, mí solución de principiante contaba (sin haber- me dado cuenta) con las propiedades asociativa y conmutativa de la adición de ángulos. Pero yo no estaba, en aquella etapa, en condiciones de insistir sobre tales cuestiones. Nece- sité otros diez años de trabajo en matemática para encontrar suficientes ejemplos donde la falta de asocíatívídad condu- cfa a gruesos errores.

Sí mí maestro de tercer año hubiese tratado de explicar el grave error lógico contenido en mí solución, no lo hubíe- se comprendido. Pero ninguno de los matemáticos amigos que consulté sugirió que yo no había entendido, como resultadode aquella experiencia, lo que era una demostrací6n. Yo hablada - do un paso importante en la comprensión de las reglas de juE go de la matemática.


Es de esta manera que la ejercitación con problemas de geometría ayuda gradualmente a perfeccionar la lógica del a- lumno. La geometrfa constituye una herramienta educativa ex- cepcional para desarrollar una toma de conciencia respecto a la utilidad y a la fecundidad de las demostraciones. Muchos docentes se quejan de la dificultad que encuentran sus alumnos en elaborar demostraciones por si mismos. En efecto, la mayorfa de los principiantes consideran las demostracionesco mo exigencias gratuitas y pedantes de parte de sus maestros, Puede ayudarse el proceso de comprensión invitando al estudiante a considerar situaciones donde lo que aparece como ob - vio es, en realidad, falso.

He utilizado, a menudo, el siguiente ejemplo, con alumnos de doce años y mayores, pero se podría, probablemente, haber obtenido buenos resultados aún con alumnos de menor edad. El maestro pregunta, en el diagrama adjunto, sí el octógono gro - seramente esbozado es regular:

A F B "Es obvio" grita la clase.

"Ud. puede ver en el diagrama que lo es".

E G

D H C

Guy Brousseau sugiere que, al llegar a este punto, se planteen algunas dudas y que se provoque, después, una díscu sión sobre la situación. Iniciemos la cosa consultando la pã labra "regular" en un buen diccionario. Desde el punto de vista geométrico la palabra significa "tener todos los lados y todos los ángulos iguales".

Mucho antes de esto, unos pocos alumnos, todavfa escéptí cos, estarán midiendo -y de mala gana- los lados de la fígur ra. Primer punto de discusión: "iSon realmente iguales los lados?". El maestro puede, entonces, adelantar argumentosb; sados en los principios de simetría que, sí bien pueden resultar convincentes para él, dejarán inconmovibles a sus a- lumnos. Pero y en apariencia, tomarán tal argumentación como urna demostración más convincente.

146 6. Glaeser

A esta altura de la discusión es conveniente observar los angulas, pero (como sucede siempre) nadie tiene un trans portador a mano. Pero, de todas maneras y dado que nadie sa be cómo emplearlo correctamente, recomienza la controversia, Se reconoce, al fin, que los ángulos AHB y FDG son distintos: las patas de los compases en el caso de FDG están menos sepa radas que las del m¿6m0 par de compases en la posición AHB,- puesto que FG es más corto que AB ("esto resulta claro del esquema"). Más adelante se encontrará una prueba menos empfrica.

Lo que me agrada de este ejemplo es que el conocimiento que se necesita para comprenderlo no presenta casi ninguna instancia de aprendizaje. Y proporciona una forma de conven- cer a los alumnos que las apariencias pueden ser engañosas a lentándolos, en consecuencia, para la búsqueda de demostraciones. Este mismo ejercicio puede servir, en una etapa posterior, como una motivacibn para una primera detmtiauí5n pot uducci6n a.4 abbuhdo: "Sí el octógono convexo fuese regular, los vértices del polfgono estrellado asociado podrfan inscri

- bírse en una circunferencia en lugar de un cuadrado".

El empleo de una argumentación no formal en los dos ejem plos anteriores se presenta ex-profeso. Será necesaria, todã vía, una larga práctica para que los alumnos tomen concíen- cía de los. inconvenientes del sentido común geométrico, así como para que se sometan voluntariamente al ritual del mate- mático y del lógico.

En último término, encuentro natural que un maestro que está preocupado por desarrollar la capacidad de razonamiento de sus alumnos dedícase varías horas (esparcidas durante cíer to tiempo) a la consideración de este ejemplo, aún cuandote; ga plena conciencia de que el contenido cognoscitivo del resultado no sea de valor. iTantopeorpara el programa! Un docente que logre que su clase comprenda porqué los matemáti- cos le dan tanta importancia a las cuestiones lógicas no ha- brá malgastado su tiempo.

La geometrfa como un lenguaje heurístico

"iPero por qué", pueden replicar algunos matemáticos pro fesíonales, "elegir geometría y las lenguas muertas como asig naturas culturales y como instrumentos para desarrollar ei razonamiento?" "ino es posible emplear para tal fin un conocimiento más actualizado, menos anticuado?" Y, en efecto, el

La crisis de la enseñanza de geometrfs 147

trabajo con computadores es un poderoso incentivo para forma lizar el razonamiento. El computador está desprovisto de in- tuición y "no ve nada que le resulte obvio en un diagrama". Es cierto que la geometría elemental incluye conocimientocom pletamente obsoleto, excepción hecha con el conocimiento in- corporado por el álgebra (Dieudonné, 1964). Pero su importan cia no radica, precisamente, en su carácter de cuerpo de conocimientos. La geometria se ha transformado, en la actualidad, en el lenguaje heudhibttio más ampliamente utilizado, y esta es la razón por la que resulta esencial que selesbrin de a los estudiantes las ventajas que un tal lenguaje signiz fica. Cuando queremos analizar una situación algo complicada construimos esquemas o diagramas para apoyar nuestro razonamiento intuitivo. No conozco, en realidad, ninguna profesión en la que el arte de emplear dibujos (figurativos o simbóli- cos) no resulte fundamental. Además, no hay nada que nos im- pida (anticipando el argumento empleado anteriormente relati VO al par de compases con diferentes aberturas) referirnos ã un teorema debidamente demostrado, como puede aparecer en un buen texto, tal como el siguiente:

Teahma

Si dos lados de un triángulo AOB son iguales a dos lados del triángulo A'O'B', pero comprendiendo, respectivamente,gn gulas distintos, entonces al mayor ángulo se opondrá el mayor lado, y viceversa.

Pero el enunciado expresado en forma lógica viene al final. La importancia del lenguaje geométrico radica en su ca pacidad para sugerir metáforas que provocarán asociaciones 3 - tiles de ideas.

No es por mero azar que el análisis funcional habla de distancia, esferas, conos, traslación y semejanzas. Cierta- mente, el matetitico es consciente de las limitaciones de és tas, a veces dudosas, analogias, pero organiza su conocimieñ - to en relación a varias imágenes sugestivas.

Nkgún matemático se engaña con la ficcián heurfsticaque describe dos rectas paralelascomo: "rectas que se encuentran en el @finito". En todo caso, esta figura de lenguaje, por cierto muy conveniente, puede quedar completamente justifica da por una construcción axiomática del plano proyectivo. De forma análoga, el uso del lenguaje de la geometrla euclidea-

148 G. Glaeser

na real en el dominio complejo hace posible lograr algunos a tajos heurlsticos sorprendentes. Cuando se habla de los puntos de intersección imaginarios de dos circunferencias reales disjuntas, nos estamos refiriendo, simplemente, a una e- cuación algebraica particular con raíces complejas. Si bien pueden calcularse e invocarse estas rafces en el curso de un razonamiento, no es posible indicarlas sobre el diagrama.

En la geometría euclideana real, dos rectas perpendiculares no son nunca paralelas pero nos permitimos, sin embar- gos explicar las propiedades de las rectas isótropas en el dominio complejo diciendo que ellas son rectas que permane- cen fijas cuando se les hace girar alrededor de uno de sus puntos. Aquellos que se niegan a emplear tales descripciones subrealistas están en libertad de volver a explicitarloscál culos que no incluyen ninguna referencia a la intuici6n. Pez ro el lenguaje geométrico favorece la transferencia de un con - texto a otro.

Enfrentado conel siguiente problema de álgebra:

"Describir las matrices reales simétricas tales que los coeficientes de M y de M-1 son todos positivos o cero", se podrfa asf:

M representa un isomorfismo de un espacio Rn y llame+ mos el "primer cuadrante" a la parte de Rn que contiene aque - 110s puntos cuyas coordenadas son positivas o cero.

La hipótesis implica que M transforma el primer cuadran te en sl mismo. Y como esto es también cierto para M-l deduz cimos que se aplica el primer cuadrante dobhe sí mismo yque, en consecuencia, se conservan los ejes de coordenadas. Y con clulmos, en consecuencia, que en cada linea y en cada columz na hay un sólo coeficiente no nulo. ("Matrices estocásticas")

Es posible demostrar el resultado simplemente por medio del cálculo, pero una transferencia al dominio geométricopro porciona la idea que posibilita el descubrimiento de la de- mostración señalada. Además, un resultado obtenido mediante un largo cálculo aparece, a menudo, como milagroso; la inves tigación realizada a lo largo de cauces intuitivos y simples resulta más convincente.

La crisis de le enseñanza de gcomecrfe 149

He aquí un ejemplo donde la intuición en el campo de la óptica geométrica rinde más que la aplicación mecánica deuna fórmula.

Ptro b&ma

Determinar el centro de curvatura en el vértice de una parábola cúbica.

El resultado se hace obvio cuando empleamos la aproxima ción de Gauss de un espejo parabólico por un espejo osculatõ rio esférico de pequeña abertura. Se sabe, en el caso de este último, que existe un foco aproximado situado en la mitad del segmento que une el vértice con el centro. Recurriendo a esta aproximación la respuesta a la cuestión planteada resul ta evidente sin necesidad de ningún cálculo: "El centro de curvatura buscado es el punto simétrico del vértice de la pa rábola con relación al foco". Otra de las caracteristicas úz tiles de este ejemplo es alentar la aplicación en una disciplina determinada del conocimiento adquirido en otra.

La efectividad heuristica de la geometrla deriva también de las oportunidades que brindade representar en sfmbolos con cisos y altamente significativos, nociones que, escritas en- otra forma, podrian arrastrar considerable "ruido de fondo". De alli la efectividad del cálculo con vectores que permite evitar la referencia continua a las coordenadas cartesianasde los valores involucrados. Y es por esta razón que la inter- pretación de los resultados intermediarios resulta mucho más fácil en geometría.

He aquí, por ejemplo, un cálculo significativo, por medio del cual se puede demostrar que, en un triángulo ABC,las tres alturas son concurrentes. El primer paso es escribir la ecuación de la altura trazada desde A. Esto, hecho empleando coordenadas cartesianas rectangulares, puede significar algu nas dificultades (después de indicar las coordenadas de 10s tres vértices).Pero el cálculo se vuelve más significativo si se observa que el conjunto de puntos X del plano euclidea no que satisfacen la relación:

XB' - xc2 = AB2 - AC

(que se deduce directamente del teorema de Pitágoras), es la perpendicular a BC trazada desde A.

-_ .._ ..- -

150 G. Claeser

Si llamamos D al punto de intersección de las alturas bajadas de A y de B, conluiremos que 'tal punto satisface las dos ecuaciones siguientes:

DB2 - DC2 r AB2 - AC

DC2 - DA2 = BC2 - BA2.

De las que , por adición, se deduce que

DB2 - DA2 = BC 2 - AC2.

Y este resultado expresa el hecho que Ddebe encontrar se en la tercer altura. Las ecuaciones que hemos escrito - prueban también que:

AB2 + DC2 = BC2 + DA2 = CA2 + DB2.

Parailustrar la lamentable declinación del pensamien- to geométrico, mencionarfa el ejemplo de las pruebas de exa men que tuve que calificar como.miembro del panel de jueces de la OlimpIada de Matemática realizada en Moscú en 1973 (Greitzer, 1978). La solución del problema 4 incluía la de- terminación del Punto 1, sobre el arco de centro B, tal que AI + IC sea mínimo, sabiendo que ABC es un triángulo equilá - tero. C

Se podrla haber esperado que los brillantes candidatos hubieran sugerido argumentos elementales y simples basadosen


las leyes ópticas de la reflexión simétrica o en la desigual dad triangular o en la intersección de las elipses con focos en A y C con el arco de centro B.

En los hechos, sin embargo, un gran número de participantes se embarcaron en la determinación de un minimo de una función tal como esta:

f(t) = (sen, t-a) 2 + (cos. t-b) 2 2 + (cos. t+b f

recurriendo, para ello y en gran medida, a las derivadas.

Uno se pregunta: ¿Se han vuelto nuestros alumnosmásbri llantes tan estúpidos como calculadores?

-

Permitaseme presentar otro ejemplo: enfrentado. con un problema de geometria elemental, propuesto en la Olimpíadade París de 1983, todos los candidatos vietnamistas presentaron soluciones simples de cinco lineas a lo más.

En contraste con esto, otras respuestas (particularmente de candidatos de la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéti- cas y de Francia) consistían en cálculos que abarcaban has10 páginas y que, además y raramente, llegaban a la solucidn co - rrecta.

No existe razón para quedar deslumbrado por tales perfo mances. El trabajo de los alumnos que saben adonde vanyporz qué han logrado sus objetivos es, por lejos,muy superior.

El arte de las transformaciones

La actividad creadora del hombreno genera nada e~ n&i l?O, sino que transforma lo que previamente existe. A veces - desplaza, corta, tritura, dobla, recompone o reúne; en otros casos, expone objetos a los agentes naturales (calor, luz, a gentes químicos o biológicos, fenómenos sociales, etc.). L& cuestión es que la educación de las habilidades para llevar a cabo estas transformaciones prepara el camino para la rea- lización de tareas a lo largo de toda la vida. Pero la crisis a la quenoshemos referido antes está modificando la escala de las necesidades de educación. En tiempos pasados,una persona realizaba la misma transformación día tras dfa en el mismo lugar de trabajo y no tenia necesidad de considerar el fenómeno con carácter general. Pero en la actualidad, hemos entrado en la era de las múltiples transformaciones.

Muchas transformaciones tienen dimensiones multidisci- plinarias. Asl, la traducción, que es una transformación de* un texto aparece, a veces, como una actividad de naturaleza exclusivamente literaria. Sin embargo, ella parece como tarea que preocupa al matemático cuando se trata de la formula ción de algo bajo forma de una ecuación o de escribir un pro grama de computación. Empero, y desde mediados del siglo die cinueve, la geometrfa se ha vuelto la ciencia de las transformaciones poh exc&wckl. Ella estudia las modificaciones de objetos geométricos, 0 sus representaciones, con sus respectivos invariantes. El patrón de la geometria de transformaciones sigue siendo el famoso "Programa de Erlangen", que Felix Klein presentó en 1872 en su conferencia inaugural.

Bajo la influencia de Emile Borel y de Jacques Hadamard y a partir del comienzo del siglo veinte comenzó a organizarse en Francia la enseñanza de la geometría alrededor de los diversos grupos de transformaciones. Y se mantuvo eete enfoque como uno de los puntos fuertes de la enseñanza mate- mática francesa, hasta la infortunada retirada iniciada en los años de 1960. Por contraste, esta tendencia comenzó a destacarse, precisamente, en los Estados Unidos de América y en la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas.

El aspecto más fundamental se refiere a la actividadde tranformación en si mismo. A partir de la escuela primaria puede trabjarse con simetrias (por ejemplo, plegando papel, pudiendo emplear el pantógrafo para ampliar las figuras (Brou sseau, 1981). Y estas formas prácticas de trabajo permiten en señar a los alumnos a trasladar, a desplazar, a ampliar y,- aún a realizar algunas transformaciones afines.

Se presenta, a continuación, una simetría oblicua realizada sobre un papel cuadriculado.

El texto (IREM, Estrasburgo, 1976) presenta a Sancho Panza y los alumnos deben derivar a Don Quijote.

La práctica en perspectiva realizada en las clases de arte, a partir de los once años de edad resulta, también,muy instructiva.

LP criaís de la enseñanza de geometrfa 153

Se pueden definir muchas figuras geométricas en térmi- nos de transformaciones. Asi, por ejemplo, un triángulo isós celes es un triángulo que posee un eje de simetría y un para lelogramo es una figura con un centro de simetría. Y, en ambos casos, puede obtenerse simultáneamente todas las propiedades corrientes que se acostumbra a demostrar de forma bastante desmañada. Las propiedades afines de la elipse pueden obtenerse mediante proyección a partir de las de la circunfe rencia, de manera que los alumnos de catorce a dieciséis a- ñospuedendescubrirlas independientemente de la adquisición de todo conocimiento formal.

Puedenobtenersefácilmentemuchaspropiedades geométricas transformandouna figurageneralenuna &gW~~caná~Úca. Media2 te una perspectiva puede transformarse un cuadrilátero completo en un cuadrado, una sección cónica en una circunferencia y puede seguirse con la lista de ejemplos semejantes. Y, finalmente, existe otro nivel muy efectivo de reflexión geo- métrica que consiste en razonar respecto a la forma de la transformación en lugar de hacerlo respecto a las figuras transformadas. El movimiento que cultivó este enfoque y que floreció en Francia entre 1930 y 1950, parece haber entrado en un,verdadero eclipse.

Ejc?rnpfo: En la Olimpiada realizada en Bulgaria en 1975, se propuso el siguiente problema (Greitzer, 1978):

154 G. Glaeser

En el plano de un triángulo ABC y en el exterior del triángulo, se construyen los triángulos BCP, CAQ y ABR de ma - nera que:

PBC = CiQ = 45"

B;P = Q;A = 30" e h

ABR - RAB = 15O

Demostrar que QGP = 90" y que RQ = RP.

Estos resultados constituyen una consecuencia inmediata de una rotación de 90", para lo cual basta observar que exis ten, ímplfcitos en los datos, dos triángulos tales que uno& ellos es la imagen del otro en la rotación mencionada. En la oportunidad, un competidor (procedente de Hungría) se dio cuenta de esta solución, que parecia no habérsele ocurridoni a los que hablan propuesto el problema. Y el jurado de la o- limpiada quedó asombrado de que alguien hubiese empleado este método que fue considerado, por otra parte, como muy ele- gante pero desacostumbrado!

Conclusión

Como se termina de ver, entonces, la geometría elemental comprende una gama completa de virtudes educativas. La ciencia geométrica adquiere su completa importanciasólo cuan do se la considera como una herramienta educativa. Es obviõ que un alumno educado en esta disciplina adquirirá una gran cantidad de conocimiento culturalmente válido. Pero se per- derá irremisiblemente el efecto deseado si la única preocupz ción se centra en un tal conocimiento y si no se presta la debida atención a las actividades matemáticas que desarrollan la capacidad de pensar por sí mismo.

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* * *

UN ANALISIS DE LA ENSEÑANZA DE GEOMETRIA EN EL REINO UNIDO DE GRAN BRETARA E IRLANDA DEL NORTE

D. S. Fielker

Antecedentes

El contexto dentro del cual se desarrolla el currfculo en el Reino 1Jnido de Gran Bretaña e Irlanda del Nortefue des crito, en un volumen anterior, por Hayter (1980, pp. 88-g)- pero vale la pena repetir aquí sus caracteristicas esenciales.

El currlculo es de responsabilidad de las propias escue las, y aunque pueden recibir del exterior alguna gufa y 01 ..d rientacion, las decisiones se hacen normalmente por los go- bernadores escolares y los directores las implementan.

En la práctica, muchas escuelas primarias y probablemen te todas las escuelas secundarías tienen maestros responsar bles en la educación matemática, los que toman decisiones so bre cuestiones curriculares influenciados, generalmente, tan to por la orientación exterior como por las consultas con colegas que enserian la materia.

Existen diferencias esenciales entre las escuelas prima rias y secundarias. Aúnenaquellas áreas de autoridad local, donde esta tradicional división a la edad de once años, (12 en Escocia) ha sido reemplazada por un sistema de tres partes, escuelas primarias, medias y superiores, a menudo ocurre en lasescuelasmedias un cambio de organización de prima - ria a secundaria.

En las escuelas primarias, cada clase, generalmente de habilidad vasiada, normalmente recibe la mayoría de su ense ñanza,de un maestro único. En las escuelas secundarías, 10: alumnos tienen diferentes maestros para las diferentes materias, con distintos grados de flexibilidad para plantear, de sarrollar o combinar habilidades. Asi, los maestros de nivel primario tienen, generalmente, un conocimiento limitado de matemática, mientras que los profesores de matetitica de nivel secundario son, en teorfa, matemcllticos.

158 D. S. Fielker

Aunque, en la práctica, una carencia endémica hace que a muchos alumnosles enseñen docentes que no son matemáti- cos.

Existen algunas diferencias en los cursos de matemáti- ca de escuela secundaría para los más capaces (casi el vein te por ciento), los de nivel medio (oficialmente del veinte al sesenta por ciento), y los menos capaces. Mientras muchas escuelas secundarías tratan de mantener a los alumnos en el mismo curso, tanto como sea posible, más tarde o más temprano tienen que tomarse decisiones acerca de los exáme- nes externos, que se toman a la edad de diez y seis años,es decir, sí los alumnos se presentan respectivamente, para el Nivel Ordinario del Certificado General de Educación (Nivel 01, para el Certificado de Educación Secunaria (CSE) o para un "grado limitado" CSE o para no rendir ningdn examen. El Secretario de Estado para Educación y Ciencia ha aproba- do recientemente (1984) planes para un examen común a los diez y. seis años, para reemplazar el nivel 0 y al CSE, pero, las señales indican que los tres niveles continuarán dentro de esta nueva estructura.

La escuela se deja a la edad de diez y seis años, pero un creciente número de alumnos están permaneciendo en ella hasta el sexto curso. Casi el 6 por ciento, de todos los alumnos, siguen un curso de matemática de nivel Avanza- do (Nivel A) a la edad de diez y ocho o diez y nueve años, pero como consecuencia de la ampliación del sexto curso, e- xisten una variedad de otros cursos en matemática.

Aunque, en teorfa, las escuelas tienen libertad y auto nomía en el desarrollo del currículo, en la práctica '1 10;

maestros del nivel primario, carecen de experiencia y (con- fianza y tienen tendencia a depender, principalmente, delos textos publicados. Los docentes del nivel secundario se sienten limitados por los programas y caracteristicasdelos exámenes externos y aunque existen opciones para desviarse de éstos, pocas escuelas hacen uso de ello, y cuando lo hacen pueden encontrar diflcil defender amplías desviaciones de la norma, enfrentando una junta examinadora preocupada con la comparación de normas.

A pesar de las restricciones experimentadas, lo mejor de las reformas británicas han procedido, directamente, de los maestros de aula, y tales cambios han tenido influencia

Vn análisis de -a enseñanza de la geometrla en el Reino Cnido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte

159

en otros maestros, o a través de los programas de perfeccionamiento en servicio opormedio de las juntas de exámenes, las que siempre, en definitiva, han cambiado en respuesta a las reformas hechas en el aula.

Pero es en la naturaleza de las cosas que la reformadel curriculo ha sido siempre lenta y desigual. Este es un resul tado de la autonomfa, no solamente para que las escuelas pu: dan elegir el cambio, sino también, para que ellas puedan permanecer como están. Por lo menos, significa que ellas no necesitan cambiar hasta que estén listas para hacerlo, y nadie es forzado a un nuevo curriculo al cual no se siente ca- pazbe hacerle frente.

La geometrfa en las escuelas primarias

Hasta casi 1960, se enseñaba poca o ninguna geometrfaen las escuelas primarias, cuando Edith Biggs, y otros, a tra- vés de un vigoroso programa de cursos en servicio, empezaron a ampliar el currículo de matemática de la escuela primaria. Edith Biggs fue, más tarde, responsable de una publicacibn del Consejo de Escuelas (19651, en la cual, en un importante capitulo sobre Niños, Formas y Espacio, se ocupa de temas ta les como plano y formas sólidas, redes, ángulos, paralelas,- simetria ysemejanza, todo basado en un trabajo real, hecho con niños. Aunque, perímetro, área y volumen también se ín-b cluyen aquí, la medida generalmente aparece en la sección nu mérica del libro. Esto está en contraste con libros posteriõ res para maestros de escuela primaria, donde las secciones2 bre "formas y tamaño" tratan ampliamente con la medida y, eñ consecuencia, queda muy reducida la parte de verdadera geome tris. Pero Edith Biggs sugiere una buena cantidad de georne= trfa basada en actividades prácticas, un método de "descubrí miento" en el cual se incita a los niños a encontrar las coz sas por si mismos y las interconexiones entre la geometrfa y el trabajo con números, medida y representación gráfica.

El Proyecto Nuffield de Matemática fue iniciado en 1964 bajo la dirección de Geoffrey Matthews, y se publicaron sus gulas didácticas durante los años siguientes. Tres guías con secutivas sobre Fohma lJ Tamaño (Proyecto Nuffield de Mate&x tica, 1967, 1968 y 1971) continúa la tradición de Biggs, y están.igualmente ílustradas con copiosos ejemplos de trabajo de niños. La filosofia del Nuffield es, en muchos aspectosla misma, excepto en que se centra, en mayor medida al comienzo en el"ínedioambiente" y puesto que el Proyecto cubria el seg mento de edad hasta los trece años, el Volúmen 1 introducia

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160 D. S. Fíelker

algo de álgebra estructural. El Volumen 2 se extiende exten- samente, al principio, sobre área y volumen pero, entre esto y el álgebra hay algunas actividades geométricas muy lindas relacionadas con simetría, ángulos, mosawos, poligonos, poliedros,etc., que se continúan especialmente en el Volumen 3.

Tanto Edith Bíggs como el Nuffíeld se comparan muy fa- vorablemente, en lo que a geometría se refiere, con los libros posteriores para maestros de escuela primaria. En la - yoria de ellos, el trabajo espacial recibe poca atención y la mayor parte está dedicada a la medida. Un libro (Glenn, 1979) dedicado enteramente a geometría, está basado, en graE medida, en la preocupación por el lenguaje.

De hecho, los libros de texto de los últimos veinte a- ños, han ignorado también, en general, los indicadores de los años 60. Lo que hay de geometrla está relacionado con una colección, curiosamente arbitraria, de formas sólidas y planas, una excesiva importancia a la nomenclatura y una va ríedad de distintas actividades, algunas simplemente por di: versión y otras dirigidas a ciertos resultados, con un espl.- ritu de descubrirlos más bien que de terminar con ellos. Lo que está faltando en todas las gulas es una clase de estructura expllcita para la geometrfa de escuela primaria, tanto matemática como pedagógica, lo que ayudaría a los maestros y aún a los autores de textos a hacer juntos, un curso coher- te. La estructura en Edith Biggs, está en relación con el resto de la matemática; en el Nuffield parece estar conducien do el álgebra. Solamente un articulo (Fielker, 1979) intenta- ofrecer posibles estructuras para la geometrla como tal. El, probablemente, presenta demasiado- para que puedan asimilar los maestros de escuela primaria. No obstante, un artículoa terior (Fielker, 1973) (cuya sustancia está incluida en uno posterior) sugiere como única estructura la de conjuntos, re laciones y operaciones,y en lo que se refiere a cursos eñ servicio, esta simple estructura ha resultado útil al dar a los maestros una sensación de cómo la diversidad de activida des geométricas encajan juntas, proporcionándoles tambiéñ un recurso para la producción de otras actividades geométri- cas.

Una historia breve de la geometría en las escuelas secundarias

Antes del siglo 19, apenas se enseñaba matemática en las escuelas públicas y en las escuelas secundarias. Los re-

Un análisis de la enseñanza de la f+metrfa en el Reino Cnido de Gran Breta~Ta e Irlanda del Norte

161

querimientos de las Universidades de Oxford y Cambridge (los no graduados empezarlan sus cursos con matemática) tuvieron probablemente alguna influencia en el curriculo de las escue las y en la primera mitad del siglo 19, los cursos de mate$ tica en las escuelas se ampliaron de la aritmética a la in- clusión de algo de trigonometrla, álgebra y mecánica; "y para geometria estaba Euclides. El estudio de los Elementos de Euclides se recomendaba por sl mismo para los Directores clá sicos, en parte porque los libros eran una obramaestra cláz sica y en parte, sino fundamentalmente, debido a su supuesto valor en el desarrollo del poder del razonamiento lógico.Pe ro se reconoce rápidamente que se ha gastado mucho tiempo 7 que los niños no están aprendiendo, en absoluto, geometrla y que no están recibiendo capacitación en lógica." (Ministerio de Educación, 1958, p.4).

La historia de los 150 años que siguieron, no se refiere a la cuestión de determinar sí debe enseñarse o no geometria euclideana, sino fundamentalmente de determinar sí los Elk- metiob constituían un texto adecuado, o no, y en segundo lugar, en qué medida se debía adherir al orden de las proposiciones establecido por Euclides y a sus pruebas formales,tan to en las pruebas escolares como en los exámenes públicos. -

Aún a una fecha tan avanzada como 1868 la Schools Inqui- ry Commission informaba: "Euclides es casi el único texto ac tualmente empleado en Inglaterra para la enseñanza de georne tria. Existen razones para temer que no se la enseña bien, que a los niños se les hace pasar demasiado rápido sobre los temas sin comprender sus partes anteriores y se dedica demasiado tiempo, únicamente, al texto, sin ilustraciones o apli caciones; y, es muy cierto que si la geometrla es el instrumento más valioso para la disciplina mental cuando resulta completamente comprendida por el alumno, su valor queda prác ticamente anulado sí su comprensión es nebulosa o nula. Pero pensamos que bien vale la reflexión de sí Euclides es un teE to apropiado para principiantes, y sí los niños no deberlan comenzar con algo más fácil y menos abstracto:Mr. Griffith, secretario de la Asociación Británica, puntualizb que, en su opinión, se dedicaba demasiado tiempo a Euclides, y muchos niños que hablan leido seis de sus libros no sabian nada de geometr-la; y el profesor Key fue tan lejos, al puntodeexprz sar eI deseo de deshacerse de Euclides completamente como el libro más ilógico".(El profesor Key se antició al "afuera Ex clides" de Dieudonné (1961), en casi 100 años).

D. S. Flelker

La Comisión antes citada, recomendó que se dedicara más tiempo a las primeras partes, y que se hiciera preceder el estudio de Euclides por la medida y la geometria práctica, pero no abogaba por el abandono de los E~@?v¿&o~. El primer movimiento real provino de un maestro de escuela, J.M. Wil- son profesor principal de matemática en la Rugby School, quien en 1867, escribió un texto alternativo de geometría. Este se vendió bien y despertó interés, pero también provo- cb críticas de los matemáticos. La lucha continuó.

En 1870, unacarta de R. Levett, maestrodel King Edward's School, en Birmingham, que se publicó en k&ufte, tuvo como consecuencia una reunibn que se efectuõ en Londres, 1871, y en la cual se formó la Asociación para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Geometría (sigla inglesa AIGT). Esta reu nió a un gran número de maestros de escuela y matem&ticos u niversitarios que se hablan mantenido desvinculados hasta A tonces. Circularon folletos e informes y en 1884 se public6 un nuevo libro de texto. En 1888, las juntas examinadorasde Oxford y de Cambridge estaban permitiendo otras pruebas, a- demás de las de Euclides, con tal que no se cambiara el orden de Euclides.

No hubieron nuevos progresos durante 15 años y durante este período, en 1897 la AIGT se transformó en la Asociación Matemática (sigla inglesa MA). El Comité de Enseñanzade la MA, continuó presionando por cambios y en 1903, varías juntas examinadoras estuvieron de acuerdo en aceptar "Cualquier prueba de las cuestiones propuestas que a juicio de los exa minadores formara parte de un tratamiento sistemático dei tema". A estas decisiones le siguieron la publicación ._ de nuevos libros de textos, los cuales, a su vez, fueron seguí dos por malos entendidos, confusi& y dificultades de 10s examinadores en la evaluación de candidatos y estandariza- ción de resultados. El Ministerio de Educación resumió suscintamente la cuestión. "Existe siempre, desde luego, un a- lianza inconsciente entre el examinador inexperto y el maes tro tlmido; lo que es fácil para examinar es, generalmente, también fácil de enseñar. El examinadorhábil, examina el co nocimiento sin establecer dificultad o hacer preguntas exce sivamente formales, y el maestro competente se ideará para enseñar lo que el cree que debe enseñarse, sin disminuirlas perspectivas de éxito de sus alumnos en un examen" (Minis- terio de Educación, 1958, p. 68).

Un análisis de la enseñanza de la geometrfa en el Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte

163

El principal resultado fue que los ~emetiob dejaron de ser un texto de examen dejando,asi, el camino libre para o- tras reformas. No obstante, por 1957 hubieron, aún, una cantidad de exámenes que requirieron pruebas formales de algunos teoremas euclideanos.

El Informe Spens (1938) y el Informe Norwood (1941) estaban preocupados, entre otras cosas, con la unificacián del programa de Matemática. El Programa Jeffery de 1944, aportã una unificación que condujo a considerar las pruebas de examen en "Matemática como una alternativa para las pruebas en "Algebra 11 "Aritmética" y "Geometria". Esto significó, por e- jemplo, que se aceptaran en una prueba de "Matemática" demos - traciones algebraicas de proposiciones geométricas.

Esto había tomado mucho tiempo. Ya en 1873 dos miembros de un comité establecido por la Asociaci6n Británica (BA)pre sentó un punto de vista en minoría. Ellos deseaban introducir cuestiones de aritmética y álgebra en la enseñanza de la geometrea y que se considerara la geometrfa técnica.

Este último punto de vista fue parte de otra batalla,en tre la geometria como una disciplina y la geometrfa como una herramienta práctica. Los miembros de la BA no recibieron a- poyo de la AIGT, la cual, de acuerdo a Howson (1982, p. 135) "no hizo intentos para reunir las dos corrientesde educación matemática en Gran Bretaña, la académica y la vocacional. Ello perserveró en un programa elitista, no utilitario, el cual tenis poca relación con el programa de geometria de o- rientación más práctica, revisado por el Departamento de Cien cia y Arte". La AIGT 6 la MA, en la que se transformó, se redimió en un informe sobre la Enbe.ñanza de la MaAem4Aica en ti E~cuti Públicas y Secundahian, en 1919, en el cual,la primera recomendación era: "Que el pasaje educativo de un ni ño por la escuela debería servir para hacer de él un ciudad; no, en el sentido más amplio de la palabra: para este fin,dã ben desarrollarse los aspectos de su naturaleza, tanto moral, como literario, científico (incluyendo el matemático), ffsico y estético. Así, hasta donde le preocupa a la matemática, su educación deberla capacitarlo, no solamente para aplicar sus conocimientos matemáticos a los problemas prácticos, sino también, para tener alguna apreciación de aquellos proble mas más importantes del mundo, cuya solucián depende delaMã temática y la Ciencia". El Informe de Spens se ocup6 del mis mo tema. "Desafortunadamente la enseñanza de la matemáticael las escuelas secundarias ha tendido, siempre, a poner m6s a-

164 D. S. Fielker

atención al orden lógico y al desarrollo en abstracto de las ideas matemáticas que la utilidad de éstas en la vida real" (Howson, 1982, p. 17).

De hecho, nunca se ganó esta batalla para las escuelas secundarias y los aspectos utilitarios de la geometríano fue ron totalmente explotados, como veremos &s adelante, hasta que no se establecieron las modernas escuelas secundarias, después de la Segunda Guerra Mundial.

Lo que se estableció, eventualmente, para las escuelas secundarias no fue un enfoque utilitario sino unenfoqueprác tico, por lo menos en las primeras etapas. Esto fue diflcily naturalmente, en los primeros años de la AIGT, y un relevamiento en el año 1875 "mostró que aunque las alternativas a Euclides se estarian usando en los cursos más elementales,los alumnos volvian a Euclides como aparecia en los exámenes" (Howson,1982,p.135). Pero estonol ha constituido un enfoque poco común de la matemática y muchas escuelas desconformes con los exámenes, pero incapacesde hacer mucho acerca de ellos han dedicado tanto tiempo como han podido a enfrentar la en- señanza de matemática y la han cambiado de manera de poderlo - grar éxito en los exámenes de matemática.

En 1909, la Junta de Educación publicó la Circular 711 la cual daba la bienvenida a los beneficios de la liberaci6n de Euclides iniciada hace seis años, pero castigaba a la ma- yoría de los maestros, por no haber "aprovechado suficientemente la oportunidad de separarse de los contenidos inconvenientes de la tradición euclideana" y a unos pocos por "pensar que el trabajo práctico lo es todo". Se propusieron tres etapas en la enseñanza de la geometrla. La primera se refiere a los conceptos fundamentales y es generalmente titulada trabajo práctico preliminar.

La segunda se refiere a unas pocas proposiciones fundamentales y la tercera, con la parte principal del tema, al desarrollo deductivo general (Howson, 1982, p. 67). En 1914 la Circular 851 amplificó estos puntos de vista. "Algo hace pensar que existe alguna cosa imprecisa, defectuosa o peli- grosa para la salud intelectual de un niño al permitirle asu mir enunciados los cuales tradicionalmente habla que "demostrar". Esta idea descansa en un malentendido, o de las propo siciones propuestas o de la naturaleza de un sistema georné+ trice. La deducción necesariamente implica, como un punto de partida, dos o más enunciados asumidos para los propósitos

Un snállsls de la enseñanza de la geometría en ~1 Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte

165

del razonamiento. La precisión lógica de la deducción no dE pende del carácter de estas hipótesis. Estas pueden ser con sideradas como verdaderas en su más amplio sentido;opueden tomarse simplemente como hipótesis de trabajo, o como convenciones, o como simples jeux d’tiptL¿t. Las hipótesis pue den ser superabundantes, y pueden, aún ser contradictorias (como en la prueba familiar, conocida como hedutio ad ab dwrdurn) y, sin embargo, el proceso de deducción puede se7 absolutamente lógico" (Howson, 1982, pp. 67-8). Lo que parece proponerse aquí es algo relativo al desarrollo de un sistema axiomático aunque, dado que Euclides resultaba tan poco satisfactorio al respecto, la idea nunca fue, realmente, empleada en las escuelas, aún para el nivel A, a pesar de un folleto de MA sobre el tema. (The MathematicalAssoci.2 tion, 1966).

La otra idea que parece estar implicada aqui es esa que Gyril Hope llamó más tarde, cadenas cortas del razonamiento deductivo, El desarrollo deductivo general de la Circular 711 lleg6 a una tercera etapa sofisticada pero, en preparación para esto, los alumnos debían acostumbrarse a razonar 16gi- camente en forma limitada a partir de premisas cualesquiera; lo que contaba era la clase de razonamiento utilizado para la prueba de un ejercicio de mateaática, más bien que los desarrollos axiomáticos de la teoria.

Un informe de MA (1923) reagrupó las tres etapasde la circular 711 en: la etapa experimental (A); la etapa deductiva (B); y la etapa de sistematización (C). La terminolo- gis de estas etapas persistió por casi medio siglo. La etapa C se alcanzó raramente en las escuelas, aún en el sexto curso, pero la "etapa A" y la "etapa B" llegaron a ser una especie de taquigrafia, generalmente usada para trabajoprác tico, intuitivo y para un trabajo deductivo más formal, res

- pectivamente, que no estaba limitado a la geometria.

Aunque estos cambios pueden haber parecido drásticos en la época, fueron de un desarrollo muy lento comparadoalas dos explosiones de post-guerra, la aparición de un nuevo cu rriculo de matemática para las modernas escuelas secundariãs de los años 1950 para atender alumnos no seleccionados, de edad de 11 a 15 años, y diez años más tarde la llegada de la "nueva" matemática o matemática "moderna" como se la lla m6 en el Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte. -

166

Geometrfa para todos

D. S. Fielker

Hemos visto, que la mayoria de las luchas relativas a la geometría desde 1800 preocupaban un máximo del 15 al 20 por ciento de la poblaci6n escolar de las escuelas públicas o escuelas secundarias. Hubieron insinuaciones de un tipo de geometrla más vocacional para aquellos que concurrían a cursos técnicos, escuelas técnicas 0 comerciales. Para las escuelas elementales no habia nada de geometría.

El Decreto de Educación de 1944 proporcionó "educación secundaria para todos", y a la edad de ll años la mayoria de los niños fueron transferidos desde las nuevas escuelas primarias a las escuelas secundarias aomo antes (pero bajo arreglos financieros diferentes) o a las nuevas "escuelasse cundarías modernas".

-

Las escuelas secundarias modernas se comportaron duran te muchos años como las secciones más antiguas de las escue las elementales. Hubieron pocos maestros especializados, a- penas algún graduado y cada clase tenla un maestro de aula, quien, en la mayoria de los casos, enseñaba aritmética e in - glés.

No existían, en general, posibilidades de exámenes, pe ro a medida que transcurrian los años cincuenta, algunas eS cuelas secundarias modernas tuvieron la posibilidad de haz cer ingresar a algunos de sus alumnos más brillantes al nivel 0. Aparecieron más docentesde-matemática -especializán- dose en la materia en los cursos del colegio de formación, si no poseían el grado en matemática- y estaban interesados en el desarrollo de un programa dematemática más amplio, ba sado en el mundo del alumno, más bien que en el curso abstracto de las escuelas secundarias. Los articulos en MaRhe- maticb Teuching , la revista trimestral de la Asociación de Profesores de Matemática, algunos libros de texto y libros para el profesor, por E.J.James (1958) - un influyente es- critor de los años 1950- un nuevo informe de la MA (1959),to do demostró y abogó por la necesidad de un amplio curriculõ de matemática para las escuelas secundarias modernas. Los temas de geometría o relacionados con geometrla incluyeron construcciones y dibujo técnico, dibujo y creación de modelos, simetría, lugares geométricos y envolventes,navegación y trazado de cartas.

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El informe de la MA (1959) decia en negrita: "La ense ñanza de la geometria debe estar basada en la experienciaes pacía1 práctica". A esto seguian tres aspectos: "(1) PerceE ci6n de propiedades.,. que resultan de la observación y ex- perimentación y conducen a un reconocimiento de principiosy a una apreciación del orden y la belleza de una forma. (2) Formas de medir y calcular... las cuales están basadas sobre propiedades espaciales. Esto ayuda a profundizar la COIJ prensión asi como, también, sirve para finalidades prácti- cas. (3) Oportunidades de razonar y hacer una serie de Jde- ducciones en base a los hechos observados y a la experiencia". Existe aquí, un valiente intento para reconciliar las nuevas aspiraciones con las antiguas tradiciones de la escuela secundaria y en realidad, más tarde, en la sección de geometria las ideas que se sugieren estaban más allá de todos los alumnos, con excepción de los alumnos de unas pocas escuelas secundarias modernas.

Por otro lado, en una reuni6n en Londres en 1960, en la cual se discutió el informe, G.P. Beaumont lo describió como "un monumento a la medida". En realidad, mucho de la geometria de la escuela secundaria moderna era métrica y nu mérica, pero esto era una forma de relacionar los aspectos- prácticos y utilitarios de la actividad espacial. Además, ello fue una forma en algunas de las partes más útiles de la teoria. El teorema de Pitágoras pOdta inducirse, sinlle- gar a deducirse todavía, de un número de casos especia1es.E xistian peligros: muchos alumnos probaron, en forma concluz yente para ellos mismos, que la suma de los ángulos de un triángulo era 179". Pero los maestros encontraron formas de plegar el papel, y hacer modelos para capacitar a los alumnos para demostrar la generalidad de estos teoremas.

La geometria en las escuelas secundarias modernas e- ra práctica, utilitaria, aplicable y también puramente recreativa. Hasta 1965 estuvo liberada, en gran medida,delos exámenes. Y aún más tarde, cuando el Consejo de Escuelaspro yecta Matemática para la Mayoria se prepararon guias parã el maestro para cursos de alumnos de habilidad promedioy'ba jo el promedio, y fue posible producir dos libros que prez sentan filosofias completamente diferentes, acerca de la en señanza de geometria. El enfoque ambiental, utilitario y az plicable, fue propuesto en MdqfAina-3, Mecanidmoa y Matemdt¿ ca (Bolt y Hiscocks, 1970) el cual partió de mecanismos di; -

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ríos y discutió los principios matemáticos subyacentes con las correspondientes actividades de clase. El enfoque re- creativo se manifestó en Geomtiy (Oh Enjoymeutt (Fielker, 1973 a), donde los puntos de partida eran aún, prácticos,pe ro consistían en situaciones estructurales, establecidas pzr el maestro, en las cuales habían oportunidades para organizar y clasificar datos y hacer conjeturas, más bien que para adquirir trozos particulares de conocimiento geométrico.

Habfa otra idea importante y casi herética en Geomehy 6Oh EnjoymenX que podia atraer a los alumnos promedio y bajo el promedio en el interés de la propia geometría. Esto los puso en la misma situacidn que los alumnos de fas escue las secundarias, pero por razones completamente diferentes, como se discutirá más adelante. Pero, parecí6 ir en contra de una larga tendencia de matem6tica utilitaria, tipificada por la declaración que aparece en M&!Lw&c Án SuondahyMo dan SC~OO~? (AsociaciónMatemática, 1959), que dice: "se de beria dedicar mucho más esfuerzo a despertar en los alumnos interés por la matemática, a tivdb de aud OJ?JLOA ,iI.ntmebe~‘!

No obstante, para la mayoría de los maestros, la matz mática de la escuela secundaria moderna habla desarrollado su propio contenido y estilo, independiente de la escuelase cundaria tradicional. En los años de 1960 tres cosas desã fiaron esta independencia: el establecimiento de escuelaspo livalentes, las que, prácticamente, en todas las áreas in- corporaron las escuelas secundarias y las escuelas secundarias modernas, de manera que se pudiera enseñar juntos a todos los alumnos de todo nivel de capacidad; la aparición de la matetitica "moderna" y el consiguiente replanteo del curriculo de matemática como un todo; y el establecimiento del (CSE), lo cual significó que el 60 por ciento de los alumnos, omás, fueran, ahora, parte de un sistema de exáme- nes externos.

Geometrfa "moderna"

La introducción de la matemática "moderna" en los primeros años de 1960 dio impetu a los maestros para experimen tar en sus propias clases, para la aparición de variosynug vos libros de texto y a un programa masivo de actualización para profesores de enseñanza secundaria nunca visto antes o después.

IZn análisis de la enseñanza de la geometrla en el Reino hído de Gran Bretaña e Irlanda del Norte

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Los Inspectores de su majestad y las facultades organi zaron cursos a nivel nacional, las autoridades educativas 7 de facultad lo hicieron a nivel local, y la Asociación de Profesores de Matemática (ATM) lo hizo tanto a nivel local como nacional. La ATM fue,hasta 1964, la Asociación para A- yudas Didácticas en Matemática, lo cual indica su primercom promiso para un enfoque de la "etapa A", pero sus miembros& taban, también, entre los más entusiasmados protagonistasde- los nuevos temas yveinte de ellos fueron los responsables de escribir Some LUAbonb & Mcz.hm&b (Fletcher, 1964). El grupo de autores eran o hablan sido profesores en actividad y experimentaban con el nuevo material; asi eran la mayoria delostutores de los cursos de perfeccionamiento y así eran los autores de libros de texto. También existieron una cantidad de proyectos locales o nacionales, financiados en dis tintas formas y establecidos con el propósito de desarrollir un proyecto, producir textos y convenir con una junta exami - nadora un examen apropiado.

Esto incluyó el Proyecto de Matemática Escolar (SMP), el Experimento Matemático de Midlands (MME), asi como tam- bién a algunas escuelas individuales. Nació una nueva forma de escribir textos, en la cual los maestros desarrollabanel material y lo tratahan en forma de borrador en sus clases, con considerables correcciones antes de la publicación final.

Asi empezó el capitulo sobre "Geometrfa" en Some LeS - ~otiinMahma.t&. "En geometria, un alumno está aprendíen do acerca del espacio y, al mismo tiempo, aprende sobre maz temática y sobre razonamiento lógico. En cuanto a loqueper nmnece de-Euclides en las escuelas, estos propbsitos aparecen a menudo confundidos y obscurecidos. El alumno aprende sobre figuras planas, sin alcanzar ningún dominio del plano; los matemáticos dicen que no se preocupan más por esta clase de matemática. Y en cuanto al razonamiento lógico, mientras surjan, todavia, cuestiones de petición de principio y de confusi6n entre teorema y recíproco, no se hace ningúnin tento por un tratamiento axiomático, aunque se oiga hablar mucho de la palabra "demostración". El problema para las escuelas es conducir la discusión de las configuracionesgeo métricas fundamentales, de manera que (i) se estimule y se desarrolle la imaginación espacial del alumno y (íi) que él aprenda a pensar en términos y de formas que apoyarán y no entrarán en conflicto con su actividad matemática posterior" (Fletcher, 1964, p. 258). Las ideas de las tres etapas seña ladas se mantienen, todavía, en gran medida. Pero las pági -

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nas siguientes contienen, en forma implicita, algunas cuestiones nuevas que tratan de simetrladepollgonos y de cons- trucción de mosaicos, un enfoque dinámico de la circunferencia, geometrla de simetrías que adquiere el carácter de un álgebra, un enfoque mediante vectores y, en otras partes, un enfoque más general de ideas topológícas que no habIan encon - trado nunca su lugar en los textos.

Uno de los peligros fue que, tratando de considerar tz dos los enfoques posibles en la presentación y manejo de los temas de geometrla habla demasiadas cosas para hacer y, ten consecuencia, no se establecIan siempre bien las intercone-. xíones necesarias. El SMP se concentró, fundamentalmente, so bre geometría de transformaciones, especialmente sobre aquellas transformaciones que podían representarse por matrices, Estas incluyen traslaciones, dado que los vectores fueron de sarrollados, primero, como matrices fila y matrices columna<, y, después, en forma independiente, como desplazamientos. El proyecto MME se concentró sobre geometría vectorial, a tra- vés de los desplazamientos, desarrollando el tema matricesen formaseparada. Pero ambos proyectos intentaban enseñar propiedades de "figuras planas" tanto como de desarrollarun"do minio del plano"; el primero a través de simetría y de la< propiedades mktrícas tradicionales de longitud y de ángulo y el último mediante transformaciones representadas por letras por vectores 0 por matrices, todo en base a geometrfa analftica. El proyecto SMP va todavia más lejos llegando a consí- derar invariantes y a desarrollar el Programa de Erlangende Klein, el que, por lo menos, permite conectar la topología con el resto de la geometria, dado que la única conexióntipor cierto no muy significativa, establecida hasta entonces con algo distinto, se reducia al empleo de matrices de inciden- cía.

Siempre ha sido fácil ser critico. Se estaba en épo- cas de experimentación, en las que las escuelas eran libres de elegir los contenidos de sus propios programas asi como la forma de tratarlo y los métodos para lograrlo; no existía, más allá, ninguna autoridad y hasta 1966 no aparecenlospri- meros exámenes tentativos estructurados en base a programas alternativos.

Fue acertado ensayar todas y cada una de las diversas alternativas y fue oportuno permitir que algunos docenteslo hicieran, mientras que la mayoría de sus colegas "miraban los toros, desde la barrera", esperando poder determinar de

Cn análisis de la enseñanza de la peometrls er. el Reino Cnido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte

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qué lado soplaría el viento de cambio, dado que, en general no se aceptaba, bajo ninguna forma, que la matem&tica 'moderna" pudiese ser un sustituto. Y lo que algunos alumnos perdieron a causa de los errores matemáticos y pedagbgicos cometidos, los recuperaron con creces con el entusiasmo de sus profesores, y con un enfoque más vivo de los temas, que no hablan visto hasta entonces. Los pioneros se vieron :en la necesidad de reflexionar acerca de lo que estaban hacíen

- do en lugar de reducirse a seguir algún otro texto.

Y fue cosa probada que el mejor material fue el produ cído por los primeros proyectos cooperativos. En particular, el proyecto SMP, que aunque originalmente establecido para producir un texto para el nivel 0 y disolverse después, coc tinuó redactando diferentes clases de textos para el nivelA para el CSE y después, todavia, otros generalmente dirigidos a alumnos de ll a 16 años de edad. Lamentablemente, la pre- sión de las editoriales por tener sus textos "modernos",con dujo a numerosos autores a escribir nuevos libros de matea tica que fueron mal calificados, ya fuera por su faltadeex periencia o su poca habilidad, y fueron aún peores aquellos libros que pretendlan presentar "una mezcla juiciosa de lo viejo y de lo nuevo". La frase "tirar al bebé junto con el agua de la bañera" se transformó en un eslogan fácil para algunos.

Con el tiempo las cosas volvieron a la normalidad, a la vez que otros elementos, tales como las calculadoras y los computadores aparecieron en el escenario como elementos substitutivos. Pero, en realidad, la geometría no ha vuelto nunca ala normalidad y sigue siendo la única rama de la ma temática en la que resulta fácil presentar un punto de vi< ta parcíalízado, o perder coherencia tratando de contemplar todos los enfoques posibles.

La posición actual

Una mirada a los programas vigentes de exámenes,a las pruebas de examen o a los textos, encuentra una situación confusa y, en cierta medida, desalentadora. Existen, toda- vía y en todos los niveles, programas que no contienen nada de matemátfca "moderna".

La Northern Examíning Assocíatíon, que ha venido ofre ciendo desde 1974 un examen público para los candidatos ma -

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yores de 16 años, presenta un programa "tradicional", para 1985, apoyándose en que en la época en la que se introdujo, por primera vez, el programa, la mayoría de los candidatos se presentaban a un examen de matemática "tradicional". La mayorTa de las juntas examinadoras para el nivel 0 o parael CSE ofrecen programas alternativos de matemática "tradicional" y de matemática 'Jmoderna", 0 programas que son una especie de "mezcla" de ambas.

En muchos programas, las partes de geometría aparecentl picamente agrupadas bajo tltulos tales como 10s del nuevo- programa ordinario de Londres para 1985: Figuras geométrí- cas y sus propiedades, Transformaciones y simetría, Coorde- nadas y vectores, Matrices. Estos rubros parecerían índí- car que se atienden las objeciones levantadas por Some L&5- aon4 in k~%?~??ticb (Fletcher, 1964) respecto a los alumnos que están aprendiendo figuras planas sin tenerun conocimíen to cabal del plano, excepto que, con mucha frecuencia, el- conjunto de preguntas que aparecen en las pruebas de examen no estimulan o no desarrollan la imaginación espacial del alumno. Con excepción del SMP, que sigue proponiendo, toda- vía, las preguntas mejor logradas, los examinadores parecen tener dificultades para analizar, en toda situación geomé- trica de contenido moderno, mucho más que hechos y técnicas lo que señala la necesidad deunpensamíento más lógico para poder resolver un problema típicamente euclideano, como el de determinar un ángulo desconocido en una configuración ba sada en un circulo. Resulta extraño que una prueba de ' ex; men de nivel 0 pueda pedir que se indiquen centrosy'ejes de simetría de figuras planas simples, y que una prueba de exa men del CSE pueda llevar de la mano a un candidato para que determine la transformación única que reemplezará a otras dos, mientras que los candidatos de ambos niveles puedenser examinados respecto a teoremas en el cfrculo, teoremas ve resultan difíciles para la mayoria de los alumnos, además de parecerles carentes de inspiración, sin importancia e in - necesarios.

Esta situaciónes típica de los restos euclídeanos que se manifiestan bajo formas diferentes. Para algunos, existen cursos euclideanos como alternativas para cursos modernos. El enfoque se concreta en decidir la "etapa A o la B", pero los teoremas siguen siendo los mismos, concentrándose sobre ángulos, triángulos y ckculos, aun cuando la cantidad de geometría considerada es, por lejos, menor que la que se a- costumbraba a tratar cuando la geometrla era uno delostres conjuntos de pruebas que componían un examen de matemática.

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De todas maneras, los teoremas tienden a permanecer en el escenario. Al comienzo, el proyecto SMP abandonó la idea de demostrar los teoremas sobre el circulo empleando transformaciones. Pueden hacerse por esta via, pero no resultala mejor forma de hacerlo. Y es falso sugerir que una razón pa ra considerar la geometria de transformaciones es quecon sÜ empleo seria más fácil, o aún más interesante, demostrarteo remas euclídeanos. Los teoremas de Euclides son importantes no porque sean útiles 0 aplicables o porque tengan valor por si mismos, sino porque ellos forman parte de un desarrollo natural dentro de un sistema deductivo. Por consí- guiente, los que se necesitan son aquellos teoremas que sur gen naturalmente y en forma independiente de un desarrollo- moderno.

Los teoremas en un desarrollodela geometría de transformaciones son relativos a transformaciones. Y podría suce der que la tradición euclideana impidiese a los profesores- el reconocimiento de teoremas que no se refieran a objetos espacíales. Está siempre implicíto, pero raramente se hace explícito, que existen estas dos clases de geometrías.

Lo que complica las cosas son las descripciones o las representaciones de las entidades involucradas en estas dos geometrias. Los autores escriben sobre "geometría de matrices" o sobre "geometría vectorial" como sí éstas fueran, a- demás, dos clases diferentes de geometrias, y se refieren a "transformaciones de matrices" como si las matríces@¿eM transformaciones. Las matrices y los vectores son, simple mente, descripciones de entidades geométricas, en la misma forma en que las ecuaciones o los pares ordenados pueden re - presentar objetos en el plano coordenado.

Lo que hace tan poderosas a las descripciones es el i- somorfismo que puede establecerse entre las geometriasylas álgebras respectivas. El isomorfismo entre el plano cartesiano y el álgebra tradicional es suficientemente familiar pero demasiado familiar, quizás, para que cualquiera reconozca la existencia de un isomorfismo. Y, precisamente, nadie pregunta qué suposiciones se han hecho en relación a ez te isomorfismo cuando, por ejemplo, se determina elpunto de intersección de dos rectas resolviendo un par de ecuaciones lineales.

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Las mismas cuestiones se plantean cuando se representan por vectores los segmentos de recta orientados, o cuando se representan un conjunto de transformaciones mediante matrí- ces. Hacemos marchas y contramarchas entre segmentos de recta y álgebra de vectores, o entre transformaciones y álgebra de matrices, echando mano en todo momento, a los respectivos isomorfismos, aunque no siendo siempre conscientessiesos isomorfismos han sido establecidos o no.

Y existe una confusión más respecto a vectores. En el proyecto SMP se introducen los vectores como matrices filas y matrices columnas, mientras que en el proyecto MME, se ín- traducen como pares ordenados que representan desplazamientos. Y en otros esquemas, se introducen considerándolos como los mismos desplazamientos. Pero, y en definitiva, siempre pueden establecerse los isomorfismos, sí bien existen ventajas pedagógicas diferentes en la forma general de incluirlos vectores en el álgebra de matrices y en aplicarlos efectivamente a otros sistemas, además delos desplazamientos, en la misma forma como se emplean matrices en otros sistemas distintos de las transformaciones del plano. En primer lugar,no se está limitado al caso de dos, Q aún de tres dimensiones. Además, con este enfoque se evitan las dificultades que aparecen con la distinción entre "vectores fijos" y "vectores libres", puntualizando claramente que los pares ordenadospue den representar, a veces, puntos y otras veces, traslacíoneK Esta precisión ayuda, también, a emplear la idea de trasla cíón como una transformación de todo el plano, en vez de ernz plearla como un desplazamiento que parece introducirseconla única finalidad de transformar un punto.

En la práctica, los diversos textos resuelven todas estas dificultades asumanera,congrados variables de éxito y con sus propios prejuicios.

Y son precisamente, las pruebas de exámenes las que ponen freno, en realidad, a la imaginación, dado que en ellas, como ya se señaló, parece existir un limite para la imagina- ción de los examinadores respecto a la proposiciónde cuestio nes interesantes que puedan poner a prueba algo más que ei simple conocimiento de hechos o de técnicas.

Y es, precisamente, en topologia, más que en ninguna o- tra parte, donde estas cuestiones adquieren su mayor grave-

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dad, ya que se trata, inevitablemente, esta rama de la mate- mática en forma independiente del resto de la geometría (ex- cepción hecha del valiente intento que hace el proyecto SMP para establecer, como se mencionó más arriba, una jerarquia de geometrías), pero que presenta, por lo menos, un gran nú- mero de temas de situaciones y de problemas interesantes. Y, todavia, en los casos en que figuran en los exámenes cuestío nes de topologia, éstas se centrany virtualmente, sobre tres únicos temas que, por otra parte, aparecen propuestos en todas las pruebas de ese tipo, y que son: reconocer las redes topológicamente equivalentes, reconocer una red unicursal y construir una matriz de incidencia a partir de una red o viceversa.

En algunos aspectos,esta.situaci& no resulta sorprendente, tanto para la topología como para la geometrfa consi- deradas en su totalidad, puesto que sí el aprendizaje en toda geometria implica una cantidad de exploración seguida por alguna clase de sistematización, entonces iqué es lo que se trata de determinar en un examen escrito de tipo convencional?

En los viejos tiempos de los ELemmeM;to~los exámenes ver- saban sobre la demostración de teoremas y sobre algunas apli cacíones.Pero con el advenimiento de la geometria moderna 7 con su aparente falta de aplicaciones, ~610 se puede examinar sobre hechos y sobre técnicas. Y lo que se está examinando,en todos los casos, queda reducido, simplemente, a pequeñas por ciones del desarrollo total y que constituye, por otra parte, lo único que puede hacerse en I.a proposicibn de pruebas de e xamen convencionales. Sín embargo, uno de los aspectos más negativos del sistema total radica en el estilo de examen, y este estilo ha ído cambiando, en forma lenta, en algunos lugares durante los últimos veinte años.

El camino a recorrer

Los indicadores señalan que, en una forma gradual típí- camente británica, la enseñanza de matemática está cambiando lentamente de una preocupación por el contenido a una preocx pacián con los procesos. En los años de 1960, mientrastantas escuelas estaban comprometidas únicamente en un cambio de temas tradicionales a temas modernos, una escuela, por lo rnz nos (Abbey Wood School en Londres) está desarrollando, tam-

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bién, nuevos estilos de enseñanza y de aprendizaje, y fue cc paz, en la negociación de sus propios exámenes de nivel 0 y CSE, de plantear cuestiones como éstas:

"Escriba un ensayo sobre el juego de dados".

"Investigue el conjunto de matrices

"Investigue los triángulos que tiene unidades".

Para esta escuela, y para varias otras, el estilo de exa men seguía el estilo de enseñanza, y el estilo de enseñanza dependia de una filosofla, del aprendizaje en matemática que sostenía que los alumnos debian, por lo menos durante algún tiempo, crear su propia matemática. Para lograrlo, se alenta ba y se motivaba a los alumnos para que formularan sus propias preguntas, para que tomaran sus propias decisiones, para que inventaran sus propios algoritmos y para que construye- ran sus .propias estructuras matemáticas.

En los años de 1970, estas ideas fueron dando un marco teórico más estructurado en varios aspectos, y los docentesy los educadores estaban empleando palabras tales como "clasi- ficando, asociando, ordenando, transformando . . . simbolizan- do, formulando hipótesis, demostrando, generalizando" (The Mathematics Curriculum Proyect). La Unid&. de Evaluacióndel Desempeño del Departamento de Educación y Cienciasestabacon siderando la prueba de "categoría de procesos" así como, tam

bién, las de "categorfas de contenido". El Proyecto South Notts Project (Bel1 y colb. 1978) se desarrolló como un cu- rrilculo "orientado hacia procesos". La Asociación de Profe- res de Matemática estaba publicando artículos en la revista MaRhen~U%cS Teacking relativos al trabajo de investigación conniños, as5 como folletos de investigaciones (Puntos de partida 1 y 2).

Estas ideas se fueron propagando a lo largo de los años de 1980. Un grupo conocido como Leapfrog estaba produciendo material (1) bajo forma de folletos, de carteles, de diapo- tivas, de cintas sonoras, acertijos y fotografias que dista- ban mucho de los textos de curso tradicionales. Marion Bird

(1) Tarquin Publications, Diss, Norfolk

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(1983) estaba presentando maneras especificas de generar actividad matemática que arrojaba una gran parte de la respon- bilidad sobre los propios niños. Muchas escuelas, tanto indi vidualmente como en grupos, estaban trabajando en formas menos tradicionales y explorando, a la vez, nuevos métodos de

exámenes de matemática, a menudo mediante trabajo de curso (trabajo realizado en las lecciones corrientes y extendién dose quizás, sobre largos periodos) en vez de hacerlo única- mente mediante pruebas escritas. La .idea que comenzó, en la Abbey Wood School como una tarea de "investigación", es decir una situación en la que los alumnos plantean sus propias preguntas, estaba siendo mantenida a nivel de examenpor la Wyndham School en Cumbria asl como, también, por pequeños grupos de escuelas en Londres, y la idea ee presentada, ahora, en el SMILE (Experiencia de Aprendizaje Individualizado de Matemática de Secundaria), un proyecto que involucra a mu chas escuelas en Londres, de las cuales aproximadamente cinz cuenta, presentan candidatos para un programa especial a nivel 0 ó CSE.

Y, por primera vez, la idea de investigación recibió a- probaciãn gubernamental. El Informe Cockcroft apoyaba la am- pliación de los estilos de enseñanza recomendando que "la en señanza de matemática a todos los niveles debe incluir opor tunidades para: exposiciones a cargo del docente; aiscusiO=

nes entre profesor y alumno y entre alumnos; trabajo prácti- COS adecuado: consolidaci6n y práctica de habilidades y de rutinas fundamentales; resolución de problemas, incluyendo las aplicaciones de matemática a situaciones de la vida corriente; trabajo de investigación". (Cockcroft, 1982, pág.71).

Y un incremento de la cantidad de geometriaenseñada con2 tituyó una de las caracterlsticas de toa0 este desarrollo.Se tenía la impresión de que la geometría había estado ausente durante 20 años de los curriculos de matemática. Si bien so- brevivieron algunos teoremas euclideanos -pero presentadosen forma menos rlgida que antes - la geometria "moderna" aparecia más semejante al álgebra. Fue necesario un tiempo considerable para que los alumnos llegasen a ser capaces, en gene ral, de enfrentarse directamente con los elementos del espaz cio.

Parece ser que ahora se ve en las situaciones espaciales un campo rico para un enfoque de investigación en matetitica, y los diversos materiales que se terminan de señalar contie-

178 D. S. Fielker

nen invitaciones para explorar cosas tales como diagonales, polígonos, mosaicos, curvas, haces de circunferencias, espi- rales, redes, sombras. Si bien esta lista no da ninguna idea del enfoque empleado indica, en cambio, una segunda caracte- rística, a saber, que la geometrla que involucraba era, en gran medida, geometria euclideana sintética que se ocupaba con formas y con configuraciones, asl como con su clasifica- ción y con sus relaciones mutuas. Ha vuelto Euclides al fin, pero con una apariencia enteramente nueva.

Muchos autores han ilustrado o descripto lo que querían significar con un enfoque de investigación, pero quizás sola mente dos se han ocupado, y de forma especifica, de un tai enfoque en geometría. Geoff Giles ha producido una gran cantidad de materiales y de actividades ingeniosos (1) que tratan, de forma activa y constructiva, temas tales como ángu- los, simetrla, mosaicos y representación deformas tridimensionales.

Y ha hecho un reclamo (Giles, 1982, pág. 37) en favor de una geometría para todos los alumnos y no ~610 para una 2 lite, y en la que se limite el contenido y en la que las cosas importantes sean "utilizaci6n y éxito", "el desarrollo de habilidades intuitivas básicas y de la comprensión de lo que será definitivamente conservado" y que "para la mayorfa de los niños la matem5tica escolar tendria que a- parecer, y en mayor medida, como una extensión del sentido - común". Y sigue diciendo, "Existen aquellos que quisieran ar gumentar que la "Geometría" por la que estoy abogando no ti; ne sustancia, no tiene consistencia y que, en consecuencia,- no puede tomarse en serio. Pero estas personas están pensando en la matemática como un contenido estZtico, y su geometris está muerta y enterrada en los textos. Si las aulas de matemática deben tener vida, debe permitirse entonces, que los niños hagan su propia matemática. Y un primer paso para lograrlo es organizar actividades que lleven al alumno de los problemas a las investigaciones. Lo que es importante es ~LICQA, y no lo que está hecho".

(1) DIME Projects, University of Stirling, Department of Edu - cation.

Ln análisis de la enseñanza de la geometria en ~1 Reino L’nido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte

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El autor de este capitulo examina este mismo tema en una serie de artículos aparecidos en la revista bíaRhema;t¿cb Tack¿fig que se reimprimieron bajo forma de folleto (Fielker, 1983). Se hace, en ellos, un intento por clasificar las acti vidades geométricas, ilustrando copiosamente con informes re lativos al trabajo realizado con niños, y bajo rubros tale< como clasificación, predicción, ordenación y generalización. Una idea que aparece reiteradamente es que deben ser los a- lumnos mismos los que deben tomar las decisiones. Pero, tam- bién contiene ideas relativas a cómo podría organizarse un programa en términos de temas de "cobertura" en vez de dar- les un desarrollo lineal, y en el que -y una vez más- lo íz portante sigue siendo el proceso y no el producto.

Y esta dirección parece ser la tendencia en la totalidad de la matemática escolar. En geometrfa, en particular,con tantas opciones de espacio, de descripción, de forma de tratamiento, el contenido concreto aparece, aún, como menos importante. Esto permite, entonces, el empleo de un contextoes - pacial para el desarrollo y la ejercitación de aquellas hab2 lidades o procesos matemáticos que se han identificado, a lo largo, aproximadamente, de la última década, basados en un conocimiento limitado de temas y que, adends de hacerla geo metría accesible para los alumnos menos capaces, proporcion2 posibilidades para el progreso de los más capaces.

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* * *

¿CUALES SON ALGUNOS DE LOS OBSTACULOS PARA EL APRENDIZAJE DE GEOMETRIA?

Alan J. Bishop

Introducción

De acuerdo con la finalidad de este articulo, considera ré a la "geometría" como significando la matemática del ti$Ü tio, para dejar bien en claro que los obstáculos que se vañ a considerar no son solamente obstáculos de naturaleza mate- mática. A lo largo de los últimos veinte años se ha ido reco naciendo, en forma creciente, que muchos de los problemas qÜe tienen los niños cuando tratan de aprender ideas geométricas en la escuela, están estrechamente vinculadas con sus conce tualizaciones del mundo espacial. En consecuencia discutiré, en este articulo, los obstáculos para aprender ubicándolosba jo tres rubros -aprendizaje respecto al espacio, aprendizaje respecto a la matematización del espacio y aprendizaje respecto a geometria.

En cierta medida la secuencia señalada constituye una secuencia tanto cronológica como lógica.

En la mayoria de los pafses, un niño llega a la escuela conociendo algo de su propio mundo espacial, pero conociendo poco de matemática. Y esta situacibn hace necesario mucho trabajo a nivel de escuela elemental para poder ampliar estas ideas, así como para introducir las habilidades básicas de matematizaci6n tales como clasificar, describir y relacio nar, asf como las habilidades para descubrir qué es una for= ma triangular, para decidir cómallamara las diferentes figs ras de cuatro lados o para imaginar la manera de poder construir una caja con seis trozos rectangulares. En la escuela secundaria, se pondrá un énfasis especial sobre una ampliaga ma de temas geom6tricos - coordenadas, transformaciones, veC tores, trigonometrfa - asf como sobre sus características c temáticas, incluyendo sus relaciones mutuas y sus aplicacio= nes. A nivel terciario, se formalizará completamente el sistema geométrico y se desarrollará a partir de sus fundamentos axiomáticos. En este nivel, la geometría aparece,con frz cuencia, como otra rama del álgebra,y enlamedida en que se ha separado de sus ralees espaciales.

18& Alan J. Bishop

Debe precisarse, sin embargo, que esta cronologfa general no debe oscurecer el hecho de que los tres "componentes" de este capitulo juegan su papel en todos los niveles de .la educación. En el nivel elemental, diversas ideas matemáticas incidirán sobre las actividades espacíales; asi, porejemplo, gran parte de la tarea de medir que se desarrolla consistirá en el empleo de números dentro de un contexto espacial. En el nivel secundario, a su vez, el incremento de temas geomé- tricos apelará, en buena medida, a las habilidades de vísua- lízación de los alumnos y a su conocimiento del mundo espacial. Finalmente, sí deseamos lograr una preparación satís- factoria,a nivel terciario, de los profesores de matemática será necesario enfatízar de manera adecuada las raices espaciales y visuales de la geometria.

Creo, por lo tanto, que los docentes podrán encontrarim portantes mensajes a lo largo de las tres secciones que si guen, mensajes que resultarán también importantes para aquel 110s ocupados en la investigación didáctica. En la secciónfi - nal aparecerá un resumen de todos estos mensajes.

Obstdculos para aprender acerca del espacio

En esta sección discutiré aquellos diversos factores,tan to internos como externos al alumno, que puedencausar problc mas en las primeras etapas del aprendizaje de geometrIa.Creõ firmemente, como lo expresa Clements (1984) en su excelente análisis general del origen de las dificultades conceptuales que los factores externos pueden ser responsables de la mayor parte de los obstáculos. Pero, en todo caso, los factores externos son considerablemente más fáciles de cambiar,

El primer factor que debe afectar claramente la cues- tión es la atención que se presta en mayor medida, a nivel e lemental, a la aritmética que a la geometrfa. Y en muchos- pafses, cualquiera sea la etapa de desarrollo en que se en- cuentren, la incorporación de actividades geométricas en el curriculo de la escuela primaria es relativamente recíente;a nivel secundario, esa incorporación estuvo acompañada por la tendencia general hacía la enseñanza integrada de matemática. Colmez (1977) dice, sin embargo, en su estudio general sobre la matemática en la escuela primaria que: "La aritmética se mantiene como tema central de la enseñanza elemental", comen tario al que se adhiere Fey (1979) cuando hace referencia ã

¿Cuáles 80” al,ymos de los obst6culos p.sra el aprendizaje de geometrfa?

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la situación en los Estados Unidos de América: "Una gran ma- yoría de maestros primarios creen que su única responsabilí- dad en la enseñanzadematemátíca es la de desarrollar la facilidad de los alumnos para la computación aritmética".

Un segundo obstáculo es que, aún en los casos en que mu chos currfculos y que muchos docentes hacen lugar a las acti vidades geométricas, estas actividades mostrarán muy poca cO nexíón con el mundo espacial fuera del aula. Este problema puede ser consecuencia de la percepción particular que tanto los docentes como los diseñadores de curriculo tienen de la matemática. Por ejemplo, la presentación formal de los conceptos, en lugar de una presentación empfríca o intuitiva, puede sugerir que, no sólo se enseña ge.ometnCa de forma dí- vorcíada de toda "realidad", sino tambí&, que los alumnos tendrán la impresión de que el resto de la matemática que se lesenseña está igualmente, no sólo desconectada de la realidad, sino que resulta irrelevante frente a ella. Enestascon dícíones se tendrá muy poca motivación para aprender georne- trfa.

Desde el punto de vista cultural, debemos reconocer que, para muchos alumnos en el mundo, las ideas geométricas que se les está enseñando en la escuela son consecuencia de una forma de ver el mundo espacial que es completamente distinta de la forma como se ve esa realidad en su "cultura familiar". Puede haber niños pertenecientes a familias que se han tras- ladado recientemente a otro pafs, o que pueden pertenecer a una población cuya cultura queda eclipsada por un grupo cultural más dominante dentro de aquel país. El trabajo realiza do por Harrís (1980) con aborígenes australianos y eldePí6 ten y colaboradores (1983) cumplido con los indios navajosen los Estados Unidos de América, presentan muy claramente algu - nos de estos problemas.

En efecto, en su libro extremadamente completo y estimu lante Pínxten no se limita a presentar estos problemas con una gran claridad, sino que ofrece, también, una solución e- ducacional especlfíca basada en la objetivación, en la codi- ficación y la legitimación de una geometrfa "navaja" destina da a los niños navajos e implementable antes que se encuenr tren - sí alguna vez se encuentran - con cualquier concepto geométrico "occidental". La palabra "occidental" entre comi- llas, indica claramente nuestra propia ígnorancia,engeneral, relativa a este fenómeno de hegemonía en el campo de la edu- cación. Una caracteristíca mas amplía de este capitulo es

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Alan J. Bishop

es el hecho de tener espacio, y de hacer uso de él, para una fuertedímensiónpolítíca (ver, por ejemplo, Gerdes, 1982). Permitaseme, entonces, señalar, solamente, el significado po tencíal del problema haciendo notar que existen millones de niños en el mundo que están aprendiendo matemática en un len guaje que es diferente de su lengua madre. Es probable, por lo tanto, que una enorme proporción de estos niños hayan tenido que arreglárselas con una manera de ver el mundo que di fíere de sus visiones locales. Además, aún en el caso de que el lenguaje del hogar y el lenguaje de la escuela seanelmis mo, no está todavfa, garantizando que resulten idénticas lai dos visiones que se formen del mundo.

Este problema es parte de un desajuste más generalentre las experiencias del niño (en el sentido más amplio) respes to al mundo espacial y las ideas y las concepciones geomét- cas desarrolladas en la escuela. Tomo como axiomático que la enseñanza debe inspirarse, debe explotar y debe ampliar aquc llas experiencias del niño, pero debemos reconocer, también, que aquellas experiencias diferirándeunniñoaotro,deun área a otraáreay,enrealidad,deun pafs a otro. Y estoresultaráob - vio tanto para niños videntes como no-videntes y podemoscon síderar los méritos relativos del aprendizaje de geometrfaen un medio urbano o en un medio rural (ver Serpell, 1976), en relación con algunodelos argumentos al respecto. Otros, como Mítchelmore, señalan,con una mayor especificidad, algunas de las causas que hacen que el medio ambiente del niño resul te deficitario desde este punto de vista: "En Jamaica, mu-- chos hogares no disponen de juegos apropiados para niños, y éstos cuentan con menos juguetes que los niños europeos, por ejemplo. Los libros infantiles son menos sofisticados y los programas de televisión que pueden ver los niños presentan una variedad mucho más limitada (Mítchelmore, 1984, pAg.139). Pero, cualesquiera que pudiesen ser las. causas de estas dífe rencías en la "experiencia" ambiental y espacial de los ni= ños, resulta imperiosamente necesario que la escuela no de por sentado la existencia de tales experiencias sino que,por el contrario, proporcione actividades espaciales apropiadas que preparen la introducción a las ideas geométricas.

Se conoce muy bien el valor delosmateriales concretos en la enseñanza de los conceptos numéricos y en relaciones, sin embargo, la enseñanza temprana de la geometria puede resultar, todavfa, extremadamente empobrecida en este aspecto.

ituáles son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de geometrla?

187

Nos hemos estado moviendo gradualmente, a lo largodees ta sección, desde la consideración de factores externos haz cía otros factores de carácter más interno, a medidaquenos cercamos a la consideración del niño individual. Desde la perspectiva del aprendizaje, lo que resulta crucial, en mayor grado, es la extensión con la que el niño ha podido in- .?WwU&zcM "captar" intelectualmente sus experiencias espaciales. JEs capaz el niño de hablar acerca de estas expe riencías? ATiene alguna capacidad para representar fenómenos espacíales? ~LO alienta su cultura hogareña para pintar para hacer modelos y para dibujar? 1Puede imaginar y visualizar sus experiencias espaciales de manera tal que pueda comenzar a reflexionar sobre ellas?

Al llegar a este punto, quizás sea mejor para el maes- troconsiderarestosaspectoscomoaspectos individuales más que como aspectos internos, en el sentido de que el maestro podrá encontrarlos, en mayor medida, relacionado con las di ferencías entre los alumnos m5s bien que como específicosde cada uno de ellos. No debe pensarse, tampoco, que estas con síderacíones tienen importancia solamente paraelmaestropr? marío , ya que los alumnos en todos los niveles difieren eñ el uso que hacen del lenguaje, en su habilidad para visualí zar y en la variedad de sus experiencias con los fenómenos- espacíales.

A todos los niveles, el profesor de geometrIa necesita enriquecer y estructurar las experiencias espacíales de los alumnos, desarrollar su vocabulario relativo al espacio y crear las condiciones para que su capacidad de visualizare1 espacio se pueda explotar al máximo (ver, por ejemplo, Kent y Hedger, 1980).

Resulta, entonces, que las primeras etapas dirigidas a remover obstáculos del camino que deben recorrer los alumnos para aprender geometría están constituidas por actividades planificadas para mejorar la comprensión de los alumnos res pecto a su mundo espacíal.Sí el profesor de geometrla toma las providencias necesarias para preparar la "capacidad espacial" de sus alumnos antes de matematizar las ideas encon trarán, entonces, mucho más fácil la tarea posterior de en- señar apoyándose en la base que significan aquellas experien cías espacíales. Y los alumnos reconocerlan, naturalmente,hã ber adquirido ya algunos fundamentos espacíales con los cuã les asegurar su comprensión de las ideas geométricas. Per-õ esto no es siempre así en el momento actual.

188 Alan J. Bishop

Obstáculos para aprender a matematizar el espacio

El aprendizaje de ideas geométricas no es sólo cuestión de aprender la matemática del espacio, sino que se debe conocer también lo relativo a la matematización del espacio. Mientras que en la sección previa consideramos las raíceses pacíales de la educacíóngeométricadel alumno estaremos, ã hora, mucho más preocupados con lo que aquellas raices pue= den alimentar. Es claro que los profesores de arte, de tra bajos manuales, de geografia, de dibujo, de educación fisi= ca y de danza, estén todos preocupados, de alguna manera,con la formalízacíón del conocimiento que tienen los niños :del mundo espacial, y con la posibilidad de apoyar sus áreaspar tículares de educación sobre bases espacíales. Pero resultã igualmente claro que un matemático ve el espacio de forma diferente a como lo ve un artista o un geógrafo. Y esta sec ción se ocupa, precisamente, de los comienzos de aquel proceso de visualización.

Podemos considerar, en alguna medida, que los obstáculos para aprender geometría se concretan en términos de forma y de contenido. Esta dicotomía clásica tiene relevancia general en matemática, pero resulta importante que todo docente le preste la debida consideración en el área de geometrla dado que, para los alumnos que se inician, la forma de _ la geometrla parece ser, también su contenido. Pues estamos trz tando con una representación del espacio que se refiere tan- to a la forma(es decir a cómo se representan las ideas espa- cíales) comoalcontenído (quées loque se estárepresentando). Ysehace necesario levantaresta cuestíónaquiporque, precisz mente, cuando el alumno comienza a matematizar las ideas es pacíales es que puede surgir la confusión entre forma y con tenido.

Podemos ver, a continuación, algunos aspectos de esta cuestión: R

LRepresenta este dibujo fI,/'\.,c un triángulo o él

es realmente un triángulo?

LSon estos tres triángulos el mismo triángulo? .r ('

iciálei son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de geometría?

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Y el clásico problemade "oríentacíón"queaparece cuando muchos niños se rehusen a considerar que esta figura

sea un triángulo rectángulo.

Se presenta otro punto de confusión cuando no se puede dibujar nunca "un triángulo general", en la forma como se puede representar "un número cualquiera" mediante "x", por ejemplo. Pues, una vez que se haya dibujado el triángulo ge neral, él puede aparecer, en la mente del niño como un tríáñ gulo determinado. Existen muchas otras confusiones posibles, pero, por el momento, alcanzará con las que se terminan de considerar.

Para ubicar estas cuestiones en la debida perspectíva,de be decirse que los problemas que enfrenta el que se inicia en el aprendizaje de geometría no difieren, en cierto sentí do, de los que enfrenta el que aprende, por primera veii cualquier otra asignatura: el principiante no sabe quéeslo importantey qué no lo es. Pero podemos causar grandes dífi- cultades a los alumnos que se inician y a nosotros mismos como docentes si no somos lo suficientemente sensibles fren te a la confusión entre forma y contenido.

Tenemos otro ejemplo. En muchas escuelas primarias se pueden encontrar figuras recortadas que se utilizarán como formas "tipo" de los objetos geométricos "más comunes":

circulo cuadrado rectángulo triángulo

Consideremos algunos de los problemas dídáctícosquepue de provocar esta forma de representación y de clasificación. iExiste alguna diferencia entre un circulo y un disco? ¿Qué conexión existe entre un circulo dibujado en un papel y el que se mostró más arriba ? El circulo dibujado en un papel: ies únicamente una "circunferencia" de un circulo? Pero decimos: "la longitud de la circunferencia del circulo es R veces el diámetro del circuloU. Entonces iqué es "el cfrculo"? (Podemos ver que estos problemas se hacen extensivos a

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190 Alan J. Bishop

toda "forma". Y, otra vez, "jcuál es la relación entre "cuadrado" y "rectángulo"? LEs un rectángulo una clase especial de cuadrado o viceversa ? Algunos maestros llaman "0blongos"a todos los rectángulos no cuadrados. iTiene un rectángulo"lar w" Y "ancho" o "altura" y "anchura"? Estoy seguro que el lec tor podrfa prever fácilmente problemas análogos con relacióñ al triángulo particular que aparece más arriba.

iCuál es, entonces, el origen de todos estos problemas? iEs el empleo de figuras recortadas? Estas figuras atraen ta los niños más jóvenes, y el hecho de poder tocarlas como objetos le da al principiante una imagen importante - la "re- dondez" del circulo les da una sensación completamente dífe- rente de la que puede darlos la "agudeza" del triángulo. Las designaciones son ciertamente acertadas en el sentido que cada figura constituye un ejemplo genuino de la designación elegída para ella, pero el problema radica en el hechodeque se le asigna una b0.h representación a cada designación, re- presentación que aparece como siendo un símbolo de aquellade signacíón. Como resultado, la forma y el contenido aparecen- rfgidamente fijados al mismo tiempo.

Resulta entonces necesario atacar, en esta etapa, tres fuentes potenciales de dificultades para los principiantes: una noción limitada de lo que es importante; una visión estrecha de la representación; y la confusión entre formaycon - tenido.

El problema de qué es lo importante en el contexto de geometrfa se relaciona, en gran medida, con las observaciones presentadas en la sección anterior. Si tal como se consí dera, en medida creciente, que la enseñanza de geometrfa par te de las experiencias espacíales del niño, entonces deberfã mos, en ed.IfiI etapa, estar tratando de matematizar aquellasex periencías. Esto significa, por ejemplo, que en lugar de a- prender las de@úcioneh de circulo, de cuadrado y de rectár gula, el niño necesita desarrollar ideas relativas a la "cír cularídad" - por ejemplo, lo que permite que los objetos rue den y que existe uniformidad respecto a la curvatura que Tes diferente de la de una figura oval, y que guarda, al príncí- pio, una mayor relación con las esferas que con una figurabi dimensional - y en relación a la "forma cuadrada" - como 1; impresión de algo simétrico, de cuatro lados, una fígura"muy" igual, acompañada por una imagen de norte, este, sur, oeste y relativa a la "rectangularídad- la forma "caja", como la llamó Freudenthal (1983), con una especie de símetrfa, pero

iCuáles son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de peometrh?

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esencialmente desequilibrada. Es claro que estas propiedades se podrán derivar mucho mejor de la consideración de objetos "reales" tales como contenedores,envases, etc. tomados del ambiente familiar al alumno.

Pero, ipor qué nos estamos limitando - tanto nosotros mismos como los niños- a la geometrfa de los objetos peque- ños? ¿Y que respecto a una espacio y a un movímíentoenmayor escala? Los viajes, cortos y largos, hacía el exterior y regreso, contodas sus indicaciones de "doblar a la izquierda en el segundo empalme" ofrecen muchas propiedades que resul- tarán importantes en la geometrfa que se estudiará más adelante. Las reflexiones en espejos y en acciones con un comp5 ñero, la disposición de lugares alrededor de una mesa,los movimientos de un baile popular, constituyen actividades que pueden explotarse con buen rendimiento. Las sombras, los espejos deformadores, las perspectivas divertidas constituyen elementos que pueden comenzar a familiarizar al principiante con las deformaciones que aparecerán más adelante cuando se traten las dilataciones o transformaciones no isométricas.

La matematización del espacio se inicia con la considera cíón de aquellas caracterfstícas del espacio que interesan 2 los matemáticos. Debemos asegurarnos, en consecuencia, que los niños dirijan su atención a tantas caracterfsticas relevantes del espacio, como sea posíbble - grande y pequeño, es tático y dinámico, observado y experimentado, tocado y visto artificial y natural, hecho por el alumno y hecho porelmaec tro. Y es en <este momento que deben iniciarse las tareas de clasificar. iCuáles son las semejanzas y ,:cuáles las diferen cias que se pueden apreciar en dos situaciones? Es necesariõ distinguir entre forma y tamaño, forma y orientación, Igual de semejante, etc.

Consideremos ahora los obstáculos para poder representar estas ideas geométricas y las formas posibles de superarlos. Como se indicó anteriormente, el problema se origina en la adopción de un enfoque muy limitado del proceso de hephebnn- faoibn. Un aspecto realmente fundamental de este proceswmuy frecuentemente ignorado- es el de reducir en forma proporcío nal, es decir a ehcda, el contexto espacial, actividad que implica, frecuentemente, trasladar un fenómeno dado en un espacíb a gran escala, a un trozo de papel o a un objeto. En la idea de reducción a escala se incluye el hecho de tener que simplificar el original, como, también, de representarlo desde una cierta perspectiva. Es claro que sí el niño tiene

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192 Alan J. Bishop

que efectuar la representación, se verá obligado ahacer gran des proezas de "imaginación". Nussbaum y Novak (1976) lo mo< traron claramente en el estudio realizado respecto a la com= prensi6n que los niños tienen de la tierra, encontrando que algunos niños dibujaron una esfera colocada en un campo gravitatorio vertical, conjuntamente con todas las creenciasres pecto a objetos situados por encima de la tierra y que está; cayendo hacia ella, mientras que otros apareclan "cayendofue ra de la tierra".

-

Pienso que podrlan explorarse aquf dos vías de investi- gación promisorias. La primera tiene que ver con los mapas y cartografla que parecen constituir aspectos realmente básicos de nuestro "espacio cognoscitivo". No es de extrañar que los docentes de geografía hayan sido, tradicionalmente, los ex- pertos en el campo del "desarrollo de la percepción espacial" (ver Hart y Moore, 1973), pero cabe señalar que la cartogra- fía no tiene solamente un interés geográfico. Las formas de representación que se utilizan, la posibilidad de construir modelos y las escalas constituyen elementos explotables con dxito dentro del contexto de la matematización. Que todas es tas actividades pueden comenzar a edad temprana aparece enfã tizado por el titulo intrigante de unarticulo de Blanty Stea (1974) denominado "cartografía a los tres años de edad". El deleite que experimentanlosniños con modelos de personas(mu ñecas) y con modelos de automóviles y de otros varios obje-- tos puede aprovecharse, en buena medida, en beneficio de la geometrla permitiendo, también, considerar nociones tales co - mo semejanza, escala y tamaño y diferencias de forma.

La otra vía tiene que ver con la fotografía y con el uso corriente de la cámara fotográfica. Algunos materiales del proyecto IOMO (1978) explota elvalor dela fotograflacomo una forma de representación "intermedia", es decir, una re- presentación que esta entre la realidad y el dibujo que se puede hacer de ella. El proyecto Science Curriculum Improve- ment Study (SCIS) (1978) (Investigación sobre el Mejoramien- to del Currículo de Ciencia) empleó también fotografíasentre sus materiales sobre posición relativa, perspectivas y movimiento relativo. La relación entre la posición de la cámara fotográfica, la posición del objeto y la fotografia resultan te puede constituir una fuente rica de actividades geométri: cas, especialmente cuando se extiende a desplazamiento de cámaras y de videos.

iCuáles son al@nms de los obstáculos pora el aprendizaje de geometrIa?

193

Volviendo, ahora, a las figuras que se utilizan para representar ideas geométricas, comencemos por reconocer que pueden causar muchas dificultades. He aqui algunos ejemplos:

') 'A k1 (Hart, 1981).

Puede decirse que las líneas AB y y CD tienen la misma longitud

2) Ad. .B

El 5ngulo B puede ser mayor que el ángulo A (Dent, 1978).

Estas dos rectas pueden ser pa - ralelas mientras

que estas no pueden serlo (Kerslake, 1979).

4) Cuando se emplean figuras más complicadas tales como e? ta

no puede reconocerse su naturaleza tridimensional (Bishop 1983).

Existe un vocabulario visual muy complejo, con muchas convenciones y con muchos símbolos, que el principiante debe comprender si quiere captar el significado de las figu ras geométricas ya que, de lo contrario, pueden surgir muchos problemas del tipo de los indicados más arriba. Pode- mos considerar estos problemas como consecuencia, en gran medida, de la "lectura" de los slmbolos empleados por otras personas. Y dado que esto es semejante al aprendizaje de pa labras y de frases, se hace necesario involucrar al alumno- en actividades en las que tenga que ser 61 el que empleasti bolos en lugar de actuar únicamente como intérprete, lo que significa que es necesario alentar, y de muchas maneras, las actividades de dibujo y de representación. Dibujar no constituye una tarea fácil. (Goodnow, 1977) y Fuson y Murray (1978) mostraron que resultaba más fácil reconocer figuras

194 Alan J. Bishop

recortadas que componerlas mediante diversas piezas lo que, a su vez, resultaba más fácil que dibujarlas correctamente. En consecuencia, debe reconocerce que el dibujo constituyeso lamente un camino para representar ideas geométricas y que debe ser considerado, quizás, como el que aparece en último término en una serie de actividades de representación en la que podrfa incluirse la composición de figuras con palillos, alambre y cordeles, dibujos en la arena, etc.

El lenguaje es otro vehiculo para representar ideas es paciales que presenta, también, al principiante sus propios- obstáculos. Ya hemos visto los problemas provocados por el empleo de rótulos y de "nombres" geométricos (circular, plano (como adjetivo), rectangular) que pueden CahaCttizah pro - piedades de los objetos.

Muchos problemas son consecuencia del uso inadvertido que hace el maestro de su propio lenguaje-particularmente en lo que se refiere al hecho que el pizarrón está ubicadoenel aula en posición vertical.

El Norte es "hacia arriba"; "bajamos una perpendicular"; el eje Y es "vertical"; las figuras geométricas tienen 'ba ses" y "alturas". Todas estas expresiones pueden resultarmuy confusas para el niño que es consciente de que el pupitrees, corrientemente, horizontal. Y el mismo fenómeno podría ser, también, el origen de los problemas del alumno con la orien- tación de las figuras. En un pizarrón vertical, lo más probable es que se dibujen las figuras en ,pesicián ?vertical" puesto que, de otra manera, ellas podrlan "caerse". El campo gravitatorio vertical trae consigo nociones (por otra paE te irrelevantes) de estabilidad. Sin embargo, Fisher (1978) concluyó, como resultado de una revisión completa de la bi- bliograffa referente a investigación, que la preferencia por las figuras en posición vertical está profundamente arraiga- da y que parece no ser afectada por las formas particulares de instrucción.

En la sección próxima volveremos a las cuestiones de lenguaje pero, para resumir los problemas relativos a la mai tematización del espacio, resulta claro que existen grandes peligros en asignar, prematuramente, denominaciones a las rc presentaciones excesivamente "simbólicas" de los fenómenoses paciales. Esta etapa del aprendizaje geombtrico de un niñõ deberla estar lleno de actividades con envases de diferentes formas, modelos de embaldosados, mosaicos, plegamiento de pa peles, construcción de modelos, bosquejos y cartograffa. y

iCuáles son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de geometrla?

195

debfan estructurarse estas actividades de manera de enfatizar las características geométricas, las propiedades y los fenómenos. Este debia ser el enfoque en el cual se puede comenzar a dar una forma objetiva al cmbn.ido de geometria.

En lo que concierne a la forma o a la representaciónde ideas geométricas, los alumnos tendrán necesidad, en esta etapa, de experimentar con diferentes clases de representaciones, así como con "traducciones" de una representación a otra. El diagrama que sigue ilustra como podrsa realizarse esta experiencia.

SALIDA

ENTRADA

Objetos Figuras Símbolos

Objetos C 1

Figuras A I 4

Símbolos B

‘

Utilizando los rótulos "objetos" (reales, espacio en gran escala y en espacio en pequeña escala), "figuras" (dibujos, fotograflas) y "sCmbolos" (palabras, letrasytambién números), se puede representar y, después, idear las diversas clases de actividades de "traducción" que pueden centrarse en los diferentes aspectos de la representación.

He aquí tres ejemplos tomados del diagrama anterior:

A) En esta celda, el maestro podrfa dar algunas figuras al alumno, digamos tres dibujos diferentes de un objeto. Y en base a estos dibujos, el alumno tendrfa que hacer el objeto mismo en arcilla o en plasticina.

B) El maestro podría haber preparado, aquí, descripcic nes verbales de la figura. El alumno tendrfa, entonces, que construir la figura en base a estas des cripciones. Este trabajo podrfa implicar la con& trucción de figuras empleando, por ejemplo, lápices, reglas y plantillas, etc.

196 Alar: J. Bishcp

C) En esta celda se le darla un objeto al alumno y se le pediría que lo describiese de forma tal que un a migo que lo está escuchando al otro lado de una cor tina pudiese ser capaz de distinguirlo dentro de uña coleccióndeobjetos.

Es obvio que surgirían confusiones y malos entendidos, pero discutiéndolos con los niños, el maestro tendrla la posibilidad de comenzar a elaborar no sólo sus ideas y ;sus conceptos geométricos sino, también, su conocimiento de las tareas que involucra la representación de aquellos conceptos. Todo esto puede comenzar a desarrollar el meta-conocimiento de geometrla y, en particular, la necesidad de definiciones precisas, de la naturaleza relaciona1 e interconec tada de la matemática, asl como de la naturaleza abstracta-y general de la actividad matemática.

Mi creencia personal es que, si se alentara a los docentes de matemática a poner mucho más esfuerzo para superar los obstáculos discutidos en esta sección, podrlan superarse los problemas que tienen los niños con geometria. Consi- dero, además, que en el centro de las dificultades de los niños frente a los conceptos y a los procesos geométricoses tá la precipitación incontrolada por introducir la geometrG formal sin poner la suficiente atención a las múltiples actividades asociadas con la matematización del mundo espacial.

El aprendizaje en geometría

Describiré, en esta sección, algunos de los obstáculos específicos que tienen que superar los niños en su aprendizaje de geometrla, teniendo presente lo que ya se ha dicho en las dos secciones anteriores. Debemos reconocer,claramen te, que se trata de un problema de descripción, debido ai hecho que, como puede verse en otros Capitulos, no existe consenso respecto a lo que constituye, o debería constituir, la geometría escolar. En particular, mientras que algunases cuelas enseñan, todavia, "geometria" como una asignatura se parada en el currículo, con cursos separados y a diferentes niveles, otros paises han adoptado un enfoque mucho más integrado de la educación matemática. Y se puede encontrar en estos últimos sistemas que las escuelas realizan actividades, a muchos niveles diferentes, sobre temas tales como :

vectores, redes, coordenadas, trigonometrla, transformaciones y geometria tridimensional.

¿Cuáles son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de peometrfa?

197

iCómo debemos considerar, entonces, los obstáculos que enfrentan los alumnos dentro de estos contextos tan diferen tes? Mi esquema para la respuesta a esta cuestión consistí- rá en discutir, en primer término, problemas de naturaleza "puramente" geométrica, después aquellos asociados con la geometrla considerada como una estructura matemática y, finalmente, algunos problemas específicos que enfrentan los a - lumnos en diferentes temas geométricos.

En primer lugar, cuando empleo el término "puro" como adjetivo, estoy pensando en las ideas geométricas y en las relaciones entre ellas. Y estoy, también, preocupado respec to al carácter limitado que estas ideas tienen para muchos niños. Los problemas parecen estar asociados con dos aspectos que, aunque separados aquí, están indisolublemente vinculados en la realidad: uno en el que los diagramas y las figuras que se emplean bloquean las ideas de los niños y,el otro, vinculado a lo que el niño puede imaginar. Ya hemos visto en las secciones anteriores como la 60hM de represen tación utilizada puede limitar la comprensión del niño, 7 podemos, ciertamente , encontrar evidencia de la forma como ocurre esto más tarde en una geometrfa más formal. Asf, por

ejemplo, Hoz (1981) describe, con gran detalle, diversos as pectos de la "rigidez geométrica" surgida, en muchos casos por la incapacidad de los alumnos para "ver",una figura de manera distinta. Por ejemplo, pueden ser incapaces de emplear, en la figura que sigue, el segmento AD como un "lado",

A

A B D C

dado que este segmento se ve, como la "altura" del triángu- lo ABC. Y una forma natural de explotar esta rigidez se pre senta en problemas tales como "icuantos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?" y "unir estos nueve puntos empleando ú nicamente cuatro lineas, rectas, sin levantar el lápiz dei

198 Alan J. Bishop

papel". También se pone a prueba esta rigidez de imagen en la clásica tarea de "figuras encajadas", prueba que aparece con frecuencia en un conjunto de pruebas espaciales en las que debe identificarse una figura simple, como A, en una fL gura más compleja como B.

P L---l Figura A Figura B

Los psicólogos asocian la habilidad para esta clase de tareas con un estilo cognoscitivo denominado "independencia de campo", estilo que se relaciona, a menudo, con la habili - dad matemática.

Evidentemente, las figuras complejas que emplean cfncu- los, tangentes, cuerdas, ángulos, etc. pueden presentar severos obstáculos a aquellos alumnos que no son capaces de descubrir y de recomponer mentalmente los diversos componen tes geométricos para demostrar o descubrir las relaciones Fe - didas.

El segundo aspecto delas concepciones de los niños que quedan bloqueadas se relacionan con su imaginación. Se puede observar, a diferentes niveles, a alumnos que son extremadamente resistentes a ideas como la de dibujar un triángu lo rectángulo isósceles, o un polígono cóncavo, o un cuadri latero no simétrico. Más tarde, las ideas relativas a espaz cias n-dimensionales pueden causar severos traumas.

Quizás resulte paradógico que la idea de "definición" (una forma verbal diseñada para prescribir con precisión) puede explotarse para ampliar la imaginación y la compren- sión. Por ejemplo, puede dársele a los niños una"definición de pentágono como "figura formada por cinco rectas" alentán dolos, después, para que exploren qué se podría dibujar en base a aquellas "definiciones".

f-&?Ob pueden comenzar por restringirla empleando térmi nos como "plana" y "cerrada", de manera de poder lograr ei resultado deseado, Se podría esperar razonablemente que, des pués de tal actividad, no les fuese tan problemática la por sibilidad de construir polfgonos convexos y cóncavos.

iCuáles son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de geometrfa?

199

Fielker (1979) sugiere una actividad muy simpática para transmitir "la esencia de la idea de lo que es un cuadrado": Ud. proporciona cada uno de los siguientes elementos de un cuadrado. iCómo puede construir el cuadrado sobre un geoplano, o sobre un simple papel (con restricciones respecto a las elecciones posibles de compases, reglas,escuadras, trans - portadores o plegados?

(i> un lado; (ii> una diagonal; (iii) puntos medios de los lados opuestos; (iv) puntos medios de dos lados adyacentes; (v) punto medio y centro; (vi> un vértice y el centro.

Los múltiples desarrollos posibles del arte geométrico pueden ofrecer, también, muchas actividades para un uso potencial en la ampliación de la imaginación geométrica de los niños (ver ATM, 1982).

Volviendo ahora a los problemas asociados con la geome- tría como una estructura matemática, recordamos la controver sia que hizo estragos (y que, en algunos lados, sigue hacieñ do) respecto al papel de la geometría "deductiva" euclideana en la matemática escolar. Sin querer reabrir viejas heridas, o entrar en detalles relativos a estas cuestiones, el punto que nos interesa, en esta sección, proviene del hecho de que la geometría no es, de ninguna manera, una matetitica sin"de mostración" y sin "deducción". Dos obstáculos aparecen espor táneamente: la dificultad de "demostrar" y la motivación paz ra hacerlo.

No parece necesario señalar que el énfasis tradicional en la geometría euclideana se situaba en la demostración, pe ro determinar si ese énfasis era relativo a phoba/r es otrã cosa, como lo señaló Robinson (1976). Se podía argumentar (co mo se hizo) que la forma de "demostrar" consistía en aprende?, en esencia, a "instrumentalizar" el algoritmo de la pruebaem pleando una secuencia tal como "establecer lo dado, estable: cer, después, lo que hay que d@mobOu%t, buscando, luego las cOt?AtiCCiOnu apropiadas para elaborar los vínculos entre las partes y, finalmente, construir la totalidad de la dt?mob mibn".En la mayoría de los casos, sin embargo, esta secuefl cia, degeneraba en un proceso nemotécnico dirigido a aprender la demostración que alguien había hecho de algúnotro teo rema. El problema radicaba, esencialmente, en una formaliza-

200 Alan J. Blshop

ción prematura. Se consideraba que el "formato" de la demos tración representaba, de alguna manera, el proceso de demos trar transformándose, así, en el presunto "modelo" del raza - namiento deductivo.

Pero ahora sabemos, afortunadamente, que debe considerarse que "demostrar" constituye un objetivo final enunlar go camino que contiene elementos tales como suponer, canje- turar, argumentar y razonar. Algunos análisis de la cues - tión, como el de Bel1 (1979), han colocado a la demostración en una perspectiva que no sólo la hace accesible a todoslos alumnos, sino que permite que sea evaluada por ellos mismos. Puede considerarse a la demostración como una forma mahmd-

tica refinada de razonar - y una forma que mantiene cone- xiones con el razonar y el discutir en el "mundo real".

Su falta de motivación constituyó un obstáculo significativo creado, precisamente, por la vieja noción de "demos- tración" - en el sentido de "LPor qué seria necesaria la demostración?" En muchos casos, lo que se demostraba resultaba intuitivamente obvio y, por lo tanto, no necesitaba de mostración. Compárese aquella situación con una en la que el alumno se enfrenta con la conjetura que "si se considera cualquier triplete pitagórico y se multiplican los tres nú- meros que lo integran, el resultado será siempre un múlti- plo de 60". A primera vista, esta afirmación aparece como muypoco razonable y como altamente improbable. Sin embargo, unos pocos ensayos mostrarán que el resultado parece plausi ble, situación que hace que se refuerce la motivación por saber si será verdadero en todos los casos y por qué lo se- rá.

Y esto requiere, solamente y de parte del docente, un cambio de conceptualización respecto a las actividades de demostración de manera que resulten mucho más accesiblespa ra los niños lo que, en esencia, significa tratar un teore-- ma como una generalización que los mismos niños se plantea- sen en base a diversos caso particulares. Imagínese, por ejemplo, esta situación:

Dibuje dos puntos. Dibuje, después, un tercer punto en posición talque cuandoselouna a los dos primeros se forme un ángulo de 90 grados. Trate de dibujar algunos otros "ter ceros" puntos. iPuede ver que se va desarrollando un ciertõ método para hallar el tercer punto ? Si sus primeros dos pun tos estuviesen sobre una recta "horizontal" ipodría seguir empleando el método para determinar un tercer punto tanto

iCuáles son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de geometrh?

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"debajo" como "arriba" de los puntos dados? ¿Qué sucede si se empieza con un ángulo de 60' (en lugar de 90")? ¿Cambia el método? iCómo cambia? Una los dos puntos fijos conelcen tro del "circulo" y observe lo que puede descubrir en rela- ción con los diferentes ángulos. Tome otros valores parael primer ángulo. ¿Piensa Ud. que estos métodosfuncionarán siem pre? Y sí no, ipor qué no? iPodría encontrar una justifica-- ción razonada para cualquiera de los métodos que Ud. empleó para determinar los Vterceros puntos"?

Es obvio que 'el lenguaje particular empleado y el desa rrollo de la secuencia de actividades tuviesen que ajustar- se de acuerdo al grupo particular de alumnos.Elejemplomues tra, sin embargo, como las características generales de un< configuración geométrica particular pueden emerger de forma tal que impulsarán a los alumnos a comprender cómo las carac terfsticas generales son una consecuencia de otras caractez rísticas geométricas. Con el empleo de tales métodos podría superarse la falta de atractivo y la dificultad que puede presentar la tarea de demostrar.Pero, y por supuesto, será necesario demorar la introducción formaldeaxiomas hasta bastante después de haber practicado esta clase de activida des.

Consideremos, ahora, algunos de los obstáculos particulares que se presentan en diferentes temas geométricos. A- bundarán aquí, y es inevitable, semejanzas y superposicio- nes, pero se destacarán algunos obstáculos específicos.

Las representaciones que se emplean actualmente origi- nan un cierto tipo de dificultad en la geometría de trans- formación. Por una parte, sólo puede mostrarse el comienzo y el fin de una transformación (de una simetría axial, por e- jemplo) , aunque la presentación visual de que se dispone aho ra con los computadores puede presentar la transformacióndé manera graduada, por pasos. Pero, sin disponer de tal recur- SOI una figura como esta:

les plantea a los niños considerables exigencias respecto a la comprensión de las convenciones utilizadas. Aquí, la linea

202 Alan J. Bishop

punteada representa el "espejo" o eje de simetria y, en consecuencia, es necesario imaginarse la reflexión en el "espejo" (Hart, 1981). Y una "rotación" resulta aún más diffcilde dibujar.

Otro problema especifico de imaginación es el relativo a las transformaciones oblicuas. Por ejemplo, los niños no encuentran dificultades en simetrizar una figura respecto al eje X o respecto al eje Y de un sistema ortogonal de coordenadas, pero pueden no ser capaces de simetrizarla respecto a la recta y=x (Küchemann, 1980). Se podrla esperar, adem&s, que la experimentación y la práctica lograda con la transfor mación de un cierto número de objetos reales, por ejemplo sõ bre la "diagonal" aportase una ayuda apreciable a la imagina - ción.

El tema de dilataciones posibilita un trabajo de apoyo en verdad importante para la trigonometria, asi como para la comprensión, en general, de las razones y las proporci0nes.Y este tema resulta particularmente adecuado para comparar las razones entre elementos internos (relativas a la forma de la figura) con las razones entre elementos externos (relativos a las dimensiones correspondientes de las figuras semejantes). Y resulta demasiado frecuente, desafortunadamente, comprobar queseenfatizan los aspectos numéricos de las razo nes y de las proporciones más bien que sus aspectos geométri cos, a pesar de que es fundamental para la comprensióndelos alumnos apoyar, sólidamente, las ideas de semejanza y de di- latación sobre una base tanto visual como imaginativa.

El mismo peligro existe respecto a los vectores y a la geometrla analftica, dado que ambos temas pueden hacerse rá- pidamente algebraicos en el currlculo de un alumno. La geome tría analítica, tanto en ejes rectangulares como en el sist2 ma polar, puede presentar menos obstáculos a los alumnos ya que ambas se ocupan de la representación de situaciones está ticas. Además, ambas pueden relacionarse con mapas, con 12 cuadrfcula del amanzanamiento de la ciudad, con la disposi- ción de los bancos en el aula, etc. Y el trabajo con coordenadas (en dos dimensiones)ljpuede enfocarse de manera visual y concreta, dentro del currículo del alumno, desde etapasre lativamente tempranas. Pero las coordenadas tridimensiona-- les presentan, sin embargo, el problema reiterado de "captar" el espacio tridimensional en una forma bidimensional.

iCuáles son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de geometría?

203

La geometria vectorial es un capitulo muy diferente,,da do que se ocupa de representar el movimiento sobre el papel mediante lineas y ángulos de forma de poder sugerir, visual mente, distancias y trayectorias más bien que movimiento 7 fuerza. Podria argumentarse que el concepto de combinación de vectores requiere una base considerable de experimenta- ción cientlfica si se quiere hacer completamente accesiblea la comprensión del alumno. Sin embargo, y como en el caso de transformaciones, el computador puede venir en nuestra a yuda generandosecuencias animadas que muestren los diversos efectos que resultan de combinar vectores en situaciones di ferentes. Parece+ también aqui, que nuestros métodos tradi cionales de papel y lápiz resultan inadecuados para reprer sentar ideas de dinámica, como opuestas al espacio estático. Y para compensar esta incompetencia de método se hace necesario recurrir a los modelos, a los experimentos y a la ani mación.

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Conclusiones

Me agradaría sugerir, para terminar este capítulo, que los aspectos de la geometria, que se señalan a continuación son los más significativos tanto del punto de vista dela en señanza como de la investigación:

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Es necesario hacer un uso muchisimo más amplio del ambiente espacial del alumno. Los maestros necesitan conocer este ambiente para ser capaces de explotarlo en la enseñan- za de geometria. Necesitamos, también, los resultadosdeuna investigación más amplia relativa a los efectos de los dife rentes ambientes sobre la comprensión de los niños de la< ideas espaciales y geométricas.

Es necesario, especialmente a nivel de escuela primaria, elevar la posición y la importancia de la geometria.El análisis de la investigación realizada nos ha hecho .cons: tientes del origen espacial y geométrico de muchas ideas ma temáticas (por ejemplo de las ideas de razón y de propor-- ción), y una investigación tis amplia podria señalarlos pro blemas provocados, precisamente, por no haber desarrollado- las ideas a partir de estos origenes.

No alcanza con sólo hacer participar a los alumnos en actividades espaciales, sino que es necesario que se les a- liente a he@ex&nah sobre ellas. La formación de pequeños

204 Alan J. Bishop

grupos de trabajo estimula las discusiones entre los niños y las actividades adecuadamente elegidas pueden hacer centrar su atención sobre las características del espacio que resultan significativas para el matemático. No es común encontrar en las clases de matemática pequeños grupos de trabajo iasí como la discusión queseorigina con su actividad, lo que hace necesario que la investigación preste una mayor atención a la contribución significativa que tales grupos pueden apor - tar a la comprensión matemática.

Es necesario proporcionar a los principiantes oportunidades para realizar una variedad de representaciones, conjun tamente con situaciones que reclamen distintos tipos de ae- presentaciones. Comprometiendo a los niños en diferentes actividades de representación comenzarán a reconocer la diferencia entre forma y contenido. Enfatizamos, una vez más,que toda reflexión y toda discusión relativa a estas actividades será siempre beneficiosa y que, por consiguiente, debe am- pliarse la investigación que rastree los vlnculos que pueden existir entre actividades de representación y comprensión geométrica.

Es necesario que los maestros exploten en una mayor medida las actividades de "reducir a escala" elementos del ambiente que rodea al alumno, actividades que los investigadores deben documentar de forma más detallada, ya que poseemos pocos datos sobre este aspecto de la geometria y que nuestras ideas al respecto son, todavia, relativamente primiti- vas. No obstante ello, las nociones que poseemos deben ser suficientes para incitarnos a formular una recomendación se- ñalando que esta cuestión constituirTa un sector muy importante para explorar.

El lenguaje constituye una de las vías principales para la "representación"; y el lenguaje del espacio es, precisamente, un campo rico para ser trabajado, tanto por los docen tes como por los investigadores. Motivando a los alumnos ã hablar acerca de las actividades geométricas y espaciales en que han participado, el maestro dispondrá de excelentes opor tunidades para ir formando su lenguaje matemático. En mi opi nión, debe ponerse también énfasis, en las primeras etapas,- en la descripción de las propiedades y en las operaciones '3 geométricas, así como en los movimientos y en los cambios (transformaciones) en vez de reducirse a &Q&~&lh los objetos geométricos mismos (círculo, etc.). Y debe evitarse, pre cisamente, toda denominación prematura ya que con ello sepue delimitarla comprensióndelos alumnos.AdemBs,la investigac&

iCuáles son algunos de los obstáculos para el aprendizaje de geometrla?

205

puede ayudar, también, a documentar las diversas clases de significados y de comprensión asociados con los aspectos par - titulares del lenguaje geométrico.

Es necesario que los maestros exploten de manera más ge neral el empleo que hacen los principiantes del lenguaje visual figurativo. Sabemos que un tal lenguaje resulta muy accesible a muchos alumnos, aunque no se tiene una comprensión suficiente de su potencial. La geometría se presenta como un área obvia para su empleo, particularmente en lo que concier ne a los aspectos dinámicos de los lugares geométricos, de las transformaciones y de la geometría vectorial. El problema más importante que preocupa a la investigación es el de determinar si se puede desarrollar en el alumno el lenguaje figurativo visual asl como la forma como se presta este lenguaje figurativo a ser compartido por maestros y alumnos.

Aunque algunos temas geométricos particulares enfatizan diferentes aspectos del análisis espacial, los maestros deben conocer las relaciones existentes entre estos aspectos. Por ejemplo, es muy fácil para unprofesor desarrollar las ca racterlsticas particulares de la geometria analftica, de las coordenadas polares y de la longitud y latitud, sin que los alumnos comprendan, cabalmente, que todo esto se refiere a localizar la posicióndeun punto en el espacio.

Más concretamente, la investigación podria dedicar una mayor atención para identificar las ideas unificadorasen geo metrla. No quiero significar, con esto, el álgebra de transz formaciones, por ejemplo, sino más bien las ideas unificado- ras de naturaleza geomtica. Abe (1980) nos presenta un excelente ejemplo de esto cuando señala el papel central del paralelogramo tanto en la geometria tradicional como en los espacios vectoriales. El dice "esta propiedad se denomina la propiedad unificadora en nuestro proyecto", proyecto dirigido a mejorar la enseñanza de geometrfa en las escuelas elementales japonesas. Y yo veo esto como una lfnea muy promiso - ra de desarrollo.

Resulta claro -como conclusión- de los comentarios ante riores que existen muchos aspectos importantes de la georne- trla para investigar. Debe resultar claro, también, que la enseñanza y el aprendizaje de geometria podrian ser muchomás efectivos de lo que aparenta ser en el presente. En mi concepto, es necesario que los que se ocupan de la investigaci6n tomen mucho más en serio el aprendizaje de geometría y que

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los docentes y los encargados del desarrollo curricular le a signen una prioridad mucho más decidida. Además, una ofensi- vapara superar los mayores obstáculos que enfrentan los ní- ñosen el aprendizaje de geometria podrla desembocar en algún curriculo realmente motivador y en desarrollos de métodos de enseñanza que podrían tener, a su vez, impactos significativos sobre la enseñanza de la matemática en general.

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LA FORMACIONDEDOCENTESYLA ENSERANZA DE CEOMETRIA

Bruce E. Meserve y Dorothy T. Meserve

Introducción

Cualquier docente de matemática, de cualquier nivel,de be sentirse completamente familiarizado con el tema que va ã enseñar. Esta sensación de "sentirse como en su casa" con el material, puede existir solamente si el maestro esta tan familiarizado con los temas que es capaz de: presentar un tema en una variedad de formas; mostrar como un tema encaja en un modelo existente o conduce a un modelo más amplio; y explicar la posición de un tema en la historia.

Si nosotros pensamos la geometria, incluyendo todaslas consideraciones de puntos y figuras, es evidente que todos los maestros eficaces de matemática escolar, deben ser maestros de geometrla. Los aspectos visuales y conceptuales de geometría suministran enfoques particularmente accesibles a la matemática a todos los niveles.

Además, los futuros docentes de matemática necesitande sarrollar sus habilidades en geometria, no solamente para sÜ futurouso en la enseñanza, sino también como ayudas en su propio estudio de matemática. Ellos necesitan, particularme; te entender y aprovechar las interrelaciones entre las distintas áreas de la matemática. Asi, es muy importantequelos conceptos geométricos se usaran en el estudio de, practica- mente, todos los cursos de matemática del nivel terciario y que las aplicaciones de las técnicas geométricasenestos cur

- sos fueran identificadas y frecuentemente desarrolladas.

Antes de considerar los detalles de la preparación n-a- temática de los docentes, es necesario tener en cuentael amplio contexto en el cual se debe desarrollar dicha prepara- ción.,La formación inicial de los docentes deberia capacitar los para ver el curriculo de matemática en un marco holísti- cos con un gnfasis sobre la integraci6n de un enfoque unificado de objetivos, contenidos y métodos con las restricciones de tiempo y lugar, derivadas del medio ambiente soc lo- cultural de sus estudiantes.

210 Bruce E. Meserve y Dorothy T. Meserve

Una comunicación efectiva con los estudiantes y la mo- tivación de los mismos requiere un entendimiento de sus espe ranzas, temores y puntos de vista. Cada estudiante necesita- encontrar ideas en formas que le sean reconocibles, relacionadas con su previa experiencia, conocimiento y modos de pen sar. Si el estudiante ha estado acostumbrado a pensar en téF minos de objetos ffsicos o representaciones mentalesdeellog puede que sea necesario trasmitirle conceptos matemáticos me diante el empleo de tales objetos o esquemas de ellos. Una vez que la comunicación se ha establecido, es probable que el estudiante sea capaz de desarrollar, también, habilidades lógicas y analíticas que profundizarán su visión del concep- to considerado. Idealmente, el maestro busca desarrollar todas las habilidades de cada estudiante a un nivel óptimo.

En consecuencia, el maestro necesita incluir enfoques geométrico, numérico y simbólico en todos los niveles. El estado actual de la geometría revela algunos éxitos, perotam bién fracasos: aprovechar la utilidad de la geometrla comõ un aspecto fundamental de la matemática y como una aproxima- ción a ella; presentar los conceptos geométricos que pueden ser útiles e interesantes; capitalizar la experiencia e inte rés de los estudiantes; y considerar problemas que capten 1; imaginación del que intenta resolverlos.

Es necesario que los maestros sean capaces de persuadir a cada estudiante de que la matemática y, en particular, la geometría puede ser, a menudo, un juguete divertido asi como también una herramienta útil.

Habilidades y niveles de desarrollo mental

Los futuros maestros necesitan estudiar muchas áreasde la matemática. Casi todos estos estudios deberían acrecentar en geometría una o más de las habilidades del maestro. Alan Hoffer (1981) identificó cinco áreas de habilidades básicas:

1) Habilidades visuales, incluyendo la habilidad para: reconocer distintas figuras planas en el espacio;re conocer las partes de una figura dada y sus interre laciones; identificar centros, ejes y planos de si- metría de una figura dada; clasificar figuras dadas por sus caracterlsticas observables; deducir más ín formación de las observaciones visuales; y visuali= zar las representaciones geométricas (modelos) ocon tra ejemplos involucrados en los datos de un sistema matemático deductivo dado.

La formación de docentes y la enseñanza de geometrfa 211

2)

3)

4)

Habilidades verbales, incluyendo la habilidad para: identificar distintas figuras por el nombre; visualizar figuras en base a su descripción verbal; describir figuras dadas y sus propiedades; formular de finiciones apropiadas de las palabras usadas; describir las relaci.ones entre las figuras dadas; reconocer la estructura lógica de problemas verbales; y formular enunciados de generalizaciones y de abs- tracciones.

Habilidades para dibujar, incluyendo la habilidad para:esbozar figurasdadas y asignar puntos especifi cos; esbozar figuras a partir de su descripción ver bal; dibujar o construir figuras con propiedades dã das; construir figuras que tengan una relación espe cifica con figuras dadas; esbozar secciones planase intersecciones de figuras dadas; agregar elementos auxiliares, útiles a una figura; reconocer el papel (y limitaciones) de los esquemas y figuras constr- das; y esbozar o construir modelos geométricos o contra ejemplos.

Habilidades lógicas, incluyendo la habilidad para: reconocer diferencias y similitudesentre figurasdadas; reconocerquelas figuras se puedenclasificar porsuspropiedades;detenninarsiuna figuradada peL tenece, 0 no, a una clase determinada;comprender y aplicar las propiedades exigidas por las definicio nes;identificarlas consecuencias lógicas de datos c& - dos; desarrollar demostraciones lógicas; y recono cerelpapelylimitaciones deíosmétodos deductivos.

5) Habilidades de aplicación, incluyendo la habilidad para: reconocer modelos flsicos de figuras geométri cas; esbozar o construir modelos geométricos de objetos ffsicos; usar propiedades de modelos geométri cos para conjeturar propiedades de objetos flsicos- o conjuntos de objetos físicos; reconocer la utilidad que tienen los modelos geométricos para las si- tuacionesylos objetos físicos; desarrollar modelos geométricos para fenómenos naturales, conjuntos de elementos en las ciencias físicas y conjuntos de e lementos en las ciencias sociales; y usar modelos geométricos en la resolución de problemas.

Para cada habilidad básica, el orden de los items anteriormente enumerados, ilustra también los niveles crecien tes de desarrollo mental en geometrla, que fueron identifiz cados por P.H. van Hiele y su esposa (1959 y 1973), y que fueron descriptos por Izaak Wirszup (1976) y Alan Hoffer (1981). Estos son:

212 Bruce E. Meserve y Dorothy T. Meseeve

Reconocimiento, como la habilidad para identificar for mas (cada una como un todo), con algún vocabulario.

-

Análisis, como por ejemplo, observar algunas propiedades de figuras elementales.

Ordenación, para dar casos especiales, interrelaciones, definiciones apropiadas.

Deducción, habilidad para apreciar los elementos y naturaleza de una demostración en un sistema matemático.

Rigor, como para captar la naturaleza de sistemas mate- máticos y para captar después sus fundamentos (un nivel de abstracción raramentealcanzado en las escuelas secundarias).

Maestros de escuela primaria

Los maestros de la escuela primaria necesitan desarrollar cada una de las cinco habilidades básicas a un nivel in formal de reconocimiento y familiaridad con las relaciones 7 propiedades, clasificación e implicación. La preparación en geometria a nivel terciario que necesita un futuro maestrode escuela primaria depende de su experiencia en primaria y secundaria y del contenido geométrico de otros cursos del niY ve1 terciario de ese maestro. Por ejemplo, la geometrla ana- lítica (coordenadas) se usa en varios cursos secundarios y de nivel terciario. En algún momento, el futuro maestro necesita apreciar y comprender perfectamentevariosprocedimien tos: para asignar coordenadas a lineas, planos yespaciostri dimensionales; para representar figuras en coordenadas espaz cíales; para usar coordenadas en la exploración de conjeturas y demostración de teoremas; y para ayudar a los estudian - tes en el uso de coordenadas.

Los problemas asociados con la interpretación de los conceptos matemáticos, en términos de experiencias de los es tudiantes de la escuela primaria, reclaman una atención espF cial. En resumen, el maestro necesita ampliar el lenguajede? alumno de la escuela primaria para incluir el lenguaje mate- mático de escuela primaria.

La preparación matemática del maestro de escuela primaria (Comité de Pre-grado, Programa de Matemática, 1983, pp. 4,7-21) deberla, dentro del alcance del lenguaje del alumno, de sus experiencias y de su medio ambiente, proporcionarlela

La formación de docentes y la enseñanzn de geometrfa 213

habilidad: para identificar formas geométricas simples y sus. propiedades; para ilustrar y desarrollar relaciones espaciales básicas; para identificar, desarrollar y resolver proble mas geométricos que involucren conceptos matemáticos del cuz rrfculo escolar; para ilustrar y desarrollar relaciones bási cas tales como congruencia, semejanza, paralelismo, perpend? cularidad e incidencia entre figuras geométricas en un plano; para ílustrar y desarrollar el perimetro, área y volumen de figuras geométricas; y para ilustrar y desarrollar transformaciones planas fundamentales, tales como, desplazamientos (traslaciones), giros (rotaciones) y rebatimientos (sime- tría axial).

Además, la preparación matemática de los maestros de escuela primaria deber-fa incluir un número suficiente de ex periencías que les proporcionarán la habilidad necesaria paz ra: usar unidades estándar y no estandar (pedazos de papel, borradores, cuerpos sólidos, etc.) para medir longitudes, pe rfmetros, áreas, capacidades, volúmenes, masa, pesos, ángu- los, tiempo y temperatura; diseñar experiencias de aula que ilustren, de manera apropiada, en los distintos grados escolares, los conceptos geométricos y de medida; reconocer y construir argumentos consistentes y lógicos para enunciados geométricos, de acuerdo al nivel del que aprende; hacer modelos de figuras planas simples y de figuras espaciales simples; usar terminologia matemática y simbolismo apropiado, cuando se trabaja con niños de escuela primaria; desarrollar el proceso de conjetura y prueba del descubrimiento matemáti cos tanto para figuras planas como espaciales;,comprender la% relaciones de la geometría con otros aspectos del currfculo escolar; y explicar el papel de la geometrla en la cultura del estudiante.

Se deberla esperar una considerable variación en los métodos, para alcanzar estos objetivos, dependiendo de la experiencia previa de los futuros maestros de la escuelapri maria. Es necesario apoyarse en la completa comprensión da futuro maestro respecto al contenido geométrico, respecto a los métodos para expresar los conceptos geométricos utilizan do las experiencias de los alumnos de escuela primaria y ã las formas de estimular las exploraciones, las conjeturas y los descubrimientos de los alumnos. Es deseable que se pres te especial consideración, por lo menos, a los trestemas gZ nerales siguientes. (Comité del Programa de no Graduados en Matemática, 1983, pp. 12, 17-8):


1) la6 phopkxladu de toa el.!emetiob bddiicob y k?uh mtucione.4 en el! e~pa,cio Xh,úiúnnetiio~ y en et pkkno.

Serla necesario reconocer las figuras y sólidos básicos asi como asegurar la comprensión de conceptos tales como pun to, recta, segmento de recta, c relacion entre, plano, regio: nes comunes (triangular, cuadrada, circular, etc.), semejanza y congruencia (en términos de correspondencia). Paraeste fin es importante usar objetos flsicos tales como bloques, geoplanos, (tableros con clavijas) y plegado de papel para representar elementos y relaciones y para estimular la formula - ción deconjeturas respecto a sus propiedades.

2) Metida

El proceso de medir involucra la selección de una unidad, cubrir, el elemento a medir con unidades y contarelnú mero de-unidades necesarias. Se debe alentar la aproximaci& en las medidas y también merece consideración la realizacibn efectiva de medidas, empleando unidades de medida tanto es- tándar como no estándar, de longitud, de área y de volumen.

3) TchminoLogh y no;ta&ón

Los futuros maestros necesitan preocuparse por el uso correcto de los términos y slmbolos matetiticos, de manera que su uso en el aula, esté de acuerdo con los usos que sus estudiantes encontrarán en el futuro. También resultan desea bles las interpretaciones (traducciones) de los términos max temáticos en el lenguaje diario de los estudiantes. Por ejem

- plo, "una rotación" estarla asociada con "una vuelta" con "un desplazamiento" y con una "simetrla axial", con "un reba timiento". Se pueden reducir las confusiones en la mente de los alumnos evitando ambigüedades de terminologla, tales cos mo el uso de la palabra "triángulo" en diferentes formas, CE mo en estas instrucciones:

"Dibuje un triángulo" "Colortie el triángulo"

El término "triángulo" se referiría a un tipo especlfi - co de figura.

Las instrucciones resultarlan menos confusas asi:

"Dibuje un triángulo" "Coloree la región triangular"

La formación de docentes y la enseñanza de pometris 215

Al distinguir entre descripciones y definiciones se pue den reducir, drásticamente, muchas dificultades de los estu= diantes. Por ejemplo, considere el rectángulo. Un rectãngulo se puede describir de cualquiera de las siguientes formas:

un cuadrilátero con cuatro ángulos congruentes;

un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos;

un paralelogramo con, por lo menos, un ángulo recto;

un paralelogramo con cuatro ángulos rectos;

un paralelogramo con diagonales congruentes;

un paralelogramo con cuatro ángulos rectos y diagonales congruentes;yenotrasformas. Pero unade&útibn de rectángu- lo, tal como esta: "un paralelogramo, con un ángulo rectopor lo menos" puede ser seleccionada, de manera que en casos par titulares se pueda probar, fácilmente, si es, o no, un rec= tángulo. Enfatizar en la escuela primaria las diferentesdes cripciones de una figura particular es proporcionar una bar se para seleccionar una definici8n posterior cuando el estu diante no tenga que cambiar algún concepto previamente esta - blecido o algún enunciado memorizado.

Profesores de educación media

Los profesores de educación media(primariasuperior)ne cesitan desarrollar en geometria cada una de las cinco hab? lidades básicas, no solamente a los niveles informales(necZ sario para los maestros de escuela primaria) sino también ã los más altos niveles mentales de orden y de deducción, que resulten adecuados para la escuela media.

Asf, la preparación matemática de los profesores de e- ducación media (Comité de Programa de no graduados en Mate- mática, 1983, pp. 16-19, 22) deberfa incluir experiencias a ndlogas a aquellas proporcionadas a los maestros de escuelã primaria, junto con la habilidad: para usar, efectivamente, figuras geométricas en el desarrollo de conceptos aritméti- cos; para clasificar figuras planas y tridimensionales comu nes; para explorar propiedades de figuras comunes; parausar construcciones con papel plegado, regla y compás; para moti var conjeturas asociadas con muchos teoremas comunes; para explorarlosmodelos numéricos que aparecen en geometría, ta les como número de diagonales o suma de los ángulos de distintos polígonos; para explorar los modelos de figuras geo-


métricas que se encontrarán en series de modelos, en mosaicos de un plano, mosaicos en el espacio tridimensional, los sólidos platónicos, y los modelos geométricos que aparecenen la naturaleza (Canales y cristales, etc.); para explorar las propiedades de las transformaciones geométricas, las propiedades de figuras semejantes (planas y tridimensionales) y la fórmula de medida de figuras planas y espaciales; para desarrollar y resolver problemas en geometria plana y geometrla tridimensional que tengan significado e interés para los estudiantes de educación media; y para describir la historiade la geometría, la existencia de varias geometrías, el papel de la geometría en la matemática recreativa y el papel de la geometrla en nuestra cultura (desde el punto de vista cienti - fico y desde un punto de vista estético).

Como en el caso de los maestros de escuela primaria se debería esperar una considerable variación en los métodos,pa ra alcanzar estos objetivos en los profesores de la educaci& media. Para los maestros de escuela primaria es necesario,ge neralmente, prestar especial atención, a la amplilación de ca da uno de los temas considerados y a cada uno de los objetiz vos adicionales enumerados. Puesto que los profesores de la escuela media preparan la transición desde la escuela primaria a la escuela secundaria, es necesario incluir enfoques a nálogos a los sugeridos para los maestros de escuela primaria y también enfoques análogos a aquellos sugeridos paralos profesores de escuela secundaria.

Profesores de escuela secundaria

Los profesores de escuela secundaria necesitan desarro llar en geometria cada una de las cinco habilidades básicas- (visual, verbal, gráfica, lógica, de aplicación) en cada uno de los cinco niveles de desarrollo mental (reconocimiento, a nálisis, ordenación, deducción, rigor). La preparación de nivel terciario en geometria, necesaria para un futuro profe sor de geometrfa de escuela secundaria depende, en gran parte, de las experiencias de la escuela primaria y secundaria y del contenido geométrico de los otros cursos terciarios de un tal profesor. Por ejemplo, se usan vectores en varios cur sos secundarios y terciarios. En algún momento, el futuropro fesor tiene que apreciar y comprender perfectamente procedimientos: para introducir espacios vectoriales; para usar vez tores en la representación de figuras; para usar vectores en las explicaciones de conjeturas y demostraciones de teoremas

La formación de docentes y la enseñanza de wometrfa 217

y para ayudar a los estudiantes de escuela secundaria a reconocer la existencia de una base axiomática para una geometría en la que se emplean vectores.

La preparación matemática de un futuro profesor de geometrfa de escuela secundaria (Comité de Programa de no Gradua dos en Matemática, 1983, pp. 24-76) deberla proporcionarle sÜ ficiente experiencia en geometrla plana y tridimensional para capacitarlo: en el empleo de su conocimiento del desarrollo histórico y de la estructura de la geometria para presentar los desarrollos de los conceptos de la geometria escolar; para desarrollar varias geometrlas, de manera que sus estudiantes reconozcan y acepten la existencia de, por lo menos, cinco geometrias diferentes, tales como, la geometrfa euclideana la geometria esférica, la geometrla hiperb6lica (Lobachevskia na>, la geometrla elíptica (Riemaniana), la geometrla afin,la geometria proyectiva, la topologfa y la geometría finita; para enseñar geometrla euclideana como un enfoque informal para entender el universo físico, como uno de los enfoques inheren tes a casi todas las áreasdela matemática, como un recurso primario1 para resolver una amplia variedad de problemas prás ticos, matemáticos u otros problemas científicos, como un tema que se puede explorar a través de una amplia variedad de enfoques informales, tales como plegado de papel, geoplanos, espejos y,construcciones con regla y compás, como un sistema deductivo,como un tema que se puede desarrollar, por lo menos en parte, desde una variedad de puntos de vista, tales como aquellos implicados por los términos tales como geometria sin tética, geometrfa de coordenadas (analitica) geometrla vectorial, geometria de transformaciones; geometria descriptiva, geometrfa diferencial, teorla de gráficas, geometrfa combinatoria y geometria lineal, geometrla algebraica y finalmenteco mo un sistema matemático; probar enunciados, así como aceptar enunciados demostrados empleando algunos de los .métodos que incluyen los tipos siguientes de demostraciones:

demostración sintética directa;

demostración sintética indirecta;

demostración basada en el empleo de coordenadas o vecto - res;

demostración basada en la inducción matemática, y

una demostración basada en transformaciones, tales como traslaciones, simetrías, rotaciones, dilataciones (aE pliacidn y contracción), simetrias o proyectividades;

218 Bruce E. Heoerve y Dorochy T. Meeerva

para comprender y ser capaces de comunicar a los estudiantes de escuela secundaria la relación de la geometria con otras disciplinas y los usos de la geometria en distintos aspectos de la matemática; y para describir la presencia de una amplia variedad de ideas geométricas fuera de la matemática,in cluyendo alusiones convincentes al pensamiento geométrico el áreas tales como el arte, la arquitectura, la biologfa, la cartografía, la física, la exploración del espacio, los deportes, la tecnologia y el planeamiento urbano.

El desarrollo histórico de las distintas geometrias es, en general, más fácilmente comprendido si se considera como parte principal del estudio de la historia de la matemática. Cualquiera sea la forma en que se adquiera una perspectiva histórica, ella debe incluir los origenes empiricosdela geE metria, los fundamentos geométricos de casi toda la matemáti ca en la época de los primeros griegos, y el desarrolloysig nificado de la geometrfa sintética euclideana. A este mate= rial le sigue, naturalmente, el desarrollo de dos geometrias no euclideanas y el significado de las geometrias no euclideanas, liberando a la matemática de las limitaciones del u- niverso físico abriendo, asi, el camino para eldesarrollode sistemas matemáticos abstractos. Después sigue el papel de la geometria en el desarrollo de otros aspectos de la matemg tica (incluyendo especialmente el álgebra, la trigonometria y el análisis) e, inversamente, el papel de otros aspectosde la matemática en el desarrollo posterior de la geometría. 12 terrelaciones similares surgen entre la geometría y las artes (prácticas y estéticas) y las distintas ciencias, tanto apli cadas como teóricas.

Es necesario, pero no suficiente, para el futuro profesor el conocimiento formal de los conceptos matemáticos subyacentes. Por ejemplo, los estudiantes pueden comprender el enfoque de Etiangen de Felix Klein, de las geometrías, sin 2 preciar o ser capaces de usar efectivamente las transformaciones en las escuelas secundarias. Los futuros docentes de escuela secundaria necesitan suficientes experiencias, análg gas (pero no necesariamente idénticas) a las experiencias CC

rrespondientes que se consideran pertinentes para la escuela secundaria, con la finalidad de capacitarlos: para hacer una exploración fácil de problemas geométricos usando métodos a- ritméticos, métodos algebraicos, contraejemplos con represen taciones formales o informales, coordenadas, vectoresytrang formaciones, asi como también, los métodos deductivos sinté- ticos de la geometrfa axiomática; para explicar, en el lenguaje de los estudiantes de escuela secundaria, las suposiciones en que se apoyan los procedimientos que se usan en la

La formación de docentes y la enseñanza de geometrlo 219

resolución de cualquier problema de geometria escolar; para trabajar efectivamente en un sistema matemático, aunque seh2 yan considerado en detalle, solamente pequeños subsistemas;y para presentar las geometrías como sistemas matemáticos basa dos informalmente en las experiencias de los estudiantes de escuela secundaria.

La preparación especializada en geometría que se propor ciona a los futuros profesores de geometria de las escuelas- secundarias, debería incluir el estudio de los siguientes te - IDaS.

ExpkToh.ationti in@vnat~ en geome-tda

Los enfoques informales de la geometría en las escuelas primarias y medias, proporcionan excelentes basesparain traducir conceptos y desarrollar modelos de exploración y re solución de problemas en las escuelas secundarias. Por ejemplo, la representación de figuras geométricas en un geoplano cuadrado (un enrejado de clavijas) se puede usar como una in traducción a la representación de figuras en un plano con un sistema de coordenadas. Usando el teorema de Pitágoras se pueden. encontrar las distancias entre las clavijas (longitudes de segmentos de rectas). La colinearidad se puede establecer usando pendientes. Se pueden identificar las rectaspa - ralelas y las rectas perpendiculares.

Sobre un geoplano determinado, tal como el de treinta y seis clavijas o un geoplano de 5 x 5, las experiencias en el desarrollo de modelos pueden desarrollarse a partir de ex ploraciones tales como: encontrar el conjunto de todas las posibles longitudes de segmentos de recta, con los extremos en clavijas del geoplano; encontrar el conjunto de todas las áreas posibles de cuadrados convértices en clavijas;y encontrar el conjuntodetodaslas áreas posibles de triángulos con vérti- cesenclavijas.Lasgeneralizaciones sepuedendesarrollar al considerar (n+1)2clavijas deun geoplanon Xn.Sepuedenidenti ficarmuchas figuras comunesdescritas entérminosdepropi<da-- des observadas,definiry clasificar.Muchosteoremas sepuedende mostrar.Sepueden encontrar ejemplos (o contraejemplos) en enun ciados hipotéticos acerca de figuras. ~LL fórmula de Pi& (A=(b/2) + i-l) donde b es el número de clavijas sobre la frontera (lados) e i es el número de clavijas interiores, se puede desarrollar y usar para encontrar el área de cualquier poligono de vértices en las clavijas del geoplano. Entonces,

_.

220 Bruce E. b!eserve y Dorochy T. Meserve

otra vez, los estudiantes pueden comparar las áreas de trián- gulos con una base común y el tercer vértice sobre una recta que es paralela a la base común. El supuesto teorema puede ser generalizado para incluir bases congruentes sobre la misma recta, asi como en otras formas.

Se puede desarrollar otro enfoque informal de la geometria plana usando construcciones de regla y compás. La mayo- ría de las figuras elementales de la geometría plana se pueden construir en esa forma. La construcción de una amplia va riedad de figuras de un tipo específico (por ejemplo, triángÜ lo con sus tres medianas) proporciona una base para proponer teoremas basados en propiedades observadas. La construcciónde modelos geométricos y dibujos, ilustra la estrecha relación entre la geometrfta y el arte. También podemos construir un mo - delo para la geometría hiperbólica.

Se puede usar el papel plegado para representar muchas figuras geométricas,para estimular la proposición de teoremas y, en general, para proporcionar numerosas experiencias al e2 tudiante que motiven y refuercen una amplia variedad de conceptos geométricos. Otros enfoques informales, tales como el empleo de espejos, trayectorias de bolas de billar sobre una mesa de pool y las gráficas en computadores pueden, también,a yudar al docente para relacionar las experiencias de los estu diantes con los modelos físicos de la geometrIa a los conceptos geométricos abstractos y relaciones estudiadas en clase.

Campahatión de d.í,(ehenW geome;trr/tas bidimenGon&u

La identificación y comparación de teoremas conexos de diferentes geometrías proporciona medios muy efectivos para J+ yudar a los estudiantes a reconocer la existencia de más de una geometria. Son necesarias las experiencias de los estudiantes con los "puntos" y "rectas" de, por lo menos, una re- presentación (modelo) para cada geometria. Considérese la geo metria euclideana plana usual, la geometrfa esférica de pun= tos y circulos máximos (rectas esféricas) sobre una esfera,la geometrla elíptica de rectas diametrales (puntos elipticos) y planos diametrales (lineas elipticas) y la geometrla hiperbó- lica de los puntos interiores (puntos hiperbólicos) de un cir culo dado y circulos ortogonales al dado (lineas hiperbólica&). Las propiedades que se observan en estas representaciones se pueden usar para comparar las cuatro geometrías en términosde propiedades tales como: el número de rectas que pasan por dos puntos distintos dados; el número de rectas que contienen un punto dado y son paralelas a una recta dada; el número de res

La formación de docentes y le enseñanza de geometrfa 221

tas que contienen un punto dado y no interceptan a una recta dada; la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo;y la aparente existencia de una relación entre el área de un triángulo y la suma de las medidas de sus ángulos.

Tales comparaciones proporcionan al futuro docente experiencias personales en el uso informal de las propiedades observadas y en el trabajo en cada una de las distintas geome- trías.

TemúnologXa y nofacibn

Los elementos de cualquier lenguaje se deben usar apro- piadamente si se quiere lograr una comunicación efectiva.Cuan do los estudiantes están comenzando a desarrollar su vocabulã río, y siempre que surjan confusiones, es especialmente necer sari0 que se haga la distinción entre triángulos y regiones triangulares. Igualmente es, a menudo, necesario distinguir entre una recta y un segmento de recta, entre un segmento de recta y un segmento de recta orientado (vector), entre circulo y una región circular y asi sucesivamente.

Muchas figuras geométricas se pueden describir de formas completamente diferentes. Las definiciones efectivas deberían ser claras para el lector y fáciles de aplicar. En consecuen cía, es deseable asegurar que: se ubique la entidad definida- en su clase más próxima, poniendo en evidencia sus caracteris ticas esenciales (que la distinguen); la definición debe estã blecerse de manera que el enunciado sea reversible, esto es, que su reciproco también valga; y debe tratarse de evitar la sobrecarga de las definiciones con condiciones superfluas. A menudo, son posibles varias formas equivalentes de una definí ción. Por ejemplo, generalmente, definimos un 6ngulo recto,co mo un ángulo con una medida de 90". Euclides, sin embargo,- definió un ángulo recto como aquel cuyos lados formabanporlo menos, un par de ángulos adyacentes, congruentes.

Los significados de las palabras y los simbolos están e- volucionando continuamente. Durante los últimos treinta años la palabra "función" ha sido limitada para significar "una función uniforme".

222 Bruce E. Ueserve y Dorothy T. Neserve

Además, el simbolo ‘z', como en AABC Z AARST. ha sido limitadoparaimplicarque.LA? LR, LBZLS, yLC?LT. También tanto en álgebra como en geometrla, nosotros aparecemos como estando,enunproceso de restringir el simbolo "=" para identificar "dos nombres para la misma entidad (números, figuras, etc.)" más bien que implicar, de formaimprecisa, alguna igual dad de medida tal como área. Los futuros docentes necesitan- una amplia experiencia en la formulación de una variedad de descripciones de una figura particular, en seleccionar una definición efectiva de una figura o símbolo; y en usar correctamente la terminologfa y la notación.

Razonanúento ma.tundt¿co y mktado de demoMx.cLón

En aritmética, álgebra, geometría, matemática discreta, y en otros muchos aspectos de la matemática, se emplean los métodos deductivos. Diferentes enfoques en geometria, tales como el sintético, el de coordenadas, vectorial y de transformaciones, pueden basarse sobre distintos conjuntosdeaxic mas, y sobre diferentes representaciones (interpretaciones), de "punto" y "recta". No es necesario mostrar cada conjunto de axiomas sino que es necesario, a menudo, el reconocimien- to de la existencia de un conjunto de axiomas para la aceptz ción de una demostración que emplea un enfoque determinado. Los futuros profesores necesitan: experiencia en la presenta ción de demostraciones de una variedad de teoremas usando ca da enfoque; suficiente comprensión de la matemática subyacen te, para aceptar una demostración basada sobre cualquiera de los enfoques; reconocer que, aún para la geometría plana sin tética euclideana, hay distintos conjuntos alternativos de supuestos (axiomas, postulados) tales como los de Euclides, Hilbert, Veblen y Birkhoff; experiencia en proporcionar, en diferentes formas, cada uno de los conjuntos de teoremas seleccionados; y comprender (y ser capaz de aprovechar) lasven tajas de los distintos enfoques para los diferentes tipos de teoremas y problemas. En particular, estas experiencias pro- porcionarian una base para seleccionar ejemplos para usar en las clases de escuela secundaria y para reconocer la validez de cualquiera de las variadas demostraciones de un teoremada - do.

A unos pocos maestros les gusta basar cada paso de una prueba sintética en silogismos lógicos. Todos los maestrosde berfan aceptar, solamente, demostraciones en las cuales el mo delo lógico de cada paso es correcto y que se pueda identifi- -

La formación de docentes y la enseñanza de Reometrle 223

car, si así se exige. En el extremo opuesto, aparecen unospo cos maestros que"demuestran" teoremas, a sus estudiantes,mi diendo. Los futuros docentes deberfan comprender que,aunque la operación de contar objetos distintos es exacta, toda medida que se lea en una escala (tal como la longitud deunseg mento de recta o la medida en grados de un ángulo) es una a- proximación. Las medidas aproximadas no se pueden emplear pa ra probar una igualdad, tal como la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo.

Para ampliar sus conceptos de geometria y proporcionar una fuente de teoremas con demostraciones relativamente simples, los futuros docentes deberian tener alguna experiencia por lo menos, con una geometrla finita. Es particularmentede seable una variedad de representaciones basadas sobre diferentes interpretaciones de los elementos que figuran en los postulados.

Una jerarqufa de geometrfas

TopoJogfa

I\ Geometrfa proyectiva

Geometría

:g:Tia;grfí a fin

superficies

Geometrfa Geometrfa Geometrfa Geometría euclideana elíptica hiperbólica esférica

Rdemás, para comprender que existen otras geometrfas ,el futuro docente necesita comprender las relaciones de la geo- metría plana euclideana con otras geometrías bidimensionales. El papel inicial de la geometría euclideana comolageometrfa aparente de nuestro universo ffsico, y el papel de generali-

224 Bruce E. ?leserve y Dorothy T. Eleserve

zación y abstracción como aspectos significativos del desarro 110 de la matemática son reconocidos, en general, por lo menos superficialmente. Estos puntos de vista proporcionan una base para las discusiones informales respecto a las relaciones entre las geometrias de la jerarqula, asl como para considerar las consecuencias de alivianar los supuestos delageo metria euclideana. El desarrollo de la geometrla euclideana que se obtiene mediante el agregado sucesivo de condiciones restrictivas a los axiomas de la geometría proyectiva, pueden proporcionar, también, una comprensión mucho más amplia de la naturaleza de la geometría euclideana como de la geometrla en general.

La geomtia en &h exptienti humanaA

Los profesores de geometria necesitan estar familiarizados con los numerosos ejemplos de figuras geométricas y relaciones que existen en su medio ambiente. Ellos deberlan, tam bién, ser capaces de puntualizar una amplia variedad de tale; ejemplos, para estimular y motivar a sus alumnos. Los siguien tes ejemplos merecen una particular consideración: el interés estético en el rectángulo dorado y su uso extensivo en arte y en arquitectura; el papel de las secciones planas en el estudio de la biologla; el desarrollo de la perspectiva y como se emplea para centralizar la atención del observador sobre laca racteristica primaria de una pintura y en escenas tomadas de la naturaleza asi, como también, del uso deliberadamente dis- torsionado que se hace en algún tipo de arte moderno para pro ducir un efecto discordante; la forma hexagonal de las celdiz llas de un panal de abejas; el uso de principios geométricos en el desarrollo de distintos tipos de mapas, carreteras,puen tes, etc.; los sólidos geométricos que se pueden identificar- en la cristalografia; las aplicaciones de la geometrla en la fotografla, incluyendo la elaboración de impresos; la variedad de principios geométricos que se usan en la exploraciónes pacial, en los deportes y en el desarrollo urbano; y la aso: ciación de las geometrías euclideana, elíptica e hiperbólica, respectivamente, con las tres teorías básicas con respecto al futuro del universo en que vivimos.

Conclusión

La preparación fundamental y adecuada de los docentes en geometrfa no puede quedar reducida a un único curso de forma- ción en un instituto de enseñanza superior o a uncursouniver sitario. En cambio, los futuros docentes debenser conscientes

La formacibn de docentes y la enseñanza de geometrla 225

del contenido geométrico y de las aplicaciones potencialesen cada uno de sus cursos de nivel terciario. El uso de los pro cedimientos geométricos, representaciones e interpretaciones en el estudio del cálculo, álgebra lineal, probabilidades,es tadística, historia y fundamentos de la matemática y otro9 cursos (no necesariamente en matemática) proporcionan una ba

- se invalorable para cursos especializados de geometrfa.

No se ha desarrollado, aún, un curso o conjunto de cursos, a los que se les reconozca, ampliamente, que proporcionan una base adecuada para los futuros profesores de geometrfa. Hemos descrito brevemente algunos de los temas que se han usado, con efectividad, en cursos para profesores de geo metrla. Nuestra selección de temas refleja nuestra preocupa- ción por el tratamiento, tanto formal como informal,de geome trIa en las escuelas y por el uso de una amplia variedad de enfoques en la enseñanza de la geometrfa.

Referencias

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Wirszup, Izaak. 1976. Breakthroughs ín the Psychology of Learning and Teaching Geometry. Space nnd Geometq. Co- lumbus, Ohio, ERIC Center.

* * *

CURSOS DE GEOMETRIA PLANA PARA LA ESCUELA SECUNDARIA BASADOS EN EL MICROCOMPUTADOR

.Max S. Bel1

Introducción

Son bien conocidos los efectos revolucionarios producidos, desde alrededor de 1950, en las sociedades industriales por los grandes computadores, capaces de realizar un gran nú mero de tareas. Como lo predijeron Hamming y otros, hace yã algunas décadas, estos efectos se extendieron mucho más allá del simple hecho de procesar más rápidamente una mayor canti dad de información (Hamming, 1963). Sin embargo, y hasta ei presente, los computadores de gran porte han tenido un impac to directo muy débil sobre la enseñanza de la matemática escolar.

Pero mucha gente cree, ahora, que la difusión siempre creciente de los poderosos y relativamente poco costosos microcomputadores pueden rivalizar, en el mundo exterior de la escuela, con los efectos revolucionarios de los computadores de gran versatilidad. Yo creo que los microcomputadores pueden constituir, también, un hecho revolucionario en la vida de las escuelas y, en particular, en la enseñanza de matemá- tica. Pero, y excepción hecha de unos pocos y poderosos pro gramas generales (por ejemplo, el Logo) y de algunas actividades del tipo de juegos con alcance limitado, los programas y los procedimientos que pueden ser útiles para la enseñanza de la matemática escolar han sido muy escasos y se han centrado, en gran medida, sobre las habilidades de cálculo re- sultando, en general, de pobre calidad. En muchas escuelas se están empleando microcomputadores en la tarea de "alfabe tizar en computadores" o de programar con los lenguajes BA- SIC o PASCAL, pero estas actividades alcanzan,solamente, una relevancia tangencial para la enseñanza de matemática. Apar- te de esto, la revolución del microcomputador seguirá, segu- ramente, el camino que han seguido otras innovaciones tecno- lógicas tales como el cine, la televisión, los computadores y las calculadoras de gran tamaño y que han resultado, ensuto talidad, inoperantes o ignoradas en la enseñanza, aún cuandõ llegaron a constituir hechos que impregnaron la vidafuerade las escuelas.

228 E!ax S. Bel1

Durante los últimos veinte meses he estado dirigiendo un pequeño equipo de docentes, de programadores y de especialistas en educación matemática, interesados en el desarrollo de un curso general de geometria plana para escuela secundariaba sado en el empleo de un microcomputador (1). El equipo ayudd también, a desarrollar un importante programa lateral de geometrfa para matemática de escuela primaria basado en un microcomputador. Dado que este curso es uno de los primeros cur sos escolares basados de manera tan amplia en el microcomputã dor, puede resultar instructivo describir sus resultados as? como los procedimientos mediante los cuales se lograron. Pre sentaré entonces, en las páginas que siguen, algunas de las convicciones que guiaron nuestros esfuerzos proporcionando, a la vez, un contexto que les sirva de marco de referencia,dis- cutiendo el estado actual de la enseñanza de geometría en la escuela secundaria en los Estados Unidos de América. Describí ré, después, el contenido y las características del soporte % gico -es decir, los programas y los procedimientos- de nues tro método de enseñanza de geometría basado en el microcompu= tador. Yo creo que estos programas evidencian el hechodeque programas y procedimientos, de relativamente poco costo, desa rrollados en microcomputadores de costo también relativamente bajo, pueden proporcionar, efectivamente, experiencias convin centes de aprendizaje a nivel de escuela primaria y secunda-- ría que pueden integrarse en el desarrollo de un currículo ge - neral de geometrfa.

Algunos principios de desarrollo

Se presentan aquí siete convicciones relativas a recursos utilizables en la enseñanza de matemática basados en el computador y que son los que han guiado nuestros esfuerzos ex - perimentales:

En lo que concierne a la educación matemática debemostra tar de asignar a los computadores aquello que puede ser mejor realizado con su intervención, pero debemos continuar,también, trabajando sobre la mejora de los textos y ayudando a los docentes para que su labor resulte más eficaz. Esto es, debe- riamos adherirnos a las normas estrictas de una "tecnologfa a -

(1) El curso, sus programas y los nombres "Geodraw" y "Proof- checker" son propiedad literaria de WICAT System, Orem, Utah, que es donde se han desarrollado la investigación y el programa.

Cursos de geometrla plana para la escuela secundaria basados en el microcomputador

?29

propiada", empleando computadores solamente en aquellos casos en los que resulten eficaces, tanto desde el puntodevis ta pedagógico como en relación a su costo. Por ejemplo, 10s computadores resultan pobres sustitutos de las calculadoras de mano y su costo es bastante más elevado; la presentación impresa sigue siendo más efectiva sobre papel que sobre una pantalla de televisión; y una gran variedad de dispositivos se mantienen, por lo menos, tan efectivos en proporcionar en trenamiento en "habilidades básicas" como lo hacen en forma más onerosa los microcomputadores. Todo dispositivo de apren dizaje basado en el computador debería reflejar nuestros pun tos de vista profesionales más correctos respecto a loquees importante aprender en matemática y a las aplicaciones de lo que se aprende. Y deberian enseñar, como mfnimo, conceptos matemáticos bien fundamentales y no limitarse a proporcionar algún conjunto de artificios para obtener resultados.

Los instrumentos de aprendizaje basados en el computador deberfan posibilitar a los estudiantes una retroalimenta ción apropiada, una sensación segura de control sobre su pro pío aprendizaje y un control real sobre muchas de las comp& jidades que presentan las manipulaciones matemáticas.Estoscg nifica, entre otras cosas, que gran parte delasexperiencias basadas en el computador deberfan ser realmente actividades de interacción con el que aprende, quedando relativamente po co de ellas con carácter de meras directivas, o instrucciones, o de tipo expositivo.

Es esencial trabajar, y por lo menos en igual medida,so bre la implementación efectiva -en las escuelas actuales- de materiales didácticos basados en el computador como conelde sarrollo mismo de los computadores y del soporte didáctico que ofrecen.

A la vez de continuar mejorando tanto como sea posible la experiencia matemática escolar, se deberla considerar,tag bién, cuanto de la enseñanza de matemática podria transferir se, a través de los microcomputadores, al hogar, a los lugaz res de trabajo o, aún, a otros lugares. Y si bien estoes e- sencial como apoyo para la educación continua de aquellosque ya han dejado la educación formal, resulta también importante para muchas personas que están todavfa en las escuelas o en instituciones de nivel superior. En realidad, este curso de geometría está destinado al uso en los hogares, además de las escuelas.

230 Max S. Bel1

Los propios computadores son sistemas limitados, suje- tos a normas que no difieren de los sistemas matemáticos que enseñamos a los alumnos más jóvenes. Yo creo, por ejemplo, que los estudiantes aprenderán tanto trabajando dentro de las limitaciones fundamentalmente axiomáticas que imponenel uso de nuestros programas desarrollados en el Geodraw y en el Proofchecker, como trabajando de acuerdo al contenido de los propios cursos de geometrPa. Y debería explotarse este aspecto de la instrucción basada en computador en todas las oportunidades posibles. Aunque estos cursos de geometrla no tienen la intención de ser "profesionales", puede reconocer se que nuestro programa Geodraw presenta semejanzas con algunos usos industriales de gráficas con el computadordelos programas de diseño asistido por computador (CAD). Conviene señalar, una vez más, que deberlan tenerse en cuenta y explotarse, en toda oportunidad que lo permita, los vínculos que la instruccián basada en computador puede tener con su empleo en el mundo real.

La geometrfa escolar en los Estados Unidos de América

A partir de 1965, aproximadamente, el curso corriente de geometria en los Estados Unidos de América ha sidouncuz so de geometrfa plana euclideana en el que se enfatizan las demostraciones sintéticas basadas en postulados "métricos" relativos a la medida de longitud y de ángulo. Este curso tipo deriva del Curso de Geometría Escolar, diseñadoen por el School Mathematics Study Group (Moise, 1960), el que está basado, a su vez, en los postulados de carácter métri- co introducidos por G.D. Birkhoffen los años de 1930 (Birk- hoff y Beatley, 1940). Todos los textos para los cursos de geometria plana en los Estados Unidos de América tenían el mismo contenido básico, presentando definiciones cuidadosas y postulados métricos explícitamente formulados, conjuntamente con una dependencia muy marcada de demostraciones desarrolladas a dos columnas. La mayoria de estos libros presentaban, también, una breve introducción a la geometría a nalítica y, en la actualidad, una gran mayorla incluyeunca pitulo sobre transformaciones. La mayor parte de los textos que se apartaron de manera apreciable de esta norma no so- brevivieron en el mercado. Este curso se toma, normalmente, en el décimo grado.

Menos de la mitad, aproximadamente, del total de estudiantes de escuela secundaria en los Estados Unidos de Amé- rica siguen un curso orientado hacia la demostración,y me-

Cursos de geometrfa plana para la escuela secundaria basados en el microcomputador

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nos de la mitad de los que siguen alguno de estos cursos a- prenden a hacer demostraciones geométricas no triviales. Un informe reciente establece que, de la totalidad de estudiantes de escuela secundaria de los Estados Unidos de América: 47 por ciento no toma geometria; 6 por cientotomangeometrfa pero abandonan la escuela antes de la terminación del curso; 7 por ciento están matriculados en cursos de geometríasinde mostraciones; ll por ciento estudian demostraciones, pero no pueden hacer nada con ellas; 9 por ciento pueden hacer solamente demostraciones triviales; 7 por ciento logran un éxito moderado con las demostraciones; y 13 por ciento tienen éxi- to con las demostraciones (Usiskin, 1982).

La investigación realizada por Usiskin y por SharonSenk (en prensa) muestra, también, que la mayorfa de los estudian tes que se matriculan en el curso corriente de geometrfa coz mienzan con una baja comprensión de los conceptos geométri- cos básicos. Por lo tanto, no tienen la preparación mínima necesaria para seguir un curso orientado hacia la demostra- ción. Con este panorama y con una carencia creciente,en los Estados Unidos de América, de docentes bien formados en geometrla, no resulta sorprendente constatar que existe una ten dencia a ofrecer cursos de geometría que abandonan, virtual= mente, la intención de enseñar demostraciones.

Sin algunas nuevas iniciativas, puede que los cursos de geometría escolar orientados hacia la demostración se hagan muy raros en los Estados Unidos de América dentro de la pró- xima década. Y, en efecto, desde comienzos de 1960 han apare cido fuertes defensores de la tesis de que es esto, precisamente, lo que d&eMa suceder y que, con ello, se reemplaza- rla el énfasis que se ponla sobre las demostraciones con otros enfoques de la geometría como ser el empleo de coordenadas, las transformaciones y los vectores.

Por otra parte, el énfasis que ponla el curso corriente de geometria sobre la definiciõn cuidadosa y sobre la demos- tración, hace de este curso la primera experiencia "matemáti ca" verdadera para muchos estudiantes. Muchosmatemáticos pro fesionales y muchos usuarios de la matemática aseguran que la geometrla fue su despertar inicial a la matemática yasus posibilidades, aspecto que constituye una función a cumplir por eccurso y que es, desde todo punto de vista, muy importante. Para aquellos que tuvieron éxito en el curso, éste les proporcionó una preparación pertinente para trabajos paz teriores en matemática: intuición espacial, lógica, demosto ción, resolución original de problemas y, aún para algunos, geometría analitica y transformaciones.

232 Max S. Bel1

Puede decirse que las insuficiencias del curso corriente de geometria de escuela secundaria están, probablemente, más allá del control de la mayoría de los docentes quelotie nen a su cargo. La enseñanza de matemática a nivel de esc& la elemental en los Estados Unidos de América ignora,en gran medida, la geometrfa. Como consecuencia, muchos estudiantes carecen de la intuición geométrica que resulta esencial para poder construir una estructura de definiciones, de axiomas y de teoremas. En la mayoria de tales cursos, la gran variedad de niveles de preparación y de habilidades de los estudiantes enfrenta a los docentes con grandes dificultades. Muchos estudiantes necesitan una retroalimentación adecuada a medida que aprenden a construir demostraciones, pero un poco de aritmética nos muestra que tales elementos no deben ser fre- cuentes.

Considérese, por ejemplo, un profesor que tiene asucar go solamente 60 estudiantes de geometría y que se propusiese dedicar tres minutos por día, en promedio, a cada estudian te para examinar, digamos, una demostración por día fuera de las horas de clase. Esta tarea le requerirla tres horas día rías, lo que no es posible para la mayoría de los docentes. Tengamos presente, además, que la geometrla es una materiaen gran medida visual, pero resulta diflcil presentar ilustraciones gráficas adecuadamente ricas y precisas disponiendo ú nicamente de tiza y pizarrón o de reproducciones materiales- de bajo costo. Sin embargo, resulta diffcil paralos estudian tes "ver" los elementos claves, sobre los que deben centrar- su atención, si no disponen de representaciones gráficas ade cuadas. Como consecuencia de ello, se combinan una pobre pre paración del estudiante con pobres tecnologías pedagógicaspa ra producir cursos que resultan también pobres, aún enelmar - co de una enseñanza competente.

La geometría de la escuela secundaria en los Estados U- nidos de América está, en resumen, en estado de profundapreo cupación. Pero es una materia que muy bien merece el esfuer: zo de replantearse y de hacerla más accesible a muchomás gen te de lo que lo es en la actualidad. Y para lograrlo se nece sitan: nuevas técnicas de enseñanza que puedan proporcionar, bajo el control del usuario, un número mayor de figuras diná micas con mayor nitidez; una introducción más gradual a 1aS artes de la demostración; una práctica más amplia con las de mostraciones, apoyada con las correcciones correspondientes- y con una retroalimentación adecuada; contenidos y enfoques más variados de la geometría; y mecanismos que permitan que los estudiantes que necesitan más tiempo para el aprendizaje puedan disponer de él. Nuestro propósito fue,entonces,veren

Cursos de %eonetsla plana para la escuela secundaria basados en el microcomputador

233

qué medida un curso de geometría basado en el computador po- dría encontrar la forma de contemplar estas posibilidades pa ra la enseñanza.

Descripción general del sistema WICAT de geometrfa

En la sección siguiente se describen detalladamente los dos principales programas utilitarios, así como la forma como se utilizan en el desarrollo de las lecciones. En resumen, el curso está dividido en dos partes; cada parte está dirigí da a apoyar varios meses de trabajo; cada una tiene dos subr temas; y cada parte está apoyada por una guía impresa. He aquí un resumen:

Geomtia 1: ConcepXoh bábicoh y cotihucci6n de abtmab

la. Parte: Curso breve de geometría intuitiva. En esta parte, las actividades cubren, esencialmente, todoel contenido corriente de geometría plana de la escuela secunda ría. El enfoque, que es informal, utiliza las gráficas abun- dantes del Geodraw que están diseñadas, precisamente,para in teractuar con el alumno. La linea principal de desarrollõ busca hacer accesible los cursos de geometría de enseñanza secundaria para los estudiantes con menor preparación. Se in cluyen exploraciones y problemas que resultan interesantes aún para los estudiantes mejor preparados.

2a. Parte: Construcción de microsistemas de geometría. Esta parte de Geometrfa 1 presenta actividades de razonamientogeo métrico dirigidas a solicitar a los estudiantes la construc- ción y la utilización de "microsistemas" basados en los diversos subsistemas de nuestro programa Geodraw. El fácil ac ceso a transformaciones (traslaciones, rotaciones, simetrfas) facilita secuencias de demostraciones "localmente rigurosas" las que, 8 su vez, proporcionan apoyo para poner el énfasis sobre pruebas sintéticas de tipo corriente en Geometría 2.

GeomMa 2: UemoaDumLoned y ampticionti

la. Parte: Demostraciones sintéticas en geometría plana. Esta parte del curso cubre la parte de contenido de los cursos escolares referente a las "demostraciones sintéticas" y confiamos que en ella se presenten formas mucho más efecti-

234 Msx S. Bel1

vas para lograrlas que las que se conocen normalmente. Pro- porciona, también, oportunidades para ejercitarse en la ló- gica corriente que sirve de fundamento a las demostraciones deductivas. La guía impresa contiene instrucción relativa a la heurística para la búsqueda de demostraciones.

2a. Parte: Ampliaciones y alternativas. Esta parte desarrolla los conceptos básicos de la geometría analítica. En una sección de la guía impresa se presentan sugerencias para realizar exploraciones más amplias respec- to a transformaciones, entre otros temas, bajo el titulo de "Problemas y recreaciones".

Pueden utilizarse nuestros programas de geometría con el microcomputador de 128 K (kilobyte) de IBM PC Jrs. (y con otros microcomputadores IBM compatibles con él) con apz nas un byte (posición de memoria) sobrante. Cada una de las partes Geometría 1 y Geometría 2 están almacenadas en dos "diskettes" de 360 K -cuatro "diskettes" para la totalidad del curso- con aproximadamente un tercio de la capacidad de almacenamiento para el código del programa y el resto para los datos que permiten las diversas actividades del curso. Esto significa, por un lado, una economía notable lograda por programadores competentes y, por otro lado, constituye una respuesta a casi toda pregunta, que podría formular un lector, relativa a las razones de por qué no se dispone de esta o de aquella función adicional ya que la razón de ello es la falta de espacio. Estas limitaciones deespaciopueden desaparecer, a la brevedad, conjuntamente con la disponibi- lidad de programas, aún más completos, para microcomputadores que costarán, probablemente, menos de los 700 dólares que cuestan, en la actualidad, los citados más arriba (enero, 1985>, para poder atender el sistema en su totalidad, con conductor de disco y con monitor de color que se adapte a nuestros programas de geometría.

Los programas principales: Geodraw y Proofchecker

Los programas son los que posibilitan las innovaciones de instrucción en los cursos de geometría del WICAT:

1. El programa denominado Geodrau le permite al usuario un control considerable sobre la construcción ylatrans formación de figuras geométricas. Si bien existen otros pro gramas gráficos ricos en posibilidades para desarrollar con

Cursos de geometrla plana para la escuela secundaria basados en el microcomputador

235

el microcomputador, el Geodraw puede ser único en relación a la extensión con la que modela, en forma explícita -a través de sus subsistemas de Construct (construir), Transform (tranz formar) y de V-Draw (dibujar-V) con Measure y Axes (medida y ejes), presentaciones de geometría contemporánea de tipo corriente. El Geodraw, que se emplea en actividades desarrolla das a lo largo de todo el curso, está siempre disponible,taE bién, para realizar las exploraciones espontáneas que puedan ocurrírseles a los usuarios, a la vez que sostiene un importante ramal para geometría dentro del Programa de Matemática Elemental del WICAT.

2. El programa Proofchecker verifica la corrección lógi ca y sintáctica de las demostraciones sintéticas quelosusua ríos introducen en el sistema. Hasta lo que nosotros conoce= mos, esto no fue realizado en ninguna otra parte: sinél,nues tro curso de Geometría 2 seria completamente diferente de su versión actual.

Los programas son más fáciles de emplear que de explicar, no obstante, me referiré, en las pocas secciones que si g-n, a varias de sus características y a las actividades ei pantalla que estas características posibilitan.

El programa Geodraw

Teclas de funciones especiales del Geodraw

Se le asignan funciones especiales a las teclas situa- das en la fila superior (la fila de números) del teclado del microcomputador, funciones que intervienen en todos los subsistemas del Geodraw. Sobre la lfnea superior aparece una tira de cartón impresa que permite identificar cada una de estas funciones especiales. Esta colección de funciones para "el manejo de la casa" está siempre en actividad en el programa Geodraw y los nombres de sus teclas aparecen abajo en letras mayúsculas. Los usuarios pueden mover un cursoralas posiciones RAPIDO, MEDIO o LENTO con teclas de flechas; LIM- PIAR la pantalla, CUBRIR las figuras cerradas con alguno de los cuatro colores; designar los puntos con letras o con ETL QUETAS para sus coordenadas; MEDIR todo segmento o todo ángg lo visible en la pantalla; y DESHACFR todo lo hecho. Pudimos comprobar que la función DESHACER estimula un enfoque experi mental de las construcciones ya que si los usuarios presionan una tecla equivocada, o si lo que terminan de agregar a una construcción parece equivocado, la función DESHACER les permite volver un paso atrás e intentar nuevamente.

276 Nax S. Bel1

Si se presiona la tecla asignada a MARCOS DE REFERENCIA, aparece un "menú" en el fondo de la pantalla, tal como se muestra en la Figura 1.

VEXPLORE: When finished, press SKIP .m . .

. . .

. .

Figura 1 - Lista de MARCOS DE REFERENCIA del Geodraw y muestra de ejes.

Si los usuarios presionan la S para obtener "Square -1aL tice", por ejemplo, se les pedirá que especifiquen la distancia a que deberían ubicarse los puntos, a escala dada,con una separación de 30 "pixels". (Un "pixel", palabra que designa a "elemento de imagen", representa la menor parte de una pantalla monitora que actúa bajo el control del computador:en nuestros programas, por ejemplo, 1/320-ava parte de la dimen- sión horizontal de la pantalla). En base a la información da da, se inserta sobre la pantalla una formación cuadradadepuñ tos, y los usuarios tienen la opción de limitar el movimientõ del cursor solamentea aquellos puntos o de dejar que el cursor se mueva libremente a cualquier punto de la pantalla. El rótulo "Circle lattice" incita (es decir, pide al usuario) a determinar el número de puntos equidistantes que tienen que marcarse en una disposición circular. "Grid" pide la separa- ción de una disposición cuadrada de rectas, e "Iso-1attice" pide la separación de puntos equidistantes (es decir, los véL

cursos de geme~rfa plana para la escuela secundaria basados en el nicrocomputador

237

tices de triángulos equiláteros). Accionando "Axes" se obtie nen dos efectos: hacer aparecer sobre la pantalla un sistema de coordeandas rectangulares con la unidad requerida marcada sobre los ejes, y todas las visualizaciones de medidas o de coordenadas responden como si aquella unidad fuese la unidad de medida en lugar del "pixel" usual. 1.a Figura 1 muestraun ejemplo de ello.

La Figura 1 ilustra, también, respecto a nuestra solu- ción al problema de cómo posibilitar la introducción de grá- ficos sin agobiar a los usuarios con docenas de instanciasde presionar secuencias especiales de teclas que deben aprender se o retenerse de memoria. Nosotros contamos, inicialmente,- con un agregado especial de teclas, con muchas teclas, para rotular y para asignar en la forma que se quiera. Cuando que dó probado que esto resultaba poco práctico, tomamos del leñ guaje de programación PASCAL la idea de asignar cada funcióñ especial a alguna letra de tecla dentro del teclado regular: dimos, después, un paso más teniendo siempre en pantalla “me nus" con la letra pertinente destacada. Parece que este recurso hace a nuestros programas de muy fácil utilización.

La linea inferior de la pantalla, tal como se muestraen la Figura 1, recuerda a los usuarios el sistema general de funciones disponibles.

Una visión general del programa Geodraw

El Geodraw está integrado por tres subsistemas principa les, conjuntamente con las funciones especiales que se han descrito más arriba y con capacidad para visualizar enlapan talla los marcos de referencia enumerados en la Figura 1. y fue diseñado para poder reflejar las diversas formas en que pueda organizarse la Geometria Plana, a saber:

1. "CONSTRUIR", que permite construir modelos de la geo metrla euclideana estándar que hemos conocido durante siglos: cuando se emplean con "MEDIR" permiten reflejar la moderniza ción de la geometría euclideana operada durante elsigloveiñ - te.

2. "DIBUJAR-V" con el que se modela de forma distinta la construcción de polígonos; puede emplearse, también, para modelar el enfoque vectorial de la geometría.

238 Nax S. Bel1

3. "TRANSFORMAR", con el que se puede modelar el enfoque de transformaciones de la geometría.

4. "CONSTRUIR", usado con "EJES",permite modelar un enfoque de la geometría via coordenadas.

El subsistema "Construir"

La Figura 2 muestra una visualización tipica en pantalla para el subsistema "Construir" del Geodraw. Se activaca da una de las funciones de dibujo presionando la letra sobre el teclado que aparece impreso en mayúscula y de forma desta cada en el "menu"que aparece en la parte inferior de la pantalla. Por ejemplo, si se presiona la P de "Point",se marca un punto dondequiera que el cursor esté sobre la pantalla, y aparece designado, a la vez, con la próxima letra disponible del alfabeto de cincuenta y dos letras. Se dispone, en total de cincuenta y dos letras, entre mayúsculas y minúsculas, pa ra designar puntos. Una vez entrados los puntos con su letra respectiva, el usuario puede dibujar las otras figuras indi- cadas respondiendo al "aviso" que aparece cuando se presiona la tecla con la letra apropiada. Por ejemplo, el aviso que aparece después de presionar Y para "r-ay" es "Rayo del punto

al punto ", y se dibuja el rayo cuando el usuario 11~ Tadecuadamez los blancos (o huecos) que aparecen en el a - viso.

IEXPLORE : When finished, press SKIP.4

‘f

Figura 2 - Subsistema CONSTRUIR del Geodraw menu y muestra de figuras.

Cursos de geolretría plana para la escuela secundaria basados en el microcohputador

239

La tecla "N-gen" indica el número de lados. Cuando el usuario acciona esta tecla, se dibuja un poligono regular cu yo centro aparece dondequiera que el cursor esté sobrelapa; talla y con un "radio" de 40 pixels; y ese centro se designa con la próxima letra disponible del alfabeto. La tecla "Cir- cle" avisa la aparición de un centro y de un radio."Midpoint" produce los puntos extremos de un segmento, mientras que "an gle" produce un rayo inicial y la medida de un ángulo. Lã tecla "aRe" simula un compás como respuesta a un aviso previo de un centro y de un radio, asi como el punto donde iniciar el arco. Instruye, después, al usuario para que presio ne las teclas de flechas para dibujar cualquier longitud de arco que se proponga. "Line" tiene dos opciones: una indica ción pide dos puntos; y la otra pide un punto y una pendíen- te. La opción punto-pendiente, empleada con"Axes"provenien te de REFERENCE FRAMES, significa, obviamente, actividades dentro de geometría analItica. Presionando A para "pAralle1" se genera el aviso "Paralela a la recta por el punto 2; se tiene una situación análoga con E parppErpendicular".

El subsistema transformar

En la Figura 3 se muestra una pantalla típica para trans formaciones. Presionando las letras destacadas se activan los "avisos" para la función nombrada. Se diseñó este subsistema con la finalidad de enseñar los parámetros fundamentales para diversas transformaciones, pidiendo a los usuarios que respon dan a ellos en los "avisos". Por ejemplo, el aviso "Translaz te" pide al usuario que indique los puntos extremos de un vec tor traslación; el aviso "Scale" le pide el centro y el factor de escala; el aviso "Rotate" solicita el centro y la amplitud de la rotación; y el aviso "rEflect" pide designar dos puntos sobre el eje de simetrfa. La orden "pull" le indica al usuario que la recta fijada pasa al lugar en que se encuentra el cursor, cualquiera sea éste.Después pide se indique si se necesita un desplazamiento horizontal o vertical reclamando, también, un factor de escala. Dado que los efectos de los pa- rámetros para "sHear" no son suficientemente claros, el aviso les indica a los usuarios que la recta fija pasa por el cursor y que los verdaderos cortes (horizontales) se logran presionando las teclas de flechas.

En el caso de haber varias figuras en pantalla, es esencial especificar cuál de ellas será transformada. Se logra es ta discriminación con la función "Define" y se pide a los UE

240 b!ax s. Eell

[EXPLORE: Uhen finished, press SK1P.m

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Figura 3 - Subsistemas TRANSFORMAR del Geodraw, menú y muestra de figuras.

suarios que enumeren las letras asignadas a todos los puntos que deseen transformar, asignándole un número a cada uno de tales puntos. Los usuarios pueden, si lo desean, emplear el subsistema Construir para construir una figura cambiando,des pués, para el subsistema Transformar y Definir la figura que han construido pasando, finalmente a transformarla.

Presionando la K correspondiente a "Keep" se activa un aviso que pregunta a los usuarios si quieren retener sus pre imágenes 0 no. Por ejemplo, si se mantienen las pre-imágenes resulta fácil observar los efectos que producelacomposición de las sucesivas transformaciones.

"Point", "N-gen" y "Circle" responden de forma más o me nos igual a como lo hacen en el subsistema Construir. Se inz cluyen estas teclas, fundamentalmente, para que los usuarios puedan construir rápidamente figuras para someter a transfor maciones sin necesidad de recurrir al subsistema Construir.- Muchas de nuestras lecciones piden a los usuarios que comien cen con este o con aquel N-gon, y que después empleen transformaciones para obtener, como resultado, otras figuras de-

Cursos de gecaetría plana para la escuela secundaria basados en el microcomputador

241

terminadas. Asl, por ejemplo, el paralelogramo EFGH que apa - rece en la Figura 3 resulta de un cuadrado transformado con

Pu11 y sHear, sin conservar las pre-imágenes aparecidas.

También están disponibles en este subsistema las funcio nes del sistema general. Por ejemplo, los usuarios pueden eS pecificar Axes dentro de REFERENCE FRAMES explorando, des- pués, los efectos producidos por diversas transformaciones sobre las coordenadas de puntos eligiendo, para ello, la op- ción Coordenadas en la función LABELS.

El subsistema Dibujar-V

El subsistema DIBUJAR-V se parece a lo que se llama, a menudo, una "geometria tortuga", nombre con el que se conoce la "tortuga" en los programas LOGO, de manera que las funcio nes que se presentan en la Figura 4 pueden resultar, proba-- blemente, obvias para los lectores familiarizados con la ím- plementación del LOGO.

La designación DIBUJAR-V es un doble juego de palabras, primero respecto a la forma V de nuestro cursor de dibujo, (que necesitamos que sea claramente direccional) y, en segun do lugar, que contemple nuestra intención de enfatizar que los vectores constituyen los elementos básicos. Se dibujan estos vectores determinando la dirección con los términos "De recha" o "Izquierda" e indicando la distancia con la palabrã "Go". Toda figura que se dibuje en el subsistema DIBUJO-V, está construida con estas vectores, o con segmentos. "Point" designa un punto en el cursor; "pEn" es un interruptor de pa lanca que determina si un trazo que es visible, o no, sobre la pantalla, se mantiene mediante el movimiento del cursor; "Send" hace aparecer una denominación de punto, llevando,des pués, el cursor a dicho punto; "Hide" es otra palanca que hã ce visible o invisible al cursor; "Flip" gira en 180" al CUT sor para que pase de una dirección a la opuesta. Por lo tan- to > Go con Flip resulta equivalente a la mayor-fa de las ejecuciones LOGO de "adelante" y "atrás".

En muchas ejecuciones LOGO no aparece claramente indica da la,métrica para distancias. Resulta difIci1, también, decir en qué dirección está señalando el cursor, de manera que puede ser necesario recurrir a tanteos para averiguar si el cursor "peri"" está dejando, o no, un trazo sobre la pantalla. La información que aparece a la derecha en la parte inferior

242 Nax S. Bel1

Figura 4 - Subsistema del Geodraw, menú y muestra de figuras.

de la Figura 4 tiene por finalidad corregir estos problemas; se indica, con ella, la marcha antihoraria del cursor a partir de la posición horizontal. Señala, además, la longitudde 30 pixels sobre la pantalla monitora y muestra sí la pluma está dejando, o no, un trazo, así como la situación del Hide.

Presionando la D para la ejecución "Defer",los usuarios pueden determinar un procedimiento, con una serie de órdenes de DIBUJAR-V y pueden, también, hacer ejecutar esa lista tan tas veces como quieran. Por ejemplo, la serie "Go 80, left 90, ejecute 4 veces" origina un cuadrado con lados de 80 pixels de longitud. En la Figura 4 se muestra otra serie y sus resultados. Y, como en otras ejecuciones de la geometría de la tortuga, esta presentación proporciona gran parte de la gracia y del interés en el DIBUJAR-V y resulta, quizás, una introducción tan buena como cualquier otra al empleo de lenguajes simples de programación.

Las funciones del sistema estándar están disponibles en el DIBUJAR-V. Por ejemplo, con Axes provenientes de REFEREN- CE FRAMES y con Coordenadas provenientes de LABELS, se hace posible explorar algunas cuestiones corrientes relativas a vectores, como ser las sumas de vectores.

Cursos de geometrfa plana para la escuela secundaria basados en el microcomputador

Actividades en Geometría 1 empleando el programa Geodraw

Existen, por lo menos, dos maneras para emplear programas efectivos, como el Geodraw, en la enseñanza de geometría. Una forma es considerar los programas disponibles como instrumentos a emplear por los mismos usuarios, integrados con instrucciones escritas y con tarjetas de trabajo o folletos de trabajo conteniendo sugerencias para implementar activida des de aprendizaje que exploten las posibilidades que preseñ tan los programas. Otra vla es disponer de lecciones presentadas en pantalla dedicadas a tratar conceptos particulares para categorlas, también particulares, de alumnos y presentz das en el computador -tanto como sea posible- como un curso completo. Y fue, precisamente, esta última opción la que se eligió para los cursos WICAT de Geometría.

Nuestros programadores elaboraron un programa autoriza- do que vincula una variedad de interacciones en pantalla para los diversos 'usos del Geodraw; secuencias de presentaciones ílustradas con dibujos; secuencias de preguntas de elec- ción múltiple y respuestas para completar; secuencias tuto- riales que indican a los usuarios que presionen teclas deter minadas en un orden también determinado; una secuencia ínge= niosamente programada que explora la pantalla para verificar sí las figuras producidas por los usuarios son, precisamente, las que solicitaba la actividad en desarrollo; y secuencias de exploración en las que se pone a disposición de los usuarios todo el poder que puede desarrollar el Geodraw, Y que contienen, además, los resultados fínales no comprobados por el programa. Pero, aún con el poder de un tal sistema, resul ta difícil y demanda mucho tiempo incorporar enlosdisketteg del computador un curso completo de geometria; igualmente di fíciles resultan la edición y la revisión del programa. -

Como se indicó al comienzo de este artículo, la mayorla de los estudiantes en los Estados Unidos de América que se matriculan en un curso de geometría de escuela secundariahan tenido demasiado poca experiencia en la elaboración intuitiva de conceptos geométricos. En consecuencia, los primeros 2 tercios de Geometria 1 constituyen un tratamiento general de los hechos y de las relaciones comunes de la geometria escolar, dado que nuestra esperanza era poder asegurar que los usuarios llegasen a adquirir una comprensión intuitiva de, virtualmente, todos los axiomas y todos los teoremas de una secuencia de geometría orientada hacia la demostración (lo que constituye nuestra Geometria 2), antes de que ellos in- tentasen dominar, y en la debida forma, una tal secuencia.

24L P?ax S. Bel1

El último tercio de Geometría 1 intentaconstruirpuentes que permitan pasardel tratamiento informal de geometría, re- cién cumplido, a las demostraciones sintéticas formales de Geometr$a 2. Aquí, nuestro propósito es lograr una transi- ción que lleve al alumno desde el conocimiento de muchos hechos aislados relativos a geometria, a la organización de es tos hechos dentro de un sistema matemático coherente.El ernz pleo que hacemos de los "microsistemas" para lograr esta transición ya fue resumido en partes anteriores de este ar- tículo.

Actividades en Geometrfa 2 empleando el programa Geodraw

La mayor parte de la Geometrla 2 está dedicada a activi dades en las que los usuarios demuestran muchos de los teore mas estándar de geometrfa plana comprobando, a continuación~ la corrección lógica de sus demostraciones mediante nuestro programa Proofchecker. Se emplea el Geodraw para apoyar tales actividades. Por ejemplo, este programa porporciona una prueba de los prerrequisitos necesarios para cada unidad de demostración y ofrece, también, aplicaciones al final de cada una de tales unidades. El Geodraw presenta, también, una unidad sobre geometría analitica y proporciona la posibilidad de exploraciones adicionales, tal como se sugiere en la Gula como, por ejemplo, una verificación de que toda isome- tría puede obtenerse como resultado de la composición de simetrfas. El sistema Geodraw permite, también, la realización de actividades en Geometría 2 que proporcionan clases prácti cas relativas a la manera de utilizar el Proofchecker. Estas actividades presentan demostraciones estructurales como sí estuvieran comprobadas por el Proofchecker, pero en las que la tarea de los usuarios consiste en llenar blancos en nuestra prueba en lugar de intentar una composición original de toda la demostración.

El programa Proofchecker

Una visión general del programa Proofchecker

El programa Proofchecker posibilita la comprobación inteligente de las demostraciones entradas por los usuarios al microcomputador. No existe una "tecla" interior para la co- rección de cualquier demostración -cualquiera haya sido la secuencia de pasos que se hayan introducido; sí la demostra-

Cursos de ~eomctría plana para la escuela secundaria basados en el r.icrocomputador

245

ción es correcta será considerada como correcta por el Proof checker. En caso de que el diagrama presentado para una prue ba necesite "lineas auxiliares" adicional~?s, pueden dibujar- se estas lineas dentro del Proofchecker, ~7 sus atributos se hacen automáticamente, propiedades adicionales utilizables en la demostración. El Proofchecker proporciona, también, la po sibilidad de comprobación inteligente de la sintaxis de 1aS entradas. Por ejemplo, sí hay varios puntos sobre cada lado de un cierto ángulo de manera que se presentan varías maneras de designar el ángulo mencionando tres puntos, el Proof- checker aceptará como correcta (si es correcta!) cualquiera de las formas posibles de designarlo.

Formato a tres columnas del Proofchecker: demanda, referencia, orden

Las demostraciones sintéticas que aparecen, prácticamen te, en todos los textos de geometria para escuela secundari: en los Estados Unidos de América exigen que se presenten las demostraciones en la forma de "afirmación-razón", empleando dos columnas. En la primera columna se alistan las afirmaciones, y en la segunda se citan los axiomas, los teoremas o las definiciones que operan como la justificación lógica de la afirmación respectiva. Al principio, tratamos de imitar este formato a dos columnas pero, para validar los vlnculos lógicos entre "afirmación" y "razones", el Proofchecker nece sitaba, a menudo, indagar dentro de todos los pasos previos, Por ejemplo, sí se afirmaba que dos triángulos eran congruen tes y la afirmación estaba justificada por el criterio de igualdad lado-ángulo-lado como razón para la congruencia, el Proofchecker necesitaba encontrar en 12 prueba aquellos pasos previos que ya hablan establecido la igualdad de los pares pertinentes de lados y de ángulos. Y esto implicaba, a menudo, una tarea formidable de búsqueda y de verificación.Y para simplificarlo, decidimos solicitar a los usuarios que 1 dentificaran los pasos esenciales previos, lo que nos conduz jo al formato en tres columnas "Demanda-Referencia-0rden"que se emplea en el Proofchecker. Hemos llegado a pensar que esta innovación de introducir un paso intermedio que obligue a los usuarios a proporcionar referencias específicas para apc yar las vinculaciones entre demanda y justificación, deberla constituirse en una parte intrínseca de la instrucción escolar, aún cuando no se emplee nuestro Proofchecker. Esto ilus tra uno de los varios casos en los que,considerando las exigencias de una enseñanza confiable empleando computadores,nos conduce a ideas más generales para una didáctica eficaz.

246 t4ax S. Bel1

Empleo del programa Proofchecker

A igual que con el Geodraw, resulta más fácil utilizar el Proofchecker que explicar cómo se utiliza; en consecuencia, intentaremos una explicación presentando una serie de imágenes tipicas que podrian aparecer en pantalla en el desarrollo de una demostración real. Por ejemplo, la Figura

PLASTE0 DE PROBIE?!A

Dado: rABC Isósceles con AC = BC

Demostrar: LCAB =LCBA

Figura 5 - Cuadro de planteo de un problema en el Proofchecker.

5 muestra el planteo de un problema que los usuarios ven des- pués de seleccionar, dentro del "menu" del curso, el problema de demostrar el teorema Fons Asinom.

La Figura 6 muestra la pantalla sobre la quelosusuarios entran sus demostraciones, con un paso ya entrado y comproba- do; la referencia es respecto a un hecho dado y la "C" indica que la demanda era "copiado" directamente en vez de exigirjus - tificación en base a alguna regla.

cursos de geometría plana para la escuela serundaria basados en el microconputador

247

Dado: AABC isósceles con AC - BC

Demostrar: LCAB=LCBA

Figura 6 - Cuadro de demostración en el Proofchecker.

La linea de "aviso" en la parte inferior de la pantalla indica la existencia de dos ayudas para los usuarios. si los usuarios presionan la tecla HELP, se proporcionará un "plan", breve referente a una manera de hacer la demostración; aquí, podrla aconsejarse a los usuarios trazar la mediana respecto a la base y demostrar la congruencia de dos triángulos.Si los usuarios presionan la tecla DFUW, se visualiza una pantalla, tal como la que se muestra en la Figura 7, de manera que los usuarios pueden aceptar el asesorameinto ofrecido y trazaruna mediana, empleando Midpoint y Segment. Volviendo a la demos- tración, como se muestra en la Figura 8, la figura empleada en la demostración incluirá la mediana. El Proofchecker visua lizará la igualdad, agregará esta información a sus rutinas G ternas para comprobar la validez de los pasos en la demostra- ción. La Figura 8 muestra, también una demostración completa de la proposición.

Cada "orden" se introduce como un código. Y se hace nece saria hacerlo de esta forma ya que resultaría, obviamente,muy difícil entrar y comprobar el enunciado completo de proposicio nes. Los usuarios tienen siempre delante una "tarjeta de refe -

c

,/’ I 2 \ X

\ JI “p

del Proofchecker.

Dado: rABC isósceles con AC = BC

Demostrar: LCAB =LCBA .

c

/’

/ Il B

n completa en el Proofchecker.

Cursos de geometría plana para la escuela secundaria basados en el cicrocomputador

269

rencia" impresa, en la que aparecen enunciadas las justifica ciones de las proposiciones con sus códigos respectivos. ASO, en la Figura 8, AL 1 es el código para la regla algebraica que establece que todo número (medida) es igual a sf mismo,y LA 11 es el código para la definición de punto medio.

La Figura 9 ilustra una de las caracteristicas más importantes del Proofchecker. Dado que se acepta cualquier p& so que sea correcto, existe la posibilidad de construir una variedad de demostraciones. Se indica esta posibilidad mediante las dos demostraciones adicionales del Pons Asinorum, incluida en los pasos que muestra la Figura 9. El Proofchec- ker, no intenta la verificación de una demostración completa hasta que los usuarios entren END en el espacio de demandas, y hasta que hagan referencia a un paso que crean equivalente a lo que se tenla que demostrar. Si se hace esto correctamen te, el Proofchecker responde con cualquiera de las varias f& mas de QED. En el ejemplo que se muestra en la Figura, el u- usario podrla haber empleado, también, el paso 7 como referencia en la afirmación END (fin). DFNC (paso 5) y CG 30 (pg so 7) son códigos alternativos para la definición de triángu - los congruentes en la Tarjeta de Referencia.

Dado: AABC Isósceles con AC = BC

Demostrar: LCAB =LCBA

Figura 9 - Muestra adicional de demostraciones en el Proof- checker.

250 Max 5. Bel1

La Figura 9 muestra, también, la existencia de dos opciones adicionales para los usuarios: una salida impresa de la demostración si se conecta un impresor al computador, y una lista que contiene únicamente aquellos pasos que son realmente esenciales para la demostración, en caso en que los usuarios hayan incluido pasos innecesarios.

Usos del Proofchecker en Geometrla 2

Las unidades de demostración del curso Geometrla 2 del WICAT cubren el contenido estándar de un curso de geometría plana de escuela secundaria en los Estados Unidos de Améri- ca orientado hacia demostraciones: este curso incluye proposiciones básicas relativas a rectas y ángulos, rectas paralelas y perpendiculares, triángulos congruentes, cuadrilá teros y circulos. Y, como se señaló más arriba, se enseñan algunas de las primeras demostraciones mediante las rutinas de "complete los blancos"y "comentarios" delsistemaGeodraw. La mayor-la de las demás demostraciones se hacen conelProof - checker.

La versión actual del Proofchecker puede tratar solamente con demostraciones directas, ya que sus capacidades para la comprobación algebraica son, todavía, inadecuadas. Recurrimos al métodos de "complete los blancos" cuando se trata de demostraciones que el Proofchecker no puede compro - bar.

A diferencia del Geodraw, el Proofchecker constituyeun programa con un cierto grado de dificultad en su empleo. Pe ro, y como el Geodraw, sus exigencias de entrada son, toda- vla, superiores a las de otro sistema lógico en lo que se refiere a las posibilidades que brinda a los usuarios para poder aprender, desde el comienzo, el sistema de geometrla plana. Como ya se señaló, creemos que enfrentándose con estos programas y explotando su potencialidad se puede ense- ñar tanto respecto a la construcción de sistemas como lo ha ce la misma asignatura de geometria, pero ésta es otra área para la investigación más bien que para hacer conjeturas.

Cursos de geomerrfa plana para la escuela secundaria basados en el microcomputador

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Referencias

Birkhoff, G.D.; Beatley, R. 1940. Basic Geometry. Chicago, Ill., Scott, Foresman & Co.

Hamming, R.W. 1963. Intellectual Implications of the Com- puter Revolution. The Ameritan MathematicaZ Montly. (Washington, D.C.), Vol. 70, pp. 4-11.

Moise, E. ycolb. 1960. Geometry. Stanford, Calif.The School Mathematics Study Group.

Senk, S.L. (En prensa). How Well Do Students Write Geometri - cal Proofs? The Mathematics Teacher ,Reston,(Va.).

Usiskin, Z. 1982. Van Hiele Leve& and Achievement in Secon dary SchooZ Geometry: Fina2 Report of the Cognitive De- velopment and Achievement in Secondary School Geometry Project. El autor, The University of Chicago,0 ERIC Document Reproduction Service No SE 038813.

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NOTAS BIOGRAFICAS

HICHAM BANNOUT obtuvo un doctorado en educacibn matemáticaen la Universidad de Parfs VII (Jussieu). En la actualidad ti2 ne a su cargo la educación matemática y la formación inicial de profesores de matemática de educación secundaria en la Fa - cultad de Educación de la Universidad del Líbano.

MAX S. BELL es Profesor Asociado de Educacibn Matemática en la Universidad de Chicago, Chicago, Illinois, Estados Unidos de América. Tiene experiencia en la enseñanza con niños, con adolescentes y con adultos y sus intereses se centran en el mejoramiento de la instrucción matemática a todos los niveles. Sus investigaciones, sus trabajos de implementación y sus publicaciones se han concentrado en hacer accesible la matemática a la mayor cantidad de gente, en hacer de las a- plicaciones de matemática un énfasis viable en la instrucción escolar y sobre las posibilidades no explotadas de los niños de escuela primaria. Es actualmente Director del proyecto de geometrfa de WICAT Systems, Inc. y es también Director del proyecto de escuela primaria del University ofChicagoSchoo1 Mathematics Program (UCSMP).

ALAN BISHOP obtuvo su B. Sc. en Matemática y FZsica en la U- niversidad de Southampton en 1961. Se formó como docente en el Loughborough College asistiendo, después, a la Graduate School of Education de la Universidad de Harvard, donde obtu VO un Master of Arts in Teaching. Después de enseñar y hacer investigación en las escuelas americanas, regresó al Reino 1 nido y tomó un cargo de Investigador Asociado en el Institu- to de Educación de la Hull University donde obtuvo su Ph. D. En 1969 se trasladó a Cambridge donde ha sido, desde entonces, Conferenciante Universitario en Educación Matemática.Ha participado en trabajos de desarrollo educativo en varios paz ses incluyendo Irán, Uganda y Papua Nueva Guinea. Se ocupa particularmente de la formación docente en matemática y es Editor de la revista Educational Studies in Mathematics desde 1979.

254 Kotas hiogrSficas

JAN DE LANGE JZN es el coordinador del Grupo de Investigación sobre Educación Matemática y del Centro de Computación Educa- tiva (OW & OC) de la Universidad Estatal de Utrecht, Países Bajos. Después de completar sus estudios de matemática en la Universidad de Leiden, enseñó matemática durante diez años, tanto a nivel secundario como a nivel universitario, antes de incorporarse al I.O.W.O. (Instituto para el Desarrollo de la Educación Matemática). Tomó su puesto actual en 1980, cuando cesaron las actividades del I.O.W.O. Su centro de interés es tá en matemática para todos y en la matemática aplicada.Es se cretario de la Comisión Internacional para el Estudio y el Me joramiento de la Enseñanza de Matemática (CIEAEM) y es Editor de la revista de educación matemática Nieuwe Wiskraut.

DAVID S. FIELKER enseñó matemática en las escuelas secundarias de 1954 a 1968, participando en el desarrollo de reformas curriculares y de métodos de enseñanza y de exámenes. Es Director, desde 1967, de un centro de matemática que se ocupa de la capacitación en servicio de docentes de todos los niveles de educación. Fue editor, desde 1972 hasta 1983, de la re vista Mathematics Teaching, donde escribió, asl como en otras revistas, varios artlculos sobre una variedad de temas. Obtu- vo su grado de M.Ed. en la Universidad de Exeter en 1976 para investigar en geometrfa con los niños más jóvenes estando,, en la actualidad, ocupado en estudios de doctorado en el cam po de la investigación vinculados con la matemática de la es= cuela secundaria. Su actividad reciente incluye sugerenciasps ra la reforma de geometría en las escuelas secundarias y para la incorporación de calculadoras electrónicas en los programas de matemática de nivel primario y secundario.

GEORGES GLAESER es Profesor Honorario de la Universidad Louis Pasteur, Estrasburgo, Francia. Fue, anteriormente, Director del Instituto de Investigación en Educación Matemática (IREM) de Estrasburgo, donde dirigió investigaciones en didáctica a nivel de doctorado del tercer ciclo. Sus propias investigacio nes se sitúan en el campo del análisis, particularmente sobre funciones diferenciables de varias variables. Entre sus numerosas publicaciones en matemática y en didáctica, su libro ti tulado "Mathématiques pour 1' éleve-professeur" (París, 1971: Hermann) fue traducido al italiano, al español y al alemán.Di rige, también una serie de folletos para el IREM, de los cua= les "Le Livre du Problème" (Paris, 1973-CEDIC) ha sido traducido parcialmente al alemán (Vieweg).

Notas biográficas 255

MANSOUR GHULAM HUSSAIN obtuvo su B.Sc. en matemáticaen 1966. Después de seis años de enseñanza pasó a ser Consejero de Ma temática para el Estado de Kuwait. Y en tal capacidad ha re presentado a su pafs en varios congresos internacionales 7 ha integrado numerosos comités encargados de formular metas y objetivos de la educación matemática, de planificar cursos de formación docente y de tomar parte en desarrollos curricg lares. Es autor de 17 textos para las escuelas intermedias y secundarias de Kuwait.

MILAN KOMAN ha sido, desde 1984, investigador principalenel campo de la didáctica de matemática en el Instituto de Mate- mática de la Academia de Ciencias de Checoslovaquia. Fue, de 1956 a 1983, profesor principal en formación docente enlaFa cultad de Pedagogía de la Universidad Charles de Praga.Hatra bajado durante muchos años en varios proyectos nacionales di rígidos a reconstruir el curriculo de matemática para alum-- nos de 9 a 14 años de edad. Sus principales intereses se si- túan en la didáctica de matemática, especialmente en la reso lución de problemas, en la concepción de la combinatoria 7 de la geometrla a nivel escolar, en matemática aplicada, en la educación de estudiantes talentosos, asl como en álgebra, especialmente en la teoría de gráficas. Obtuvo, en 1968, los grados de RNDr y de C.Sc. (Candidatus scientiarum) por sutra bajo en la teoria de gráficas.

FRANTISEK KUkNA, RNDr,C.Sc.enseñó, inicialmente, envarias escuelas secundarias después de completar el curso de estudios docentes en la Facultad de Matemática y de Fisica de la Universidad Charles de Praga. Ha estado trabajando,desde 1960, como profesor principal en la Facultad de Formación Docente en Hradec Králové. Su campo de investigación se sitúa en la geometría elemental y en la metodología de la enseñanza de matemática. Ha publicado muchos trabajos en la República So- cialista Checoslovaca, la República Democrática Alemana y la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas.

ADONIS F. LABOR es Profesor Principal en el Departamento de Educación de la Facultad Fourah Bay de la Universidad de Sie rra Leona. Con anterioridad, fue profesor de matemática en el Colegio Universitario de Njala de la Universidad de Sie- rra Leona y Consejero Curricular en Matemática en el Institu to de Educación de Freetown en Sierra Leona. Es autor de va rios curriculos de matemática y de varios trabajos sobre edu -

256 Patas bíoRráfícas

cación matemática. Sus principales intereses están en la edu cación matemática, en el desarrollo curricular en matemática y medida y evaluación, especialmente referidos a la educa- ción matemática.

LEE PENG-YEE es Profesor Asociado de Matemática en la Univer sidad Nacional de Singapur. Después de completar los estudios de pre-grado en la Universidad Nanyang en Singapur, obtuvo su grado de Ph.D. en la Queen's University en Belfast. Antes de su regreso a Singapur enseñó matemática durante va rios años en la Universidad de Malawi y en la Universidad de Auckland en Nueva Zelandia. Ocupó la Presidencia de la So- ciedad de Matemática del Asia Sudoriental durante los años 1981 y 1982. Ha tenido amplia participación en la promo- ción de actividades matemáticas en el Asia Sudoriental, realizando numerosos viajes atravésde la región. Sus principales campos de interés son el análisis y la educación matemá- tica.

LIM CHONG-KEANG es Profesor Asociado de Matemática en la Uni versidad de Malasia, Kuala Lumpur, Malasia. Después de obte ner su grado de B. Sc. en Matemática en la UniversidaddeNai yang en Singapur, viajó a Canadá para realizar estudios de posgrado. Obtuvo el grado de M. Sc. en la UniversidaddeSas katchewan y el grado de Ph. D. en la McGill University. Fu: electo y reelecto, por varios periodos, Presidente de la So- ciedad Malaya de Matemática. En la actualidad es Presidente de la Sociedad de Matemática del Asia Sudoriental. Sus principales áreas de interés son la teoria de gráficas,el empleo de computadores en la enseñanza-aprendizaje y la educación matemática.

EMILIO LLUIS es Profesor Investigador en el Instituto de Ma- temáticas de la Universidad Nacional de México (UNAM). Obtu- vo su Doctorado en Matemática en la Facultad de Ciencias de la UNAM, presentando trabajos de investigación en Geometría Algebraica y en Homologla de Grupos. Ha estado siempre vincg lado a la educación matemática, donde tiene una gran experien cia en formación docente. Es autor de varios textos de mate- mática tanto para nivel secundario como para nivel universitario, asf como para la escuela secundaria abierta. Ha ocupa do diversas posiciones honoríficas, entre ellas como Presi-- dente de la Sociedad Matemática Mexicana (1960-1962), de la Asociación Nacional de Profesores de Matemática (1970-1972),

257

y Director del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias de la UNAM (1967-1970). En la actualidad es Vice- presidente del Comité Interamericano de Educación Matemáti- ca. Ha participado como orador invitado en varias reuniones internacionales vinculadas con matemática y conlaeducación matemática.

BRUCE E. MESERVE es Profesor Honorario de la Universidad de Vermont. Enseñó en la Moses Brown School (1938-1941), en la Universidad de Illinois (1946-1954) y en el Montclair State College (1954-1964). Sus principales intereses se centran en la formación matemática de los docentes, en geometrfa,y en el empleo de la historia de la matemática en la enseñan- za. Fue Presidente (1964-1966) del Consejo mcional de Pro- fesores de Matemática, del Panel de Formación Docente del CUPM de la Asociación Matemática Americana (1979-1983) y es autor y coautor de varios libros y de artfculos profesionales.

DOROTHY T. MESERVE está también retirada de la actividad o- ficial después de haber enseñado en el West Orange High School (1955-1960), en el Montclair State College (1962-63), en el Johnson State College (1964-1972) y, por varios perfo dos, en la Universidad de Vermont (1972-1983). Sus principales áreas de interés son la enseñanza de matemáticaaalum nos universitarios no graduados y la preparación matemática de estudiantes secundarios para su ingreso a la universidad. Fue Presidente del Consejo de Profesores de MatemáticadeVer mont (1976-1977), Editor fundador de la Vermont Council's- Newsletter (1969-1974) y Editor 'fundador de la Newsletterde la Sección Nordeste de la Asociación Matemática Americana (1979-1982). Es co-autora de un libro y autora de varios artículos profesionales.

DAVID ROBITAILLE es Profesor de Educación Matemática y Di- rector del Departamento de Educación Científica y Matemática de la Universidad de la Columbia Británica, en Vancouver, Ca nadá. Obtuvo su grado de B.A. en la Universidad de Montreal, el grado de M.A. en Matemática en la Universidad de Detroit, y su Ph.D. en Educación Matemática en la Universidad Estatal de Ohio. Antes de asumir la posición actual, enseñó durante varios años en escuelas primarias y secundarias en Montreal, donde se desempeñó, también como Coordinador de Matemática.

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Es coautor de varios textos de matemática para los nivelesde primaria y de secundaria y es autor de varios trabajos publi cados en diversas revistas de educación. Se ocupa, actualme; te, en la preparación de los informes internacionalesdelSe= gundo Estudio Internacional de Matemática.

D.K. SINHA es Profesor de Matemática en la Universidad Jadav pur , en Calcuta, India. Participa activamente en el desarroz 110 del currículo de educación matemática, particularmente a nivel escolar y, especialmente en geometría escolar. Ha participado, en su calidad de Presidente de la Asociación para el Mejoramiento de la Educación Matemática, en todos los con gresos internacionales sobre educación matemática, excepto& el primero de ellos. Es autor de varios artículos sobre edu cación matemática, ha supervisado varias tesis de Ph.D. so= bre diversas áreas de la educación matemática, y ha dirigido varios institutos de verano de matemática, asf como un grupo de estudio sobre matemática escolar bajo el patrocinio del NCERT. Ha contribuido, como Consultor de Unesco, a la prepa ración del informe del Grupo de Estudio en Matemática realir zado bnjo los auspicios de la Oficina Regional de Unesco en Bangkok, y ha participado como colaborador técnico en un se- minario-taller realizado en el Instituto Nacional para la In - vestigación Educativa en Tokio, Japón.

MARIE TICHÁ es investigadora en el Departamento de Didáctica de Matemática del Instituto de Matemática de la Academia Che coslovacadeCiencias dePraga. Se graduó en la Universidad Charles en 1970 y trabajó como maestra de escuela primaria superior en una escuela experimental. Después de obtener su grado de C.Sc.(candidato a ciencias), comenzó con su trabajo de investigación. Sus principales temas de interés en la in- vestigación son las estrategias para la resolución de proble - mas y el desarrollo curricular.

KENNETH J. TRAVERS es Profesor de Educación Matemáticaen la Universidad de Illinois en Urbana, Champaign, Estados Unidos de América. Obtuvo sus grados de B.A. y de M.Ed. en la Uni- versidad de Columbia Británica, Vancouver, Canadá y su Ph.D. en educación matemática en la Universidad de Illinois.Fue in vestigador asociado a nivel posdoctoral en la Universidad de- Stanford, especializándose en estudios curriculares y en me- todologías de la evaluación. Ha enseñado matemática a diver-

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sos niveles en la Columbia Británica y en la actualidad dirA ge investigaciones a nivel de graduados en las áreas de currfculo y de instrucción en educación matemática. Es Presi- dente del Comité Internacional de Matemática para el Second International Mathematics Study.

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la geometría en las escuelas

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