l2 modelamiento y transformada laplace

Lab. No.2 – Modelamiento de sistemas físicos y aplicación de la Transformada Laplace.

Control Automático – Control Analógico IE. PhD. FRANCISCO E. MORENO GARCIA

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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERIA

CONTROL AUTOMATICO – CONTROL ANALÓGICO

LABORATORIO No. 2 – Modelamiento de sistemas físicos y aplicación de la Transformada de Laplace.

INSTRUCCIONES 1- Las actividades de laboratorio y talleres deberán ser desarrollados en grupos de hasta 2 (dos)

alumnos. 2- Las técnicas y herramientas didácticas que se empleen en los laboratorios tiene como finalidad el

refuerzo, la conformación y ejecución de los diferentes aspectos que hacen parte de la asignatura. De forma que el alumno desarrolle un pensamiento flexible, dinámico, audaz, independiente, persistente, divergente y original en su formación como profesional.

OBJETIVOS

• Usar la herramienta SYSTEM IDENTIFICATION del programa MATLAB para determinar la

función de transferencia de un sistema físico real.

• Las actividades a seguir tienen por objetivo fijar la operación y el uso del Matlab y del Simulink, programas que serán usados para estudiar la transformada de laplace como herramienta para futuros proyectos a nivel de simulación, análisis de datos, aplicados a procesos industriales.

REFERENCIAS 1- Andrew Knight Basics of MATLAB and Beyond. Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 1999. 2- Hanselman, D.; Littlefield, B. MATLAB 5: Versão do Estudante, Guia do Usuário, Makron

Books, 1999.

3- White Robert: Computational Mathematics: Models, Methods, and Analysis with MATLAB and MPI. Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 2003.

4- http://www.mathworks.com

1. ¿QUÉ ES MATLAB?

La primera versión de matlab data de los años 70, y fue diseñada como herramienta de apoyo para los cursos de Teoría de Matrices, Álgebra Lineal y Análisis Numérico. El nombre matlab es un acrónimo: “MATrix LABoratory”. Hoy en día, matlab es un programa muy potente, con un entorno agradable, que incluye herramientas de cálculo científico y técnico y de visualización gráfica, así como un lenguaje de programación de alto nivel.



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2. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS FÍSICO .

En todo sistema podemos distinguir tres tipos de señales que son:

Señales de entrada: Son aquellas señales que pueden ser controladas y de las cuales depende básicamente el funcionamiento del sistema. Señales de salida: Son señales que nos indican como se está comportando el sistema. Señales de perturbación: Son señales que afectan el comportamiento del sistema pero que no pueden ser controladas.

Las señales del sistema están en el dominio del tiempo pero pueden ser manipuladas matemáticamente para llevarlas al dominio de la frecuencia. Aunque, para efecto de identificación las señales son muestreadas solo a tiempos discretos que usualmente están igualmente distanciados en unidades de tiempo. En consecuencia el problema del modelamiento es describir como están relacionadas las señales entre sí. La relación básica entre las señales es una ecuación diferencial lineal.

Matemáticamente notamos que la salida al instante t puede ser calculada como una combinación lineal

de las entradas y salidas anteriores. Esta dependencia de lo que sucedió anteriormente es lo que se entiende por dinámica. En consecuencia, el problema de la identificación de un sistema consiste en determinar los coeficientes de cualquiera de las dos ecuaciones previas. Ejemplo 1. Sistema hidráulico de dos tanques. El objetivo es modelar el nivel del líquido del tanque de abajo, como se muestra en la siguiente figura.

Proceso Sistema

hidráulico

u(t)

y(t)



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El matlab contiene una base de datos, para nuestro caso twotankdata.mat la cual contiene 3000 datos experimentales obtenidos cada 1 s de este sistema físico hidráulico. La Entrada u(t) corresponde al voltaje [V] aplicado a la bomba la cual genera el flujo de entrada al tanque de encima. Y la salida y(t) representa el nivel del liquido [m] del tanque de abajo.

Para evitar el procedimiento matemático a través de ecuaciones diferenciales que modelan cualquier sistema físico, obtendremos nuestro modelo a través de la aplicación del ident, como herramienta para identificación de sistemas que nos proporciona Matlab. Cargamos en command Windows la base de datos. >> load twotankdata.mat Ejecutamos el IDENT >> ident

Obtendremos nuestra ventana principal del ident

Importamos nuestros datos experimentales en el dominio del tiempo desde el command Windows hacia nuestro ident



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Procedemos a estimar nuestro modelo del proceso, siempre y cuando seleccionando nuestra debida función de transferencia deseada y apropiada.

La cual en nuestra ventana principal del ident, queda almacenada nuestros datos en la base “mydata” y la función de transferencia estimada “P3Z”



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Grafico de nuestra variable de salida y(t) obtenida de nuestro modelo estimado simulado y la base de datos experimental.

Información generada de nuestro command Windows del matlab con respecto a nuestro modelo experimental obtenido.

Process model with transfer function 1+Tz*s G(s) = K * --------------------------- (1+Tp1*s)(1+Tp2*s)(1+Tp3*s)



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with K = 0.04755 Tp1 = 12.717 Tp2 = 24999 Tp3 = 23.658 Tz = 35522 Estimated using PEM from data set mydata Loss function 0.00147688 and FPE 0.00148181

3. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Para el cálculo directo a través del Matlab, este software ofrece el comando LAPLACE de tipo

simbólico, cuya sintaxis es >>F = laplace(f) donde f es una función escalar de la variable simbolica t, previamente declarada, y F es una función cuya variable es por defecto s. El siguiente ejemplo 2. Muestra que se pueden elegir las variables libremente. >> syms u v >> F = laplace(u^2,v)

F = 2/v^3

Otra forma, para obtener la transformada de laplace es obtener dicha transformada aplicada a objetos STRING. Ejemplo 3. La función objeto f(t) se puede crear como una cadena de caracteres (string) >>syms t s >>f =[exp(-2*t)] >>laplace(f,t,s) ans =1/(s+2)

Con lo cual no tenemos que declarar previamente como simbólica Ejemplo 4. Invocando al núcleo Maple podemos trabajar exclusivamente con STRINGS. >>maple(‘f:=t->exp(-a*t)*sin(b*t)’) >>F=maple(‘laplace(f(x),x,s)’)



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F = b/((s+a)^2+b^2)

4. LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE El comando ILAPLACE ha sido diseñado para calcular exactamente, cuando ello sea posible, la

transformada inversa de Laplace. La sintaxis es la siguiente

>> ilaplace(versión no simbolica,s,t) o simplemente >> ilaplace(versión no simbolica)

Observar que el comando ILAPLACE calcula la transformada inversa de Laplace de una expresión F(s), produciendo otra versión en f(t). La versión Maple es como sigue >> f=maple(‘invlaplace(F(s),s,t)’)

Ejemplo 5. Obtener la transformada inversa de la función

Solución del ejemplo >> syms s >> f = (s+3)/s^2; >> F = ilaplace(f) F = 3*t+1

Alternativamente con Maple >> maple(‘invlaplace((s+3)/s^2,s,t)’) ans =3*t+1



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5. EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CON EL MATLAB El matlab dispone de un comando para obtener la expansión en fracciones parciales de B(s)/A(s).

Sea una función de transferencia

Donde algunos coeficiente an o bn pueden ser nulos. En el Matlab los vectores num y den especifican los coeficientes de los polinomios del numerador y del denominador de la función de transferencia. Esto es,

El comando

Fornece los residuos, los polos y los términos derechos de una expansión en fracciones parciales de la relación entre dos polinomios B(s) y A(s). La expansión en fracciones parciales de B(s)/A(s) está dada por

Ejemplo 6. Considere la siguiente función de transferencia

Para esta función su debidos coeficientes son



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Aplicando el comando residue

Nos produce el siguiente resultado

Observe que los residuos son fornecidos sobre la forma de un vector columna r, la localización de los polos está dada a través de un vector columna p y el término derecho es presentado por medio de un vector k. el cuadro anterior presenta la representación en matlab de la siguiente expansión en fracciones parciales de B(s)/A(s):

TALLER EXTRACURRICULAR COMPLEMENTARIO AL CAPITULO I I

1) Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) f(t)=7,8 + 16exp(-8t)

b) f(t)=2*cos(3t)

c) f(t)=4,8exp(-5t)*cos(400t)



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d)

2) Encuentre la transformada inversa

a) F(s)=(3s+4)/(s^2+3s+1);

b) F(s)=2(s+5)/(s+1)2

3) Resuelva las ecuaciones diferenciales

;) e dx(xxtdxtxa 101)0( ;2)(2)(d ) 2 ===++

;) e dx(xtxtdxtd 000)0( 10)(2)(x10 b) 22 ===++

4) Dado X(s)=10/(s(s+1)), calcule - usando el teorema del valor final - el valor de x(t→∞). Verifique el

resultado haciendo la transformada inversa y calculando el limite para t→∞.

5) Obtener la función de transferencia para los siguientes sistemas físicos. a)

G(s)=Vo(s)/Vi(s) Donde Vi es una fuente de alimentación variable.

Vo es el voltaje de salida

b) Sea el sistema de la siguiente figura, consistente en dos tanques de acumulación de líquido. El primero descarga por gravedad sobre el segundo, situado a un nivel inferior. Supóngase que los caudales de descarga de ambos tanques son proporcionales a los niveles de líquido respectivos. Se pide obtener la función de transferencia G(s)=h2(s) / Fe(s) que representa el comportamiento dinámico del proceso considerando h2 como respuesta de salida y Fe como caudal de entrada.



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c) Considere el siguiente sistema mecánico, y determine la función de transferencia G(s)= xb(s)/F(s)

d) Dado el siguiente circuito con amplificadores operacionales, obtener la función de Transferencia G(s) = Vo(s) / Vi(s)

e) Dado el siguiente circuito obtener la función de Transferencia G(s) = Vc(s) / Vf(s)



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