i.s.f.d. y t. n° 93 curso inicial 2015 matemÁtica · era racional, y por lo tanto no lo es. 2 es...

DIRECCIÓN GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIÓN DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR

I.S.F.D. y T. N° 93

CURSO INICIAL

2015

MATEMÁTICA

Prof. Marta N. González Chavarría

Prof. Marcelo G. Labarta Fernández

Curso Inicial-MATEMÁTICA

2

Conjuntos numéricos Desde que el hombre tiene memoria siempre se ha manejado con cantidades, siempre

ha contado. Contando es como aparece el primer concepto de número, es así como surgen los números naturales (N).

En el conjunto de los números naturales pueden realizarse sin problemas operaciones como la adición y la multiplicación. Esto quiere decir que la suma de dos números naturales es siempre natural lo mismo sucede con los productos.

Pero no todas las operaciones son así. Por ejemplo la resta de dos números naturales da un número natural siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo, de lo contrario la sustracción no sería posible.

Es decir: 187 – 35 = 152 En este caso la sustracción es posible en el conjunto de los naturales ya que 182 > 35,

pero si intercambiamos minuendo y sustraendo: 35 – 182 = ¿? No existe ningún número natural que sea resultado de esta sustracción. Para que la sustracción no quede “incompleta” (ya que son infinitos los casos en los

que puede suceder esto) se creó un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números enteros (Z) en el que se agrega a los naturales el cero y los números negativos. Cada número negativo es opuesto de uno positivo, es decir, la suma entre ambos es cero.

Ahora si: 35 – 182 = -152 Esto tiene su aplicación en otras ciencias: Por ejemplo, en Física que asigna el “cero” para el punto de congelación del agua. Las

temperaturas superiores a este valor son las temperaturas positivas y las inferiores son las temperaturas negativas.

Del mismo modo se procede para “completar” la división: el cociente es entero siempre y cuando el dividendo sea múltiplo del divisor. Por esos infinitos casos en los que la división no es posible en el conjunto de los números enteros se creó un nuevo conjunto numérico que amplía el de los enteros agregando las fracciones: El conjunto de los números racionales (Q).

Ahora: -196 : 36 = -4 porque -196 es múltiplo de 36 y… 3 : -4 = - ¾ ya que 3 no es múltiplo de -4 Cuando en Física surge la necesidad de medir magnitudes, que no son exactas, se usan

números racionales. Un número racional es todo aquel número que se puede expresar como un cociente de

dos números enteros. Pero allí estamos en presencia de otro problema: hay algunos números que no pueden escribirse como fracciones (es verdad… aunque usted no lo crea)

Por ejemplo 2 :

Sabemos que 2 no es un número entero ya que no hay ningún entero que elevado al cuadrado de 2.

Supongamos entonces que 2 es racional, es decir:

2 = b

a

Donde: 1. a y b son números enteros


3

2. b no es cero ¿por qué? 3. a no es múltiplo de b ¿por qué?

Entonces:

2

2

b

a2

y… 22 ab.2

Con lo cual a2 debería ser múltiplo de b2 y para que eso suceda a debería ser múltiplo de b lo que contradice lo que dijimos en 3.

Esta contradicción provino de suponer que 2 era racional, y por lo tanto no lo es.

2 es un número irracional Al querer medir ciertas longitudes (por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo

rectángulo isósceles en el que los catetos miden una unidad) hallamos raíces como 2 que no son exactas, tienen infinitas cifras decimales no periódicas y, por lo tanto no pueden expresarse como fracciones. Para esos casos se usan los números llamados irracionales. Los números irracionales se agregan a los racionales para formar el conjunto de los números reales (R)

Existen números irracionales muy conocidos en el mundo de la matemática como el número Pi, el número e y el número de Oro.

Hasta aquí ya hemos completado el conjunto de los números Reales, que está formado por los números Racionales y los números Irracionales.

Es así que a cada momento, cuando leemos algún artículo, cuando debemos realizar alguna compra o alguna medición siempre encontramos representantes de los diferentes conjuntos numéricos.

El cuadro que sigue resume el texto y agrega alguna información más:

Actividad 1

Lean los siguientes enunciados y, teniendo en cuenta los conjuntos numéricos, escriban en cada caso V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Justifiquen sus respuestas.


4

a) 1950 es un Número Real.

b) El número 11,68 es un número entero.

c) El número 3,5 se puede expresar como cociente de dos números enteros, por eso

se trata de un número racional.

d) -3 es un número natural.

e) Todo número natural es entero.

f) Todo número entero es natural.

g) Los múltiplos de 11 son números enteros.

h) La raíz cuadrada de de cinco es racional.

Actividad 2 Clasifiquen las siguientes expresiones en racionales (R) o irracionales (I).

a) 2 + 3

b) 72

c) 75

d) 10

e) 8.2

f) 6 . 6

Operaciones definidas en los reales.

Hemos presentado someramente al conjunto de los números reales en el apartado anterior,

ahora se hace necesario operar con ellos.

En el conjunto se define la adición y sustracción para expresiones numéricas semejantes.

Por ejemplo:

3 4. 3 5. 3

25. 7

3 en este caso la operación queda indicada ya que las expresiones no son semejantes.

532. 7 2. 2

5 ídem ejemplo anterior.


5

Para multiplicar números reales se debe tener en cuenta que si están expresados como

radicales, éstos deben tener el mismo índice o reducirse a común índice ya que se aplica la

propiedad distributiva de la radicación respecto a la multiplicación.

Por ejemplo:

3. 5 15

6 2 33 6 62. 3 2 .3 4.27 108

Lo mismo vale para la división.

Propiedades de las operaciones en

Conmutatividad

a + b = b + a (la adición ES conmutativa, no importa el orden en que sumemos)

a - b b - a (la resta no es conmutativa, importa el orden en que la efectuemos)

a .b = b. a (la multiplicación es conmutativa, no importa el orden de los factores)

a : b b : a (la división no es conmutativa, importa el orden en que la realicemos)

an na (la potenciación no es conmutativa, ya que cada elemento que la forma tiene un significado conceptual diferente. La base (a) es el número a ser multiplicado y el exponente (n) es la cantidad de veces que ha de multiplicarse por sí misma. Esto se conserva en la radicación, que es la operación inversa de la potenciación, es decir, la radicación no es conmutativa por la misma razón explicada)

Asociatividad

(a + b) + c = a + (b + c) (la adición ES asociativa. Esto significa que podemos agrupar los sumandos de cualquier manera sin cambiar el resultado)

(a – b ) – c a – ( b – c ) (La resta NO es asociativa, ya que importa el orden en que agrupemos)


6

(a. b). c = a. (b . c ) (La multiplicación es asociativa)

(a : b ) : c a : ( b : c ) (La división NO es asociativa)

qq ppa a (La potenciación no es asociativa. Recordar que cada elemento que

la forma son conceptualmente diferentes, de ahí que el orden de su ejecución es importante)

Distributividades

Es importante destacar que la propiedad distributiva se aplica cuando hay dos operaciones

diferentes. Esto significa que lo que se distribuye es una operación en la otra, conservando la

cantidad de términos existentes.

(a b). c = a.c b.c (la multiplicación ES distributiva respecto de la adición y la sustracción a derecha y a izquierda del paréntesis. Recordar que la multiplicación es conmutativa)

(a b) : c = a : c b :c (si c 0 ) (la división solo es distributiva respecto de la adición y sustracción cuando está escrita a la derecha del paréntesis.)

p : (q r ) p : q p : r (a la izquierda no es distributiva)

(a b ) n an bn (la potenciación no es distributiva respecto a la adición y sustracción)

(a . b ) n = an . bn (la potenciación es distributiva respecto a la multiplicación)

(a : b ) n = an : bn (si b 0 ) (la potenciación es distributiva respecto a la división)

n a b n na b (la radicación no es distributiva respecto a la adición y a la

sustracción)

n a b = n na b (la radicación es distributiva respecto a la multiplicación, siempre

que existan cada una de las raíces en particular. Qué significa esto? Si el índice es par, el radicando (el número que está escrito adentro de la raíz), debe ser mayor o igual que


7

0, porque estas raíces de números negativos no existen en el conjunto de los reales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de -4 no existe en el conjunto de números reales. Si el índice es impar, no hay restricciones para calcularla. Esta aclaración es muy importante, ya que de no tenerla en cuenta estaríamos aceptando resultados inexistentes)

:n a b = :n na b (si b 0 ) (ídem al anterior)

Otras propiedades de la potenciación

a 0 = 1(si a 0)

an . a m = a n+ m (cuando multiplicamos potencias que tienen la misma base, el resultado es

otra potencia, de la misma base que las anteriores, pero con un exponente igual a la suma de

los exponentes dados)

an : am = an- m (si a 0) (cuando dividimos potencias de la misma base, el resultado es otra

potencia de la misma base que las anteriores y su exponente es igual a la resta de los

exponentes dados)

(an )m = a n. m (cuando tenemos una potencia de otra potencia, el resultado es otra potencia

de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados)

1 1a

a

( si a 0 ) (cuando elevamos a la -1 la base se invierte, por eso es necesario que a

no valga cero. Recordar que no se puede dividir por 0)

a z = 1

z

a

( si z < 0 y a 0 ) (esto es una generalización de la propiedad anterior, para

cualquier número negativo que tengamos en el exponente. Esto significa que cuando el

exponente sea negativo, primero invertimos la base y luego al exponente le cambiamos el

signo para calcular la potencia resultante)


8

n ma = m

na

mn a = ( )mn a

Cuando n es par hay que considerar la existencia de la raíz, es decir, si a es mayor o

igual a cero, no importa si m es par o impar, ya que todas las potencias de un número positivo

son positivas, entonces siempre existe la raíz dada. Pero si a es negativo, ¡cuidado!, debemos

tener en cuenta qué pasa con m. En este caso, si m es par, no habría problemas ya que todas

las potencias de exponente par son siempre positivas (por regla de los signos en la

multiplicación), pero si es impar, el signo del resultado coincide con el signo de la base, y de

ahí que habría problemas, ya que estaríamos calculando la raíz de índice par (n) de un número

negativo (am ).

Cuando n es impar no importa el signo de a ni la clase de número que es m, siempre

existe resultado para la operación planteada.

El 0 en la división

0

a = 0 si a 0

0

ano es posible

“la división por 0 NO es posible ”

0

0 es indeterminado

Ecuaciones e inecuaciones

Una ecuación es un modo simbólico de plantear un problema a resolver. En ella suele haber

una incógnita que se puede representar con la letra x.

Resolver una ecuación es hallar el valor desconocido que llamaremos incógnita. En una

ecuación puede haber más de una incógnita, para resolverla entonces, deberá encontrarse una

relación entre ellas, con el fin de ponerlas en función de una sola.

Para resolver una ecuación con una incógnita, debemos despejar a esta. Cómo se despeja?

Haciendo pasajes de términos. Para pasar un término de un lado al otro del signo igual se

trabaja con la operación contraria a la dada. Entonces si un término suma, pasa al otro lado del


9

igual, restando. Si uno resta, pasa sumando. Si uno multiplica, pasa dividiendo y si divide pasa

multiplicando. Veamos:

X + 5 = 4

Para separar en términos utilizamos como separadores a la suma y a la resta, entonces, nos

queda:

1º térmi- 2º tér- término

no con x mino que ya está del otro lado

X + 5 = 4

Una vez que separamos en términos ubicamos el término en x y el signo igual. Todos los

términos que están del mismo lado que el que tiene la x deben pasar al otro, pero con las

operaciones contrarias a las que tenían. En nuestro ejemplo, el término que pasa al otro lado

es el formado por el 5 y como está sumando, pasa restando. Hay que tener mucho cuidado al

pasar, ya que primero debe escribirse el término que ya está del otro lado, en nuestro

ejemplo, nos quedaría:

X = 4 – 5

X = -1 solución de la ecuación

Otro ejemplo:

2.x – 4 = -9

Despejamos: 2.x = -9 + 4

Realizamos la operación: 2.x = -5

Y ahora pasamos el 2 que multiplica a la x, dividiendo al otro lado: x = -5 : 2

El resultado lo podemos expresar en números decimales: x = -2,5

o como fracción 5

2x

Los ejemplos que estamos desarrollando hasta ahora, responden a las llamadas

ecuaciones de primer grado con una incógnita, por estar la variable elevada al exponente 1, es

decir, escribir x es igual que escribir x1 y cuando una variable tiene exponente 1 se dice que su

grado es 1, o que el término en el que aparece es de grado 1. Pero pueden darse ecuaciones

de segundo grado o de grado dos, en las que aparecen x2 . También ecuaciones de grado


10

mayor que dos, llamadas en general ecuaciones polinómicas. Cada tipo de ecuación tiene

formas de ser resueltas.

Veamos ahora cómo resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Una

ecuación de segundo grado con una incógnita responde a la forma general:

a.x2 + b.x1 + c.x0 = 0 o también a.x2 + b.x +c = 0

en esta forma tenemos a la incógnita x y a otros números que llamamos coeficientes:

al valor “a” lo llamamos coeficiente cuadrático, porque multiplica a la x que está

elevada al cuadrado,

al valor “b” lo llamamos coeficiente lineal, porque multiplica a la x que está elevada a

la uno y

al valor “c” lo llamamos término independiente (porque no multiplica al valor de x). A

este término (el c) también se lo llama término de grado cero, porque multiplica a la x

elevada a la cero, que recordamos vale uno (siempre x0 = 1, ver propiedades básicas de

apunte anterior).-

Como vemos en la forma general, la ecuación está igualada a 0, entonces decimos que,

resolver una ecuación de segundo grado es hallar sus raíces (recordemos que las raíces son

aquellos valores de x para los cuales al reemplazarlos en la ecuación obtenemos por resultado

0), entonces, para resolver una ecuación de este tipo, usaremos la fórmula que nos permite

encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado:

De esta fórmula salen las dos raíces, que dependen de la solución de la raíz cuadrada. Una de

las soluciones es: y la otra

A la expresión b2 – 4.a.c se la llama discriminante de la raíz y muchos autores la simbolizan

con la letra griega ∆. Del análisis del discriminante podemos ver la existencia de solución o no,

y la cantidad de las mismas.

Entonces, si:

∆ > 0 existen dos soluciones x1 y x2 distintas entre si.

∆ < 0 no existe solución, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe

en el conjunto de números reales, por lo tanto tampoco existen las raíces de la

ecuación.


11

∆ = 0 existe una sola solución, también llamada solución doble (se la llama así

porque existe un teorema que dice que las ecuaciones siempre tienen tantas

soluciones como indica su grado, entonces, por este teorema, una ecuación de

segundo grado siempre tiene dos soluciones, y cuando tiene una, se dice que estas

soluciones son iguales entre sí, de ahí que se repite dos veces y se le llama doble).

Veamos algunos ejemplos:

X2 + 2.x – 9 =0 lo primero que debemos hacer es ver que esté igualada a 0, como ya está,

entonces identificamos a los coeficientes que la forman, entonces escribimos:

a = 1 (recordar que el 1 es neutro para multiplicación y no hay obligación de escribirlo)

b = 2

c = -9

ahora reemplazamos en la fórmula dada:

Y realizamos los cálculos que aparecen:

Sacamos factor común 2 en el numerador de la fracción y nos queda:

Simplificamos el 2 que multiplica a la fracción con el 2 del denominador y nos queda:

X = -1 ±

Entonces ya tenemos las dos soluciones de la ecuación:

X1 = -1 +


12

X2 = -1 -

Según para qué vamos a usar estos resultados podríamos hallar el valor aproximado de y

escribirla en forma decimal, que en este ejemplo no es necesario.

Otro ejemplo:

-3.x2 +6 = 0

a= -3

b=0 (si no aparece b.x entonces se considera que se ha multiplicado por 0)

c= 6

usamos la fórmula:

Y reemplazamos:

Realizamos los cálculos:

Simplificamos en la fracción el 6 que multiplica con el que está en el denominador:

X = ±

Por lo tanto las soluciones son:

X1 =


13

X2 = -

Otro ejemplo más:

4.x2 – 8.x = 0

a= 4 b= -8 c= 0

resolvemos:

X1 = x2 =

X1 = x2 =

X1 = 2 x2 = 0

Otro ejemplo:

X2 - 16.x + 64 = 0

a= 1 b= -16 c= 64


14

Con lo que resulta x = 8

Vemos en este ejemplo el caso de raíz doble, ya que al ser = 0 , le estamos sumando y

restando 0 al 16. Por lo tanto x1 = x2 = 8

Va otro ejemplo (tranquilo que quedan pocos, ):

3.x2 = 0

a= 3 b= 0 c= 0

resolvemos:

X = 0

Otra raíz doble x1 = x2 = 0

Otro ejemplo (ahora sí el último ):

X2 + x + 2 = 0

a= 1 b= 1 c = 2

resolvemos:


15

Como no tiene solución en el conjunto de números reales, la ecuación no tiene raíces y

por lo tanto no tiene solución.-

Veamos como plantear de manera simbólica la siguiente situación problemática.

Ejemplo: ¿Cuál es el número cuya mitad es 5

2?

Veamos:

Hay un número incógnita .......................... X

Su mitad es ............................................. 2

1X

Esa mitad es 5

2..............................

2

1X =

5

2

Luego X = 5

4 ¿por qué?

.........................................................................................................................................................

.....................................................................................................

Observación importante:

Si la ecuación no está igualada a 0, se debe despejar en la ecuación dada,

pasando el término que está escrito a continuación del = para el otro lado en el

que se encuentran los términos de la ecuación, resolver lo que se pueda y recién

entonces hacer lo visto en los ejemplos analizados.

O sea: x2 + x – 4 = 5

X2 + x – 4 – 5 =0

X2 + x – 9 =0 y a partir de este paso continuar como ya hemos visto.-


16

Actividad 3 Plantear simbólicamente y resolver.

a) ¿Cuál es el número cuya tercera parte es 5

2?

b) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte es 5

9?

c) La mitad de un número más la tercera parte de su consecutivo es siete. ¿De qué

número se trata?

d) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es dos. ¿Cuál es el

número?

e) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos es igual a la mitad del

mayor de ellos. ¿Cuáles son esos números?

f) La quinta parte de un número es igual a la séptima parte de su consecutivo

aumentado en 1. ¿Cuál es el número?

Actividad 4 Resuelvan las siguientes ecuaciones.

Algunas de las ecuaciones propuestas incluyen el concepto de módulo. Para resolverlas

es necesario poner en juego un razonamiento particular que seguramente abordaron en

la secundaria.

Actividad 5 Algunas preguntas para consultar:

a) xx4

155,2

2

3 b) 5,02

5

146

10

3 xx

c) 3,72,52,33,4 xx d) 1

3

1

10

46

xx

e) 4

21

5

2

xx f) 43

10

1

2

21

10

243

x

xx

g) 641022

xx h) 132413 xxx

i) xxx 511 j) 61125 x


17

- ¿Qué es una inecuación?

- ¿Qué diferencia existe entre una ecuación y una inecuación?

- ¿Cómo se representa en la recta numérica el conjunto solución?

Actividad 6 Resuelvan las siguientes inecuaciones y representen en la recta numérica las soluciones que

obtengan.

a) xx 27)4(2 b) 7324 x

c) )12(34232 xx

d) 612 x

Actividad 7 Hallar, si es que existen, los valores de x:

a) x =8

b) x + 8=0

c) x - 2

= 0

d) x = 3

Actividad 8 Encontrar los valores de x, en cada expresión:

a) x - 1 =2

b) x + 3 = 4

c) 10 - x = 5

Actividad 9 Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 6 - 2x =4

b) x 2 = 100


18

c) (x-3) 2 =4

Actividad 10 Resolver las siguientes inecuaciones, expresar la solución como intervalo y graficar:

a) x-2 5

b) x+5 2

c) x-1 3

d) x+4 1

FUNCIÓN LINEAL

Una función f(x) se llama función polinómica si existen números reales a0 , a1, … , an tales que f(x) = a0 + a1 x + a2 x

2+ … + an xn

Ejemplos: f(x) = 5 – 3x , g(x) = x + 4x2 – 1/5 x3 , h(x) = -1 + 2x2 + x3– 6 x8 El grado del polinomio es el grado de la función, en este caso el grado de f(x) es 1, el de g(x) es 3 y el de h(x) es 8 Las funciones polinómicas de grado 1 se llaman funciones lineales, la expresión general de una función lineal es :

a y b son números reales, x se llama variable independiente, y es la variable dependiente.

El dominio son todos los reales R ya que cualquier valor que se ingrese a la fórmula nos da un real, es decir tiene imagen. “a” es la pendiente de la recta y “b” es la ordenada al origen. La representación gráfica es una recta. Ejemplos:

y = -3x+5

f(X)= a.x + b


19

y = 4

1x – 2

y = 8

y = 6x

y = -7x -2

3

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta tiene que ver con el ángulo de inclinación que esta forma con

respecto al eje de las abscisas

Estudiemos detenidamente la función lineal. Representemos en el plano cartesiano algunas

funciones.

a) Armemos una tabla de valores y

grafiquemos la función: Y=x – 4

X X – 4 y

1 1 – 4 -3

2 2 – 4 -2

3 3 – 4 -1

4 4 – 4 0

Cuando la abscisa aumenta una unidad la ordenada también aumenta una unidad.

Si la abscisa aumenta dos unidades la ordenada

aumenta dos unidades. Observemos que, los

cocientes ente los valores de la variación de la

ordenada y de la variación de la abscisa son

constantes e iguales al valor de la pendiente de la

recta.

1

1 ;

2

2 ;

3

3 = 1= a


20

b) Grafiquemos la función : y =-3x+2

X -3X +2 y

-1 -3.(-1) +2 5

0 -3.0 +2 -2

1 -3.1 +2 -1

4 -3.4 +2 -10

Cuando la abscisa aumenta una unidad la ordenada

disminuye tres unidades.

Si la abscisa aumenta dos unidades la ordenada disminuye

seis unidades

3

1

;

2

6 ;

3

9 = -3 = a

Nuevamente observamos que los cocientes entre las variaciones de la ordenada y las

variaciones de la abscisa nos da una constante y es el valor de la pendiente.

Entonces podemos definir pendiente de una recta como el cociente entre las variaciones de la

ordenada y de la abscisa.

Siendo: P0 =(x0 , y0) y P1 =(x1 , y1), entonces la pendiente de la recta que contiene a P1 y P0 es:

Ejemplo:

Tomemos dos puntos de la función y =-3x+2 que graficamos anteriormente

P0 =(-1 , 5) y P1 =(4 , -10) reemplacemos en la formula

01

01

xx

yya


21

01

01

xx

yya

)1(4

510

a

5

15a

finalmente

a= -3 ¡¡la pendiente!!

Entonces conociendo dos puntos cualesquiera de una recta podemos hallar el valor de la

pendiente.

Pero vamos más allá!!!

No solo podemos averiguar el valor de la pendiente sino la ecuación completa de la recta.

Solo nos faltaría el valor de “b” (ordenada al origen)

¿Cómo hacemos?

Ya sabemos que la forma general de una función lineal es:

y= a.x + b

pero ya conocemos la pendiente, por lo tanto

y= -3.x + b

¿y ahora? Sigamos…

Elijamos uno de los dos punto anteriores… ¡cualquiera!

P0 =(-1 , 5) y reemplacemos las “x” e “y” con las coordenadas del punto

y= -3.x + b

5= -3.(-1) +b Nos quedó una ecuación cuya incógnita es “b”, resolvamos

5= 3+b

5 – 3 = b

2 = b

Por último la ecuación de la recta que pasa por P0 y P1 es:

y= -3x + 2


22

Ah… ¿Vos querías elegir el otro punto P1? Bueno hace lo mismo para ver qué sucede…

Entonces teniendo dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por ellos.

Primero averiguamos la pendiente y luego la ordenada al origen.

Te dejo este ejercicio para que pruebes tu nueva habilidad.

Dados los puntos: P0 =(2

17,1 ) y P1 =(

2

25,2 )

Respuesta: es uno de los ejemplos de la página 19

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

RECTAS PARALELAS

Seguí mi razonamiento:

Si dos rectas son paralelas van a formar el mismo ángulo con el eje horizontal.

Por otro lado, dijimos que la pendiente de una recta tiene que ver con el ángulo que esta

forma con el eje de las abscisas.

En consecuencia si forman el mismo ángulo van a tener la misma pendiente.

Entonces podemos afirmar que:

Si f(x) = a.x+b; g(x) = m.x +c y f(x) // g(x) a = m

o

siendo dos rectas: f(x) = a.x+b; g(x) = m.x +c y a=m f(x) // g(x)

Ejemplo

f(x) = -3x + 2 y g(x) = -3x– 5 son paralelas ya que sus pendientes son iguales

Hagamos un ejemplo práctico:

Las rectas paralelas tienen igual pendiente.

o

Si dos rectas tienen la misma pendiente son paralelas.


23

* Encontrar la ecuación de la recta paralela a: f(x) = 22

1 x que pase por el punto (3,-1)

Lo único que debemos encontrar es la ordenada al origen, ¿por qué?

¡¡claro, la pendiente es la misma ya que deben ser paralelas!!

Comencemos a resolver:

Sabemos que la ecuación de la recta tiene la forma:

y = a.x + b

conocemos su pendiente por lo tanto tendremos:

y = bx 2

1

Entonces averiguamos la ordenada al origen reemplazando x e y por las coordenadas del punto

por el cual queremos que pasa la recta:

b 3.2

11

b2

31

b2

31

b2

1

Ya tenemos la ordenada al origen, solo nos queda escribir la ecuación de la recta que

estábamos buscando:

Llamémosla g(x)

Te propongo el siguiente ejercicio para que resuelvas:

* Encontrar la ecuación de la recta paralela a: f(x) = 3

1

5

3x que pase por el punto ( 2,

2

5 )

¿Resolviste?

Seguimos adelante entonces…

2

1

2

1)( xxg


24

RECTAS PERPENDICULARES

Definición:

De otra forma

Siendo f(x) = bxd

c , cualquier recta perpendicular tendrá pendiente

c

d

Ejemplo:

Las rectas 35

2)( xxf y

3

1

2

5)( xxg son perpendiculares ya que sus pendientes son

opuestas e inversas multiplicativas.

También podemos decir que el producto de sus pendientes es -1.

Hagamos otro ejemplo práctico

* Siendo la recta 2

3

3

4)( xxf , encontrar la ecuación de la recta perpendicular a ella que

pase por el punto )2,5

8(

Siempre comenzamos de la misma forma:

Escribimos la ecuación general de la recta:

y = a.x + b

¿Qué conocemos de ella?

¡¡Siii claro, la pendiente!!

4

3a

Por lo tanto tenemos:

bxy 4

3

Ahora reemplazamos por las coordenadas del punto

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son opuestas en signo e

inversas multiplicativas.

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.


25

b )5

8.(

4

32 Resolvamos la ecuación

b5

62

b5

62

b5

16

Entonces la ecuación de la recta perpendicular es: 5

16

4

3 xy

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Definamos cuando una función es creciente o decreciente.

CRECIMIENTO:

Una función real f(x) es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del

intervalo x0 y x1, con x0 x1, se tiene que: f(x) f(x).

Es decir una función es creciente en un intervalo si al aumentar el valor de x también aumenta el valor de y

Se lo llama Intervalo de Crecimiento I.C.

DECRECIMIENTO:

Una función real f(x) es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del

intervalo x0 y x1, con x0 x1, se tiene que: f(x) ≥ f(x).

Es decir una función es decreciente en un intervalo si al aumentar el valor de x disminuye el valor de y.

Se lo llama Intervalo de Decrecimiento I.D.

Si una función crece en todo su Dominio decimos que es estrictamente creciente.

Si una función decrece en todo su Dominio decimos que es estrictamente decreciente.

FUNCIÓN CONSTANTE

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independiente


26

f(x) = c

donde c es la constante.

Volvamos a la función lineal…

En las funciones lineales el signo de la pendiente determinará su crecimiento. Observa los siguientes gráficos.

En el gráfico de la izquierda observamos que la pendiente (m) es positiva y la función es creciente, mientras que en el gráfico del centro la pendiente es negativa y la función decrece. Por último en el gráfico de la derecha la pendiente es cero y la función es constante.

Resumiendo:

En toda función lineal si:

m > 0 la función lineal es creciente en todo su dominio. Se dice que es estrictamente creciente.

m 0 la función lineal es decreciente en todo su dominio. Se dice que es estrictamente decreciente.

m =0 la función lineal es constante

CONJUNTO DOMINIO Y CONJUNTO IMAGEN

Dominio

En toda función lineal el dominio es el conjunto de números reales ()


27

Imagen

En toda función lineal con pendiente distinta de cero la imágen es el conjunto de números reales.

Si la función es constante la imágen será el valor por el cual la función corta al eje de las ordenadas.

RAÍCES DE UNA FUNCIÓN

Definición:

Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0.

Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.

Al conjunto de todas las raíces de una función se lo llama Conjunto de ceros (C0)

Ejemplo:

Calculemos la raíz de la siguiente función: 32

1)( xxf

Para calcular su raíz igualamos a cero la función.

32

10 x y luego resolvemos la ecuación.

x2

13

x2

1:3

-6=x

Por lo tanto x = –6 es la raíz de la función, es el lugar en donde la función corta al eje de las abscisas

Ahora vos!!!

Encontrá la raíz de la función:

43

2)( xxf

Socializa el resultado con tus compañeros para verificar.

Sigamos…


28

CONJUNTO DE POSITIVIDAD (C+) Y DE NEGATIVIDAD (C–)

Conjunto de Positividad

Los intervalos de positividad (C +) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es positiva, es decir, donde f(x)>0.

De otra forma:

Los intervalos de positividad (C +) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la gráfica de la función se encuentra sobre el eje de las abscisas.

Conjunto de Negatividad

Los intervalos de negatividad (C - ) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es negativa, es decir, donde f(x)<0.

De otra forma:

Los intervalos de negatividad (C +) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la gráfica de la función se encuentra debajo del eje de las abscisas.

Ejemplos:

Grafiquemos la función f(x) = 32

1)( xxf

Observemos que su raíz es x = -6

A la derecha de -6 todos los valores que toma la función (valores de y) son positivos, la gráfica se ubica sobre el eje de las abscisas. Por lo tanto el conjunto de positividad será el intervalo:

C+ = (–6, ∞)

En cambio a la izquierda de -6 los valores de la función son negativos, la grafica se ubica debajo del eje de las abscisas. Por lo tanto el conjunto de negatividad será el intervalo:

C– = (–∞, –6)


29

-Vamos a realizar el análisis completo de una función lineal utilizando todo lo que trabajamos hasta ahora

Nuestra función es: 34

3)( xxf

Recuerda, al hacer el análisis estudiaremos:

Dominio

Imagen (codominio)

Crecimiento.

Raíz

Ordenada al origen.

Conjunto de positividad.

Conjunto de negatividad.

Gráfico.

Comencemos!!!!

Averiguaremos primero la raíz

Raíz:

x4

33

x4

3:3

X = 4 es raíz de la función

Vamos a construir el gráfico


30

Ahora mirando el gráfico podemos concluir el análisis:

Df =

If =

I.C. = La función es estrictamente creciente (intervalo de crecimiento)

C0 = {4}

Ordenada al origen (0,–3)

C+ = (4, ∞)

C– = (–∞, 4)

Actividad 11

1) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3,-2) y cuya pendiente es m= -2.

2) Escribe la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de la imagen.

3) Dadas las siguientes funciones lineales encontrar la ecuación de la recta paralela a

cada una de ellas que pase por en punto que se indica.

a) 43)( xxF por (2;-3) b) 42

3)( xxg por (-6:1)

c) 34

1)( xxh por (-2;4) d)

2

1

5

2)( xxh por (-5;2)

Graficar las funciones de cada ítem en un mismo sistema coordenado

4) Dadas las siguientes funciones hallar la recta perpendicular a cada una en el punto dado.

a) 15

2)( xxF por (-3;5) b) 82)( xxg por (-1:3)


31

d) 22

3)( xxh por (-4;1) d) 2

3

4)( xxh por (4;2)

Graficar las funciones de cada ítem en un mismo sistema coordenado. Para una utiliza una tabla de valores y para la otra grafica sin tabla.

5) Dados los siguientes puntos encuentra la ecuación de la recta que pasa por ellos.

a) P1 =(3,-2) y P0 =(-2,-1) b) P1 =(-1,5) y P0 =(3,-3) c) P1 =(-5,1) y P0 = )5

7,3(

6) Averigua si los puntos A(-2,-4), B(0,-2) y C(3,1) están alineados.

7) Dados los puntos: P1 =(-1,8) y P0 =(1,2) a) Encontrar la ecuación de la recta que los contiene. b) Hallar la ecuación de la recta paralela a la anterior que pase por el punto (2;-8) c) Encontrar la ecuación de la recta perpendicular a las anteriores que pase por el punto

(1;-2) d) Graficar las tres rectas en el mismo sistema coordenado. En al menos una recta utilizar

tabla de valores

8) Realizar el estudio de las siguientes funciones.

a) 22

3)( xxf b) 4

5

2)( xxg c)

2

7

4

3)( xxf

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Llamaremos función cuadrática a las funciones polinómicas de segundo grado, de dominio real e imagen real.

y= f(x) = ax²+bx+c con a ≠0

¿Distinto de cero?

Si claro!!!

De otra forma se anularía el término cuadrático y no sería el tipo de funciones que queremos estudiar!!!

Continuemos…

La forma más simple de una función cuadrática es en la que el valor de b y c es cero, por lo tanto nos quedaría:

F(x) = a.x2

Además si a=1 tendríamos:


32

F(x) = x2

Armemos una tabla de valores y grafiquemos. Vamos a darle valores simples por ser la primera

La forma de la gráfica de una función cuadrática se llama parábola.

La función toma el mismo valor para valores opuestos de x, por lo tanto es simétrica con

respecto al eje de las ordenadas. La recta X=0 es el eje de simetría de la parábola.

El único punto de la parábola que pertenece al eje de simetría es el vértice, en este caso

v=(0,0)

Ahora una actividad para vos:

Grafica las funciones:

f(x) = 2

3

1x 3)( 2 xxg h(x) = 23x k(x) = 23x

Saquemos algunas conclusiones.

¿Qué similitudes encuentras en todas las gráficas? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

__ _ _ _ _ _ _ _ _

¿Qué sucede con la función cuando se varía el valor de a? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _

¿Qué sucede con la función cuando se varía signo de a? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _


33

DESPLAZAMIENTOS.

EN EL EJE DE LAS ORDENDAS

Sigamos con la misma función pero ahora sumémosle 3. Sería:

h(x) = 32 x

¿y si le restamos 2?

J(x) = 22 x

Son otras funciones verdad.

Armemos tabla de valores y grafiquemos ambas.

x h(x) x J(x)

-3 12 -3 7

-2 7 -2 2

-1 4 -1 -1

0 3 0 -2

1 4 1 -1

2 7 2 2

3 12 3 7

Comparemos las tablas y los gráficos. Los valores de h(x) se obtienen sumando 3 a f(x) y los de

j(x) restándole 2.

Además el grafico de h(x) se desplazó 3 unidades hacia arriba en el eje de las ordenadas con

respecto a f(x) y j(x) 2 unidades hacia abajo.

Como la parábola se desplaza su vértice también lo hace la misma cantidad de unidades en la

misma dirección. En h(x) el vértice ahora se encuentra en (0,3) y en j(x) lo hallamos en (0,-2).

¿Te vas dando cuenta?


34

En una función cuadrática de la forma f(x) = x2 + k, podemos desplazar la parábola cambiando

el valor de k.

Si k > 0 la parábola se desplazará hacia arriba.

Si k < 0 la parábola se desplazara hacia abajo.

EN EL EJE DE LAS ABSCISAS.

Restemos un valor h a la variable x antes de elevarla al cuadrado.

f(x) = a.(x-h)2

Grafiquemos y comparemos las siguientes funciones, entre ellas y también con nuestra función

modelo f(x)

l(x) = (x-2)2 y m(x) = (x+3)2

cuál es el valor de h en cada caso

para l(x), h =_ _ _ _

para m(x), h =_ _ _ _

cuidado los signos!!!!

Ahora si, sigamos…

x l(x) x m(x)

-3 25 -3 0

-2 16 -2 1

-1 9 -1 4

0 4 0 9

1 1 1 16

2 0 2 25

3 1 3 36


35

Veamos las tres funciones en un mismo gráfico:

Podemos sacar conclusiones ahora.

La función se desplaza h unidades en forma horizontal (en el eje de las abscisas)

En l(x) la función se desplaza 2 unidades hacia la derecha, h = 2

En m(x) la función se desplaza 3 unidades hacia la izquierda, h = -3

Ahora pensemos en ambos desplazamientos:

Si desplazamos en el eje de las ordenadas, tenemos:

y= a.x2 + k

¿Pero quién es k?

Siii claro, K es la coordenada en y del vértice. yv


36

Entonces nos quedaría: y= a.x2 + yv

Si desplazamos en el eje de las abscisas tenemos:

y=a.(x-h)2

Aaah, ¿te imaginabas mi pregunta?

Si. ¿Quién es h?

Estaba vez respondiste más rápido!!!!!

Claro!!

h es la coordenada en x del vértice: xv

Entonces nos queda:

y= a.(x- xv)2

Combinemos los dos desplazamientos:

Forma canónica de la función cuadrática

Esta forma de escritura de la función cuadrática nos muestra las coordenadas del vértice de la

parábola.

Ejemplo 1:

y= 2.(x-3)2 + 1

El vértice de la parábola es v= (3,1)

Ejemplo 2:

y = (x+2)2 – 5

el vértice es: v = (-2,-5)

RAÍCES DE LA FUNCIÓN

Sabemos que en cualquier función el valor de la ordenada para las raíces siempre es cero, por

lo tanto si le damos valor cero a y nos queda:

0 = a.(x- xv)2 + yv comencemos a despejar x

y = a.(x- xv)2 + yv


37

-yv = a.(x- xv)2

2v )(a

y-vxx

vxx a

yv si te preguntas por qué ± recordá que las raíces de índice par tienen dos

soluciones

xxv a

yv luego de operar los valores de x serán las raíces de la función.

Veamos un ejemplo

Calculemos las raíces de: f(x) = 2.(x-2)2 –8

Igualemos a cero y despejemos.

0 = 2.(x-1)2 –8

8 = 2.(x-1)2

2)1(2

8 x

2)1(4 x

14 x

x 21

x 21 y x21

x = 3 y x = -1 son las raíces de la función

ORDENADA AL ORIGEN

Sabemos que el punto que representa la ordenada al origen es de la forma (0,c), por lo tanto

debemos calcular f(0)

Tomemos la función del ejemplo anterior: f(x) = 2.(x-2)2 –8

f(0) = 2.(0-1)2 –8 reemplazamos y resolvemos.


38

Y = a.x2 + b.x + c

f(0) = 2.(-1)2 – 8

f(0) = 2.1 – 8

f(0) = 2 – 8

f(0) = –6 por lo tanto la ordenada al origen es (0,-6)

FORMA POLINÓMICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Si desde la forma canónica desarrollamos el cuadrado y sumamos nos queda una nueva forma

de escritura de la función cuadrática, llamada FORMA POLINÓMICA.

Esta forma sería:

Donde el coeficiente “a” es el mismo valor que en la forma canónica y “c” es la ordenada al

origen.

Veámoslo con un ejemplo. Tomemos la función del ejemplo anterior

f(x) = 2.(x-1)2 –8 desarrollemos el cuadrado

f(x) = 2.(x2-2x+1) –8 usamos el cuadrado de un binomio

f(x) = 2.x2-4x+2 –8 distribuimos el 2

f(x) = 2.x2 - 4x –6 restamos 8 y nos queda la forma Polinómica de la función.

a = 2 b= - 4 c= - 6

Esto me recuerda la fórmula de BASKARA, más conocida como fórmula de la RESOLVENTE.

La conoces, ya la hemos usado.

VÉRTICE

Ahora veamos cómo podemos hacer para encontrar una fórmula que nos permita hallar el

vértice de una función cuadrática expresada en forma polinómica.

a

cabbx

.2

..42

2,1


39

Escribamos la forma polinómica:

cxbxaxf ..)( 2

Extraemos factor común a de los dos primeros términos

cxa

bxaxf )..()( 2

Ahora completemos el para que nos quede un trinomio cuadrado perfecto

ca

b

a

bx

a

bxaxf

22

2

.2.2..)( sumamos y restamos

2

.2

a

bpara no alterar la

expresión

Los tres primeros términos son un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto los podemos

expresar como un binomio al cuadrado.

ca

b

a

bxaxf

22

.2.2.)(

Escribamos el + del binomio al cuadrado como - - (menos menos)

ca

b

a

bxaxf

22

.2.2.)(

Distribuyamos a

ca

ba

a

bxaxf

22

.2.

.2.)(

Simplifiquemos a en el segundo término

cb

a

bxaxf

22

2.2.)(

Si miramos bien la expresión que nos quedó vemos que es la forma canónica de la función

cuadrática, en donde


40

a

b

.2 es la coordenada en x del vértice, por lo tanto:

Expresión que nos permite encontrar la coordenada de la abscisa del vértice.

Luego para hallar el valor de la ordenada debemos reemplazar el valor hallado de xv en la

ecuación de la función.

Ejemplo:

Encontrar las coordenadas del vértice de la siguiente función:

f(x)= 2.x2 -12.x +19

a= 2 b=-12 c = 19

Utilizamos la formula:

a

bxv

.2

Reemplazamos b y a en la formula

2.2

12vx

3vx valor de la coordenada de la abscisa del vértice

Ahora busquemos el valor de la ordenada, para ello reemplazamos en la función

f(x)= 2.x2 -12.x +19

f(x)= 2.32 -12.3 +19

f(x)= 2.9 -36 +19

f(x) = 1

a

bxv

.2


41

Finalmente el vértice es: V= (3,1)

La coordenada en x del vértice nos da también el lugar por el cual pasa la recta que es Eje de

Simetría de la parábola, por lo tanto

Xv = eje de simetría

En el ejemplo anterior la recta X = 3 es eje de simetría de la parábola.

Un ejercicio para que practiques un poco.

Hallar las raíces, el eje de simetría y el vértice de la parábola:

32

5

2

1)( 2 xxxf

FORMA FACTORIZADA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Ya sabes que la forma factorizada de un polinomio de grado con n raíces reales es:

P(x) = a.(x-x1).(x-x2)…(x-xn) siendo x1, x2, xn sus raíces.

La función cuadrática es una función polinómica de grado 2, por lo tanto su forma factorizada

sería:

f(x) = a.(x-x1).(x-x2) siendo x1 y x2 sus raíces.

Por lo tanto esta forma de escritura nos permite ver sus raíces, sin necesidad de operar.

Ejemplo:

Si tenemos la función: f(x) = 2.(x-3).(x+1) sus raíces son:

X1 = 3 y X2 = -1

VÉRTICE Y EJE DE SIMETRÍA.

Partamos de la forma factorizada de la función cuadrática.

f(x) = a.(x-x1).(x-x2) distribuyamos “a”

0 = (a.x-a.x1).(x-x2) volvamos a hacer distributiva

0 = a.x2-a.x.x2-a.x1.x+a.x1. x2


42

2

21 xxX v

2

21 xxX v

Saquemos factor común a.x entre el segundo y el tercer término

0 = a.x2-a.x.(x2+x1)+a.x1. x2

Si a -a.(x2+x1) lo llamamos b, nos queda b.x

y a a.x1. x2 llamémoslo c

entonces nos queda la forma polinómica de la función cuadrática

0= a.x2 + b.x + c

Pero concentrémonos en el segundo término

dijimos que:

-a.(x2+x1) = b dividamos por –a a ambos lados

Nos queda:

(x2+x1) = a

b

Ahora dividamos por 2 a ambos lados de la igualdad

a

bxx

.22

21

¿te diste cuenta que nos quedó a la derecha del igual?

Siii claroooo!!!! Xv la fórmula para hallar la coordenada de la abscisa del vértice

De lo que se deduce que si conozco las raíces de una función cuadrática puedo hallar su vértice:

Por último para encontrar el valor de la componente de la ordenada del vértice (yv) utilizamos

el mismo procedimiento que en la forma polinómica de la función: Reemplazamos.

ORDENADA AL ORIGEN.

De la misma manera que en las otras dos formas de escritura, para encontrar la ordenada al

origen, buscamos f(0).

Ejemplo:


43

Dada la función )4

3).(3.(

2

3)( xxxf , encontrar:

a) Su eje de simetría

b) Su vértice.

c) Su ordenada al origen

Como la función está expresada en forma factorizada, sabemos que sus raíces son:

X1 = 3 y X2 = 4

3

Por lo tanto para encontrar la ecuación del eje de simetría utilizamos la fórmula:

2

21 xxX v

reemplacemos

2

4

33

vX

2

4

9

vX

8

9X

Por lo tanto la recta 8

9X es eje de simetría de nuestra función.

Además es la componente en x del vértice.

Entonces solo nos resta reemplazar en la función para encontrar la componente de la

ordenada del vértice.

Reemplacemos:

)4

3).(3.(

2

3)

8

9( xxf


44

)4

3

8

9).(3

8

9.(

2

3)

8

9( f

)8

15).(

8

15.(

2

3)

8

9( f

128

675)

8

9( f

Por lo tanto el vértice es:

128

675,

8

9V

Para encontrar la ordenada al origen hacemos f(0).

)4

30).(30.(

2

3)0( f

4

3).3.(

2

3)0( f

8

27)0( f

Entonces la ordenada al origen es:

8

27,0

Animate, ahora….. un ejercicio para vos:

Dada la función )2).(3

2.(

4

1)( xxxf , encontrar:

a) Su eje de simetría

b) Su vértice.

c) Su ordenada al origen

Muy bien. Hasta ahora estuvimos trabajando con piezas sueltas. Es momento de armar el

rompecabezas.


45

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Para realizar el estudio de una función cuadrática debemos tener en cuenta lo

siguiente:

Dominio de la función.

Imagen.

Conjunto de ceros (C°)



Eje de simetría.

Vértice (Indicando si corresponde a un máximo o a un mínimo).

Intervalo de crecimiento (I.C.).

Intervalo de decrecimiento (I.D.)

Ordenada al origen.

Para poder completar el análisis nos quedaría por ver:

Dominio.

Imagen.

Intervalo de Crecimiento.

Intervalo de decrecimiento.

Comencemos¡¡¡¡

DOMINIO

En toda función cuadrática el dominio de la función es el conjunto

CONJUNTO IMAGEN

Veamos los siguientes gráficos:


46

En el gráfico A observamos que la función no toma valores menores que -4, por lo tanto su

CONJUNTO IMAGEN será el intervalo [-4,+∞).

En cambio en el gráfico B no hay ningún valor que supere el 3, por lo tanto su CONJUNTO

IMAGEN es el intervalo (-∞,3].

-4 y 3 son los respectivos yv de cada una de las funciones que vemos en los gráficos.

Por lo tanto en las funciones cuadráticas el conjunto imagen será:

Si a > 0:

Imf= [yv,+∞)

Si a < 0

Imf= (-∞,yv]


47

INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DE DECRCIMIENTO

Vuelve a mirar los gráficos anteriores…

Observa que para valores de x menores que -1 la función decrece, en cambio para valores de x

mayores que -1la función creces por lo tanto los intervalo de decrecimiento y de crecimiento

serán:

I.D. = = (-∞,-1)

I.D. = = (-1,∞)

Llegamos a nuestra meta en este contenido. Ahora estamos en condiciones de realizar el

estudio completo de una función cuadrática.

Recuerda:

Para realizar el estudio de una función cuadrática debemos tener en cuenta lo siguiente:

Dominio de la función.

Imagen.

Ordenada al origen.

Eje de simetría.

Vértice (Indicando si corresponde a un máximo o a un mínimo).

Conjunto de ceros (C°)



Intervalo de crecimiento (I.C.).

Intervalo de decrecimiento (I.D.)

Entonces ahora si!!!!!!!!!!!

Ejemplo:

Realizar el estudio completo de la siguiente función:

f(x) = 3x2+5x+2


48

3

21

x

12 x

La función está expresada en forma polinómica por lo tanto sus raíces las encontramos

utilizando la formula de la resolvente.

a=3 b=5 c=2

a

cabbx

.2

..42

2,1

3.2

2.3.455 2

2,1

x

6

242552,1

x

6

152,1

x

6

152,1

x

Excelente, ya tenemos C°

Sigamos…

Calculemos el eje de simetría y el vértice

¿Qué formula usamos?

Tenemos dos….

2

21 xxX v

a

bxv

.2

Como ya calculamos las raíces podemos usar cualquiera de las dos, pero cuidado si nos

equivocamos al calcularlas arrastramos el error, si decidimos usar la formula de la izquierda.

Yo usaré la de la derecha

a

bxv

.2


49

3.2

5vx

6

5vx

Ya tenemos la coordenada de la abscisa del vértice. Ahora calculemos el valor de la ordenada:

253)( 2 xxxf

26

5.5

6

5.3

6

52

f

12

1

6

5

f

Entonces el vértice es

12

1,

6

5V

Hagamos el gráfico


50

Completemos el análisis observando el gráfico:

Df=

If= 1

,12

Ordenada al origen: (0.2)

Eje de simetría: 6

5x

Vértice: Es un mínimo:

12

1,

6

5V

C°={ 1,3

2 }

C+ =

,

3

21,

C-- =

3

2,1


51

I.C =

,

6

5

I.D =

6

5,

Llegó el momento de las…

Actividad 12

1) Representa las funciones

a) f(x) = -x² + 4x – 3

b) g(x) = (x+1)²

c) h(x) = 4

3

2

12

x

2) Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

3) Expresa en forma factorizada las siguientes funciones cuadráticas:

a) f(x) = x2 + x b) g(x) = - x2 + 1 c) h(x) = x2 + 6 x – 27

d) j(x) = -2 x2 - 7 x – 3 e) k(x) = - x2 + 12 x – 36 f) l(x) = 4 x2 – 1

4) Las siguientes funciones cuadráticas están escritas en forma canónica. Expresalas en forma factorizada:

a) f(x) = 2(x - 1)2 – 2 b) g(x) = 3(x + 1)2 – 12 c) h(x) = - x2 + 2

d) j(x) = 4(x - 2)2 – 1 e) k(x) = - 5(x + 4)2 f) l(x) = 9(x + 1)2 – 4

d) f(x) = (x-1)² + 1

e) g(x) = 3.(x-1)² + 1

f) h(x) = 2.(x+1)² - 3

a) j(x) = -3.(x - 2).(x – 5)

b) k(x) = x² - 7x -18

c) l(x) = 3x² + 12x - 5


52

5) Escribí las ecuaciones de las funciones de los siguientes gráficos

6) Realizá el análisis completo de las siguientes funciones.

a) f(x) = 2.(x-1)(x+3) b) h(x) = 2

2

2

1.2

x c) j(x) = 2.x2+x-3 d) j(x) =

2

3.

3

23 xx

RESPUESTAS

3) f(x) = x(x+1); g(x) = -1 (x-1)(x+1); h(x) = (x-3)(x+9);

j(x) = -2(x+3) (x+1/2) ; k(x) = - 1(x-6)2 ; p(x) = 4 (x-1/2) (x+1/2)

4) f(x) = 2 x (x - 2) ; g(x) = 3 (x - 1)(x + 3); h(x) = 1 2 2x x ;

j(x) =3 5

42 2

x x

; k(x) = -5(x + 4)2 ; q(x) = 5 1

93 3

x x

5) a) )1).(2(2

1 xx b) f(x)= y=-4x2+5

i.s.f.d. y t. n° 93 curso inicial 2015 matemÁtica · era racional, y por lo tanto no lo es. 2 es...

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