Matemáticas Discretas

CONJUNTOS

ConjuntosColección bien definida de objetos

� Posible determinar pertenencia de elementos

� Denotados por letras mayúsculas� Elementos denotados con letras

minúsculas� Definidos por comprensión o por

extensión� Orden de elementos irrelevante

Conjuntos

Conjuntos definidos por extensión

V = {a, e, i, o, u}

O = {1, 3, 5, 7, 9}

Conjuntos definidos por comprensión

V = todas las vocales del alfabetoO = números naturales impares

menores que 11A= {x | x= n2, donde n es entero

positivo menor que 8}

Conjuntos

Conjuntos: Igualdad

Considere los siguientes conjuntos

A={x | x es un número par mayor o igual a 2 y menor o igual a 4}

B={x | x es un múltiplo de 2 que es mayor o igual a 2 y menor que 5}

¿Los conjuntos A y B son iguales?

Conjuntos: Igualdad

Considere los siguientes conjuntos

C ={1,3,5}D ={3,5,1}

¿Los conjuntos C y D son iguales?

Conjuntos

Considere los siguientes conjuntos

C ={1,3,5}D ={3,5,1}

Los conjuntos C y D son iguales: el orden no es importante

Conjuntos

Considere los siguientes conjuntos

C ={1,3,5,5,3}D ={3,5,1}

¿Los conjuntos C y D son iguales?

ConjuntosConjuntos

Considere los siguientes conjuntos

C ={1,3,5,5,3}D ={3,5,1}

C y D también son iguales: tienen los mismos elementos

Diagramas de Venn

� Representación gráfica de conjuntos

� Usados para representar relaciones entreconjuntos

� Notación� Conjunto Universal: rectángulo� Conjuntos: círculos

� Elementos: puntos

Conjuntos

� Conjunto Universal� Vacío� Unitario� Finito vs. infinito� Cardinalidad

Conjuntos

Determine si los siguientes pares de conjuntos son iguales:

{1,3,3,3,3,5,5,5,5} , {5,3,1}

{{1}} , {1,{1}}

∅ , {∅ }

Pertenencia

Sea A={1,2,3,4,5}. Determine el valorde verdad de:

� 1∈ A� 2 ∉ A� {1} ∈ A� {2,3} ∉ A

Subconjunto

A ⊆ B si y solo si ∀x (x∈ A → x∈ B) esverdadera

Para cualquier conjunto S, ∅ ⊆ S

Para cualquier conjunto S, S ⊆ S

Subconjuntos

Sean A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}, C={1,6}, Indique si las siguientes relaciones se danentre los conjuntos

� A ⊆ B ?� A ⊆ C ?� B ⊆ A ?� B ⊆ C ? � C ⊆ A ?� C ⊆ B ?

Subconjunto propio

Sean P={1, 2}, Q={1, 2, 3}, R={1, 2, 3}

P ⊆ RQ ⊆ R

P ⊂ RQ ⊄ R

Subconjunto propioSean A={1,2,3}, B={3,3,1}, C={3,2,1,1,1,2,4}, indique si se presentan las siguientes relaciones entre los conjuntos

A ⊂ BA ⊂ CB ⊂ A B ⊂ CC ⊂ AC ⊂ B

Igualdad entre Conjuntos

Dos conjuntos son iguales si A ⊆ B y B ⊆ A

Cardinalidad

Cuál es la cardinalidad de los siguientes conjuntos

A= {a} A1= {3, ∅}

B= {{a}} B1= {∅∅}}

C= {a, {a}} C1= {{∅∅, , ∅∅, , ∅∅}}

D= {a, {b,c}} D1= {a, {a}, {a, {a}}}

F= {3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2}

ConjuntosDetermine si cada una de las siguientes

expresiones es falsa o verdadera

x ∈ {x}

{x} ⊆ {x}

{x} ⊂ {x}

{x} ∈ {x}

{x} ∈ { {x}, y }

∅∅∅∅ ⊆ {x}

∅∅∅∅ ∈ {x}

Conjunto Potencia

Sea S={0,1}

Cuáles subconjuntos se pueden

obtener de S?

Conjunto Potencia

Subconjunto de S

P(S) = {∅, {0}, {1}, {0,1}}

Conjunto Potencia

Sea S={0,1,2}

Cuáles subconjuntos se pueden obtener de S?

Conjunto Potencia

El conjunto de todos lossubconjuntos de S es su conjunto potencia que se denota por P(S)

Conjunto Potencia

Si S tiene n elementos, la cardinalidad de P(S), denotada

por | P(S) |= 2n

Ejemplos

Determine el conjunto potencia de S y T

S = {1,{2,3}, 4}

T = {{1},1,{2,3}, 4}

ProductoProducto CartesianoCartesiano

Sean A={1,2} y B={a,b,c}

El producto cartesiano entre A y B denotado por A ×××× B

A ×××× B= { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

Producto Cartesiano

El producto cartesiano entre los conjuntos A1, A2,…,An, denotado por

A1×××× A2 ×××× … ×××× An es el conjunto formadopor n tuplas ordenadas (a1,a2,..,an),

donde ai ∈ Ai, para i=1,2,…,n

EjemploSea A={a,b,c}, B={x,y}, C={0,1}

Calcule

•A ×××× B

•B ×××× C

•A ×××× B ××××C