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ITUCIÓN EDUCATIVAA

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b d1 2

a 4c

3BD

PERIODINSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN LUIS GONZAGA

NIT 809007307-2

DANE 173001002467

APROBADA POR RESOLUCIÓN NÚMERO 002566 DEL 27 DE SEPTIEMBRE 2017

POR MEDIO DEL CUAL SE RECONOCEN LOS ESTUDIOS EN LOS NIVELES DE PREESCOLAR,

CUADERNILLO DE MATEMATICAS GRADO NOVENO TERCER PERIODO LOGARITMACION

Logaritmación es el proceso de hallar el exponente

al cual fue elevada la base para obtener un

número. Veamos un sencillo ejemplo:

La pregunta que debemos hacernos es: ¿A que

debemos elevar 2 (la base del logaritmo) para

obtener 8? En este caso, la respuesta sería 2^3=8,

es decir, que lo hemos elevado a 3.

𝑙𝑜𝑔2 8 = 3

Observamos una serie de elementos, como: a) La base: Es el número que elevado al exponente nos da el número total. b) El número total: Es el resultado, en el ejemplo de arriba, sería el 3 c) El logaritmo: Es el exponente por el cual debemos elevar la base para obtener el total. EJERCICIO Halla el logaritmo

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Logaritmo de un producto

a) 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑋 ∗ 𝑌 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑋 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑌

Es decir, que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de ambas partes del producto Logaritmo de un cociente

b) 𝑙𝑜𝑔𝑎( 𝑋 ÷ 𝑌) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑋 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑌 La división de logaritmos es igual a la diferencia de logaritmos entre el numerador y el denominador.

Logaritmo de una potencia

c) 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑋𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑋

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia. Logaritmo de una raíz

d) 𝑙𝑜𝑔√𝑋 = 𝑙𝑜𝑔𝑋1

2 =1

2log 𝑋 =

log 𝑋

2

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice del logaritmo y el radicando.

ECUACIONES CON LOGARITMOS

El ¼ lo ponemos en forma de potencia e igualamos los exponentes

Aplicamos la definición de logaritmo y la raíz se pone en forma de potencia de exponente fraccionario

Igualamos los exponentes

Aplicamos la definición de logaritmo y 0.001 se pasa a fracción decimal

El cociente lo pasamos a potencia de base 10 e igualamos los exponentes

Aplicamos la definición de logaritmo, las raíces se ponen en forma de potencia de exponente fraccionario y se igualan los exponentes

APLICANDO LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO: CALCULA EL VALOR DE X

Sea log 2 = 0.3010. Calcular los siguientes logaritmos decimales.

Solución del primero

Pasamos el número decimal a fracción, aplicamos la propiedad del cociente de logaritmos y de la potencia

El logaritmo en base 10 de 10 es igual a 1

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una raíz

EJERCICIOS

NUMEROS COMPLEJOS

En matemáticas, un número imaginario es

un número complejo cuya parte real es igual a

cero. Números imaginarios. ... Un número

imaginario puede describirse como el producto

de un número real por la unidad imaginaria i,

donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1.

Los Números

Imaginarios son números complejos sin parte

real. Son por lo tanto números múltiplos de

i que se sitúan sobre el eje imaginario del plano

complejo (ver figura de la izquierda). ... Son por

lo tanto ejemplos de números imaginarios: i.

Los números complejos se forma de una parte

real y una imaginaria

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 donde

𝑎: 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝑏𝑖: 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎

OPERACIONES CON NUMEROS

COMPLEJOS

Para sumar dos números complejos , sume la

parte real a la parte real y la parte imaginaria a

la parte imaginaria.

Ejemplo:

(2 + 7 i ) + (3 – 4 i ) = (2 + 3) + (7 + (–4)) i

= 5 + 3 i

Para restar dos números complejos, reste la

parte real de la parte real y la parte imaginaria

de la parte imaginaria

Ejemplo:

(9 + 5 i ) – (4 + 7 i ) = (9 – 4) + (5 – 7) i

= 5 – 2 i

Para multiplicar dos números complejos, use el método FOIL y combine los términos semejantes

Ejemplo:

(3 + 2 i)(5 + 6 i) = 15 + 18 i + 10 i + 12 i 2

= 15 + 28 i – 12

= 3 + 28 i

Para dividir dos números complejos, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo, desarrolle y simplifique. Luego, escriba la respuesta final en la forma estándar.

Ejemplo:

Realice las siguientes operaciones

𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠

𝑧1= 3 − 4𝑖

𝑧2= − 13 − 14𝑖

𝑧3= 7 − 3𝑖

𝑧4= − 5 − 5𝑖

𝑧5= 8 − 9𝑖

𝑧6= 1 − 7𝑖

𝑧7= − 11 − 12𝑖

𝑧8= − 11

𝑧9 = − 2𝑖

REALIZAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES

REALIZAR LAS SUMAS Y RESTAS

𝑍1 + 𝑍2

1. 𝑍1 + 𝑍3

2. 𝑍4 + 𝑍2

3. 𝑍2 + 𝑍5

4. 𝑍1 + 𝑍7

5. 𝑍5 + 𝑍4

6. 𝑍9 + 𝑍2

7. 𝑍7 + 𝑍9

8. 𝑍1 − 𝑍2

9. 𝑍1 − 𝑍3

10. 𝑍4 − 𝑍2

11. 𝑍2 − 𝑍5

REALIZAR LOS PRODUCTOS

1. 𝑍1 × 𝑍2

2. 𝑍1 × 𝑍3

3. 𝑍4 × 𝑍2

4. 𝑍2 × 𝑍5

5. 𝑍9 × 𝑍2

6. 𝑍9 × 𝑍2

7. 𝑍7 × 𝑍9

REALICE LAS DIVISIONES

1. 𝑍1 ÷ 𝑍7

2. 𝑍5 ÷ 𝑍4

3. 𝑍9 ÷ 𝑍2

4. 𝑍7 ÷ 𝑍9

5. 𝑍9 ÷ 𝑍2

6. 𝑍7 ÷ 𝑍9

PLANO COMPLEJO

UBICAR EN EL PLANO COMPLEJO

GRAFICAS LOS COMPLEJOS

a. 2 + 7 i b. -3 – 4 i c. 2 + 3) d. 7 + 4i e. -7-3i

f. 9 + 5 i

g. – 4 + 7 i

h. 9 – 4i

i. 5 – 7i

j. 5 – 2 i

k. -5 + 3 i

TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras establece que, en todo

triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa

es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de

los cuadrados de las respectivas longitudes de los

catetos. Es la proposición más conocida entre las

que tienen nombre propio en la matemática.

El enunciado del teorema establece que, en un

triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados

de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa. El teorema de

Pitágoras solamente es aplicable a triángulos

rectángulos. Un triángulo rectángulo es aquel

que posee un ángulo denominado recto o de

90°.

Un teorema es un enunciado que puede ser

demostrado como verdadero mediante

operaciones matemáticas y argumentos

lógicos. En matemática, un teorema es una

proposición teórica, enunciado o fórmula que

incorpora una verdad, axioma o postulado que

es comprobada por otros conjuntos de teorías o

fórmulas

Dibuja los dos lados (catetos) con una longitud

a y b, y la hipotenusa con una longitud c.

El teorema de Pitágoras establece que la

suma de los cuadrados de los dos lados de un

triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la

hipotenusa, por lo tanto, hay que demostrar que

a2 + b2 = c2.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?

3. Calcular la hipotenusa del triángulo

rectángulo cuyos lados miden y . 4. Calcular la hipotenusa del triángulo

rectángulo cuyos lados miden y . 5. Calcular la altura del siguiente triángulo

sabiendo que sus lados miden , y su base 3.

TEOREMA DE THALES

Definición de teorema. ... Uno de

los teoremas más conocidos es el

denominado Teorema de Tales, el cual señala

que, al marcar en un triángulo una línea que sea

paralela a alguno de sus lados, se da origen a

un par de triángulos semejantes (es decir, dos

figuras con ángulos idénticos y lados

proporcionales).

Existen dos teoremas relacionados con la

geometría clásica que reciben el nombre de

teorema de Tales, ambos atribuidos al

matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a.

C

APLICACIONES CONCRETAS

El planteamiento geométrico del teorema de Tales tiene evidentes implicaciones prácticas. Veámoslo con un ejemplo concreto: un edificio de 15 m de altura proyecta una sombra de 32 metros y, en el mismo instante, un individuo proyecta una sombra de 2.10 metros. Con estos datos es posible conocer la altura de dicho individuo, ya que hay que tener en cuenta que los ángulos que proyectan sus sombras son congruentes. Así, con los datos del problema y el principio del teorema de Tales sobre los ángulos correspondientes, es posible saber la altura del individuo con una sencilla regla de tres (el resultado sería de 0.98 m).

El ejemplo más arriba indicado ilustra con claridad que el teorema de Tales tiene aplicaciones muy diversas: en el estudio de las escalas geométricas y las relaciones métricas de las figuras geométricas. Estas dos cuestiones de la matemática pura se proyectan sobre otras esferas teóricas y prácticas: en la elaboración de planos y mapas, en la arquitectura, la agricultura o la ingeniería. A modo de conclusión podríamos recordar una curiosa paradoja: que a pesar de que Tales de Mileto vivió hace 2600 años, su teorema sigue estudiándose porque es un principio básico de la geometría TEOREMA DE THALES

EJEMPLO Sirve para calcular alturas de edificios teniendo referencias de otros elementos que si que nos es fácil medir, como por ejemplo un árbol y ayudándonos en los rayos del sol, las proyecciones de sobra.

Escribimos la proporción

6𝑚

5𝑚=

270𝑚

𝐻 siendo la altura del edificio

6𝑚𝐻 = 5𝑚 × 270𝑚

𝐻 =5𝑚 × 270𝑚

6𝑚=

1350𝑚

6= 225 𝑚

El siguiente esquema nos permite ver el

problema en cuestión y cómo calculó Tales la

altura de la pirámide clavando su bastón en la

arena.

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo. De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se cumple

que sus lados homólogos son proporcionales. En nuestro caso, se cumple que:

Supongamos ahora que a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 280 metros, la sombra del bastón medía 2,87 metros y dicho bastón era de 1,5 metros. Según lo que hemos visto antes, tendríamos que:

De donde obtenemos

Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente 136,86 m). El método de Tales tiene una enorme utilidad, puesto que lo podemos emplear para averiguar

la altura de cualquier objeto que sea muy grande.

EXPLICACIÓN DEL TEOREMA DE TALES

Cuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por los barcos enemigos, los soldados recurrieron a Tales. Necesitaban saber a qué distancia se encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas. El genio matemático resolvió el problema sacando una vara por la cornisa del acantilado, de tal forma que su extremo coincidiera con la visual del barco. Conociendo su altura (h), la del acantilado (a) y la longitud de la vara (v), calculó sin dificultad la distancia deseada (x). Parece sencillo, ¿verdad?

Observa que ahora tenemos dos triángulos semejantes, de tal forma que al ser sus lados proporcionales, podemos establecer la siguiente igualdad.

De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los conocía. RESOLVER LOS PROBLEMAS

1. Nicolás mide 1,50 m. de altura, se encuentra a 1,20 m. de un poste que tiene encendida su luminaria a 3 m. del suelo, ¿cuál es el largo de la sombra que proyecta Nicolás?

2. Calcula la longitud del segmento x de las figuras

3. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

4. Los catetos de un triángulo rectángulo que

miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medir los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

5. Una torre tiene una sombra de 12 metros al mediodía, mientras que una botella de 25 cm proyecta una sombra de 5 cm a la misma hora ¿Cuánto mide la torre?

1. Una señal de tránsito de 2 metros de altura

proyecta una sombra de 10 metros, al mismo tiempo una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 metros. Calcular la altura de la pared.

CARACTERISTICAS DE LAS FIGURAS

Todas ellas son figuras geométricas planas.

Por lo tanto, para poder diferenciar las figuras

geométricas debemos reconocer primero

sus características. Tiene cuatro lados, cuatro

vértices y sus lados son iguales. Tiene cuatro

vértices, cuatro lados que no son iguales (dos

pares de lados iguales).

Los cuerpos geométricos son figuras

geométricas de tres dimensiones (largo,

ancho y alto), que ocupan un lugar en el espacio

y en consecuencia tienen un volumen.; y están

compuestos por figuras geométricas

¿QUÉ SON LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS? OBJETOS TRIDIMENSIONALES

Los cuerpos geométricos son figuras geométricas de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupan un lugar en el

espacio y en consecuencia tienen un volumen.; y están compuestos por figuras geométricas.

CLASES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos: Los poliedros, o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas; como por ejemplo el cubo; Los cuerpos redondos, que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono. Las Figuras Tridimensionales son también llamados sólidos. Son una porción del espacio limitado por caras planas o curvas. A diferencia de las figuras geométricas comunes, que solo tienen 2 dimensiones (Ancho, Largo), estas tienen 3 dimensiones adicionándole la PROFUNDIDAD

AREA Y VOLUMEN DE PRISMAS

El volumen del prisma recto, ortoedro, se

calcula multiplicando las longitudes de las tres

aristas convergentes a un vértice. Es lo que

habitualmente llamamos largo, ancho y alto.

Como vemos, este prisma hexagonal tiene 6 caras laterales que son rectángulos y 2 bases que son hexágonos.

El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales (los 6 rectángulos).

Las 6 caras laterales forman un rectángulo cuya base es el perímetro del hexágono de la base.

Por tanto, el área lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura:

Área lateral = perímetro de la base x altura El área total es la suma del área lateral más el área de las 2 bases: Área total = Área lateral + Área de la base x

El volumen del prisma recto, ortoedro, se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes a un vértice. Es lo que habitualmente llamamos largo, ancho y alto.

Volumen ortoedro = largo x ancho x alto

Por ejemplo, si las aristas de un prisma recto son 12, 5 y 5 cm, entonces

V = 12 cm x 5 cm x 5 cm = 300 cm³

UNIDADES DE VOLUMEN La unidad principal de volumen es el metro cúbico. Un metro cúbico es el volumen de un cubo de un

metro de lado. El volumen V de un prisma es el área de la base B por la altura h. Nota: Un centímetro cúbico (cm 3 ) es un cubo cuyos bordes miden 1 centímetro. Ejemplo: Encuentre el volumen del prisma mostrado.

EJEMPLO:

Encuentre el volumen del prisma mostrado.

Solución

La fórmula para el volumen de un prisma es V = Bh, donde B es el área de la base y h es la altura. La base del prisma es un rectángulo. La longitud del rectángulo es de 9 cm y el ancho es de 7 cm.

El área A de un rectángulo con longitud l y

ancho w es A = lw . Así, el área de la base es 9cm x 7 cm= 63 cm2 ;. La altura del prisma es de 13 cm.

Sustituya 63 por B y 13 por h en V = Bh. V = (63 cm2 )(13 cm) = 819 cm3 Por lo tanto, el volumen del prisma es de 819 centímetros cúbicos.

EJERCICIOS DE APLICACION

1) Calcula el área y el volumen de un cubo de arista 2 m. 2) Calcula el área y el volumen de un ortoedro cuyas aristas miden 10 cm, 7cm y 4 cm.

3) Calcula el área y el volumen de un prisma recto de altura 3 m y que tiene por base un triángulo equilátero de 2 m de arista. 4) Calcula el área y el volumen de un prisma cuadrangular en el que su la arista de la base mide 4 dm y su altura es de 11 dm. 5) Calcula el área y el volumen de un prisma) Una piscina tiene forma de prisma hexagonal. El lado de su base mide 15 m y la altura 3,5 m. ¿Cuánto costará llenarla si el litro de agua está a 0?02 € hexagonal en el que la arista de la base mide 14 m y su altura es de 27 m. 6) Calcula la diagonal del ortoedro cuyas aristas miden 9 cm, 6 cm y 5 cm.

AREA Y VOLUMEN DE LAS PIRAMIDES El volumen V de una pirámide es un tercio del área de la base B por la altura h .

Podemos hallar el área lateral, área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas: Área lateral El área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura de una cara

lateral ( AP o apotema) de la pirámide y dividido entre 2.

Pb =perímetro de la base (suma de los lados) AP = apotema de la pirámide o altura lateral AREA TOTAL El área total es igual al área lateral más el área del polígono de la base.

EL VOLUMEN DE LA PIRAMIDE

El volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura ( h ) de la pirámide y dividido entre 3

Donde Ab=área de la base h= la altura de la pirámide. EJEMPLOS

.

EJERCICIOS

1) Calcula el área y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base tiene 4 cm de arista y una altura de 6 cm. 2) Hallar el área y el volumen de una pirámide hexagonal en la que la arista de la base mide 3 cm y la arista lateral 5 cm.

3) Calcular el área y el volumen de una pirámide pentagonal regular cuya apotema de la base es igual a 4 cm, la arista de la base es igual a 6 cm y cuya altura mide 10 cm.

4) Calcula el área y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base tiene 4 cm de arista y una altura de 6 cm.

5) Hallar el área y volumen de la pirámide

de la figura

MEDIDAS DE POSICION Las medidas de posición relativa se llaman en general cuantiles y se pueden clasificar en tres grandes grupos: Cuartiles, quintiles, deciles, percentiles. Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles dividen a una distribución ordenada en partes iguales. Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles dividen a una distribución ordenada en partes iguales.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor. a - Los Cuartiles (Qn): son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%. Para calcular el valor de uno de los cuatro Cuartiles, se utiliza la fórmula:

𝑄𝐾 = 𝐾 (𝑛

4)

Donde 𝑄𝐾= Cuartil número 1, 2, 3 ó 4 n = total de datos de la distribución.

Se advierte que la posición del segundo cuartil corresponde a la ubicación de la mediana, es decir que el segundo cuartil será siempre igual a la mediana. Para calcular los cuartiles (datos no

agrupados) debes seguir los siguientes pasos: 1º Se ordenan los datos de menor a mayor. 2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/4) Para que te quede más claro: El primer cuartil (Q1) es el valor de la variable que supera a lo más el 25 % de los datos y es superado por a lo más el 75 % de ellos en la distribución ordenada de menor a mayor.

El segundo cuartil (Q2) es un valor que supera a lo más el 50 % de los datos y es superado por a lo más el 50 % de ellos, es decir, Q2 coincide con la mediana.

El tercer cuartil (Q3) es un valor que supera a lo más al 75 % de los datos y es superado por a lo más el 25 % de ellos.

Ejemplos: Se le pregunto a 11 personas las edades y estas fueron las respuestas 15 17 16 16 15 17 15 18 14 16 15 Se pide calcular los cuartiles: 𝑄1, 𝑄2 𝑄3, Primer paso ordenarlos de menor a mayor 14 15 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18 Se llaman medidas de posición por la posición de los datos en el listado. ORDENADOS DE MENOR A MAYOR 14 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18 LOS DATOS SE LES COLOCA LA POSICION 𝑥1 a 𝑥11 Se llaman medidas de posición

FORMA DE ENCONTRAR LOS CUARTILES

PUEDE SER CON FORMULA Y SIN FORMULA Se llaman medidas de posición porque se basa en la posición en que están los datos

𝑄1 𝑄2 = 𝑀e 𝑄3

𝑄2 = 𝑀𝐸𝐷𝐼𝐴𝑁𝐴 La mediana Está en el centro de los datos: Cuando el número de datos e impar la mediana o el cuartil 2 es el dato que está en la mitad en este caso, 𝑄2 = 𝑥6 = 16 Para hallar el cuartil 1 y el cuartil 3 Observamos que a la derecha de 𝑥6 hay cinco datos y a la izquierda hay cinco datos. El cuartil 1 se calcula es la mitad de los cinco datos o sea 𝑥3 = 15 y para cuartil 3 𝑥9 = 17 entonces 𝑄1 = 𝑥3 = 15 y el cuartil 3 𝑄3 = 𝑥9 = 17

La información se da también en porcentaje. el cuartil 1= 25%, cuartil 2 =50%, el cuartil 3= 75%

Lo anterior sirve para sacar conclusiones y dar información del estudio que se está haciendo o encuesta, en este caso se dice:

𝑄1,𝑒𝑙 25% de los encuestados tienen 15 años o menos de 15 años 𝑄2, 𝑒𝑙 50% de los encuestados tienen 16 años o menos 𝑄3, 𝑒𝑙 75% de los encuestados tienen 17 años o menos.

HALLAR CUARTILES CON FORMULAS

𝑄𝐾 =𝐾(𝑛+1)

4 para cualquier cuartil

K= CUARTIL (1, 2,3) n= NUMERO DE DATOS (11) Calculemos los tres cuartiles CUARTIL UNO

𝑄1 =1(11 + 1)

4=

1(12)

4=

12

4= 3

O sea, la posición 3 CUARTIL DOS

𝑄2 =2(11+1)

4=

2(12)

4=

24

4= 6 o sea, la

posición 6 CUARTIL TRES

𝑄3 =3(11 + 1)

4=

3(12)

4=

36

4= 9

Cuartil 3 posición 9 EJEMPLO 2

CALCULO DE LOS CUARTILES CUANDO EL NUMERO DE DATOS ES PAR

Hagamos un ejercicio con 10 datos. Se realiza una encuesta a 10 personas sobre la edad y se obtuvo la siguiente información.: Ya se han ordenado de menor a mayor. En este caso en el centro no hay un solo dato sino dos, entonces se suman los dos datos del centro y se divide entre dos y así se obtiene la mediana y a su vez el cuartil 2 𝑄2

𝑀𝑒 =𝑥6 + 𝑥5

2=

18 + 17

2= 17.5

𝑀𝑒 = 17.5 𝑎ñ𝑜

Posición Hallar los otros dos cuartiles. Por formula

Posición 𝑄𝑘 =𝐾𝑛

4

𝑄1 =1(10)

4=

10

4= 2.5

𝑄2 =2(10)

4=

20

4= 5

𝑄3 =3(10)

4=

30

4= 7.5

Me=17.5 años 𝑄1 el 25% de las personas encuestadas tienen 16 años o menos. 𝑄2 el 50% de las personas encuestadas tienen 17.5 años o menos. 𝑄3 el 75% de las personas encuestadas tienen 19 años o menos. Ejercicios

1. Se realizó una encuesta del peso en kilogramos de un grupo de personas y dieron las siguientes respuestas. 55 56 66 62 58 58 57 59 60 62 64 62 60 65 58 59 Actividad. a. Realice una tabla de frecuencia. b. Calcule las medidas de tendencia

central (media, moda y mediana) c. Elabore un diagrama de barras y un

diagrama circular. d. Halla las medidas de posición

2. Numero de respuestas correctas en un examen. 1 3 12 7 10 10 9 15 7 5 9 4 19 4 10 9 9 7 4 1 10 13 10 12 7 9 14 Actividad. e. Realice una tabla de frecuencia. f. Calcule las medidas de tendencia

central (media, moda y mediana) g. Elabore un diagrama de barras y un

diagrama circular. h. Halla las medidas de posición

DECILES Definición de Decil: El Decil (Dn) es una medida estadística que se utiliza para indicar el valor por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de observaciones. Cada decil representa un 10% hasta llegar a 100% siendo 100% el total de las muestras analizadas: Decil 1 (D1): valor que es superior al del 10% de las muestras más bajas Decil 2 (D2): valor que es superior al del 20% de las muestras más bajas Decil 3 (D3): valor que es superior al del 30% de las muestras más bajas ... Por ejemplo, supongamos que el decil 3 (D3) del peso de un varón de 15 años es 53 kg. Esto significa que hay un 30% de varones de 15 años que pesan menos de 53 kg y un 70% que pesan más.

CÁLCULO DE LOS DECILES: Existen varios métodos para el cálculo de deciles. Veamos uno de los más sencillos (válido para datos no agrupados): 1. Agrupamos las muestras de menor a mayor valor

2. Calculamos la posición que ocupa el percentil buscado aplicando la siguiente fórmula: x = (N · i) / 10 siendo N el número total de muestras analizadas y la letra "i" el decil buscado 3. Si el resultado anterior (x) no tiene decimales, el decil se obtiene seleccionando el valor de la muestra que ocupa la posición x. 4. Si el resultado (x) tiene decimales, el decil se obtiene haciendo la media de las muestras en posición x y x+1 Ejemplo 1: Calcular el decil 6 (D6) de las siguientes muestras de notas en matemáticas de un aula (notas de 0 a 20): 16, 10, 12, 8, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14 Ordenamos de menor a mayor: 1, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20 N = número de muestras = 15 muestras x = (N · i) / 10 = (15 · 6) / 10 = 9 Como x = 9 es un número sin decimales, entonces el decil 6 es el valor de la muestra que ocupa la posición 9 D6 (decil 6) = 13 El decil 5 coincide con el decil 5 D5=Me RESUMEN Los deciles son 9 valores de la variable que dividen el conjunto de datos ordenados en 10 partes iguales. Los deciles determinan los valores de 10%, 20%, 30%, 40%, …, 90% de los datos, D5 coincide con la mediana Me Ejemplo el siguiente grupo de datos corresponde a las notas de 20 estudiantes notas finales en matemáticas. Entonces vamos encontrar los deciles

Los datos están organizados de menor a mayor. Donde la menor nota fue 2,5 y la mayor 5.0 Los deciles dividen los datos en 10 partes iguales. Posición de los deciles

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 =𝐾𝑛

10

Donde K es decil n el número de datos y el 10 porque son deciles

EJEMPLO 1: hallemos la posición del decil 4 entonces reemplazamos en la formula

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 =4(20)

10=

80

10= 8

Donde 8 es la posición en que esta el D4

D4=3,7 significa que el 40% de los estudiantes sacaron una nota de 3,7 o menos EJEMPLO 2: Hallemos la posición 7

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 =7(20)

10=

140

10= 14

La posición 14 corresponde a la nota 4.0 D7=4,0 significa que el 70% de los estudiantes sacaron una nota de 4,0 o menos O también se puede interpretar que el 30% de los estudiantes obtuvieron más de 4,0. EJERCICIOS:

1. ¿Cuál decil corresponde a la mediana? 2. Calcular los demás deciles y escribir su

interpretación 3. ¿cuál es el valor del decil 8 de los

datos? 2,5,5,7,10,13,32,34,20,8,3,0

4. Las siguiente son las notas en el área de español del grado octavo.

2,0 3.0 2,5 3,4 3,5 4,0 3,8 3,0 4,5 4,0 3,0 3,6 3,0 2,5 4,5 3,8 3,0 4,0 2,0 3,0 4.0 3,5 4,0 3,6 3.0 3,8 3,0 2,6 4,0 3,5 4,0 3,0 3,6 3,8 2,0 4,5 2.0 3,0 4,0 5,0. ACTIVIDAD:

1. Ordénalos datos 2. Ubíquelos en una tabla de frecuencia 3. Halle la media, mediana y moda 4. Realice grafico de barras 5. Calcule los cuartiles, escribir lo que

significa 6. Calcule los deciles 2,3,5,7.9. y su

significado. LAS PERMUTACIONES

En la Combinatoria, se definen las permutaciones de la siguiente manera: Las Permutaciones (o Permutaciones sin repetición) son formas de agrupar elementos de un conjunto en las que: se toman todos los elementos de un conjunto no se repiten los elementos del conjunto el orden importa ({A, B} y {B, A} se consideran grupos diferentes) EJEMPLO: sea el conjunto {A, B, C}, ¿cuántos grupos de tres letras diferentes se pueden formar? Si buscamos los diferentes grupos, obtenemos: A, B, C}, {A, C, B}, {B, A, C}, {B, C, A}, {C, A, B}, {C, B, A} → obtenemos 6 permutaciones FORMULA Para calcular el número de permutaciones podemos emplear la siguiente fórmula:

𝑃𝑛=𝑛! Se lee n factorial. Donde n es el número de elementos del conjunto. El factorial de un numero entero positivo es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta el. En el ejemplo anterior n = 3, por lo tanto: P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 → obtenemos el mismo resultado. ¡En la calculadora esta la tecla n!

EJEMPLOS DE PERMUTACIONES:

Para entender mejor el concepto de las permutaciones, vamos a resolver varios ejercicios de cálculo de permutaciones: Ejercicio 1: en una fila de 8 butacas de un cine, ¿cuántas formas diferentes de sentarse 8 personas existen? Solución: Primero verificamos que estamos ante una Permutación:

Se toman todos los elementos del grupo (se sientan en cada butaca cada una de las 8 personas) → correcto No se repiten elementos (no puede haber la misma persona repetida en varios asientos) → correcto El orden importa (no es lo mismo que una persona se siente en un asiento que en otro) → correcto Después de comprobar que efectivamente se trata de una permutación, calculamos el número de formas diferentes en las que se pueden sentar: n = 8 personas P8 = 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40.320 permutaciones EJERCICIOS:

1. De un grupo de 10 estudiantes se quiere seleccionar un comité de 3 estudiantes ¿de cuantas formas diferentes se puede seleccionar el comité?

2. ¿De cuantas formas diferentes se pueden ubicar 4 autos en la fila de un estacionamiento?

COMBINACIONES

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n, r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto en notación matemática.

𝑛𝐶𝑟 =9!

(9 − 5)! 5!=

9!

(4)! 5!

=9.8.7.6.5.4.3.2.1

4.3.2.1.5.4.3.2.1=

EJEMPLO: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?

La cantidad de combinaciones posibles sería: n=9 cartas r=5 cartas

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!

𝑃(𝑛,𝑟)

𝑟!=

𝑃(9,5)

5!= P(9,5)/5! =

(9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

EJERCICIOS

¿Cuántos son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón entre los equipos A, B, D, C?

AB, AC, AD, BC, BD, CD Los posibles partidos son 6 Por formula

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!

Número de equipos n=4 r=2. El número de elementos tomados de n

4𝐶2 =4!

(4 − 2)! 2!=

4!

2! 2!=

4 × 3 × 2 × 1

2 × 1 × 2 × 1=

24

4= 6

EJEMPLOS DE COMBINACIONES

Para entender mejor el concepto de las combinaciones, vamos a resolver varios

ejercicios de cálculo de combinaciones:

EJERCICIO 1: en una heladería tienen se venden helados de dos sabores diferentes, ¿cuántos helados de sabores diferentes podemos elegir entre los sabores de nata, vainilla, chocolate, limón y naranja? Solución: Primero verificamos que estamos ante una Combinación:

No se toman todos los elementos del grupo (se toman solo de dos en dos) → correcto No se repiten elementos (los helados son de dos sabores diferentes) → correcto El orden no importa (un helado de chocolate y vainilla es el mismo que uno de vainilla y chocolate) → correcto Después de comprobar que efectivamente se trata de una combinación, calculamos el número de helados diferentes: m = 5 sabores diferentes n = 2 (helados de dos sabores

5𝐶2 =5!

(5 − 2)! 2!=

5!

3! 2!=

120

6 × 2=

120

12= 10

El número de combinaciones es 10. EJERCICIO 2 En una clase de 35 estudiantes se quiere formar un comité de 3 estudiantes. ¿Cuántos comités diferentes pueden haber? n=35 número de estudiantes r=3 número de estudiantes que forman un comité

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!

35C3 =35!

(35 − 3)! 3!=

35!

32! 3!

=35 × 34 × 33 × 32!

32! 3!

=35 × 34 × 33

3 × 2 × 1=

39270

6= 6545 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

EJERCICIO 3 Un grupo de 10 elementos agrupados de 4.

10𝐶4 =10!

(10 − 4)! 4!=

10!

6! 4!

=10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1

𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟

10 × 9 × 8 × 7

4 × 3 × 2 × 1=

5040

24= 210

Las combinaciones de los sabores es 210

EJERCICIOS.

De un grupo de 8 estudiantes se quiere seleccionar 3 para que asistan a un almuerzo ¿de cuantas formas se puede seleccionar a los tres estudiantes?

De una clase de 20 alumnos se seleccionan 3 para que participen en un torneo inter-escolar. ¿Cuántos grupos diferentes podríamos formar?

En una final de futbol se seleccionan 5 jugadores de un equipo para el lanzamiento de penaltis. ¿Cuántos grupos se podrían formar?

En una carrera de caballos con 12 participantes tienes que elegir los 2 caballos ganadores (no importa el orden de llegada). ¿Cuántos posibles

resultados podrían darse?

FUNCION CUADRATICA

Se llama función cuadrática a la función

matemática que se puede expresar como una

ecuación que tiene la siguiente forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

En este caso, a, b y c son los términos de la ecuación: números reales, con a siempre con valor diferente a 0.

con a siempre con valor diferente a 0. Al

término ax2 es término cuadrático, mientras

que bx es el término lineal y c, el término

independiente. Cuando están presentes todos los términos, se

habla de una ecuación cuadrática completa. En cambio, si falta el término lineal

o el término independiente, se trata de

una ecuación cuadrática incompleta.

La representación gráfica de una función

cuadrática es una parábola. La orientación de

la parábola, el vértice, el eje de simetría, el punto de corte con el eje de las coordenadas y el punto de corte con el eje de las abscisas son características que varían de acuerdo a los valores de la ecuación cuadrática en cuestión. Además de todo lo expuesto, tenemos que señalar que esa parábola podrá ser de dos tipos: parábola convexa o parábola cóncava. La primera es la que se identifica porque sus brazos o ramas están orientados hacia abajo y la segunda se caracteriza porque esos brazos o ramas se hallan orientados hacia arriba. En este sentido, hay que subrayar que la parábola será cóncava cuando a > 0 (positivo). Por el contrario, será convexa cuando a < 0 (negativo). De la misma manera, es interesante saber que las soluciones o raíces de la función cuadrática son fundamentales porque dan a conocer los puntos de intersección de la citada parábola con respecto al eje de abscisas. Cabe destacar que las funciones cuadráticas aparecen en la geometría y en la cinemática, entre otros contextos, expresadas mediante distintas ecuaciones. La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax 2 + bx + c . La gráfica de una función cuadrática es una parábola, un tipo de curva de

2 dimensiones. ... Si el coeficiente de x 2 es positivo, la parábola abre hacia arriba; de otra forma abre hacia abajo.

REPRESENTACION GRAFICA Con tabla de valores. La gráfica de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola. Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para graficar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice. Ejemplos de funciones cuadrática

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 + 2

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5

𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 4𝑥

𝑓(𝑥) = −3𝑥2

𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥

𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑥 − 2

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 Usar papel milimetrado en la realización de las parabolas ECUACIONES CUADRATICAS

Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces que son los valores de la incógnita. Resolver una ecuación de segundo grado es buscar las raíces de la ecuación. La expresión dentro de la raíz cuadrada b2 - 4(a)(c) se llama discriminante de la ecuación cuadrática.

Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en donde el exponente del término desconocido está elevado al cuadrado, es decir, la incógnita está elevada al exponente 2. Tienen la forma general de un trinomio

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

donde a, b y c son números reales y se conocen como coeficientes. Así, a es el

coeficiente de x2, b es el término o coeficiente

de x y c es el término independiente. TIPOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas o incompletas, dependiendo de si existen los términos dependientes de x (b) o independiente (c). Ecuaciones completas de segundo grado Las ecuaciones completas de segundo grado tienen la forma ax2 + bx + c = 0, es decir, todos los términos se encuentran presentes; por ejemplo: 2𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 0 En este caso a = 2, b = 3 y c = 4.

𝑥2 + 10𝑥 = −20, Se iguala a cero.

𝑥2 + 10𝑥 + 20 = 0. En este caso a= 1 , b=10, c=20 Ecuaciones incompletas de segundo grado

Cuando no existe el coeficiente de x, es decir, el

término b, la ecuación toma la forma:

𝐚𝐱𝟐 + 𝐜 = 𝟎.

Ejemplos

𝟐𝟕𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎 a=27, C=-9

𝟏𝟐𝑿𝟐 = −𝟔.

a=12, c=6

Cuando no existe el término independiente, es

decir, el término c, la ecuación tiene la forma:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎.

Ejemplo

𝟕𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟎.

Donde a = 7 y b= 3

RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Toda ecuación de segundo grado tiene dos

raíces que son los valores de la incógnita.

Resolver una ecuación de segundo grado es

buscar las raíces de la ecuación Las raíces de la

ecuación cuadrática se calculan por la fórmula

general:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

La expresión dentro de la raíz cuadrada b2 -

4(a)(c) se llama discriminante de la ecuación

cuadrática. Obsérvese que delante de la raíz de

la discriminante está el signo ±. Esto significa

que, para hallar el valor de x, en un caso

sumamos el valor de la discriminante, y, en otro

caso, restamos. A esto nos referimos cuando

decimos que hay dos raíces en la ecuación de

segundo grado.

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas paso a paso

Para resolver una ecuación de segundo grado

usando la fórmula general, vamos a proceder de

la siguiente manera:

1. Identificamos los coeficientes a, b y c.

2. Los sustituimos en la fórmula general.

3. Calculamos x1 sumando el discriminante y

x2 restando el discriminante.

Debemos tener en cuenta que:

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0⇒ solo hay una raíz para la

ecuación.

𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0⇒ hay dos raíces con números

reales.

𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0⇒ no hay una solución real.

Ejemplo 1

Resolvamos la ecuación 3x2 - 5x + 2 = 0

1. Los coeficientes son: a = 3, b = -5, c = 2.

2. Los sustituimos en la fórmula general:

𝑥(1,2) =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎.

𝑥(1,2) =−(−5)±√(−5)2−4(3)(2)

2(3).

𝑥(1,2) =−(−5)±√25−24

6.

𝑥(1,2) =5±√1

6.

𝑥(1) =5+1

6.

𝑥(1) = 1.

La segunda raíz es

𝑥(2) =5−1

6.

𝑥(2) =4

6.

𝑥(2) =2

3.

Solución de la ecuación de segundo grado

𝑥1 = 1

𝑥2 =2

3

Ejemplo 2

Resolvamos la ecuación 8x + 5 = 36x2

1. Los coeficientes son a = 36, b = -8, c = -5. Esto

porque tenemos que arreglar la ecuación como

un trinomio perfecto, y queda de la siguiente

forma: 36x2 - 8x - 5 = 0

2. Sustituimos los coeficientes en la forma

general:

Ejemplo 3

Resolver la ecuación (5x - 4)2 - (3x + 5) (2x - 1)

= 20x (x - 2) + 27

Para aplicar la fórmula hay que llevarla a la

forma ax2 + bx + c = 0

En este caso tenemos que a = -1, b = -7, c = -6,

entonces aplicando

EJEMPLO 4

RESOLVER ECUACIONES CUADRATICAS POR FACTORIZACION

¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado por factorización?

Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadrática por factorización (o también llamado por descomposición en factores), es necesario que el trinomio de la forma ax2 + bx + c = 0 sea factorizable por un término en común o aplicando un producto notable.

Para esto,

1° Deberás simplificar la ecuación dada y dejarla de la forma ax2 + bx + c = 0.

2° Factorizar el trinomio del primer miembro de la ecuación, para obtener el producto de binomios.

3° Igualar a cero cada uno de los factores, esto lo podemos realizar, ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos o ambos, son iguales a cero. Luego, se resuelven las ecuaciones simples que se obtienen de este modo.

Ejemplos:

FUNCION CUBICA

Una función cúbica es una función polinomial

de grado 3. Puede ser escrita en la forma f ( x )

= ax 3 + bx 2 + cx + d , donde a, b, c y d son

números reales y a ≠ 0. También puede ser

escrita como f ( x ) = a ( x + b ) 3 + c , donde a,

b y c son números reales y a ≠ 0.

Tanto el dominio de definición como el

conjunto imagen de estas funciones tienen

como elementos a los números reales. La

derivada de una función cúbica es

una función cuadrática y su integral,

una función cuartica

GRAFICA DE LA FUNCION CUBICA

Para graficar una función cúbica, hay que seguir estos pasos:

1. 1 Establecer el comportamiento de la función.

2. 2 Encontrar los ceros (intersecciones con el eje X).

3. 3 Encontrar el signo con puntos de prueba (tabulación para saber si el punto está arriba o debajo del eje).

.

EJERCICIOS

Graficas las funciones cubicas.

f(x) = x3

f(x) = - 2x3

f(x) = x3 + x

f(x) = x3 - 4x2

f(x) = x3 - 3x2 + 7x + 9

f(x) = 3x3 + 7x +3

f(x) = x3 + 2x – 1

f(x) = -x3

f(x) = -2x3 + x

f(x) = -x3 - 4x