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Justificación

Las sucesiones son una familia importantes de funciones en las matemáticas y sus aplicaciones aparecen en todas las ramas de las ciencias y del comercio.

Las sucesiones dan origen también al concepto de las sumatorias y las series infinitas. La característica principal de las sucesiones estriba en el principio del orden, el cual define muchas de las propiedades y de las características de las sucesiones. Queremos ver en este módulo los conceptos básicos de las sucesiones y algunas de sus aplicaciones .

Introducción a las Sucesiones

Objetivos

1. Definir el concepto de sucesión.

2. Evaluar y escribir sucesiones.

3. Definir los conceptos de sumas parciales y series de una sucesión.


Pre prueba

1. Determina si el conjunto de puntos representa una sucesión.

. (1, 2), 2,4 , 3,6 , 4,8 ,...a

1. ( 1,2), 2,4 , ,6 , 4,8 ,...

2b

2. Encuentra la suma parcial de los primeros 6 término de la sucesión 3,6,9,12, … .

3. Escribe la serie infinita de los términos de la sucesión 3,6,9,12, …, usando la notación sigma.


A los valores de una sucesión se les llama términos.Las sucesiones se suelen escribir enumerando sus términos o definiendo la forma general de enésimo término.

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales 1,2,3,4... .N

EJEMPLO

1. 2,4,6,8,10, …

2. 3 1na n


EL DOMINIO DETERMINALA POSICIÓN RELATIVA DE CADA TÉRMINO.

1 2 3 4 5 … DOMIINIO:

3 6 9 12 15 …Alcance:El alcance determina los términos de la sucesión.

Esta es una sucesión cuya regla o ecuación es

an = 3n,donde an representa el enésimo término de la sucesión.

USO Y ESCRITURA SUCESIONES

n

an

La forma enumerada de la sucesión se obtiene escribiendo lostérminos de la sucesión 3 6 9 12 15 …


ESCRIBE LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIONES

Escribe los primeros seis términos de la sucesión an = 2n + 3.

a 1 = 2(1) + 3 = 5 Primer término

a 2 = 2(2) + 3 = 7

a 3 = 2(3) + 3 = 9

a 4 = 2(4) + 3 = 11

a 5 = 2(5) + 3 = 13

a 6 = 2(6) + 3 = 15

EJEMPLO

Solución

Segundo término

Tercer término

Cuarto término

Quinto término

Sexto término


Escribe los primeros seis términos de la sucesión, f (n) = (–2)

n – 1 .

f (1) = (–2) 1 – 1 = 1 1er término

2ndo término

3ro término

4to término

6to término

f (2) = (–2) 2 – 1 = –2

f (3) = (–2) 3 – 1 = 4

f (4) = (–2) 4 – 1 = – 8

f (5) = (–2) 5 – 1 = 16

f (6) = (–2) 6 – 1 = – 32

5to término

ESCRIBE LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIONES

EJEMPLO

Solución


Si los términos de una sucesión tienen un patrón determinado entonces podemos escribir el enésimo término de la sucesión y su ecuación.

Describe el patrón de la sucesión, escribe la ecuación del enésimo término de la sucesión

____ – , , – , , ….13

19

127

181

_ _

EJEMPLO

1 3

, 1 9

, 1 27

, 1 81

1 2 3 4n

términos 1243

5

13

4

13

1, 1

3

2, 1

3

3, 1

3

5términos

Solución

13

La ecuación del enésimo término es an =

n


2 6 12 20

SUCESIONES

La ecuación del enésimo término es f (n) = n (n+1).

términos

5(5 +1)

Describe el patrón de la sucesión, escribe la ecuación del enésimo término de la sucesión.

2, 6, 12 , 20,….

5

30

1 2 3 4

Rescribetérminos 1(1 +1) 2(2 +1) 3(3 +1) 4(4 +1)

n

EJEMPLO

Solución


Gráfica de una sucesión

Se puede graficar una sucesión representando los númerosnatrales en el eje horizontal (el dominio) y los términos enel eje vertical (el alcance).

EJEMPLO

Traza los puntos (1, 1), (2, 4), (3, 9), . . . , (10, 100).

an = n2Series 1

2 4 6 8 10

2468

101214161820222426283032343638404244464850525456586062646668707274767880828486889092949698

100102104106108

x

an

(1,1)(2,4)

(3,9)

(4,16)

(5,25)

(6,36)

(7,49)

(8,64)

(9,81)

(10,100)


Gráfica de una sucesión

Usted trabaja en un supermercadoy le piden que ponga las chinas en forma de una piramide cuadrada condiez capas.

1. Escribe la regla que determina el número de chinas en cada capa.

2. Haga un dibujo que represente la sucesión.

EJEMPLO


El diagrama de abajo muestra las primeras tres capas

de la pirámide.Sea an el número de chinas en la capa n.

n 1 2 3

an 1 = 1 2 4 = 2 2 9 = 3

2

Podemos observar que an = n

2

Solución


La suma de todos los términos de una sucesión se conoce comola sumatoria o la serie de los términos de la sucesión. Una sumatoriapuede ser finita o infinita. Si la sumatoria es finita la conocemos como una suma parcial de los términos de la sucesión. Si la sumatoriaEs infinita se conoce como la serie de la sucesión.

SUMATORIAS y SERIES

. . .

3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 3i5

i = 1

Sucesión

Suma parcial

3, 6, 9, 12, 15

3 + 6 + 9 + 12 + 15

Sucesión infinita

Serie infinita

3, 6, 9, 12, 15, . . .

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + . . .

Podemos usar la notación de sumatoria para escribir una serie. Por ejemplo, la serie de arriba la podemos escribir como,


3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 3i5

i = 1

SERIES

5

i = 1 3i

Se lee como “la suma desde i igual a 1 hasta i igual a 5 de 3i.”

Indice de la sumatoria Límite inferior de la sumatoria

Límite superior de la sumatoria

Sucsesión


SERIES

La notación de suma también se conoce como la notación sigma porque usa la letra mayúscula Griega, sigma, que se escribe como .

La notación de una sumatoria infinita es similara la de una suma finita. En tal caso escribimos el límite superior como infinito, esto es:

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + = 3i

i = 1. . .

El símbolo de infinito, , indica que la suma continua sin finalizar.

Podemos usar cualquier letra para el indice de la sumatoria. Puede ser i, j, k, etc. Además el indice no tiene que comenzar en 1.


Series

Escribe la serie usando la notación sigma.

5 + 10 + 15 + + 100. . .

Note que el primer término es 5 (1), el segundo es 5 (2),el tercero es 5 (3), y el último es 5 (20). Por lo tanto los términosde la serie se pueden escribir como:

an = 5n donde n = 1, 2, 3, . . . , 20

La sumatoria es 5n.20

n = 1

EJEMPLO

Solución


Series

Note que para cada término el denominador de la fracciónes 1 más que el numerador. Por lo tanto, los términos de la serie se pueden escribir como:

ak = donde k = 1, 2, 3, 4 . . . kk + 1

Escribe la serie en notación de sumatoria (sigma).. . .1 2 3 4

2 3 4 5+ + + +

La serie se escribe como

k = 1

kk + 1

.

EJEMPLO

Solución


Series

La suma parcial de los términos de una sucesión se encuentra sumando una cantidad finita de los términos. Para que tenemos con muchos términos, este proceso puede ser tedioso y al igual sucede con series infinitas. Para simplificar este proceso se desarrollan fórmulas que nos permiten encontrar la suma de los términos de una sucesión. Aunque esto no siempre es posible, veremos algunos casos especailes en que lo podemos lograr.


Series en Notación de SumatoriaFÓRMULAS DE SUMATORIAS

n

i = 1 1 = n

i = n (n + 1)

2

n

i = 1

1

2

3

suma de los números naturales desde 1 hasta n .

suma de los cuadrados delos números naturales desde 1 hasta n .

i 2 = n (n + 1)(2 n + 1)

6

n

i = 1

Suma de n veces 1 .

EJEMPLO

4suma de los cubos de los números naturales desde 1 hasta n .

i 3 = n2

(n + 1)2

4

n

i = 1


Uso de Fórmulas de Sumatorias

¿Cuántas chinas habrá en una piramide cuadrada de diez capas de altura?

EJEMPLO


Usa las Fórmula de Sumas

Sabemos del ejemplo anterior que el enésimo término de la sucesión es ai = i

2, donde i = 1, 2, 3, . . . , 10.

10

i = 1i

2 = 12+ 22 + + 102 . . .

10(11)(21)=

6

= 385

Habrán 385 chinas en la piramide.

=6

10(10 + 1)(2 • 10 + 1)

EJEMPLO

Solución


Pos prueba:


. (1, 2), 2,4 , 3,6 , 4,8 ,...a

1. ( 1,2), 2,4 , ,6 , 4,8 ,...

2b




Respuestas de la Pre y pos prueba:


. (1, 2), 2,4 , 3,6 , 4,8 ,...a

1. ( 1,2), 2,4 , ,6 , 4,8 ,...

2b



Si

No, los elementos del dominio no pueden ser negativos.

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63

13

is i


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