INTRODUCCIÓN A SEÑALES Y SISTEMAS

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Conceptos básicos sobre señales y sistemas

¿Que es un sistema?

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SISTEMA 𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)

Sistema

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SISTEMA 𝑦2(𝑡)

𝑥3(𝑡)

𝑥1(𝑡)

𝑥2(𝑡)

𝑥𝑛(𝑡)

𝑦1(𝑡)

𝑦𝑛(𝑡)

𝑦3(𝑡)

• Procesa, modifica y extrae información de una señal

• Un sistema puede estar formado por elementos físicos o un

proceso o algoritmo

Sistemas: Definición

• Conjunto de elementos relacionados, o interconectados

que forman un elemento complejo.

• Relación física entre una entrada un proceso y una

salida.

• Entidad que procesa un conjunto de señales de entrada

para producir un conjunto de señales de salida.

• Un sistema es un modelo matemático de un proceso

físico que relaciona una señal de entrada con una señal

de salida.

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¿Qué es una señal?

• Conjunto de información.

• Función de una variedad de parámetros.

• Representación de una cantidad o variable física.

• Información del comportamiento de un fenómeno físico

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Señales: Definición

• Las señales son magnitudes físicas o variables detectables

mediante las cuales se pueden transmitir mensajes o

información.

• Matemáticamente una señal se puede representar como una

función de una o más variables independientes.

• En general una señal depende del tiempo (variable

independiente) pero puede depender de otras variables

(frecuencia, posición, etc.)

• Ejemplos:

• Voz humana

• Ritmo cardíaco

• Temperatura

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Señales: Clasificación

• Una forma de clasificar a las señales es analizando la

naturaleza de su variable independiente.

• Si la variable independiente es continua, la correspondiente

señal se denomina señal en tiempo continuo y está definida

para valores continuos de la variable independiente.

• Si la variable independiente toma solo valores discretos, la

correspondiente señal se denomina señal en tiempo discreto.

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Señales: Clasificación

• Señales en tiempo continuo y en tiempo discreto.

• Señales análogas y digitales.

• Señales periódicas y aperiódicas.

• Señales determinísticas y aleatorias.

• Señales mono-canal y multi-canal.

• Señales unidimensionales y multidimensionales.

• Señales de energía y de potencia.

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Señales: Tiempo continuo y Tiempo discreto

• Las señales en tiempo continuo se representarán como 𝑥(𝑡)

• En tiempo discreto se representarán como 𝑥 𝑛 o 𝑥[𝑛]

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0 20 40 60 80 100 -10

0

10

t (s)

0 10 20 30 40 50 -10

0

10

n (samples)

Señales: Tiempo continuo

• Una señal 𝑥 𝑡 es continua si la variable independiente 𝑡 es continua.

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Señales: Tiempo discreto

• La variable independiente toma valores discretos 𝑡 = 𝑘𝑇𝑠, con 𝑇𝑠 un número real positivo fijo y 𝑘 un número entero,

es decir 𝑘 = 0,±1,±2,⋯ ,

• Representación gráfica de una señal discreta

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Señales: Tiempo discreto

• Representación como función

• Representación tabular

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1 1,3

( ) 6 0,7

0

for n

x n for n

elsewhere

𝒏 -3 -2 -1 0 1 2 3

𝒙(𝒏) 0.12 -0.12 -2.01 1.78 5.23 0.12 .03

Señales: Tiempo discreto

• Representación Secuencial

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𝑥 𝑛 = … , 0,0,1,−4,5,2,7,−1,0,0,…

𝑥 𝑛 = {… , 0,0,1,4,−2,2,−3,1,0,0,… }

𝑥 𝑛 = {1,0,−4,5,−2,−2,0,0,3}

Duración infinita

Duración infinita

Duración finita

Señales: Análogas y digitales

• Una señal es análoga cuando la variable independiente es

continua y el valor que toma la señal también es continuo.

• Una señal es digital cuando la variable independiente es

discreto y el valor que toma la señal también es discreto.

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Señales: Clasificación

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Amplitud

Continuo Discreto

Tiempo

Continuo Señal analógica Señal en tiempo

continuo

Discreto Señal en tiempo

discreto Señal digital

Señales: Periódicas y Aperiódicas • Una señal continua 𝑥(𝑡) que satisfaga la siguiente ecuación:

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑛𝑇 , 𝑛 = ±1,±2,±3,⋯

• donde 𝑇 > 0 es una constante llamada período de la función.

• Si una señal no es periódica se denomina aperiódica.

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Señales: Periódicas

• El mínimo valor positivo para el cual se cumple

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑇 ,

• se denomina período fundamental 𝑇0 de la función.

• El recíproco del período fundamental es la frecuencia

fundamental 𝑓0 =1𝑇0

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Señales: Clasificación

• Señales determinísticas y aleatorias.

• Señales monocanal y multicanal.

• Señales unidimensionales y multidimensionales

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Señales: Pares e Impares

• Una señal 𝑥(𝑡) o 𝑥[𝑛] se conoce como señal par si es idéntica

a su reflexión en el origen, es decir:

𝑥 𝑡 = 𝑥 −𝑡 𝑥 𝑛 = 𝑥[−𝑛]

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𝑥(𝑡) 𝑥(𝑛)

𝑛

Señales: Pares e Impares

• Una señal se denomina impar si

−𝑥 𝑡 = 𝑥 −𝑡 −𝑥 𝑛 = 𝑥[−𝑛]

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𝑥(𝑡)

𝑛

𝑥(𝑛)

Señales: Pares e Impares

• Una señal puede expresarse como la suma de dos señales,

una parte par y otra parte impar.

• La parte par de una señal está dada por

𝑥𝑒 𝑡 =𝑥 𝑡 + 𝑥 −𝑡

2

• La parte impar de una señal se calcula como

𝑥𝑜 𝑡 =𝑥 𝑡 − 𝑥 −𝑡

2

• Si la parte impar de una señal es cero, entonces la señal es

par, y si la parte par de una señal es cero, entonces la señal es

impar

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Señales: Pares e Impares

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𝑥(𝑡)

𝑥𝑒(𝑡)

𝑥𝑜(𝑡)

𝑥(𝑡)

𝑥𝑒(𝑡)

𝑥𝑜(𝑡)

Señales: Energía

• La energía de una señal es una medida del “tamaño” o

“fuerza” de la señal.

• La energía de una señal se calcula de la siguiente manera:

𝐸𝑥 =

𝑥2∞

−∞

𝑡 𝑑𝑡 para una señal real valuada

𝑥(𝑡) 2∞

−∞

𝑑𝑡 para una señal imaginaria valuada

𝑥(𝑛) 2∞

𝑛=−∞

para una señal discreta

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Señales: Energía

• La energía de la señal debe ser finita para que sea una

medición útil de la señal.

• La condición necesaria para que una señal sea de

energía es que su amplitud tienda a cero cuando el

tiempo tiende a infinito

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 → 0 cuando 𝑡 → ∞

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𝑥(𝑡) 2 𝑥(𝑡)

Señales: Energía

• ¿Que sucede cuando la señal no decae?

• ¿Energía infinita?

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𝑥(𝑡)

Señales: Potencia

• La potencia de una señal es una medida del “tamaño” o

“fuerza” de una señal de energía infinita. La potencia es un

promedio en el tiempo de la energía.

• La potencia de una señal se calcula como:

𝑃𝑥 =

lim𝑇→∞

1

𝑇 𝑥2 𝑡 𝑑𝑡𝑇/2

−𝑇/2

para una señal real valuada

lim𝑇→∞

1

𝑇 𝑥(𝑡) 2𝑑𝑡𝑇/2

−𝑇/2

para una señal imaginaria valuada

lim𝑁→∞

1

2𝑁 + 1 𝑥(𝑡) 2𝑁

−𝑁

para una señal discreta

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Señales Potencia

• 𝑃𝑥 es la media al cuadrado del valor de 𝑥(𝑡), el cuadrado

de 𝑃𝑥 es la raíz media cuadrada de (RMS) de 𝑥(𝑡)

• 𝑃𝑥 existe si la señal es periódica o tiene una regularidad

estática.

• Para una señal periódica, se puede calcular su potencia

promediando su energía en un período.

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𝑥(𝑡)

Señales: Energía y Potencia

• 𝑥(𝑡) (o 𝑥[𝑛]) será una señal de energía (o secuencia) si y

solo si 0 < 𝐸𝑥 < ∞ y por tanto 𝑃𝑥 = 0.

• 𝑥(𝑡) (o 𝑥[𝑛]) será una señal de potencia (o secuencia) si

y solo si 0 < 𝑃𝑥 < ∞ y por tanto 𝐸𝑥 = ∞.

• Existen señales que no son ni energía ni de potencia.

• Una señal periódica es una señal de potencia si la

energía contenida por período es finita, y entonces la

potencia promedio de la señal solo necesita ser calculada

en un período.

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Señales: Energía y Potencia

• Ejercicio: Determine la energía y potencia de las

siguientes señales.

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