l. matas, aproximación analítica de frecuencias de flexión libres de

APROXIMACIÓN ANALÍTICA DE FRECUNCIAS DE FLEXIÓN LIBRES DE LOSAS ALIGERADAS SIMPLEMENTE APOYADAS

MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN TUTELADA

Por:

Lourdes Matas Montejo I.C.C.P

Tutor:

Tutor inicial: Pedro Museros Romero Tutor: Guillermo Rus Carlborg

Departamento de Mecánica de Estructuras Universidad de Granada

Edificio Politécnico, Campus Universitario Fuentenueva, CP 18071 Granada (España)

Julio 2011

APROXIMACION ANALITICA DE

FRECUENCIAS DE FLEXION

LIBRES DE LOSAS ALIGERADAS

SIMPLEMENTE APOYADAS

MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS

Lourdes Matas Montejo. I.C.C.P.

Julio 2011

AGRADECIMIENTOS

”Dime y lo olvido, ensename y lo recuerdo, involucrame y lo aprendo”(Benjamin Franklin).

El primer dıa que leı por primera vez esta frase, me sentı ‘involucrada‘ conella, como me he sentido con este trabajo de investigacion, que me ha ensenadoa valorar, respetar y agradecer la capacidad del esfuerzo aplicado en una ideaplanteada, para obtener de ella el maximo partido posible. Concluido este tra-bajo, valoro aun mas si cabe el esfuerzo de las personas dedicadas por entero ala investigacion.Agradezco a mi tutor inicial Pedro Museros, el tiempo dedicado, a pesar de quela distancia no permitio terminar con el el presente trabajo.De manera muy especial quiero agradecer a Guillermo Rus, sus horas de dedi-cacion a la lectura de este documento, su implicacion directa en algunas partesdel mismo, y sobre todo y ante todo, la atencion y amabilidad con la que harealizado todo ello. Gracias Guillermo, sabes que no solo te considero mi tutor,sino un amigo.Tambien quiero agradecer al Departamento de Estructuras de la E.T.S.de In-genieros de Caminos de la Universidad de Granada, la dedicacion prestada,especialmente a los amigos que allı tengo. Y como no, a todos mis amigos quehan estado pendientes de mi esfuerzo dandome animos y preocupandose por eldesarrollo de este trabajo. Por ultimo agradecer a los que fueron mis alumnos deArquitectura Tecnica y Arquitectura Superior de EADE, el dejarme trasmitirlesmi amor por las estructuras en particular y la ingenierıa en general. Gracias porese tiempo vivido frente a una pizarra.Como todo trabajo academico que he realizado desde que un dıa el IngenieroDios se lo llevo, le dedico este trabajo a mi padre, que no me pudo ver mislogros academicos ni profesionales. Tambien esta vez de manera especial a mimadre, por su valentıa y esfuerzo en los duros momentos que esta viviendo porsu enfermedad en los ultimos meses, pero que con esa fuerza que le caracterizaesta venciendo. A ella le agradezco el trasmitirme la fuerza para lograr algocon sentido positivo. No me olvido de mis hermanos y mi familia a la que leagradezco la confianza depositada en mı, y especialmente a tı,que nos dejastehace poquito, con quien aprendı a montar en bici, y que desde aquel dıa meensenaste a que confiara en mı con esfuerzo y dedicacion.

RESUMEN

El denominado metodo de Elementos Finitos, es uno de los metodos practi-cos mas empleados para el analisis de estructuras y modelos tridimensionales,y es especialmente utilizado en el calculo de determinados parametros y efectosdinamicos de elementos estructurales. Sin embargo, el analisis en modelos en3D toma un mayor tiempo de calculo y se requiere un mayor uso de recursoscomputacionales, de ahı que resulte muy util simplificar al maximo el analisispara determinados elementos estructurales, como es el caso de las losas ortotro-pas de gran empleo y profusion.

El presente trabajo de investigacion, plantea un modelo aproximado de losaortotropa (modelo placa o modelo 2D), que conteniendo las constantes de or-totropıa de un modelo tridimensional (modelo losa o modelo 3D), consiga losmismos resultados en sus primeros modos de flexion y formas propias de vibra-cion.

Se parte del comportamiento dinamico de una viga isostatica simplementeapoyada en sus extremos, para exponer la ecuacion diferencial que gobiernadicho comportamiento y su aplicacion a los modelos placa y losa que constituiranlas secciones analizadas del presente trabajo.

Indice general

Indice de tablas II

Indice de figuras VIII

1. INTRODUCCION 1

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Estado del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Metodologıa Empleada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6. Contenido y Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. METODOLOGIA 40

2.1. FORMULACION ANALITICA DEL COMPORTAMIENTO DINAMI-CO DE UNA VIGA ISOSTATICA SIMPLEMENTE APOYA-DA: ECUACION DE BERNOUILLI. APLICACION A TABLE-ROS DE PUENTES DE FERROCARRIL . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.2. Formulacion Analıtica del Comportamiento Dinamico deuna Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.3. Formulacion Analıtica del Comportamiento Dinamico deun Tablero de Puente de Ferrocarril . . . . . . . . . . . . 50

i

INDICE GENERAL ii

2.1.4. Variables a considerar en el Comportamiento Dinamico dePuentes de Ferrocarril Constituidos por Losas Ortotropas 59

2.2. ESTRATEGIA DE DISENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.1. Normativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.2. Tipologıa de Secciones Adoptadas. Parametros y Consi-deraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA VALIDACION . 63

2.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3.2. Modelo de Elementos Finitos. Estudio de Convergencia . 63

2.3.3. Modelo Placa o Modelo 2D. Parametros de Calculo em-pleados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3. RESULTADOS 80

3.1. Comparacion Formas Modales. Frecuencias Asociadas a los TresPrimeros Modos de Flexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2. Comparacion de Desplazamientos o Formas Propias de Vibracion 97

4. DISCUSION 110

4.1. Resumen del Trabajo de Investigacion . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3. Propuestas para Investigaciones Futuras . . . . . . . . . . . . . . 114

5. APENDICES 115

A. Bibliografıa 116

B. Composicion General de las Macros Empleadas en Ansys 120

C. Datos de entrada y salida de resultados modelos 133

Indice de tablas

1.1. Geometrıa componentes seccion simetrica . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Relacion areas y cantos seccion simetrica . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Numero de aligeramientos y diametro seccion simetrica . . . . . . 4

1.4. Geometrıa componentes seccion asimetrica . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Relacion areas y cantos seccion asimetrica . . . . . . . . . . . . . 7

1.6. Numero de aligeramientos y lado aligeramiento seccion asimetrica 7

1.7. Relacion de luces y cantos secciones en estudio . . . . . . . . . . 13

1.8. Constantes geometricas losa canto 1 m. Seccion simetrica . . . . 14

1.9. Constantes geometricas losa canto 1.25 m. Seccion simetrica . . . 14




1.13. Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 1 m. SeccionSimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.14. Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 1.25 m. SeccionSimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16



iii

INDICE DE TABLAS iv

1.17. Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 2 m. SeccionSimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.18. Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 1 m. SeccionSimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.19. Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 1.25 m. SeccionSimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17



1.22. Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 2 m. SeccionSimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.23. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto1 m. Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.24. Comparacion en porcentaje Dx, canto 1 m. Seccion Simetrica . . 19

1.25. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto1.25 m. Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.26. Comparacion en porcentaje Dx, canto 1.25 m. Seccion Simetrica 20

1.27. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto1.5 m. Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.28. Comparacion en porcentaje Dx, canto 1.5 m. Seccion Simetrica . 21

1.29. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto1.75 m. Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.30. Comparacion en porcentaje Dx, canto 1.75 m. Seccion Simetrica 22

1.31. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto2 m. Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.32. Comparacion en porcentaje Dx, canto 2 m. Seccion Simetrica . . 23

1.33. Constantes geometricas losa canto 1 m. Seccion asimetrica . . . . 24

1.34. Constantes geometricas losa canto 1.25 m. Seccion asimetrica . . 25

1.35. Constantes geometricas losa canto 1.5 m. Seccion asimetrica . . . 25

1.36. Constantes geometricas losa canto 1.75 m. Seccion asimetrica . . 25

INDICE DE TABLAS v

1.37. Constantes geometricas losa canto 2 m. Seccion asimetrica . . . . 25

1.38. Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 1 m. SeccionAsimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.39. Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 1.25 m. SeccionAsimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26



1.42. Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 2 m. SeccionAsimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.43. Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 1 m. SeccionAsimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.44. Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 1.25 m. SeccionAsimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27



1.47. Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 2 m. SeccionAsimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.48. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto1 m. Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.49. Comparacion en porcentaje Dx, canto 1 m. Seccion Asimetrica . 29

1.50. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto1.25 m. Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.51. Comparacion en porcentaje Dx, canto 1.25 m. Seccion Asimetrica 30

1.52. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto1.5 m. Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


1.54. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto1.75 m. Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

INDICE DE TABLAS vi


1.56. Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto2 m. Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.57. Comparacion en porcentaje Dx, canto 2 m. Seccion Asimetrica . 33

2.1. Frecuencias de flexion viga isostatica simplemente apoyada . . . 49

2.2. Numero de aligeramientos y diametro seccion simetrica . . . . . . 62

2.3. Numero de aligeramientos y lado aligeramiento seccion asimetrica 62

2.4. Tablas Frecuencias Modos de Flexion estudio de convergencia.Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5. Variacion porcentual de frecuencias para diferentes tamanos demallas y tipologıa de elementos finitos. Seccion Simetrica . . . . 68

2.6. Numero de Nodos para cada tipologıa de mallado y tiempo decalculo.Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.7. Frecuencias de flexion asociadas a los tres primeros modos delmodelo placa y del modelo losa con diferentes tamanos de ma-lla.Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.8. Porcentaje de variacion entre frecuencias de flexion de la formu-lacion analıtica y las obtenidas para el modelo losa con diferentestipos de mallado de EF.Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . 71

2.9. Porcentaje de variacion entre frecuencias de flexion del modeloplaca y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos demallado de EF.Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.10. Tablas Frecuencias Modos de Flexion estudio de convergencia.Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.11. Variacion porcentual de frecuencias para diferentes tamanos demallas y tipologıa de elementos finitos. Seccion Asimetrica . . . . 75

2.12. Numero de Nodos para cada tipologıa de mallado y tiempo decalculo. Seccion Asimetrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.13. Frecuencias de flexion asociadas a los tres primeros modos delmodelo placa y del modelo losa con diferentes tamanos de ma-lla.Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

INDICE DE TABLAS vii

2.14. Porcentaje de variacion entre frecuencias de flexion de la formu-lacion analıtica y las obtenidas para el modelo losa con diferentestipos de mallado de EF.Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . 78

2.15. Porcentaje de variacion entre frecuencias de flexion del modeloplaca y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos demallado de EF.Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.1. Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Simetrica. Longitud15 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2. Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Simetrica. Longitud22.5 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3. Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Simetrica. Longitud30 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4. Porcentajes de variacion frecuencias de flexion entre modelo losay modelo placa. Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5. Porcentajes de variacion frecuencias de flexion entre el modeloplaca y la formulacion analıtica de viga. Seccion Simetrica . . . . 88

3.6. Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Asimetrica. Longi-tud 15 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.7. Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Asimetrica. Longi-tud 22.5 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.8. Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Asimetrica. Longi-tud 30 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.9. Porcentajes de variacion frecuencias de flexion entre modelo losay modelo placa. Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.10. Porcentajes de variacion frecuencias de flexion entre el modeloplaca y la formulacion analıtica de viga. Seccion Asimetrica . . . 96

3.11. Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelolosa y modelo placa. Longitud 15 m. Seccion Simetrica. Compa-racion porcentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.12. Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelolosa y modelo placa. Longitud 22.5 m. Seccion Simetrica. Com-paracion porcentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.13. Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelolosa y modelo placa. Longitud 30 m. Seccion Simetrica. Compa-racion porcentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

INDICE DE TABLAS viii

3.14. Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelolosa y modelo placa. Longitud 15 m. Seccion Asimetrica. Com-paracion porcentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.15. Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelolosa y modelo placa. Longitud 22.5 m. Seccion Asimetrica. Com-paracion porcentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.16. Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelolosa y modelo placa. Longitud 30 m. Seccion Asimetrica. Com-paracion porcentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Indice de figuras

1.1. Tipologıa de losas de inercia concentrada . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Tipologıa de losas de inercia distribuida . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Seccion Simetrica con disposicion de aligeramientos circulares . . 5

1.4. Seccion Asimetrica con disposicion de aligeramientos cuadrados . 6

1.5. Elemento Finito SOLIDO45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Elemento Finito SOLIDO95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Elemento Finito SHELL63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Localizacion areas Axy, Axo para el calculo de la constante derigidez Dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9. Seccion transversal de losa con aligeramientos circulares . . . . . 13

1.10. Seccion transversal de losa con aligeramientos cuadrados . . . . . 24

1.11. Esquema Desarrollo Investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1. Ecuacion Equilibrio Dinamico Viga Euler Benouilli . . . . . . . . 42

2.2. Expresiones de masa generalizada, rigidez generalizada y fuerzageneralizada modo j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3. Modos de vibracion,rigideces y formas modales viga isostaticasimplemente apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4. Modo de flexion 1. Viga isostatica simplemente apoyada . . . . . 49


ix

INDICE DE FIGURAS x


2.7. Expresiones de masa, rigidez y fuerza generalizada del modo j . . 51

2.8. Equilibrio fuerzas planteamiento problema dinamico . . . . . . . 52

2.9. Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.10. Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.11. Mallado con Solido45. Tamano nealig = 0.5. Seccion Simetrica . 66

2.12. Mallado con Solido45. Tamano nealig =1. Seccion Simetrica. . . 66

2.13. Mallado con Solido45. Tamano nealig = 1.2. Seccion Simetrica. . 67

2.14. Mallado con Solido45. Tamano nealig =2. Seccion Simetrica. . . 67

2.15. Mallado con Solido95. Tamano nealig =1.2. Seccion Simetrica. . 67

2.16. Mallado con Solido95. Tamano nealig = 2. Seccion Simetrica. . . 68

2.17. Convergencia Frecuencias Modo 1. Seccion Simetrica . . . . . . . 69



2.20. Numero nodos de cada tipologıa de mallado frente al tiempo decalculo en (s).Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.21. Mallado con Solido45. Tamano nealig = 0.5.Seccion Asimetrica . 74

2.22. Mallado con Solido45. Tamano nealig = 1.Seccion Asimetrica . . 74

2.23. Mallado con Solido45. Tamano nealig = 1.2. Seccion Asimetrica . 74

2.24. Mallado con Solido45. Tamano nealig = 2. Seccion Asimetrica . . 75

2.25. Mallado con Solido95. Tamano nealig = 1.2. Seccion Asimetrica . 75

2.26. Mallado con Solido45. Tamano nealig = 2. Seccion Asimetrica . . 75

2.27. Convergencia Frecuencias Modo 1. Seccion Asimetrica . . . . . . 76



INDICE DE FIGURAS xi

2.30. Numero nodos de cada tipologıa de mallado frente al tiempo decalculo en (s).Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1. Seccion Simetrica con disposicion de aligeramientos circulares . . 81

3.2. Mallado Modelo Placa Longitud 15m. Seccion Simetrica . . . . . 82

3.3. Mallado Modelo Losa Longitud 15m. Seccion Simetrica . . . . . . 82

3.4. Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sec-cion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83



3.7. Mallado Modelo Placa Longitud 22.5 m. Seccion Simetrica . . . . 84

3.8. Mallado Modelo Losa Longitud 22.5 m. Seccion Simetrica . . . . 84

3.9. Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m.Seccion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85



3.12. Mallado Modelo Placa Longitud 30 m. Seccion Simetrica . . . . . 86

3.13. Mallado Modelo Losa Longitud 30 m. Seccion Simetrica . . . . . 86

3.14. Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sec-cion Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87



3.17. Seccion Asimetrica con disposicion de aligeramientos cuadrados . 89

3.18. Mallado Modelo Placa Longitud 15m. Seccion Asimetrica . . . . 90

3.19. Mallado Modelo Losa Longitud 15m. Seccion Asimetrica . . . . . 90

INDICE DE FIGURAS xii

3.20. Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sec-cion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91



3.23. Mallado Modelo Placa Longitud 22.5 m. Seccion Asimetrica . . . 92

3.24. Mallado Modelo Losa Longitud 22.5 m. Seccion Asimetrica . . . 92

3.25. Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m.Seccion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93



3.28. Mallado Modelo Placa Longitud 30 m. Seccion Asimetrica . . . . 94

3.29. Mallado Modelo Losa Longitud 30 m. Seccion Asimetrica . . . . 94

3.30. Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sec-cion Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95



3.33. Representacion conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Simetrica.Longitud 15 m. . . . . . . . 98

3.34. Diferencia de contornos deformada modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D). Seccion Simetrica. Longitud 15 m. . . . . . . 98

3.35. Representacion conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Simetrica. Longitud 15 m. . . . . . . 99


3.37. Representacion conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Simetrica.Longitud 15 m . . . . . . . 100

INDICE DE FIGURAS xiii


3.39. Representacion conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Simetrica.Longitud 22.5 m . . . . . . 101






3.45. Representacion conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Asimetrica.Longitud 15 m . . . . . . 104

3.46. Diferencia de contornos deformada modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D). Seccion Asimetrica. Longitud 15 m. . . . . . 104





3.51. Representacion conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Asimetrica.Longitud 22.5 m . . . . . 107




INDICE DE FIGURAS xiv



Capıtulo 1

INTRODUCCION

1.1. Motivacion

El planteamiento del trabajo de investigacion se centrara ante todo en darrespuesta a la cuestion:¿se podrıa plantear un modelo basado en la formulacionanalıtica de viga simple para el estudio del comportamiento dinamico de tablerosde puentes de ferrocarril?

En base a ello, se establecen como objetivos del trabajo:

1. La respuesta dinamica de una estructura para su dimensionamiento.

2. Evaluar la influencia de cada una de las variables introducidas en el com-portamiento dinamico del tablero (masa y rigidez) con la configuraciongeometrica del mismo (luz (luces cortas entre 10 y 30 m), anchura, tipo-logıa de seccion (simetrica, asimetrica))

3. Comparar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de una vigaisostatica con el modelo de losa ortotropa que se establecera para cadauna de las secciones a estudiar en el presente trabajo.

Ante todo, se tratara de establecer un modelo de calculo, basado en un modelosencillo tipo viga isostatica, que con rigidez y densidad constante a lo largo de sudirectriz principal nos permita establecer pruebas de diseno y modelizacion parala obtencion de sus frecuencias naturales de vibracion, y mas concretamente susmodos de flexion, que seran la base para el establecimiento del calculo comple-to de acuerdo a las normas e instrucciones vigentes, de tableros de puentes deferrocarril constituidos por losas ortotropas isostaticas simplemente apoyadas.En definitiva y ante todo, se tratara de la justificacion de un modelo matemati-co simplificado para el estudio dinamico de tableros de puentes de ferrocarril,basandose en calculos realizados con elementos finitos.

1

1. INTRODUCCION 2

1.2. Estado del Arte

En la actualidad se pueden encontrar tres tipologıas de secciones de puentesde ferrocarril que se usan con gran profusion:[6][10]

Vigas

Losas

Seccion Cajon

El presente trabajo de investigacion se centra en el estudio de secciones de puentetipo losa, la cual constituye una solucion eficaz para puentes de luces pequenasy medias, pudiendose establecer un campo de aplicacion entre 10 y 45 m de luz.

Entre las tipologıas de tableros de puentes losa, se pueden distinguir ademas:

Losas de inercia concentrada: llamadas ası cuando la rigidez a flexion deltablero se concentra en una zona reducida del mismo.

Figura 1.1: Tipologıa de losas de inercia concentrada

Losas de inercia distribuida: cuando la rigidez a flexion longitudinal sereparte uniformemente en la seccion transversal

Figura 1.2: Tipologıa de losas de inercia distribuida

1. INTRODUCCION 3

Como se aprecia en algunos de los croquis adjuntos, en la tipologıa tipo losa, seplantea ademas la necesidad de un aligeramiento de la seccion por razones, ob-viamente economicas, pero tambien constructivas, reduciendose de esta forma,peso de la seccion losa y por tanto material de zonas con menor contribuciona la resistencia del tablero. Los aligeramientos suelen tener diferentes formas:cuadradas, rectangulares, o circulares. Las formas de los aligeramientos circula-res y rectangulares han sido las elegidas como aligeramientos de las tipologıasde losas objeto de este trabajo.

Las premisas que se han seguido para la eleccion de las secciones a estudiarestan basadas en las siguientes hipotesis:

Canto obtenido de la relacion h = L/15, esbeltez habitual en puentes losa,siendo el canto mınimo 1 m, ya que para cantos inferiores el recubrimientono es factible.

Anchura de losa 7 metros considerando ancho de vıa unica (7m).

En cuanto al espaciamiento entre aligeramientos (carne), es habitual dis-ponerlos entre 30 y 40 cm.

Otro aspecto de especial interes es el hecho de que los aligeramientos sedisponen con un cierto recubrimiento entre la parte superior e inferior deltablero. Los recubrimientos habituales, tanto inferiores como superiores,se mueven dentro de un rango de validez comprendido entre 11-25 cmpara los recubrimientos superiores, y 18 -30 cm para los recubrimientosinferiores. Son habituales el establecimiento de relacion de recubrimientosinferior y superior (ri/rs) entre 1-2, tanto para las secciones simetricas(con valores iguales de recubrimiento superior e inferior), como para sec-ciones asimetricas (con diferentes valores para los recubrimientos superiore inferior). Ambos casos, han sido estudiados en el presente trabajo.

Otro aspecto a tener en cuenta es el diametro de los aligeramientos (pa-ra aligeramientos circulares), o lado (para aligeramientos cuadrados). Elvalor de este diametro no es aleatorio, sino que esta condicionado por elcumplimiento de la siguiente relacion de areas:

Area Aligeramiento <60 % Area total de la seccion transversal (bx) sinaligeramientos

Y a su vez el diametro del aligeramiento, para aligeramientos circulares, o ellado para aligeramientos cuadrados, debe cumplir:

Diametro aligeramiento <0.7 h

Lado aligeramiento <0.7 h

1. INTRODUCCION 4

siendo h el canto de la seccion considerada.

El cumplimiento de estas relaciones nos permite, en un principio despreciarel efecto de la deformacion por esfuerzo cortante trasversal en el modelo, te-niendo en cuenta que este tipo de esfuerzo puede resultar de gran importanciay consideracion en los modelos de tableros de losas aligeradas.[10]

Con todo lo anteriormente expuesto se llega a los resultados de las siguientestablas que recogen de forma esquematica el desarrollo planteado anteriormen-te, y que han sido la base de las secciones simetricas (recubrimiento superior einferior iguales) planteadas en el estudio del presente trabajo.

Longitud Canto Carne Rec. Superior Rec. Inferior(m) (m) (m) (m) (m)15 1 0.40 0.20 0.20

22.5 1.5 0.30 0.20 0.2030 2 0.35 0.30 0.30

Tabla 1.1: Geometrıa componentes seccion simetrica

Longitud Canto Relacion areas Relacion canto(m) (m) (m) (m)15 1 0.28 0.60

22.5 1.5 0.45 0.7030 2 0.44 0.70

Tabla 1.2: Relacion areas y cantos seccion simetrica

Longitud Numero Anchura bx Diametro(m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento(m)15 7 7 1 0.60

22.5 5 7 1.40 1.1030 4 7 1.75 1.40

Tabla 1.3: Numero de aligeramientos y diametro seccion simetrica

1. INTRODUCCION 5

El esquema de la seccion entre aligeramientos responderıa a la siguientefigura, para secciones con aligeramientos circulares y simetrıa de recubrimientos:

Figura 1.3: Seccion Simetrica con disposicion de aligeramientos circulares

1. INTRODUCCION 6

Al mismo tiempo, se han estimado tambien secciones con aligeramientoscuadrados y recubrimientos con dimensiones diferentes, resultando de este mo-do secciones asimetricas, con el objetivo de corroborar las hipotesis planteadasen diferentes tipologıas de secciones que pueden ser empleadas en tableros depuentes tipo losa. El esquema de la seccion entre aligeramientos responderıaa la siguiente figura, para secciones con aligeramientos cuadrados y valores derecubrimientos, superior e inferior, diferentes:

Figura 1.4: Seccion Asimetrica con disposicion de aligeramientos cuadrados

Las condiciones de areas, recubrimientos, cantos, esbelteces, etc,... son lasmismas que las recogidas para la seccion estudiada con aligeramientos circularesy valores de recubrimientos similares. Por ello, del mismo modo tenemos:

1. INTRODUCCION 7

Longitud Canto Carne Rec. Superior Rec. Inferior(m) (m) (m) (m) (m)15 1 0.40 0.15 0.25

22.5 1.5 0.30 0.15 0.2530 2 0.35 0.25 0.30

Tabla 1.4: Geometrıa componentes seccion asimetrica

Longitud Canto Relacion areas Relacion canto(m) (m) (m) (m)15 1 0.36 0.60

22.5 1.5 0.58 0.7030 2 0.60 0.70

Tabla 1.5: Relacion areas y cantos seccion asimetrica

Longitud Numero Anchura bx Lado(m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento(m)15 7 7 1 0.60

22.5 5 7 1.40 1.1030 4 7 1.75 1.45

Tabla 1.6: Numero de aligeramientos y lado aligeramiento seccion asimetrica

1. INTRODUCCION 8

1.3. Metodologıa Empleada

Los modelos estructurales analizados se han estudiado mediante el empleodel metodo de elementos finitos. Simplemente se ha tratado de modelizar eltablero de forma analıtica mediante el modelo de viga de Euler Benouilli.

La Teorıa de vigas clasicas o de Euler- Bernouilli se basa en las tres hipotesissiguientes:

1. Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una secciontransversal son pequenos e iguales a los del eje de la viga x.

2. El desplazamiento lateral (segun el eje y del sistema de referencia adop-tado) es nulo.

3. Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deforma-cion, permanecen planas y ortogonales a dicho eje despues de la deforma-cion.

La eleccion del metodo de elementos finitos se ha basado en el hecho de quelas estructuras de tableros de puentes se pueden “catalogar” como estructurasde naturaleza continua, siendo necesario expresar su comportamiento de formaprecisa mediante un gran numero de variables. El analisis de estas estructuras,efectuado con un cierto rigor, lleva a la integracion de ecuaciones diferencialesque expresan el equilibrio de elementos diferenciales en los que ha quedadodiscretizada la estructura.

Para poder abordar el problema planteado de obtencion de los diferentesmodos de vibracion que definen el comportamiento dinamico de cualquier es-tructura, resulta da gran utilidad el “Metodo de los Elementos Finitos”.

El calculo dinamico de puentes de ferrocarril se puede abordar mediante estemetodo. El analisis su puede llevar a cabo mediante:

integracion directa en el tiempo del modelo completo

analisis modal

En el presente trabajo de investigacion se ha optado por un analisis modal.Enuno u otro caso de los mencionados (integracion directa en el tiempo del modelocompleto o analisis modal), el problema basico se centra en resolver el sistemade ecuaciones diferenciales planteado con la ecuacion:[5][7][8]

1. INTRODUCCION 9

Donde:

M: representa la matriz de masa

C: representa la matriz de amortiguamiento

K: representa la matriz de rigidez

f:representa el vector de fuerzas externas aplicadas

d: vector incognita de desplazamientos nodales

Considerando un comportamiento lineal de la estructura se puede realizar unanalisis modal con una reduccion notable de grados de libertad.En una primerafase se resuelve el problema de autovalores obteniendo numericamente los “n”autovalores (frecuencias propias) y modos normales de vibracion mas significati-vos (generalmente n� N ) siendo N el numero de grados de libertad asociadosa la estructura.

A continuacion estos modos de vibracion se integran en el tiempo. Las ecua-ciones obtenidas quedan desacopladas reduciendose la respuesta de cada modoa la ecuacion dinamica de un sistema con un grado de libertad.El programa empleado para los estudios llevados a cabo sobre las modelos plan-teados en este trabajo de investigacion, ha sido el programa Ansys version 11.0.Para la discretizacion de los modelos estudiados se han empleado elementos tridi-mensionales, del tipo “Elementos Estructurales Solidos: SOLID45 y SOLID95”,que resultan de gran utilidad en Ansys para efectuar tales discretizaciones.

1. INTRODUCCION 10

El elemento SOLID45, se define a partir de 8 nodos, uno en cada vertice.Cada nodo tiene tres grados de libertad, que corresponden a las tres direccionesde desplazamiento. El elemento basico tiene forma de hexaedro, aunque tambienpuede emplearse como prisma o tetraedro.

Figura 1.5: Elemento Finito SOLIDO45

Por su parte el elemento SOLID95, es un elemento como el SOLID45, perocon un mayor orden. En este caso se definen en total 20 nodos correspondientesno solo a los vertices, sino tambien a las aristas, ya que en el punto medio decada una de ellas se dispone un nodo. Este elemento puede emplearse tambiencomo prisma o como tetraedro, siendo muy apropiados para modelar formasirregulares, aunque requieren mayor tiempo de calculo y mayores rendimientosequipo computacional empleado.

Figura 1.6: Elemento Finito SOLIDO95

Tal y como se muestra en la figura (1.6) el elemento se define por cuatronodos, y cada nodo tiene seis grados de libertad: tres de traslacion y tres derotacion. Los ejes coordenados del elemento, X, Y, se definen en el mismo planodel elemento. El elemento tiene un espesor que se define en sus constantes reales.

1. INTRODUCCION 11

Para la obtencion de las frecuencias y formas propias de vibracion del modeloplaca, se ha empleado el elemento finito SHELL63. Este elemento encuentra granaplicacion en el modelizacion de estructuras hechas o concebidas como laminaso elementos de pared delgada. Por lo que resulta adecuado para la modelizaciondel modelo placa ya que como se ha expuesto, el objetivo del trabajo es laobtencion de un modelo de losa ortotropa que presente facilidades de calculomodal, en cuanto a concepcion de mallado por elementos finitos y tiempo deobtencion de resultado.

Figura 1.7: Elemento Finito SHELL63

1. INTRODUCCION 12

1.4. Hipotesis

Una de las primeras cuestiones que surgio al inicio del planteamiento deltrabajo, ha sido la consideracion del denominado Efecto Poisson entre las zonasde aligeramientos de las secciones planteadas, tanto simetricas como asimetricas,y su afeccion a las constantes de ortotropıa de cada modelo que rigen la validezdel metodo planteado.En este sentido se han llevado a cabo obtenciones de la constante Dx y sucomparacion, en valores para una misma tipologıa de seccion, considerando ono el Efecto Poisson. Autores como Salvador Monleon plantean a su vez unaformulacion basada en el desarrollo de momentos de inercia que ha sido objetode estudio en secciones de tipo simetrico.[26]

La consideracion o no de Efecto Poisson, se ha basado en la obtencion de losmomentos de inercia de las secciones consideradas. De este modo:

Si en el desarrollo de tales momentos de inercia, se ha tenido en cuenta elarea de la seccion entre aligeramientos, tendremos un planteamiento delmodelo considerando el Efecto Poisson.

Por el contrario, si al desarrollar por momentos de inercia el calculo de laconstante de rigidez Dx, no se tiene en cuenta el valor del area entre ali-geramientos, tendremos un planteamiento del modelo sin la consideraciondel Efecto Poisson para la obtencion de dicho valor Dx.

Figura 1.8: Localizacion areas Axy, Axo para el calculo de la constante de rigidez Dx

1. INTRODUCCION 13

Donde:

Axy: sera el area superior e inferior de los recubrimientos de la seccion delosa

Axo: area entre aligeramientos. Si en la obtencion de la constante de rigidezDx se considera dicha area, se estara teniendo en cuenta el Efecto Poissonentre aligeramientos

Se han analizado secciones con cantos de losa dados por la siguiente relacionde esbeltez:

Longitud (m) Canto h [L/15 (m)]15 1

18.75 1.2522.5 1.526.25 1.75

30 2

Tabla 1.7: Relacion de luces y cantos secciones en estudio

La eleccion de las luces y cantos se ha establecido sobre todo, para obtenercantos con valores proximos a las construcciones habituales hoy en dıa en table-ros de puentes de ferrocarril. La anchura considerada de cada canto estudiadoha dependido de la aplicacion de las hipotesis consideradas en el apartado 1.2.del presente trabajo.

Figura 1.9: Seccion transversal de losa con aligeramientos circulares

1. INTRODUCCION 14

Donde:

rs: recubrimiento superior

ri: recubrimiento inferior

bx: suma de la carne y el diametros del aligeramiento

d: diametro del aligeramiento

h: canto del tablero

Con todo lo anterior obtenemos para secciones con aligeramientos circulares:

Canto 1 m

Carne(m) Relacion areas Diametro (m) bx (m) rs (m) ri (m)0.30 0.31 0.60 0.90 0.20 0.200.40 0.28 0.60 1.0 0.20 0.200.50 0.26 0.60 1.10 0.20 0.20

Tabla 1.8: Constantes geometricas losa canto 1 m. Seccion simetrica

Canto 1.25 m


Tabla 1.9: Constantes geometricas losa canto 1.25 m. Seccion simetrica

Canto 1.5 m



1. INTRODUCCION 15

Canto 1.75 m



Canto 2 m



Con los datos planteados en las tablas anteriores y, considerando anchura deseccion el valor bx (suma del valor de la carne y del diametro del aligeramiento)se han obtenido los valores de la rigidez Dx, tanto de las secciones en las quese ha considerado el Efecto Poisson como de aquellas otras sobre las que seha “despreciado” dicho efecto. Finalmente, se ha realizado una comparacion deambos valores.

Las constantes del material empleado en el estudio, han sido:

E: Modulo de Elasticidad =3,6.105 MPa

υ : 0, 2

Para las secciones con las constantes planteadas en las tablas anteriores, seobtienen los siguientes valores considerando el Efecto Poisson entre alige-ramientos:

1. INTRODUCCION 16

Canto 1 m

Iz Constante Rigidez Dx(m4) (N.m2)0.069 25739353078.680.077 28864353078.680.085 31989353078.68

Tabla 1.13: Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 1 m. Seccion Simetrica

Canto 1.25 m


Tabla 1.14: Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 1.25 m. Seccion Simetrica

Canto 1.5 m



Canto 1.75 m



1. INTRODUCCION 17

Canto 2 m


Tabla 1.17: Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 2 m. Seccion Simetrica

Del mismo modo, para las mismas secciones obtenemos los siguientes valoressin considerar el Efecto Poisson entre aligeramientos:

Canto 1 m


Tabla 1.18: Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 1 m. Seccion Simetrica

Canto 1.25 m


Tabla 1.19: Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 1.25 m. Seccion Simetrica

Canto 1.5 m



1. INTRODUCCION 18

Canto 1.75 m



Canto 2 m


Tabla 1.22: Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 2 m. Seccion Simetrica

Las conclusiones a las que se ha llegado con los resultados anteriores, hanpermitido llevar a cabo una comparacion porcentual entre valores de rigidecesDx, para cada hipotesis, considerando o no el Efecto Poisson en la zona entrealigeramientos. De este modo tenemos:

1. INTRODUCCION 19

Canto 1 m

Con Efecto Poissonri/rs bx-d (m) rs(m) ri(m) d(m) bx(m) Dx (N.m2)

1 0.30 0.20 0.20 0.60 0.90 25739353078.681 0.40 0.20 0.20 0.60 1.0 28864353078.681 0.50 0.20 0.20 0.60 1.10 31989353078.68

Sin Efecto Poisson1 0.30 0.20 0.20 0.60 0.90 22050000000.01 0.40 0.20 0.20 0.60 1.0 24500000000.01 0.50 0.20 0.20 0.60 1.10 26950000000.0

Tabla 1.23: Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto 1 m.Seccion Simetrica

La comparacion en porcentaje entre los valores Dx obtenidos para distintosvalores del espacio entre aligeramientos se refleja en la siguiente tabla:

Espacio entre Diferencia en porcentajealigeramientos (m) valores Dx

0.30 140.40 150.50 16

Tabla 1.24: Comparacion en porcentaje Dx, canto 1 m. Seccion Simetrica

1. INTRODUCCION 20

Canto 1.25 m


1 0.30 0.20 0.20 0.85 1.15 60581458983.631 0.40 0.20 0.20 0.85 1.25 66684974608.631 0.50 0.20 0.20 0.85 1.35 72788490233.63


Tabla 1.25: Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto 1.25 m.Seccion Simetrica


0.30 20.570.40 21.560.50 22.39

Tabla 1.26: Comparacion en porcentaje Dx, canto 1.25 m. Seccion Simetrica

1. INTRODUCCION 21

Canto 1.5 m


1 0.30 0.20 0.20 1.10 1.40 120705434741.481 0.40 0.20 0.20 1.10 1.50 131252309741.481 0.50 0.20 0.20 1.10 1.60 141799184741.48




0.30 260.40 270.50 28


1. INTRODUCCION 22

Canto 1.75 m


1 0.30 0.20 0.20 1.35 1.65 215201252145.401 0.40 0.20 0.20 1.35 1.75 231949299020.401 0.50 0.20 0.20 1.35 1.85 248697345895.40




0.30 30.540.40 31.650.50 32.61


1. INTRODUCCION 23

Canto 2 m


1 0.35 0.30 0.30 1.40 1.75 366784712863.101 0.40 0.30 0.30 1.40 1.80 379284712863.101 0.50 0.30 0.30 1.40 1.90 404284712863.10


Tabla 1.31: Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto 2 m.Seccion Simetrica


0.30 21.630.40 22.050.50 23.00

Tabla 1.32: Comparacion en porcentaje Dx, canto 2 m. Seccion Simetrica

1. INTRODUCCION 24

Del mismo modo para secciones con valores de recubrimientos diferentessuperior e inferior (asimetricas) y aligeramientos cuadrados, se han obtenidolos siguientes resultados:

Figura 1.10: Seccion transversal de losa con aligeramientos cuadrados

Donde:

rs: recubrimiento superior

ri: recubrimiento inferior

bx: suma de la carne y el lado del aligeramiento

a: lado del aligeramiento

h: canto del tablero

Canto 1 m

Carne(m) Relacion areas Lado a (m) bx (m) rs (m) ri (m)0.30 0.40 0.60 0.90 0.15 0.250.40 0.36 0.60 1.0 0.15 0.250.50 0.33 0.60 1.10 0.15 0.25

Tabla 1.33: Constantes geometricas losa canto 1 m. Seccion asimetrica

1. INTRODUCCION 25

Canto 1.25 m


Tabla 1.34: Constantes geometricas losa canto 1.25 m. Seccion asimetrica

Canto 1.5 m



Canto 1.75 m



Canto 2 m


Tabla 1.37: Constantes geometricas losa canto 2 m. Seccion asimetrica

1. INTRODUCCION 26

Como en el caso de secciones simetricas,planteadas con anterioridad, con losdatos expuestos en las tablas anteriores y, considerando anchura de seccion elvalor bx (suma del valor de la carne y la anchura del aligeramiento) se hanobtenido los valores de la rigidez Dx considerando el Efecto Poisson y sin con-siderar el Efecto Poisson, para secciones asimetricas, comparando de nuevo losresultados entre sı. Las constantes del material empleado de nuevo han sido:

E: Modulo de Elasticidad =3,6.105 MPa

υ : 0, 2

Para las secciones asimetricas con aligeramientos cuadrados, se obtienen los si-guientes valores considerando el Efecto Poisson entre aligeramientos:

Canto 1 m


Tabla 1.38: Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 1 m. Seccion Asimetrica

Canto 1.25 m


Tabla 1.39: Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 1.25 m. Seccion Asimetrica

Canto 1.5 m



1. INTRODUCCION 27

Canto 1.75 m



Canto 2 m


Tabla 1.42: Constante rigidez Dx con Efecto Poisson, canto 2 m. Seccion Asimetrica

Los valores de Dx obtenidos sin considerar el Efecto Poisson han sido:Canto 1 m


Tabla 1.43: Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 1 m. Seccion Asimetrica

Canto 1.25 m


Tabla 1.44: Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 1.25 m. Seccion Asimetrica

1. INTRODUCCION 28

Canto 1.5 m



Canto 1.75 m



Canto 2 m


Tabla 1.47: Constante rigidez Dx sin Efecto Poisson, canto 2 m. Seccion Asimetrica

1. INTRODUCCION 29

Los valores obtenidos de Dx, han sido comparados entre sı, mediante elestudio de porcentajes de diferencia entre ambos valores de rigideces Dx paraun mismo valor de espaciamiento entre aligeramientos, tal y como se muestra acontinuacion:

Canto 1 m


0.25/0.15 0.30 0.15 0.25 0.60 0.90 23512500000.000.25/0.15 0.40 0.15 0.25 0.60 1.0 26672656250.000.25/0.15 0.50 0.15 0.25 0.60 1.10 29823310810.81

Sin Efecto Poisson0.25/0.15 0.30 0.15 0.25 0.60 0.90 21018750000.00.25/0.15 0.40 0.15 0.25 0.60 1.0 23423339844.00.25/0.15 0.50 0.15 0.25 0.60 1.10 25826848977.0

Tabla 1.48: Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto 1 m.Seccion Asimetrica

La comparacion en porcentaje entre los valores Dx obtenidos para distintosvalores del espacio entre aligeramientos se refleja en la siguiente tabla:


0.30 110.40 120.50 13

Tabla 1.49: Comparacion en porcentaje Dx, canto 1 m. Seccion Asimetrica

1. INTRODUCCION 30

Canto 1.25 m


0.25/0.15 0.30 0.15 0.25 0.85 1.15 52515941870.630.25/0.15 0.40 0.15 0.25 0.85 1.25 58721309988.840.25/0.15 0.50 0.15 0.25 0.85 1.35 64900291450.78


Tabla 1.50: Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto 1.25 m.Seccion Asimetrica

La comparacion en porcentaje entre los valores Dx obtenidos para distintosvalores del espacio entre aligeramientos es:


0.30 130.40 150.50 17

Tabla 1.51: Comparacion en porcentaje Dx, canto 1.25 m. Seccion Asimetrica

1. INTRODUCCION 31

Canto 1.5 m


0.25/0.15 0.30 0.15 0.25 1.10 1.40 99226509831.460.25/0.15 0.40 0.15 0.25 1.10 1.50 109995823317.310.25/0.15 0.50 0.15 0.25 1.10 1.60 6120709059873.95





0.30 14.310.40 170.50 19


1. INTRODUCCION 32

Canto 1.75 m


0.25/0.15 0.30 0.15 0.25 1.35 1.65 167913248239.440.25/0.15 0.40 0.15 0.25 1.35 1.75 185073936806.960.25/0.15 0.50 0.15 0.25 1.35 1.85 202132558524.74





0.30 15.400.40 18.290.50 21


1. INTRODUCCION 33

Canto 2 m


0.30/0.25 0.30 0.25 0.30 1.45 1.75 298125042276.950.30/0.25 0.40 0.25 0.30 1.45 1.85 323217857797.830.30/0.25 0.50 0.25 0.30 1.45 1.95 348290018960.80


Tabla 1.56: Comparacion Dx con efecto Poisson y sin Efecto Poisson, canto 2 m.Seccion Asimetrica



0.30 100.40 12.20.50 14

Tabla 1.57: Comparacion en porcentaje Dx, canto 2 m. Seccion Asimetrica

1. INTRODUCCION 34

Tras el analisis de los datos contenidos en las tablas, mostradas con anterio-ridad, tanto para secciones con aligeramientos circulares y disposicion simetricade recubrimientos (secciones simetricas), como para secciones con aligeramientoscuadrados y disposicion asimetrica de los recubrimientos (secciones asimetricas),se ha llegado a las siguientes conclusiones:

Tanto para secciones simetricas como asimetricas, la diferencia de valo-res de la rigidez Dx considerando Efecto Poisson o no entre espacios dealigeramientos, resulta significativa, con diferencias en valores porcentua-les mayores al 10 porciento o en el entorno al 10 porciento, para cualquiercanto (h) del rango de valores estudiado, y para cualquier valor de la carneo espacio entre aligeramientos considerado.

En ambas tipologıas de secciones, el aumento del canto, lleva consigo unaumento del diametro o anchura del aligeramiento, pero en consecuenciaaumenta tambien la altura de la carne y por tanto el area de la zonaentre aligeramientos. Esto ha tenido como consecuencia que las diferenciasporcentuales en los valores de Dx sean mayores a medida que aumenta elcanto.

Cabe mencionar que para la seccion de canto 2,0 m se han propuesto valo-res de recubrimientos mayores que los de las secciones de cantos inferiores,y en consecuencia, la diferencia porcentual esperada ha sido menor, debi-do a que la circunstancia de aumentar el valor de los recubrimientos haceque disminuya la altura de la carne o lo que es lo mismo, disminuye elarea entre aligeramientos a igualdad de canto. En cualquier caso la dife-rencia porcentual se mantiene elevada, entre los valores de Dx obtenidosconsiderando o no el Efecto Poisson.

Con las conclusiones obtenidas, se optara por llevar a cabo el estudiode las secciones planteadas en el presente trabajo, tanto con disposicionde aligeramientos simetricos como asimetricos, considerando el EfectoPoisson en la zona entre dichos aligeramientos.

1. INTRODUCCION 35

1.5. Objetivos

El denominado metodo de Elementos Finitos, es uno de los metodos practi-cos mas empleados para el analisis de estructuras y modelos tridimensionales,y es especialmente utilizado en el calculo de determinados parametros y efectosdinamicos de elementos estructurales. Sin embargo, el analisis en modelos en3D toma un mayor tiempo de calculo y se requiere un mayor uso de recursoscomputacionales, de ahı que resulte muy util simplificar al maximo el analisisque se realiza por Elementos Finitos de determinados elementos estructuralescomo es el caso de las losas ortotropas de gran empleo y profusion. Como casosespeciales de la simplificacion de estructuras tridimensionales se encuentran porejemplo, el modelamiento de estructuras de pared delgada o cascarones, ası comoel modelamiento de elementos axisimetricos. Esta ultima tipologıa de modela-miento sigue presentando el inconveniente de la creacion de varios modelos queen conjunto produzcan el mismo efecto que la estructura completa y por tanto lareduccion del tiempo de calculo no resulta tan importante. Ademas, en modeloscomplejos como los presentados en este trabajo, aun los modelos axisimetricoscorrespondientes seguirıan siendo de cierta envergadura para su analisis en 3D.Por ello, lo objetivos del presente trabajo son varios y se corresponden con lasdistintas etapas de desarrollo del mismo.

Inicialmente se ha llevado a cabo una labor de revision bibliografica con elobjetivo de profundizar en el conocimiento del Calculo Dinamico de Estructurasde Puentes de Ferrocarril, sobre todo en losas ortotropas simplemente apoyadasy su modelizacion mediante elementos finitos. Todo ello ha llevado al estableci-miento de una serie de hipotesis que han permitido determinar la influencia dedeterminados efectos, al ser considerados o no, (Efecto Poisson en la zona entrealigeramientos), en la obtencion de las constantes de ortotropıa de los modeloslosas aligeradas. Dichas constantes seran aplicadas al modelo placa de calculo,desarrollado a lo largo del presente trabajo, para la obtencion de la respuestamodal de la losa.

Se han planteado una serie de parametros geometricos que han permitido ob-tener diferentes secciones de losas aligeradas para distintas luces comprendidasentre 10 y 30 m de longitud. Se han establecido, para cada tipologıa de secciony luz de calculo, dos modelos: modelo losa o tambien denominado 3D, y modeloplaca o modelo 2D. El modelo losa se corresponde con la seccion aligerada, mo-delizada por elementos finitos 3D, a la que se le han determinado sus frecuenciaspropias de vibracion, de las cuales se han extraıdo los tres primeros modos de fle-xion. El objetivo de todo ello ha sido la comparacion de dichos modos de flexioncon los correspondientes modos del modelo placa al que se le han aplicado lasconstantes de ortotropıa del modelo losa. En definitiva se ha tratado de obtenerun modelo sencillo (modelo placa o modelo 2D) que simplifique el desarrollo decalculo del modelo complejo (modelo 3D o modelo losa), para un predimensio-namiento inicial, en cuanto a calculos dinamicos se refiere, que permita observarla variacion de determinados valores en cada seccion a estudiar, de forma rapiday sencilla, como: luces, cantos, simetrıa o asimetrıa de aligeramientos, tipologıa

1. INTRODUCCION 36

de aligeramientos, etc... Con ello se pretende acortar el tiempo de calculo y lacomplejidad del mallado y modelizacion empleada, disponiendo ası de una he-rramienta de calculo que permita, como se reitera, un predimensionamientoinicial de losas ortotropas empleadas como tableros de puentes de ferrocarril.

Como objetivo ultimo, y para afianzar la validez del metodo de predimen-sionamiento desarrollado en el presente trabajo, se han comparado a su vez losdesplazamientos uz de ambos modelos (modelo losa y modelo placa) asociadosa cada modo de flexion.

1. INTRODUCCION 37

1.6. Contenido y Estructura

El presente trabajo de investigacion se ha dividido en cuatro capıtulos queesquematizan y muestran a su vez de forma organizada los objetivos planteados.

En el primer capıtulo, a modo de introduccion, se plantean los objetivosdel trabajo y se presentan las secciones escogidas para llevar a cabo el estudiorealizado. Se ponen de manifiesto, a su vez, las hipotesis que se consideraransobre las tipologıas de secciones analizadas.

En el segundo capıtulo se muestra la metodologıa analıtica de vigas isostati-cas, losas isotropas y losas ortotropas en las que se ha basado el estudio del com-portamiento dinamico de las secciones tipo de tableros de puentes planteadas.Al mismo tiempo, se presenta la estrategia de diseno y las secciones definitivasque formaran parte de este estudio. Se modelizan las secciones analizadas me-diante el metodo de los elementos finitos de acuerdo al mallado obtenido en elcapıtulo anterior.Para una mejor exposicion de todo el capıtulo, se ha dividio el mismo, a su vez,en tres secciones:

La primera de ellas muestra la formulacion analıtica del comportamientodinamico de vigas isostaticas, ası como de tableros de puentes de ferrocarrildiferenciando a su vez dos modelos: losas isotropas y losas ortotropas.

La segunda muestra la normativa actual en materia de puentes de fe-rrocarril y los parametros y consideraciones tenidas en cuenta a la horade la determinacion de dichos parametros, para definir las tipologıas desecciones que seran objeto de estudio a lo largo del presente trabajo.

Por ultimo, la tercera seccion describe y valida mediante un estudio deconvergencia, el tipo de elemento finito que se empleara en el mallado delos modelos losa, para la obtencion de las frecuencias propias de vibracion,al que se sometera cada una de las secciones planteadas.

El capıtulo tercero muestra los resultados obtenidos de cada seccion, y sucomparacion entre si para los tres primeros modos de flexion y para las formaspropias asociadas a cada modo, tanto del modelo de losa 3D como del modelode placa. Este ultimo obtenido por aplicacion de las constantes de ortotropıadel modelo losa 3D.

Por ultimo, el capıtulo cuarto plantea las conclusiones obtenidas y las pro-puestas para futuras investigaciones que se puedan realizar sobre las seccionesempleadas o sobre nuevas secciones no analizadas en el presente trabajo.

1. INTRODUCCION 38

En los apendices finales se incluye el resultado del estudio de revision bi-bliografica sobre el comportamiento dinamico de estructuras, habiendo hinca-pie sobre todo, a las tipologıas de puentes de losas ortotropas. Ası como en lasultimas publicaciones aparecidas sobre el Metodo de Elementos Finitos para laresolucion de calculos dinamicos de losas de diferentes tipologıas.

Las macros empleadas y resultados obtenidos de los calculos realizados sobrecada modelo en estudio, se han incluido del mismo modo en los apendices fina-les del presente trabajo, aunque los valores de dichos resultados han quedadoexpuestos a lo largo del desarrollo de la presente trabajo de investigacion.

1. INTRODUCCION 39

Figura 1.11: Esquema Desarrollo Investigacion

Capıtulo 2

METODOLOGIA

2.1. FORMULACION ANALITICA DEL COM-PORTAMIENTO DINAMICO DE UNA VI-GA ISOSTATICA SIMPLEMENTE APO-YADA: ECUACION DE BERNOUILLI. APLI-CACION A TABLEROS DE PUENTES DEFERROCARRIL

2.1.1. Introduccion

El comportamiento dinamico de un tablero de puente de ferrocarril planteauna gran complejidad matematica que lleva al empleo de metodos matematicosque requieren el uso de ordenadores, debido a que no se puede llegar a la solu-cion del problema por metodos analıticos simples.El presente trabajo de investigacion plantea, tal y como ha quedado expuestoen el apartado de objetivos, un modelo sencillo de losa ortotropa, modelo placao modelo 2D, que conteniendo las constantes de ortotropıa de un modelo tri-dimensional losa o modelo 3D, consiga los mismos resultados en sus primerosmodos de flexion y formas propias de vibracion.Partiremos del comportamiento dinamico de una viga isostatica simplementeapoyada en sus extremos, para exponer la ecuacion diferencial que gobiernadicho comportamiento y su aplicacion a los modelos placa y losa que consti-tuiran las secciones analizadas de tableros de puentes de ferrocarril del presentetrabajo.

40

2. METODOLOGIA 41

2.1.2. Formulacion Analıtica del Comportamiento Dinami-co de una Viga

a) Consideraciones Generales

Existen un gran numero de modelos que podrıan proporcionar los resultadosnecesarios y deseados para cada una de las necesidades a cubrir en este estudio.Sin embargo, se ha optado por un modelo analıtico ya que lo que se pretende esante todo, obtener una semejanza con el comportamiento de una viga isostatica,es decir, con un caso sencillo en el que es posible la modelizacion del viaducto deforma analıtica mediante vigas de Euler-Bernouilli [2]. Su ecuacion viene dadapor la expresion:

mb(x)∂2w(x, t)

∂t2+ c(x)

∂w(x, t)

∂t+

∂2

∂x2

[EI(x)

∂2w(x, t)

∂x2

]= f(x, t) (2.1)

Donde:

E: modulo de elasticidad de la viga

I: inercia a flexion.

c: coeficiente de amortiguamiento viscoso, el cual modeliza la disipacionde energıa. Este coeficiente esta asociado a cada modo de vibracion de laestructura.

ω(x, t): deflexion.

f(x,t): fuerza por unidad de longitud.

mb: masa por unidad de longitud

2. METODOLOGIA 42

Estableciendo el equilibrio dinamico de una rebanada diferencial de viga sepuede obtener la solucion de la ecuacion anterior [1]. En la ecuacion (2.1) dis-tinguimos:

Figura 2.1: Ecuacion Equilibrio Dinamico Viga Euler Benouilli

La Fuerza de Inercia depende de la distribucion de masas a lo largo de laviga;

La Fuerza de Amortiguamiento es proporcional a la velocidad, es lo quese denomina, amortiguamiento viscoso;

La Fuerzas Elastica de la Estructura depende de la rigidez (EI) de la viga.

Uno de los metodos empleados para resolver la ecuacion anterior es el metodode superposicion modal. Este metodo esta basado en la descomposicion de larespuesta total de la estructura en la suma de una serie de funciones geometri-cas. Estas funciones son las denominadas formas modales (modos de vibracion).Estas formas modales dependen de forma exclusiva de la coordenada x. Estasformas modales multiplicadas por una funcion temporal o coordenada generali-zada nos permiten obtener la respuesta de la estructura.

ω(x, t) =

n∑i=1

φi(x)zi(t) (2.2)

2. METODOLOGIA 43

Si en la ecuacion 2.1 introducimos la ecuacion 2.2. (respuesta de la estruc-tura), obtenemos la siguiente expresion:

n∑j=1

m(x)φj(x)∂2zj(t)

∂t2+

n∑j=1

c(x)φj(x)∂zj(t)

∂t+

n∑j=1

∂2

∂x2

[EI(x)

∂2φj(x, t)

∂x2

]zj(t) = f(x, t)

(2.3)

Las formas modales poseen dos condiciones principales de ortogonalidad:

1. Por la condicion de ortogonalidad se puede afirmar que a lo largo de todala longitud de una viga el producto de una forma modal por si misma esdistinto de cero, mientras que el producto de dos formas modales distintases nulo. De esta forma tenemos: [3][13]

L∫0

φi(x)φj(x) = 0 (2.4)

para i 6= j

2. De la primera condicion de ortogonalidad se deriva la segunda condicionde ortogonalidad segun la cual:

n∑i=1

L∫0

φj(x)∂2

∂x2

[EI(x)

∂2φj(x, t)

∂x2

]dx = 0 (2.5)

Valiendonos de estas condiciones se podra obtener una ecuacion del com-portamiento de la viga para cada una de los modos de vibracion, de maneraindependiente del resto. Multiplicaremos la ecuacion (2.3) por φj(x) y poste-riormente integramos a lo largo de toda la longitud L de la viga:

n∑i=1

L∫0

m(x)φj(x)φi(x)dx∂2zj(t)

∂t2+

n∑i=1

L∫0

c(x)φj(x)φi(x)dx∂zj(t)

∂t +n∑i=1

L∫0

φj(x)∂2

∂x2

[EI(x)

∂2φj(x,t)

∂x2

]dxzj(t)=

L∫0

φj(x)f(x,t)dx

(2.6)

2. METODOLOGIA 44

En la ecuacion (2.6) siempre que i 6= j se anularan las integrales constituidaspor el producto de formas modales distintas. No ocurre ası siempre que i = j ,en este caso obtenemos:

n∑i=1

L∫0

m(x)φ2j (x)dx

∂2zj(t)

∂t2+

n∑i=1

L∫0

c(x)φ2j (x)dx

∂zj(t)

∂t+

n∑i=1

L∫0

φj(x) ∂2

∂x2

[EI(x)

∂2φj(x,t)

∂x2

]dxzj(t) =

L∫0

φj(x)f(x, t)dx

(2.7)

En la ecuacion (2.7) podemos distinguir los siguientes conceptos:

Figura 2.2: Expresiones de masa generalizada, rigidez generalizada y fuerza generali-zada modo j

De modo resumido podemos escribir:

Mj∂2zj(t)

∂t2+ 2ξjωjMj

∂zj(t)

∂t+Kjzj(t) = Fj(t) (2.8)

Esta ecuacion se corresponde con la ecuacion de un oscilador de un grado delibertad sometido a una carga cualquiera Fj , con masa Mj y rigidez Kj , confrecuencia angular ωj y con coeficiente de amortiguamiento definido por su tasade amortiguamiento ξj

2. METODOLOGIA 45

b) Aplicacion a la Viga Isostatica Biapoyada

Todo lo anteriormente expuesto debera ser particularizado para la vigaisostatica biapoyada (Viga de Bernouilli) ya que nuestro objetivo es poder es-tablecer una analogıa entre el modelo de viga isostatico y secciones de losas detableros de puentes tambien isostaticos, estudiando su comportamiento dinami-co. Una viga isostatica biapoyada tiene las siguientes caracterısticas:

Momentos nulos en los apoyos

Flecha en el centro determinada por su longitud y los parametros asociadosde rigidez y caracterısticas del material (EI).

La obtencion de las formas modales de una viga isostatica la podremos ob-tener de la ecuacion (2.8). Dicha ecuacion lleva implıcitos los parametros demasa, rigidez y fuerza generalizada de la viga. Para poder resolver esa ecuacionsolo tendrıamos que conocer las formas modales asociadas. En principio, y deacuerdo a la ecuacion (2.3), en la que consideraremos el caso de vibracioneslibres y por tanto f(x, t) = 0 ; para cualquier modo ’n’ tendremos la siguienteexpresion:

m(x)φn(x)∂2zn(t)

∂t2+ c(x)φn(x)

∂zn(t)

∂t+

∂2

∂x2

[EI(x)

∂2φn(x)

∂x2

]zn(t) = 0 (2.9)

La solucion de la ecuacion anterior depende de la consideracion del tipo deamortiguamiento que se tenga en cuenta. Pueden considerarse:

Sistema Sobreamortiguado;

Sistema Crıticamente Amortiguado;

Sistema Subamortiguado;

El caso que habitualmente se encuentra en Dinamica de Estructuras es el deSistema Subamortiguado. La caracterıstica principal de este tipo de sistemas esque el amortiguamiento es inferior al crıtico y el parametro ξ que aparece en laecuacion (2.8) es inferior a la unidad. Debemos definir los parametros:

Frecuencia de oscilacion

ω =

√k

m(2.10)

Tasa de amortiguamiento

ζ =c

2mω=

c

2√km

(2.11)

2. METODOLOGIA 46

Definidas las expresiones que relacionan la rigidez, la masa, la frecuencia deoscilacion y la tasa de amortiguamiento crıtico, podemos particularizar ademasconsiderando que para el caso concreto de una viga de masa y rigidez constantesa lo largo de su longitud, la solucion de la ecuacion (2.9)se presenta como:

φn(x) = A cos

(4

√ω2nm

EIx

)+Bsen

(4

√ω2nm

EIx

)+C cosh

(4

√ω2nm

EIx

)+Dsenh

(4

√ω2nm

EIx

)(2.12)

Los coeficientes A, B, C y D deben satisfacer las condiciones de contornodel problema. Para obtener la familia de formas modales para la viga isostaticabiapoyada partiremos de las condiciones de contorno. [9]

φn(0) = 0 (2.13)

φn(L) = 0 (2.14)

Mf (0) = EId2φn(0)

dx2= 0 (2.15)

Mf (L) = EId2φn(L)

dx2= 0 (2.16)

las cuales responden a las condiciones de:

desplazamiento en los extremos nulo.

momento flector nulo.

Aplicando las condiciones definidas en (2.13), (2.14),(2.15), (2.16) en la ecua-cion (2.12),obtenemos un sistema de ecuaciones que nos permite determinar loscoeficientes A, B, C y D para que se cumplan dichas condiciones. Con ello obte-nemos A = 0; C = 0; D = 0. Para obtener el valor de la constante B se planteadesde la condicion φn(L) = 0 que hace que se cumpla la ecuacion:

Bsen(4

√ω2nmL

EI) = 0 (2.17)

En esta ecuacion, puede ocurrir:

B = 0 en cuyo caso tendrıamos la ecuacion trivial;

2. METODOLOGIA 47

B 6= 0 en cuyo caso tendrıamos la ecuacion distinta de la trivial, y portanto, se debe cumplir:

sen(4

√ω2nmL

EI) = 0 (2.18)

(4

√ω2nmL

EI) = nπ (2.19)

ωn = n2π2(4

√EI

mL4) (2.20)

Sustituyendo el valor de ωn en la ecuacion (2.12) y, de acuerdo a los valoresde los coeficientes A, C y D obtenidos para el caso particular que nos ocu-pa, podremos determinar la familia de formas modales de una viga isostaticasimplemente apoyada.

φn(x) = Bsen(nπ

Lx) (2.21)

El coeficiente B es el denominado amplitud de la forma modal . La amplitudde la forma modal depende del criterio de normalizacion de las formas modales.Uno de los criterios usuales consiste en normalizar respecto a la matriz de masasdel sistema, con lo que tendremos el sistema dado por:

φTnMφTn = 1 (2.22)

2. METODOLOGIA 48

De acuerdo a la ecuacion (2.7) y su expresion resumida (2.8) tendremos lossiguientes valores para los tres primeros modos de vibracion: (*)

Figura 2.3: Modos de vibracion,rigideces y formas modales viga isostatica simplementeapoyada

Donde:

m: masa por unidad de longitud de la viga

L: longitud total de la viga

(*): considerando que la amplitud de la forma modal B sea igual a launidad

Las conclusiones que se obtienen de todo lo anteriormente expuesto son:

Lo primero que observamos de los valores incluidos en la figura 2.3, es quela masa generalizada del elemento viga analizado, no depende del modode vibracion que se este estudiando.

La rigidez generalizada aumenta con valores de n4 presentando un rapidocrecimiento de la misma, lo cual esta directamente relacionado con laeleccion del numero de modos de vibracion que se podrıan considerar comolos que definen la respuesta de la viga, siendo los primeros modos los que,se podrıa afirmar, son los que se deben de considerar para el analisis modalde la viga.

2. METODOLOGIA 49

A continuacion se muestra el Analisis modal de una viga de L= 3m, modeli-zada por medio de elementos finitos (seccion viga 0.40 m; area 0.16 m2 por ml;inercia 0.002133 m4):

Figura 2.4: Modo de flexion 1. Viga isostatica simplemente apoyada



Las frecuencias propias asociadas a dichos modos de vibracion han sido:

Modo Numero Frecuencia AsociadaModo 1 56.586Modo 2 221.60Modo 3 482.24

Tabla 2.1: Frecuencias de flexion viga isostatica simplemente apoyada

2. METODOLOGIA 50

2.1.3. Formulacion Analıtica del Comportamiento Dinami-co de un Tablero de Puente de Ferrocarril

a)Materiales y Ortotropıa

En primer lugar se debe tener presente el concepto de ortotropıa. Una losaortotropa es aquella que presenta diferentes propiedades elasticas en dos direc-ciones perpendiculares entre si. En este sentido, se pueden plantear dos tipos deortotropıa:[4]

ortotropıa del material.

ortotropıa geometrica.

La ortotropıa del material es aquella que se presenta en losas en las que su geo-metrıa es uniforme pero el material presenta un comportamiento anisotropo.

La ortotropıa geometrica, por el contrario, se presenta en losas en las que elmaterial que la compone tiene un comportamiento isotropo, pero las seccionestransversales a las direcciones principales de ortotropıa son geometricamentediferentes. Se podrıa afirmar que este caso de ortotropıa geometrica es el quepresentan la mayorıa de las secciones de los tableros de puentes de ferrocarrilque se construyen actualmente.

En el presente estudio, se planteara el comportamiento de una losa con or-totropıa geometrica.

b)Comportamiento Dinamico de un Tablero continuo. Losa Ortotropa

En primer lugar la tipologıa de tablero de puente elegida en el presente tra-bajo es la que se denomina tableros formados por un continuo, es decir, aquellostableros que se pueden modelizar mediante la llamada losa ortotropa.En apartados anteriores se ha podido apreciar, como las ecuaciones que gobier-nan el comportamiento de cada uno de los modos de vibracion del comporta-miento dinamico de una estructura, se pueden modelizar mediante su similitudcon el modelo de oscilador de un grado de libertad. En dicho modelo se ha po-dido llevar a cabo, mediante integracion, la obtencion de los parametros: masa,rigidez y carga generalizada. Para el modelo de viga estudiado, dicha integracionse llevaba a cabo a lo largo de la longitud de la misma. [3][12]

2. METODOLOGIA 51

La integracion se realizaba en las ecuaciones:

Figura 2.7: Expresiones de masa, rigidez y fuerza generalizada del modo j

La ecuacion diferencial que gobierna el comportamiento dinamico de unaestructura modelizada mediante losa ortotropa va a resultar similar a la ecuacionplanteada para el comportamiento de una viga. Se partira del planteamiento delequilibrio de un elemento diferencial de losa bajo las siguientes hipotesis:

Se considerara que el material sera perfectamente elastico y con compor-tamiento lineal.

El espesor de la losa sera constante y su dimension sera mucho menor quelas otras dos dimensiones.

De acuerdo al planteamiento que hasta ahora habıamos expuesto sobrela obtencion de la ecuacion del comportamiento dinamico de una vigaisostatica simplemente apoyada tipo Euler Bernouilli, se despreciara elefecto de la deformacion por cortante.

Las fibras del material que antes de la deformacion son rectas y perpen-diculares al plano neutro giran rıgidamente, conservando su rectitud yperpendicularidad con respecto a dicho plano tras la deformacion. Es de-cir, aquellos puntos situados en una normal al plano medio de la losa antesde la deformacion, permanecen normales despues de la deformacion.

2. METODOLOGIA 52

γxz =∂w

∂x+∂u

∂z= 0 (2.23)

γyz =∂w

∂y+∂v

∂z= 0 (2.24)

Las tensiones normales distribuidas perpendicularmente al plano de la lo-sa, se pueden despreciar ya que su valor se considera muy pequeno conrespecto al valor de las tensiones en las otras dos direcciones perpendicula-res. De esta forma, se cumple el hecho de que cualquier fibra perpendicularal plano neutro conserva su longitud antes y despues de su deformacion.

σz = 0 (2.25)

La ecuacion diferencial que gobierna el comportamiento de la losa, sera endefinitiva, igual a la ecuacion que se obtiene en caso estatico, pero debera anadir-se los componentes de fuerza de inercia y amortiguamiento.

m(x)∂2w(x, y, t)

∂t2+c(x)

∂w(x, y, t)

∂t+Dx

∂4w(x, y, t)

∂x4+2H

∂4w(x, y, t)

∂x2∂y2+Dy

∂4w(x, y, t)

∂y4= f(x, y, t)

(2.26)

Esta ecuacion es el resultado del establecimiento del equilibrio de las fuerzasque intervienen en el planteamiento del problema dinamico:

Figura 2.8: Equilibrio fuerzas planteamiento problema dinamico

2. METODOLOGIA 53

Para llegar a ello se partira en primer lugar, de las expresiones que se deducencomo consecuencia de las hipotesis planteadas sobre la losa, vistas anteriormen-te:

u(x(0), y(0), z(0)) = 0 (2.27)

v(x(0), y(0), z(0)) = 0 (2.28)

γxz =∂w

∂x+∂u

∂z= 0 (2.29)

γyz =∂w

∂y+∂v

∂z= 0 (2.30)

εz =∂w

∂z= 0 (2.31)

de la ecuacion (2.31) se deriva w = w(x, y)

Ası pues, las componentes del desplazamiento u y v de un punto cualquierade la losa, se pueden expresar en funcion de la deformada del plano neutro deacuerdo a las siguientes expresiones:

u(x, y, z) = −z ∂w(x, y)

∂x= zθy(x, y) (2.32)

v(x, y, z) = −z ∂w(x, y)

∂y= zθx(x, y) (2.33)

2. METODOLOGIA 54

Como bien es sabido a traves del vector de desplazamientos se puede obte-ner, por derivacion las componentes, longitudinales y angulares, del vector dedeformacion. De este modo tenemos, (con κx,κy, κxy, las curvaturas en pequenadeformacion del plano neutro de la losa)

εx(x, y, z) = −z ∂2w(x, y)

∂x2= −zκx(x, y) (2.34)

εy(x, y, z) = −z ∂2w(x, y)

∂y2= −zκy(x, y) (2.35)

γxy(x, y, z) = −2z∂2w(x, y)

∂x∂y= −zκxy(x, y) (2.36)

La solucion al problema de deformacion de una losa ortotropa requiere de laformulacion de la Ley de Hooke, cuyas ecuaciones pueden expresarse, de acuerdoa un sistema de referencia XYZ del modo:

σx(x, y, z) =Ex

1− νxνyεx +

νyEx1− νxνy

εy (2.37)

σy(x, y, z) =Ey

1− νxνyεy +

νxEy1− νxνy

εx (2.38)

τxy(x, y, z) = Gxyγxy (2.39)

Donde:

σx, σy representan a las tensiones normales en las direcciones X e Y

εx, εy representan las deformaciones longitudinales asociadas a las direc-ciones X e Y

τxy es la tension tangencial en sentido del eje Y en seccion perpendicularal X

γxy la correspondiente deformacion angular

Ex, Ey son los modulos de elasticidad en las direcciones principales deortotropıa

νx, νy son los coeficientes de Poisson

Gxy es el Modulo de Elasticidad Transversal

2. METODOLOGIA 55

Si se sustituyen las ecuaciones (2.34; 2.35; 2.36), y se expresan en funciondel campo de desplazamientos, en las ecuaciones (2.37; 2.38; 2.39), se obtienen:

σx(x, y, z) =−zEx

1− νxνy

(νy∂2w

∂y2+∂2w

∂x2

)(2.40)

σy(x, y, z) =−zEy

1− νxνy

(νx∂2w

∂x2+∂2w

∂y2

)(2.41)

τxy(x, y, z) = −2zGxy∂2w

∂x∂y(2.42)

Los esfuerzos por unidad de longitud se encuentran relacionados con la dis-tribucion de tensiones y con las derivadas del campo de desplazamientos. Deeste modo tenemos, las siguientes ecuaciones relacion momento-curvatura:[11]

Mx = −∫Ax

σxzdz = Dx∂2w

∂x2+D1

∂2w

∂y2(2.43)

My = −∫Ay

σyzdz = Dy∂2w

∂y2+D2

∂2w

∂x2(2.44)

Mxy = −∫Ax

τxyzdz = 2Dxy∂2w

∂x∂y(2.45)

Myx = −∫Ay

τyxzdz = −∫Ay

τxyzdz = 2Dyx∂2w

∂x∂y(2.46)

Qx =

∫Ax

τxyzdz (2.47)

Qy =

∫Ay

τyzzdz (2.48)

2. METODOLOGIA 56

Donde:

Ax : area de la seccion perpendicular al eje X

Ay : area de la seccion perpendicular al eje y

Dx, Dy : Dx Dy: las rigideces a flexion del tablero en los planos XZ e YZ,respectivamente, entendidas como constantes de proporcionalidad entremomento y curvatura en dichos planos.

D1, D2 : las rigideces de acoplamiento entre los esfuerzos anteriores.

Dxy, Dyx : la rigidez torsional en ambos planos.

Si se aplican las ecuaciones de equilibrio dinamico a cada elemento diferencialde losa, y se incluye la fuerza de inercia en la direccion perpendicular a la placaen virtud del Principio de d‘Alembert, suponiendo una densidad del material ρuniforme, se llega a:

∑Mx = 0⇒ ∂Mxy

∂x+∂My

∂y+Qy = 0 (2.49)

∑My = 0⇒ −∂Myx

∂y− ∂Mx

∂x−Qx = 0 (2.50)

∑Fz = 0⇒ qz +

∂Qy∂y

+∂Qx∂x− ρh∂

2w

∂t2= 0 (2.51)

Despejando de las ecuaciones (2.49) y (2.50) y sustituyendo en las ecuacionesmomento-curvatura, se pueden determinar los esfuerzos cortantes por unidad delongitud Qx y Qy en funcion de las derivadas del campo de desplazamientos:

Qx = −∂Myx

∂y− ∂Mx

∂x= −Dx

∂3w

∂x3− (D1 + 2Dyx)

∂3w

∂x∂y2(2.52)

Qy = −∂Mxx

∂x− ∂My

∂y= −Dy

∂3w

∂y3− (D2 + 2Dxy)

∂3w

∂y∂x2(2.53)

2. METODOLOGIA 57

Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuacion (2.51)obtenemos laecuacion diferencial en derivadas parciales que gobierna el comportamientodinamica de una placa ortotropa rectangular, sometida a una distribucion de car-ga generica qz(x, y, t) actuando en la direccion perpendicular a su plano neutro,despreciando los efectos de la inercia de rotacion y deformacion por cortante:

Dx∂4w(x, y, t)

∂x4+ 2H

∂4w(x, y, t)

∂x2∂y2+Dy

∂4(x, y, t)

∂y4+ ρh

∂2w(x, y, t)

∂t2= qz(x, y, t)

(2.54)

Siendo el termino 2H la expresion dada por:

2H = D1 +D2 + 2(Dxy +Dyx) (2.55)

En los casos estudiados en el presente trabajo se consideraran vibracioneslibres y por tanto qz(x, y, t) = 0, sin el efecto del amortiguamiento. Por tanto laecuacion que gobierna el comportamiento dinamico de la placa ortotropa de losmodelos en estudio, vendra dada por:

Dx∂4w(x, y, t)

∂x4+ 2H

∂4w(x, y, t)

∂x2∂y2+Dy

∂4(x, y, t)

∂y4+ ρh

∂2w(x, y, t)

∂t2= 0 (2.56)

Los valores de las rigideces resultan en la losa:

Dx =Ex

1− νxνyh3

12(2.57)

Dy =Ey

1− νxνyh3

12(2.58)

D1 = νyDx (2.59)

D2 = νxDy (2.60)

Dxy = Dyx = Gh3

6=

ExEyEx(1 + νyx) + Ey(1 + νyx)

h3

6(2.61)

Donde h representa el espesor de la losa

2. METODOLOGIA 58

Para el caso de losa isotropa, se llega a las siguientes expresiones:

Ex = Ey = E (2.62)

νx = νy = ν (2.63)

y en consecuencia:

D =E

1− ν2h3

12(2.64)

2. METODOLOGIA 59

2.1.4. Variables a considerar en el Comportamiento Dinami-co de Puentes de Ferrocarril Constituidos por LosasOrtotropas

a) Masa Generalizada

El concepto de masa generalizada, como el de rigidez generalizada que semostrara en el siguiente apartado, resultaran conceptos basicos para poder rea-lizar una similitud entre estructuras de cierta complejidad y osciladores sim-ples.[2] Tal y como se ha visto en el apartado (2.1.2) la masa generalizada en elmodelo viga isostatica, viene definida por:

M∗ = mL

2(2.65)

Donde:

M∗: masa generalizada del modelo viga

m: masa por unidad de longitud

L: longitud de la viga

Como se aprecia, la masa generalizada no depende del modo. Es identica,tal y como se vio en el apartado (2.1.2.b), en todas las formas modales indepen-dientemente del numero de semiondas longitudinales que compongan la formamodal.

b)Componentes de la Rigidez Generalizada del Tablero

Estos componentes para losas ortotropas son los que se han indicado en el2.1.3.

c)Modos de Flexion

Tras el analisis de numerosos estudios sobre el tema, se ha podido concluirque en puentes de ferrocarril de vıa unica sin esviaje, como los modelos losaplanteados en el presente trabajo, las vibraciones que sufre la estructura ante elpaso de cargas moviles son debidas a los modos de flexion fundamentalmente.Ello es debido a que, teniendo en cuenta el paso de las cargas del tren sobre laestructura, este hecho no introduce energıa en los modos torsionales del tableroa causa de la disposicion equidistante de las ruedas de los vehıculos ferroviariosrespecto al eje vertical de simetrıa de la seccion transversal. [3]

2. METODOLOGIA 60

Es indudable que la contribucion del primer modo de flexion es predomi-nante en el comportamiento dinamico de puentes isostaticos. Sin embargo, sise tienen en cuenta las aceleraciones, se debe ademas referenciar que los modossuperiores tienen frecuencias elevadas y por tanto pueden ser susceptibles deproducir aceleraciones significativas. Por ello, en el presente trabajo de investi-gacion, se han considerado ademas los efectos producidos por los modos 2 y 3,ademas claro esta, del modo 1, todos ellos de flexion, para la comparacion entremodelos y validez del estudio realizado.

2. METODOLOGIA 61

2.2. ESTRATEGIA DE DISENO

2.2.1. Normativa

Para el desarrollo del presente trabajo de investigacion se ha llevado a caboconsulta a las diferentes normativas de aplicacion a estructuras de puentes deferrocarril, vigentes en el momento de la redaccion del mismo. Dichas normativasha sido:

IAPF-2007 (Orden FOM/3671/2007 de 24 de septiembre). En suApendice B: “Calculo Dinamico de Puentes sometidos a cargas moviles” se re-cogen los distintos metodos, para calculo dinamico, que se deben emplear en laobtencion de modos de vibracion de estructuras sometidas a la accion del pasode ferrocarriles. En su apartado B.2.4.4.-se plantea la obtencion de la ecua-cion cuya solucion permite obtener el primer modo de vibracion de un puenteisostatico, mediante su modelizacion a traves del modelo de viga isostatica.[27]

ERRI D214: en su Rapport Final (capıtulo 16). Se plantea el hecho deque las tasas de amortiguamiento asociadas a cada modo crecen con la frecuenciadel mismo, y por ello se pone de manifiesto la necesidad de llevar a cabo loscalculos dinamicos de estructuras sometidas a paso de ferrocarriles teniendoen cuenta varios modos de vibracion. Recomienda que para puentes isostaticosasimilables a una viga en flexion (como los analizados en el presente trabajode investigacion) se tomen incluso los dos primeros modos de vibracion hastafrecuencias de vibracion de 30 HZ.[28]

2.2.2. Tipologıa de Secciones Adoptadas. Parametros yConsideraciones

Tal y como se ha planteado en apartados anteriores, las secciones adoptadasque han sido estudiadas en el presente trabajo, han sido:

Secciones con aligeramientos circulares y recubrimientos superior e infe-rior de iguales dimensiones. Secciones denominadas en el presente trabajo,secciones simetricas.

Secciones con aligeramientos cuadrados y recubrimientos superior e in-ferior de dimensiones diferentes. Secciones denominadas en el presentetrabajo, secciones asimetricas.

2. METODOLOGIA 62

Figura 2.9: Seccion Simetrica

Figura 2.10: Seccion Asimetrica

Cada tipologıa de seccion, simetrica y asimetrica, sera estudiada para dife-rentes longitudes o luces de losa y para ancho de vıa unico, 7m:

Longitud Numero Anchura bx Diametro(m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento(m)15 7 7 1 0.60

22.5 5 7 1.40 1.1030 4 7 1.75 1.40

Tabla 2.2: Numero de aligeramientos y diametro seccion simetrica

Longitud Numero Anchura bx Lado(m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento(m)15 7 7 1 0.60

22.5 5 7 1.40 1.1030 4 7 1.75 1.45

Tabla 2.3: Numero de aligeramientos y lado aligeramiento seccion asimetrica

2. METODOLOGIA 63

2.3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PA-RA VALIDACION

2.3.1. Introduccion

Para todos los casos estudiados se ha planteado la necesidad de establecerante todo un mallado que permita obtener resultados satisfactorios pero al mis-mo tiempo limitados a los recursos informaticos disponibles y a la validacion delmodelo.Se ha llevado a cabo un estudio de convergencias que ha permitido determinardos parametros fundamentales a la hora de la implantacion del modelo en lassecciones en estudio. Estos parametros han sido: el tipo de elemento finito, y eltamano de la malla.Tal y como se ha expuesto en anteriores apartados, el tipo de elemento finitoa considerar para el mallado puede establecerse con el elemento Solido 45 (SO-LID45) o Solido 95 (SOLID95), dentro de los implantados en el programa deelementos finitos que se ha empleado para los calculos realizados en el presentetrabajo (Ansys).A su vez, para cada tipo de elemento se ha llevado a cabo un estudio con diferen-tes tamanos de malla. La conclusion de dicho estudio ha sido la elaboracion deuna serie de graficos que han permitido valorar la convergencia de las solucionesobtenidas, en comparacion con la solucion analıtica del problema que se planteaen el presente trabajo, todo ello para cada tipologıa de seccion.

2.3.2. Modelo de Elementos Finitos. Estudio de Conver-gencia

Las modelizaciones realizadas, para cada tipologıa en estudio, se han imple-mentado en el programa de calculo por elementos finitos Ansys (version 11.0bajo Linux) mediante la creacion de una macro que permite definir:

la geometrıa del modelo: (DATOS DE ENTRADA)

el mallado del volumen generado en cada modelo (MALLADO DEL VO-LUMEN DE LA LOSA ALIGERADA)

las condiciones de contorno (CONDICIONES DE CONTORNO)

tipo de analisis (ANALISIS MODAL)

La tipologıa de elemento finito y el tamano del mismo se han definido en lamacro creada, para el estudio del modelo losa, mediante los comandos:

nealig: numero de elementos de la malla que caben en el espesor delrecubrimiento superior.

2. METODOLOGIA 64

et,1,45 o 95: tipo de elemento finito a emplear (SOLIDO45 o SOLIDO95)

Por otro lado, para el estudio del modelo placa se ha empleado el elemento Shell63.

La composicion de las macros empleadas en el programa Ansys, en la ob-tencion de frecuencias propias de cada modelo (modelo 3D simetrico, modelo3D asimetrico y modelo placa), se han incluido como Apendices del presentetrabajo.Para la definicion de la macro del modelo losa, se ha realizado previamenteun estudio de convergencia para determinar la tipologıa de elemento finito yel tamano del mallado, que nos permita aproximar la solucion del modelo tri-dimensional o modelo losa, con la solucion esperada en terminos de modos deflexion.El estudio de convergencia realizado se ha llevado a cabo con el modelo de losade seccion simetrica de 15 m de longitud, y modelo losa de seccion asimetricade 15 m de longitud. Para el modelo estudiado, tanto en una seccion como enotra, se han considerado 2 aligeramientos por seccion, reduciendo el tiempo decalculo y la complejidad del modelo, siendo el objetivo fundamental del estudiola determinacion de la tipologıa de elemento finito a emplear en las seccionescomplejas que son objeto del presente trabajo de investigacion.

Las hipotesis establecidas y los resultados de calculo obtenidos, han sido lossiguientes:

SECCION SIMETRICA

2. METODOLOGIA 65

Se han empleado los siguientes mallados:

nealig = 0.5; SOLIDO 45

nealig = 1; SOLIDO 45




nealir = 2; SOLIDO 95

Las frecuencias de los modos de flexion obtenidas en cada mallado han sido:

nealig=0.5; SOLIDO45Modo Magnitud FrecuenciaModo 1 9.16Modo 2 35.55Modo 3 76.56

nealig=1; SOLIDO45Modo Magnitud FrecuenciaModo 1 8.84Modo 2 34.11Modo 3 72.67



2. METODOLOGIA 66



Tabla 2.4: Tablas Frecuencias Modos de Flexion estudio de convergencia. SeccionSimetrica

Graficamente se han obtenido los siguientes mallados:

Figura 2.11: Mallado con Solido45. Tamano nealig = 0.5. Seccion Simetrica

Figura 2.12: Mallado con Solido45. Tamano nealig =1. Seccion Simetrica.

2. METODOLOGIA 67

Figura 2.13: Mallado con Solido45. Tamano nealig = 1.2. Seccion Simetrica.

Figura 2.14: Mallado con Solido45. Tamano nealig =2. Seccion Simetrica.

Figura 2.15: Mallado con Solido95. Tamano nealig =1.2. Seccion Simetrica.

2. METODOLOGIA 68

Figura 2.16: Mallado con Solido95. Tamano nealig = 2. Seccion Simetrica.

Una importante propiedad del metodo de elementos finitos empleado en laobtencion de resultados, es la convergencia, es decir, si se consideran particio-nes de elementos finitos sucesivamente mas finas, la solucion numerica calculadaconverge rapidamente hacia la solucion exacta del sistema de ecuaciones. En de-finitiva, si la discretizacion es suficientemente fina, y el espacio funcional finitosobre cada elemento esta bien escogido, la solucion numerica obtenida aproxi-mara razonablemente la solucion original.

Se ha efectuado una comparacion entre los diferentes tamanos de malla, yel mallado de mas alta densidad (nealig=2; SOLIDO95), para cada uno de losmodos de flexion obtenidos. El resultado de dicha variacion en porcentaje, serecoge en la siguiente tabla, en la que tambien se ha incluido el valor de variacionen porcentaje, con respecto al modelo 2D o modelo placa asociado a la seccionen estudio:

Modo Modelo neali 0.5 nealig 1 nealig 1.2 nealig 2 nealig 1.2 nealig 2Placa SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD95 SOLD95

Modo 1 1.87 7.26 3.51 1.87 0.82 0 Valor Ref.Modo 2 6.33 8.75 4.34 2.63 1.22 0.18 Valor Ref.Modo 3 13.81 11.18 5.53 3.75 1.90 0.43 Valor Ref.

Tabla 2.5: Variacion porcentual de frecuencias para diferentes tamanos de mallas ytipologıa de elementos finitos. Seccion Simetrica

Se han representado en escala bilogarıtmica los valores anteriores, donde eneje horizontal “x” se han grafiado los diferentes tamanos de malla y, en eje verti-cal “y” los porcentajes con respecto al modelo de elementos finitos mas complejo(nealig =2; SOLIDO95). Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

2. METODOLOGIA 69

Figura 2.17: Convergencia Frecuencias Modo 1. Seccion Simetrica



2. METODOLOGIA 70

Se representa asimismo el numero de nodos que se genera en cada modelode mallado para cada tipo de elemento finito empleado y tamano del mismoempleado, frente al tiempo de calculo, de acuerdo a los resultados de la siguientetabla:

nealig 0.5 nealig 1 nealig 1.2 nealig 2 nealig 1.2 nealig 2SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD95 SOLD95

Numero Nodos 1441 5719 9047 35596 60112 253840Tiempo Calculo (s) 2 7 11 70 111 3408

Tabla 2.6: Numero de Nodos para cada tipologıa de mallado y tiempo de calcu-lo.Seccion Simetrica

Figura 2.20: Numero nodos de cada tipologıa de mallado frente al tiempo de calculoen (s).Seccion Simetrica

Con los resultados obtenidos de las tablas anteriores y de las representacio-nes graficas planteadas se llega a la conclusion de que para los tres modos deflexion estudiados, la solucion que mas se acerca a lo esperado en la solucionreal, es aquella que presenta una mayor densidad de malla y un elemento finitocon mayor numero de nodos, es decir la solucion obtenida con el mallado cuyotamano es nealig=2 realizado con el elemento SOLIDO95, como era de esperar.

No obstante, una vez que se inician los calculos de los modelos planteadosen el presente estudio el principal inconveniente que se ha encontrado al llevara cabo la modelizacion de las diferentes secciones y tipologıas con el elemen-to SOLIDO95 y el mallado planteado en tamano nealig=2, ha sido ante todoel mayor tiempo de calculo requerido y el mayor consumo de requerimientos

2. METODOLOGIA 71

computacionales del sistema empleado, que ha dificultado en muchos casos con-tar con la solucion final del modelo. Ello ha llevado, a asumir una solucion decompromiso entre error de mallado y coste computacional. El resultado de elloobliga a emplear el modelo de mallado con SOLIDO 45 y tamano de mallanealig=1, compensando con dicha modelizacion, el tiempo de calculo y costecomputacional, con la aproximacion de los resultados obtenidos en el modelotridimensional, para dicho mallado, a las soluciones de la formulacion analıticadel modelo viga y las del modelo placa o modelo 2D asociado.

Se comprueba que las frecuencias asociadas a cada modo de flexion aumentancuando el modelo se hace mas rıgido. El utilizar tamano de malla 1 genera unarigidizacion del problema planteado, muy parecida a la hipotesis analıtica enterminos de frecuencia. Ello es debido a que la propia formulacion analıticahace que no haya desplazamientos transversales en el modelo planteado, lo queconlleva a una rigidizacion de dicha solucion analıtica similar a la que presentael modelo de mallado con SOLIDO 45 y tamano de malla nealig=1. Todo ellose puede observar en las siguientes tablas donde se han planteado los valoresde las frecuencias asociados a los tres primeros modos de flexion de la solucionanalıtica, la solucion planteada con el modelo placa o modelo 2D y los malladosde elementos finitos: nealig=1; SOLIDO45, y nealig=2; SOLIDO95. A su vez sehan comparado las frecuencias del modelo de elementos finitos para los malladosplanteados, con las soluciones de la formulacion analıtica y con el modelo placa,en porcentaje, llegando a la conclusion que los porcentajes de variacion resultanmenores en el modelo de elementos finitos nealig=1;SOLIDO45, por la mayorrigidez de su mallado.

Formulacion Modelo Placa nealig 1 nealig 2analıtica (modelo 2D) SOLD45 SOLD95

Modo 1 8.9 8.68 8.84 8.54Modo 2 35.4 34.76 34.11 32.69Modo 3 79.72 78.37 72.67 68.86

Tabla 2.7: Frecuencias de flexion asociadas a los tres primeros modos del modelo placay del modelo losa con diferentes tamanos de malla.Seccion Simetrica

Formulacion nealig 1 nealig 2analıtica SOLD45) SOLD95

Modo 1 Valor Referencia 0.67 4.04Modo 2 Valor Referencia 3.65 7.65Modo 3 Valor Referencia 8.84 13.62

Tabla 2.8: Porcentaje de variacion entre frecuencias de flexion de la formulacion analıti-ca y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.SeccionSimetrica

2. METODOLOGIA 72

Modelo Placa nealig 1 nealig 2(Modelo 2D) SOLD45) SOLD95


Tabla 2.9: Porcentaje de variacion entre frecuencias de flexion del modelo placa y lasobtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Seccion Simetrica

Los resultados concluyentes a los que se ha llegado con este estudio de con-vergencias para la seccion simetrica con aligeramientos circulares estudiada, sehan visto a su vez reforzados con el estudio de convergencia para la seccionasimetrica con aligeramientos cuadrados, tal y como se muestra a continuacion.De este modo tenemos:

SECCION ASIMETRICA

2. METODOLOGIA 73

Se han empleado los siguientes mallados:






nealir = 2; SOLIDO 95

Las frecuencias de los modos de flexion obtenidas en cada mallado han sido:





2. METODOLOGIA 74



Tabla 2.10: Tablas Frecuencias Modos de Flexion estudio de convergencia. SeccionAsimetrica

Figura 2.21: Mallado con Solido45. Tamano nealig = 0.5.Seccion Asimetrica

Figura 2.22: Mallado con Solido45. Tamano nealig = 1.Seccion Asimetrica

Figura 2.23: Mallado con Solido45. Tamano nealig = 1.2. Seccion Asimetrica

2. METODOLOGIA 75

Figura 2.24: Mallado con Solido45. Tamano nealig = 2. Seccion Asimetrica

Figura 2.25: Mallado con Solido95. Tamano nealig = 1.2. Seccion Asimetrica

Figura 2.26: Mallado con Solido45. Tamano nealig = 2. Seccion Asimetrica

La comparacion entre los diferentes tamanos de malla, y el mallado de masalta densidad (nealig=2; SOLIDO95), para cada uno de los modos de flexionobtenidos se plantea en la siguiente tabla, en la que tambien se ha incluido elvalor de variacion con respecto al modelo 2D o modelo placa asociado a la sec-cion en estudio:

Modo Modelo neali 0.5 nealig 1 nealig 1.2 nealig 2 nealig 1.2 nealig 2Placa SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD95 SOLD95

Modo 1 1.67 14.93 5.85 2.99 1.08 0.12 Valor Ref.Modo 2 6.10 15.88 6.60 3.58 1.46 0.22 Valor Ref.Modo 3 13.24 16.75 7.84 4.62 2.11 0.43 Valor Ref.

Tabla 2.11: Variacion porcentual de frecuencias para diferentes tamanos de mallas ytipologıa de elementos finitos. Seccion Asimetrica

2. METODOLOGIA 76

Al igual que para la seccion simetrica, se han representado en escala bilo-garıtmica los valores anteriores, donde en eje horizontal “x” se han grafiado losdiferentes tamanos de malla y, en eje vertical “y” los porcentajes con respec-to al modelo de elementos finitos mas complejo (nealig =2; SOLIDO95). Losresultados obtenidos han sido los siguientes:

Figura 2.27: Convergencia Frecuencias Modo 1. Seccion Asimetrica



2. METODOLOGIA 77

Se representa asimismo, el numero de nodos que se genera en cada modelo deelemento finito empleado, frente al tiempo de calculo, de acuerdo a los resultadosde la siguiente tabla:

nealig 0.5 nealig 1 nealig 1.2 nealig 2 nealig 1.2 nealig 2SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD95 SOLD95

Numero Nodos 1065 4201 7991 38803 52391 277043Tiempo Calculo (s) 2 4 10 77 84 4546

Tabla 2.12: Numero de Nodos para cada tipologıa de mallado y tiempo de calculo.Seccion Asimetrica.

Figura 2.30: Numero nodos de cada tipologıa de mallado frente al tiempo de calculoen (s).Seccion Asimetrica

2. METODOLOGIA 78

A su vez se han comparado las frecuencias del modelo de elementos finitos pa-ra los mallados planteados, con las soluciones de la formulacion analıtica y con elmodelo placa, en porcentaje, llegando a la conclusion que los porcentajes de va-riacion resultan menores en el modelo de elementos finitos nealig=1;SOLIDO45,por la mayor rigidez de su mallado.

Formulacion Modelo Placa nealig 1 nealig 2analıtica (modelo 2D) SOLD45 SOLD95

Modo 1 8.7 8.51 8.86 8.37Modo 2 34.72 34.07 34.23 32.11Modo 3 78.12 76.80 73.14 67.82

Tabla 2.13: Frecuencias de flexion asociadas a los tres primeros modos del modeloplaca y del modelo losa con diferentes tamanos de malla.Seccion Asimetrica

Formulacion nealig 1 nealig 2analıtica SOLD45) SOLD95


Tabla 2.14: Porcentaje de variacion entre frecuencias de flexion de la formulacionanalıtica y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado deEF.Seccion Asimetrica

Modelo Placa nealig 1 nealig 2(Modelo 2D) SOLD45) SOLD95


Tabla 2.15: Porcentaje de variacion entre frecuencias de flexion del modelo placa y lasobtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Seccion Asimetrica

Se concluye el estudio de convergencia con la determinacion de emplear elmallado de las secciones en estudio mediante el EF. SOLIDO45, con tamano demalla: nealig =1. Debido a que la variacion en porcentaje de frecuencias de losprimeros modos de flexion entre el modelo losa mallado con el citado elementoy tamano, y el modelo placa o modelo 2D del que se pretende demostrar suvalidez, son inferiores al 10

2. METODOLOGIA 79

2.3.3. Modelo Placa o Modelo 2D. Parametros de Calculoempleados

El Modelo Placa o Modelo 2D, es un modelo de calculo por elementos finitosobtenido mediante mallado con elementos Shell o elementos placa, al que seaplicaran las constantes de ortotropıa obtenidas de las caracterısticas del Modelo3D o Modelo Losa, para cada uno de los casos estudiados. De este modo, seconsigue, que partiendo de un modelo sencillo de calculo, como es el Modelo2D, con un mallado por elementos finitos, mas rapido de efectuar, se puedanobtener las frecuencias propias de flexion de una losa con ortotropıa de forma.

Los parametros numericos de calculo que se han empleado en el modelo placapara la obtencion de los modos de flexion del citado modelo, han sido:

constantes geometricas:

• longitud

• canto

• anchura del tablero

constantes de ortotropıa:

• νxy• νyx• Ex• Ey• Gxy

Estas constantes de ortotropıa seran las que seran tenidas en cuenta en la macrode elementos finitos empleada para el Modelo 2D o Modelo Placa.En el apartado de Anexos del presente trabajo, se incluyen las macros empleadasen el programa Ansys v11.0, para la obtencion de las frecuencias propias deflexion asociadas cada uno de los tres primeros modos de flexion, estudiados enel presente trabajo, para cada uno de los modelos de tableros de losa planteados,tanto para secciones simetricas como asimetricas.

Capıtulo 3

RESULTADOS

Analizados los modelos de las distintas secciones planteadas se han obtenidouna serie de resultados de los que se han seleccionado:

Frecuencias de flexion, asociadas a los 3 primeros modos de flexion.

Desplazamientos uz de los modelos losa y placa estudiados, para cada unode los modos de flexion.

Finalmente se han comparado las frecuencias de vibracion correspondientesa los 3 primeros modos de flexion entre la formulacion analıtica y modelo losacomplejo. A lo que ha seguido la comparacion de los mismos modos de flexion,es decir, los tres primeros, entre la formulacion analıtica y el modelo placa alque se le han aplicado las constantes de ortotropıa de seccion del modelo losa,con lo que se ha concluido en la validez de la modelizacion simplificada realizada.

Para determinar aun mas la validez del modelo placa planteado, se hancomparado los desplazamientos obtenidos en cada modelo placa, de cada unade las secciones, para cada uno de los modos de flexion, con los obtenidos en elmodelo losa.

80

3. RESULTADOS 81

3.1. Comparacion Formas Modales. FrecuenciasAsociadas a los Tres Primeros Modos deFlexion.

Recordemos que las tipologıas estudiadas han sido:

Seccion Simetrica. Aligeramientos Circulares

Longitud Numero Anchura bx Diametro(m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento (m)15 7 7 1 0.60

22.5 5 7 1.40 1.1030 4 7 1.75 1.40

Figura 3.1: Seccion Simetrica con disposicion de aligeramientos circulares

3. RESULTADOS 82

LONGITUD 15 m

Frecuencia Frecuencia Frecuencia %, error %, errorModo Form. Modelo Modelo Mod. Losa Mod. Placa

Analıtica Losa Placa Mod. Placa Form. AnalıticaModo 1 8.782 8.86 8.7 1.8 %, 1.62 %,Modo 2 35.13 34.26 34.67 1.2 %, 1.31 %,Modo 3 79.04 73.03 78.22 7.1 %, 1.04 %,

Tabla 3.1: Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Simetrica. Longitud 15 m

Figura 3.2: Mallado Modelo Placa Longitud 15m. Seccion Simetrica

Figura 3.3: Mallado Modelo Losa Longitud 15m. Seccion Simetrica

3. RESULTADOS 83

Para cada modo del modelo placa y modelo losa, se ha obtenido su defor-mada, de la que graficamente se tiene:

Figura 3.4: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. SeccionSimetrica



3. RESULTADOS 84

LONGITUD 22.5 m



Tabla 3.2: Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Simetrica. Longitud 22.5 m

Figura 3.7: Mallado Modelo Placa Longitud 22.5 m. Seccion Simetrica

Figura 3.8: Mallado Modelo Losa Longitud 22.5 m. Seccion Simetrica

3. RESULTADOS 85

De igual manera que para el modelo de longitud 15 m , para cada modo delmodelo placa y modelo losa, se ha obtenido su deformada, de la que graficamentese tiene:

Figura 3.9: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. SeccionSimetrica



3. RESULTADOS 86

LONGITUD 30 m



Tabla 3.3: Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Simetrica. Longitud 30 m

Figura 3.12: Mallado Modelo Placa Longitud 30 m. Seccion Simetrica

Figura 3.13: Mallado Modelo Losa Longitud 30 m. Seccion Simetrica

3. RESULTADOS 87

De igual manera que para los modelos de 15 y 22.5 m, para cada modo delmodelo placa y modelo losa, se ha obtenido su deformada, de la que graficamentese tiene:

Figura 3.14: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. SeccionSimetrica



3. RESULTADOS 88

Se representan de forma tabulada los porcentajes de error de las frecuenciasobtenidas para los tres primeros modos de flexion, comparando las del modelolosa y las del modelo placa entre sı.

Modelo Losa Modelo Losa Modelo LosaL Modelo Placa. Modelo Placa. Modelo Placa.

(m) (Modo 1) (Modo 2) (Modo 3)15 1.8 %, 1.2 %, 7.1 %,

22.5 0.48 %, 5.77 %, 13.39 %,30 0.64 %, 4.49 %, 12.58 %,

Tabla 3.4: Porcentajes de variacion frecuencias de flexion entre modelo losa y modeloplaca. Seccion Simetrica

Del mismo modo se plantea la variacion en porcentaje, entre las frecuenciasde flexion de los tres primeros modos del modelo placa planteado, y los resultadosesperados de aplicacion de la formulacion analıtica del modelo de viga. Se hallegado a los siguientes valores:

Modelo Placa Modelo Placa Modelo PlacaL Form.Analıtica Form.Analıtica Form. Analıtica

(m) (Modo 1) (Modo 2) (Modo 3)15 1.8 %, 1.2 %, 7.1 %,

22.5 0.48 %, 5.77 %, 13.39 %,30 0.64 %, 4.49 %, 12.58 %,

Tabla 3.5: Porcentajes de variacion frecuencias de flexion entre el modelo placa y laformulacion analıtica de viga. Seccion Simetrica

3. RESULTADOS 89

Para las secciones con recubrimientos superior e inferior de magnitud dife-rentes y aligeramientos de forma cuadrada (Seccion Asimetrica), se han obtenidolos siguientes resultados.

Seccion Asimetrica. Aligeramientos Cuadrados

Longitud Numero Anchura bx Lado(m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento (m)15 7 7 1 0.60

22.5 5 7 1.40 1.1030 4 7 1.75 1.45

Figura 3.17: Seccion Asimetrica con disposicion de aligeramientos cuadrados

3. RESULTADOS 90

LONGITUD 15 m


Analıtica Losa Placa Mod. Placa Form. AnalıticaModo 1 9.014 8.87 8.87 0 %, 1.60 %,Modo 2 36.06 34.13 35.60 4.30 %, 1.26 %,Modo 3 81.12 72.26 80.26 11.07 %, 1.07 %,

Tabla 3.6: Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Asimetrica. Longitud 15 m

Figura 3.18: Mallado Modelo Placa Longitud 15m. Seccion Asimetrica

Figura 3.19: Mallado Modelo Losa Longitud 15m. Seccion Asimetrica

3. RESULTADOS 91

Como en las secciones simetricas, en las secciones asimetricas estudiadas,para cada modo del modelo placa y modelo losa, se ha obtenido su deformada,de la que graficamente se tiene:

Figura 3.20: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. SeccionAsimetrica



3. RESULTADOS 92

LONGITUD 22.5 m



Tabla 3.7: Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Asimetrica. Longitud 22.5 m

Figura 3.23: Mallado Modelo Placa Longitud 22.5 m. Seccion Asimetrica

Figura 3.24: Mallado Modelo Losa Longitud 22.5 m. Seccion Asimetrica

3. RESULTADOS 93

De igual manera que para el modelo de longitud 15 m, para cada mododel modelo placa y modelo losa de la seccion asimetrica, se ha obtenido sudeformada, de la que graficamente se tiene:

Figura 3.25: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. SeccionAsimetrica



3. RESULTADOS 94

LONGITUD 30 m



Tabla 3.8: Comparacion frecuencias de flexion. Seccion Asimetrica. Longitud 30 m

Figura 3.28: Mallado Modelo Placa Longitud 30 m. Seccion Asimetrica

Figura 3.29: Mallado Modelo Losa Longitud 30 m. Seccion Asimetrica

3. RESULTADOS 95

En secciones asimetricas tambien, de igual manera, que para los modelos de15 y 22.5 m, para cada modo del modelo placa y modelo losa, se ha obtenido sudeformada, de la que graficamente se tiene:

Figura 3.30: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. SeccionAsimetrica



3. RESULTADOS 96

Como en las secciones simetricas, tambien para las secciones asimetricascon aligeramientos cuadrados, se representan de forma tabulada los porcentajesde error de las frecuencias obtenidas para los tres primeros modos de flexion,comparando las del modelo losa y las del modelo placa entre sı.

Modelo Losa Modelo Losa Modelo LosaL Modelo Placa. Modelo Placa. Modelo Placa.

(m) (Modo 1) (Modo 2) (Modo 3)15 0.0 %, 4.30 %, 11.07 %,

22.5 1.1 %, 7.5 %, 17.08 %,30 1.83 %, 8.9 %, 20.04 %,

Tabla 3.9: Porcentajes de variacion frecuencias de flexion entre modelo losa y modeloplaca. Seccion Asimetrica

Del mismo modo se plantea la variacion en porcentaje, entre las frecuenciasde flexion de los tres primeros modos del modelo placa planteado, y los resultadosesperados de aplicacion de la formulacion analıtica del modelo de viga. Se hallegado a los siguientes valores:

Modelo Placa Modelo Placa Modelo PlacaL Form.Analıtica Form.Analıtica Form. Analıtica

(m) (Modo 1) (Modo 2) (Modo 3)15 1.60 %, 1.26 %, 1.07 %,

22.5 1.87 %, 1.56 %, 1.33 %,30 1.90 %, 1.70 %, 1.40 %,

Tabla 3.10: Porcentajes de variacion frecuencias de flexion entre el modelo placa y laformulacion analıtica de viga. Seccion Asimetrica

3. RESULTADOS 97

3.2. Comparacion de Desplazamientos o FormasPropias de Vibracion

Para cada una de las secciones analizadas se han obtenido ademas, los des-plazamientos uz asociados a cada uno de los modos de flexion que se han de-terminado con los calculos realizados, tanto para el modelo losa como para elmodelo placa. Seguidamente se ha llevado a cabo una comparacion de ambosvalores y se ha determinado la diferencia en porcentaje entre los resultados deambos modelos. Graficamente se observan mınimas diferencias entre la defor-mada de ambos modelos (3D y 2D), tal y como se puede observar en las figurasdonde se han grafiado de forma conjunta ambas deformadas, resultando practi-camente inapreciable, la variacion entre ambas deformadas. Se han representadola diferencia de contornos de los valores de dichas deformadas. De este modotenemos:

SECCION SIMETRICA

Longitud 15 m

Valor Maximo Valor Maximo %,variacionModo desplazamiento desplazamiento entre

Mod. Losa (m) Mod. Placa (m) ModelosModo 1 0.0033015 0.003255 1.4 %,Modo 2 0.0033889 0.0032605 3.78 %,Modo 3 0.0034894 0.0032554 6.70 %,

Tabla 3.11: Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelo losa ymodelo placa. Longitud 15 m. Seccion Simetrica. Comparacion porcentual.

3. RESULTADOS 98

Figura 3.33: Representacion conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Simetrica.Longitud 15 m.

Figura 3.34: Diferencia de contornos deformada modo 1. Modelo Losa(3D)-ModeloPlaca(2D). Seccion Simetrica. Longitud 15 m.

Se aprecia la similitud de ambas deformaciones reflejadas en los valores decuantıa mınima de las figuras anteriores.

3. RESULTADOS 99

Para el Modo 2 se obtienen los siguientes valores:

Figura 3.35: Representacion conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Simetrica. Longitud 15 m.


3. RESULTADOS 100

Para el Modo 3 se obtienen las siguientes representaciones:

Figura 3.37: Representacion conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Simetrica.Longitud 15 m


3. RESULTADOS 101

Longitud 22.5 m



Tabla 3.12: Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelo losa ymodelo placa. Longitud 22.5 m. Seccion Simetrica. Comparacion porcentual.

Figura 3.39: Representacion conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Simetrica.Longitud 22.5 m


3. RESULTADOS 102


Longitud 30 m



Tabla 3.13: Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelo losa ymodelo placa. Longitud 30 m. Seccion Simetrica. Comparacion porcentual.


3. RESULTADOS 103



Procediendo de igual forma, se ha obtenido la maxima deformacion de cadamodo de flexion para las secciones asimetricas. Los resultados se recogen en lassiguientes tablas:

3. RESULTADOS 104

SECCION ASIMETRICA

Longitud 15 m



Tabla 3.14: Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelo losa ymodelo placa. Longitud 15 m. Seccion Asimetrica. Comparacion porcentual.

Figura 3.45: Representacion conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Asimetrica.Longitud 15 m

Figura 3.46: Diferencia de contornos deformada modo 1. Modelo Losa(3D)-ModeloPlaca(2D). Seccion Asimetrica. Longitud 15 m.

3. RESULTADOS 105



3. RESULTADOS 106

Para el Modo 3 se llega a las siguientes representaciones graficas:



3. RESULTADOS 107

Longitud 22.5 m



Tabla 3.15: Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelo losa ymodelo placa. Longitud 22.5 m. Seccion Asimetrica. Comparacion porcentual.

Figura 3.51: Representacion conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D).Seccion Asimetrica.Longitud 22.5 m


3. RESULTADOS 108


Longitud 30 m



Tabla 3.16: Desplazamientos maximos de la deformada de los modos modelo losa ymodelo placa. Longitud 30 m. Seccion Asimetrica. Comparacion porcentual.


3. RESULTADOS 109



Capıtulo 4

DISCUSION

4.1. Resumen del Trabajo de Investigacion

El presente trabajo de investigacion se ha iniciado con un planteamientoinicial de las secciones en estudio exponiendo las razones de su eleccion.

Se han planteado las hipotesis que se han tenido en cuenta en el desarro-llo de la formulacion empleada y metodologıa seguida, siendo la principal delas hipotesis estudiadas la consideracion del Efecto Poisson al llevar a cabo laobtencion de los parametros de calculo empleados en el modelo placa en estudio.

Planteadas las secciones en estudio para diversas tipologıas y, establecidaslas hipotesis de calculo, el siguiente paso ha sido llevar a cabo un estudio deconvergencia para determinar el elemento finito a emplear en el calculo de lasfrecuencias y formas propias de vibracion del modelo losa, teniendo en cuentaque dichos resultados deberan ser comparados con la formulacion analıtica delproblema (viga isostatica simplemente apoyada) y por ende con el modelo placaplanteado. Por ello ha resultado de gran utilidad establecer no solo la tipologıade elemento finito a emplear en el mallado sino tambien su tamano.

Con las conclusiones del estudio de convergencia realizado se llevan a cabolos calculos mediante modelizacion con elementos finitos del modelo losa y elmodelo placa a traves del calculo modal Block –Lanzos y el empleo del progra-ma de calculo Ansys v.11 bajo Linux establecido en el servidor de la Escuela deIngenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de Granada.

De los calculos efectuados se han obtenido:

Frecuencias de vibracion correspondientes a los tres primeros modos deflexion para cada modelo (losa y placa) y para cada seccion y tipologıa

110

4. DISCUSION 111

(simetrica y asimetrica) planteada.

Desplazamientos uz asociados a cada modo de vibracion de los obtenidoscon anterioridad.

Los resultados obtenidos han sido comparados con los esperados de la formu-lacion analıtica planteada mediante modelo de viga isostatica, para demostrarla validez de la simplificacion realizada.

4. DISCUSION 112

4.2. Conclusiones

El principal objetivo del presente trabajo de investigacion ha sido ante todopoder plantear un modelo de elementos finitos que permita obtener las frecuen-cias propias de vibracion, asociadas a los tres primeros modos de flexion de losasortotropas, ası como las formas propias asociadas a cada modo de flexion, de-terminando las deformaciones maximas de la losa, en correspondencia con cadauno de ellos.

Durante el desarrollo del presente trabajo de investigacion, se ha podidocomprobar la complejidad en la modelizacion por medio de elementos finitos,de estructuras con especiales caracterısticas geometricas, que requieren de ladefinicion de un mallado optimo para la obtencion de resultados fiables. Lostiempos de calculo y los requerimientos computacionales, limitan en algunoscasos la obtencion de resultados optimos, y no permiten disponer de metodosde calculo que resulten competitivos ni productivos para la modelizacion delosas ortotropas a nivel de proyecto y ejecucion de una estructura.

La aplicacion de las constantes de ortotropıa de losas aligeradas con diferen-tes tipos de secciones y longitudes, al modelo de calculo utilizado en el presentetrabajo de investigacion, ha permitido la obtencion de las frecuencias propiasde vibracion y de sus correspondientes formas propias, de una forma rapida ysencilla, llegando a la siguientes conclusiones:

El metodo analıtico de calculo de frecuencias propias de vibracion, de unaviga isostatica simplemente apoyada, puede aplicarse a losas ortotropascon una esbeltez determinada por condicionantes geometricos y construc-tivos.

Dichos condicionantes, han permitido despreciar el efecto de la deforma-cion por esfuerzo cortante transversal en el modelo de calculo empleadoen cada una de las secciones estudiadas.

En cambio, el Efecto Poisson entre aligeramientos, debe considerarse enla obtencion de las constantes de ortotropıa de las secciones estudiadaspara ser aplicadas a la validez del modelo de calculo tipo placa, objeto deestudio.

Tras la obtencion de las frecuencias propias de flexion para los tres pri-meros modos de vibracion, de cada una de las secciones estudiadas, poraplicacion del metodo de calculo empleado, se ha podido observar que lasvariaciones de los valores obtenidos con respecto a lo esperado en la for-mulacion analıtica (modelo viga isostatica) son inferiores al 2 %, en todoslos casos estudiados, de acuerdo a las variaciones de longitud de losa, ti-pologıa de aligeramientos y simetrıa de dichos aligeramientos con respectoal plano medio de la seccion trasversal.

4. DISCUSION 113

Del mismo modo, para las deformaciones asociadas a cada forma propia deflexion, la variacion en porcentaje entre el modelo tridimensional realizadocon un mallado optimo, y el modelo de placa o modelo sencillo de calculoestudiado, resultan inferiores al 2 %, para el primer modo de vibracion,extendiendose dicho valor de variacion inferior al 2 %, a los modos 1 y 2para losas con longitudes mayores a 20 m.

4. DISCUSION 114

4.3. Propuestas para Investigaciones Futuras

Como propuestas de investigaciones futuras cabrıa plantear las siguientes:

Establecer la validez del modelo de calculo planteado para modos de tor-sion.

Establecer la validez del modelo de calculo planteado para secciones so-metidas a cargas de tipo movil, desarrollando la posibilidad del metodocomo un pre-calculo para estructuras ferroviarias.

Capıtulo 5

APENDICES

115

Apendice A

Bibliografıa

En este apendice se recoge de forma esquematica y resumida las referenciasbibliograficas que se han tenido en cuenta en la redaccion del presente trabajo.Dichas referencias obtenidas han sido el resultado del estudio de investigacionrealizado siguiendo tres grandes lıneas: normativas, publicaciones editoriales,tesis doctorales, artıculos. De todos ellos se han tenido en cuenta aquellas masrelevantes y con aplicacion directa en el presente trabajo de investigacion.

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116


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Apendice B

Composicion General de lasMacros Empleadas enAnsys

120


La composicion de la macro del modelo losa para secciones simetricas,con aligeramientos circulares, se ha estructurado de la siguiente forma:


DATOS DE ENTRADA L = luz del vano h = canto n = numero de aligeramientos d = (d)diámetro de los aligeramientos para secciones aligeramientos

circulares c = carne ó anchura entre aligeramientos rs = recubrimiento superior ha = h-rs-d/2 altura del centro de los aligeramientos medida desde

la cara inferior de la losa bx = d + c espaciameiento entre centros de aligeramientos btot = n*bx ancho total de la losa Exlosa = 3.6e10 Modulo de Elasticidad nulosa = 0.2 coeficiente de poisson densi = 2500 densidad del material nealig = numero de elementos de la malla que caben en el espesor de

recubrimiento superior (asi se controla el refinamiento de la malla, cuando m s alto

el numero, mas fina) nummodos = numero de modos a calcular /prep7 ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ! GENERACION DEL VOLUMEN DE LA LOSA ALIGERADA ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - BLOCK, 0, L, 0, btot, 0, h crea losa maciza *do,i,1,n NUMSTR, VOLU, 2*i controla la numeraciónn del nuevo

volumen a crear = nuevo aligeramiento

WPLANE, 1, 0, bx/2+(i-1)*bx, ha, 0, btot, ha, 0, bx/2+(i-1)*bx, h

sitúa el plano de trabajo en el lugar adecuado para el comando siguiente

CYL4, 0, 0, 0, , d/2, , L

crea el volumen del nuevo aligeramiento

VSBV, 2*i-1, 2*i, , DELETE, DELETE

"resta" el nuevo aligeramiento del volumen existente

*enddo WPSTYLE,,,,,,,,0 ya no se dibuja el working plane


! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ! MALLADO DEL VOLUMEN DE LA LOSA ALIGERADA ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - et,1,45 ! tipo de elemento (SOLIDO45) mp,ex,1,Exlosa ! asigna modulo de elasticidad al material 1 mp,nuxy,1,nulosa ! asigna coef de poisson al material 1 mp,dens,1,densi ! asigna densidad al material 1 type,1 ! activa el tipo de elemento 1, para usarlo en

el mallado subsiguiente mat,1 ! activa el tipo de material 1, para usarlo en

el mallado subsiguiente vplot ! dibuja el volumen de la losa /view,1,1,1,1 /angle,1,240 /rep ! este comando redibuja mshape,1,3d ! fuerza al programa a mallar con tetraedros mshkey,0 ! mallado libre (posicion de nudos determinada

por el programa) esize,(h-(ha+d/2))/nealig ! define el tama¤o del elemento vmesh,all ! malla el volumen de la losa ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ! CONDICIONES DE CONTORNO ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - nsel,s,loc,z,0 ! selecciona nudos de la cara inferior de la losa nsel,r,loc,x,0 ! de los anteriores, selecciona nudos en el "estribo" inicial d,all,uz,0 ! impone restricci¢n al movimiento vertical nsel,s,loc,z,0 ! selecciona nudos de la cara inferior de la losa seltol,0.001 ! reduce la tolerancia en la seleccion de nudos para coger solo estrictamente los del "estribo" final nsel,r,loc,x,L ! de los anteriores, selecciona nudos en el "estribo" final seltol ! vuelve a los valores por defecto de tolerancia d,all,uz,0 ! impone restricci¢n al movimiento vertical alls ! selecciona todo


/pbc,u,1 ! activa representacion grafica de las condiciones de contorno (apoyos) eplo fini ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ! ANALISIS MODAL ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - !/eof /solu ANTYPE,MODAL MODOPT,LANB,nummodos OUTPR,ALL,NONE OUTRES,ALL,ALL SOLVE fini /post1 set,list ! esto te listara las frecuencias en el fichero llamado "fichero_salida" fini /eof


La composicion de la macro del modelo losa para secciones asimetri-cas, con aligeramientos cuadrados, se ha estructurado de la siguiente forma:


DATOS DE ENTRADA L = luz del vano h = canto n = numero de aligeramientos a = lado del aligeramiento cuadrado c = carne rs = recubrimiento superior ri = h-rs-a ! recubrimiento inferior bx = a + c ! espaciamiento entre centros de aligeramientos btot = n*bx ! ancho total de la losa Exlosa = 3.6e10 ! Modulo de Elasticidad nulosa = 0.2 ! coeficiente de Poisson densi = 2500 ! densidad del material nealig = ! numero de elementos de la malla que caben en

el espesor de recubrimiento superior nummodos = ! numero de modos a calcular (los tres primeros

son de sólido rígido y no cuentan) /prep7 ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ! GENERACION DEL VOLUMEN DE LA LOSA ALIGERADA ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - BLOCK, 0, L, 0, btot, 0, h ! crea losa maciza *do,i,1,n NUMSTR, VOLU, 2*i ! controla la numeración del nuevo

volumen a crear = nuevo aligeramiento

WPLANE, 1, 0, c/2+(i-1)*(a+c), ri, 0, btot, ri, 0, c/2+(i-1)*(a+c), h

! situa el plano de trabajo en el lugar adecuado para el comando siguiente

BLC4, 0, 0, a, a, L ! crea el volumen del nuevo aligeramiento

VSBV, 2*i-1, 2*i, , DELETE, DELETE

! "resta" el nuevo aligeramiento del volumen existente

*enddo WPSTYLE,,,,,,,,0 ! ya no se dibuja el working plane


! MALLADO DEL VOLUMEN DE LA LOSA ALIGERADA et,1,45 ! tipo de elemento (SOLIDO45) mp,ex,1,Exlosa ! asigna modulo de elasticidad al material 1 mp,nuxy,1,nulosa ! asigna coef de poisson al material 1 mp,dens,1,densi ! asigna densidad al material 1 type,1 ! activa el tipo de elemento 1, para usarlo en

el mallado subsiguiente mat,1 ! activa el tipo de material 1, para usarlo en

el mallado subsiguiente vplot ! dibuja el volumen de la losa /view,1,1,1,1 /angle,1,240 /rep ! este comando redibuja mshape,1,3d ! fuerza al programa a mallar con hexaedros mshkey,0 ! mallado libre (posicion de nudos

determinada por el programa) esize,rs/nealig ! define el tamaño del elemento vmesh,all ! malla el volumen de la losa CONDICIONES DE CONTORNO nsel,s,loc,z,0 ! selecciona nudos de la cara inferior de la losa nsel,r,loc,x,0 ! de los anteriores, selecciona nudos en el "estribo" inicial d,all,uz,0 ! impone restricción al movimiento vertical nsel,s,loc,z,0 ! selecciona nudos de la cara inferior de la losa seltol,0.001 ! reduce la tolerancia en la selección de nudos

para coger solo estrictamente los del "estribo" final

nsel,r,loc,x,L ! de los anteriores, selecciona nudos en el "estribo" final

seltol ! vuelve a los valores por defecto de tolerancia d,all,uz,0 ! impone restricción al movimiento vertical alls ! selecciona todo /pbc,u,1 ! activa representación grafica de las

condiciones de contorno (apoyos) eplo fini ANALISIS MODAL !/eof /solu ANTYPE,MODAL MODOPT,LANB,nummodos OUTPR,ALL,NONE


OUTRES,ALL,ALL SOLVE fini /post1 set,list !esto listara las frecuencias en el fichero llamado "fichero_salida" fini /eof


Por su parte el esquema de composicion de la macro del modelo placaha sido el siguiente:


! DICCIONARIO DE VARIABLES: ! L = longitud del puente ! BTABL = anchura total del tablero ! NETRANS = numero de elementos en sentido transveral ! NELONG = numero de elementos en sentido longitudinal ! ESPTABL = espesor del tablero ! ETABLx = modulo de elasticidad del tablero en la direccion x ! ETABLy = modulo de elasticidad del tablero en la direccion y ! NUTABLx = coeficiente de Poisson en la dirección x ! NUTABLy = coeficiente de Poisoon en la direccion y ! GxyTABL = modulo de rigidez del tablero ! NUTABL = coeficiente de Poisson del tablero ! ROTABL = densidad del tablero ! YLIN = coordenada Y para la linea de nudos de tablero ! que se este generando PI = 2.*ASIN(1.) !---------------------------------------------------------- ! DATOS DE ENTRADA !---------------------------------------------------------- L BTABL NETRANS = número de líneas de elementos en sentido transversal NELONG = número de elementos en sentido longitudinal ESPTABL = ETABLx = ETABLy = NUTABLx = NUTABLy = GxyTABL = ROTABL = NUMAPOY = define las lineas de nudos en las que hay apoyo, que en

estribos inicial y final) *DIM,LINEAPOY,ARRAY,NUMAPOY LINEAPOY(1)= (estribo inicial, generalmente el número 1) LINEAPOY(2)= (estribo final) NUMMODOS = ! numero de modos de vibración a obtener !---------------------------------------------------------- ! CONSTRUCCION DEL MODELO !---------------------------------------------------------- /prep7 ! entra en el preprocesador para crear el modelo ! ! TIPOS DE ELEMENTOS, CONSTANTES REALES Y PROPIEDADES DE MATERIALES ! ET,1,63 R,1,ESPTABL


MP,EX,1,ETABLx MP,EY,1,ETABLy MP,NUXY,1,NUTABLx MP,GXY,1,GxyTABL MP,DENS,1,ROTABL ! ! NUDOS DEL TABLERO ! *DO,I,1,NELONG+1 *DO,J,1,NETRANS+1 Y = (J-1)*BTABL/NETRANS X = (I-1)*L/NELONG N,(NETRANS+1)*(I-1)+J,X,Y,0. *ENDDO *ENDDO ! ! ELEMENTOS EN EL TABLERO ! TYPE,1 REAL,1 MAT,1 *DO,I,1,NELONG *DO,J,1,NETRANS NUMEL=(I-1)*NETRANS+J N1=(NETRANS+1)*(I-1)+J N2=N1+(NETRANS+1) N3=N2+1 N4=N1+1 EN,NUMEL,N1,N2,N3,N4 *ENDDO *ENDDO ! ! CONDICIONES DE CONTORNO: BORDES DE LAS VIGAS APOYADOS ! *DO,I,1,NELONG+1 *DO,K,1,NUMAPOY *IF,LINEAPOY(K),EQ,I,THEN *DO,J,1,NETRANS+1 D,(NETRANS+1)*(I-1)+J,UZ,0.,,,,ROTX *ENDDO *ENDIF *ENDDO *ENDDO D,1,UX,0,,,,UY D,(NETRANS+1)*NELONG+1,UY,0 ! PROYECCION ISOMETRICA ! SAVE FINI /VIEW,1,1,1,1 /ANGLE,1,240


/PBC,ALL,1 EPLO ANALISIS MODAL ! /SOLU ANTYPE,MODAL MODOPT,LANB,NUMMODOS ! obtiene los modos mediante el método de BLock-Lanczos OUTPR,ALL,NONE ! no grabará ningún resultado en la base de datos escrita OUTRES,ALL,ALL ! grabará todos los resultados en la base de datos binaria SOLVE FINI /post1 ! entra en el postprocesador para ver resultados /eof ! termina de leer el fichero de input

Apendice C

Datos de entrada y salidade resultados modelos

133


Macro parametros entrada modelo losa seccion simetrica longitud15 m:


/batch ! necesario para lanzar en cola/filname,losa,on ! cambia el nombre del caso y le llama "losa"

!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------!! DATOS DE ENTRADA!!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------

L = 15 ! luz del vanoh = 1 ! canto

n = 7 ! numero de aligeramientosd = 0.60 ! diametro de los aligeramientosc = 0.40 ! carners = 0.20 ! recubrimiento superiorha = h-rs-d/2 ! altura del centro de los aligeramientos medida desde la cara inferior de la losabx = d + c ! espaciameiento entre centros de aligeramientosbtot = n*bx ! ancho total de la losa

Exlosa = 3.6e10 ! Modulo de Elasticidadnulosa = 0.2 ! coeficiente de poissondensi = 2500 ! densidad

nealig = 1 ! numero de elementos de la malla que caben en el espesor de recubrimiento superior ! (asi se controla el refinamiento de la malla, cuando m s alto el numero, mas fina)

nummodos = 12 ! numero de modos a calcular (los tres primeros son de s¢lido r¡gido y no cuentan)

!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------!! FIN DE LOS DATOS DE ENTRADA!!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------

/prep7

! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! GENERACION DEL VOLUMEN DE LA LOSA ALIGERADA! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

BLOCK, 0, L, 0, btot, 0, h ! crea losa maciza


*do,i,1,n

NUMSTR, VOLU, 2*i ! controla la numeraci¢n del nuevo volumen a crear = nuevo aligeramiento

WPLANE, 1, 0, bx/2+(i-1)*bx, ha, 0, btot, ha, 0, bx/2+(i-1)*bx, h ! situa el plano de trabajo en el lugar adecuado para el comando siguiente CYL4, 0, 0, 0, , d/2, , L ! crea el volumen del nuevo aligeramiento

VSBV, 2*i-1, 2*i, , DELETE, DELETE ! "resta" el nuevo aligeramiento del volumen existente

*enddo

WPSTYLE,,,,,,,,0 ! ya no se dibuja el working plane

! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! MALLADO DEL VOLUMEN DE LA LOSA ALIGERADA! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

et,1,45 ! tipo de elemento (95 = tetraedro cuadratico = con nudos en vertices y centros de aristas)mp,ex,1,Exlosa ! asigna modulo de elasticidad al material 1mp,nuxy,1,nulosa ! asigna coef de poisson al material 1mp,dens,1,densi ! asigna densidad al material 1

type,1 ! activa el tipo de elemento 1, para usarlo en el mallado subsiguientemat,1 ! activa el tipo de material 1, para usarlo en el mallado subsiguiente

vplot ! dibuja el volumen de la losa/view,1,1,1,1/angle,1,240/rep ! este comando redibuja

mshape,1,3d ! fuerza al programa a mallar con tetraedrosmshkey,0 ! mallado libre (posicion de nudos determinada por el programa)esize,(h-(ha+d/2))/nealig ! define el tama¤o del elemento

vmesh,all ! malla el volumen de la losa

! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! CONDICIONES DE CONTORNO! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

nsel,s,loc,z,0 ! selecciona nudos de la cara inferior de la losansel,r,loc,x,0 ! de los anteriores, selecciona nudos en el "estribo" iniciald,all,uz,0 ! impone restricci¢n al movimiento vertical

nsel,s,loc,z,0 ! selecciona nudos de la cara inferior de la


losaseltol,0.001 ! reduce la tolerancia en la seleccion de nudos para coger solo estrictamente los del "estribo" finalnsel,r,loc,x,L ! de los anteriores, selecciona nudos en el "estribo" finalseltol ! vuelve a los valores por defecto de toleranciad,all,uz,0 ! impone restricci¢n al movimiento vertical

alls ! selecciona todo

/pbc,u,1 ! activa representacion grafica de las condiciones de contorno (apoyos)eplo

fini

! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ANALISIS MODAL! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

!/eof

/soluANTYPE,MODALMODOPT,LANB,nummodosOUTPR,ALL,NONEOUTRES,ALL,ALLSOLVEfini

/post1set,list ! esto te listara las frecuencias en el fichero llamado "fichero_salida"

fini/eof


Macro parametros entrada modelo placa seccion simetrica longitud15 m:


!-------------------------------------------------------------!! DICCIONARIO DE VARIABLES:! ------------------------!! L = longitud del puente! BTABL = anchura total del tablero! NETRANS = numero de elementos en sentido transveral! NELONG = numero de elementos en sentido longitudinal! ESPTABL = espesor del tablero! ETABLx = modulo de elasticidad del tablero en la direccion x! ETABLy = modulo de elasticidad del tablero en la direccion y! NUTABLx = coeficiente de Poisson en la dirección x! NUTABLy = coeficiente de Poisoon en la direccion y! GxyTABL = modulo de rigidez del tablero ! NUTABL = coeficiente de Poisson del tablero! ROTABL = densidad del tablero!! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -!! YLIN = coordenada Y para la linea de nudos de tablero ! que se este generando!-------------------------------------------------------------

PI = 2.*ASIN(1.)

!----------------------------------------------------------! DATOS DE ENTRADA!----------------------------------------------------------

L = 15.BTABL = 7NETRANS = 10 ! habrá 10 lineas de elementos en sentido longitudinal, luego 11 líneas de nudosNELONG = 20 ! habrá 20 lineas de elementos en sentido longitudinal, luego 21 líneas de nudos

ESPTABL = 1.0ETABLx = 33251734843.363ETABLy = 28224000082.099NUTABLx = 0.109959NUTABLy = 0.36377GxyTABL = 68346056586.1ROTABL = 1823.9

NUMAPOY = 2 ! define las lineas de nudos en las que hay apoyo, que en este ejemplo son la 1 y 21 (estribos inicial y final)*DIM,LINEAPOY,ARRAY,NUMAPOYLINEAPOY(1)=1LINEAPOY(2)=21

NUMMODOS = 10 ! numero de modos de vibración a obtener

!----------------------------------------------------------! CONSTRUCCION DEL MODELO!----------------------------------------------------------

/prep7 ! entra en el preprocesador para crear el modelo


!! TIPOS DE ELEMENTOS, CONSTANTES REALES Y PROPIEDADES DE MATERIALES!ET,1,63R,1,ESPTABLMP,EX,1,ETABLxMP,EY,1,ETABLyMP,NUXY,1,NUTABLxMP,GXY,1,GxyTABLMP,DENS,1,ROTABL

!! NUDOS DEL TABLERO!*DO,I,1,NELONG+1 *DO,J,1,NETRANS+1 Y = (J-1)*BTABL/NETRANS X = (I-1)*L/NELONG N,(NETRANS+1)*(I-1)+J,X,Y,0. *ENDDO*ENDDO

!! ELEMENTOS EN EL TABLERO!TYPE,1REAL,1MAT,1*DO,I,1,NELONG *DO,J,1,NETRANS NUMEL=(I-1)*NETRANS+J N1=(NETRANS+1)*(I-1)+J N2=N1+(NETRANS+1) N3=N2+1 N4=N1+1 EN,NUMEL,N1,N2,N3,N4 *ENDDO*ENDDO

!! CONDICIONES DE CONTORNO: BORDES DE LAS VIGAS APOYADOS!*DO,I,1,NELONG+1 *DO,K,1,NUMAPOY *IF,LINEAPOY(K),EQ,I,THEN *DO,J,1,NETRANS+1 D,(NETRANS+1)*(I-1)+J,UZ,0.,,,,ROTX *ENDDO *ENDIF *ENDDO*ENDDOD,1,UX,0,,,,UYD,(NETRANS+1)*NELONG+1,UY,0

!! PROYECCION ISOMETRICA!SAVEFINI/VIEW,1,1,1,1/ANGLE,1,240/PBC,ALL,1EPLO


!! ANALISIS MODAL!/SOLUANTYPE,MODAL

MODOPT,LANB,NUMMODOS ! obtiene los modos mediante el método de BLock-LanczosOUTPR,ALL,NONE ! no grabará ningún resultado en la base de datos escritaOUTRES,ALL,ALL ! grabará todos los resultados en la base de datos binaria

SOLVEFINI

/post1 ! entra en el postprocesador para ver resultados

/eof ! termina de leer el fichero de input


Macro salida resultados modelo losa seccion simetrica longitud 15m:


ANSYS Mechanical U

*-------------------------------------------------------------* | | | W E L C O M E T O T H E A N S Y S P R O G R A M | | | *-------------------------------------------------------------*

*************************************************************** * ANSYS 11.0 LEGAL NOTICES * *************************************************************** * * * COPYRIGHT AND TRADEMARK INFORMATION * * * * Copyright 2007 SAS IP, Inc. All rights reserved. * * Unauthorized use, distribution or duplication is prohibited.* * * * See the ANSYS, Inc. online documentation or the ANSYS, Inc. * * documentation CD for the complete Legal Notice. * * * *************************************************************** * * * DISCLAIMER NOTICE * * * * THIS ANSYS SOFTWARE PRODUCT AND PROGRAM DOCUMENTATION * * INCLUDE TRADE SECRETS AND ARE CONFIDENTIAL AND PROPRIETARY * * PRODUCTS OF ANSYS, INC., ITS SUBSIDIARIES, OR LICENSORS. * * The software products and documentation are furnished by * * ANSYS, Inc., its subsidiaries, or affiliates under a * * software license agreement that contains provisions * * concerning non-disclosure, copying, length and nature of * * use, compliance with exporting laws, warranties, * * disclaimers, limitations of liability, and remedies, and * * other provisions. The software products and documentation * * may be used, disclosed, transferred, or copied only in * * accordance with the terms and conditions of that software * * license agreement. * * * * ANSYS, Inc. and ANSYS Europe, Ltd. are UL registered * * ISO 9001:2000 Companies. * * * *************************************************************** * * * U.S. GOVERNMENT RIGHTS * * * * For U.S. Government users, except as specifically granted * * by the ANSYS, Inc. software license agreement, the use, * * duplication, or disclosure by the United States Government * * is subject to restrictions stated in the ANSYS, Inc. * * software license agreement and FAR 12.212 (for non-DOD * * licenses). * * * ***************************************************************

AFTER YOU HAVE READ, UNDERSTOOD, AND AGREED TO THE PREVIOUS NOTICES, PRESS <CR> OR <ENTER> TO CONTINUE


***** ANSYS COMMAND LINE ARGUMENTS ***** NONE

00377421 VERSION=LINUX EM64T RELEASE= 11.0 UP20070125 CURRENT JOBNAME=file 13:20:08 FEB 06, 2011 CP= 0.610

RUN SETUP PROCEDURE FROM FILE= /usr/ansys_inc/v110/ansys/apdl/start110.ans

/INPUT FILE= /usr/ansys_inc/v110/ansys/apdl/start110.ans LINE= 0

BEGIN:

CURRENT JOBNAME REDEFINED AS losa Opening new LOG, ERROR, LOCK and PAGE FILES

PARAMETER L = 15.00000000

PARAMETER H = 1.000000000

PARAMETER N = 7.000000000

PARAMETER D = 0.6000000000

PARAMETER C = 0.4000000000

PARAMETER RS = 0.2000000000

PARAMETER HA = 0.5000000000

PARAMETER BX = 1.000000000

PARAMETER BTOT = 7.000000000

PARAMETER EXLOSA = 0.3600000000E+11

PARAMETER NULOSA = 0.2000000000

PARAMETER DENSI = 2500.000000

PARAMETER NEALIG = 1.000000000

PARAMETER NUMMODOS = 12.00000000 1

***** ANSYS - ENGINEERING ANALYSIS SYSTEM RELEASE 11.0 ***** ANSYS Mechanical U 00377421 VERSION=LINUX EM64T 13:20:08 FEB 06, 2011 CP= 0.630

***** ANSYS ANALYSIS DEFINITION (PREP7) *****

CREATE A HEXAHEDRAL VOLUME WITH X-DISTANCES FROM 0.000000000 TO 15.00000000 Y-DISTANCES FROM 0.000000000 TO 7.000000000 Z-DISTANCES FROM 0.000000000 TO 1.000000000

OUTPUT VOLUME = 1


*DO LOOP ON PARAMETER= I FROM 1.0000 TO 7.0000 BY 1.0000

STARTING VOLUME NUMBER = 2

CREATE WORKING PLANE WITH LOCATIONS 0.00000 , 0.500000 , 0.500000 0.00000 , 7.00000 , 0.500000 0.00000 , 0.500000 , 1.00000 MODIFY VIEW OF WINDOW 1

CREATE A CYLINDRICAL VOLUME WITH INNER RADIUS = 0.000000000 OUTER RADIUS = 0.3000000000 STARTING THETA ANGLE = 0.000000000 ENDING THETA ANGLE = 360.0000000 END Z-DISTANCES FROM 0.000000000 TO 15.00000000

OUTPUT VOLUME = 2

SUBTRACT VOLUMES

VOLUME NUMBERS TO BE OPERATED ON = 1 VOLUMES OPERATED ON WILL BE DELETED IF POSSIBLE VOLUME NUMBERS TO BE SUBTRACTED = 2 VOLUMES SUBTRACTED WILL BE DELETED IF POSSIBLE OUTPUT VOLUMES = 3

*ENDDO INDEX= I

*** NOTE *** CP = 1.310 TIME= 13:20:10 The Working Plane cannot be displayed in NON-UI mode. Command Ignored.

ELEMENT TYPE 1 IS SOLID45 3-D STRUCTURAL SOLID KEYOPT(1-12)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

CURRENT NODAL DOF SET IS UX UY UZ THREE-DIMENSIONAL MODEL

MATERIAL 1 EX = 0.3600000E+11

MATERIAL 1 NUXY = 0.2000000

MATERIAL 1 DENS = 2500.000

ELEMENT TYPE SET TO 1

MATERIAL NUMBER SET TO 1

*** NOTE *** Display device has not yet been specified with the /SHOW command. Display commands ignored.

view point for window 1 1.0000 1.0000 1.0000

ROTATION ANGLE FOR WINDOW 1 IS 240.00 ABOUT AXIS ZS PRODUCE ALL TETRAHEDRAL ELEMENTS IN 3D.

*** WARNING *** CP = 1.320 TIME= 13:20:10 Structural elements without mid nodes usually produce much more accurate results in quad or brick shape. USE THE FREE MESHER.


DEFAULT ELEMENT DIVISIONS PER LINE BASED ON ELEMENT SIZE = 0.200

GENERATE NODES AND ELEMENTS IN ALL SELECTED VOLUMES

*** WARNING *** CP = 1.320 TIME= 13:20:10 Volume 15 is being meshed entirely with SOLID45 tetrahedra, which can be much less accurate than bricks. Use quadratic (10-node) tetrahedra if available.

NUMBER OF VOLUMES MESHED = 1 MAXIMUM NODE NUMBER = 19345 MAXIMUM ELEMENT NUMBER = 77501

SELECT FOR ITEM=LOC COMPONENT=Z BETWEEN 0.0000 AND 0.0000 KABS= 0. TOLERANCE= 0.100000E-05

3096 NODES (OF 19345 DEFINED) SELECTED BY NSEL COMMAND.

RESELECT FOR ITEM=LOC COMPONENT=X BETWEEN 0.0000 AND 0.0000 KABS= 0. TOLERANCE= 0.100000E-05


SPECIFIED CONSTRAINT UZ FOR SELECTED NODES 1 TO 19345 BY 1 REAL= 0.00000000 IMAG= 0.00000000



SELECT TOLERANCE= 0.10000E-02



SELECT TOLERANCE SET TO DEFAULT


SELECT ALL ENTITIES OF TYPE= ALL AND BELOW

ALL SELECT FOR ITEM=VOLU COMPONENT= IN RANGE 1 TO 15 STEP 1

1 VOLUMES (OF 1 DEFINED) SELECTED BY VSEL COMMAND.

ALL SELECT FOR ITEM=AREA COMPONENT= IN RANGE 1 TO 24 STEP 1

20 AREAS (OF 20 DEFINED) SELECTED BY ASEL COMMAND.


ALL SELECT FOR ITEM=LINE COMPONENT= IN RANGE 1 TO 82 STEP 1

82 LINES (OF 82 DEFINED) SELECTED BY LSEL COMMAND.

ALL SELECT FOR ITEM=KP COMPONENT= IN RANGE 1 TO 64 STEP 1

64 KEYPOINTS (OF 64 DEFINED) SELECTED BY KSEL COMMAND.

ALL SELECT FOR ITEM=ELEM COMPONENT= IN RANGE 1 TO 77501 STEP 1

77501 ELEMENTS (OF 77501 DEFINED) SELECTED BY ESEL COMMAND.

ALL SELECT FOR ITEM=NODE COMPONENT= IN RANGE 1 TO 19345 STEP 1


U BOUNDARY CONDITION DISPLAY KEY = 1

***** ROUTINE COMPLETED ***** CP = 4.060

***** ANSYS SOLUTION ROUTINE *****

PERFORM A MODAL ANALYSIS THIS WILL BE A NEW ANALYSIS

USE SYM. BLOCK LANCZOS MODE EXTRACTION METHOD EXTRACT 12 MODES NORMALIZE THE MODE SHAPES TO THE MASS MATRIX

PRINT ALL ITEMS WITH A FREQUENCY OF NONE FOR ALL APPLICABLE ENTITIES

WRITE ALL ITEMS TO THE DATABASE WITH A FREQUENCY OF ALL FOR ALL APPLICABLE ENTITIES

***** ANSYS SOLVE COMMAND *****

*** NOTE *** CP = 4.100 TIME= 13:20:13 There is no title defined for this analysis.

*** WARNING *** CP = 4.170 TIME= 13:20:13 Meshes made up of 10 percent or more of SOLID45 tetrahedra are not recommended.

*** NOTE *** CP = 4.360 TIME= 13:20:13 The model data was checked and warning messages were found. Please review output or errors file ( /home/pmuseros/lmatas/febrero/losa.err ) for these warning messages. 1



S O L U T I O N O P T I O N S

PROBLEM DIMENSIONALITY. . . . . . . . . . . . .3-D DEGREES OF FREEDOM. . . . . . UX UY UZ ANALYSIS TYPE . . . . . . . . . . . . . . . . .MODAL EXTRACTION METHOD. . . . . . . . . . . . . .BLOCK LANCZOS NUMBER OF MODES TO EXTRACT. . . . . . . . . . . 12 GLOBALLY ASSEMBLED MATRIX . . . . . . . . . . .SYMMETRIC

*** NOTE *** CP = 4.480 TIME= 13:20:13 The conditions for direct assembly have been met. No .emat or .erot files will be produced.

L O A D S T E P O P T I O N S

LOAD STEP NUMBER. . . . . . . . . . . . . . . . 1

**** CENTER OF MASS, MASS, AND MASS MOMENTS OF INERTIA ****

CALCULATIONS ASSUME ELEMENT MASS AT ELEMENT CENTROID

TOTAL MASS = 0.19151E+06

MOM. OF INERTIA MOM. OF INERTIA CENTER OF MASS ABOUT ORIGIN ABOUT CENTER OF MASS

XC = 7.4984 IXX = 0.3202E+07 IXX = 0.8081E+06 YC = 3.4998 IYY = 0.1443E+08 IYY = 0.3609E+07 ZC = 0.49971 IZZ = 0.1749E+08 IZZ = 0.4376E+07 IXY = -0.5026E+07 IXY = -88.54 IYZ = -0.3355E+06 IYZ = -551.8 IZX = -0.7170E+06 IZX = 620.9

*** MASS SUMMARY BY ELEMENT TYPE ***

TYPE MASS 1 191513.

Range of element maximum matrix coefficients in global coordinates Maximum= 2.115798669E+10 at element 62268. Minimum= 1.510660302E+09 at element 10872.

*** ELEMENT MATRIX FORMULATION TIMES TYPE NUMBER ENAME TOTAL CP AVE CP

1 77501 SOLID45 8.480 0.000109 Time at end of element matrix formulation CP= 14.0799999.

BLOCK LANCZOS CALCULATION OF UP TO 12 EIGENVECTORS.


NUMBER OF EQUATIONS = 57963 MAXIMUM WAVEFRONT = 45 MAXIMUM MODES STORED = 12 MINIMUM EIGENVALUE = 0.0000 MAXIMUM EIGENVALUE = 0.10000E+09 EST. OF MEMORY NEEDED = 35.663 (MB) MEMORY AVAILABLE FOR EIGENSOLVER = 459.99 (MB)

MEMORY TO PERFORM EIGENEXTRACTION: MIN. TO COMPLETE VALUE INPUT = 3162900 24.131(MB) MIN. FOR PART IN-CORE AND OUT-OF-CORE = 4429105 33.791(MB) MIN. FOR IN-CORE = 23169794 176.77(MB) RECOM. FOR PART IN-CORE AND OUT-OF-CORE = 6524810 49.780(MB) RECOM. FOR IN-CORE = 24003405 183.13(MB)

LANCZOS CYCLE NUMBER = 1

new shift: 1.2465D+00 modes still needed: 12

FREQUENCIES AT CURRENT LANCZOS CYCLE 1 0.11553626E-03 2 0.23011681E-04 3 0.13347054E-03 4 0.13450828E+03 5 0.12591456E+03 6 0.12157427E+03 7 0.11609406E+03 8 0.94076508E+02 9 0.90999750E+02 10 0.78937314E+02 11 0.73031688E+02 12 0.54712679E+02 13 0.34264701E+02 14 0.24115399E+02 15 0.88617165E+01

number of steps : 9 eigenvalues found : 15 total no. eigenvalues: 15



***** ANSYS - ENGINEERING ANALYSIS SYSTEM RELEASE 11.0 ***** ANSYS Mechanical U 00377421 VERSION=LINUX EM64T 13:20:34 FEB 06, 2011 CP=25.160

NEGATIVE FREQUENCY OF -0.8386E-03 SET TO ZERO NEGATIVE FREQUENCY OF -0.1446E-03 SET TO ZERO

*** FREQUENCIES FROM BLOCK LANCZOS ITERATION ***

MODE FREQUENCY (HERTZ)

1 0.000000000000 2 0.000000000000 3 0.1155362561435E-03 4 8.861716450480 5 24.11539885485 6 34.26470058984 7 54.71267923152 8 73.03168775497 9 78.93731431002


10 90.99974971579 11 94.07650801503 12 116.0940561330


Macro salida resultados modelo placa seccion simetrica longitud15 m:


***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE *****

SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 1 8.6455 1 1 1 2 23.992 1 2 2 3 34.680 1 3 3 4 46.268 1 4 4 5 57.271 1 5 5 6 62.612 1 6 6 7 78.225 1 7 7 8 115.19 1 8 8 9 117.99 1 9 9 10 139.47 1 10 10


Macro parametros entrada modelo losa seccion simetrica longitud22.5 m:



!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------!! DATOS DE ENTRADA!!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------

L = 22.5 ! luz del vanoh = 1.5 ! canto






/prep7




*do,i,1,n




*enddo















fini

! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ANALISIS MODAL! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

!/eof



fini/eof


Macro parametros entrada modelo placa seccion simetrica longitud22.5 m:



PI = 2.*ASIN(1.)

!----------------------------------------------------------! DATOS DE ENTRADA!----------------------------------------------------------

L = 22.5BTABL = 7NETRANS = 10 ! habrá 10 lineas de elementos en sentido longitudinal, luego 11 líneas de nudosNELONG = 20 ! habrá 20 lineas de elementos en sentido longitudinal, luego 21 líneas de nudos









SOLVEFINI




Macro salida resultados modelo losa seccion simetrica longitud22.5 m:


ANSYS Mechanical U









BEGIN:





PARAMETER D = 1.100000000

PARAMETER C = 0.3000000000













OUTPUT VOLUME = 1






OUTPUT VOLUME = 2

SUBTRACT VOLUMES


*ENDDO INDEX= I




MATERIAL 1 EX = 0.3600000E+11













*** NOTE *** CP = 9.590 TIME= 16:51:43 The initial memory allocation (-m) has been exceeded. Supplemental memory allocations are being used.

*** NOTE *** CP = 41.010 TIME= 16:52:15 Page file used.





































*** WARNING *** CP = 49.440 TIME= 16:52:24


Meshes made up of 10 percent or more of SOLID45 tetrahedra are not recommended.

*** NOTE *** CP = 52.650 TIME= 16:52:27 The model data was checked and warning messages were found. Please review output or errors file ( /home/pmuseros/lmatas/solido45/losa.err ) for these warning messages. 1






LOAD STEP NUMBER. . . . . . . . . . . . . . . . 1





XC = 11.250 IXX = 0.5597E+07 IXX = 0.1440E+07 YC = 3.5000 IYY = 0.5502E+08 IYY = 0.1378E+08 ZC = 0.74999 IZZ = 0.6007E+08 IZZ = 0.1504E+08 IXY = -0.1277E+08 IXY = 5.978 IYZ = -0.8516E+06 IYZ = 5.006 IZX = -0.2737E+07 IZX = 2.915


TYPE MASS 1 324444.

Range of element maximum matrix coefficients in global coordinates


Maximum= 1.119946503E+10 at element 228629. Minimum= 786710816 at element 236475.



BLOCK LANCZOS CALCULATION OF UP TO 10 EIGENVECTORS. NUMBER OF EQUATIONS = 680576 MAXIMUM WAVEFRONT = 57 MAXIMUM MODES STORED = 10 MINIMUM EIGENVALUE = 0.0000 MAXIMUM EIGENVALUE = 0.10000E+09 EST. OF MEMORY NEEDED = 429.52 (MB) MEMORY AVAILABLE FOR EIGENSOLVER = 429.52 (MB)

MEMORY TO PERFORM EIGENEXTRACTION: using opt Min core MIN. TO COMPLETE VALUE INPUT = 12645525 96.478 (MB) MIN. FOR PART IN-CORE AND OUT-OF-CORE = 42465653 323.99 (MB) MIN. FOR IN-CORE = 530616277 4048.3 (MB) RECOM. FOR PART IN-CORE AND OUT-OF-CORE = 66352813 506.23 (MB) RECOM. FOR IN-CORE = 535380309 4084.6 (MB)

*** NOTE *** CP = 230.780 TIME= 16:55:54 Memory available for Block Lanczos eigensolver= 430 MB; required for in-core solution= 4048 MB. Proceeding with part in-core and part out-of-core solution (achieves similar CPU times as in-core).


new shift: 3.8447D-02 modes still needed: 10

FREQUENCIES AT CURRENT LANCZOS CYCLE 1 0.65912049E-04 2 0.31827898E-04 3 0.64404772E-04 4 0.48384953E+02 5 0.42381380E+02 6 0.41649061E+02 7 0.23243043E+02 8 0.19786053E+02 9 0.61268237E+01




FREQUENCIES AT CURRENT LANCZOS CYCLE 1 0.64404772E-04 2 0.31827898E-04 3 0.65912049E-04 4 0.61268237E+01 5 0.19786053E+02 6 0.23243043E+02 7 0.41649061E+02 8 0.42381380E+02 9 0.48384953E+02 10 0.68363965E+02




NEGATIVE FREQUENCY OF -0.4047E-03 SET TO ZERO



1 0.000000000000 2 0.3182789839767E-04 3 0.6591204929973E-04 4 6.126823682925 5 19.78605292310 6 23.24304280056 7 41.64906057643 8 42.38138020400 9 48.38495324163 10 68.36396488435

Block Lanczos CP Time (sec) = 616.020 Block Lanczos ELAPSED Time (sec) = 1454.591

1


***** PARTICIPATION FACTOR CALCULATION ***** X DIRECTION CUMULATIVE MODE FREQUENCY PERIOD PARTIC.FACTOR RATIO EFFECTIVE MASS MASS FRACTION

1 0.00000 0.0000 403.39 1.000000 162726. 0.501555 2 0.318279E-04 31419. -135.00 0.334651 18224.0 0.557725 3 0.659120E-04 15172. -378.81 0.939047 143494. 1.00000 4 6.12682 0.16322 -0.13349E-06 0.000000 0.178204E-13 1.00000 5 19.7861 0.50541E-01 0.18271E-06 0.000000 0.333841E-13 1.00000 6 23.2430 0.43024E-01 -0.16667E-07 0.000000 0.277799E-15 1.00000 7 41.6491 0.24010E-01 -0.15424E-05 0.000000 0.237888E-11 1.00000 8 42.3814 0.23595E-01 0.41579E-06 0.000000 0.172885E-12 1.00000 9 48.3850 0.20668E-01 -0.23157E-06 0.000000 0.536248E-13 1.00000


10 68.3640 0.14628E-01 -0.88401E-09 0.000000 0.781465E-18 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 324444.

***** PARTICIPATION FACTOR CALCULATION ***** Y DIRECTION CUMULATIVE MODE FREQUENCY PERIOD PARTIC.FACTOR RATIO EFFECTIVE MASS MASS FRACTION

1 0.00000 0.0000 241.28 0.472637 58214.7 0.179429 2 0.318279E-04 31419. 510.49 1.000000 260602. 0.982657 3 0.659120E-04 15172. 75.013 0.146942 5626.92 1.00000 4 6.12682 0.16322 0.97306E-08 0.000000 0.946844E-16 1.00000 5 19.7861 0.50541E-01 -0.18516E-06 0.000000 0.342825E-13 1.00000 6 23.2430 0.43024E-01 0.80828E-07 0.000000 0.653322E-14 1.00000 7 41.6491 0.24010E-01 -0.24201E-05 0.000000 0.585704E-11 1.00000 8 42.3814 0.23595E-01 -0.20875E-05 0.000000 0.435747E-11 1.00000 9 48.3850 0.20668E-01 0.15896E-05 0.000000 0.252693E-11 1.00000 10 68.3640 0.14628E-01 0.40057E-09 0.000000 0.160458E-18 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 324444.

***** PARTICIPATION FACTOR CALCULATION ***** Z DIRECTION CUMULATIVE MODE FREQUENCY PERIOD PARTIC.FACTOR RATIO EFFECTIVE MASS MASS FRACTION

1 0.00000 0.0000 0.88442E-07 0.000000 0.782204E-14 0.265734E-19 2 0.318279E-04 31419. -0.30533E-07 0.000000 0.932268E-15 0.297406E-19 3 0.659120E-04 15172. -0.82584E-07 0.000000 0.682009E-14 0.529101E-19 4 6.12682 0.16322 512.45 1.000000 262606. 0.892139 5 19.7861 0.50541E-01 -0.56484E-03 0.000001 0.319050E-06 0.892139 6 23.2430 0.43024E-01 -0.75476E-02 0.000015 0.569664E-04 0.892139 7 41.6491 0.24010E-01 0.54391E-02 0.000011 0.295838E-04 0.892139 8 42.3814 0.23595E-01 0.11796E-01 0.000023 0.139140E-03 0.892139 9 48.3850 0.20668E-01 178.18 0.347709 31749.6 1.00000 10 68.3640 0.14628E-01 0.38494E-02 0.000008 0.148179E-04 1.00000


SUM OF EFFECTIVE MASSES= 294356.

***** PARTICIPATION FACTOR CALCULATION *****ROTX DIRECTION CUMULATIVE MODE FREQUENCY PERIOD PARTIC.FACTOR RATIO EFFECTIVE MASS MASS FRACTION

1 0.00000 0.0000 -180.96 0.100892 32745.8 0.636879E-02 2 0.318279E-04 31419. -382.87 0.213467 146589. 0.348791E-01 3 0.659120E-04 15172. -56.260 0.031367 3165.14 0.354947E-01 4 6.12682 0.16322 1793.6 1.000000 0.321691E+07 0.661158 5 19.7861 0.50541E-01 1123.0 0.626134 0.126117E+07 0.906445 6 23.2430 0.43024E-01 -0.51991E-01 0.000029 0.270307E-02 0.906445 7 41.6491 0.24010E-01 0.18394 0.000103 0.338332E-01 0.906445 8 42.3814 0.23595E-01 0.43585E-01 0.000024 0.189970E-02 0.906445 9 48.3850 0.20668E-01 623.64 0.347707 388925. 0.982088 10 68.3640 0.14628E-01 303.48 0.169202 92097.8 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.514160E+07

***** PARTICIPATION FACTOR CALCULATION *****ROTY DIRECTION CUMULATIVE MODE FREQUENCY PERIOD PARTIC.FACTOR RATIO EFFECTIVE MASS MASS FRACTION

1 0.00000 0.0000 302.55 0.052479 91533.6 0.199303E-02 2 0.318279E-04 31419. -101.25 0.017562 10251.0 0.221623E-02 3 0.659120E-04 15172. -284.10 0.049280 80715.2 0.397370E-02 4 6.12682 0.16322 -5765.0 1.000000 0.332357E+08 0.727639 5 19.7861 0.50541E-01 -0.31485E-01 0.000005 0.991300E-03 0.727639 6 23.2430 0.43024E-01 -2914.0 0.505454 0.849118E+07 0.912523 7 41.6491 0.24010E-01 -0.54080E-01 0.000009 0.292469E-02 0.912523 8 42.3814 0.23595E-01 -0.15281 0.000027 0.233523E-01 0.912523 9 48.3850 0.20668E-01 -2004.4 0.347679 0.401755E+07 1.00000 10 68.3640 0.14628E-01 0.20611 0.000036 0.424824E-01 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.459269E+08


either SAVE the current values or not overwrite them (/EXIT,NOSAVE).


SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 1 0.0000 1 1 1 2 0.31828E-04 1 2 2 3 0.65912E-04 1 3 3 4 6.1268 1 4 4 5 19.786 1 5 5 6 23.243 1 6 6 7 41.649 1 7 7 8 42.381 1 8 8 9 48.385 1 9 9 10 68.364 1 10 10

EXIT THE ANSYS POST1 DATABASE PROCESSOR


***** END OF INPUT ENCOUNTERED *****

PURGE ALL SOLUTION AND POST DATA SAVE ALL MODEL DATA

ALL CURRENT ANSYS DATA WRITTEN TO FILE NAME= losa.db FOR POSSIBLE RESUME FROM THIS POINT

*** PAGE FILE USED *** NUMBER OF R/W OPERATIONS= 51706 MAXIMUM RECORD NUMBER = 10057 RECORD SIZE (I*4 WORDS) = 16384 PAGE FILE SIZE (MB) = 628.562

*---------------------------------------------------------------------------* | | | ANSYS RUN COMPLETED | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | Release 11.0 UP20070125 LINUX EM64T | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | Maximum Scratch Memory Used = 708247676 Words


2701.750 MB | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | CP Time (sec) = 834.260 Time = 17:21:38 | | Elapsed Time (sec) = 1806.000 Date = 02/01/2011 | | | *---------------------------------------------------------------------------*


Macro salida resultados modelo placa seccion simetrica longitud22.5 m:


Macro parametros entrada modelo losa seccion simetrica longitud30 m:



!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------!! DATOS DE ENTRADA!!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------







/prep7




*do,i,1,n




*enddo















fini

! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ANALISIS MODAL! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

!/eof



fini/eof


Macro parametros entrada modelo placa seccion simetrica longitud30 m:



PI = 2.*ASIN(1.)

!----------------------------------------------------------! DATOS DE ENTRADA!----------------------------------------------------------










SOLVEFINI




Macro salida resultados modelo losa seccion simetrica longitud 30m:


ANSYS Mechanical U









BEGIN:





PARAMETER D = 1.400000000

PARAMETER C = 0.3500000000













OUTPUT VOLUME = 1






OUTPUT VOLUME = 2

SUBTRACT VOLUMES


*ENDDO INDEX= I




MATERIAL 1 EX = 0.3600000E+11




























*** NOTE *** CP = 3.480 TIME= 14:04:15 The model data was checked and warning messages were found. Please review output or errors file ( /home/pmuseros/lmatas/febrero/losa.err ) for these warning messages. 1







LOAD STEP NUMBER. . . . . . . . . . . . . . . . 1





XC = 14.999 IXX = 0.1076E+08 IXX = 0.2817E+07 YC = 3.4990 IYY = 0.1808E+09 IYY = 0.4527E+08 ZC = 0.99718 IZZ = 0.1898E+09 IZZ = 0.4749E+08 IXY = -0.3148E+08 IXY = -264.7 IYZ = -0.2095E+07 IYZ = -2376. IZX = -0.8975E+07 IZX = -3417.


TYPE MASS 1 599866.




BLOCK LANCZOS CALCULATION OF UP TO 12 EIGENVECTORS. NUMBER OF EQUATIONS = 48703


MAXIMUM WAVEFRONT = 39 MAXIMUM MODES STORED = 12 MINIMUM EIGENVALUE = 0.0000 MAXIMUM EIGENVALUE = 0.10000E+09 EST. OF MEMORY NEEDED = 29.385 (MB) MEMORY AVAILABLE FOR EIGENSOLVER = 469.14 (MB)

MEMORY TO PERFORM EIGENEXTRACTION: MIN. TO COMPLETE VALUE INPUT = 2536301 19.350 (MB) MIN. FOR PART IN-CORE AND OUT-OF-CORE = 3719128 28.375 (MB) MIN. FOR IN-CORE = 17615446 134.40 (MB) RECOM. FOR PART IN-CORE AND OUT-OF-CORE = 5490733 41.891 (MB) RECOM. FOR IN-CORE = 18392041 140.32 (MB)



FREQUENCIES AT CURRENT LANCZOS CYCLE 1 0.19286139E-03 2 0.62988020E-04 3 0.14226824E-03 4 0.63188733E+02 5 0.62690839E+02 6 0.60865392E+02 7 0.57838310E+02 8 0.40114208E+02 9 0.37268913E+02 10 0.26014317E+02 11 0.19335119E+02 12 0.17799232E+02 13 0.46760849E+01








1 0.000000000000 2 0.000000000000 3 0.1928613895994E-03 4 4.676084867481 5 17.79923176286 6 19.33511890925 7 26.01431698708 8 37.26891309045 9 40.11420751174 10 57.83830970039


11 60.86539182292 12 62.69083924065


1



1 0.00000 0.0000 -616.30 1.000000 379827. 0.633187 2 0.00000 0.0000 105.55 0.171269 11141.5 0.651761 3 0.192861E-03 5185.1 457.05 0.741605 208897. 1.00000 4 4.67608 0.21385 -0.13056E-05 0.000000 0.170470E-11 1.00000 5 17.7992 0.56182E-01 0.25487E-08 0.000000 0.649591E-17 1.00000 6 19.3351 0.51719E-01 -0.18541E-08 0.000000 0.343779E-17 1.00000 7 26.0143 0.38440E-01 0.56867E-08 0.000000 0.323389E-16 1.00000 8 37.2689 0.26832E-01 -0.20313E-07 0.000000 0.412624E-15 1.00000 9 40.1142 0.24929E-01 0.29943E-08 0.000000 0.896563E-17 1.00000 10 57.8383 0.17290E-01 -0.37686E-08 0.000000 0.142023E-16 1.00000 11 60.8654 0.16430E-01 -0.84370E-08 0.000000 0.711827E-16 1.00000 12 62.6908 0.15951E-01 0.41602E-08 0.000000 0.173076E-16 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 599866.


1 0.00000 0.0000 345.34 0.563528 119259. 0.198809 2 0.00000 0.0000 612.81 1.000000 375542. 0.824852 3 0.192861E-03 5185.1 324.14 0.528932


105065. 1.00000 4 4.67608 0.21385 -0.68076E-07 0.000000 0.463434E-14 1.00000 5 17.7992 0.56182E-01 0.50891E-08 0.000000 0.258992E-16 1.00000 6 19.3351 0.51719E-01 0.35877E-09 0.000000 0.128717E-18 1.00000 7 26.0143 0.38440E-01 0.14493E-07 0.000000 0.210048E-15 1.00000 8 37.2689 0.26832E-01 -0.35100E-09 0.000000 0.123199E-18 1.00000 9 40.1142 0.24929E-01 -0.49694E-09 0.000000 0.246954E-18 1.00000 10 57.8383 0.17290E-01 0.31937E-08 0.000000 0.101995E-16 1.00000 11 60.8654 0.16430E-01 -0.30915E-09 0.000000 0.955766E-19 1.00000 12 62.6908 0.15951E-01 -0.94476E-10 0.000000 0.892562E-20 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 599866.


1 0.00000 0.0000 -0.89653E-06 0.000000 0.803758E-12 0.148270E-17 2 0.00000 0.0000 0.18681E-06 0.000000 0.348989E-13 0.154707E-17 3 0.192861E-03 5185.1 0.74842E-06 0.000000 0.560128E-12 0.258035E-17 4 4.67608 0.21385 696.51 1.000000 485129. 0.894920 5 17.7992 0.56182E-01 -0.19527E-01 0.000028 0.381318E-03 0.894920 6 19.3351 0.51719E-01 -0.19088 0.000274 0.364354E-01 0.894920 7 26.0143 0.38440E-01 0.25472E-01 0.000037 0.648801E-03 0.894920 8 37.2689 0.26832E-01 238.67 0.342662 56962.7 0.999999 9 40.1142 0.24929E-01 0.59283 0.000851 0.351443 1.00000 10 57.8383 0.17290E-01 -0.36702E-01 0.000053 0.134702E-02 1.00000 11 60.8654 0.16430E-01 -0.90246E-01 0.000130 0.814440E-02 1.00000 12 62.6908 0.15951E-01 0.24169 0.000347 0.584156E-01 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 542092.



1 0.00000 0.0000 -345.34 0.141677 119258. 0.120435E-01 2 0.00000 0.0000 -612.82 0.251410 375542. 0.499682E-01 3 0.192861E-03 5185.1 -324.14 0.132979 105065. 0.605783E-01 4 4.67608 0.21385 2437.5 1.000000 0.594145E+07 0.660584 5 17.7992 0.56182E-01 -4.9383 0.002026 24.3873 0.660586 6 19.3351 0.51719E-01 1578.0 0.647369 0.248998E+07 0.912041 7 26.0143 0.38440E-01 0.59434 0.000244 0.353238 0.912041 8 37.2689 0.26832E-01 835.74 0.342867 698463. 0.982576 9 40.1142 0.24929E-01 1.9666 0.000807 3.86754 0.982576 10 57.8383 0.17290E-01 -0.22769 0.000093 0.518421E-01 0.982576 11 60.8654 0.16430E-01 -3.8129 0.001564 14.5382 0.982578 12 62.6908 0.15951E-01 -415.36 0.170402 172521. 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.990232E+07


1 0.00000 0.0000 -616.30 0.058988 379828. 0.240391E-02 2 0.00000 0.0000 105.55 0.010103 11141.6 0.247442E-02 3 0.192861E-03 5185.1 457.05 0.043745 208897. 0.379652E-02 4 4.67608 0.21385 -10448. 1.000000 0.109160E+09 0.694666 5 17.7992 0.56182E-01 5256.6 0.503120 0.276317E+08 0.869545 6 19.3351 0.51719E-01 17.440 0.001669 304.145 0.869547 7 26.0143 0.38440E-01 0.34221 0.000033 0.117109 0.869547 8 37.2689 0.26832E-01 -3581.0 0.342746 0.128236E+08 0.950707 9 40.1142 0.24929E-01 -12.507 0.001197 156.416 0.950708 10 57.8383 0.17290E-01 0.44368 0.000042 0.196850 0.950708 11 60.8654 0.16430E-01 2790.6 0.267099 0.778770E+07 0.999996 12 62.6908 0.15951E-01 -24.992 0.002392 624.598 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.158004E+09


***** PARTICIPATION FACTOR CALCULATION *****ROTZ DIRECTION CUMULATIVE MODE FREQUENCY PERIOD PARTIC.FACTOR RATIO EFFECTIVE MASS MASS FRACTION

1 0.00000 0.0000 10162. 1.000000 0.103256E+09 0.544019 2 0.00000 0.0000 4714.8 0.463990 0.222297E+08 0.661139 3 0.192861E-03 5185.1 8019.8 0.789230 0.643167E+08 1.00000 4 4.67608 0.21385 0.31646E-05 0.000000 0.100148E-10 1.00000 5 17.7992 0.56182E-01 0.71665E-07 0.000000 0.513581E-14 1.00000 6 19.3351 0.51719E-01 0.86258E-07 0.000000 0.744036E-14 1.00000 7 26.0143 0.38440E-01 0.35484E-06 0.000000 0.125913E-12 1.00000 8 37.2689 0.26832E-01 0.92558E-07 0.000000 0.856701E-14 1.00000 9 40.1142 0.24929E-01 0.59508E-08 0.000000 0.354122E-16 1.00000 10 57.8383 0.17290E-01 0.70863E-07 0.000000 0.502158E-14 1.00000 11 60.8654 0.16430E-01 0.12766E-07 0.000000 0.162966E-15 1.00000 12 62.6908 0.15951E-01 -0.32545E-07 0.000000 0.105919E-14 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.189803E+09

*** ANSYS BINARY FILE STATISTICS BUFFER SIZE USED= 16384 192.688 MB WRITTEN ON ELEMENT SAVED DATA FILE: losa.esav 17.312 MB WRITTEN ON ASSEMBLED MATRIX FILE: losa.full 5.312 MB WRITTEN ON MODAL MATRIX FILE: losa.mode

FINISH SOLUTION PROCESSING


1


***** ANSYS RESULTS INTERPRETATION (POST1) *****

*** NOTE *** CP = 18.220 TIME= 14:04:29 Reading results into the database (SET command) will update the current displacement and force boundary conditions in the database with the


values from the results file for that load set. Note that any subsequent solutions will use these values unless action is taken to either SAVE the current values or not overwrite them (/EXIT,NOSAVE).


SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 1 0.0000 1 1 1 2 0.0000 1 2 2 3 0.19286E-03 1 3 3 4 4.6761 1 4 4 5 17.799 1 5 5 6 19.335 1 6 6 7 26.014 1 7 7 8 37.269 1 8 8 9 40.114 1 9 9 10 57.838 1 10 10 11 60.865 1 11 11 12 62.691 1 12 12






NUMBER OF ERROR MESSAGES ENCOUNTERED= 0

*---------------------------------------------------------------------------* | | | ANSYS RUN COMPLETED | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | Release 11.0 UP20070125 LINUX EM64T | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | Maximum Scratch Memory Used = 129019384 Words 492.170 MB |


| | |---------------------------------------------------------------------------| | | | CP Time (sec) = 18.410 Time = 14:04:30 | | Elapsed Time (sec) = 19.000 Date = 02/06/2011 | | | *---------------------------------------------------------------------------*


Macro salida resultados modelo placa seccion simetrica longitud30 m:


Macro parametros entrada modelo losa seccion asimetrica longitud15 m:



!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------!! DATOS DE ENTRADA!!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------


n = 7 ! numero de aligeramientosa = 0.60 ! lado del aligeramiento cuadradoc = 0.40 ! carners = 0.15 ! recubrimiento superiorri = h-rs-a ! recubrimiento inferiorbx = a + c ! espaciameiento entre centros de aligeramientosbtot = n*bx ! ancho total de la losa





/prep7




*do,i,1,n


WPLANE, 1, 0, c/2+(i-1)*(a+c), ri, 0, btot, ri, 0, c/2+(i-1)*(a+c), h ! situa el plano de trabajo en el lugar adecuado para el comando siguiente BLC4, 0, 0, a, a, L ! crea el volumen del nuevo aligeramiento


*enddo



et,1,45 ! tipo de elemento (45 = tetraedro cuadratico = con nudos en vertices )mp,ex,1,Exlosa ! asigna modulo de elasticidad al material 1mp,nuxy,1,nulosa ! asigna coef de poisson al material 1mp,dens,1,densi ! asigna densidad al material 1



mshape,1,3d ! fuerza al programa a mallar con hexaedrosmshkey,0 ! mallado libre (posicion de nudos determinada por el programa)esize,rs/nealig ! define el tama¤o del elemento




nsel,s,loc,z,0 ! selecciona nudos de la cara inferior de la losa


seltol,0.001 ! reduce la tolerancia en la seleccion de nudos para coger solo estrictamente los del "estribo" finalnsel,r,loc,x,L ! de los anteriores, selecciona nudos en el "estribo" finalseltol ! vuelve a los valores por defecto de toleranciad,all,uz,0 ! impone restricci¢n al movimiento vertical



fini

! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ANALISIS MODAL! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

!/eof



fini/eof


Macro parametros entrada modelo placa seccion asimetrica longi-tud 15 m:



PI = 2.*ASIN(1.)

!----------------------------------------------------------! DATOS DE ENTRADA!----------------------------------------------------------

L = 15BTABL = 7NETRANS = 10 ! habrá 10 lineas de elementos en sentido longitudinal, luego 11 líneas de nudosNELONG = 20 ! habrá 20 lineas de elementos en sentido longitudinal, luego 21 líneas de nudos

ESPTABL = 1ETABLx = 30726900000.000ETABLy = 26604000000.000NUTABLx = 0.107797NUTABLy = 0.37107GxyTABL = 63973781250.0ROTABL = 1600








SOLVEFINI




Macro salida resultados modelo losa seccion asimetrica longitud15 m:


ANSYS Mechanical U









BEGIN:





PARAMETER A = 0.6000000000

PARAMETER C = 0.4000000000


PARAMETER RI = 0.2500000000











OUTPUT VOLUME = 1






OUTPUT VOLUME = 2

SUBTRACT VOLUMES


*ENDDO INDEX= I




MATERIAL 1 EX = 0.3600000E+11































ALL SELECT FOR ITEM=LINE COMPONENT=


IN RANGE 1 TO 96 STEP 1


















*** NOTE *** CP = 6.420 TIME= 13:03:18 The model data was checked and warning messages were found. Please review output or errors file ( /home/pmuseros/lmatas/cuadrado/losa.err ) for these warning messages. 1







LOAD STEP NUMBER. . . . . . . . . . . . . . . . 1





XC = 7.4999 IXX = 0.2806E+07 IXX = 0.7107E+06 YC = 3.4999 IYY = 0.1266E+08 IYY = 0.3170E+07 ZC = 0.47238 IZZ = 0.1535E+08 IZZ = 0.3842E+07 IXY = -0.4410E+07 IXY = -8.158 IYZ = -0.2777E+06 IYZ = 75.06 IZX = -0.5953E+06 IZX = -89.98


TYPE MASS 1 168000.




BLOCK LANCZOS CALCULATION OF UP TO 10 EIGENVECTORS. NUMBER OF EQUATIONS = 104604


MAXIMUM WAVEFRONT = 45 MAXIMUM MODES STORED = 10 MINIMUM EIGENVALUE = 0.0000 MAXIMUM EIGENVALUE = 0.10000E+09 EST. OF MEMORY NEEDED = 63.996 (MB) MEMORY AVAILABLE FOR EIGENSOLVER = 427.80 (MB)




FREQUENCIES AT CURRENT LANCZOS CYCLE 1 0.25477396E-03 2 0.16674572E-03 3 0.21139507E-03 4 0.89738525E+02 5 0.82279469E+02 6 0.77792514E+02 7 0.72265863E+02 8 0.51935148E+02 9 0.34129446E+02 10 0.22707493E+02 11 0.88711674E+01








1 0.000000000000 2 0.1667457218593E-03 3 0.2547739597865E-03 4 8.871167425643 5 22.70749250794 6 34.12944614012 7 51.93514841685 8 72.26586342410 9 77.79251416516 10 82.27946866314

Block Lanczos CP Time (sec) = 23.150


Block Lanczos ELAPSED Time (sec) = 23.304

1



1 0.00000 0.0000 296.05 1.000000 87642.9 0.521684 2 0.166746E-03 5997.2 -186.78 0.630929 34888.2 0.729352 3 0.254774E-03 3925.0 -213.23 0.720276 45468.9 1.00000 4 8.87117 0.11272 0.65666E-07 0.000000 0.431203E-14 1.00000 5 22.7075 0.44038E-01 -0.36135E-07 0.000000 0.130572E-14 1.00000 6 34.1294 0.29300E-01 0.53391E-08 0.000000 0.285059E-16 1.00000 7 51.9351 0.19255E-01 0.87240E-08 0.000000 0.761084E-16 1.00000 8 72.2659 0.13838E-01 -0.83796E-10 0.000000 0.702179E-20 1.00000 9 77.7925 0.12855E-01 0.43811E-09 0.000000 0.191943E-18 1.00000 10 82.2795 0.12154E-01 -0.68151E-09 0.000000 0.464458E-18 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 168000.


1 0.00000 0.0000 274.44 1.000000 75319.4 0.448329 2 0.166746E-03 5997.2 266.05 0.969423 70783.6 0.869661 3 0.254774E-03 3925.0 147.98 0.539187 21897.0 1.00000 4 8.87117 0.11272 -0.12880E-07 0.000000 0.165895E-15 1.00000 5 22.7075 0.44038E-01 -0.25395E-08 0.000000 0.644901E-17 1.00000 6 34.1294 0.29300E-01 0.69330E-09 0.000000 0.480665E-18 1.00000 7 51.9351 0.19255E-01 -0.20089E-09 0.000000


0.403576E-19 1.00000 8 72.2659 0.13838E-01 0.59857E-09 0.000000 0.358285E-18 1.00000 9 77.7925 0.12855E-01 0.25149E-08 0.000000 0.632496E-17 1.00000 10 82.2795 0.12154E-01 0.51188E-10 0.000000 0.262020E-20 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 168000.


1 0.00000 0.0000 -0.50032E-07 0.000000 0.250324E-14 0.165079E-19 2 0.166746E-03 5997.2 0.87264E-07 0.000000 0.761497E-14 0.667258E-19 3 0.254774E-03 3925.0 -0.32511E-07 0.000000 0.105695E-14 0.736960E-19 4 8.87117 0.11272 368.56 1.000000 135840. 0.895814 5 22.7075 0.44038E-01 0.17174E-01 0.000047 0.294954E-03 0.895814 6 34.1294 0.29300E-01 -0.12291E-01 0.000033 0.151057E-03 0.895814 7 51.9351 0.19255E-01 0.16088E-01 0.000044 0.258809E-03 0.895814 8 72.2659 0.13838E-01 125.38 0.340196 15721.3 0.999490 9 77.7925 0.12855E-01 -0.42649E-01 0.000116 0.181892E-02 0.999490 10 82.2795 0.12154E-01 -8.7935 0.023859 77.3250 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 151639.


1 0.00000 0.0000 -129.50 0.100396 16771.1 0.673131E-02 2 0.166746E-03 5997.2 -125.54 0.097326 15761.1 0.130573E-01 3 0.254774E-03 3925.0 -69.826 0.054132 4875.73 0.150142E-01 4 8.87117 0.11272 1289.9 1.000000 0.166391E+07 0.682848 5 22.7075 0.44038E-01 772.25 0.598678 596370. 0.922210 6 34.1294 0.29300E-01 0.11339 0.000088 0.128581E-01 0.922210 7 51.9351 0.19255E-01 0.56472E-01 0.000044 0.318908E-02 0.922210 8 72.2659 0.13838E-01 438.80 0.340172


192543. 0.999490 9 77.7925 0.12855E-01 -17.997 0.013952 323.877 0.999620 10 82.2795 0.12154E-01 -30.789 0.023869 947.958 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.249150E+07


1 0.00000 0.0000 139.70 0.050537 19515.1 0.185937E-02 2 0.166746E-03 5997.2 -88.139 0.031886 7768.40 0.259953E-02 3 0.254774E-03 3925.0 -100.62 0.036401 10124.4 0.356417E-02 4 8.87117 0.11272 -2764.2 1.000000 0.764089E+07 0.731577 5 22.7075 0.44038E-01 -0.43429 0.000157 0.188610 0.731577 6 34.1294 0.29300E-01 1388.5 0.502328 0.192805E+07 0.915280 7 51.9351 0.19255E-01 -0.17603 0.000064 0.309860E-01 0.915280 8 72.2659 0.13838E-01 -940.65 0.340296 884827. 0.999585 9 77.7925 0.12855E-01 0.39105 0.000141 0.152922 0.999585 10 82.2795 0.12154E-01 66.022 0.023884 4358.84 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.104955E+08


1 0.00000 0.0000 1361.5 0.403662 0.185381E+07 0.120777 2 0.166746E-03 5997.2 1455.4 0.431486 0.211817E+07 0.258778 3 0.254774E-03 3925.0 3373.0 1.000000 0.113770E+08 1.00000 4 8.87117 0.11272 0.13477E-06 0.000000 0.181616E-13 1.00000 5 22.7075 0.44038E-01 0.10316E-06 0.000000 0.106428E-13 1.00000 6 34.1294 0.29300E-01 0.21239E-07 0.000000 0.451075E-15 1.00000 7 51.9351 0.19255E-01 0.33312E-08 0.000000 0.110968E-16 1.00000 8 72.2659 0.13838E-01 0.90708E-08 0.000000 0.822790E-16 1.00000 9 77.7925 0.12855E-01 0.19374E-07 0.000000


0.375352E-15 1.00000 10 82.2795 0.12154E-01 0.76098E-08 0.000000 0.579087E-16 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.153490E+08




1



*** NOTE *** CP = 48.160 TIME= 13:04:06 Reading results into the database (SET command) will update the current displacement and force boundary conditions in the database with the values from the results file for that load set. Note that any subsequent solutions will use these values unless action is taken to either SAVE the current values or not overwrite them (/EXIT,NOSAVE).


SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 1 0.0000 1 1 1 2 0.16675E-03 1 2 2 3 0.25477E-03 1 3 3 4 8.8712 1 4 4 5 22.707 1 5 5 6 34.129 1 6 6 7 51.935 1 7 7 8 72.266 1 8 8 9 77.793 1 9 9 10 82.279 1 10 10





*---------------------------------------------------------------------------* | | | ANSYS RUN COMPLETED | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | Release 11.0 UP20070125 LINUX EM64T | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | Maximum Scratch Memory Used = 125208376 Words 477.632 MB | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | CP Time (sec) = 48.620 Time = 13:04:06 | | Elapsed Time (sec) = 55.000 Date = 02/03/2011 | | | *---------------------------------------------------------------------------*


Macro salida resultados modelo placa seccion asimetrica longitud15 m:


Macro parametros entrada modelo losa seccion asimetrica longitud22.5 m:



!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------!! DATOS DE ENTRADA!!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------

L = 22.5 ! luz del vanoh = 1.5 ! canto






/prep7




*do,i,1,n




*enddo















fini

! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ANALISIS MODAL! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

!/eof



fini/eof


Macro parametros entrada modelo placa seccion asimetrica longi-tud 22.5 m:



PI = 2.*ASIN(1.)

!----------------------------------------------------------! DATOS DE ENTRADA!----------------------------------------------------------










SOLVEFINI




Macro salida resultados modelo losa seccion asimetrica longitud22.5 m:


ANSYS Mechanical U









BEGIN:





PARAMETER A = 1.100000000

PARAMETER C = 0.3000000000













OUTPUT VOLUME = 1






OUTPUT VOLUME = 2

SUBTRACT VOLUMES


*ENDDO INDEX= I




MATERIAL 1 EX = 0.3600000E+11













*** NOTE *** CP = 4.500 TIME= 13:10:46 The initial memory allocation (-m) has been exceeded. Supplemental memory allocations are being used.

















ALL SELECT FOR ITEM=AREA COMPONENT=


IN RANGE 1 TO 30 STEP 1




















*** NOTE *** CP = 11.130 TIME= 13:10:52 The model data was checked and warning messages were found.


Please review output or errors file ( /home/pmuseros/lmatas/cuadrado/losa.err ) for these warning messages. 1






LOAD STEP NUMBER. . . . . . . . . . . . . . . . 1





XC = 11.250 IXX = 0.4301E+07 IXX = 0.1118E+07 YC = 3.5000 IYY = 0.4243E+08 IYY = 0.1063E+08 ZC = 0.68214 IZZ = 0.4635E+08 IZZ = 0.1160E+08 IXY = -0.9857E+07 IXY = -932.3 IYZ = -0.5980E+06 IYZ = -363.2 IZX = -0.1920E+07 IZX = 622.4


TYPE MASS 1 250313.

Range of element maximum matrix coefficients in global coordinates Maximum= 1.66718663E+10 at element 167385. Minimum= 883898095 at element 69994.




BLOCK LANCZOS CALCULATION OF UP TO 12 EIGENVECTORS. NUMBER OF EQUATIONS = 171150 MAXIMUM WAVEFRONT = 60 MAXIMUM MODES STORED = 12 MINIMUM EIGENVALUE = 0.0000 MAXIMUM EIGENVALUE = 0.10000E+09 EST. OF MEMORY NEEDED = 101.83 (MB) MEMORY AVAILABLE FOR EIGENSOLVER = 393.21 (MB)


*** NOTE *** CP = 42.170 TIME= 13:11:27 Memory available for Block Lanczos eigensolver= 183 MB; required for in-core solution= 590 MB. Proceeding with part in-core and part out-of-core solution (achieves similar CPU times as in-core).



FREQUENCIES AT CURRENT LANCZOS CYCLE 1 0.79578055E-04 2 0.45417674E-04 3 0.83667212E-04 4 0.80104764E+02 5 0.72828114E+02 6 0.65109959E+02 7 0.49698014E+02 8 0.41478616E+02 9 0.39946008E+02 10 0.24007053E+02 11 0.18148046E+02 12 0.63579586E+01








1 0.000000000000


2 0.4541767442304E-04 3 0.7957805470262E-04 4 6.357958552353 5 18.14804618393 6 24.00705291368 7 39.94600765813 8 41.47861558688 9 49.69801423210 10 65.10995862248 11 72.82811374812 12 80.10476447536


1



1 0.00000 0.0000 317.85 1.000000 101028. 0.403606 2 0.454177E-04 22018. -221.94 0.698266 49258.6 0.600395 3 0.795781E-04 12566. 316.27 0.995031 100026. 1.00000 4 6.35796 0.15728 -0.48067E-06 0.000000 0.231039E-12 1.00000 5 18.1480 0.55102E-01 -0.98165E-08 0.000000 0.963627E-16 1.00000 6 24.0071 0.41654E-01 -0.82243E-08 0.000000 0.676394E-16 1.00000 7 39.9460 0.25034E-01 0.36954E-09 0.000000 0.136562E-18 1.00000 8 41.4786 0.24109E-01 -0.10348E-07 0.000000 0.107084E-15 1.00000 9 49.6980 0.20122E-01 -0.91285E-08 0.000000 0.833289E-16 1.00000 10 65.1100 0.15359E-01 0.44435E-08 0.000000 0.197446E-16 1.00000 11 72.8281 0.13731E-01 -0.22443E-08 0.000000 0.503706E-17 1.00000 12 80.1048 0.12484E-01 0.75690E-09 0.000000 0.572899E-18 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 250313.

***** PARTICIPATION FACTOR CALCULATION ***** Y DIRECTION


CUMULATIVE MODE FREQUENCY PERIOD PARTIC.FACTOR RATIO EFFECTIVE MASS MASS FRACTION

1 0.00000 0.0000 249.05 0.578121 62025.7 0.247793 2 0.454177E-04 22018. 430.79 1.000000 185581. 0.989191 3 0.795781E-04 12566. 52.016 0.120745 2705.64 1.00000 4 6.35796 0.15728 0.73898E-07 0.000000 0.546089E-14 1.00000 5 18.1480 0.55102E-01 -0.30042E-08 0.000000 0.902505E-17 1.00000 6 24.0071 0.41654E-01 0.18508E-08 0.000000 0.342539E-17 1.00000 7 39.9460 0.25034E-01 0.32200E-09 0.000000 0.103686E-18 1.00000 8 41.4786 0.24109E-01 0.27987E-09 0.000000 0.783247E-19 1.00000 9 49.6980 0.20122E-01 -0.76901E-09 0.000000 0.591376E-18 1.00000 10 65.1100 0.15359E-01 -0.30387E-09 0.000000 0.923360E-19 1.00000 11 72.8281 0.13731E-01 -0.34450E-09 0.000000 0.118678E-18 1.00000 12 80.1048 0.12484E-01 -0.47138E-09 0.000000 0.222198E-18 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 250313.


1 0.00000 0.0000 0.25610E-06 0.000000 0.655852E-13 0.289143E-18 2 0.454177E-04 22018. -0.25542E-06 0.000000 0.652405E-13 0.576766E-18 3 0.795781E-04 12566. 0.25194E-06 0.000000 0.634713E-13 0.856589E-18 4 6.35796 0.15728 450.02 1.000000 202522. 0.892851 5 18.1480 0.55102E-01 0.96312E-02 0.000021 0.927601E-04 0.892851 6 24.0071 0.41654E-01 0.18702E-01 0.000042 0.349772E-03 0.892851 7 39.9460 0.25034E-01 0.10217 0.000227 0.104377E-01 0.892851 8 41.4786 0.24109E-01 -0.12812E-01 0.000028 0.164135E-03 0.892851 9 49.6980 0.20122E-01 155.85 0.346319 24289.9 0.999937 10 65.1100 0.15359E-01 0.55259E-01 0.000123 0.305355E-02 0.999937 11 72.8281 0.13731E-01 -3.7732 0.008384 14.2369 1.00000 12 80.1048 0.12484E-01 0.58766E-03 0.000001 0.345345E-06 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES=


226826.


1 0.00000 0.0000 -169.86 0.107835 28851.6 0.733213E-02 2 0.454177E-04 22018. -293.81 0.186526 86323.9 0.292699E-01 3 0.795781E-04 12566. -35.476 0.022522 1258.54 0.295897E-01 4 6.35796 0.15728 1575.2 1.000000 0.248115E+07 0.660131 5 18.1480 0.55102E-01 988.95 0.627836 978015. 0.908676 6 24.0071 0.41654E-01 0.40311 0.000256 0.162498 0.908676 7 39.9460 0.25034E-01 0.26254 0.000167 0.689288E-01 0.908676 8 41.4786 0.24109E-01 -20.051 0.012729 402.033 0.908778 9 49.6980 0.20122E-01 545.63 0.346397 297715. 0.984438 10 65.1100 0.15359E-01 -247.12 0.156885 61068.0 0.999957 11 72.8281 0.13731E-01 -13.017 0.008264 169.430 1.00000 12 80.1048 0.12484E-01 0.21078 0.000134 0.444288E-01 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.393495E+07


1 0.00000 0.0000 216.78 0.042818 46993.5 0.126185E-02 2 0.454177E-04 22018. -151.37 0.029899 22912.9 0.187710E-02 3 0.795781E-04 12566. 215.70 0.042606 46527.6 0.312644E-02 4 6.35796 0.15728 -5062.8 1.000000 0.256318E+08 0.691382 5 18.1480 0.55102E-01 1.1142 0.000220 1.24151 0.691382 6 24.0071 0.41654E-01 -2556.6 0.504989 0.653646E+07 0.866896 7 39.9460 0.25034E-01 -1.3095 0.000259 1.71470 0.866896 8 41.4786 0.24109E-01 -0.45898E-03 0.000000 0.210662E-06 0.866896 9 49.6980 0.20122E-01 -1753.2 0.346301 0.307388E+07 0.949435 10 65.1100 0.15359E-01 -2.4913 0.000492


6.20671 0.949435 11 72.8281 0.13731E-01 42.046 0.008305 1767.90 0.949482 12 80.1048 0.12484E-01 -1371.6 0.270924 0.188137E+07 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.372417E+08


1 0.00000 0.0000 -321.87 0.049747 103598. 0.223513E-02 2 0.454177E-04 22018. 6470.1 1.000000 0.418623E+08 0.905415 3 0.795781E-04 12566. 2093.8 0.323612 0.438400E+07 1.00000 4 6.35796 0.15728 0.26699E-05 0.000000 0.712840E-11 1.00000 5 18.1480 0.55102E-01 0.20505E-06 0.000000 0.420474E-13 1.00000 6 24.0071 0.41654E-01 0.57340E-07 0.000000 0.328791E-14 1.00000 7 39.9460 0.25034E-01 -0.54961E-08 0.000000 0.302075E-16 1.00000 8 41.4786 0.24109E-01 0.46793E-07 0.000000 0.218958E-14 1.00000 9 49.6980 0.20122E-01 0.36081E-07 0.000000 0.130180E-14 1.00000 10 65.1100 0.15359E-01 -0.39464E-07 0.000000 0.155744E-14 1.00000 11 72.8281 0.13731E-01 0.49287E-08 0.000000 0.242921E-16 1.00000 12 80.1048 0.12484E-01 -0.79210E-08 0.000000 0.627423E-16 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.463499E+08




1




*** NOTE *** CP = 92.440 TIME= 13:12:28 Reading results into the database (SET command) will update the current displacement and force boundary conditions in the database with the values from the results file for that load set. Note that any subsequent solutions will use these values unless action is taken to either SAVE the current values or not overwrite them (/EXIT,NOSAVE).


SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 1 0.0000 1 1 1 2 0.45418E-04 1 2 2 3 0.79578E-04 1 3 3 4 6.3580 1 4 4 5 18.148 1 5 5 6 24.007 1 6 6 7 39.946 1 7 7 8 41.479 1 8 8 9 49.698 1 9 9 10 65.110 1 10 10 11 72.828 1 11 11 12 80.105 1 12 12




*---------------------------------------------------------------------------* | | | ANSYS RUN COMPLETED | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | Release 11.0 UP20070125 LINUX EM64T | | | |---------------------------------------------------------------------------| | |


| Maximum Scratch Memory Used = 170417948 Words 650.093 MB | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | CP Time (sec) = 93.110 Time = 13:12:29 | | Elapsed Time (sec) = 110.000 Date = 02/05/2011 | | | *---------------------------------------------------------------------------*


Macro salida resultados modelo placa seccion asimetrica longitud22.5 m:


Macro parametros entrada modelo losa seccion asimetrica longitud30 m:



!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------!! DATOS DE ENTRADA!!-------------------------------------------------------------------------------------------------!-------------------------------------------------------------------------------------------------







/prep7




*do,i,1,n




*enddo















fini

! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -! ANALISIS MODAL! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

!/eof



fini/eof


Macro parametros entrada modelo placa seccion asimetrica longi-tud 30 m:



PI = 2.*ASIN(1.)

!----------------------------------------------------------! DATOS DE ENTRADA!----------------------------------------------------------

L = 30BTABL = 7NETRANS = 10 ! habrá 10 lineas de elementos en sentido longitudinal, luego 11 líneas de nudosNELONG = 20 ! habrá 20 lineas de elementos en sentido longitudinal, luego 21 líneas de nudos

ESPTABL = 2ETABLx = 24531432050.217ETABLy = 22103232954.546NUTABLx = 0.051793NUTABLy = 0.77230GxyTABL = 86960105519.6ROTABL = 998.2








SOLVEFINI




Macro salida resultados modelo losa seccion asimetrica longitud30 m:


ANSYS Mechanical U









BEGIN:





PARAMETER A = 1.450000000

PARAMETER C = 0.3000000000













OUTPUT VOLUME = 1






OUTPUT VOLUME = 2

SUBTRACT VOLUMES


*ENDDO INDEX= I




MATERIAL 1 EX = 0.3600000E+11




























*** NOTE *** CP = 4.080 TIME= 13:28:02 The model data was checked and warning messages were found. Please review output or errors file ( /home/pmuseros/lmatas/cuadrado/losa.err ) for these warning messages. 1

***** ANSYS - ENGINEERING ANALYSIS SYSTEM RELEASE 11.0 *****


ANSYS Mechanical U 00377421 VERSION=LINUX EM64T 13:28:02 FEB 05, 2011 CP= 4.080





LOAD STEP NUMBER. . . . . . . . . . . . . . . . 1





XC = 15.000 IXX = 0.7519E+07 IXX = 0.1997E+07 YC = 3.4992 IYY = 0.1264E+09 IYY = 0.3168E+08 ZC = 0.96265 IZZ = 0.1327E+09 IZZ = 0.3320E+08 IXY = -0.2201E+08 IXY = -4835. IYZ = -0.1410E+07 IYZ = 2611. IZX = -0.6048E+07 IZX = 5671.


TYPE MASS 1 419250.




BLOCK LANCZOS CALCULATION OF UP TO 12 EIGENVECTORS. NUMBER OF EQUATIONS = 64712 MAXIMUM WAVEFRONT = 39


MAXIMUM MODES STORED = 12 MINIMUM EIGENVALUE = 0.0000 MAXIMUM EIGENVALUE = 0.10000E+09 EST. OF MEMORY NEEDED = 37.848 (MB) MEMORY AVAILABLE FOR EIGENSOLVER = 464.15 (MB)




FREQUENCIES AT CURRENT LANCZOS CYCLE 1 0.30127214E-03 2 0.51433919E-04 3 0.25528874E-03 4 0.60167571E+02 5 0.57331869E+02 6 0.56858466E+02 7 0.37678410E+02 8 0.36255624E+02 9 0.25940502E+02 10 0.18398141E+02 11 0.16956911E+02 12 0.49186514E+01








1 0.000000000000 2 0.000000000000 3 0.3012721399953E-03 4 4.918651408710 5 16.95691078933 6 18.39814138631 7 25.94050236935 8 36.25562395046 9 37.67840978137 10 56.85846610892 11 57.33186944083 12 60.16757115561



1



1 0.00000 0.0000 -514.82 1.000000 265035. 0.632164 2 0.00000 0.0000 13.160 0.025563 173.197 0.632577 3 0.301272E-03 3319.3 392.48 0.762375 154042. 1.00000 4 4.91865 0.20331 0.47359E-06 0.000000 0.224291E-12 1.00000 5 16.9569 0.58973E-01 0.55018E-07 0.000000 0.302700E-14 1.00000 6 18.3981 0.54353E-01 -0.10282E-06 0.000000 0.105724E-13 1.00000 7 25.9405 0.38550E-01 0.23174E-07 0.000000 0.537021E-15 1.00000 8 36.2556 0.27582E-01 0.59876E-08 0.000000 0.358508E-16 1.00000 9 37.6784 0.26540E-01 -0.28005E-07 0.000000 0.784297E-15 1.00000 10 56.8585 0.17588E-01 -0.58456E-08 0.000000 0.341708E-16 1.00000 11 57.3319 0.17442E-01 -0.26421E-08 0.000000 0.698069E-17 1.00000 12 60.1676 0.16620E-01 0.54637E-08 0.000000 0.298520E-16 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 419250.


1 0.00000 0.0000 98.757 0.156590 9752.95 0.232628E-01 2 0.00000 0.0000 630.67 1.000000 397748. 0.971977 3 0.301272E-03 3319.3 108.39 0.171866 11748.7 1.00000 4 4.91865 0.20331 0.25479E-06 0.000000


0.649159E-13 1.00000 5 16.9569 0.58973E-01 -0.29120E-07 0.000000 0.847968E-15 1.00000 6 18.3981 0.54353E-01 0.22059E-06 0.000000 0.486615E-13 1.00000 7 25.9405 0.38550E-01 0.28165E-07 0.000000 0.793249E-15 1.00000 8 36.2556 0.27582E-01 -0.40711E-08 0.000000 0.165736E-16 1.00000 9 37.6784 0.26540E-01 0.48797E-08 0.000000 0.238120E-16 1.00000 10 56.8585 0.17588E-01 0.39875E-08 0.000000 0.159002E-16 1.00000 11 57.3319 0.17442E-01 0.74769E-09 0.000000 0.559047E-18 1.00000 12 60.1676 0.16620E-01 -0.19981E-07 0.000000 0.399256E-15 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 419250.


1 0.00000 0.0000 0.13065E-05 0.000000 0.170697E-11 0.449444E-17 2 0.00000 0.0000 -0.62119E-06 0.000000 0.385880E-12 0.551046E-17 3 0.301272E-03 3319.3 0.10474E-05 0.000000 0.109701E-11 0.839887E-17 4 4.91865 0.20331 582.34 1.000000 339116. 0.892890 5 16.9569 0.58973E-01 -0.41940E-01 0.000072 0.175899E-02 0.892890 6 18.3981 0.54353E-01 0.41927E-01 0.000072 0.175791E-02 0.892890 7 25.9405 0.38550E-01 0.44073E-01 0.000076 0.194244E-02 0.892890 8 36.2556 0.27582E-01 3.2184 0.005527 10.3582 0.892917 9 37.6784 0.26540E-01 201.67 0.346307 40669.7 1.00000 10 56.8585 0.17588E-01 -0.11984E-01 0.000021 0.143611E-03 1.00000 11 57.3319 0.17442E-01 -0.43195E-01 0.000074 0.186579E-02 1.00000 12 60.1676 0.16620E-01 -0.78490E-01 0.000135 0.616062E-02 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 379796.


1 0.00000 0.0000 -95.043 0.046632


9033.13 0.130337E-02 2 0.00000 0.0000 -606.95 0.297797 368391. 0.544578E-01 3 0.301272E-03 3319.3 -104.31 0.051181 10881.6 0.560279E-01 4 4.91865 0.20331 2038.1 1.000000 0.415402E+07 0.655404 5 16.9569 0.58973E-01 1343.7 0.659262 0.180545E+07 0.915908 6 18.3981 0.54353E-01 -9.2193 0.004523 84.9957 0.915921 7 25.9405 0.38550E-01 -10.756 0.005277 115.686 0.915937 8 36.2556 0.27582E-01 11.265 0.005527 126.911 0.915956 9 37.6784 0.26540E-01 706.07 0.346426 498529. 0.987887 10 56.8585 0.17588E-01 -289.72 0.142147 83935.6 0.999998 11 57.3319 0.17442E-01 -0.98744 0.000484 0.975047 0.999999 12 60.1676 0.16620E-01 3.2056 0.001573 10.2760 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.693057E+07


1 0.00000 0.0000 -495.45 0.056719 245473. 0.221259E-02 2 0.00000 0.0000 12.666 0.001450 160.416 0.221404E-02 3 0.301272E-03 3319.3 377.72 0.043241 142672. 0.350003E-02 4 4.91865 0.20331 -8735.2 1.000000 0.763035E+08 0.691269 5 16.9569 0.58973E-01 -33.183 0.003799 1101.09 0.691279 6 18.3981 0.54353E-01 -4411.6 0.505037 0.194622E+08 0.866703 7 25.9405 0.38550E-01 -0.71385 0.000082 0.509586 0.866704 8 36.2556 0.27582E-01 -47.514 0.005439 2257.55 0.866724 9 37.6784 0.26540E-01 -3026.3 0.346449 0.915850E+07 0.949275 10 56.8585 0.17588E-01 25.817 0.002956 666.543 0.949281 11 57.3319 0.17442E-01 -3.3394 0.000382 11.1513 0.949281 12 60.1676 0.16620E-01 2372.1 0.271559 0.562694E+07 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.110943E+09

***** PARTICIPATION FACTOR CALCULATION *****ROTZ DIRECTION


CUMULATIVE MODE FREQUENCY PERIOD PARTIC.FACTOR RATIO EFFECTIVE MASS MASS FRACTION

1 0.00000 0.0000 -99.374 0.009275 9875.22 0.744328E-04 2 0.00000 0.0000 10714. 1.000000 0.114785E+09 0.865244 3 0.301272E-03 3319.3 -4228.3 0.394661 0.178785E+08 1.00000 4 4.91865 0.20331 0.18989E-04 0.000000 0.360590E-09 1.00000 5 16.9569 0.58973E-01 -0.74020E-06 0.000000 0.547894E-12 1.00000 6 18.3981 0.54353E-01 0.38325E-05 0.000000 0.146877E-10 1.00000 7 25.9405 0.38550E-01 0.30511E-06 0.000000 0.930937E-13 1.00000 8 36.2556 0.27582E-01 -0.17617E-06 0.000000 0.310350E-13 1.00000 9 37.6784 0.26540E-01 0.75750E-06 0.000000 0.573813E-12 1.00000 10 56.8585 0.17588E-01 0.70805E-07 0.000000 0.501331E-14 1.00000 11 57.3319 0.17442E-01 0.91550E-07 0.000000 0.838141E-14 1.00000 12 60.1676 0.16620E-01 -0.30897E-06 0.000000 0.954610E-13 1.00000 SUM OF EFFECTIVE MASSES= 0.132673E+09




1



*** NOTE *** CP = 22.560 TIME= 13:28:21 Reading results into the database (SET command) will update the current displacement and force boundary conditions in the database with the values from the results file for that load set. Note that any subsequent solutions will use these values unless action is taken to


either SAVE the current values or not overwrite them (/EXIT,NOSAVE).


SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 1 0.0000 1 1 1 2 0.0000 1 2 2 3 0.30127E-03 1 3 3 4 4.9187 1 4 4 5 16.957 1 5 5 6 18.398 1 6 6 7 25.941 1 7 7 8 36.256 1 8 8 9 37.678 1 9 9 10 56.858 1 10 10 11 57.332 1 11 11 12 60.168 1 12 12






NUMBER OF WARNING MESSAGES ENCOUNTERED= 3 NUMBER OF ERROR MESSAGES ENCOUNTERED= 0

*---------------------------------------------------------------------------* | | | ANSYS RUN COMPLETED | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | Release 11.0 UP20070125 LINUX EM64T | | | |---------------------------------------------------------------------------| | | | Maximum Scratch Memory Used = 128750176 Words 491.143 MB |


| | |---------------------------------------------------------------------------| | | | CP Time (sec) = 22.790 Time = 13:28:21 | | Elapsed Time (sec) = 23.000 Date = 02/05/2011 | | | *---------------------------------------------------------------------------*


Macro salida resultados modelo placa seccion asimetrica longitud30 m:

l. matas, aproximación analítica de frecuencias de flexión libres de

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