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INTRODUCCIÓN A LAS COMUNICACIONES

Photo: ESA; Photo: ESA/Cluster; Image: Neosat mission

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Juan A. Fernández Rubio junio 2019

INTRODUCCIÓN A LAS COMUNICACIONES

Juan A Fernández Rubiojunio 2019

PRÓLOGO

Las presentes notas han sido elaboradas en el marco de la asignatura: Introducció a les Telecomunica-cions del Grado en Enginyeria de Tecnologies i Serveis de Telecomunicació de la Escola Tècnica Supe-rior d‘Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona. Esta asignatura es la consecuencia de la evoluciónde otras previas para adaptarse a los diferentes planes de estudio.

Las razones de su edición son varias y de distinta índole. La más importante es que el material puedaser de gran ayuda a los estudiantes que cursan esta asignatura. Por otra parte, la asignatura es impartidapor diversos profesores y profesoras y estas notas tratan de reunir el máximo material posible, sumade las diferentes aportaciones, pero con la impronta del autor de las mismas, profesor de las diferentesasignaturas durante más de tres décadas.

Por diversas razones, algunos estudiantes tienen dificultades para tomar notas en clase. Si bien se disponede algunos apuntes tomados de manera detallada por estudiantes muy concienzudos, esto también esalgo insuficiente. Así pues, un objetivo era también recolectar de manera amplia todos los conceptos ydisponer del máximo número de figuras explicativas posibles.

Las notas están ordenadas en relación al temario de la asignatura arriba mencionada, aunque la organiza-ción de las notas es algo diferente del programa expresado en la guía docente. Contienen toda la temática,pero están más ampliadas con algunos conceptos de procesado de señal y procesos estocásticos, concep-tos que ya han sido estudiados, en gran parte, en cursos anteriores y que son imprescindibles para seguirla asignatura.

Hay algunas innovaciones importantes en la presentación de la temática con respecto a la de los librostradicionales. Es de destacar el estudio detallado del sistema analógico de transmisión, tanto para trans-misión banda base como para transmisión paso banda. También se hace un estudio exhaustivo de lasseñales paso banda sustituyendo o complementando el estudio tradicional a base de funciones trigono-métricas. Esto es muy importante en el estudio de los sistemas de transmisión paso banda analógicos,dando como resultado una descripción lineal de dichos sistemas en términos de los equivalentes pasobajo.

Finalmente, las notas se pueden complementar con una extensa colección de problemas, la mayoría deellos resueltos detalladamente. La colección es una compilación de los ejercicios propuestos en exáme-nes, por los distintos profesores, durante muchos cursos y está a disposición de los estudiantes.

I

Índice general

Página

PRÓLOGO I

1. INTRODUCCIÓN 1

2. SEÑALES Y SISTEMAS 7

2.1. SEÑALES DETERMINISTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Señales de energía finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2. Señales de potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. SISTEMAS LINEALES. RESPUESTA IMPULSIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Propiedades de la convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. TRANSORMADA DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Algunas propiedades importantes de la transformada de Fourier . . . . . . . . . 11

2.3.2. Transformada de Fourier de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE SEÑALES DE ENERGÍA FINITA . 12

2.4.1. Correlación de señales de energía finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Distancia entre dos señales de energía finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propiedades de la autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.2. Densidad espectral de señales de energía finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Correlación y densidad espectral de los ejemplos de señal expuestos en la sección2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III

Densidad espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5. CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE SEÑALES DE POTENCIA MEDIAFINITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1. Correlación de señales de potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Distancia entre dos señales de potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Propiedades de la autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.2. Correlación de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.3. Densidad espectral de señales de potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . 21

Densidad espectral de la función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Densidad espectral de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6. SEÑALES DE ENERGÍA FINITA Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.1. Señal filtrada con dos filtros en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7. SEÑALES DE POTENCIA MEDIA FINITA Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . 26

2.7.1. Señal de potencia media finita filtrada con dos filtros en paralelo . . . . . . . . . 28

2.8. SEÑALES ALEATORIAS (PROCESOS ESTOCÁSTICOS) . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.8.1. Función de densidad de probabilidad de un proceso aleatorio . . . . . . . . . . . 30

2.8.2. Valor medio, potencia y varianza de un proceso aleatorio . . . . . . . . . . . . . 30

2.8.3. Autocorrelación de un proceso aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8.4. Autocovarianza de un proceso aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Variable aleatoria Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

EJEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9. PROCESOS ESTACIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9.1. Procesos estacionarios en sentido estricto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9.2. Procesos estacionarios en sentido amplio o débilmente estacionarios . . . . . . . 35

2.10. PROCESOS ESTOCÁSTICOS CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.11. PROCESOS COMPLEJOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.11.1. Correlación cruzada de dos procesos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

IV

2.11.2. Correlación circular cruzada de dos procesos complejos . . . . . . . . . . . . . 37

2.11.3. Procesos conjuntamente circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.11.4. Procesos circularmente simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

EJEMPLO DE PROCESO COMPLEJO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.12. PROPIEDADES DE LA AUTOCORRELACIÓN DE UN PROCESO ESTACIONARIO 39

2.13. PROPIEDADES DE LA CORRELACIÓN CRUZADA DE DOS PROCESOS ESTA-CIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.14. ESPECTRO DE POTENCIA DE PROCESOS ESTACIONARIOS . . . . . . . . . . . . 40

2.14.1. Propiedades de la densidad espectral de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.14.2. Espectro cruzado de potencia de dos señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.14.3. Propiedades de las densidades espectrales cruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.15. PROCESOS NO ESTACIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.15.1. Ejemplos de densidades espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.16. PROCESOS CICLOESTACIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.17. PROCESOS ERGÓDICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.17.1. Valor medio y autocorrelación usando las realizaciones de un proceso . . . . . . 44

2.17.2. Ergodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.18. PROCESOS ESTACIONARIOS Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.19. PROCESOS NO ESTACIONARIOS Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . . . . . 48

2.19.1. Valor medio promedio de la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.19.2. Correlación y densidad espectral promedio salida-entrada . . . . . . . . . . . . 48

2.19.3. Autocorrelación y densidad espectral promedio del proceso de salida . . . . . . 49

3. SEÑALES Y SISTEMAS PASO BANDA 51

3.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. SEÑALES DETERMINISTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1. Señal analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. Transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

V

3.2.3. Procesado de señales mediante el uso de señales analíticas . . . . . . . . . . . . 55

3.2.4. Envolvente y frecuencia instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. SEÑALES PASO BANDA DETERMINISTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.1. Equivalente paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.2. Componentes fase y cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.3. Filtrado equivalente paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4. PROCESOS PASO BANDA. CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL . . . . . . 60

3.4.1. Análisis a partir de las señales paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Correlación y densidad espectral de las señales paso bajo . . . . . . . . . . . . . 61

Correlación circular del equivalente paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Correlación y densidad espectral de la señal analítica . . . . . . . . . . . . . . . 63

Correlación y densidad espectral de la señal paso banda . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.2. Análisis a partir de la señal paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Proceso paso banda estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Autoespectro de los procesos fase y cuadratura de procesos paso banda estacio-narios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Espectro cruzado de los procesos fase y cuadratura de procesos paso banda esta-cionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.3. Procesos paso banda no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.4. Potencia de la señal paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5. PROCESOS ESTACIONARIOS PASO BANDA Y SISTEMAS LINEALES . . . . . . . 72

4. RUIDO EN SISTEMAS DE COMUNICACIONES 73

4.1. RUIDO TÉRMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2. RUIDO BLANCO GAUSSIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3. RUIDO BLANCO FILTRADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3.1. Ancho de banda equivalente de ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4. RUIDO BLANCO EN SISTEMAS DE TRANSMISIÓN BANDA BASE . . . . . . . . 78

VI

4.5. RUIDO EN SISTEMAS PASO BANDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5.1. Ruido blanco paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5. SISTEMAS ANALÓGICOS DE TRANSMISIÓN 83

5.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2. SISTEMA DE TRANSMISIÓN ANALÓGICO BANDA BASE . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.1. Filtros transmisor y receptor banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3. SISTEMA ANALÓGICO PASO BANDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.1. Transmisor paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Modulador I&Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Modulador I&Q ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Filtro transmisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Filtro transmisor ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Transmisor ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Potencia transmitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.2. Canal de comunicaciones paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Canal Multicamino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Señal recibida con canal y sistemas de transmisión ideales . . . . . . . . . . . . 92

5.3.3. Receptores paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Demodulador I&Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Análisis mediante funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Análisis mediante funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.4. Filtros receptor y demodulador ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.5. Salida del sistema analógico ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3.6. Ruido en sistemas analógicos paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4. SISTEMA PASO BANDA ANALÓGICO COMPLETO . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4.1. Señal de salida compleja del sistema paso banda con transmisor y receptor ideales 101

VII

Filtros ideales y canal multicamino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Filtros ideales y sólo camino directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.5. INTERFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.6. SISTEMAS FDMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.7. TRANSLACIÓN (CONVERSIÓN) DE FRECUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.8. MODULACIONES ANALÓGICAS TRADICIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.8.1. Modulación doble banda lateral (DBL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.8.2. Modulación banda lateral única (BLU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.8.3. Modulación banda lateral vestigial (BLV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.8.4. Modulación bandas laterales independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.9. ECUALIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6. SISTEMA DE TRANSMISIÓN DIGITAL 119

6.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2. MODULADOR DIGITAL BANDA BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.3. MODULACIONES DIGITALES BANDA BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3.1. Señal Binaria Unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3.2. Señal binaria polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3.3. Señal M-aria polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.4. MODULACIONES DIGITALES PASO BANDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4.1. Señal ON-OFF keying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4.2. Señal BPSK(Binary Phase Shift Keying) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.4.3. Modulaciones M-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.4.4. Modulación BPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.4.5. Modulación 4-PSK o QPSK ( Quadrature Phase Shift Keying) . . . . . . . . . . 129

6.4.6. Modulación 8-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4.7. Modulación M-PSK general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

VIII

6.4.8. Modulaciones ASK-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.5. DENSIDAD ESPECTRAL DE LA SEÑAL DIGITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.5.1. Potencia de la señal PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.5.2. Densidad espectral de la señal unipolar con símbolos independientes . . . . . . . 137

6.5.3. Densidad espectral de la señal polar con símbolos independientes . . . . . . . . 137

6.5.4. Espectro de la señal digital modulada paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Símbolos no independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.6. CARACTERÍSTICAS ESPECTRALES DE LOS PULSOS DE LA SEÑAL DIGITAL . 142

6.6.1. Pulsos limitados en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.6.2. Pulsos limitados en frecuencia. Pulsos de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.7. DEMODULADOR DIGITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.7.1. Filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.7.2. Respuesta del filtro adaptado a la señal de salida del sistema analógico . . . . . . 154

Sistema digital paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Sistema digital banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.7.3. Muestreo. Sistema digital discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156



6.7.4. Canal equivalente discreto para canal multicamino . . . . . . . . . . . . . . . . 158



6.7.5. Ruido a la salida del filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Sistemas paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Sistemas banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.8. FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD (PDF) . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.8.1. Transmisión digital paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

IX

6.8.2. Transmisión digital banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.9. ESTIMACIÓN MAP (Máximo a Posteriori) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.9.1. Estimación MAP en variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.9.2. PDF y criterio MAP en coordendas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.10. REGIONES DE DECISIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.10.1. Constelaciones unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.10.2. Constelaciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Constelaciones QPSK o 4-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Constelación 16-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Constelación 8-start óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Constelación 8 cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Constelación 8-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Constelación 9-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Constelación 32-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.11. PROBABILIDAD DE DETECCIÓN Y PROBABILIDAD ERROR . . . . . . . . . . . . 174

Modulaciones paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Modulaciones banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.11.1. Probabilidad de error de las modulaciones banda base . . . . . . . . . . . . . . 179

Probabilidad de error de la señal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Probabilidad de error de la señal unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Probabilidad de error de la señal polar M-aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.11.2. Probabilidad de error de las modulaciones paso banda . . . . . . . . . . . . . . 189

Modulaciones BPSK y On-Off keing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Modulaciones paso banda complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Modulación QPSK o 4QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Modulación MQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

X

6.12. COTA SUPERIOR DE LA PROBABILIDAD DE ERROR . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.13. INTERFERENCIA INTERSÍMBOLO. ECUALIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.13.1. Forzador de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.13.2. Ruido de salida del forzador de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.13.3. Ejemplos de forzador de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7. APÉNDICES 207

A. VARIABLE COMPLEJA 209

A.1. REPRESENTACIÓN DE VARIABLES COMPLEJAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A.1.1. Forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A.1.2. Forma módulo-argumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A.1.3. Representación gráfica de una variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

A.1.4. Suma de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

A.1.5. Producto de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

A.1.6. Fasor exp( jφ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

A.1.7. Complejo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

A.1.8. Algunas relaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

B. TRANSFORMADA DE FOURIER DE UN TREN DE IMPULSOS 213

C. TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCIÓN SIGNO 215

D. PDF FUNCIÓN COSENO 217

D.1. PDF DE PRIMER ORDEN DE LA FUNCIÓN COSENO . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

E. TEOREMA DE WIENER-KHINCHIN 219

E.1. DEFINICIÓN DE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE UN PROCESO . 219

E.1.1. Demostración del Teorema de Wiener-Khinchin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

F. RETARDOS DE FASE Y DE GRUPO 221

XI

G. CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE UNA SEÑAL DIGITAL PAM 225

G.1. DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

H. FILTRO ADAPTADO 229

Bibliografía 230

XII

Índice de figuras

1.1. Modelo de un sistema de comunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Sistema paso banda analógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Pulso triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Pulso de Manchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Correlación del pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6. Densidad espectral del pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.7. Correlación del pulso de Manchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8. Densidad espectral del pulso de Manchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.9. Cálculo de la correlación de la función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.10. Correlación de la función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.11. Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.12. Correlaciones entrada salida deterministas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.13. Señal determinista filtrada por dos filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.14. Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.15. Correlaciones entrada salida potencia media finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.16. Señal de potencia media finita filtrada por dos filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.17. Realizaciones de un proceso estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.18. PDF normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

XIII

2.19. Función de distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.20. Densidad espectral para una sinusoide con frecuencia aleatoria . . . . . . . . . . . . . . 44

2.21. Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.22. Correlaciones entrada salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1. Senyal analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2. Transformador de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3. Transformador de Hilbert temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. Respuesta impulsional real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5. Respuesta impulsional con funciones analiticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.6. Envolvente y fase instantánea de la señal analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7. Transformada de Fourier de una señal paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.8. Transformada de Fourier de la señal analítica paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.9. Transformada de Fourier de la señal paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.10. Sistema paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.11. Transformador de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.12. Espectro de la señal paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.13. Espectro de la señal analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.14. Espectro de la señal paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.15. Autoespectros de las componentes fase y cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.16. Espectro cruzado fase cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1. Densidad espectral del ruido térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2. Circuito equivalente del ruido térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3. Circuito equivalente adaptado del ruido térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4. Filtro paso bajo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5. Filtro arbitrario simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.6. Ruido paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

XIV

4.7. Espectro del ruido analítico paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.8. Espectro del ruido paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.9. Espectro del ruido de las componentes en fase y cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.10. Espectro cruzado del ruido de las componentes en fase y cuadratura . . . . . . . . . . . 81

5.1. Sistema analíco banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2. Filtros transmisor y receptor ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3. Sistema pasobanda analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4. Transmisor paso banda analógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5. Modulador I&Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6. Equivalente complejo del Modulador I&Q ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.7. Transmisor paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.8. Transmisor paso banda ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.9. Equivalente complejo respuesta de la respuesta del canal paso banda . . . . . . . . . . . 91

5.10. Receptor paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.11. Demodulador paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.12. Demodulador paso banda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.13. Demodulador pasobanda complejo con recuperación de portadora . . . . . . . . . . . . 97

5.14. Receptor paso banda ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.15. Sistema Paso Banda real completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.16. Sistema equivalente paso bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.17. Sistema equivalente paso bajo coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.18. Sistema equivalente paso banda con filtros ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.19. Sistema equivalente paso banda coherente con filtros y canal ideales . . . . . . . . . . . 104

5.20. Sistema FDMA paso banda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.21. Conversión de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.22. Transformada de Fourier del mensaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

XV

5.23. Transformada de Fourier de la señal DBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.24. Transformada de Fourier del paso bajo de la señal BLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.25. Transformada de Fourier de la señal BLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.26. Componente cuadratura en BLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.27. Filtro vestigial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.28. Transformada de Fourier de la señal paso bajo BLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.29. Transformada de Fourier de la señal paso banda BLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.1. Sistema de transmisión digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2. Modulador digital banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.3. Codificador de símbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.4. Constelacion Unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.5. Señal Unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.6. Constelación señal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.7. Señal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.8. Constelación Cuaternaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.9. Señal cuaternaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.10. Señal ON-OFF keying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.11. Señal BPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.12. Constelación BPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.13. Señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.14. Constelación 8-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.15. Constelaciones ASK-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.16. Constelación 8 ASK-PSK óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.17. Dendidad espectral de la señal unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.18. Densidad espectral del pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.19. Pulso rectangular y su correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

XVI

6.20. Pulso de Manchester y su correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.21. Dendidad espectral del Pulso de Manchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.22. Convolución del pulso rectangular en frecuencia con el pulso de Nyquist . . . . . . . . . 146

6.23. Densidad espectral de los pulsos roll-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.24. Pulsos coseno roll-off en el dominio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.25. Correlación de los pulsos coseno roll-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.26. Señal binaria polar con pulso roll-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.27. Condición frecuencial para la densidad espectral rectangular . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.28. Condición frecuencial para la densidad espectral coseno alzado . . . . . . . . . . . . . . 150

6.29. Demodulador digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.30. Salida deseada del equivalente complejo paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.31. Señal de salida del equivalente complejo paso banda y filtro adaptado . . . . . . . . . . 154

6.32. Señal de salida del equivalente analógico banda base y filtro adaptado . . . . . . . . . . 155

6.33. Salida deseada del equivalente complejo paso banda más filtro adaptado y muestreo . . . 156

6.34. Sistema Digital discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.35. Salida deseada del equivalente complejo banda base más filtro adaptado y muestreo . . . 157

6.36. Sistema digital discreto equivalente banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.37. Constelación BPSK girada 30ž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.38. Constelación QPSK girada 30ž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.39. Señal polar con ruido blanco a la entrada del filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.40. Señal polar con ruido a la salida del filtro adaptado y ruido blanco . . . . . . . . . . . . 162

6.41. Salida deseada equivalente complejo paso banda más filtro adaptado y muestreo . . . . . 162

6.42. Diagrama del detector MAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.43. Regiones de decisión de una señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.44. Regiones señal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.45. QPSK con símbolos equiprobables y símbolos no equiprobables . . . . . . . . . . . . . 172

XVII

6.46. Regiones y contornos de la constelación 16QAM con símbolos equiprobables . . . . . . 173

6.47. Regiones y contornos constelación 8-start óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.48. Regiones y contornos constelación 8-cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.49. Regiones y contornos de la constelación 8-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.50. Regiones y contornos de la constelación 9-QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.51. Contornos y regiones 32QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.52. Umbral para una senyal polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.53. funcion Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.54. Área de la cola derecha de la gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.55. Área de la cola izquierda de la gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.56. Umbral para una señal unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.57. Comparación entre las BERs de la polar y unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.58. Regiones de la señal cuaternaria polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.59. Umbrales señal cuaternaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.60. Probabilidad de error para símbolos externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.61. Probabilidad de error para símbolos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.62. QPSK con símbolos equiprobables y símbolos no equiprobables . . . . . . . . . . . . . 190

6.63. Regiones y contornos de la constelación 16QAM con símbolos equiprobables . . . . . . 191

6.64. Integral de la gaussiana entre limite finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.65. Cota superior señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.66. Cota superior de la región R21 de una señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.67. Cota superior de la región R31 de una señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.68. Cota superior de la región Rji de una señal QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.69. Ecualizador óptimol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.70. PDFs de una señal polar con ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.71. Constelación para una señal QPSK con ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

XVIII

A.1. Representación de una variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

D.1. Proceso coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

E.1. Transformación del recinto de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

F.1. Señal pasobanda real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

F.2. Señal pasobanda real filtrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

G.1. Intervalos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

XIX

1 INTRODUCCIÓN

La mente intuitiva es un regalo sagrado y la menteracional una sirviente fiel. Hemos creado unasociedad que honra a los sirvientes y que haolvidado los regalos

Albert Einstein.1879−1955

El mundo de las Telecomunicaciones es realmente apasionante. Está en permanente cambio y tiene unarápida evolución y crecimiento. Afecta a casi todas las actividades cotidianas, tanto en el trabajo comoen los ratos de ocio.

Las comunicaciones a distancia existen desde las más remota antigüedad, pero es en el siglo XIX cuandocomienza el uso de señales eléctricas. Ahora puede decirse que la distancia no es un impedimento parala comunicación y ésta se puede llevar a cabo en tiempo real, tanto para la voz como para los datos y lasimágenes.

Las primeras comunicaciones mediante señales eléctricas pertenecen al mundo de la Telegrafía. Losprimeros servicios de telegrafía por cable aparecieron en Inglaterra y EE. UU. a partir de 1837. Los men-sajes de telegrafía eran enviados inicialmente por operadores de telégrafo que usaban código Morse yeran conocidos como telegramas, marconigramas o cablegramas. Más adelante, los telegramas serían en-viados a través de redes de Télex similares a la red de teléfono, compuesta por teletipos. Un telegrama esun mensaje de texto breve que se envía rápidamente mediante una codificación. Se utilizó para transmitirinformación importante con pocas palabras y de forma rápida con respecto a una carta. Actualmenteeste servicio fue sustituido por los SMS y más recientemente por aplicaciones de mensajería instantáneacomo por ejemplo Whatsapp y otras similares.

Actualmente los servicios de telegrafía están prácticamente en extinción, debido a la existencia de otrosmedios como el correo electrónico. Western Union, la compañía de telégrafos dominante en los EstadosUnidos desde su fundación en 1856, se reorganizó en 1988 como Western Union Corporation y se enfocóen las transferencias de dinero y servicios conexos. En el año 2006, dicha empresa cerró sus serviciostelegráficos. En julio de 2013 la empresa de telecomunicaciones Bharat Sanchar Nigam Ltd. (BSNL) dela India anunció el cierre de sus servicios de telegrafía; sólo algunos países como Suecia, Reino Unido,Canadá, México, Países Bajos, Eslovaquia y Baréin mantienen el servicio sobre una base más tradicionalque económica. En 1851 se instaló el primer cable submarino entre Inglaterra y Francia.

1

En 1899 nace la Telegrafía sin hilos, esto es, la transmisión telegráfica mediante radiación electromagné-tica, debido al trabajo de algunos científicos como Maxwell, Hertz y otros, y gracias también a Marconique sintetizó los trabajos de sus predecesores.

La telefonía fija, o transmisión de voz, nació en 1876, con el invento del teléfono por A.G. Bell. Despuésse han ido sucediendo una serie de inventos y desarrollos que han mejorado notablemente el serviciotelefónico. En la actualidad, este servicio está completamente automatizado y alcanza a más de 1000millones de personas a lo largo de todo el mundo y la red está prácticamente digitalizada. La telefoníaha sido hasta hace poco transmitida por cable, hasta la aparición de la telefonía móvil.

La Telefonía móvil surge con los primeros experimentos de Marconi en 1901, en los que instalaron losprimeros sistemas de radio móvil sobre algunos vehículos. El primer servicio de telefonía móvil fueutilizado por la policia de Detroit en los años 20 del siglo XX.

En este proceso se han ido produciendo muchos avances, tanto teóricos como tecnológicos, que hansentado las base de la situación actual.

El desarrollo del concepto celular (esto es, un sistema compuesto por un conjunto de estaciones basecoordinadas, donde se reutilizan las frecuencias disponibles), permite que un sólo sistema tenga unaextensión y capacidad prácticamente ilimitadas, haciendo las células cada vez más pequeñas. De formacomplementaria, las funciones de ’roaming’ (itinerancia) y ’handover’ (traspaso) permite que los usuariospuedan moverse libremente a través del sistema sin percibir el cambio de estación base. En los sistemasGSM, ya periclitado, y su evolución hacia los sistemas 3G,4G y más recientemente 5G, la itineranciahace que se puedan cursar comunicaciones incluso cambiando de país.

En un principio, el servicio de telefonía móvil se asemejó al fijo y permitía solamente llamadas de voz,pero poco a poco se fueron introduciendo mejoras y extendiendo las aplicaciones a transmisión de datose imágenes. En la actualidad el número de servicios que ofrecen los distintos operadores es muy grande:internet, redes sociales,etc.

La radiocomunicación no se reduce sólo a la telefonía móvil; servicios, entre otros, como las comunica-ciones vía satélite, los sistemas de navegación, que permiten determinar con mucha precisión la posicióndel receptor, la radio-afición y los servicios de radiodifusión.

Una particularidad de los sistemas de radiocomunicación es que la transmisión es inherentemente pasobanda, esto es, el mensaje se ha de trasladar a una cierta frecuencia para que la transmisión sea eficiente.En las tablas 1.1 y 1.2 se describe el espectro según la ITU y la utilización del mismo por los diversosservicios.

Los sistemas de transmisión analógico por cable son fundamentalmente paso bajo, es decir, el mensaje setransmite en su misma banda de frecuencias, con o sin previo procesado. En algunos casos la transmisiónpuede ser paso banda.

Para entender los conceptos que se presentan en este trabajo, el estudiante debe tener unos conocimientosbásicos de variable compleja y de Señales y Sistemas. En el apéndice A se describen algunos conceptosfundamentales de variable compleja. En el capítulo 2 se presentan los conceptos necesarios de señales ysistemas para el estudio de esta Introducción a los Sistemas de Comunicaciones. Muchos de los estudian-tes podrían saltarse gran parte de este capítulo ya que la temática la han cursado en asignaturas previas.No obstante, es conveniente hacer una primera lectura de los mismos para identificar qué conceptos sehan trabajado y qué conceptos no. Además, el capítulo puede servir como referencia para los capítulosposteriores. En cualquier caso la temática de procesos estocásticos está bastante ampliada.

2

Cuadro 1.1: Espectro Radioeléctrico(1)

DESCRIPCIÓN DEL ESPECTRO

Banda Abreviatura ITU Frequencia ylongitud de onda

(aire)

Ejemplos de uso

Frecuenciatremendamente

baja

TLF <3 Hz>100.000 km

Frecuencia en la que trabajala actividad neuronal

Frecuencia ex-tremadamente

baja

ELF 1 3-30 Hz100.000-10.000 km

Actividad neuronal, Comuni-cación con submarinos

Super bajafrecuencia

SLF 2 30-300 Hz10.000-1.000 km

Comunicación con submari-nos

Ultra bajafrecuencia

ELF 3 300-3000 Hz1.000-100 Km

Comunicación con submari-nos, Comunicaciones en mi-nas a través de la tierra

Muy bajafrecuencia

VLF 4 3-30 kHz100-10 km

Radioayuda, señales de tiem-po, comunicación submari-na, pulsómetros inalámbri-cos, Geofísica

Baja frecuencia LF 5 30-300 kHz10-1 km

Radioayuda, señales de tiem-po, radiodifusión en AM (on-da larga) (Europa y partes deAsia), RFID, Radioafición

Frecuenciamedia

MF 6 300-3000 kHz1.000-100 m

Radiodifusión en AM (ondamedia), Radioafición, Baliza-miento de Aludes

Alta frecuencia HF 7 3-30 MHz100-10 m

Radiodifusión en Onda cor-ta, Banda ciudadana y radio-afición, Comunicaciones deaviación sobre el horizon-te, RFID, Radar, Comunica-ciones ALE, Comunicacióncuasi-vertical (NVIS), Telefo-nía móvil y marina

Para acabar esta introducción, en la figura 1.1 se ilustra el modelo de un sistema de comunicaciones. Estemodelo es general y sirve para cualquier tipo de transmisión, eléctrica o no.

El mensaje puede ser una señal eléctrica o de cualquier otra naturaleza. En el segundo caso, el transductorla convierte en una señal eléctrica. A la salida del sistema de transmisión, si es preciso, el transductor laconvierte a su naturaleza original.

Los sistemas de transmisión eléctrica, digitales o analógicos, (banda base o paso banda) se pueden dividiren tres partes: modulador digital o analógico banda base, sistema analógico de transmisión (banda base

3

Cuadro 1.2: Espectro Radioeléctrico(2)

DESCRIPCIÓN DEL ESPECTRO

Banda Abreviatura ITU Frequencia ylongitud de onda

(aire)

Ejemplos de uso

Muy altafrecuencia

VHF 8 30-300 MHz10-1 m

FM, Televisión, Comunica-ciones con aviones a la vis-ta entre tierra-avión y avión-avión, Telefonía móvil maríti-ma y terrestre, Radioaficiona-dos, Radio meteorológica

Ultra altafrecuencia

UHF 9 300-3000 MHz1.000-100 mm

Televisión, Hornos micro-ondas, Comunicaciones pormicroondas, Radioastrono-mía, Telefonía móvil, Redesinalámbricas, Bluetooth,ZigBee, GPS, Comunicacio-nes uno a uno como FRS yGMRS, Radioafición

Super altafrecuencia

SHF 10 3-30 GHz100-10 mm

Radioastronomía, Comunica-ciones por microondas, Redesinalámbricas, radares moder-nos, Comunicaciones por sa-télite, Televisión por satélite,DBS, Radioafición

Frecuencia ex-tremadamente

alta

EHF 11 30-300 GHz10-1 mm

Radioastronomía, Transmi-sión por microondas de altafrecuencia, Teledetección,Radioafición, armas de mi-croondas, Escaner de ondasmilimétricas

Terahercios oFrecuencia

tremendamentealta

THz ó THF 12 300-3.000 GHz1-0,1 mm

Radiografía de teraherciosun posible substituto paralos rayos X en algunas apli-caciones médicas, Dinámicamolecular ultrarápida, Físi-ca de la materia condensa-da, Espectroscopía median-te terahercios, Comunicacio-nes/computación mediante te-rahercios, Teledetección sub-milimétrica

o paso banda) y demodulador digital o analógico banda base.

4

MENSAJE TRANSDUCTOR SISTEMA DECOMUNICACIONES TRANSDUCTOR DESTINO

Figura 1.1: Modelo de un sistema de comunicaciones

En la figura 1.2 se presenta el diagrama de bloques del sistema paso banda analógico.

TRANSMISORPASO BANDA

RECEPTORPASO BANDA

CANAL( )i t ( )Rs t( )Ts t

cf cθ

( )ch t

( )e tolf olθ

( )yi t

SISTEMA DE TRANSMISIÓN ANALÓGICO PASO BANDA

( )q t ( )yq t

Figura 1.2: Sistema paso banda analógico

i(t) y q(t) son las señales paso bajo, relacionadas con el mensaje, que se desean transmitir e iy(t) y qy(t)las señales entregadas por sistema de transmisión, que en general están distorsionadas por el canal ycontaminadas por el ruido y posibles interferencias.

Un sistema de transmisión banda base tiene la misma estructura que el de paso banda y donde se puedeconsiderar que la frecuencia y fase de la portadora son nulas, esto es, fc = 0, θc = 0, q(t) = 0, s(t)≡is(t), la señal de entrada e y(t)≡ ys(t) la señal de salida. La señales, el transmisor, el canal y el receptorson todos paso bajo.

Ambos sistemas serán estudiados con detalle en el capítulo 5.

A continuación se describe brevemente la estructura de los capítulos de estas notas:

En el capítulo 2 se presentan los conceptos fundamentales de señales y sistemas, tanto para las señalesdeterministas como para las aleatorias. Parte de esta materia ya ha sido estudiada en cursos anteriores,pero como ha sido mencionado, en este capítulo se repasan y se amplían algunos conceptos. En especial,se hace hincapié en los conceptos de autocorrelación y densidad espectral, así como en la correlacióncruzada y densidad espectral cruzada, tanto de señales de energía finita como de potencia media finita yprocesos estocásticos. También se estudia la autocorrelación y las correlaciones cruzadas de las señalesde entrada y las de salida a través de sistemas lineales.

En el capítulo 3, se estudian los conceptos y herramientas para entender las señales y los sistemas pasobanda. Se estudian tanto las señales deterministas como las señales aleatorias paso banda.

Los dos capítulos anteriores también incluyen la caracterización de sistemas simples, tanto de manerageneral, como paso banda en particular.

En el capítulo 4 se describen las distintas fuentes de ruido en los sistemas de comunicaciones, pero elestudio se circunscribe prácticamente al ruido generado por el propio receptor de comunicaciones. El

5

ruido será caracterizado como un proceso aleatorio.

En el capítulo 5 se estudian los sistemas analógicos completos, tanto los paso banda como el de la figura1.2 como los sistemas banda base, utilizando todas las herramientas descritas en los capítulos 2 y 3.

Finalmente, en el capítulo 6 se describen los sistemas de transmisión digital, tanto banda base, comopaso banda. Las modulaciones digitales más elementales son introducidas con todo lujo de detalle yla modulación y demodulación digital banda base son estudiadas, así como su interconexión con lossistemas analógicos descritos en el capítulo 5. Por último, se introducen los estimadores MAP y ML yse calcula la probabilidad de error del sistema.

Además del apéndices de Variable Compleja, se han incluidos otros en los que se realizan algunos desa-rrollos y demostraciones que podría romper el hilo de la descripción teórica.

6

2 SEÑALES Y SISTEMAS

El estudio profundo de la naturaleza es la fuentemás fértil de descubrimientos matemáticos. Lasmatemáticas parecen constituir una facultad de lamente humana destinada a compensar la brevedadde la vida y la imperfección de los sentidos

Joseph Fourier.1768−1830

Una señal es cualquier magnitud asociada a un fenómeno físico, función de una o más variables indepen-dientes, que puede ser revelada por un instrumento o percibida por el hombre y que contiene informaciónsobre el fenómeno.

Ejemplos:

1. señal de voz

2. fotografía

3. velocidad del viento en función de la altura, etc.

Matemáticamente se puede expresar, para una sola variable, como x(t); −∞ < t < ∞, siendo t la varia-ble tiempo.

En este capítulo se estudiarán tanto las señales deterministas como las aleatorias ( procesos estocásticos).Asímismo, se describirán las características más importantes de los sistemas lineales e invariantes.

2.1 SEÑALES DETERMINISTASLas señales deterministas se caracterizan por ser absolutamente predecibles a partir de su expresiónmatemática. Se pueden dividir en dos clases: Señales de energía finita y Señales de potencia media finita

7

2.1.1 Señales de energía finita

Las señales de energía finita son aquellas cuya energía

Ex =∫

∞

−∞

|x(t)|2dt < ∞

está acotada, donde se ha considerado que la señal x(t) puede ser compleja.

Los ejemplos más utilizados en comunicaciones son:

1. Pulso rectangular

2

/( ) t Tx t A

TΠ

−=

A

0 T t

Figura 2.1: Pulso rectangular

∏

( tT

)=

1 0 < t < T

0 resto

2. Pulso triangular

)( )(TtAtx Λ=

-T T

A

t

Figura 2.2: Pulso triangular

Λ

( tT

)=

1− |t|T −T < t < T

0 resto

3. Pulso de Manchesterx(t) = ∏

(t −T/4

T/2

)−∏

(t −3T/4

T/2

)

8

T

1

t

( )x t

/ 2T

Figura 2.3: Pulso de Manchester

4. Pulsos de NyquistEstos pulsos serán estudiados con todo detalle en el capítulo 6

Obsérvese la diferencia de notación entre el pulso rectangular y el pulso triangular. El denominador Tde la función es el mismo, en tanto que la duración es diferente: T para el pulso rectangular y 2T para eltriangular.

2.1.2 Señales de potencia media finita

Las señales de potencia media finita son aquellas cuya energía es infinita, pero la potencia definida como:

Px = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

|x(t)|2dt (2.1)

es finita. Tl es un parámetro arbitrario, habitualmente denominado como T en la mayoría de los libros detexto. Aquí se ha cambiado dicha denominación para evitar que se confunda con el periodo de pulso Treservado para las comunicaciones digitales.

Las señales de potencia media finita más comunes son el escalón y todas las funciones periódicas.

1. Función escalón

u(t) =

1 t > 0

0 t < 0

Aplicando la definición, es fácil demostrar que la potencia del escalón es Pu = 1/2

2. Señales periódicasSe dice que una señal es periódica, con periodo T0 si verifica que x(t +T0) = x(t); ∀t

Una señal periódica se puede escribir como:

x(t) =∞

∑n=−∞

xb(t −nT0) = xb(t)∗∞

∑n=−∞

δ (t −nT0) (2.2)

9

1

0

( )u t

t

Figura 2.4: Función escalón

Es decir, es la repetición periódica, con periodo T0, de una función base xb(t) de energía finita.

Esta señal no tiene porqué estar limitada al periodo y puede tener cualquier duración. Para estasseñales la expresión general de la potencia 2.1 se reduce a:

Px =1T0

∫ T02

− T02

|xb(t)|2dt

Dentro de las funciones periódicas, las más usadas son las funciones trigonométricas

x1(t) = Acos(2π f0t +φ)

yx2(t) = Asin(2π f0t +φ)

El periodo es T0 = 1/ f0.

Aplicando cualquiera de las dos fórmulas de la potencia y haciendo uso de las relaciones trigono-métricas pertinentes se obtiene:

Px1(t) = Px2(t) = A2/2

2.2 SISTEMAS LINEALES. RESPUESTA IMPUL-SIONALLa salida de un sistema lineal invariante viene dada por la convolución de la señal de entrada con larespuesta impulsional del sistema:

y(t) = x(t)∗h(t) (2.3)

2.2.1 Propiedades de la convolución

1. La convolución es conmutativa

x(t)∗h(t) =∫

∞

−∞

x(t)h(t −α)dα =∫

∞

−∞

h(t)x(t −α)dα = h(t)∗ x(t)

2. La convolución es asociativa

[x(t)∗h1(t)]∗h2(t) = x(t)∗ [h1(t)∗h2(t)] = x(t)∗h1(t)∗h2(t)

10

Combinando ambas propiedades, se puede concluir que las dos convoluciones se pueden realizar encualquier orden. Así,

x(t)∗h1(t)∗h2(t) = x(t)∗h2(t)∗h1(t)

2.3 TRANSORMADA DE FOURIERLa transformada de Fourier de una señal de energía finita (o de un sistema LTI) se definen como:

X( f ) = F [x(t)] =∫

∞

−∞

x(t)e− j2π f tdt

H( f ) = F [h(t)] =∫

∞

−∞

h(t)e− j2π f tdt

y la transformada inversa

x(t) = F−1[X( f )] =∫

∞

−∞

X( f )e j2π f tdt

h(t) = F−1[H( f )] =∫

∞

−∞

H( f )e j2π f tdt

La transformada de Fourier así definida, no tiene existencia para las funciones de potencia media finitaen el dominio C2. No obstante, el concepto se puede generalizar para dichas señales mediante el usode la función delta de Dirac: δ (t) en el dominio del tiempo y δ ( f ) en el dominio de la frecuencia. Encualquiera de las referencias bibliográficas y en concreto en la referencia [4], se pueden estudiar laspropiedades de la función delta de Dirac. Esta función se trata en una rama de las matemáticas llamadafunciones generalizadas y en la teoría de las distribuciones. Las dos propiedades más importantes son:∫

∞

−∞

δ (t)dt = 1

∫∞

−∞

δ (t − t0)x(t)dt = x(t0)

Usando ambas propiedades se pueden obtener fácilmente las transformadas de Fourier de las señales depotencia media finita.

2.3.1 Algunas propiedades importantes de la transformada de Fourier

1. Si la señal es real se cumple queX(− f ) = X∗( f )

2. Desplazamiento temporalF [x(t − τ)] = X( f )e− j2π f τ

3. Desplazamiento frecuencialF−1[X( f − f0) = x(t)e j2π f0t

Obsérvese la dualidad de ambas propiedades. Sólo cambia el signo de la exponencial compleja.Las relaciones inversas son las mismas.

4. La transformada de Fourier de una función delta en el dominio temporal es una constante.

F [δ (t)] = 1

11

5. Análogamente la transformada inversa de Fourier de una delta en el dominio frecuencial tambiénes la unidad

F−1[δ ( f )] = 1

6. La transformada de Fourier de la derivada de una señal es

F

[dx(t)

dt

]= j2πX( f )

7. Análogamente la transformada inversa de Fourier de la derivada frecuencial es

F−1[

dX( f )d f

]=− j2πx(t)

Obsérvese de nuevo el cambio de signo respecto a la transformada en el dominio temporal.

2.3.2 Transformada de Fourier de señales periódicas

La transformada de Fourier se puede calcular de dos maneras:

1. mediante la transformada de la expresión 2.2

X( f ) = Xb( f )F

[∞

∑n=−∞

δ (t −nT0)

]= Xb( f )

1T0

∞

∑m=−∞

δ ( f −m f0) =∞

∑m=−∞

Xb(m f0)

T0δ ( f −m f0)

La transforma del tren de impulsos se desarrolla en el apéndice B.

2. Mediante el desarrollo en serie de la función:

x(t) =∞

∑n=−∞

cnxe j2πn f0t

concnx =

∫T0

x(t)e− j2πn f0tdt

y la transformada de Fourier

X( f ) =∞

∑n=−∞

cnxδ ( f −n f0)

Ambos resultados deben ser idénticos y por tanto, se debe cumplir que:

cnx =Xb(n f0)

T0

2.4 CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DESEÑALES DE ENERGÍA FINITA

2.4.1 Correlación de señales de energía finita

Distancia entre dos señales de energía finita

La distancia entre dos señales de energía finita se puede definir como:

Dxy(τ) =∫

∞

−∞

|x(t + τ)− y(t)|2dt

12

Esta distancia es siempre positiva y mide el parecido entre ambas señales desde el punto de vista cuadrá-tico integral. El valor de la misma depende del desplazamiento relativo entre señales.

Desarrollando el integrando se obtiene:

Dxy(τ) = Ex +Ey −2Re[Rxy(τ)]

siendo:Ex =

∫∞

−∞

|x(t)|2dt

y

Ey =∫

∞

−∞

|y(t)|2dt

las denominadas energías de las señales x(t) e y(t), y

Rxy(τ) =∫

∞

−∞

x(t + τ)y∗(t)dt (2.4)

es lo que se conoce como la correlación cruzada de dos señales de energía finita x(t) e y(t). Esta correla-ción se puede escribir también como:

Rxy(τ) = x(τ)∗ y∗(−τ)

Al ser la distancia positiva se cumple que:

Re[Rxy(τ)]≤Ex +Ey

2Si las señales son de duración finita dx y dy, respectivamente, la correlación tendrá una duración dx +dy,de acuerdo con las propiedades de la convolución.

Si las señales son reales, la correlación también será real y puede escribirse:

Rxy(τ)≤Ex +Ey

2De ahí la denominación de correlación. Cuanto mayor es la correlación, menor es la distancia entre lasseñales, es decir mayor es el parecido entre ambas.

Si ambas señales son la misma, se tiene la autocorrelación:

Dx(τ) = 2Ex −2Re[Rx(τ)]

y

Rx(τ) =∫

∞

−∞

x(t + τ)x∗(t)dt = x(τ)∗ x∗(−τ) (2.5)

Igual que la correlación cruzada se ha de cumplir que:

Re[Rx(τ)]≤ Ex

Si la señal es de duración finita dx, la autocorrelación tendrá una duración 2dx

Esta autocorrelación mide el parecido de una señal consigo misma cuando se desplaza un tiempo τ .

La energía cruzada de las señales es:

Exy =∫

∞

−∞

x(t)y∗(t)dt = Rxy(0)

Esta energía es en general compleja. Y la energía de la señal es:

Ex =∫

∞

−∞

|x(t)|2(t)dt = Rx(0)

Siempre es real y positiva, como debe ser por razones físicas.

13

Propiedades de la autocorrelación

1. Rx(0) = Ex

2. |Rx(τ)| ≤ Rx(0) = Ex

La primera es evidente por definición, y la segunda se demuestra utilizando la desigualdad de Cauchy∣∣∣∣∫ ∞

−∞

u(t)v∗(t)dt∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞

−∞

|u(t)|2dt∫

∞

−∞

|v(t)|2dt

Identificando u(t)≡ x(t + τ) y v(t)≡ x(t), se obtiene dicha propiedad.

Identificando u(t)≡ x(t + τ) y v(t)≡ y(t), se obtiene otra propiedad de la correlación cruzada.

|Exy| ≤√

ExEy

2.4.2 Densidad espectral de señales de energía finita

La densidad espectral de energía de una señal de energía finita se puede definir como:

Sx( f ) = |X( f )|2

De esta manera, la energía de la señal será:

Ex =∫

∞

−∞

Sx( f )d f

Lo que puede interpretarse cómo se distribuye la energía en el espectro.

Es fácil comprobar que esta densidad es la transformada de Fourier de la autocorrelación. Utilizando laexpresión 2.5 se tiene:

F [Rx(τ)] = F [x(τ)∗ x∗(−τ)] = X( f )X∗( f ) = |X( f )|2 = Sx( f )

Donde se ha tenido en cuenta que F [x∗(−τ)] = X∗( f )

Correlación y densidad espectral de los ejemplos de señal expuestos en la sección 2.1.1

1. Pulso rectangular

Correlación

Rp(τ) = p(τ)∗ p(−τ)

Esta correlación se puede realizar gráficamente y da como resultado:

Rp(τ) = T Λ

(τ

T

)ilustrada en la figura 2.5

14

T− T

T

τT

1

t

( )p t ( )pR τ

Figura 2.5: Correlación del pulso rectangular de duración T

Densidad espectral

P( f ) = F

[∏

(τ −T/2

T

)]= T sinc( f T )e− j2π f T/2

Sp( f ) = |P( f )|2 = T 2 sinc2( f T )

Esta densidad se representa en la figura 2.6.

donde r = 1/T .

2. Pulso triangular

La correlación y la densidad espectral de este pulso tiene poco interés en comunicaciones.

3. Pulso de Manchester

p(t) = ∏

(t −T/4

T/2

)−∏

(t −3T/4

T/2

)La expresión matemática de la correlación de este pulso se puede escribir como:

Rp(τ) = T Λ

(τ

T/2

)− T

2Λ

(τ +T/2

T/2

)− T

2Λ

(τ −T/2

T/2

)El pulso y su correlación se ilustran en la figura 2.7

P( f ) =T2

sinc( f T/2)e− j2π f T/4 − T2

sinc( f T/2)e− j2π f 3T/4 =

= jTe− jπ f T sinc( f T/2)sinπ f T/2

Sp( f ) = |P( f )|2 = T 2 sinc2( f T/2)sin2π f T/2

La densidad espectral de este pulso es la de la figura 2.8

4. Pulsos de Nyquist

La correlación y la densidad de estos pulsos se ilustran en la sección 6.6.2

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

frecuencia normalizada

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

dens

idad

esp

ectra

l

/f r

2 ( )pr S f

Figura 2.6: Densidad espectral del pulso rectangular

T− T

T

τT

1

t

( )p t ( )pR τ

/ 2T

/ 2T− / 2T−

Figura 2.7: Correlación del pulso de Manchester

2.5 CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DESEÑALES DE POTENCIA MEDIA FINITA

2.5.1 Correlación de señales de potencia media finita

Distancia entre dos señales de potencia media finita

La distancia entre dos señales de potencia media finita se puede definir como:

Dxy(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

|x(t + τ)− y(t)|2dt

16

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

dens

idad

esp

ectr

al

Figura 2.8: Densidad espectral del pulso de Manchester

Esta distancia es siempre positiva y mide el parecido entre ambas señales desde el punto de vista delpromedio temporal cuadrático integral. El valor de la misma depende del desplazamiento relativo entreseñales:

Desarrollando el integrando y promediando se obtiene:

Dxy(τ) = Px +Py −2Re[Rxy(τ)]

siendo:

Px = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

|x(t)|2dt (2.6)

y

Py = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

|y(t)|2dt

las denominadas potencias de las señales x(t) e y(t), y

Rxy(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

x(t + τ)y∗(t)dt (2.7)

la denominada correlación cruzada de dos señales de potencia finita x(t) e y(t).

Al ser la distancia positiva se cumple que:

Re[Rxy(τ)]≤Px +Py

2

Si las señales son reales, la correlación también será real y puede escribirse:

Rxy(τ)≤Px +Py

2

17

de ahí la denominación de correlación. Cuanto mayor es la correlación, menor es la distancia entre lasseñales, es decir mayor es el parecido entre ambas.

Si ambas señales son la misma, se tiene la autocorrelación:

Dx(τ) = 2Px −2Re[Rx(τ)]

y

Rx(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

x(t + τ)x∗(t)dt (2.8)

Igual que la correlación cruzada se ha de cumplir que:

Re[Rx(τ)]≤ Px

Esta autocorrelación mide el parecido de una señal consigo misma cuando se desplaza un tiempo τ .

La potencia cruzada de las señales es:

Pxy = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

x(t)y∗(t)dt = Rxy(0)

esta potencia es en general compleja y la potencia de la señal es:

Px = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

|x(t)|2(t)dt = Rx(0)

siempre es real y positiva, como debe ser por razones físicas.

Propiedades de la autocorrelación

1. Rx(0) = Px

2. |Rx(τ)| ≤ Rx(0) = Px

La primera es evidente por definición, y la segunda se demuestra utilizando la desigualdad de Cauchy∣∣∣∣∣ lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

u(t)v∗(t)dt

∣∣∣∣∣2

≤ lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

|u(t)|2dt lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

|v(t)|2dt

Identificando u(t)≡ x(t +τ) y v(t)≡ x(t), se obtiene otra propiedad de la correlación cruzada. Análoga-mente se puede demostrar que:

|Pxy| ≤√

PxPy

Obsérvese que la potencia de la señal es:Px = Rx(0)

que coincide con la expresión 2.1 y, que en forma, tiene la misma expresión que la de las señales deenergía finita.

Un ejercicio interesante es el cálculo de la correlación de la función escalón. Utilizando la expresióngeneral, dicha correlación, de acuerdo con la figura 2.9

18

2/lT− 2/lT t

( )u t 1

τ−

( )u t τ+

Figura 2.9: Cálculo de la correlación de la función escalón

Figura 2.10: Correlación de la función escalón

es:

Ru(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

u(t + τ)u(t)dt = lımTl→∞

1Tl

(Tl

2

)=

12

Esta correlación se representa en la figura 2.10.

La potencia es Px = 1/2.

2.5.2 Correlación de señales periódicas

La correlación de las señales periódicas puede obtenerse vía su desarrollo en serie de Fourier.

x(t) =∞

∑n=−∞

cnxe j2πn f0xt

Siendo f0x = 1T0x

y T0x el periodo de la señal x(t).

19

Análogamente:

y(t) =∞

∑m=−∞

cmye j2πm f0yt

con f0y = 1T0y

y T0y el periodo de la señal y(t).

Sustituyendo estos desarrollos en la expresión 2.7, cambiando el orden de los sumatorios y la integral seobtiene:

Rxy(τ) =∞

∑n=−∞

∞

∑m=−∞

cnxcmye j2πn f0xτ lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

e j2π(m f0y−n f0x)t

Resolviendo la integral se tiene finalmente:

Rxy(τ) =∞

∑n=−∞

∞

∑m=−∞

cnxc∗mye j2πn f0xτ lımTl→∞

sin2π(m f0y −n f0x)Tl

2πTl(m f0y −n f0x)

El límite será distinto de cero para aquellas parejas de valores n y m tales que:

m f0y = n f0x = f0

En este caso caso, se anulan numerador y denominador y el límite es la unidad.

Para que se cumpla la igualdad anterior se ha de verificar que f0yf0x

= T0xT0y

sea un número racional. En casocontrario la integral sólo sería distinta de cero para m = n = 0, quedando la correlación como:

Rxy = c0xc∗0y

Sea (m0,n0) la pareja de números más pequeños tales que:

m0 f0y = n0 f0x = f0

f0 es el mínimo común múltiplo y por tanto T0 = 1/ f0, el periodo común, el máximo común divisor. lacorrelación cruzada será una función periódica con periodo T0

Rxy(τ) =∞

∑k=−∞

ckn0xc∗km0ye j2πk f0τ

ya que el resto de términos de los dos sumatorios serían nulos.

Si las señales tienen el mismo periodo T0, n0 = m0 = 1, la correlación cruzada será también periódicacon el mismo periodo:

Rxy(τ) =∞

∑k=−∞

ckxc∗kye j2πk f0τ

La potencia media cruzada es:

Pxy = Rxy(0) =∞

∑k=−∞

ckxc∗ky

Si ambas señales son iguales y(t)≡ x(t), Se obtiene la autocorrelación:

Rx(τ) =∞

∑k=−∞

|ckx|2e j2πk f0τ (2.9)

y la potencia:

Px = Rx(0) =∞

∑k=−∞

|ckx|2

20

Un caso particular es la correlación cruzada de dos sinusoides complejas x(t) = A1e j2π f1t e y(t) =A2e j2π f2t . En este caso el desarrollo en serie de Fourier sólo existe para n = 1 y m = 1 y la igualdad

m f2 = n f1

sólo se cumple si f1 = f2, lo que significa que la correlación cruzada será nula si las frecuencias sondiferentes. Si ambas frecuencias son iguales la correlación es:

Rxy(τ) = A1A2e j2π f1τ

Sean ahora las funciones:

cos(2π f0x+φ) =12

[e j(2π f0t+φ)+ e− j(2π f0t+φ)

]sin(2π f0x+φ) =

12 j

[e j(2π f0t+φ)− e− j(2π f0t+φ)

]Los coeficientes en la serie son, respectivamente:

c1x = c(−1)x =12

e jφ ; 0 resto

c1x =12 j

e jφ ;c(−1)x =− 12 j

e jφ ; 0 resto

Por tanto las correlaciones serán:

Rx(τ) =14[e j2π f0τ + e− j2π f0τ ] =

12

cos2π f0τ

idénticas para ambas funciones.

Obsérvese que la correlación no depende de la fase. Todas estas correlaciones se pueden calcular fácil-mente utilizando directamente la expresión general para la correlación de una señal de potencia mediafinita.

2.5.3 Densidad espectral de señales de potencia media finita

La expresión 2.6 se puede escribir como

Px = lımTl→∞

1Tl

∫∞

−∞

|xTl (t)|2(t)dt = lım

Tl→∞

1Tl

∫∞

−∞

|XTl ( f )|2d f

donde se ha aplicado el teorema de Parseval.

Introduciendo el límite dentro de la integral, la densidad espectral de potencia media se puede escribircomo

Sx( f ) = lımTl→∞

|XTl ( f )|2

Tl

De esta manera, la potencia de la señal será:

Px =∫

∞

−∞

Sx( f )d f

lo que puede interpretarse cómo se distribuye la potencia en el espectro.

21

Es fácil comprobar que esta densidad es la transformada de Fourier de la autocorrelación. Utilizando laexpresión 2.8 se tiene:

Rx(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl2

− Tl2

x(t + τ)x∗(t)dt = lımTl→∞

1Tl

∫∞

−∞

xTl (t + τ)x∗Tl(t)dt

Tomando la trasformada de Fourier respecto de la variable τ e inercambiando las integrales:

F [Rx(τ)] = lımTl→∞

1Tl

∫∞

−∞

x∗Tl(t)[∫

∞

−∞

xTl (t + τ)e− j2π f τd f]

dt =

= lımTl→∞

1Tl

∫∞

−∞

x∗Tl(t)XTl ( f )e j2π f tdt = lım

Tl→∞

|XTl ( f )|2

Tl= Sx( f )

En conclusión:Sx( f ) = F [Rx(τ)] (2.10)

De manera análoga se puede demostrar:

Sxy( f ) = F [Rxy(τ)] (2.11)

Densidad espectral de la función escalón

Sx( f ) =12

δ ( f )

Densidad espectral de señales periódicas

Tomando la transformada de Fourier en la expresión 2.9

Sx( f ) =∞

∑k=−∞

|ckx|2δ ( f − k f0)

En particular para las funciones:

cos(2π f0x+φ) =12

[e j2π f0t+φ + e(− j2π f0t+φ)

]sin(2π f0x+φ) =

12 j

[e j2π f0t+φ − e(− j2π f0t+φ)

]los coeficientes en la serie son, respectivamente:

c1x = c(−1)x =12

e jφ ; 0 resto

c1x =12 j

e jφ ;c(−1)x =− 12 j

e jφ ; 0 resto

Por tanto la densidad espectral

Sx( f ) =14[δ ( f − f0)+δ ( f + f0)]

Idéntica para ambas funciones. Obsérvese que la densidad espectral no depende de la fase.

22

2.6 SEÑALES DE ENERGÍA FINITA Y SISTEMASLINEALESEl valor medio de una señal de energía finita se define como:

µx =∫

∞

−∞

x(t)dt

Sea x(t) una señal de energía finita, de media µx y autocorrelación Rx(τ), de entrada a un sistema lineale invariante como el de la figura 2.11

( )h t( )x t ( )y t

Figura 2.11: Sistema lineal

La relación entrada-salida en el dominio temporal para estas señales ya ha sido definida por la expresión2.3,

y(t) =∫

∞

−∞

x(t −α)h(α)dα =∫

∞

−∞

x(α)h(t −α)dα

El valor medio de la señal de salida y(t) será

µy =∫

∞

−∞

y(t)dt =∫

∞

−∞

dt∫

∞

−∞

x(t −α)h(α)dα

Intercambiando las integrales

µy =∫

∞

−∞

h(α)dα

∫∞

−∞

x(t −α)dt = µx

∫∞

−∞

h(α)dα = µxH(0)

La segunda integral es el valor medio de x(t) y no depende de t∫∞

−∞

x(t −α)dα =∫

∞

−∞

x(β )dβ

Por tantoµY =

∫∞

−∞

µX h(α)dα = µX H(0) (2.12)

Siendo H(0) la transformada de Fourier de h(t) en el origen ( f = 0)

Correlación de la señal de salida

La correlación de la señal de salida se puede calcular directamente:

Ry(τ) =∫

∞

−∞

y(t + τ)y∗(t)dt =∫

∞

−∞

[∫∞

−∞

x(t + τ −α)h(α)dα

∫∞

−∞

x∗(t −β )h∗(β )dβ

]dt

Cambiando el orden de las integrales:

Ry(τ) =∫

∞

−∞

∫∞

−∞

[∫∞

−∞

x(t + τ −α)x∗(t −β )dt]

h(α)h∗(β )dαdβ =

=∫

∞

−∞

∫∞

−∞

Rx(τ −α +β )h(α)h∗(β )dαdβ

23

Realizando primero la integral respecto de α

Ry(τ) = h(τ)∗∫

∞

−∞

Rx(τ +β )h∗(β )dβ = Rx(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ)

La integral se resuelve haciendo el cambio de variable β =−λ y teniendo en cuenta que:∫∞

−∞

Rx(τ −λ )h∗(−λ )dλ = Rx(τ)∗h∗(−τ)

Otra manera equivalente de calcular la correlación de la salida es calcular primero la correlación cruzadasalida-entrada:

Correlación cruzada salida-entrada

Ryx(τ) =∫

∞

−∞

y(t + τ)x∗(t)dt =∫

∞

−∞

[x∗(t)

∫∞

−∞


]dt

Introduciendo x∗(t) dentro de la integral e intercambiando las integrales

Ryx(τ) =∫

∞

−∞

[∫∞

−∞

x(t + τ −α)x∗(t)dt]

h(α)dα =∫

∞

−∞

Rx(τ −α)h(α)dα

La última integral es la convoluciónRyx(τ) = Rx(τ)∗h(τ) (2.13)

El espectro cruzado es la transformada de Fourier de la correlación cruzada

Syx( f ) = Sx( f )H( f ) (2.14)

La correlación y el espectro cruzados de las señales entrada-salida x(t) e y(t) pueden obtenerse de maneraanáloga a los de salida-entrada o bien a partir de las propiedades

Rxy(τ) = R∗yx(−τ) = Rx(τ)∗h∗(−τ)

ya que R∗x(−τ) = Rx(τ) y por consiguiente

Sxy = Sx( f )H∗( f )

Autocorrelación de la señal de salida

Ry(τ) =∫

∞

−∞

y(t + τ)y∗(t)dt =∫

∞

−∞

y(t + τ)

[∫∞

−∞

x∗(t −α)h∗(α)dα

]dt


Ry(τ) =∫

∞

−∞

Ryx(τ +α)h∗(α)dα =∫

∞

−∞

Ryx(τ −β )h∗(−β )dβ

que es la convoluciónRy(τ) = Ryx(τ)∗h∗(−τ)

Sustituyendo la correlación cruzada salida-entrada

Ry(τ) = Rx(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ) (2.15)

La transformada de Fourier de la correlación es el espectro de la señal de salida

Sy( f ) = Sx( f )|H( f )|2 (2.16)

que son las mismas que las calculadas directamente. Sin embargo, de esta manera, los resultados puedenresumirse en el diagrama de la figura 2.12.

Otro problema interesante es el siguiente:

24

( )yS f( )yxS f( )h τ

( )yxR τ ( )yR τ

( )xS f*( )h τ−

( )xR τ

Figura 2.12: Correlaciones entrada salida deterministas

2.6.1 Señal filtrada con dos filtros en paralelo

Sean ahora dos señales y1(t) e y2(t) que se obtienen al filtrar una señal x(t) con dos filtros h1(t) y h2(t),respectivamente. Ver figura 2.13 Como han sido calculadas en la subsección anterior:

Figura 2.13: Señal determinista filtrada por dos filtros

Ry1x(τ) = Rx(τ)∗h1(τ)


La correlación cruzada de las señales de salida se puede calcular de la siguiente manera:

Ry1y2(τ) =∫

∞

−∞

y1(t + τ)y∗2(t)dt =∫

∞

−∞

y∗2(t)[∫

∞

−∞

x(t + τ −α)h1(α)dα

]dt =

=∫

∞

−∞

Rxy2(τ −α)h1(α)dα = Rxy2(τ)∗h1(τ)

ya queRxy2(τ) = R∗

y2x(−τ)

Ry1y2(τ) = Rx(τ)∗h1(τ)∗h∗2(−τ)

Puesto que Ry2y1(τ) = R∗y1y2

(−τ) y Rx(−τ) = R∗x(τ)

Ry2y1(τ) = Rx(τ)∗h2(τ)∗h∗1(−τ)

La densidad espectral cruzadaSy1y2( f ) = Sx( f )H1( f )H∗

2 ( f )

Si las respuestas frecuenciales de los filtros no se solapan, la densidad espectral cruzada y por tanto lacorrelación cruzada serán nulas. Lo que significa que las señales y1(t) e y2(t) estarán incorreladas.

25

2.7 SEÑALES DE POTENCIA MEDIA FINITA YSISTEMAS LINEALESEl valor medio de una señal de potencia media finita se define como:

µx = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2x(t)dt

Sea x(t) una señal de potencia media finita, de media µx y autocorrelación Rx(τ), de entrada a un sistemalineal e invariante como el de la figura 2.14,

( )h t( )x t ( )y t


La relación entrada-salida en el dominio temporal para estas señales es la misma que para las señales deenergía finita, 2.3,

y(t) =∫

∞

−∞

x(t −α)h(α)dα =∫

∞

−∞

x(α)h(t −α)dα

El valor medio de la señal de salida y(t) será

µy = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2y(t)dt = lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2dt∫

∞

−∞

x(t −α)h(α)dα


µy =∫

∞

−∞

h(α)

[lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2x(t −α)dt

]dα = µx

∫∞

−∞

h(α)dα = µxH(0)

La segunda integral es el valor medio de x(t) y no depende de t

lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2x(t −α)dα = lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2x(β )dβ

por tanto

µy =∫

∞

−∞

µxh(α)dα = µX H(0) (2.17)

Siendo H(0) la transformada de Fourier de h(t) en el origen ( f = 0)

Correlación de la señal de salida

La correlación de la señal de salida se puede calcular directamente:

Ry(τ)= lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2y(t+τ)y∗(t)dt = lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2

[∫∞

−∞


∫∞

−∞

x∗(t −β )h∗(β )dβ

]dt

Cambiando el orden de las integrales:

Ry(τ) =∫

∞

−∞

∫∞

−∞

[lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2x(t + τ −α)x∗(t −β )dt

]h(α)h∗(β )dαdβ =

=∫

∞

−∞

∫∞

−∞

Rx(τ −α +β )h(α)h∗(β )dαdβ

26

realizando primero la integral respecto de α

Ry(τ) = h(τ)∗∫

∞

−∞

Rx(τ +β )h∗(β )dβ = Rx(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ)

donde la integral se resuelve haciendo el cambio de variable β =−λ y teniendo en cuenta que:∫∞

−∞

Rx(τ −λ )h∗(−λ )dλ = Rx(τ)∗h∗(−τ)

Otra manera equivalente de calcular la correlación de la salida es calcular primero la correlación cruzadasalida-entrada:

Correlación cruzada salida-entrada

Ryx(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2y(t + τ)x∗(t)dt =

∫∞

−∞

x∗(t)[

lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2x(t + τ −α)h(α)

]dt

Introduciendo x∗(t) dentro de la integral e intercambiando las integrales

Ryx(τ) =∫

∞

−∞

[lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2x(t + τ −α)x∗(t)dt

]h(α)dα =

∫∞

−∞

Rx(τ −α)h(α)dα

La última integral es la convoluciónRyx(τ) = Rx(τ)∗h(τ) (2.18)


Syx( f ) = Sx( f )H( f ) (2.19)

La correlación y el espectro cruzados de las señales entrada-salida x(t) e y(t) pueden obtenerse de maneraanáloga a los de salida-entrada o bien a partir de las propiedades

Rxy(τ) = R∗yx(−τ) = Rx(τ)∗h∗(−τ)

Ya que R∗x(−τ) = Rx(τ) y por consiguiente

Sxy = Sx( f )H∗( f )

Autocorrelación de la señal de salida

Ry(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2y(t + τ)y∗(t)dt = lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2y(t + τ)

[∫∞

−∞

x∗(t −α)h∗(α)dα

]dt

intercambiando las integrales

Ry(τ) =∫

∞

−∞

Ryx(τ +α)h∗(α)dα =∫

∞

−∞

Ryx(τ −β )h∗(−β )dβ

que es la convoluciónRy(τ) = Ryx(τ)∗h∗(−τ)


Ry(τ) = Rx(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ) (2.20)


Sy( f ) = Sx( f )|H( f )|2 (2.21)

Que son las mismas que las calculadas directamente y que en forma son las mismas que para las señalesde energía finita. Estos resultados se resumen la figura 2.15.

Otro problema interesante es el siguiente:

27


( )yxR τ ( )yR τ

( )xS f*( )h τ−

( )xR τ

Figura 2.15: Correlaciones entrada-salida potencia media finita

2.7.1 Señal de potencia media finita filtrada con dos filtros en paralelo

Sean ahora dos señales de potencia media finita y1(t) e y2(t) que se obtienen al filtrar una señal x(t) condos filtros h1(t) y h2(t), respectivamente. Ver figura 2.16 Como han sido calculadas en la subsección

Figura 2.16: Señal de potencia media finita filtrada por dos filtros

anterior:Ry1x(τ) = Rx(τ)∗h1(τ)


Las diferentes correlaciones se pueden calcular utilizando el mismo procedimiento que para señalesfinitas.

Ry1y2(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2y1(t + τ)y∗2(t)dt = lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2y∗2(t)

[∫∞

−∞

x(t + τ −α)h1(α)dα

]dt =

=∫

∞

−∞

Rxy2(τ −α)h1(α)dα = Rxy2(τ)∗h1(τ)

Puesto queRxy2(τ) = R∗

y2x(−τ)

Ry1y2(τ) = Rx(τ)∗h1(τ)∗h∗2(−τ)

Y dado que Ry2y1(τ) = R∗y1y2

(−τ) y Rx(−τ) = R∗x(τ)

Ry2y1(τ) = Rx(τ)∗h2(τ)∗h∗1(−τ)

La densidad espectral cruzadaSy1y2( f ) = Sx( f )H1( f )H∗

2 ( f )

28

Si las respuestas frecuenciales de los filtros no se solapan, la densidad espectral cruzada y por tanto lacorrelación cruzada serán nulas. Lo que significa que las señales y1(t) e y2(t) estarán incorreladas.

2.8 SEÑALES ALEATORIAS (PROCESOS ESTO-CÁSTICOS)En las secciones anteriores se han estudiado las relaciones de los sistemas con las señales, considerandoque las últimas eran deterministas. En realidad, muchas de las señales son procesos aleatorios. No obs-tante, las relaciones de los procesos con los sistemas, en el dominio temporal, son las mismas que lasde las señales deterministas; no así en el dominio frecuencial. La transformada de Fourier de un proce-so es una variable aleatoria y carece de significado. Para procesos, las transformadas de Fourier seránsustituidas por las densidades espectrales.

Una variable aleatoria X es una regla que asigna un valor X(ξ ) al resultado de un experimento ξ .

Una señal aleatoria o proceso estocástico asigna una función X(t,ξ ) al resultado de un experimento. Así,una señal aleatoria es un conjunto de funciones temporales dependientes del parámetro ξ . Cuando nohaya ambigüedad, se empleará la notación X para la señal aleatoria y se omitirá el parámetro ξ .

Como ejemplo de señal aleatoria se puede considerar el conjunto de voltajes, generados por el movi-miento térmico de los electrones en bornes de un gran número de resistencias idénticas. La figura 2.17presenta algunos de estos voltajes para diferentes resultados del experimento.

t

X

t

t

t

1( , )X t ξ

2( , )X t ξ

( , )nX t ξ

1t 2t

1X 2X

Figura 2.17: Realizaciones de un proceso estocástico

Si se fija el parámetro ξ (resultado de un experimento) se obtiene una función temporal que se llamafunción muestra o realización del proceso.

29

Fijada la variable tiempo ti se tiene una variable aleatoria Xi = X(ti,ξ ). De esta manera, un procesoaleatorio se puede considerar como un conjunto infinito de variables aleatorias, una para cada instante detiempo t.

Fijados el parámetro ξ y la variable temporal t se tiene un valor.

2.8.1 Función de densidad de probabilidad de un proceso aleatorio

Para a un t dado, el proceso es una variable aleatoria X con una función de distribución dependiente de t

FX(t)(x, t) = Pr{X(t)≤ x} (2.22)

que es igual a la probabilidad del suceso {X(t)≤ x} consistente en todas las realizaciones posibles, en elinstante t, tales que X(t,ξi)≤ x, ∀i no excedan el valor x.

La función de distribución toma los valores FX(−∞) = 0; FX(∞) = 1

La función densidad de probabilidad es definida como

fX(t)(x, t) =∂FX(t)(x, t)

∂x(2.23)

La probabilidad de que la variable X(t) esté en el intervalo (x1,x2] viene dada por:

Pr{X(t) ∈ (x1,x2]}=∫ x2

x1

fX(t)(x; t)dx = FX(t)(x2, t)−FX(t)(x1, t) (2.24)

De aquí se deduce que∫

∞

−∞fX(t)(x; t)dx = 1

En los instantes t2 y t1 se tienen dos variables aleatorias y la función de distribución conjunta de ambasvariables es:

FX(t2)X(t1)(x2,x1; t2, t1) = Pr{X(t2)≤ x2;X(t1)≤ x1} (2.25)

La correspondiente función de densidad será:

fX(t2)X(t1)(x2,x1; t2, t1) =∂ 2FX(t2)X(t1)(x2,x1; t2, t1)

∂x2∂x1(2.26)

Análogamente, se podrían obtener las funciones de orden superior

FX(t)(x1,x2, ...,xn; t1, t2, ...tn); X(t)≡ [X(t1),X(t2), ...,X(tn)] (2.27)

La caracterización completa del proceso requeriría conocer estas funciones para cualquier orden n. Noobstante, en muchas aplicaciones solamente se usan ciertos momentos; más concretamente, los que sóloinvolucren a las funciones de primer y segundo orden.

2.8.2 Valor medio, potencia y varianza de un proceso aleatorio

Se define el valor medio de X(t) como el valor esperado de la variable aleatoria X en el instante t

µX(t) =∫

∞

−∞

x fX(t)(x; t)dx = E {X(t)} (2.28)

El concepto de esperanza matemática es muy importante y crucial en el estudio de procesos. La esperanzade una función del proceso se define como

E {g[X(t)]}=∫

∞

−∞

g(x) fX(t)(x; t)dx (2.29)

30

La esperanza matemática es un operador lineal, esto es,

E {αg[X(t)]+βh[Y (t)]}= αE {g[X(t)]}+βE {h[Y (t)]} (2.30)

Propiedad muy importante y muy útil a la hora de analizar los procesos.

La potencia instantánea se define como:

PX(t) =∫

∞

−∞

x2 fX(t)(x; t)dx = E{

X2(t)}

(2.31)

Y la varianza es la potencia del proceso centrado

σ2X(t) =

∫∞

−∞

[x(t)−µX(t)]2 fX(t)(x; t)dx = E{[X(t)−µX(t)]2

}(2.32)

Desarrollando la esperanza y utilizando la propiedad de linealidad y que la esperanza de una cantidaddeterminista es dicha cantidad, E

{µ2

X(t)}= µ2

X(t)

σ2X(t) = E

{X2(t)

}−2µX(t)E {X(t)}+µ

2X(t) = PX(t)−µ

2X(t) (2.33)

2.8.3 Autocorrelación de un proceso aleatorio

La autocorrelación de un proceso RX(t2, t1) se define como el valor esperado del producto X(t2)X(t1)

RX(t2, t1) = E {X(t2)X(t1)}=∫

∞

−∞

∫∞

−∞

x2x1 fX(t2)X(t1)(x2,x1; t2, t1)dx2dx1 (2.34)

El valor X(t2, t1) para t2 = t1 = t es la potencia media del proceso

PX(t) = RX(t, t) = E{

X2(t)}=∫

∞

−∞

x2 fX(t)(x, t)dx (2.35)

2.8.4 Autocovarianza de un proceso aleatorio

La autocovarianza de un proceso es la autocorrelación del proceso centrado X(t)−µX(t). Es fácil de verque:

CX(t2, t1) = E {[(X(t2)−µX(t2)][(X(t1)−µX(t1)]}== E {X(t2)X(t1)}−µX(t2)E {X(t1)}−µX(t1)E {X(t2)}+µX(t2)µX(t1) =

= RX(t2, t1)−µX(t2)µX(t1)

Si t2 = t1 = t, se obtiene la varianza del proceso

CX(t, t) = RX(t, t)−µX(t)µX(t) = PX(t)−µ2X(t) = σ

2X(t) (2.36)

Denominando X2 = X(t2) y X1 = X(t1), el coeficiente de correlación se define como:

ρX2X1 =CX2X1

σX 2σX 1(2.37)

Donde σX i =√

σ2X(ti) es la denominada desviación típica del proceso en el instante ti

Cuando las variables son independientes se cumple:

fX2X1(x2,x1) = fX2(x2) fX1(x1) (2.38)

31

RX2X1(t2, t1) = E {X2}E {X1}= µX2 µX1 (2.39)

CX2X1(t2, t1) = 0 = ρX2X1 (2.40)

Si t2 = t1 = t, CX(t, t) = σ2X(t), σX2 = σX1 = σX(t) y el coeficiente de correlación es la unidad.

0 ≤ ρX2X1 ≤ 1

De la definición de probabilidad condicionada

Pr{B|A}= Pr{A∩B}Pr{A}

es decir, la probabilidad del suceso B dado el suceso A, se pueden deducir les relaciones para las funcio-nes de densidad de probabilidad condicionadas :

fX2|X1(x2) =fX2X1(x2,x1)

fX1(x1)

fX1|X2(x1) =fX2X1(x2,x1)

fX2(x2)

de donde se deduce también el teorema de Bayes para funciones de densidad de probabilidad:

fX2|X1(x2) fX1(x1) = fX1|X2(x1) fX2(x2) (2.41)

Si las variables son independientesfX1|X2(x1) = fX1(x1)

fX2|X1(x2) = fX2(x2)

Variable aleatoria Gaussiana

El valor medio y la varianza de una variable aleatoria son definidos como:

µX = E {X}=∫

∞

−∞

x fX(x)dx (2.42)

σ2X = E

{(X −µX)

2}= ∫ ∞

−∞

(x−µX)2 fX(x)dx (2.43)

Una de les variables aleatorias más importante y más utilizada es la variable aleatoria normal o gaussianaN(µX ,σ

2X) de valor medio µX y varianza σ2

X . La función de densidad de probabilidad tiene la forma

fX(x) =1√

2πσxe− 1

2σ2x(x−µx)

2

(2.44)

La función de densidad de probabilidad para una variable con µX = 3 y σ2X = 16 tiene la forma de la

figura 2.18, donde se ve que el valor medio 3 es el más probable y la desviación estándar 4 (raíz cuadradade la varianza ) nos da una idea de la dispersión de la variable en torno a su valor medio.

La función de distribución se representa en la figura 2.19. Como puede observarse, toma los valoresFX(−∞) = 0; FX(∞) = 0 y FX(µx) = 1/2 . Los dos primeros son comunes para todas las funciones dedistribución y el tercero es común para las distribuciones simétricas en torno a su valor medio.

32

µx µx +σxµx −σx x

fx(x)

0

Figura 2.18: PDF normal

µx µx +σxµx −σx x

1

12

0

Fx(x)

Figura 2.19: Función de distribución normal

EJEMPLO

Sea el procesoX(t) = acos(2π fct +φ)

donde a y φ son dos variables aleatorias independientes y φ es una variable aleatoria uniforme en elintervalo (−π,π].

fΦ(φ) =1

2π∏

(φ

2π

)Puesto que las variables aleatorias son independientes, la función de densidad de probabilidad conjuntaserá el producto de las funciones de densidad individuales y por tanto la esperanza será el producto delas esperanzas respecto de cada una de las variables.

El valor medio del proceso será pues:

µX(t) = E {X(t)}= Ea {a}Eφ {cos(2π fct +φ)}

de las propiedades de les variables aleatorias

Eφ {cos(2π fct +φ)}=∫

π

−π

12π

cos(2π fct +φ)dφ = 0

Así pues,µX(t) = 0

La autocorrelación vendrá dada por

Rx(t2, t1) = E {X(t2)X(t1)}= E{

a2 cos(2π fct2 +φ)cos(2π fct1 +φ)}

33

Desarrollando el producto de cosenos

Rx(t2, t1) =12

Ea{

a2}Eφ {cos[2π fc[(t2 + t1)+2φ ]+ cos2π fc(t2 − t1)}

El valor medio en la variable φ del primer término es cero, quedando

Rx(t2, t1) =12

Ea{

a2}cos2π fc(t2 − t1)

La potencia instantánea del proceso vale (t2 = t1 = t)

PX = RX(t, t) =12

Ea{

a2}Obsérvese que, si la variable aleatoria a es una constante, los resultados anteriores coinciden con losequivalentes de señales periódicas deterministas.

µX(t) = 0

Rx(t2, t1) =12

a2 cos2π fcτ

PX = RX(t, t) =12

a2

con τ = t2 − t1, la correlación del proceso no depende de las instantes absolutos t2 y t1 , sino de sudiferencia.

La determinación de las funciones de densidad de probabilidad, de cualquier orden, de un proceso arbi-trario es prácticamente irrealizable. Sólo en algunos casos es posible calcular alguna de estas densidades.En el proceso anterior, si a es una constante, en el apéndice D.1 se puede ver la función de densidad deprimer orden del proceso X(t).

2.9 PROCESOS ESTACIONARIOS2.9.1 Procesos estacionarios en sentido estricto

Se dice que un proceso es estacionario en sentido estricto si sus propiedades estadísticas son invariantesfrente a un desplazamiento del origen de tiempos, es decir, X(t) y X(t+c) tienen los mismas propiedadesestadísticas para cualquier valor de c. Así pues,

fX(t)(x1,x2...,xn; t1, t2, ..., tn) = fX(t)(x1,x2...,xn; t1 + c, t2 + c, ..., tn + c)

La consecuencia es que la función de densidad de primer orden

fX(x, t) = fX(x, t + c) = fX(x)

no depende del tiempo y por tanto el valor medio y la varianza del proceso serán constantes.

Análogamente, la función de densidad de segundo orden

fX2X1(x2,x1; t2, t1) = fX2X1(x2,x1; t2 + c, t1 + c) = fX2X1(x2,x1;τ)

no depende de los instantes absolutos t2 y t1 , si no solamente de su diferencia τ = t2 − t1. Por tanto, laautocorrelación sólo dependerá de τ , y para a estos procesos se puede definir

Rx(t2, t1) = E {X(t2)X(t1)}= E {X(t + τ)X(t)}= RX(τ)

34

De esta manera, la correlación, tanto para procesos estacionarios como para procesos no estacionariosutilizada en lo sucesivo, adoptará la forma:

RX(t + τ, t) = E {X(t + τ)X(t)} (2.45)

Donde se ha identificado t1 = t y t2 = t + τ

Para procesos estacionarios, la correlación no depende de t quedando como

RX(t + τ, t)≡ RX(τ) = E {X(t + τ)X(t)} (2.46)

Definición equivalente en forma a la de la autocorrelación de señales deterministas de potencia mediafinita, cambiando la media temporal de estas últimas por la media en el conjunto (esperanza matemática).

2.9.2 Procesos estacionarios en sentido amplio o débilmente estacionarios

Un proceso es estacionario en sentido amplio si sólo lo es hasta orden 2, es decir, si

E {X(t)}= µX

E {X(t + τ)X(t)}= RX(τ)

o sea, el valor medio es constante y la autocorrelación sólo depende de la diferencia de tiempos.

2.10 PROCESOS ESTOCÁSTICOS CONJUNTOSSe puede definir la correlación cruzada de dos procesos X(t),Y (t) como el valor esperado del productoX(t2)Y (t1)

RXY (t2, t1) = E {X(t2)Y (t1)}=∫

∞

−∞

∫∞

−∞

x2y1 fXY (x2,y1; t2, t1)dx2dy1

El valor RXY (t2, t1) para t1 = t2 = t es la potencia instantánea cruzada del procesos

PXY (t) = RXY (t, t) = E {X(t)Y (t)}=∫

∞

−∞

∫∞

−∞

xy fXY (x,y; t)dxdy

Si los procesos son estacionarios y conjuntamente estacionarios

RXY (t2, t1) = E {X(t2)Y (t1)}= E {X(t + τ)Y (t)}= RXY (τ)

Es importante observar que el argumento temporal de la correlación (en inglés, ’lag’) es la diferenciaentre los argumentos de la primera variable y la segunda, en este orden.

La covarianza es la correlación de los procesos centrados X(t2)−µX(t2) e Y (t1)−µY (t1) .

CXY (t2, t1) = E {[X(t2)−µX(t2)][Y (t1)−µY (t1)]}

Desarrollando el producto

CXY (t2, t1) = E {[X(t2)Y (t1)−µX(t2)Y (t1)−µY (t1)X(t2)+µX(t2)µY (t1)]}

se obtiene finalmenteCXY (t2, t1) = RXY (t2, t1)−µX(t2)µY (t1) (2.47)

35

Si los procesos son estacionarios y conjuntamente estacionarios

CXY (τ) = RXY (τ)−µX µY (2.48)

Si los procesos no son estacionarios, se puede hacer t1 ≡ t y t2 = t1 +τ y la correlación cruzada se puedeescribir como

RXY (t2, t1)≡ RXY (t + τ, t) = E {X(t + τ)Y (t)}

La expresiónRXY (t + τ, t) = E {X(t + τ)Y (t)} (2.49)

es la que se utilizará en lo que sigue. De esta manera queda evidente que la correlación depende de ladiferencia de tiempos y del tiempo absoluto t.

Para dos procesos estacionarios y conjuntamente estacionarios:

RXY (τ) = E {X(t + τ)Y (t)} (2.50)

la correlación no depende de t.

2.11 PROCESOS COMPLEJOS2.11.1 Correlación cruzada de dos procesos complejos

Las definiciones anteriores se pueden extender al caso que X(t) e Y (t) sean complejos. Un procesocomplejo se define como

X(t) = XR(t)+ jXI(t)

Donde las partes real e imaginaria, XR(t) y XI(t) son dos procesos reales y j es la unidad imaginaria.Para procesos complejos, se define la correlación cruzada RXY como

RXY (t + τ, t) = E {X(t + τ)Y ∗(t)} (2.51)

Obsérvese que el segundo proceso está conjugado. Si los procesos X(t) e Y (t) son reales, la definicióncoincide con la de procesos reales

Análogamente la correlación RY X(t + τ, t)

RY X(t + τ, t) = E {Y (t + τ)X∗(t)}= E {X∗(t)Y (t + τ)}= R∗XY (t, t + τ)

La autcoorrelación se define identificando Y (t)≡ X(t)

RX(t + τ, t) = E {X(t + τ)X∗(t)} (2.52)

De esta manera, la potencia cruzada y la potencia media serán

PXY (t) = RXY (t, t) = E {X(t)Y ∗(t)}= P∗Y X(t) (2.53)

PX(t) = RX(t, t) = E {X(t)X∗(t)}= E{|X(t)|2

}(2.54)

De la definición de la correlación compleja se desprende que la potencia media es real. En cambio, lapotencia cruzada es compleja en general.

Si los procesos X(t) e Y (t) son reales, la definiciones anteriores coinciden con las de procesos reales.

36

Las definiciones anteriores para procesos estacionarios y conjuntamente estacionarios adoptan la forma:

RXY (t + τ, t)≡ RXY (τ) = E {X(t + τ)Y ∗(t)} (2.55)

RX(τ) = E {X(t + τ)X∗(t)} (2.56)

PXY = RXY (t, t) = E {X(t)Y ∗(t)} (2.57)

PX = RX(t, t) = E{|X(t)|2

}(2.58)

Obsérvese que en el caso de procesos estacionarios, la correlación sólo depende de la diferencia detiempos y las potencias no dependen del tiempo, igual que en el caso de procesos reales. Por propiadefinición, la diferencia de tiempos se entiende como el tiempo del primer proceso menos el del segundoproceso.

La correlación compleja se puede escribir en función de los procesos real e imaginario de la siguienteforma:

RXY (t + τ, t) = E {X(t + τ)Y ∗(t)}= E {[XR(t + τ)+ jXI(t + τ)][YR(t)− jYI(t)]}

Desarrollando el producto

RXY (t + τ, t) = E {[XR(t + τ)YR(t)− jXR(t + τ)YI(t)+ jXI(t + τ)YR(t)+XI(t + τ)YI(t)]}

y tomando esperanzas

RXY (t + τ, t) = RXRYR(t + τ, t)+RXIYI (t + τ, t)+ j[RXIYR(t + τ, t)−RXRYI (t + τ, t)] (2.59)

y la autocorrelación

RX(t + τ, t) = RXR(t + τ, t)+RXI (t + τ, t)+ j[RXIXR(t + τ, t)−RXRXI (t + τ, t)] (2.60)

De las expresiones anteriores se puede concluir que para que un proceso complejo sea estacionario, laparte real y la parte imaginaria han de ser estacionarias y conjuntamente estacionarias. En este caso

RXY (t + τ, t)≡ RXY (τ) = RXRYR(τ)+RXIYI (τ)+ j[RXIYR(τ)−RXRYI (τ)] (2.61)

RX(t + τ, t)≡ RX(τ) = RXR(τ)+RXI (τ)+ j[RXIXR(τ)−RXRXI (τ)] (2.62)

2.11.2 Correlación circular cruzada de dos procesos complejos

Para procesos complejos, se define la correlación cruzada circular de dos procesos complejos como:

RXY ∗(t + τ, t) = E {X(t + τ)Y (t)} (2.63)

Particularizando para Y (t)≡ X(t) , se obtiene las expresión de la autocorrelación circular de un proceso

RXX∗(t + τ, t) = E {X(t + τ)X(t)} (2.64)

La definición de correlación circular no tiene ningún sentido para procesos reales, ya que coincide conla definición de la correlación normal.

37

2.11.3 Procesos conjuntamente circulares

Dos procesos complejos se dicen conjuntamente circulares si cumplen que la correlación circular es nula

RXY ∗(t + τ, t) = E {X(t + τ)Y (t)}= 0; ∀t,τ

Obsérvese que en la correlación circular, el segundo proceso está sin conjugar.

Desarrollando esta correlación

RXY ∗(t + τ, t) = RXRYR(t + τ, t)−RXIYI (t + τ, t)+ j[RXIYR(t + τ, t)+RXRYI (t + τ, t)]

Si los procesos son conjuntamente circulares se debe cumplir que las partes real e imaginaria deben sernulas, esto es

RXRYR(t + τ, t) = RXIYI (t + τ, t)

RXIYR(t + τ, t) =−RXRYI (t + τ, t)

La correlación cruzada normal será en este caso

RXY (t + τ, t) = 2[RXRYR(t + τ, t)+ jRXIYR(t + τ, t)]

Si los procesos son conjuntamente estacionarios

RXY ∗(τ) = E {X(t + τ)Y (t)}= 0;∀τ

RXRYR(τ) = RXIYI (τ)

RXIYR(τ) =−RXRYI (τ)

Y la correlación cruzada normal

RXY (τ) = 2[RXRYR(τ)+ jRXIYR(τ)]

2.11.4 Procesos circularmente simétricos

Particularizando en la correlación circular de dos procesos conjuntamente circulares Y (t) ≡ X(t) , seobtiene las expresiones para un proceso circularmente simétrico (correlación circular nula)

RXX∗(t + τ, t) = E {X(t + τ)X(t)}= 0

RXR(t + τ, t) = RXI (t + τ, t)

RXIXR(t + τ, t) =−RXRXI (t + τ, t)

y la autocorrelaciónRX(t + τ, t) = 2[RXR(t + τ, t)+ jRXIXR(t + τ, t)]

Si el proceso es estacionarioRXR(τ) = RXI (τ)

RXIXR(τ) =−RXRXI (τ)

y la autocorrelación normalRX(τ) = 2[RXR(τ)+ jRXIXR(τ)]

38

EJEMPLO DE PROCESO COMPLEJO

Sea el procesoX(t) = ae j(2π fct+φ)

Donde a y φ tienen el mismo significado que en el ejemplo anterior de la sinusoide real, esto es, sonvariables independientes y φ es una variable aleatoria uniforme en el intervalo (−π,π]

µX(t) = Ea {a}Eφ

{e jφ}e2π fct = 0

ya que Eφ

{e jφ}= 0

RX(t + τ, t) = E {X(t + τ)X∗(t)}= E{|a|2}

e j2π fcτ

PX(t) = E{|a|2}

El proceso es estacionario. La correlación circular viene dada por

RXX∗(t + τ, t) = E {X(t + τ)X(t)}= E{

a2}e j2π fc(2t+τ)Eφ

{e j2φ

}= 0

El proceso es también circularmente simétrico.

2.12 PROPIEDADES DE LA AUTOCORRELACIÓNDE UN PROCESO ESTACIONARIO

1. |RX(τ)| ≤ RX(0)

2. RX(−τ) = R∗X(τ)

3. RX(0) = E{|X(t)|2

}= PX

La primera propiedad muestra que la autocorrelación está limitada por su valor en el origen. Esta propie-dad se puede demostrar mediante la siguiente desigualdad:

E{|X(t + τ)−αX(t)|2

}≥ 0

desarrollando el módulo

E{|X(t + τ)−αX(t)|2

}= E {[X(t + τ)−αX(t)][X∗(t + τ)−α

∗X∗(t)]}

Realizando el producto, tomando esperanzas y teniendo en cuenta que:

E{|X(t + τ)|2

}= E

{|X(t)|2

}= RX(0)

se obtieneE{|X(t + τ)−αX(t)|2

}= (1+ |α|2)RX(0)+2Re{α

∗RX(τ)} ≥ 0

Identificando α ≡ RX (τ)|RX (τ)| , se obtiene la primera propiedad.

Las otra dos propiedades ya han sido demostradas.

39

2.13 PROPIEDADES DE LA CORRELACIÓN CRU-ZADA DE DOS PROCESOS ESTACIONARIOS

1. |RXY (τ)| ≤ 12 [RX(0)+RY (0)]

2. RY X(−τ) = R∗XY (τ)

3. RXY (0) = E {X(t)Y ∗(t)}= PXY

4. |RXY (τ)| ≤√

RX(0)RY (0)

La primera propiedad se puede demostrar, de manera análoga a la de la correlación, partiendo de ladesigualdad:

E{|X(t + τ)−αY (t)|2

}≥ 0

donde ahora el parámetro α , se identifica con: α ≡ RXY (τ)|RXY (τ)|

La segunda y tercera propiedad ya han sido demostradas.

La cuarta propiedad se deduce de la primera teniendo en cuenta que la media geométrica es siempre igualo inferior a la media aritmética:

√RX(0)RY (0)≤ 1

2 [RX(0)+RY (0)].

2.14 ESPECTRO DE POTENCIA DE PROCESOS ES-TACIONARIOSEl espectro de potencia o densidad espectral de potencia de un proceso aleatorio estacionario X(t) ,SX( f ), nos dice cómo se distribuye la potencia media en el dominio de la frecuencia.

La densidad espectral de potencia de un procesos se define como:

SX( f ) = lımTl→∞

E{|XTl ( f )|2

Tl

}(2.65)

siendo XTl ( f ) la transformada de Fourier de cualquier realización del proceso truncado al intervalo(−Tl/2,Tl/2].

Esta definición es equivalente a la definición de la densidad espectral de señales deterministas de potenciamedia finita. Puesto que la transformada de Fourier de cualquier realización de un proceso es una variablealeatoria, se introduce la esperanza.

De acuerdo con el teorema de Wiener-Khinchin, SX( f ) se puede calcular como la transformada de Fou-rier de la autocorrelación.

SX( f ) =∫

∞

−∞

RX(τ)e− j2π f τdτ (2.66)

Inversamente,

RX(τ) =∫

∞

−∞

SX( f )e j2π f τd f (2.67)

En el apéndice E se presenta la demostración del teorema de Wiener-Khinchin.

40

2.14.1 Propiedades de la densidad espectral de potencia

Son idénticas que las de las señales deterministas.

1. SX( f ) es siempre real por propia definición

2. SX( f )≥ 0

3. Si X(t) es real SX(− f ) = SX( f )

4. PX = RX(0) =∫

∞

−∞SX( f )d f = σ2

X + |µx|2

5. SX(0) =∫

∞

−∞RX(τ)dτ

2.14.2 Espectro cruzado de potencia de dos señales

El espectro de potencia cruzado de dos procesos se define como

SXY ( f ) = lımTl→∞

E{

XTl ( f )Y ∗Tl( f )

Tl

}(2.68)

Análogamente, aplicando el teorema de Wiener-Khinchin, el espectro de potencia cruzada de dos señalesaleatorias estacionarias viene dado por

SXY ( f ) =∫

∞

−∞

RXY (τ)e− j2π f τdτ (2.69)

Inversamente,RXY (τ) =

∫∞

−∞

SXY ( f )e j2π f τd f

2.14.3 Propiedades de las densidades espectrales cruzadas

Son idénticas que les de las señales deterministas.

1. SXY ( f ) es compleja en general

2. SXY (− f ) = S∗Y X( f )

3. PXY = RXY (0) =∫

∞

−∞SXY ( f )d f

4. SXY (0) =∫

∞

−∞RXY (τ)dτ

2.15 PROCESOS NO ESTACIONARIOSComo se ha visto, la autocorrelación viene dada por

RX(t + τ, t) = E {X(t + τ)X∗(t)}

Realizando la transformada de Fourier respecto de τ

SX(t, f ) = Fτ [RX(t + τ, t)]

41

Este espectro es variante con el tiempo. La densidad espectral es una función de dos dimensiones: ty f . Puede representarse como una superficie, aunque en la práctica se representa como un diagramatiempo-frecuencia, donde la densidad espectral se representa, en el eje frecuencial mediante colores cuyaintensidad depende del valor de la función. Este diagrama se denomina espectrograma y cuando la señales de audio, sonograma.

Si se promedia la correlación respecto del tiempo

RX(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2RX(t + τ, t)dt (2.70)

la transformada de Fourier de esta correlación promedio es el espectro promedio

SX( f ) = F [RX(τ)] (2.71)

De manera análoga se obtienen la correlación cruzada promedio y el espectro cruzado promedio

RXY (τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2RXY (t + τ, t)dt (2.72)

SXY ( f ) = F [RXY (τ)] (2.73)

2.15.1 Ejemplos de densidades espectrales

Sea el proceso aleatorioX(t) = Acos(2π fct +φ)

1. A y fc son constantes y φ es una variable aleatoria uniforme distribuida en el intervalo (−π,π]. Lacorrelación del proceso es

RX(t + τ, t) = E {X(t + τ)X∗(t)}= A2E {cos[2π fc(t + τ)+φ ]cos(2π fct +φ)}

Desarrollando el productos de cosenos:

RX(t + τ, t) =A2

2E {cos[2π fc(2t + τ)+2φ ]+ cos2π fcτ}

La esperanza respecto de la variable φ del primer término es nula y el segundo término no dependede φ , por tanto

RX(t + τ, t)≡ RX(τ) =A2

2cos2π fcτ

El proceso es estacionario.

La densidad espectral y la potencia son

SX( f ) =A2

4[δ ( f − fc)+δ ( f + fc)]

PX = RX(0) =∫

∞

−∞

SX( f )d f =A2

2

2. A , fc y φ son constantes. Procediendo como en el caso 1, la correlación es

RX(t + τ, t) =A2

2E {cos[2π fc(2t + τ)+2φ ]+ cos2π fcτ}

42

Al ser φ una constante la esperanza del primer término no se anula y, por tanto, el proceso no esestacionario ya que su correlación depende del tiempo. La correlación promedio será, de acuerdocon la expresión 2.70

RX(τ) =A2

2lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−T/2{cos[2π fc(2t + τ)+2φ ]+ cos(2π fcτ)}dt

La integral del primer sumando es finita para cualquier valor de Tl y por lo tanto el límite cuandoTl tiende a infinito es cero. El segundo sumando es constante y sale fuera del límite.

La integral del resto vale la unidad, quedando la correlación como:

RX(τ) =A2

2cos(2π fcτ)

la misma forma que para procesos estacionarios.

3. A es una constante, φ es una variable uniforme distribuida en el intervalo (−π,π] y fc es unavariable aleatoria con una PDF fFc( fc). Procediendo como en el caso 1), pero teniendo en cuentaque fc es una variable aleatoria, la autocorrelación es

RX(τ) =A2

2E fc {cos2π fcτ}= A2

2

∫∞

−∞

fFc( fc)cos2π fcτd fc

y la densidad espectral

SX( f ) = F [RX(τ] =A2

4

∫∞

−∞

fFc( fc)[δ ( f − fc)+δ ( f + fc)]d fc

Realizando la integral

SX( f ) =A2

4[ fFc( f )+ fFc(− f )]

Que es la propia PDF para las frecuencias positivas y la simétrica para frecuencias negativas. Así,la PDF tiene la forma de la figura superior y la densidad espectral la de la figura inferior de lafigura 2.20

2.16 PROCESOS CICLOESTACIONARIOSSe dice que un proceso es cicloestacionario si su correlación es periódica en la variable t, es decir,

RX(t +Tciclo + τ, t +Tciclo) = RX(t + τ, t); ∀t

Tciclo es el denominado periodo de ciclo. Estos procesos son muy importantes en comunicaciones y losvalores medios de todos los momentos se pueden obtener integrando simplemente en un periodo.

Así, el valor medio promediado, la varianza media promediada y la autocorrelación promedio se puedenexpresar, en este caso como:

µX =1

Tciclo

∫<Tciclo>

µX(t)dt

σ2X =

1Tciclo

∫<Tciclo>

σ2X(t)dt

RX(τ) =1

Tciclo

∫<Tciclo>

RX(t + τ, t)dt

43

1cf1cf−

cf( )XS f

( )cF cf f

1cf

c

f

2

4A c

Figura 2.20: Densidad espectral para una sinusoide con frecuencia aleatoria

2.17 PROCESOS ERGÓDICOS2.17.1 Valor medio y autocorrelación usando las realizaciones de un proceso

Si las propiedades estadísticas de un proceso (funciones de distribución y de densidad de probabilidad)son desconocidas, pero se dispone de una gran número de realizaciones del proceso X(t,ξi); i= 1, ...,N, el valor medio y la autocorrelación se pueden estimar como:

µX(t)∼=1N

N

∑i=1

X(t,ξi)

RX(t2, t1)∼=1N

N

∑i=1

X(t2,ξi)X(t1,ξi)

2.17.2 Ergodicidad

El problema central en teoría de procesos es la estimación de sus propiedades estadísticas, cuando estasno son conocidas. Ya hemos visto antes que, si se dispone de un gran número de realizaciones, se puedeestimar el valor medio y la autocorrelación. En muchas aplicaciones, sólo se tiene acceso a una solarealización y la única media que se puede emplear es la temporal. Así, por ejemplo, se puede estimar elvalor medio del proceso como

µX = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2X(t)dt

44

Donde X(t) significa ahora una realización o función muestra conocida. ?’Bajo qué condiciones µX esuna buena estimación de µX , valor medio del proceso?

Se dice que el proceso es ergódico en la media si:

µX = µX

cualquiera que sea la realización (función muestra) del proceso, es decir con probabilidad 1. Se puedeconcluir que en un proceso ergódico en la media, el valor medio en el conjunto se puede intercambiarcon el valor medio temporal de cualquiera de sus realizaciones.

Análogamente, un proceso es ergódico en correlación si la estimación de la autocorrelación

RX(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2X(t + τ)X∗(t)dt

con X(t) una realización cualquiera del proceso, coincide con la autocorrelación del proceso

RX(τ) = E {X(t + τ)X∗(t)}

con probabilidad 1

Todo proceso ergódico es estacionario El recíproco no tiene porqué cumplirse.

Obsérvese la fuerte similitud existente entre los procesos ergódicos y las señales deterministas de poten-cia media finita.

2.18 PROCESOS ESTACIONARIOS Y SISTEMAS LI-NEALESSea X(t) un proceso estacionario, de media µX y autocorrelación RX(τ), de entrada a un sistema lineal einvariante como el de la figura 2.21

( )h t( )x t ( )y t


La relación entrada-salida en el dominio temporal para procesos se define de la misma manera que paraseñales deterministas, esto es, Y (t) = X(t)∗h(t)

Y (t) =∫

∞

−∞

X(t −α)h(α)dα =∫

∞

−∞

X(α)h(t −α)dα

El valor medio del proceso de salida Y (t) (también estacionario por ser una combinación lineal delproceso de entrada) será

µY = E {Y (t)}= E{∫

∞

−∞

X(t −α)h(α)dα

}45

Intercambiando el operador esperanza con el operador integral (ambos son lineales)

µY = E {Y (t)}=∫

∞

−∞

E {X(t −α)}h(α)dα

Puesto que X(t) es estacionario, E {X(t −α)}= E {X(t)}. Por tanto

µY =∫

∞

−∞

µX h(α)dα = µX H(0) (2.74)

siendo H(0) la transformada de Fourier de h(t) en el origen ( f = 0)

La correlación cruzada salida-entrada es

RY X(τ) = E {Y (t + τ)X∗(t)}= E{

X∗(t)∫

∞

−∞

X(t + τ −α)h(α)dα

}introduciendo X∗(t) dentro de la integral e intercambiando la esperanza con la integral

RY X(τ) =∫

∞

−∞

E {X(t + τ −α)X∗(t)}h(α)dα =∫

∞

−∞

RX(τ −α)h(α)dα

La última integral es una convolución

RY X(τ) = RX(τ)∗h(τ) (2.75)


SY X( f ) = SX( f )H( f ) (2.76)

La correlación y el espectro cruzados de los procesos entrada-salida X(t) e Y (t) pueden obtenerse demanera análoga a los de salida-entrada o bien a partir de las propiedades

RXY (τ) = R∗Y X(−τ) = RX(τ)∗h∗(−τ)

ya que R∗X(−τ) = RX(τ) y por consiguiente

SXY = SX( f )H∗( f )

La autocorrelación del proceso de salida valdrá

RY (τ) = E {Y (t + τ)Y ∗(t)}= E{

Y (t + τ)∫

∞

−∞

X∗(t −α)h∗(α)dα

}Introduciendo Y (t + τ) dentro de la integral y tomando esperanzas se obtiene que

RY (τ) =∫

∞

−∞

RY X(τ +α)h∗(α)dα =∫

∞

−∞

RY X(τ −β )h∗(−β )dβ

que es la convoluciónRY (τ) = RY X(τ)∗h∗(−τ)


RY (τ) = RX(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ) (2.77)


SY ( f ) = SX( f )|H( f )|2 (2.78)

46


( )yxR τ ( )yR τ

( )xS f*( )h τ−

( )xR τ

Figura 2.22: Correlaciones entrada salida

Las anteriores propiedades pueden resumirse en el diagrama de la figura 2.22. Estas relaciones son idén-ticas a las de las señales deterministas.

Sean ahora dos procesos Y1(t) e Y2(t) que se obtienen al filtrar una señal X(t) con dos filtros h1(t) yh2(t), respectivamente. La correlación cruzada de los procesos de salida se puede calcular de la siguientemanera:

RY1Y2(τ) = E {Y1(t + τ)Y ∗2 (t)}= E

{Y ∗

2 (t)∫

∞

−∞

X(t + τ −α)h1(α)dα

}Introduciendo Y ∗

2 (t) dentro de la integral

RY1Y2(τ) = E{∫

∞

−∞

Y ∗2 (t)X(t + τ −α)h1(α)dα

}Introduciendo la esperanza y teniendo en cuenta que:

E {Y ∗2 (t)X(t + τ −α)}= RXY2(τ −α)

RY1Y2(τ) = E{∫

∞

−∞

RXY2(τ −α)h1(α)dα

}= RXY2(τ)∗h1(α)

Calculando la correlación RXY2(τ)

RXY2(τ) = E {X(t + τ)Y ∗2 (t)}= E

{X(t)

∫∞

−∞

X∗(t + τ −α)h∗2(α)dα

}Introduciendo X(t) y tomando la esperanza

RXY2(τ) =∫

∞

−∞

RX(τ +α)h∗2(α)dα

Realizando el cambio de variable α =−β

RXY2(τ) = RX(τ)∗h∗2(−τ)

y por consiguienteRY1Y2(τ) = RX(τ)∗h1(τ)∗h∗2(−τ)

Puesto que RY2Y1(τ) = R∗Y1Y2

(−τ) y RX(−τ) = R∗X(τ)

RY2Y1(τ) = RX(τ)∗h2(τ)∗h∗1(−τ)

47

2.19 PROCESOS NO ESTACIONARIOS Y SISTE-MAS LINEALESLa relación en el dominio del tiempo entre el proceso de salida y(t) y el proceso de entrada X(t) es lamisma que para procesos estacionarios, esto es,

Y (t) = X(t)∗h(t) =∫

∞

−∞

X(t −α)h(α)dα

2.19.1 Valor medio promedio de la salida

El valor medio del proceso de salida cuando la entrada es un proceso no estacionario se puede escribircomo

µY (t) =∫

∞

−∞

E {X(t −α)}h(α)dα =∫

∞

−∞

µx(t −α)h(α)dα = µx(t)∗h(t)

Este valor medio depende del tiempo. Su valor promedio viene dado por

µY = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2

∫∞

−∞

µX(t −α)h(α)dαdt


µY =∫

∞

−∞

[lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−T/2µX(t −α)dt

]h(α)dα

y teniendo en cuenta que

lımTl→∞

1Tl

∫ T/2

−Tl/2µX(t −α)dt = µX

se obtieneµY =

∫∞

−∞

µX h(α)dα = µX H(0)

Esto es así porque aunque se desplace el valor medio de la entrada, cuando Tl → ∞, en el límite, elvalor medio promedio es el mismo que sin desplazar. Expresión idéntica a la de procesos estacionarios,sustituyendo los valores medios por el promedio temporal de los mismos.

2.19.2 Correlación y densidad espectral promedio salida-entrada

La correlación cruzada salida-entrada es

RY X(t + τ, t) = E {Y (t + τ)X∗(t)}= E{

X∗(t)∫

∞

−∞

X(t + τ −α, t)h(α)dα

}=

=∫

∞

−∞

RX(t + τ −α, t)h(α)dα

Y la correlación cruzada promedio

RY X(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−T/2RY X(t + τ, t)dt

sustituyendo RY X(t + τ, t)

RY X(τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2

∫∞

−∞

RX(t + τ −α, t)h(α)dαdt

48

intercambiando las integrales

RY X(τ) =∫

∞

−∞

[lım

Tl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2RX(t + τ −α, t)dt

]dα

y realizando el promedio temporal de la correlación de la entrada

lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2RX(t + τ −α, t)dt = RX(τ −α)

se puede escribir que

RY X(τ) =∫

∞

−∞

RX(τ −α)dα = RX(τ)∗h(τ)

RY X(τ) = RX(τ)∗h(τ)

La densidad espectral cruzada promedio se obtiene tomando transformadas:

SY X( f ) = SX( f )H( f )

Expresiones también idénticas a las de procesos estacionarios.

2.19.3 Autocorrelación y densidad espectral promedio del proceso de salida

La autocorrelación de la salida viene dada por

RY (t + τ, t) = E {Y (t + τ)Y ∗(t)}= E{

Y (t + τ)∫

∞

−∞

X∗(t −α)h∗(α)dα

}es decir

RY (t + τ, t) =∫

∞

−∞

E {Y (t + τ)X∗(t −α)}h∗(α)dα =∫

∞

∞

RY X(t + τ +α, t)h∗(α)dα

Y la autocorrelación promedio de la salida

RY (τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2

∫∞

−∞

RY X(t + τ +α, t)h∗(α)dαdt

Realizando el cambio de variable α =−β

RY (τ) = lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−T/2

∫∞

−∞

RY X(t + τ −β , t)h∗(−β )dβdt

intercambiando las integrales y procediendo de nuevo como en el caso de la correlación cruzada

RY (τ) = RY X(τ)∗h∗(−τ)

sustituyendo la correlación RY X(τ) calculada anteriormente

RY (τ) = RX(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ)

y la densidad espectral promedioSY ( f ) = SX( f )|H( f )|2

En definitiva, se tienen las mismas relaciones que para procesos estacionarios pero con correlaciones ydensidades espectrales promedio. Por tanto se puede utilizar el esquema de la figura 2.21 de procesosestacionarios para las magnitudes promedio de procesos no estacionarios.

49

3 SEÑALES Y SISTEMAS PASO BANDA

Dios hizo los números naturales, el resto es obradel hombre

Leopold Kronecker.1823−1891

3.1 INTRODUCCIÓNLos principios generales del procesado de señal explicados en el capítulo 2 son aplicables a cualquier tipode señal. No obstante, el tratamiento complejo de las señales y sistemas paso banda simplifica el estudioy la comprensión de los mismos. A pesar de la introducción del formalismo complejo, muchos de loslibros tradicionales mantienen el uso de funciones trigonométricas para muchas operaciones. En este ysucesivos temas, se tratará de substituir la mayoría de las operaciones trigonométricas por operacionescomplejas, las cuales facilitarán el tratamiento de señales y sistemas paso banda.

En el apéndice A se introducen los conceptos elementales de variable compleja para seguir los temas enéste y posteriores capítulos.

Los conceptos fundamentales en señales y sistemas paso banda son la función analítica y las funcionespaso bajo correspondientes.

Para el estudio de señales (sistemas) paso banda, se puede proceder de dos maneras: partiendo de la señalpaso banda y llegar a las señales paso bajo y viceversa. La primera opción se ha de emplear cuando elpunto de partida es el conocimiento de la señal paso banda como puede ser el caso del ruido y de lasinterferencias. Esta opción es interesante porque introduce de una manera natural la señal analítica y éstaes la que se describirá en primer lugar. Con señales deterministas y señales paso banda estacionarias,ambas opciones son completamente equivalentes.

En este capítulo se introducirán todos los conceptos de señales paso banda aplicados tanto a señalesdeterministas como a señales aleatorias.

51

3.2 SEÑALES DETERMINISTAS3.2.1 Señal analítica

La transformada de una señal real x(t) es hermítica, es decir

X(− f ) = X∗( f ) (3.1)

Escribiendo la transformada en función del módulo y la fase

X( f ) = |X( f )|e jφx( f ) (3.2)

Es fácil demostrar que

X(− f ) = |X(− f )|e jφx(− f ) = X∗( f ) = |X( f )|e− jφx( f )

De donde se deduce que el módulo de la transformada de Fourier es una función par en el dominio de lafrecuencia y la fase una función impar, esto es:

|X(− f )|= |X( f )|

φx(− f ) =−φx( f )

Dada la redundancia que existe entre les frecuencias positivas y las negativas de la respuesta frecuencialde una señal real, se puede emplear sólo la parte positiva (o negativa) del espectro para caracterizarcompletamente la señal.

Se define la señal analítica, en el dominio de la frecuencia, de x(t) como

Ax( f ) = 2X+( f ) = 2X( f )u( f ) (3.3)

es decir, el doble de la transformada para frecuencias positivas.

u( f ) es la función escalón en el dominio de la frecuencia.

La razón del factor 2 se verá más adelante. La señal analítica se ilustra en la figura 3.1

A

X(f)

f

f

2A

( )xA f

Figura 3.1: Señal real y señal analítica

52

De manera análoga se podría definir una función analítica

A−x ( f ) = 2X−( f ) = 2X( f )u(− f ) (3.4)

para frecuencias negativas. La relación entre ambas es:

A−x ( f ) = A∗

x(− f )

En el dominio del tiempo, la señal analítica tendrá la expresión

ax(t) = F−1[Ax( f )] = F−1[2X( f )u( f )] = F−1[X( f )(1+ sign( f ))] = F−1[X( f )+X( f )sign( f )]

Es decir,ax(t) = x(t)+ x(t)∗F−1[sign( f )]

La transformada inversa del signo se calcula en el apéndice C

F−1[sign( f )] = j1πt

De esta forma, la señal analítica en el dominio temporal tiene la forma

ax(t) = x(t)+ jx(t) (3.5)

Siendo

x(t) = x(t)∗ 1πt

(3.6)

La señal analítica en el dominio temporal es compleja y su parte real es precisamente la señal x(t) ,debido al factor 2 introducido en la señal analítica. La parte imaginaria se conoce como transformada deHilbert de x(t). De la expresión 3.5, se puede escribir también que:

x(t) = Re{ax(t)}; x(t) = Im{ax(t)}

Compruébese quea−x (t) = F−1[A−

x ( f )] = a∗x(t) (3.7)

La señal analítica ax(t) es coherente con el análisis fasorial. Así, si

x(t) = Acos2π fct

Su transformada de Fourier es

X( f ) =A2[δ ( f − fc)+δ ( f + fc)]

la señal analítica en el dominio frecuencial será

Ax( f ) = Aδ ( f − fc)

y en el dominio temporalax(t) = Ae j2π fct

La definición de señal analítica es general para todo tipo de señales reales: paso bajo y paso banda.Aunque tiene algunas aplicaciones en señales paso bajo, especialmente en señales de voz, es en señalespaso banda donde adquiere una especial relevancia.

53

3.2.2 Transformada de Hilbert

En el apartado anterior, expresión 3.6, se ha definido la transformada de Hilbert como

x(t) = x(t)∗ 1πt

Convolución que puede escribirse como:

x(t) =1π

∫∞

−∞

x(α)

t −αdα

Esta convolución rara vez se utiliza. En el dominio frecuencial,

X( f ) =− j sign( f )X( f ) (3.8)

Así pues, para obtener la transformada de Hilbert de una señal, se filtra por un sistema lineal, cuyafunción de transferencia es

H( f ) =− j sign( f ) (3.9)

FASE π/2

FASE -π /2

+j

-j

-jsign( ) f

f

Figura 3.2: Respuesta frecuencial del transformador de Hilbert

Dispositivo que puede considerarse que produce un desfase de -90 grados para las frecuencias positivasy de 90 grados para las negativas, mientras que las amplitudes son inalteradas, como puede observarseen la figura 3.2. Este dispositivo ideal es conocido como transformador de Hilbert o filtro en cuadratura.

En el dominio temporal, la transformada de Hilbert es la salida del sistema de la figura 3.3

h(t) =1πt

EJEMPLOx(t) = Acos2π fct

Su transformada de Fourier como se ha visto anteriormente

X( f ) =A2[δ ( f − fc)+δ ( f + fc)]

54

( )x t ˆ( )x t1tπ

( )jsign f−

( )X f ˆ ( )X f

Figura 3.3: Respuesta impulsional del transformador de Hilbert

la respuesta frecuencial de la transformada de Hilbert

X( f ) =− j sign( f )X( f ) =A2 j

[δ ( f − fc)−δ ( f + fc)]

y en el dominio temporalx(t) = Asin2π fct

La señal analítica

ax(t) = x(t)+ jx(t) = A(cos2π fct + j sin2π fct) = Ae j2π fct

Análogamente six(t) = Asin2π fct

Su transformada de Hilbert seráx(t) =−Acos2π fct

3.2.3 Procesado de señales mediante el uso de señales analíticas

El sistema real de procesado paso banda y(t) = x(t) ∗ h(t), que es el general para cualquier señal, es elilustrado en la figura 3.4

( )x t ( )y t( )h t

Figura 3.4: Respuesta impulsional real

Dado que, por definiciónAx( f ) = 2X( f )u( f )

y que la salida del filtro viene dada, en el dominio de la frecuencia por:

Y ( f ) = H( f )X( f )

Multiplicando por 2u( f ) ambos miembros y teniendo en cuenta que u( f )u( f ) = u( f ), puede escribirse,que

Ay( f ) = 2X( f )H( f )u( f ) = Ax( f )H( f )

55

Definiendo la respuesta analítica del filtro de manera análoga a de la señal

Ah( f ) = 2H( f )u( f )

Se obtiene finalmente la señal analítica de la salida en función de las analíticas de la entrada y del filtro

Ay( f ) =12

Ax( f )Ah( f ) (3.10)

Las relaciones en el dominio del tiempo son, tomando transformadas inversas:

ay(t) = ax(t)∗h(t)

ay(t) =12

ax(t)∗ah(t) (3.11)

En la figura 3.5 se tiene el correspondiente esquema

( )xa t ( )ya t1 ( )2 ha t

Figura 3.5: Respuesta impulsional con funciones analíticas

3.2.4 Envolvente y frecuencia instantánea

De la misma manera que un fasor, la señal analítica ax(t) puede interpretarse como un vector en el planocomplejo, dependiente del tiempo.

Se denomina envolvente de la señal x(t) al módulo de la señal analítica

ex(t) = |ax(t)|=√

x2(t)+ x2(t) (3.12)

y la fase instantánea, la fase del complejo de dicha señal analítica

θx(t) = arctanx(t)x(t)

(3.13)

La frecuencia instantánea, por definición es

fix(t) =1

2π

dθx(t)dt

(3.14)

De esta forma, la señal analítica se puede escribir como

ax(t) = ex(t)e jθx(t)

En la figura 3.6 puede verse la representación de las diversas componentes de la señal analítica

56

FASE INSTANTÁNEA (

(t) x θ

x(t)

x(t)

PARTE IMAGINARIA

a (t) x

ENVOLVENTE e (t) x

PARTE REAL

∧

Figura 3.6: Envolvente y fase instantánea de la señal analítica

3.3 SEÑALES PASO BANDA DETERMINISTASSe llama señal paso banda s(t), aquella cuya transformada de Fourier sólo existe en un determinado rangode frecuencias alrededor de alguna frecuencia fc que puede denominarse frecuencia central o portadora.

1cf f− 2cf f+ cf cf− 1cf f− + 2cf f− −

( )S f

Figura 3.7: Transformada de Fourier de una señal paso banda

En la figura 3.7 se ilustra la transformada de Fourier de una señal paso banda. Cómo puede observarse,esta representación está de acuerdo con las propiedades generales de una señal real: módulo par y faseimpar. La frecuencia fc es arbitraria y aunque es próxima a fc − f1 y fc + f2, no tiene por qué coincidirni con la media aritmética ni con la geométrica de ambas frecuencias. La transformada tampoco tieneporqué ser simétrica respecto de fc y puede tener cualquier forma. La diferencia entre ambas frecuenciaslímite suele denominarse ancho de banda de la señal paso banda Bs = f2 + f1, aunque se pueden definirdiferentes anchos de banda. Si el módulo de la transformada tiene simetría hermítica en la parte positivaalrededor de cierta frecuencia, dicha frecuencia suele elegirse como frecuencia central y en este casof1 = f2 = Bs/2

La transformada de la señal analítica, según se ha definido antes, es

As( f ) = 2S( f )u( f )

Dicha transformada de Fourier se ilustra en la figura 3.8

En el dominio del tiempo, como se ha visto anteriormente, as(t) = s(t)+ js(t)

57

cf1cf f− 2cf f+

( )sA f

f

Figura 3.8: Transformada de Fourier de la señal analítica paso banda

3.3.1 Equivalente paso bajo

La señal analítica se puede interpretar como el resultado de desplazar en frecuencias (modular) un señalbs(t) paso bajo, es decir,

1. En el dominio de la frecuencia

As( f ) = Bs( f − fc) (3.15)

Recíprocamente

Bs( f ) = As( f + fc) (3.16)

2. En el dominio del tiempo,

as(t) = bs(t)e j2π fct (3.17)

o también

bs(t) = as(t)e− j2π fct (3.18)

En la figura 3.9, se tiene la representación de la transformada de Fourier de la señal paso bajo.

1f−

( )sB f

f2f

Figura 3.9: Transformada de Fourier de la señal paso bajo

La señal bs(t) es denominada equivalente paso bajo de s(t) y es compleja en general. Si la señal pasobanda es hermítica respecto de la frecuencia central fc, la señal paso bajo será hermítica respecto delorigen y su transformada inversa real. Recíprocamente si la transformada de Fourier del equivalente pasobajo de una señal es hermítica, la transformada de la señal paso banda será hermítica respecto de lafrecuencia central.

Obsérvese que la señal analítica es única y que el paso bajo depende de la frecuencia fc de referencia.

58

3.3.2 Componentes fase y cuadratura

Si la señal equivalente paso bajo la especificamos por su parte real y su parte imaginaria

bs(t) = is(t)+ jqs(t) (3.19)

Se obtiene una representación peculiar para s(t) en función de las dos señales

s(t) = Re[as(t)] = Re[bs(t)e j2π fct]= is(t)cos2π fct −qs(t)sin2π fct (3.20)

is(t) y qs(t) son señales paso bajo, el ancho de banda de las cuales será, como se verá más adelante, B =max(| f1|, f2) . Se denominan componentes en fase y en cuadratura, respectivamente. Si la transformadade la señal paso banda es hermítica alrededor de la frecuencia central, la señal en cuadratura es nula, yaque bs(t) será real bs(t) = is(t). El ancho de banda de is(t) es B = Bs/2.

La expresión 3.20 sugiere como implementar electrónicamente la señal paso banda, como se verá en elcapítulo 5 a partir de las componentes fase is(t) y cuadratura qs(t).

Análogamente, la transformada de Hilbert

s(t) = Im[as(t)] = Im[bs(t)e j2π fct]= is(t)sin2π fct +qs(t)cos2π fct (3.21)

La envolvente de la señal, en función de las componentes fase y cuadratura,será

es(t) = |as(t)|= |bs(t)|=√

i2s (t)+q2s (t)

La fase instantáneaθs(t) = 2π fct +θ bs(t)

con

θ bs(t) = arctanqs(t)is(t)

y la frecuencia instantáneas

fis(t) = fc +1

2π

dθ bs(t)dt

La expresión de la transformada de Hilbert de una señal paso banda en función de las componentes enfase y en cuadratura permite implementar esta transformada de una manera eficiente y exacta.

Las transformadas de Fourier de las componentes fase y cuadratura vienen dadas por:

is(t) = Re[bs(t)] =bs(t)+b∗s (t)

2(3.22)

Is( f ) =Bs( f )+B∗

s (− f )2

(3.23)

qs(t) = Im[bs(t)] =bs(t)−b∗s (t)

2 j(3.24)

Qs( f ) =Bs( f )−B∗

s (− f )2 j

(3.25)

Ya que:F [b∗s (t)] = B∗

s (− f )

59

( )s t ( )y t( )h t

Figura 3.10: Sistema paso banda

3.3.3 Filtrado equivalente paso bajo

Sea el sistema h(t) paso banda de la figura 3.10. El filtrado paso banda, cuando la frecuencia central esmuy elevada, requiere de una tecnología sofisticada y, por tanto muy cara y en ocasiones irrealizable. Elsistema se puede diseñar con tecnología de baja frecuencia empleando pocos circuitos adicionales. Dadoque entre las señales analíticas existe la relación

Ay( f ) =12

As( f )Ah( f )⇐⇒ ay(t) =12

as(t)∗ah(t)

Una relación similar se tiene para las señales paso bajo

By( f ) =12

Bs( f )Bh( f )⇐⇒ by(t) =12

bs(t)∗bh(t) (3.26)

Donde se ha considerado que en la respuesta del paso bajo del filtro se utiliza la misma frecuencia dereferencia fc.

Después de substituir los equivalentes paso bajo por sus componentes en fase y en cuadratura, se puedeescribir que

iy(t) =12[is(t)∗ ih(t)−qs(t)∗qh(t)]

qy(t) =12[is(t)∗qh(t)+qs(t)∗ ih(t)]

Este sistema, empleado antiguamente en sistemas radar, solucionaría, sobre el papel, el filtrado en radio-frecuencia con tecnología de baja frecuencia. El único problema estriba en el hecho de que la garantía derealización de h(t) no garantiza la realización de ih(t) y/o qh(t), lo que conduciría solamente a solucionesaproximadas de h(t)

3.4 PROCESOS PASO BANDA. CORRELACIÓN YDENSIDAD ESPECTRALComo en el caso de las señales deterministas, el procesado de señales aleatorias paso banda requierede un tratamiento especial mediante la señal analítica y las señales paso bajo. Las relaciones entre lasdistintas señales en el dominio temporal son las mismas que para señales deterministas, no así en eldominio frecuencial, donde se hace necesario el uso de correlaciones y densidades espectrales.

60

El análisis completo de procesos paso banda se puede hacer, como en señales deterministas, partiendo delas componentes paso bajo del proceso hasta llegar a la señal paso banda o viceversa, es decir, partiendode la señal paso banda y acabar en las señales paso bajo. El primer caso es más conveniente para tratarla señal transmitida, donde las señales de partida son las señales paso bajo a transmitir. El segundo casose puede utilizar cuando el punto de partida es la señal paso banda como es el caso de las interferenciasy del ruido receptor. Ambos análisis dan los mismos resultados según las características de las señalesinvolucradas.

3.4.1 Análisis a partir de las señales paso bajo

El equivalente paso bajo tiene la misma expresión que para las señales deterministas, esto es,

bs(t) = is(t)+ jqs(t)

Las componentes fase y cuadratura I&Q son funciones del mensaje que se quiere transmitir. Esto seanalizará con detalle en el capítulo 5.

Correlación y densidad espectral de las señales paso bajo

La correlación de la señal paso bajo viene dada por

Rbs(t + τ, t) = E {bs(t + τ)b∗s (t)}

En función de las componentes fase y cuadratura

Rbs(t + τ, t) = E {[is(t + τ)+ jqs(t + τ)][is(t)− jqs(t)]}

Desarrollando el producto y tomando esperanzas, se obtiene finalmente

Rbs(t + τ, t) = Ris(t + τ, t)+Rqs(t + τ, t)+ j[Rqsis(t + τ, t)−Risqs(t + τ, t)] (3.27)

Correlación circular del equivalente paso bajo

La correlación circular de un proceso complejo ya ha sido definida en la sección 2.11 de la página 36,ecuación 2.51. En el caso particular del equivalente paso bajo:

Rbsb∗s (t + τ, t) = E {bs(t + τ)bs(t)}

En función de las componentes fase y cuadratura se calcula de manera análoga a la correlación:

Rbsb∗s (t + τ, t) = Ris(t + τ, t)−Rqs(t + τ, t)+ j[Rqsis(t + τ, t)+Risqs(t + τ, t)] (3.28)

Correlación circular nula

Un caso particular es cuando la correlación circular es nula. Puesto que un complejo es nulo cuando loson la parte real y la parte imaginaria, se cumpliría que:

Ris(t + τ, t) = Rqs(t + τ, t)

Risqs(t + τ, t) =−Rqsis(t + τ, t)

En este caso la correlación del paso bajo se puede escribir como:

Rbs(t + τ, t) = 2[Ris(t + τ, t)+ jRqsis(t + τ, t)] (3.29)

61

Y las relaciones inversas que ligan las correlaciones de las componentes I&Q con la correlación del pasobajo son:

Ris(t + τ, t) = Rqs(t + τ, t) =12

Re[Rbs(t + τ, t)] (3.30)

Rqsis(t + τ, t) =−Risqs(t + τ, t) =12

Im[Rbs(t + τ, t)] (3.31)

Proceso paso bajo estacionario

El proceso paso bajo será estacionario si las componentes paso bajo I&Q son estacionarias y conjunta-mente estacionarias. En este caso, las relaciones anteriores conducen a las siguientes expresiones:

Rbs(τ) = Ris(τ)+Rqs(τ)+ j[Rqsis(τ)−Risqs(τ)]

Rbsb∗s (τ) = Ris(τ)−Rqs(τ)+ j[Rqsis(τ)+Risqs(τ)]

Las respectivas densidades espectrales serán:

Sbs( f ) = Sis( f )+Sqs( f )+ j[Sqsis( f )−Sisqs( f )] =

= Sis( f )+Sqs( f )−2Im[Sqsis( f )]

Sbsb∗s ( f ) = Sis( f )−Sqs( f )+ j[Sqsis( f )+Sisqs( f )] =

= Sis( f )−Sqs( f )+2 j Re[Sqsis( f )]

donde se ha tenido en cuenta que, de acuerdo con la definición de la correlación de cualquier señal real,se cumple:

Risqs(τ) = Rqsis(−τ)

y por tantoSisqs( f ) = S∗qsis( f )

Obsérvese que la densidad espectral del paso bajo es siempre real, como corresponde a su naturaleza. Ladensidad espectral de la correlación circular es, en general compleja.

Correlación circular nula

Si además la correlación circular del paso bajo es nula, se obtienen las mismas expresiones 3.29, 3.30 y3.31, pero sin variación temporal de las correlaciones.

Rbs(τ) = 2[Ris(τ)+ jRqsis(τ)] (3.32)

Ris(τ) = Rqs(τ) =12

Re[Rbs(τ)] (3.33)

Rqsis(τ) =−Risqs(τ) =12

Im[Rbs(τ)] (3.34)

Componentes I&Q incorreladas

62

Otro caso particular es cuando las componentes fase y cuadratura están incorreladas y su valor medio escero

Rbs(τ) = Ris(τ)+Rqs(τ)

Rbsb∗s (τ) = Ris(τ)−Rqs(τ)

Sbs( f ) = Sis( f )+Sqs( f )

Sbsb∗s ( f ) = Sis( f )−Sqs( f )

Si se verifica que Rqs(τ) = Ris(τ)

Rbs(τ) = 2Ris(τ) (3.35)

Rbsb∗s (τ) = 0 (3.36)

La correlación del paso bajo es el doble que la correlación de cualquiera de las componentes fase ycuadratura y la correlación circular se anula (paso bajo circularmente simétrico).

Finalmente, si los procesos fase y cuadratura no son estacionaros, las correlaciones ya han sido calculadasanteriormente. Si cada una de ellas se promedia, se obtienen las mismas expresiones que para procesosestacionarios sin más que cambiar las correlaciones normales por las correlaciones promedio. Por lo querespecta a las densidades espectrales promedio ocurre lo mismo.

Correlación y densidad espectral de la señal analítica

La señal analítica en función del paso bajo tiene la misma forma que para señales deterministas

as(t) = bs(t)e j2π fct

La correlación de la señal analítica será:

Ras(t + τ, t) = E {as(t + τ)a∗s (t)}= E {bs(t + τ)b∗s (t)}e j2π fcτ

Aplicando la esperanzaRas(t + τ, t) = Rbs(t + τ, t)e j2π fcτ (3.37)

Es claro que el proceso analítico será estacionario si el equivalente paso bajo lo es. Si esto ocurre:

Sas( f ) = Sbs( f − fc)

La correlación circular de la señal analítica viene dada por

Rasa∗s (t + τ, t) = E {as(t + τ)as(t)}= E {bs(t + τ)bs(t)}e j2π fc(2t+τ)

Rasa∗s (t + τ, t) = Rbsb∗s (t + τ, t)e j2π fc(2t+τ) (3.38)

La correlación circular del proceso analítico será nula si la correlación circular del paso bajo también loes.

Si el proceso paso bajo es estacionario, la correlación circular de la señal señal analítica será cicloesta-cionaria con periodo de ciclo

Tciclo =1

2 fc=

Tc

2

Si el equivalente paso bajo no es estacionario, el proceso analítico tampoco lo será.

63

La correlación y la densidad espectral promedio de la señal analítica son:

Ras(τ) = Rbs(τ)ej2π fcτ


La correlación circular promedio de la señal analítica vendrá dada por:

Rasa∗s (τ) = e j2π fcτ lımTl→∞

1Tl

∫ Tl/2

−Tl/2Rbsb∗s(t + τ, t)e j4π fctdt

Rasa∗s (τ) = e j2π fcτ lımTl→∞

1Tl

∫∞

−∞

Rbsb∗s (t + τ, t)∏

(tTl

)e j4π fctdt

La integral puede considerarse como la transformada de Fourier de la correlación circular del paso bajotruncada, particularizada en f =−2 fc. Esta transformada es finita y por tanto el limite temporal es cero,lo que permite concluir que la correlación circular promedio de la analítica es siempre nula.

Cuando el proceso paso bajo es cicloestacionario con periodo T0, la señal analítica será también cicloes-tacionaria con el mismo periodo si fcT0 =

N2 siendo N un número entero par.

Correlación y densidad espectral de la señal paso banda

Finalmente, como para señales deterministas, la señal paso banda

s(t) = Re[as(t] =as(t)+a∗s (t)

2= Re

[bs(t)e j2π fct]

Sustituyendo el paso bajo bs(t) = is(t)+ jqs(t), se tendrá la señal paso banda en función de las compo-nentes I&Q

s(t) = is(t)cos2π fct −qs(t)sin2π fct

Y la correlación de la señal paso banda

Rs(t + τ, t) = E {s(t + τ)s(t)}= 14

E {[as(t + τ)+a∗s (t + τ)][as(t)+a∗s (t)]}

Rs(t + τ, t) =12

Re[Ras(t + τ, t)+Rasa∗s (t + τ, t)]

En función del paso bajo

Rs(t + τ, t) =12

Re[Rbs(t + τ, t)e j2π fcτ +Rbsb∗s (t + τ, t)e j2π fc(2t+τ)

](3.39)

Para que la señal paso banda sea estacionaria, se ha de cumplir que el paso bajo sea también estacionarioy que la correlación circular del paso bajo sea nula, es decir, el paso bajo sea circularmente simétrico. Eneste caso:

Rs(τ) =12

Re[Rbs(τ)e

j2π fcτ]

(3.40)

Si la señal paso banda es estacionaria, su densidad espectral es:

Rs(τ) =12

Rbs(τ)ej2π fcτ +R∗

bs(τ)e− j2π fcτ

2

Tomando transformadas en ambos miembros:

Ss( f ) =14[Sbs( f − fc)+Sbs(− f − fc)] (3.41)

64

Si no se cumple ninguna de estas condiciones y el paso bajo es estacionario, la señal paso banda serácicloestacionaria con periodo de ciclo Tciclo =

12 fc

= Tc2 , igual que la señal analítica.

La correlación promedio de la señal paso banda se obtiene promediando en el tiempo. Como la señal escicloestacionaria, se puede promediar en un periodo de ciclo. De esta forma, el segundo término de laexpresión 3.39 se anula, quedando

Rs(τ) =12

Re[Rbs(τ)e

j2π fcτ]

(3.42)

y la densidad espectral promedio

Ss( f ) =14[Sbs( f − fc)+ Sbs(− f − fc)] (3.43)

Expresiones idénticas a las de procesos paso banda estacionarios.

3.4.2 Análisis a partir de la señal paso banda

Sea s(t) un proceso aleatorio paso banda. El proceso analítico correspondiente puede representarse comoen la expresión 3.5

as(t) = s(t)+ js(t)

Siendo s(t) la transformada de Hilbert del proceso s(t) , es decir, el proceso de salida del sistema de lafigura 3.11:

1t

( )s t ˆ( )s t

Figura 3.11: Transformador de Hilbert paso banda

s(t) = s(t)∗ 1πt

La correlación de la señal analítica en función de las correlaciones de las señales paso banda se puedeescribir como

Ras(t + τ, t) = E {as(t + τ)a∗s (t)}== E {[s(t + τ)+ js(t + τ)][s(t)− js(t)]}

Ras(t + τ, t) = Rs(t + τ, t)+Rs(t + τ, t)+ j[Rss(t + τ, t)−Rss(t + τ, t)] (3.44)

De acuerdo con la definición 2.64 de la página 37, la correlación circular del proceso analítico

Rasa∗s (t + τ, t) = E {as(t + τ)as(t)}= E {[s(t + τ)+ js(t + τ)][s(t)+ js(t)]}

Rasa∗s (t + τ, t) = Rs(t + τ, t)−Rs(t + τ, t)+ j[Rss(t + τ, t)+Rss(t + τ, t)] (3.45)

La correlación del equivalente paso bajo

Rbs(t + τ, t) = E{

as(t + τ, t)e− j2π fc(t+τ)a∗s (t)ej2π fct

}= Ras(t + τ, t)e− j2π fcτ (3.46)

65

Y la correlación circular del paso bajo es

Rbsb∗s (t + τ, t) = E{

as(t + τ, t)e− j2π fc(t+τ)as(t)e− j2π fct}

Rbsb∗s (t + τ, t) = Rasa∗s (t + τ, t)e− j2π fc(2t+τ) (3.47)

La correlación de la componente en fase es

Ris(t + τ, t) = E {is(t + τ, t)is(t)}= E {Re[bs(t + τ, t)]Re[bs(t)]}

Teniendo en cuenta la relación A.8 del apéndice A y que la esperanza y la parte real son intercambiables

Ris(t + τ, t) =12

Re[E {bs(t + τ, t)bs(t)+bs(t + τ, t)b∗s (t)}]

Tomando esperanzas

Ris(t + τ, t) =12

Re[Rbsb∗s (t + τ, t)+Rbs(t + τ, t)

](3.48)

La correlación de la componente en cuadratura es

Rqs(t + τ, t) = E {qs(t + τ, t)qs(t)}= E {Im[bs(t + τ, t)] Im[bs(t)]}


Rqs(t + τ, t) =12

Re[E {−bs(t + τ, t)bs(t)+bs(t + τ, t)b∗s (t)}]

Tomando esperanzas

Rqs(t + τ, t) =12

Re[−Rbsb∗s (t + τ, t)+Rbs(t + τ, t)

](3.49)

La correlación cruzada de la componente en cuadratura y la componente en fase es

Rqsis(t + τ, t) = E {qs(t + τ, t)is(t)}= E {Im[bs(t + τ, t)]Re[bs(t)]}


Rqsis(t + τ, t) =12

Im[E {bs(t + τ, t)bs(t)+bs(t + τ, t)b∗s (t)}]

Tomando esperanzas

Rqsis(t + τ, t) =12

Im[Rbsb∗s (t + τ, t)+Rbs(t + τ, t)

](3.50)

La correlación cruzada fase-cuadratura

Risqs(t + τ, t) = E {is(t + τ, t)qs(t)}= E {Re[bs(t + τ, t)] Im[bs(t)]}


Risqs(t + τ, t) =12

Im [E {bs(t + τ, t)bs(t)−bs(t + τ, t)b∗s (t)}]

Tomando esperanzas

Risqs(t + τ, t) =12

Im[Rbsb∗s (t + τ, t)−Rbs(t + τ, t)

](3.51)

Obsérvese que si la correlación circular del equivalente paso bajo se anula se tiene que:

Rqs(t + τ, t) = Ris(t + τ, t) =12

Re[Rbs(t + τ, t)]

Rqsis(t + τ, t) =−Risqs(t + τ, t) =12

Im[Rbs(t + τ, t)]

Rbs(t + τ, t) = 2[Ris(t + τ, t)+ jRqsis(t + τ, t)]

Es de observar que todas las expresiones, a partir de la ecuación 3.46 son idénticas a las calculadascuando se parte del proceso paso bajo. Para que la correlación circular del paso bajo se anule se debeanular la correlación circular de la analítica, de acuerdo con la expresión 3.47

66

Proceso paso banda estacionario

De acuerdo con el apéndice C se tiene que:

− j sign( f )[ j sign( f )] = 1 ⇐⇒ 1πt

∗ (− 1πt

) = δ (t)

Si s(t) es estacionario, se puede demostrar fácilmente que con la anterior propiedad y de acuerdo con elesquema de la figura 2.22, las correlaciones entre la señal paso banda y su transformada de Hilbert sepueden escribir como

Rss(τ) = Rs(τ)

Rss =−Rs(τ) =−Rss(τ)

Rs(τ) = Rs(τ)

siendo Rs(τ) la transformada de Hilbert de la correlación Rs(τ), de donde se deduce que

Ras(τ) = 2[Rs(τ)+ jRs(τ)] (3.52)

Rasa∗s (τ) = 0 (3.53)

El espectro del proceso analítico será, de acuerdo con la expresión 3.52

Sas( f ) = F [Ras(τ)] = 2{Ss( f )+ j[− j sign( f )Ss( f )]}

SimplificandoSas( f ) = 4Ss( f )u( f ) (3.54)

es decir 4 veces la parte positiva del espectro del proceso paso banda. Esto se ilustra gráficamente en lasfiguras 3.12 y 3.13

A

f

( )sS f

cf1cf f− 2cf f+1cf f+

Figura 3.12: Espectro de la señal paso banda

De acuerdo con los resultados anteriores, las correlación del equivalente paso bajo será

Rbs(τ) = E{

as(t + τ, t)e− j2π fc(t+τ)a∗s (t)ej2π fct

}= Ras(τ)e

− j2π fcτ

Y la correlación circular

Rbsb∗s (τ) = E{

as(t + τ, t)e− j2π fc(t+τ)as(t)e− j2π fct}

67

4A

f

( )saS f

1cf f− 2cf f+cf

Figura 3.13: Espectro de la señal analítica paso banda

Rbsb∗s (τ) = Rasa∗s (τ)e− j2π fc(2t+τ) = 0

El espectro del proceso paso bajo se puede calcular como

Sbs( f ) = F [Rbs(τ)] = F [Ras(τ)e− j2π fcτ ] = Sas( f + fc)]

Sbs( f ) = 4Ss( f + fc)u( f + fc) (3.55)

(ver figura 3.14 ) o bien como la transformada de Fourier de la correlación dada por la expresión 3.35 dela página 63

Sbs( f ) = 2[Sis( f )+ jSqsis( f )] (3.56)

Se observa que los espectros del proceso paso banda y del proceso paso bajo mantienen relacionessimilares a las de las transformadas de las señales deterministas respectivas excepto por el factor 4 de lasprimeras que es 2 en las segundas. Eso es debido a que en los procesos son relaciones de potencia.

4A

f

( )sbS f

2f1f−

Figura 3.14: Espectro de la señal paso bajo

De la anulación de la correlación circular del paso bajo Rbsb∗s (τ), se deducen las mismas expresiones3.32, 3.33 y 3.34, obtenidas partiendo de las señales paso bajo

68

Rbs(τ) = 2[Ris(τ)+ jRqsis(τ)] (3.57)

Ris(τ) = Rqs(τ) =12

Re[Rbs(τ)] (3.58)

Rqsis(τ) =−Risqs(τ) =12

Im[Rbs(τ)] (3.59)

Autoespectro de los procesos fase y cuadratura de procesos paso banda estacionarios

El autoespectro de las componentes fase y cuadratura se calcula como

Sis( f ) = Sqs( f ) = F

[Rbs(τ)+R∗

bs(τ)

4

]=

Sbs( f )+S∗bs(− f )

4

Dado que los espectros han de ser reales, queda finalmente

Sis( f ) = Sqs( f ) =Sbs( f )+Sbs(− f )

4(3.60)

Gráficamente se representa en la figura 3.15

A 1 ( )4 sbS f

1 ( )4 sbS f−

( ) ( )s si qS f S f=

2f 2f− 1f 1f− f

Figura 3.15: Autoespectros de las componentes fase y cuadratura

donde se ve que al ser las componentes fase y cuadratura reales, sus espectros son simétricos

Espectro cruzado de los procesos fase y cuadratura de procesos paso banda estacionarios

Siguiendo el mismo procedimiento del apartado anterior para las correlaciones y espectro cruzado de lasmismas

Sqsis( f ) = Sisqs(− f ) = F

[Rbs(τ)−R∗

bs(τ)

4 j

]=

Sbs( f )−S∗bs(− f )

4 jDado que los espectros han de ser reales, queda finalmente

Sqsis( f ) = Sisqs(− f ) =Sbs( f )−Sbs(− f )

4 j(3.61)

Gráficamente se puede ver en la figura 3.16 donde se observa que por ser la correlación cruzada unafunción impar, la densidad espectral es imaginaria pura.

Igual que para les correlaciones de procesos paso banda estacionarios, los espectros de los diferentesprocesos calculados a partir del análisis de la señal paso banda y a partir de los procesos paso bajo sontambién totalmente coincidentes.

69

f

0 / 2rjG N−

2f1f−

( )n nq iS f

0 / 2rjG N

1f2f−

Figura 3.16: Espectro cruzado de las componentes fase y cuadratura

3.4.3 Procesos paso banda no estacionarios

Si el proceso paso banda no es estacionario, la correlación y la correlación circular de la señal analíticason las expresadas en las ecuaciones 3.44 y 3.45. Realizando el promedio temporal se obtiene:

Ras(τ) = Rs(τ)+ Rs(τ)+ j[Rss(τ)− Rss(τ)]

Rasa∗s (τ) = Rs(τ)− Rs(τ)+ j[Rss(τ + Rss(τ)]

De acuerdo con el esquema de la figura 2.22, que también se cumple para correlaciones promedio, sepuede escribir

Rss(τ) =ˆRs(τ)

Rss(τ) =− ˆRs(τ) =−Rss(τ)

Rs(τ) = Rs(τ)

Siendo ˆRs(τ) la transformada de Hilbert de la correlación promedio Rs(τ)

Sustituyendo en la correlación y correlación promedio se obtiene

Ras(τ) = 2[Rs(τ)+ j ˆsR(τ)]

Rasa∗(τ) = 0

Expresiones idénticas a las correlaciones de procesos estacionarios 3.52 y 3.53. La correlación promediode la señal analítica siempre es nula.

La correlación y la correlación promedio del paso bajo serán:

Rbs(τ) = Ras(τ)e− j2π fcτ

Rbsb∗s (τ) = e− j2π fcτ lımTl→∞

1Tl

∫ T/2

−Tl/2Rasa∗s (t + τ, t)e− j4π fctdt

La anulación de la correlación circular promedio de la analítica no implica la anulación de la correlacióncircular promedio del equivalente paso bajo. Su anulación dependerá de la variación temporal de la

70

correlación circular de la analítica Así, si la correlación circular de esta última es cicloestacionaria, laintegral se puede realizar en un periodo de ciclo y en general será distinta de cero.

Las correlaciones promedio de las componentes fase y cuadratura y sus correlaciones cruzadas promediose pueden obtener a partir de las ecuaciones: 3.48, 3.49, 3.50, 3.51

Ris(τ) =12

Re[Rbsb∗s (τ)+ Rbs(τ)

](3.62)

Rqs(τ) =12

Re[−Rbsb∗s (τ)+ Rbs(τ)

](3.63)

Rqsis(τ) =12

Im[Rbsb∗s (τ)+ Rbs(τ)

](3.64)

Risqs(τ) =12

Im[Rbsb∗s (τ)− Rbs(τ)

](3.65)

Inversamente, la correlación promedio y la circular promedio del paso bajo en función de las componen-tes paso fase y cuadratura son:

Rbs(τ) = Ris(τ)+ Rqs(τ)+ j[Rqsis(τ)− Risqs(τ)]

Rbsb∗s (τ) = Ris(τ)− Rqs(τ)+ j[Rqsis(τ)+ Risqs(τ)]

que son las mismas que la obtenidas en el análisis a partir del las componentes paso bajo. Las correla-ciones promedio Ris(τ) y Rqs(τ) no han de ser necesariamente iguales, salvo si la correlación circularpromedio del paso bajo es nula. Tampoco se ha de cumplir que Risqs(τ) = −Rqsis(τ) como en procesosestacionarios paso banda. Si se verifican ambas condiciones, entonces

Risqs(τ) =−Rqsis(τ)

Lo que sí se verifica siempre es que Risqs(τ) = Rqsis(−τ) como en procesos estacionarios.

Una importante conclusión es que para procesos paso banda estacionarios las correlaciones de los dife-rentes procesos calculadas a partir del análisis de la señal paso banda y a partir de los procesos paso bajoson totalmente coincidentes. La única diferencia que revelan ambos análisis es que si bien la correlacióncircular promedio de la analítica es siempre nula, con independencia de si se anula o no la correlacióncircular promedio del equivalente paso bajo, la correlación circular promedio del paso bajo puede serdiferente de cero.

3.4.4 Potencia de la señal paso banda

Si la señal paso banda es estacionaria, la potencia se puede calcular como

Ps = Rs(0) =∫

∞

−∞

Ss( f )d f

Si la señal paso banda se obtiene a partir de la señal paso bajo y ésta es estacionaria y circularmentesimétrica, se tiene, de acuerdo con la expresión 3.40 de la página 64, que

Rs(τ) =12

Re[Rbs(τ)ej2π fcτ ]

y la densidad espectral, ecuación 3.41 de la misma página

Ss( f ) =14[Sbs( f − fc)+Sbs(− f − fc)]

71

La potencia de las señal paso banda será:

Ps = Rs(0) =12

Re[Rbs(0)] =12

Pbs

o también

Ps =∫

∞

−∞

Ss( f )d f =14

∫∞

−∞

[Sbs( f − fc)+Sbs(− f − fc)]d f =12

∫∞

−∞

Sbs( f − fc)d f =12

Pbs

Si las señales no son estacionarias, la misma relación se cumple para las potencias promedio

Ps =12

Pbs (3.66)

3.5 PROCESOS ESTACIONARIOS PASO BANDAY SISTEMAS LINEALESSea un proceso paso banda estacionario s(t) la entrada a un sistema lineal e invariante paso banda h(t):

y(t) = s(t)∗h(t)

La expresión de correlación y la densidad espectral de la señal de salida son las ya calculadas paraprocesos generales dadas por las expresiones: 2.77 y 2.78, respectivamente

Ry(τ) = Rs(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ)

Sy( f ) = Ss( f )|H( f )|2

Procediendo de manera análoga que la señal y el filtro reales, la señal analítica y el equivalente paso bajode la salida

ay(t) =12

as(t)∗ah(t)

by(t) =12

bs(t)∗bh(t)

Las correlaciones y las densidades espectrales de la señal analítica y del equivalente paso bajo son:

Ray(τ) =14

Ras(τ)∗ah(τ)∗a∗h(−τ)

Say( f ) =14

Sas( f )∗ |Ah( f )|2

Rby(τ) =14

Rbs(τ)∗bh(τ)∗b∗h(−τ)

Sby( f ) =14

Sbs( f )∗ |Bh( f )|2

El factor 14 proviene de elevar al cuadrado el factor 1

2 de la señal.

Las densidades espectrales de las señal analítica y del equivalente paso bajo de la entrada son las dadaspor las ecuaciones : 3.54 y 3.55, respectivamente

Sas( f ) = 4Ss( f )u( f )

Sbs( f ) = Sas( f + fc) = 4Ss( f + fc)u( f + fc)

y las densidades espectrales de las señal analítica y del equivalente paso bajo de la salida se puedenescribir como:

Say( f ) = Ss( f )|Ah( f )|2 (3.67)

Sby( f ) = Ss( f + fc)|Bh( f )|2 (3.68)

El término u( f + fc) desaparece si el filtro es paso banda, ya que queda filtrado por el paso bajo de dichofiltro.

72

4 RUIDO EN SISTEMAS DE COMUNI-CACIONES

Si se combinan los factores ruido y las limitacionesdel ancho de banda de la señal, se encuentra unlímite a la cantidad de información que se puedetransferir mediante una señal de potencia limitada,aún cuando se utilicen técnicas de codificación deniveles múltiples.

Claude Shannon.1916−2001

Los sistemas de comunicaciones están sometidos a diferentes limitaciones: canal de comunicaciones,interferencias y ruido. Un modelo de canal (canal multicamino) será estudiado en la sección 5.3.2. Lasinterferencias son señales ajenas al sistema de comunicaciones, pero que ocupan parte de la banda dela señal deseada y que pueden perturbar dicha señal deseada. En la sección 5.3.2 se verá un ejemplo deinterferencia.

El ruido puede proceder de diversas fuentes, entre ellas:

1. Ruido térmico receptor

Es el generado por el propio receptor, tanto por los elementos pasivos como por los dispositivoselectrónicos activos. Este ruido es un proceso aleatorio estacionario y es el que será consideradoen este capítulo.

2. Ruido impulsivo

El ruido impulsivo es aquel que se produce en comunicaciones por medio de líneas eléctricas.Incide fundamentalmente en la transmisión de datos y se debe básicamente a fuertes induccionesconsecuencia de conmutaciones electromagnéticas. Dado que es un tema muy particular, tampocoserá estudiado aquí.

3. Ruido atmosférico

Ruido radioeléctrico producido por las descargas eléctricas naturales por debajo de la ionosferay que alcanzan el punto de recepción siguiendo los caminos habituales de propagación entre laTierra y el límite inferior de la ionosfera. Este ruido puede llegar a ser importante en algunascomunicaciones, pero tampoco será estudiado en este capítulo.

73

4. Ruido Shot

En los sistemas de transmisión digital por fibra óptica, la señal no está perturbada unicamentepor el ruido térmico receptor, sino también por ruido Shot, cuya naturaleza es no-estacionaria ydependiente del mensaje digital transmitido. Dada la elevada frecuencia, este ruido tampoco seráconsiderado.

5. Otras fuentes de ruido ...

4.1 RUIDO TÉRMICOEs el causado por el movimiento errático de partículas cargadas (habitualmente electrones) en mediosconductores. Johnson y Nyquist (1928) fueron los primeros en estudiar este ruido en resistencias metáli-cas; por eso a veces es conocido también como ruido Johnson.

Cuando una resistencia metálica R está a temperatura T grados Kelvin, el movimiento errático de loselectrones produce un voltaje de ruido en sus terminales en circuito abierto. Por el teorema central dellímite, el voltaje es una distribución gaussiana de media cero y varianza (potencia)

Pv = E{

v2(t)}=

2(πkT )2

3hR (voltios)2

donde

k = constante de Boltzmann = 1,37 ·10−23 Julios/(gradosKelvin)

h = constante de Planck = 6,62 ·10−34 Julios · seg.

Mediante la mecánica cuántica, se puede demostrar que la densidad espectral de potencia de este ruidoes

Sv( f ) =2Rh| f |

eh| f |kT −1(vol)2/Hz

Gráficamente para f ≥ 0, ver figura 4.1

0 0.1 0.5 1.0 Nhf f

kT=

( )v NS f

2RkT

Figura 4.1: Densidad espectral del ruido térmico

La flecha vertical indica el límite de las frecuencias radio.

74

Si | f |<< kTh ( fN << 1), el espectro se puede escribir (mediante un desarrollo en serie de Taylor) como:

Sv( f ) = 2RkT (1− h| f |2kT

)

Suponiendo una temperatura ambiente de 290 grados Kelvin(27◦C), kTh u 6 ·1012 Hz.

Así pues, la condición | f | << kTh se cumple para todo el margen de comunicaciones radio. Además, el

segundo sumando en la densidad espectral es despreciable frente a la unidad, y por eso, en este margenla densidad espectral se puede considerar prácticamente constante

Sv( f )u 2RkT

El modelo de Thevenin equivalente para a una resistencia con ruido es el de la figura 4.2,

R

v(t)

Figura 4.2: Circuito equivalente del ruido térmico

donde ahora, la resistencia R es ideal (sin ruido) y el ruido es representado por el generador. La potenciamáxima que el generador puede entregar a una carga se da cuando hay adaptación de impedancias, esdecir, la carga Z es la resistencia misma, Z = R (figura 4.3); de esta manera, la potencia disponible será

R

v(t) R

Figura 4.3: Circuito equivalente adaptado del ruido térmico

Pd =E{[v(t)/2]2

}R

=E{

v2(t)}

4R=

Pv

4R

75

Eso se puede extender a la densidad espectral, Siendo la máxima disponible

Sd( f ) =Sv( f )

4R=

12

kT ≡ 12

N0

Obsérvese que la máxima densidad espectral de ruido que una resistencia puede entregar a una cargaadaptada no depende del valor de la resistencia, sólo depende de la temperatura. Esta densidad máximaes la que se empleará a partir de ahora como espectro de potencia de ruido térmico en el margen defrecuencias de interés.

4.2 RUIDO BLANCO GAUSSIANOAdemás de las resistencias, muchas otras fuentes de ruido, como por ejemplo los semiconductores, songaussianas y tienen un espectro de potencia plano en un amplio margen de frecuencias. Para estas otrasfuentes, se acostumbra a escribir para la densidad espectral de potencia

Sv( f ) =N0

2; N0 = kTe

siendo Te la temperatura equivalente de ruido, es decir, la temperatura a la cual habría de estar unaresistencia para producir la misma densidad de potencia. Esta temperatura equivalente no coincidirá, engeneral, con la temperatura física. A temperatura ambiente de 290◦K, Te = T0, el valor de N0 es

N0 = kT0 ≈ 4,0 ·10−21W/Hz ≈−204 dBW/Hz

La temperatura equivalente de los dispositivos activos suele ser bastante superior y por tanto la la densi-dad espectral de potencia. Si el receptor se refrigera a temperaturas próximas al cero absoluto la densidadespectral de ruido será prácticamente nula. Esto es importante en aplicaciones de radio-astronomía dondela señal recibida es muy débil.

Aunque la expresión anterior de la densidad espectral de potencia es limitada a un margen de frecuencias,se puede extender a todo el dominio frecuencial. Este es el concepto de ruido blanco, por analogía con laluz blanca. Si w(t) es el proceso aleatorio que representa el ruido blanco, tendremos

Sw( f ) =N0

2; ∀ f (4.1)

y su función de autocorrelación

Rw(τ) =N0

2δ (τ) (4.2)

Es evidente que la potencia total es infinita. Eso no ha de causar ningún problema, dado que los sistemasque filtren el ruido serán limitados en banda y la potencia de ruido de salida será finita.

4.3 RUIDO BLANCO FILTRADOSea el ruido blanco w(t) la entrada a un sistema h(t), tal que n(t) = w(t)∗h(t)

La densidad espectral del ruido de salida será, de acuerdo con la expresión 2.78 de la página 46

Sn( f ) =N0

2|H( f )|2

76

Este ruido ya no es blanco, porque su densidad espectral no es constante, sino que adopta la forma delfiltro (ruido coloreado).

Ejemplo

Sea el sistema como el que se ilustra en figura 4.4.

1

-B B f

( )H f

Figura 4.4: Filtro paso bajo ideal

La densidad espectral del ruido de salida será

Sn( f ) =N0

2 ∏

(f

2B

)

Y su función de autocorrelaciónRn(τ) = N0B

sin2πBτ

2πBτ

La potencia de salida es

Pn = Rn(0) =∫ B

−BSn( f )d f = N0B

4.3.1 Ancho de banda equivalente de ruido

La potencia de ruido a la salida de un sistema, cuando la entrada es ruido blanco, se puede escribir como

Pn = N0

∫∞

0|H( f )|2d f

Suponiendo un filtro simétrico, respecto de la frecuencia central, se puede definir un ancho de bandaequivalente de ruido como

Bn ≡1G

∫∞

0|H( f )|2d f

Siendo g = G1/2 = |H( f )|max la ganancia del filtro a la frecuencia central. Así, la potencia de ruido a lasalida seria

Pn = GN0Bn

que es la potencia que obtendríamos con un filtro ideal (rectangular) de ganancia en potencia G, como seobserva en la figura 4.5

Este concepto se emplea mucho en sistemas paso bajo y también paso banda para definir el ancho debanda.

77

( ) 2H f

f

Bn

g

Áreas iguales

Figura 4.5: Filtro arbitrario simétrico

4.4 RUIDO BLANCO EN SISTEMAS DE TRANS-MISIÓN BANDA BASEEl ruido de entrada al receptor w(t) es un ruido blanco gaussiano de densidad espectral Sw( f ) = N0

2 . Deesta forma, la componente de ruido a la salida del sistema y su densidad espectral son:

n(t) = w(t)∗hR(t)

y su densidad espectral

Sn( f ) = Sw( f )|HR( f )|2 = N0

2GR ∏

(f

2B

)(4.3)

Siendo B el ancho de banda de la señal banda base.

4.5 RUIDO EN SISTEMAS PASO BANDAEl ruido en sistemas de comunicaciones puede tener diversas procedencias. No obstante, en el espectrode frecuencias radio, como ya ha sido señalado, sólo el ruido del receptor es digno de consideración. Elruido receptor puede considerarse como ruido blanco filtrado por el filtro receptor. Puesto que el ruido esun proceso, su estudio es el mismo que el procesos paso banda de la sección 3.4, sólo que en este casose trata de ruido blanco filtrado por un filtro paso banda.

4.5.1 Ruido blanco paso banda

Como ha sido explicado en este mismo capítulo, el ruido a la entrada del receptor es un ruido blancow(t) cuya densidad espectral es

Sw( f ) =N0

2; ∀ f

Este ruido tiene potencia infinita, pero el ruido filtrado no la tendrá. El ruido a la salida del filtro receptorserá:

n(t) = w(t)∗hr(t)

La forma de onda del ruido a la salida no tiene ningún interés. La densidad espectral, a la salida del filtroes dada por la expresión

Sn( f ) = Sw( f )|Hr( f )|2 = N0

2|Hr( f )|2

78

Es decir, la densidad espectral adopta la forma del filtro. El estudio posterior es el mismo que en lasección 3.4.2, particularizado para ruido blanco. Dado que el ruido es estacionario, la densidad espectraldel ruido analítico será:

San( f ) = 4Sn( f )u( f )

La densidad espectral del paso bajo Sbn( f )

Sbn( f ) = 4Sn( f + fc)u( f + fc)

La densidad espectral de las componentes fase y cuadratura son, como ya se han calculado anteriormente,expresión 3.60:

Sin( f ) = Sqn( f ) =Sbn( f )+Sbn(− f )

4y las densidades espectrales cruzadas, expresión 3.61

Sqnin( f ) = Sinqn(− f ) =Sbn( f )−Sbn(− f )

4 j

Si el filtro receptor es ideal, su respuesta frecuencial, para frecuencias positivas, será de la forma

|Hr( f )|2 = |Hr( fc)|2 ∏

(f − fc −Bn/2

Bn

)Para frecuencias negativas:

|H−r ( f )|= |H+

r (− f )|

Siendo Bn el ancho de banda de ruido, que es el mismo que el del filtro receptor.

Bn ≡ Br = f2 + f1

La frecuencia fc puede ser cualquiera, dentro del intervalo fc − f1 ≤ f ≤ fc + f2.

La densidad espectral espectral, para frecuencias positivas, del ruido paso banda vale

Sn( f ) =N0

2|Hr( fc)|2 ∏

(f − fc −Bn/2

Bn

)=

=N0

2Gr ∏

(f − fc −Bn/2

Bn

)y S−n ( f ) = S+n (− f ) para frecuencias negativas

Donde por simplicidad en la notación se ha hecho Gr = |Hr( fc)|2, que es la ganancia en potencia delfiltro receptor.

La potencia de este ruido es el doble que la de las frecuencias positivas.

Pn = GrN0Bn

El margen de frecuencias y el ancho de banda son los mismo que el de la señal paso banda. Por ser unaseñal paso banda, su expresión se puede escribir como

n(t) = in(t)cos2π fct −qn(t)sin2π fct

La señal analítica del ruido y el equivalente paso bajo son

an(t) = bn(t)e2π fct ; bn(t) = in(t)+ jqn(t)

79

San( f ) = 4Sn( f )u( f ) = 2N0Gr ∏

(f − fc −Bn/2

Bn

)Sbn( f ) = San( f + fc) = 2N0Gr ∏

(f −Bn/2

Bn

)(4.4)

y su potenciaPbn = Pan = 2GrN0Bn = 2Pn

Es decir, el doble que la potencia del ruido paso banda Pn.

En las figuras 4.6 se representa el ruido paso banda a la salida del filtro

f

0 / 2rG N

cf

nB

2cf f+1cf f−

( )nS f

cf−

Figura 4.6: Ruido paso banda

En la figura 4.7 se ilustra la densidad espectral de la analítica del ruido

f

02 rG N

cf

nB

2cf f+1cf f−

( )naS f

Figura 4.7: Espectro del ruido analítico paso banda

y la densidad espectral del equivalente paso bajo en la figura 4.8.

El espectro de las componentes fase y cuadratura puede verse en la figura. 4.9

Les densidades espectrales de las componentes fase y cuadratura, como espectros de potencia, son reales,positivas y simétricas.

El espectro cruzado de dichas componentes se ilustra en figura 4.10.

La densidad espectral cruzada es impar, imaginaria pura y antihermítica debido a que la correlacióncruzada es una función impar.

Finalmente, si el filtro paso banda es simétrico respecto a la frecuencia central, esto es, f2 = f1 =Bn2 , el

80

f

02 rG N

2f1f−

( )nbS f

Figura 4.8: Espectro del ruido paso bajo

f

0 / 2rG N

2f1f−

( ) ( )n ni qS f S f=

0rG N

1f2f−

Figura 4.9: Espectro del ruido de las componentes en fase y cuadratura

f

0 / 2rjG N−

2f1f−

( )y yn nq iS f

0 / 2rjG N

1f2f−

Figura 4.10: Espectro cruzado del ruido de las componentes en fase y cuadratura

espectro de las componentes fase y cuadratura será:

Sin( f ) = Sqn( f ) = GrN0 ∏

(f

2B

)81

siendo B = Bn/2. y el del paso bajo

Sbn( f ) = 2GrN0 ∏

(f

2B

)(4.5)

El espectro cruzado de las componentes fase-cuadratura será nulo. En cualquier caso, la potencia de lascomponentes en fase y cuadratura serán

Pin = Pqn = GrN0Bn = 2GrN0B =12

Pbn = Pn (4.6)

Es decir, la potencia del ruido paso banda. La densidad espectral del equivalente paso bajo a la salida delfiltro se puede escribir también en función del equivalente paso bajo de acuerdo con la expresión 3.68,como:

Sbn( f ) = Sw( f + fc)|Bhr( f )|2

Al ser el ruido de entrada blanco:Sw( f + fc) = Sw( f ) =

N0

2y la densidad del espectral del ruido de salida:

Sbn( f ) =N0

2|Bhr( f )|2 (4.7)

82

5 SISTEMAS ANALÓGICOS DE TRANS-MISIÓN

El problema fundamental de las comunicaciones esel de reproducir en un punto, bien exactamente,bien aproximadamente, un mensaje seleccionadoen otro punto

Claude Shannon.1916−2001

5.1 INTRODUCCIÓNEn los capítulos 2, 3 y 4 se han descrito las herramientas fundamentales para estudiar los sistemas detransmisión banda base y los sistemas paso banda analógicos. En este capítulo, esas herramientas seránempleadas para estudiar ambos sistemas completos analógicos de transmisión. Estos sistemas se compo-nen del transmisor que es el subsistema que adapta la señal a transmitir (señal eléctrica que describe elmensaje) al medio de transmisión, el medio de transmisión (canal de comunicaciones) y el receptor quees el subsitema que intenta obtener una réplica lo más fielmente posible de la señal de entrada al trans-misor. El sistema analógico se ve afectado, además de por el canal, por el ruido y posibles interferencias.

5.2 SISTEMA DE TRANSMISIÓN ANALÓGICO BAN-DA BASEEl esquema del sistema analógico banda base se muestra en la la figura 5.1.

5.2.1 Filtros transmisor y receptor banda base

Los filtros transmisor hT (t), y receptor hR(t), así como el canal hc(t) son filtros paso bajo.

83

( )s t ( )Th t ( )ch t( )Ts t ( )Rs t

( )Rh t

( )e t

( )y t

Figura 5.1: Sistema analógico banda base

En general, los filtros transmisor y receptor serán considerados ideales. En este caso la respuesta fre-cuencial de los mismos es la de figura 5.2, es decir,

HT ( f ) =√

GT · e− j2π f tT ; | f |< B

HR( f ) =√

GR · e− j2π f tR ; | f |< B

De forma que las respuestas impulsionales del filtro transmisor y receptor, hT (t) y hR(t), se puedenmodelar en el ancho de banda de la señal s(t) como:

hT (t) =√

GT ·δ (t − tT )

hR(t) =√

GR ·δ (t − tR)

( )TH f

TG

BB−

2 Tftπ−

f

( )RH f

RG

BB−

2 Rftπ−

f

Figura 5.2: Filtros transmisor y receptor ideales

B es el ancho de banda de la señal de entrada s(t)

e(t) = w(t)+ I(t)

siendo w(t) el ruido blanco equivalente a la entrada del receptor y generado por este mismo e I(t) unaposible interferencia.

La interferencia y el ruido son también señales paso bajo. De esta manera, la relación entre la entrada yla salida de señal será

y(t) = ys(t)+ ye(t) (5.1)

dondeys(t) = s(t)∗ha(t)

es la parte de señal de la salida, con ha(t) el sistema equivalente analógico.

ha(t) = hT (t)∗hc(t)∗hR(t)

Para filtros ideales:ha(t) = hT (t)∗hc(t)∗hR(t) = hT (t)∗hR(t)∗hc(t)

84

ha(t) =√

GT GRδ (t − tT − tR)∗hc(t)

y la señal de salidays(t) =

√GT GRs(t − tT − tR)∗hc(t)

Si el canal es también ideal, hc(t) = 1√L

δ (t − τ0)

ha(t) =√

Gδ (t − ta) (5.2)

siendo G = GT GRL y ta = tT + tR + τ0


√Gs(t − ta)

La potencia de la señal transmitida esPsT = GT Ps (5.3)

y la salida de las interferencias más el ruido

ye(t) = e(t)∗hR(t) = [I(t)+w(t)]∗hR(t) = I(t)∗hR(t)+n(t)

El ruido es blanco con densidad espectral Sw( f ) = N02 . De esta forma la densidad espectral a la salida del

receptor es la dada por la expresión 4.3 de la página 78

Sn( f ) =N0

2GR ∏

(f

2B

)

Para que los filtros transmisor y receptor puedan ser modelados como filtros ideales, la señal banda basede entrada a dichos filtros debe estar limitada en banda. En el caso de transmisión banda base, el filtrodel mensaje se puede considerar que es el propio filtro transmisor. De esto se hablará más adelante conmás precisión, cuando se analice la transmisión digital.

5.3 SISTEMA ANALÓGICO PASO BANDAEn el pasado, los sistemas de transmisión realizaban prácticamente todas las operaciones del sistemamediante procesado analógico. Actualmente y dada la baja frecuencia de las componentes fase y cuadra-tura, la generación de las mismas se realiza digitalmente, quedando el tratamiento analógico reservadoal sistema paso banda analógico. En este sistema, todo el procesado es analógico mediante componenteselectrónicos paso banda. El análisis del sistema que se realizará en este capítulo permitirá unificar, nosólo el tratamiento de señal, si no también el diseño de los componentes analógicos del sistema.

En la figura 5.3 se presenta el diagrama de bloques del sistema paso banda analógico.

El transmisor además de adaptar la señal al medio, de acuerdo con la modulación, realiza operaciones defiltrado y amplifica la señal para combatir la atenuación del canal.

b(t) = i(t)+ jq(t) es el equivalente paso bajo complejo de la señal generada en banda base y es laentrada al sistema analógico completo.

i(t),q(t) son dos señales a transmitir, la primera por la rama en fase y la segunda por la rama encuadratura.

sT (t) es la señal transmitida

85

TRANSMISORPASO BANDA

RECEPTORPASO BANDA

CANAL( )i t ( )Rs t( )Ts t

cf cθ

( )ch t

( )e tolf olθ

( )yi t

SISTEMA DE TRANSMISIÓN ANALÓGICO PASO BANDA

( )q t ( )yq t

Figura 5.3: Sistema paso banda analógico

e(t) = w(t)+ I(t) , donde w(t) es el ruido e I(t) , las posibles interferencias que son las señalesque limitan la transmisión, junto con el canal.

hc(t) es la respuesta impulsional del canal paso banda

La señal de entrada al receptor viene dada por

v(t) = sR(t)+ e(t)

sR(t) = sT (t)∗hc(t)

e(t) = I(t)+w(t)

Siendo I(t) y w(t) las posibles interferencias y el ruido receptor, como que en el sistema de transmisiónanalógico banda base.

5.3.1 Transmisor paso banda

El transmisor paso banda es el encargado de generar la señal paso banda, a partir de la señal paso bajo,que se transmite al medio (canal). El diagrama de bloques se ilustra en la figura 5.4

( )i t( )s t ( )Ts tMODULADOR

I&Q( )th t

( )q t

Figura 5.4: Transmisor paso banda analógico

86

Modulador I&Q

La señal modulada paso banda s(t) se puede obtener a partir de las componentes fase y cuadratura de laseñal mensaje mediante el modulador I&Q de la figura 5.5.

/ 2

cos(2 )c c cA f t ( )s t

~

( )q t

( )i t

sin(2 )c c cA f t

BPF

BPF

+

−

Figura 5.5: Modulador I&Q

El modulador es, lógicamente, un sistema lineal variante, ya que a su salida se obtienen frecuencias queno existen a su entrada. Esto significa que no es posible establecer una relación de filtrado lineal invariante( respuesta impulsional ) entre la señal paso bajo y la señal paso banda a la salida del modulador.

El modulador I&Q está compuesto por un oscilador de amplitud, frecuencia y fase: Ac, fc y θc, respecti-vamente, un desfasador de π

2 radianes y dos filtros paso banda (BPF), cuyo ancho de banda ha de ser almenos el ancho de la señal paso banda transmitida y que estará relacionado con el ancho de banda de laseñal paso bajo B.

En la rama superior del modulador se multiplica la señal en fase i(t) por la función coseno y en lainferior la señal en cuadratura q(t) por la función seno. La misión fundamental de los filtros paso bandaes suprimir las señales espurias que se generan al implementar los productos de señales. También filtranlas señales paso banda generadas, aunque esta función queda más bien relegada al filtro transmisor. Laamplitud y fase del oscilador son arbitrarias y quedarán finalmente englobadas en el sistema transmisor.

En la actualidad, estos moduladores ya están implementados, para un gran margen de frecuencias, concircuitos integrados. Su precio es realmente bajo.

Modulador I&Q ideal

El análisis de señal del modulador se complica si éste no es ideal. Sólo se considerará el modulador ideal,esto es, los dos filtros paso banda son ideales e iguales y el desfasador de π/2, también será considerado

87

ideal. En este caso, los filtros paso banda se pueden agrupar y la salida del modulador será:

s(t) = Ac[i(t)cos(2π fct +θc)−q(t)sin(2π fct +θc)]∗hm(t) (5.4)

siendo hm(t) la respuesta impulsional de cada uno de los filtros paso banda.

Sin pérdida de generalidad, se puede considerar que el filtro paso banda es un filtro ideal banda estrechay de acuerdo con el apéndice F, donde se describen los retardos de fase y de grupo de un filtro paso bandade banda muy estrecha, el equivalente paso bajo de estos filtros es:

bhm(t) = 2e jφmδ (t − tm) (5.5)

donde φm =−2π fctphm , con tphm el retardo de fase del filtro paso banda y tm ≡ tgrm el retardo de grupo delmodulador. Sin pérdida de generalidad se ha considerado que la amplitud de estos filtros es la unidad.

El paso bajo de la ecuación 5.4 se puede escribir en términos de los equivalentes paso bajo:

bs(t) =12

Ace jθcb(t)∗bhm(t) =12

b(t)∗bhM(t) = Ace jφM b(t − tm)

siendo

bhM(t) = 2Ace jφM δ (t − tm) (5.6)

el equivalente paso bajo del modulador ideal.

Ac es la amplitud del oscilador, φM = θc +φm la fase total del modulador y tm el retardo del filtro pasobanda y por tanto el retardo del modulador

b(t) = i(t)+ jq(t)

es el paso bajo de la entrada.

Ahora se tiene una relación lineal entre la señal compleja de entrada y el equivalente paso bajo delmodulador I&Q.

bs(t) =12

b(t)∗bhM(t)

El esquema del equivalente complejo del modulador es el de la figura 5.6

( )b t ( )sb t( )Mhb t

Figura 5.6: Equivalente complejo del Modulador I&Q ideal

bs(t) = Ace jφM b(t − tm) (5.7)

La señal de salida real del modulador es la señal modulada paso banda

s(t) = Re[bs(t)e j2π fct ] = Ac [i(t − tm)cos(2π fct +φM)−q(t − tm)sin(2π fct +φM)] (5.8)

88

( )b t ( )sb t ( )Ts

b tMODULADORI&Q

( )thb t

Figura 5.7: Transmisor paso banda

Filtro transmisor

El transmisor paso banda se completa con el filtro transmisor paso bamda. El equivalente complejo deltransmisor es el de la figura 5.7.

El equivalente paso bajo de la salida del transmisor viene dado por:

bsT (t) =12

bs(t)∗bht (t) =14

b(t)∗bhM(t)∗bht (t) (5.9)

siendo bht (t) el equivalente paso bajo del filtro transmisor.

El filtro transmisor paso banda depende del tipo de modulación y también de ciertas consideracionesprácticas. El filtro incluye también el amplificador de potencia del transmisor.

Como ha sido mencionado, los parámetros del modulador: amplitud y fase, así como los del filtro trans-misor y los parámetros de amplitud de la señal mensaje pueden ser arbitrarios. Como se verá más ade-lante, la potencia transmitida es un factor importante en un sistema de comunicaciones. La señal pasobanda real transmitida es

sT (t) = s(t)∗ht(t)

Que no puede escribirse como una relación de convolución con las componentes de la señal b(t)

Filtro transmisor ideal

Si el filtro transmisor es un filtro paso banda ideal, de acuerdo con el apéndice F, la respuesta impulsionaldel paso bajo es

bht (t) = 2|Ht( fc)|e− j2π fctpht δ (t − tgrt )

siendo tpht el retardo de fase y tgrt el retardo de grupo del filtro transmisor.

En este caso, la salida del transmisor se puede escribir como:

bsT (t) =12

b(t)∗bhT (t) =√

GT e jφT b(t − tT ) (5.10)

con √GT = Ac|Ht( fc)|

La amplitud equivalente del sistema transmisor (teniendo en cuenta la amplitud del modulador y la delfiltro)

tT = tm + tt ; tt ≡ tgrt

89

El retardo total del modulador y del filtro transmisor, y

φT = φM +φt ; φt ≡−2π fctpht

la fase total del modulador y del filtro transmisor.

Transmisor ideal

La respuesta del transmisor ideal es pues:

bhT (t) =12

bM(t)∗bht (t) =√

GT e jφT δ (t − tT ) (5.11)

El esquema del transmisor con filtro transmisor ideal es por tanto el de la figura 5.8

( )b t ( )Ts

b t( )Thb t

Figura 5.8: Transmisor paso banda ideal

El equivalente paso bajo de la señal transmitida en función de b(t):

bsT (t) =√

GT e jφT b(t − tT ) (5.12)

y la expresión de la señal real paso banda transmitida:

sT (t) = Re[bst (t)ej2π fct ] =

√GT [is(t − tT )cos(2π fct +φT )−qs(t − tT )sin(2π fct +φT )] (5.13)

Potencia transmitida

La densidad espectral de la señal transmitida vendrá dada por:

SbsT( f ) = Sb( f )|BhT ( f )|2 = GT Sb( f ) (5.14)

en el supuesto de que la señal b(t) sea limitada en banda.

La potencia promedio de la señal transmitida se puede calcular a partir de la expresión anterior

PbsT= GT Pb

y la potencia promedio de la señal paso banda real se puede obtener de diferentes maneras, pero mássencillamente a partir de la expresión 3.66 de la página 72

PsT =12

PbsT=

12

GT Pb (5.15)

90

5.3.2 Canal de comunicaciones paso banda

El canal de comunicaciones paso banda es diferente según el medio de propagación. En medios físicos,como por ejemplo las líneas de transmisión, se puede caracterizar simplemente como un sistema lineale invariante paso banda. En comunicaciones móviles y también en algunos sistemas de comunicacionesvía satélite, el canal es variante con el tiempo. No obstante, el canal se puede considerar, durante uncierto intervalo de tiempo, como invariante. También, algunos canales cambian o modifican la frecuenciaportadora (efecto Doppler debido al movimiento relativo entre el transmisor y el receptor). Esta variaciónde frecuencia es una función continua del tiempo, pero también se puede considerar constante duranteun cierto intervalo de tiempo. Eso se ha de tener en cuenta a la hora de recuperar la portadora. En estecaso, la frecuencia portadora de entrada al receptor sería:

f ′c = fc + fd

Donde fd es la frecuencia Doppler. Este caso no será considerado, esto es, fd = 0

La señal de salida real del canal es:sR(t) = sT (t)∗hc(t)

En términos de las señales analíticas:

asR(t) =12

asT (t)∗ahc(t)

Y en términos de los equivalentes paso bajo

bsR(t) =12

bsT (t)∗bhc(t)

El equivalente complejo del sistema lineal e invariante correspondiente al canal, en términos de losequivalentes paso bajo, es el de la figura 5.9, en función de los equivalentes paso bajo.

( )Rsb t( )

Tsb t ( )

chb t

Figura 5.9: Equivalente complejo de la respuesta del canal paso banda

Canal Multicamino

La respuesta del canal depende básicamente del medio de transmisión: cables de comunicaciones y elespacio libre. En cables de comunicaciones, como el canal telefónico se puede caracterizar por su res-puesta frecuencial. En este apartado se estudiará el canal multicamino, típico de comunicaciones móviles:se considerará que hay un camino directo entre el transmisor y el receptor y que se producen múltiplesreflexiones. La respuesta de este canal se puede escribir como

hc(t) =1√L

Nc

∑l=0

αlδ (t − τl)

donde l = 0 es el camino directo entre el transmisor y el receptor y Nc −1 el número de reflexiones.

91

|α0| = 1, lo que significa que L es la atenuación en potencia del canal para el camino directo. Se debecumplir que |α0|> |αl| para l = 1, ...Nc, ya que el camino directo tiene más potencia que las reflexiones.También se debe cumplir que τl > τ0 para l = 1, ...Nc, que significa que las reflexiones llegan después queel camino directo. Los retardos se pueden ordenar, aunque no es necesario, de manera que τl > τl+1;l =0, ...,Nc −1

La respuesta frecuencial del canal, la analítica y el equivalente paso bajo son

Hc( f ) =1√L

Nc

∑l=0

αle− j2π f τl

Ahc( f ) =2√L

Nc

∑l=0

αle− j2π f τl u( f )

Bhc( f ) =2√L

Nc

∑l=0

αle− j2π( f+ fc)τl u( f + fc)

Puesto que el equivalente paso bajo de los filtros transmisor y receptor están limitados en banda a una fre-cuencia muy superior a − fc , la respuesta del paso bajo puede extenderse a todo el rango de frecuencias,lo que equivale a suprimir la función escalón. De esta forma, la respuesta impulsional del equivalentepaso bajo sería:

bhc(t) =2√L

Nc

∑l=0

βlδ (t − τl) (5.16)

con βl = αle− j2π fcτl

El equivalente paso bajo de la señal recibida:

bsR(t) =2√L

Nc

∑l=0

βlbsT (t − τl) (5.17)

Si el transmisor es ideal, de acuerdo con la expresión 5.12:

bsR(t) =12

bhT (t)∗bhc(t) =

√GT

Le jφT

Nc

∑l=0

αle− j2π fcτl b(t − tT − τl) (5.18)

La expresión de la señal real recibida:

sR(t) = Re[bsRe j2π fct ] =

=

√GT

L

Nc

∑l=0

αl {is(t − tT − τl)cos[2π fc(t − τl)+φT ]−qs(t − tT − τl)sin[2π fc(t − τl)+φT ]}

Señal recibida con canal y sistemas de transmisión ideales

Si sólo hay el camino directo:

bsR(t) =2√L

e− j2π fcτ0l bsT (t − τ0) (5.19)

y si el transmisor es ideal

bsR(t) =

√GT

Le j(φT−2π fcτ0)b(t − tT − τ0) (5.20)

conφT = θc +φM +φt

tT = tm + tt

92

5.3.3 Receptores paso banda

En el receptor, la obtención de las componentes en fase y en cuadratura a partir de la señal paso bandarecibida se puede hacer mediante el esquema de la figura 5.10.

( )yq t

( )e t

( )z t

,c sf B

( )yi t( )Rs t FILTRO

PASOBANDA

DEMODULADORI&Q

Figura 5.10: Receptor paso banda

sR(t) es la señal deseada de entrada al receptor

e(t) = w(t)+ I(t), donde w(t) es el ruido receptor siempre presente e I(t) posibles interferencias.

La salida del filtro receptor es

z(t) = [sR(t)+ e(t)]∗hr(t) = zs(t)+ ze(t)

Sustituyendo, la señal recibida se obtiene

zs(t) = sR(t)∗hr(t);ze(t) = e(t)∗hr(t)

La señal de salida deseada en función de las analíticas y de los paso bajo son:

azs(t) =12

asR(t)∗ahr(t)

bzs(t) =12

bsR(t)∗bhr(t)

Demodulador I&Q

El esquema del demodulador I&Q es el representado en la figura 5.11. Los filtros paso bajo son paraeliminar las componentes espurias debidas a interferencias y las que proceden del propio demoduladorque caen fuera de la banda de la señal paso bajo transmitida. Los filtros paso bajo no tienen retardode fase y el retardo de grupo se puede considerar despreciable. En lo que sigue supondremos que estosfiltros son ideales e idénticos.

Análisis mediante funciones trigonométricas

La salida del demodulador I&Q se puede determinar mediante las relaciones trigonométricas pertinentescomo sigue: La señal paso banda z(t) a la entrada del demodulador, se puede escribir como

z(t) = iz(t)cos2π fct −qz(t)sin2π fct

93

/ 2cos(2 )ol ol olA f t ( )z t

( )yi t

( )yq t

~

-1

sin(2 )ol ol olA f t

FILTROPASOBAJO

FILTROPASOBAJO

Figura 5.11: Demodulador pasobanda

Rama superior

En la rama superior (rama en fase), antes del filtro paso bajo se tiene:

z(t)Aol cos(2π folt +θol) =

= Aol[iz(t)cos(2π fct)cos(2π folt +θol)−qz(t)sin(2π fct)cos(2π folt +θol)]

Teniendo en cuenta las siguientes relaciones trigonométricas:

cosAcosB =12[cos(A+B)+ cos(A−B)]

sinAcosB =12[sin(A+B)+ sin(A−B)]

Identificando A ≡ 2π fct y B ≡ 2π folt +θol , el producto en la rama superior será

z(t)Aol cos(2π folt +θol) =

=Aol

2iz(t){cos[2π( fc + fol)t +θol]+ cos[2π( fc − fol)t −θol]}−

− Aol

2qz(t){sin[2π( fc + fol)t +θol]+ sin[2π( fc − fol)t +θol]}

Dado que la frecuencia del oscilador local debe ser muy próxima a la frecuencia portadora, los términosde frecuencia fc + fol serán eliminados por el filtro paso bajo. De esta manera

iy(t) =Aol

2{iz(t)cos[2π( fc − fol)t −θol]−qz(t)sin[2π( fc − fol)t −θol]}

En función del paso bajo bz(t)

iy(t) =Aol

2Re[bz(t)e j[2π( fc− fol)t−θol ]

]

Rama inferior

94

Análogamente, el producto en la rama inferior más el inversor

−z(t)Aol cos(2π folt +θol − π

2) =−z(t)Aol sin(2π folt +θol) =

= Aol[−iz(t)cos(2π fct)sin(2π folt +θol)+qz(t)sin(2π fct)sin(2π folt +θol)]

Aplicando las relaciones trigonométricas anteriores y la adicional

sinAsinB =12[cos(A−B)− cos(A+B)]

E identificando ahora A ≡ 2π folt +θol y B ≡ 2π fct

−z(t)Aol sin(2π folt +θol) =

=−Aol

2iz(t){sin[2π( fc + fol)t +θol]+ sin[2π(− fc + fol)t +θol]}+

+Aol

2qz(t){cos[2π(− fc + fol)t +θol]− cos[2π( fc + fol)t +θol]}

El filtro paso bajo elimina la frecuencia fc + fol

qy(t) =Aol

2{−iz(t)sin[2π(− fc + fol)t +θol]+qz(t)cos[2π(− fc + fol)t +θol]}

En función del paso bajo bz(t)

qy(t) =Aol

2Im[bz(t)e j[2π( fc− fol)t−θol ]

]

Señal paso bajo a la salida del demodulador

La salida del demodulador (señal paso bajo)será

y(t) = iy(t)+ jqy(t) =Aol

2bz(t)e j[2π( fc− fol)t−θol ] (5.21)

El análisis mediante funciones trigonométricas es algo farragoso. Una manera más simple es mediantelas relaciones complejas del apéndice A.

Análisis mediante funciones complejas

Para simplificar, como en el desarrollo con funciones trigonométricas, se supondrá que los filtros pasobajo son ideales e idénticos. En estos filtros paso bajo no hay retardo de fase y se supondrá que laamplitud es la unidad y que el retardo temporal es despreciable.

Rama superior

En la rama superior se tiene el producto

z(t)Aol cos(2π folt +θol) = Re[az(t)]Re[Aole j(2π folt+θol)

]Teniendo en cuenta la propiedad para números complejos de la expresión A.8, demostrada en el apéndiceA

Re[u]Re[v] =12

Re[uv+uv∗]

95

e identificandou ≡ az(t); v ≡ Aole j(2π folt+θol)

El producto uv esuv = az(t)Aole j(2π folt+θol) = Aolbz(t)e j[2π( fc+ fol)t+θol ]

bz(t) es una señal paso bajo, por lo que uv será una señal paso banda a frecuencia fc + fol

El producto uv∗ esuv∗ = az(t)Aole− j(2π folt+θol) = Aolbz(t)e j[2π( fc− fol)t−θol ]

Es decir, una señal paso bajo a frecuencia fc − fol , ya que fol debe ser aproximadamente igual a fc. Lafrecuencia suma es aproximadamente 2 fc, en tanto que uv∗ tendrá una frecuencia aproximada de cero. Deesta forma, el filtro paso bajo eliminará el primer término quedando sólo el segundo. Así la componenteen fase del demodulador será

iy(t) =Aol

2Re[bz(t)e j[2π( fc− fol)t−θol ]

]

Rama inferior

−z(t)Aol sin(2π folt +θol) =−Re[az(t)] Im[Aole j(2π folt+θol)

]Análogamente, en la rama inferior y teniendo en cuenta la relación A.10 del citado apéndice A

Re[u] Im[v] =12

Im[uv−uv∗]

El producto en esta rama, después de suprimir la componente de frecuencia fc + fol y cambiar el signode la rama inferior, es

qy(t) =Aol

2Im[bz(t)e j[2π( fc− fol)t−θol ]

]Agrupando la parte real e imaginaria se tiene para el paso bajo


2bz(t)e j[2π( fc− fol)t−θol ]

Expresiones idénticas a las encontradas utilizando funciones trigonométricas.

El esquema del demodulador I&Q complejo, con la señal paso bajo como entrada, es el de la figura 5.12.El demodulador, como el modulador, es también un sistema lineal variante con los equivalentes pasobajo.

Si hay recuperación de portadora:


2bz(t)e− jθol (5.22)

El esquema del demodulador en este caso es el de la figura 5.13.

Si no hay recuperación de la portadora fol , la salida estará modulada con la frecuencia fc − fol . Estocausaría mucha distorsión en la señal de salida por lo que se hace imprescindible dicha recuperación. Enel caso de recuperación de portadora, el sistema equivalente del demodulador es el de la figura 5.13 y laseñal de salida la correspondiente a la expresión 5.22.

96

2 ( )

2c ol olj f f tolA e

( )zb t ( )y t

Figura 5.12: Demodulador paso banda complejo con la señal paso bajo de entrada

( )z t ( )y t2

oljolAe

Figura 5.13: Demodulador pasobanda complejo con la señal paso bajo de entrada y recuperación deportadora

5.3.4 Filtros receptor y demodulador ideales

Como en el caso del modulador, si el filtro receptor es ideal, esto es, se diseña para dejar pasar la señalrecibida sin distorsión y minimizar el efecto del ruido y de posibles interferencias. Los filtros paso bajodel demodulador ideal, como ya se ha comentado, son para eliminar ciertas señales espurias que segeneran en el demodulador y las señales paso banda. En este caso, el equivalente paso bajo del receptorse puede simplificar. Dada la frecuencia central de la señal de interés, el filtro receptor es de bandaestrecha, esto es, fc

Bs>> 1, e introduce un retardo de grupo y de fase. Para ello se supone que la señal

mensaje paso bajo está limitada en banda. De esta manera como se ha visto, el filtro se puede considerarideal, introduciendo un retardo de fase y de grupo.

Si el filtro receptor es un filtro paso banda ideal, de acuerdo con el con el apéndice F, su equivalente pasobajo es

bhr(t) = 2|Hr( fc)|e− j2π fctphr δ (t − tgrr)

siendo tphr el retardo de fase y tgrr el retardo de grupo del filtro receptor.

En este caso, la respuesta del receptor ( filtro más demodulador ) se puede escribir como:

bhR(t) = 2√

GRe jφRδ (t − tR) (5.23)

con √GR =

Aol

2|Hr( fc)|

La amplitud equivalente del sistema receptor (teniendo en cuenta la amplitud del demodulador y la delfiltro)

tR = tgrr y φR =−2π fctphr−θol

97

En este caso, los retardos de los filtros paso bajo del demodulador se pueden despreciar.

El esquema del receptor para la señal, con filtro ideal y demodulación coherente, es por tanto el de lafigura 5.14

( )Rsb t

( )Rhb t

( )sy t

Figura 5.14: Receptor paso banda ideal

La salida será:

ys(t) =12

bsR(t)∗bhR(t) =√

GRe jφRbsR(t − tR)

5.3.5 Salida del sistema analógico ideal

Teniendo en cuenta la expresión 5.20, la salida del sistema analógico completo con transmisor, receptory canal ideal, es:

ys(t) =√

Ge jφha b(t − tha) (5.24)

Siendo:

G =GT GR

L

φha = φT +φR −2π fcτ0

tha = tT + tR + τ0

El sistema analógico equivalente total para la señal deseada puede escribirse como:

bha(t) = 2√

Ge jφha δ (t − tha) (5.25)

5.3.6 Ruido en sistemas analógicos paso banda

Aunque el filtro receptor se siga denominando ideal, su respuesta no puede ser considerada como unadelta para el ruido, ya que el ruido de entrada se extiende en todo el rango de frecuencias y por tanto lapotencia de salida del ruido sería infinita. En cuanto a las interferencias, estas pueden caer dentro de labanda del filtro, parcial o totalmente, o caer fuera de la misma. Un ejemplo de interferencia será tratadomás adelante.

La densidad espectral de procesos y del ruido paso banda han sido ampliamente estudiados en la sec-ciones 3.4 y 4.5. En este caso, el ruido a la salida del filtro receptor, de acuerdo con la figura 5.10 vienedado por:

n(t)≡ zn(t) = w(t)∗hr(t)

98

y su densidad espectral

Sn( f ) = Sw( f )|Hr( f )|2 = N0

2|Hr( f )|2 = N0

2Gr ∏

(f − fc −Bhr/2

Bhr

)f > 0

Sn(− f ) = Sn( f )

siendo Bhr el ancho de banda del filtro receptor que, en principio, debe ser el de la señal b(t)

La densidad espectral del paso bajo, de acuerdo con la expresión 3.55, es

Sbn( f ) = 4Sn( f + fc)u( f + fc)

si fc es mayor que el ancho de banda del filtro receptor

Sbn( f ) = 2N0Gr ∏

(f −Bhr/2

Bhr

)si el demodulador es ideal, sólo añade una fase y una amplitud. La fase no cuenta en la densidad espectraldel ruido. De esta forma, la densidad espectral del paso bajo del ruido a la salida del receptor

Syn( f ) =A2

ol4

2N0Gr ∏

(f −Bhr/2

Bhr

)= 2N0GR ∏

(f −Bhr/2

Bhr

)si el filtro es simétrico

Syn( f ) = 2A2

ol4

N0Gr ∏

(f

2B

)= 2N0GR ∏

(f

2B

)(5.26)

Con la consideración de que aquí GR es la ganancia conjunta del demodulador y del filtro receptor yB = Bhr/2

Es de observar que, en este caso y de acuerdo con la expresión 4.7, se puede escribir:

Syn( f ) =N0

2|BhR( f )|2 (5.27)

Siendo BhR( f ) la transformada de Fourier del equivalente paso bajo del receptor dada por la expresión5.23, es decir, el ruido de salida es la densidad espectral del ruido paso banda multiplicada por el equi-valente paso bajo del receptor.

La potencia de este ruido equivalente paso bajo de salida es:

Pyn = 4GRBN0

Puesto que las componentes fase y cuadratura están incorreladas y tienen la misma potencia

Piyn= Pqyn

=12

Pyn = 2GRBN0

5.4 SISTEMA PASO BANDA ANALÓGICO COM-PLETOSistema paso banda real

99

( )th t ( )ch t ( )rh t

cos(2 )ol ol olA f tπ θ+

( )yi t( )s t ( )Ts t ( )Rs t ( )z tMODULADOR

( )i t

( )q tDEMODULADOR

cos(2 )c c cA f tπ θ+( ) ( )w t I t

( )yq t

Figura 5.15: Sistema Paso Banda real completo

Como resumen de lo que se ha explicado en los apartados anteriores, el sistema paso banda completo entérminsos de señales y sistemas reales es el de la figura 5.15

Puesto que el modulador y el demodulador son sistemas variantes, no es posibles relacionar la salida yla entrada reales mediante una respùesta impulsional invariante. No obstante, como se ha visto, si quese puede establecer una relación de convolución entre la entrada y la salida complejas y los equivalentespaso bajo complejos de los diferentes componentes.

El esquema complejo completo para la señal, en términos de los equivalentes paso bajo, es el de la figura5.16, donde no se han explicitado las posibles etapas de conversión de frecuencias, tanto en el transmisor

( )thb t ( )

chb t ( )rhb t

[2 ( ) ]

2c ol olj f f tolA e π θ− −

( )sy t( )sb t ( )Ts

b t ( )Rsb t ( )

szb t( )

Mhb t( )b t

Figura 5.16: Sistema equivalente paso bajo

como en el receptor. Este esquema es importante para observar el efecto de que la frecuencia del demo-dulador no es igual que la portadora entrante (la del modulador si no hay conversión de frecuencias).

El estudio del ruido ha sido llevado a cabo en la sección anterior y el de posibles interferencias se harámás adelante mediante un ejemplo.

La señal de salida del sistema analógico, en función de la señal de entrada, se puede expresar de diversasmaneras según se asocien los distintos bloques. Así por ejemplo:

ys(t) =12

bs(t)∗bh(t)Aol

2e j2π[( fc− fol)t−θol ]

siendobh(t) =

14

bht (t)∗bhc(t)∗bhr(t)

La respuesta global del sistema formado por el filtro transmisor, canal y filtro receptor, y

bs(t) =12

b(t)∗bhM(t)

100

la respuesta del modulador a la señal de entrada. El modulador ideal tiene la forma dada por la expresión5.6

bh(t) es el paso bajo del sistema equivalente filtro transmisor, canal y filtro receptor. Los equivalentespaso bajo de todos los sistemas y de las señales interferentes y ruido están referidos a la frecuencia fc.La expresión anterior también se puede escribir como

ys(t) =12

b(t)∗bha(t)ej2π( fc− fol)t (5.28)

dondebha(t) = bh(t − tm)Ac

Aol

2e j(φM−θol) (5.29)

es la respuesta global de todo el sistema analógico que incluye no sólo las respuestas de los filtros y delcanal sino también las amplitudes y las fases del modulador y demodulador.

En primera instancia, para recuperar el paso bajo del mensaje, la frecuencia del demodulador I&Q ha deser fol = fc. Si esto se cumple, se dice que el demodulador es coherente en frecuencia, y la expresión dela salida de señal quedará como:

ys(t) =12

b(t)∗bha(t) (5.30)

En este caso, el demodulador, y por consiguiente los esquemas de los sistemas equivalentes se simplificanya que el término e j2π( fc− fol)t en el demodulador desaparece. La no recuperación de la portadora daríauna señal distorsionada ( modulación del paso bajo con la frecuencia fc − f ol)

Para la obtención de una portadora local sincronizada con la portadora de la señal recibida se utilizamás de un procedimiento, siendo el más conocido el PLL (Phase Locked Loop). Este no es tema de estecurso. En la figura 5.17 se presenta el esquema del sistema coherente en función de los equivalentes pasobajo.

( )thb t ( )

chb t ( )rhb t

2oljolA

e θ−

( )sy t( )sb t ( )Ts

b t ( )Rsb t ( )

szb t( )

Mhb t( )b t

Figura 5.17: Sistema equivalente paso bajo coherente

En la salida de la señal deseada se puede observar que la fase del mensaje está afectada por la diferenciaentre la fase del modulador y del demodulador, pero también por la fase del canal equivalente. Esto seanalizará más adelante.

5.4.1 Señal de salida compleja del sistema paso banda con transmisor y receptor ideales

Si el transmisor y receptor son ideales, la respuesta global del sistema paso banda coherente para laseñal deseada es la dada por la expresión 5.29, combinando el modulador con el filtro transmisor y el

101

demodulador con el filtro receptor,

ys(t) =12

b(t)∗bha(t)

conbha(t) =

14

bhT (t)∗bhc(t)∗bhR(t)

siendo bhT (t) y bhR(t) las respuestas globales del transmisor y del receptor dadas por las expresiones 5.11y 5.23, respectivamente.

Haciendo uso de las propiedades asociativa y conmutativa de la convolución, se puede escribir

bha(t) =14

bhT (t)∗bhR(t)∗bhc(t)

La convolución de los sistemas transmisor y receptor es:

bhT (t)∗bhR(t) = 4√

GT GRe j(φT+φR)δ (t − tT − tR)

La respuesta global de todo el sistema de transmisión analógico con filtros ideales es, por consiguiente:

bha(t) =√

GT GRe j(φT+φR)bhc(t − tT − tR) (5.31)

Las ganancias incluyen la amplitud del modulador y la ganancia del filtro transmisor y la amplituddel demodulador y la ganancia del filtro receptor, respectivamente. El esquema del sistema paso bandaanalógico con filtros tansmisor y receptor ideales, en términos de los equivalentes paso bajo es el de lafigura 5.18

( )Thb t ( )

chb t ( )Rhb t

( )sy t( )b t ( )Ts

b t ( )Rsb t

Figura 5.18: Sistema equivalente paso banda con filtros ideales

Es de observar que el transmisor y el receptor introducen, además de un retardo temporal, una faseadicional que es la suma de la de los filtros transmisor y receptor y del modulador y demodulador.También las amplitudes son el producto de las amplitudes de los filtros y de las amplitudes del moduladory demodulador, respectivamente.

Filtros ideales y canal multicamino

En el caso de canal multicamino, la expresión 5.31, después de sustituir la expresión del canal 5.16, seconvierte en:

bha(t) = 2√

Ge j(φT+φR)Nc

∑l=0

βlδ (t − tT − tR − τl)

con G = GT GRL y βl = αle− j2π fcτl

Sustituyendo y poniendo la expresión en función de la fase total y del retardo total del camino directo

bha(t) = 2√

Ge jφh0

Nc

∑l=0

αle− j2π fc∆τl δ (t − th0 −∆τl) (5.32)

102

siendoφh0 = φT +φR −2π fcτ0

la fase total del camino directo,th0 = tT + tR + τ0

el retardo total del camino directo, y∆τl = τl − τ0

De esta forma la salida del sistema analógico para la señal útil será:

ys(t) =12

b(t)∗bha(t)

Sustituyendo la respuesta del canal

ys(t) =√

Ge jφh0

Nc

∑l=0

αle− j2π fc∆τl b(t − th0 −∆τl)

Filtros ideales y sólo camino directo

En este caso, el canal equivalente y la señal de salida serán

bha(t) = 2√

Ge jφha δ (t − tha) (5.33)

ys(t) =√

Ge jφha b(t − tha)

contha ≡ th0 = tT + tR + τ0

φha ≡ φh0 = φT +φhc +φR

φT = θc −2π fctpht

φR =−θol −2π fctphr

φhc =−2π fcτ0

τ0 el retardo del canal y

G =GT GR

LL es la atenuación del canal, como se ha visto con anterioridad. Estas expresiones son las mismas que lascalculadas en 5.24 y en 5.25.

Obsérvese que la señal mensaje está afectada por una amplitud, una fase y un retardo. La amplitud no esimportante ya que no modifica la señal mensaje.

El retardo temporal tampoco es importante en la mayoría de las modulaciones analógicas ( mensajeanalógico). La señal recuperada es la misma aunque retardada. En modulaciones digitales es precisoestimar este retardo y compensarlo. Esto será estudiado en el capítulo 6.

En cuanto a la fase, el tema es importante, tanto en modulaciones analógicas como en digitales. La fasemodifica drásticamente la señal mensaje, mezclando las componentes fase y cuadratura. Por tanto, dichafase se ha de estimar y compensar. Esto se realiza en el receptor mediante un sistema auxiliar, como porejemplo el lazo de Costas. Esto no es tema de es tema de este curso. La fase del receptor debe ser tal quela fase total del sistema sea nula φha = 0 o lo que es lo mismo

φR = φha −φT +2π fcτ0

103

Desde un punto de vista práctico, esto se consigue variando la fase del oscilador local del demoduladorθol y puesto que

φR = φr −θol

θol = φr −φha +φT −2π fcτ0

El receptor final con recuperación de portadora y de fase sería el de la figura 5.19:

( )sy t( )Rs t

olθcf

RECEPTOR

ESTIMACIÓNPORTADORA

FASE

Figura 5.19: Sistema equivalente paso banda coherente con filtros y canal ideales


√Gb(t − tha) (5.34)

Como ya ha sido comentado, el bloque de estimación de la frecuencia y la fase de la portadora no seráobjeto de estudio en este este curso.

5.5 INTERFERENCIASEl análisis de las señales interferentes no es muy distinto del de la señal útil, pero hay dos grandesdiferencias. Las señales interferentes provienen del exterior del sistema de comunicaciones y sólo tienenincidencia en el receptor. El ancho de banda de las mismas puede ser superior al de la señal útil, es decir,al ancho de banda del filtro receptor. Por tanto este último no se puede considerar ideal. No obstante, sisólo se considera la parte de la interferencia que atraviesa el filtro receptor, el sistema receptor será elmismo que el de la señal útil. Si se denomina I(t) a las interferencias que pasan el filtro receptor y éste sepuede considerar como ideal, la expresión del paso bajo de la interferencia a la salida del receptor será:

yI(t) =12

bI(t)∗bhR(t)

Ejemplo de señal interferente

Sea una interferencia de la formaI(t) = AI cos(2π fIt +θI)

104

donde la frecuencia fI cae dentro de la banda del filtro receptor, ésto es

fc − f1 < fI < fc + f2

y θI se considera una variable aleatoria uniforme (−π,π]

La señal analítica esaI(t) = AIe(2π fIt+θI)

El equivalente paso bajo de la misma, con respecto a la frecuencia portadora fc viene dado por

bI(t) = aI(t)e− j2π fct = AIe j[2π( fI− fc)t+θI ]

El paso bajo es estacionario y su correlación

RbI (τ) = A2I e j2π( fI− fc)τ

La densidad espectralSbI ( f ) = A2

I δ ( f − fI + fc)

La correlación circular:

RbIbI (t + τ, t) = A2I e j2π( fI− fc)(2t+τ)Eθl

{e j2θI

}= 0

A la salida del receptor se tendráyI(t) =

√GRe jφRbI(t − tR)

Su correlaciónRyI (t + τ, t) = E{yI(t + τ)y∗I (t)}

operandoRyI (τ) = GRRbI (τ)

Las componentes fase y cuadratura a la salida son:

iyI (t) =√

GR Re[e jφRbI(t − tR)] = AI√

GR Re[e j[2π( fI− fc)(t−tR)+φR+θl ]

]qyI (t) =

√GR Im[e jφRbI(t − tR)] = AI

√GR Im

[e j[2π( fI− fc)(t−tR)+φR+θl ]

]Ambos procesos son estacionarios debido a la variable aleatoria θl . Dado que la correlación circulardel equivalente paso bajo es nula, las autocorrelaciones de las componentes I&Q y sus correlacionescruzadas se obtienen operando como en el caso general de las ecuaciones 3.33 y 3.34

RiyI(τ) = RqyI

(τ) =12

Re [RyI (τ)] =GR

2Re [RbI (τ)]

RqyI iyI(τ) =−RiyI qyI

(τ) =12

Im [RyI (τ)] =GR

2Im [RbI (τ)]

Las potencias de las componentes fase y cuadratura serán

PiyI= PqyI

=12

PyI =12

RyI (0) =12

GRRbI (0) = GRPI =12

GRA2I

RbI (0) = A2I = 2PI

105

5.6 SISTEMAS FDMAEn muchos sistemas de comunicaciones, el acceso al sistema se obtiene mediante multiplexación por di-visión en frecuencia, en inglés Frequency Division Multiplex Access (FDMA). Cada usuario accede a unabanda del espectro. Esto requiere un modulador I&Q para cada usuario con una frecuencia subportadoradentro de dicha banda. Lógicamente todas las bandas de los usuarios han de ser disjuntas, para evitar queinterfieran entre ellas.

Un ejemplo de este sistema FDMA es el sistema de navegación Glonass ruso, a diferencia de los sistemasGPS, Galileo y los nuevos sistemas de navegación chino y otros en que el acceso se realiza mediantemultiplexación por código (CDMA). También es uitlizado para la transmisión telefónica por cable parauna óptima utilización del ancho de banda del mismo.

En la figura 5.20 se presenta una posible realización del sistema FDMA, en términos de los equivalentespaso bajo. La señal paso banda final es

( )Thb t ( )

chb t ( )Rhb t

( )eb t

1olf

1( )yb t

( )Tb t ( )Rb t

DEMODULADORCOMPLEJO

( )Nb t MODULADORCOMPLEJO ( )sNb t

1( )b t MODULADORCOMPLEJO

1( )sb t

1cf

cNf

1cθ ( )sb t

cNθ

..................

( )snb t

1olθ

olNf

( )yNb tDEMODULADOR

COMPLEJO

olNθ

..................( )ynb t

Figura 5.20: Sistema FDMA paso banda complejo

bs(t) =N

∑n=1

bsn(t)

La correlación de la señal analítica de la señal s(t) será

Ras(t + τ, t) =N

∑n=1

N

∑i=1

E{

bsn(t + τ)b∗si(t)e j2π

(fcn− fci

)te j2π fci τ

}Tomando esperanzas

Ras(t + τ, t) =N

∑n=1

Rbsn(t + τ, t)e j2π fcn τ +

N

∑n=1

N

∑i=1i 6=n

Rbsn bsi(t + τ, t)e j2π

(fcn− fci

)t

106

Donde se observa que aunque los procesos paso bajo sean estacionarios y conjuntamente estacionarios,la señal analítica no lo es. Promediando en el tiempo

Ras(τ) =N

∑n=1

Rbsn(τ)e j2π fcn τ

ya que el segundo término es nulo, como se ha demostrado en secciones anteriores.

La densidad espectral promedio de la señal analítica es

Sas( f ) =N

∑n=1

Sbsn( f − fcn)

Lógicamente, los espectros de cada una de las señales han de ser disjuntos. Finalmente, la densidadespectral de la señal modulada es

Ss( f ) =14

N

∑n=1

[Sbsn

( f − fcn)+ Sbsn( f + fcn)

]La diferencia entre el sistema FDMA y el sistema para una sola portadora es el siguiente:

1. Si el transmisor es el usuario n-ésimo, el ancho de banda del transmisor será: 2Bn

2. Si el transmisor es una estación base, el ancho de banda del filtro transmisor es:

Bt = 2N

∑n=1

Bn

En ambos casos, el ancho de banda del filtro receptor es:

Br = 2N

∑n=1

Bbn

El filtro del demodulador n-ésimo se encarga de filtrar el resto de espectros de las subportadoras i = 1 :N; i 6= n

5.7 TRANSLACIÓN (CONVERSIÓN) DE FRECUEN-CIASCuando la frecuencia fc de la señal modulada es muy elevada, la modulación se realiza en diversasetapas mediante una conversión de frecuencias (up conversion). Análogamente, la demodulación de laseñal paso banda puede requerir bajar a banda base en diferentes etapas (down conversion).

Consideremos una sola etapa. Ambas conversiones se realizan mediante el siguiente esquema de la figura5.21

Esta etapa estaría intercalada entre el modulador I&Q y el correspondiente filtro transmisor, en la conver-sión hacia arriba, y entre el canal y el filtro receptor en la conversión hacia abajo. El filtro en la conversiónpuede considerarse un filtro ideal.

107

0 0cos(2 )f t

1( )s t ( )v tBPF

2 ( )s t

Figura 5.21: Conversión de frecuencias

La señal paso banda de entrada es

s1(t) = is(t)cos(2π fc1 +θc1)−qs(t)sin(2π fc1 +θc1)

siendo s1(t) la salida del modulador I&Q.

La señal v(t) viene dada por

v(t) = Re[bs(t)e j(2π fc1t+θc1)

]Re[e j(2π f0t+θ0)

]=

=12

Re[bs(t)e j[2π( fc1+ f0)t+θc1+θ0]

]+

12

Re[bs(t)e j[2π( fc1− f0)t+θc1−θ0]

]El filtro paso banda BPF está centrado en la frecuencia final que se quiere conseguir y tendrá un ancho debanda igual que la señal modulada. Este filtro jugaría el mismo papel que el filtro transmisor explicadoanteriormente. En la conversión hacia arriba, la frecuencia final será fc = fc1 + f0 , en tanto que en laconversión hacia abajo sería fc = fc1 − f0

La señal de salida en ambos casos es

s(t) = is(t)cos(2π fct +θc)−qs(t)sin(2π fct +θc)

Donde θc = θc1 +θ0 en la conversión hacia arriba y θc = θc1 −θ0 para a la conversión hacia abajo

Para varias etapas, el anterior análisis se puede generalizar.

5.8 MODULACIONES ANALÓGICAS TRADICIONA-LESLas modulaciones analógicas tradicionales serán estudiadas siguiendo el desarrollo del sistema pasobanda descrito en la sección 5.3.

5.8.1 Modulación doble banda lateral (DBL)

El mensaje a transmitir, que en modulaciones analógicas es básicamente audio, x(t) es real, por tanto elpaso bajo del mensaje será:

b(t) = x(t)

siendo por tanto la componente en cuadratura nula q(t) = 0

El modulador I&Q sólo utiliza la rama superior

108

El paso bajo de la señal modulada es, de acuerdo con la expresión 5.6 de la página 88

bs(t) =12

b(t)∗bM(t) = Ace jφM x(t − tm) (5.35)

con tm el retardo del filtro paso banda del modulador y φM = θc −2π fctphmla fase completa del modula-

dor. tphm es el retardo de fase del filtro paso banda y θc la fase del oscilador local.

La señal analítica esas(t) = Acx(t − tm)e(2π fct+φM) (5.36)

La señal modulada DBL tendrá la forma

s(t) = Re[as(t)] = Acx(t − tm)cos(2π fct +φM) (5.37)

La señal analítica transmitida, con filtro transmisor ideal

asT (t) =√

GT e jφT x(t − tT )e j2π fct

con GT = Ac|Ht( fc)|, φT = φM −2π fctpht y tT = tgrt + tm.

La correlación de esta analítica

RasT(t + τ, t) = GT Rx(t + τ, t)e j2π fcτ

y la correlación promedioRasT

(τ) = GT Rx(τ))e j2π fcτ

La densidad espectral promedio de la analítica del paso bajo y de la señal transmitida

SasT( f ) = GT Sx( f − fc)

SbsT( f ) = GT Sx( f ))

SsT ( f ) =14

GT [Sx( f − fc)+ Sx( f + fc)]

La potencia promedio de la analítica

PasT= RasT

(0) = GT Px

La potencia promedio de la señal transmitida

PT =12

PasT=

12

GT Px

Si la densidad espectral de la señal mensaje es la de la figura 5.22, la de la señal paso banda DBL

( )xS f

xB f xB−

Figura 5.22: Transformada de Fourier del mensaje

transmitida tiene la forma de la figura 5.23 para GT = 1.

109

( )sS f

cf c xf B+ cf− c xf B− f

1/ 4

Figura 5.23: Transformada de Fourier de la señal DBL

El ancho de banda de la señal modulada es Bs = 2Bx, es decir dos veces el ancho de banda del mensaje.

El demodulador I&Q sólo tendrá también la rama superior. Todo el sistema analógico se puede considerarel mismo que para las dos ramas, pero la salida será sólo la parte real del equivalente paso bajo.

ys(t) = Re[bys(t)] =bys(t)+b∗ys

(t)2

(5.38)

Considerando que hay perfecta recuperación de la fase de la portadora, que los filtros son ideales y quesólo existe el camino directo, la salida del sistema para el equivalente paso bajo de la señal deseada será,de acuerdo con la expresión 5.33

bys(t) =√

Gb(t − tha) (5.39)

Y la señal de salidays(t) = Re[bys(t)] =

√Gx(t − tha)

Es decir la señal generada afectada por una amplitud y un retardo.

La potencia de la señal recibidaPys = GE{x2(t − tha)}= GPx

Para calcular la potencia de ruido sólo se ha de tener en cuenta la potencia de la componente en fase.Como se demuestra en la expresión 5.27 de la página 99 y siguientes, esta vale:

Piyn=

12

Pyn = GRN0

22Bs = 2GRBxN0

La relación señal/ruido es

SNRDBL =Pys

Piyn

=GT Px

2LBxN0

Teniendo en cuenta que la potencia transmitida vale, como ha sido calculada, ST = 12 GT Px

la SNR se escribe finalmente comoSNRDBL =

ST

LBN0(5.40)

Obsérvese como la ganancia del filtro receptor no interviene en la relación señal/ruido. El filro amplificapor igual la señal que el ruido.

5.8.2 Modulación banda lateral única (BLU)

La modulación DBL tiene un ancho de banda Bs = 2Bx es decir el doble que el ancho de banda delmensaje. Dado que el espectro es simétrico respecto de la frecuencia portadora y que ambas bandas

110

tienen la misma información, es posible filtrar una de ellas. El filtrado se puede realizar con un filtro pasobanda, pero teniendo en cuenta las propiedades de las señales analítica y paso bajo, el procesado se puederealizar en banda base. Así si se mantiene la banda lateral superior (inferior) el paso bajo equivalente sólotendrá frecuencias positivas (negativas).

Procediendo como en el caso de DBL, el paso bajo del mensaje y de la señal modulada en el dominiotemporal, tendría las expresiones:

b(t) = x(t)± jx(t)

siendo x(t) la transformada de Hilbert del mensaje. El signo positivo se corresponde con la banda lateralsuperior y el negativo con la inferior.

bs(t) = Ace jφM b(t − tm) = Ace jφM [x(t − tm)± jx(t − tm)]

La señal analítica y la señal paso banda serían

as(t) = bs(t)e j2π fct = Ac[x(t − tm)± jx(t − tm)]e j(2π fct+φM)

s(t) = Re[as(t)] = Ac[x(t)cos(2π fct +θc)∓ x(t)sin(2π fct +θc)]

Las componentes fase y cuadratura del mensaje son

i(t) = x(t); q(t) =±x(t)

La correlación y la densidad espectral del equivalente paso bajo son

Rbs(t + τ, t) = E {bs(t + τ, t)b∗s (t)}= A2c [E {b(t − tm + τ, t)b∗(t − tm)}]

Si el paso bajo del mensaje es estacionario

Rbs(t + τ, t) = A2cRb(τ)

El cálculo de la correlación Rbs(τ) es idéntico al de la señal analítica y por lo tanto el resultado es elmismo que el de la expresión 3.52 de la página 67, sustituyendo Ras por Rbs , s por x y teniendo en cuentala amplitud A2

c y la duplicidad de signo

Rbs(τ) = 2A2c [Rx(τ)± jRx(τ)]

La densidad espectral, transformada de la correlación será:

Sbs( f ) = 2A2c [Sx( f )± j(− j sign( f ))Sx( f )] = A2

cSx( f )u(± f )

La densidad espectral del equivalente paso bajo se representa en la figura 5.24.

xB xB− f

BLS BLI

( )sbS f

Figura 5.24: Transformada de Fourier del paso bajo de la señal BLU

El espectro con linea negra se corresponde con el signo + y se denomina BLU-banda lateral superior(BLU-BLS) y el de linea roja se corresponde con el signo − y se denomina BLU-banda lateral inferior(BLU-BLI). Ambos espectros tienen el mismo ancho de banda Bx

111

La densidad espectral de la analítica y de la señal paso banda son:

Sas( f ) = Sbs( f − fc) = A2cSx( f − fc)u(± f − fc)

Ss( f ) =14[Sas( f )+Sas(− f )] =

14[Sbs( f − fc)+Sbs(− f − fc)]

La densidad espectral de la señal paso banda se representan en la figura 5.25

( )sS f

cf c xf B+ cf− c xf B− f

BLS BLI

1/ 4

Figura 5.25: Transformada de Fourier de la señal BLU

De nuevo, la BLU banda lateral superior es la de color negro y la inferior de color rojo. Ambas modu-laciones tienen una ancho de banda Bx, la misma que la señal y la mitad que el ancho de banda de lamodulación DBL.

Esta modulación utiliza las dos ramas del modulador I&Q en el transmisor y sólo la rama superior deldemodulador I&Q en el receptor. En este caso, la entrada al transmisor es la señal paso bajo general yla salida es la misma que en el caso de la DBL. La rama inferior del modulador utiliza como señal deentrada la transformada de Hilbert del mensaje, es decir, el mensaje se ha de filtrar con el transformadorde Hilbert definido en el apartado 3.2.2 y cuya respuesta frecuencial es la de la figura 3.2

Considerando que hay perfecta recuperación de la frecuencia y de fase de la portadora, que los filtros sonideales y que sólo existe el camino directo, la salida del sistema para el equivalente paso bajo de la señaldeseada será el mismo que en el caso de la DBL.

bys(t) =√

Gb(t − tha) (5.41)

En el margen de frecuencias de los filtros se tiene que f1 = fc y f2 = fc+Bx para la banda lateral superiory f1 = fc −Bx y f2 = fc para la banda lateral inferior.

Y la señal de salidays(t) = Re[bys(t)] =

√Gx(t − tha) (5.42)

tiene también la misma expresión que en DBL. La potencia promedio de la señal recibida

Pys = GE{x2(t − tgr − τ0)}= GPx

Px es la potencia promedio de la componente en fase del mensaje.

Para calcular la potencia de ruido sólo se ha de tener en cuenta la potencia de la componente en fase. Enesta modulación el ancho de banda del filtro receptor es la mitad, esto es Bs = Bx. Así pues:

Piyn=

12

Pyn = GRN0

22Bx = GRBxN0


SNRBLU =Pys

Piyn

=GT Px

LBxN0

112

Aparentemente la SNRBLU es el doble de la SNRDBL. No obstante, la potencia transmitida vale

ST =12

PasT=

12

PbsT=

12

GT [Px + Px] = GT Px

ya que Px = Px

El doble que la señal transmitida en DBL.

La SNR obtenida es la misma que en la modulación DBL

SNRBLU =ST

LBN0(5.43)

De nuevo la ganancia del filtro receptor no interviene en la relación señal/ruido. El filro amplifica porigual la señal que el ruido.

El sistema de transmisión es algo más complejo que el de DBL, pero la ventaja de la modulación BLUes que el ancho de banda de la señal modulada es la mitad que en DBL.

5.8.3 Modulación banda lateral vestigial (BLV)

El filtro de Hilbert en BLU es bastante abrupto en frecuencia y por tanto de difícil realización, si elmensaje tiene gran contenido en continua, como era el caso de la señal de televisión analógica. Unamanera de paliar este problema es utilizar la modulación BLV. Las señales paso bajo, la analítica y pasobanda de esta modulación, tienen expresiones similares a la BLU, cambiando el filtro de Hilbert por otrofiltro hv(t)

b(t) = x(t)± jhv(t)∗ x(t) = i(t)± jq(t)

con i(t) = x(t), q(t) = hv(t)∗ x(t) y donde el signo positivo se corresponde, como en BLU, con la bandalateral superior y el negativo con la inferior. hv(t) es el denominado filtro vestigial. Así pues la señal encuadratura se obtiene de acuerdo con la figura:

( )i t ( )q t( )vh t

Figura 5.26: Componente cuadratura en BLV

El equivalente paso bajo, como en los casos anteriores, es

bs(t) =12

b(t)∗bM(t) = Ace jφM b(t − tm) = Ace jφM [i(t − tm)± jq(t − tm)]

la analítica y la señal paso banda serían

as(t) = bs(t)e j2π fct = b(t)e j(2π fct+φM)

113

s(t) = Re[as(t)] = Ac[i(t − tm)cos(2π fct +φM)∓q(t − tm)sin(2π fct +φM)]

La correlación de la señal paso bajo es

Rbs(t + τ, t) = E {bs(t + τ, t)b∗s (t)}= A2c [E {b(t − tm + τ, t)b∗(t − tm)}]

Si el paso bajo del mensaje es estacionario

Rbs(t + τ, t) = A2cRb(τ)

conRb(τ) = E {b(t + τ)b∗(t)}

Obsérvese que al ser estacionario el término t − tm no influye en la correlación. Sustituyendo la señalpaso bajo b(t) y desarrollando se obtiene finalmente

Rbs(τ) = A2c{

Ri(τ)+Rq(τ)± j[Rqi(τ)−Riq(τ)]}

La densidad espectral es

Sbs( f ) = A2c{

Si( f )+Sq( f )± j[Sqi( f )−Siq( f )]}

Puesto que la señal en cuadratura y la componente en fase están relacionadas como indica la figura 5.26,q(t) = i(t) ∗ hv(t), todas las expresiones obtenidas en la sección 2.18 son aplicables. De esta forma, laexpresión 2.78 de la página 46 permite calcular

Sq( f ) = |Hv( f )|2Si( f )

y la expresión 2.76 de la página 46Sqi( f ) = Hv( f )Si( f )

Dado queSiq( f ) = S∗qi( f )

La densidad espectral del paso bajo queda finalmente, teniendo en cuenta que Si( f ) = Sx( f ):

Sbs( f ) = A2cSx( f )

{1+ |Hv( f )|2 ± j[Hv( f )−H∗

v ( f )]}=

= A2cSx( f )

{1+ |Hv( f )|2 ∓2Im[Hv( f )]

}El filtro Hv( f ) puede tener cualquier forma, pero si se quiere que se parezca al filtro de Hilbert puedetener una forma genérica como la de la figura 5.27.

De esta forma el filtro hv(t) es muy parecido al filtro de Hilbert, pero suavizando el salto en el origen defrecuencias. Si se considera que Hv( f ) =− jGv( f ) es imaginaria pura y por tanto Gv( f ) es real. De estaforma la densidad espectral será:

Sbs( f ) = A2cSx( f )

[1+G2

v( f )2 ±2Gv( f )]= A2

cSx( f )[1±Gv( f )]2

Si Gv( f ) = sign( f ), se tiene la señal BLU y la densidad espectral coincide con la de dicha señal BLU.

Si se supone que x(t) es determinista, la transformada del equivalente paso bajo y de la señal moduladapara la banda lateral superior es la que se ilustra en las figuras 5.28 y 5.29

El ancho de banda es Bs = Bx +V , donde V es el denominado vestigio.

Esta modulación utiliza también las dos ramas del modulador I&Q en el transmisor y sólo la ramasuperior del demodulador I&Q en el receptor. En este caso también, la entrada al transmisor es la señalpaso bajo general y la salida es la misma como en el caso de la modulación BLU.

114

-j

j

xB

xB−

V

V− f

Figura 5.27: Filtro vestigial

( )sB f

V− fxB

Figura 5.28: Transformada de Fourier de la señal paso bajo BLV

Considerando que hay perfecta recuperación de la fase portadora, que los filtros son ideales y que sóloexiste el camino directo, la salida del sistema para el equivalente paso bajo de la señal deseada será elmismo que en BLU.

bys(t) =√

Gb(t − tha) (5.44)

En el margen de frecuencias de los filtros se tiene que f1 = fc −V y f2 = fc +Bx para la banda lateralsuperior y f1 = fc −Bx y f2 = fc +V para la banda lateral inferior

La señal de salidays(t) = Re[bys(t)] =

√Gx(t − tha) (5.45)

La potencia de la señal recibidaPys = GE{x2(t − tha)}= GPx

Para calcular la potencia de ruido sólo se ha de tener en cuenta la potencia de la componente en fase. Elancho de banda de la señal paso banda es Bs = Bx +V . Así pues:

Piyn= Pyn = GR

N0

22(Bx +V ) = GR(Bx +V )N0


SNRBLV =Pys

Piyn

= PxGT

L(Bx +V )N0

115

( )sS f

V

cf cf V+ f

Figura 5.29: Transformada de Fourier de la señal paso banda BLV

Teniendo en cuenta que en este caso la potencia media transmitida, si x(t) no es estacionaria, vale

ST =12

GT Px

∫∞

−∞

{1+ |Hv( f )|2 ∓ Im[Hv( f )]

}d f

La SNR obtenida será

SNRBLV =ST

L(Bx +V )N0

2∫∞

−∞{1+ |Hv( f )|2 ∓ Im[Hv( f )]}d f

(5.46)

5.8.4 Modulación bandas laterales independientes

La señal paso bajo esb(t) = x(t)+ jy(t)

siendo x(t) e y(t) dos procesos independientes.

Como en las anteriores modulaciones

bs(t) = Ace jφM b(t − tm)

La señal analítica y la señal paso banda serán

as(t) = Ace jφM b(t − tm)e j(2π fct+φM)

s(t) = Re[as(t)] = x(t − tm)cos(2π fct +φM)− y(t − tm)sin(2π fct +φM)]

Las componentes fase y cuadratura son

i(t) = x(t); q(t) = y(t)

x(t) e y(t) son dos señales paso bajo correspondientes a dos mensajes. Ambas tienen, en general, elmismo ancho de banda.

La correlación del equivalente paso bajo de la señal modulada es

Rbs(t + τ, t) = E {bs(t + τ)b∗s (t)}

Si los procesos x(t) e y(t) son estacionarios:

Rbs(τ) = A2c [Rx(τ)+Ry(τ)]

116

Los términos correspondientes a las correlaciones cruzadas no aparecen ya que ambos procesos sonindependientes y de media nula.

Si los procesos no son estacionarios, el resultado es el mismo, pero con correlaciones promedio

Rbs(τ) = A2c [Rx(τ)+ Ry(τ)]

La densidad espectral del equivalente paso bajo

Sbs( f ) = A2c [Sx( f )+ Sy( f )]

y la de la señal paso banda

Ss( f ) =A2

c

4[Sx( f − fc)+ Sy( f − fc)+ Sx( f + fc)+ Sy( f + fc)]

La señal paso banda tiene un ancho de banda Bs = 2max(Bx,By).

Considerando que hay perfecta recuperación de la fase portadora, que los filtros son ideales y que sóloexiste el camino directo, la salida del sistema para el equivalente paso bajo de la señal deseada será elmismo que en el caso anterior:

bys(t) =√

Gb(t − tha) (5.47)

y las componentes fase y cuadratura

iys(t) = Re[bys(t)] =√

Gx(t − tha) (5.48)

qys(t) = Im[bys(t)] =√

Gy(t − tha) (5.49)

Si no hubiese una compensación de la fase, ambas componentes estarían mezcladas en ambas ramas.

Las potencias se calculan igual que en DBL, una para cada rama

Pis = GE{x2(t − tha)}= GPx

Pqs = GE{y2(t − tha)}= GPy

En cuanto al cálculo de las potencias de ruido, también se procede como en el caso de DBL y dado quePin = Pqn = Pn, las SNRs tendrán, para cada señal la misma expresión que las que se obtiene para DBL:

SNRi =GT Px

2LBxN0

SNRq =GT Py

2LBxN0

Sólo que en este caso, la potencia transmitida es

ST =12

GT [Px + Py]

y la SNR para cada componente

SNRx =ST

LBN0

Px

Px + Py

SNRy =ST

LBN0

Py

Px + Py

Si las potencias de x(t) e y(t) son iguales, las SNR para ambas componentes serán la mitad que paraDBL

117

5.9 ECUALIZACIÓNLa respuesta completa del sistema es la dada dado por la expresión 5.29

bha(t) = bh(t − tm)AcAol

2e j(θc−θol)

conbh(t) =

14

bht ∗bhc(t)∗bhr(t)

Si el canal no es ideal y los filtros son ideales, la señal deseada será distorsionada por el filtro equivalente

Para obtener una señal sin distorsión hay dos posibilidades: intercalar dos filtros paso bajo, uno entre laseñal banda base y el modulador paso banda y el otro entre el demodulador paso banda y el procesadobanda base. Esta posibilidad será utilizada en parte en la transmisión digital y no será expuesto aquí.La otra posibilidad es diseñar los filtros paso banda transmisor y receptor para ecualizar la respuesta delsistema. Estos filtros se pueden diseñar de manera que:

Bha( f ) =14

Bht ( f )∗Bhc( f )∗Bhr( f )AcAol

2e j(θc−θol−2π fctm) = 2Ke− j2π f t0

En el dominio del tiempo, dado que la señal paso bajo está limitada en frecuencia

bha(t) = 2Kδ (t − t0)

De esta manera la salida del receptor sería

bys(t) = Kb(t − t0)

Es decir, la señal de entrada sin distorsión.

El diseño de los filtros tendría que cumplir

BHt ( f )BHr( f ) =1

BHc( f )4K

AcAole− j[2π f (t0−tm)−θc+θol]; − f1 < f < f2

Ambos filtros se pueden diseñar conjuntamente conociendo la respuesta del canal y los retardos delmodulador y del demodulador. Esta sería la ecualización óptima.

Si se deja fijo el filtro receptor, el filtro transmisor puede diseñarse como

BHt ( f ) =1

BHr( f )BHc( f )4K


Análogamente, si se deja fijo el filtro transmisor, el filtro receptor se puede diseñar como

BHr( f ) =1

BHc( f )BHt ( f )4K


Aunque la formulación se ha hecho mediante los equivalentes paso bajo, la implementación de cualquierade estos diseños se deben hacer a frecuencias paso banda y de manera analógica. Para filtros sofisticadospueden ser prohibitivos.

Con la primera posibilidad de intercalar los filtros paso bajo, todo el procesado es paso bajo y la imple-mentación de los filtros es más realizable. Incluso, las señales paso bajo pueden digitalizarse e imple-mentar los filtros de manera digital.

118

6 SISTEMA DE TRANSMISIÓN DIGITAL

Los científicos estudian aquello que existe, losingenieros crean aquello que todavía no existe.

Albert Einstein.1879−1955

6.1 INTRODUCCIÓNEl sistema completo de transmisión digital es el ilustrado en la figura 6.1

[ ]b l′ MODULADOR DIGITAL

BANDA BASE

[ ]ˆ 'b lSISTEMA DE TRANSMISIÓN

ANALÓGICO

DEMODULADOR DIGITAL BANDA

BASE

( )b t ( )y t

Figura 6.1: Sistema de transmisión digital

El modulador banda base modula la secuencia binaria b′[l] obteniendo una señal de tiempo continuob(t), que es la señal de entrada al sistema analógico de transmisión. En el capítulo 5 se han analizadolos sistemas de transmisión analógicos banda base y paso banda. La salida del sistema analógico y(t)debe ser una réplica lo más fielmente posible de la señal b(t), aunque corrupta por el ruido y posible-mente contaminada con alguna interferencia, como ha sido estudiado en dicho capítulo. Finalmente, eldemodulador banda base ha de obtener a partir de y(t) una estima del símbolo binario transmitido b′[l]

119

6.2 MODULADOR DIGITAL BANDA BASESe puede considerar que el punto de partida es una secuencia binaria de bits procedentes de una señalanalógica digitalizada o de una señal digital propiamente dicha.

El esquema general del modulador banda base es el de la figura 6.2. El codificador de símbolo transformala secuencia binaria original b′[l] en una secuencia compleja de símbolos M-arios a[n]. Esta secuenciapodría considerarse también como el punto de partida, en lugar de la secuencia binaria. El conformadorde pulsos genera una señal paso bajo consistente en un tren de pulsos p(t) cuyas amplitudes son las de lasecuencia de símbolos M-arios. En este curso sólo se estudiarán este tipo de señales denominadas señalesPAM (Pulse Amplitude Modulation)

[ ]b l′ [ ]a nCODIFICADORDE SÍMBOLO

( )b tCONFORMADOR

DE PULSO

Figura 6.2: Modulador digital banda base

El codificador de símbolo se puede descomponer de acuerdo con el esquema de la figura 6.3

[ ]b l′ [ ]b kCODIFICADOR DE CANAL

[ ]a nCODIFICADOR

M-ARIO

Figura 6.3: Codificador de símbolo

El codificador de canal introduce símbolos binarios adicionales para detectar y/o corregir errores de latrasmisión. Las técnicas de de codificación de canal no son objeto de este curso.

La tasa de bits de la secuencia fuente b′[l] es de r′b bits/s , mientras que la tasa de bits de la secuenciade salida del codificador de canal será rb = αr′b, siendo α el factor ampliación del codificador de canal.El codificador M-ario convierte los símbolos binarios en amplitudes complejas discretas pertenecientesa un alfabeto M-ario de acuerdo con la modulación empleada. La salida a[n] se puede describir como:

a [n] = aI [n]+ jaQ [n] (6.1)

Es decir, dos secuencias de amplitudes reales, una para el canal en fase y la otra para el canal en cuadra-tura.

En lo sucesivo, la secuencia de símbolos a[n] será la entrada al Sistema de Transmisión Digital.

La tasa de símbolo es r = rb log2 M.

120

La probabilidad de los símbolos se denominará

Pi = Pr{a [n] = ai} ; i = 1, ...,M (6.2)

El valor medio de los símbolos es

µa =M

∑i=1

Piai (6.3)

y la energía promedio de símbolo

Ea = Ra [0] = E {a [n]a∗ [n]}=M

∑i=1

Pi|ai|2 (6.4)

La distancia entre dos símbolos cualesquiera ai y a j se denominará di j. La distancia mínima entre símbo-los será denominada como d ≡ dmin = mın(di j). Esta distancia mínima se puede relacionar con la energíapromedio de símbolo:

d = mın(di j)d = λa√

Ea

o lo que es lo mismo

λa =d√Ea

λa es un coeficiente adimensional característico de cada modulación que no depende ni de d ni de Ea sino,como se verá en todos los casos particulares, de la geometría de la constelación de cada modulación.Será denominado coeficiente geométrico de la modulación y jugará un papel importante en la proba-bilidad de error. Cuanto mayor sea este coeficiente, menor será la probabilidad de error para la mismaenergía promedio por símbolo transmitida.

El codificador de pulso proporciona las señales de tiempo continuo a transmitir. La asignación del pulsopuede ser cualquiera, pero en este curso se restringirá a señales digitales PAM, es decir a modulacionesen las que el pulso es modulado en amplitud, tanto para la modulación en fase como para la modulaciónen cuadratura. Asimismo, el pulso será el mismo para ambas modulaciones. De esta forma, el equivalentepaso bajo de la señal digital mensaje tendrá la forma

b(t) =∞

∑n=−∞

a [n] p(t −nT ) =∞

∑n=−∞

aI [n] p(t −nT )+ j∞

∑−∞

aQ [n] p(t −nT ) (6.5)

Para las modulaciones banda base:

b(t)≡ s(t) =∞

∑n=−∞

a [n] p(t −nT ) (6.6)

Donde en este caso la secuencia de símbolos a[n] es real.

El pulso p(t), como se ha dicho, es en principio arbitrario, aunque como se verá más adelante deberácumplir la restricción.

Rp[mT ] = Epδ [m] (6.7)

La secuencia de símbolos se considerará que es estacionaria, esto es

Ra[m+n,n] = E {a[m+n]a∗[n]} ≡ Ra[m] (6.8)

Es decir, la correlación no depende del instante n-ésimo

Aunque el tratamiento es muy similar, las modulaciones se dividirán en modulaciones banda-base ymodulaciones paso-banda. En el primer caso la señal digital se transmite a través de un sistema pasobajo y no hay ni modulador ni demodulador I&Q, sólo habrá filtro transmisor paso bajo, canal y filtroreceptor también paso bajo. En el segundo caso la señal digital se realiza a través de un sistema pasobanda analógico como el estudiado en el capítulo 5.

121

6.3 MODULACIONES DIGITALES BANDA BASEEn este caso, la señal paso bajo es real, esto es, aI [n] = a [n] y aQ [n] = 0 y no hay modulación pasobanda. La señal modulada tendrá la forma

s(t)≡ b(t) =∞

∑n=−∞

a [n] p(t −nT )

T es el denominado periodo de símbolo. Su inverso r = 1T es la tasa de símbolos, es decir, el número de

símbolos transmitidos por segundo. La tasa de símbolo y la de bits guardan la relación rb = r log2 M.

6.3.1 Señal Binaria Unipolar

En esta modulación, el codificador de símbolo asigna, a la señal mensaje, una amplitud A al bit 1 y unaamplitud 0 al bit 0. Esta asignación es arbitraria, ya que podría hacerse al contrario. La amplitud de laseñal vendrá determinada por el punto donde se observe el sistema.

La constelación de la señal se representa en la figura 6.4

A0

2a 1a

d

Figura 6.4: Constelación Unipolar

La distancia entre símbolos transmitidos es d = a1 −a2 = A, coincide con la amplitud y con la distanciamínima. Tanto A como d son arbitrarias.

Las probabilidades de los símbolos binarios se designan como

P1 = Pr{a [n] = a1} ; P2 = Pr{a [n] = a2}

El periodo de símbolo y la tasa de símbolos son, respectivamente, el periodo de bit y la tasa de bitsT = Tb; r = rb y de acuerdo con las expresiones 6.3 y 6.4

µa = P1 ·A+P2 ·0 = P1A = P1d

Ea = P1A2 = P1d2

λa =1√P1

Si los símbolos ( bits en este caso) son equiprobales, esto es, P1 = P2 =12 , el valor medio será µa =

d2 y

la energía promedio de símbolo transmitido Ea =A2

2 = d2

2

El coeficiente geométrico de esta modulación para símbolos equiprobables es, por tanto:

λa =√

2 (6.9)

Para pulsos rectangulares, p(t) = ∏

(t−T/2

T

), la señal digital tendría la forma que se ilustra en la figura

6.5

122

A

4T2T 3TT t

( )s t

“1” “1” “1”“0”

Figura 6.5: Señal Unipolar

6.3.2 Señal binaria polar

En este caso el codificador de símbolo asigna a la señal mensaje una amplitud A/2 = d/2 al bit 1 yuna amplitud −A/2 = −d/2 al bit 0 . Esta asignación es también arbitraria, ya que podría hacerse alcontrario. La amplitudes de la señales son A

2 y −A2

La constelación de la señal transmitida se representa en la figura 6.6

/ 2A/ 2A−

2a1ad

0

Figura 6.6: Constelación de la señal polar

La distancia (mínima) entre símbolos es d = a1 −a2 = A, la misma que en la señal unipolar.

Las probabilidades de los símbolos binarios se designan como en el caso de la señal unipolar:

P1 = Pr{a [n] = a1} ; P2 = Pr{a [n] = a2}

El periodo de símbolo y la tasa de símbolos son, respectivamente, el periodo de bit y la tasa de bitsT = Tb;r = rb y de acuerdo con las expresiones 6.3 y 6.4

µa = P1 ·A2+P2 ·

(−A2

)= (P1 −P2)

A2= (P1 −P2)

d2

Ea =A2

4=

d2

4El coeficiente geométrico de la modulación:

λa = 2 (6.10)

123

Este coeficiente es independiente de las probabilidades de los símbolos y es siempre mayor que el de lamodulación unipolar con independencia también de las probabilidades de los símbolos. Si los símbolos( bits en este caso) son equiprobables, esto es, P1 = P2 =

12 , el valor medio será 0 y la energía promedio

de símbolo transmitido Ea =A2

4 = d2

4


(t−T/2

T


6.7

A/2

4T2T 3TT

t

( )s t

“1” “1” “1”“0”

-A/2

Figura 6.7: Señal Polar

6.3.3 Señal M-aria polar

En este caso, en cada periodo de símbolo se puede transmitir un símbolo de los M posibles. Cada símbolose puede considerar como la agrupación de log2 M bits. Las amplitudes son:

ai = (M+1−2i)A2

; i = 1, ...,M (6.11)

Las probabilidades de los símbolos M-arios se designan como Pi : i = 1 : M. El valor medio y la energíapromedio de símbolo se obtienen, de acuerdo con las expresiones 6.3, 6.4 y 6.11, como

µa =M

∑i=1

Piai =A2

(M+1−2

M

∑i=1

iPi

)

Ea =M

∑i=1

Pi|ai|2 =A2

4

[(M+1)2 −4(M+1)

M

∑i=1

iPi +4M

∑i=1

i2Pi

]No existe una solución general para la energía, si se desconocen las probabilidades.

Si los símbolos son equiprobables, esto es, Pi =1M ; ∀i, el valor medio será 0 y la energía promedio de

símbolo

Ea =A2

4(M2 −1)

3=

d2

4(M2 −1)

3(6.12)

Y el coeficiente de la modulación:

λa = 2

√3

M2 −1(6.13)

El coeficiente geométrico de la modulación disminuye en la medida en que M aumenta.

124

En todas las expresiones anteriores se ha hecho uso de las relaciones:

M

∑i=1

i =M(M+1)

2(6.14)

M

∑i=1

i2 =M(M+1)(2M+1)

6(6.15)

En el caso de una señal cuaternaria (M = 4), se agruparán los bits de 2 en 2 y las amplitudes serán

a [n] = {3A/2,A/2,−A/2,−3A/2}

Una posible agrupación de bits podría ser:

a1 ≡ ”10”; a2 ≡ ”11”; a3 ≡ ”10”; a4 ≡ ”00”

Que se corresponde con un código de Gray, donde cada nivel de señal se diferencia un sólo bit con susadyacentes.

Para esta modulación: T = 2Tb; r = rb/2

Con símbolos equiprobables, el valor medio es cero y la energía promedio de símbolo transmitido Ea =

5 A2

4 = 5 d2

4

La constelación de la señal transmitida se representa en la figura 6.8

/ 2A/ 2A−

2a 1a

d

0

4a 3a

3 / 2A− / 2A

Figura 6.8: Constelación Cuaternaria

La distancia mínima entre símbolos es d ≡ dmin = ai −ai+1 = A; i = 1, ...,M−1


(t−T/2

T


6.9

6.4 MODULACIONES DIGITALES PASO BANDAEn este caso, la señal paso bajo, generada por el modulador banda base, tiene la forma

b(t) =∞

∑n=−∞

a [n] p(t −nT )

125

A/2

4T

2T

3T

T t

( )s t

“10”

“01”

“11”

“00”

-A/2

3A/2

-3A/2

Figura 6.9: Señal Cuaternaria

que se denominará señal mensaje paso bajo. Siendo

i(t) =∞

∑n=−∞

aI [n] p(t −nT ) (6.16)

y

q(t) =∞

∑n=−∞

aQ [n] p(t −nT ) (6.17)

Como ya ha sido demostrado en el capítulo anterior, el equivalente paso bajo de la señal modulada tendrála forma:

bs(t) = Ace jφM b(t − tm) = is(t)+ jqs(t)

donde φM y tm son el desfase total y el retardo que introduce el modulador.

La señal paso banda tiene la forma

s(t) = Re[bs(t)e j2π fct]= Re

[Acb(t − tm)e j(2π fct+φM)

]=

= Ac [i(t − tm)cos(2π fct +φM)−q(t − tm)sin(2π fct +φM)]

De nuevo T es el denominado periodo de símbolo. Su inverso r = 1T es la tasa de símbolos, es decir, el

número de símbolos transmitidos por segundo.

6.4.1 Señal ON-OFF keying

En este caso el codificador de símbolo asigna una amplitud A al bit 1 y una amplitud 0 al bit 0 en la señalen fase del paso bajo. La componente en cuadratura es nula.

aI [n] = {A,0} ; a1 = A; a2 = 0; aQ [n] = 0 (6.18)

Sólo existe la componente en fase del mensaje señal. La expresión de la señal modulada es

s(t) = i(t − tm)Ac cos(2π fct +φM) =∞

∑n=−∞

aI [n] p(t − tm −nT )Ac cos(2π fct +φM)

126

Esta modulación sólo utiliza la rama superior del modulador I&Q.

Las probabilidades de los símbolos binarios se designan como en la señal unipolar

P1 = Pr{a [n] = a1} ; P2 = Pr{a [n] = a2}

El periodo de símbolo y la tasa de símbolos son, respectivamente, el periodo de bit y la tasa de bitsT = Tb; r = rb, igual que en la señal unipolar banda base. La constelación es también la misma que lade la señal unipolar de la figura 6.4 y por consiguiente el coeficiente geométrico de la modulación:

λa =√

2 (6.19)

La diferencia es que ahora la señal está modulada paso banda.


(t−T/2

T

), la señal digital tiene la forma que se ilustra en la figura

6.10 ( Ac = 1 y θc = 0 )

"0""1""1" "1"

t

T 2T 3T

4T

( )s t

0

A

A−

Figura 6.10: Señal ON-OFF keying

6.4.2 Señal BPSK(Binary Phase Shift Keying)

En este caso también sólo hay señal en el eje real del campo complejo. La expresión de la señal moduladaes igual que en la ON-OFF keying, pero con amplitudes A/2 y −A/2

s(t) = i(t − tm)Ac cos(2π fct +φM) =∞

∑n=−∞

aI [n] p(t − tm −nT )Ac cos(2π fct +φM)

Como la señal ON-OFF keying, la señal BPSK sólo utiliza la rama superior del modulador I&Q.

127

Las probabilidades de los símbolos binarios se designan como en el caso de la señal polar

P1 = Pr{a [n] = a1} ; P2 = Pr{a [n] = a2}

El periodo de símbolo y la tasa de símbolos son, como en la señal polar, respectivamente, el periodo debit y la tasa de bits T = Tb; r = rb

La constelación es la misma que en la señal polar banda base: figura 6.6, y por tanto el coeficientegeométrico

λa = 2 (6.20)

La diferencia es, como en el caso anterior, que la señal está modulada


(t−T/2

T

)la señal digital tendría la forma que se ilustra en la figura

6.11 ( Ac = 1 y θc = 0 )

( )s t

t

T 2T

4T0

"1" "1" "0" "1"

3T

/ 2A

/ 2A−

Figura 6.11: Señal BPSK

Obsérvense los cambios de fase de π radianes cuando hay un cambio de símbolo.

6.4.3 Modulaciones M-PSK

En estas modulaciones, el módulo de los símbolos es igual para todos ellos y sólo varia la fase.

ai = |ai|e jφi = |a|e jφi

La energía promedio de símbolo es

Ea =M

∑i=1

Pi|ai|2 = |a|2M

∑i=1

Pi = |a|2

128

Los símbolos se pueden escribir como

ai =√

Eae jφi ; i = 1 : M

conφi = φ0 +

2π

M(i−1); i = 1 : M

Todos los símbolos están dispuestos sobre una circunferencia de radio√

Ea.

La distancia mínima entre símbolos esd = 2

√Ea sin

π

My por consiguiente el coeficiente geométrico de la modulación

λa = 2sinπ

M(6.21)

6.4.4 Modulación BPSK

Es un caso particular para M = 2, φ0 = 0.

Todos los parámetros son idénticos que los de la modulación polar banda base.

6.4.5 Modulación 4-PSK o QPSK ( Quadrature Phase Shift Keying)

Los bits de la secuencia binaria se agrupan de dos en dos. Los bits pares b2k se modulan en fase y losbits impares b2k+1 en cuadratura k = .,0,1,2.... La constelación de señal en el plano complejo es la queilustra la figura 6.12

1101

00 10

b2k+1

b2k

( / 2, / 2)d d

( / 2, / 2)d d−( / 2, / 2)d d− −

( / 2, / 2)d d−

Figura 6.12: Constelación QPSK

El radio del círculo es√

Ea =d√2

y los símbolos complejos son

ai =√

Eae jφi ; φi = φ0 +π

2(i−1); i = 1 : 4; φ0 =

π

4

El valor de φ0 puede ser cualquier otro, pero éste es el que se utiliza en la práctica.

129

La modulación es pues el resultado del conjunto de dos modulaciones polares banda base: una en fasey la otra en cuadratura. Llamando A = d = dmın donde d es la distancia mínima entre dos símbolos deestas modulaciones polares, se tiene

d2=√

Ea sinπ

4=

√Ea

2⇒ A ≡ d =

√2Ea

El coeficiente geométricoλa = 2sin

π

4=√

2 (6.22)

La asignación de los conjuntos de dos bits puede ser cualquiera. En la figura 6.12 se presenta un códigode Gray. Con este código, la diferencia entre símbolos próximos es de sólo un bit. Puesto que la transiciónmás probable, debido al ruido será entre símbolos próximos, un error en un símbolo, sólo provocará unerror en un bit. En la figura 6.13, puede verse la senyal modulada ( Ac = 1 y θc = 0 )

T 2T 3T

4T

"01""11""10" "10"

0

/ 2A

/ 2A−

Figura 6.13: Señal QPSK

El salto de fase entre dos símbolos consecutivos es de ±π

2 cuando sólo cambia un bit entre los dossímbolos y de ±π cuando cambian ambos bits.

6.4.6 Modulación 8-PSK

La constelación es la de la figura 6.14

Los símbolos son:ai =

√Eae jφi ; φi = φ0 +

π

4(i−1); i = 1 : 8;φ0 =

π

8De nuevo, el valor de φ0 puede ser cualquier otro, pero éste es el que se utiliza en la práctica. La modu-lación es también el resultado del conjunto de dos modulaciones cuaternarias polares banda base: una en

130

111

110010

011

001

000

101

100

11

00

01

01 00 10 11

10

b1b 3

b 3b2_

d

Figura 6.14: Constelación 8-PSK

fase y la otra en cuadratura. La diferencia es que en estas modulaciones, los símbolos no están distribui-dos uniformemente. Llamando d = A a la distancia entre dos símbolos proxímos de estas modulacionespolares, se tiene

A2=√

Ea sinπ

8⇒ A ≡ d = 2

√Ea sin

π

8El coeficiente geométrico

λa = 2sinπ

8(6.23)

La distancia es la misma entre cualesquier pareja de símbolos contiguos y es la distancia mínima entresímbolos. La asignación de los conjuntos de tres bits puede ser cualquiera. En la figura 6.14 se presentade nuevo un código de Gray. Obsérvese que en la modulación en fase se mapean los bits b1 y b3 y en lamodulación en cuadratura se mapean los bits b2 y b3, siendo b3 el bit b3 negado.

6.4.7 Modulación M-PSK general

Generalizando los resultados anteriores, los símbolos serán

ai =√

Eae jφi ;φi = φ0 +2π

M(i−1); i = 1 : M;φ0 =

π

M

La distancia mínima entre símbolosA ≡ d = 2

√Ea sin

π

MY el coeficiente geométrico

λa = 2sinπ

M(6.24)

131

6.4.8 Modulaciones ASK-PSK

Las modulaciones PSK adolecen de la restricción de que los símbolos están sobre una circunferencia ypor tanto sólo varía la fase de los mismos. Permitiendo que varíe también el módulo, se puede obtenerun enorme catálogo de modulaciones. Un grupo importante es el representado en la figura 6.15. Cadamodulación contiene todos los símbolos unidos por el contorno y todos los interiores al mismo. Lasmodulaciones más importantes son las cuadradas, esto es, aquellas en las que M es un cuadrado perfectoM = 4,16,64,256.... Estas modulaciones serán denominadas como M-QAM, aunque a veces se utilizaeste nombre para todas ellas. Obsérvese que la modulación 4-QAM es idéntica a la modulación QPSK.La energía promedio de M-QAM, esto es, para log2 M es fácil de obtener teniendo cuenta las simetrías

d256M =

128M =32M =

16M =

4M =

8M =

128M =

64M =

Figura 6.15: Constelaciones ASK-PSK

de las constelaciones. La energía en cada uno de los cuadrantes es la misma y por tanto basta calcularlaen el primer cuadrante y multiplicarla por 4. Por otra parte hay diferentes símbolos en este cuadranteque tienen la misma energía ( mismo módulo). En este caso, la energía promedio por símbolo se puedecalcular de la manera siguiente: Los 4 cuadrantes dan el mismo resultado para la energía promedio. Encada cuadrante, los valores

d2

4

[1,9,25, ...,(

√M−1)

2]132

se repiten√

M veces, por tanto

Ea =1M

d2

44

√M

√M/2

∑j=1

(2 j−1)2

=d2√

M

√M/2

∑j=1

(4 j2 −4 j+1)

Aplicando los siguientes sumatorios

N

∑j=1

j2 =N(N +1)(2N +1)

6

N

∑j=1

j =N(N +1)

2

y combinando

N

∑j=1

(2 j−1)2 =N

∑j=1

(4 j2 −4 j+1) =23

N(N +1)(2N +1)−2N(N +1)+N

−2N(N +1)+N =−N(2N +1)N

∑j=1

(2 j−1)2 =13

N(2N +1) [2(N +1)−3] =N(2N +1)(2N −1)

3=

N(4N2 −1)3

Ea =d2

3√

M

[√M2

(M−1)

]=

d2

6(M−1)

La distancia mímina entre símbolos vale

d =

√6Ea

M−1(6.25)

Y el coeficiente geométrico

λa =

√6

M−1(6.26)

A continuación se describe el coeficiente geométrico para otras modulaciones.

Distancia mínima para M=8

La distancia se puede calcular procediendo como en el caso anterior. El resultado es:

d =

√2Ea

3y el coeficiente geométrico

λa =

√23

(6.27)


Como en el caso de M-QAM, los 4 cuadrantes tiene la misma energía. Una manera de calcular la energíade cada cuadrante es la siguiente: Los valores 1 y 32 se repiten 6 veces y el valor 52, 4 veces. Así

Ea =1

32d2

44 [6 · (1+9)+4 ·25]] = 5d2

133

d =

√Ea

5

y el coeficiente geométrico

λa =1√5

(6.28)


En este caso también se puede proceder como en el caso de M-QAM obteniéndose

dmin = d =

√2Ea

53


λa =

√2

53(6.29)

Las modulaciones M-QAM son óptimas desde el punto de vista de probabilidad de error, no así las otras.

Modulación ASK-PSK óptima para M=8

La modulación óptima para M = 8 es la que ilustra la figura 6.16. La energía promedio de símbolo de

32(1 )3 ad E= −

M=8

r d d12

212

3 1= = + ; r2 ( )

1r 2r

Figura 6.16: Constelación 8 ASK-PSK óptima

esta modulación es

Ea = (3+√

3)d2

4

134

Y la distancia mínima en función de la energía promedio

d =

√√√√2

(1−

√3

3

)Ea


λa =

√√√√2

(1−

√3

3

)(6.30)

Este coeficiente es superior al de 8-PSK y al de la modulación 8ASK-PSK cuadrada. Esta modulaciónse ha utilizado en el pasado para la transmisión por fax. Cuando el canal era muy ruidoso, la modulación8-aria se convertía en una 4-aria, eliminado los símbolos exteriores, convirtiéndose en una modulación4−QAM.

6.5 DENSIDAD ESPECTRAL DE LA SEÑAL DIGI-TALEl equivalente paso bajo de la señal modulada, si el modulador es ideal, viene dado por la expresión 5.7de la sección 5.3.1

bs(t) = Acb(t − tm)e jφM

siendo Ac la amplitud del oscilador del modulador, φM = θc +φm la fase total introducida por el modula-dor. tm y φm son el retardo y la fase introducidas por el filtro paso banda del modulador.

La correlación del paso bajo de la señal modulada es:

Rbs(t + τ, t) = E {bs(t + τ)b∗s (t)}= A2cE {b(t − tm + τ)b∗(t − tm)}

Si b(t) fuese estacionaria, las correlaciones sólo dependerían de τ . En caso contrario, como se verá másadelante, se ha de promediar quedando:

Rbs(τ) = A2cRb(τ)

Ambas correlaciones promedio son la misma, salvo por el factor constante A2c , con independencia del

retardo y de la fase.

El análisis de la correlación de la señal digital banda base y del equivalente paso bajo de la señal digitalpaso banda es idéntico, con la diferencia de que en la primera los símbolos son reales.

La correlación y la densidad espectral de una señal PAM se desarrolla en el apéndice G. El resultado sereproduce aquí:

Rb(τ) =1T

∞

∑m=−∞

Ra [m]Rp(τ −mT ) (6.31)

Es de observar que la correlación tiene la misma forma que la expresión de la señal digital, intercam-biando los símbolos y el pulso por sus respectivas correlaciones. La única diferencia en forma es queel sumatorio va dividido por el periodo de símbolo. Esto es así porque la correlación del pulso tienedimensiones de energía y la correlación de la señal debe tener dimensiones de potencia.

En función de la covarianza de los símbolos, teniendo en cuenta la relación Ra[m] =Ca[m]+ |µa|2:

Rb(τ) = r∞

∑m=−∞

Ca [m]Rp(τ −mT )+ r|µa|2∞

∑m=−∞

Rp(τ −mT ) =

135

= r∞

∑m=−∞

Ca [m]Rp(τ −mT )+ r|µa|2Rp(τ)∗∞

∑m=−∞

δ (τ −mT )

La densidad espectral

Sb( f ) = r|P( f )|2∞

∑m=−∞

Ra [m]e− j2πm f/r (6.32)

y en función de la covarianza

Sb( f ) = r|P( f )|2∞

∑m=−∞

Ca [m]e− j2πm f/r + |µa|2r2∞

∑m=−∞

|P(mr)|2δ ( f −mr) (6.33)

Donde se ha tenido en cuenta la transformada del tren de impulsos en el dominio temporal obtenida enel apéndice B:

F

{∞

∑m=−∞

δ (τ −mT )

}= r

∞

∑m=−∞

δ ( f −mr)

y que|P( f )|2δ ( f −mr) = |P(mr)|2δ ( f −mr)

La expresión 6.33 revela que la densidad espectral se compone de dos términos: un espectro continuoque es proporcional al producto de la densidad espectral del pulso por la DFT de la covarianza de lossímbolos con la frecuencia normalizada a la tasa de símbolo. El segundo término está compuesto de rayasespectrales en los múltiplos de la tasa de símbolo, cuyas amplitudes vienen dada por |µa|2r2|P(mr)|2

Si los símbolos son independientes es fácil demostrar que:

Ca[m] = σ2a δ [m];Ra[m] = σ

2a δ [m]+ |µa|2

donde

σ2a = Ea −|µa|2;Ea =

M

∑i=1

Pi|ai|2

y la densidad espectral quedaría como:

Sb( f ) = rσ2a |P( f )|2 + |µa|2r2

∞

∑m=−∞

|P(mr)|2δ ( f −mr) (6.34)

Si además el valor medio es nulo, la densidad espectral se simplifica extraordinariamente

Sb( f ) = rσ2a |P( f )|2 (6.35)

En este caso no hay rayas espectrales y la densidad espectral es proporcional a la densidad espectral deenergía del pulso.

6.5.1 Potencia de la señal PAM

La potencia de la señal PAM se puede calcular bien como

Pb =∫

∞

−∞

Sb( f )d f

bien comoPb = Rb(0)

Dada la condición de no ISI de los pulsos, la segunda expresión es más sencilla de utilizar para el casogeneral y de acuerdo con la expresión 6.31

Pb = Rb(0) =1T

∞

∑m=−∞

Ra[m]Rp(−mT ) =∞

∑m=−∞

Ra[m]Epδ [−m] = rEaEp

puesto que Ea = Ra[0].

136

6.5.2 Densidad espectral de la señal unipolar con símbolos independientes

La constelación es la representada por la figura 6.4. El valor medio, la energía promedio de símbolo y lavarianza son:

µa =M

∑i=1

Piai = P1d

Ea =M

∑i=1

P1|ai|2 = P1d2

σ2a = Ea −|µa|2 = P1(1−P1)d2 = P1P2d2

Si los símbolos son equiprobables, P1 = P2 = 1/2:

µa =d2

; Ea =d2

2; σ

2a =

d2

4

Puesto que el valor medio es siempre distinto de cero, esta modulación siempre tendrá rayas espectrales.

Éstas, lógicamente dependen del pulso de la señal. Como un ejemplo particular sea el pulso rectangular:

p(t) = ∏

(t −αT/2

αT

)con 0 < α ≤ 1.

Este es un pulso rectangular cuya duración depende de α . Si α = 1, el pulso tiene una duración igual alperiodo de símbolo. La transformada de este pulso es

P( f ) = αT sinc(α f/r)e− j2π f αT/2

y la densidad espectral del pulso|P( f )|2 = α

2T 2 sinc2(α f/r)

Para f = mr, el argumento de la función es mα , lo que significa que la función se anulará para aquellosvalores en los que mα sea un número entero excepto para m = 0. En los valores de m 6= 0 en los quemα es entero, no habrá por tanto rayas espectrales. En cualquier caso, siempre habrá al menos la rayaespectral para m = 0, esto es, f = 0.

En la figura 6.17 se representa la densidad espectral de la señal unipolar para α = 1/2

En la figura se puede observar el espectro continuo (línea azul) y las rayas espectrales (líneas rojas conflecha). El espectro continuo es proporcional a la densidad espectral de energía del pulso. La amplitudde las rayas espectrales siguen la misma evolución que el espectro continuo. Con este pulso particular,las rayas espectrales se anulan en los múltiplos pares de f/r, excepto en m = 0.

6.5.3 Densidad espectral de la señal polar con símbolos independientes

La constelación es la representada en la figura 6.6. El valor medio, la energía promedio de símbolo y lavarianza son:

µa =M

∑i=1

Piai = P1d/2−P2d/2 = (P1 −P2)d/2

Ea =M

∑i=1

P1|ai|2 = (P1 +P2)d2

4=

d2

4

137

σ2a /4r

µ2a/4

f/r−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

Figura 6.17: Dendidad espectral de la señal unipolar

σ2a = Ea −|µa|2 = [1− (P1 −P2)

2]d2

4Si los símbolos no son equiprobales, el valor medio es distinto de cero y la densidad espectral tendrárayas espectrales. La expresión de la densidad espectral general será como la de la unipolar aunque confactores de escala diferentes.

Por el contrario, si los símbolos son equiprobables, el valor medio es cero y por lo tanto no habrá rayasespectrales, quedando sólo el espectro continuo, cuya forma es la misma que el de la señal unipolar consu correspondiente factor de escala.

6.5.4 Espectro de la señal digital modulada paso banda

La relaciones entre la correlación y la densidad espectral de la señal modulada en función del equivalentepaso bajo ya han sido analizadas en el capítulo 3, y de acuerdo con la expresión 3.42:

Rs(τ) =12

Re[Rbs(τ)e

j2π fcτ]=

A2c

2Re[Rb(τ)e j2π fcτ

]Ss( f ) =

A2c

2 F

{Rb(τ)e j2π fcτ + R∗

b(τ)e− j2π fcτ

2

}Ss( f ) =

A2c

4[Sb( f − fc)+ Sb(− f − fc)

]Téngase en cuenta que

Rbs(τ) = A2cRb(τ)

Sbs( f ) = A2c Sb( f )

La potencia de la señal paso banda será:

Ps =A2

c

42Pb =

A2c

2rEaEp

Se define la energía promedio por símbolo como

Es =Ps

r=

A2c

2EaEp

138

No confundir con la energía promedio de símbolo Ea

Y la energía promedio por bit

Eb =Es

log2 M

Símbolos no independientes

Aunque los símbolos de la fuente pueden ser independientes, en algunas modulaciones se induce una co-rrelación entre ellos con diversos objetivos. Sea a′[n] la secuencia de símbolos originales independientes.Si esta secuencia se hace pasar por un fitro discreto, complejo en general, hC[n], la secuencia de símbolosa transmitir será

a [n] = a′ [n]∗hC [n]

Donde los símbolos a′ [n] de entrada son independientes y hC[n] la respuesta impulsional del sistemadiscreto correlador.

El valor medio y la correlación de los símbolos de la secuencia a [n] se pueden obtener como en el casocontinuo explicado en la sección 2.18.

Para calcular la correlación, primero se calcula la correlación salida-entrada

Raa′ [m] = E{

a[m+n]a′∗[n]}=

∞

∑k=−∞

hC[k]E{

a′[m+n− k]a′∗[k]}=

=∞

∑k=−∞

hC[k]Ra′ [m− k] = Ra′ [m]∗hC[m]

Y la correlación de la secuencia de salida:

Ra[m] = E {a[m+n]a∗[n]}=∞

∑k=−∞

h∗C[k]E{

a[m+n]a′∗[n− k]}=

=∞

∑k=−∞

h∗C[k]Raa′ [m+ k] = Raa′ [m]∗h∗C[−m]

Sustituyendo Raa′ [m]Ra[m] = Ra′ [m]∗hC[m]∗h∗C[−m] = Ra′ [m]∗RhC [m] (6.36)

la correlación y la covarianza de la secuencia de entrada de símbolos independientes son:

Ra′ [m] =Ca′ [m]+ |µ ′a|2 = σ

2a′δ [m]+ |µa′ |2

Ra′ [0] = Ea′ = σ2a′ + |µa′ |2

ya que los símbolos a′[n] son independientes y por consiguiente:

Ca′ [m] = σ2a′δ [m]

Ejemplo 1

hC [n] = δ [n]−δ [n−1]

a [n] = a′ [n]−a′ [n−1]

µa = E{

a′ [n]−a′ [n−1]}= 0

139

RhC [m] =−δ [m+1]+2δ [m]−δ [m−1]

El valor medio de la nueva secuencia es cero con independencia del valor medio de la secuencia original.La correlación de la nueva secuencia se puede obtener utilizando las expresiones generales

Ra [m] = Ra′ [m]∗RhC [m] =−Ra′ [m+1]+2Ra′ [m]−Ra′ [m−1]

O también planteándola directamente:

Ra[m] = E {a[m+n]a∗[n]}= E{[a′[m+n]−a′[m+n−1]][a′∗[n]−a′[n−1]

}Tomando esperanzas y teniendo en cuenta que los símbolos son independientes se obtiene la mismarelación para Ra[m]

Puesto que los símbolos a′[n] son independientes:

Ra′ [m] = σ2a′δ [m]+ |µ ′

a|2

Sustituyendo en la expresión de la correlación a[n]

Ra[m] =Ca[m] =−Ca′ [m+1]+2Ca′ [m]−Ca′ [m−1]

ya que los valores medios de los tres términos se cancelan mutuamente. Finalmente:

Ca [m] = σ2a′ {−δ [m+1]+2δ [m]−δ [m−1]}

La energía promedio de símbolo de a[n] es

Ea = Ra[0] = σ2a = 2σ

2a′

La correlación del paso bajo será

Rb(τ) =1T

∞

∑m=−∞

Ca [m]Rp(τ −mT ) =σ2

a′

T[−Rp(τ +T )+2Rp(τ)−Rp(τ −T )]

Y la densidad espectral

Sb( f ) =σ2

a′

T|P( f )|2

[2− e− j2π f T − e j2π f T ]= 2σ ′2

a

T|P( f )|2 [1− cos2π f T ] = 4rσ

′2a |P( f )|2 sin2(π f/r)

Obsérvese que en este caso el valor medio de los símbolo es cero y que la densidad espectral del pasobajo se anula en el origen de frecuencias.

Ejemplo 2

Otro ejemplo distinto es el siguiente, hC[0] = 1,hC[1] = 1,hC[m] = 0;m 6= 0,1

a [n] = a′ [n]∗hC [n]

hC [n] = δ [n]+δ [n−1]

a [n] = a′ [n]+a′ [n−1]

RhC [m] = δ [m+1]+2δ [m]+δ [m−1]

140

El valor medio de la secuencia de salida y la varianza

µa = E{

a′ [n]+a′ [n−1]}= µa′Hc[0] = 2µa′

ya que la secuencia a′[n] es estacionaria y por tanto E {a′[n− k]}= µa′

La correlación de los símbolos de salida se puede calcular, como en el caso anterior, mediante las expre-siones para un filtro general:

Ra [m] = Ra′ [m]∗RhC [m] = Ra′ [m+1]+2Ra′ [m]+Ra′ [m−1]

Puesto que los símbolos son independientes

Ra′ [m] = σ2a′δ [m]+ |µ ′

a|2

O procediendo directamentea[n] = a′[n]∗h[n] = a′[n]+a′[n−1]

µa = E{

a′[n]+a′[n−1]}= 2µ

′a

Ra[m] = E {a[m+n]a∗[n]}= E{[a′[m+n]+a′[m+n−1]][a′∗[n]+a′∗[n−1]]

}Puesto que los símbolos a′[n] son independientes:

Ra[m] = 2Ra′ [m]+Ra′ [m+1]+Ra′ [m−1]

Expresión idéntica a la calculada con el procedimiento general

En función de las covarianzas

Ca[m]+ |µa|2 =Ca′ [m+1]+2Ca′ [m]+Ca′ [m−1]+4|µa′ |2|

Puesto que los símbolos de entrada son independientes

Ca′ [m] = σ2a′δ [m]

Ca[m] = σ2a′ {δ [m+1]+2δ [m]+δ [m−1]}

|µa|2 = 4|µa′ |2

σ2a = 2σ

2a′

La densidad espectral de acuerdo con la expresión 6.33

Sb( f ) = rσ2a′ |P( f )|2(e j2π f/r +2+ e− j2π f/r)+ |µa|2r2

∞

∑m=−∞

|P(mr)|2δ ( f −mr)

Simplificando el primer término ( espectro contínuo)

Sb( f ) = 2rσ2a |P( f )|2 cos2(π f/r)+ |µa|2r2

∞

∑m=−∞

|P(mr)|2δ ( f −mr)

De nuevo la densidad espectral continua ya no es proporcional a la densidad espectral del pulso, si noque viene modificada por la función cos2(π f/r)

141

6.6 CARACTERÍSTICAS ESPECTRALES DE LOSPULSOS DE LA SEÑAL DIGITAL

6.6.1 Pulsos limitados en tiempo

Si el pulso es limitado en tiempo, su densidad espectral de energía se extiende en todo el rango defrecuencias.

Así por ejemplo, para pulsos rectangulares de la forma p(t) = ∏

(t−T/2

T

), la transformada del pulso es:

P( f ) = T sinc( f T )e− f 2π f T/2

Y su densidad espectral de energía

Sp( f ) = |P( f )|2 = T 2 sinc2( f T )

En la figura 6.18 se representa esta densidad espectral

-3 -2 -1 0 1 2 3


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

dens

idad

esp

ectra

l

/f r

2 ( )pr S f

Figura 6.18: Densidad espectral del pulso rectangular

El pulso rectangular p(t) = ∏

(t−T/2

T

)y su correlación son los de la figura 6.19

Este pulso cumple la propiedad de la ecuación 6.7 de la página 121 que como se verá más adelante esmuy importante:

Rp(mT ) = Epδ [m]

142

T− T

T

τT

1

t

( )p t ( )pR τ

Figura 6.19: Pulso rectangular y su correlación

siendo en este caso Ep = T .

En realidad, todos los pulsos cuya duración está limitada al periodo de símbolo la cumplen.

Como por ejemplo el pulso de Manchester definido como

p(t) = ∏

(t −T/4

T/2

)−∏

(t −3T/4

T/2

)En la figura 6.20 se representa dicho pulso y su correlación.

T− T

T

τT

1

t

( )p t ( )pR τ

/ 2T

/ 2T− / 2T−

Figura 6.20: Pulso de Manchester y su correlación

La transformada de Fourier del pulso es

P( f ) = jTe− jπ f T sinc( f T/2)sinπ f T/2

Y la densidad espectral de energía

Sp( f ) = |P( f )|2 = T 2 sinc2( f T/2)sin2π f T/2

En la figura 6.21 se representa la densidad espectral de energía de este pulso.

El pulso tiene dos características importantes:

1. Su densidad espectral se anula en el origen con lo que no interacciona con la alimentación de losdispositivos electrónicos de los repetidores en transmisiones por cable.

143

/f r-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

dens

idad

esp

ectra

l

Figura 6.21: Dendidad espectral del pulso de Manchester

2. Debido a que el pulso se anula en T/2, favorece la sincronización de la señal digital. Por el con-trario, la densidad espectral se anula en f = 2r, por lo que el ancho de banda de este pulso es,cualquiera que sea la forma de definirlo, el doble que el del pulso rectangular.

Los pulsos limitados en tiempo al periodo de pulso tienen una limitación en el sistema de transmisión.Se observa que la densidad espectral del paso bajo tienen una extensión infinita en el dominio de lafrecuencia, y por tanto la señal modulada. Esta señal debe limitarse en frecuencia mediante filtrado, bienen banda base bien en paso banda. El pulso transmitido tendría la forma:

pT (t) = p(t)∗ pB(t); PT ( f ) = P( f )PB( f )

De manera que el pulso transmitido ya no cumpliría la relación de la expresión 6.7 de la página 121,puesto que la duración en frecuencia sería finita y por tanto la duración en tiempo sería infinita. En todoel análisis posterior se mantendrá el pulso ideal de duración temporal limitada al intervalo de símbolo.

6.6.2 Pulsos limitados en frecuencia. Pulsos de Nyquist

Es posible diseñar pulsos que cumplan la condición

Rp [mT ] = Epδ [m] (6.37)

Y que tengan un ancho de banda finito.

Si se muestrea la correlación del pulso de la siguiente manera

Rp(τ)∞

∑m=−∞

δ (τ −mT ) =∞

∑m=−∞

Rp [mT ]δ (τ −mT ) =Epδ (τ)

donde en la segunda igualdad se ha tenido en cuenta la condición de no ISI de la expresión 6.37.

144

Tomando transformadas en ambos miembros y teniendo en cuenta que

F

[∞

∑m=−∞

δ (τ −mT )

]= r

∞

∑m=−∞

δ ( f −mr)

Se tendrá que

rSp( f )∗∞

∑m=−∞

δ ( f −mr) =r∞

∑m=−∞

Sp( f −mr) = r∞

∑m=−∞

|P( f −mr)|2 =Ep

que es la condición, en el dominio de la frecuencia, de los pulsos de la expresión 6.37. Los pulsoslimitados al periodo de símbolo la cumplen por propia construcción, pero éstos no están limitados enbanda.

El pulso limitado en banda que cumple esta condición con menor ancho de banda es

Sp( f ) = |P( f )|2 =Ep

r ∏

(fr

)Su ancho de banda es r/2.

Su correlación (transformada de Fourier de la densidad espectral) es

Rp(τ) = Ep sinc(rτ)

que evidentemente cumple la condición en el dominio temporal.

La familia de pulsos, tales que

Sp( f ) = |P( f )|2 =Ep

r ∏

(fr

)∗Pβ ( f )

también la cumplen, cualquiera que sea Pβ ( f ), ya que tomando la transformada inversa

Rp(τ) = Ep sinc(rτ)pβ (τ)

Rp [mT ] = Ep sinc(m)pβ [mT ] = Ep pβ [0]δ [m]

La condición se cumple sipβ (0)) = 1

La energía del pulso Ep es arbitraria y se puede hacer igual a la unidad.

La densidad espectral de estos pulsos está limitada en banda si Pβ ( f ) también lo está. Estos son losdenominados pulsos de Nyquist.

Una familia particular de los pulsos de Nyquist son los denominados pulsos coseno roll-off, donde

Pβ ( f ) =π

4βcos

π f2β

∏

(f

2β

)

pβ (τ) =cos2πβτ

1− (4βτ)2

Y donde puede comprobarse fácilmente que

pβ (0) =∫

∞

−∞

Pβ ( f )d f = 1

145

Rp(τ) = Epcos2πβτ

1− (4βτ)2 sinc(rτ)

Efectivamente, esta correlación cumple la condición de la expresión 6.37

Realizando la convolución en el domino de la frecuencia

Sp( f ) =Ep

r ∏

(fr

)∗ π

4βcos

π f2β

∏

(f

2β

)En la figura 6.22 se ilustra esta convolución para β = r/4

*

β− β

/pE r

/ 2r/ 2r−

cos ( )4 2 2

f fπ πβ β β

Π

Figura 6.22: Convolución del pulso rectangular en frecuencia con el pulso de Nyquist

Esta convolución da como resultado una función de duración 2(β +r/2), de acuerdo con la propiedad deque la duración de la convolución (en este caso frecuencial) es la suma de las duraciones de los términos.La convolución es la expresada por la siguiente expresión

Sp( f ) = |P( f )|2 =Ep

r

1 | f | ≤ r

2 −β

cos2 π

4β(| f |− r/2+β ) r

2 −β ≤ | f | ≤ r2 +β

0 | f | ≥ r2 +β

En algunos libros se describe β = αpr2 con 0 ≤ αp ≤ 1

El ancho de banda es Bp =r2 +β = (1+αp)

r2 , la mitad de la duración de la convolución, por definición.

La trasformada inversa de Fourier es la correlación del pulso

Rp(τ) = Epcos(2πβτ)sinc(rτ)

1− (4βτ)2

Dado que la transformada de Fourier es positiva, el pulso P( f ) puede ser real y tendría la forma

P( f ) =

√Ep

r

1 | f | ≤ r

2 −β

cos π

4β(| f |− r/2+β ) r

2 −β ≤ | f | ≤ r2 +β

0 | f | ≥ r2 +β

La transformada inversa, aunque algo tediosa, se puede calcular y se obtiene

p(t) =

√Ep

r

8π

β cosπ(r+2β )t +(r−2β )sinc(r−2β )t1− (8β t)2

Puede comprobarse que si bien la correlación Rp(τ) se anula en los múltiplos de τ = mT , el pulso no seanula en general en estos valores.

146

El denominador se anula en t = 18β

, pero el numerador también se anula en este valor. El límite de lafunción para este valor es:

lımt→ 1

8β

p(t) =

√2Ep

r

[(1− 2

π)β cos

πr8β

+(1+2π)β sin

πr8β

]

Casos particulares

1. β = 0; αp = 0

Este es un caso singular ylımβ→0

Pβ ( f ) = δ ( f )

|P( f )|2 =Ep

r ∏

(fr

)Rp(τ) = Ep sinc(rτ)

P( f ) =

√Ep

r ∏

(fr

)p(t) =

√rEp sinc(rt)

El ancho de banda del pulso es r/2, que, como se verá, es el mínimo ancho de banda de una señaldigital libre de ISI.

Para β 6= 0

2. β = r2 ; αp = 1

|P( f )|2 = EP

rcos2 π f

4r ∏

(f

2r

)=

EP

2r

[1+ cos

π f4r

]∏

(f

2r

)Este es el denominado pulso coseno realzado, por su características frecuenciales.

La transformada inversa es

Rp(τ) = Epcos(πrτ)

1− (2rτ)2 sinc(rτ) = Epsinc(2rτ)

1− (2rτ)2

Esta función no sólo se anula en los múltiplos del periodo Rp [mT ] = Epδ [m]. También se anula enlos múltiplos impares de T/2, excepto en T/2, ya que en esos valores se anula cos(πrτ). En T/2se anula también el denominador. El límite para este valor es:

lımτ→ T

2

Rp(τ) =Ep

2

3. β = r4 ; αp =

12

El pulso tiene la forma

P( f ) =

√Ep

rcos

π f2r ∏

(f

2r

)p(t) =

√rEp

4cos2πrt

π

[1− (4rt)2

]147

Este pulso se anula en los múltiplos impares de T/4, excepto en T/4 que también se anula elnumerador. El límite para este valor es

lımτ→ T

4

p(t) =√

rEp

La densidad espectral de estos pulsos se representa en la figura 6.23 para los valores de

β = 0,r4

yr2

r3 / 4r/ 2rr− / 2r−3 / 4r− / 4r/ 4r−f

( )pS f

/pE r

0β =

/ 4rβ =

/ 2rβ =

Figura 6.23: Densidad espectral de los pulsos roll-off

La expresión temporal y la correlación de estos pulsos se representan en las gráficas 6.24 y 6.25

En la figura 6.26 se representa la misma secuencia binaria que la de la señal binaria polar de la figura6.7, pero con pulsos coseno roll-of, para β = r/2.

Las líneas en rojo son los pulsos para cada bit y la línea en negro es la señal generada, esto es, la señaldigital.

En el caso de pulsos coseno roll-off, el pulso transmitido es prácticamente el mismo que el generado enel modulador banda base, ya que el filtro transmisor tendrá un ancho de banda igual al pulso de Nyquist.

Aunque estos pulsos no tienen problemas de ancho de banda, su duración en el tiempo es infinita y paraimplementarlos se han de truncar, lo que también comporta una serie de consecuencias: ya no cumpliríanla relación de no ISI dada por la expresión 6.7 de la página 121. Mientras tanto se seguirán considerandoideales. En las figuras 6.27 y 6.28 se ilustra las condición frecuencial para los pulsos cuyas densidadesson, respectivamente, el pulso rectangular y el el coseno alzado.

148

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

t/T

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Pulsos coseno roll-off

beta = 0

beta = r/4

beta = r/2

pEr

Figura 6.24: Pulsos coseno roll-off en el dominio temporal

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

t/T

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Correlación Pulsos coseno roll-off

beta = 0

beta = r/4

beta = r/2

pE

Figura 6.25: Correlación de los pulsos coseno roll-off

149

-4 -2 0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

"1"

"0"

"1" "1"

Figura 6.26: Señal binaria polar con pulso roll-off β = r/2

( )pS f

f02r− r− 2r2r

− r2r

/pE r

Figura 6.27: Condición frecuencial para las densidad espectral rectangular

f2r− r− 2r2r

− r2r

( )pS f/pE r

Figura 6.28: Condición frecuencial para la densidad espectral coseno alzado

150

6.7 DEMODULADOR DIGITALEl demodulador digital se ilustra en la figura 6.29

( )FAh t( )y t ( )r t [ ]r m

mt

DECISORˆ[ ]a m

Figura 6.29: Demodulador digital

Siendo y(t) = ys(t)+ yn(t) la señal de salida del sistema analógico de transmisión ( transmisión pasobanda o transmisión banda base).

hFA(t) es el denominado filtro adaptado que optimiza la relación señal/ruido a la salida del mismo.

tm son los instantes óptimos de muestreo con periodo de símbolo T

y a[m] es el símbolo decidido en el instante m-ésimo.

El demodulador puede completarse con el decodificador de símbolo para obtener la secuencia binaria departida. Esto no será considerado aquí. El sistema completo de transmisión será analizado tomando comoentrada la secuencia de símbolos a transmitir a[m] y como salida la secuencia de símbolos detectadosa[m].

La salida general del sistema, entrada del filtro adaptado viene dada por:

Sistema de transmisión digital banda base

La expresión de salida es 5.1, página 84

y(t) = ys(t)+ ye(t)

dondeys(t) = s(t)∗ha(t) =

siendo

s(t) =∞

∑n=−∞

a[n]p(t −nT )

y ha(t) el sistema equivalente analógico banda base.

ha(t) = hT (t)∗hc(t)∗hR(t)

de esta forma

ys(t) =∞

∑n=−∞

a[n]p(t −nT )∗ha(t) =∞

∑n=−∞

a[n]py(t −nT )

con py(t) = p(t)∗ha(t), el pulso equivalente de salida.

La densidad espectral del ruido ha sido estudiada en la sección: 4.4

Syn( f ) =N0

2|HR( f )|2

151

Sistema de transmisión paso banda con recuperación de portadora

El esquema del sistema analógico equivalente paso bajo con recuperación de portadora bha(t) es el de lafigura 5.17

La expresión de salida es 5.30, página 101

y(t) = ys(t)+ ye(t) =12

b(t)∗bha(t)+12

bI(t)∗bhr(t)Aol

2e− jθol + yn(t)

En ausencia de interferenciasy(t) =

12

b(t)∗bha(t)+ yn(t)

bha(t) = bh(t − tm)AcAol

2e j(φM−θol)

bh(t) =14

bht (t)∗bhc(t)∗bhr(t)

Así, para la señal generada, el esquema global del sistema analógico se puede sintetizar en la figura 6.30

El estudio se ha realizado en la sección 5.4.1

( )syb t( )b t

( )ahb t

Figura 6.30: Salida deseada del equivalente complejo paso banda

siendo

b(t) =∞

∑n=−∞

a[n]p(t −nT )

Sustituyendo para la señal generada

ys(t) =12

∞

∑n=−∞

a[n]p(t −nT )∗bha(t) =∞

∑n=−∞

a[n]py(t −nT ) (6.38)

siendo py(t) = 12 p(t)∗bha(t);

La densidad espectral del ruido es, de acuerdo con la expresión 4.7 y teniendo en cuenta la respuesta del

demodulador(

Aol2

)2,

Syn( f ) =N0

2A2

ol4|Bhr( f )|2

Para filtros transmisor y receptor ideales y recuperación de portadora

bha(t) =√

GT GRe(φT+φR)bhc(t − tT − tR)

Si el canal es multicamino, su expresión es la de la ecuación 5.16

bhc(t) =2√L

Nc

∑l=0

βlδ (t − τl)

Y si el canal es idealbhc(t) =

2L

δ (t − τ0)

152

Y el sistema equivalente es el expresado por la expresión 5.33

bha(t) = 2√

Ge jφha δ (t − tha)

ys(t) =√

Ge jφha b(t − tha)



tT = tm + tgrt

tR = tgrr

φT = φM −2π fctpht


φhc =−2π fcτ0


G =GT GR

Ldonde L es la atenuación del canal.

6.7.1 Filtro adaptado

En primera instancia, una solución óptima parece que sería diseñar un filtro adaptado al pulso py(t) y alruido yn(t) de salida del sitema analógico, tal que maximicen la relación señal/ruido.

Este filtro es el denominado filtro adaptado cuyo estudio se realiza en el apéndice H y de acuerdo con elcitado apéndice su expresión sería:

HFA( f ) = k0Py

∗( f )e− j2π f t0

Syn( f )

siendo k0 una constante arbitraria y t0 el instante arbitrario de muestreo en el que se maximiza la relación:

maxhFA(t)

|py0(t0)|2

σ2yn0

con py0(t0) la salida del pulso en ese instante y σ2yn0

la varianza del ruido a la salida del filtro adaptado.

Si el ruido de salida del sistema analógico fuese ruido blanco la expresión del filtro adaptado normaliza-do, de acuerdo con el apéndice H, sería:

hFA(t) = py(t0 − t)

Evidentemente, el ruido yn(t) no puede ser blanco en ninguno de los sistemas de transmisión, ya queproviene del filtrado del ruido blanco. No obstante, si la banda del filtro receptor es suficientementeamplia, el ruido se puede considerar a todos los efectos como ruido blanco.

La salida de la señal de este filtro adaptado es:

rs(t) = ys(t)∗ py(t) =∞

∑n=−∞

a[n]py(t −nT )∗ py(t0 − t) =∞

∑n=−∞

a[n]Rpy(t − t0 −nT )

153

Si se muestrea esta señal en tm = t0 +mT

rs[m] =∞

∑n=−∞

a[n]Rpy [(m−n)T ] = Rpy(0)a[m]+∞

∑n =−∞

n 6= m

Rpy [(m−n)T ]

Para que no haya interferencia intersímbolo (ISI) se debe cumplir:

Rpy(mT ) = Epyδ [m]

Esta condición depende del sistema analógico equivalente y no se cumplirá en general, por lo que ha-bría ISI. En cualquier caso habría que estimar el canal, lo que, de alguna manera, es equivalente a laecualización que se estudiará más adelante.

En la práctica se utiliza el filtro adaptado al pulso p(t) y ruido blanco que es el que realmente se estudiaen el apéndice H

hFA(t) = p(t0 − t)

6.7.2 Respuesta del filtro adaptado a la señal de salida del sistema analógico

Sistema digital paso banda

La señal a la salida del filtro adaptado:

rs(t) =12

b(t)∗bha(t)∗ p(t0 − t)

siendo bha(t) el equivalente paso bajo del sistema analógico paso banda

En la figura 6.31 se tiene el esquema completo

( )FAh t( )sy t( )b t

( )ahb t

( )sr t

Figura 6.31: Señal de salida del equivalente complejo paso banda y filtro adaptado

con hFA(t) = p(t0 − t)

Conmutando la convoluciónrs(t) =

12

b(t)∗ p(t0 − t)∗bha(t)

La primera convolución da

b(t)∗ p(t0 − t) =∞

∑n=−∞

a [n]p(t −nT )∗ p(t0 − t) =∞

∑n=−∞

a [n]∫

∞

−∞

p(t −α −nT )∗ p(t0 −α) =

=∞

∑n=−∞

a [n]Rp(t − t0 −nT )

154

Así, la señal de salida del filtro adaptado será

rs(t) =12

∞

∑n=−∞

a [n]Rp(t − t0 −nT )∗bha(t) (6.39)

La salida del filtro adaptado se puede escribir como

rs(t) =∞

∑n=−∞

a [n]bhe(t −nT )

donde

bhe(t) =12

Rp(t − t0)∗bha(t) =12

∞∫−∞

Rp(t − t0 −α)bha(α)dα (6.40)

es la respuesta del sistema global: sistema analógico paso banda más filtro adaptado.

Sistema digital banda base

La señal a la salida del filtro adaptado es:

rs(t) = s(t)∗ha(t)∗ p(t0 − t)

En la figura 6.32 se tiene el esquema completo

( )FAh t( )sy t( )s t

( )ah t( )sr t

Figura 6.32: Señal de salida del equivalente analógico banda base y filtro adaptado

siendo ha(t) el sistema equivalente del sistema analógico banda base.

con hFA(t) = p(t0 − t) el filtro adaptado.

Conmutando la convoluciónrs(t) = s(t)∗ p(t0 − t)∗ha(t)

La primera convolución da

s(t)∗ p(t0 − t) =∞

∑n=−∞

a [n]p(t −nT )∗ p(t0 − t) =∞

∑n=−∞

a [n]∫

∞

−∞

p(t −α −nT )∗ p(t0 −α) =

=∞

∑n=−∞

a [n]Rp(t − t0 −nT )

Así, la señal de salida del filtro adaptado será

rs(t) =∞

∑n=−∞

a [n]Rp(t − t0 −nT )∗ha(t) (6.41)

155

La salida del filtro adaptado se puede escribir como

rs(t) =∞

∑n=−∞

a [n]he(t −nT )

donde

he(t) = Rp(t − t0)∗ha(t) =∞∫

−∞

Rp(t − t0 −α)ha(α)dα (6.42)

Es la respuesta del sistema global: sistema analógico banda base más filtro adaptado.

6.7.3 Muestreo. Sistema digital discreto equivalente


Muestreando en t = tm = t0 +mT se obtiene la salida discreta

rs[m] =∞

∑n=−∞

a [n]bhe [m−n] = a[m]∗bhe [m] (6.43)

siendo

bhe [m] = bhe(t0 +mT ) =12

∞∫−∞

Rp(mT −α)bha(α)dα (6.44)

la respuesta discreta resultante a la salida del sistema global.

En la figura 6.33 se puede ver la salida muestreada de todo el sistema.

0( )p t t−( )y t( )b t ( )r t [ ]r m

mtSISTEMA

TRANSMISIÓNANALÓGICO

Figura 6.33: Salida deseada del equivalente complejo paso banda, filtro adaptado y muestreo

El sistema discreto equivalente es el de la figura 6.34

[ ]sr m[ ]a m[ ]

ehb m

Figura 6.34: Sistema digital discreto equivalente

La ecuación 6.43 se puede escribir como

brs [m] = a [m]bhe [0]+ ∑n6=m

a [n]bhe [m−n] (6.45)

156

El primer término es proporcional al símbolo transmitido en el instante m-ésimo y el segundo es ladenominada interferencia intersímbolo (ISI) que introduce el sistema global discreto. Para obtener elsímbolo sin ISI se debe verificar que

bhe [m−n] = 0 ∀n 6= m

Si la respuesta del sistema analógico no es ideal, no es evidente como recuperar ni la fase de la portadorani el sincronismo.


Muestreando en t = tm = t0 +mT se obtiene la salida discreta

rs[m] =∞

∑n=−∞

a [n]he[m−n] = a[m]∗he[m] (6.46)

siendo

he[m] = he(t0 +mT ) =∞∫

−∞

Rp(mT −α)ha(α)dα (6.47)

La respuesta discreta resultante a la salida del sistema global.

En la figura 6.35 se puede ver la salida muestreada de todo el sistema.

0( )p t t−( )y t( )s t ( )r t [ ]r m

mtSISTEMA


Figura 6.35: Salida deseada del equivalente banda base, filtro adaptado y muestreo

El sistema discreto equivalente es el de la figura 6.36

[ ]sr m[ ]a m[ ]eh m

Figura 6.36: Sistema digital discreto equivalente banda base

La ecuación 6.46 se puede escribir como

rs [m] = a [m]he[0]+ ∑n6=m

a [n]he[m−n] (6.48)

El primer término es proporcional al símbolo transmitido en el instante m-ésimo y el segundo es ladenominada interferencia intersímbolo (ISI) que introduce el sistema global discreto. Para obtener elsímbolo sin ISI se debe verificar que

he[m−n] = 0 ∀n 6= m

157

6.7.4 Canal equivalente discreto para canal multicamino


El canal analógico equivalente de todo el sistema es el dado por la ecuación 6.40 de la página 155:

bhe(t) =12

Rp(t − t0)∗bha(t) =12

∞∫−∞

Rp(t − t0 −α)bha(α)dα

El canal del sistema analógico paso banda bha(t), con filtros transmisor y receptor ideales y canal multi-camino, es el de la expresión 5.32 de la página 102

bha(t) = 2√

Ge jφh0

Nc

∑l=0

αle− j2π fc∆τl δ (t − th0 −∆τl)

siendoφh0 = φT +φR −2π fcτ0

th0 = tT + tR + τ0

el retardo total del camino directo, y∆τl = τl − τ0

La diferencia entre el retardo del camino l−ésimo y el retardo del camino directo

Sustituyendo esta expresión en la anterior se obtiene el canal global para señal multicamino:

bhe(t) =√

Geφh0

Nc

∑l=0

αle− j2π fc∆τl Rp(t − t0 − th0 −∆τl)

Ahora parece más conveniente muestrear en los instantes

tm = t0 + th0 +mT

es decir, compensando el retardo del camino directo, del transmisor y del receptor. De esta manera, elsistema equivalente discreto global tiene la forma:

bhe [m] =√

Geφh0

Nc

∑l=0

αle− j2π fc∆τl Rp(mT −∆τl) (6.49)

Para m = 0

bhe [0] =√

Ge jφh0

Nc

∑l=0

αle− j2π fc∆τl Rp(∆τl) =√

Ge jφh0

[Ep +

Nc

∑l=1

αle− j2π fc∆τl Rp(∆τl)

]

donde se ha tenido en cuenta que Rp[m] = Epδ [m], que α0 = 1 y que Rp(−∆τl) = Rp(∆τl)

El primer término representa la respuesta equivalente del canal si sólo hay camino directo, es decirsistema ideal. El segundo término es una interferencia del propio símbolo a[m] debida a las reflexiones yque podría denominarse interferencia intra-símbolo.

Si los filtros transmisor y receptor son ideales y si el canal es también ideal (αl = 0; l = 1, ...,M), laexpresión ?? se reduce a:

bhe [m] =√

Ge jφh0 Epδ [m] (6.50)

158

Respuesta que también puede obtenerse directamente a partir de la expresión 5.33 de la página 103 y delfiltro adaptado.

bha(t) = 2√

Ge jφha δ (t − tha)



φT = φM −2π fctpht


φhc =−2π fcτ0


G =GT GR

LL es la atenuación del canal, como se ha visto con anterioridad.

La salida discreta de la ecuación 6.43

brs [m] = Ep√

Ge jφha

∞

∑n=−∞

a [n]δ [m−n] = Ep√

Ge jφha a[m] (6.51)

Si se estima la fase φha y la amplitud Ep√

G y se compensan, la salida sería

rs[m] = a[m]

es decir, el símbolo transmitido.

La amplitud, no es necesario compensarla. El efecto sería que la constelación recibida tendría la mismaforma geométrica que la generada, pero escalada por el factor

√GEp. La distancia mínima ya no sería la

distancia de la señal generada, si no que se obtendría una nueva distancia, escalada por dicho factor.

d0 =√

GEpd

Si la fase de la expresión 6.51 no se compensa, la constelación aparecerá girada el angulo φha , como semuestra en la figuras 6.37 y 6.38 para las constelaciones BPSK y QPSK. En este caso se ha consideradoque

√GEp = 1, o bien se puede sustituir en ambas figuras d por d0.

/ 2A/ 2A−

2a 1ad

0d

Figura 6.37: Constelación BPSK girada 30 grados

Los puntos negros corresponden a las modulaciones BPSK y QPSK con la fase compensada y los rojos alos de la mismas constelaciones giradas φha = 30 grados. Como se ve en el caso de BPSK, que sólo utilizala rama superior del demodulador I&Q, la parte real queda disminuida y como se verá más adelante setraducirá en una mayor probabilidad de error. Incluso, si el ángulo fuese mayor de 90 grados, el símboloa1 se transformaría en el símbolo a2 y viceversa. Algo similar ocurre con la modulación QPSK, aunquealgo más complejo.

159

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

QPSK

12

3 4

Figura 6.38: Constelación QPSK girada 30o


El canal multicamino es característico de los sistemas radio. En comunicaciones banda base, comunica-ciones por cable, no hay reflexiones de la señal propagada.

6.7.5 Ruido a la salida del filtro adaptado

Sistemas paso banda

El ruido a la salida del filtro adaptado es:

rn(t) = yn(t)∗ p(t0 − t)

Por lo que la densidad espectral a la salida del filtro adaptado será:

Srn( f ) = Syn( f )|P( f )|2

El ruido en el sistema analógico paso banda ha sido ampliamente estudiado en la sección 4.5.1

En esta sección sólo se va a considerar el filtro receptor ideal y que la banda de la señal digital es simétricarespecto de la frecuencia central. En este caso, la densidad espectral del ruido paso bajo a la salida delsistema analógico es la calculada en la expresión 4.4 de la página 80 con f2 = f1

Syn( f ) = 2N0GR ∏

(f

2B

)siendo B = Bn/2 = Bhr/2

160

De nuevo aparece el problema explicado anteriormente. El pulso P( f ) tiene una extensión infinita enfrecuencia. Si se supone que el ancho de banda del filtro receptor es suficientemente grande, se puedeconsiderar que el pulso es ideal y la densidad espectral de potencia y la potencia (varianza) del ruidoserán:

Srn( f ) = 2N0GR|P( f )|2 (6.52)

Prn = σ2rn=∫

∞

−∞

Srn( f )d f = 2N0GR

∫∞

−∞

|P( f )|2 d f = 2N0GREp (6.53)

Las componentes fase y cuadratura del ruido están incorreladas y tienen igual potencia. La varianza deambas es:

σ2irn

= σ2qrn

=12

σ2brn

= N0GREp

Sistemas banda base

El ruido a la salida del filtro adaptado es:

rn(t) = yn(t)∗ p(t0 − t)

Por lo que la densidad espectral a la salida del filtro adaptado será:

Srn( f ) = Syn( f )|P( f )|2

El ruido en el sistema analógico banda base ha sido ampliamente estudiado en la sección: 4.4

En esta sección sólo se va a considerar el filtro receptor ideal. En este caso, la densidad espectral delruido a la salida del sistema analógico banda base es la calculada en la expresión 4.3 de la página 78

Syn( f ) = Sw( f )|HR( f )|2 = N0

2GR ∏

(f

2B

)siendo B = BhR .

Aquí también se tiene el problema explicado anteriormente. El pulso P( f ) tiene una extensión infinitaen frecuencia. Si se supone que el ancho de banda del filtro receptor es suficientemente grande, se puedeconsiderar que el pulso es ideal y la densidad espectral de potencia y la potencia (varianza) del ruidoserán:

Srn( f ) =N0

2GR|P( f )|2 (6.54)

Prn = σ2rn=∫

∞

−∞

Srn( f )d f =N0

2GR

∫∞

−∞

|P( f )|2 d f =N0

2GREp (6.55)

El efecto del filtro adaptado para una transmisión digital banda base, se ilustra en las figuras 6.39 y 6.40.En la primera se presentan las señales digitales a la entrada del filtro adaptado y en la segunda, las mismasseñales a la de salida del filtro. Los triángulos azules, en la segunda, representan las correlaciones de cadapulso rectangular con el filtro adaptado y la línea en negro la señal digital, sin ruido, a la salida del filtroadaptado, combinación de los pulsos triangulares.

En la figura 6.39, la línea de color rojo es la señal digital más un ruido gaussiano, a la entrada delfiltro adaptado. En la figura 6.40, la línea roja es la señal+ ruido de salida del filtro adaptado. Obsérvesecomo la señal+ruido de salida, perfectamente sincronizada, tm = t0 +mT , se puede muestrear en dichosinstantes tm ( puntos cian) proporcionando el valor correcto de los bits. En la señal+ruido a la entradadel filtro (línea roja de la figura 6.39), no es evidente cuales serían los instantes de muestreo y como seobserva, en algún punto, la decisión podría ser errónea.

Las aserciones anteriores, sobre la decisión correcta de los bits, dependen de la relación señal/ruido a laentrada del filtro adaptado, como se verá más adelante.

161

Figura 6.39: Señal polar con ruido blanco a la entrada del filtro adaptado

salida señal FA

salida señal+ruido FA

Figura 6.40: Señal polar con ruido a la salida del filtro adaptado

6.8 FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILI-DAD (PDF)

6.8.1 Transmisión digital paso banda

La figura 6.33 muestra el esquema completo del sistema de transmisión digital ideal paso banda: sistemaanalógico con filtros y canal ideales, filtro adaptado y muestreo de la señal debidamente sincronizada.Esta figura se reproduce aquí para una mayor comodidad.

0( )p t t−( )y t( )b t ( )r t [ ]r m

mtSISTEMA


Figura 6.41: Salida deseada del equivalente complejo paso banda, filtro adaptado y muestreo

162

En condiciones de canal y fltros transmisor y receptor ideales, la señal de salida es la dada por la expresión6.51:

r[m] = Ep√

Ge jφha

∞

∑n=−∞

a [n]δ [m−n]+ rn[m] = Ep√

Ge jφha a[m]+ rn[m]

La varianza el ruido es la proporcionada por la expresión 6.53

σ2rn= 2N0GREp

Para determinar el símbolo transmitido, en primer lugar se ha de compensar la fase, de lo contrario lascomponentes fase y cuadratura del símbolo se cruzarían. De esta manera se obtiene

r0[m] =√

GEpa[m]+ rn0 [m]

siendorn0 [m] = rn[m]e− jφha

La varianza de rn0 [m] es la misma que la de rn[m], ya que la fase se elimina al tomar esperanzas.

El símbolo transmitido se ha de obtener a partir de la señal recibida r0[m]. Esta es una variable aleatoriacompuesta por una variable aleatoria discreta Ep

√Ga[m] y otra continua rn0 [m] que es el ruido. Esta

última es una variable normal N (0,σ2rn0) de media nula y varianza σ2

rn0= 2N0GREp.

El problema se puede enfocar suponiendo que en el instante m-ésimo se ha transmitido el símbolo ai yllamando

z0 ≡ r0[m]|ai

v0 ≡ rn0 [m]

El problema se transforma en el siguiente:

z0 =√

GEpai + v0. (6.56)

z0 una variable aleatoria condicionada a haber transmitido el símbolo ai y es, por tanto, una variablecompleja normal de media

µz0 = Ep√

Gai

y varianzaσ

2z0= σ

2v0= 2N0GREp (6.57)

La función de densidad de la variable compleja z0 vendrá dada por:

f z0|ai(z0) =1

πσ2v0

e− 1

σ2v0(z0−z0i)

H(z0−z0i)=

1πσ 2

v0

e− 1

σ2v0|z0−z0i|2

(6.58)

siendo z0i =√

GEpai

Haciendo z0 = x0 + jy0 y z0i = x0i + jy0i se obtiene

|z0 − z0i|2 = (x0 − x0i)2 +(y0 − y0i)

2 = (r0 − r0j)T (r0 − r0j)

siendo:

r0 =

[x0y0

]; r0j =

[x0 j

y0 j

]

Y la función de densidad de probabilidad se puede escribir con variables reales como

f z|a j(r0) =1

2πσ02 e− 1

2σ02 (r0−r0 j)

T (r0−r0 j) (6.59)

163

o equivalentemente:

f z0|ai(x0,y0) =1√

2πσ0e− 1

2σ02 (x0−x0i)

2 1√2πσ0

e− 1

2σ02 (y0−y0i)

2

(6.60)

x0i =√

GEp Re[ai]

y0i =√

GEp Im[ai]

y

σ20 =

12

σ2v0= N0GREp (6.61)

Que es la varianza de las componentes fase y cuadratura: σ20 = σ2

iv0= σ2

qv0, ya que ambas componentes

están incorreladas y tienen la misma varianza.

La función de densidad cumple que:

∞∫−∞

∞∫−∞

f z0|ai(x0,y0)dx0dy0 = 1

Si se compensa la amplitud en la salida, dividiendo por√

GT Ep se tendrá:

z = ai + v

La varianza del ruido v será:

σ2v =

σ2v0

GE2p=

2N0GREp

GE2p

=2N0LGT Ep

(6.62)

La PDF compleja será:

f z|ai(z) =1

πσ2v

e− 1

σ2v|z−zi|2 (6.63)

haciendo z = x+ jy y zi = xi + jyi, se obtiene

|z− zi|2 = (x− xi)2 +(y− yi)

2 = (r− rj)T (r− rj)

siendo:

r =[

xy

]; rj =

[x j

y j

]

Esta expresión se puede escribir también en forma vectorial, en cartesianas, como

f z|a j(r) =1

2πσ2 e−1

2σ2 (r−r j)T (r−r j) (6.64)

o equivalentemente

f z|ai(x,y) =1√

2πσe−

12σ2 (x−xi)

2 1√2πσ

e−1

2σ2 (y−yi)2

(6.65)

conσ

2 =12

σ2v = N0GREp (6.66)

que es la varianza de las componentes fase y cuadratura: σ2 = σ2iv = σ2

qvde la salida compensada, ya que

ambas componentes también están incorreladas y tienen la misma varianza.

Es decir, la PDF de la variable z0 normalizada con√

GEp, esto es, la variable compensada en amplitud.

164

Este resultado es muy importante como se verá más adelante en los diferentes estudios.

Las nuevas variables de esta PDF son:zi = ai

z = x+ jy

yzi = xi + jyi

xi = Re[ai]

yi = Im[ai]

6.8.2 Transmisión digital banda base

En transmisión digital banda base, no hay que compensar la fase ya que ni los filtros transmisor nireceptor ni el canal introducen ninguna fase al ser filtros paso bajo. La señal de salida tiene la mismaforma, sólo que los símbolos son reales. La varianza del ruido es la mitad que en el caso de paso bandacomo ya ha sido demostrado en la expresión 4.3 de la página 78

x0 =√

GEpai + v0 (6.67)

La varianza del ruido es:

σ20 = σ

2v0=

12

GRN0Ep (6.68)

La función de densidad de probabilidad es

f x0|ai(x0) =1√

2πσv0

e− 1

2σ2v0(x0−x0i)

2

(6.69)

con x0i =√

GEpai

Si se normaliza la señal recibidax0 =

√GEpx

Siendox = ai + v

La desviación típica de v es

σ =σ0√GEp

=

√N02 GREp√

GEp=

√N0L

2GT Ep(6.70)

La PDF será

f x|ai(x) =1√

2πσe−

12σ2 (x−xi)

2

(6.71)

Con xi = ai

165

6.9 ESTIMACIÓN MAP (Máximo a Posteriori)6.9.1 Estimación MAP en variable compleja

La salida del filtro adaptado muestreada, compensada la fase y sicronizada es la de la ecuación 6.56

z0 =√

GEpai + v0

donde z0 es la variable aleatoria condicionada a haber transmitido el símbolo ai y es, por tanto, unavariable compleja normal de media

√GEpai y varianza

σ2v0≡ σ

20 = 2GRN0Ep

Se trata de decidir cuál es el símbolo transmitido ai en el instante m-ésimo, a[m] = ai

El estimador MAP decide el símbolo ai que maximiza la probabilidad a posteriori

ai = maxa j

Pr{

a j|z0}

La expresión anterior significa que hay que calcular todas las probabilidades a posteriori de los símbolosa j; j = 1...M habiendo recibido el valor z0 y decidir el símbolo ai que da la máxima probabilidad. Estasprobabilidades no se pueden calcular de forma analítica. El problema se resuelve si se tiliza el teoremade Bayes,

Pr{

a j|z0}=

Pj fz0|a j(z0)

fz0(z0)

siendo Pj la probabilidad del símbolo j-ésimo y fz0|a j(z0) la función de densidad de probabilidad. Eldenominador no depende del símbolo transmitido y puede eliminarse, quedando el criterio MAP de laforma

ai = maxa j

[Pj f z0|a j(z0)

]La PDF compleja es la dada por la expresión 6.58

f z0|a j(z0) =1

πσ 20

e− 1

σ20

∣∣z0−z0 j∣∣2

siendo σ0 ≡ σv0 , como se ha definido anteriormente la varianza del ruido gaussiano complejo. Las ex-presiones se pueden escribir en cartesianas teniendo en cuenta que:

|z0 − z0 j |2 = (x0 − x0 j)2 +(y0 − y0 j)

2 = (r0 − r0j)T (r0 − r0j)

para la salida sin compensar o

|z− z j|2 = (x− x j)2 +(y− y j)

2 = (r− rj)T (r− rj)

para la salida compensada y siendo

r =[

xy

]rj =

[x j

y j

]Puesto que la probabilidad y la función de densidad de probabilidad son positivas, se puede maximizarel logaritmo neperiano del producto, al ser la función logaritmo monótona creciente. Así el estimadorMAP se puede escribir

ai = maxa j

{ln[Pj f z0|a j(z0)

]}= max

a j

{lnPj + ln

[f z0|a j(z0)

]}166

Sustituyendo la PDF

ai = maxa j

{lnPj − ln(πσ

2v0)− 1

σ2v0

|z0 − z0 j|2}

Multiplicando por σ2v0

y teniendo encuenta que la constante σ2v0

ln(πσ2v0) es irrelevante en el proceso de

maximización, se tiene finalmente que:

ai = maxa j

{σ

2v0

lnPj −|z0 − z0 j|2}= max

a j

{2σ

20 lnPj −|z0 − z0 j|2

}Si se sustituyen z0 =

√GEpz y z0 j =

√GEpz j y se divide toda la expresión por GE2

p, se obtiene:

ai = maxa j

{σ

2v lnPj −|z− z j|2

}= max

a j

{2σ

2 lnPj −|z− z j|2}

siendo σ = σ0√GEp

, como se ha definido anteriormente

Finalmente se puede escribir que:

ai = maxa j

{ln[Pj f z|a j(z)

]}= max

a j

{2σ

20 lnPj −|z0 − z0 j|2

}= max

a j

{2σ

2 lnPj −|z− z j|2}

(6.72)

6.9.2 PDF y criterio MAP en coordendas cartesianas

La expresión del estimador MAP 6.72 se escribe ahora en cartesianas:

ai =maxa j

{ln[Pj f z|a j(z)

]}=max

a j

{2σ

20 lnPj − (r0 − r0j)

T (r0 − r0j)}=max

a j

{2σ

2 lnPj − (r− rj)T (r− rj)

}(6.73)

Las varianzas σ20 y σ2 son las dadas por las expresiones 6.61 y 6.66, respectivamente.

La expresión anterior revela que en la estimación del símbolo es indiferente utilizar la PDF de la señalrecibida o cualquier otra escalada, es decir, si se compensa la señal, el criterio MAP es el mismo. Sólohay que tener en cuenta la correspondiente varianza escalada del ruido.

El estimador MAP para banda base tiene una expresión similar, pero unidimensional, a la que se llegautilizando el mismo procedimiento.

ai = maxa j

{ln[Pj f x|a j(x)

]}= max

a j

{2σ

20 lnPj − (x0 − x0 j)

2}= maxa j

{2σ

2 lnPj − (x− x j)2} (6.74)

sólo que en banda base, la varianza σ20 es la dada por la expresión 6.68 y la varianza de la salida com-

pensada por la expresión 6.70.

En las secciones siguientes, hasta la sección 6.13, exclusive, todos los estudios utilizarán la señal com-pensada.

En la figura 6.42 se ilustra gráficamente el criterio MAP

6.10 REGIONES DE DECISIÓNEl criterio MAP de la expresión 6.73 también se puede escribir como

ai = mına j

{(r− rj)

T (r− rj)−2σ2 lnPj

}(6.75)

167

1| 1( | )z af z a

1P

1| 2( | )z af z a

2P

1| ( | )z a Mf z a

MP

MAX

ia

ˆ[ ] ia m a=[ ]ia

z z m=

⋅⋅⋅

Figura 6.42: Diagrama del detector MAP

Si los símbolos son equiprobables:

ai = mına j

{(r− r j)

T (r− r j)}= mın

a j

{d2

j}

donde

d j =[(r− r j)

T (r− r j)]1/2

es la distancia euclídea del símbolo r j al punto observado r.

En este caso se decide el símbolo que está a la menor distancia del punto observado.

En ausencia de un conocimiento de las probabilidades de los símbolos se puede considerar que sonequiprobables. Esto conduce al estimador ML (Maximum Likelihood) que coincide con el estimadorMAP cuando los símbolos son equiprobables.

Sea ahora el conjunto de puntos en el plano tales que:

(r− ri)T (r− ri)−2σ

2 lnPi = (r− rj)T (r− rj)−2σ

2 lnPj; ∀ j 6= i

Es evidente que el criterio MAP no puede decidir el símbolo transmitido. Esta relación es equivalente ala siguiente expresión:

Pi fr|ai(r) = Pj fr|a j(r) (6.76)

Entonces no se puede decidir entre el símbolo i-ésimo y cualquiera de los símbolos j-ésimo. Manipulan-do y simplificando la relación previa se llega a

(ri − r j)T r =

12(Ei −E j)+σ

2 lnPj

Pi(6.77)

168

Esta es la ecuación de una recta perpendicular al vector que une los símbolos ri y r j y que se puededenominar contorno Ci j entre los símbolos ri y r j, esto es, el conjunto de puntos donde no es posibledecidir ninguno de los dos símbolos.

Ei = riT ri = |ai|2; i = 1...M

es la energía del símbolo i-ésimo.

La ecuación general de la recta que une los dos símbolos se puede expresar como:

r =12(ri + rj)+u

ri − rj

di j

siendo 12(ri + rj) el vector del punto medio entre los símbolos, di j es la distancia entre los símbolos y u

es el parámetro de la recta.

La expresión 6.77 de la recta del contorno también se puede escribir como:

(ri − r j)T[

r− 12(ri + rj)

]= σ

2 lnPj

Pi

Resolviendo el sistema de ambas rectas se obtiene el valor de u en la intersección

u =σ2

di jln

Pj

Pi

Y el vector del punto de intersección de ambas rectas:

rint =12(ri + rj)+

ri − rj

di j

σ2

di jln

Pj

Pi

El primer sumando del segundo miembro es el vector del punto medio entre los símbolos. El segundo su-mando es un vector en la dirección del símbolo a j al símbolo ai la cantidad σ2

di jln Pj

Pi. Este desplazamiento

es nulo si las probabilidades de los dos símbolos son iguales, positivo si Pj > Pi y negativo si Pj < Pi.

En definitiva, el contorno Ci j es una recta perpendicular a la recta que une los símbolos. Esta recta sedesplaza del punto medio la cantidad σ2

di jln Pj

Pihacia el símbolo con menor probabilidad.

Evidentemente los contornos C ji y Ci j son el mismo. Si Pi = Pj y Ei = E j, el contorno pasa por el origende coordenadas.

Cada uno de estos contornos divide el espacio de señal en dos zonas y expresa que en una de estas zonasun símbolo es más probable que el otro.

Llamando Zi j a la zona en que el símbolo ai es más probable según el criterio MAP, esto es, aquellospuntos r ∈ Zi j tales que:

(r− ri)T (r− ri)−2σ

2 lnPi < (r− rj)T (r− rj)−2σ

2 lnPj; ∀ j 6= i

Es evidente que la intersección de todas estas zonas define una región Ri

Ri =M⋂

j = 1j 6= i

Zi j

Que es la región de decisión del sÍmbolo ai por el criterio MAP.

169

Por el contrario, la unión de todas las Z ji define la región complementaria a la de decisión del símbolo ai

Ri =M⋃

j = 1j 6= i

Z ji = C−Ri

Ambas regiones son disjuntas y su unión es el plano complejo.

En la figura 6.43 se ilustra lo anterior para la modulación QPSK. En concreto, se aprecia claramentela región de decisión para el símbolo a1 en blanco y la región complementaria, la unión de todas laszonas rayadas. También se pueden apreciar el resto de las regiones de decisión. Las probabilidades delos símbolos son: P1 = 0,3 P2 = 0,15 P3 = 0,3 P4 = 0,25

12C

13C

14C

3R

1ax

x

x

x3a

2a

4a

2R

4R

1R

Figura 6.43: Regiones de decisión de una señal QPSK

Las regiones de decisión en el plano complejo son disjuntas y el conjunto de todas ellas recubre dichoplano complejo. Cada región está asociada a un símbolo y si el punto observado r cae en esta región, elcriterio MAP decide este símbolo. En las siguientes secciones se ilustran las regiones de decisión paraalgunas constelaciones.

6.10.1 Constelaciones unidimensionales

En el caso de constelaciones unidimensionales los contornos serán simplemente puntos en el eje real.Entre ellas tenemos la constelaciones banda base: unipolar y polar y las constelaciones paso banda on-off keying y la constelación BPSK. La expresión 6.77 se reduce a

(xi − x j)xi j =12(x2

i − x2j)+σ

2 lnPj

Pi

o también

xi j =12(xi + x j)+

σ2

di jln

Pl

Pj(6.78)

170

di j = xi − x j

En estas modulaciones, xi = ai y x j = a j, es decir los símbolos.

Los puntos xi j no determinan realmente, como se ha comentado, un intervalo (región) de decisión, sim-plemente dividen el espacio de señal en dos partes: en la parte i, el símbolo ai tiene una probabilidad dedetección mayor que el símbolo a j y viceversa, pero pueden haber otros símbolos diferentes que tenganuna mayor probabilidad de detección. Para que delimiten una verdadera región de decisión, los símbolosha de ser contiguos, esto es a j = ai+1. De esta forma se pueden definir M−1 umbrales γ j; j = 1 : M−1,de forma que

γ j ≡ x j, j+1 =12(a j +a j, j+1)+

σ2

a j −a j+1ln

Pj+1

Pj(6.79)

o también

γ j =12(a j +a j, j+1)+

σ2

d j, j+1ln

Pj+1

Pj(6.80)

d j, j+1 es la distancia entre los símbolos a j y a j+1. Si los símbolos están equiespaciados, d j, j+1 = d;∀ j.

Si los símbolos tienen la misma probabilidad, el segundo sumando es nulo y los contornos son los puntosmedios. Si no son equiprobables, el contorno se desplaza hacia el símbolo con menor probabilidad. Lafigura 6.44 ilustra el contorno para la señal polar ( y también para la señal BPSK ) El umbral de las dos

/ 2d/ 2d−

2a1a

0

1R2R

γ

Figura 6.44: Regiones señal polar

regiones es

γ =σ2

dln

P2

P1

El umbral es positivo si P2 > P1 y negativo si P2 < P1Este umbral es el mismo para la señal BPSK.

Si el canal no se compensa, las regiones de decisión serán geométricamente idénticas, simplementeescaladas por el factor

√GEp, lo que equivale a una distancia mínima recibida d0 =

√GEpd y a una

energía promedio de símbolo recibida Ea0 = GE2pEa.

6.10.2 Constelaciones bidimensionales

Son las constelaciones paso banda extendidas al plano complejo.

171

Constelaciones QPSK o 4-QAM

En la figura 6.45 se representan los contornos y las regiones para la señal QPSK con símbolos equipro-bables (figura de la izquierda) y símbolos no equiprobables (figura de la derecha). Si los símbolos son

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Contornos y regiones:QPSK

12

3 4

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


12

3 4

Figura 6.45: QPSK con símbolos. equiprobables y símbolos con probabilidades p1 = 0,4, p2 = 0,1, p3 =0,25 y p4 = 0,25

equiprobables, los contornos de las regiones son paralelos a los ejes cartesianos y la función de densi-dad de probabilidad es integrable analíticamente. Por el contrario, con símbolos no equiprobables, dichafunción no es integrable y la probabilidad de error se ha de calcular numéricamente.

Constelación 16-QAM

Los contornos y las regiones de la constelación 16-QAM, con símbolos equiprobables, se representa enla figura 6.46.

En esta modulación todos los contornos son paralelos a los ejes cartesianos y por tanto la función dedensidad de probabilidad es integrable en todas las regiones.

Constelación 8-start óptima

Los contornos y las regiones de la constelación 8-start óptima, con símbolos equiprobables, se representaen la figura 6.47.

En esta modulación ninguno de los contornos es paralelo a los ejes cartesianos.

Constelación 8 cuadrada

Los contornos y las regiones de la constelación 8 cuadrada, con símbolos equiprobables, se representaen la figura 6.48.

En esta modulación sólo las regiones 1,3,6 y 8 son integrables.

172

-2 -1 0 1 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Contornos y regiones:16 QAM

1234

5678

9101112

13141516

Figura 6.46: Regiones y contornos de la constelación 16QAM con símbolos equiprobables

Constelación 8-PSK

Los contornos y las regiones de la constelación 8-PSK se representa en la figura 6.49.

Ninguna región es integrable.

Constelación 9-QAM

Los contornos y las regiones de la constelación 9-QAM se representa en la figura 6.50.

Aquí todas las regiones son integrables, pero el número de símbolos no es una potencia de 2, por lo queesta modulación no se utiliza

Constelación 32-QAM

Los contornos y las regiones de la constelación 32-QAM se representa en la figura 6.51.

En esta modulación, las regiones externas 1,4,5,10,23,28,29 y 32 no son integrables.

173

-2 -1 0 1 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Contornos y regiones:8 Optimum Start

12

3 4

5

6

7

8

Figura 6.47: Regiones y contornos de la constelación 8-start óptima con símbolos equiprobables

6.11 PROBABILIDAD DE DETECCIÓN Y PROBA-BILIDAD ERRORTodo el estudio de la probabilidad de error se llevará a cabo con la función de densidad de probabilidadde la señal de salida compensada. Como se verá, dicha probabilidad es la misma que si se utiliza la señalde salida sin compensar.

Si el punto observado z cae en una región determinada Ri, la probabilidad de detección correcta delsímbolo i-ésimo viene dada por la integral de la función densidad de probabilidad en dicha región

Pdi =∫

Ri

f z|ai(z)dz

Y la probabilidad de errorPei = 1−Pdi

Las probabilidades de detección y de error totales serán

Pd =M

∑i=1

PiPdi ;Pe =M

∑i=1

PiPei = 1−Pd

Debido a que las regiones son disjuntas, es fácil demostrar que la probabilidad de detección total quedamaximizada y por consiguiente la probabilidad de error minimizada. En conclusión, el criterio MAPdivide el espacio de señal en regiones disjuntas Ri; i = 1...M. La unión de todas las regiones recubrentodo el espacio de señal. La probabilidad de detección correcta del símbolo i-ésimo es la integral de lafunción de densidad de probabilidad del símbolo en la región Ri; i = 1...M.

174

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Contornos y regiones:8 Square

123

45

678

Figura 6.48: Regiones y contornos de la constelación 8-cuadrada con símbolos equiprobables

Demostración

La probabilidad de detección total es:

Pd =M

∑i=1

PiPdi =M

∑i=1

∫Ri

Pi f z|ai(z)dz

Al ser todas las probabilidades y las funciones de densidad de probabilidad positivas, maximizar laprobabilidad de detección total es equivalente a maximizar cada uno de los sumandos, esto es, maximizarla probabilidad de detección en cada una de las regiones. De esta forma, las regiones Ri; i = 1..M sonaquellas que maximizan la probabilidad de detección del símbolo ai en dicha región multiplicada por laprobabilidad del símbolo.

También se puede demostrar a partir de las probabilidades a posteriori. El siguiente desarrollo demuestrala expresión de la probabilidad de error de símbolo en función de las integrales

Pe =∫

Pr(e|z) fz(z)dz =M

∑i=1

∫Ri

Pr(ei |z) fz(z)dz =M

∑i=1

∫Ri

[1−Pr(ai|z)] fz(z)dz =

=M

∑i=1

∫Ri

fz(z)dz−M

∑i=1

∫Ri

Pr(ai |z) fz(z)dz =

= 1−M

∑i=1

∫Ri

Pr(ai |z) fz(z)dz

175

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Contornos y regiones:8 PSK

1

23

4

5

6 7

8

Figura 6.49: Regiones y contornos de la constelación 8-PSK con símbolos equiprobables

De la expresión anterior se deduce que para minimizar la probabilidad de error, en cada zona de decisiónRi, la probabilidad Pr(ai |z) debe ser máxima (Criterio MAP).

Para resolver analíticamente las integrales que determinan la probabilidad de error o de detección, espreciso que las regiones estén formadas por contornos paralelos a los ejes coordenados. Evidentemente,esto sólo se cumple para ciertas modulaciones como ya ha sido comentado.

Como se verá más adelante, la probabilidad de error será siempre una función del cociente dσ

Puesto que la distancia de la señal sin compensar se puede escribir como d0 =√

GEpd y σ0 =√

GEpσ ,se cumple que

d0

σ0=

dσ

la energía promedio de símbolo es la de la expresión 6.4 de la página 121

Ea =M

∑i=1

Pi|ai|2

Como ha sido visto en las secciones 6.2 y 6.4, existe una relación de proporcionalidad entre la distanciamínima y la raiz cuadrada de la energía promedio de símbolo, relación que también se desprende de lapropia definición de la energía promedio de símbolo. De esta forma se puede escribir

d = λa√

Ea

176

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Contornos y regiones:9 Square

123

456

789

Figura 6.50: Regiones y contornos de la constelación 9-QAM con símbolos equiprobables

con λa el parámetro geométrico característico de cada modulación.

La relación dσ

se puede describir en función de los parámetros que caracterizan un sistema de comunica-ciones digitales, como se verá en las siguientes subsecciones.

Modulaciones paso banda

La potencia transmitida, para cualquier señal mensaje, se puede obtener a partir de la expresión 5.15 dela página 90

PsT =12

GT Pb =12

GT Rb(0)

En el caso de que b(t) sea una señal digital, su correlación viene dada por la expresión 6.31 de la página135. Para τ = 0:

Rb(0) = r∞

∑m=−∞

Ra [m]Rp(−mT )

Y teniendo en cuenta que Rp(−mT ) = Epδ [m]

PsT =12

rGT EaEp =12

rGT

(dλa

)2

Ep

Definiendo la energía promedio transmitida por símbolo como

EsT =PsT

r=

12

GT Ea2Ep =

12

GT

(dλa

)2

Ep (6.81)

177

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3


1234

5678910

111213141516

171819202122

232425262728

29303132

Figura 6.51: Contornos y regiones 32QAM con símbolos equiprobables

Combinando esta expresión con la desviación típica obtenida anteriormente, se obtiene la relación:

dσ

= λa

√2EsT

LN0(6.82)

Expresión que nos da la relación d/σ en función de los parámetros fundamentales del sistema digital:atenuación del canal, densidad espectral del ruido blanco, energía promedio por símbolo transmitida ygeometría de la modulación.

No confundir la energía promedio por símbolo EsT , que está relacionada con la potencia transmitida dela señal, con la energía promedio de símbolo Ea que es una propiedad de la modulación. Esta relación esgeneral para todas las modulaciones y no depende de las variables arbitrarias d y σ . Como se verá másadelante, esta relación es fundamental en el cálculo de la probabilidad de error.

Modulaciones banda base

En el caso de banda base, la potencia transmitida y su energía promedio por símbolo calculadas es

PT = GT Pb

Sustituyendo Rb(0), de la expresión 6.31

PT = rGT

∞

∑m=−∞

Ra [m]Rp(−mT ) = rGT EaEp

Donde también se ha tenido en cuenta la propiedad Rp(−mT ) = Epδ [m] y que la correlación del pulsoes simétrica.

178

Definiendo la energía promedio transmitida por símbolo como

EsT =PT

r= GT EaEp = GT

(dλa

)2

Ep

Que combinada con la desviación típica de la expresión 6.70 se obtiene la relación

dσ

= λa

√2EsT

LN0(6.83)

Expresión idéntica que para señales paso banda. Todas las consideraciones comentadas para señales pasobanda son aplicables a las modulaciones banda base.

La diferencia entre paso banda y banda base es que la PDF en paso banda es bidimensional, exceptopara BPSK y On-off keying y unidimensional para estas últimas y para la transmisión banda base. Eneste caso los contornos de decisión son simplemente puntos (umbrales) en el eje de abscisas ya que lossímbolos son reales.

6.11.1 Probabilidad de error de las modulaciones banda base

El nivel umbral para cualquier modulación unidimensional ya ha sido calculado y es el dado por laexpresión 6.80

γ j =12(a j +a j, j+1)+

σ2

a j −a j+1ln

Pj+1

Pj

Probabilidad de error de la señal polar

La función de densidad de probabilidad es

fx|ai(x) =1√

2πσe−

12σ2 (x−ai)

2

Con ai =±d2 ; i = 1,2

Sustituyendo estos valores, el nivel umbral es:

γ =σ2

dln

P2

P1

Detector MAP

El nivel umbral se puede obtener de manera específica para esta modulación a partir de la ecuación 6.76

P2 fx|a2(γ) = P1 fx|a1(γ)

conγ ≡ γ1

ya que sólo hay un nivel umbral. Sustituyendo las funciones de densidad de probabilidad:

P21√

2πσe−

12σ2 (γ+

d2 )

2= P1

1√2πσ

e−1

2σ2 (γ−d2 )

2

179

γ0 d/2−d/2 x

P1 fx|a1(x)

P2 fx|a2(x)

Figura 6.52: Umbral para una señal polar

Donde d = a1 −a2, es la distancia entre los símbolos

Simplificando y tomando logaritmos neperianos

lnP2 −1

2σ2 (γ +d2)

2= lnP1 −

12σ2 (γ −

d2)

2

Resolviendo la ecuación

γ =σ2

dln

P2

P1(6.84)

El mismo que el obtenido de forma general.

En la figura 6.52 se representan las dos PDFs ponderadas con las respectivas probabilidades de símbolo.La intersección de estas dos funciones da el nivel umbral. El área sombreada con el color azul es

P2

∫∞

γ

fx|a2(x)dx = P2Pe2

Y la sombreada con color rojo

P1

∫∞

γ

fx|a1(x)dx = P1Pe1

La probabilidad de error del 0 es

Pe2 =

∞∫γ

fx|a2(x)dx

Y la probabilidad de detección

Pd2 =

γ∫−∞

fx|a2(x)dx = 1−Pe2

Ya que la integral de la función de densidad de probabilidad es la unidad. Realizando el cambio devariable r+ d

2 = σu; dr = σdu

Pe2 =1√

2πσ

∫∞

γ

e−1

2σ2 (x+d2 )

2dx =

1√2π

∫∞

γ+ d2

σ

e−12 u2

du = Q

(γ + d

2σ

)

La función Q(λ )

Q(λ ) =1√2π

∞∫λ

e−u22 du

180

Es una función muy popular en comunicaciones y es el área de una gasussiana de desviación típica launidad, entre el valor λ e infinito. Para valores negativos de λ se puede escribir

Q(λ ) = 1− 1√2π

∞∫|λ |

e−u22 du = 1−Q(|λ |) ;λ < 0

En la figura 6.53 se ilustra la función Q(λ ) para valores positivos de λ . Obsérvese que la función de-

0 1 2 3 4 5 610 -10

10-8

10-6

10-4

10-2

10 0Función Q

λ

( )Q λ

Figura 6.53: función Q(λ )

cae muy rápidamente con el argumento de dicha función. Ligeros incrementos de λ provocan caídasespectaculares de la función, que como veremos es lo mismo que decir que la probabilidad de error paracualquiera que sea la modulación.

La integral en Pe2 se puede interpretar como el área de la cola de la gaussiana de la figura 6.54 (áreasombreada) Dicha área es igual a la función

Q(

Dσ

)siendo D la distancia entre el umbral γ de la cola y el centro de la gaussiana (−d

2 ) y σ la desviación típicade dicha gaussiana. En este caso:

D = γ +d2

Esto puede utilizarse como regla nemotécnica para cualquier tipo de modulación y probabilidad de error.

Así para la probabilidad de error del símbolo "1"

Pe1 =

γ∫−∞

fx|a1(x)dx

181

γ0−d/2 x

fx|a2(x)

Figura 6.54: Área de la cola derecha de la gaussiana

γ0 d/2 x

fx|a1(x)

Figura 6.55: Área de la cola izquierda de la gaussiana

Y la probabilidad de detección

Pd1 =

∞∫γ

fx|a1(x)dx = 1−Pe1

La integral en Pe1 es el área de la cola de la gaussiana de la figura 6.55 (área sombreada)

En este caso la distancia entre el centro de la gaussiana y el umbral es, D = d2 − γ y por tanto la probabi-

lidad de error del símbolo "1"

Pe1 = Q

(d2 − γ

σ

)Y la probabilidad de error del símbolo "0", ya calculada

Pe2 = Q

(d2 + γ

σ

)

La probabilidad de error total

Pe = P1Pe1 +P2Pe2 = P1Q(

d/2− γ

σ

)+P2Q

(d2 + γ

σ

)

de la ecuación 6.84 se deduce que:γ

σ=

σ

dln

P2

P1

Por lo que los argumentos de las funciones Q pueden ser expresados en función de la relación dσ

182

Si los símbolos son equiprobables P1 = P2 =12 ⇒ γ = 0, ambas probabilidades son iguales y la probabi-

lidad de error total

Pe = Q(

d2σ

)y teniendo en cuenta que

Ea =12

d2

4+

12

d2

4⇒ d = 2

√Ea

En este caso λa = 2, ya calculada previamente. De la ecuación 6.83, d2σ

=√

2EsTLN0

La probabilidad de error expresada en función de la energía promedio por símbolo viene dada por

BER = Peb = Pe = Q

(√2EsT

LN0

)

BER (Bit error ratio), es la probabilidad de error de bit. EbT es la energía promedio por bit transmitidaque en este caso es la misma que la energía promedio por símbolo transmitida.

Minimización de la probabilidad de error

Alternativamente al criterio MAP, la probabilidad de error se puede calcular de la forma siguiente: Seelige un umbral arbitrario γ = γ12 entre ambos símbolos. La probabilidad de error para el símbolo 1 es

Pe1 =∫

γ

−∞

fx|a1(x)dx

Y la probabilidad de error del símbolo 2

Pe2 =∫

∞

γ

fx|a2(x)dx

La probabilidad de error total

Pe = P1Pe1 +P2Pe2 = P1

∫γ

−∞

fx|a1(x)dx+P2

∫∞

γ

fx|a2(x)dx

Para encontrar el umbral óptimo que minimiza esta probabilidad de error se ha de derivar la expresiónanterior e igualar a cero.

dPe

dγ= P1

ddγ

∫γ

−∞

fx|a1(x)dx+P2ddγ

∫∞

γ

fx|a2(x)dx

El integrando de ambas integrales no depende de γ . Esta variable sólo está en los límites de dichasintegrales, por lo que:

dPe

dγ= P1 fx|a1(γ)−P2 fx|a2(γ) = 0

Es decir, el umbral óptimo γ cumple la condición

P1 fx|a1(γ) = P2 fx|a2(γ)

que es la misma que se obtiene con el criterio MAP

183

γ0 d x

P1 fx|a1(x)

P2 fx|a2(x)

Figura 6.56: Umbral para una señal unipolar

Probabilidad de error de la señal unipolar

Los símbolos son:

a1 = d; a2 = 0;d2=

√Ea

2En la figura 6.56, la equivalente a la señal polar, se representan las dos PDFs ponderadas con las respec-tivas probabilidades de símbolo. La intersección de estas dos funciones da el nivel umbral. De nuevo,el área sombreada con el color azul es P1Pe1 y la sombreada en rojo P2Pe2 La señal unipolar se puedeconsiderar como una señal polar donde el eje de ordenadas se desplaza d/2 hacia la derecha, por lo queel nivel umbral es:

γ =d2+

σ2

dln

P2

P1

En este caso la distancia de los símbolos a las colas de las gaussianas son D2 = γ y D1 = d − γ , por loque la probabilidad de error total será:

Pe = P1Pe1 +P2Pe2 = P1Q(

d − γ

σ

)+P2Q

(γ

σ

)Si los símbolos son equiprobables γ = d/2 y la probabilidad de error:

Pe = Q(

d2σ

)Puesto que en esta modulación

d =√

2Ea

λa =

√12

y de la ecuación 6.83, d2σ

=√

EsTLN0

La probabilidad de error en función de la energía promedio por símbolo es

BER = Peb = Pe = Q(√

EsT

LN0

)= Q

(√EbT

LN0

)Para mantener la misma probabilidad de error que en la señal polar, la energía promedio por bit se ha deduplicar. Ello es debido a que la mitad de la potencia de la señal digital estaría en la raya espectral en elorigen de frecuencias ( componente contínua) y ésta no lleva información.

En la figura 6.57 se dibujan las probabilidades de error para las señales polar y unipolar para la mismaEBN0=

EbTLN0

. Esta EBN0 es la misma que EBN0=EbRN0

si el canal es ideal, siendo EbR la energía promediopor bit recibida.

184

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

EBN0

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

10 0

BER

BER para la señales polar y unipolar

Polar

Unipolar

Figura 6.57: Comparación entre la BERs de las señales polar y unipolar

Probabilidad de error de la señal polar M-aria

En la figura 6.58, se presenta la constelación de una señal cuaternaria polar, como señal de apoyo para elestudio de la señal M-aria, con los correspondientes umbrales a determinar. Para calcular la probabilidad

/ 2A/ 2A−

2a 1a

d

04a 3a

3 / 2A− 3 / 2A1γ2γ3γ

Figura 6.58: Regiones de la señal cuaternaria polar

185

de error se comenzará minimizando la misma y se demostrará que también es coincidente con el detectorMAP. La probabilidad de error en cada región i-ésima es la probabilidad de que el valor x caiga fuera dedicha región cuando se ha transmitido el símbolo ai. Así la probabilidad de error será

Pei =∫

x/∈Ri

f x|ai(x)dx = 1−∫

Ri

f x|ai(x)dx

Para las regiones internas

Pei =∫

γi

−∞

f x|ai(x)dx+∫

∞

γi−1

f x|ai(x)dx; i = 2, ...,M−1

y para las regiones externas

PeM =∫

γM−1

−∞

f x|a1(x)dx

Pe1 =∫

∞

γ1

f x|aM(x)dx

La probabilidad de error total será

Pe =M

∑i=1

PiPei

Los niveles umbrales óptimos se pueden calcular derivando la probabilidad de error con respecto a losmismos e igualando a cero

dPe

dγ j=

M

∑i=1

PidPei

dγ j= 0; j = 1 : M−1

La derivada de cada término es:dPei

dγ j=

dPe j

dγ j+

dPe j+1

dγ j

Ya que en todas la probabilidades, sólo Pe j y Pe j+1 dependen del umbral γ j

Sustituyendo las probabilidades y teniendo en cuenta que la variable γ j sólo está en los límites de inte-gración, la derivada de la probabilidad total da lugar a las siguientes ecuaciones:

Pj f x|a j(γ j) = Pj+1 f x|a j+1(γ j)

El umbral γ j es la intersección de las dos gaussianas de los símbolos contiguos, ponderadas con lasprobabilidades de los símbolos, igual que en las señales binarias. Siguiendo el mismo procedimiento quela señal binaria polar, estos umbrales serían, por tanto, los mismos que proporciona el estimador MAP,

γ j =12(a j +a j+1)+

σ2

dln

Pj+1

Pj

Que es el de la expresión 6.80

γ j =12(a j +a j, j+1)+

σ2

a j −a j+1ln

Pj+1

Pj

particularizado para símbolos distribuidos uniformemente.

En la figura 6.59 se representan las gaussianas de la modulación polar cuaternaria ponderadas con las pro-babilidades de los símbolos. Los umbrales óptimos son las intersecciones entre las PDFs ponderadas dedos símbolos consecutivos. Por razones de espacio en la figura, estas se denominan gi(x) = Pi fx|ai(x).Lasregiones de decisión Ri; i = 1 : M son las comprendidas entre los umbrales.

En la figura 6.60 se representan las área de integración para los dos símbolos externos i = 1 e i = M,M = 4 en la cuaternaria. Éstas están sombreadas: en rojo para el símbolo a1 y en azul para el símboloaM.

186

Siguiendo la regla nemotécnica, las probabilidades de error de los símbolos extremos serán:

Pe1 = Q(

a1 − γ1

σ

)

PeM = Q(

γM−1 −aM

σ

)Sustituyendo los umbrales

Pe1 = Q

(d2 −

σ2

d ln P2P1

σ

)

PeM = Q

d2 +

σ2

d ln PMPM−1

σ

En la figura 6.61 se representa la gaussiana de un símbolo interiror, a2 en este caso, y los umbrales quedelimitan la región de decisión. Las zonas sombreadas representan las áreas de integración. La probabi-lidad de error del símbolo i-ésimo será la suma de las dos áreas sombreadas

Pei = Q(

ai − γi

σ

)+Q

(γi−1 −ai

σ

)

y sustituyendo los umbrales

Pei = Q

(d2 −

σ2

d ln Pi+1Pi

σ

)+Q

d2 +

σ2

d ln PiPi−1

σ

; i = 2 : M−1

Si los símbolos son equiprobables

Pe1 = PeM = Q(

d2σ

)Pei = 2Q

(d

2σ

); i = 2 : M−1

Y la probabilidad de error total

Pe =1M

M

∑i=1

Pei

Pe = 2(1− 1M)Q(

d2σ

)

γ1γ2γ3 a1

R1

g1(x)

a2

R2

g2(x)

a3

R3

g3(x)

a4

R4

g4(x)

0

Figura 6.59: Umbrales para una señal cuaternaria

187

γ1γ3 a1

R1

fx|a1(x)

a2a3a4

R4

fx|a4(x)

0

Figura 6.60: Probabilidad de error para símbolos externos

γ1γ2γ3 a1a2

R2

fx|a2(x)

a3a4 0

Figura 6.61: Probabilidad de error para símbolos interiores

Finalmente y teniendo en cuenta que en esta modulación, la energía promedio de símbolo es, de acuerdocon la ecuación 6.12

Ea =d2

4M2 −1

3

λa = 2

√3

M2 −1

La relación

d2σ

=

√3

M2 −12EsT

LN0

Y la probabilidad de error total

Pe = 2(1− 1M)Q

(√3

M2 −12EsT

LN0

)(6.85)

Si M = 2 la probabilidad es la misma que la obtenida para la señal binaria polar. La probabilidad de errorde bit, si se utiliza un código de Gray, es

BER =2

log2 M(1− 1

M)Q

(√3

M2 −12EbT log2 M

LN0

)

188

6.11.2 Probabilidad de error de las modulaciones paso banda

Modulaciones BPSK y On-Off keing

En este caso, los símbolos a [m] son reales y el ruido es el de la componente en fase.

ir [m] = a [m]+ iv0 [m]

Dado que la componente en fase y cuadratura del ruido tienen la misma potencia

σ2iv0

= σ2 =

12

σ2v0=

N0Ea

2Es

Idéntica expresión que para modulaciones banda base.

La probabilidad de error para ambas modulaciones es:

Pe = Q(

d2σ

)Análogamente, las relaciones entre la distancia y la energía promedio por símbolo son las mismas:

d2=√

Ea para BPSK ⇒ λa = 2 ⇒ d2σ

=

√2EsT

LN0=

√2EbT

LN0

d2=

√Ea

2para On-Off Keying ⇒ λa =

1√2⇒ d

2σ=

√EbT

LN0

Por consiguiente,las probabilidades de error, en función de la energía transmitida por símbolo, son lasmismas que las de la señal polar y unipolar, respectivamente.

Modulaciones paso banda complejas

Modulación QPSK o 4QAM

Las regiones de decisión son las ilustradas en la figura 6.45, que se reproduce aquí para más comodidad.Como ya ha sido comentado, si las probabilidades no son las mismas, la PDF no es integrable.

En el caso de símbolos equiprobales, la integral es factible. En este caso, por simetría todos los símbolostienen la misma probabilidad de detección que por ejemplo, el símbolo a1 =

(d2 ,

d2

). La probabilidad de

detección de este símbolo será

Pd1 =∫

R1

f z|a1(z)dz =1√

2πσ

∫∞

0e−

12σ2 (x−x1)

2

dx1√

2πσ

∫∞

0e−

12σ2 (y−y1)

2

dy

x1 = Re[a1] =d2 ; y1 = Im[a1] =

d2 , σ = σiv0

= σqv0. Dado que x1 = y1, ambas integrales son iguales.

La primera integral se puede calcular de la siguiente forma

1√2πσ

∫∞

0e−

12σ2 (x−

d2 )

2

dx = 1− 1√2πσ

∫ 0

−∞

e−1

2σ2 (x−d2 )

2

dx

La integral, en el segundo miembro, es la cola de una gaussiana centrada en d2 y con el nivel umbral

γ = 0. La distancia es por tanto D = d/2. La probabilidad de detección es:

Pd1 =

[1−Q

(d

2σ

)]2

189

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


12

3 4

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


12

3 4

Figura 6.62: QPSK con símbolos. equiprobables y símbolos con probabilidades p = [0,4 0,1 0,25 0.25]

y la probabilidad de error del símbolo "1",

Pe1 = 1−Pd1 = 2Q(

d2σ

)−Q2

(d

2σ

)La probabilidad de error de símbolo total

Pe =4

∑i=1

PiPei =14

4Pe1 = 2Q(

d2σ

)−Q2

(d

2σ

)Como en la modulación polar

σ2 =

LN0Ea

2EsT

Y la energía promedio de símbolo

Ea =14

4|a1|2 =d2

2

d =√

2Ea;λa =√

2

Operandod

2σ=

√EsT

LN0

y la probabilidad de error de símbolo

Pe =4

∑i=1

PiPei =14

4Pe1 = 2Q(√

EsT

N0

)−Q2

(√EsT

LN0

)

Si la probabilidad de error es pequeña, el cuadrado de la función Q(λ ) será despreciable. La probabilidadde error es

Pe ≈ 2Q(√

EsT

LN0

)Para calcular la probabilidad de error de bit, se ha de suponer que se utiliza un código de Gray. En estecaso un error en un símbolo es un error en un bit. De esta forma la probabilidad de error de bit será la

190

mitad de la probabilidad de error de símbolo. Por otra parte, la energía promedio por símbolo es el doblede la energía promedio por bit dando como resultado:

BER = Peb ≈ Q

(√2EbT

N0

)Que es la misma que la de la polar, pero la modulación QPSK transmite el doble número de bits.

Modulación MQAM

Es la modulación 4QAM generalizada donde M es un cuadrado perfecto, M = 4,16,64,256... La cons-telación y la regiones de decisión de esta señal para M = 16 está ilustrada por la figura 6.46 de la página173. También por claridad se reproduce aquí A diferencia de la constelación 4QAM, hay 3 tipos de re-

-2 -1 0 1 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


1234

5678

9101112

13141516

Figura 6.63: Regiones y contornos de la constelación 16QAM con símbolos equiprobables

giones de decisión: 4 en las esquinas que son semi-infinitas en los dos ejes, 4(√

M−2) semi-infinitas enun eje y finitas en el otro y (

√M−2)

2finitas en ambos ejes. Como se verá a continuación, las regiones

pertenecientes a un mismo grupo dan la misma probabilidad.

Regiones semi-infinitas en ambos ejes

Tomando como ejemplo la región 1, la probabilidad de detección es:

Pd1 =∫

R1

f z|a1(z)dz =1√

2πσ

∫∞

x1− d2

e−1

2σ2 (x−x1)2

dx1√

2πσ

∫∞

y1− d2

e−1

2σ2 (y−y1)2

dy

Puesto que y1 = x1, ambas integrales dan el mismo resultado.

191

Realizando el cambio de variable x− x1 +d2 = u, la primera integral se transforma en:

1√2πσ

∫∞

0e−

12σ2 (u−

d2 )

2

du = 1− 1√2πσ

∫ 0

−∞

e−1

2σ2 (u−d2 )

2

du

El mismo resultado que en las regiones de la modulación 4QAM.

La probabilidad de error para el símbolo 1 es por tanto:

Pe1 = 1−Pd1 = 2Q(

d2σ

)−Q2

(d

2σ

)Los 4 símbolos exteriores tienen la misma probabilidad de error como se puede demostrar realizandooperaciones similares. Geométricamente es bastante intuitivo.

Regiones semi-infinita en un eje y finita en el otro

Tomando como ejemplo la región 2, la probabilidad de detección es:

Pd2 =∫

R2

f z|a2(z)dz =1√

2πσ

∫ x2+d2

x2− d2

e−1

2σ2 (x−x2)2

dx1√

2πσ

∫∞

y2− d2

e−1

2σ2 (y−y2)2

dy

La segunda integral es la misma que para los símbolos exteriores.

1√2πσ

∫∞

y2− d2

e−1

2σ2 (y−y2)2

dy = 1−Q(

d2σ

)La primera integral es similar a las de los símbolos interiores de la señal polar M-aria. Hay dos colas degaussiana, ambas idénticas con D = d

2 . La integral es la complementaria de las dos colas; ver figura 6.64

El resultado de la primera integral es:

1√2πσ

∫ xi+d2

xi− d2

e−1

2σ2 (x−xi)2dx = 1−2Q

(d

2σ

)En este caso particular xi = x2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6.64: Integral de la gaussiana entre limite finitos

El área de cada una de las colas es:

Acola = Q(

Dσ

)= Q

(d

2σ

)192

siendo D = d2 , la distancia entre el centro de la gaussiana y el comienzo de la cola. Así, finalmente, la

probabilidad de error es

Pe2 = 1−Pd2 = 1−[

1−Q(

d2σ

)][1−2Q

(d

2σ

)]= 3Q

(d

2σ

)−2Q2

(d

2σ

)Todos los símbolos de este tipo de regiones tienen la misma probabilidad de error, aunque las regionesestén giradas 90◦

Regiones finitas en ambos ejes

La probabilidad de detección de un símbolo perteneciente a unas de estas regiones es:

Pdi =∫

Ri

f z|ai(z)dz =1√

2πσ

∫ xi+d2

xi− d2

e−1

2σ2 (x−xi)2

dx1√

2πσ

∫ yi+d2

yi− d2

e−1

2σ2 (y−yi)2

dy

Ambas integrales dan el mismo resultado, idéntico al calculado en la sección anterior.

De esta forma la probabilidad de detección del símbolo es:

Pdi =

[1−2Q

(d

2σ

)]2

Y la probabilidad de error

Pei = 1−Pdi = 1−[

1−2Q(

d2σ

)]2

= 4Q(

d2σ

)−4Q2

(d

2σ

)La probabilidad de error total es

Pe =1M

[4Pe1 +4(

√M−2)Pe2 +(

√M−2)

2Pei

]Sustituyendo

Pe = 4[(1− 1√

M)Q(

d2σ

)− (1− 1√

M)

2Q2(

d2σ

)]O bien

Pe = 4(1− 1√M)Q(

d2σ

)[1− (1− 1√

M)Q(

d2σ

)]

Finalmente, la probabilidad de error total en función de la energía promedio por símbolo , teniendo encuenta las expresiones 6.82 de la página 178

dσ

= λa

√2EsT

LN0(6.86)

y la expresión 6.26 de la página 133 para el coeficiente geométrico:

λa =

√6

M−1(6.87)

es:

Pe = 4(1− 1√M)Q

(√3

M−1Es

N0

)[1− (1− 1√

M)Q

(√3

M−1Es

N0

)]En condiciones prácticas, el segundo término se puede despreciar ya que es proporcional a Q2

( d2σ

)Pe ' 4(1− 1√

M)Q

(√3

M−1Es

N0

)

193

Si se utiliza un código de Gray, un error en un símbolo provocará un probabilidad de error de bit

Peb =1

log2 MPe

Por otra parte, Es = log2 MEb, quedando finalmente la probabilidad de error de bit

Pe '4

log2 M(1− 1√

M)Q

(√3log2 MM−1

Eb

N0

)

Alternativamente, la probabilidad de error de M-QAM se puede calcular considerando que dicha modu-lación es la composición de dos modulaciones polares

√M −arias, una en fase y la otra en cuadratura.

Ambas modulaciones son idénticas con una probabilidad de error dada por la expresión 6.85, sección6.11.1, página 185.

Pe√

M = 2(1− 1√M)Q

(√3

M−1Es

N0

)

Para la detección del símbolo M-ario se ha de detectar correctamente el símbolo√

M − ario en ambasmodulaciones. Puesto que la probabilidad de detección en la primera modulación polar es igual que laprobabilidad de detección en la segunda, la probabilidad de detección conjunta será el cuadrado de laprobabilidad de cualquiera de ellas y la probabilidad de error de símbolo:

Pe = 1−P2d√

M = 1− (1−Pe√

M)2 = 2Pe√

M(1− 12

Pe√

M)

Sustituyendo la probabilidad de la señal polar√

M−aria obtenida en la expresión 6.85, página 188

Pe = 4(1− 1√M)Q

(√3

M−1Es

N0

)[1− (1− 1√

M)Q

(√3

M−1Es

N0

)]

Que coincide exactamente con la calculada por el método directo.

6.12 COTA SUPERIOR DE LA PROBABILIDAD DEERROREn aquellas modulaciones en las que la PDF no es integrable, puede acudirse a diversos límites de laprobabilidad de error. El más general es el siguiente:

Sea ai el símbolo i-ésimo. El contorno Ci j divide al espacio de señal en dos regiones que se puedendenominar Ri j y R ji. En la región R ji la probabilidad de detección del símbolo a j es mayor que laprobabilidad de detección del símbolo ai y por tanto esa región no forma parte de la región Ri de decisióndel símbolo i-ésimo. La unión de todas las regiones R ji; j 6= i conforman el espacio complementarioa la región de decisión del símbolo i-ésimo. Esto puede verse en la figura 6.65 para el símbolo 1 de laseñal QPSK con símbolos no equiprobables. También puede verse en la figura de la derecha de la figura6.45.

El contorno C12 delimita la región R21. Dicha región está marcada con líneas negras. Análogamente loscontornos C13 y C14 delimitan las regiones R31 y R41 marcadas con líneas azules y rojas, respectivamente.Como puede observarse la unión de las tres regiones conforman el espacio complemetario a la región dedecisión del símbolo a1.

194

12C

13C

14C

21R

31R

41R

1ax

x

x

x3a

2a

4a

Figura 6.65: Cota superior de una señal QPSK

De esta forma:

Pei = Pr

z|ai ∈

M⋃j = 1j 6= i

R ji

Utilizando la propiedad de la probabilidad de la unión

Pei ≤M

∑j = 1j 6= i

Pr{

z|ai ∈ R ji}

;

y la probabilidad de error total

Pe =M

∑i=1

PiPei ≤M

∑i=1

Pi

M

∑j = 1j 6= i

Pr{

z|ai ∈ R ji}

La probabilidad Pr{

z|ai ∈ R ji}

es en realidad un problema unidimensional. Así por ejemplo la regiónR21 de la figura 6.65 es la figura de la izquierda ilustrada en la figura 6.66

Si se realiza una traslación del eje de ordenadas x = x′; y = y′+d/2, el resultado es la figura de la dere-cha. Esta figura se corresponde con una señal polar unidimensional ya que la nueva PDF bidimensionalobtenida a partir de la expresión 6.60

f z′|ai(x′,y′) =

1√2πσ

e−1

2σ2 (x′−ai)

2 1√2πσ

e−1

2σ2 y′2 (6.88)

dado que dxdy = dx′dy′, la integración la desde −∞ hasta ∞ en la dirección y′ es la unidad, quedando laPDF unidimensional correspondiente a la citada señal polar.

195

1axx 2a

12C

21R

1axx 2a

12C

21R

x x

y

y′

Figura 6.66: Cota superior de la región R21 de una señal QPSK

x

x

1a

3a

31R

x

y

1axx

3a

13C′

31R′

x′

y′

13C

Figura 6.67: Cota superior de la región R31 de una señal QPSK

En el caso de los símbolos a1 y a3 la región R31 es la parte de la izquierda de la figura 6.67

En este caso se giran los ejes un ángulo α de forma que el contorno C31 sea el nuevo eje de ordenadas yla recta que une los símbolos el nuevo eje de abscisas. La relación que liga ambas coordenadas es:

r = Gr′

Siendo r =[

xy

]r′ =

[x′

y′

]y G la matriz de trasnformación de coordenadas:

G =

[cosα −sinα

sinα cosα

]Esto es

x = x′ cosα − y′ sinα

y = x′ sinα + y′ cosα

Los diferenciales entre ambas coordenadas son:

dxdy = det(G)dx′dy′ = dx′dy′

ya que el determinante det(G) es la unidad.

y la PDF en las nuevas coordenadas queda exactamente igual que la expresada por la ecuación 6.88, y denuevo el problema se reduce PDF unidimensional correspondiente a la señal polar

196

En el caso general, los ejes coordenados se pueden trasladar y girar de manera que el eje de abscisas seael que une los símbolos ai y a j y el de ordenadas el contorno, que como se ha dicho es perpendiculara la recta que une los símbolos. Procediendo de manera análoga que en los casos anteriores, es fácildemostrar que el problema se convierte en el de una señal polar binaria con los símbolos en −di j

2 y di j2 ,

como se ilustra en la figura 6.67

x

x

ia

ja

jiR

x

y

iaxx

ja

ijC′

jiR′

x′

y′

ijC

Figura 6.68: Cota superior de la región Rji de una señal QPSK

Las gaussianas estarían centradas en dichos puntos y el umbral es como en la señal polar

γi j =σ2

di jln

Pj

Pi

De esta manera, la probabilidad es

Pr{z|ai ∈ R ji}= Q

[di j2 − γi j

σ

]= Q

[di j

2σ− σ

di jln

Pj

Pi

]quedando para las probabilidades de error de los símbolos:

Pei ≤M

∑j = 1j 6= i

Q[

di j

2σ− σ

di jln

Pj

Pi

]

y para la probabilidad de error total:

Pe ≤M

∑i=1

Pi

M

∑j = 1j 6= i

Q[

di j

2σ− σ

di jln

Pj

Pi

]

Si los símbolos son equiprobables

Pi =1M

; ∀i

Los umbrales sonγi j = 0

Quedando la cota superior de la probabilidad de error

Pe ≤1M

M

∑i=1

M

∑j = 1j 6= i

Q[

di j

2σ

]

197

Teniendo en cuenta que:

Q[

di j

2σ

]≤ Q

[d

2σ

]siendo d = dmin, la cota superior se puede escribir, de manera general, como:

Pe ≤ (M−1)Q[

d2σ

](6.89)

Para modulaciones unidimensionales, la expresión se cumple con el signo igual.

Esta es una expresión general que puede simplificarse para muchas modulaciones. Así, puede darse elcaso, en algunas modulaciones, de que alguna de las regiones R ji esté incluida en el espacio generadopor el resto. En este caso, dicha región puede eliminarse de la expresión general. También, si la probabi-lidad de error es pequeña, sólo los sumandos donde di j = dmin = d serán efectivos. El resto pueden serdespreciables.

Un ejemplo es la señal M-PSK. En estas modulaciones, si los símbolos son equiprobales, cada símboloai sólo tiene dos contiguos situados a la distancia mínima que recubren todo el espacio complementarioa la región de decisión de dicho símbolo. De esta forma, si consideramos el símbolo a1, las regionescorrespondientes a los símbolos 2 y M-1 recubrirán dicho espacio y la expresión 6.89 quedaría reducidaa.

Pe ≤ 2Q[

d2σ

]como ha sido calculado anteriormente

d = 2√

Ea sinπ

MEl coeficiente geométrico

λa = 2sinπ

Mla cota se puede escribir como

Pe ≤ 2Q

[√2EsT

LN0sin

π

M

]Otro ejemplo es la constelación 8-óptima con símbolos equiprobales de la figura 6.47 de la página 174.Aquí los 4 símbolos internos tienen 4 símbolos adyacentes a la distancia mínima que recubren todala región complemetaria a la región de detección del símbolo y los 4 externos tienen 2 símbolos a ladistancia mínima y otros 2 a la distancia

√3+1√

2dmin. Aplicando el mismo concepto, se puede escribir que

la cota de la probabilidad de error es:

Pe ≤ 4Q[

d2σ

]Y de acuerdo con las expresiones 6.82 de la página 178

dσ

= λa

√2EsT

LN0(6.90)

y el coeficiente geométrico dado por la expresión 6.30 de la página 135

λa =

√2(1−

√3

3) (6.91)

Pe ≤ 4Q

√(1−√

33

)EsT

LN0

198

6.13 INTERFERENCIA INTERSÍMBOLO. ECUALI-ZACIÓNLa salida deseada discreta es la de la expresión 6.45, página 156

rs [m] =∞

∑n=−∞

a [n]bhe [m−n] = a [m]bhe [0]+ ∑n6=m

a [n]bhe [m−n]

Siendo bhe [m] el canal discreto equivalente de todo el sistema que según la ecuación 6.33 de la mismapágina 156 es

bhe [m] =12

√Geφha

∞∫−∞

Rp [mT −α]bha(α)dα

Si el canal no es ideal, se produce una interferencia intersímbolo. La interferencia depende del tipo demodulación. Más adelante se ilustrará el efecto de esta interferencia con algunos ejemplos concretos.

Para combatir esta interferencia, a la salida del muestreo se puede introducir un sistema discreto heq [m]tal que

bhe [m]∗heq [m] =Cδ [m−K]

La salida del ecualizador vendría dada por

rs0 [m] = rs [m]∗heq [m] =Ca [m−K]

es decir, se obtienen los símbolos transmitidos afectados de una constante y un retardo que dependen delcanal discreto equivalente. En el dominio de la frecuencia

Heq( f ) =C

Bhe( f )e− j2π f K

El ecualizador óptimo es aquel que intercala dos filtros discretos: Uno en el modulador banda base y elotro a la salida del sistema discreto, ver figura 6.69

[ ]0sr m[ ]a m

[ ]Rh m[ ]Th m [ ]ehb m

Figura 6.69: Ecualizador óptimo

Este ecualizador es óptimo ya que al tener dos grados de libertad, uno se puede utilizar para la ecualiza-ción propiamente dicha y el otro para maximizar la SNR de la señal de salida. Este ecualizador no seráestudiado en este curso

Evidentemente, en ambos casos se ha de estimar el filtro equivalente del sistema

199

6.13.1 Forzador de ceros

Los ecualizadores ideales anteriores son en general sistemas IIR. Para poder ecualizar el canal se ha deconocer o estimar dicho canal. El canal es en general variante con el tiempo y la ecualización se ha dellevar a cabo en intevalos de tiempo adecuados. De esta forma, la ecualización no es fija, si no que elecualizador ha de ir modificando sus parámetros de acuerdo con las variaciones del canal y el filtro IIRpuede llegar a ser inestable. El filtro ecualizador se puede aproximar por un filtro FIR que siempre esestable. Este filtro no tiene porqué ser causal. No obstante, en lo que sigue se considerará que es causal,esto es:

heq [m] =N−1

∑n=0

heq [n]δ [m−n]

A la salida del ecualizador se tendrá el equivalente discreto global:

bheq [m] = bhe [m]∗heq [m] =N−1

∑n=0

heq [n]bhe [m−n]

Dado que sólo hay N grados de libertad debido al filtro FIR, la condición no se puede cumplir para todoslos valores de m. La convolución puede escribirse en forma matricial como:

bhe [0] 0 0 . . 0bhe [1] bhe [0] 0 . . 0bhe [2] bhe [1] bhe [0] 0 . 0

. . . . . .bhe [N −1] bhe [N −2] . . . bhe [0]

−− −− −− −−−− −−bhe [N] bhe [N −1] . . . bhe [1]

. . . . . .bhe [Nc −1] bhe [Nc −2] . . . bhe [Nc −N]

0 bhe [Nc −1] . . . bhe [Nc −N +1]. . . . . .0 0 0 0 0 bhe [Nc −1]

heq [0]heq [1]

.

.

.heq [N −1]

=

00...100..0

K

En forma simplificadaBheheq = 1(K)

El sistema tiene Nc +N −1 ecuaciones y N incógnitas. Por tanto es incompatible. Si se quiere tener unasolución compatible hay que seleccionar una submatriz de dimensión N ∗N. Una solución, al sistemaincompatible, es la de mínimos cuadrados, la cual se obtiene minimizando la expresión

L(h∗

eq,heq)=∣∣∣Bheheq −1(K)

∣∣∣2 = [Bheheq −1(K)]H [

Bheheq −1(K)]

Las variables h∗eq,heq son independientes, así, derivando respecto de h∗

eq

∇h∗eq

L(h∗

eq,heq)= BH

he

[Bheheq −1(K)

]= 0

La solución esheq =

(BH

heBhe

)−1BHhe

1(K) = B†he

1(K)

siendoB†

he=(BH

heBhe

)−1 BHhe

la denominada matriz pseudoinversa de Bhe . Nótese que esta solución no pone realmente ceros en ningunaposición, si no que coloca prácticamente un uno en la posición K-ésima y prácticamente ceros en el restode posiciones.

200

Para obtener una solución compatible, se ha de seleccionar una submatriz de orden NxN. El valor de Ky la submatriz seleccionada dependen del canal equivalente paso bajo. En general, el valor máximo delcanal es para m = 0. En este caso, se puede poner K = 0. La matriz del canal se puede descomponer endos submatrices separadas por la línea de rayas: la matriz superior NxN y la inferior (Nc −1)xN.

Bhe =

B(NxN)he

B[(Nc−1)xN]he

y el sistema compatible se puede escribir como

bhe [0] 0 0 . . 0bhe [1] bhe [0] 0 . . 0bhe [2] bhe [1] bhe [0] . . 0

. . . . . .bhe [N −1] bhe [N −2] . . . bhe [0]

heq [0]heq [1]

.

.

.heq [N −1]

=

10...0

Y en forma compacta

B(NxN)he

heq = 1(0)N

Siendo 1(0)N un vector de dimensiones Nx1 con el primer elemento la unidad y el resto ceros.

La solución de este sistema se puede escribir en forma matricial como:

heq = [Bhe ]−1 1(0)N

El sistema se puede resolver también por cualquiera de los procedimientos habituales. De esta forma elcanal global

bh0 = Bheheq =

B(NxN)he

B[(Nc−1)xN]he

heq =

1(0)N

B[(Nc−1)xN]he

heq

=

1(0)N

bISIh0

El equivalente global del canal tiene N +Nc −1 términos. Los N primeros no tienen ISI

b(N)h0

= 1(0)N

y los Nc − 1 restantes componen la denominada ISI residual y se pueden calcular, una vez resuelto elsistema que determina heq a partir de las ecuaciones

bISIh0

= B[(Nc−1)xN]he

heq

Es posible demostrar que la ISI residual es siempre inferior a la ISI original. También se puede demostrarque la ISI residual disminuye aumentando el orden N del ecualizador forzador de ceros. En teoría elforzador se aproxima al ecualizador ideal cuando N → ∞

Esto se verá más adelante para ejemplos concretos.

6.13.2 Ruido de salida del forzador de ceros

El ruido de salida viene dado porrn0 [m] = rn[m]∗heq [m]

Y su correlaciónRrn0 [m] = Rrn [m]∗heq [m]∗h∗eq [−m] = Rbrn

[m]∗Rheq[m]

201

Si el ruido rn[m] es blanco, de media nula y varianza σ2rn

σ2rn0

= σ2rn

Rheq[0] = σ

2rn

N−1

∑n=0

|heq(n)|2

ya queRrn [m] = σ

2rn

δ [m]

6.13.3 Ejemplos de forzador de ceros

Salida con sólo camino directo

Si sólo hay el camino directobhe [m] =

√GEpe jφaδ [m]

Y por tanto la señal de salidars [m] =

√GEpe jφaa [m]

Si se quiere obtener directamente el símbolo generado, se puede utilizar un ecualizador heq[m]

heq[m] = (√

GEpα0)−1e− jφaδ [m]

Es decir se ecualiza tanto la amplitud como la fase.

Salida para dos caminos

Particularizando para dos caminos, y de acuerdo con la expresión 6.49 de la página 158

bhe [m] =√

GEpe jφa

[δ [m]+

1Ep

α1e− j2π fc(τ0−τ1)Rp(mT −∆τ1)

]En el caso particular de que

∆τ = τ1 − τ0 = T

bhe [m] =√

GEpe jφa [δ [m]+αδ [m−1]]

donde se ha tenido en cuenta que fcT es un número entero y que α0 = 1 y α ≡ α1

La señal de salida de salida en este caso es

rs0 [m] =√

GEpe jφa [a [m]+αa[m−1]]

En este caso sólo el símbolo transmitido en el instante m−1, anterior, interfiere con el símbolo trasmitidodeseado a[m].

Ecualizando el camino directors0 [m] = a [m]+αa [m−1]

Llamando z[m]≡ r0[m] con r0[m] = rs0 [m]+ rn0 [m]

El efecto de la ISI se ilustra en la figura 6.70 para una señal banda base polar binaria

La función de densidad de probabilidadfz|ai|a j(z)

significa la PDF cuando en el instante m-ésimo se ha transmitido el símbolo ai y en el instante m−1 elsímbolo a j; j = 1,2, donde se ha considerado que los símbolos son equiprobables.

202

/ 2d/ 2d−

1(1 )2d α+1(1 )

2d α− − 1(1 )

2d α−1(1 )

2d α− +

1 1| |1 ( )2 z a af z

1 2| |1 ( )2 z a af z

2 1| |1 ( )2 z a af z

2 1| |1 ( )2 z a af z

Figura 6.70: PDFs para una señal polar con ISI

Siguiendo los mismos pasos que para calcular la probabilidad de error de la señal polar, el umbral estáen 0 y la probabilidad de error del ”1” es igual a la del ”2” e igual a la probabilidad de error total

Pe1 = Pe2 = Pe =12

Q

[d2 (1−α)

σ

]+

12

Q

[d2 (1+α)

σ

]

Obsérvese que si α = 0 se obtiene la probabilidad de error de la señal polar binaria. Si α 6= 0, el términomás importante es el primero si α > 0 y el segundo si α < 0. En cualquier caso si |α| se aproxima a launidad, la probabilidad de error puede crecer hasta límites inaceptables, de acuerdo con la forma de lafunción Q.

Si se utiliza un ecualizador forzador de ceros de 3 coeficientes, la matriz completa del canal es, Nc = 2,

Bhe =

bhe(0) 0 0bhe(1) bhe(0) 0

0 bhe(1) bhe(0)0 0 bhe(1)

=√

GEpe jφa

1 0 0α 1 00 α 10 0 α

El sistema compatible será

√GEpe jφa

1 0 0α 1 00 α 1

heq(0)heq(1)heq(2)

=

100

Este sistema se puede resolver invirtiendo la matriz, pero dada su estructura, se simplifica la resoluciónsi se observa que de la primera ecuación se puede despejar

heq [0] =1√GEp

e− jφa

de la segunda

αheq [0]+heq [1] = 0 ⇒ heq [1] =−αheq [0] =−α√GEp

e− jφa

203

y de la tercera

αheq [1]+heq [2] = 0 ⇒ heq [2] =−αheq [1] =α2

√GEp

e− jφa

De la cuarta ecuación se obtiene la ISI residual

bISIh0

= B[1x3]he

heq =√

GEpe jφa[

0 0 α1]heq(0)

heq(1)heq(2)

=√

GEpe jφaαheq(2) = α3

Concluyendo, el canal discreto completo es

bh0 =

100

α3

Donde se observa que la ISI residual la provoca el símbolo a[m− 3] con un factor α3. Puesto |α| < 1,su cubo será bastante más pequeño. Si se aumenta el orden del ecalizador N, el exponente de la ISIresidual también aumenta y en el límite cuando N → ∞ la ISI residual tenderá a cero quedando el canalcompletamente ecualizado.

La figura 6.71 ilustra como se modifica la constelación para una señal paso banda QPSK por efectode la ISI con el canal doble camino para α > 0. En este caso se ha transmitido a[m] = ai. La parejade números en la figura (i, j); i, j = 1,2,3,4 se refiere a que el símbolo que interfiere es el símboloanterior a[m−1] = a j.

Los puntos rojos corresponden a los símbolos a[m] = ai; i = 1 : 4 sin ISI. Las aspas negras sonai +αa j; j = 1 : 4. En cada pareja de números, el primero se refiere al símbolo transmitido y el se-gundo al símbolo interferente. Se puede observar que cuando el símbolo interferente es el mismo que eltransmitido la energía de la suma es superior a la del símbolo transmitido.

Un ejercicio interesante es calcular la probabilidad de error total y la misma aproximada.

204

X X

X XO

(13)

(12) (11)

(14)

X X

X XO

(43)

(42) (41)

(44)

X X

X XO

(23)

(22) (21)

(24)

X X

X XO

(33)

(32) (31)

(44)

/ 2d

/ 2d

Figura 6.71: Constelación para una señal QPSK con ISI

205

7 APÉNDICES

207

A VARIABLE COMPLEJA

El estudio de la variable compleja es muy extenso y se pueden encontrar muchos libros donde se desarro-llan ampliamente todos los conceptos. En este apéndice se pretende sintetizar todos aquellos conceptosútiles en los sistemas paso banda

A.1 REPRESENTACIÓN DE VARIABLES COMPLE-JAS

A.1.1 Forma binómica

Una variable compleja u se define comou = uR + juI (A.1)

Donde uR es la parte real del complejo y uI la parte imaginaria

uR = Re[u]

uI = Im[u]

j es la unidad imaginaria cuyo significado se verá en los siguientes apartados

A.1.2 Forma módulo-argumental

La variable u se puede también expresar como

u = |u|e jφu

Siendo |u| el denominado módulo del complejo y φu la fase del mismo

|u|=√

u2R +u2

I

φu = arctanuI

uR

209

A.1.3 Representación gráfica de una variable compleja

Una variable compleja se puede identificar como un vector en el plano complejo bidimensional, dondela parte real se representa en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas. En la figuraA.1 se puede observar esta representación

Iu

Ru

u

Eje real

Eje imaginario

uφ

Figura A.1: Representación de una variable compleja

De la figura se puede observar que la unidad imaginaria j es un complejo de módulo unidad y fase π/2

A.1.4 Suma de complejos

En forma binómica es muy simple

Dados dos complejos u,v la suma de los mismos es

z = u+ v = uR + vR + j(uI + vI)

es decir el complejo z tiene como parte real la suma de las partes reales y como parte imaginaria la sumade las partes imaginarias

A.1.5 Producto de complejos

El producto de complejos en forma binómica es idéntico al producto de ambos binomios, esto es

z = uv = (uR + juI)(vR + jvI) = uRvR + j2uIvI + j(uRvI +uIvR)

Aplicando esta última definición a j2

j2 = e j(π/2+π/2) = e jπ =−1

De esta forma el producto de complejos se puede escribir como,

z = uv = uRvR −uIvI + j(uRvI +uIvR) (A.2)

En forma módulo-argumental, el producto de complejos es:

z = uv = |u||v|e j(φu+φv) (A.3)

210

A.1.6 Fasor exp( jφ)

Este complejo tiene una capital importancia en el estudio de sistemas paso banda. Su módulo es la unidad.Variando el argumento [0 ≤ φ < 2π] , el fasor describe un recorrido completo en la circunferencia deradio unidad

A.1.7 Complejo conjugado

Se define el conjugado de un complejo u = uR + juI como

u∗ = uR − juI (A.4)

En la representación módulo-argumental

u∗ = |u|e− jφu (A.5)

Obsérvese que el conjugado es un vector simétrico del complejo respecto del eje real

Obsérvese también que

uR = Re[u] =u+u∗

2(A.6)

y que

uI = Im[u] =u−u∗

2 j(A.7)

Es fácil de comprobar que el conjugado de la suma y del productos de dos complejos es la suma de losconjugados y el producto de los mismos, respectivamente.

A.1.8 Algunas relaciones importantes

Sea a = Re[u]Re[v]

Esta relación no es lineal pero se puede linealizar de la siguiente forma:

a = Re[u]Re[v] =u+u∗

2v+ v∗

2=

14[uv+uv∗+u∗v+u∗v∗]

El primer término y el cuarto son conjugados, así como el segundo y el tercero. De esta forma se concluyeque

a = Re[u]Re[v] =12

Re[uv+uv∗] (A.8)

Análogamente

Si b = Im[u] Im[v]

b = Im[u] Im[v] =u−u∗

2 jv− v∗

2 j=

−14[uv−uv∗−u∗v+u∗v∗]

Y observando de nuevo que el primer y cuarto término y segundo y tercero son conjugados se tiene

b = Im[u] Im[v] =12

Re[−uv+uv∗] (A.9)

211

sea ahorac = Re[u]Im[v] =

u+u∗

2v− v∗

2 j=

14 j

[uv−uv∗+u∗v−u∗v∗]

Se tiene lo mismo que en casos anteriores y por tanto

c = Re[u] Im[v] =12

Im[uv−uv∗] (A.10)

intercambiando u por v se tiene lo mismo que en el caso anterior y por tanto

d = Im[u]Re[v] =12

Im[uv−u∗v] (A.11)

infty

212

B TRANSFORMADA DE FOURIER DEUN TREN DE IMPULSOS

Sea el tren de pulsos

xp(t) =∞

∑n=−∞

δ (t −nT )

Su transformada viene dada por:

Xp( f ) =∞

∑n=−∞

e− j2πn f T = lımN→∞

N

∑n=−N

e− j2πn f T

Realizando la suma de la progresión geométrica:

lımN→∞

N

∑n=−N

e− j2πn f T =e− j2π(N+1) f T − e j2πN f T

e− j2π f T −1

Sacando factor común e− jπ f T en el numerador y en el denominador

Xp( f ) =1

sinπ f Tlım

N→∞sin2π(N +1/2) f T

Esta expresión se puede escribir como:

Xp( f ) =f −mr

sinπ f/rlım

N→∞

sin2π(N +1/2) f/rf −mr

siendo m un número entero cualquiera y r = 1/T .

El primer factor es una función de f acotada en el intervalo:

(m− 12)r < f < (m+

12)r

y utilizando la regla de l’Hopital vale (−1)m rπ

en f = r.

También se puede comprobar que:

sin2π [(N +1/2)( f −mr)/r] = (−1)m sin2π(N +1/2) f/r

Por tanto se puede escribir que:

Xp( f ) = (−1)m f −mrsinπ f/r

lımN→∞

sin2π [(N +1/2)( f −mr)/r]f −mr

213

La función delta tiene muchas representaciones como límite de algunas funciones, entre ellas:

lıma→∞

sina( f − f0)

f − f0= πδ ( f − f0)

Si se identifica a ≡ 2π(N +1/2)/r y f0 ≡ mr, quedaría, para el intervalo señalado:

Xp( f ) = (−1)mπ

f −mrsinπ f/r

∣∣∣∣∣f=mr

δ ( f −mr) = rδ ( f −mr)

Extendiendo el resultado para todos los valores de m, (−∞ < m < ∞)

Xp( f ) = r∞

∑m=−∞

δ ( f −mr)

214

C TRANSFORMADA INVERSA DE LAFUNCIÓN SIGNO

Teniendo en cuenta la siguiente propiedad de la transformada de Fourier

F−1[

dX( f )d f

]=− j2πx(t)

IdenficandoX( f ) = sign( f )

y teniendo en cuenta qued[sign( f )]

d f= 2δ ( f )

Se obtiene

F−1[sign( f )] = j1

2πtF−1

[d[sign( f )]

d f

]= j

1πt

215

D PDF FUNCIÓN COSENO

D.1 PDF DE PRIMER ORDEN DE LA FUNCIÓNCOSENOSea el proceso

X(t) = acos(2π fct +φ)

Donde a es una constante y φ una variable aleatoria uniforme en el intervalo (−π,π]

El proceso se puede escribir comoX(t) = acosΦ(t)

donde Φ(t) = 2π fct +φ .

Para un t dado, Φ(t) es una variable aleatoria uniforme distribuida en (2π fct −π,2π fct +π] y X(t) esuna variable aleatoria función de la variable Φ(t)

La función de densidad de probabilidad de la variable X(t) vendrá dada por la expresión:

fX(t)(x, t) = ∑n

fΦ(Φn)

| dX(t)dΦ(t) |Φ=Φn |

Donde Φn = Φ1,Φ2 son las raíces de la función X(t) = acosΦ(t) para un X(t) = x en el intervalo(2π fct −π,2π fct +π] como se ve en la figura D.1.

desarrollando el sumatorio para las dos raíces, la PDF se puede escribir como

fX(t)(x, t) =1

2πa

[1

|sinΦ1|+

1|sinΦ2|

]Poniendo el seno en función del coseno

fX(t)(x, t) =1

2πa

[1√

1− cos2 Φ1+

1√1− cos2 Φ2

]finalmente, teniendo en cuenta que acosΦ1 = acosΦ2 = x la expresión final de la PDF del proceso es

fX(t)(x, t) =1π

1|√

a2 − x2|= fX(x)

217

02 f tπ π−02 f tπ π+

1φ 2φ

x

0 5 10 15-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura D.1: Proceso coseno

función que sólo existe para valores −a ≤ x ≤ a y donde se ve que la función de densidad de primerorden no depende del tiempo. También se puede comprobar que el valor medio es nulo y que la potenciamedia es PX = 1

2 a2

218

E TEOREMA DE WIENER-KHINCHIN

E.1 DEFINICIÓN DE LA DENSIDAD ESPECTRALDE POTENCIA DE UN PROCESOPara definir la densidad espectral de potencia de un proceso, considérese una realización del procesoX(t,ξi). Esta realización es una señal de potencia media finita. Su densidad espectral está dada por(señales deterministas de potencia media finita)

SXi( f ) = lımTl→∞

|XTl ( f ,ξi)|2

Tl(E.1)

y es una variable aleatoria. XT ( f ,ξi) es la transformada de Fourier de la realización temporal truncadaal intervalo (−T/2,T/2). La densidad espectral se puede definir como la esperanza de la densidad decualquier realización.


E{|XTl ( f ,ξi)|2

Tl

}= lım

Tl→∞E{|XTl ( f )|2

Tl

}(E.2)

E.1.1 Demostración del Teorema de Wiener-Khinchin

El módulo de la transformada de Fourier de la señal truncada viene dada por:

|XTl ( f )|2 =∫ Tl/2

−Tl/2

∫ Tl/2

−Tl/2X(t)X∗(λ )e− j2π f te j2π f λ dtdλ

Su esperanza vendrá dada por

E{|XTl ( f )|2

}=∫ Tl/2

−Tl/2

∫ Tl/2

−Tl/2RX(t −λ )e− j2π f (t−λ )dtdλ

siendo RX(t −λ ) = E {X(t)X∗(λ )}

El integrando sugiere el cambio de variables t −λ = τ y t = µ o equivalentemente t = µ y µ − τ = λ

El recinto cuadrado de la integral doble se transforma en una figura romboédrica en las nuevas variables( ver figura E.1 )

219

λ µ

2/T=−τµT/2

T/2

-T/2

-T/2t

T/2

-T/2/ 2Tµ τ− = −

τT-T

Figura E.1: Transformación del recinto de integración

De esta forma

E{|XTl ( f )|2

}=∫ 0

−Tl

RX(τ)e− j2π f τdτ

∫ Tl/2+τ

−Tl/2dµ +

∫ Tl

0RX(τ)e− j2π f τdτ

∫ Tl/2

τ−Tl/2dµ

Realizando la primera integral

E{|XTl ( f )|2

}=∫ 0

−Tl

(Tl + τ)RX(τ)e− j2π f τdτ +∫ Tl

0(Tl − τ)Rx(τ)e− j2π f τdτ

E{|XTl ( f )|2

}=∫ Tl

−Tl

(Tl −|τ|)RX(τ)e− j2π f τdτ

quedando finalmente que la densidad espectral es igual a


E{|XTl ( f )|2

Tl

}= lım

Tl→∞

∫ Tl

−Tl

(1− |τ|

Tl

)RX(τ)e− j2π f τdτ

realizando el límite


E{|XTl ( f )|2

Tl

}=∫

∞

−∞

Rx(τ)e− j2π f τdτ

Quedando demostrado el teorema de Wiener-Khinchin

220

F RETARDOS DE FASE Y DE GRUPO

Sea s(t) una señal paso banda como la de la figura 3.7 de la página 57. La expresión general en el dominiotemporal es:

s(t) = is(t)cos(2π fct +θc)−qs(t)sin(2π fct +θc)

La fase θc es la fase arbitraria como la introducida por el modulador paso banda. El ancho de banda esBs = f2 + f1

Sea ahora unn sistema paso bandaH( f ) = |H( f )|e jθh( f )

Tal que la amplitud es prácticamente constante en la banda de la señal, Bs

|H( f )|u |H( fc)|; fc − f1 < | f |< fc + f2

La fase se puede aproximar por una recta, de acuerdo con el desarrollo en serie de Taylor

θh( f )≈ θh( fc)+dθh( f )

d f| f= fc( f − fc)+ ...

Definiendo los retardos de fase y de grupo como

tph =− 12π

θh( fc)

fc(F.1)

tgr =− 12π

dθh( f )d f

| f= fc (F.2)

La respuesta del filtro se puede escribir como

H( f )u |H( fc)|e− j2π fctphe− j2π( f− fc)tgr ; fc − f1 < f < fc + f2

H( f )u |H( fc)|e j2π fctphe j2π( f+ fc)tgr ; − fc − f2 < f <− fc + f1

Para frecuencias negativas, es decir, la respuesta frecuencial conjugada

La analítica y el paso bajo de la respuesta frecuencial del filtro son

Ah( f )u 2|H( fc)|e− j2π fctphe− j2π( f− fc)tgr ; fc − f1 < f < fc + f2

Bh( f ) = Ah( f + fc)u 2|H( fc)|e− j2π fctphe− j2π f tgr ∏

(f −Bs/2

Bs

)221

La respuesta impulsional del filtro paso bajo sería

bh(t) = F−1[Bh( f )] = 2|H( fc)|e− j2π fctphe− j2π f tgr ∗F−1[∏

(f −Bs/2

Bs

)]Esta respuesta impulsional es de difícil aplicación y poco útil. Con objeto de simplificar las relaciones,consideremos el caso de señales deterministas. Consideremos ahora que s(t) es la señal determinista pasobanda de entrada al filtro paso banda. El equivalente paso bajo de la señal de salida sería, en el dominiode la frecuencia

By( f ) =12

Bs( f )Bh( f )

Sustituyendo la respuesta del filtro paso bajo

By( f ) = Bs( f )|Hc( f )|e− j2π fctphe− j2π f tgr ∏

(f −Bs/2

Bs

)Puesto que la señal de entrada s(t) también está limitada a la misma banda que el filtro, se puede escribirque

By( f ) = Bs( f )|Hc( f )|e− j2π fctphe− j2π f tgr

que en el domino del tiempo se reduce a

by(t) =12

bs(t)∗b′h(t)

Siendob′h(t) = 2|H( fc)|e− j2π fctphδ (t − tgr)

Donde b′h(t) es ahora un filtro ideal

La misma relación, en el dominio temporal se cumple para procesos, esto es

by(t) =12

bs(t)∗bh(t) =12

bs(t)∗b′h(t)

y el paso bajo de la señal de salida

by(t) = |H( fc)|e− j2π fctphbs(t − tgr)

La señal analítica y la señal real paso banda serán

ay(t) = by(t)e j2π fct = |H( fc)|e− j2π fctphe j2π fctbs(t − tgr)

y(t) = Re[ay(t)]

y(t) = |H( fc)|[is(t − tgr)cos2π fc(t − t ph)−qs(t − tgr)sin2π fc(t − t ph)]

Es decir, a efectos prácticos, podemos substituir el equivalente paso bajo del filtro real por un paso bajoideal. Eso es debido a que al ser la señal limitada en banda, el filtro puede extenderse en frecuencia yaque será recortado por la señal limitada en banda. Este resultado es muy importante ya que permitirásimplificar muchas operaciones.

El retardo de grupo evaluado en la frecuencia central es el retardo del equivalente paso bajo de la entraday el retardo de fase es el retardo de portadora.

En las figura F.1 se observa la señal paso banda de entrada cuando la componente en fase es nula. Elequivalente paso bajo es bs(t) = x(t)

Y en la figura F.2 la señal filtrada, donde se pueden observar los retardos de fase y de grupo

222

Figura F.1: Señal paso banda real

( ) ( ) cos 2 ( )y s gr c phb t b t t f t tπ= − −

( )s grb t t−

grt

Figura F.2: Señal paso banda real filtrada

223

G CORRELACIÓN Y DENSIDAD ES-PECTRAL DE UNA SEÑAL DIGI-TAL PAM

El equivalente paso bajo de una señal PAM digital paso banda es el dado por la expresión 6.5 de lasección 6.2

b(t) =∞

∑n=−∞

a [n] p(t −nT )

La expresión es la misma para señales PAM digitales banda base es la misma, salvo que en este caso lossímbolos a[n] son reales.

La secuencia de símbolos a [n] se considera estacionaria, esto es

µa(m)≡ µa

Ra [m] = E {a [n+m]a∗ [n]}

Ra[0] = E{|a[n]|2

}=

M

∑i=1

Pi|ai|2 = Ea

σ2a = Ea −|µa|2

Ea es la energía promedio de símbolo y σ2a la varinza de los símbolos.

La correlación de la señal PAM b(t) es:

Rb(t + τ, t) = E {b(t + τ)b∗(t)}= E

{∞

∑n=−∞

a [n] p(t + τ −nT )∞

∑k=−∞

a∗ [k] p(t − kT )

}

Agrupando los sumatorios e introduciendo la esperanza

Rb(t + τ, t) =∞

∑n=−∞

∞

∑k=−∞

E {a [n]a∗ [k]} p(t + τ −nT )p(t − kT )

Realizando la esperanza de los símbolos

Rb(t + τ, t) =∞

∑n=−∞

∞

∑k=−∞

Ra [n− k] p(t + τ −nT )p(t − kT )

225

Realizando el cambio de variable n− k = m

Rb(t + τ, t) =∞

∑m=−∞

Ra [m]∞

∑k=−∞

p [t + τ − (m+ k)T ]p(t − kT )

La correlación depende del tiempo y por tanto se trata de un proceso no estacionario. No obstante, lacorrelación es periódica en t

Rb(t +T + τ, t +T ) = Rb(t + τ, t)

Y por consiguiente es un proceso cicloestacionario con periodo de ciclo T . La correlación promedio sepuede obtener promediando la correlación en un periodo T

Rb(τ) =1T

T/2∫−T/2

Rb(t + τ, t)dt =1T

∞

∑m=−∞

Ra [m]∞

∑k=−∞

T/2∫−T/2

p [t + τ − (m+ k)T ]p(t − kT )dt

Realizando el cambio de variable t − kT = u

Rb(τ) =1T

∞

∑m=−∞

Ra [m]∞

∑k=−∞

(1/2−k)T∫(−1/2−k)T

p [u+ τ −mT ]p(u)du

Como puede observarse en la figura G.1, los intervalos de integración de las integrales para los distintosvalores del índice k son disjuntos y el conjunto de todos ellos recubre la recta real u.

(1/ 2 )k T−( 1/ 2 )k T− −

[ ]1/ 2 ( 1)k T− − − [ ]1/ 2 ( 1)k T− − u

Figura G.1: Intervalos de integración

De esta forma

Rb(τ) =1T

∞

∑m=−∞

Ra [m]

∞∫−∞

p(u+ τ −mT )p(u)du

La integral es la correlación del pulso de energía finita y la correlación promedio se puede escribir como

Rb(τ) =1T

∞

∑m=−∞

Ra [m]Rp(τ −mT ) (G.1)

Siendo

Rp(τ) =

∞∫−∞

p(u+ τ)p(u)du

La correlación también se puede escribir en función de la covarianza de los símbolos teniendo en cuentaque

Ra [m] =Ca [m]+ |µa|2

El resultado final es:

Rb(τ) = r∞

∑m=−∞

Ca [m]Rp(τ −mT )+ |µa|2∞

∑m=−∞

Rp(τ −mT )

226

G.1 DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIALa densidad espectral promedio es la transformada de Fourier de la correlación promedio

Sbs( f ) = A2c Sb( f )

Sb( f ) = F

[1T

∞

∑m=−∞

Ra [m]Rp(τ −mT )

]Teniendo en cuenta que

∞

∑m=−∞

Rp(τ −mT ) = Rp(τ)∗∞

∑m=−∞

δ (τ −mT )

Tomando transformadas

F

[∞

∑m=−∞

Rp(τ −mT )

]= |P( f )|2 F

[∞

∑m=−∞

δ (τ −mT )

]= r|P( f )|2

∞

∑m=−∞

δ ( f −mr)

Donde se ha tenido en cuenta que

F

{∞

∑m=−∞

δ (τ −mT )

}= r

∞

∑m=−∞

δ ( f −mr)

Finalmente introduciendo |P( f )|2 en el sumatorio y por las propiedades de la función delta

|P( f )|2δ ( f −mr) = |P(mr)|2δ ( f −mr)

La densidad espectral se puede escribir en función de la covarianza de los símbolos como

Sb( f ) = r|P( f )|2∞

∑m=−∞

Ca [m]e− j2πm f/r + |µa|2r2∞

∑m=−∞

|P(mr)|2δ ( f −mr)

El espectro de la señal digital consta de dos términos: uno continuo y el otro formado por rayas espec-trales. Este último es nulo si el valor medio de los símbolos µa es cero. La densidad espectral promediode la señal analítica es


Y la de la señal paso banda

Ss( f ) =14[Sas( f )+ Sas(− f )

]=

14[Sbs( f − fc)+ Sbs(− f − fc)

]=

A2c

4[Sb( f − fc)+ Sb(− f − fc)

]La potencia de la señal paso banda se obtiene integrando la expresión anterior

Ps =12

Pbs =A2

c

2Pb

La potencia de la señal paso bajo b(t) se puede calcular integrando su densidad espectral o de una maneramás sencilla:

Pb = Rb(0)

De acuerdo con la expresión G.1

Rb(τ) =1T

∞

∑m=−∞

Ra [m]Rp(−mT ) =1T

Ep

∞

∑m=−∞

Ra [m]δ [m] = rRa[0]Ep = rEaEp (G.2)

Donde se ha hecho uso de la propiedad Rp[mT ] = Epδ [m]

227

Símbolos independientes

Si los símbolos son independientes

Ra [m] = E {a [n+m]a∗ [n]}= E {a [n+m]}E {a∗ [n]}= |µa|2;m 6= 0

Ra [0] = E {a [n]a∗ [n]}= E{|a [n]|2

}=

M

∑i=1

Pi|ai|2 = Ea

Si los símbolos además son equiprobables Pi =1M ;∀i

µa =M

∑i=1

ai;Ra [0] =1M

M

∑i=1

|ai|2

La covarianza de los símbolos es

Ca [m] =Ca [0]δ [m] ; Ca [0] = σ2a = Ra [0]−|µa|2

La correlación y la densidad espectral del paso bajo son, respectivamente

Rb(τ) = rσ2a Rp(τ)+ r|µa|2

∞

∑m=−∞

Rp(τ −mT ) =

= rσ2a Rp(τ)+ r|µa|2Rp(τ)∗

∞

∑m=−∞

δp(τ −mT )

Realizando la transformada de Fourier de ambos miembros y teniendo en cuenta la transformada del trende impulsos calculada en el apéndice B y la propiedad de la función delta Sp( f )δ ( f −mr)= Sp(mr)δ ( f −mr) = |P(mr)|2δ ( f −mr), la densidad espectral queda:

Sb( f ) = rσ2a |P( f )|2 + |µa|2r2

∞

∑m=−∞

|P(mr)|2δ ( f −mr) (G.3)

Correlación de los pulsos

La correlación de los pulsos

Rp(τ) =

∞∫−∞

p(u+ τ)p(u)du

Se puede escribir comoRp(τ) = p(τ)∗ p(−τ)

Puesto que la duración de la convolución es la suma de las duraciones de los términos, si el pulso p(t)tiene una duración inferior a la duración del intervalo al periodo de símbolo, la duración de la correlaciónserá nula para |τ| ≥ T . De esta forma

Rp [mT ] = Epδ [m]

Para este caso la potencia del paso bajo será

Pb = Rbs(0) =1T

∞

∑m=−∞

Ra [m]Rp(−mT ) =Ep

TRa [0] =

Ep

T

M

∑i=1

Pi|ai|2 =Ep

TEa

.

228

H FILTRO ADAPTADO

Sea un pulso p(t) contaminado con un ruido n(t). El filtro adaptado al pulso y al ruido es aquel quemaximiza la relación señal/ruido a la salida del filtro en un instante dado. Llamando p0(t) a la respuestadel filtro al pulso de entrada, la salida del filtro adaptado será

y0(t) = p(t)∗hFA(t)+n(t)∗hFA(t) = p0(t)+n0(t)

Se trata de encontrar el filtro que maximiza la relación

maxhFA(t)

|p0(t0)|2

σ2n0

; σ2n0=∫

∞

−∞

Sn0( f )d f =∫

∞

−∞

Sn( f )|HFA( f )|2d f

Expresando la salida del pulso en función de la frecuencia

maxHFA( f )

∣∣∫ ∞

−∞P( f )HFA( f )e j2π f t0d f

∣∣2∫∞

−∞Sn( f )|HFA( f )|2d f

Desigualdad de Schwartz

∣∣∣∣∫ ∞

−∞

u( f )v∗( f )d f∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞

−∞

|u( f )|2d f∫

∞

−∞

|v( f )|2d f

El signo igual se verifica cuando u( f ) = k0v( f ). Aplicando la desigualdad al problema que se quiereresolver e identificando

u( f )≡ S1/2n ( f )HFA( f );v( f )≡ P∗( f )e− j2π f t0S−1/2

n ( f )

La función en frecuencia se puede escribir como∣∣∫ ∞

−∞P( f )HFA( f )e j2π f t0d f

∣∣2∫∞

−∞Sn( f )|HFA( f )|2d f

≤∫

∞

−∞

|u( f )|2d f =∫

∞

−∞|P( f )|2d f∫

∞

−∞Sn( f )d f

El máximo ocurre cuando

S1/2n ( f )HFA( f ) = k0P∗( f )e− j2π f t0S−1/2

n ( f )

Esto es,

HFA( f ) = k0P∗( f )e− j2π f t0

Sn( f )

229

Si el ruido es blanco con densidad espectral

Sn( f ) =N0

2

HFA( f ) =2k0

N0P∗( f )e− j2π f t0

El filtro puede escalarse de forma que 2k0N0

= 1

La transformada inversa de Fourier nos da, para el caso de ruido blanco a la entrad, la respuesta impul-sional en el dominio temporal.

hFA(t) = p(t0 − t)

El filtro adaptado puede normalizarse de otras maneras, pero esta es la más común. La salida del filtroadaptado al pulso en el instante de muestreo es:

p0(t) = p(t)∗ p(t0 − t) =∫

∞

−∞

p(t −α)p(t0 −α)dα =Rp(t − t0); p0(t0) = Ep

230

Bibliografía

[1] Carlson A. Bruce, ’Sistemas de Comunicación’, McGraw-Hill, 2007

[2] Proakis J. G., Salehi M., ’Communication Systems Engineering’, Prentice Hall, 2002

[3] Haykin, S., ’Communication System’, 4a. ed., Willey, Nueva York, 2001

[4] Couch, L. W., ’Sistemas de Comunicación digitales y Analógicos’, 5a., Prentice Hall, México, 1998

[5] Benedetto S., Biglieri E., ’Principles of Digital Transmission’, Kluwer Academic, New York, 1999.

231

introducciÓn a las comunicaciones · finalmente, las notas se pueden complementar con una extensa...

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