la difracción de rayos x y la densidad electrónica el...
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viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 1
La difracción de rayos X y ladensidad electrónica
Rafael Moreno EsparzaFacultad de Química
UNAM2007
El fenómeno de difracción
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Rayos X vs NMRRayos X: Debe cristalizar La estructura puede modificarse por el empaquetamiento Es difícil caracterizar algunas propiedades de los átomos(estado de oxidación) Las moléculas pueden ser muy grandes Se obtiene mejor resolución En principio no se requiere de información adicional paradeterminar la estructuraNMR: Debe ser soluble Sólo pueden caracterizarse moléculas pequeñas Es menos exacta La determinación de estructuras complejas es muy difícil Puede caracterizar sistemas dinámicos Se puede caracterizar el espín nuclear
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El fenómeno de difracción• Este es un fenómeno que se observa en todos los
sistemas ondulatorios, una rendija lo produce:
Plan
o in
cide
nte
de o
ndas
Difracción de una rendija
Plan
o in
cide
nte
de o
ndas
Difracción de una rendija
Interferencia constructivaInterferencia destructiva
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El fenómeno de difracción• Difracción de tres rejillas:
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El fenómeno de difracción• Difracción de cinco rejillas:
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El fenómeno de difracción• Difracción de mezcla de longitudes de onda:
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El fenómeno de difracción• Difracción de luz coherente:
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El fenómeno de difracción• Patrón de difracción de un enrejado 1D
Patrón de difracción
Enrejado
Dirección
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El fenómeno de difracción• Patrón de difracción de un enrejado 2D
5320 Líneas / cm~ 660 nm
Patrón de difracción
Enrejado
Dirección
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Sistemas cristalinos y celdas unitarias• La celda unitaria, es el espacio reproducible de un
cristalc
ba
x
z
yα
β
γ
ParParámetros de laámetros de la celda unitaria celda unitariaa, b, cα = ∠ (b – 0 – c)β = ∠ (a – 0 – c)γ = ∠ (a – 0 – b)
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Sistemas cristalinos y celdas unitarias• Un objeto solo puede arreglarse en alguna de las
siete clases cristalinas o en 14 lattices de Bravais
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Sistemas cristalinos y celdas unitarias• Arreglos de un cristal molecular
b
0a
c
Hidrocloruro de cafeína
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Sistemas cristalinos y celdas unitarias
• Un cristal molecular, evidentemente tiene unarreglo particular determinado por lasinteracciones débiles entre las moléculas que locomponen
• Tiene un conjunto de dispersores de la radiación(los electrones que lo componen)
• Podrá difractar los rayos X, siempre y cuandoexistan las condiciones de difracción
• Una condición primordial para la difracción serála de que existan planos que permitan que hayainterferencia de la radiación
• Si alejamos el cristal
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Sistemas cristalinos y celdas unitarias• Encontraremos
los planos dedispersores quepermitirán ladifracción
c
b
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El fenómeno de difracción• Para producir radiación, es necesario tener cargas
aceleradas• La carga y la masa de los electrones los hace
sujetos ideales para producir radiación• De esta manera tenemos que los electrones y el
fenómeno de difracción están inextricablementeunidos
• Así, podemos pensar que la interacción entre losrayos X y la materia, es un proceso en donde elhaz incidente al chocar contra los electrones serádispersado o reemitido en todas las direccionesdesde los electrones contra los que choca
• Los rayos X dispersados desde diferenteselectrones recorrerán diferentes distancias
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El fenómeno de difracción• De manera que diferirán en sus fases relativas y
por tanto habrá interferencia al reunirse• Algunas veces esta interferencia será constructiva
cuando se unen en fase, de manera que laamplitud resultante sea la suma de las amplitudesindividuales
• En otras, la interferencia será destructiva cuandose unen fuera de fase de manera que la amplitudresultante sea la diferencia de las amplitudesindividuales
• O cualquiera de las posibilidades intermedias
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El fenómeno de difracción• Mucho del fenómeno de difracción entenderse
cualitativamente si entendemos cuando las ondasse dispersan en fase
• En particular podremos entender por que loscristales amplifican la señal de manera que seadetectable
• Y por que los patrones de difracción se restringena presentar manchas discretas
• Las manchas de difracción se les conoce comoreflexiones porque se puede considerar que elcristal está compuesto de miles de espejos quereflejan los rayos X
• A estos espejos se les conoce como planos deBragg
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El fenómeno de difracción• Cuando la luz es reflejada por un espejo, el ángulo
de incidencia es igual al ángulo de reflexión• Lo mismo es cierto para los planos de Bragg, y la
razón es que cuando el ángulo de incidencia esigual al ángulo de reflexión, la radiación quechoca con el plano en fase sale en fase del plano,sin importar donde chocan contra el plano
• En esta figura se puede ver por que:
θ θ
θa
b
c
d
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El fenómeno de difracción• En la figura se puede ver que los dos haces llegan
en fase a la línea ab si las líneas ad y bc tienendiferente longitud entonces estarán fuera de fase
• Sin embargo, si estas líneas son idénticas,entonces estarán en fase
• Se puede ver que las líneas tendrán la mismalongitud si y solo si el ángulo de incidencia esigual al ángulo de reflexión
• Nótese que el haz incidente y el de reflexióndifieren en dirección por un ángulo total de 2θ
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Las condiciones de la difracción• ¿Pero cuáles son las condiciones para la difracción?• Antes que nada nos acordamos de la ley de Bragg• Fue derivada por los físicos ingleses Sir W.H. Bragg y su
hijo W.L. Bragg en 1913• Explica por que las caras de un cristal reflejan la radiación
solo a ciertos ángulos• Y se puede derivar fácilmente considerando las condiciones
necesarias para hacer que las fases de las ondas de un hazcoincidan cuando el ángulo incidente y el reflejado soniguales
• Las ondas que componen un haz incidente siempre están enfase y paralelas hasta el momento en que chocan contra unátomo
• Es claro que a partir de ese momento algunas de las ondastendrán que recorrer diferentes distancias para encontrarsecon otro dispersor
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La ley de Bragg• En la siguiente figura se puede ver que cuando la primera
onda choca con el dispersor, la onda 2 debe recorrer unadistancia adicional
• La distancia que debe recorrer la onda 2 mas que la onda 1es igual a CB+BD
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La ley de Bragg• Si las dos ondas viajan adyacentes y paralelas, la única
manera en que permanecerán en fase es que esta distanciasea un múltiplo de la longitud de onda del haz incidente, esdecir:
• Como d es la hipotenusa del triángulo rectángulo ACBpodemos usar la trigonometría para relacionar la distancia(d) y el ángulo (θ ) del haz incidente
• La distancia AB es el cateto opuesto a θ, entonces:
• Pero como CB = BD, entonces:
• Al sustituir la anterior en esta última:
n! = CB + BD
CB = dsin!
n! = 2CB
n! = 2dsen "( )
d =n!
2sen "( )
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La ley de Bragg• Ahora bien, esta última expresión:
• nos indica que hay una relación de proporcionalidad inversaentre el seno del ángulo y la distancia interplanar
• Es decir, al rearreglar esta expresión:
• Podemos concluir que:
• Que en última instancia es la relación que existe entre elespacio real y lo que conocemos como espacio recíproco
d =n!
2sen "( )
sen !( ) =n"
2d
sen !( ) "1
d
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Difracción y transformada de Fourier
• ¿Qué es la transformada de Fourier?– Es una representación de alguna función en términos de
un conjunto de ondas sinusoidales– Este conjunto de ondas es ortogonal, es decir que
ninguna de las funciones del conjunto puede obtenersecomo una combinación lineal de las otras
– En particular un conjunto de ondas sinusoidales dediferente frecuencia es ortogonal
– Una buena analogía es la de los tres colores primarios(Rojo, verde y azul), no hay ninguna combinación dedos de ellos que produzca el tercero, pero con estos trespuedo generar cualquier color
– De manera similar mezclando ondas sinusoidales decualquier frecuencia en las proporciones adecuadas sepuede construir cualquier función arbitraria
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Difracción y transformada de Fourier
• Se puede demostrar que es posible representarcualquier función continua sumando suficientesondas sinusoidales de la frecuencia y amplitudapropiada
• Supongamos que un cristal imaginario que tienetres átomos en la celda dos carbonos y un oxígeno
• La densidad electrónica de la celda se verá así:
OCC
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Difracción y transformada de Fourier
• Ahora trataremos de representar esta función entérminos de ondas sinusoidales
• La primera tiene una frecuencia de 2 (es decir, serepite dos veces a lo largo de la celda)
• Uno de los picos representará al oxígeno y el otro alos dos carbonos
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Difracción y transformada de Fourier
• La segunda onda tiene una frecuencia de tres (serepite tres veces)
• Pero tiene diferente fase (empieza en diferentelugar que la otra onda)
• Y además la amplitud es diferente (es máschaparrita)
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Difracción y transformada de Fourier
• Finalmente, añadimos una onda con unafrecuencia de cinco
• Que también tiene diferente amplitud• Y además la alineamos con los dos átomos de
carbono
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Freq. 2Freq. 3Freq. 5Total
Difracción y transformada de Fourier• Ahora las ponemos juntas
• Y las sumamos:
• Nótese que la suma de las tres ondas es una buenaaproximación de la celda original
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Difracción y transformada de Fourier
• Entonces habiendo escogido correctamente laamplitud, la frecuencia y el número de ondaspudimos representar correctamente la celda
• Ahora haremos la transformada de Fourier de lamisma celda:
• El resultado muestra una serie de picos estando losmayores en 2, 3 y 5 en el eje x, los cualescorresponden a las ondas que elegimos
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Difracción y transformada de Fourier
• Si analizamos con cuidado, nos encontramos ademásque la altura de los picos corresponden a la amplitudde las tres ondas
• Los picos pequeños de la transformada corresponden aondas adicionales que se requirieron para ajustarperfectamente la densidad original
• Entonces la transformada de Fourier nos dice cual es lamezcla de ondas sinusoidales que se necesitan parahacer cualquier función
• Obviamente las ondas se siguen hasta el infinito, demanera que tenemos muchísimas copias de la celdaunitaria
• Otras características de la transformada son que losvalores de frecuencia pueden ser positivos o negativosy además son sus valores son complejos no reales
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Difracción y transformada de Fourier• Pero ¿Cuál es la conexión entre la difracción de Rayos
X y las transformadas de Fourier?• Para responder esto, debemos deducir ¿cómo un sólido
cualquiera dispersará una onda incidente• Así cuando la onda choca con el sólido, la radiación se
dispersará• Consideraremos la onda difractada en una dirección
particular, y calcularemos la dispersión total sumandola dispersión en esa dirección desde cada uno de lospuntos del sólido
• La dirección del haz incidente la representamos por elvector k
• El haz difractado en la dirección escogida será k’• Por conveniencia, hacemos que su
magnitud sea el recíproco de lalongitud de onda del haz:
k
!"
= k'
!"!
=1
!
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Difracción y transformada de Fourier• Una gráfica que presenta esto es esta:
• Ahora debemos hacer la suma de la dispersión en todo elsólido y escoger un origen dentro del sólido
• Luego calculamos la diferencia entre la longitud de lastrayectorias entre un haz dispersado desde un puntoarbitrario y un haz imaginario dispersado desde el origen
k
!"
k'
!"!
r
!
θφ
r
!
k
!"
k '
!"!
rcos! = r
!
"k"!
rcos! = r
!
"k"!
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 37
Difracción y transformada de Fourier• La diferencia de en la longitud de la trayectoria se traduce
en una diferencia de fase entre las dos ondas• Al sumar la dispersión en todo el sólido tomando en
consideración la capacidad de dispersión de cada punto,p(r) y de la representación compleja del cambio de fase
• Si sustituimos un nuevo vector s para la diferencia entre ky k’, obtenemos la integral de Fourier estándar:
• Definiendo y sumando para todas las r
diferencia de trayectoria = r
!
!k"!
- r
!
!k'
"!"
= r ! k
"!
- k'
"!"
( )
diferencia de fase =
2!
"# r!
# k
"!
$ k'
"!"
( ) = 2!r
!
# k
"!
$ k'
"!"
( )
s
!
= k
"!
! k'
"!"
( )
F s
!
( ) = p r
!
( )V
! e2" ir"!
#s"!"
( )dr
!
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 38
Dispersión• Para caracterizar las consecuencias de la relación
recíproca entre el espacio recíproco y el real,analizaremos un conjunto de ejemplos que muestren elcomportamiento de ciertos sistemas al pasar delespacio real al recíproco cuando se emplea elexperimento de difracción
• Para ello presentaremos cada experimento empleandorepresentaciones gráficas donde:– En el lado izquierdo pondremos al espacio real, con sus
consabidas coordenadas x, y, z– En tanto que en el lado izquierdo tendremos al espacio
recíproco el cual podrá ser caracterizado con unascoordenadas a las que llamaremos h, k, l
• Hay una relación biunívoca entre los puntos delespacio real y los del espacio recíproco
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 39
Dispersión• Cuando tenemos un solo dispersor (átomo), observamos
este comportamiento de la radiación difractada:
• Un solo picoIn
tens
idad
Coordenadas Atómicas,de la densidad electrónica
ρ(x,y,z)
Ángulos de reflexión,de las intensidades
Ι (h,k,l)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 41
Dispersión• ¿Que ocurre cuando ponemos un par de dispersores?:
• Pues que aparecen varios picos de difracciónIn
tens
idad
Coordenadas Atómicas,de la densidad electrónica
ρ(x,y,z)
Ángulos de reflexión,de las intensidades
Ι (h,k,l)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 43
Dispersión• ¿Y qué pasa cuando ponemos una hilera de dispersores?:
• Pues que la señal se agudizaIn
tens
idad
Coordenadas Atómicas,de la densidad electrónica
ρ(x,y,z)
Ángulos de reflexión,de las intensidades
Ι (h,k,l)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 45
El espacio recíproco• El espacio recíproco y el espacio directo son recíprocos
uno del otro• Y están relacionados por la transformada de Fourier• Al espacio recíproco se le llama también espacio de
Fourier o espacio de fase• En el espacio recíproco se puede definir la llamada
lattice recíproca, como el conjunto de puntosimaginarios construidos de tal manera que la direcciónde un vector desde un punto a otro del espaciorecíproco, coincide con la dirección perpendicular a losplanos del espacio real
• La separación de estos puntos (el valor absoluto delvector) es igual al valor recíproco de la distanciainterplanar real
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 46
El espacio recíproco• Ewald inventó una construcción geométrica para visualizar
cuales de los planos de Bragg están correctamenteorientados para que ocurra la difracción Los puntos en lared recíproca representan los planos que forman la red real(red cristalina)
• Entonces la red cristalina determina (a través de relacionesdefinidas) los vectores de la red recíproca, el espaciamientode los puntos de la en la red ylas direcciones recíprocas asociadas
• Si consideramos una red cristalinabidimensional definida por a, b yel ángulo γ, donde se muestranlos planos d100 y d010
• La red recíproca de esta,estará construida por los vectores recíprocos a* y b* yestarán separados por el ángulo γ∗
d010
d100γa
b
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 47
El espacio recíproco• a* será perpendicular a los planos d100 y su magnitud
será igual al recíproco de la distancia entre dichosplanos
• De manera similar b* será perpendicular a los planosd010 y su magnitud será igual al recíproco de ladistancia entre dichos planos
• Y por tanto γ + γ∗ =180º
b
a γ
1
d010
1
d100γ∗
b*
a*
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 48
El espacio recíproco• Debido a las relaciones lineales que existen entre los
planos se genera una red periódica• Estas relaciones lineales son como esta:
• En general la periodicidad de la red periódicaestará dada por esta expresión:
• La expresión vectorial de los vectores de la red quedefinen cada plano hkl es esta:
• Donde n es el vector unitario normal a los planos hkl
d200=
1
2
!
"#$
%&d
100
!hkl
*=
1
dhkl
"
#$
%
&'
ghkl=
nhkl
dhkl
!
"#
$
%&
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 49
El espacio recíproco• Para las redes que no son primitivas, como por ejemplo
una que sea centrada en el cuerpo, pueden presentarseausencias sistemáticas en la red recíproca, esto se debea la construcción de la red
• En esta figura se muestra como se usa una celdaunitariamayor (en verde) en vezde la primitiva (en rojo).
• Esta celda tiene la ventajadel ángulo recto entre a y b
d
100
b
d
010
a
a
b
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 50
El espacio recíproco• Esta red recíproca se construye usando los diferentes
vectores de la red y distancias interplanares• Cuando se etiqueta respecto a los nuevos vectores de red
recíprocos, las reflexiones vacías estarán ausentes
a*
b*
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 51
El espacio recíproco• Estas ausencias ayudan a distinguir las diferentes clases de
redes cristalinas pues cada una tiene tiene ausenciassistemáticas características
• En este caso los puntos con h+k es un entero impar estánausentes, debido a la definición de la celda unitaria
• Si consideramos un círculo de radio r con dos puntos X y Yen su circunferencia
r 0
X
Yθ 2θ
A
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 52
El espacio recíproco• Si el ángulo XAY se define como θ, entonces por simple
geometría el ángulo X0Y será 2θ, y si además:
• Si esta geometría se construye en la en el espacio recíproco,tiene implicaciones muy importantes
• Si el radio se define como el inverso de la longitud de ondadel haz de rayos X
• Si Y es es el punto 000 de la red recíproca y X es un puntocualquiera hkl, entonces la distancia XY es:
• Y por lo tanto:
sin! =XY
2r
d XY( ) =1
dhkl
sin! =
1
dhkl
2
"
# " = 2dhkl
sin!
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 53
El espacio recíproco, la esfera de Ewald
• Entonces resumiendo, el espacio recíproco representa a losconjuntos de planos de la red cristalina
b*
a*
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 54
El espacio recíproco, la esfera de Ewald
• Cada punto puede etiquetarse, de manera que el punto 000es el origen del cristal y cada uno de los puntos representauna familia de planos del cristal
b*
a*
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 55
El espacio recíproco, la esfera de Ewald
• Este punto es donde incide el haz de rayos X, descrito por elinverso de su longitud de onda, pues estamos en el espaciorecíproco
1
!
Haz de rayos X
b*
a*
000
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 56
b*
a*
000
El espacio recíproco, la esfera de Ewald
• De esta manera podemos generamos una esfera con unradio igual al inverso de la longitud de onda y con el punto000 tangente:
1
!
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 57
El espacio recíproco, la esfera de Ewald
• Si ahora giramos la dirección del haz de rayos X, veremosque en la superficie de la esfera aparece una reflexión
a*
000
b*
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 58
El espacio recíproco, la esfera de Ewald
• Y veremos que las condiciones de difracción en ese ángulose cumplen
a*
000
b*
1
d220
2!
220
!
220
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 59
El espacio recíproco, la esfera de Ewald• Nótese que el haz difractado está a 2θ del haz incidente
b*
a*
000
Haz incidente
Haz difractado
2θ
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 60
El espacio recíproco• Consecuencias del la reciprocidad
– ¿qué ocurrirá cuando pongamos un arreglo donde lasdistancias entre los dispersores son menores?
– Pues que las señales de difracción se separan más para elcaso de las distancias menores y esto ocurre porque:
Inte
nsid
ad
Tamaño de la red cristalina =
1
tamaño patrón de difracción
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 61
El espacio recíproco• Consecuencias del la reciprocidad
– ¿Y que pasará si pongo un cuadrado?
– Que el número de dimensiones con reflexiones aumentaCoordenadas Atómicas,
de la densidad electrónicaρ(x,y,z)
Ángulos de reflexión,de las intensidades
Ι (h,k,l)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 62
El espacio recíproco• Consecuencias del la reciprocidad
– ¿Si ahora pongo un rectángulo?
– Las reflexiones y su distribución cambian de formaCoordenadas Atómicas,
de la densidad electrónicaρ(x,y,z)
Ángulos de reflexión,de las intensidades
Ι (h,k,l)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 63
El espacio recíproco• Consecuencias del la reciprocidad
– ¿Si ahora pongo una red oblicua?
– Otra vez reflexiones y su distribución cambian de formaCoordenadas Atómicas,
de la densidad electrónicaρ(x,y,z)
Ángulos de reflexión,de las intensidades
Ι (h,k,l)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 64
El espacio recíproco• Consecuencias del la reciprocidad
– ¿Si ahora hago una translación de la red oblicua?
– La translación hecha es tanto en el eje de las x como enel de las y
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 65
El espacio recíproco• Consecuencias del la reciprocidad
– Un buen observador inmediatamente notará que estavez no hay cambios en la distribución de reflexionesrespecto al caso anterior
Coordenadas Atómicas,de la densidad electrónica
ρ(x,y,z)
Ángulos de reflexión,de las intensidades
Ι (h,k,l)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 66
El espacio recíproco• De esta manera, tenemos que es posible relacionar
cualquier punto de la red real a un punto de la redrecíproca
Red cristalinaEspacio real
x, y, z
Red recíprocaEspacio imaginario
h, k, l
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 67
El espacio recíproco• Para pasar de uno a otro empleamos esta
transformación:
0 -2
0 2-2 2
-2 0
-2 -2 2 -2
2 0
2 2
d
Vector normal a los planos (-1, 0)
g
Plan
os d
e la
red
2!
d= g
Red cristalinaEspacio real
x, y, z
Red recíprocaEspacio imaginario
h, k, l
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 68
El espacio recíproco• Esto mismo lo haremos con diferentes familias de
planos
0 -2
0 2-2 2
-2 0
-2 -2 2 -2
2 0
2 2
d
Red cristalinaEspacio real
x, y, z
Red recíprocaEspacio imaginario
h, k, l
g
Vector normal a los planos (-2, 1)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 69
El espacio recíproco• Esto mismo lo haremos con diferentes familias de
planos
0 -2
0 2-2 2
-2 0
-2 -2 2 -2
2 0
2 2
Red cristalinaEspacio real
x, y, z
Red recíprocaEspacio imaginario
h, k, l
d
g
Vector normal a los planos (-1, 1)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 70
El espacio recíproco• Esto mismo lo haremos con diferentes familias de
planos
0 -2
0 2-2 2
-2 0
-2 -2 2 -2
2 0
2 2
Red cristalinaEspacio real
x, y, z
Red recíprocaEspacio imaginario
h, k, l
d
g
Vector normal a los planos (-2, 1)
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 71
El espacio recíproco• Esto mismo lo haremos con diferentes familias de
planos
0 -2
0 2-2 2
-2 0
-2 -2 2 -2
2 0
2 2
Red cristalinaEspacio real
x, y, z
Red recíprocaEspacio imaginario
h, k, l
gNor
mal
d
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 72
Las transformadas de Fourier• Un átomo y su transformada de Fourier:
• Nótese que ambas funciones tienen simetríaesférica y mientras que el átomo aparece nítido sutransformada es ancha y suave
• Esto ilustra la relación recíproca entre una funcióny su transformada
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 73
Las transformadas de Fourier• Una molécula y su transformada de Fourier:
• La molécula consiste de 7 átomos, su transformadapresenta cierto detalle pero la forma es todavía lade la transformada atómica
• Esta transformada es el producto de la trasformadaatómica y las posiciones
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 74
Las transformadas de Fourier• Una red y su transformada de Fourier:
• Los puntos de la red son puntos delta (exagerados)• Nótese que la transformada de la red es una red con
direcciones y espaciamientos recíprocos• Este es el origen de la red recíproca
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 75
Las transformadas de Fourier• Un cristal y su transformada de Fourier:
• Finalmente construimos un cristal haciendo unaconvolución de una molécula con una red
• El resultado es una estructura cristalina• La transformada de Fourier es pues el producto de la
transformada molecular y la red recíproca
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 76
Las transformadas de Fourier• Un pato y su transformada de Fourier:
• Noten sus mercedes que la imagen real da a lugar aun patrón de difracción Hermitiano, al cual ustedesconocen bien
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 77
Las transformadas de Fourier inversas• Un pato y su transformada de Fourier inversa:
• Si tenemos los términos de baja resolución delpatrón de difracción obtenemos un pato de bajaresolución
• Es decir hay una pérdida considerable
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 78
Las transformadas de Fourier inversas• Un pato y su transformada de Fourier inversa:
• Si perdemos datos de resolución media• Habrá aristas finas pero aparecerá chorreado
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 79
Las transformadas de Fourier inversas• Un pato y su transformada de Fourier inversa:
• Cuando tenemos los términos de alta resoluciónsolamente veremos los bordes del pato
• Será difícil distinguir las clases de átomos
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 80
Las transformadas de Fourier inversas• Un pato y su transformada de Fourier inversa:
• Cuando tenemos que un segmento de los datos seha perdido las características perpendiculares alsegmento aparecerán borrosas
• Habrá serios problemas con los factores detemperatura
viernes, 13 marzo 2009 El fenómeno de difracción 81
Las transformadas de Fourier inversas• Un pato y su transformada de Fourier inversa:
• Si perdemos 10% de los datos en capas• Se observa este efecto