introduccion matematica

Introduccion Matematica Nivelatoria

9- Oct-2011

Ing. Medardo GalindoIng. Medardo Galindo

Números Naturales

• Algunos autores definen el Conjunto de Números naturales como el conjunto que conjunto que sirve para contar.sirve para contar.

• Se identifica con el símbolo NN y comprende la siguiente colección:

N={0,1,2,3,4,5….}

Expresión General de un Numero Natural

Proceso de sustituir el valor de las variables por su valor numérico.

Si n = 1, entonces n+1=1+1= 2

Si n = 5, entonces n+5= 5+1= 6

Evaluar

Evaluar la siguiente expresión:

• 3n2-2m, si n=2 y m=1

• 3n2-2m, si n=5 y m=4

Sucesor y Antecesor

• La expresión n+1 en los naturales se llama sucesor de n y se representa por:

n+ = n +1

• La expresión n-1 en los naturales se llama antecesor de n y se representa por:

n- = n -1

Por lo tanto

• El sucesor del numero 4 es :

4+ = 4 +1=5

• El antecesor del numero 4 es:

4- = 4 -1= 3

Operaciones Básicas con los Números Naturales

• La adición es una operación binaria por que se opera con dos elementos (números) . Los dos elementos se llaman sumandos y el resultado suma o total.

12,820 + 4320 = 17,140

Sumandos Suma o Total

Problema a Solucionar

• Jorge lleva al colegio 12 lápices. Luis lleva 8 mas que Jorge y Pedro, 3 mas que los dos juntos. ¿Cuántos Lápices llevan entre los tres

Multiplicación en los Naturales

• Es también una operación binaria , es decir se opera siempre sobre dos números. Los dos números se separan por medio del signo x, un ., o (). Así

• a x b = c , siendo a el multiplicando

• a.b = c, siendo b el multiplicador

• (a)(b)= c, siendo c el producto

Ejemplo

• Se compran 10 terneras por L.970 cada una y después se venden por L1,056 cada una. ¿Cuál es la ganancia total?

Propiedades Multiplicación de Números Naturales

• Asociativa

• Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

• (a · b) · c = a · (b · c)

• Por ejemplo:

• (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

• 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30


• Conmutativa

• Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

• a · b = b · a

• Por ejemplo:

• 5 · 8 = 8 · 5 = 40


• Distributiva del producto• Si a, b, c son números naturales cualesquiera

se cumple que: • a · (b + c) = a · b + a · c• Por ejemplo: • 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

• 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Sustracción en los Números Naturales

• No siempre la diferencia entre dos números naturales es otro numero natural. Los dos números se llaman Minuendo el primero y Sustraendo el segundo y el resultado se llama diferencia.

Sustraendo S

2,508 – 1,349 = 1,159 , Luego; M-S=D

Minuendo M Diferencia D

Ejemplo

• Se ha comprado un aparato electronico por Lps 1,200. Se dio de prima Lps 500; despues un pago de Lps 130 y despues otro de Lps 253. ¿Cuánto se debe?

División en los Números Naturales

• La división N es una operación Binaria. No siempre el resultado de la división entre dos naturales es otro numero natural.

• El primer numero se llama dividendo, el segundo divisor, el tercero cociente y lo que sobra residuo.

Importante

• Todo numero dividido por 1 es igual al mismo numero.

• Cuando el divisor es 0, la división no esta definida. (a/0, 0/0; no es posible realizar)

• Cuando el residuo es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta

Propiedades Adición de Números Naturales

• Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

• Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16


• Conmutativa • Si a, b son números naturales cualesquiera

se cumple que: • a + b = b + a

• En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

• 7 + 4 = 4 + 7


• Elemento neutro

• El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

• a + 0 = a

Potencias en Números Naturales

• Cuando dos o mas numeros se multiplican, cada uno de ellos se llama factor. Tanto el multiplicando como el multiplicador son factores. Según lo anterior:

5 x 4 = 20, 5 y 4 son factores de 20

16 x 5 = 80, 16 y 5 son factores de 80

Potencias en Números Naturales

• A veces un mismo numero aparece mas de una vez como factor de un producto:

3 x 3 = 9, 9 tiene dos factores iguales a 3

• Cuando existen productos de factores iguales se leen así:

3 x 3 = 32 , Se lee ´´Tres a la dos´´

Definicion

• Si a, n son números naturales, n≥0, a≠0, llamaremos potencia enésima de a y la representaremos an al producto a.a.a…n veces. El numero a se llama Base y n se llama exponente.

Leyes Exponentes, Base y Exponente Natural

• Multiplicación potencias de misma base

am.an = am+n

• Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base y se suman los exponentes de los factores.

23x 25x 20x 21= 23+5+0+1=29


• Potencia de Potencia

(am)n=amn

• Para desarrollar una potencia de potencia, se escribe la base y se multiplican los exponentes.

• ((72)3)4=72x3x4=724


• Cociente de potencia de la misma base

am÷an=am-n

• Para dividir potencias de la misma base, se escribe la base y se restan los exponentes.

34÷32=34-2=32

Resolver

• Simplificar la expresión:

• 35 x 38 x 30 x 34

32 x 39

• 25 x 36 x (32)3

24 x 32 x (33)2

Jerarquía de las Operaciones

• Efectuar primero las potencias.

• Efectuar después de las multiplicaciones y divisiones (la primera que se encuentre) en el orden de izquierda a derecha.

• Por ultimo, efectuar las adiciones y sustracciones (la primera que se encuentre) en el orden de izquierda a derecha

Esto Implica

• 36 ÷ 4 -1 = Significa (36÷4)-1= 9-1 = 8

• 7 x 4 +3 = Significa (7x4)+3 = 28+3 = 31

• 6x8 - 7x2= Significa (6x8)-(7x2)=48-14=34

• 30 ÷ 10 x 3= Significa (30÷10)x3 =3x3= 9

Operaciones Combinadas

Resolver los siguientes ejercicios

• 23 + 3 x 22 – 5 x 8 + 60

• 82 ÷ 16 + 32 x 18 - 45 ÷ 32 -17

Operaciones con Paréntesis y con Números Naturales

• Todo los que esta encerrado dentro de un paréntesis se considera como una sola cantidad.

• En muchos casos el paréntesis puede estar encerrado, encajado y anidado dentro de otro.

• Los signos mas usados son Paréntesis Común (), Corchetes [], Llaves {}

Ejercicios

• Realizar los siguientes ejercicios:

5 +{2 +4 + 3 (5-1) – [18÷3]}

3{172 +[32 – (14-6) +8]} - 256

Raíz Cuadrada Exacta de un Numero Natural

• Un cuadrado perfecto es un numero positivo que tiene raíz cuadrada entera exacta.

• Todo cuadrado perfecto se puede expresar como el producto de dos factores iguales, es decir como una potencia de exponente 2.

Importante

• √0 = 0

• √n2 = n siendo n un cuadro perfecto Positivo

• √n = b entonces b2 = n, siendo n≥0

• √n2 = (√n2 ) 2 es igual a n

Propiedad Multiplicativa de las raíces

• Si m y n no son cuadros perfectos entonces:

√n*m = √n * √m

Ver ejemplos.

Valor Absoluto de un Entero

• El valor absoluto de un numero esta definido por el numero natural que le corresponde, es decir, por 0 o por un positivo.

• Si x es un numero entero, entonces el valor absoluto de x, es

x si x > 0

0 si x = 0

-x si x < 0

Propiedades Valor Absoluto

• El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

• El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos de los términos del cociente

Propiedades Valor Absoluto

• El valor absoluto de una suma es, menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

• El valor absoluto de un numero negativo, es igual al valor absoluto del mismo numero positivo.

División en el conjunto de los Números Enteros

• (+) ÷ (+) = +, mas entres mas, da mas

• (+) ÷ (-) = -, mas entre menos, da menos

• (-) ÷ (-) = +, menos entre menos da mas

• (-) ÷ (+) = -, menos entre mas, da menos

Mínimo Común Múltiplo

• Dados números naturales a,b, llamaremos Mínimo Común Múltiplo de a y b y lo representaremos por m.c.m(a,b) al menor de los múltiplos distinto de cero, comunes a ambos

Máximo Común Divisor

• Dados los números naturales a,b, llamaremos Máximo Común Divisor de a y b y lo representaremos por M.C.D(a,b), al mayor de los divisores comunes a ambos numeros

Lineamientos para Resolver Problemas

• Entender el problema

• Traducir problema al lenguaje matemático

• Realizar los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema

• Comprobar la respuesta obtenida en el paso 3

• Asegurarse de haber respondido la pregunta

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