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PROGRAMACIÓN LINEALFORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

1

Semana 1

1.1 Introducción a la Investigación de Operaciones

1.2 Los tipos de modelos

1.3 Programación lineal - Formulación con variables Xi, Xij

1.4 Uso de software

1.5 Aplicaciones en finanzas, marketing, producción

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

http://www.ue.edu.pe/


2

Durante II Guerra Mundial:

Problema:Asignación de

escasos recursos

Administración británica convocó

diversos científicos

Primeras aplicaciones:

▪ Determinación del tamaño óptimo de cargamento para minimizar pérdidas por ataque enemigo.

▪ Determinación de nuevos planes de vuelo.▪ Plan de colocación de minas.▪ Utilización efectiva de equipos tecnológicos de apoyo.



3

Después de II Guerra Mundial:

Problemas en la industria por

complejidad de organizaciones

Buscaron utilizar herramientas de investigación de

operaciones

Primeras aplicaciones:

▪ Control de producción.▪ Asignación de recursos.▪ Análisis de decisión.▪ Programación lineal .▪ Análisis costo beneficio.



4

Investigación de

Operaciones

Análisis estadístico

Modelos de Transporte

ProgramaciónLineal

Modelos de Inventario

Modelos de optimización

en redes

Teoría de decisiones

Teoría de sistemas de

espera

Simulación de sistemas



5

Modelo

➢Los modelos son abstracciones yrepresentaciones de la realidad

➢Facilitan el análisis de las situaciones

➢Herramienta para la toma de decisiones.

➢Son aplicables a todas las áreas de la empresa.

1.2 TIPOS DE MODELOS


TIPOS DE MODELOS

6

Modelos

Físico Analógico Matemático


TIPOS DE MODELOS: DETERMINÍSTICOS Y PROBABILÍSTICOS

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Modelos determinísticos

• Modelo en el cual todas las entradas incontrolables se conocen y no varían.

• Las mismas entradas o condiciones iniciales producirán invariablemente las mismas salidas o resultados

• No se considerar la existencia de azar, o incertidumbre

Modelos probabilísticos

• Modelo en el cual al menos una entrada incontrolable es incierta y está sujeta a variación; los modelos probabilísticos también se conocen como modelos estocásticos.

• Al menos una variable del modelo es tomada como un dato al azar y las relaciones entre variables se toman por medio de funciones probabilísticas.


Estructuración del problema

9

Definir el problema

Identificar las

alternativas

Determinar los criterios

Análisis cualitativo

Análisis cuantitativo

Resumen y evaluación

Tomar la decisión

Analizar el problema

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS


10

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS

Modelación o

formulación:

Arte de traducir un

problema a un lenguaje

matemático.

Sistema Real

Sistema real supuesto

Modelo

Resultados


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Elaboración de programa de producción y política de inventario que satisfaga demanda

de venta

Programa y política que permita satisfacer

la demanda y minimizar costos de

inventario

Analista financiero debe seleccionar portafolios

de inversión entre acciones y bonos.

Portafolios que maximice retorno de

inversión

Empresa con almacenes en diferentes ubicaciones

Determinación de cantidad de productos para cada almacén que

minimice costos de transporte

¿Quiénes construyen modelos?



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1.2 PROGRAMACION LINEAL

DEFINICION

La programación lineal es un método de solución de problemas desarrollado para

situaciones que involucran la maximización o minimización de una función lineal, sujeta a restricciones lineales que limitan el grado al

cual se puede intentar lograr el objetivo.



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ELEMENTOS DEL MODELO MATEMATICO DE PROGRAMACION LINEAL

• Variable de decisión

• Función objetivo

• Restricciones

• Condición de no negatividad.

1.3 PROGRAMACION LINEAL



Variables de decisión Restricciones

Función Objetivo Soluciones Factibles

Solución Óptima

Elementos del Modelo de Decisión


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VARIABLES DE DECISION

• Son las incógnitas (o decisiones) que debendeterminarse resolviendo el modelo, sobre los quese tomarán decisiones y se encuentran bajo elcontrol de quien toma las decisiones.

1.2 ELEMENTOS: VARIABLES DE DECISIÓN, FUNCION OBJETIVO,

RESTRICCIONES



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VARIABLES DE DECISION

Ejemplos

• Cantidad de soles a invertir….

• Cantidad de acciones a comprar….

• Cantidad de encuestas a realizar….

• Cantidad de personas a contratar….

• Cantidad de medios publicitarios a contratar….

• Cantidad de productos a fabricar o comprar…


RESTRICCIONES



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FUNCION OBJETIVO

• Es la expresión matemática queindica el objetivo a optimizar.

• Medida de desempeño por optimizar.

• Se puede maximizar o minimizar la expresión, de acuerdo con el objetivo.


RESTRICCIONES



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FUNCION OBJETIVO

Ejemplos

• ¿Qué se maximiza?

• Ingresos, producción, utilidades,…. Todoaquello que genere beneficios.

• ¿Qué se minimiza?

• Costos, tiempo, riesgo….. Todo aquello queNO genere beneficios.


RESTRICCIONES



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Restricciones

• Requisitos que las variables de decisión debende cumplir.

• Pueden ser limitaciones, requerimientos ocondiciones de balance.

• Restringen las variables de decisión a unarango de soluciones factibles


RESTRICCIONES


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RESTRICCIONES

LIMITACIONES

≤

REQUERIMIENTOS

≥

CONDICIONES DE BALANCE

=


RESTRICCIONES


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Restricciones

(Ejemplos)

• Limitaciones de capital para inversiones.

• Capacidad de producción de las máquinas.

• Cantidad de insumos en el mercado.

• Cantidad de personal requerido.

• Cantidad mínima de compra.

• Composición de alimentos.


RESTRICCIONES


CONDICIONES:

▪ Deben cumplir con la condición de linealidad.

▪ Deben participar todas las variables definidas.

▪ Si alguna variable no participa en ninguna de las restricciones,

entonces no tiene sentido que figure en la función objetivo.

▪ Se expresarán por medio de una igualdad o desigualdad.

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RESTRICCIONES



FORMATO GENERAL DE UN PPL

Max Z = C1x1 + C2x2 + …Cj xj +… Cn xn

RESTRICCIONES:

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a11 x1 + a12 x2 + …… + a1n xn ≤ ó ≥ ó = b1

a21 x1 + a22 x2 + …… + a2n xn ≤ ó ≥ ó = b2

a31 x1 + a32 x2 + …… + a3n xn ≤ ó ≥ ó = b3

am1 x1 + am2 x2 + …… + amn xn ≤ ó ≥ ó = bm

Para toda xj ≥ 0

FUNCION OBJETIVO

Sea Xij: …. (definir: unidades-verbo-frecuencia)



GUIA PARA LA FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS

1. Determinar cuál es el problema

2. Identificar y definir las variables de decisión

5. Formular matemáticamente la función objetivo

6. Formular matemáticamente las restricciones

3. Determinar qué función objetivo se usará

4. Determinar qué restricciones están presentes en el sistema

Puede

cambiarse

el orden de

estos pasos


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EJERCICIOS


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La empresa CARPENTER es una fábrica de muebles deescritorio. El jefe de producción está realizando laprogramación para la fabricación de los tres modelos deescritorio: Executive, Professional y Student.Los tiempos empleados para cada uno de los modelos en losdiferentes procesos son los siguientes:

Modelo Corte y Pulido Armado Acabado

Executive 2 horas 30 minutos 1 hora

Professional 2 horas 40 minutos 30 minutos

Student 1 hora 45 minutos 1.5 horas

Los tiempos disponibles para cada proceso de trabajo son: Corte y pulido, 125 horas;armado, 80 horas; acabado, 120 horas. Adicionalmente se sabe que las utilidades decada modelo de escritorio son: S/ 60, S/ 65 y S/ 70.Elabore el modelo de PL para determinar cuántas unidades se deberían fabricar porsemana para maximizar las utilidades.

Caso 1: Muebles de escritorio.


El administrador de una fábrica de guitarras acústicas debe decidir respecto ala cantidad de guitarras que fabricará durante el próximo mes. Los modelosque lanzará son: Principiante, Estudio, Avanzado y Profesional; que venderáen 500, 380, 750 y 1400 soles la unidad, respectivamente.El equipo de operarios a cargo de la producción está conformado por cincoexpertos, los que trabajan 4 semana por mes, 8 horas diarias de lunes aviernes. Para el próximo mes se cuenta con un presupuesto de 25,000 solespara la producción. En la tabla se muestra el costo de producción unitario decada modelo, así como el tiempo de mano de obra requerido para lafabricación de una guitarra, y la demanda mínima que espera tener:

Modelos Principiante Estudio Avanzado ProfesionalCosto unitario (soles) 250 180 450 600Mano de obra (horas) 8 10 15 20Demanda mínima (u) 30 10 4 15Precio 500 380 750 1400

El departamento de mercadeo ha establecido que como máximo se venderán 25 unidades de losmodelos Avanzado y Profesional, en conjunto. Además, la empresa desea que el costo total deproducción de los modelos Principiante y Estudio, no supere al costo de producción del modeloProfesional. Por cada 3 guitarras Principiante se deben fabricar no más de 2 guitarras Estudio.Asimismo, se deberán fabricar, en total, no menos de quince guitarras de los modelos Avanzado yPrincipiante, por cada diez equipos del modelo Estudio.Finalmente, por cada 5 soles asignados a la producción de guitarras Profesional debe asignarse almenos 3 soles para la guitarras Principiante.Formule el modelo matemático de programación lineal.

Caso 2: Guitarras


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Aplicaciones - En marketing

PL y el marketing

Selección de medios de

comunicación

Investigación de mercados



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OBJETIVO: Maximizar el alcance de la publicidad, la frecuencia y la calidad de exposición en los

diferentes medios.

Aplicaciones - En marketing

OBJETIVO: Minimizar el costo cumpliendo con las limitaciones señaladas por el cliente.



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Decisiones de marketing – Inscripciones a escuela de danzas Chachachá.La escuela de danzas para adultos mayores, Chachachá, está realizando una nuevaconvocatoria y requieren que ésta sea lo más efectiva posible. Se ha considerado publicaranuncios en un suplemento dominical, en una revista universitaria y pancartas.De acuerdo con resultados anteriores, se estima que cada anuncio publicado ensuplemento dominical lo leerán 40,000 interesados, mientras que en la revistauniversitaria lo leerán 20,000 posibles alumnos, y las pancartas serán leídas por 10,000interesados. Además, se sabe que el nivel de respuesta en el suplemento es de 0.5%,mientras que en los otros medios la respuesta es de 0.4%.Se espera lograr un mínimo de 1,800 inscritos como resultado de estas publicaciones.El costo de cada aviso en el suplemento es de S/1900, mientras que en la revistauniversitaria es de S/.600 y las pancartas cuestan S/250. Se cuenta con un presupuesto de20,000 soles.Por indicación de la gerencia, se deberá publicar al menos en 3 pancartas por cada 2anuncios en revistas universitarias. Además, se señaló que se debe procurar que lacantidad de personas que reciban la información en revistas y pancartas sea a lo muchoigual que los que la reciben en el suplemento dominical.Asimismo, se indicó que se deberá publicar como máximo en 12 pancartas.Formule el modelo matemático lineal apropiado para el caso descrito.


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Campaña publicitariaEn esta última etapa de la campaña electoral, uno de los candidatos requiere intensificarla difusión en los medios de comunicación, por lo que lo están contratando a usted comoasesor de campaña. Las alternativas de publicidad incluyen televisión, radio y periódico.Las estimaciones de audiencia, costo y limitaciones de uso máximo de medios semuestran a continuación:

Restricciones Televisión matutina

Televisión vespertina

Radio Periódico

Audiencia por anuncio 40 000 60 000 18 000 40 000

Costo por anuncio (US$) 1 500 2 000 300 600

Uso máximo del medio 4 6 20 10

Para asegurar el uso equilibrado de los medios publicitarios, los anuncios de radio nodeben exceder 40% de la cantidad total de anuncios por televisión ni deben ser menoresque el 20% de este grupo. Además, la televisión debe representar al menos 10% del totalde anuncios autorizados. Por cada 10000 personas que reciban los anuncios entelevisión, al menos lo deberán recibir 4000 en radioFormule el modelo de PL correspondiente.


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Aplicaciones – En finanzas

PL y finanzas

Selección de portafolios

Planeación financiera



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OBJETIVO: Maximizar la utilidad de la inversión o minimizar los riesgos.

Aplicaciones – En finanzas



Mariano acaba de ganar medio millón de soles jugando a la lotería, yquiere invertir lo ganado comprando acciones, de manera quemaximice su rendimiento. Sin embargo, para reducir el riesgo propiode invertir en bolsa, no desea colocar más del 40% de su dinero enninguna de las opciones que ha identificado. Además, por cada 2acciones adquiridas de la empresa B, máximo deberá comprar 3 de laempresa C. Del mismo modo, el dinero invertido en la empresa A, nodebe superar el 60% de su inversión total.

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Finanzas: Acciones

Empresa Precio poracción

Ofertamáxima

Gananciaesperada

A S/. 14 15,000 acciones 20 %

B S/. 25 22,300 acciones 13 %

C S/. 18 10,500 acciones 25 %



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Uno de los analistas financieros de lacompañía de inversiones GANA MUCHO, harecibido el encargo de un cliente de invertir192,000 soles. De acuerdo con lainvestigación realizada, el analistarecomienda que las inversiones se realicenen empresas dedicadas a la agroexportación,en empresas mineras o en fondos mutuos,correspondiendo el índice de rentabilidadque se indica en el cuadro siguiente:

Rendimiento proyectado %

Inversión

6.0 Fondos mutuos

5.4 Exportadora Esparraguín

6.5 Agroindustria Fruta Linda

7.2 Minera Mucho Oro

9.8 Minera Kriptonita

Además la empresa de inversiones tiene las siguientes políticas:▪ La inversión en fondos mutuos deberán ser máximo el 40% de la inversión que se

realicen en el sector exportación y no puede ser menor al 15% del fondo disponible.▪ El rendimiento proyectado del sector minero debe ser superior al rendimiento

proyectado de las empresas exportadoras.▪ No se asignará más de 80 000 soles a ningún sector (ni minero ni de agroexportación)▪ Las inversiones en la opción de mayor riesgo no podrán superar el 60% de las

inversiones en su sector.Formule un modelo que optimice el rendimiento proyectado.

Finanzas: Inversiones


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Aplicaciones - Administración de la producción

PL y administración de

la producción

Hacer o comprarProgramación de

la producciónAsignación de la fuerza de trabajo



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OBJETIVO: Minimizar costos relacionados con los productos comprados o procesados en la

empresa.

Aplicaciones - Administración de la producción



RMC es una empresa química que fabrica un aditivo para combustiblesy una base para solventes utilizando los materiales 1, 2 y 3.

Por cada tonelada de aditivo se usan 0.4 toneladas del material 1 y 0.6toneladas del material 3.

Por cada tonelada de base se utilizan 0.5; 0.2 y 0.3 toneladas de losmateriales 1, 2 y 3 respectivamente.

Actualmente la disponibilidad de estos tres materiales esrespectivamente 20, 5 y 21 toneladas.

La producción y venta de cada tonelada de aditivo genera una utilidadde $40, mientras que la de base $30.

Formule el modelo de PL adecuado.38

Empresa química fabricante de aditivos



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En un taller de confecciones se quiere establecer el plan de producción semanal decasacas deportivas con mayor demanda, de modo que el costo sea el menorposible. Hay dos modelos a producir: casacas del modelo clásico y casacas delmodelo juvenil, con costos unitarios de S/ 50 y S/ 30, respectivamente.Durante su confección, cada casaca pasa por dos áreas: confección y acabado:• Cada casaca clásica requiere 1/4 hora en el área de confección, mientras que

cada casaca juvenil requiere de 1/5 hora; la próxima semana se tendrándisponibles 48 horas en esta área.

• En el área de acabados se dispondrá de 2 operarios, cada uno trabaja jornadascompletas de 8 horas de lunes a viernes y los sábados solo trabajan mediajornada. Las casacas clásicas requieren de 24 minutos para las revisiones deacabado y las juveniles requieres de 6 minutos de trabajo de un operario.

Además, se debe tener en cuenta que:• Por cada 2 casaca juvenil, por lo menos se deberán producir 3 casacas clásicas.• Máximo el 80% de los costos totales deben corresponder al modelo clásico.• La demanda máxima de casacas juveniles se estima en 110 unidades.• La producción total debe ser como mínimo 200 casacasFormule el modelo correspondiente al caso descrito

Decisiones de producción – Confecciones


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La compañía “Juguetes” produce los muñecos Barbina y Kentino. Elproceso de fabricación de cada uno de estos productos requiere de lautilización de maquinaria así como de trabajo manual.La fabricación de cada unidad de Barbina requiere de 12 minutos deproceso en maquinaria y de 15 minutos de trabajo manual, mientras quecada unidad de Kentino requiere de 10 minutos de trabajo enmaquinaria y de 15 minutos de trabajo manual.Mensualmente las máquinas tienen una capacidad de 80 horas detrabajo, mientras que el total de horas de mano de obra es de 100 horas.De acuerdo con el histórico de ventas, se proyecta una demanda máximade 80 unidades de Barbina y 120 unidades de Kentino.El gerente general ha dispuesto que por lo menos el 40% de laproducción sea del producto Barbina.La muñeca Barbina genera una utilidad de S/. 15 y los Kentinos S/. 20.Formule un modelo que optimice la utilidad.

Decisiones de producción – Fábrica de juguetes


Una fábrica de alimento medicado para mascotas tieneque decidir si produce en sus propias líneas y/o empleatercerización para la comercialización de sus principalesproductos:❑ alimento para gatos con problemas en el sistema

urinario❑ alimento para perros con problemas en las encías y❑ alimento para conejos descalcificados.

Los datos relacionados con los costos, disponibilidad de tiempo en las líneas de producción, ofertadel proveedor (tercerización) y demanda mensual se muestran a continuación:

La empresa ha determinado que:El tiempo no utilizado en las líneas de producción ocasiona un costo equivalente a S/. 4.70. • Sólo se pueden procesar hasta 100 kilos de alimento para gatos.• Debe cumplir una cuota de utilización de mínimo el 60% del tiempo disponible en las líneas de

producción.

Alimento para…

Producir ComprarDemandaCosto

por kiloTiempo

requeridoTiempo

disponibleCosto

por kiloOferta

Gatos S/. 2.40 1 hora / 10 kilos40 horas

S/. 2.00240 kilos

140 kilosPerros S/. 3.00 2 horas / 25 kilos S/. 3.40 400 kilosConejos S/. 1.20 1 hora / 20 kilos S/. 1.50 85 kilos

Alimentos para mascotas.


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Aplicaciones – Asignación de la fuerza de trabajo

OBJETIVO: Optimizar asignación óptima de la fuerza de trabajo



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Programación de personal – Estación de enfermeras

El administrador de la conocida clínica SIEMPRE SANO, ha observadoque el requerimiento de técnicos de enfermería es variable en

diferentes horarios, de acuerdo con la tabla siguiente:

Horario Cantidad requerida

08:00 – 14:00 8

14:00 – 20:00 6

20:00 – 02:00 12

02:00 – 08:00 10

Las condiciones laborales establecen que la jornada laboral sea de 12horas consecutivas y que únicamente ingresen a trabajar al inicio decualquier período. Formule el modelo de PL que permita establecer¿Cuántos técnicos se debería contratar para que inicie labores en cadahorario?


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El gerente de operaciones de la empresa detransporte “Ven conmigo” ha decidido optimizarel personal asignado a las cafeterías de losterminales terrestres. Por ello, ha decidido quese atenderá durante 18 horas del día, por lo queha previsto que se requerirá como mínimo la

cantidad de meseros indicada en el cuadrosiguiente:

Turnos Horas del

día

Cantidad de

meseros

1 06-09 10

2 09-12 15

3 12-15 15

4 15-18 8

5 18-21 10

6 21-00 4

La empresa cuenta con políticas salariales que dan incentivos a los meseros que trabajanen los turnos 1, 5 y 6, otorgándoles un bono por “horario difícil” de 100 soles adicionalesa su sueldo básico. De igual modo, los meseros que inicien sus jornadas en los turnos conmayor afluencia de público (2 y 3), recibirán un bono por “hora pico” de 120 soles sobresu sueldo básico. El sueldo básico de un mesero es de 1000 soles.Al efectuar la programación de personal se debe tener en cuenta lo siguiente:• La cantidad de meseros que empiecen su jornada en los primeros tres turnos debe ser

por lo menos el 60% del total de meseros contratados.• Se cuenta con un presupuesto de 6000 soles para el pago de bonos.• Por cada 10 soles invertidos en bonos por “horario difícil” se deberán invertir como

máximo 8 soles en bonos por “hora pico”.Formule el modelo de programación lineal que minimice los de la cafetería.


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OBJETIVO: Optimizar el uso de recursos de la empresa.

Aplicaciones - Operaciones



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Cantidad de desechos

Existen 3 mineras cuyas operaciones se encuentran cerca del río Marañón y cada

una de éstas vierte 3 tipos de contaminantes al río. Si se procesaran los desechos

de cada una de las minas, entonces se reduciría la contaminación del río.

Cuesta 120 soles procesar una tonelada de desecho de la minera 1, y cada

tonelada procesada reduce la cantidad de contaminante 1 en 0.20 ton, el

contaminante 2 en 0.40 ton. y el contaminante 3 en 0.60 ton.



contaminante 2 en 0.28 ton y el contaminante 3 en 0.18 ton.



contaminante 2 en 0.25 ton y el 3 en 0.36 ton.

La comunidad ha indicado que deberá reducirse la cantidad del contaminante 1

por lo menos en 100 ton, la cantidad del contaminante 2 en por lo menos 70 ton y

la cantidad del contaminante 3 en por lo menos 80 ton.

Además se indica que por cada ton que se reduce del contaminante 1 se deberá

reducir no menos de 4 ton del contaminante 3 y que la reducción del contaminante

2 debe superar el 30% de la reducción de los otros contaminantes.

Plantee un modelo de PL que minimice el costo de disminuir la contaminación en

las cantidades deseadas.


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Problema de mezcla

Una empresa agrícola prepara una mezcla de alimento para ganado.

El alimento es una mezcla de maíz y soya con la siguiente composición:

Contenido y precio por cada libra de Alimento

Alimento Proteínas (Lb) Fibras (Lb) Precio ($/Libra)

Maíz 0.09 0.02 0.30

Soya 0.60 0.06 0.90

Los requerimientos del alimento son de por lo menos 30% de proteínas

y cuando mucho un 5% de fibra. Se desea saber cuál es la mezcla

óptima que minimice el costo del alimento, si la empresa necesita

producir por lo menos 800 libras diarias de alimento.


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Problema de inventario: patinetas

Un fabricante de patinetas ecológicas (hechas 100% de materiales

reciclados) desea determinar cuántas unidades producir para satisfacer la

demanda de los próximos tres meses: octubre, noviembre, diciembre,

considerando que se desea minimizar los costos de producción e inventario.

Las patinetas no vendidas durante un mes se guardan para venderlas al

mes siguiente, el costo de almacenamiento es 8 soles/unidad. A fines de

septiembre no se tendrán patinetas en almacén, sin embargo, se desea

tener al menos 20 unidades al final de diciembre.

Considere un inventario de seguridad de al menos dos docenas para cada

mes. El costo unitario de producción, así como la capacidad de producción

y la demanda por mes, se muestran a continuación:

Meses Costo de Producción Capacidad de producción Demanda

Octubre 78 soles / u 600 u 350 u

Noviembre 78 soles / u 500 u 300 u

Diciembre 90 soles / u 500 u 800 u

Ii: inventario al inicio del mes i (1,2,3,4)

Xi: producción del mes i (1,2,3)


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Problema de inventario

Una empresa enfrenta la siguiente demanda para los próximos tres

meses: mes 1, 25 unidades, mes 2, 13 unidades, mes 3, 18 unidades. El

costo de producción durante cada mes es como sigue: mes 1, $15, mes

2, $12, mes 3, $18. El costo de mantener inventario de un periodo a otro

es $3 por unidad, este costo es aplicable al inventario al final de cada

periodo. Al inicio del periodo 1, la empresa tiene 8 unidades en

inventario. No todos los bienes fabricados en un periodo pueden ser

utilizados para satisfacer la demanda de dicho periodo. La tasa de uso

en la que se puede utilizar los bienes de un periodo para la demanda del

mismo periodo es de 50%.

Formule el modelo de PL para minimizar el costo de producción y

cumplir con los requerimientos de la demanda.


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