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CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

Los números surgen de la necesidad de contar. Pero el Hombre no se limitó sólo a contar, sino que acumulaba o intercambiaba o repartía bienes …. Estas actividades tan cotidianas tuvieron respuesta en operaciones tan sencillas como la suma, la resta, la multiplicación o la división. A medida que estos cálculos se complicaron fueron apareciendo distintas clases de números. El conjunto más amplio con el

que vamos a trabajar durante esta etapa es el de los números reales, . El conjunto de números naturales, está formado por los números que utilizamos para contar.

{ }.......5,4,3,2,1= Trabajando sólo con los números naturales no podríamos expresar numéricamente el segundo sótano o tres grados bajo cero o la situación económica de una persona que dispone de 200 € para pagar un deuda de 300 €. La introducción del signo –, es decir, de los números negativos permitió que las situaciones anteriores pudieran describirse como la planta –2, –3º y –100 € respectivamente. Surge un nuevo conjunto, el de los números enteros.

El conjunto de los números enteros, , contiene a los naturales. Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural. El número 3 es natural y entero, sin embargo, el número –12 es entero pero no es natural.

{ }.......5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5......., −−−−−= Cuando vamos a una tienda podemos encontramos productos por valor de 3,25 € o podemos comprar una botella de litro y medio de agua o pedir tres cuartos de jamón serrano. Hemos utilizado números que no se encontraban en los ejemplos anteriores, son los números racionales. Los números racionales, cuyo conjunto se representa por son los números que se pueden

expresar como cociente de dos números enteros1.

} −−−

−−= .......,35555´0,4,3,

216,23´0,9,0,1,2,3,

34,5.......,

1 El cociente de dos números enteros a y b, con b ≠ 0, se puede expresar de la forma ba

. Esta nueva

representación de a:b se llama fracción. En el apartado de fracciones se explica más detalladamente.

LLLOOOSSS NNNÚÚÚMMMEEERRROOOSSS RRREEEAAALLLEEESSS... FFFRRRAAACCCCCCIIIOOONNNEEESSS

Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.1 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Los números que se pueden representar de esta forma son:

• Números naturales y enteros: 5

12525441

2189

133 =

−=−

−=−=

• Números decimales, con un número finito de cifras decimales:

100012347347,12

4525,1

1003333,0

2155,7 ====

• Los números periódicos puros: Son números decimales en los que la parte decimal está

formada por una cifra o un grupo de cifras (periodo), que a partir de la coma, se repiten de forma ilimitada.

....148148148,0274....585858,2

99256...66666,1

35

===

• Los números periódicos mixtos: Son números decimales en los que la parte decimal está

formada por un grupo de cifras (anteperiodo) al que le sigue otro (periodo) que se repite de forma ilimitada.

657,2....65757575,29902631419,1....1944444,1

364338,0...833333,0

65

======

Por lo tanto, los números naturales y enteros están dentro del conjunto de los números racionales y éstos dentro de los reales.

¿A quién no le suena el número “pi”, π = 3,1416?. En realidad, su verdadero valor es 3,1415926…, que es un número con infinitas cifras decimales no periódicas. Por lo tanto, no lo podemos representar mediante una fracción, tenemos un número irracional.

Los números irracionales, son los números reales que no pueden ser expresados mediante una fracción. Estos números forman un conjunto aparte de los racionales

−−

π= ..,7,3

51,,2..., �

En definitiva, los números reales están formados por la unión de los dos conjuntos que no tienen nada en común, la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales

Resumiendo, los números reales se clasifican según el cuadro que aparece a continuación:


NÚ

MER

OS

REA

LES

Números fraccionarios: 5,32; ...66666,135= ;

43− ; -3,527272727….

Los números decimales cuya parte decimal es exacta o tiene un grupo de cifras que se repite infinitamente

RACIONALES: Se pueden representar mediante fracciones

IRRACIONALES: ......25;;31;2 π+

No se pueden representar mediante fracciones. Son números en los que, en su expresión decimal, la parte decimal tiene infinitas cifras que no forman periodo, es decir, que no se repiten.

ENTEROS:

NATURALES: 1; 2; 23; 326;13169;5

315

=−−

==

Enteros negativos y el 0 (números no naturales) :

-1, -2, -23, 13169;53

15−=−−=−


Cuando nos pidan clasificar un número tendremos que especificar el nombre o nombres del o de los conjuntos en el o los que está incluido dicho número (sólo habrá que señalar a cuál o cuáles de los conjuntos, que en el esquema anterior aparecen en mayúsculas, pertenece el número dado). Ejemplo 1.: Marca con una X la casilla o casillas que correspondan a cada número:

Número Natural Entero Racional Irracional Real

-2,34

8

-5

25

23

-1,56565656…

520

32

4,23242526…

0,234343434…

π

OPUESTO DE UN NÚMERO: El opuesto de un número real x, es –x. Para calcular el opuesto de un número sólo hay que cambiarle el signo. Ejemplo 2.:

Número Opuesto

3 -3

-4 4

43

43

−

27

− 27

5− 5

3 4 3 4−


VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de un número real x se designa x y se define como:

≥<−

=0xsix0xsix

x

Para calcular el valor absoluto del número x sólo nos tendremos que fijar en su signo y cambiárselo a positivo o eliminarlo2 en el caso de que sea negativo. Ejemplo 3.:

55 = 33 =− 43

43

=− 35

35

= 55 =−

NÚMEROS ENTEROS REPRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Los números enteros se representan en una recta a uno de cuyos puntos se le ha asignado el cero; a la derecha de éste se sitúan los números enteros positivos, y a su izquierda, los números enteros negativos.

Así, los números enteros quedan ordenados en la recta numérica, de izquierda a derecha, de menor a mayor. Dados dos números enteros cualesquiera, el menor de ellos será el que se encuentre a la izquierda del otro. Por lo tanto, cualquier entero negativo es menor que el cero y que cualquier entero positivo. Por ejemplo:

-3 < 4 , -5 < 0 , 6 < 10 , -7 < -2 , 0 < 3

2 Cuando un número aparece sin signo se entiende positivo, 5 = +5.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7Números enteros positivosNúmeros enteros negativos Cero


OPERACIONES CON ENTEROS:

Suma y resta:

1. Sumas y restas sencillas

Ejemplo 4.:

6 + 3 =

Ejemplo 5.:

–13 + 7 =

Ejemplo 6.:

5 – 21 =

Ejemplo 7.:

– 5 – 10 =

2. Sumas y restas

La operación (+3) – (–5) parece más complicada que las anteriores porque en ella aparecen muchos signos. Antes de calcularla nos interesa realizar alguna simplificación de signos teniendo en cuenta el cuadro que aparece en el margen derecho.

3 + 4 = 7 –3 – 4 = – (3+4)= – 7

Si tienen el mismo signo, sumamos los números y luego les ponemos el signo que tenían ambos.

5 – 2 = 3 –5 + 2 = – (5 – 2)= – 3

Si tienen distinto signo, restamos sus valores absolutos y colocamos el signo del que tenía mayor valor absoluto.

1. El signo de 3 y 6 es + 2. Sumamos 6 y 3 que son 9

6 + 3 = + 9 = 9

1. El signo de 13 y 7 es distinto 2. Calculamos 13 - 7, que es 6 3. 13 es mayor que 7, el signo del resultado será el signo que tenía 13, es decir, –

–13 + 7 = – 6

1. El signo de 5 y 21 es distinto 2. Calculamos 21 - 5, que es 16 3. 21 es mayor que 5, el signo del resultado será el signo que tenía 21, es decir, –

5 – 21 = – 16

1. El signo de 5 y 10 es – 2. Calculamos 5 + 10, que es 15

– 5 – 10 = – 15

–(–a) = a +(–a) = –a +(+a) = a –(+a) = –a


Aplicando lo anterior a nuestro caso particular, obtenemos: (+3) – (–5) = 3 + 5 = 8

Ejemplo 8.:

(– 3) + (– 6) = – 3 – 6= – 9 (+ 5) – (– 7) = 5 + 7 =12 (– 4) + (+ 8) = – 4 + 8 = 4

Ejemplo 9.:

(–3) + (+5) – (+7) – (–8) + (–12)= –3 + 5 – 7 + 8 – 12 = +5 + 8 – 3 – 7 – 12 = 13 – 22 = –9

Ejemplo 10.:

12 + (– 64) + (– 17) + 4 = 12 – 64 – 17 + 4 = 12 + 4 – 64 – 17 = 16 – 81 = – 65

Multiplicación y división:

Para multiplicar o dividir dos números enteros se multiplican o dividen como si se tratarán de números naturales y luego se decide el signo según la siguiente regla de los signos:

Multiplicación División

(+)∙(+) = (+) (+):(+) = (+)

(+)∙(–) = (–) (+):(–) = (–)

(–)∙(+) = (–) (–):(+) = (–)

(–)∙(–) = (+) (–):(–) = (+)

Ejemplo 11.:

(+ 5)∙(+ 3) =

Ejemplo 12.:

(+12)∙( – 4) =

Ejemplo 13.:

(–24):( –6) =

Reordenamos colocando juntos los positivos y los negativos.

1. Calculamos 5 ∙ 3, que es 15 2. El signo (+)∙(+) = (+)

(+5)∙(+3) = 15

1. Calculamos 12 ∙ 4, que es 48 2. El signo (+)∙(–) = (–)

(+12)∙( –4) = –48

1. Calculamos 24:6, que es 4 2. El signo (–)∙(–) = (+)

(–24):( –6) = 4


Cálculo de expresiones con las cuatro operaciones:

Reglas de prioridad:

Ejemplo 14.:

3∙[– 3 + (– 3)] – 14 : (– 7) = 3∙[– 3 – 3] – 14 : (– 7) = 3∙[– 6] – 14 : (– 7) = – 18 – (– 2) = – 18 + 2

Ejemplo 15.:

– 6 –5∙[5∙(–2) – 5] + (–5) ∙ 4 = – 6 – 5∙[–10 – 5] + (–5) ∙ 4 = – 6 – 5∙[–15] + (–5) ∙ 4 = – 6 – [–75] + (–20) = – 6 + 75 – 20 = – 6 – 20 + 75 = – 26 + 75 = 49

LAS FRACCIONES

La lectura de las fracciones se hace como sigue:

→ El numerador se lee con el nombre del número. → El denominador se lee así:

• Si es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, se lee: medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo y noveno, respectivamente.

• Si es 10, se lee décimos, y es mayor de 10, se lee el numero añadiendo la terminación

–avo.

Una fracción es una expresión de la forma ba , en la que a y b son números enteros, con b ≠ 0. En dicha

expresión llamaremos: a → numerador b → denominador

1.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera. 2.- Se calculan las multiplicaciones y divisiones. 3.- Se calculan las sumas y restas.

Calculamos el corchete Realizamos la división 14 : (-7)

Efectuamos la multiplicación 3 ∙ (-6)


Ejemplo 16.:

Fracciones Numerador Denominador Lectura

31 1 3 Un tercio

52 2 5 Dos quintos

157 7 15 Siete quinceavos

103 3 10 Tres décimos

25 5 2 Cinco medios

SIGNIFICADO DE FRACCIÓN: Una fracción se puede entender como una parte de la unidad, como un operador o como una división. 1. La fracción como parte de la unidad

Las fracciones expresan las partes iguales en las que se divide un todo que llamamos unidad y cuántas de esas partes se toman.

En la fracción ba sus términos representan

Ejemplo 17.:

En nuestro ejemplo el todo, el rectángulo, lo hemos dividido en doce partes iguales. De estas partes iguales hemos coloreado cinco. La fracción que

representa las partes coloreadas es 125 .

Ejemplo 18.:

Pinta los 169 de este triángulo.

Para poder hacerlo es necesario dividir dicho triángulo (que en este ejemplo es la unidad o el todo) en dieciséis partes iguales, como muestra la siguiente figura.

b → número de partes iguales en que se divide la unidad o el todo a → número de partes que se toman de la unidad


Ahora coloreamos de verde nueve triángulos pequeños.

La parte coloreada representa los 169 de

2. La fracción como cociente

La fracción ba , expresa el cociente de dos números enteros a y b (a:b). Calculamos su valor

dividiendo el numerador entre el denominador.

Ejemplo 19.:

Tenemos 28 gominolas iguales para repartir entre 4 niños. El número de gominolas que le corresponde a cada niño es

428 → 28 : 4 =7 gominolas le tocan a cada niño.

Las fracciones que tienen el numerador igual que el denominador son iguales a la unidad, y recíprocamente, el 1 se puede expresar como una fracción en la que coinciden numerador y denominador.

Ejemplo 20.:

188= , 1

33=

−− ,

15151= ,

771

−−

=

3. La fracción como operador

Una fracción puede actuar como operador de un número: se multiplica el número por el numerador y se divide entre el denominador (o se divide el número por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador).

Ejemplo 21.:

43 de 24, se lee, los tres cuartos de veinticuatro.

Para calcularlo tenemos que dividir 24 en 4 partes, 24:4, que salen 6 elementos en cada parte y tomamos 3 de esas partes, que harían un total de, 3 ⋅ 6, dieciocho.

43 de 24 = (24:4) ⋅ 3 = 6 ⋅ 3 = 18

ba de c =

(c ⋅a):b

(c:b) ⋅ a

43 de 24 = 18


También

43 de 24 = (24 ⋅ 3):4 = 72 : 4 = 18

Ejemplo 22.:

52 de 100 = (100 : 5) ⋅ 2 = 20 ⋅ 2 = 40

Ejemplo 23.:

Un albañil, para iniciar una obra, cobra por adelantado los 32 del presupuesto. Si le hemos dado

1600 € . ¿A cuánto asciende la factura?

En el enunciado nos dicen que los 32 de la factura son 1600€, es decir, que tenemos que averiguar

de qué cantidad los 32 son 1600€.

TIPOS DE FRACCIONES

Fracciones propias: el numerador es menor que el denominador. Ej.: 52

Fracciones impropias: el numerador es igual o mayor que el denominador. Ej.: 27

Fracciones decimales: el denominador es la unidad seguida de ceros. Ej.: 1000

15 Números mixtos: son fracciones impropias que se expresan dando la parte entera y la parte

fraccionaria, siendo esta última una fracción propia. Se denotan cba .

NO significa que estamos haciendo el producto de a por la fracción cb , es sólo una forma

de expresar este tipo de números, lo que significa es que tenemos a enteros y la parte

fraccionaria cb , es decir, tenemos

cba + . Mediante este último cálculo se obtiene la

fracción impropia a la que corresponde la expresión mixta, aunque no será necesario realizarlo, ya que las calculadoras científicas permiten la transformación de forma directa.

32 de la factura 1600€

31 de la factura

21600 € = 800€

33 de la factura = la factura 3

21600⋅ € = 3⋅ 800€ = 2400€

cba


Ejemplo 24.:

a) 211 significa que tenemos uno y medio

Escrito como fracción serían: 23

211 =+

Escrito como decimal sería: 5,15,01

5,021=↑=+ (se convierte la parte fraccionaria en decimal y se suma

a la parte entera ya conocida)

b) 532 significa que tenemos 2 enteros y tres quintas partes

Escrito como fracción serían: 5

13532 =+

Escrito como decimal sería: 6,26,02

6,053=↑=+

c) Transforma la fracción 5

19 en número mixto.

Hacemos el cociente que nos indica dicha fracción:

Entonces, tenemos como parte entera 3 y la parte fraccionaria saldría de continuar dividiendo 4

entre cinco, es decir, de hacer 4:5, o lo que es lo mismo 54 . Por tanto, como número mixto, se

trata del 543

(Como decimal sería el 3,8)

Fracción irreducible: es aquella que no se puede simplificar. El máximo común divisor del numerador y del denominador es uno, es decir, son primos entre sí. Ejemplo 25.:

La fracción 1812 no es irreducible,

12 y 18 son divisibles por 2 ⇒ 96

2:182:12

1812 ==

6 y 9 son divisibles por 3 ⇒32

3:93:6

96 ==

2 y 3 no tienen divisores comunes ⇒ 32 es la fracción irreducible de

1812 .

5 19

3 4


Podríamos haber llegado directamente a la fracción irreducible calculando previamente el máximo común divisor de 12 y 18 (el mayor divisor que tienen en común 12 y 18).

Por lo tanto, M.C.D.(12, 18) = 2 ∙3 = 6. Dividimos numerador y denominador por 6 y obtenemos la fracción irreducible.

32

6:186:12

1812 ==

Fracción inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera fracción, y por denominador, el numerador.

Fracción inversa de ba

⇒ ab

Ejemplo 26.

Fracción Fracción inversa

35

53

41 4

14=

7 = 17

71

59

− - 95

FRACCIONES EQUIVALENTES Son fracciones que tienen el mismo valor.

CÓMO OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES: Para obtener fracciones equivalentes a una dada podemos utilizar uno de los métodos siguientes: amplificación y simplificación.

Amplificación: Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por un mismo número

Propiedad fundamental de las fracciones. Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, distinto de cero, se obtiene una fracción equivalente.

12 26 23 31

18 29 33 31

⇒ 12 = 322 ⋅ ⇒ 18 = 232 ⋅


· 3

· 3

: 2

: 2

Ejemplo 27.:

Calcula tres fracciones equivalentes a 23

69

3233

23

=⋅⋅

= 1015

5253

23

=⋅⋅

= 1421

7273

23

=⋅⋅

=

Por lo tanto, 1421

1015

69

23

===

Simplificación: Consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción dada entre un divisor común a ambos.

Ejemplo 28.:

Busca fracciones equivalentes a 2842 por simplificación.

Los divisores comunes a 42 y 28 son 2, 7 y 14, obtendremos fracciones equivalentes a la dada dividiendo numerador y denominador por dichos números.

1421

2:282:42

2842

== 46

7:287:24

2842

== 23

14:2841:24

2842

==

CÓMO RECONOCER FRACCIONES EQUIVALENTES: Existen varias formas de reconocer si dos fracciones son o no equivalentes.

Realizando los cocientes que representan cada una de las fracciones y comprobando que obtenemos el mismo resultado.

Por ejemplo: 8

12 y 23 (ambas valen 1,5)

Multiplicando en cruz para ver si resulta el mismo número, es decir, si se cumple que el producto

de los extremos es igual al producto de los medios. Por ejemplo:

23

812 ?

= ; 8·32·12?= ; ⇒= 2424 Son equivalentes

Multiplicamos el numerador y el denominador por 5.

Multiplicamos el numerador y el denominador por 7.

Dividimos el numerador y el denominador por 7.

Dividimos el numerador y el denominador por14.


2012?

54= ; 12·520·4

?= ; ⇒≠ 6080 No son equivalentes

Comprobando que hemos obtenido una de ellas multiplicando (o dividiendo) el numerador y

denominador de la otra por la misma cantidad.

Por ejemplo:

23

812 ⇒ Son equivalentes;

2012

54 ⇒ No son equivalentes

Cuando se conoce ya la operación de división de fracciones, para ver si son equivalentes dos

fracciones, basta realizar el cociente entre ellas y comprobar que el resultado es 1. En caso contrario, no serían equivalentes.

ORDENACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES Para ordenar o comparar fracciones se puede seguir uno de estos métodos: Reduciendo a común denominador3 las fracciones y luego ordenándolas o comparándolas según el

valor de los numeradores. Ejemplo 29.

Compara las fracciones 45 y

67

Como tienen distinto denominador, calculamos el m.c.m. (4, 6) = 322 ⋅ =12

Escribimos las fracciones equivalentes a las del enunciado pero con denominador 12

1215

45=

1214

67=

Comparamos las fracciones equivalentes obtenidas

67

45

1214

1215

>⇒>

Ejemplo 30.

Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones 125y

103,

187

Tienen distinto denominador, buscamos el m.c.m.(18, 10, 12) = 180532 22 =⋅⋅

3 Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. La forma más sencilla de calcular el denominador común es hacer el mínimo común múltiplo de los denominadores.

: 4

: 4

· 3

· 4

4 22 21

6 23 31

⇒ 4 = 22 ⇒ 6 = 32 ⋅


Las fracciones equivalentes a las dadas son:

18075

125

18054

103

18070

187

===

Ordenamos las fracciones equivalentes de mayor a menor

103

187

125

18054

18070

18075

>>⇒>>

Calculando el valor decimal de cada fracción y después ordenando o comparando las fracciones

según su valor decimal.

Ejemplo 31.

Compara las fracciones 45 y

67

OPERACIONES CON FRACCIONES: Suma:

Si los denominadores son iguales, la suma es una fracción que tiene el mismo denominador que las anteriores y como numerador el resultado de operar los numeradores.

Ejemplo 32.: 611

6175

61

67

65

=−+

=−+

Si los denominadores son distintos, reduciremos las fracciones a común denominador (mediante

el mínimo común múltiplo de los denominadores) y transformaremos los numeradores correspondientes para proceder después como en el apartado anterior.

Ejemplo 33.: =−+91

37

25

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, m.c.m. (2, 3, 9)= 18. Sustituimos las fracciones del ejercicio por otras equivalentes a las dadas y con denominador 18.

1845

25 =

1842

37 =

182

91 =

Por lo tanto,

1885

1824245

182

1842

1845

91

37

25

=−+

=−+=−+

18 = 232 ⋅

10 25 51

10 = 52 ⋅ 12 26 23 31

18 29 33 31

12 = 32 2 ⋅

45 = 5:4 = 1,25

67 = 7:6 = 1,166….

⇒ 1,25 > 1,166…. ⇒ 45 >

67


Producto: se multiplica en línea dbca

dc

ba

⋅⋅

=⋅

Ejemplo 34.: 95

1810

32

65

==⋅

Ejemplo 35. Calculemos el producto de las fracciones del ejemplo 11.

1

1515

53

35

==⋅

144

41 4 ==⋅

1777

71

==⋅

14545

95-

59

==

⋅−

Cociente: se divide multiplicando en cruz cbda

dc:

ba

⋅⋅

=

Ejemplo 36.: 45

1215

32:

65

==

Operaciones combinadas con fracciones: Cuando en un ejercicio de operaciones con fracciones se mezclan distintos tipos de operaciones hay que seguir las siguientes reglas de prioridad:

1.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera. 2.- Se calculan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 3.- Se calculan las sumas y restas de izquierda a derecha.

Ejemplo 37.:

a) =

−⋅+65

27

52

43

Primero realizamos la operación entre paréntesis

38

52

43

616

52

43

65

621

52

43

65

27

52

43

⋅+=

⋅+=

−⋅+=

−⋅+

El producto de una fracción y su inversa es uno.

m.c.m. (2, 6)=6 Simplificamos, 38

616

=


Segundo efectuamos la multiplicación

1516

43

38

52

43

+=⋅+

Tercero calculamos la suma

60109

6064

6045

1516

43

=+=+

Por lo tanto,

38

52

43

616

52

43

65

621

52

43

65

27

52

43

⋅+=

⋅+=

−⋅+=

−⋅+ =60

1096024

6045

1516

43

=+=+

b) =+⋅+35:

532

21

64 =

++=++=++

75277550

2591

32

259

22

32

75152

c) =+⋅23:

43

53-

54

23

105612

21

53

56

126

53

1012 +−

=+−=+− = 1011

d) =−+⋅73:

43

31

34

54-

32:

53

60

1697460

10520645447

31

1516

109

1221

31

1516

109 −

=−+−

=−+−=−+−

1219-

6095

=−

=

e) =

−⋅−

−⋅=

−⋅−

−⋅

20415

114

6310

83

51

43

114

21

35

83 ·· =−=

⋅−

⋅

22044

4821

2011

114

67

83 ··

=

−=−

801635

51

167

8019

m.c.m. (4, 15)=60

Simplificando

Simplificando

Simplificando


PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES SU

MA

Conmutativa Asociativa Neutro e identidad Distributiva

Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía:

a + b = b + a Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10

Los sumandos se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado:

(a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo:

629

25

37

37

25

=+=+

El 0 es el elemento neutro de la suma, pues, al sumarlo, el resultado no varía:

a + 0 = a Ejemplo: 0 + (-2) = -2

El producto de un número por una suma es la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos:

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c Ejemplo: 2 ⋅ (5 + 3) = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 Efectivamente, porque: 2 ⋅ (5 + 3) = 2 ⋅ 8 = 16

y 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 =10 + 6 = 16

MU

LTIP

LIC

ACIÓ

N

Si se cambia el orden de los factores, el producto no varía:

a ⋅ b = b ⋅ a Ejemplo: 3 ⋅ (- 5) = (- 5) ⋅ 3 = -15

Los factores se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) Ejemplo:

=

⋅⋅=⋅

⋅76

51

32

76

51

32

354

10512

=

El 1 es el elemento identidad de la multiplicación, pues, al multiplicar por él, el resultado no varía:

a ⋅ 1 = a Ejemplo:

431

43

=⋅


PROBLEMAS ARITMÉTICOS CON NÚMEROS FRACCIONARIOS Fracción de una cantidad

Problema 1. Cálculo de una fracción En un maratón han tomado la salida 1155 participantes, pero durante la prueba han abandonado 210. ¿Qué fracción del total de los inscritos ha llegado al final? Solución:

Problema 2. Cálculo de la parte

En un maratón han tomado la salida 1155 participantes. Durante la prueba han abandonado 112

de los corredores. ¿Cuántos han llegado a la meta? Solución:

Nº de abandonos → 112 de 1155 210

1111552

=⋅

=

Nº de los que terminan → 1155 - 210 = 945

Suma y resta de fracciones

Problema 3. Cálculo de la fracción

Un hortelano siembra 31 de su huerta de melocotones y

52 de la huerta de peras. ¿Qué parte del

terreno queda aún libre? Solución:

Libre → 154

1511

1515

=−

Aún quedan libres 154 del terreno


Problema 4. Cálculo de la parte

Un agricultor siembra 31 de su huerta de melocotones y

52 de peras. Si la

huerta tiene 6000 m2, ¿qué superficie queda sin sembrar? Solución:

Sembrado → 1511

156

155

52

31

=+=+ Libre →154

1511

1515

=−

Superficie libre → 154 de 5000 = 2m1600

1546000=

⋅

Multiplicación y división de fracciones

Problema 5: Producto

Un frasco de perfume tiene una capacidad de 203 de litro. ¿Cuántos litros se necesitan para llenar

30 frascos? Solución:

litros54214

21

28

29

2090

2030330

203 .=+=+===

⋅=⋅

Para llenar 30 frascos, se necesitan cuatro litros y medio de perfume

Problema 6: Cociente

Con un bidón que contiene 2

15 litros de perfume, se han llenado 30 frascos iguales. ¿Cuál es la

capacidad de un frasco? Solución:

Capacidad de un frasco → 2

15 :30 = litro41

6015

30215

==⋅

= 0.25 litros

Problema 7: Cociente

Un frasco de perfume tiene una capacidad de 203 de litro. ¿Cuántos frascos se llenan con un

bidón que contiene siete litros y medio? Solución:

Una forma es trabajar con números decimales y fracciones: frasos503

1503

205720357 ==

⋅=

.:.

Otra forma, sería expresar el número decimal en forma de fracción:


215

21

214

21757medioylitrosSiete =+=+=→ .

cos: Fras506

30062015

203

215

==⋅

=

Fracción de otra fracción

Problema 8: Cálculo de la fracción De un depósito de riego que estaba lleno, se han extraído, por la

mañana, 32 de su contenido y, por la tarde,

53 de lo que quedaba.

¿Qué fracción de depósito queda al final del día? Solución:

Al final del día quedan 152 del depósito


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