iviteg texto matematica

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O DEHOLA. SOY IVIT, EL SIMBOLO

GRAFICO DE IVITEG y te doy la bienvenida al texto y a este

complejo mundo de la...

TEXTOS BASE MATEMTICA TEMA 010112201.indd 1 01/12/2010 05:14:51 p.m.

1

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O DE

RIF. J-29473261-5

TEXTO DE MATEMTICALcdo. Oswaldo Enrique Mendoza Araujo

2010 IVITEG, c.a. Prohibida la reproduccin totalo parcial de la obra.Todos los derechos reservadosHecho el Depsito de Ley DEPSITO LEGAL LF07420103704648ISBN 978-980-7399-00-5

Edicin e Impresin:IVITEG, c.a.www.iviteg.com

Direccin General, Comercialy Editorial:Juanpablo Gmez WilchesGerente General IVITEG, c.a.

Correcin:Lcdo. Edgar Marquina

Diseo y diagramacin:Lcdo. Jos Luis Oliveros M.

Impreso en la RepblicaBolivariana de VenezuelaNoviembre 2010Se hicieron 1000 ejemplares


RACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALES

Tema

N

MER

OS

RA

CIO

NA

LES1


5

En este captulo comenzaremos con una idea intuitiva de lo que representa un nmero racional.

Un nmero racional es aquel que se puede representar como un cociente de dos nmeros

enteros de la forma , donde el denominador es distinto de cero. Esto es lo que cono-

cemos como una fraccin. En forma de conjuntos los podemos expresar de la siguiente

manera:

La expresin la llamamos fraccin donde a es el numerador y b es el denominador

Operaciones con los nmeros racionales

Suma:

Para sumar dos nmeros racionales con diferente de-

nominador lo hacemos de la siguiente manera:

dbcbda

dc

ba

+=+

Siendo b y d


6

Ejemplo:

Resolvamos algunos ejercicios para clarificarlo:

*

Solucin:

Ejemplo:

*

Solucin:

Antes de continuar con el resto de las operaciones debe-mos tener en cuenta la reduccin de fracciones.

Para reducir fracciones debemos dividir tanto el numera-dor como el denominador por nmeros comunes, esto es importante, pues es ms cmodo trabajar con nmeros ms pequeos. Para reducir fracciones debemos tomar en cuenta lo siguiente:

DEFINICIN:

Ejemplo:

*

Solucin:

Esta fraccin es divisible por dos, pues tanto el numerador como el denominador son n-meros pares, as:

Un nmero es divisible por dos (2) cuando termina en un nmero par o 0 (cero)

Dividimos tanto el numerador como el denominador por dos


7

DEFINICIN:

Ejemplo:

*

Solucin:

Ejemplo:

*

Solucin:

Estudiemos el numerador:

261, sumamos cada uno de los dgitos

2+6+1=9Como 9 es divisible por tres, entonces 261 es divisible por tres

Veamos ahora el denominador

312, sumamos cada uno de los dgitos:

3+1+2=6Dado que 6 es divisible por tres, entonces 312 es divisible por tres.

Como el numerador y el denominador son divisibles por tres, entonces podemos reducir la fraccin.


8

Fjate que 87 es divisible por 3, pues 8+7=15 y quince es divisible por 3, pero la fraccin no la podemos reducir puesto que el denominador no es divisible por 3

DEFINICIN:

Ejemplo:

Tomamos el nmero sin la parte de las unidades y luego restamos el doble de las unidades

*

Solucin:

Ahora veamos el denominador

Es fcil notar que 49 es divisible por 7

Ahora si reducimos la fraccin

Fjate la importancia que tiene reducir las fracciones, pues la fraccin es equivalente a 7

Resta:

Para restar dos nmeros racionales de la forma

procedemos as:

Ejemplo:

*

Solucin:

28 es divisible por 7


9

Ejemplo:

*

Solucin:

Recuerda que la resta es la suma del elemento opuesto

Multiplicacin:

El producto de fracciones lo operamos de la si-guiente forma:

Ejemplo:

*

Solucin:

Ejemplo:

*

Solucin:Es recomendable notar si en primera instancia podemos reducir la fraccin, en este caso:

Es importante: Reducimos la fraccin


10

Divisin:

Para dividir nmeros racionales lo hacemos de la si-guiente manera:

Ejemplo:

Solucin:

Ejemplo:

* Solucin:Recuerda que la divisin es la operacin inversa de la multiplicacin, o lo que es lo mismo multiplicar por el inverso, por tanto debes multiplicar primero los signos para evitar confu-siones

Ejemplo:

*

Solucin:

Propiedades de las operaciones de los nmeros racionales:


11

Adems de las propiedades descritas es importante tener en cuenta lo siguiente:

Por lo tanto las sumas del tipo pueden representarse como:

Veamos ahora unos ejemplos donde se apliquen las propiedades de suma y producto en Q:

Ejemplo:

*

Solucin:

Aplicamos la propiedad asociativa de la suma


12

Ejemplo:Aplica la propiedad distributiva en el siguiente ejercicio: *

Solucin:

y listo!!!!

Una vez conocidas las propiedades de los nmeros racionales, veamos ahora algunas aplicaciones de las operaciones y sus propiedades.

Ejemplo:

Joaqun recorre en bicicleta Km los lunes, Km los mircoles y

Km los sbados cuntos kilmetros recorre en la semana?

Solucin:

Para saber cuntos kilmetros recorre Joaqun semanalmente, sumamos los recorridos de cada da


13

Joaqun recorre Km semanalmente

Ejemplo:

El equipo de ftbol Estudiantes de Mrida ha ganado 11 juegos

y perdido 9. Cuntos juegos ha de ganar consecutivamente para

tener de los juegos ganados:

Solucin:

Sea x el nmero de juegos que necesita ganar consecutivamente.

Por tanto, el nmero total de juegos ganados ser que

debe ser igual a del total de los partidos, adems, el total de los

juegos debe ser igual a los ganados ms los empatados, es decir:

Entonces la ecuacin relacionada con el planteamiento es:

Estudiantes de Mrida debe ganar 7 juegos consecutivos


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DECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALES

Tema

EX

PR

ESI

ON

ES

DEC

IMA

LES

2


17

Una expresin decimal es el resultado que se obtiene al dividir una fraccin de la forma

donde a es el numerador y b el denominador diferente de cero. Todo nmero racional

corresponde a una expresin decimal.

Tipos de expresiones decimales

Expresin decimal limitada

Es aquella que tiene un nmero finito de cifras decimales. Esta expresin resulta cuando el resto de la divisin es cero.

Ejemplo:

Solucin:

La podemos expresar en forma de divi-sin as:

Expresin decimal ilimitada

Una expresin decimal es ilimi-tada cuando el nmero de cifras decimal es infinito, es decir, que no tiene fin. stas las clasifica-mos en peridicas (puras y mix-tas) y no peridicas.

Peridicas puras

Son la que su parte decimal se repite hasta el infinito. A esta parte que se repite se le llama PERIODO. Son las de la forma:

2,3333333...

21,6363636363


18

0,315315315315315...

Las expresiones peridicas las expresamos de la forma:

2,3333333... =

21,636363636 =

0,315315315315315 =

Expresiones decimales peridicas mixtas

Son las que constan de parte entera, parte decimal peridica y una cantidad entre ambas que se llama ante perodo.

Ejemplo:


19

Expresiones decimales no peridicas

En este tipo de expresiones tenemos nmeros conocidos con los cuales poseen la caracterstica de que su parte decimal es infinita y no peridica

Fraccin generatriz

En matemticas es importante trabajar con fracciones para efectos de mayor exactitud, para ello, es necesario convertir expresiones decimales en fracciones. Veamos.

Fraccin generatriz de expresiones decimales limitadas

Para hallar la fraccin generatriz de una expresin decimal limitada, tomamos como nu-merador todas las cifras de la expresin decimal sin considerar la coma y como deno-minador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal, una vez expresada la fraccin, la reducimos si es posible.

Veamos el procedimiento con un ejemplo:

Buscar la fraccin generatriz de la siguiente expresin decimal:

1,25 =

Solucin: 1,25 =

Ejemplo:

0,32

Solucin:

0,32 =


20

Fraccin generatriz de una expresin decimal peridica pura

Para representar la fraccin generatriz de una expresin decimal peridica pura se colo-ca como numerador el numero completo sin la coma y se le resta la parte entera, y como denominador tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo.

Ejemplo:

Sea la expresin, convertirla en forma de fraccin generatriz:

Solucin:

=

=

Para comprobar el resultado solo debes dividir la fraccin y te dar la misma expresin decimal

Ejemplo:

Solucin:

=

Fraccin generatriz de una expresin decimal peridica mixta

Para hallar la fraccin generatriz de una expresin decimal peridica mixta colocamos como numerador el nmero completo sin la coma, le restamos la parte entera y decimal sin el periodo y como denominador tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo y tantos ceros (0) como cifras tenga el ante perodo.


21

Expresemos esta cantidad en forma de fraccin generatriz

=

Solucin

=

=

=

Ejemplo:

Solucin:

=

= =


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ECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONES

Tema

EC

UA

CIO

NES3


25

Comencemos este tema dando una relacin de ecuaciones con planteamientos que usa-mos en la vida cotidiana. Fjate en este ejemplo:

En un saln de clases hay 25 estudiantes. Si 8 son hombres, entonces cuantas mujeres hay en el saln?

Este ejemplo es fcil resolver por simple clculo, sin embargo, esto lo podemos expresar en forma de ecuacin de esta forma:

Ahora vamos a dar una definicin formal de lo que es una ecuacin:

Elementos de una ecuacin

Es importante determinar los trminos de una ecuacin, por ejemplo, la ecuacin anterior tiene 4 trminos:


26

Ahora fjate en este ejem-plo:

La ecuacin tiene 4 trminos, dos de ellos son fracciones, es importante identificar cada trmino de la ecuacin.

En este tipo de ecuaciones la incgnita tiene exponente uno, y se denominan ecuaciones lineales. Tambin existen otros tipos de ecuaciones que veremos con ms detalle en cap-tulos posteriores, dediquemos este captulo slo a las ecuaciones lineales.


27

Principios bsicos para resolver ecuaciones:

Se agrupan todos los trminos que contienen la incgnita en el primer miembro y los trminos constantes en el segundo miembro tomando en cuenta lo siguiente:

Si est en un miembro sumando, pasa al otro lado restando Si est restando en un miembro, pasa al otro lado sumando

Se suman algebraicamente los trminos semejantes en cada miembro de la ecua-cin Se despeja la incgnita tomando en cuenta lo siguiente:

Si un nmero est multiplicando la incgnita, pasa al otro miembro a dividir Si un nmero est dividiendo en un miembro, pasa al otro miembro multiplicando.

Ejemplo:

Despejar la incgnita en la siguiente ecuacin:

Solucin:

Ejemplo:

Hallar el valor de x en la siguiente ecuacin:

Solucin:


28

Para resolver ecuaciones con n-meros racionales lo hacemos de la siguiente manera:

Eliminamos los numeradores, para ello multiplicamos cada trmino por el mnimo comn mltiplo de los denominadores.

Una vez eliminados los denominadores, nos queda una ecuacin con trminos enteros y ya eso lo sabemos resolver. Hagamos un ejemplo y veras lo sencillo que es.

Ejemplo:

Solucin:

El mnimo comn mltiplo de los denominadores es 6


29

Ejemplo:

Hallar el valor de z en la ecuacin:

Solucin:

Hallamos el mnimo comn mltiplo de los denominadores:

El m.c.m. de (9,4,2,3)=36

Ahora bien, como ya conocemos la manera de despejar la incgnita en una ecuacin, apliqumosla a la resolucin de problemas, para ello, se debe tener en cuenta lo siguiente:

Comprender el problema:

Para ello debes considerar lo siguiente:

Leer detenidamente el enunciado Identificar los datos conocidos y las incgnitas En algunos casos, hacer un grfico que refleje las condiciones del problema

Planteamiento de la ecuacin

Pensar en las condiciones del problema y concebir un plan de accin. Elegir las operaciones y anotar el orden en que deben ser realizadas. Expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones.

Resolucin de la ecuacin

Resolver las operaciones en el orden respectivo


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Despejar la incgnita del problema planteado

Verificar la solucin de la ecuacin Sustituimos el valor de la incgnita en la ecuacin para verificar la igualdad es-tablecida

Ahora veamos unos ejemplos de resolucin de problemas a travs de ecuaciones:

Ejemplo:

Maril pas de sus vacaciones en Choron, en Caracas y en Margarita. Si al final pas 3 das en Trujillo, cuntos das duraron

las vacaciones de Maril?

Solucin:

Intentemos comprender el problema

Se quiere saber los das de vacaciones de Maril, sta ser la incgnita, luego debemos sumar cada fraccin de das que pas en los diferentes sitios y eso ser igual al total de das de vacaciones.

Planteamos la ecuacin:

Resolvemos la ecuacin:


31

Ejemplo:

Si al dinero que tengo ahora le agregara la mitad ms 1.000Bs, tendra 10.000Bs. Cunto dinero tengo?

Solucin:

Intentemos comprender el problema:

En el problema se quiere saber la cantidad de dinero, entonces esa ser la incgnita. Llammosla x.

Analizamos las condiciones del problema y planteamos la ecuacin:

Dinero qu tengo + + 1.000 = 10.000

Como la incgnita es la cantidad de dinero la ecuacin quedara de la siguiente forma:

Resolvemos la ecuacin:


32

tus notas

Solucin:

El dinero que tiene es 6000 Bs

Verificamos el resultado obtenido

Como x=6000

Se cumple la igualdad, por lo tanto el resultado es correcto!!!!!


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POTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACIN

Tema

PO

TEN

CIA

CI

N4


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Si sabes multiplicar, entonces la potenciacin no te ocasionar muchas dificultades, pues la po-tenciacin no es ms que multipli-car un nmero real (la base) por s mismo, las veces que lo indique un nmero entero (el exponente). Lo podemos representar de la si-guiente manera:

Veamos un ejemplo:

43 = 444 = 64

Veamos ahora:Propiedades de la PotenciacinPara resolver ejercicios relacionados con potenciacin es necesario conocer y aplicar las siguientes propiedades:

Potenciacin con exponen-te negativo:

Cuando te encuen-tres con una potencia con exponente nega-tivo no te preocupes, es fcil de resolver, slo

tienes que invertir la base y cambiarle el signo al ex-ponente:

Un caso particular:

Mira el ejemplo que te presenta-mos a conti-nuacin:

a = aaaaaa...a=bn

n-veces

exponente

base

Hey!!!! Recuerdaque el denominador

no puedeser cero (0)


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Invertimos la fraccin, cambiamos el signo del expo-nente, aplicamos las propiedades y listo!!!!

Invertimos la fraccin, cambiamos el signo del expo-nente, aplicamos las propiedades y listo!!!!

Para convertir un exponente negativo a positivo se invierte la base y se coloca el expo-nente positivo que fcil!!!!

,en general,

Ejemplo:

(Recuerda que todo nmero entero tiene denominador uno)

Veamos otro ejemplo:

Con estos ejemplos queda claro lo que representa un exponente negativo y cmo se re-suelve.

Potenciacin con base negativa:

Cuando la base es negativa se tiene dos casos:

Si el exponente es un nmero entero par y a > 0

Si el exponente es un nmero entero impar y a > 0

Vemoslo mejor con algunos ejercicios

Ejemplo:

* Dado que la base es negativa y el exponente es par

Ejemplo:

*

El resultado es negativo, pues la base es negativa y el exponente es impar


39

Potenciacin con exponente 1:

Para todo nmero a se cumple que:

Un ejemplo relacionado con lo anterior es:

Con esto se puede concluir que todo nmero real tiene exponente uno, esto no es la gran cosa, pero mas de uno lo pasa por alto y suele complicarse en algunos ejercicios.

Producto de potencias de igual base:

Para multiplicar potencias de igual base debes colocar la misma base y sumas algebrai-camente los exponentes, en forma general se puede expresar as:

Ahora veamos un ejemplo que clarifique mejor la cuestin:

El ejemplo anterior es compota, veamos otro:

Divisin de potencias de igual base:

Para dividir potencias de igual base colocar la misma base y luego restas el exponente del numerador menos el expo-nente de denominador.

En la suma algebraica signos iguales, se suman, signos opuestos se restan


40

Veamos unos ejemplitos:

La expresin es equivalente a: a) b) c) d)

Solucin:

Lo primero que tienes que ver, es cul es la potencia, es decir, cul es la base y cules son los exponentes

base

exponente

base

exponente

Como ya tienes identificado quin es quin, aplicas la propiedad

= =

... Eso es todo!!!!

Potencia de una potencia:

Para elevar una potencia a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes, es decir:

Ilustrmoslo con unos ejemplos:

Ejemplo:

*

Ejemplo:

*

Divisin de potenciasde igual base

en estos ejemplos tambin aplicamos lo de potencias con exponentes negativos


41

Potencia de un producto:

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias:

Observa:

Ejemplo:

Lo puedes ver as: si mas de una potencia est elevada a cierto exponente, pues entonces le entregas a cada quien su exponente... y listo!!!

Ejemplo:

Potencia de un cociente:

La potencia de un cociente es igual al cociente de la poten-cia del numerador entre la potencia del denominador, esto es:

Un ejemplo para aclarar:

a cada quien le entregamos su exponente

Ahora bien, vamos a resumir en un cuadro este captulo con las propiedades ms resaltantes:

Viste!!! A cada trmino se le entreg su exponente, y luego potencia de una potencia


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tus notas

Nos encontramos de nuevo ms

adelante


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PRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOS

Tema

PR

OD

UC

TO

SN

OTA

BLES

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Para comprender el concepto de producto notable es importante tener el concepto de factor comn, y la importancia que tiene en matemticas dicho concepto.

Ahora veamos una demostracin geomtrica del asunto:

El siguiente rectngulo tiene como base a+b y altura c

El rea del rectngulo es base por altu-ra, si la base mide a+b y la altura mide c, entonces:

Ahora hallemos las reas de los siguientes rectngulos: el de base a y el de base b, am-bos de misma altura c

Llamemos A1 al rea del rectngulo de base a y A2 el rea del rectngulo de base b


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Dado que y

Si sumamos las reas de los rectngulos obtenemos:

Ahora veamos un ejemplo:

Consideremos la expresin

son dos trminos que se estn sumando.

Ahora bien, como ambos trminos son mltiplos de 2, hacemos lo siguiente:

Como el dos es factor de ambos trminos hacemos lo siguiente:

A esto es lo que llamamos extraer el factor comn de dos trminos, verifiquemos que es la misma expresin inicial:

y tenemos la expresin inicial!!!

Otro ejemplo:

Extraer el factor comn de la siguiente expresin:

Solucin:

Primero observamos cules son los factores que se repiten:

as es mas fcil determinar los factores, 3 y x

se extraen los factores comunes. Y listo!!!!!


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Esto es bsicamente extraer factor comn, lo importante de esto es que podemos conver-tir sumandos en productos, con el fin de simplificar expresiones, las cuales clarificaremos ms adelante.

Una vez explicado lo que es y la importancia que tiene el factor comn, conoceremos ahora los productos notables:

Productos notables

Veamos algunos casos de productos notables:

Cuadrado de una suma o cuadrado de un bino-mio

Veamos una demostracin geomtrica de esta expresin:

Sea el cuadrado:

El rea del cuadrado viene dado por:

Ahora veamos el mismo cuadrado fraccionado


50

=

Fjate que es el mismo cuadrado, por lo tanto el rea es la misma. De esta forma tenemos:

De esta manera queda demostrada geomtricamente la frmula!!!

Observa los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

Desarrollar los siguientes productos notables: Solucin:

Ejemplo:

Solucin:


51

Cuadrado de una resta

Mira estos ejemplos:

Ejemplo:

Solucin:

Ejemplo:

Solucin:

Producto de dos binomios conjugados

Cuando el segundo trmino es negativo la ecuacin que resulta es:


52

Ejemplos:

Desarrollar los siguientes productos de binomios:

Solucin:

Ejemplo:

Solucin:

Producto de dos binomios con un trmino en comn


53

Ejemplo:

Solucin:

Ejemplo:

Solucin:

Cubo de una suma y de una diferencia

Tambin conocido como binomio al cubo se puede representar por medio de las siguien-tes frmulas:

Cubo de una suma

Cubo de una diferencia:


54

tus notas

Ejemplos:

Solucin:

Fjate que el resultado de desarrollar el cubo de una suma es un polinomio ordenado de tercer orden

Ejemplo:

Solucin:


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POLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOS

Tema

PO

LIN

OM

IOS

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Hablemos en este captulo sobre polinomios, desde sus expresio-nes ms sencillas hasta las operaciones algebraicas ms com-pletas. Vamos a comenzar dando una definicin de polinomio:

Donde los coeficientes, los subndices indican por lo menos, an es el co-eficiente de xn , an-1 el coeficiente de x

n-1 , a1 el coeficiente de x1; a0 el coeficiente de x0=1

Grado de un polinomio:

El grado del polinomio lo puedes determinar por medio del trmino que posee el valor de la potencia ms alto.

Veamos unos ejemplos:

Ejemplo:El grado del polinomio queda determinado por el mayor exponente de la variable, en este ejemplo el grado del polinomio es 3.

El trmino independien-te es aquel en el que no aparece la variable. En este caso el trmino in-dependiente es 7.

Los coeficientes son los nmeros que acompaan a la variable, en el ejemplo los co-eficientes son 4,-5,2 y 7.

Veamos otro ejemplo:

En el polinomio determina el grado del polinomio y el tr-

mino independiente.

Solucin:

Grado del polinomio: 5; Trmino independiente: -


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Valor numrico de un polinomio

El valor numrico de un polinomio es el nmero que se obtiene al sustituir la variable por un valor dado y efectuar luego las operaciones indicadas.

Fjate en este ejemplo:

Dado el polinomio hallar

Solucin:

Sustituimos el valor de la variable por 2, as:

Con esto concluimos que el polinomio evaluado en 2 es igual a cero (0).

Trminos semejantes de un polinomio

Diremos que dos trminos de un polinomio son semejantes si tienen la misma parte literal (variable) y el mismo grado.

Ejemplos:

y son polinomios semejantes

y son trminos semejantes:

Resolvamos este ejercicio donde se aplica la igualdad de polinomios:

Cul debe ser el valor de m para que los siguientes polinomios sean iguales?


61

Solucin:

Podemos notar que los polinomios tienen el mismo grado, y que para que sean iguales los coeficientes del x2 deben ser iguales, as:

Polinomios opuestos

Dos o ms polinomios son opuestos si sus coeficientes de igual grado son opuestos.

Ejemplo:

es opuesto a

Los signos de los coeficientes son opuestos

Clasificacin de polinomios

Algunos polinomios poseen un nombre en particular, los ms mencionados y que usare-mos en algunos ejercicios tenemos:

Monomio

Es el polinomio que est formado por un solo trmino.

Ejemplo:

,

Binomio

Es un polinomio formado por dos ( ) trminos.


62

Ejemplo:

,

Trinomio

Es el polinomio formado por tres trminos.

Ejemplo:

Ejemplo:

Orden de polinomios

Los polinomios se ordenan en forma creciente o de-creciente, este orden lo indican los exponentes de cada trmino del polinomio.

Cuando los trminos se ordenan de mayor a menor decimos que el polinomio est ordenado en forma decreciente, en caso contrario diremos que est or-denado en forma creciente. Referencimoslo con un ejemplo:

Ejemplo:

Sea el polinomio . Ordenarlo en forma decreciente:

Solucin:

Fjate que el orden lo indican los exponentes de cada trmino.


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Ordenar un polinomio en forma creciente significa escribir los trminos del polinomio, segn el grado de menor a mayor.

Ejemplito:

Ordena el polinomio en forma creciente

Solucin:

En este caso el trmino que falta es el de exponente 2 por tanto lo completamos con

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos o ms polinomios se suman algebraicamente los coeficientes de los trminos de mismo grado.

Ejemplo:

Hallemos la suma de los polinomios

y

Solucin:

Para resolver este tipo de ejercicios debemos orde-nar los polinomios (preferiblemente en forma decre-ciente) para identificar los coeficientes de cada tr-mino y realizar la suma algebraica correspondiente. Hagmoslo as:


64

Resta de polinomios

Para restar dos polinomios, le sumamos el opuesto del sus-traendo, otra manera de decirlo es, que le cambiamos los sig-nos al sustraendo. Clarifiquemos esto con un ejemplo:

Ejemplo:

Sean los polinomios y

Solucin:

Multiplicacin de polinomios

Para efectuar multiplicaciones con polinomios debemos te-ner presente algunos casos:

Partamos desde lo ms elemental:

Multiplicar una constante por un polino-mio

Para multiplicar una constante por un polinomio, multiplicamos el coeficiente de cada trmino del polinomio por la constante.

Ejemplo:

Si tenemos el polinomio y queremos multiplicar este polino-

mio por la constante k=4, entonces se resuelve de la siguiente manera:

Ejemplo:

Dado el polinomio calcular

Solucin:


65

Producto de monomios

Para multiplicar monomios de la forma el producto de estos monomios viene dado por:

En otras palabras multiplicamos coeficientes con coeficientes y variable con variable to-mando en cuenta las reglas de potenciacin.

Ejemplo:

Solucin:

Productos de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, se multiplican trmino a trmino de uno de ellos por todos y cada uno de los trminos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo trminos semejantes. Usualmente se ordenan los polinomios en orden creciente o decre-ciente. Veamos un ejemplo:

Ejemplo:

Sean los polinomios y .

Calcular

Solucin:


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tus notas


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FUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONES

Tema

FU

NC

ION

ES

7


71

Antes de empezar con el tema de fun-ciones como tal, comencemos con tener una intuicin del significado de conjunto.

En trminos matemticos definir con-junto es algo ambiguo, pero en trmi-nos generales lo podemos entender como una coleccin o agrupacin bien definida de objetos de cualquier clase. Estos objetos los llamaremos miembros o elementos del conjunto.

Ejemplo:

El conjunto de los nmeros naturales los representamos de la siguiente manera:


72

Relaciones entre conjuntos

Fjate en los siguientes conjuntos:El primer conjunto son capitales y el se-gundo conjunto son pases, cuyas re-spectivas capitales estn en el primer conjunto. Entonces, la relacin que existe entre el primer conjunto al que llamaremos conjunto de partida y el segundo conjunto al que llamaremos conjunto de llegada es la siguiente: es capital de.

Par ordenado

En el caso anterior la relacin entre los conjuntos la podemos ex-presar en forma de par ordenado de la siguiente manera:

= {(Caracas, Venezuela) ; (Roma, Italia) ; (Berln, Alemania) ; (Dakar, Senegal); (Tokio, Japn)}

Producto cartesiano:

Un producto cartesiano de dos conjuntos e lo denotamos como , es el conjunto de todos los pares ordenados en los que la primera componente pertenece a y la se-gunda pertenece a . Lo representamos de la siguiente manera:


73

Veamos un ejemplo

Ejemplo:

Dados los conjuntos

Representar los pares ordenados del producto cartesiano

Solucin:

Un subconjunto del pro-ducto cartesiano sera:

,es decir,

Otro subconjunto de es:

Representacin sagital de conjuntos

Los subconjuntos S1 y S2 los podemos representar as:


74

Esto es lo que conocemos como una representacin sagital entre conjuntos

Una relacin entre dos conjuntos podra definirse de la siguiente manera:

Una vez comentado en trminos generales algunas definiciones, explicaremos el signifi-cado de funcin:

Elementos de una funcin

Veamos una representacin sagital de una funcin


75

Veamos algunos ejemplos cuando es funcin y cuando no lo es:

Ejemplo: f(x)


76

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:


77

Veamos la siguiente funcin:

La relacin que existe entre el conjunto de partida y el conjunto de llegada es la mitad de as:

Funcin numrica

Hasta ahora hemos visto ejemplos de funciones donde existen partes literales (letras) y partes nu-mricas. Ahora, veamos funciones donde ambos conjuntos (dominio y codominio) son conjuntos numricos. Por ejemplo, la podemos definir mediante la asociacin de un nmero natu-ral con otro nmero natural o, con ms detalle, que el dominio es el conjunto de los nmeros naturales y el rango tambin pertenece a ese conjunto.


78

Ejemplo:

Si tenemos la funcin definida por , entonces f es una funcin que

va del conjunto de los naturales (conjunto de partida) al conjunto de los racionales (con-

junto de llegada).

La notacin representa las imgenes de cada elemento del dominio. La letra la llamaremos variable independiente y la letra la llamaremos variable dependiente.

Ahora fjate en el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Hallar las imgenes de los siguientes elementos cuya funcin es

Solucin:Para hallar los valores correspondientes a cada elemento del dominio, sustituimos cada valor en la funcin para obtener di-cho elemento. Esto es:

Si la funcin es , sustituimos cada elemento del dominio en esta ecuacin para obtener las imgenes (recu-erda que los valores del dominio corresponden a la variable independiente )

Hallamos la imagen del primer elemento del dominio:

Para

Sustituimos este valor en la funcin

Ahora para el prximo elemento del dominio:

Para

Para


79

Para

Ahora, si tenemos las imgenes de cada elemento del dominio, la funcin en forma sagi-tal queda de la siguiente manera:

Los pares ordenados que forma la funcin son los siguientes:

Dominio:

Rango:

Cuando tengamos una funcin de la cual conocemos la fr-mula que la determina y deseamos hallar la imagen de cu-alquier elemento del dominio, basta con sustituir cualquier elemento del dominio en la frmula y obtendremos la imagen

correspondiente.

Funcin inyectiva

3

2

5

4

0

-1

2

1


80

Ejemplo:

Ejemplo:

Funcin sobreyectiva

Ejemplo:

Determina si las siguientes funciones son sobreyectivas


81

Ejemplo:

Funcin biyectiva


82

Ejemplo:

Determina si las siguientes funciones son biyectivas

Funciones en plano cartesiano

Conozcamos ahora el plano carte-siano

El plano cartesiano esta forma-do por dos rectas numricas, una horizontal y una vertical que se cortan en un punto lla-mado origen.

La recta horizontal la llamare-mos eje de las abscisas

y a la recta vertical la llamaremos eje de las ordenadas.

El punto donde se cortan las rectas recibe el nombre de origen.


83

En el eje de la X los nmeros positivos los representa-mos al lado derecho del origen y los nmeros

negativos a la izquierda

En el eje de las Y los nmeros positivos los representa-mos hacia arriba del origen y los nmeros negativos

en la parte inferior del origen

Representacin de puntos en el plano cartesiano

El plano cartesiano tiene como objetivo describir la posicin de puntos, los cuales vamos a representar a travs de sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las X y uno de las Y respectivamente, con lo que indica


84

que un punto lo podemos ubicar en el plano cartesiano en base a sus coordenadas. Un punto cualquiera lo representamos como:

Ejemplo:

Representar el punto en el plano cartesiano

Solucin:

Ejemplo:

Representar los siguien-tes puntos en el plano cartesiano:

, ,, ,

, e indicar en qu cuadrante se encuen-tran.


85

Solucin:

Representacin grfica de fun-ciones

Sabemos que las fun-ciones las podemos representar en forma

de pares ordena-dos de la formadonde la primera componente

pertenece al conjunto del dominio y la segunda

al de las imgenes. Tambin sabemos que para representar puntos en el plano, stos estn expresados en forma de pares ordenados, por transitividad podemos decir entonces que las funciones las podemos representar en el plano cartesiano.

Para representar gr-ficamente una funcin

lo podemos hacer de la siguiente manera:


86

Ejemplo:

Dada la funcin representarla grficamente

Solucin:

Escogemos valores arbitrarios para susti-tuirlos en la funcin (preferiblemente nme-ros que faciliten los clculos). Tomamos los siguientes valores: -2,-1,0,1,2 y los expresa-mos en una tabla de valores de la siguiente manera:

Sustituimos cada uno de los valores selec-cionados de x en la funcin para hallar los valores respectivos de y


87

Una vez representados los pares orde-nados en el plano cartesiano, obtene-mos la grfica de la funcin!!!

Ejemplo:

Representar grficamente la funcin , dados los siguientes valores:

Solucin:

Sustituimos cada valor de x en la funcin


88

Funcin lineal

Una funcin lineal o afn es la que representamos de la forma

donde y son n m e r o s constantes. El nmero

se llama pendiente de la recta y el nmero representa

la ordenada en el origen. La represen-tacin gr-fica de una funcin lineal es una recta.

Veamos un ejemplo que ilustre esta definicin.


89

Ejemplo:

Representemos grficamente la funcin :

Solucin:Fjate que esta funcin es de la forma donde:

y

como la pendiente es positiva, entonces la funcin es creciente y como , entonces la grfica corta en el eje x en el punto .

Tomamos un punto cualquie-ra para evaluarlo en la funcin, por ejemplo: x=1

Para x=1

Ahora s podemos graficar la recta, pues conocemos dos puntos de la misma

,


tus notas90


FUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCIN

Tema

FU

NC

IN

LIN

EA

L8


93

La recta real

Comencemos este tema con una nocin elemental de los teoremas ms importantes en el desarrollo de las matemticas: el teorema de Pitgoras

Teorema de Pitgoras

La HIPOTENUSA es el lado mas largo del tringulo

Al cateto que forma el ngulo con la hipotenusa lo llamaremosCATETO ADYACENTE

Al cateto ms lejano al ngulo lo llamaremos CATETO OPUESTO

De esta frmula del teorema derivan:

Hipotenusa

Cateto opuesto

Cateto adyacente


94

Ejemplo:

Hallar la longitud de de la hipotenusa, sabiendo que el cateto opuesto vale y el cateto adyacente vale

Solucin:

Aplicamos la frmula del teorema de Pitgoras:

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos en el plano la pode-mos hallar a travs del teorema de Pitgoras, to-mando en cuenta las coordenadas de estos puntos. Veamos la siguiente demostracin:

Supongamos que queremos hallar la distancia entre los puntos A de coordenadas y B de coordenadas como se muestra en la siguiente figura:

Ahora bien, apliquemos el teorema de Pitgo-ras al tringulo recto formado por los puntos A, B y C


95

Aplicando el teorema de Pitgoras tenemos:

Sustituyendo los datos en la ecuacin del teorema tene-mos:

Obteniendo as la frmula para hallar la distancia entre dos puntos, en conclusin diremos entonces:

Ejemplo:

Hallar la distancia entre los puntos y

Solucin:

Aplicamos la frmula de distancia entre dos puntos:

Ahora sustituimos las coordenadas de los puntos dados


96

Ejemplo:

Hallar la distancia entre los puntos y

Solucin:

Aplicamos la distancia entre dos puntos:

Sustituimos las coordenadas de los puntos dados:

Punto medio de un segmento

Sabemos que dos puntos A y B determinan un segmento, al cual le podemos hallar su longitud a travs de la frmula de la distan-cia, ahora veamos la frmula para hallar el punto medio de dicho segmento:

Ejemplo:

Hallar el punto medio del segmento formado por los puntos y Solucin:

Aplicamos la frmula de punto medio de un segmento


97

Sustituimos las coordenadas de los puntos

Ahora apliquemos estas frmulas a algo de geometra:

Ejemplo:

Hallar el permetro del tringulo ABC cuyos vrtices tienen las siguientes coordenadas: , y

Solucin:

Sabemos que el permetro de una figu-ra geomtrica es la suma de la longitud de cada uno de sus lados, as, debe-mos hallar la longitud de cada lado del tringulo, las sumamos y listo!!!!!

Hallemos la distancia entre los puntos A y B

Datos:

Sustituimos las coordenadas de cada punto en la ecuacin de distancia:


98

Ahora hallamos la longitud del lado formado por los puntos B y C

Hallamos la longitud de lado formado por los puntos A y C

Como ya conocemos la longitud de los tres lados, los sumamos y lis-to!!!!!

Sustituimos los valores


99

Funcin Lineal

Ya habamos mencionado de forma general la funcin lineal, ahora vemosla con ms detalle.

Veamos algunas funciones lineales

a) b) c)

Significado de pendiente y ordenada en el origen:

Pendiente de una recta:

Conocemos como la pendiente de una recta al grado (medida) de inclinacin que sta tiene con respecto a un plano si una recta pasa por dos puntos distintos y entonces la pendiente de la recta esta definida mediante la ecuacin:

Esto es:

Interpretacin geomtrica de la pendiente:


100

Ejemplo:

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos y

Solucin:

Es importante determinar las coordenadas correspondientes.Aplicamos la frmula de la pendiente:

Como la pendiente de la recta es negativa, podemos deducir que la recta formada por los puntos dados es decreciente!!!!

Ejemplo:

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos y

Solucin:

Fjate que no es necesario aplicar la frmula para determinar la pendiente, pues si obser-vamos las coordenadas de y en cada punto son iguales, por lo tanto, la pendiente es cero.

Ecuacin de la recta

La representacin en forma de ecuacin la podemos expresar de varias maneras, veamos las ms elementales:


101

Ecuacin explicita

Es la ecuacin de la forma:

Donde:

son las coordenadas de los puntos que pertenecen a la recta,

es la pendiente de la recta,

es el valor de la ordenada del punto de corte de la recta con el eje y.

Ecuacin punto pendiente


donde:

son las coordenadas de todos los puntos que pertenecen a la recta,

son las coordenadas de los puntos conocidos de la ecuacin,

pendiente de la recta.


102

tus notas

Ecuacin general de la recta


La llamaremos ecuacin general y tiene como grfico una recta en el plano cartesiano donde:

es la pendiente de la recta

es la ordenada en el origen

Ejemplo:

Hallar la ecuacin general de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente

Solucin:

Dado que conocemos un punto y la pendiente de la recta, expresamos la ecuacin de la forma punto pendiente


tus notas103


tus notas104


RADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALES

Tema

RA

DIC

ALES

9


107

En este captulo nos encontraremos con un nuevo smbolo, pero no te alarmes, enfocare-mos el tema de radicales en funcin de la potenciacin y veras lo sencillo que es. Defina-mos algunos trminos de potenciacin:

Potenciacin con exponente racional:

La raz ensima de un nmero a se define como:

Aclaremos la cuestin con unos ejemplos:

Tambin lo podemos expresar de esta manera:

Fjate que la cantidad subradical es equivalente a la base de la potencia, el ndice de la raz es el equivalente al denominador del exponente de la cantidad subradical y el ex-ponente de la cantidad subradical es el equivalente al numerador del exponente de la potencia. Esto es:

SABAS QUE:El smbolo fue introducido por el

matemtico Christoph Rudolff en el primer tratado de lgebra en

alemn en 1525. Trataba de una

forma estilizada de la letra r, inicial

del trmino latino radix radical

no se te olvide que todo nmero tiene exponente uno

ahora s se visualiza mejor


108

Ojo: esto tiene sentido siempre y cuando sea un nmero real

Tambin podemos expresar potencias en forma de raz, mira los siguientes ejercicios:

*

*

*

Con estos ejemplos espero que te quede claro lo que es un radical, ves que no es algo del otro mundo?

Hasta ahora slo hemos visto ejemplos donde la base o cantidad subradical positiva. Fjate en lo siguiente:

Este nmero no existe en el conjunto de los nmeros reales, en ge-neral, ninguna raz con cantidad subradical negativa e ndice par tie-ne sentido en el conjunto de los nmeros reales

Observa este razonamiento:

Pareciera estar correcto peroNO!!!! Se debe respetar el orden de las operaciones, con lo que primero debe efectuarse la potencia cuadrada y luego extraer la raz, o sea, el razonamiento correcto es:

as s es la cuestin!!!!

cuando en el ndice de la raz no aparece ningn n-mero, se asume que el ndice de la raz es 2


109

Vamos a definir la siguiente regla para que no nos enrollemos con esto:

a) Ejemplo:

b) Si Ejemplo:

Una vez claro lo que es un radical, veamos las propiedades de los mismos, vindolo como potencias vers que es similar:

Raz de un producto:

La raz ensima del producto es igual al producto de la raz ensima de a por la raz ensima de b. esto es:

Ejemplitos:

*

*

Raz de un cociente:

La raz ensima de un cociente de la forma es igual al cociente de la raz ensima de a entre la raz ensima de b. Esto es:

Tiene sentido slo en los siguientes casos:

Propiedad de producto


110

Observa estos ejemplos:

Ejemplo:

*

Ejemplo:

*

Ejemplo:

Potencia de una raz:

La potencia de una raz la podemos efectuar elevando la cantidad subradical a dicha po-tencia conservando el mismo ndice de la raz. Esto es:

Ejemplo:

*

Aplicamos la propiedad cociente y producto


111

Ejemplo:

*

Raz de una raz:

Para efectuar la raz de una raz se multiplican los ndices de las races y se conserva la cantidad subradical. As:

Ejemplo:

*

Ejemplo:

*

Ejemplo:

*


112

Ejemplo:

*

Introduccin y extraccin de radicales:

En muchos ejercicios es necesario introducir o extraer factores de la raz para trabajar de manera simplificada, pues mientras ms reducidas estn las expresiones se facilitan los clculos. Veamos ahora los mtodos para la introduccin y la extraccin de factores de una raz:

Introduccin de un factor en un radical:

Para introducir un factor en un radical se eleva dicho factor a una potencia cuyo exponente es igual al ndice del radical. Esto es:

Aclaremos esto con algunos ejemplos :

Ejemplo:

*


113

Ejemplo:

*

Ejemplo:

* Introducimos el factor x con exponente igual al ndice de la raz(3)

Extraccin de factores de un radical:

Para extraer un factor de un radical de la forma donde m>n, se divide y luego se expresa el resultado de la divisin de esta forma:

Ummm, tal vez te parezca enredado todo esto, vemoslo con unos ejemplos

Ejemplo:

*

Solucin:

Dividimos el exponente de la cantidad subradical entre el ndice de la raz


114

Ahora el resto de la divisin ser el exponente de la potencia de la cantidad subradical y el cociente ser el exponente de la potencia extrada del radical

Ejemplo:

* Solucin:

Como los exponentes de las potencias son mayores que el ndice de la raz, podemos extraer factores del radical, entonces realizamos el procedimiento explicado en el ejemplo anterior. Extraemos las potencias de x e y

Para la potencia de x Para la potencia de y

Luego:

Nota: cuando te encuentres con radicales semejantes, es decir, que tengan el mismo ndice y la misma cantidad subradical slo operas los coeficientes de estos con operaciones aritmticas sen-cillas, veamos:


115

Ejemplo:

* Solucin:En este ejemplo, el ndice de la raz de cada cantidad

subradical es la misma en cada radical, por tanto son radicales semejantes, operando solamente los coeficientes del radical, as:

Simplificacin de radicales:

Para simplificar un radical se haya el mximo comn divisor (M.C.D.) de m y n y luego se divide tanto el ndice de la raz como el exponente de la cantidad subradicalentre el M.C.D.

Ejemplo:

Solucin:


tus notas116


FUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCIN

Tema

FU

NC

IN

C

UA

DR

T

ICA10


119

Funcin cuadrticaUna funcin cuadrtica es aquella que tiene la siguiente forma:

donde A,B y C son nmeros reales con A0.

Ejemplos de funciones cuadrticas:

; ;

Caractersticas de la funcin cuadrticaEl grfico de una funcin cuadrtica es una parbola que:

Abre hacia arriba (cncava) si A >0 (positivo)

Abre hacia abajo (convexa) si A

120

Corta al eje Y en el punto

El corte con el eje X queda determinado por el discriminante de la siguiente forma:

Si la parbola corta al eje X (abscisas) en dos puntos. Figura 1

Si la parbola corta al eje X (abscisas) en un punto. Figura 2

Si no existen puntos de corte con el eje X (abscisas). Figura 3

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Para hallar el punto de corte con el eje X hacemos

El dominio de la funcin cuadrtica es el conjunto de todos los nmeros reales


121

El rango de la funcin ser un subconjunto de los nmeros reales

El eje de la parbola, llamado tambin eje de simetra, es la recta que tiene como ecuacin:

El vrtice de la parbola viene dado por:

Ahora, veamos un ejemplo que aclare lo antes visto:

Ejemplo:

Representar grficamente la funcin . Determinar los puntos de cor-tes con los ejes, el vrtice y el eje de simetra.

Solucin:

Como , entonces:

La funcin corta al eje Y en el punto , es decir, corta al eje Y en el punto

Hallamos el vrtice


122

Hallemos los puntos de corte con el eje X

Para ello hacemos

As:

o

o

Los puntos de corte con el eje X son:

y

Hallamos el eje de la parbola

Observando la grfica podemos apreciar que:


123

Recomendaciones que debes tener en cuenta al momento de graficar funciones cuadr-ticas:


tus notas124


ECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONES

Tema

EC

UA

CIO

NES

DE

SEG

UN

DO

GR

AD

O11


127

Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

Propiedades de las races de una ecuacin cuadrticaEn toda ecuacin cuadrtica de races y se cumplen las siguien-tes condiciones:

EjemploCul es la ecuacin cuadrtica cuyas races son y

Solucin:

Llamemos

Por la propiedad de las races de la ecuacin cuadrtica tenemos:


128

Entonces:

Por tanto:

Ahora llamemos

La propiedad de races nos dice:

Por tanto:

Como la ecuacin es de la forma , entonces:


129

Resolucin de ecuaciones de segun-do grado

Cuando el trmino lineal es nulo

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuacin cuadrtica

Solucin:

Como el trmino lineal es nulo entonces la solucin viene dada por:


130

As, la solucin de la ecuacin es:

y

Cuando el trmino independiente es nulo:

Ejemplo:

Hallar las races de la ecuacin:

Solucin:

Como el trmino independiente es cero (0), entonces la solucin viene dada por:

y

Hallamos

y listo!!!!


131

Ecuacin cuadrtica completa

Frmula para resolver ecuaciones de se-gundo grado

Ejemplo:

Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:

Solucin:

Determinamos los valores de A, B y C para sustituir los valores en la ecuacin general


132

Ahora separamos las soluciones:

y

y

y

Aplicacin de la ecuacin de segundo gradoEl permetro de un rectngulo es de 20 cm. y su rea es de 21 cm2. Hallar su largo y su ancho.

Solucin:

El permetro del rectngulo viene dado por:

Como

Entonces:

El rea del rectngulo viene dado por:


133

Como , entonces:

Ahora buscamos dos nmeros que sumados den 10 y multiplicados den 21.

Estos nmeros son 3 y 7

Por lo tanto

Como sustituimos el valor de x en esta ecuacin:

Fjate que el valor del coeficiente del y2 es uno, por tanto, podemos factorizar la ecuacin.


tus notas134


INECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONES

Tema

INEC

UA

CIO

NES12


137

En ocasiones se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual (=), hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad y que ahora recordamos:

Ejemplos:

Intervalos

Al hablar de desigualdades, debemos tomar en cuenta que la so-lucin es un conjunto, con lo que debemos manejar el concepto de intervalos.

La expresin se lee: El conjunto de todos los nmeros reales que son mayores que a y menores que b y lo representamos:


138

Ahora veamos algunos casos de intervalos:

Intervalos abiertos

.

En este ejemplo, los elementos a y b no pertenecen al conjunto

Intervalos cerrados


139

Intervalo semiabierto o semicerrado

En el grfico anterior podemos deducir que el elemento a pertenece al conjunto y el elemento b no pertenece

Veamos ahora algunos ejemplos que clarifiquen lo que hasta ahora se ha expuesto:

ax b


140

Ejemplo:

Hallar el conjunto solucin de la siguiente inecuacin:

Solucin:

Ahora representamos el conjunto solucin en forma grfica

Ahora representamos la solucin en forma de intervalo:

Dado que la solucin es todos los nmeros menores o iguales a tres (3) se incluye el 3, tenemos:

Ejemplo:

Solucin:


141

Ahora representamos la solucin en forma grfica en la recta real y en forma de intervalo.

En la recta real tenemos:

En forma de intervalo:

Resolucin de inecuaciones con valor absoluto

La distancia entre un nmero real a y cero es igual a la distancia entre a y cero. Esta distancia se llama valor ab-soluto de a y se representa:


142

Al hablar de valor absoluto nos referimos a distancia. Como la distancia no es negativa, entonces diremos que el valor absoluto de un nmero siempre es positivo, as:

Propiedades de valor absoluto

El valor absoluto de cero es cero.


143

Ejemplo:

Resolver la siguiente inecuacin con valor absoluto

Solucin:


144

y

La solucin de la inecuacin con valor absoluto es

Sistema de inecuaciones linealesUn sistema de inecuaciones lineales con una incgnita es la reunin de dos o ms inecuaciones lineales y coeficientes reales.

Ejemplos de sistema de inecuaciones:

; ;

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:


145

Solucin:

Resolvemos cada inecuacin de forma independiente

Solucin: Solucin:

Ahora graficamos las soluciones.


tus notas146


LOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOS

Tema

LO

GA

RIT

MO

S13


149

Entremos ahora con un tema que en principio a muchos les resulta algo complicado, pero en esencia es muy sencillo, hablemos de logaritmos. Si tienes consolidado los conoci-mientos sobre potenciacin, este tema se har mucho ms sencillo an. Vamos a dar una definicin sobre logaritmo:

Definimos logaritmo como el nmero al cual hay que elevar otro llamado base, para obtener una cantidad conocida. En cuestin, los logaritmos estn relacionados con la potenciacin y las funciones exponenciales, la relacin es la siguiente:

*El logaritmo de la expresin es:

Solucin:

pues

* El logaritmo de la expresin es:

Solucin: pues

* El valor de x en la expresin es:

Solucin:

lo podemos expresar as:

sabas que:j. napier

public sus trabajos

sobre logaritmos a tres aos de

su muerte


150

*

Solucin:

* Hallar el valor de x en la ecuacin

Solucin:


151

Propiedades de los logaritmos:

Veamos algunos ejemplos:

* Hallar el en la ecuacin

Solucin:

Otro ejemplo:

* Hallar en la ecuacin

Solucin:


152

tus notas

Ecuaciones que resuelven aplicando logaritmos

Cuando los miembros de la ecuacin no se pueden llevar a la base comn se toma loga-ritmo a ambos miembros.

Veamos:

* Hallar el valor de x en

Solucin:

y listo!!!


tus notas153


tus notas154


NGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOS

Tema

N

GU

LO

S14


157

Definamos lo que es un ngulo:


158

Medidas de los ngulos

Sistema sexagesimal

Es aquel en el cual el crculo se fracciona en 360 divisiones iguales llamadas grados; stos, a su vez, se subdividen en 60 minutos cada uno y cada minuto se subdivide en 60 segun-dos.

Sistema radin

Es aquel en el cual el crculo se fragmenta en radianes.

Pi es la relacin que existe entre el permetro de la circunferencia y su dimetro

ngulo positivo ngulo negativo


159

Ejemplo:

Expresar los siguientes ngulos en radianes: a) b) c) Solucin:

a)

b)

c)

Ejemplo:

Expresar en grados los siguientes ngulos: a) b) c)

Solucin:

a)

b)

c)

Relacin de algunos ngulos de grados a radianes


160

Tipos de ngulos

ngulo agudo

Es el ngulo que tiene una amplitud mayor a 0 y menor a 90

ngulo recto

Es el ngulo que mide 90, se forma con dos rectas perpendiculares entre s.

ngulo obtuso

Es el ngulo que tiene una amplitud mayor a 90 y menor a 180


161

ngulo llano

Es el anglo de amplitud igual a 180

ngulo completo

Es el que tiene una amplitud de 360, es decir, una vuelta completa

Parejas de ngulos

ngulos adyacentes

Son ngulos que tienen un ngulo en comn, y los otros dos pertenecen a la misma recta

ngulos consecutivos

Son ngulos que tienen un lado en comn y tienen el mismo vrtice


162

ngulos opuestos por el vrtice

Dos lneas que se interceptan forman n-gulos opuestos por el vrtice

En la figura, es opuesto por el vrtice a y es opuesto por el vrtice

ngulos complementarios

Son dos ngulos consecutivos con la particularidad que la suma de sus ngulos es 90

ngulos suplementarios

Son dos ngulos adyacentes con la particularidad que la suma de sus n-gulos es 180


163

ngulos formados por rectas paralelas cortadas por una trans-versal

ngulos correspondientes

Cuando tenemos dos rectas paralelas y otra que corta a di-chas rectas, existe la siguiente relacin entre los ngulos que se forman:

ngulos alternos entre rectas paralelas

Recordando el con-cepto de ngulos opuestos por el vr-tice, lo aplicamos en esta relacin:


tus notas164


R A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E S

Tema

TR

IGO

NO

MET

RA15


167

Para el estudio de las razones trigonomtricas debemos conocer previamente el tringulo rectngulo:

De temas anteriores, sabemos que el teorema de Pitgoras se aplica en los tringulos rectngulos. Segn el teorema de semejanza de tringulos, dos tringulos rectngulos que tengan un ngulo agudo de la misma medida son semejantes; es decir, los cocientes entre los lados correspondientes son iguales.

El valor de estos cocientes no depende de los lados del tringulo, slo depende del valor del ngulo. Al ngulo agudo en cuestin lo llamaremos , y a estos cocientes los llama-mos razones trigonomtricas del ngulo .

Seno de un nguloEs el cociente entre la longitud del cateto opues-to y la longitud de la hipotenusa. Esto es:

sen de a =cateto opuesto

hipotenusa


168

Lo podemos expresar de forma abreviada:

Coseno del nguloEs el cociente entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.

Tangente del nguloEs el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa

Veamos algunos ejemplos donde apliquemos es-tas relaciones:

cos de a =cateto adyacente

hipotenusa


169

Ejemplo:

Hallar el sen , cos y tg en el siguiente tringulo:

Solucin:

Para hallar cada una de las razones trigonomtricas necesitamos conocer los tres lados del tringulo rectngulo y para hallar el lado que no conocemos (hipotenusa) aplicamos el teorema de Pitgoras.

Datos del ejercicio:

(Hipotenusa)


170

Ahora s, ya conocemos los tres lados del tringulo, aplicamos ahora las frmulas corres-pondientes:

Hallamos el seno:

Hallamos el coseno:

Hallamos la tangente:


171

Razones trigonomtricas inversasAl tomar los cocientes recprocos de los que hasta ahora hemos calculado obtenemos tres razones trigonomtricas a las que llamaremos razones trigonomtricas inversas.


172

Por ser inversas, estas razones trigonomtricas las podemos expresar de la siguiente forma:

Ejemplo:

Si la y el cateto adyacente a es , entonces el valor del y son:

Solucin:

Los datos que tenemos son:

Dado que

De ac podemos despejar el cateto opuesto (x)


173

Como ya conocemos los catetos, aplicamos el teorema de Pitgoras para hallar el valor de la hipotenusa.

Ahora s podemos hallar las razones trigonomtricas que nos piden!!!

Hallamos el


174

Ahora hallamos el

Definicin:


175

Ejemplo:

Sean y ngulos agudos de

un tringulo rectngulo, adems, la suma de las longitu-

des de los catetos es: . Hallar el valor de cada uno de los catetos.

Solucin:

Los datos que tenemos son:

Como y , entonces:

Como y , entonces:

Igualando las ecuaciones 2 y 3

De y , obtenemos:


176

Como la suma de los catetos es (ecuacin 1), se tiene:

Sustituyendo el valor de y (ecuacin 4) en la ecuacin 1, obtenemos:

Sustituimos el valor de para hallar el valor de


177

De esta manera queda determinado el valor de cada uno de los catetos!!!!

Crculo trigonomtricoEl crculo trigonomtrico lo utilizamos para determinar el signo de las razones trigono-mtricas. Sus caractersticas son:

Su radio vale 1

El centro coincide con el origen de un sistema de coordenadas rectangulares.

Signo de las razones trigonomtricas

Identidad funda-mental de la trigo-nometra o rela-cin Pitagrica:


178

De esta frmula se derivan:

Veamos algunos ejercicios donde apliquemos la identidad fundamental de la trigonome-tra.

Ejemplo:

Si el y es un ngulo agudo, hallar el resto de las razones trigonomtricas.

Solucin:

Aplicamos la identidad fundamental:

Dado que conocemos el coseno, despejamos seno.


179

Ya conocidos el seno y el coseno, hallamos la tangente y las razones inversas.

Hallamos la tangente:

Hallamos la secante (inversa del coseno):


180

Hallamos la cosecante (inversa del seno):

Hallamos la cotangente (inversa de la tangente):

Razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60

Para ngulos de 60Para tener una intuicin geomtrica sobre las razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60, veamos lo siguiente:

Construyamos un tringulo equiltero de lado 2.

La altura (h) del tringulo equiltero forma dos tringulos rectngulos como se puede mostrar en la figura, adems divide al lado del tringulo en dos partes iguales.


181

Hallemos ahora el valor de h

Tomemos el tringulo ABD. Por ser un tringulo rectngulo podemos aplicar el teorema de Pitgoras:

Conocidos los tres lados del tringulo rectngulo, aplicamos las razones trigonomtricas, de esta forma:

Como y son ngulos complementarios, tenemos:

Razones trigonomtricas para ngulos de 45Veamos el siguiente tringulo cuyos catetos tienen lon-gitud 1.


182

Todo tringulo rectngulo, cuyos catetos tengan la misma longitud, for-man el mismo ngulo con la hipotenusa.

Para hallar el valor de la hipotenusa, aplicamos el teorema de Pitgoras

Ahora aplicamos la razones trigonomtricas en el tringulo para el ngulo de 45

En resumen tenemos:

Veamos un ejercicio donde apliquemos estas razones trigonomtricas.

Ejemplo:

Hallar el rea y el permetro del siguiente tringulo sabien-

do que

Solucin:

Comencemos recordando lo siguiente:


183

Para hallar el permetro debemos conocer ,

Hallemos

Conocemos el ngulo y el lado , ahora buscamos la frmula que nos relacione los datos conocidos con la incgnita que buscamos

Por tanto:

Como

Entonces:

De esta manera:


184

Ahora hallemos el lado

Como el lado es el cateto adyacente del tringulo, entonces:

Ya conocidos los tres lados del tringulo hallamos el permetro:


185

Ahora hallamos el rea:

Razones trigonomtricas para ngulos mayores de 90A travs del crculo trigonomtrico podemos determinar los valores de los siguientes n-gulos:

Razones trigonomtricas para ngulos en los distintos cuadrantes:

Si cuadrante :


186

Si cuadrante :

Si cuadrante :

Ejemplo:

Hallar , y de los siguientes ngulos:

Solucin:

Como 150 est en el segundo cuadrante, entonces:


187

Razones trigonomtricas para ngulos mayores de 360Para hallar ngulos mayores a 360 se divide dicho ngulo entre 360 y se trabaja con el residuo de la divisin.

Ejemplo:

Hallar el

Solucin:

Dividimos el ngulo entre 360

Por tanto, es equivalente al ms seis vueltas .

Frmulas para calcular razones trigonomtricas de sumas y diferencias de ngulos:


188

Ejemplo:

Hallar el .

Solucin:

El objetivo de resolver este tipo de ejercicios es expresar el argumento del ngulo en una suma o resta de dos ngulos conocidos.

lo podemos expresar como

Aplicando la frmula de diferencia para el coseno tenemos:

Sustituimos los valores

Por tanto:

Ejemplo:

Hallar

Solucin:

lo podemos expresar como


189

Aplicamos la frmula:

Frmulas para calcular razones trigonomtricas del doble de un ngulo

Frmulas para calcular las ra-zones trigonomtricas de la mitad de un ngulo

Hasta ahora hemos visto cmo resolver razones trigonomtricas en tringulos rectngulos, veamos ahora cmo resol-ver razones trigonomtricas en cualquier tipo de tringulos, para ello veamos las siguientes leyes:


190

Ley del seno

Ley del cosenoLa ley del coseno es una expresin que te permite conocer un lado de un tringulo cual-quiera si conoces los otros dos y el ngulo opuesto al lado que quieres conocer. Esto es:


191

Ejemplo:

Dado el siguiente triangulo, hallar las longitudes de sus lados sabiendo que

, y b = 6

Solucion:

La suma de los lados internos de un tringulo es 180, por consiguiente, po-demos hallar el ngulo que falta por co-nocer.

Como ya conocemos los tres ngulos internos del triangulo, aplicamos la ley del seno para hallar el valor de la longitud de los lados.

Hallamos el lado a

(Racionaliza el denominador)


tus notas

Hallamos c

Como prctica racionaliza el denominador.


tus notas193


tus notas194


COMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOS

Tema

N

MER

OS

CO

MPLEJO

S16


197

Nmeros complejos O IMAGINARIOS

En matemticas hubo la necesidad de ampliar el campo numrico para darle sentido a ecuaciones del tipo:

Pues al despejar la incgnita nos encontramos que no tiene solucin en el campo num-rico hasta ahora conocido. Veamos:

Despejemos la incgnita en la ecuacin anterior:

Este resultado no tiene sentido en el campo de los nmeros reales hasta ahora conocido, es por ello que hubo la necesidad de expandir el campo numrico.

Para seguir dando explicacin y sentido a los fenmenos presentes en la naturaleza se crearon los nmeros complejos o nmeros imaginarios.

Unidad imaginaria


198

Veamos:

Ejemplo:

Hallar las siguientes races:

Solucin:

Propiedad de radicales baba =

Ejemplo:

Hallar el valor de la siguiente raz:

Solucin:

Ecuaciones de segundo grado con solucin en el campo imaginarioCuando estudiamos ecuaciones de segundo grado, y el discri-minante era menor que cero, decamos que no tenia solucin real. Esto es:


199

Ejemplo:

Hallar las races de la ecuacin

Solucin:

Aplicamos la frmula de ecuacin de segundo grado:


200

Potencias de la unidad imaginaria iFjate en lo siguiente:

Fjate que los resultados de las potencias se tornan cclicos, pues el resultado se repite a razn de cuatro, por tanto, para calcular cualquier potencia de i, se procede de la siguiente manera:

Se divide el exponente entre 4

El residuo de la divisin se toma como nuevo exponente

Se busca el resultado de las potencias en la tabla de las primeras potencias

Ejemplo:

Determina las siguientes potencias de i

a) b) c)

Solucin:

a)

b)


201

c)

Nmeros complejos en forma de pares ordenados

Ejemplo:

En el siguiente numero com-plejo, definir cul es la parte real y la parte imaginaria:

Solucin:

Parte real: 2 Parte imaginaria: 3

Grfica de un nmero complejoTodo nmero complejo se representa en un punto en el plano, donde la parte real esta representada en el eje de las abscisas y la parte imaginaria se representa en el eje de las ordenadas, veamos:

TEXTOS BASE MATEMTICA TEMA 16.indd 201 04/11/2010 12:

iviteg texto matematica

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