Junio 1996

Pruebas de Acceso a la Universidad.

Bachillerato de Ciencias Sociales.

Junio 1996.

OPCIN A.

1. Un fabricante de alfombras dispone de las siguientes existencias de lana: 500 kg. de color azul, 400 kg. de color verde y 225 kg. de color rojo. Desea fabricar dos tipos de alfombras, A y B. Para fabricar una de tipo A se necesitan 1 kg. de lana azul y 2 kg. de lana verde y para fabricar una de tipo B, 2 kg. de lana azul, 1 kg. de lana verde y 1kg. de lana roja. Cada alfombra de tipo A se vende por 2.000 pesetas y cada una de tipo B por 3.000 pesetas. Se supone que se vende todo lo que se fabrica. Se pide:

a) Cuntas alfombras de cada tipo se han de fabricar para que el beneficio sea mximo?, cul es ese beneficio mximo?. Explicar los pasos seguidos para obtener la solucin.

(8 puntos)b) Qu cantidad de lana de cada color quedar cuando se fabrique el nmero de alfombras que proporciona el mximo beneficio?

(2 puntos)SOLUCIN.Es un problema de Programacin Lineal. Debemos construir la funcin objetivo y las restricciones a que est sometida. Elaboremos una tabla con lo datos y condiciones expresados en el enunciado:

TiponmeroLana azulLana verdeLana rojaBeneficio

Axx2x0x2000x

By2yyy3000y

( Funcin objetivo (maximizar):

( Restricciones:

Construyamos la regin factible que es la solucin del conjunto de restricciones:

- La recta x = 0 es el eje de ordenadas y la inecuacin tiene como solucin el semiplano de la derecha.

- La recta y = 0 es el eje de abscisas y la inecuacin tiene como solucin el semiplano superior.

- La recta pasa por los puntos y (por ejemplo) y la solucin de la inecuacin es el semiplano al que pertenece el origen.

- La recta pasa por los puntos y (por ejemplo) y la solucin de la inecuacin es el semiplano al que pertenece el origen.

- La recta es paralela al eje de abscisas y la solucin de es el semiplano inferior.

La funcin objetivo se maximiza en alguno de los vrtices de la regin factible. Calculemos las coordenadas de dichos vrtices y el valor que tiene la funcin objetivo en los mismos:

Vrtice O:

Vrtice A:

Vrtice B:

Vrtice C:

Vrtice D:

Por tanto, la funcin objetivo se maximiza en el vrtice C. Interesa fabricar 100 alfombras del tipo A y 200 del tipo B.

b) La lana de cada color que se gasta es: Azul: .

Verde: no sobra.

Roja: sobran 25 kg.

2. a) Encontrar un nmero tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea mxima. Razonar la respuesta. (5 puntos)

b) Calcular el rea del recinto plano limitado por las grficas de , y = 7.

(5 puntos)

SOLUCIN.

a) Sea x el nmero buscado. La funcin que debe ser mxima es: . Estudiemos para qu valor de x la funcin alcanza su mximo: . Como f(x) es mxima en .

El nmero buscado es pues .

b) Escribamos la funcin diferencia de las dos funciones dadas: .

Los puntos de corte de esta funcin con el eje OX (lmites de integracin) son: .

Por tanto:

3. Una fbrica de coches tiene tres cadenas de produccin A, B y C. La cadena A fabrica el 50% del total de coches producidos, la B el 25% y la C el resto. La probabilidad de que un coche resulte defectuoso es en la cadena A de 1/2, en la B de 1/4 y en la C de 1/6. Calcular razonadamente:

a) La probabilidad de que un coche sea defectuoso y haya sido fabricado por la cadena A.

(2 puntos)

b) La probabilidad de que un coche sea defectuoso.

(4 puntos)

c) Si un coche no es defectuoso, cul es la probabilidad de que haya sido producido por la cadena C? (4 puntos)

SOLUCIN.a)

b) Aplicacin del teorema de la probabilidad total:

c) Aplicacin del teorema de Bayes:

Junio 1996.

OPCIN B.

1. Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo comn. El regalo les cuesta 8.600 pesetas. Como no todos disponen del mismo dinero deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 pesetas que paga B, C paga 3 pesetas. Se pide:

a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cunto paga cada persona. (5 puntos)b) Resolver el sistema planteado en el apartado anterior por el mtodo de Gauss.

(5 puntos)SOLUCIN.

a)

b)

Transformaciones elementales: (1) Cambio de orden de las ecuaciones

(2) E3 E1

(3) (3) 3E3 + 4E2

es decir: A paga 6450 ptas., B paga 860 ptas. y C paga 1290 ptas.

2. El coste total de fabricacin de q unidades de un cierto artculo es C(q) = 3q2 + 5q + 75 dlares. Se define coste medio por unidad como el cociente C(q) / q . Se pide:

a) En qu nivel de produccin ser menor el coste medio por unidad?. Razonar la respuesta.

(7 puntos)

b) Tiene la funcin coste medio por unidad puntos de inflexin?. Razonar la respuesta.

(3 puntos)

SOLUCIN.

a) La funcin coste medio por unidad es: . Veamos para qu valor de q alcanza su mnimo:

(puntos crticos)

EMBED Equation.3 luego el coste medio por unidad es mnimo

para una produccin de q = 5.

b) La funcin no tiene puntos de inflexin porque

3. Se sabe que la desviacin tpica del peso de los individuos de una cierta poblacin es de 6 Kg. Calcula el tamao de la muestra que se ha de considerar para, con un nivel de confianza del 95%, estimar el peso medio de los individuos de la poblacin con un error inferior a 1 Kg. Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.

(10 puntos)SOLUCIN.La desviacin tpica poblacional es

Para un nivel de confianza del 95%, el valor crtico

El error mximo admisible es E = 1kg: luego el tamao de la muestra debe ser de 139 individuos como mnimo.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED WPDraw30.Drawing

EMBED WPDraw30.Drawing

43

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