introducciÓn al procesamiento digital de seÑales i
DESCRIPTION
Procesamiento digital de señales 1TRANSCRIPT
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
I. INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
El procesado digital de señales es un área de la ciencia y la ingeniería que se ha
desarrollado rápidamente durante los últimos 30 años. Este rápido desarrollo es el
resultado de los avances tecnológicos tanto en los ordenadores digitales como en la
fabricación de circuitos integrados. Los ordenadores digitales y el hardware asociado
hace tres décadas eran relativamente grandes y caros y, como consecuencia, su uso
se limitaba a aplicaciones de propósito general en tiempo no real, tanto científicas
como comerciales.
El procesado de señal digital es más barato y más fiable que el análogo, además
permite operaciones programables. Por medio de software se pueden modificar
fácilmente las funciones de procesado de señal para que sean realizadas por el
hardware. Pero el procesado de señal digital tiene algunos inconvenientes; la primera y
más importante, la conversión de una señal analógica en digital, obtenida muestreando
la señal y cuantificando las muestras, produce una distorsión que nos impide la
reconstrucción de la señal analógica original a partir de las muestras cuantificadas. El
segundo inconveniente es que existen efectos debidos a la precisión finita que deben
ser considerados en el procesado digital de las muestras cuantificadas.
1.1 Señales, Sistemas y Procesado de la Señal
Una señal se define como una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio o
cualquier otra variable o variables independientes.
Las señales de voz, los electrocardiogramas y los electroencefalogramas son ejemplos
de señales que llevan información y que varían como funciones de una única variable
independiente, el tiempo. Una imagen constituye un ejemplo de señal que varía con 2
variables independientes. Las dos variables independientes en este caso son las
coordenadas espaciales.
La forma en la que se generan las señales se encuentra asociada con un sistema que
responde ante un estímulo o fuerza. En una señal de voz, el sistema está constituido
por las cuerdas vocales y la cavidad bucal. El estímulo en combinación con el sistema
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
se llama fuente de señal. Un sistema se puede definir también como un dispositivo
físico que realiza una operación sobre una señal.
Cuando se pasa una señal a través de un sistema, se dice que se ha procesado la
señal, lo cual implica la separación de la señal deseada del ruido y la interferencia. En
general, el sistema se caracteriza por el tipo de operación que realiza sobre la señal.
1.1.1 Elementos básicos de un Sistema de Procesado Digital de Señales
La mayor parte de las señales que aparecen en los ámbitos de la ciencia y la ingeniería
son de naturaleza analógica, es decir, las señales son funciones de una variable
continua, como el tiempo o el espacio y normalmente toman valores en un rango
continuo. Tales señales pueden ser procesadas directamente por sistemas analógicos
adecuados o multiplicadores de frecuencia con el propósito de cambiar sus
características o extraer cualquier información deseada.
El procesado digital de señales proporciona un método alternativo para procesar una
señal analógica. Para realizar el procesado digitalmente, se necesita un interfaz entre
la señal analógica y el procesador digital. Este interfaz se denomina Conversor
Analógico-Digital. La salida del Conversor A/D es una señal adecuada como entrada al
procesador digital.
El procesador digital de señales puede ser un gran ordenador digital programable o un
pequeño microprocesador programado para realizar las operaciones deseadas sobre la
señal de entrada.
En aplicaciones donde la salida digital del procesador digital de señales se ha de
entregar en forma analógica, como en comunicaciones digitales, debemos proporcionar
otro interfaz desde el dominio digital al analógico. Tal interfaz se denomina Conversor
Analógico-Digital.
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
1.1.2 Ventajas del procesado digital de señales frente al analógico
Un sistema digital programable permite flexibilidad a la hora de reconfigurar las
operaciones de procesado digital de señales sin más que cambiar el programa. La
reconfiguración de un sistema analógico implica habitualmente el rediseño del
hardware, seguido de la comprobación y verificación para ver que opera correctamente.
Las tolerancias en los componentes de los circuitos analógicos hacen que para el
diseñador del sistema sea extremadamente difícil controlar la precisión de un sistema
de procesado analógico de señales. En cambio, un sistema digital permite un mejor
control de los requisitos de precisión.
Las señales digitales se almacenan fácilmente en soporte magnético sin deterioro o
pérdida en la fidelidad de la señal, aparte de la introducida en la conversión A/D. Esto
hace que las señales sean transportables y puedan procesarse en tiempo no real en un
laboratorio remoto.
En algunos casos, la implementación digital del sistema de procesado de señales es
más barato que su equivalente analógica.
Como consecuencia de estas ventajas, el procesado digital de señales se ha aplicado a
un amplio rango de disciplinas. Por ejemplo, en la transmisión de señales en canales
telefónicos, en procesado y transmisión de imágenes, en sismología, en geofísica, etc.
1.2 Clasificación de las Señales
1.2.1 Señales Multicanal y Multidimensionales
Una señal se describe mediante una función de una o más variables independientes. El
valor de la función puede ser un escalar real, una cantidad compleja o quizás un vector.
Una señal vectorial es una Señal Multicanal, como por ejemplo, los
electrocardiogramas de 3 y 12 tomas, las cuales son canales.
Si la señal es función de una única variable independiente, la señal se denomina
Unidimensional. Por el contrario, una señal se denomina M-dimensional si es función
de M variables independientes.
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
La imagen de una televisión en blanco y negro puede representarse como I(x, y, t),
dado que el brillo es una función del tiempo, por lo tanto puede tratarse como una señal
tridimensional. En cambio, la imagen de una televisión en color se puede describir
mediante las 3 funciones de intensidad correspondientes al RGB: IR(x, y, t), IG(x, y, t) y
IB(x, y, t). Por lo que es considerada una señal tridimensional de 3 canales.
1.2.2 Señales en tiempo continuo frente a señales en tiempo discreto
Las señales se pueden clasificar en 4 categorías diferentes dependiendo de las
características de la variable tiempo y los valores que ésta puede tomar. Señales en
tiempo continuo o señales analógicas están definidas para todos los valores del tiempo
y pueden tomar cualquier valor en el intervalo continuo (a, b), donde „a‟ puede ser - y
„b‟ puede ser . Matemáticamente, estas señales se describen como funciones
continuas de variable continua. Las Señales en tiempo discreto están definidas sólo
para ciertos valores del tiempo. Una señal en tiempo discreto se puede representar
matemáticamente como una secuencia de números reales o complejos.
Para destacar la naturaleza discreta de una señal se denota dicha señal como x(n) en
vez de cómo x(t).
En la práctica las señales en tiempo discreto pueden originarse de 2 maneras:
Eligiendo valores de una señal analógica en determinados instantes de tiempo.
Este proceso se denomina Muestreo.
Acumulando una variable a lo largo de un determinado periodo de tiempo. Por
ejemplo, el número de coches que pasan por una calle en una hora.
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
1.2.3 Señales continuas frente a señales discretas
El valor de una señal, en tiempo continuo o discreto, puede ser continuo o discreto. Si
una señal toma todos los valores posibles en un intervalo tanto finito como infinito, se
dice que es continua. Por el contrario, si toma valores de un conjunto finito de valores
se dice que es discreta. Normalmente estos valores son equidistantes y por tanto
pueden expresarse como un múltiplo de la distancia entre 2 valores sucesivos. Una
señal discreta, que toma valores en un conjunto discreto se denomina Señal Digital.
Para que la señal pueda ser procesada digitalmente ha de ser en tiempo discreto y
tomar valores discretos. Si la señal a procesar es analógica, se convierte a digital
muestreándola en el tiempo y obteniendo una señal en tiempo discreto y
posteriormente cuantificando sus valores en un conjunto discreto. El proceso de
convertir una señal continua en discreta, denominado cuantificación, es básicamente
un proceso de aproximación. Puede lograrse por redondeo o truncamiento.
1.2.4 Señales Deterministas frente a señales aleatorias
El análisis matemático y el procesado de señales requieren que la señal sea descrita
matemáticamente. Esta descripción matemática, normalmente denominada Modelo
Matemático, conduce a otra importante clasificación de señales. Cualquier señal que
pueda ser definida por una forma matemática explicita, un conjunto de datos o una
regla bien definida se denomina determinista. Todos los valores de una señal
determinista se conocen exactamente.
Sin embargo, existen señales que no se pueden describir con un grado de precisión
razonable mediante fórmulas matemáticas explicitas, o cuya descripción es demasiado
complicada para ser de utilidad práctica. La falta de tal relación supone que dichas
señales evolucionan con el tiempo de forma impredecible. Estas son señales
aleatorias. La salida de un generador de ruido, la señal sísmica y la señal de voz son
ejemplo se señales aleatorias.
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
1.3 El Concepto de Frecuencia en Señales en Tiempo Continuo y en Tiempo
Discreto
El Concepto de frecuencia está directamente relacionado con el del tiempo. De hecho,
sus dimensiones son las inversas del tiempo.
1.3.1 Señales Sinusoidales en Tiempo Continuo
Una simple oscilación armónica se describe matemáticamente mediante la señal en
tiempo continuo:
( ) ( )
Donde el subíndice usado con ( ) denota una señal analógica. Esta señal está
caracterizada por tres parámetros: es la amplitud de la sinusoide, es la frecuencia
en radianes por segundo, y es la fase en radianes. es equivalente a 2πF, donde F
es la frecuencia en ciclos por segundo.
La señal sinusoidal ( ) ( ) está caracterizada por las
siguientes características:
Para todo valor fijo de la frecuencia F, ( ) es periódica.
Las señales en tiempo continuo con frecuencias diferentes, son diferentes.
El aumento en la frecuencia F resulta en un aumento en la tasa de oscilación de
la señal, en el sentido de que se incluyen más periodos en un intervalo de
tiempo dado.
Para F=0, el valor es consistente con la relación fundamental . Debido
a la continuidad de la variable temporal , podemos aumentar la frecuencia F sin límite,
con el consiguiente aumento en la tasa de oscilación.
Las propiedades son aplicables para señales exponenciales complejas:
( ) ( )
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
Por definición, la frecuencia es una cantidad física inherentemente positiva. Sin
embargo, en muchos casos, únicamente por conveniencia matemática, se necesitan
frecuencias negativas.
1.3.2 Señales Sinusoidales en Tiempo Discreto
Una señal sinusoidal en tiempo discreto puede expresarse como
( ) ( )
Donde es una variable entera, denominada número de muestra, es la amplitud de
la sinusoide, es la frecuencia en radianes por muestra, y es la fase en radianes.
En contraste con las sinusoides en tiempo continuo, las sinusoides en tiempo discreto
están caracterizadas por las siguientes propiedades:
Una sinusoide en tiempo discreto es periódica sólo si su frecuencia es un
número racional.
Para que una sinusoide con frecuencia sea periódica, se debe tener
[ ( ) ] ( )
Donde N es el periodo fundamental.
Esta relación es cierta si y sólo si existe un entero „k‟ tal que:
, o equivalentemente:
Las sinusoides en tiempo discreto cuyas frecuencias están separadas por un
múltiplo entero de 2π, son idénticas.
[( ) ] ( ) ( )
Como resultado, todas las secuencias sinusoidales
( ) ( )
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
Donde
Son idénticas. Por otro lado, las secuencias de dos sinusoides cualesquiera de
frecuencias en el rango -π ≤ ω0 ≤ π son distintas.
La mayor tasa de oscilación en una sinusoide en tiempo discreto se alcanza
cuando ( )
(
)
1.3.3 Exponenciales Complejas Relacionadas Armónicamente
Las señales sinusoidales y las exponenciales complejas son fundamentales en el
análisis de señales y sistemas. Los conjuntos de exponenciales complejas
armónicamente relacionadas son conjuntos de exponenciales complejas periódicas de
frecuencias fundamentales que son múltiplo de una frecuencia positiva única.
Exponenciales en Tiempo Continuo
Las señales básicas en tiempo continuo, las exponenciales armónicamente
relacionadas, son ( )
Partiendo de las señales fundamentales se puede construir una combinación lineal de
exponenciales complejas armónicamente relacionadas
( ) ∑ ( ) ∑
Donde son constantes complejas arbitrarias. Esta representación se
denomina Expansión en Serie de Fourier de ( ). La señal ( ) es periódica con
periodo fundamental .
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
Exponenciales en Tiempo Discreto
Dado que las exponenciales complejas discretas en el tiempo son periódicas si su
frecuencia relativa es un número racional,
y se definen los conjuntos de
exponenciales complejas armónicas como
( )
A diferencia del caso de señales continuas en el tiempo, observamos que
( ) ( ) ( ) ( )
Esto quiere decir que sólo existen N exponenciales complejas periódicas distintas.
Además todas las señales del conjunto tienen un periodo común de N muestras.
Como en el caso de señales en tiempo continuo, es evidente que la combinación lineal
( ) ∑ ( ) ∑
produce una señal periódica de periodo fundamental N.
1.4 Conversión Analógico-Digital y Digital-Analógica
La mayoría de las señales de interés practico, señales de voz, biológicas, sísmicas,
radar, sonar y de distintos tipos de comunicación, como las señales de audio y video,
son analógicas. Para procesar señales analógicas por medios digitales es necesario
convertirlas a formato digital, esto es, transformarlas en una secuencia de números de
precisión finita.
Conceptualmente, se puede ver la conversión A/D como un proceso en tres pasos:
1. Muestro. Esta es la conversión de una señal en tiempo continuo a una señal en
tiempo discreto obtenida tomando “muestras” de la señal en tiempo continuo en
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
instantes de tiempo discreto. Así, si ( ) es la entrada al muestreador, la salida
es ( ) ( ), donde T se denomina el intervalo de muestreo.
2. Cuantificación. Esta es la conversión de una señal en tiempo discreto con
valores continuos a una señal en tiempo discreto con valores discretos (señal
digital). El valor de cada muestra de la señal se representa mediante un valor
seleccionado de un conjunto finito de valores posibles. La diferencia entre la
muestra sin cuantificar ( ) y la salida cuantificada ( ) se denomina error de
cuantificación.
3. Codificación. En el proceso de codificación, cada valor discreto ( ) se
representa mediante secuencia binaria de b bits.
El proceso de conversión de una señal digital en una señal analógica se conoce como
conversión digital-analógica (D/A). Todos los conversores D/A “conectan los puntos” de
una señal digital efectuando cierto tipo de interpolación, cuya precisión depende de la
calidad del proceso de conversión D/A.
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
1.4.1 Muestreo de Señales Analógicas
Existen muchas maneras de muestrear una señal. El Muestro Periódico o Uniforme es
el tipo de muestreo usado más a menudo en la práctica. Este se describe mediante la
relación:
( ) ( )
Donde ( ) es la señal en tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal
analógica ( ) cada T segundos. El intervalo de tiempo T entre dos muestras
sucesivas se denomina periodo de muestreo o intervalo de muestreo, y su recíproco
1/T=FS se llama velocidad de muestreo (muestras por segundo) o frecuencia de
muestreo (hertzios).
El muestreo periódico establece una relación entre variables de frecuencia en señales
de tiempo continuo y señales en tiempo discreto.
Relaciones entre Variables Frecuencia
Señales en Tiempo
Continuo
Señales en Tiempo
Discreto
Hz
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
De estas relaciones se desprende que la diferencia fundamental entre señales en
tiempo discreto y señales en tiempo continuo es el rango de valores de las variables
frecuencia , ó . Dado que la frecuencia máxima de una señal en tiempo
discreto es
, los valores máximos de F y para una velocidad de
muestreo Fs son:
1.4.2 Teorema de Muestreo
Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica ( ) es FMAX = B y la señal
se muestrea a una velocidad , entonces ( ) se puede recuperar
totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación
( )
Así, ( ) se puede expresar como
( ) ∑ (
) (
)
Donde (
) ( ) ( ) son las muestras de ( ).
Cuando el muestreo de ( ) se realiza a la tasa mínima de muestreo , la
fórmula de reconstrucción se transforma en:
( ) ∑ (
) (
)
( )
La tasa de muestreo dada por , se denomina tasa de Nyquist.
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
1.4.3 Cuantificación de Señales de Amplitud Continua
El proceso de convertir una señal en tiempo discreto de amplitud continua en una señal
digital, expresando cada muestra por medio de un número finito de dígitos, se
denomina cuantificación. El error cometido al representar la señal de valor continuo por
un conjunto finito de valores discretos se denomina error de cuantificación o ruido de
cuantificación.
ILUSTRACIÓN DE LA CUANTIFICACIÓN CON UN SOLO DIGITO
POR REDONDEO O TRUNCAMIENTO
n x(n)
Señal en Tiempo Discreto
Xq(n)
(Truncamiento)
Xq(n)
(Redondeo)
( ) ( ) ( )
(Redondeo)
0 1 1.0 1.0 0.0
1 0.9 0.9 0.9 0.0
2 0.81 0.8 0.8 -0.01
3 0.729 0.7 0.7 -0.029
4 0.6561 0.6 0.7 0.0439
5 0.59049 0.5 0.6 0.00951
6 0.531441 0.5 0.5 -0.031441
7 0.4782969 0.4 0.5 0.0217031
8 0.43046721 0.4 0.4 -0.03046721
9 0.387420489 0.3 0.4 0.012579511
Teóricamente, la cuantificación de las señales analógicas resulta siempre en una
pérdida de información.
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
1.4.4 Cuantificación de Señales Sinusoidales
Muestro y cuantificación de una señal analógica sinusoidal ( ) :
Las líneas horizontales indican los niveles de cuantificación autorizados. Las líneas
verticales, los instantes de muestreo. Por lo tanto, se obtiene una señal en tiempo
discreto ( ) ( ) , mediante muestreo, y una señal en tiempo discreto con
amplitud discreta ( ) después de la cuantificación. En la práctica, la señal
escalonada ( ) se puede obtener utilizando un mantenedor de orden cero. Este
análisis es útil porque las sinusoides se usan como señales de test en los conversores
A/D.
Si la tasa de muestreo satisface el teorema de muestreo, el de cuantificación es el
único error en el proceso de conversión A/D. Por lo tanto podemos evaluar el error de
cuantificación sin más que cuantificar la señal analógica ( ) en lugar de la señal en
tiempo discreto ( ) ( ).
La calidad de salida del conversor A/D se mide frecuentemente con la relación señal /
ruido de cuantificación (SQNR), que proporciona la relación entre la potencia de la
señal y la del ruido:
UACJ-IIT PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
M. en C. Francisco Javier Enríquez Aguilera
Expresada en decibelios (dB), la SQNR es
( )
Lo que implica que la SQNR aumenta aproximadamente en 6 dB por cada bit añadido a
la longitud de la palabra, es decir, cada vez que se duplica el número de niveles de
cuantificación.
1.4.5 Codificación de Muestras Cuantificadas
El proceso de cuantificación en un conversor A/D asigna un número binario único a
cada nivel de cuantificación diferente. Si se dispone de L niveles, se necesita al menos
L niveles binarios distintos. Con una longitud de palabra de b bits se pueden crear 2b
números binarios diferentes. Por tanto, tenemos ó, de forma equivalente,
. Los conversores A/D disponibles comercialmente tienen una precisión de
b=16 o inferior. Generalmente, cuanto mayor es la velocidad de muestreo y más fina la
cuantificación, más caro resulta el dispositivo.
1.4.6 Conversión Digital a Analógica
Para convertir una señal digital en analógica se puede usar un conversor D/A. El
cometido de un conversor D/A es interpolar entre muestras.
El teorema del muestro especifica la interpolación óptima para una señal de banda
limitada. Sin embargo, este tipo de interpolación es demasiado complicado y, por ello,
impráctico. Desde un punto de vista pragmático, el conversor D/A más simple es el
mantenedor de orden cero, y que simplemente mantiene constante el valor de una
muestra hasta que se recibe la siguiente. Se pueden obtener mejoras adicionales
utilizando interpolación lineal, para conectar las muestras sucesivas con segmentos de
línea recta.
En general, las técnicas de interpolación subóptimas resultan en el paso de frecuencias
por encima de la frecuencia de plegado. Tales componentes de frecuencia son
indeseables y deben ser eliminadas pasando la salida del interpolador a través de un
filtro analógico adecuado, que recibe el nombre de postfiltro o filtro suavizante. De este
modo, en la conversión D/A normalmente interviene un interpolador subóptimo seguido
de un postfiltro.