JAQUEMTICA

TAITA + MANDE DINERO

hgvalquiSEGUNDO TOMO

2010

editoras

hgvalqui Derechos reservados JAQUEMTICA Segundo Tomo Primera edicin digital Mayo, 2010 Editor: Vctor Lpez Guzmn

A la memoria de Eva Rosa A la salud de AnnaMara

Estas lneas pretenden ser un respetuoso saludo; no una acusacin

P r e s e n t a c i n Presentacin

Este es el fruto de un trabajo dominical, que refuerza el aforismo que dice: Las personas muy ocupadas siempre encuentran tiempo para hacer lo que les gusta o lo que consideran importante. Aunque siempre es dudoso que los dems lleguen a compartir mis gustos, confo en que, al amparo de las aventuras matemticas, haya quienes disfruten de las situaciones presentadas. Propiamente slo se requieren los conocimientos que suelen adquirirse en secundaria. Propiamente. A pesar de mis repetidos clculos verificativos, es posible que se me hayan pasado algunos errores. Slo puedo argumentar que puse todo mi empeo para que ello no sucediese; pero ... Los dibujos fueron elaborados, con mucha paciencia, por E. Ascanio.

B i b l i o g r a f a Bibliografa

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W. .ickert: Krbungen zum Denken; Vandenhoeck & Ruprecht, 1982 H. Hemme: Heureka, Vandenhoeck & Ruprecht, 1988 H. Hemme: Mathematik zum .rhstk, Vandenhoeck & Ruprecht, 1990 M. Gardner: Mathematical Puzzles and Diversions, Scientific American. Y. Perelman: Algebra Recreativa, Mir, 1978 H. Rademacher-O. Torplitz: The Enjoyment of Mathematics, Princeton University Press, 1957 R. Sumullyan: Schach mit Sherlock Holmes. Otto Maier Verlag Ravensburg, 1981 M. Mataix: 100 Problemas sobre Lgica y Matemtica, Marcombo-Boixaren, 1981

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INDICENOTA: Los nmeros de las pginas se refieren al TEMA (::),al Primer Comentario (#), al Segundo Comentario ($) y al Tercer Comentario (&); no todos los temas tienen tres comentarios. Pgina # $ & * * * *

:: 76:: 77:: 78:: 79:: 80:: 81:: 82:: 83:: 84:: 85:: 86:: 87:: 88:: 89:: UNA ECUACIN BIEN .CIL HAY QUINES OCULTAN SU EDAD CUL ES LA DISTANCIA ENTRE LOS 2 PUNTOS MS CERCANOS? DOS PUNTOS TODAVA MS CERCANOS DOS ANILLOS PARA SER BAADOS EN ORO NMEROS IMPOSIBLES? TRINGULOS CRECIENTES SUMAS DE QUEBRADOS MINIMALES LOS QUEBRADOS DE LA .ORMA n/(n+1) EL .ANTASMA DE .IBONACCI LAS POTENCIAS DEL NMERO 2 DOS SMBOLOS PARA REPRESENTAR A CUALQUIER NMERO PARA ENCONTRAR RAPIDSIMAMENTE UN CIERTO NMERO AS SUMAN LAS COMPUTADORAS

259 369 435 260 369 436 261 370 436 361 371 436

262 371 437 489 263 372 437 *

264 372 438 489 265 374 438 266 374 * * * *

269 376 439

271 376 439 491 273 379 441 492 278 379 442 494 280 380 442 496

90:: 91:: 92:: 93:: 94:: 95:: 96:: 97:: 98:: 99:

CMO EMPAREJAR Y DESEMPAREJAR CONJUNTOS GANA QUIEN COJA EL LTIMO PALITO REAS Y PERMETROS DE RECTNGULOS EL .ANTASMA DE PITGORAS TODOS LOS TRIPLETES SESENTA GRADOS SIN TRANSPORTADOR PASA O NO PASA , ESA ES LA CUESTIN AL.ILERES ELPTICOS LA MONEDA .ALSA ES MS LIVIANA MS RPIDO QUE LA LUZ !

284 381 444

*

288 383 445 498 294 384 446 296 385 446 * *

301 386 449 499 304 387 450 305 388 450 307 388 451 * * *

309 390 451 499 310 392 452 500 312 392 453 500 314 393 454 *

100: UNA .AMILIA DE CURVAS CRECIENTES 101: MS LARGA QUE DE AQU AL SOL 102: MIL SEMICIRCUN.ERENCIAS 103: UNA PARTE DE UN CUERPO RGIDO NO PUEDE MOVERSE CON RESPECTO A OTRA PARTE DEL MISMO CUERPO RGIDO 104: QUIERAS O NO, VAS A DAR VUELTAS ALREDEDOR MO 105: USTED Y ELLA, SOLOS EN EL ESPACIO 106: UNA U INDE.ORMABLE 107: T DESCRIBES CIRCUN.ERENCIAS Y YO GIRO 108: CUNTAS VUELTAS HE DADO YO ALREDEDOR DE...?

314 393 454 500

315 393 455 501 319 395 456 501 320 396 457 321 397 * * * * *

323 398 458 324 400 *

109: EL DANUBIO AZUL? 110: GIRANDO EN EL SITIO 111: ROTA LA LUNA ALREDEDOR DE LA TIERRA? 112: EL SOL ROTA ALREDEDOR DE LA TIERRA 113: LA TIERRA ROTA ALREDEDOR DEL SOL 114: LA LTIMA CI.RA DE 3 A LA POTENCIA MIL 115: LA LTIMA CI.RA DE UNA OPERACION ENTRE NMEROS MUY GRANDES 116: UN PASEO VERMI.ORME 117: UNA BICICLETEADA 118: LA VENGANZA DEL PRO.ESOR 119: DE LIMAPAMPA A RUNAPAMPA 120: LA IMAGEN ESPECULAR DE UN NMERO 121: LA INCGNITA APARECE IN.INITAS VECES 122: CATENARIA Y CANDELARIA 123: UN NADADOR INSCRITO EN UNA CIRCUN.ERENCIA 124: BUSCANDO UN PUNTO 125: UN TRINGULO ATIGRADO 126: UNA ECUACIN ESPECIAL 127: LA RAZ DCIMA DE DIEZ 128: A VECES LA CALCULADORA NO ES UNA AYUDA 129: EL .ACTORIAL

324 400 459 325 401 460

* *

326 401 460 501 326 401 461 502 326 402 461 502 327 402 463 502 328 403 464 *

329 404 465 503 330 406 467 503 331 407 467 503 331 408 467 *

333 409 468 505 335 410 468 *

335 411 469 505 336 411 469 505 337 412 469 506 339 412 470 506 340 413 471 341 414 471 341 414 471 342 415 * * * * *

130: UN RECTNGULO SE TRANS.ORMA 131: UN CUADRADO SE TRANS.ORMA 132: UN PUENTE DE UN KILMETRO DE LONGITUD 133: UNA ECUACIN CON POTENCIAS 134: LA SUMA DE SEIS .RACCIONES 135: USTED ELIGE EL TIPO DE AUMENTO 136: LA SUMA DEBE SER IGUAL AL PRODUCTO 137: OTRA BICICLETEADA 138: EL PERIPLO DE LA AVISPA 139: LA RONDA MONETARIA 140: PARLELEPPEDOS PITAGRICOS 141: LA MEMORIA DE UN DADO 142: LA SUMA DE LOS PERMETROS DE IN.INITAS CIRCUN.ERENCIAS 143: UN POLIEDRO TAMBALEANTE 144: MIL MILLONES DE NMEROS CONSECUTIVOS NO PRIMOS 145: LA LONGITUD DE UNA .AJA 146: IN.ORMACIN INSU.ICIENTE 147: ERRAR ES HUMANO 148: OTRA VEZ? 149: LA DESAPARICIN DE UN CUADRADO Y UNA TAREA IMPOSIBLE 150: UN PROBLEMA CON UN NO S QU

343 415 472 507 344 416 472 507 344 417 473 *

346 417 473 508 346 418 474 509 347 418 474 509 347 419 475 510 348 420 475 *

349 421 476 510 350 423 476 510 351 423 476 511 352 424 477 513 353 426 477 515 354 427 478 355 427 479 * *

356 428 480 516 358 429 482 516 359 430 483 517 360 430 483 517 360 430 485 518 362 431 485 518

I n t r o d u c c i nIntroduccinEn su historia el hombre (luchando por su existencia y por comprender su propio universo) ha cometido innumerables errores. Nuestra herencia cultural, smbolo de nuestra superioridad en el reino animal, consiste precisamente en atesorar los conocimientos que nos ofrecen la posibilidad de evitar la repeticin de los mismos errores que cometieron nuestros antepasados. Bastante se ha logrado en el terreno tcnico-cientfico; pero todava no hemos aprendido a evitar la repeticin de los errores que hoy nos llevan a guerras, a discriminaciones torpes y a un hedonismo enfermizo. Siguiendo la mencionada lnea de aprender de nuestros errores, algunas de las sugerencias ofrecidas en el texto sern incorrectas. Entonces el lector debe mantenerse atento; si descubre alguna sugerencia equivocada (Atencin: si la descubre; que no es lo mismo que ya me la dijeron), debera sentirse como el conquistador de un trocito de conocimiento. Ms adelante, en los dilogos o en los comentarios, se ofrecer la respuesta correcta (?) y las caractersticas del error cometido.

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m

a

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T

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Temas

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76 ::Pedro:

Una ecuacin bien fcil

Mira, el profesor nos ha dejado como tarea resolver este problema: Determinar todos los valores numricos que puede tomar x para satisfacer la ecuacin algebraica: (x + 25)/2 = (5x - 25x)/(x-5), Pero yo no recuerdo bien cmo debo proceder Me ayudas, Mario?

Mario:

Por supuesto! El asunto es fcil; primero das comn denominador: (x-5)(x+25) = 2(5x-25x) as ya no tendrs a la incgnita en el denominador. Observa que en el segundo miembro tambin puedes factorizar (x-5), es decir, (x-5)(x + 25) = 10x(x-5) A continuacin pasas todo al primer miembro, y obtendrs (x-5)(x + 25 - 10x) = 0 Ahora, si recuerdas ciertas identidades algebraicas, podrs darte cuenta que el segundo parntesis es justamente el cuadrado de x-5, es decir, la ecuacin dada se reduce a algo muy simple: (x-5)3 = 0

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que tiene a x=5como nica solucin. Recuerda que, normalmente, una ecuacin de tercer grado, como la que te han dejado como tarea, tiene tres soluciones - o races, como suele decirse -, pero en este caso hay slo una solucin. Entendiste el asunto? Pedro: Por supuesto! Maana me luzco en la clase.(ver pg. 369)

77 ::Quique: Julia:

Hay quienes ocultan su edad

Qu edad tiene Ud., Julia? Bueno, yo soy un poco anticuada, no me gusta decir mi edad as noms. Pero como t eres un chico listo s te la voy a decir; pero indirectamente. Veamos si lo que has aprendido en el colegio te sirve de algo. Pon atencin: Cuando t tengas la edad que yo tengo, yo tendr el triple de la edad que actualmente tienes t. Por otra parte, si sumamos la edad que yo tendr, cuando t tengas la edad que yo tengo, con la edad que t tenas, cuando yo tena la edad que t tienes, entonces obtendremos 30 aos

Quique:

Cmo, cmo? [Determine la edad de Julia y de Quique, y verifique que, efectivamente, se cumplen las condiciones mencionadas por Julia](ver pg. 369)

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78 ::

Cul es la distancia entre los dos puntos ms cercanos?

Antonio:

Ral, mira este rectngulo de 6 cm por 2 cm,6

2

.ig. 84 Rectngulo de 6 cm. por 2 cm.

Quieres apostar que no eres capaz de colocar 5 puntos dentro de l, de manera que no haya un par de puntos cuya distancia sea menor que 10 cm? Ral: Que no puedo? Ests chiflado! Espera un momento ...(ver pg. 370)

79 ::Leonor:

Dos puntos todava ms cercanos

El caso anterior puede ser mejorado: Sea como sea que se coloquen los cinco puntos, siempre existirn dos puntos cuya distancia no es mayor que 2.5 cm. Eso es difcil creerlo!(ver pg. 371)

Ral:

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80 ::Cliente:

Dos anillos para ser baados en oro

Aqu traigo el dibujo de dos anillos planos metlicos de espesor insignificante, uno de los cuales es ms grande que el otro (su circunferencia interior tiene un radio mayor). Quisiera que me los baen en oro; pero antes quisiera saber cul me va a salir ms caro.

A

B

C

D

.ig. 85 Dos anillos metlicos, de dimetros diferentes, van a recibir un bao de oro.

Joyero: Cliente:

Uhm, djeme ver su dibujo, Cunto miden los dimetros de los anillos? Ah, no s. Slo puedo decirle que las cuerdas indicadas, AB y CD son de igual longitud (se trata de cuerdas de las circunferencias mayores, tangentes a las circunferencias menores). Pero cmo cree que sin conocer los dimetros de los anillos puedo decir cul va a costar ms, ya que necesitar ms oro para el recubrimiento?

Joyero:

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Cliente: Sofa

Disculpe. En se caso ir donde otro joyero. [hija del joyero]: Mira pap, quizs no sea necesario conocer los dimetros de los anillos. Djame analizar un momento el asunto. [entre orgulloso y temeroso que la hija falle]: Sofa es mi hija. Est entre las mejores de su colegio. [triunfalmente]: Ya ves, no era necesario conocer los dimetros!(ver pg. 371)

Joyero Sofa

81 ::Maestro: Jos: Maestro: Jos: Maestro:

Nmeros imposibles?

A ver, Jos, dame un nmero entero que sea igual a su mitad! Qu pregunta! Un nmero as no existe! Entonces dame un nmero entero que sea igual a la tercera parte de su mitad. Otra vez? Ese nmero tampoco existe! Bueno, ahora dame un nmero entero que sea igual al producto de su sexta parte por su tercera parte y por su mitad. Usted se ha empeado en pedir imposibles! Has fallado las tres veces! Y en el tercer caso hay varias respuestas!(ver pg. 372)

Jos: Maestro:

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82 ::

Tringulos crecientes

Un poderoso prncipe persa hizo llamar a uno de los mejores especialistas del reino en colocar azulejos y losetas. Prncipe: He odo decir que eres el mejor albail del pas. Aqu te ofrezco un trabajo digno de tu fama: He recibido un valioso cargamento de ms de cien mil losetas en forma de tringulos rectngulos con catetos de 7 y 14 cm, de muy buena calidad, pero desafortunadamente slo en cinco vistosos colores. Quiero que con ellas cubras el piso de mi gran sala de recepcin. Pero, y aqu entran en juego tus mejores conocimientos, no deseo que en el piso hayan esos dibujos montonos que se repiten como en un tablero de ajedrez. Adems quiero que se vean tringulos de diferentes tamaos; nada de esos aburridos cuadrados que suelen verse en palacios extranjeros. Estn claros mis deseos, o no te sientes capacitado para emprender la obra que te propongo? Ahmed: El trabajo, oh poderoso prncipe, que propones a este humilde sbdito me parece digno de tu grandeza; pero todava no s si podr estar a la altura de tu propuesta. Djame una semana para pensar y consultar con mis mejores colegas.

Prncipe: Vete en paz. Espero tu respuesta en dos semanas. Dar orden para que te permitan llevar una docena de losetas para tus estudios. [Este joven est en problemas y necesita ayuda!](ver pg. 372)

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83 ::

Sumas de quebrados minimales

Profesor: Atencin, por favor! A los quebrados o nmeros racionales de la forma 1/n , donde n es un nmero natural, los llamaremos nmeros racionales minimales o simplemente minimales. Un mismo nmero puede ser escrito en diferentes formas como suma de minimales no repetidos. As 3/7 = 1/4 + 1/7 + 1/28; pero tambin 3/7 = 1/6 + 1/7 + 1/14 + 1/21. Carlos: Podra ser tambin 3/7 = 1/7 + 1/7 + 1/7?

Profesor: Ese caso es trivial; pero, podra ser. Carlos: Profesor: Podra ser que un minimal sea la suma de otros minimales? Ah, cmo? Yo iba a proponerles otro problema, pero este joven se adelant. No, no s si eso ser posible. Veamos, tendramos algo as como 1/a = 1/b + 1/c. No podra ser 1/a = 1/b + 1/c + 1/d? [un poco irritado]: Si, por supuesto. Claro, eso es posible; y podran haber ms sumandos an. Pero yo me refera al caso ms simple. Primero debemos considerar los casos ms simples. Consideremos, por ejemplo el caso de 1/10 = 1/m + 1/n. Es decir, mn = 10(m+n). Entonces, necesariamente m n deberan ser divisores de 10. Pero si tomamos m = 2 m = 5, en los dos casos obtenemos que n debera ser negativo. Entonces la suma ensayada no es posible.

Luca: Profesor

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Carlos: Profesor

Se ha olvidado Ud. que n podra ser 1 10, que tambin son divisores de 10! [sonriendo; plido]: No, no me haba olvidado. Quera ver si ustedes estn prestando atencin. Para m = 1 tambin resulta n negativo; y para m = 10 obtenemos 1 = 0. Es decir, como ya haba dicho, no existe una solucin. Y ustedes podrn verificar que tampoco existe una solucin para el caso de tres sumandos. Pero podra haber algn nmero a para el cual si existan b y c tales que 1/a = 1/b + 1/c No es cierto?

Luca:

Profesor: Podra ser, pero no me parece posible. Carlos Profesor [con voz un poco chillona]: Si uno de nosotros dijese tal cosa, seguro que lo desaprobaba! [tratando de parecer sereno]: Tiene Ud. razn. Tal vez exista alguna solucin. Queda como tarea para la casa!(ver pg. 374)

84 ::Teresa:

Los quebrados de la forma n/(n+1)

Profesor, en la reunin pasada Ud. dijo que nos iba proponer un problema con los nmeros minimales, No es as?

Profesor: S. Se trata de hallar todos los nmeros de la forma n/ (n+1) que pueden ser expresados como suma de 3

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minimales diferentes, donde n es un entero positivo y n+1 es el mnimo comn mltiplo de los 3 denominadores. Eusebio: Eso es ms o menos fcil. Por ejemplo, con lo visto anteriormente podemos escribir 1/2 = 1/3 + 1/6 Cierto? Luca: Pero son slo dos sumandos. Deberan ser tres.

Eusebio: Un momento! Todava no he terminado. Ahora, con el mtodo anterior puedo expresar 1/3 = 1/4 + 1/12 por otro lado 1/6 = 1/7 + 1/42. As obtengo 1/2 = 1/4 + 1/ 6 + 1/12 y 1/2 = 1/3 + 1/7 + 1/42 Qu le parece, profesor? Profesor: Se ha olvidado de cumplir una condicin: que n+1, en este caso 2, sea el mnimo comn mltiplo de los tres denominadores. Eusebio: Ah, caramba! Tiene Ud. razn! Profesor: Demostrar que el menor denominador de ser necesariamente igual a 2. Supongamos que n/(n+1) = 1/p + 1/q + 1/r, con p < q < r. Voy a demostrar que si p 3 el asunto no funciona. Si p 3, entonces q 4; es decir, n/(n+1) 1/3 + 1/ 4 + 1/r. Como los tres denominadores son pqr y n+1 es el mnimo comn mltiplo, entonces n+1 pqr 12 r > 13 (pues r debe ser mayor que 1), de donde 1/ (n+1) < 1/13

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Pero 1 - 1/(n+1) = n/(n+1) 1/3 + 1/4 + 1/r, es decir, 1 1/(n+1) + 7/12 + 1/r 1/13 + 7/12 + 1/r. Entonces obtenemos 1 - 103/156 1/r de donde r 156/53 < 3. Esto no sera correcto, pues r > q. Es decir, debe cumplirse que p= 2! Teresa: Pero parece que todava quedan muchas posibilidades.

Profesor: Dar un paso ms. Mostrar que q no puede ser mayor que 4. Varias voces: A ver, a ver! Profesor: Tenemos 1 - 1/(n+1) = 1/2 + 1/q + 1/r con q > 4, entonces n+1 2qr > 8r, de donde 1/(n+1)+ 1/q < 1/ 4 +1/(8r) Es decir 1 < 1/(n+1) + 1/2 + 1/q + 1/r < 3/4 + 1/(8r) + 1/r tambin 1/4 < 9/(8r) obteniendo que 2r < 9, es decir, r < 4, lo cual no sera posible si r > q. Teresa: Es decir, para p slo es posible p = 2. Para q, con lo que acaba de demostrar slo sera posible q = 3 q = 4. Ahora ya la cosa parece ms simple.

Profesor: Bueno, bueno! Ahora calculen ustedes todas las posibles soluciones. Les advierto que son siete en total.(ver pg. 374)

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85 ::

El fantasma de .ibonacci

Eusebio: Pero quizs exista alguna manera de escribir cualquier fraccin como suma de minimales Existe algo as, profesor? Profesor: Bueno, no s.... [Aparece, no se sabe de dnde, un tipo que luce anticuado] .ibonacci (italiano, 1170-1240): S, hay un mtodo, aparece en mi Liber Abaci o, si prefieren, Libro del baco. Es un mtodo sencillo; les contar del caso para fracciones propias (las que son menores que 1). Por comodidad definiremos lo que llamaremos el mayor minimal, M(p/ q) contenido en una fraccin p/q. Es eso justamente, es el mayor minimal que no es mayor que la fraccin considerada. Por ejemplo M(3/4) = 1/2, M(3/5) = 1/3, M(3/7) = 1/3, M(5/27) = 1/5, pues 1/4 > 5/27. Tambin definiremos el exceso de la fraccin sobre su mayor minimal, es decir, e(p/q) = p/q - M(p/q). Ahora el asunto es como sigue: p/q = M(p/q) + e(p/q), donde e(p/q) es tambin una fraccin propia f1 = e(p/q) = M(f1) + e(f1); para f2 = e(f1) = M(f2) + e(f2), etc. Es decir, p/q = M(p/q) + M(f1) + M(f2) + e(f2) y con f3 = e(f2) se procede como en los casos anteriores. As, por ejemplo: f0 = 3/7, M(f0) = 1/ 3, f1 = e(f0) = 2/21, M(f1) = 1/11, f2 = e(f1) = 1/231. Es decir, 3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231. Eusebio: Pero, No existe el peligro de que el proceso contine indefinidamente?

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[.ibonacci mira sorprendido a Eusebio, levanta los hombros y desaparece] Profesor: Esa especie de fantasma debe haber sido el gran .ibonacci. El Liber Abaci, estoy hablando de 1202, fue el primer libro europeo sobre las matemticas desarrolladas por los hindes y por los rabes. Eusebio: Por qu no me contest cuando pregunt sobre la posibilidad de que el proceso sea interminable? Profesor: No lo s. Slo puedo decirles que en esos tiempos no se planteaban tales preguntas; no tenan significado. Hubiese sido como preguntarles por su programa de televisin preferido. Eusebio [tercamente]: Pero, Puede ser interminable el proceso del clculo de los minimales de una cierta fraccin?

Profesor: Mire, ah me pone usted en problemas. Nunca he encontrado ninguna fraccin que tenga ms de una docena de sumandos minimales. Pero eso no quiere decir mucho. Tampoco nunca he escuchado o ledo de casos que requieran muchos sumandos. Pero, en Matemticas, eso tampoco quiere decir mucho. La verdad es que no s cul es la respuesta correcta. Mi intuicin me dice que en ningn caso se necesitan muchos sumandos. Pero la intuicin, siendo una ayuda indispensable, puede resultar engaosa. No s; voy a preguntarles a algunos matemticos. Quizs alguno conozca una respuesta satisfactoria. Ahora les propongo escribir la fraccin 43024/45045 como suma de minimales, cuyos denominadores sean impares.(ver pg. 376)

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86 ::

Las potencias del nmero 2

Profesor: Voy a presentarles otro tipo de problema de lenguaje que se presenta en Matemticas. Sea N un nmero entero positivo. Definimos la Nsima potencia de un nmero z como el producto de N factores, donde cada uno de los factores es z. Por ejemplo (0.3)5 = 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 = 0.00243 Eusebio: Y en el caso que N sea infinito? Luca: Eso no tiene sentido, infinito no es un nmero!

Eusebio: Ah, es cierto! Si he entendido bien, profesor, entonces 5 4 = 625, 5 3 = 125, 5 2 = 25, pero [sonriendo maliciosamente] su definicin no puede aplicarse al caso 21, pues no tiene sentido hablar del producto de un nico factor. Profesor: Ud. qu respondera Aquiles? Aquiles: Leonor: Bueno yo he aprendido que cualquier nmero a la potencia 1 es igual a s mismo. Entonces 51 = 5.... No, no! El problema no consiste en saber cunto vale 5 a la potencia 1 sino, en saber si partiendo de la definicin dada por el profesor, resulta correcto decir que 51 = 5?

Profesor: Leonor ha planteado el problema correctamente. La respuesta es NO. La definicin que yo he dado (que no

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es de mi invencin!) se aplica en el caso que haya varios factores; no se puede aplicar en el caso de 5 a la 1. Aquiles: Quiere decir que no existe la potencia 1 de 5?

Profesor: No, no. Quiero decir que la definicin dada no se puede aplicar en ese caso. Entonces, como es usual en Matemtica, para ese caso especial debemos dar una regla especial. Esa regla es la que ustedes ya conocen z1 = z. Leonor: Pero la regla dada por Ud. tampoco puede aplicarse a la potencia cero. All el asunto es ms raro todava: sera el producto de cero factores!

Profesor: Es cierto, es cierto! Para el caso de z0 tambin se tiene que dar una regla especial: z0 = 1. Leonor: Entonces 00 = 1?

Profesor: Ah, me olvidaba aclarar que z0 = 1 vale slo para cuando z es diferente de cero. La expresin 00 es otro caso especial que, por ahora, prefiero no tocar. Carlos: Y cmo se dan las reglas especiales, Cmo a uno le d la gana?

Profesor: Existen dos condiciones: i) Una de carcter lgico: La regla especial (as como la regla principal) no debe causar contradicciones. Por ejemplo, si Ud. dijese, voy a definir que z0 = z3 producira una contradiccin. Aparte de esto la regla puede ser totalmente arbitraria; pero atencin con lo que viene,

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ii) La regla especial debe ser interesante Qu significa esto? En este sentido debo decirles que existen muchas reglas matemticas correctas que casi nadie conoce (son resultados de ciertos trabajos que han interesado a algunos matemticos, pero que no han resultado mayormente tiles para los dems; entonces duermen olvidados en algunas bibliotecas). Si cierta regla de juego es interesante o no lo es, lo dirn los posibles usuarios de tal regla. Un resultado importante para nosotros es el que se refiere al producto de dos potencias de un mismo nmero, por ejemplo zr por zt. En tal caso, como Uds. mismo pueden verificar, se cumple que zrzt = zr+t. As tenemos que 33 por 32 es igual a 35, o 27 por 9 es igual a 243. Eusebio: Y qu se puede hacer con las potencias de los nmeros?(ver pg. 376)

87 ::

Dos smbolos para representar a cualquier nmero

Carlos

[mirando de reojo a Leonor]: En la reunin pasada Ud. dijo que para escribir cualquier nmero usando las potencias de 2 bastaban dos smbolos: uno para indicar

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que s exista determinada potencia y otro para indicar que cierta potencia de 2 no exista, Entend bien, profesor? Profesor: As es, as es! Carlos: Leonor Entonces podramos usar a los hombres como especies de UNOS, y a las mujeres como especies de CEROS. [medio furiosa]: Esa sera una psima matemtica. Lo correcto es que las mujeres seamos los 1s y los hombres sean los 0s ! [con aires de pacificadora]: Eso estara muy bien, Leonor; pero me parece una crueldad decrselos tan de frente. Propongo que una persona de pie sea un uno, una persona sentada sea un cero, Qu les parece?

Teresa

Profesor: S, claro; eso es posible. Aunque me parece un poco incmodo. Eusebio: Propongo algo mejor: Quien levante el brazo derecho ser un uno, quien levante el izquierdo ser un cero. Teresa: Para qu tendra que levantar el brazo izquierdo? Mejor sera que el que no levante el brazo sea un cero.

Profesor: La propuesta de Teresa est muy bien! As, cada fila de ustedes puede representar al nmero que quiera, segn que algunas personas de dicha fila levanten (o no levanten) el brazo derecho. Luis: Puedo proponer otra idea, profesor?

Profesor: Por supuesto! Les advierto que existen mil maneras de representar a los nmeros en base 2.

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Luis:

Veo que el asunto consiste en usar cosas que tengan dos formas: hombres y mujeres, personas sentadas y personas paradas, brazo izquierdo y brazo derecho, brazo sin levantar y brazo levantado, etc. No es cierto, profesor?

Profesor: Efectivamente, has captado bien la idea del asunto. Luis: Leonor: Entonces propongo usar dedos estirados y dedos encogidos, pues.... Bravo, muy bien! Creo que Luchito ha dado la mejor idea. As cada uno de nosotros tendr su propia mquina de nmeros. Adems, ya no ser cierto que con los dedos slo se puede contar hasta diez. [apurndose antes que alguien presente una nueva propuesta]: Bueno, muy bien! Pongan sus manos una junto a la otra, los pulgares casi tocndose: el meique de la mano derecha ser el UNO, luego el anular de esa mano ser el DOS, el dedo medio ser el CUATRO, el ndice ser OCHO, el pulgar derecho ser el DIECISEIS, el pulgar izquierdo ser el TREINTAIDOS, y as sucesivamente... (tocndose los dedos de la mano izquierda): 64, 128, 256, 512. Entonces al meique de la mano izquierda le toca ser el 512, o sea 29. Cmo que 29? Debe ser 210, no olvides que tenemos diez dedos! No es cierto, profe? [pensativo]: Es cierto que tenemos diez dedos... Pero Luis ha contado bien Alguien puede decir que ha pasado?

Profesor

Luis

Teresa: Profesor

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Leonor:

No olvidemos que 1 = 20, es decir, se comienza a contar las potencias a partir de 0, no a partir de 1; por eso se tiene 0, 1, 2,..., 9; bueno sa es mi explicacin.

Profesor: Eso es correcto! Ahora usaremos nuestras manos y dedos para escribir la representacin dual de un nmero. Para ello consideraremos nuestras manos colocadas una junto a la otra, con los pulgares uno cerca del otro, la mano izquierda a la izquierda y la derecha a la derecha, como les estoy mostrando:

27 28 29 25 26 24 23

22

21 20

.ig. 86 Los dedos de las manos y las potencias de 2.

A cada dedo (de los 10 mostrados) lo hacemos representar una potencia de 2. Al dedo de la extrema derecha (meique de la mano derecha) le haremos corresponder la potencia 0, es decir, le haremos corresponder el nmero 1. Al dedo de la extrema

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izquierda (el meique de la mano izquierda) le haremos corresponder la potencia 9, es decir, le haremos corresponder el nmero 29 = 512, como ya he indicado. Elsa: Aqu he estado calculando. El nmero 343 se representa con [101010111] cuando se usan las potencias de 2, Cmo sera el asunto con los dedos?

Carlos:

Comenzando por la derecha, y teniendo en cuenta los 1s, levantaremos los siguientes dedos: meique, anular, medio, pulgar; luego de la mano izquierda: ndice y anular. Los otros dedos permanecen doblados Es correcto, profe?

.ig. 87 Seis dedos activados para representar el nmero 343. (ver pg. 379)

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88 ::

Para encontrar rapidsimamente un cierto nmero

Profesor: Consideren la siguiente tabla. En la columna de la izquierda estn los nmeros a partir del 1. A continuacin se muestran las potencias de 2 que les corresponden:Nm\pot 0 1 2 3 4

1 * 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

dnde, como puede apreciarse, hay 23 estrellitas en cada columna. Escribamos los nmeros que se encuentran en cada una de las cuatro columnas. Noten que cada columna contiene 23 nmeros:

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Columna #1 Columna #2 Columna #3 Columna #4

1 2 4 8

3 3 5 9

5 6 6 10

7 7 7 11

9 10 12 12

11 11 13 13

13 14 14 14

15 15 15 15

Ahora dganme: Cul es el nmero que aparece SOLAMENTE en las columnas #2 y #4? Eusebio: Eso parece fcil; hay varios nmeros... Leonor: Pero el 10 es el nico que aparece slo en esas dos columnas!

Eusebio: Ah, claro! Haba olvidado que se trata de un nmero que debe aparecer SOLAMENTE en las columnas 2 y 4. Profesor: Y en las columnas 1, 3 y 4? Teresa: Es el 13, No es cierto?

Eusebio: Creo que entiendo el asunto. Observen que 10 aparece solamente en las columnas 2 y 4, y se cumple que 10 = 22-1 + 24-1 = 2 + 8; por otra parte, 13 aparece en las columnas 1, 3 y 4, cumplindose que 13 = 21-1 + 231 + 24-1 = 1 + 4 + 8. Leonor: Profesor! Creo que he descubierto cmo encontrar el nmero que se encuentra (slo) en ciertas columnas, sin necesidad de mayores clculos! Qu formidable!(ver pg. 379)

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89 ::Leonor:

As suman las computadoras

Profesor, hace unos das Ud. dijo que las potencias de 2 tenan mucho que ver con el desarrollo de las computadoras, Cmo es eso?

Eusebio: He ledo que las computadoras usan la numeracin en base 2... Profesor: As es! Recuerden que, por ejemplo, el nmero 43 = [101011] se puede representar con los dedos de las manos, con personas sentadas y personas de pie, con focos encendidos y focos apagados. En fin, se puede usar cualquier conjunto de objetos que posean dos estados, como (0,1), (sentado, parado), (apagado, encendido), (izquierda, derecha). Imagnense ahora que (una parte de) la computadora est constituida por unos circuitos formados por un conjunto de alambres conductores; stos tendrn dos estados (no hay corriente, hay corriente) que son producidos por otros circuitos (segn las rdenes que le den a la computadora). Es decir, esos conductores pueden representar a los nmeros, en particular al nmero 43: [sc, sc, sc, sc, sc, sc, cc, sc, cc, sc, cc, cc] donde estamos suponiendo que son 12 conductores, y donde sc significa sin corriente, cc significa con corriente. Observen que si somos ordenados podemos simplificar la escritura as: 43 = [sssssscscscc]. Carlos: Pero, aparte de representar a los nmeros en la forma que Ud. dice, me imagino que las computadoras pueden

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realizar las operaciones que conocemos: sumas, multiplicaciones, potencias, obtencin de races... Teresa: Claro que tiene que ser as!. Creo que justamente para eso sirven las computadoras!

Profesor: Bueno, una computadora sirve para muchas cosas ms. No olviden que una cuchara no sirve solamente para llevarse la comida a la boca. Segn la imaginacin y las necesidades del usuario, una cuchara puede servir para rascarse la espalda, para cavar un hueco, para calzarse unos zapatos ajustados, para usarla como arma blanca, para (amarrada de un hilo) usarla como un pndulo, para usarla como un conductor de corriente elctrica, o como transmisor del calor; puede usarse para hacer trucos de magia, Han odo hablar de Uri Geller?... Teresa: Ya basta, profe! Mejor cuntenos cmo operan las computadoras..

Profesor: Tiene razn, disclpenme! Pero, por supuesto, no voy a describirles los procesos electrnicos. Slo voy a mostrarles cmo se suma y multiplica en base 2. La cosa es muy sencilla: se aplican los mismos criterios que los que se usan en la base diez (atencin, he dicho base diez, no base 10), slo que en este caso hay que tener cuidado que 10, es decir uno cero, no significa diez sino dos. Por ejemplo... Miguel: Claro, como cuando uno cuenta con los dedos en base dos: meique derecho + meique derecho = anular derecho, es decir 1 + 1 = 10. As mismo ad + ad = md 10 + 10 = 100....

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Leonor

[yendo a la pizarra]: Claro!, Mire, profe, lo que dice Miguel sera esto 2 k + 2 k = 2 k+1, es decir un 1 seguido de k ceros MAS un 1 seguido de k ceros es IGUAL a un 1 seguido de k+1 ceros, No es as? [riendo]: Magnfico! Ud., Leonor, parece tener una idea clara de todas estas cosas... [en voz baja]: A lo mejor es una computadora!

Profesor Carlos

Profesor: Creo que un ejemplo ser ms ilustrativo: 43 22 1 0 1 0 1 1+ 1 0 1 1 0 1 1 1 1 10 1

donde todava he usado nmeros que no deben aparecer en esa forma. Observen que la cosa es similar en base diez a, por ejemplo, 7 2 4 8+ 6 3 5 7 3 13 5 9 15 donde 13 y 15 significa que debemos llevar una unidad hacia el lado izquierdo (hacia las potencias inmediatas superiores). Entonces 43 22 1 0 1 0 1 1+ 1 0 1 1 0 1 1 1 10 0 1 3

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Aqu deben tener en cuenta que el 10 subrayado no debe aparecer; es decir43 21 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 10 0 0 1 +

lo que es lo mismo que 1 10 0 0 0 1 lo que es lo mismo que 10 Luca: Teresa: Luca: 0 0 0 0 1

Creo que ms o menos entiendo el asunto. Pero no veo cmo va a proseguir; ya no hay nmeros a la izquierda... Te olvidas que a la izquierda siempre hay ceros; es decir, ceros invisibles.. Claro, qu tonta he sido! Entonces el nmero es el 1000001, es decir, [mirando sus manos] levantamos el pulgar izquierdo y el meique derecho...

Eusebio: Lo cual da 26 + 20 = 64 + 1 = 65.. Leonor: Que es igual, como deba ser a 43 + 22 = 65. Pero eso de estar llevando los unos a la izquierda es un poco aburrido..

Profesor: Para nosotros puede ser aburrido. Pero las computadoras, por suerte, no conocen el aburrimiento. En cambio son terriblemente rpidas. Realizan operaciones muy simples (por ejemplo, sumar unos y ceros) y muy largas; pero lo hacen muy rpidamente. Carlos: Pienso que el asunto se complica si la computadora tiene que sumar varios nmeros 43 + 22 + 34 + 55 + 9, por ejemplo...(ver pg. 381)

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90 ::

Cmo emparejar y desemparejar conjuntos

Eusebio: Profesor, ese truco de las tarjetas result muy bueno. La mayora de la gente no sabe el asunto de la base 2, y entonces no pueden descubrir el truco de las tarjetas. No conoce Ud. algn otro truco que se pueda hacer con la base 2? Teresa: Profesor Verdad, profe, eso sera muy bueno! [tratando de recordar]: Bueno, s conozco un truco bastante bueno, pero antes deben aprender ciertas cosas.... Lo escuchamos, profesor. Comience Ud.!

Leonor:

Profesor: Est bien, est bien. Djenme ordenar un poco las ideas. [Por unos minutos casi se podra or el vuelo de una mosca. El profesor garabatea algo en un papel] Ya est; consideremos el conjunto de nmero enteros positivos A = {40, 29, 21, 13, 5}. Escribamos tales nmeros en la base 2. Entonces tendremos: 40 = [101000], 29 = [11101], 23 = [10101], 13 = [1101], 5 = [101]. Eusebio: Ud., profesor, ha elegido un conjunto de 5 nmeros, Podran ser menos? Profesor: Ah, s, no hay problema; podran ser 1, 2 235 nmeros. No interesa la cantidad de elementos de A. He elegido 5 elementos porque as puedo resaltar las propiedades que me interesan para el truco que voy a mostrarles.

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Observen que la mayor potencia que aparece en A es 25 que aparece una vez (en 40), la potencia 24 aparece dos veces (en 29 y en 21), la potencia 23 aparece 3 veces (en 40, 21 y 13), la potencia 22 aparece 4 veces (en 29, 21, 13 y 5), la potencia 21 aparece 0 veces, la potencia 20 aparece 4 veces (en 29, 21, 13 y 5). Entonces diremos que pot(A) = , donde, en forma ordenada, se indica el nmero de veces que aparece cada potencia en el conjunto A. Eusebio: Vamos a ver si he entendido. Yo tomo al conjunto B = {57, 39, 29, 17, 16}, y quiero hallar pot(B). Entonces tengo [va a la pizarra] la siguiente tabla, para que el asunto me resulte ordenado:Nm 57 39 29 17 16 pot(B) Escritura en base 2 [111001] [100101] [011101] [010001] [010000]

y, as ordenadito, parece que el asunto me sali bien. Profesor: Efectivamente. As la cosa result ms clara. Luca: A m tambin me gustara ensayar.

Profesor: Muy bien! considere el conjunto C = {54, 21, 7, 5} A ver, calcule pot(C)! Luca: Siguiendo el ejemplo de Eusebio:Nmero 54 21 7 5 pot(C) En base 2 [110110] [010101] [000111] [000101]

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Profesor: Bueno, veo que ya agarraron el asunto de calcular la pot(encia) de un conjunto de nmeros enteros positivos. Ahora clasificaremos esos conjuntos en dos clases: los conjuntos Bien Emparejados, que sern aqullos en los que todas las potencias aparecen un nmero par de veces. Los otros conjuntos, en los que alguna de las potencias (o dos de ellas, o todas ellas) aparece un nmero impar de veces, los llamaremos conjuntos Mal Emparejados... Leonor: Pero all aparecen varios ceros, que no son pares ni impares.

Profesor: No; los ceros son considerados nmeros pares, pues son divisibles entre 2 sin dejar resto, No es cierto? Miguel: Entonces el conjunto B sera uno bien emparejado, mientras que los conjuntos A y C seran mal emparejados.

Profesor: Eso es correcto. Ya tenemos una manera de clasificar a los conjuntos en dos clases disjuntas.. Teresa [extraada]: Disjuntas?

Profesor: Bueno, as se les dice de los conjuntos que no tienen elementos comunes. En este caso, como pueden ver, no puede haber conjuntos que sean, a la vez, bien emparejados y mal emparejados. Carlos: Profesor Yo dira que Leonor es bien emparejada. [hacindose el sordo]: Bueno, dar una definicin ms y les dejar algunos problemas para la casa. Maana ya

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estaremos en condiciones de atacar el truco que les promet. Diremos que ACHICAMOS un nmero n si le restamos otro nmero m, que puede valer desde 1 hasta el mismo n. Eusebio: O sea que al achicar a un nmero nos podra quedar cero? Profesor: S, eso es as. Pero no puede quedar el mismo nmero. Siempre hay que disminuirle algo. Leonor: Y cules son los problemas que nos iba a dejar?

Profesor: Antes, una definicin ms: Cuando achiquemos uno de los elementos de un conjunto, y slo uno de ellos, diremos que hemos ACHICADO AL CONJUNTO. Ahora, vamos a los problemas; son seis problemas: i) Achiquen A para que obtengan un nuevo conjunto, A, bien emparejado, ii) Achiquen A para que obtengan un nuevo conjunto, A, mal emparejado, iii) Hagan lo mismo con los conjuntos B y C. Leonor: Profesor El asunto sera ms fcil si se pudiesen achicar varios nmeros.. [alarmado]: Ah, no; no. Slo se puede tocar uno de los nmeros de un conjunto. Ud. puede elegir el nmero que le parezca, pero slo puede achicar a uno de ellos.(ver pg. 383)

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91 ::Leonor:

Gana quien coja el ltimo palito

Bueno, profe; ahora s podemos ir al truco que nos prometi, No es cierto?

Profesor: S. Ahora podemos entrar en el asunto. Primeramente consideremos tres conjuntos especiales que llamaremos conjuntos-clave: C1 = {1,1}, C2 = {2,2}, C3 = {1,2,3}. Observen que cada uno de esos conjuntos es bien emparejado... Eusebio: A ver, a ver. En los dos primeros el asunto es obvio. Para el tercero tenemos: 1 = [01], 2 = [10] y 3 = [11], lo cual nos da pot(C3) = . Es cierto, los tres son bien emparejados. Profesor: Primeramente les presentar el juego en abstracto. Despus veremos algunos ejemplos ilustrativos. Consideremos dos jugadores, Teresa y Carlos, y un cierto conjunto, por ejemplo G = {13, 7, 10, 12}. El juego consiste en lo siguiente: i) Cada jugador, por turno, debe achicar al conjunto que queda despus de la jugada anterior, ii) Por sorteo se decide cul de los jugadores es el primero en comenzar, iii) El juego termina cuando, por efecto del ltimo achicamiento, queda un conjunto de ceros, en este caso {0,0,0,0,0}, iv) Gana el jugador que realiza el ltimo achicamiento. No importa si no se escriben los ceros. Leonor [un poco enojada]: No parece ser un juego que pueda interesar a otras personas fuera de nosotros.

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Profesor: Espero que cambie de opinin cuando hayamos terminado. Tenga un poco de paciencia; ahora quiero mostrar los efectos principales. Observen algo importantsimo: Casi al terminar el juego pueden presentarse muchas posibilidades, pero las ms significativas son la de los conjuntos-clave. Entonces, primeramente supongamos que los contendores han llegado al conjunto C1 y le toca jugar a Carlos Qu va a suceder? Leonor [con fingida alegra]: Entonces ya gan Teresa!

Profesor: Correcto! Cul sera la leccin? Eusebio: Creo que he comprendido. Quiere decir que a Teresa le conviene manejar las cosas para que al final a Carlos le toque un conjunto C1. Mario: Leonor: O que Carlos maneje el juego para que a Teresa le toque un C1 ! Entonces Carlos ganara. Ah, ya entiendo. Va a ganar el que, casi al final, logre dejarle al otro un C1, Es as, profesor?

Profesor: Efectivamente. Luca: Pero si casi al final quedase un C2, en vez de un C1?

Profesor: Analicemos ese caso, tenemos el conjunto {2,2} y le toca jugar a Carlos, Cmo jugara Ud. Carlos? Carlos Leonor: [tentativamente]: Podra achicar un 2, dejando el conjunto {1,2}? Eso estara muy bien, porque despus Teresa achicara el otro 2, dejando al conjunto {1,1} y estaran como antes: ya perdi Carlos.

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Carlos:

Ah, entonces achico todo un 2, dejando el otro 2; es decir, dejando simplemente el conjunto {2,0}.

Eusebio: Pero en ese caso Teresa podra realizar el ltimo achicamiento y ganara. Creo que tambin en este caso Carlos estara perdido. Teresa: O sea que me convendra manejar el juego (si Carlos me deja hacerlo) para que al final le quede a Carlos uno de los conjuntos, el C1 el C2.

Profesor: Pero todava queda la posibilidad de que a Carlos le haya quedado el conjunto-clave C3 = {1,2,3}. Carlos: Teresa: Carlos: Teresa: A ver, ensayar. Supongamos que achico el 1, quedando el conjunto {0,2,3}. Ah, en ese caso yo achicara el 3, dejando {0,2,2} y estaras perdido. Buenos, entonces achico el 2, dejando {1,1,3} {1,0,3}. En ambos casos yo achicara el 3, dejando {1,1,0} para el primer caso, y {1,0,1} para el segundo caso. Y ya yo habra ganado. Entonces no me queda otra cosa sino achicar primeramente el 3, quedando uno de los conjuntos {1,2,2}, {1,2,1} {1,2,0}. En cuyo caso Teresa achicara el 1, dejando {0,2,2} o el 2, dejando {1,0,1} {1,1,0}.

Carlos:

Leonor:

Eusebio: O sea que si, casi al final del juego, a alguno de los jugadores le toca uno de los conjuntos-clave, entonces ya perdi el juego..

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Profesor: Siempre y cuando que su contendor juegue correctamente! Leonor: Confieso que el juego parece un tanto interesante, pero los conjuntos-clave se presentan slo al final, Y antes de eso? Cmo se llega a un final de conjuntos-clave? [casi chillando]: Ya s, ya s! [sorprendida]: Qu le pasa al silencioso?

Mario Teresa

Profesor: A ver, Qu quiere decir Ud., Mario? Mario [un poco avergonzado]: Perdonen, lo que pasa es que me acord de algo que vimos ayer: que si uno quera achicar a conjunto bien emparejado, entonces necesariamente lo iba a convertir en otro mal emparejado... [un poco despectiva]: Y eso que tiene que ver? ... En cambio, si un conjunto est mal emparejado, entonces s es posible convertirlo en otro bien emparejado (o tambin en otro mal emparejado)...

Leonor Mario:

Profesor: Siga Ud., Mario, siga! Creo que Ud. ya agarr el truco! Siga! Mario: Entonces, si el conjunto inicial es bien emparejado, el jugador que comience el juego ya perdi! En cambio, si el conjunto inicial es mal emparejado, entonces ganara el primer jugador.

Profesor: Eso es! Lo que ha dicho Mario es correcto. Leonor [un poco burlona]: Si eso es as, Dnde est la gracia del juego?

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Eusebio

[un poco preocupado]: Quizs el truco est en saber si el conjunto inicial es bien emparejado o no lo es, Es as, profesor? [medio compungido]: Si, as es. Por ejemplo, sin recurrir a lpiz y papel, El conjunto G = {13, 7, 10, 12} es uno bien o mal emparejado? [despus de una pausa]: Bueno, creo que es mal emparejado, ya que la potencia ms alta, 23, aparece tres veces, en el 13, el 10 y el 12.

Profesor

Eusebio

Profesor: La observacin de Eusebio es correcta; y se puede realizar mentalmente. Pero lo que s es difcil realizar mentalmente es lo siguiente: Qu nmero debe achicarse para conseguir que el nuevo conjunto sea bien emparejado? Teresa: Pero, Por qu va a prohibirse que uno coja un lpiz para ver como achicar al conjunto dado?

Profesor: No eso no est prohibido; pero no es recomendable. Imagnese que Ud. juega contra otra persona... y comienza a hacer clculos numricos en un papel. Lo ms probable es que la otra persona ya no quiera jugar, No es cierto? Eusebio: Adems, si uno escribiese, la otra persona se dara cuenta del truco. Pero, con todo, el juego parece muy matemtico. No creo que as noms encuentre personas que quieran jugar al asunto de achicar conjuntos. Lo siento, profesor, pero creo que Leonor tiene razn. [Tratando de parecer convincente] Eso s, a m el asunto me parece muy interesante.

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Profesor: Est bien. No se preocupen. Ahora djenme proponerles un juego.. Leonor [generosamente]: Esto est mucho mejor! A ver, a ver!

Profesor: Supongamos que tenemos cuatro montoncitos de palitos de fsforos, como les muestro [saca una caja de fsforos del bolsillo y forma cuatro montoncitos al azar]:

El juego es para dos personas, y consiste en lo siguiente: i) Por turnos, cada jugador coge y retira de uno de los montoncitos la cantidad de palitos que quiera (por lo menos debe coger un palito), ii) Gana el jugador que logre coger el ltimo palito. Eusebio: S, ese juego lo conozco. Varias veces lo he jugado; y una vez me toc un amigo que no perda ni una vez. No s cmo haca para ganar; no le pesqu el truco. Pero las veces que he visto el juego siempre comenzaban con slo 3 montoncitos. Profesor: No importa el nmero de montoncitos [retira el ltimo montoncito de la derecha]. Ahora tenemos slo 3 montoncitos:

Quiere alguien jugar contra m? Eusebio: A ver, ensayar yo. Profesor: Comience Ud.

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[Despus de unas jugadas pierde Eusebio] Profesor: Otro que quiera probar suerte? Leonor [un poco vacilante]: Yo me atrevo. [Poco a poco, cada vez con nuevos montoncitos, ensayan los estudiantes y pierden fcilmente]. Carlos: Caramba! No s cmo hace Ud., pero no ha perdido ninguna vez. Podramos ensayar otra vez?

Profesor: Por supuesto! Comience Ud.! [Casi al final los montoncitos quedan como sigue:]

Profesor: Ahora le toca a Ud., Carlos. Observe la situacin con cuidado! Leonor: Ya me di cuenta! Si Carlos coge un palito del montoncito de la izquierda, entonces le habr dejado al profe un conjunto C3. Ya ganaste Carlos!(ver pg. 383)

92 ::

reas y permetros de rectngulos

Un grupo de estudiantes estn en una heladera hablando de esto y de lo otro.

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Leonor:

Mi abuelo era un poco chiflado por los nmeros. Tena un terreno rectangular, cuyo largo y ancho eran nmeros enteros que ahora ya no recuerdo. Lo que s es que el rea es justo de 7373 m. Cuando mi abuelo muri le dej ese terreno a mi pap... [interrumpindola]: Eso no es nada; yo tengo un to que tiene un terreno tambin rectangular y tambin de dimensiones enteras, pero es ms grande que el de tu pap; mide 7387 m, Qu te parece? [un poco enojada por la interrupcin]: Me parece que eres un pesadote! [sonriente]: Ustedes parece que estuviesen enamorados. Buscan cualquier pretexto para irritar al otro. Mejor hablemos de otras cosas. [La conversacin sigue. Leonor saca un lpiz y comienza a garabatear y escribir, sin que los dems le presten atencin; salvo Carlos que se siente un tanto incmodo]

Carlos

Leonor Teresa

Leonor

[triunfante]: Miren; el to de este sonsito podr tener un terreno de mayor rea que el que hered mi pap, pero... Clmate, Leonor. No le hagas caso a Carlos; lo hizo slo por irritarte y t has cado en la trampa... Oh, no te preocupes. Lo que quiero decir es que el terreno de mi pap tiene un permetro mayor que el terreno de su to. As que no se va a quedar con su gusto!

Teresa: Leonor:

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Miguel

[un poco preocupado]: Pero, Leonor Cmo vas a saber que un permetro es mayor que el otro si no sabes cuanto miden los lados? [tercamente]: Sin embargo el permetro del terreno de mi padre es mayor! [asustado por el rumbo que ha tomado su broma]: Perdname, Leonor. Se trataba slo de una broma; yo no tengo ningn to que tenga... [apasionadamente]: No te corras ahora. El permetro del terreno de mi padre es mayor que el del terreno de tu imaginario to; y eso no lo cambia nadie! [apaciguadoramente]: Est bien, est bien. Lamento haber dicho lo que dije. Pero no entiendo cmo puedes afirmar lo de los permetros. Mejor nos olvidamos del asunto, Quieres? [que haba estado escuchando en silencio]: Sospecho que Leonor puede tener razn. Si alguien me presta un lpiz, ahorita podra verificar el asunto.(ver pg. 384)

Leonor Carlos

Leonor

Carlos

Eusebio

93 ::Luca:

El fantasma de Pitgoras

Profesor, hace tiempo, entre las cosas de un to de mi madre, que haba sido profesor de matemticas, se encontr un cuaderno con algunos garabatos como

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stos: 3#4 = 5, 5#12 = 13, 8#15 = 17, 7#24 = 25, y otros ms. Nunca hice caso de eso, pero ahora que Ud. nos propone cosas medio entretenidas se me ocurri que... Profesor [vacilando]: Bueno, habra que pensar en el asunto. No vayan a creer que...

Eusebio: Quizs se trate de sumas en algn sistema de numeracin especial; as como las que nosotros estuvimos haciendo en base 2.... Profesor [un poco sorprendido]: Cmo? Ah, no. No puede ser. Observen que all aparece el 8. Eso quiere decir que la base de numeracin sera mayor que 8; y en tal caso 3+4 sera 7. No, no es eso. Pero est bien como ha procedido Eusebio. Si se quiere enfrentar algn problema hay que pensar un poco, tratando de entender cmo es el asunto, y luego hay que proponer posibles interpretaciones. Sin ensayos no se puede resolver ningn problema. Salvo que uno ya conozca la solucin, en cuyo caso estaramos perdiendo el tiempo. Y se tratase de una multiplicacin especial en vez de una suma?

Luca:

Profesor: Podra ser. Pero todava me siento perdido. Teresa: Lo que es a m, cuando veo los nmeros 3,4 y 5 me acuerdo de los egipcios y sus pirmides. En un libro deca que para construir dos rectas perpendiculares construan con sogas el tringulo rectngulo de lados 3, 4 y 5. Pero slo ponan el ejemplo de ese tringulo...

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Leonor

[que, cuando oy a Teresa haba comenzado a garabatear atropelladamente]: Parece que Teresa ha dicho algo que vale. Miren! Resulta que tambin 5 + 12 = 13... [incrdulo]: No lo creo; pues 12 es casi igual a 13 [se pone a calcular] Pues s, es cierto! Ahora habr que ver si en los otros casos...

Carlos

Profesor: Muy bien, jvenes; Uds. han dado en el clavo! Miguel: Efectivamente, 5 + 17 = 18. Pero no me parece correcto que se escriba como ha contado Luca. Una cosa es escribir a + b = c y otra cosa es a#b = c; esto ms parece una especie de suma o de producto...

Profesor: No, Miguel; cuando Ud. quiere representar alguna relacin entre dos o ms objetos puede usar la escritura que ms le guste. Eso s debe tener cuidado que su escritura no sea contradictoria (por ejemplo, si hubiese escrito 5 + 12 = 13, donde el signo + ya tiene una interpretacin aceptada) ni confusa (por ejemplo, si escribiese 512 = 13, pues no resulta claro si se refiere a 5 12 a 51 2). Los smbolos matemticos que hoy usamos han sido antiguamente considerados extraos. Pero todava hay un factor adicional: la forma de representar una cierta relacin, sin ser incorrecta, puede no causar mayor inters entre los usuarios; entonces tal representacin queda slo para uso de algunos usuarios particulares. Por ejemplo, el caso que nos ha contado Luca parecera corresponder al de una persona que ha escrito cierto smbolo para su uso particular.

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299

17 5 3 4 12.ig. 88 Los casos 3#4 = 5, 5#12 = 13, 8#15 = 17

13 5 15

8

Leonor:

Supongamos que nosotros aceptamos la escritura a#b = c, representando a la operacin a + b = c. Ya Luca nos mostr el caso 5#12 = 13. Ahora, como en el caso de la resta, que Ud., profe, nos dijo que no era una operacin, sino una ecuacin, Es posible plantear la ecuacin 5#x=11, por ejemplo? [riendo]: Claro que eso es posible: Ud. ya lo hizo! Vamos a ver que significa tal cosa. Tendramos 5 + x = 11, es decir, x = 121 - 25 = 96; entonces x = 4 6 .. No es eso lo que yo quera decir. Yo deca que los nmeros que intervengan sean todos enteros positivos..

Profesor

Leonor:

Profesor: Bueno; en este caso la respuesta es: no hay una solucin entera. Carlos: Pero No habra algn otro caso, aparte de 5#12 = 13, en el que aparezca el 5 con otros enteros?

Profesor: Cmo sera la ecuacin en ese caso? Carlos Leonor: [un poco preocupado]: Cmo? La ecuacin? Ah, en ese caso deberamos escribir 5#x = z, No. profe?

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H.G. Valqui

Profesor: Eso es correcto. Leonor: O sea que 25 + x = z, Cmo se resuelve eso, profesor?

Profesor: Bueno, en este caso el asunto no es muy complicado. Observen que podemos escribir 25 = z - x = (z+x)(zx), es decir, 25 debera ser el producto de dos nmeros.. Teresa: Ah ya s 55..

Profesor: En tal caso si z+x = 5, z-x = 5 resultara que z = 5, x = 0, lo cual es, por supuesto trivial a#0 = a. Eusebio: Y eso va a resultar as en los casos en los que los dos factores sean iguales. Teresa: Ya veo. Pero entonces ya no hay otra solucin.

Eusebio: Todava queda el caso de 25 = 251, No es cierto, profesor? Profesor: Cierto. Entonces z+x = 25, z-x = 1, de donde z = 13, x = 12... Luca: Ese es uno de los casos que yo traje!

Profesor: Y, como han visto, sos son los nicos casos: 5#0=5 y 5#12 = 13. No puede haber otros con el 5. Luca: S, s puede haber otros donde aparece el 5, profe!

Profesor: Pero, entonces Ud. no ha entendido lo que acabo de mostrar... Luca: No, profe. S he entendido. Lo que digo es que s puede aparecer el 5 en esa frmula, por ejemplo 3#4 = 5.

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301

Profesor

[aliviado]: Ah; eso quera decir Ud.

Eusebio: Yo me imagino que hay muchos casos en los que en a#b = c los tres nmeros son enteros. Pero debe ser difcil encontrarlos.. Miguel: Aqu cabo de darme cuenta de una manera fcil de construir un montn de esos casos.

Profesor: Eso parece interesante. A ver, explique Ud., Miguel. Miguel: Por ejemplo: 39#52 = 65, 9#12 = 15, 21#28 = 35...(ver pg. 385)

94 ::Miguel:

Todos los tripletes

Muchas de las cosas que estamos viendo son bastante interesantes. A veces, en mi casa, me distraigo tratando de aclarar algunas de las cosas que vemos ac, y que yo no logr entender a mi gusto..

Profesor: Como sospechar, yo tambin encuentro que las matemticas pueden ser entretenidas. Atencin que no estoy diciendo que las matemticas SON entretenidas, sino que ellas PUEDEN SER entretenidas. A uno le agrada y satisface lo que llega a entender. En cambio, si a uno le hacen tragar cosas que slo memoriza sin entender, entonces uno va a llegar a detestar tales cosas... Miguel: Yo deca esto porque a veces en la clase nos hacen memorizar un montn de esas frmulas llamadas

302

H.G. Valqui

identidades algebraicas, Sirven para algo, o es que los profesores slo quieren saber cunto puede resistir un colegial? Profesor: Ud. ha tocado un problema que yo considero grave. Quizs en otra ocasin conversemos sobre eso; ahora no. Sobre el asunto de las identidades algebraicas pienso que no tiene sentido atiborrar al estudiante de frmulas y reglas si ellas no van a ser aplicadas en situaciones ms o menos interesantes. Les dar un ejemplo. Antes hemos visto el asunto de los tripletes pitagricos. Ayer Eusebio pregunt si no se podan construir tripletes distintos a los que habamos visto. Quiero mostrarles que podemos construir, en principio, todos los tripletes pitagricos... Leonor: Teresa: Caramba, profe, Ud. est diciendo todos los tripletes pitagricos No es eso ofrecer demasiado? A ver profe, cmo es eso que dice Ud.

Profesor: Bueno, quera mostrarles la utilidad que pueden tener las identidades algebraicas. Por ejemplo (p-q) + 4pq = (p+q) Carlos: Ah; de esa identidad me acuerdo yo. Pero no me haban dicho que ella vale para los enteros..

Profesor: No; los nmeros que intervienen no tienen porque ser enteros.. Luca: Y en qu caso se cumple la identidad?

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303

Leonor:

No te das cuenta que vale para cualquier par de nmeros. Mira (p-q) + 4pq = p + q - 2pq + 4pq = p + q + 2pq... Ah, claro!

Luca:

Eusebio: Creo que me doy cuenta del asunto. Si escribimos pq = a, p+q = c tendramos a + 4pq = c. Leonor: Qu formidable! O sea, slo tengo que buscar un b tal que b = 4pq, es decir b = 2 (pq) . As b tiene que ser par y el producto pq debe ser un cuadrado perfecto. O sea que tanto p como q deben ser cuadrados perfectos.... como por ejemplo, p = 9, q = 4: entonces a = 5, c = 13, b = 2 (9 4) = 12. Es decir, 5#12 = 13, que es un triplete ya conocido por nosotros.

Teresa:

Eusebio: Creo que Teresa se entusiasmo demasiado; no es necesario que p y q sean cuadrados perfectos; pq debe ser cuadrado perfecto: podra ser p = 48, q = 3, que no son cuadrados perfectos, pero pq = 144 s lo es. Leonor: Y, en ese caso tendramos a = 45, c = 51, b = 2 (144) = 24, lo que nos da el triplete 45#24 = 51 , simplificando, 15#8 = 17. Djeme ver si yo he entendido el asunto. Primeramente busco un cuadrado perfecto, por ejemplo 49.. Qu loco. Los nicos factores que tiene 49 son iguales; y eso no vale..

Carlos: Luca:

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Carlos Leonor: Carlos: Miguel:

(sordo): Es decir 49 = 491. Luego p+q = 50, p-q = 48, 2 (49) = 14; es decir, 48 + 14 = 50... Lo cual sera mejor simplificar, 24 + 7 = 25. Eso es lo que yo tambin iba a decir. Creo que ahora puedo construir cualquier triplete.... La identidad que escribi anteriormente nos permite construir tripletes pitagricos. Pero Ud. dijo, profesor, que se podran construir todos. Podra ser que algn triplete no cumpla con la frmula...(ver pg. 386)

95 ::

Sesenta grados sin transportador

Profesor: A veces uno necesita construir un ngulo de 30 o de 60 y no tiene un transportador a la mano. Voy a mostrarles cmo se podra proceder para salir del apuro. Consideremos este rectngulo alargado, ABMN, de papel (slo nos va a interesar el extremo vecino al borde AB). Tracemos la lnea media RS; y busquemos, en el borde AN, un punto C de manera que al doblar el papel a lo largo de BC el vrtice A caiga sobre la lnea media RS, en un punto que designar con A.

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A

N S

A

C

N

R B

S A B

M

M

.ig. 89 Al doblar por BC el vrtice A cae sobre la lnea media.

Entonces, el ngulo ABC (, si se prefiere, ABC) vale 30. [Ser cierto?](ver pg. 387)

96 ::

Pasa o no pasa, esa es la cuestin

Profesor: Observen esta cartulina, con un hueco circular de 10 cm de dimetro. Por otra parte, aqu tengo un disco de 12 cm de dimetro. Pregunta: Puede uno hacer que pase el disco por el agujero en la cartulina, sin romperlo?

.ig. 90 Pasar un disco de 12 cm por un hueco de 10 cm?

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Teresa:

Parece evidente que la respuesta es no, O hay algn truco?

Profesor: El asunto es como lo he dicho: Se requiere hacer pasar el disco por el agujero, sin que ninguno de los dos sufra alguna rotura. Carlos: Pero quizs se podra doblar al disco, Vale eso?

Profesor: Es una buena sugerencia, que habra resuelto el problema. Pero, en este caso, el disco es de metal. No lo puede doblar. Carlos: Leonor: Entonces no veo cmo... Aqu, de lejos, parece que se tratara de una cartulina corriente, No se tratar de una cartulina especial, por ejemplo, de jebe? Pues en ese caso...

Profesor: Es cierto; el asunto podra ser como Ud. dice. Pero, no; se trata de una cartulina corriente. Las dimensiones que les he mencionado tambin son correctas. Eusebio: As como Ud. lo dice, profesor, parece que el asunto fuese imposible. Profesor Eusebio [acercndose donde Eusebio]: Tenga Ud.; ensaye unos minutos... [despus de haber ensayado un momento]: Epa! Miren! Lo logr! [!](ver pg. 388)

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97 ::

Alfileres elpticos

Profesor: A ver, Quin recuerda lo que es una elipse? Carlos [se pone de pie casi saltando]: Eso es fcil, profe. Se tienen dos puntos de un plano, llamados focos. Luego se da un nmero. El conjunto de los puntos P tales que , la suma de sus distancias a dichos focos sea igual a dicho nmero, es una elipse

P

.

.

A

B

.ig. 91 En una elipse |AP|+|BP|= constante para todo punto P.

Profesor: Eso es correcto. Podra Ud. dibujar una elipse sobre est cartulina? Carlos: Dibujarla? No; se ya es otro problema. Puedo dibujar algo as como un valo....

Eusebio: Se podra usar la ecuacin de la elipse, y dibujarla punto por punto.. Profesor: Se podra. [Pega la cartulina sobre un tablero en la pared; clava dos alfileres grandes] Estos sern los focos, que llamar A y B [Coge un pedazo de hilo y anuda sus extremos] Ahora coloco este hilo alrededor de los alfileres, abrazndolos [Toma un plumn; lo mete en

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el interior de la curva cerrada formada por el hilo; luego tensa el hilo, de manera que se forma un tringulo cuyos vrtices son los dos focos y la punta del plumn]

P

A

B

.ig. 92 Cmo dibujar una elipse con dos alfileres y un hilo.

Profesor: Ahora desplazo el plumn, manteniendo tenso el hilo. Lo que dibujo es una elipse.... Leonor: Pero, como dijo Carlos, podra tratarse de un valo.

Profesor: Veremos si eso es cierto. Por favor, llame P al punto donde est el plumn y describa la longitud del hilo. Leonor: La longitud del hilo es L = |AP| + |PB| + |AB|,.... ah, ya veo!(ver pg. 388)

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98 ::Teresa:

La moneda falsa es ms liviana

Profesor, Ud. nos present un problema con 16 monedas, una de las cuales era ms liviana. Obtuvimos que se necesitaban 3 pesadas para encontrar, con seguridad, cul era la moneda falsa. Pero resulta que con 12 monedas, una de ellas falsa, tambin se necesitan 3 pesadas para hallar la moneda falsa. Yo hubiese dicho que se necesitaran menos pesadas; pero son 3. Eso me intriga. Yo, en cambio he encontrado que si se tratase de 21 monedas, entonces tambin se necesitan 3 pesadas...

Leonor:

Profesor: Eso es interesante. Entonces han surgido dos nuevos problemas, Cul es el menor nmero de monedas, M1, de manera que sean necesarias tres pesadas para descubrir una moneda falsa, ms liviana, que se encuentra mezclada entre ellas? y Cul es el nmero mximo, M2, de monedas, tales que sean suficientes tres pesadas para poder descubrir una moneda falsa, ms liviana, mezclada entre ellas? [Si tiene 21 monedas y pesa 7 contra 7....](ver pg. 390)

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99 :: Ms rpido que la luz!Profesor: Observen esta regla, AB, que he colocado un poco inclinada, de manera que forma un cierto ngulo con el borde del escritorio. Llamar C al punto de interseccin de los dos filos, el de la regla y el del escritorio, Ven? Ahora, manteniendo la regla paralela a s misma, la voy a desplazar con velocidad v, perpendicular al borde. Entonces, conociendo el ngulo y la velocidad v que dar a la regla, se trata de calcular la velocidad que adquirir el punto C.

B B B` C A A a A` C C b

.ig. 93 Una regla apoyada sobre una mesa (sobresaliendo del borde)

Esteban: Permtame realizar el clculo, profesor: Sea AB la posicin de la regla en el instante t = 0, y AB su posicin en el instante t. Sean C y C los correspondientes puntos de interseccin. Entonces, si v (perpendicular a la mesa) y v (paralela a la mesa) son

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las velocidades de la regla, digamos que del punto B, y del punto de corte, C, tendramos: |BB| = v t , |CC| = v t |CC|, es decir, v = v /tan donde tan = |BB| /

Profesor: Muy bien! La velocidad del punto C es v/tan. Dejemos esto por ahora. Veamos algo ms interesante, Quin conoce o recuerda algo sobre la Teora de la Relatividad? Carlos: Esteban: Caramba! el profe nos est metiendo en cosas bravas! Yo recuerdo haber ledo que Einstein dijo que nada puede viajar con mayor velocidad que la de la luz...pero no recuerdo cunto vale la velocidad de la luz... De eso s me acuerdo, la velocidad de la luz es de 300 000 km por segundo. Ese es un nmero muy grande, 300 millones de metros por segundo, pero no me imagino que significa eso. Eso significa que la luz recorre 300 millones de metros en un segundo. Teresa no se refiere a tal cosa. Yo tampoco me imagino qu significa esa velocidad.

Leonor: Teresa: Carlos: Leonor:

Profesor: Miren! [Con el dedo ndice extendido describe rpidamente unas siete circunferencias en el aire]. He descrito 7 y media circunferencias en un segundo. Bueno, un corredor que avanzase a la velocidad de la luz, dara siete veces y media la vuelta a la Tierra en un segundo..

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Luca:

Cmo? Eso es increble !

.ig. 94 Corri 7 y media vueltas alrededor de la Tierra en 1 segundo (ver pg. 392)

100 :: Una familia de curvas crecientesProfesor: Observen este segmento de recta, AB, que he dibujado en la pizarra. Su longitud es L = 60 cm. Ahora lo divido en tres segmentos de igual longitud por medio de los puntos M y N:A Segmento AB

M

N

B

R

A

.

M

.

.N

.

Segmento AB con un cerrito B

.ig. 95 Hacindole surgir un cerrito a un segmento de recta.

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Borremos el segmento MN y aadamos los segmentos MR y RN de manera que MRN sea un tringulo equiltero Teresa: O sea que al segmento AB le ha aadido un cerrito..

Profesor: Eso est bien dicho. Al segmento AB le he aadido un cerrito. Al segmento AB lo llamar la poligonal P0, a la poligonal AMRNB la llamar la poligonal P1. Leonor: Entonces P1 tiene 80 cm de longitud, No es cierto?

Profesor: Es cierto. Pero yo prefiero decir que su longitud es L1 = 4L/3. A continuacin construir la poligonal P2, para lo cual, a cada uno de los cuatro segmentos de P1 le aado un cerrito. Teresa: Como cada segmento ha incrementado su longitud en 4/3, entonces la longitud de P2 ser L2 = 4L1/3...

R

A

M

N

B

.ig. 96 La poligonal P2

Eusebio: O sea (4/3)L. Profesor: Eso est muy bien. Ahora construyo P3, aadiendo un cerrito a cada uno de los 16 segmentos de P2.

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Eusebio: Ahora P3 tiene 416 segmentos y una longitud de L3 = 4L2/3 = (4/3)L. Profesor: Veo que ya entendieron el asunto. Ahora, Cul es la longitud de P20? Cuntos segmentos tiene?(ver pg. 392)

101 :: Ms larga que de aqu al solMiguel: Lo ms extraordinario es que si seguimos formando los cerritos, entonces la poligonal resultante puede tener una longitud tan grande como se quiera.

Profesor: Eso es cierto. Por ejemplo, Cunto vale n, para que la poligonal Pn tenga una longitud Ln = 1012 L?(ver pg. 393)

102 :: Mil semicircunferenciasCarlos: Se me ha ocurrido preguntarles lo siguiente: Entre dos puntos A y B, a un metro de distancia dibujo 100 mil semicircunferencias, como en este dibujo A

B

.ig. 97 Los puntos A y B son conectados por semicircunferencias.

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Pregunta: Cunto vale la longitud de la curva formada por las semicircunferencias? [No olvidar que son 100 000 circunferencias](ver pg. 393)

103 :: Una parte de un cuerpo rgido no puede moverse con respecto a otra parte del mismo cuerpo rgidoProfesor: En esta regla he pintado tres letras grandes, A y C en los extremos, B en el medio, Ven?

A

BPosicin inicial

CB A

C

Posicin final

.ig. 98 L as letra A,B y C se mantienen fijas a la regla

Ahora arrojo la regla al aire Se han desplazado las letras? Carlos: Claro que s!

Profesor: Cmo se han movido B y C con respecto a A?

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Teresa:

Eso suena un poco oscuro Qu quiere decir, por ejemplo, que B se mueve con respecto a A?

Profesor: Muy bien, Teresa ! Siempre debe uno preocuparse ms por entender la pregunta que por lanzarse a buscar la respuesta. Quiero decir lo siguiente: Que B se ha acercado a A (ha disminuido la distancia entre los dos), o que B ha rotado con respecto a A

A A

B

Posicin inicial

BPosicin final

APosicin final

B B

a) Aqu B se ha alejado de A

b) Aqu B ha rotado con respecto a A

.ig. 99 Dos tipos de movimientos de la letra B con respecto a la letra A.

Eusebio: Segn he odo, eso suele explicarse usando Sistemas de Referencias... Profesor: Eso es cierto, pero en este caso no es necesario. Cada letra, por su forma geomtrica va a constituir un Sistema de Referencia; o sea, el Sistema de Referencia que yo use en cada caso, va a quedar implcito; eso tiene la ventaja de poder presentar el asunto a personas no acostumbradas a usar explcitamente tales referencias. Carlos: Leonor: Voy a tratar de ser cuidadoso con lo que voy a decir... Bravo!

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Carlos:

Como las letras estn pegadas en la regla, entonces me atrevo a decir que ni B ni C se han movido con respecto a A: no se han acercado ni alejado, ni tampoco han rotado...con respecto a A.

Profesor: Muy bien, Carlos! Dgame Qu entiende Ud. por B no ha rotado con respecto a A? Carlos: Eso es lo quera preguntarle, profesor. Creo que puedo darme cuenta de cundo un cuerpo ha rotado con respecto a otro... pero no sabra decir que es lo que exactamente ha pasado.

Profesor: Lo que ha dicho Ud. es muy valioso. Una cosa es intuir algunas ideas o conceptos, otra es explicarlos formalmente... Luca: Pero ms importante es poder explicarlo formalmente. Para eso venimos al colegio, o a la universidad..

Profesor: No, no! Por favor, no. Lo que ha dicho Luca es tambin muy importante, pero en otro sentido. Ahora voy a decirles nicamente esto: Uno gana mucho si logra formalizar una idea intuitiva, pero pierde mucho si aprende el mero formalismo de las cosas. Justamente, en estas reuniones evito en lo posible el fantasma de la formalizacin. Teresa: Pero, entonces, en el colegio....

Profesor: Dejemos por ahora esa tragedia; volvamos a nuestro caso Carlos? Carlos: He estado pensando en el asunto, y se me ocurre lo siguiente: Ud. me est mirando; yo me muevo

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lateralmente, y Ud. ya no puede verme sin voltear los ojos, o sin voltear la cabeza... Profesor [calla unos instantes, pensando]: Ud. ha dado una magnfica figura..... sin haber recurrido a formalismos. Pero, supongamos que Ud. es B, yo soy A, pero estoy con los ojos cerrados.... vea otra forma de expresar lo que antes expres muy bien.. Bueno, podra decir que yo le vea la cara de frente, pero, despus que rot con respecto a Ud., entonces, por supuesto, ya no pude verle bien la cara, sino su oreja derecha. Y si sigo rotando le ver la nuca; luego la oreja izquierda; hasta que, al dar una vuelta completa, nuevamente le ver la cara de frente...

Carlos:

Profesor: Eusebio, Es correcto lo que ha dicho Carlos? Eusebio: No podra decir si es correcto lo que ha dicho Carlos. Lo que puedo decir es yo habra dicho lo mismo. Aunque lo que Ud. llama Carlos ha rotado con respecto al profesor yo lo hubiese llamado Carlos ha dado una vuelta alrededor del profesor... Profesor: Magnfico! Ud. ha encontrado unas palabras que quizs representan mejor la idea que estamos elaborando. Entonces voy a formalizar la definicin: Diremos que el objeto B rota con respecto al objeto A da vueltas alrededor del objeto A gira en torno al objeto A si desde el objeto B se pueden ver progresivamente todos los costados del objeto A.

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Donde los costados de A se refieren a las zonas laterales del objeto A. Recuerden que cuando se dice que los policas rodearon al bandolero, impidindole la huida, se quiere decir que los policas se acercaron a tal bandolero por los diferentes costados. Leonor: En tal caso, puedo decir que ninguna de las letras pintadas sobre la regla, ha dado vueltas alrededor de alguna otras de las letras, en particular, B no ha girado en torno a la letra A.(ver pg. 393)

104 :: Quieras o no, vas a dar vueltas alrededor moEusebio: Teresa, por favor, prate frente a m, a un metro de distancia... Carlos: Hombre, por qu tan lejos!

[Teresa se levanta y se para frente a Eusebio] Eusebio: Ahora qudate quieta. Voy a hacer que des vueltas alrededor mo. Teresa [sonriendo]: Y si no me da la gana.

Eusebio: Eso no importa. Leonor: Luca: Carlos: Qu es lo que pretende Eusebio? Quizs ha ledo algn libro sobre hipnotismo... No es mala idea. Le voy a pedir que me preste ese libro...

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Eusebio: Ahorita vern como cumplo con lo dicho. Leonor: Carlos: Miguel: Es cierto! Teresa esta girando alrededor de Eusebio! No te hagas la chistosa. Teresa no se ha movido de su sitio... Je, je, je. Eusebio est cumpliendo su promesa. Est haciendo que Teresa d vueltas alrededor de l.

[La importancia de llamarse Eusebio?](ver pg. 395)

105 :: Usted y ella, solos en el espacioCarlos: Est bien. Creo que tengo que aceptar las definiciones dadas por el profesor, y como consecuencia tengo que aceptar que una persona puede dar vueltas alrededor de otra, sin necesidad de moverse de su sitio...

Profesor: Ms o menos entiendo su desconcierto. Imagnese que Ud. y Leonor estn solos en el espacio... Carlos: Eso s que me gustara!

.ig. 100 Leonor y Carlos solos, en el cosmos.

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Profesor: Ponga atencin a la situacin que le voy a presentar: Los dos estn solos, frente a frente, metidos en sus trajes espaciales luminosos. Digamos que, a unos kilmetros de distancia de ustedes, todo est oscuro alrededor. Estn flotando en el vaco interestelar, repito, frente a frente, a unos tres metros de distancia. Despus Ud. se da cuenta que Leonor, sin acercarse ni alejarse, est desapareciendo de su vista, hacia el costado derecho (el traje espacial no puede girar como girara su cuello). Despus de unos segundos interminables, Leonor vuelve a aparecer poco a poco, por el lado izquierdo. Dgame, Qu ha estado sucediendo? Carlos: Leonor: Carlos: Bueno; supongo que Leonor ha estado dando una vuelta a mi alrededor... Ni creas. Eras t quien estaba girando alrededor de su eje, as como hizo Eusebio... Cmo puedes decir tal cosa?(ver pg. 396)

106 :: Una U indeformableCarlos [de un solo tirn]: He encontrado otra forma de demostrar que si Eusebio y Teresa estn mirndose frente a frente, y Teresa describiendo una circunferencia con Eusebio en el centro, entonces Teresa NO puede estar dando vueltas alrededor de Eusebio...

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Leonor:

Tranquilo, Carlos, tranquilo..

Profesor: A ver, explique Ud. Eso puede ser interesante. Carlos: Supongamos que tenemos una U de madera, los palos verticales de 1 metro de largo y el palo de abajo de 1 metro y medio de largo Lo ven? [sonriendo]: S; siga Ud. Primera pregunta Podemos decir que uno de los palos verticales se ha movido con respecto al otro? Respuesta: Claro que no. Salvo que se trate de palos deformables... No. Es una U indeformable, de madera gruesa.

Profesor Carlos: Leonor: Carlos:

.ig.. 101 Una gran U rota alrededor de un eje vertical que pasa por el centro de uno de los palos laterales.

Miguel:

Eso parece claro. Una parte de un cuerpo rgido no puede moverse con respecto a otra parte del mismo cuerpo.

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Profesor: Muy bien dicho, Miguel. Carlos: Leonor: Podemos decir que un cuerpo A rota con respecto a un cuerpo B sin que A se mueva con respecto a B? A mi parecer la respuesta es, nuevamente, no.

Eusebio: Estoy de acuerdo. No parece tener sentido afirmar que A rota con respecto a B sin, a la vez, aceptar que A se est moviendo (de alguna manera) con respecto a B. Profesor: Es cierto que las definiciones son arbitrarias. Pero la U de Carlos nos hacer ver que lo que ustedes dicen es lo ms sensato: Imagnense esa U en el espacio vaco, como antes Leonor y Carlos. Supongamos tambin que los palos laterales pudiesen hablar Qu sentido tendra que uno de los palos le dijese al otro: Oye, t ests dando vueltas alrededor mo?(ver pg. 397)

107 :: T describes circunferencias y yo giroLeonor: Teresa y Eusebio frente a frente. Teresa va a describir circunferencias con Eusebio en el centro; Eusebio va a girar alrededor de su eje vertical. Voy a plantear dos problemas.. Siga Ud., profesora.. [contesta con una mueca]: Teresa va a describir 3 circunferencias en 2 minutos, en sentido horario.

Carlos: Leonor

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Primer Problema: Si Eusebio, en dichos 2 minutos da dos giros completos, en sentido antihorario Cuntas vueltas ha dado Teresa alrededor de Eusebio? Segundo Problema: Si en esos 2 minutos Eusebio diese 8 giros completos en sentido horario cuntas vueltas ha dado Teresa alrededor de Eusebio? Profesor: Interesante, interesante.(ver pg. 398)

108 :: Cuntas vueltas he dado yo alrededor de ...?Eusebio: En los dos problemas que plante Leonor, result que Teresa haba dado 5 vueltas alrededor mo. Pero cuntas vueltas di yo alrededor de Teresa?(ver pg. 400)

109 :: El danubio azl?Teresa: Supongamos el primer problema propuesto por Leonor: Yo describo, en sentido horario, 3 circunferencias en cuyo centro est Eusebio. Simultneamente Eusebio gira sobre su eje, antihorariamente, dando dos giros completos. Pero, ahora yo no estoy mirando constantemente a Eusebio, sino me mantengo paralelamente a m misma, mirando siempre hacia el

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norte. Preguntas: Cuntas vueltas he dado yo alrededor de Eusebio? y Cuntas vueltas ha dado Eusebio alrededor mo?(ver pg. 400)

110 :: Girando en el sitioLuca: Quiero plantear una pregunta ms. Teresa y Eusebio estn frente a frente. Cada uno comienza a girar sobre su propio eje. En 2 minutos Teresa da 5 giros en sentido horario y, simultneamente, Eusebio da 7 giros en sentido antihorario: Cuntas vueltas ha dado Teresa alrededor de Eusebio? y Cuntas vueltas ha dado Eusebio alrededor de Teresa?

T EPos 0 Pos 1 Pos 2 Pos 3 Pos 4

.ig. 102 Teresa y Eusebio se mantienen en sus sitios, girando alrededor de sus ejes verticales, con la misma velocidad, pero en sentidos opuestos. (ver pg. 401)

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111 :: Rota la luna alrededor de la tierra?Profesor: Despus que ustedes han aclarado el asunto de que A da vueltas alrededor de B, ya puedo preguntar tranquilamente: Rota la Luna alrededor de la Tierra? Rota la Tierra alrededor de la Luna?(ver pg. 401)

112 :: El sol rota alrededor de la tierraProfesor: Cuntas vueltas da el Sol, en un ao, alrededor de la Tierra?(ver pg. 401)

113 :: La tierra rota alrededor del solCarlos: Pero la Tierra s da vueltas alrededor del Sol No es cierto, profesor?(ver pg. 402)

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114 :: La ltima cifra de 3 a la potencia milEusebio: Encontr en una revista el nmero 31000, que me parece es muy grande; pero no tengo mucha idea cun grande. Leonor: Qu quieres decir, con tener idea de cun grande es un nmero?

Eusebio: Bueno, si por lo menos el nmero estuviese en potencias de 10... Profesor: Un dato: 321 = 10 460 353 203 Eusebio: Disculpe, profesor Cmo me sirve eso? Teresa: Cmo t no quieres el valor exacto, sino slo tener una idea, entonces se podra considerar que 321 = 1010.

Profesor: Esa es una buena propuesta. Eusebio: Como 1000 no es divisible entre 21, prefiero considerar que 320 = 1010 Es correcto lo que digo, profe? Profesor: S, si no se preocupa por el valor exacto en menos de un factor 3. Leonor: Carlos: Profesor En ese caso tendramos 31000 = (320)50 = (1010)50 = 10500, Epa!, un 1 seguido de 500 ceros. Profesor Qu ms podramos saber de ese nmero tan grande? [luego de meditar unos segundos]: Bueno, podramos conocer la ltima de sus cifras, es decir, la cifra de sus unidades...

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Miguel:

Cmo! La cifra de sus unidades? Pero para ello sera necesario multiplicar, al nmero 3, mil veces por s mismo...

[Parece que el profesor meti la pata](ver pg. 402)

115 :: La ltima cifra de una operacin entre nmeros muy grandesLuca: Profesor, ahora ya podemos decirle en que cifra terminar cualquier potencia del nmero 3.

Profesor: Solamente del nmero 3? Bueno, yo pensaba preguntarles por la cifra en que termina el nmero 3100 x 750 + 299.

3100 750 + 299.ig. 103 La ltima cifra del nmero mostrado es...

Luca Profesor

[maliciosa]: Tenemos toda la informacin...? [mefistoflicamente]: Supongo que s.(ver pg. 403)

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116 :: Un paseo vermiormeProfesor: Observen este cono recto, cuyo radio de la base vale r, y de altura h. O

A.ig. 104 Un gusanito partiendo de A debe rodear al cono y volver al punto de partida.

Leonor:

Entonces, r, h son datos del problema?

Profesor: S, son datos conocidos. Ahora, partiendo de este punto A, del borde de la base del cono, un gusanito va a dar la vuelta al cono, regresando al punto de partida. Se trata de encontrar el camino ms corto que puede seguir el gusanito, reptando sobre el cono. Carlos: Un problema de hallar el mnimo de una funcin? Profesor, nosotros todava somos colegiales!

[Un profesor que se equivoc de grupo](ver pg. 404)

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117 :: Una bicicleteadaProfesor: Cmo les fue ayer en la carrera de bicicletas? Carlos [entusiasmado]: La carrera era especial. No se trataba de ir ms rpido que los otros, sino de mantener siempre la misma rapidez. Eso no es fcil. Yo hubiese preferido una carrera de velocidad; hubiese dejado atrs a todos!

Eusebio: Participamos varios del saln. Tenamos que ir de la plaza A hasta la plaza B, por una pista casi recta, manteniendo una rapidez v, fija para todos. Carlos: En una de las carreras el grupo donde yo estaba partimos a las 8.00 en punto de la plaza A; mientras que los que partan de B, entre ellos Eusebio, se retrasaron un poco. Cada grupo deba llegar a la otra plaza, descansar justo 10 minutos, y regresar a la velocidad fijada.

Eusebio: La primera vez, los grupos nos cruzamos a 2 km de la plaza A, la segunda vez nos cruzamos a 1 km de la misma plaza A. Profesor: Cul era la distancia entre las dos plazas? Leonor [un poquitn nerviosa]: Esa es justo la respuesta que Ud. debe dar, profesor. Tiene toda la informacin del caso. Si no fuese as, puede preguntarnos. [abre la boca, sorprendido]: Ah, ah; ustedes son vengativos!

Profesor

[Un problema difcil para un profesor](ver pg. 406)

Jaquemtica

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118 :: La venganza del profesorProfesor: Ahora, quien se va a vengar soy yo. Dganme Cul de los dos nmeros 285 y 351 es mayor? Carlos: Profesor Podemos usar calculadoras? [sorprendido]: Ah, caramba; me haba olvidado de ese detalle. Entonces hallen cul de los nmeros 23885 y 32331 es mayor. Maana me traen la respuesta.(ver pg. 407)

119 :: De Limapampa a RunapampaUna especie de restaurante en Limapampa. Luca: Qu bien! Lejos del colegio! Lejos de las matemticas! Slo quiero pasearme y baarme en el ro.

Eusebio: La verdad que este lugar me recuerda a mi pueblo. Carlos [con un pantaln de bao en la mano] Chicas! Vamos a baarnos al ro...

Una seora: Tendrn que caminar un buen rato. De aqu hasta el ro, yendo derechito hay 5 kilmetros. Carlos Leonor: [sorprendido]: Cmo? Si nos dijeron que Limapampa estaba junto al ro! Bueno, chicas, chicos, mejor nos ponemos en camino.

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[Despus de casi dos horas llegan al ro. Inmediatamente se lanzan a las refrescantes aguas]. Miguel: Carlos: Hubiese querido visitar el pueblo de Runapampa, que est al otro lado del ro. Ese es un pueblo ms grande. No creas que est muy cerca; me he enterado que est a 10 km del ro. El gran lo es que todava no han construido el puente que nos permita pasar cmodamente.. O sea que entre Limapampa y Runapampa hay 15 km de distancia...

Leonor:

Eusebio: No; no es as. Nosotros hemos caminado 5 km perpendicularmente al ro. Si un runapampino fuese derechito al ro (es decir, caminando perpendicularmente al ro) tendra que caminar 10 km; pero, desde aqu hasta ese runapampino habran 20 km de distancia... Teresa: Luca: Leonor: Ja,ja,ja. Y Miguel quera dar un paseo por Runapampa. Y Carlos lo desanim, dicindole que tendra que caminar 10 km ms! Pero podramos venir otra vez, cuando hayan construido el puente. Si nos juntamos veinte personas podramos alquilar una camioneta. Este lugar es lindo! Dnde van a construir el puente?

Luca:

Eusebio: Eso s me lo cont el chofer que nos trajo. Dijo que estaban buscando un sitio, de manera que la distancia

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entre Limapampa y Runapampa fuese la menor posible. Que de esa manera los chicos de Limapampa podran ir al colegio de secundaria en Runapampa. Carlos: Cmo quieren averiguar cul es el camino ms corto?

Limapampa M

. .

A 5 Km.

B

.

N

10 Km. 20 Km.

C

Runapampa.ig. 105 Un puente MN para conectar Limapampa con Runapampa. (ver pg. 408)

120 :: La imagen especular de un nmeroProfesor: Diremos que el nmero n es la imagen especular del nmero n si la primera cifra de uno de los nmeros es la ltima del otro; la segunda de uno es la penltima del otro, y as sucesivamente. Por ejemplo, 2835 es la imagen especular de 5382.

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328735Carlos: Profesor

537823

.ig. 106 Cada uno de estos dos nmeros es la imagen especular del otro.

entonces 7777 es la imagen especular de 7777.. [contenindose]: Si, es cierto. Ahora les presento el primer problema de hoy: Deben encontrar un nmero, m, tal que si restamos m - m, o m-m, segn cual sea mayor (para que la diferencia sea positiva), entonces el resultado debe ser divisible entre 9. [casi inmediatamente]: Listo, profe! [sorprendido; pero desconfiado]: Listo? A ver! Muestre su resultado. [un poco atemorizado por su atrevimiento]: m = 5. [recuperando el humor]: Tiene Ud. razn. Cualquier nmero de una cifra cumple... Pero la diferencia da cero!

Carlos Profesor Carlos Profesor Mara:

Profesor: S; pero cero es divisible entre cualquier nmero que no sea cero. [Tratando de mantener el buen humor]: Ya; el nmero que encuentren debe tener 5 cifras...(ver pg. 409)

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121 :: La incgnita aparece infinitas vecesProfesor: Para maana les voy a dejar un problema muy difcil; quiero saber que hacen ustedes con l. Si no lo pueden resolver, no se preocupen. Bueno, se trata de hallar el valor del nmero x que satisface la ecuacin: x +

(x +

(x + K) = 7

)

donde los puntos suspensivos indican que los radicales se repiten indefinidamente. [Si eleva ambos miembros al cuadrado...](ver pg. 410)

122 :: Catenaria y CandelariaCarlos: Profesor El problema de la ecuacin donde la incgnita aparece infinitas veces era bien simple.. [sonriendo mefistoflicamente]: Bueno, bueno; veremos que les parece ste otro:

.ig. 107 Una cadena colgante adquiere, usualmente, la forma de una catenaria.

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En la figura les muestro una cadena, de 13 metros de largo, sujeta entre dos postes, cada uno de 8 metros de altura. La parte ms baja de la cadena se encuentra a 1.50 m del suelo. El problema consiste en hallar la distancia entre los postes. Leonor: Profesor, Cmo se llama la forma de una cadena colgante? Una vez le su curioso nombre en una revista.

Profesor: Se le llama catenaria; pero no se preocupen por los nombres. Leonor: Slo quera recordar cmo se llamaba. Catenaria suena como Candelaria. Yo tengo una ta que se llama Candelaria.(ver pg. 411)

123 :: Un nadador inscrito en una circunferenciaDe paseo. Se ve una laguna muy tranquila, casi perfectamente circular. Un hombre sale chorreando agua. Carlos: Baista: Buenos das, seor; se ha dado Ud. un buen bao. Buenos das jovencitos; el agua est deliciosa. Sigan mi consejo: dense una buena zambullida.

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120 90

.ig. 108 Recorrido de un nadador.

Eusebio: Eso haremos; dgame Qu dimetro tiene la laguna? Baista [los mira sonriente]: Tienen cara de colegiales. Bueno; veamos que tal estn en historia. Pongan atencin: Me lanc de una orilla y nad justo 90 metros en lnea recta hasta llegar otra vez a la orilla de la laguna. Gir 90 grados y me volv a lanzar al agua, nadando perpendicularmente a la direccin anterior hasta que, luego de nadar 120 metros, llegu otra vez a la orilla. Ahora, mtanse al agua!(ver pg. 411)

124 :: Buscando un puntoProfesor: Veamos algo de geometra: Dado el rectngulo ABCD se pide encontrar un punto M tal que la suma de las reas de los tringulos de las esquinas sea igual al rea del tringulo AMD.

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B

.

M

C

A

D

.ig. 109 Area(ABM) + rea(MCD) = rea(AMD) Dnde est M?

Mara:

Profesor, creo que el problema es fcil...

Profesor: Siga Ud., Mara [le entrega la tiza. Mara aade los puntos P Q y R] ,M B Q P A R.ig. 110 P, Q y R son los pies