introducción a señales

Señales y Sistemas

Clase N°3 – Representación Matemática de Señales

ITC-2401 1Preparado por Leonardo Herrera

Contenidos

• Definición de Señales y Sistemas• Ejemplos de Señales.• Representación Matemática de Señales.


Sistema Referencial

• Espacio

• Isotrópico • Homogéneo• Invariante• 3 dimensiones perpendiculares entre sí (una no tiene

proyección sobre la otra y viceversa

• Tiempo

• Transcurre• Homogéneo• Invariante


Definición de Señal

• Señal

• Característica o propiedad física o de otra naturaleza• Posee unidades de magnitud

• Variación en función de un parámetro independiente• Independiente de la variación de la propiedad física• Permite ordenar, establecer el orden se sucesión de la variación• Los parámetro más usados son el tiempo, y la posición (considerados

independientes para sistemas de referencia newtonianos)

• Transporte de Energía• Una señal transporta energía• Interactúa con el medio• Propagación

• Contenido de Información• Contienen Información acerca del comportamiento o naturaleza de un fenómeno.• .


SEÑAL

Definición de Señal


Propiedad Física

Variación

Energía

Información

Definición de Sistema

• Sistema

• Conjunto de elementos que interrelacionados, que mediante un proceso, son capaces de interactuar con una señal para producir una acción o una nueva señal.

• Proceso• Señales de Entrada son Transformadas• Provocan una Respuesta• Dan como resultado otras señales.• .


SISTEMA

Definición de Sistema


Proceso

Transformación

Respuesta

Señal

Ejemplos de Señales

• Ejemplos de Señales

• Señales Acústicas

• Señales Eléctricas• Voltaje, Corriente.

• Ondas de Radio• Televisión, Radio, Celular, GPS, micro ondas, WiFi.

• Señales Ópticas.• Luces, señales de tránsito, comunicación por fibra óptica


Ejemplos de Señales

• Ejemplos de Señales

• Señales Químicas• Partículas volátiles, hormonas

• Señales Bioquímicas• Señalización celular, ADN


Clasificación de las Señales desde el punto de vista matemático

• Podemos clasificar las Señales en dos grupos distinto:

• Señales Continuas.

• Corresponden a aquellas señales de las cuales podemos conocer su estado en cualquier instante de tiempo.

• Ejemplo:• Ondas de Radio Frecuencia, • Señales de Tránsito,


Clasificación de las Señales desde el punto de vista matemático

• Podemos clasificar las Señales en dos grupos distinto:

• Señales Discretas

• Corresponden aquellas señales de las cuales conocemos su estado en instantes de tiempo regular y desconocemos su valor antes o después de cada uno de estos instantes

• Ejemplo:• Archivo mp3• Foto jpg,gif, etc.• Valor de las Acciones.


Representación Matemática de Señales


Representación Matemática de Señales

• Señal Continua

• x(t) • Donde:

• t corresponde al tiempo• t ϵ ℝ• x(t) indica el valor de la propiedad física en el instante t• x ϵ ℝ


1.1.1 Representación Matemática de Señales

• Señal Discreta

• x[n] • Donde:

• n corresponde a un índice que indica orden• n ϵ ℤ• x[n] indica el valor n-ésimo de la sucesión que representa la variación de la propiedad

física .• x[n] ϵ ℝ


1.2 Transformación de la Variable Independiente

Transformación Explicación Forma Matemática

Ejemplo

Corrimiento del Tiempo

La señal es desplazada provocando un retraso o un adelanto de la señal

x(t-t0)

x[n-n0]

Inversión del Tiempo

Se invierte el signo de la variable independiente, invirtiendo la señal respecto del eje vertical

x(-t)

x[-n]


1.2 Transformación de la Variable Independiente

Transformación Explicación Forma Matemática

Ejemplo

Escalamiento del Tiempo

La variable independiente cambia de escala, resultando en la señal un aceleración en su variación o un retardo de este.

x(at)x(t/a)

x[M*n]


1.2.1 Transformación de la Variable Independiente: Ejemplos

Señal Transformación

x(1-t)

x(3t)

x(t/3)

x(t-3)


1.2.1 Transformación de la Variable Independiente: Ejemplos

Señal Transformación

x[n-3]

x[n+4]

x[-n-2]

x[3n]


1.2.2 Señal Períodica

• Señal continua periódica

– Ǝ T > 0 tq x(t) = x(t + T) Ʉ t ϵ ℝ

– Ejemplo:

• x( t ) = 0.8 * sen( pi * t )



• Cálculo del Período de una Señal Sinusoidal de Tiempo Continuo

Una señal sinusoidal puede ser expresada de las siguientes tres formas:

– ; donde ω es la frecuencia y θ es el desfase.

– El Período T corresponde a:

– Una señal sinusoidal de tiempo continuo siempre tiene período.



• Señal discreta períodica

– Ǝ N > 0 tq x[n] = x[n + N] Ʉ n ϵ ℤ

– Ejemplo:

– x[ n ] = 0.9 * sen(6 * pi * n / 7)



• Cálculo del Período de una Señal Sinusoidal de Tiempo Discreto

Una señal sinusoidal puede ser expresada de las siguientes tres formas:

– ; donde W es la frecuencia y θ es el desfase.

– Para que la señal sinusoidal discreta sea periódica, se debe cumplir la siguiente relación:

– El Período NT cumple la siguiente relación: – ; donde

– Luego el período NT se calcula de la siguiente manera:

;

; ;


1.2.3 Señales Par e Impar

Señal par

x(-t) = x(t)x[-n] = x[n]

Señal impar

x(-t) = -x(t)x[-n] = -x[n]


1.2.3 Señales Par e Impar

Descomposición de Funciones en Funciones Par e Impar

Par { x(t) } = 1/2 * {x(t) + x(-t)}

ImPar { x(t) } = 1/2 * {x(t) - x(-t)}


1.3 Señales Exponenciales y Senosoidales

Forma General Función Exponencial

• x(t) = C * e at con C, a ϵ ℂ



Nombre Función Valores de las Constantes

Forma de la señal Ejemplo

Señal Exponencial Real

C, a ϵ ℝ

a>0 Exponencial creciente

a<0 Exponencial decreciente





Señal Periódica Sinusoidal

a ϵ IIa = jww ϵ ℝ

C ϵ ℝ

Períodicax(t) = Re {C ejwt }

C ϵ ℂC = |C| ejθ

x(t)=Re{|C|ej(wt+θ)}





Señal Exponencial compleja y Senosoida

a ϵ ℂ

a = r + jθr > 0C ϵ ℝ

x(t) = Re{Certejwt}

C ϵ ℂC = |C| ejθ

r < 0

x(t) = Re{Certejwt}





Señal Exponencial compleja General

C, a ϵ ℂ Períodicax(t) = C e at

C = |C| ejθ

a = r + jωx(t) = |C| ejθ e (r+jω)t


1.4 Función Impulso y Escalón Unitario

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Secuencia impulso unitario:

Secuencia escalón unitario:

00

01

k

kk

00

01

k

kk

1

0

k

k

1 2 3

0

1

Preparado por Leonardo Herrera


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Relación entre Impulso y Escalón Unitario:



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Relación entre Impulso y Escalón Unitario:



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La función impulso o delta de Dirac, se define como:

,cumpliendo con la condición de que el área limitada por la curva es unitaria:

Si el argumento de la función impulso es t , entonces:

Si el argumento de la función impulso es t – t0, entonces:



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La función escalón unitario, se define como:

Si el argumento de la función impulso es t, entonces:

Al derivar la función escalón unitario, se obtiene la función impulso unitario.



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Relación entre Impulso y Escalón Unitario en Variable Continua :



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Aproximación del Impulso y Escalón Unitario:



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Muestreo de una señal con la función impulso:


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