IV Medio Electivo

Unidad Nº1 “Procesos Infinitos”

2020

Profesores : Gilda Valpuesta - Pablo Estuardo.

I. PROCESOS INFINITOS Sucesiones Sucesiones convergentes y divergentes Progresión aritmética Progresión geométrica. Progresión armónica. Serie aritmética. Serie geométrica. Sumatoria. Propiedades Propiedad Telescópica Inducción matemática

Sucesiones

DEFINICIÓN DE UNA SUCESIÓN Una sucesión es una función f cuyo dominio es el conjunto de números naturales. Los términos de la sucesión son los valores de la función :

f(1), f(2), f(3),...... f(n)…. Por lo general escribimos an en lugar de la notación de función fn. En consecuencia, los términos de la sucesión se escriben como a1, a2, a3, . . . , an, . . . El número a1 se denomina primer término, a2 se llama segundo término y, en general, an recibe el nombre de n-ésimo término.

Ejemplos •  La sucesión formada por los números pares tienen por

término general an = 2n

•  El término general de la sucesión de números impares es :

an = 2n-1 •  Los términos de una sucesión definida por :

an =

(-1)n· !!!! !! = − 12

!! = 23

!! = − 34

!! = 45

!! = − !!,

!!,−

!! ,

!!…….

Ejercicios

•  Determinar los cinco primeros términos de la sucesión cuyo termino general es:

Ejercicios

•  Determinar el término general de las siguientes sucesiones:

!! = 3! − 1

Considerando que una sucesión no es más que una ordenación de Números, se ha podido comprobar que algunas de ellas no tienen una regla de formación o término general. Como por ejemplo: el caso de la sucesión de números primos,

2, 3,5, 7, 11, 13, ….....

Sucesiones Convergentes.

•  Una sucesión es convergente si sus términos se van acercando cada vez más a un cierto valor real. Ese valor se llama el límite de la sucesión y se dice que la sucesión converge a ese límite.

•  Ejemplos:

Sucesiones Divergentes.

•  Si una sucesión no es convergente se dice que es divergente.

•  Una sucesión divergente tienden a menos infinito o mas infinito.

Ejemplo :

DIVERGENTE

Progresiones : Aritméticas Geométricas Armónicas

Progresión Aritmética Una sucesión de números se dice que es una progresión aritmética cuando cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo, llamado diferencia de la progresión. Por tanto, en una progresión aritmética, la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma. En consecuencia, una progresión aritmética queda determinada dando cualquier término y la diferencia. En general, si el primer término es a1 y la diferencia d, la progresión aritmética es:

El término general de una progresión aritmética es: an = a1 + (n - 1)d

Ejemplo: La sucesión 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, ... es una progresión aritmética de diferencia d = 0.5. Su término general será: an = 1,5 + (n - 1)·0,5 = 1+ 0,5n . Con esto, por ejemplo:

Matemáticas “Cero” para economistas

José María Martínez Mediano

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Progresiones aritméticas Definición Una sucesión de números se dice que es una progresión aritmética cuando cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo, llamado diferencia de la progresión. Por tanto, en una progresión aritmética, la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma. En consecuencia, una progresión aritmética queda determinada dando cualquier término y la diferencia. En general, si el primer término es a1 y la diferencia d, la progresión aritmética es: a1 daa � 12 daa � 23 daa � 34 ... daa nn � �1 daa � 12 daa 213 � daa 314 � ... dnaan )1(1 �� x El término general de una progresión aritmética es: dnaan )1(1 �� Ejemplo: � La sucesión 1,5, 2, 2,5, 3, 3,5, ... es una progresión

aritmética de diferencia d = 0,5. Su término general será: 5,0)·1(5,1 �� nan �

nan 5,01� . Con esto, por ejemplo: 5,1835·5,0135 � a ;

51100·5,01100 � a EJERCICIO DE APLICACIÓN 5. Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a) 4, 4,3, 4,6, 4,9, ..., b) 1, 11, 21, 31, … c) 100, 98, 96, … Cuál es, en cada caso, el término octogésimo quinto. Solución:

a) El primer término es 4 y la diferencia d = 0,3, luego: 7,33,03,0)·1(4 � �� nnan . El valor del término pedido es 2,297,385·3,085 � a

b) El primer término es 1 y la diferencia d = 10, luego: 91010)·1(1 � �� nnan . Por tanto, 841985·1085 � a

c) El primer término es 100 y la diferencia d = �2, luego: nnan 2102)2)·(1(100 � ��� . De donde 6885·210285 � � a

Resuelve tú 5. Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a) �8, �5, �2, 1, ..., b) 3, 9, 15, 21, … c) 1/2, 1, 3/2, 2, … Para cada caso halla el término vigésimo séptimo. [sol] a) 113 �n ; 70; b) 36 �n ; 159; c) 0,5n; 13,5 Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética Para obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética basta observar que las sumas de los términos, primero + último, segundo + penúltimo, ..., siempre vale lo mismo. Por ejemplo: 1 + 2 + 3 + 4 + ..................... + 997 + 998 + 999 + 1000

1001

Ejercicios : 1. Dada las progresiones aritméticas : Calcular a20, a5, a100

a. 1,4, 7,10, 13, 16, …....

b. -6, -1, 4, 9, 14…....

c. 3, 7, 11, 15 …....

5, 194 , 92 ,174 , 4……d.

2. Encontrar el término general de una P.A. En la que a7 = 11 y d = 3

3. Cuántos términos tiene una P.A. Finita, si los dos primeros términos son 4 y 9 y el último es 44.

Una progresión aritmética es : decreciente si d < 0 constante si d = 0 creciente si d > 0