jugando con la geometria.pdf

8/19/2019 JUGANDO CON LA GEOMETRIA.pdf

1/111

198

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA

GEOMETRÍA:

“ Del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir' ”

Es una rama de las matemáticas que se ocupa de las

propiedades del espacio. En su forma más elemental, la

geometría se preocupa de problemas métricos como elcálculo del área y longitud de figuras planas y de la

superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la

geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva,

topología, geometría de espacios con cuatro o más

dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

Geometría demostrativa primitiva

El origen del término geometría es una descripción precisa

del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban

en problemas como la medida del tamaño de los campos o

el trazado de ángulos rectos para las esquinas de losedificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el

Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y

sistematizado por los griegos.

En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras

colocó la piedra angular de la geometría

científica al demostrar que las diversas

leyes arbitrarias e inconexas de la

geometría empírica se pueden deducir

como conclusiones lógicas de un número

limitado de axiomas, o postulados.

Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus

discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el

pensamiento matemático moderno se consideran como un

conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y

aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente

afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre

dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades

de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir

lógicamente a partir de estos axiomas.

Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de losángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos

ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un

triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de

los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).

La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba

de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras

tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el

matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El

texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido

como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros

días.

PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en

los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando

sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos

sencillos son la construcción de una línea recta dos veces

más larga que una recta dada, o de una recta que divide un

ángulo dado en dos ángulos iguales.

Tres famosos problemas de construcción que datan de la

época griega se resistieron al esfuerzo de muchas

generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la

duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al

de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir

un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la

trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes

iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la

regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del

círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Los griegos, y en particular APOLONIO DE

PERGA, estudiaron la familia de curvas

conocidas como cónicas y descubrieron

muchas de sus propiedades

fundamentales.

Las cónicas son importantes en muchos campos de las

ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas

alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un

considerable número de aportaciones a la geometría.

Inventó formas de medir el área de c iertas figuras curvas así

como la superficie y el volumen de sólidos limitados por

superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También

elaboró un método para calcular una aproximación del valor

de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia deun círculo y estableció que este número estaba entre 3

10/70 y 3 10/71.

GEOMETRÍA ANALÍTICA :

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era

griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en

esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René

PITAGORAS APOLONIO DE PERGA


2/111

199

Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado

en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre

la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los

métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento

de la geometría analítica, en la que las figuras se

representan mediante expresiones algebraicas, sujeto

subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación

de las propiedades de las figuras geométricas que no varían

cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

MODERNOS AVANCES

La geometría sufrió un cambio

radical de dirección en el siglo

XIX. Los matemáticos Carl

Friedrich Gauss, Nikolái

Lobachevski, y János Bolyai,

trabajando por separado, desarrollaron s istemas coherentes

de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron apartir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo"

de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos

extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí,

coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley

desarrolló la geometría para espacios con más de tres

dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio

unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se

sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un

plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si

cada punto del plano se sustituye por una línea

perpendicular a él, se genera un espacio t ridimensional.

Yendo más lejos, si cada punto del espacio

tridimensional se sustituye por una línea

perpendicular, tendremos un espacio

tetradimensional.

Aunque éste es físicamente imposible, e

inimaginable, es conceptualmente sólido.

El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un

importante número de aplicaciones en las ciencias físicas,

en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.También se han utilizado métodos analíticos para estudiar

las figuras geométricas regulares en cuatro o más

dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o

menos dimensiones. Esta geometría se conoce como

geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque

de la geometría es la definición de la figura geométrica más

sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una,

dos, tres, cuatro o más dimensiones.

En los cuatro primeros casos, las figuras

son los bien conocidos punto, línea,

triángulo y tetraedro respectivamente. En

el espacio de cuatro dimensiones, se

puede demostrar que la figura más sencilla

está compuesta

por cinco puntos como vértices, diez segmentos como

aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros.

El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto

por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias,

apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto

se desarrolló como la geometría fractal.

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras

matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios

establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y

segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia

clásica no empezó a haber trigonometría en las

matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de

Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver

triángulos. Comenzando con un ángulo de 7y° y yendo hasta

180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la

cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que

corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a

la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor

de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más

tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos

adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los

babilonios.

Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el

Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares

de y°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3.600

de unidad. También explicó su método para compilar esta

tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes

ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los

elementos desconocidos de un triángulo a partir de los

conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce

ARTHUR CAYLEY

CARL FRIEDRICH GAUSS

J NOS BOLYAI,


3/111

200

como teorema de Menelao para resolver triángulos

esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la

introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo

tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían

desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la

función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta

función seno, al contrario que el seno utilizado en la

actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado

opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de

hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos

valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido

la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y

prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas

décadas del siglo X ya habían completado la función seno y

las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado

varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto

para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos

sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio

lugar a los valores modernos de las funciones

trigonométricas. Los árabes también incorporaron el

triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos

descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se

utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar

la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco

oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los

científicos árabes también compilaron tablas de gran

exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente,

construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto)tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones.

Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el

Libro de la figura transversal, el primer estudio de las

trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas

independientes.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a

través de traducciones de libros de astronomía arábigos,

que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo

importante en esta materia en Europa fue escrito por el

matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado

Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también

astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético,

introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas

como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El

matemático francés François Viète incorporó el triángulo

polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para

expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nθ y cos

nθ, en función de potencias de sen θ y cos θ.

Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje

gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó

los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró

reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y

algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para

resolver triángulos esféricos oblicuos.

Casi exactamente medio siglo después de la publicación delos logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo

diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de

Newton fue la representación de muchas funciones

matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la

variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series

similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo

las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis,

donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto

en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard

Euler definió las funciones trigonométricas utilizando

expresiones con exponenciales de números complejos. Esto

convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas

aplicaciones de los números complejos; además, Euler

demostró que las propiedades básicas de la trigonometría

eran simplemente producto de la aritmética de los números

complejos.


4/111

201

NING N PUNTO COM N:RECTAS PARALELAS

POSICIONES RELATIVASEN EL PLANO

UN PUNTO COMÚN:RECTAS SECANTES

(ORIGINAN ÁNGULOS)

MÁS DE UN PUNTO ENCOMÚN: RECTASCOINCIDENTES

REPRESENTACIÓN DEÁNGULOS

: lados“O”: vértice

Ángulo AOB: < AOBm< AOB = aº

BISECTRIZ DE UNÁNGULO

A

x

BO

qq

CLASIFICACIÓN DE LOSÁNGULOS

I) De acuerdo a su

medida:- Agudo.- Recto.- Obtuso.- Llano.- Convexo.- No Convexo(Cóncavo).

- De una vuelta.

II) De acuerdo a laposición de sus lados:Ángulos consecutivos.Caso Particular: Ángulos adyacentes (2Consecutivos ysuplementarios): PARLINEAL

Ángulos opuestos por elvértice

III) De acuerdo a la sumade sus medidas:- Complementarios.- Suplementarios.

L1

L2

a bc

d

e f g

h

PUNTO

RECTA PLANO

PARTESRAYOSEMIRRECTASEGMENTO DE RECTA

ÁNGULOS FORMADOS POR DOSRECTAS PARALELAS Y UNA

SECANTE

ngulos alternos internosc = f d = eÁngulos alternos externosa = h b = gÁngulos correspondientesa = e c = gb = f d = h

Ángulos conjugados internosc + e = 180° d + f = 180°Ángulos conjugados externosa + = 180° b + h = 180°


5/111

202

CAPITULO - I

SEGMENTOS – ÁNGULOS

GEOMETRÍAEs una parte de la matemática que tiene por objeto elestudio de las propiedades y relaciones de las figurasgeométricas.

DIVISION:A. Geometría Plana o Planimetría

Que se ocupa de todas aquellas figuras cuyos puntosconsecutivos se hallan en un mismo plano. Ejemplo: elángulo, los triángulos, al circunferencia, etc.

B. Geometría del Espacio o EstereometríaQue se ocupa del estudio de todas aquellas figurascuyos puntos consecutivos, no se hallan en un mismoplano. Ejemplo: el prisma, el cono, la esfera, etc.

Figuras Planas:

Figuras Sólidas:

PROPOSICIONES GEOMÉTRICAS:1. Definición

Es aquella proposición relativa a una descripción oconvención. Ejemplo: Triángulo isósceles es el

triángulo que tiene dos lados iguales.2. Axioma o PostuladoEs una proposición que se acepta como verdaderosin ninguna demostración. Ejemplo: La rectacontiene infinitos puntos.

3. TeoremaEs aquella proposición que por no ser evidentenecesita demostración. Consta de 3 partes:

a) Hipótesis: Es la proposición inicial que se acepacomo verdadera y que sirve de punto de partidaal razonamiento.

b) Tesis: Es la proposición que se quieredemostrar.

c) Demostración: Es el conjunto de deduccionesobtenidas mediante un razonamiento lógico.

CONJUNTO CONVEXOUn conjunto de punto P se denomina convexo, si parados puntos cualesquiera A y B del conjunto P, elsegmento de extremos A y B (AB) se encuentracontenido en el conjunto P

CONJUNTO NO CONVEXOUn conjunto de puntos P, es denominado no convexocuando existe por lo tanto dos puntos A y B delconjunto P, tal que el segmento de extremos A y B(AB) no se encuentra contenido en el conjunto P

LINEA RECTAConcepto matemático no definible. Se considera comoun conjunto de puntos ubicados en una mismadirección; ilimitada en ambos sentidos.

: se lee, recta AB: se lee, recta L

SEGMENTOPorción de línea recta limitada por dos puntos llamadosextremos del segmento.

: se lee, segmento AB

ü Medida del SegmentoNúmero de veces de una unidad de longitud.

m ó AB: se leen, medida del segmento AB

OBJETIVOS:

Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:

Ø Comprender los conceptos de los segmentos y ángulos.Ø Reconocer las operaciones que se pueden realizar con los segmentos y ángulos

Ø Comprender los conocimientos demostrando habilidad para el manejo de información en la solución de losproblemas planteados en clase.


6/111

203

Ejemplo:

è AB = 8

ü Punto Medio de un SegmentoPunto del segmento que equidista de los extremos.

Si “M” es punto medio del , entonces AM =MB=a.

ü Operaciones de Longitudes de Segmentos

Para el gráficoSuma: AB +BC + CD = ADResta: AB = AD – BDMultiplicación: AC = 5CD

División:2

BD AB =

CASOS PARTICULARES:

1.- Si en una recta se tienen los puntos consecutivos A ,B,C y D el segmento EF que une los puntos medios de

CDyAB , se puede expresar de la siguiente manera:

2.- Si en una recta se tienen 4 puntos consecutivos A,B, C y D; y además "C" es punto medio del segmento BD, entonces se cumple la siguiente igualdad:

A B C D

DIVISIÓN ARMONICASean A, B, C, y D puntos colíneales y consecutivosconstituyen una “Cuaterna Armónica” si se cumple :

NOMENCLATURA:a) Los puntos: A, C, B y D se les denomina: puntos

armónicosb) Los puntos: C y D se les denomina: conjugados

armónicosc) Los puntos: A, C, B y D forman una cuaterna armónica.

RELACIÓN DE DESCARTESLa relación de Descartes se establece bajo las mismascondiciones de la división armónica y de donde se deducela siguiente relación:

AC

2

AD

1

AB

1=+

PROPIEDADES:1. Si :

Y además:

Þ se cumple :

2. Si :

Y además:

Þ se cumple :1 1n n

AC AB AD

+= +

TEOREMA DE NEWTONSiendo C y D conjugados armónicos de A y B, y además“O” es punto medio de AB , entonces se cumple:

ODOC OB .2 =

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA YEXTREMA RAZÓN: (SECCIÓN AUREA)Si el punto O se encuentra entre los puntos A y B, delmodo que OB AO > ( AO es sección aurea del AB ).

Si se cumple la siguiente relación: OB AB AO .2

= , entonces:

A2 o 3ro

4to

B

C

D

1ro

x

A E B C F

CO B

X X

D A

O B A

CB D A

n

B D

A

n

C

A B C D


7/111

204

EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMA Nº 011. En una recta se tienen los puntos consecutivos A,B,C

y D de modo que BC=1, CD=2AB y 11

AC

1=+

CD.

Hallar AB.

a)2

1 b)3

1 c)3

2 d) 1 e)2

3

SOLUCIÓNAB=X=?

Con el gráfico y el dato:

12X

1

1X

11

CD

1

AC

1=+

+®=+

Luego:

11)2x(x

1)(x2x=

+

++

De donde:

ïþ

ïýü

ïî

ïíì

=®=-

-=®=+=-+

=--\+=+

1x01x

2

1x012x

01)1)(x(2x

01x22x

2x2

2x13x

Luego:11 =®= AB x

PROBLEMA Nº 02Los puntos A, B, C, D, E son colineales y consecutivosAC=3BD, AB=DE y AE-5BC=28. Hallar CD.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

SOLUCIÓN

IncógnitaCD=xSea BD=a

Según dato: AC=3BD\ AC=3a

Luego: BC=a-x y AB=3a-(a-x) ® AB=2a+x=DEPor otro lado:AE - 5BC=28…………(dato).

Con el gráfico: 5a+2x-5(a-x)=28

Efectuando: 7x=28\ x=4

4=CD

PROBLEMA N° 03Sobre una línea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C y D tal que:

Hallar:a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

SOLUCIÓN

Agrupando:

Igualando con el dato:

PROBLEMA N° 04En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y

S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 yPQQR

=( ) ( )2 QR 3 RS

RS

+. Calcule QS

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8SOLUCIÓN

Datos:PQ = 2(RS) = 2aQR = 2

( ) ( )2 QR 3 RSPQ

......( )QR RS

+= b

Piden:QS = (2 + a) = ?

Reemplazando en (b)2a 2(2) 3(a)

a a

+=

a² = 4 + 3a

Resolviendo:a = 4 QS = 6

PROBLEMA N° 05Sobre una recta se toman los puntos consecutivos O,A, B y C. Calcule OA,

Si: 1 1 1OC OB OA

+ = , (AB).(AC) = 289

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

1AD/1AB/2yBC.AD2CD.AB =+=

ACADCD -=ABACBC -=

)ABAC(AD2)ACAD(AB -=-Þ

)ABAD2(ACAD.AB3 +=

AD

1

AB

2

AC

3+=Þ

AC

31 =

3AC =\

A B C D

X 1 2X

A B C D

3a x

2a+x a-x

a

E

2a+x

2a2

P Q R S

a


8/111

205

SOLUCIÓN

O A Bb-x

x a-x

ab

b-a

C

OA

1

OB

1

OC

1=+

1 1 1 a b 1

(a b).x abb a x ab x

+

+ = ® = ® + = (AB).(AC) = 289(a-x).(b-x) = 289

289xx)ba(ab 2 =++-43421

ab – ab +x2 = 289x2 = 289

\ x = 17EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Sean los puntos colineales y consecutivos R, A, U y L

tales que: 6UL

5

AU

4

RA== y

295UL6 AU3RA2 =++ . Hallar RA.a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

2. Sobre una línea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C y D que cumplen la siguienterelación:

AB

1

AD

1 :Calcular .8

BC-CD

CDBC si

CD

AD

BC

AB+=

×=

a) 1/4 b) 1/6 c) 1/8 d) 4 e)6

3. Sean A0, A1, A2, A3, A4, …., An, … puntosconsecutivos de una recta; Si A0A1 =

3

2, A1A2=

8

2,

A2A3=15

2, A3A4=

24

2,… así sucesivamente. Hallar la

suma de todas las longitudes de los segmentosa) 1/2 b) 1/3 c) 3/2 d) 2 e) 1 4. Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una recta,

donde

AD BC CD AB y AB AD

´=´=+3

211.

Hallar ACa) 1 b) 5 c) 4 d) 3 e)7

5. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B,C, D. Si se cumple que:

CD AB BC .2 = ;

8

111=+

BD AC

Hallar: CD AB.

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 64

6. Los puntos A, B, C, D, E, F, son colineales y

consecutivos tal que: 1=+ BF

DF

AE

AC Hallar:

DF

BD

CE

AC -

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

7. A, B, C, D, E, F, G, H, son puntos colineales yconsecutivos. Si: 3(BG) = 2(AH) = 5(CF) y

AD + BE + CF + DG + EH = 310; Hallar: AHa) 3 b) 200 c) 8 d) 183 e) 150

8. Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos:A, B, C y D siendo:A, B, C y D, siendo:AB x BD + AC x CD = AD x BCSi: AB x CD = 72. Hallar BC

a) 6 2 b) 6 c) 12 d) 16 e) N.A.

ÁNGULOS

DEFINICION: Es aquella figura geométrica determinadapor dos rayos que presentan un origen común denominadovértice

aO

A

B ELEMENTOS:* Vértice: “ O ” * Angulo: Ð AOB* Medida del ángulo: a a Î R+

CLASIFICACION DE LOS ANGULOS:

I.DE ACUERDO A SU MEDIDA:

a) NULO:

O

aa = 0

b) AGUDO:

aO

A

B

0 < a < 90

c) RECTO:

O

A

Ba

a = 90


9/111

206

d) OBTUSO:A

BO

a

90 < a < 180

e) LLANO:

A BO

a

a = 180

f) CONVEXO:

a°O

A

B

0° < a° < 180°

g) NO CONVEXO O CONCAVO:

a° O

A

B

180° < a° < 360°

h) ANGULO DE UNA VUELTA:

q°

a°

b°

a° + b° + q° = 360°

II.-DE ACUERDO A SUS LADOS:

a) ADYACENTES:

O

A

B

C

a°q°

b) ADYACENTES SUPLEMENTARIOS:

A

B

O

a°

a° + q° = 180°

q°C

c) OPUESTOS POR EL VERTICE:

a q a = q

III. SEGÚN SUS CARACTERISITICAS:1.- Ángulos Complementarios: Los ángulos soncomplementarios cuando la suma de sus medidas es 90°.

a + b = 90°

Propiedad:· Si el Complemento es par: es el ángulo

C x = par........ .. = x· Si el complemento es impar : es 90 O menos el ángulo

C x = Impar ....... = 90 O – x

· El complemento de un ángulo "a" es:

90 - a

2. Ángulos Suplementarios: Los ángulos sonsuplementarios cuando la suma de sus medidas es 180°.

a + b = 180°

Propiedad:· Si el Suplemento es par : es el ánguloS x = par ......... . = x

· Si el Suplemento es impar : es 180 O menos el ángulo· S x = Impar ....... = 180 O – x

PROPIEDADES ESPECIALES:1. Si SCX = y Þ y = 90º + x

Además: Rn

SC =q

q no R +=Þ 90

2. Si CSX = y Þ y = x - 90º

Además: Rn

CS =q

On R 90-=Þ q

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS:Dos ángulos son congruentes cuando tiene igual medida

BmAm BA Ð=ÐÛÐ@Ð Se lee “El ángulo A es congruente al ángulo B si solo si lamedida del ángulo A es igual a la medida del ángulo B”

@

A

40o

B

40o

O

D

C

O1

BA

O D

C

O1

B

A


10/111

207

jºqº

bº

aº

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO:Es el rayo que partiendo del vértice divide al ángulo endos ángulos congruentes.

ANGULOS FORMADOS POR 2 RECTAS PARALELASCORTADAS POR UNA SECANTE: B// A

tt

b

cd

aA

Be

f

gh

1. Ángulos Alternos:* Internos: cº = eº; dº = f º* Externos: aº = gº ; bº = hº

2. Ángulos Conjugados:* Internos: cº + f º = 180º

dº + eº = 180º

* Externos: bº + gº = 180ºaº + hº = 180º

3. Ángulos Correspondientes: aº = eº; bº = f º ; dº = hº ; cº = gº

ANGULOS PARALELOS:a)

O

A

P

R

Ba

qQ

a = q

b)

O

A

Ba

P

R q

a = q

Q

c)

O

A

Ba

P

R q

a + q = 180

Q

ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARESa)

a

qa = q

b)

qB

Q

AP

O

R

a

a + q = 180

ÁNGULOS FORMADOS ENTRE RECTAS PARALELAS· Todos los ángulos alternos, miden igual (son

congruentes)· Todos los ángulos conjugados entre rectas paralelas ,

son suplementarios· Todos los ángulos correspondientes entre rectas

paralelas miden igual ( son congruentes)

PROPIEDADES:SI M//N01.

qa +=x

02.

tnm ++=++ tba

03.

SegmentosN180 ºº=++++ jqgba

04.

º180=+++ jqba

q q

A

X

B

O

= Bisectriz Ð AOX = Ð XOB

aº

qº

xº

1L

a m

n

r

b

t

a+b+t m+n+r

2L

jºqº

bºaº

gº


11/111

208

05.

06.

cba ++=+ qa


PROBLEMA Nº 01La medida de un ángulo es 0 x . Si la diferencia entre los5/6 del suplemento de 0 x y el complemento de la mitad

de la medida de dicho ángulo excede en 0 x /15 al dobledel complemento de 0 x . Calcular el suplemento del

complemento de 0 x .a) 185º b) 165º c) 180º d) 170º e) 175º

SOLUCIONSi la medida de dicho ángulo es xº, entonces:

15

xx)2(90)

2

x(90x)(180

6

5+-=---

15

x2x180)

2

x)(180

6

5x900+-=

--

-

)302700(2)35405900(5 x x x x +-=---

58x -10x = 5400 -180048x = 3600

X = 75ºLuego: 180-(90-x) = 180-90 +75= 165º

165°PROBLEMA Nº 02Se tienen los ángulos adyacentes y complementarios AOB

y BOC, luego se trazan las bisectrices

OM,ON,OR y OS® ® ® ®

de los ángulos AOB, BOC, AON y

MOC respectivamente. Calcule m ROSS .a) 15º b) 18,5º c) 20º d) 22,5º e) 25º

SOLUCION

* 2a + 2q = 90ºa + q = 45º

* x 902 2

q aa + + + q + = º

( )

( )

+ q + a =

+ =

=

3x 90º

2

3x 45º 90º

2

x 22,5º

PROBLEMA Nº 03Se tienen los ángulos consecutivos A Ô B, BÔ C y CÔ Dtal que: m AOB = 40° y m COD = 60°. Hallar la medidadel ángulo formado por las bisectrices de consecutivos AO B y B O D.a) 40° b) 60° c) 75° d) 50° e) 100°

Del gráfico:

m AON = 40° + q = a +x(+)

m MOD = a + 60° = x + q

100° = 2x

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Indicar la proposición si es (V) o(F) I. Todo segmento tiene un único punto medioII.El ángulo que forman las bisectrices de los ángulosopuestos por el vértice forman un ángulo llanoIII.Un segmento de recta siempre es un conjunto depuntos del planoIV.El ángulo que forman las bisectrices de dos ánguloscomplementarios es 45º

a)VFVV b)FFFF c)VVVV d)VVFF e) FFVV

2. Indicar, verdadero (V) o falso (F):I. La diferencia entre las medidas del suplemento ycomplemento de un mismo ángulo, siempre es 90°II. Las bisectrices de un par lineal, son perpendicularesentre sí.III. Dos ángulos complementarios, son necesariamenteconsecutivos.a) VVV b) VVF c) FFF d) FVF e) VFV

M

N

X = 90°

a a

b b

x

aº

qºqº

aº

xº

2

qa +

2

aq +

N

S

R A M B

Co

a aq

q

x


12/111

209

3. Indicar verdadero (V) o falso (F):I.Dos ángulos complementarios, son siempre consecutivos.II.Dos ángulos suplementarios, son siempre adyacentesIII. Dos ángulos adyacentes, son suplementarios.a) VVV b) FFF c) VFV d) FFV e) FVF

4. Indicar verdadero (V) o falso (F):I. Un cuadrado, puede ser congruente a un triángulo.II. Dos figuras congruentes, son siempre equivalentes.III. Dos figuras equivalentes, son siempre congruentes.IV. Un cubo y un cuadrado, pueden ser equivalentes.V. Si un cuadrado y un triángulo, tienen igual perímetro,

se llaman equivalentes.VI. Dos rectángulos, son siempre semejantes.VII. Dos cuadrados son siempre semejantesVII. Dos triángulos equiláteros son siempre semejantesA) FVFFFFVV B) VFFVVFVV C) FFFVVVVVD) FVVFFVVV E) VFVFFVVV

5. Si al cuadrado del complemento de un ángulo se lesuma en número que expresa en grados la medida dedicho ángulo, resulta el número que representa lamedida de un ángulo llano ¿Cuánto mide dicho ángulo?

a) 50° b) 60° c) 69 d) 80 e)99°

6. Desde un punto "o" de la recta 'xx se trazan los rayosONyOB,OA,OM con la condición que:

;22BONyBOXMOA °=ÐÐ=Ð además los rayos

OMyON son las bisectrices de los ángulos

X'.Ô y AXÔ A Calcular .BOXÐ a) 52° b) 56° c) 60° d) 64° e) 72°

7. Si al cuadrado del complemento de un ángulo se le

suma en número que expresa en grados la medida dedicho ángulo, resulta el número que representa lamedida de un ángulo llano ¿Cuánto mide dicho ángulo?

a) 50° b) 60° c) 69 d) 80 e) 99°

8. En la figura adjunta:

AB = 10; BC = 12, CD = 11 y AE = EF = FD = xHallar el máximo valor entero de x.a) 10 b) 12 c) 11 d) 9 e) 8

9. A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos, si ACes media proporcional entre AD y BD .

Hallar: ÷ ø ö

çè æ

-= 1CD

AB

AC

AD5.2K

a) √5 b) 2 √5 c) 2

1 .√5 d) 2 e) 2.√5 -1

10. Del gráfico calcular el valor de la razón aritméticaentre x e y, cuando “x” toma su mínimo valor entero.

a) 3ºb) 15ºc) 12ºd) 5ºe) 11º

11. Hallar: x Si: LL 21 // a) 115ºb) 120ºc) 125ºd) 135ºe) 127º

12. En la figura. Hallar el valor de “x”.a) 63ºb) 67ºc) 73ºd) 77ºe) N.A.

13. En la figura LL 21 // Hallar el valor de xa) 30ºb) 36ºc) 45º

d) 18ºe) 15º

14. Sean los ángulos consecutivos A Oˆ B, BOˆ C y C Oˆ D. Si:A Oˆ C + B Oˆ D = 140º. Hallar la medida del ánguloformado por las bisectrices de los ángulos A Oˆ B y COˆ

Da) 20 b) 70º c) 90º d) 50º e) 30º

15. Sean los ángulos consecutivos A Oˆ B y B Oˆ C. A Oˆ B – BOˆ C = 44º. OM , biseca A Oˆ B; ON , biseca B Oˆ C; OR ;biseca MOˆ N. Hallar R Oˆ B.

a) 22º b) 44º c) 11º d) 12º e) N.A.

16. Calcular x, si: 21 L//L a) 20b) 30c) 40d) 60e) N.A.

1L

2L

aa

bb

2x

3x

m m

r r

aºaº

qºqº

xº

26

1L

2L

x

xx

x

1L

2L

nn

bb

mma

a


13/111

210

Mediana AlturaMediatrizBisectriz

La suma de los ángulos internos es180o

Cualquier ángulo exterior mide igualque la suma de dos ángulos interioresetc.

EscalenoIsóscelesEquilátero

Algunas Líneas Notab les

TRIÁNGULO

VérticesLados ÁngulosInternos

ÁngulosExternosPerímetro

Sus Elementos Se Clasifican

La Medida deSus Ángulos

AcutánguloRectánguloObtusángulo

La Medidasde

Sus Lados

Algunas Propi edades


14/111

211

TRI NGULO CONGRUENTES

Lado – Ángulo – Lado

L A L

Tienen

Los casos de congruencias

Ángulo – Lado – Ángulo

A L A

Lado – Lados – Lados

L L L

LA MISMA FORMA EL MISMO TAMAÑO

Entonces tienen

Sus ladoscorrespondientes

Sus ánguloscorrespondientes


15/111

212

CAPITULO - II

TRIÁNGULOS

DEFINICION:Es aquella figura formada al unir tres puntos nocolineales mediante segmentos de recta.

A

B

C

ELEMENTOS.* Vértices: A, B y C* Lados : AB, BC, y AC

NOTACION: Triángulo ABC: D ABC

REGIONES DETERMINADAS

Región interior

Región exterior relativa a BC

Región exterior relativa a AC

Región exterior relativa a AB

A

C

B

ELEMENTOS ASOCIADOS ALTRIÁNGULO

e a

b

q

fg

Medida de los ángulos interiores: a, b y g Medida de los ángulos exteriores: q, f y e

PROPIEDADES* La suma de las medidas de los ángulos internos es 180°

A

B

C

a

b

g

a+b+g=180°

* La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de losángulos interiores no adyacentes a él

A

B

a

b

X

C

= a + bx

* La suma de medidas de los ángulos exterioresconsiderando uno por cada vértice es 360°.

A

B

Ca

g

b

a+b+g=360° * La longitud de un lado está comprendida entre ladiferencia y la suma de las longitudes de los otros lados.

OBJETIVOS:

Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:Ø Analizar con mucho rigor al triángulo por ser la figura de mayor aplicación en el estudio de la GeometríaØ

Comprender los conocimientos básicos sobre triángulos, las relaciones que se establece entre suselementos y la idea de correspondencia biunívoca con su aplicación a la congruencia de triángulo.Ø Establecer la diferencia que existe entre las principales líneas notables asociadas al triángulo.Ø Conocer y familiarizarse con los teoremas derivados de esta teoría y sus aplicaciones en la resolución de

problemas


16/111

213

A

B

C

c a

b

sea: a>b>c

a - b < c < a + b

* Al ángulo interior de mayor medida se opone el lado demayor longitud y viceversa.

A

B

C

c a

a g

si: a > g a > c

PROPIEDADES ADICIONALES

a

b m

n

m + n = a + b

xa

b

g

x = a + b + g

CLASIFICACIÓNSEGÚN SUS LADOS. A. Triángulo equilátero.

Sus tres lados tienen igual longitud.

A

B

C

c a

b

a

b

g

a=b=c

a=b=g= 60°

B. Triángulo isósceles.Dos de sus lados tienen igual longitud.

A

B

C

a c

a q

a = q a = c

AB y BC: Lados lateralesAC: base

C. Triángulo escaleno.No tiene lados de igual longitud.

A

B

C

ac

b

a

b

q

a = b = c a = b = q

SEGÚN SUS ÁNGULOS INTERNOS

A. Triángulo AcutánguloEs aquel cuyos ángulos son agudos.

a

b

g

a


17/111

214

B

A

C

c

a

b

a

b

AB y BC: catetosAC: hipotenusa

Se cumple:a + c = b

2 2 2

Además: a + b = 90°

C. Triángulo ObtusánguloEs aquel que tiene un ángulo Obtuso.

B

A

C

g

b

a

g > 90°

NOTA:A los triángulos acutángulos y obtusángulos, se lesdenomina triángulos oblicuángulos.

NOTA:A los triángulos acutángulos y obtusángulos, se lesdenomina triángulos oblicuángulos.

LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO

ALTURASegmento que sale de un vértice y corta en formaperpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

Ortocentro (H) Es el punto donde se intersectan las tres líneas rectasque contienen a las alturas de un triángulo.H: Ortocentro.

Observación: * El Ortocentro es un punto interior en un triánguloacutángulo.* El Ortocentro es un punto exterior en un triánguloobtusángulo.* El Ortocentro está ubicado en el vértice del ángulorecto en un triángulo rectángulo.

MEDIANASegmento que une un vértice con el punto medio del ladoopuesto a dicho vértice.

Baricentro (G)Es el punto donde se intersectan las tres medianas de untriángulo.G: Baricentro

48476TEOREMA

2GSCG

2GN AG

2GMBG

=

=

=

BISECTRIZSegmento que divide a un ángulo interior o exterior endos ángulos de igual medida.


18/111

215

Incentro (I)Es el punto donde se intersectan las tres bisectricesinteriores de un triángulo, es el centro de lacircunferencia inscrita

Observación:v Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores las

cuales concurren en un punto “I “llamado Incentro. v El punto donde concurren dos bisectrices exteriores

con la prolongación de la bisectriz interior trazada deltercer vértice recibe el nombre de Excentro “E”.

v El incentro es un punto interior para toda regióntriangular. En todo triángulo existen tres excentroslos cuales son puntos exteriores a la región triangular.

Excentro (E)Es el punto donde se intersectan dos bisectricesexteriores con una bisectriz interior en un triángulo,es el centro de la circunferencia exinscrita.

E: Encentro relativo de

MEDIATRIZEs una recta que pasa por el punto medio de un ladocortándolo en forma perpendicular.

: Mediatriz deCircuncentro (O)Es el punto donde se corta las tres mediatices de untriángulo.C: Circuncentro, es el centro de la circunferenciacircunscrita

Observación: * El Circuncentro es un punto interior si el triángulo es

acutángulo.* El Circuncentro es un punto exterior si el triángulo esobtusángulo.* El Circuncentro está ubicado en el punto medio de lahipotenusa si el triángulo es rectángulo.CEVIANASegmento que une un vértice con un punto cualquiera dellado opuesto o de su prolongación.

Cevacentro (C) Es el punto donde se intersectan tres cevianas de untriángulo.

Observación: Todo triángulo tiene infinitas cevianas e infinitoscevacentros. Por lo tanto la ceviana y el cevacentro no sonlíneas ni puntos notables respectivamente. El nombre deceviana se debe en honor al matemático italiano CEVA en1678

Observación: - Para ubicar un punto notable sólo es necesario

trazar dos líneas notables de la misma especie.- En todos los triángulos isósceles si se traza una de

las cuatro primeras líneas notables hacia la base;dicha línea cumple las mismas funciones que lasotras.

- En todo triángulo equilátero el Ortocentro,baricentro, incentro y circuncentro coinciden.

En todo triángulo isósceles, el Ortocentro, baricentro,incentro y el excentro relativo a la base, se encuentranalineados en la mediatriz de la base.


19/111

216

ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES

1. ngulo formado por dos bisectricesinteriores.

290 a x +=

2. Ángulo formado por dos bisectricesexteriores.

290 a x -=

3. Ángulo formado por una bisectrizinterior y una bisectriz exterior.

2a

x =

4.

245 a x -=

5.

2b a x +=

6.

2b a x +

=

7.

2 b a -

=x

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSDos triángulos serán iguales cuando tengan sus lados ysus ángulos iguales.

Primer criterio.- Si dos triángulos tienen un lado y losángulos adyacentes iguales.

A

B

Ca q

M

N

Pa q

DABC = DMNP (ALA)

Segundo criterio.- Si dos triángulos tienenrespectivamente iguales dos lados y el ángulocomprendido entre ellos.


20/111

217

A

B

Cq M

N

Pq DABC = DMNP (LAL)

Tercer criterio.- Dos triángulos son iguales si tienenrespectivamente iguales sus tres lados.

A

B

C M

N

P DABC = DMNP (LLL)

Nota.- Existe un cuarto criterio: Si dos triángulostienen respectivamente iguales dos lados y el ánguloopuesto al mayor de ellos, son iguales. Propiedades:

1) TEOREMA DE LA BISECTRIZ.Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidistade sus lados.

O

A

B

MA=MB a

baa

a=b M

2) TEOREMA DE LA MEDIATRIZ.

Cualquier punto de la mediatriz de un segmento

equidista de sus extremos.

A B

M

O

b a

MA=MBb=a

3) TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS

El segmento que une los puntos medios de los lados deun triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitadde su longitud.

A

B

C

L M

LM//AC

LM = AC2

TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLESSon aquellos donde la medida de los catetos y lahipotenusa guardan relaciones que permiten determinarlas medidas de los ángulos agudos y recíprocamente.(aÎR+)1) 3° y 87°

3°

87°

19a

a

362 a

2) 8° y 82°

8°

82°

a

7a

50a

3) 21°/2 y 159°/2

21°/2

159°/2

11a

a

5 5 a

4) 14° y 76°

a

4a

14°

76°17a

5) 16° y 74°

16°

74°

7a

24a

25a

6) 37°/2 y 143°/2

37°/2

143°/2

a

3a

10 a

7) 53°/2 y 127°/2

53°/2

127°/2

a

2a

5 a


21/111

218

8) 30° y 60°

30°

60°

a2a

3 a 9) 37° y 53°

37°

53°

5a

3a

4a

10) 45° y 45°

45°

45°

a

a2 a


1. Los lados de un triángulo ABC mide A = 60o y B = 100o.En la prolongando AB se ubica el punto D , unalongitud BD = BC , se pide Calcular mÐACDa) 40 o b) 50 o c) 60 o d) 70 o e) 80 o

SOLUCION

En el Δ ABC: m ÐACB = 20ºEn el Δ DBC: mÐBCD = mÐBDC = 50ºLuego: x = 50º + 20º

∴ x = 70º

2. En un triángulo ABC, mÐA = 30o y la medida de losotros dos están en relación de 3 a 7 ¿Cuánto mide elángulo mayor?a) 105 o b) 110 o c) 102 o d) 115 o e) 120o

SOLUCION

30º + 7θ + 3θ = 180ºθ = 15º

∴ El ángulo mayor mide 105º

3. En un triángulo ABC se toma em AC um punto D y seune com B de tal modo BD = DC = AB si mÐC = 40o ,Calcular la ÐABDa) 15 o b) 18 o c) 20 o d) 24 o e) 25o

SOLUCION

Los triángulos ABD y BDC son isósceles.Luego: mÐDBC = 40º ym ÐBAD = mÐBDA = 40º + 40º = 80ºEn el Δ ABD: 80º + 80º + x = 180º

∴ x = 20º

4. Calcular “x”, si mÐBAC - mÐBCA =16o

a) 12 o b) 14 o c) 16 o d) 8 o e) 20o

SOLUCION

En el Δ ABD: mÐBAD = mÐBDA = α En el Δ ADC: mÐACD = α – xPor dato: mÐBAC – mÐBCA = 16º

α + x – (α – x) = 16º∴ x = 8º

5. Si AB = BC = AD, Calcular “x” a) 20 o b) 40 o c) 160 o d) 80 o e) 70o

SOLUCION


22/111

219

En el Δ equilátero ABC: AB = BC = AC y mÐBAC = 60ºDe donde: mÐCAD = 40ºEn el Δ isósceles CAD: 40º + x + x = 180º

∴ x = 70º

6. En el triángulo cuyo perimetro mide 12 , por un de losvertices se traza paralelas a las biscetrices inetrioresde los otros dos ángulos , cortando a las

prolongaciones del tercer lado en E y F Determinar EFa) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 24SOLUCION

El en Δ EAB es IsóscelesEn el Δ BCR es Isósceles

El perímetro de Δ ABC es 12EF = a + b + c

EF = 12

7. En un triángulo ABC (AB =BC) se traza la cevianainterior CR, Luego ene l triángulo ARC se tras labisectriz interior RQ. Si mÐRCB = 24o. CalculemÐAQRa) 24o b) 36o c) 39o d) 54o e) 78o

SOLUCION

En Δ ARQ: x + 24º – α + x + α = 180º∴ x = 78º

8. En un triángulo ABC, AB=BC, se traza la cevianainterior BE. En el triángulo BEC, se traza la cevianaEQ , tal que BE=BQ. Si )Ð ABE mide 48º, Hallar lamedida del )Ð QECa) 48º b) 36º c) 24º d) 12º e) 28º

SOLUCION

A

B

CE

48

a - b ab a - b

180 - 2a

a

48 + 180 - 2a + a - b + a - b = 180º48 = 2b

b = 24Þ )Ð QEC = 24º

9. En el gráfico mostrado calcular q:

2q

aa

q

B

A C

bb

a) 60º b) 30º e) 45º d) 36º e) 54º

SOLUCIONEn el DADC:90 + 90 + - q + a + b = 180

a + b = q Pero en el D ABC:

2q + 2a + 2b = 180

q + a + b = 90ºq + q = 90

2q = 90q = 45º


1. El ángulo exterior "B" de un triángulo ABC mide 144°.Hallar el menor ángulo formado por las bisectricesinteriores de los ángulos A y C del triángulo.a) 72 b) 144 c) 126 d) 108 e) 36

2. En un triángulo rectángulo los catetos miden 9m y 12m;hallar la distancia del bancentro al ortocentro.a) 2,5 b) 3 c) 3,5 d) 4 e) 5

3. Si a = 72, hallar "b + q"a) 36b) 54c) 90d) 72e) 45

4. En la siguiente figura halla "q" si AC AB = y PQR esequilátero, además a + b = 170.a) 60b) 70c) 75d) 80e) 85

5. Hallar "x" si AM = MCa) 10°b) 15°c) 30°d) 45°e) 18°

q

b

a

2y

yy

2xx

x

q a

b

CA

P

Q

B

15° 30°

x

A CM

B


23/111

220

POL GONOSe llama polígonoa las líneaspoligonalescerradas.

ELEMENTOS

1) Lados2) Vértices3) Diagonales4) Ángulos interiores5) Ángulos exteriores

PROPIEDADES

Para polígonos en general

Para polígonos

CLASIFICACI N

De acuerdo al númerode lados:

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Nonágono

Decágono

Endecágono

Dodecágono

Polígono de 3 lados

CLASIFICACI N

Por sus lados

Equilátero; Isósceles;Escaleno

Por sus ángulos

PROPIEDADES GENERALES

TRI NGULO

TRI NGULOS

RECTÁNGULOSNOTABLES


24/111

221

L NEAS NOTABLES

DE UN TRIÁNGULO

MEDIANA

ALTURA

MEDIATRIZ

BISECTRIZ INTERIOR

BISECTRIZ EXTERIOR

CONGRUENCIA DETRIÁNGULOS

CASOS

L.A.L

A.L.A

L.L.L

PROPIEDADES


25/111

222

Polígono de 4 ladosCUADRIL TERO

POR SU REGI N

Convexo

Cóncavo

POR EL

PARALELISMO DE

SUS LADOS

Romboide

Rectángulo

Rombo

Cuadrado

PARALELOGRAMOS

Escaleno

Rectángulo

Isósceles

TRAPECIOS

TRAPEZOIDES

PROPIEDADES GENERALES

m


26/111

223

CAPITULO - III

POLIGONOS Y CUADRILATEROS

POLÍGONODefiniciónEs la reunión de tres o más segmentos consecutivos ocoplanares, tal que el extremo del primero coincide con elextremo del último; ningún par de segmentos, seintercepten, excepto en sus extremos y dos segmentosconsecutivos nos sean colineales.

ElementosVértices : A, B, C, D,...Lados : , , , ,...

m ∢ internos : a, b, f,...m ∢ externos : x, y, z,...Diagonales : , , ,...Diagonales medias : , , ,...

Polígono ConvexoEs cuando tienen todos sus ángulos internos convexos,es decir, mayores que cero y menores que 180º.

Clasificación de los Polígonos Convexos1. Polígono Equiángulo

Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes

2. Polígono EquiláteroCuando tienen todos su lados congruentes

3. Polígono RegularCuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes

y todos sus lados congruentes

Polígonos No ConvexosCuando tienen uno más ángulos internos no convexos esdecir mayores que 180º y menores que 360º.

Denominación de los PolígonosTriángulo 3 ladosCuadrilátero 4 lados

Pentágono 5 ladosHexágono 6 ladosHeptágono 7 ladosOctógono 8 ladosNonágono o eneágono 9 ladosDecágono 10 ladosEndecágono o Undecágono 11 ladosDodecágono 12 ladosPentadecágono 15 ladosIcoságono 20 ladosEnégono n lados

OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:Ø Comprender los conocimientos básicos sobre Polígonos y relaciones que se establece entre sus elementos.

Ø Establecer la diferencia que existe entre los Polígonos.Ø Conocer y familiarizarse con los teoremas derivados de esta teoría y sus aplicaciones en la resolución de

problemas


27/111

224

PROPIEDAD PARA TODO POLÍGONO CONVEXOSi “n” es el número de lados de un polígono convexo, secumple que:

1. Suma de las medidas de sus ángulos internos:. Sm∢i = 180 (n – 2) .

2. Suma de las medidas de sus ángulos externos:. Sm∢i = 360 .

3. Diagonales trazadas desde un solo vértice:. Di = (n – 3) .

4. Número total de diagonales:

. ( )

2

3nnTD

-= .

5. Número total de diagonales medias:

. ( )

2

1nnmD

-= .

6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos

. ( )( )

2

2v1vvnvD

++-= .

EN POLÍGONOS REGULARES Y EQUIÁNGULOS7. Medida de un ángulo interno:

. ( )n

2n180i

-= .

8. Medida de un ángulo exterior:

. n

360e = .

Ø POLÍGONO ESTRELLADO O ESTRELLAEs la figura plana formada por las prolongaciones de loslados de un polígono convexo.q : Ángulo interiorf : Ángulo exterior

9. Máximo número de ángulos interiores agudos de unpolígono de “n” lados.

10. Mínimo número de ángulos interiores obtusos de unpolígono convexo.

11. Número de ángulos rectos a que equivale la suma delos ángulos interiores de un polígono de “n” lados.

12. Número de ángulo llanos a que equivale la suma de losángulos internos de un polígono de “ n ” lados

13. Número de diagonales medias desde “k” ladosconsecutivos es

CUADRILÁTERODefiniciónEs un polígono de 4 lados.

. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 .

Clasificación General

Clasificación de los Cuadriláteros Convexos1. Trapezoide

Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos

2. TrapeciosTienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y losotros lados, llamados lados no paralelos

# Máximo = 3 Ðs

# Mínimo = n - 3

# Ðs rectos = 2 (n – 2)

# diag. =nk- k(k+1)/2

# Ðs llanos = (n – 2)


28/111

225

PROPIEDAD DEL TRAPECIO· Mediana de un trapecio

. 2

bax

+= .

· Segmento que une los puntos medios de lasdiagonales

. 2

abx

-= .

3. ParalelogramosAquellos de lados opuestos paralelos y congruentes;ángulos opuestos de igual medida y dos ángulosconsecutivos siempre suplementarios. Sus diagonalesse bisecan.

PROPIEDADES GENERALES1.

2f q +

=x

2.

2f q -

=x

3.

//PQ = RS

4. En trapecios isósceles

2a b

x -

= 2

a b y

+=

5. En triángulos

6. En trapecios


29/111

226

7. Segmento que une los puntos medios de las bases

Si: a + b = 90º :

.2

a b x -= .

8. En paralelogramos

x = b – a

9. En paralelogramos

.4

dcba

2

cb

2

dax

+++=

+=

+= .


1. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de unpolígono convexo es 760º.Calcule la suma de lasmedidas de los ángulos externos correspondientes alos vértices restantes.

a) 190º b) 200º c) 210º d) 220º e)230º

SOLUCIÓN

Dato: 1 2 5i i ...i 760º+ + =$ $ $ Piden: ne e ...e ?+ + =6 7

* Se sabe: ne e ...e º...(I)+ + =1 2 360

* 1 1i e 180º+ =$

2 2i e 180º+ =$

. .

. .

. .5 ni e 180º+ =

$

( )1 2 5760 e e ...e 180º(5)+ + + =

( )1 2 5e e ...e 140º+ + =

Reemplazando en (I)

140º + ( )ne e ...e º+ + =6 7 360

( )ne e ...e º+ + =6 7 220

2. Calcular la base mayor de un trapecio, los lados no

paralelos miden 5 y 7, las bisectrices interiores de losángulos adyacentes a la base menor se cortan en unpunto de la base mayor.

a) 16 b) 18 c) 25 d) 16 e) 12SOLUCIÓN

Graficando el problema, tendremos:

Luego de la gráfica se observa:X = 5 + 7 = 12

Respuesta: Base mayor = 12

3. En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la

distancia del punto medio de AC hacia la bisectrizdel ángulo ABC; si m ABC º= 106S .

a) 10 b)8 c)6 d) 4 e) 12 SOLUCIÓN

3e

e1

ne

6e5e

4e

2e 3iÙ

4i

Ù

5iÙ

6iÙ

niÙ

1iÙ

2iÙ

A

B C

D

5 7

5 7

X

º53 º53


30/111

227

Dato: BC=30AB=5m ABC º= 106S

Piden: MN=x=?

* Trazamos: AH L«

CQ L«

* D ABH y D CBQ (37º, 53º)

Þ AH = 4

y CQ =24* Trapecio: AHCQ (propiedad)

24 4x 10

2

-= =

4. En un cuadrado ABCD, de lado 6, en CD y AD seubican los puntos M y N, respectivamente, tal queCM=MD. Si la m MBN º= 45S . Calcule MN.

a) 3 b)4 c)4 2 d) 3 2 e) 5

SOLUCIÓN

Dato: AB=BC=6CM=MD=3m MBN º= 45S

Piden: MN=x=?

* BCMD (notable) 53º

2

æ öç ÷è ø

Þ º

m ABN = 37

2S

* ABND 37º

2

æ öç ÷è ø

AN=2 Þ ND=4* MNDD (37º, 53º)

® x=5

5. Las distancias de los vértices A y B de un triánguloABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y4 respectivamente; calcule la distancia del vértice C a

dicha recta. La recta intercepta a AB y BC .a)7 b)5 c) 3 d) 8 e)1

SOLUCIÓN

Dato: AH=3BQ=4

“G” BaricentroÞ BG=2GM = 2mPiden: CP=x

* En el trapecio AHPC (trazamos la base media:x

MR ...(I)+

= 3

2

* En el D BQG(NS=2); MR =NS=2Luego:En (I)

x+=

32

2

® x=1


1. ABCD es un trapecio (BC // AD), M es punto medio deAB y N es punto medio de MD. Si B y D distan de ACen 16u y 19u respectivamente, entonces la distancia(en u) de N a la diagonal AC es:

a) 4.0 b) 4.5 c) 5.0 d)5.5 e)6.02. En un cuadrilátero convexo ABCD, AB=AD y el ángulo

BAC=19°.Si la medida del ángulo CAD=57° y la medidadel ángulo BDC=30°, entonces el ángulo BCA mide:a) 30 b) 15 c) 18 d) 36 e) 32

3. En un polígono convexo de n lados (n≥3), desde (n-4)lados consecutivos se trazan (2n+1) diagonales medias.Entonces el máximo número de diagonales medias delpolígono convexo esa) 15 b) 21 c) 28 d) 36 e) 45

4. En un trapecio rectángulo ABCD, la medida del ángulo

BCD es igual a la medida del ángulo CAD =90°y elángulo BAD mide 75°.Si en la prolongación de BA seubica el punto T tal que la medida del ángulo ADT=30°

y AD=2CD, entonces la medida del ángulo BCT es:a) 40 b) 60 c) 45 d) 70 e) 65

5. Se tiene el cuadrilátero ABCD no convexo en D. SiAD=CD=BC y la medida del ángulo ABC menos lamedida del ángulo BAD es 60°, entonces el ángulo DCBmide:a) 45º b) 30º c) 60º d) 53º e) 75º

º53

2

º37

2

3

H

A M C

x

PRG

N4

Q S

m

m

B


31/111

228

6. ¿Cuál es el único polígono en la que su número dediagonales es el triple de su número de lados?. Darcomo respuesta su número de diagonales medios.a) 27 b) 36 c) 45 d) 72 e) 18

7. Si el número de diagonales medios excede a su númerode diagonales de un cierto polígono en 8 unidades.¿Cuál es este polígono?a) Octógono b) De 16 lados c) Hexágonod) Triángulo e) Decágono

8. Desde 4 vértices consecutivos se han trazado comomáximo 55 diagonales. ¿Cuántos diagonales tiene elpolígono?a) 45 b) 15 c) 90 d) 27 e) 170

9. En un cierto polígono; el número de ángulos rectos aque equivale la suma de sus ángulos interiores excedea su número de lados en 5. ¿Cuántas diagonales mediastiene el polígono?a) 20 b) 15 c) 10 d) 5 e) 8

10. Si el número de lados de un cierto polígono seaumenta en 3 unidades, su número de diagonales

aumentará en 21 unidades. ¿Decir que polígono es?a) Hexágono b) Heptagono c) Nonágonod) Octágono e) N.A.

11. La diferencia entre el número de diagonales decierto polígono regular y el número de ángulos rectos aque equivale la suma de los ángulos internos es 19.Hallar su número de diagonales medios.a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60

12. Dado un trapecio ABCD ( ) BC AD// , m Ð A = 60º y mÐ C = 150º. Hallar “AD”, si: AB = 4 y BC = 3.

a) 10 b) 7 c) 11 d) 14 e) 12

13. Dado un cuadrado ABCD, se toman los puntos E, F, G y H sobre los lados AD yCD BC AB ,, ,respectivamente de modo que AE = AH = CF = FG.Hallar el perímetro del cuadrilátero EFGH, si ladiagonal del cuadrado es 10u.

a) 5u b) 10u c) 20u d) 15u e) 25u

14. Por los vértices B y C de un trapecio ABCD ( AD BC // y BC < AD), se trazan las paralelas a los

lados no paralelos cortándose en un punto “E” de lamediana del trapecio. Si BC = 8m. Calcular “AD”.

a) 16m b) 24 m c) 32 m d) 82 m e) 12 m

15. Si las distancias de los vértices de un triángulo ABCa una recta exterior son 6, 14 y 2 unidadesrespectivamente. Calcular la distancia del punto mediode MN a la recta exterior siendo M y N puntos mediosde AB y AC respectivamente.a) 6u b) 7u c) 11u d) 10u e) 12u


32/111

229

DEFINICI NEs el conjunto de puntos de unmismo plano equidistantes de otropunto del mismo plano llamado

centro.

ELEMENTOS Y L NEASNOTABLES

Centro: O

Radio:

Cuerda:Secante: PQTangente: T

Flecha:Arco: PQ

NGULOS EN LA

CIRCUNFERENCIA

Ángulo central

Ángulo inscrito

Ángulo semi- inscrito

Ángulo interior

Ángulo exterior

PROPIEDADES

EA=EB

Si:Þ AH = HB

Si:

Þ

TEOREMASIMPORTANTES

TEOREMA DE PONCELET

TEOREMA DE PITHOT

TEOREMA DE STEINER

POSICIONES RELATIVAS DE DOSCIRCUNFERENCIAS

1. Circunferencias exteriores.2. Circunferencias tangentes exteriores.3. Circunferencias tangentes interiores4. Circunferencias secantes5. Circunferencias ortogonales.6. Circunferencias concéntricas.7. Circunferencias interiores.


33/111

230

CAPITULO - IV

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

LA CIRCUNFERENCIAINTRODUCCIÓN:Las necesidades que el hombre tiene, hace que descubra oinvente cosas, es así como generó la rueda, la cual fue y esde mucha utilidad; ella tiene forma de una circunferencia.La circunferencia es una figura cuya forma y perfección

es de mucha utilidad; ella a favorecido a diversosprogresos de la humanidad como por ejemplo: cuando sequiere trasladar una carga extremadamente pesada (cajasfuertes, maquinarias pesadas, etc), todavía se utiliza confrecuencia un sistema que los egipcios ya lo habían usadoal construir sus pirámides; dichos sistemas consisten encolocar la carga sobre una plataforma, la cual seencuentra sobre unos rodillos; cuando se tira de laplataforma los rodillos que quedan rezagados sonrecogidos y vueltos a colocar por delante.Esto permite darnos cuenta de la importancia de estafigura; para un estudiante de geometría el conocerla lepermitirá entender otras propiedades que más adelante

se estudiarán.DEFINICIÓN:Es la figura plana cuyos puntos equidistan de un punto fijodel mismo plano. Al punto del cual equidistan los puntos de unacircunferencia se denomina centro entre él y un punto dela circunferencia se denomina radio.ELEMENTOS:· Centro : “O” · Diámetro : AB · Radio : OB y OD · Arco :· Cuerda : MN · Flecha o sagita : RK · R. Secante : CD· R. Tangente: TS· Pto. de Tangencia: T

PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA:

01. Angulo Central

A

x

B

02. Angulo Inscrito

A

x

B

03. Angulo Semi Inscrito A

x

B

04. Angulo Ex inscrito

A

xB

C

OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :

Ø

Definir la circunferencia, el círculo y conocer las diversas líneas asociadas a la circunferencia.Ø Conocer el concepto de arco y las propiedades de los arcos y los ángulos asociados a la

circunferencia.Ø Definir el cuadrilátero inscrito y conocer sus propiedades.

ABx =

2

ABx =

2

ABx =

2ABCx =

K

RNM

B AO

D

C

T

S

r

r

BD

0


34/111

231

05. Angulo Interior

A

x

B

C

D

06. Angulo Exterior

Ax

B

C D

07.

Ax

B

C

08.

A

x

B

P

09. Teorema:

Si CD//AC

A B

C D

10. Teorema:Si “M” es punto de tangencia.

0

R

M

L

Tangente

11. Teorema:Si: CDAB = \

A

B

C

D

12. Teorema:

Si el diámetro AB es perpendicular a MN

A0

0

M

N

B

13. Teorema:

qq P

0

A

B

14. Si las circunferencias son iguales.

Q

P

A

B

15. Si: PA y PB son tangentes.

A

B

R

P

16. Si las circunferencias son concéntricas:

2

CDABx

+=

2

ABAPBx

-=

OM L

ONMO =

PB AP =

AQBAPB =

R PBPA ==

2

ABCx

_ =

2

AB ACx

- =

B AC=

C AB =


35/111

232

A

D

F

B

C

E

17. Si: A, B y C son puntos de tangencia.

AB

x

C

18. Si: MBAM = , P y Q son centros.

AB

x

QP

M

19. Si: “P” es punto de tangencia.

A

BC

D

P

20. Circunferencias Exteriores.

QP

r R

r R PQ +>

21. Circunferencias Interiores.

R

P Q

r

22. Circunferencias Tangentes Interiores.

tangentecomún

R r

P Q

23. Circunferencias Tangentes Exteriores.

tangentecomún

r

P Q

24. Circunferencias Secantes.

Rr

P Q

A

B r R PQr R +


36/111

233

28.Teorema de Steiner.

B

C

D

A

BCADABCD -=-

29. 2

ACBCABP

++=

M

B

N AC

PCNMC ==

30. Tangentes Comunes Interiores.

M B

A N

P Q

MNAB =

31. Tangentes Comunes Exteriores.

B

N

A

M

MNAB =

CUADRILATEROS INSCRITOSEl cuadrilátero inscrito es aquel cuyos cuatro vérticespertenecen a una circunferencia.


1. Calcule x, si AB=BC =DE=FE y m ¼ABC º= 120 .

a) 60ºb) 70ºc) 40ºd) 30ºe) 50º

SOLUCIÓN

Como:


37/111

234

3. Según el gráfico, calcule » »m T C m B C,+ siA B BC=

a) 120ºb) 150ºc) 180ºd) 100ºe) 90º

SOLUCIÓN

En la semi circunferencia el m < TBC es recto

Þ El D ATC es isósceles.Þ » »A T TC= =2x; luego, en el gráfico» » ( )TC BC 2 2 2= = a + b = a + b =180º

90º=180º

4. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC intersecta

a AC Y BC en M y N respectivamente; luego se

traza la altura AH (H en BN ). Si AB NC= ym ABC 70º< = . Calcule m HMN< .

a) 10º b) 20º c) 15º d) 18º e) 12º

SOLUCIÓN

A N H M :W Inscriptible

® m H A N x=S …. (propiedad)B A N :D Isósceles (AB=AN)

® 2x = 40º\ x = 20º

5. Una circunferencia se encuentra inscrita en untrapecio ABCD cuyo perímetro es 20 m. Calcule lalongitud de la base media de dicho trapecio.

a) 2,5 b) 5 c) 7,5 d) 10 e) 12

SOLUCIÓNDato:Perímetro=20Teorema PithotBC + AD = AB + CD = 10

® Base media =BC AD 52

+=


1. Los segmentos de una cuerda que se corta con otramiden 8m y 9m. Hallar los segmentos de la otra,sabiendo que uno es el triple del otro.

a) 2 6 , 2 6 b) 6 6 , 6 6 c) 2 6 , 6 6

d) 6 2 , 2 2 e) N.A.

2. Un punto P dista 2 pulgadas del centro de unacircunferencia de 7 pulgadas de radio. Calcular elproducto de los segmentos de toda cuerda que pasepor ese punto.

a) 40 pg2 b) 45 pg2 c) 90 pg2

d) 22.5 pg2 e) 84 pg2

3. La secante PCA pasa por el centro de lacircunferencia. Si PB = 24, PD = 8, PC = 6. Hallar eldiámetro de la circunferencia, sabiendo que PDB essecante a la misma circunferencia.

a) 24 b) 25 c) 26 d) 30 e) 36

4. Si AB es tangente y ADC pasa por el centro de unacircunferencia de centro “O”; hallar AB si: OA = 17 yOD = 8.

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

5. Dos de los lados de un triángulo son 3m , 4m y la alturarelativa al tercer lado es 2m. Calcular el radio de lacircunferencia circunscrita.

a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) 6m

6. OA y OB , son radios de una circunferencia de centro“O”, sobre el menor arco AB se toma el punto F. Si elángulo AFB mide 130º, hallar la medida del ánguloAOB.

a) 130º b) 65º c) 50º d) 100º e) N.A.

7. En la figura, AE es diámetro y N es punto detangencia. Hallar el valor de “x”.

a) 15ºb) 18ºc) 12ºd) 20ºe) 10º8. En la figura adjunta P, Q, R, S y T son puntos de

tangencia. El B̂ mide 44º. Hallar el valor de “x”.a) 44ºb) 68ºc) 22º

B

M C

HN

70º

x x

x

A

B C

A D

O EA C

NB

x

2x

B

PQ

T

x

A S R C

b a

a 2

b 2

a


38/111

235

d) 46ºe) 23º

9. En la figura: a + b = 136º. Hallar la medida del arcoAD.

a) 68ºb) 64ºc) 100ºd) 132ºe) 136º

10. Se trazan dos circunferencias tangentesinteriormente. Se traza el diámetro TB de lacircunferencia más grande; a partir del punto detangencia T. Desde B se traza una tangente a lacircunferencia menor hasta C, se une T con C y seprolonga hasta cortar a la circunferencia mayor en D.Si el arco BD = 50º, calcular:* m Ð DCB * m Ð CBT

a) 65º y 40º b) 80º y 90º c) 60º y 45ºd) 10º y 50º e) 70º y 75

11. Desde un punto exterior a una circunferencia, setrazan dos tangentes TA y TB . Por A se traza eldiámetro AC . Se une T con el centro “O” de lacircunferencia, esta recta la corta en D. Si el ánguloTDC = 150º, calcular el ángulo ATB.

a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º

12. En una circunferencia de centro “O” se traza eldiámetro AB y se prolonga una magnitud BC igual aldiámetro. Se traza la tangente CT . Si el ángulo ACT =19º 28’ 16”. Calcular m Ð TAC.

a) 35º 15’ 52” b) 36º 18’ c) 10º 20’ 15” d) 36º 20’ 50” e) N.A.

13. Haciendo centro en los vértices de un triángulo ABCse trazan circunferencias tangentes exteriormentedos a dos. Hallar el radio de la circunferencia menor,si AB = 5, AC = 7 y BC = 8.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

14. Se da un triángulo rectángulo ABC. Se traza la altura AH relativa a la hipotenusa. Si los radios de lascircunferencias inscritas en los triángulos rectángulosBHA, AHC y BAC miden 3m, 4m y 5m,respectivamente. Hallar AH .

a) 10m b) 12m c) 14m d) 16m e) 20m

15. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si lasradios de las circunferencias inscritas y circunscritasmiden 4m y 13m.

a) 60m b) 80 m c) 90 m d) 100m e) 120m

A

D

C

M

b a


39/111

236

PROPORCIONALIDADDE SEGMENTOS

Razón de Segmentos

Segmentos proporcionales

Teorema de Thales

Casos

APLICACIONESTeorema de la Bisectriz interior

Teorema del Incentro

Teorema de la Bisectriz exterior

Semejanza de Triángulos

APLICACIONESTEOREMA DE MENELAO

a.c.e = b.d.f

TEOREMA DE CEVA

a.c.e = b.d.f

RELACIONESMÉTRICAS EN EL

TRIÁNGULORECTÁNGULO

1) D CHB ~ D BHA ~ D ABC

2)

3)

4)

5)

6)RELACIONES M TRICAS EN

EL TRIÁNGULOOBLICUÁNGULO

RELACIONESMÉTRICAS EN LACIRCUNFERENCIA


40/111

237

A E

B F

C G

D H

B

a m

E F

b n

A C

CAPITULO - V

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

PROPORCIONALIDAD:

PRINCIPALES TEOREMAS:1. TEOREMA DE LAS PARALELAS EQUIDISTANTES

“Tres o más rectas paralelas y equidistantes determinansobre cualquier recta secante, segmentos congruentes ”.

Si L 1// L 2// L 3 // L 4

Entonces: GHFGEFCDBC AB

@@@@

2. TEOREMA DE THALES DE MILETO.-“Si tres o más rectas paralelas son cortadas por 2rectas secantes, los segmentos determinados en laprimera secante secante son proporcionales a lossegmentos determinados en la segunda secante”.

Si L 1// L 2// L 3 // L 4 Entonces

GH

CD

FG

BC

EF

AB==

También podría ser:

FH

EF

BD

AB

GH

EG

CD

AC == ;

Casos ParticularesA) En el Triángulo (EF // AC )

CB

AB

n

b

m

a==

EAEB

FCFB;

BAEB

BCFB ==

B) En el Trapecio

OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :v Reconocer las principales figuras cuyos segmentos asociados a ellas guardan propiedad de

proporcionalidad.v Establecer ciertas relaciones entre las diferentes líneas que puedan existir en una determinada figurav Dar a conocer las principales figuras, cuyos segmentos asociados a ellas guardan propiedad de

proporcionalidad.v Establecer relaciones entre las diferentes líneas que puedan existir en una determinada figura.

v Usar los conceptos y propiedades básicas, así como los teoremas que existen para solucionar diversosproblemas que se puedan presentar.


41/111

238

m n AB

F

C

a b

a = b

m n

a=

m

b n

CI= a + b

IF cI: Incentro del ABC

AB

C

a bI

Fc

A

B

C c

a

bm

l

n

a.b.c = m.n.l

Prolongación

A

B

Cc

a

bm

n

b

a.b.c = m.n.l

l

a = bm n

a = mb n

AB

C

c

a b

mn

B

C

c a

m n A

A

x

B

C

c

ab

mn

Si AD//BC//PQ

Entonces

DC

AB

n

y

m

x==

3. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR“En todo triángulo, los lados laterales a una bisectriz son

proporcionales a los segmentos determinados por la bisectrizdel lado opuesto”.

4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR“En todo triángulo una bisectriz exterior determina sobre laprolongación del lado opuesto, segmentos proporcionales alos lados laterales a dicha bisectriz”.

5. TEORÍA DEL INCENTRO“En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en 2segmentos que son proporcionales a la suma de las longitudesde los lados laterales y al lado donde cae la bisectriz”.

6. TEOREMA DE MENELAO“En todo triángulo al trazar una recta secante a doslados pero no paralela al tercer lado, se forman seissegmentos consecutivos. Empezando.”

7. TEOREMA DE CEVA“En todo triángulo al trazar tres cevianas concurrentes,empezando por cualquier vértice, se cumple que: Elproducto de las longitudes de tres segmentos noconsecutivos es igual al producto de las longitudes de losotros tres”.

8. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNABISECTRIZ INTERIOR.

9. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNA

BISECTRIZ EXTERIOR.


42/111

239

DIVISIÓN ARMONICA DE UN SEGMENTO Dados unsegmento, dos puntos un sobre el y otro en suprolongación lo dividen en media y extrema razón, si losdos primeros segmentos parciales son proporcionales altotal y el tercer segmento parcial.

SEMENJANZA DE TRIANGULOSDEFINICIÓN:Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos deigual medida y la longitud de sus lados homólogosrespectivamente proporcionales.

LADOS HOMÓLOGOS:

Se denomina así a los lados que se oponen a ángulos deigual medida.

CASOS DE SEMEJANZA:Primer Caso :Si tienen dos ángulos de igual medida.

a° a°b° b°

Segundo Caso :Si tiene dos lados cuyas longitudes son respectivamenteproporcionales y el ángulo comprendido entre dichos ladosde igual medida.

a° a°

a

b

a.k

b.k Tercer Caso :Si tienen sus tres lados cuyas longitudes sonrespectivamente proporcionales.

a

b

a.k

b.k

c.k

NOTA :En dos triángulos semejantes las longitudes de sus ladoshomólogos son proporcionales, así como sus elementoshomólogos: alturas, bisectrices, medianas, inradios, etc.

b° b°

a° a°q° q°

r r h hc f

a d

b e A

EB

DC F

11

COROLARIOS:1. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen

un ángulo agudo congruente.

Si :ÙÙ

@ D A , entonces ABC ~ DEF

2. Toda recta secante a un triángulo y paralela a uno delos lados, determina dos triángulos semejantes.

Si AC MN // entonces DMBN ~ DABC

3.- Todo triángulo es semejante al triángulo formado alunir un vértice con los pies de las alturas trazadas desdelos otros dos vértices.

El cuadrilátero APQC es inscriptible.

Luego :Ù

BPQ @ Ù

ACB yÙ

BQP @ Ù

BAC v Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienensus catetos proporcionales


43/111

240

v Todo triángulo es semejante al triángulo formado pordos de sus lados y la ceviana relativa a uno de estoslados, la cual forma con el otro un ángulo que escongruente al ángulo del triángulo opuesto a dicho lado.

Si a dos rectas secantes se trazan dos rectas paralelasestas determinarán triángulos semejantes.


1. En la figura, calcule BF si: A E 3E C 2

= , CD=6

a) 6 2

b) 7 2

c) 8 2

d) 9 2 e) 12 2

SOLUCIÓN1) Corolario de Thales:

AE BD

EC CD= ... (I)

2) Reemplazando los datos en (I):3 BD

BD 92 6

= ® = ..... (II)

3) BDF (notable)

BF BD 2= ... (III)4) (II) en (III)

® BF 9 2=

2. En la figura, calcule AB, si: BD=4 y DC = 5a) 6b) 8c) 9d) 12e) 15

SOLUCIÓN

1) Dato: BD = 4, DC = 52) Teorema de bisectriz

x 4 5y x

y 5 4= Þ = ... (I)

3) Teorema de Pitágoras enABC

2 2 2y x 9= + ... (II)4) (I) en (II)

2

25 x x 814

æ ö= +ç ÷

è ø

9 2x8 1

1 6 =

2x 144= ® x 12=

3. En la figura, calcule CF, si: AD=3 y DC=2.

a) 5b) 6c) 8d) 10e) 12

Si : ,

Si ,

entonces DABF ~ DABC

A

NM

C

B

Si

entonces DMNB ~ DABC

a a

a a

4 5 º 4 5 ºF

C AE

B

D

a a


44/111

241

D

M

Ax

C

E

B N 8

8

1 0

Pb

b

aq

aa

a

q

4

SOLUCIÓN

1) Dato: AD = 3, DC = 3 yDC = 2

2) Teorema de bisectrizc 3

a 2= ... (interna) (I)

c 5 x

a x

+= ...(externa) (II)

3) Igualando3 5 x

2 x

+= ..División armónica

3x 10 2x= +

® x 10=

4. En la figura, calcule CF. Si: AE= 4 y EC= 2

a) 6b) 8c) 10d) 12e) 16

SOLUCIÓN

1) Dato: AE = 4 , EC = 22) Teorema de Ceva

ab (2) = dc (4) … (I)3) Teorema de Menelao

ab x= dc (6+x)… (II)

4) Dividiendo(I) y (II)

2 4

x 6 x=

+ ... Div. Armónica

4x 12 2x= +

® x= 6

5. En un cuadrilátero ABCD circunscrito a unacircunferencia, los lados AD y BC son tangentes a la

circunferencia en M y N respectivamente, MN

intersecta a AC en P, si PC = 10, NC = 8 y AM =4; calcule AP.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8SOLUCIÓN

1) Dato:PC = 10, AM = 4, NC = 8

2) Trazar CE//AD ángulos alternosinternos à m< MEC = α

3) Ángulo Seminscrito

· · »mMN

mAMN mBNM2

= = = a

4) NCED es isóscelesNC EC 8= =

5) APM EPCD D: Caso AAA

8x = 40x = 5


1. Se da un trapecio con bases 2m y 6m y con altura 4m.Hallar la distancia del punto de intersección de loslados no paralelos a la base mayor.

a) 2m b) 4m c) 6m d) 8 m e) 10 m

2. Se da un triángulo ABC cuyo lado BC mide 6m y laaltura AH = 4m. Hallar el lado del cuadrado inscritoque tiene uno de sus lados en el lado BC del triángulo.

a) 2m b) 2.4m c) 2.6 m d) 2.8 m e) 3m

E A

B

CF

E A

d

CF

B

b

ac

4 2 x

(6+x)

ab

x=

10

4 8


45/111

242

3. Se da un triángulo ABC cuyos lados BC y AC miden10m y 8m respectivamente. Por un punto D de AB setraza DE paralelo a AC de modo que DE = EC – BE,estando E en BC . Hallar EC.

a) 6 m b) 8 m c) 6.4 m d) 6.8 m e) 10m

4. Se da un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D.Las bases miden AB = 2 y DC = 8m. Hallar la altura si B M ˆ C = 90º. (M está a 1/3 de la altura).

a) 6m b) 2 m c) 6 2 m d) 8 m e) 8 2 m

5. Se da un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D.Las bases miden AB = 4 m y DC = 16 m. Hallar la alturasi las diagonales son perpendiculares.

a) 8 m b) 10 m c) 12m d) 18 m e) 20 m

6. Se dá un rectángulo ABCD en el cual CD = 2AD. Por Bse traza BE perpendicular a AC . Hallar CE, si E estáen CD y ED = 6m.

a) 6m b) 4m c) 2 m d) 8 m e) 10 m

7. Un cuadrado DEFG se halla inscrito en un triángulorectángulo ABC, de modo que FG pertenece a lahipotenusa BC . Hallar el lado del cuadrado, si BF =16m, GC = 25 m.

a) 10m b) 20 m c) 30 m d) 60 m e) 80 m

8. Se da un triángulo ABC, cuyos lados AB y BC miden8m y 6m respectivamente. Sobre AB se toma el puntoD; si B Â C = B C ˆ D. Hallar AD.

a) 3m b) 4m c) 3,5 m d) 8 m e) 10 m

9. Se dan dos circunferencias cuyos radios miden 6m y2m. si la circunferencia menor tiene su centro en un

punto de la mayor, hallar la distancia del punto deintersección de la tangente común con el segmento queune los centros, al centro de la circunferencia menor.

a) 2m b) 3m c) 4m d) 8m e) 10 m

10. Se da una circunferencia de centro “O” y dediámetro AB . Se traza la cuerda RS que corta a OAen P. Hallar el radio de la circunferencia, si AP = 2m,PS = 8m y AS RB 3=

a) 10 m b) 13 m c) 15 m d) 18 m e) 20 m

11. Por el baricentro de un triángulo ABC se traza unarecta (B con C están a un mismo lado de la recta).Hallar la distancia de C a la recta, si las distancias deB y A a la misma son 4m y 6m respectivamente.

a) 2m b) 4m c) 6m d) 8 m e) 10 m

12. Se da un trapecio ABCD cuyas diagonales AC y BD se cortan en E. Por B se traza una paralela a AD quecorta a AC en F. Hallar EF, si AE = 6m, EC = 15m yCD > AB.

a) 2,4m b) 3 m c) 3,6 m d) 8 m e) 4,2 m

13. Se da un triángulo rectángulo ABC cuyos lados midenAB = 3m, AC = 4 y BC = 5m. Desde el punto medio Mdel lado AC se baja MD perpendicular a BC y luegose traza, DE perpendicular a AB . Hallar BE.

a) 2m b) 2.04m c) 6m d) 20 m e) 8.01 m

14. Se da un triángulo ABC, en el cual se traza lamediana AM , luego se construye el ángulo A M ˆ D = B̂

y por D se traza una paralela DE al lado BC ,cortando a AM en F. Hallar DF, si AF = 8m y FM =2m.

a) 2m b) 4m c) 6m d) 8m e) 10m

15. Se da un paralelogramo ABCD. Por B se traza unasecante que corta a AC ( AC es diagonal) en E, a AD en F y la prolongación de CD en G, de modo que:BE = 3m y EF = 2m. Hallar FG

a) 2m b) 2.5m c) 8 m d) 10 m e) 12 m


46/111


47/111

244

h = m . n2

a = m. c b = n . c2 2

CAPITULO - VI

RELACIONES MÉTRICAS

RELACIONES MÉTRICASA) RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

RECTÁNGULO

Elementos de un triángulo Rectángulo.a y b = Son las longitudes de los catetos AC y BC .

c = Es la longitud de la Hipotenusa AB h = Es la altura relativa a la Hipotenusa.m = Es la longitud de la proyección del cateto BC

sobre la hipotenusa.n = Es la longitud de la proyección del cateto AC

sobre la hipotenusa.

- Los siguientes teoremas nos describen las principalesrelaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura yproyecciones de un triángulo rectángulo.

TEOREMA 1“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto esigual al producto de su proyección por la hipotenusa”.En la figura se cumple que:

TEOREMA 2 (Teorema de Pitágoras)“En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados delos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.En la figura se cumple que:

TEOREMA 3“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la alturarelativa a la hipotenusa es igual al producto de las

proyecciones de

jugando con la geometria.pdf

Documents