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Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote FACULTAD DE INGENIERAESTADSTICA INFERENCIAL ESTADISTICA APLICADA-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

LECTURA 06: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAO DE MUESTRA(PARTE III)

TEMA 12: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIONPOBLACIONAL

1. INTRODUCCIONMuchas veces las decisiones dependen de parmetros que son binarios, parmetroscon solo dos posibles categoras dentro de las cuales pueden clasificarse lasrespuestas. En este caso el parmetro de inters es la proporcin poblacional oporcentaje de la poblacin que cumple cierta caracterstica. Por ejemplo unaempresa distribuidora de computadoras puede estar interesada en estimar elporcentaje de clientes que pagan al crdito. Una empresa productora de softwareinformticos puede estar interesa en estimar el porcentaje software defectuosos, oque porcentaje de clientes compran software estadsticos.

Donde:

P: Proporcin poblacional de xitos o proporcin de elementos de la poblacin quetienen cierta caracterstica.

poblacinladeelementosdeNmeroticacaracterisciertatienenquepoblacinladeelementosdeNmero

NXP

Q: Proporcin poblacional de fracasos o proporcin de elementos de la poblacinque no tienen cierta caractersticas.

poblacinladeelementosdeNmeroticacaracterisciertatienennoquepoblacinladeelementosdeNmero

NXQ

'

Adems:

P1Qentonces1QP

___________________________________________________________________________ 1Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Diciembre 2014Versin : 3


Generalmente la proporcin poblacional se desconoce y tiene que ser estimado a travs de la proporcin muestral. Entonces:

p: Proporcin muestral de xitos o proporcin de elementos de la muestra quetienen cierta caracterstica.

muestraladeelementosdeNmeroticacaracterisciertatienenquemuestraladeelementosdeNmero

nxp

q: Proporcin muestral de fracasos o proporcin de elementos de la muestra queno tienen cierta caracterstica.

muestraladeelementosdeNmeroticacaracterisciertatienennoquemuestraladeelementosdeNmero

nxq

'

Adems:

p1qentonces1qp

2. DEFINICIONEs el rango dentro del cual se encuentra la proporcin poblacional con un nivel deconfianza dado.

L1 P L2 fig. 16


1LPLP 2|

1 - /2/2


Para hallar los intervalos de confianza para la proporcin poblacional usaremos laestadstica Z para muestras grandes (n 30). Entonces los lmites de confianzasern:

nqpZpsZpL 0p01

3. ERROR ESTNDAR DE LA PROPORCINSi el tamao de la muestra es suficientemente grande (n 30). Si el muestreo es cono sin sustitucin en una poblacin infinita (o con sustitucin en una poblacin finitade tamao N), el error estndar es:

n)P1(P

p

que se estima por:

n)p1(psp

Si el muestreo es sin sustitucin en una poblacin finita de tamao N elerror estndar para la proporcin poblacional esta dado por:

1NnN

nQP

P

que se estima por

1NnN

nqpsp

Donde:

1NnN

es el factor de correccin para poblacin finita.


nqpZpsZpL op02


Ejemplo 1:Un fabricante asegura que el porcentaje de ordenadores defectuosos es el 5%. Eldistribuidor decide comprobar la afirmacin del fabricante seleccionando 100ordenadores al azar y probndolos Deber sospechar el distribuidor de laafirmacin del fabricante si se descubren un total de 19 unidades defectuosas de lamuestra? Utilice un nivel de confianza del 99%.

Solucin: Se desea estimar la proporcin de ordenadores defectuosos Observamos que la proporcin muestral de ordenadores defectuosos es:

81.0q19.010019p

Para un nivel de confianza del 99% el valor de Z0 = 2.576 El error estndar de la proporcin muestral es:

04.0100

81.019.0nqpsp

Los lmites de confianza para P son:

29.004.0576.219.0nqpZpL

09.004.0576.219.0nqpZpL

02

01

El distribuidor si debe sospechar de la afirmacin del fabricante ya que elporcentaje de unidades defectuosas vara entre 9% y 29% con una confianza del99%.

Ejemplo 2:Se desea conocer la opinin de los alumnos de la Uladech en relacin con laaceptacin o no de la pena de muerte para los terroristas en el Per. Para ello se hatomado una muestra aleatoria simple de tamao 500. Si las respuestas afirmativashan sido 100, encontrar un intervalo de confianza aproximado del 95%.



Solucin: Se desea estimar la proporcin de alumnos de la Uladech que estn de acuerdo

con la pena de muerte para los terroristas en el Per.

Observamos tambin que la proporcin muestral de personas que estn a favorde la pena de muerte es:

80.0q20.0500100

nxp .

Para un nivel de confianza del 95% el valor de Z0 = 1.96.

El error estndar de la proporcin muestral es:

02.0s

50080.020.0

nqps

p

p


24.002.096.120.0nqpZpL

16.002.096.120.0nqpZpL

02

01

Se tiene una confianza del 95% que el porcentaje de estudiantes de la Uladechque afirman estar de acuerdo con la pena de muerte vara entre el 16% y 24%.

Ejemplo 3:En una investigacin de mercadotecnia se logr determinar que, sobre una base de1400 amas de casa entrevistadas de una poblacin de 10000, 420 afirmaron quedeserian tener Internet en su hogar. Establezca un intervalo de confianza del 99%para estimar el porcentaje de amas de casa que desearan tener Internet en suhogar.



Solucin: Se desea estimar la proporcin de amas de casa que desearan tener Internet en

su hogar. Observamos que N = 10000 y n = 1400

Observamos tambin que la proporcin muestral de amas de casa que desearantener Internet en su hogar es:

70.0q30.01400420

nxp .

Para un nivel de confianza del 99% el valor de Zo=2.576.

El error estndar de la proporcin muestral es:

01.0s

110000140010000

140070.030.0s

1NnN

nqps

p

p

p


33.001.0576.230.0sZpL

27.001.0576.230.0sZpL

p02

p01

Se tiene una confianza del 99% que el porcentaje de amas de casa quedesearan tener Internet en su hogar varia ente el 27% y 33%.



TEMA 13: TAMAO DE MUESTRA CUANDO EL PARAMETRO ES LAPROPORCION PROBLACION USANDO EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

1. CALCULO DEL TAMAO MUESTRAL USANDO EL MUESTREO ALEATORIOSIMPLE.

Caracterstica de la Poblacin Tamao de la muestraTamao de la poblacin infinita o desconocido.

2

221

eQPZ

n

Tamao de la poblacin finita.

)1N(eQPZNQPZ

n 222/1

221

Donde:

n Tamao de la muestra.N Tamao de la poblacin.

Z1-/2

Valor correspondiente a la distribucin de Gauss

Z0.975 = 1.96 para = 0.05 y Z0.995 = 2.576 para = 0.01.

(Utilizar Tabla II).P Proporcin poblacional de xitos. En caso de no conocerse se

estima por la proporcin muestral (p) a travs de una muestra

piloto. En el caso ms desfavorable se considera P=0.5Q Proporcin poblacional de fracasos.e Error que se prev cometer.


L1 P L2p

e


Ejemplo 4:

Se sabe que 25 de cada 1000 objetos elaborados por una empresa son defectuosos.De que tamao conviene tomar una muestra para que la proporcin estimada dedefectuosos no difiera de la verdadera en mas de un 5% con un nivel de confianzadel 95%?

Solucin:La proporcin poblacional est dada por:

975.0Q025.0100025

NXP

Para el nivel de confianza 1 = 0.95 el valor de 96.1Z 975.0 . e = 0.05 La poblacin es infinita o desconocida.

La formula a utilizar ser la siguiente:

Ejemplo 5:Tomando como referencia el Ejemplo 2 Que tamao de muestra se debera tomarsi se desea una precisin del 2.5%?

Solucin:

Sabemos que la proporcin muestral de alumnos que estn a favor de la pena demuerte es:


2

221

eQPZ

n

2

2

05.0975.0025.096.1n

objetos3744.37n


80.0q20.0500100

nxp .

Para un nivel de confianza del 95% el valor de 96.1Z 975.0 e = 0.025 La poblacin es infinita o desconocida.


Ejemplo 6:Se desea saber la proporcin de jvenes que piensan votar a un determinadopartido poltico en la comunidad X de 5000 jvenes en edad de votar, con unaconfianza del 99% y un error de la estimacin mximo permitido de 3.5%. Determineel tamao de la muestra en la hiptesis ms desfavorable. (P=0.5)Solucin: La proporcin poblacional de jvenes que piensan votar por un partido poltico

est dado por: 50.0Q50.0P

Para un nivel de confianza del 99% el valor de 576.2Z 995.0 . e = 0.035 La poblacin es finita N=5000.


)1N(eQPZNQPZ

n 222/1

221

)15000(035.050.050.0576.2500050.050.0576.2n 22

2

.jvenes106679.1065n


2

221

eqpZ

n

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