La dimensione in geometria

Emanuele Paolini

Universita di Firenze → Pisa

Piombino, 18 novembre 2016

Problemi di scala

ProblemaUna normale bottiglia di vino ha una capacita di 3/4 di litro.Una bottiglia di tipo Jeroboam contiene invece 3 litri. Quanto eil rapporto tra le altezze delle due bottiglie?

Similitudine / riscalamento

A

B

C

ca

b

O

A′

B′

C′

c′

a′

b′

a′ = qa, b′ = qb, c′ = qc

Riscalamento di un cilindro

ProblemaLe “tuberine” vengono normalmente confezionate in un cilindrodi altezza 18cm e diametro 9cm. Una confezione contiene 50gdi patatine. Se le patatine venissero confezionate in un cilindrodi dimensioni doppie, quanti grammi di patatine ciaspetteremmo di trovare?

v = π

(d2

)2

h =π

4d2h.

Vv

=π4 D2Hπ4 d2h

=π4 (qd)2(qh)

π4 d2h

= q3 = 8

Peso delle patatine nel cilindro grande: 8 · 50g = 400g.

Riscalamento di un cilindro

ProblemaLe “tuberine” vengono normalmente confezionate in un cilindrodi altezza 18cm e diametro 9cm. Una confezione contiene 50gdi patatine. Se le patatine venissero confezionate in un cilindrodi dimensioni doppie, quanti grammi di patatine ciaspetteremmo di trovare?

v = π

(d2

)2

h =π

4d2h.

Vv

=π4 D2Hπ4 d2h

=π4 (qd)2(qh)

π4 d2h

= q3 = 8

Peso delle patatine nel cilindro grande: 8 · 50g = 400g.

Riscalamento di un cilindro

ProblemaLe “tuberine” vengono normalmente confezionate in un cilindrodi altezza 18cm e diametro 9cm. Una confezione contiene 50gdi patatine. Se le patatine venissero confezionate in un cilindrodi dimensioni doppie, quanti grammi di patatine ciaspetteremmo di trovare?

v = π

(d2

)2

h =π

4d2h.

Vv

=π4 D2Hπ4 d2h

=π4 (qd)2(qh)

π4 d2h

= q3 = 8

Peso delle patatine nel cilindro grande: 8 · 50g = 400g.

Riscalamento di un cilindro

ProblemaLe “tuberine” vengono normalmente confezionate in un cilindrodi altezza 18cm e diametro 9cm. Una confezione contiene 50gdi patatine. Se le patatine venissero confezionate in un cilindrodi dimensioni doppie, quanti grammi di patatine ciaspetteremmo di trovare?

v = π

(d2

)2

h =π

4d2h.

Vv

=π4 D2Hπ4 d2h

=π4 (qd)2(qh)

π4 d2h

= q3 = 8

Peso delle patatine nel cilindro grande: 8 · 50g = 400g.

Riscalamento di altri solidi geometrici

• cubo: v = ℓ3

Vv

=(qℓ)3

ℓ3 =q3ℓ3

ℓ3 = q3,

• parallelepipedo: v = abc

Vv

=(qa)(qb)(qc)

abc= q3,

• sfera v = 43πr3

Vv

=43(qr)3

43 r3

= q3.

Definizione di volume

v(B) = Nℓ3

v(qB) = N(qℓ)3 = Nq3ℓ3 = q3v(B)

Dimensione di una misura

m(qF ) = qdm(F ).

• lunghezza: d = 1• area: d = 2• volume: d = 3

Bottiglia

ProblemaUna normale bottiglia di vino ha una capacita di 3/4 di litro.Una bottiglia di tipo Jeroboam contiene invece 3 litri. Quanto eil rapporto tra le altezze delle due bottiglie?

J = qB ⇒ 3ℓ = v(J) = q3 · v(B) = q3 · 34ℓ ⇒ q =

3√

4.

Hh

=qhh

= q =3√

4 ≈ 1,59

Bottiglia

ProblemaUna normale bottiglia di vino ha una capacita di 3/4 di litro.Una bottiglia di tipo Jeroboam contiene invece 3 litri. Quanto eil rapporto tra le altezze delle due bottiglie?

J = qB ⇒ 3ℓ = v(J) = q3 · v(B) = q3 · 34ℓ ⇒ q =

3√

4.

Hh

=qhh

= q =3√

4 ≈ 1,59

Bottiglia

ProblemaUna normale bottiglia di vino ha una capacita di 3/4 di litro.Una bottiglia di tipo Jeroboam contiene invece 3 litri. Quanto eil rapporto tra le altezze delle due bottiglie?

J = qB ⇒ 3ℓ = v(J) = q3 · v(B) = q3 · 34ℓ ⇒ q =

3√

4.

Hh

=qhh

= q =3√

4 ≈ 1,59

Esercizi

ProblemaDaniele ha disegnato il circuito di Monza in scala 1:1000 sulpavimento della terrazza. Sapendo che il circuito reale e lungo5793 m, quanto sara lungo il circuito disegnato da Daniele?

11000

· 5793m = 5,793m

Esercizi

ProblemaDaniele ha disegnato il circuito di Monza in scala 1:1000 sulpavimento della terrazza. Sapendo che il circuito reale e lungo5793 m, quanto sara lungo il circuito disegnato da Daniele?

11000

· 5793m = 5,793m

Esercizi

ProblemaDaniele ha disegnato il circuito di Monza in scala 1:1000 sulpavimento della terrazza. Contando le piastrelle Daniele hadeterminato che l’area racchiusa dal circuito in scala e circa1,2 m2. Quanti metri quadri racchiude il vero circuito?

10002 · 1,2 m2 = 1.200.000 m2

Esercizi

ProblemaDaniele ha disegnato il circuito di Monza in scala 1:1000 sulpavimento della terrazza. Contando le piastrelle Daniele hadeterminato che l’area racchiusa dal circuito in scala e circa1,2 m2. Quanti metri quadri racchiude il vero circuito?

10002 · 1,2 m2 = 1.200.000 m2

Esercizi

ProblemaLe macchinine che Daniele usa per giocare sono invece inscala 1 : 50. Se per dipingere la macchinina Daniele utilizza 1tubetto di vernice rossa, quanti tubetti gli sarebbero necessariper dipingere la macchina vera?

502 · 1 = 2500.

Omino di cera

ProblemaUsando un litro di cera modello un omino che raffigura mestesso. Quanto verra alto l’omino?

V = 80ℓ = 80v = v/q3 ⇒ q =1

3√

80

h = q · H =1.90 m

3√

80≈ 0,44 m

Omino di cera

ProblemaUsando un litro di cera modello un omino che raffigura mestesso. Quanto verra alto l’omino?

V = 80ℓ = 80v = v/q3 ⇒ q =1

3√

80

h = q · H =1.90 m

3√

80≈ 0,44 m

Omino di cera

ProblemaUsando un litro di cera modello un omino che raffigura mestesso. Quanto verra alto l’omino?

V = 80ℓ = 80v = v/q3 ⇒ q =1

3√

80

h = q · H =1.90 m

3√

80≈ 0,44 m

Formato ISO 216

ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.

q2a = 2a, q =√

2.

1m2 = 24 · a = 24 · x ·√

2x = 16 ·√

2 · x2

x =1√

16√

2m =

14 4√

2m

x = 0,2102 m = 21,02 cm√

2 · x = 29,73 cm.

Formato ISO 216

ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.

q2a = 2a, q =√

2.

1m2 = 24 · a = 24 · x ·√

2x = 16 ·√

2 · x2

x =1√

16√

2m =

14 4√

2m

x = 0,2102 m = 21,02 cm√

2 · x = 29,73 cm.

Formato ISO 216

ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.

q2a = 2a, q =√

2.

1m2 = 24 · a = 24 · x ·√

2x = 16 ·√

2 · x2

x =1√

16√

2m =

14 4√

2m

x = 0,2102 m = 21,02 cm√

2 · x = 29,73 cm.

Formato ISO 216

ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.

q2a = 2a, q =√

2.

1m2 = 24 · a = 24 · x ·√

2x = 16 ·√

2 · x2

x =1√

16√

2m =

14 4√

2m

x = 0,2102 m = 21,02 cm√

2 · x = 29,73 cm.

Formato ISO 216

ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.

q2a = 2a, q =√

2.

1m2 = 24 · a = 24 · x ·√

2x = 16 ·√

2 · x2

x =1√

16√

2m =

14 4√

2m

x = 0,2102 m = 21,02 cm√

2 · x = 29,73 cm.

misura 0-dimensionale

ProblemaLa macchinina di formula uno di Daniele e in scala 1 : 50.Sapendo che la macchinina vera ha quattro ruote, quante ruoteha la macchinina in scala?

m(qX ) = q0m(X ) = m(X )

misura 0-dimensionale

ProblemaLa macchinina di formula uno di Daniele e in scala 1 : 50.Sapendo che la macchinina vera ha quattro ruote, quante ruoteha la macchinina in scala?

m(qX ) = q0m(X ) = m(X )

Il teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora

Teorema di Pitagora

a b

c

(ac

)2A+

(bc

)2

A = A

a2 + b2 = c2.

Teorema di Pitagora

a b

c

(ac

)2A+

(bc

)2

A = A

a2 + b2 = c2.

figure autosimilari

R1 R2

R3 R4

R

m(R) = m(R1)+m(R2)+m(R3)+m(R4) = 4m(R/2) =42d m(R).

1 =42d , d = 2

C=cubom(C) = 8m(C/2) =

82d m(C)

figure autosimilari

R1 R2

R3 R4

R

m(R) = m(R1)+m(R2)+m(R3)+m(R4) = 4m(R/2) =42d m(R).

1 =42d , d = 2

C=cubom(C) = 8m(C/2) =

82d m(C)

figure autosimilari

R1 R2

R3 R4

R

m(R) = m(R1)+m(R2)+m(R3)+m(R4) = 4m(R/2) =42d m(R).

1 =42d , d = 2

C=cubom(C) = 8m(C/2) =

82d m(C)

figure autosimilari

R1 R2

R3 R4

R

m(R) = m(R1)+m(R2)+m(R3)+m(R4) = 4m(R/2) =42d m(R).

1 =42d , d = 2

C=cubom(C) = 8m(C/2) =

82d m(C)

La cuva di Koch

m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )

1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.

La cuva di Koch

m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )

1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.

La cuva di Koch

m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )

1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.

La cuva di Koch

m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )

1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.

La cuva di Koch

m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )

1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.

La cuva di Koch

m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )

1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.

Fiocco di neve di Koch

Frattali autosimilari

(a) triangolo di Sierpinskid = log2 3

(b) tappeto di Sier-pinski d = log3 8

(c) spugna di Mengerd = log3 20

(d) antenna frattale d = 2

Frattali in natura