introduccion teoriade señales

©Victor Moisés Hernández Cham [email protected]

TEMA 1

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA SEÑAL

.

©Victor Moisés Hernández Cham [email protected] 1.2

Sistemas de Transmisión de Datos

1.ELEMENTOS BÁSICOS DE UN SISTEMA DE COMUNICACIÓN

Un sistema de comunicación básico está compuesto por:

- fuente

- canal de comunicaciones

- destino.

Se denomina FUENTE a un ente o dispositivo que genera información. La

característica es que emite señales. No tiene por qué haber sido creado, puede

generarse en la naturaleza. Existen muchas fuentes de información que no son

analógicas ni digitales, por ejemplo, la voz.

Normalmente, existen dispositivos que traducen las señales al formato que el

medio es capaz de transmitir. Estos equipos son los transductores, se encuentran a

la entrada y salida del sistema físico normalmente. Estos dispositivos adaptan la

señal al medio físico, o simplemente convierten la señal del fuente a otro tipo de

señal. Tienen funciones muy variadas, también pueden ser conmutadores,

amplificadores…

Los transductores de entrada adecuan la señal que genera el fuente al medio

con el que trabajamos. De la misma forma, el destino puede recibir una señal que es

necesario “traducir” para que el receptor la entienda.

Por tanto, un sistema de comunicaciones básico engloba:

- Emisor ⇒ fuente + transductor de entrada.

- Canal de comunicaciones

FUENTE DESTINO

CANAL DE COMUNICACIONES

CANAL DE

COMUNICACIONES

FUENTE TRANSDUCTOR DE ENTRADA

DESTINO TRANSDUCTORDE SALIDA

EMISOR RECEPTOR

.



- Receptor⇒ transductor de salida + destino.

El canal de comunicaciones no sólo es el medio físico, es algo más, engloba

el hardware (medio físico) y el software (que maneja el medio físico). El canal

representa el camino lógico por donde va a ir la información. Existen muchos canales

dentro de un medio físico, y por cada canal, podemos establecer conexiones. El

medio físico va a estar aprovechado en función del número de canales que soporte.

En todo sistema de comunicaciones existen distorsiones, ruidos o

atenuaciones, tanto aleatorios como periódicos que interfieren la comunicación. Estas

distorsiones se deben a que trabajamos con medio físicos, que no son ideales y tienen

cierto margen de error. Dependiendo de la calidad del medio físico con el que

trabajemos tendremos un sistema más o menos inmune a este tipo de distorsiones.

Por ejemplo, la fibra óptica es mucho más inmune a las distorsiones que otros medios

físicos.

1.1. TIPOS DE SEÑALES EN COMUNICACIONES

Existen muchos tipos de señales:

- Periódicas: se repiten en el tiempo.

- Aleatorias.

- Deterministas: se producen siempre (en el medio).

Las señales, básicamente, se dividen en:

- señales analógicas.

- señales digitales.

1.1.1. Señales analógicas

Las señales analógicas son señales de variación lenta en el tiempo. No

cambian abruptamente de un estado a otro de energía, sino que varían lentamente.

Si tomamos en un intervalo de tiempo el valor de la señal analógica, está

compuesta por infinitos valores, es decir, una señal analógica en un intervalo de

tiempo toma infinitos valores de amplitud.

La representación gráfica de este tipo de señal, viene dada por las funciones

seno o coseno, como muestra la figura 1:

.



)tcos(Ax(t) 0θ+ω⋅= )tsenAx(t) 1θ+ω⋅= (

NOTA: cos (0) ⇒ máxima amplitud.

π

+θ =θ2

sen cos

sen (90) ⇒ máxima amplitud.

π

−θ =θ2

cossen

Las señales analógicas, por ser de variación lenta se utilizan para

comunicaciones a larga distancia, entornos públicos, por ejemplo: red telefónica.

Vienen definidas por los parámetros: amplitud, fase y frecuencia.

- A ⇒ Amplitud: Voltaje o intensidad de la corriente.

- ω ⇒ Frecuencia angular: Se mide en segrad , también es

llamada pulsación angular. Es la velocidad de rotación a la que se

mueve la señal.

Frecuencia cíclica: π

ω=

2f

Ciclo: Representa las veces que la señal analógica se repite en el tiempo.

Ejemplo: Sea la señal de la figura 2.

Figura 2. Señal analógica de 3 Hertz.

t1 t2

1 ciclo

1 seg

Figura 1. Señal cosenoidal

.



Por tanto, esta señal se mueve a tres ciclos por segundo, se mueve a 3 Hz.

segundociclo1HzHertcio 1 == .

Por ejemplo, la frecuencia de la voz va desde 300Hz a 4000Hz.

La relación entre la frecuencia angular y la frecuencia cíclica viene dada por la

siguiente fórmula: f2π=ω

Periodo de la Señal: es el tiempo que tarda la señal en recorrer un ciclo: f1T =

La distancia recorrida en ese tiempo se denomina Longitud de Onda, se representa

por λ. Normalmente se toma como la distancia entre picos. Se mide en metros.

Con la longitud de onda λ (≈ distancia que recorre) y el periodo de la señal T

(≈ tiempo que tarda) podemos averiguar la velocidad de propagación de la señal,

medida en metros por segundo:

πω

λ=⋅λ=λ

=2

fT

v

Frecuencias muy grandes implican longitudes de onda pequeñas y, por tanto,

longitudes de onda grande implican frecuencias bajas.

t(t) ⋅ω=ψ ⇒ Fase instantánea de la señal.

θ0 ⇒ Fase inicial, en t=0.

1.1.2. Señales digitales

Son señales de variación brusca. Cambian de un estado a otro de energía en

un intervalo de bit.

Intervalo de Bit: Tiempo que manejan emisor y receptor para colocar uno o más bit

de información en el medio. Viene definido por el emisor y el receptor.

Las señales digitales son menos sensibles al ruido que las señales analógicas,

pero se atenúan más rápidamente. Cuanto menor sea el intervalo de bit, más

información se puede enviar. Por tanto, mayor ancho de banda tendremos y, en

consecuencia, mayor velocidad. El ideal en comunicaciones es conseguir dispositivos

que cambien de estados de energía muy rápidamente en tiempos muy pequeños.

.



Una subdivisión de señales digitales se pueden obtener atendiendo a la

duración temporal, a la polaridad y a su número de estados o niveles de amplitud que

posean:

i. En función del número de estados:

• Señal digital binaria: Sólo puede tomar dos valores de energía

(cero y uno).

• Señal digital m-aria o multinivel: Toma más de dos estados o

niveles de energía.

Para cuantificar los estados de energía de una señal binaria se necesita un único

bit, mientras que para las m-arias se necesita más de uno. Existe una relación

entre el número de niveles o estados y los bits necesarios para codificar dichos

niveles. Esta relación viene dada por la fórmula:

n2m ≤ o, lo que es igual nmlog 2 ≤ , donde m es el número de estados que hay que

cuantificar y n el número de bits.

Ejemplo: Para cuantificar cuatro estados de energía nos bastaría con 2 bits, es decir, n = 2.

Para cuantificar seis estados de energía nos bastaría con 3 bits, es decir, n = 3.

1 1 1

0 0

.



Hay señales que cambian en un intervalo de bit múltiples veces. Éstas señales se

llaman multinivel, y permiten una cadencia en el canal muy superior a las señales

binarias.

Las señales multinivel se utilizan para comunicaciones de alta velocidad. Para

comunicaciones básicas se utilizan señales binarias, que permiten codificar

elementalmente la información a enviar.

ii. En función de la polaridad (nivel de energía):

• Señales unipolares: Son señales digitales que sólo pueden tomar

valores de amplitud positivos.

NOTA: el bit cero no tiene por qué corresponderse con el cero en amplitud.

• Señales bipolares: pueden tomar valores de amplitud positivos y

negativos.

iii. En función de la duración temporal:

• Señal NRZ (Not Return Zero): Es la señal digital que agota

completamente el intervalo de bit.

1 1 1

0 0

+5

-5

.



• Señal RZ (Return Zero): Son señales digitales que no agotan el

intervalo de bit y retornan a cero, es decir, tienden a cero antes de

acabar el intervalo.

En comunicaciones, es mejor trabajar:

• Bipolares ante unipolares: Las señales bipolares, tienen un

nivel de continua menor que las unipolares, por lo que necesitan menos

energía para transmitirse, se comportan mejor al atravesar los

dispositivos físicos, como por ejemplo, un transformador, y tienen menor

pérdida que las unipolares. Es más sencillo con estas señales detectar los

cambios y el estado del medio sin dar lugar a errores.

• RZ frente a NRZ: Básicamente porque el tiempo que queda

libre del intervalo de bit, puede aprovecharse para enviar otros tipos de

señales multiplexando las señales en el mismo intervalo de tiempo, por lo

que se aprovecha mejor el medio y se envía mayor cantidad de

información por seg.

• Señales multinivel frente a binarias: Mayor cantidad de

información por unidad de tiempo.

Vamos a ver un ejemplo, en la Figura 2 de las señales digitales definidas

anteriormente:

.



EJEMPLO: vamos a enviar la secuencia digital 10001101 con señales digitales

diferentes.

Otra ventaja de las señales digitales bipolares es que si la línea está a cero,

sabemos que está en reposo, mientras que en las unipolares no se sabe a que nos

referimos porque el cero no tiene por qué corresponderse con el cero en amplitud.

Se llama ancho de banda (B o W) de una señal al rango de frecuencias en el que

se mueve la señal. Existe ancho de banda de la señal y del medio. El ancho de banda

tiene relación con la duración de los impulsos digitales. Cuanto menor sea la

duración de los pulsos (τ) más cantidad de información podremos enviar por unidad

de tiempo(seg.).

τ≈

1B en Hercios.

Cuando hablamos de señales analógicas es el rango de frecuencias en el que se

mueve la señal, su notación normalmente es W o B como hemos comentado

anteriormente.

x(t

Digital Binaria

Digital Binaria RZ

Multinivel. 2τ=0T

Multinivel. τ=0T

10 0 0

1 10

1 1 10

0 00 0

10

00

11

01

T0

τ

T0 duración del intervalo de bit. τ ancho del impulso.

Figura 3. Tipos distintos de señalización digital.

Ancho de banda

Si se mueve entre 100 y 150, el ancho de banda será: W=50MHz.

.



Cuando hablamos de señales digitales no se miden en Hz, sino en cadencia de bits

por segundo, es decir, la cantidad de bits por segundo que se envían por el canal de

comunicaciones.

1.1.3. Parámetros de una señal digital

• Velocidad de Información, vi:

Representa el número de bits que se envían con una señal digital binaria (un

intervalo de bit ⇒ un bit). Viene definida por: 0

i T1v = , se mide en seg

bits

• Velocidad de Transmisión o modulación, vt: Es la inversa de la

duración de los impulsos y viene dad por τ

=1v t , medida en baudios.

• Baudio: Es el número de señales que se envían al medio por unidad de

tiempo

Sólo para señales digitales binarias (dos estados, 1 bit necesario), es igual a

segbits . La relación entre ambas velocidades, vi y vt

viene dada por ti vnv ⋅= ,

donde n es el número de bits necesarios para codificar los estados de energía

posibles de esa señal digital.

Ejemplo: si tenemos una señal multinivel con cuatro estados de energía y vt=9600

Baudios, podemos calcular segbits96002vi ⋅=

Sistemas analógicos típicos:

Ancho de Banda S/N Telefonía baja calidad 2KHz. 10

Telefonía comercial 200-4000Hz. 20

Radiodifusión 5-15KHz. 45

Televisión 5-7MHz. 50

Videotelefonía 1MHz. 45

Videoconferencia 100MHz- 1GHz. 60

.



Sistemas digitales:

vi Pe

Telegrafía 50-9600Baudios 10-4

Ordenadores 104-106 10-8

Terminales PCM 106-108 (Redes) 10-9

Donde:

• S/N ⇒ Señal / Ruido. Cociente entre la potencia de la señal y el

ruido inherente.

• Pe ⇒ Probabilidad de error. Mide la cantidad de bits erróneos

que tiene la señal. Por ejemplo Pe=10-4, de 10000 bits enviados uno es

erróneo.

Gráfica del espectro de frecuencia.

10Km 1Km 100m 10m 1m 10cm 1cm 1mm 0.1mm Longitud de

onda

Frecuencia

30KHz 300KHz 3MHz 30MHz 300MHz 3GHz 30GHz 300GHz 3000GHz

Designación LF

L

F

M

F

H

F

VH

F

U

HF

S

HF

E

HF

SE

HF

Banda 5 6 7 8 9 10 11 12

Radar

Aplicaciones

Audio Radio

AM Radio

FM

.



TV

Microondas

Radar

Infrarrojo

Decibelio: Unidad que compara magnitudes. Normalmente compara potencia de la

señal entre potencia de ruido. También mide distorsión y atenuación.

NSlog101dB 10⋅=

Ejemplo: S=40dB ⇒ NSlog1040dB 10⋅= , por lo que 410

NS

= .

La potencia de la señal es 104 veces mayor que el ruido. Cuando el cociente tiende a

igualarse, sólo se escucha ruido y la señal se pierde. La mayoría de los ruidos afectan

principalmente a la amplitud y, en menor medida, a la frecuencia y a la fase de la

señal.

1.1.4. La ley de Shannon

Define la capacidad máxima de aceptación de información que puede tener

un canal de comunicaciones, es decir, la capacidad en bits/seg que puede soportar

un canal de comunicaciones.

+⋅=

NS1logWC 2

Donde:

.



W Ancho de Banda. NS

(watios) ruido del potencia(watios) señal la de potencia

1.1.5. Teoría espectral de la señal

En comunicaciones, nos interesa, principalmente conocer la señal en el

dominio de la frecuencia, no sólo en el dominio temporal.

• Representación Temporal: Es la representación de una señal en el dominio

del tiempo. Sería el caso de las señales representadas hasta este momento.

• Representación Espectral: Se corresponde con la representación de una señal

en el dominio de la frecuencia, ya sea cíclica o angular. Sea la señal:

)tcos(Ax(t) 0 θ+ω⋅=

Vamos a trabajar con dos tipos de representaciones espectrales básicas:

Representación del espectro en amplitud ⇒ Consiste en representar en un

diagrama de dos ejes la amplitud de la señal en función de la frecuencia.

Representación del espectro en fase ⇒ Es la representación de la fase de la

señal en función de la frecuencia.

Los espectros, son rayas centradas a una frecuencia y con un determinado valor de

amplitud o de fase.

A

ω0 f

Amplitud

Espectro en amplitud

θ

ω0

Fase

Espectro en fase

f

.



Existe más de una representación válida del espectro en amplitud o en fase de

una señal, por ejemplo, para nuestra señal anterior tenemos que:

( ) ( )θ+ω⋅+θω⋅=θ+ω⋅= t cos2A-t- cos

2A)tcos(Ax(t) 0000 ,

ya que como sabemos ( ) β⋅αβ⋅α=β±α sensencoscoscos m

( ) β⋅α±β⋅α=β±α cossencossensen

El espectro en amplitud anterior se podría representar también de la siguiente

manera, para frecuencias positivas y negativas.

Físicamente, no existe ninguna señal que se mueva con frecuencias

negativas, pero matemáticamente sí, por lo que se puede representar de esta manera.

El espectro en amplitud es siempre par en frecuencias (lo que aparece a la

derecha, aparece reflejado como un espejo a la izquierda).

La amplitud de la señal siempre se representa como el módulo, por lo que

siempre son valores positivos. Esto es debido al concepto, de que las amplitudes

representan en realidad un valor de energía o potencia de la señal y por tanto no es

posible tener en la vida real energías ni potencias negativas. Se representa

X(f) o x(t) .

El espectro en fase anterior se podría representar también de la siguiente manera:

2A

ω0

f

Amplitud

-ω0

ωf

Fase

-ω0

θ

-θ

.



El espectro en fase es siempre impar en frecuencia (lo que aparece a la derecha,

aparecerá a la izquierda pero en el cuadrante inverso).

Nota: Para el espectro en amplitud, es evidente que la representación de la señal no

depende de si la señal es de tipo senoidal o cosenoidal , no siendo así para el espectro

en fase debido al desfase de 2π que existe entre el seno y el coseno.

Ejemplo: Dada la señal ( ) ( ) ( )7600tcos2t252cos5310t2sen48x(t) π+⋅+⋅π⋅−π+⋅π⋅+= ,

representar el espectro en amplitud y el espectro en fase.

El espectro en amplitud para frecuencias positivas viene dado por la figura 4:

El espectro para frecuencias positivas y negativas viene dado por la figura 5:

8

4 5

2

f10Hz. 25Hz.

π2600

Hz.

Amplitud

2

10Hz.

8

5/2

25Hz.

1

π2600

Hz. f

Amplitud

2

10Hz.

5/2

25Hz.

1

π2600

Hz.

Figura 4. Representación del espectro en amplitud

Figura 5. Representación del espectro para frecuencias + y -.

.



Para el cálculo correcto del espectro en fase debemos pasar los senos a cosenos y

los valores negativos a positivos mediante las fórmulas:

( ) ( )α=πα sen2-cos y ( ) ( )α=πα -cos-cos

La señal nos queda: ( ) ( ) ( )7600tcos2-t252cos56-10t2cos48x(t) π+⋅+π⋅π⋅+π⋅π⋅+= y sus

espectos serán:

1.2. DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER

El desarrollo en serie de Fourier es una excelente herramienta matemática

para el estudio de señales periódicas. Cualquier señal periódica se puede

descomponer, mediante el Desarrollo en Serie de Fourier en un sumatorio de senos

y cosenos, multiplicados por unas constantes, los coefiecientes del desarrollo que

representan valores de amplitud de la señal a determinadas frecuencias. Se define el

desarrollo de una señal x(t) como:

( )∑∞

=

ω⋅+ω⋅+=1n

nnnn0 tsenbtcosa

T2

Ta

x(t)

donde los coeficientes del desarrollo son na y nb :

-π/6

-π

f10Hz. 25Hz.

π2600

Hz.

Fase

π/7

f

Fase

-π/6

10Hz.

-π

25Hz.

π2600

Hz.

π/7 π/6

-10Hz.

π

-25Hz.

-π2

600Hz.

-π/7

.



∫ ⋅⋅=T

0nn dtt cosx(t)a ω ∫ ⋅ω⋅=

T

0nn dttsen x(t)b

Se puede integrar en el periodo que me convenga, los límites de la señal no tienen

por qué estar entre 0 y T.

Cada término desde uno a infinito representan las amplitudes de cada uno de los

armónicos (componentes de energía de la señal) esa señal a determinadas

frecuencias.

El desarrollo en serie de Fourier nos permite explicar el concepto físico de una señal.

El sumatorio representa los múltiples trocitos de energía que componen una señal, es

decir, las señales tienen múltiples componentes de frecuencia, denominados

armónicos, que vibran a una frecuencia múltiple de la fundamental.

La mayor cantidad de energía la aporta el armónico fundamental n = 1 ⇒ T

21

πω = .

De forma que para n muy pequeño los valores de amplitud son apreciables, la

potencia máxima de una señal se concentra en los primeros armónicos del desarrollo.

Para valores grandes de n los valores de amplitud son despreciables y la potencia que

aportan esos armónicos es despreciable.

Podemos encontrarnos el desarrollo en serie de Fourier como:

( )∑∞

=

ω⋅+ω⋅+=1n

nnnn0 tsenbtcosaax(t)

donde:

∫ ⋅=T

00 dtx(t)

T1a es el término de continua de la señal y na y nb los

coeficientes del armónico enésimo.

∫ ⋅ω⋅=T

0nn dtt cosx(t)

T2a ∫ ⋅ω⋅=

T

0nn dttsen x(t)

T2b

Los espectros en amplitud y fase se representan como:

2n

2n baAmplitud +=

f

f

=

n

n

ab-

arctcgFase

.



Ejemplo: Sea la señal dada:

( ) ( ) ( ) ( )3-00t6sen77600tcos2t252cos5310t2sen48x(t) π⋅+π+⋅+⋅π⋅−π+⋅π⋅+=

donde ω=600t segrad 1, la amplitud será 2

n2n ba + , es decir, 22 72 +

1.2.1. Desarrollo en Serie de Fourier complejo

El desarrollo en Serie de Fourier se puede poner en forma compleja o

exponencial. La fórmula compleja del desarrollo en serie, a la que llegaremos

posteriormente, es la siguiente:

∑∞

∞=

ω⋅=-n

tjn

neCT1x(t)

donde Cn es un número complejo con su módulo y su fase correspondiente:

njnn eCC θ⋅= nnn jbaC −=

2n

2nn baC += , por tanto, el módulo de Cn es la amplitud: 2

n2n ba + .

nn*n jbaC += ⇒ Conjugado de Cn.

Sustituimos an y bn en los valores de Cn :

( ) ∫∫

∫∫

⋅⋅=⋅ω⋅−ω⋅

=⋅ω⋅−⋅ω⋅=−=

ω2T

2T-

tj-2T

2T-nn

2T

2T-n

2T

2T-nnnn

dt.ex(t)dttsen jt cosx(t)

dttsen x(t)dtt cosx(t)jbaC

n

quedándonos:

∫ ⋅⋅= ω2T

2T-

tj-n dtex(t)C n ∫ ⋅⋅= ω

2T

2T-

tj*n dtex(t)C n

.



Sabiendo que:

( )

⋅π=ω

⋅π=ω

= ωω

Tn-2

Tn2

een-

ntj-tj n-n

Obtenemos:

∫ ⋅⋅= ω2T

2T-

tj-*n dtex(t)C n- .

Es decir, ( )*nn- CC = , el conjugado es un cambio de signo de la exponencial.

Fórmula De Euler: La exponencial compleja está relacionada con el seno y el

coseno a través de esta fórmula: θ⋅±θ=θ± sen j cose j

Donde 2

eet cost-jtj

n

nn ωω +=ω y

j2eetsen

t-jtj

n

nn ωω −=ω

Obtenemos las exponenciales decreciente y creciente de la siguiente manera:

j2eejtsen j

t-jtj

n

nn ωω −⋅=ω⋅ multiplicamos el seno por (j)

tj-t-jtjt-jtj

nnn

nnnn

ej2eej

2eetsen jt cos ω

ωωωω

=−

⋅−+

=ω⋅−ω hacemos la resta

Como tsen jt cose nnt-j n ω⋅−ω=ω y

j2ee-jtsen j-

t-jtj

n

nn ωω −⋅=ω⋅ multiplicamos el seno por (–j).

Real

Imaginaria

je 2j +=π

1e j0 =1e j −=π

je 23j −=π

.



tjt-jtjt-jtj

nnn

nnnn

ej2eej

2eetsen jt cos ω+

ωωωω

=−

⋅++

=ω⋅+ω Hacemos la suma

Además como también tsen jt cose nntj n ω⋅+ω=ω+

A partir de esto, vamos a ver como se obtiene el desarrollo en forma compleja

paso a paso:

( ) =ω⋅+ω⋅+= ∑∞

=1nnnnn

0 tsenbtcosaT2

Ta

x(t)

=

−⋅+

+⋅+= ∑

∞

=

ωωωω

1n

t-jtj

n

t-jtj

n0

j2eeb

2eea

T2

Ta nnnn

(sustituyo seno y

coseno)

( ) =

−⋅++⋅+= ∑

∞

=

ωωωω

1n

t-jtj

ntj-tj

n0

jeebeea

T1

Ta nn

nn simplificando

( ) ( )[ ]=−⋅−+⋅+= ∑∞

=

ωωωω

1n

tj-tjn

tj-tjn

0 nnnn eejbeeaT1

Ta (multiplico bn por j)

( ) ( )[ ]=+⋅+−⋅+= ∑∞

=

ωω

1nnn

tj-nn

tj0 jbaejbaeT1

Ta

nn (saco factor común)

[ ]=⋅+⋅+= ∑∞

=

ωω

1n

*n

tj-n

tj0 CeCeT1

Ta

nn (sustituyo por los valores

correspondientes)

[ ]=⋅+⋅+= ∑∞

=

ωω

1nn-

tj-n

tj0 CeCeT1

Ta

nn (por definición de conjugado)

∑∞

−∞=

ω⋅=n

tjn

neCT1 (cambio los límites e incluyo el término cero)

Por tanto:

∑∞

∞=

ω⋅=-n

tjn

neCT1x(t) donde el módulo de Cn es la amplitud.

La ventaja del desarrollo en forma compleja es su menor coste en cuanto a

cálculo matemático comparándola con la forma convencional del desarrollo.

.



1.2.2. Desarrollo en Serie de Fourier en forma real

Partimos de la fórmula del desarrollo en forma compleja:

=⋅= ∑∞

∞=

ω

-n

tjn

neCT1x(t)

[ ]=⋅⋅= ∑∞

∞=

ωθ

-n

tjjn

nn eeCT1 (sustituyo Cn por definición)

( )[ ]=⋅= ∑∞

∞=

θ+ω

-n

tjn

nneCT1 (saco factor común)

( ) ( )=

+⋅+= ∑

∞

=

θ+ωθ+ω

1n

t-jtj

n0

2eeC

T2

Ta nnnn

(saco el término cero y

cambio los límites)

( )∑∞

=

θ+ω⋅++=

1nnn

2n

2n

0 tcosbaT2

Ta (sustituyo el módulo de Cn y el

resto por el coseno)

Se pueden aplicar cualquiera de las tres fórmulas para el cálculo matemático.

Para señales periódicas en forma de senos y cosenos se suele utilizar la primera, para

señales digitales la segunda, puesto que es más fácil calcular Cn que an y bn.

Nota: Como es bien sabido si una función es par, el término bn se anula, mientras

que si la función es impar se anula el término an. Una función es par si se cumple que

x(t) = x(-t) e impar si x(t) = -x(-t).

Vamos a ver un pequeño ejemplo para asentar los conceptos teóricos.

Ejemplo: Dada una señal de periodo T tal que T)x(tx(t) += , vamos a calcular el

espectro en amplitud con el desarrollo en forma compleja.

τ

x(t)

t

A

2TT/-T/2

τ/2-

.



Vamos a calcular Cn paso a paso.

En los intervalos (-T/2, -τ/2) y (T/2, τ/2), la señal vale cero, por lo que cambiamos

los límites de integración. En el intervalo (-τ/2, τ/2), que son los nuevos límites de

integración, la función x(t)=A, por lo que también lo sustituimos.

∫∫∫τ

τ

ωτ

τ

ωω =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=2

2-

tj-2

2-

tj-2T

2T-

tj-n dteAdtex(t)dtex(t)C nnn

=

ω⋅=

τ

τ

ω 2

2-n

tj-

j-eA

n

(Integramos)

=

⋅−

⋅ω⋅

=τωτω

j2eeA2 2-j2j

n

nn

(sustituimos los valores y multiplicamos

y dividimos por dos)

=τω⋅ω⋅

= 2sen A2n

n (sustituimos por el seno)

=ω

τω⋅=

n

n 2sen 2A

=τ⋅ω

τω⋅τ=

22sen A

n

n (multiplicamos y dividimos por τ/2)

=τ⋅

⋅π

τ⋅⋅π

⋅τ=2

Tn2

2T

n2sen A (sustituimos ωn por

Tn2 ⋅π )

=τ⋅⋅π

τ⋅⋅π

⋅τ=

Tn

Tnsen

A (simplificamos)

=τ⋅⋅π⋅

τ⋅⋅π⋅⋅τ=

nfnfsen A (sustituimos f por

T1 )

)fsinc(nA τ⋅⋅⋅τ= (tomamos x= n f τ)

Representemos el coeficiente Cn:

.



Cuando x tiende a cero, el límite de 12

2sen

n

n =τω

τω , por lo que el valor de amplitud

máxima es Aτ.

Cuando τπ

=ω2

n ⇒ 0sen =π . Los valores de ω que hacen que el seno se anule, hacen

que la función se corte con el eje de abscisas.

T1)(n2

Tn2

1+⋅π

=ω⋅π

=ω +nn ; ⇒ La distancia entre cada par de rayas de la señal es

el armónico fundamental.

Cualquier señal periódica:

Tiene espectro en amplitud discreto.

Cada raya espectral está separada de la adyacente una distancia T2π , el

armónico fundamental.

En el primer corte con el eje de abscisas se concentra la máxima

cantidad de energía de la señal. Esta es una buena elección para

elegir el ancho de banda de la señal.

τ≈

KB .

El ancho de banda es inversamente proporcional a τ. Si disminuimos la duración del

pulso el primer corte con el eje se traslada a frecuencias más altas. Además si T, el

periodo disminuye entonces:

ω

C

Aτ

τπ2

τπ4

τπ6

T2π ⇒ es la frecuencia

.



Si T<<< ⇒ aumenta la distancia entre rayas, el primer corte con el eje

se desplaza a la derecha, es decir, se producirá a frecuencias mayores. Se

envían más pulsos por segundo, y por tanto, más volumen de información

por unidad de tiempo. Esto implica también un aumento de la frecuencia de

la señal.

Si T>>> ⇒ disminuye la distancia entre rayas, el primer corte con el

eje se produce a frecuencias más bajas. Se envían menos pulsos por

segundo, y por tanto menos información. Disminuye la frecuencia.

Si T ⇒ ∞ ⇒ el espectro deja de ser discreto, al tender las rayas a

juntarse. La señal deja de ser periódica y se mueve con una sola frecuencia.

Desaparece el concepto de armónico y el sumatorio del desarrollo se

convierte en la integral de Riemann.

Matemáticamente:

∑∞

∞=

ω⋅=-n

tjn

neCT1x(t) ⇒ ∫∫

∞

∞

ω∞

∞

ω ω⋅⋅ωπ

=ω∆⋅⋅=-

tj

-

tjn de)X(

21eC

T1x(t)

• ωn ⇒ T2π

=ω desaparece el concepto de armónico.

• ω∆π

=2T

• ∆ω ⇒ dω.

• Cn ⇒ X(ω).

La función continua de la frecuencia se define como:

Transformada directa de Fourier: ∫∞

∞

ω ⋅⋅=ω-

tj- dtex(t))X(

y su inversa como:

Transformada inversa de Fourier: ∫∞

∞

ω ω⋅⋅ωπ

=-

tj de)X(21x(t)

Tanto una como la otra nos van a servir para pasar de un domino temporal a

otro (de la frecuencia) y a la inversa. Si tengo una señal x(t), y quiero obtener su

.



espectro en frecuencia utilizo la transformada directa de Fourier. Del dominio de la

frecuencia al dominio temporal se pasa utilizando la transformada inversa de Fourier.

Este par de transformadas vienen representadas como:

x(t) ↔ X(ω)

TF[x(t)] = X(ω)

x(t) = TF-1[X(ω)]

El estudio de las señales periódicas, que no existen en la naturaleza, nos permite, a

través de la transformada estudiar el comportamiento en el dominio de la frecuencia

de señales no periódicas, que sí son más comunes encontrarnos en la realidad.

1.2.3. Funciones especiales. El impulso unitario

Es un impulso ideal: Se produce en el límite A ⇒ ∞ y τ ⇒ 0 de la función pulso.

Su representación matemática viene dada por la función Delta de Dirac δ(t), la cual

representa dicho impulso unitario.

1AA

0→τ⋅

∞→→τ , es decir, el área = base * altura, tiende a uno.

La función delta de Dirac es un impulso de intensidad unitaria centrado en un

instante de tiempo o de frecuencia o en cualquier dominio transformado.

En comunicaciones, esta función se utiliza como función prueba de circuitos

físicos. Si excito un circuito físico con δ(t), el circuito responde con una función h(t),

la respuesta a ese impulso. De esta forma, conociendo h(t), conoceremos cómo

responde el circuito a cualquier señal x(t), de entrada.

δ(t)

τ

∞→→τ

A0

Figura 6. Función impulso unitario

.



1.2.4. Diferencia en pulso e impulso

- Pulso ⇒ es real.

- Impulso ⇒ no es real, es un límite.

Ejemplo: Representación de un pulso centrado en el origen. Sea la señal x(t) dada:

τ≤≤τ−

=restoelen0

2t2A)t(x

Un pulso viene definido por la siguiente representación

−

⋅Π⋅τ

totA , donde:

A ⇒ Amplitud del pulso.

Π ⇒ Símbolo que representa el pulso.

to ⇒ Instante en el que se produce.

τ ⇒ Duración del pulso, es decir, ancho de pulso.

CIRCUITO FÍSICO

δ(t) y(t)

A

τ

A ∞ τ 0

.



Propiedades de δ(t).

La función impulso unitario sólo define sus propiedades dentro de una

integral. Son las siguientes:

• ( ) 0-

0 tt 1dtt-t =∀=⋅∫∞

∞

δ

• ( ) 0-

0 tt 0dtt-t ≠∀=⋅∫∞

∞

δ

• ( ) )f(tdtf(t)t-t 0-

0 =⋅⋅δ∫∞

∞

• ( ) 0tj-

-

tj-0 edtet-t ω

∞

∞

ω =⋅⋅δ∫

• ( ) ( ) ( )21-

21 t-tdtt-tt-t δ=⋅δ⋅δ∫∞

∞

• ( ) ( )∫∫∞

∞

∞

∞

⋅δ=⋅δ--

dtt-dtt

• ( ) ( )∫∫∞

∞

ω∞

∞

=⋅⋅δ↔=⋅δ-

tj-

-

1dtet 1dtt

Nota: En realidad no se habla de amplitud de la función delta de Dirac, sino de

intensidad.

Si tengo una función continua puedo ponerla como sumatorio ( )[ ]∑ δ⋅ nT-tn , de rayas

centradas en instantes de tiempo distintos, puedo descomponerla en un sumatorio de

funciones delta de Dirac.

1

t t0

( )0t-tA δ⋅ 1

tt =0

( )tA δ⋅1

f

( )0f-fA δ⋅

f0

.



1.2.5. Señales de Energía y señales de Potencia

En comunicaciones existen dos tipos de señales de energía:

- Señales de potencia: Cuando trabajamos con señales periódicas el

concepto de energía finita no existe. La energía de una señal periódica,

teóricamente, se alcanzaría en el infinito. A estas señales se les llama señales de

potencia y su cálculo viene dado por la potencia media de la señal:

∫ ⋅=T

0

2m dtx(t)

T1P

Si calculamos la potencia media de cada armónico y la comparamos con la

potencia media de la señal, podemos observar el porcentaje de energía que aporta

ese armónico al total de la señal.

Nota: De la teoría de circuitos sabemos que la potencia que se disipa en un

resistor R viene dada por R(t)vP

2= . Por convenio R=1Ω.

- Señales de energía: Las señales de energía tienen una duración finita,

son señales no periódicas y su energía se puede cuantificar en un intervalo de

tiempo finito. Las señales de energía son señales con un comportamiento finito,

en un intervalo de tiempo tienen un valor significativo y después se anulan.

Normalmente son exponenciales decrecientes del tipo τ⋅ t-eA . El valor de energía

viene dado por:

∫∞

∞

⋅=-

2T dtx(t)E

1.2.6. Propiedades de la Transformada de Fourier

La transformación de Fourier tiene una serie de propiedades que son

peculiares y la definen en ambos dominios.

.



• UNÍVOCA: No existen dos señales diferentes en el tiempo que tengan la

misma transformada en el dominio de la frecuencia. Los pares de

transformadas son únicos.

x(t)↔X(ω)

y(t)↔Y(ω)

z(t)↔Z(ω)

• LINEALIDAD Y HOMOGENEIDAD: La transformada de una suma de varias

funciones en el dominio del tiempo multiplicadas por constantes, es

igual a la suma de las transformadas de estas funciones multiplicadas

por las constantes correspondientes.

Z(f)KY(f)KX(f)Kz(t)K y(t)K x(t)K 321321 ⋅+⋅+⋅→⋅+⋅+⋅

Homogeneidad: Si tengo en el dominio temporal una señal multiplicada

por unas constantes, en el dominio de la frecuencia también estará

multiplicada por esas constantes, es decir, las constantes que existen en

un dominio se mantienen al pasar la señal a otro dominio.

Linealidad: Si tengo en el dominio temporal sumas o restas de señales,

al pasar al dominio de la frecuencia obtengo sumas o restas de sus

transformadas.

• DERIVABILIDAD

)X(x(t) ω↔

)X(jdt

dx(t)ω⋅ω↔

Es decir, si tengo una señal x(t) y obtengo su transformada, derivando esa

señal x(t) con respecto al tiempo lo que estoy haciendo es aumentar las

componentes de alta frecuencia de la señal, es decir, la señal se traslada a

frecuencias más altas. Se puede aplicar con las derivadas segunda, tercera…

Demostración:

Sea x(t) la TF-1[X(ω)] ∫∞

∞

ω ω⋅⋅ωπ

=-

tj de)X(21x(t)

.



[ ]∫∫∞

∞

ω∞

∞

ω

ω⋅⋅ω⋅ωπ

=ω⋅⋅ωπ

=-

tj

-

tjde)X(j

21d

dted)X(

21

dt x(t)d

Donde )X(j ω⋅ω es una función de frecuencia F(ω) que es la derivada de la

señal original.

Esta propiedad implica que para ampliar las componentes de la señal en

el dominio de la frecuencia, sólo la tengo que derivar en el dominio temporal

y en el de la frecuencia la obtengo ampliada.

• TEOREMA DEL DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO

)X(x(t) ω↔

)X(e)t-x(t 0t-j0 ω⋅↔ ω

Es decir, si desplazamos el pulso en el dominio temporal una magnitud

t0, en el dominio de la frecuencia se produce un desfase 0t-je ω dependiente de

ese desplazamiento en el dominio temporal.

Demostración:

Sea ∫∞

∞

ω ⋅⋅=ω-

tj- dtex(t))X( la transformada directa de Fourier, si desplazamos t0:

=⋅⋅=ω ∫∞

∞

ω

-

tj-0 dte)t-x(t)X( (Por sustitución

=+=

=

dudttut

t-tu 0

0 obtengo)

=⋅⋅= ∫∞

∞

+ω

-

)t(uj- duex(u) 0 =⋅⋅⋅∫∞

∞-

tj-uj- dueex(u) 0ωω (el término 0t-je ω no

depende de la integral)

)X(eduex(u)e 00 tj-

-

uj-tj- ω⋅=⋅⋅= ω∞

∞

ωω ∫

Nota: para la demostración desplazo t0, no sustituyo t por (t - t0).

ω

0t-je)X( ω⋅ω

tt0

A

x(t-t0)

.



• TEOREMA DEL DESPLAZAMIENTO EN FRECUENCIA.

)X(x(t) ω↔

)-X(x(t)e 0tj 0 ωω↔⋅ω

Es decir, si desplazamos el pulso en el dominio de la frecuencia ω0, en el

dominio temporal se produce un desfase tj 0e ω .

Demostración:

Sea ∫∞

∞

ω ⋅⋅=ω-

tj- dtex(t))X( la transformada directa de Fourier, si desplazamos

ω0:

[ ] ∫∫∞

∞

ωω∞

∞

ωωω ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-

t-j(-

-

tj-tjtj dtex(t)dtex(t)ex(t)eTF 000 )

∫∞

∞

ωω ⋅⋅=ωω-

)t-j(-0 dtex(t))-X( 0

• TEOREMA DE DUALIDAD

La propiedad de dualidad nos dice que si conocemos pares de

transformadas y alguna de ellas nos aparece en el dominio contrario no es

necesario el cálculo de la integral de Fourier. Veamos con un ejemplo

gráfico.

Sean los pares de transformadas:

)X(x(t) ω↔

t

tj 0ex(t) ω⋅

ω ω0

X(ω-ω0)

.



[ ] )x(2X(t)TF ω⋅π↔

Para frecuencias cíclicas, sabemos que f2 ⋅π=ω , nos queda:

X(f)x(t) ↔

[ ] x(-f)X(t)TF ↔

Demostración:

Sea ∫∞

∞

ω ⋅⋅ωπ

=-

tj dte)X(21x(t) la transformada inversa de Fourier:

∫∞

∞

ω ⋅⋅π

=ω-

jt dteX(t)21)x( (Cambio de variable

ω

ωpor t

por t )

[ ] ∫∞

∞

ω ⋅⋅=-

tj- dteX(t)X(t)TF (Transformada directa de Fourier por definición)

∫∞

∞

ω ⋅⋅=ω⋅π-

jt dteX(t))x(2 (Pasamos π2

1 al otro lado de la igualdad)

Si observamos las dos últimas ecuaciones, podemos comprobar que son iguales pero

con signo contrario. Cambiamos el signo en la última ecuación, nos queda:

τ

x(t)

t

A

ω

22sen

A)X(τ⋅ω

τ⋅ω⋅τ⋅=ω

TF[X(t)]

ωt

X(t)

.



[ ] )x(-2X(t)TF ω⋅π=

Nota: el signo sólo va a tener sentido para funciones impares, ya que para las pares

sabemos que x(ω) = x(-ω)

Para señales tanto periódicas como no periódicas se cumple que: X(ω) = X(-ω),

porque las transformadas son complejos y sabemos que Cn=C-n.

• PROPIEDADES DE LOS ESPECTROS.

Como ya vimos anteriormente, el espectro en amplitud es siempre par

frecuencia y el espectro en fase es siempre impar en frecuencia.

1.3. SISTEMAS LINEALES

Para estudiar el comportamiento de las señales al atravesar los sistemas

físicos la transformada de Fourier es una herramienta muy válida. A través de

ella podemos conocer también el comportamiento en frecuencia de dichos

sistemas, es decir cómo responden en frecuencia los circuitos físicos que

fabricamos.

Sistema Físico: Son componentes hardware que responden al paso de las señales

con una determinada salida a una determinada entrada. Por ejemplo, un circuito

RC.

Según su comportamiento, existen dos tipos de sistemas físicos:

- Sistemas Lineales.

- Sistemas No Lineales.

Los sistemas lineales, cumplen unas propiedades que los caracterizan en sí

mismo y que se definen a continuación:

• Homogeneidad y Linealidad.

SISTEMA FÍSICO

x(t) y(t)

a·x(t) a·y(t)

.



• Invarianza en el tiempo: Se dice que un sistema físico es

invariante en el tiempo si:

Es decir, si la señal entra al sistema físico con un desfase temporal τ, la salida del

sistema estará retardada la misma magnitud. Si no se cumpliera alguna de estas

propiedades el sistema sería no lineal.

Un sistema lineal queda completamente definido por la función H(jω),

denominada FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA O FUNCIÓN DE RESPUESTA EN

FRECUENCIA, donde jω es el argumento complejo que indica que dicha función es

una función compleja de la frecuencia.

La función H(jω) es una función continua de la frecuencia que define completamente

el comportamiento en frecuencia del sistema lineal cuando lo atraviesan

determinadas señales. Todo sistema lineal viene definido:

Si conocemos dos parámetros del sistema lineal, podemos determinar el

tercero, es decir:

- si nos dan x(t) y H(jω) podemos conocer la salida y(t).

- si nos dan y(t) y H(jω) podemos conocer la entrada x(t).

- si nos dan y(t) y x(t) podemos conocer la función respuesta en

frecuencia H(jω).

H(jω) es, por definición, la transformada de Fourier de la función h(t),

función respuesta al impulso unitario. La función impulso unitario es una función

“prueba” de sistemas físicos.

x(t) ↔X(jω)

y(t) ↔Y(jω)

x(t-τ) y(t-τ)

H(jω) x(t) y(t)

.



h(t) ↔H(jω)

Si tenemos un sistema lineal que responde a la salida con la función h(t),

significa que la señal de entrada es la función impulso unitario δ(t).

Si conocemos como responde un sistema a la función impulso unitario δ(t),

podemos saber como responde este mismo sistema a cualquier señal de entrada x(t).

Es decir, conozco δ(t) y en consecuencia la función respuesta a un impulso unitario

h(t), calculando TF[h(t)]=H(jω), que es la función de respuesta en frecuencia del

sistema lineal. Por tanto, conociendo la entrada x(t) y H(jω), puedo determinar la

salida y(t).

Vamos a ver como responde un sistema lineal a una señal de entrada x(t):

[ ] ∫∞

∞−

− ⋅⋅== ωωπ

ω ω dejXtxjXTF tj)(21)()(1

[ ] ∫∞

∞−

− ⋅⋅== ωωπ

ω ω dejYtyjYTF tj)(21)()(1

δ(t) h(t)

∑∞

∞−

τ−δ⋅τ= )t()(x)t(x

t

δ(t) nos permite hacer discreta cualquier señal continua, porque nos permite descomponerla en impulsos.

H(jω) x(t) y(t)

.



Cada uno de los infinitos valores que toma la señal de entrada x(t) viene afectado en la

misma proporción por H(jω). Por tanto:

∫∞

∞−

⋅⋅⋅= ωωωπ

ω dejHjXty tj)()(21)(

)()()( ωωω jHjXjY ×= Producto.

Para obtener la salida sólo tendríamos que obtener la transformada inversa de Fourier de

Y(jω).

Del mismo modo:

)()()(

ωωωjHjYjX =

)()()(

ωωωjXjYjH =

Ejemplo: Supongamos un circuito RC como el de la figura:

Su función de respuesta en frecuencia viene dada por: 01

1)(ωω

ωj

jH+

=

Y su magnitud por: ( )2

01

1)(ωω

ω+

=jH

Su representación espectral se puede ver en la figura 7:

R

C

v0(t) vi(t)

ω ω0

0,707

Figura 7. Repuesta en frecuencia de un circuito RC.

.



Con buen criterio deberíamos escoger el rango de frecuencias en el que la

señal tiene amplitudes apreciables. Vamos a tomar ω0 ,como ancho de banda, donde

H(jw) toma el valor 0,707.

El ancho de banda del sistema físico tiene que ser siempre mayor que el de la

señal, si no, a la salida obtendremos la señal recortada en sus parámetros.

Normalmente, los receptores tienen un ancho de banda superior al de la señal

que se envía. Por ejemplo, la televisión tiene mayor ancho de banda que la señal que

recibimos. Esto se puede observar en el ejemplo de la figura 8.

1.3.1. Modelo de Sistemas Lineales

Como en realidad la función impulso unitario no existe en la naturaleza,

vamos a ver un ejemplo de cómo se puede aproximar un pulso real a la función .

Vamos en realidad a modelar un sistema.

Siguiendo con el ejemplo del circuito RC. Sea un pulso de anchura A y duración

τ. Vamos al laboratorio y excitamos el sistema RC con este pulso y observamos su

salida. Reducimos el pulso a la mitad y seguimos viendo como responde el circuito

RC ( Ver figura 9). Como se puede observar llegado un punto por más que se

reduzca el pulso la “forma” de la señal no cambia. En este punto el pulso de duración

τ y amplitud V se puede aproximar al producto . Se dice que el sistema se

ha estabilizado.

ω0 ancho de banda del sistema. ω1 ancho de banda de la señal. ω ω0

0,707

ω1

Figura 8. Comparativa de anchos de banda.

δ(t)

Vτ·δ(t)

.



Por lo tanto, para nuestro circuito:

Si excito ese sistema lineal obtengo como respuesta RCteRCVTth −⋅=)( . Por lo que

puedo obtener la función de respuesta en frecuencia H(jω), puesto que es la

trasformada directa de Fourier de h(t).

Luego si:

vi(t)

t τ

V

En el límite

)t(V0V δ⋅τ

→τ∞→

v0(t) vi(t)

V

τ

V τ

V

τ

V τ

V

τ

V

τ

V

τ 0

V

τ 0

vi(t) v0(t)

t t

t t

t t

t t

Figura 9. Modelado de un circuito RC al impulso unitario.

.



)(

)()(

0

⋅=

⋅=

− RCt

i

eRCVtv

tVtvτ

δτ

Simplificando Vτ a la entrada y a la salida, nos queda a la entrada la función

impulso unitario δ(t) y a la salida la función respuesta a un impulso unitario h(t).

Los sistemas físicos tienen constantes de estabilización que permiten

conocer cuando el comportamiento o la respuesta del sistema no cambia y

permanece estable.

NOTA: Sólo a partir del momento en el que el sistema se

hace estable y, suponiendo que τ << cte. de estabilización del

sistema físico, este pulso de área Vτ se puede modelar como

una función δ(t) con intensidad Vτ, es decir, Vτ·δ(t).

1.3.2. Teorema de Convolución

Vimos que con la función δ(t), podíamos descomponer cualquier señal x(t)

en una suma infinita de impulsos centrados en instantes de tiempo distintos y con

intensidades dependientes de la amplitud de la señal x(t) en cada instante..

RCteRC1)t(h −⋅= δ(t)

x(t)

t

x(τ)

∆τ Cuanto más estrecho sea, más nos aproximamos.

.



Por lo tanto nuestra señal se podrá poner como:

∑∞

∞−

−⋅∆⋅= )()()( τδττ txtx

donde:

τ∆⋅τ)(x ⇒ es la intensidad del impulso haciendo la misma

suposición de antes.

)t( τ−δ ⇒ es el instante en el que se produce el impulso.

El sumatorio representa la señal x(t) completa.

Si τ 0, el incremento se transforma en diferencial, el sumatorio pasa a ser la

integral de Riemann, y nos queda:

∫∞

∞−

⋅−⋅= ττδτ dtxtx )()()(

Sabemos que si la función impulso unitario δ(t) es la señal de entrada de un

sistema lineal, a la salida tenemos la función respuesta a un impulso unitario h(t).

Con esto puedo determinar para cualquier señal de entrada x(t), cual es la

señal de salida y(t).

Esto que estamos enunciando es el Teorema de Convolución.

La integral que representa la convolución viene dada por:

∫∞

∞−

⋅−⋅= τττ dthxty )()()( Integral de Convolución

Se dice que y(t) es igual a x(t) convolucionado con h(t). La integral de

convolución es simétrica y por tanto:

∫∞

∞−

⋅−⋅=∗= τττ dthxthtxty )()()()()(

δ(t) h(t)

x(t) y(t)

.



simétrica. es Porque)t(x)t(h)t(y)t(h)t(x)t(y

∗=∗=

Por lo que:

∫∞

∞−

⋅−⋅= τττ dtxhty )()()(

Vamos a ver otro ejemplo de respuesta de un sistema lineal a la función

exponencial compleja:

Para la exponencial compleja tenemos que:

Aplicando convolución:

=∗=∗= )()()()()( thtxtxthty

∫∫∞

∞−

∞

∞−

=⋅−⋅=⋅−⋅= ττττττ dtxhdthx )()()()( (Si

)-t(jeA)-x(ttjeAx(t) τωτω⋅=⇒⋅= )

=⋅⋅⋅= ∫∞

∞−

− ττ ωτω deeh jtj)( (Sacamos el término que no

depende de τ)

∫∞

∞−

− ⋅⋅= ττ ωτω dehe jtj )(

Es decir la función y(t) de salida es igual a la exponencial compleja

multiplicada por la función de respuesta en frecuencia H(jω).

∫∞

∞−

− ⋅⋅= ττ ωτω dehety jtj )()(

Si particularizamos para una determinada señal de frecuencia ω0 tenemos:

tjeA)t(x ω⋅= ¿y(t)?

tj 0eA)t(x ω⋅= )j(HeA)t(y 0

tj 0 ω⋅⋅= ω

.



Sabemos que la función respuesta en frecuencia, por ser un número complejo, se

puede poner en función de su módulo y su fase de la siguiente forma:

0)()( 00θωω jejHjH ⋅=

Por lo que la salida a este sistema lineal se puede poner como:

00)()( 0θωω jtj eejHAty ⋅⋅⋅=

es decir:

)(0

00)()( θωω +⋅⋅= tjejHAty

La conclusión importante que sacamos es que en un sistema lineal, la señal

que lo atraviesa, sea del tipo que sea, sufre modificaciones en amplitud y en fase,

pero no en frecuencia. Esta variación viene dada por la función respuesta en

frecuencia:

0)()( 00θωω jejHjH ⋅=

donde:

- )j(H 0ω es la amplitud.

- 0je θ ⇒ es la fase.

La frecuencia de la señal de entrada es idéntica a la de la señal de salida.

Generalizando para cualquier señal:

El desfase que introduce el sistema es θ0 y viene dado por 120 θ−θ=θ .

- Si no hubiese desfase a la entrada 20 θ=θ , es decir el desfase

que se produce a la salida lo produciría el propio sistema.

H(jω0) )tcos(A)t(x 10 θ+ω⋅= )tcos(B)t(y 20 θ+ω⋅=

.



- Si por el contrario no hubiese desfase a la salida significaría que

el desfase que se introduce a la entrada es de signo contrario al que

produce el sistema, es decir: 10 θ−=θ

En cuanto a la amplitud:

ABjHAjHB =⇒⋅= )()( 00 ωω

Esto se demuestra si introducimos a la entrada de un sistema lineal una señal

tcosA)t(x 0ω⋅= .

2e

2e

2eetcos

tjtjtjtj

0

0000 ω−ωω−ω

+=+

=ω (sustituyendo en x(t))

tjtj 00 e2Ae

2A)t(x ω−ω ⋅+⋅= .

Sabemos:

Por lo que:

Si lo sumamos obtenemos la señal de salida:

=⋅ω⋅+⋅ω⋅= θ+ω−θ+ω )t(j0

)t(j0

0000 e)j(H2Ae)j(H

2A)t(y

=+

⋅⋅=+−+

2)(

)()(

0

0000 θωθω

ωtjtj eejHA ).cos()( 000 θωω +⋅⋅ tjHA

tj 0eA)t(x ω⋅=

)t(j0

00e)j(HA)t(y θ+ω⋅ω⋅=

tj 0e2A)t(x ω−⋅= )t(j

000e)j(H

2A)t(y θ+ω−⋅ω⋅=

tj 0e2A)t(x ω⋅= )t(j

000e)j(H

2A)t(y θ+ω⋅ω⋅=

.



1.3.3. Función δ(t) como función prueba de Sistemas Lineales

Como ya sabemos si conocemos la función respuesta en frecuencia a un

impulso unitario, h(t), podemos conocer por convolución, la salida a cualquier señal

de entrada x(t). Vamos a ver por qué la función δ(t) es la “mejor” función prueba de

sistemas físicos.

La representación en el dominio de la frecuencia de un pulso centrado en el

origen era, como vimos anteriormente, la siguiente:

En la representación espectral el primer corte con el eje de abscisas τ≈ K . Si

vamos reduciendo en el dominio temporal τ, en el dominio de la frecuencia el primer

corte con el eje de abscisas se irá produciendo a frecuencias mayores. Gráficamente:

Cuando hablamos de A ∞ y τ 0, en el dominio de la frecuencia el primer

corte con el eje de abscisas se producirá ¡¡en el infinito!!. Por lo tanto podemos decir

τ

x(t)

t

A

ω

22sen

A)X(τ⋅ω

τ⋅ω⋅τ⋅=ω

t

x(t)

τ

X(ω)

ω

.



que la transformada de Fourier de δ(t) es una raya de valor unitario desde - ∞ hasta

+ ∞.

Esto se demuestra intuitivamente. Si utilizamos δ(t) para excitar un circuito

físico, la respuesta en frecuencia del sistema, es en realidad, una respuesta a

todas las frecuencias posibles de entrada. Es ancho de banda será equivalente a

todas las frecuencias posibles. Es, por tanto, como si se probase el sistema para

todas las frecuencias que existen, por lo que la función impulso unitario es muy

válida como función prueba.

1.3.4. Teorema de Parseval

El teorema de Parseval nos dice que “la energía no cambia al pasar del

dominio temporal al dominio de la frecuencia”, y viceversa. Es decir, no existe pérdida

de energía al pasar de un dominio a otro.

22 )()( txfX ≈

)()()( *2 fXfXfX ⋅=

2)( fX ⇒ DENSIDAD ESPECTRAL, es decir, energía total de la señal.

∫ ⋅=T

0

2m dtx(t)1P

T

∫∫∞

∞

∞

∞

⋅=⋅=-

2

-

2T dfX(f)dtx(t)E

∞→→τ

⇒δA

0)t(

t ω

X(ω)

1

δ(t)

.



1.4. ANEXO

1.4.1. Tabla de integrales

1. ∫ ++

=⋅+

C1n

xdxx1n

n

2. ∫ += C)x(Lnx

dx

3. ∫ +=⋅ Cedxe xx

4. ∫ +=⋅ C)a(Ln

adxax

x

5. [ ] Cxcosdxxsen +−=⋅∫

6. [ ] Cxsendxxcos +=⋅∫

7. [ ] CxcosLndxxtg +−=⋅∫

8. [ ] CxsenLndxxgcot +=⋅∫

9. ∫ +−= Cxgcotxsen

dx2

10. ∫ += Cxtgxcos

dx2

11. ∫ +=−

Cxarcsenx1

dx2

12. ∫ +=−

Caxarcsen

xa

dx22

13. ∫ +±+=±

CaxxLnax

dx 22

22

14. ∫ +=+

Cxarctgx1

dx2

15. ∫ +⋅=+

Caxarctg

a1

xadx

22

.



16. ∫ +−+

⋅=−

Cxaxaarctg

a21

xadx

22

17. ∫ ++−

⋅=−

Caxaxarctg

a21

axdx

22

1.4.2. Tabla de derivadas

1. )x(g)x(fy += )x('g)x('f'y +=

2. )x(fKy ⋅= )x('fK'y ⋅=

3. )x(g)x(fy ⋅= )x('g)x(f)x(g)x('f'y +⋅=

4. )x(g)x(fy =

)x(g)x('g)x(f)x(g)x('f

'y2

⋅−⋅=

5. [ ]n)x(fy = [ ] 'f)x(fn'y 1n−=

6. )x(Lnfy = f'f'y =

7. )x(fLny a= elog)x(f)x('f'y a=

8. )x(fay = aLn)x('fay' )x(f ⋅⋅=

9. )x(g)x(fy =

+⋅=

)x(f)x('f

)x(g)x(fLn)x('g)x(f'y )x(g

Pasos:

9.1. )x(g)x(fLnyLn =

9.2. )x(fLn)x(gyLn ⋅=

9.3. )x(f)x('f)x(g)x(fLn)x('g

y'y

⋅+⋅=

9.4.

⋅+⋅⋅=

)x(f)x('f

)x(gfLn)x('gy'y

10. )x(fseny = )x(fcos)x('f'y ⋅=

11. )x(fcosy = )x(fsen)x('f'y ⋅−=

12. )x(ftgy = [ ])x(ftg1)x('f'y 2+⋅=

.



13. )x(farctgy = )x(f1

)x('f'y

2+=

14. )x(farcseny = )x(f1

)x('f'y

2−=

15. )x(farccosy = )x(f1

)x(f'y

2−

−=

16. [ ])x(gfy ο= ( ) )x('g)x(g'f'y =

.



1.4.3. Razones trigonométricas

1. FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA

1cossen 22 =α+α

α=α+ 22 eccosgcot1 α

=α

α+

α

α22

2

2

2

sen1

sencos

sensen

α=α+ 22 sectg1 α

=α

α+

α

α22

2

2

2

cos1

coscos

cossen

2. RELACIONES ENTRE CUADRANTES

)º180sen(sen α−=α )º90cos(sen α−=α

)º180cos(cos α−−=α )º90sen(cos α−=α

)º180sen(sen α+−=α )º270cos(sen α+=α

)º180cos(cos α+−=α )º270sen(cos α+−=α

3. RELACIONES

bsenacosbcosasen)basen( ⋅±⋅=±

bsenasenbcosacos)bacos( ⋅⋅=± µ

4. ANGULO DOBLE

α⋅α=α cossen22sen

α−α=α 22 sencos2cos

α−

α=α

2tg1tg2

2tg

5. ANGULO MITAD

2cos1

2sen α−

±=α

2cos1

2cos α+

±=α

α+α−

±=α

cos1cos1

2tg

6. SUMA Y DIFERENCIA

.



2BAcos

2BAsen2BsenAsen −

⋅+

=+

2BAsen

2BAcos2BsenAsen −

⋅+

=−

2BAcos

2BAcos2BcosAcos −

⋅+

=+

2BAsen

2BAsen2BcosAcos −

⋅+

−=−

7. OTRAS:

α+

=α

2cos1

2cos2

α+

=α2

2cos1cos2

α−

=α

2cos1

2sen 2

α−=α− sen)sen(

α=α− cos)cos(

1.4.4. Otras notas de interés

0n=

∞ ∞=

∞n

0n0

=

0n=

∞ 00

=∞

∞=∞0

00 =∞

1(n <∞=∞

)1n0(0n ≤≤=∞

∞=∞e 0e =−∞

11=

∞=

∞=∞

∞−∞∞−

=±∞ n ∞=⋅∞ n

introduccion teoriade señales

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