CAPíTULO 4

TATIVO

INTRODUCCiÓN4.1

El objetivo de la segunda etapa del análisis de sistemas es desarrollar un modelocuantitativo del sistema de interés (Figura 4.1). A través de ecuaciones matemáticas,y usando el modelo conceptual como molde, se describen las reglas que dirigen el flujode material en el modelo (la dinámica del sistema). El primer paso consiste en selec-cionar la forma matemática general para el modelo. Tal vez la estructura general mássimple y más flexible consiste en módulos que contienen una variable de estado con unatransferencia de material que entra y otra que sale (en términos de nuestro modelo con-ceptual, esto significa una caja y dos flechas) y en los cuales el cambio en la variable deestado se representa usando ecuaciones de diferencia. Esta estructura general de compar-timientos constituye una descripción apropiada para modelos complejos, ya que nospermite descomponer relaciones complejas en módulos simples que representan relacionesde causa y efecto.

Figura 4.1. Pasos de la Etapa 2 del análisis de sistemas:Desan'Ollo del modelo cuantitativo.

45seleccionar la forma matemática general para el modelo

Una vez que hayamos tomado la decisión acerca de la forma matemática general delmodelo, debemos desarrollar el conjunto de ecuaciones específicas que lo describan. Es-te paso consiste en elegir el intervalo de tiempo en el que se resuelven las ecuaciones delmodelo (un día, una semana, un año, etc.), identificar la forma de las relaciones entre lasvariables del modelo (lineal, sigmoidea, sinusoidal, etc.) y estimar los parámetros de lasecuaciones del modelo. El mejor tipo de información con la cual deberíamos especificarlas ecuaciones del modelo consiste en datos recolectados en el sistema real. Para estable-cer las relaciones cuantitativas entre los diferentes aspectos del modelo, los datos dispo-nibles se pueden analizar usando procedimientos estadísticos estándares. Sin embargo,frecuentemente encontraremos algunos aspectos del modelo para los cuales no existendatos y no es posible recolectarlos en forma inmediata. En estos casos se puede usar in-formación basada en relaciones teóricas o empíricas. Una alternativa consiste en conver-tir información cualitativa, proveniente de la literatura o de "la opinión de especialistas",en información cuantitativa, y otra alternativa consiste en usar información generada me-diante la experimentación con el modelo. Esta opción se puede usar después de que elmodelo se encuentre en un estado de desarrollo avanzado tal que su comportamiento nospermita obtener algunas ideas acerca de la forma cuantitativa de ciertas relaciones.

Los pasos finales en el desarrollo cuantitativo del modelo consisten en codificar lasecuaciones del modelo en una computadora, ejecutar la simulación de referencia y pre-sentar formalmente las ecuaciones del modelo. Durante la ejecución de la simulación dereferencia se resuelve el modelo, o en otras palabras, se simula el comportamiento del sis-tema de interés en un conjunto específico de condiciones, las que usualmente represen-tan la situación normal o "statu quo" del sistema. Las ecuaciones del modelo se presen-tan formalmente a través de una lista que sigue una secuencia lógica y que describe laforma en la cual se resuelve el modelo.

4.2 SELECCIONAR LA FORMA MATEMÁTICA GENERAL PARA EL MODELO

Existen diferentes formas matemáticas para representar modelos de sistemas ecológi-cos dinámicos: álgebra de matrices, ecuaciones diferenciales y ecuaciones de diferencia.Consideramos que la estructura general de compartimientos basada en ecuaciones de di-ferencia provee gran flexibilidad, ya que permite incluir en un modelo dado el nivel dedetalle ecológico necesario para representar la dinámica de nuestro sistema de interés. Elcosto asociado a esta flexibilidad es la incapacidad de resolver analíticamente los mode-los, como teóricamente podría hacerse con modelos desarrollados usando matrices oecuaciones diferenciales. Sin embargo, en ecología y manejo de recursos naturales exis-ten pocos sistemas que puedan representarse por medio de modelos lo suficientementesimples como para ser resueltos analíticamente, utilizando matrices o ecuaciones diferen-ciales. Por consiguiente, los modelos basados en ~atrices, así como en ecuaciones dife-renciales, frecuentemente se resuelven mediante la Isimulación. Por esta razón, los mode-los que se presentan en el resto de los capítulos se desarrollan utilizando ecuaciones dediferencia y se resuelven por medio de la simulación.

46 desarrollo del modelo cuantitativo

4.2.1 Estructura de los modelos de compartimientos

La estructura de los modelos de compartimientos se basa en módulos que consistende una variable de estado, con transferencias de material que entran y otras que salen. Elcambio en el valor de la variable de estado durante un intervalo de tiempo dado es iguala la diferencia entre la sumatoria de todas las transferencias de material que entran me-nos la sumatoria de todas las que salen. Este cambio en la variable de estado se represen-ta mediante una ecuación de diferencia corno la que mostramos en la Ecuación 1.2 de laSección 2.2.4. Las transferencias de material están controladas por información prove-niente de otras partes del sistema, incluida información acerca de las variables de estado,variables externas, constantes y/o variables auxiliares. De hecho, la estructura general delos modelos de compartimientos es la misma que usamos para representar cualitativa-mente el modelo conceptual del sistema de interés en el Capítulo 3.

La construcción de los modelos de compartimientos consiste en escribir una ecua-ción, o conjunto de ecuaciones, que determinen el valor de cada una de las variables ex-ternas, variables auxiliares, transferencias de material y variables de estado, para puntosespecíficos en el tiempo. En conjunto, estas ecuaciones describen en forma completa tan-to el modelo corno el comportamiento del sistema de int.erés.

La secuencia que se debe seguir para resolver las ecuáciones del modelo para cada in-tervalo de tiempo es la siguiente:

1. ecuaciones de las variables externas,2. ecuaciones de las variables auxiliares (si existen),3. ecuaciones de las transferencias de material, y4. ecuaciones de las variables de estado

Las condiciones iI:liciales del modelo, incluidos en ellas los valores de las constantesy los valores iniciales para las variables de estado, deben especificarse en el momento cero.Para simular el comportamiento del sistema de interés, resolvemos el modelo calculandolas ecuaciones, en secuencia, para cada intervalo de tiempo de la simulación (Figura 4.2).

Para mostrar la estructura general y la secuencia que se debe seguir para resolver lasecuaciones de los modelos de compartimientos, vamos a retomar el modelo presentadoen el Capítulo 2, desarrollado para predecir la fluctuación del peso de un animal en eltiempo (Figura 2.1). Como en el capítulo anterior, en éste vamos a simular por dos díasconsecutivos el consumo y la respiración de un animal, cuyo peso inicial es de 100 g Y latasa de consumo por gramo de peso por día es una constante (tasa con s = 0.05). Ahoraque ya hemos especificado las condiciones iniciales del modelo, vamos a desarrollar for-malmente las ecuaciones del resto de los componentes del sistema de interés.

La temperatura ambiental (supongamos que ésta es igual a 20°C el primer día y a19°C el segundo día) es una variable externa a la que se le asigna un valor para cada día:

Si t = O entonces temperatura = 20

Si t = 1 entonces temperatura = 19

seleccionar la forma matemática general para el modelo 47

Calcular las ecuaciones para las variablesexternas para la unidad de tiempo actual

Calcular las ecuaciones para las variables auxilia-res (si existen) para la unidad de tiempo actual

II~~~;;~una

unidad de

~~:~~J Calcular las ecuaciones para las transferenciasde material para la unidad de tiempO' actual

Calcular las ecuaciones para las variables deestado para la unidad de tiempo actual

NO sí¿Fin de la simulación?

Figura 4.2. Secuencia que se debe seguir para resolver las ecuacionesde un modelo de compartimientos.

Una variable auxiliar representa la tasa de respiración por gramo de peso por día enfunción de la temperatura ambiental:

tasa resp, = 0.0025 ...temperatura,

donde 0.0025 es el coeficiente que relaciona la tasa de respiración y la temperatura. Laecuación de consumo es:

consumot, t + 1 = tasa cons peso¡

48 desarrollo del modelo cuantitativo

y la ecuación de respiración es:

respiración", + 1 = tasa resp, ...peso,

Estas son ecuaciones de la transferencia de material. Finalmente la ecuación de lavariable de estado es:

pesol, I + 1 = pesol + L\pesot, 1+1

donde

-respiración/, / +LlpcsoI.I + 1 = con5111nol, 1 + 1

(Recordemos que supusimos que la eficiencia de asimilación es igual al 100%). Paracada día de la simulación, resolvemos las ecuaciones en el siguiente orden: primero laecuación para la variable externa, segundo la ecuación para la variable auxiliar, luego lasecuaciones para las dos transferencias de material y finalmente la ecuación de la variablede estado.

4.3 ELEGIR EL INTERVALO DE TIEMPO PARA LAS SIMULACIONES

El próximo paso en el desarrollo del modelo cuantitativo es la elección del intervalode tiempo para las simulaciones, el cual se define como el espacio de tiempo (Al) quetranscurre entre las soluciones sucesivas de todas las ecuaciones del modelo y que per-manece constante a lo largo de una simulación. Una suposición implícita en la elecciónde dicho intervalo es que las tasas a las cuales ocurren los procesos en el sistema perma-necen constantes durante cada intervalo de tiempo. Por ejemplo, el intervalo de tiempoen el modelo de la fluctuación del peso del Capítulo 2 es de un día, lo que significa quecada ecuación se resuelve para cada día durante el período completo de la simulación.

La elección del intervalo de tiempo depende del nivel de resolución temporal que senecesita para: (1) contestar nuestras preguntas, (2) representar apropiadamente los cam-bios temporales en las tasas a las cuales ocurren los procesos en el sistema de interés,(3) facilitar la estimación de los parámetros de las ecuaciones del modelo, considerandola resolución temporal de los datos disponibles, o de algún otro tipo de información,y (4) mantener los costos asociados a los cálculos dentro de límites razonables en térmi-nos de tiempo y dinero.

Si en el modelo de la fluctuación del peso hubiéramos estado interesados en pregun-tas relacionadas con las fluctuaciones del consumo y con la respiración del animal a lolargo del día, podríamos haber elegido un intervalo de tiempo menor que un día, porejemplo, Al = 1 hora o Al = 6 horas, dependiendo de la resolución necesaria para respon-der las preguntas de interés. Si hubiéramos sabido o sospechado que la tasa de consumoo respiración fluctuaba a lo largo del día, de manera que no se la puede representarcorno una tasa diaria promedio, deberíamos haber elegido un Al menor que 1 día. Si losdatos, así corno toda la información adicional disponible para estimar los parárnetros de

49identificar la forma de las relaciones entre las variables del modelo

las ecuaciones del modelo, estuvieran basados en una resolución temporal de una hora,podríamos haber elegido ~t = 1 hora, simplemente para facilitar la estimación de los pa-

rámetros de las ecuaciones. Sin embargo, esta última consideración no es tan importantecomo las dos primeras. Finalmente, el costo asociado al cálculo puede llegar a ser unaconsideración real en la elección de ~t para algunos modelos. Obviamente, a medida queaumenta el número de intervalos de tiempo en una simulación, aumentan tanto los costosmonetarios como el tiempo necesario para realizar los cálculos, los cuales pueden llegara ser factores limitantes.

IDENTIFICAR LA FORMA DE LAS RELACIONES ENTRE

LAS VARIABLES DEL MODELO4.4

El próximo paso en el desarrollo del modelo cuantitativo es identificar la forma de lasrelaciones entre las variables del modelo. Es decir, en este paso debemos identificar si lasrelaciones entre las variables del modelo son lineales, sigmoideas, exponenciales, etc.

En el modelo que predice la fluctuación del peso de un animal en el Capítulo 2 (Figu-ra 2.1), establecimos que la transferencia de material desde l'a fuente de alimento al ani-mal (consumo) era una función lineal creciente del valor de la variable de estado peso delanimal. En este caso elegimos una función lineal como la forma general de la ecuaciónque representa el consumo. Esta ecuación se puede escribir como

consumo = ¡(peso) = f3o/31+ peso

Los parámetros de esta ecuación, Po y {31' se deben estimar; sin embargo, por ahoranos concentraremos sólo en especificar la forma general de las ecuaciones. La forma ge-neral de la ecuación que representa la otra transferencia de material (respiración) es la si-

guiente:

respiración

f

(temperatura, peso)f30'" temperatura'" peso

=

Nuevamente, f3o es un parámetro que debemos estimar, pero retornaremos a estaecuación más adelante. La variable externa temperatura ambiental se representa con unvalor para cada intervalo de tiempo: si t = O, temperatura = 20; si t = 1, temperatura = 19.

Comúrunente, las variables externas se representan directamente a través de una serie detiempo; sin embargo, también podrían ser funciones explícitas del tiempo, por ejemplo,en este caso, temperatura = 20 -t. La forma general de la ecuación para la variable de esta-do es la misma para todos los modelos de compartimientos basados en ecuaciones dediferencia, ya que estas ecuaciones son funciones que actualizan el estado del sistemacada intervalo de tiempo. La forma general de las ecuaciones para las variables de estadoes la siguiente:

50

desarrollo del modelo cuantitativo

(variable de estado), + 1 = (variable de estado)¡ + (transferencias que entrana la variable de estado)¡, ¡ + 1

-(transferencias que salen de la variable de estado )1,1+ 1

peso! + 1 = peso! + consumo/, / + 1 -respiración/,! + 1

4.4.1

Figura 4.3. Datos hipotéticos que relacionan consumo y peso del animal en el modelode la fluctuación del peso de un animal (Figura 2.1).

51identificar la forma de las relaciones entre las variables del modelo

Relaciones teóricas o empíricas. Algunas veces existen relaciones teóricas o rela-ciones empíricas aceptadas que pueden sugerir la forma de una relación entre variablesparticulares. Con respecto al modelo de la fluctuación del peso, supongamos que existeuna relación empírica que relaciona la respiración con la temperatura ambiental y que hasido establecida para especies estrechamente relacionadas con la especie representada ennuestro modelo. Esta relación sugiere que la respiración es igual al consumo, cuando latemperatura ambiental es igual a 20°C, pero disminuye en un 5% en relación con el con-sumo cada 1°C por debajo de 20°C y aumenta en un 5% en relación con el consumo cada1°C por encima de 20°C. De esta forma, cuando la temperatura ambiental es 19°C, la res-piración será igual al 95% del consumo; cuando es 21°C será igual al 105% del consumo,y así sucesivamente. Con base en esta información, podríamos representar la forma de larelación entre la respiración y la temperatura, es decir la transferencia de material desdela variable de estado peso del animal al sumidero de respiración como:

respiración = f3o * temperatura * peso

Información cualitativa. En algunos casos es posible que no dispongamos de datoscuantitativos o relaciones teóricas en los cuales podamos basar la identificación de lasrelaciones entre las variables. En situaciones como éstas, podríamos usar informacióncualitativa proveniente de la literatura, o de la opinión de especialistas en el área, paraestablecer los supuestos sobre los cuales basar la identificación de algunas de las relacio-nes del modelo. Si no hubiéramos tenido los datos de consumo de la Figura 4.3, podría-mos haber justificado una relación lineal entre el consumo y el peso del animal con baseen la opinión de una persona con amplia experiencia en la alimentación de estos animales,incluso si no existiera información escrita acerca de la tasa de consumo.

Información obtenida mediante la experimentación con el modelo. Algunasveces es posible que exista muy poca información, incluso del tipo cualitativo, en la cualpodamos identificar alguna de las relaciones descritas en el modelo. En esta situaciónpodríamos formular hipótesis acerca de varias relaciones y observar el comportamientodel modelo en respuesta a cada una de ellas. Por medio de esta experimentación con elmodelo podemos reducir el número de relaciones posibles, ya que podemos excluir aque-llas que producen un comportamiento que no es coherente con lo que sabemos sobre elsistema. Si no hubiéramos tenido la información específica acerca de la relación entreconsumo y peso del animal para el modelo de la fluctuación del peso, podríamos haberformulado tres hipótesis con respecto a esta relación: lineal, sigmoidea y exponencial. Sinembargo, después de haber estimado los parámetros de cada ecuación y haber corrido lassimulaciones de prueba, habríamos encontrado que, de las tres posibilidades, sólo larelación lineal produce predicciones razonables para los cambios en el peso del animal.Obviamente, debemos reducir al mínimo el número de relaciones que identificamosusando este procedimiento. Mientras más relaciones se determinen usando este métodode ensayo y error, más alta es la probabilidad de que obtengamos un comportamientoaparentemente coherente sólo debido al azar.

52 desarrollo del modelo cuantitativo

Tipos de ecuaciones para representar las relaciones entre las variables

Al identificar la forma de las relaciones entre las variables del modelo, es posible queencontremos fácilmente una ecuación que pueda representar la curva apropiada. Sin em-bargo, éste no es siempre el caso, por lo que resulta ventajoso conocer los distintos tiposde ecuaciones asociadas a diferentes tipos de curvas. Es probable que recordemos la for-ma de la ecuación con la que se representa una línea recta o la ecuación con la que serepresenta una curva exponencial; sin embargo, existen otras relaciones para las cualeslas ecuaciones pueden ser de mucha utilidad, pero que no son fáciles de recordar. No esnecesario memorizar la forma matemática para representar los diferentes tipos de ecua-ciones, pero sí es necesario saber que existen procedimientos lógicos para seleccionar lasecuaciones apropiadas (por ejemplo Spain 1982: 47, 341). La Figura 4.4 (pág. 53) muestravarias ecuaciones útiles.

4.5 ESTIMAR LOS PARÁMETROS DE LAS ECUACIONES DEL MODELO

La información necesaria para estimar los parámetros de las ecuaciones del modeloes del mismo tipo que aquella usada para identificar la forma de las relaciones entre lasvariables del modelo: (1) datos cuantitativos obtenidos ae la observación directa o de laexperimentación con el sistema real, (2) información basada en relaciones teóricas o em-píricas que son apropiadas para la situación que se desea modelar, (3) información cua-litativa basada en la opinión de especialistas o en la literatura, y (4) información obteni-da mediante la experimentación con el modelo.

Comúnmente, para identificar la forma de las relaciones entre las variables y para es-timar los parámetros de un modelo determinado, se usa la misma información, y el pro-ceso completo es frecuentemente un proceso iterativo. Sin embargo, desde el punto devista teórico, deberíamos considerar la identificación de la forma de las relaciones entrelas variables y la estiffiación de los parámetros como dos pasos diferentes, ya que el pri-mero usualmente tiene implicaciones más profundas que el último con respecto a las in-terpretaciones ecológicas de la estructura del modelo.

Información usada para estimar los parámetros de las ecuaciones

Datos cuantitativos. Existen varias técnicas para estimar los parámetros de las ecua-ciones del modelo cuando se dispone de datos cuantitativos; sin embargo, la discusiónacerca del espectro de las técnicas disponibles está fuera del alcance de los objetivos deeste libro. Los problemas que se presentan al estimar los parámetros son idénticos a aque-llos que se presentan en el análisis de datos en general, por lo que resulta convenienteconsultar con un estadístico durante la ejecución de este -paso. No obstante, deberíamostener claro el rol de las técnicas utilizadas en el análisis ~ datos durante este paso: sonherramientas que nos permiten interpretar apropiadamente la información cuantitativadisponible acerca de las relaciones en el sistema de interés. Por ejemplo, entre las técni-cas más ampliamente aplicadas se encuentra el análisis de regresión.

53estimar los parámetros de las ecuaciones del modelo

Decrecimiento linealCrecimiento lineal

100

80

60

40

20

O

6 6 9o 3 4

Crecimiento exponencialHiperbólico

= fJ, = 1, fJ, = 2

/J, : 3

900

600

300

100

80

60

40

20 -1 y = Iiox I ({J, +x)

1Jo=100

O I I I I , I I , I I

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

o

Saturación exponencialDecrecimiento exponencial100

80

/3, = 0.6¡¡, = 04

/3, = 0.2

60

40

20

oo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Función hiperbólicaSinusoide

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 4.4. Algunos tipos de ecuaciones que son de utilidad para representar diferentesrelaciones entre variables.

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

500

400

300

200 ---IJ. : 0.1

100 y: /Joe~,' ---o IJ: 0.2/J.,:SOO '.'O .0._- IJ,: 0.3

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

54 desarrollo del modelo cuantitativo

Para ejemplificar la estimación de parámetros de las ecuaciones del modelo utilizan-do datos cuantitativos, retornaremos al modelo de la fluctuación del peso (Figura 2.1). Laestimación de los parámetros de la ecuación de consumo cuya forma general es

consumo = /30 + /31 ..peso

involucra la estimación de f3o y f31. Si tuviéramos los datos de la Figura 4.3, que relacio-nan consumo y peso del animal, podríamos estimar f3o y {3¡ usando un análisis de regre-sión lineal, en el cual la variable dependiente sería el consumo y la variable independi-ente el peso. En este caso particular, hemos usado datos hipotéticos, los cuales se ajustanexactamente a la línea representada por la ecuación:

consumo = 0.05 * peso

Así bo = O, b1 = 0.05, donde bo Y b1 representan los valores de nuestras estimaciones de

/30 + /31' y b1 será tasa cons en el modelo de la fluctuación del peso. La proporción de lavariabilidad en el consumo explicada por la variabilidad del peso (coeficiente decorrelación) es igual a 1 (r2 = 1.0). Por supuesto que el v~or de r2 para las regresionesestimadas con datos reales será menor que 1, incluso si la relación fuera perfectamente lineal,debido al error en la obtención de los datos.

Relaciones teóricas o empíricas. En los casos en que no existan datos reales paradescribir una relación del sistema de interés, es posible usar relaciones teóricas o empíri-cas de aplicación general que hayan sido establecidas con base en información sobre rela-ciones similares en otros sistemas. Anteriormente habíamos establecido la relación entrerespiración y consumo con base en una relación empírica que sugiere que la respiracióniguala el consumo, cuando la temperatura ambiental es igual a 20°C, pero disminuye enun 5% en relación con el 'consumo por cada grado por debajo de 20°C, y aumenta en un5% por cada grado por encima de los 20°C. La forma general de la ecuación fue especifi-cada como:

respiración = f3o * temperatura * peso

f3o debe ser estimado de manera tal que, al incluirlo en la ecuación bo'" temperatura ...

peso, genere los cambios apropiados en la respiración a medida que cambia la temper-atura. Para que esto ocurra bo debe ser igual a 0.0025; entonces,

respiración = 0.0025 * temperatura * peso

donde el término 0.0025 * temperatura en el modelo de la fluctuación del peso se repre-

sentará como la variable auxiliar tasa resp (Figura 2.1).

Información cualitativa. Cuando no existe información cuantitativa, podemos usarinformación cualitativa proveniente de la literatura o de la opinión de especialistas para

estimar los parámetros de las ecuaciones del modelo

55

establecer los supuestos sobre los cuales basar la estimación de los parámetros. Por ejemplo,si no hubiéramos tenido los datos de la Figura 4.3, podríamos haber estimado losparámetros de la ecuación de consumo recurriendo a la opinión de un especialista ennutrición animal. Si el especialista nos proporciona estimaciones aproximadas acerca delconsumo de animales relativamente ligeros y animales relativamente pesados,podríamos usarlas para ajustar una línea recta y así estimar .130 y .131'

Información obtenida mediante la experimentación con el modelo. En los casosen que exista muy poca información, podríamos acotar el rango de valores posibles paralas estimaciones, formulando hipótesis acerca de diferentes valores y observando el com-portamiento del modelo en el marco de cada una de las hipótesis. Aquellas estimacioneshipotéticas que producen comportamientos que no son razonables de acuerdo con nues-tro entendimiento del sistema de interés, pueden ser excluidas. Supongamos que para elmodelo de la fluctuación del peso no existe información cuantitativa ni cualitativa acercadel consumo de animales ligeros y pesados. Sin embargo, si sabemos que el consumo esuna función lineal del peso del animal y conocemos la relación entre respiración y con-sumo a diferentes temperaturas ambientales, podríamos recurrir al método de ensayoy error, usando el modelo para acotar el rango de estimaciones posibles para el parámetrode consumo. Igual que para el caso de la identificación de la forma de las relacionesentre las variables del modelo, en un modelo determinado debemos reducir al mínimo elnúmero de parámetros estimados usando este procedimiento, ya que corremos el riesgode obtener predicciones aparentemente coherentes sólo debido al azar.

4.5.2 Estimación de parámetros para modelos determinísticos yestocásticos

Una consideración final con respecto a la estimación de los parámetros del modelo estárelacionada con el hecho que éste sea estocástico o determi1Ústico. Hasta este momentohemos estado trabajando con modelos determi1Ústicos. Sin embargo, los procedimientoshasta ahora utilizados son iguahnente aplicables a modelos estocásticos, excepto que paraéstos se requiere información adicional para representar la variabilidad inherente de lasvariables incluidas en el modelo.

La representación de una variable aleatoria en un modelo estocástico requiere la es-pecificación de una distribución estadística y/o una distribución de frecuencias empíricasdesde la cual se pueda seleccionar aleatoriamente el valor de la variable. Como en elcaso de los modelos determinísticos, la información sobre la cual se puede basar la espe-cificación de la distribución estadística o empírica incluye: (1) datos cuantitativos, (2) in-formación basada en relaciones teóricas o empíricas, (3) información cualitativa, o (4) in-formación obtenida mediante la experimentación con el modelo.

Para ilustrar las diferencias entre la información necesaria para estimar los paráme-tros de modelos determinísticos y estocásticos, consideremos las posibles representacio-nes de la temperatura ambiental de nuestro modelo de la fluctuación del peso. Inicial-mente, la temperatura ambiental se especificó directamente con un valor para cada díade la simulación: temperatura = 20°C si t=O y temperatura = 19°C si t=l. Esta representa-ción es determinística. Existen al menos tres alternativas para representar la temperatura

desarrollo del modelo cuantitativo

ambiental como una variable estocástica. Los valores aleatorios para la temperatura am-biental se pueden seleccionar a partir de: (1) una distribución de frecuencias de datos his-tóricos, (2) una distribución de datos históricos ajustados a una distribución estadística,o (3) un conjunto de distribuciones estadísticas generadas por un análisis de regresión,donde la temperahua es la variable dependiente y el día del año la variable independiente.

ro.~

romro

'ücQ)~uQ)

u.1716 18 19 20 21

Temperatura (OC)

22 23 2524 26

1.0Dia1(t=1)ro

.?;

ro"'ñj

ro'üc:Q)~uQ)

l.L.

0.8

0.6

0.4

0.2

0.016 17 18 19 20 21 22

Temperatura (OC)

2623 24 25

Figura 4.5. Distribución de frecuencias de un conjunto de datos hipotéticos de la temperaturaambiental para dos días (t = O Y t = 1).

Distribución de frecuencias de datos históricos. Si existen datos de la temperaturaambiental correspondiente a varios años, podemos usar todos los datos históricos dispo-nibles para una fecha determinada y construir una distribución de frecuencias de la tem-peratura ambiental para esa fecha (Figura 4.5). Luego seleccionamos aleatoriamente unvalor de temperatura para el primer día deja simulación (t = O) desde la distribución defrecuencias para el día O, en lugar de asignarle el valor de 20°C, como lo hicimos en laversión determinística. Para el segundo día de la simulación (t = 1), seleccionamos ale a-toriamente un valor de temperatura desde la distribución de frecuencias para el día 1.

Datos históricos ajustados a una distribución estadística. Una forma alternativade representar la temperatura ambiental como una variable aleatoria consiste en ajustarlos datos históricos de temperatura a una distribución estadística. Usando este procedi-miento podríamos encontrar que los valores de temperatura para cada fecha se ajustan,aproximadamente, a una distribución normal. Entonces podríamos ajustar la distribu-ción de frecuencias de la temperatura para cada fecha a una distribución normal y esti-mar sus parámetros: media J.1 y desviación estándar cr (Figura 4.6).

57estimar los parámetros de las eCW7ciones del modelo

10~ro~10Ü~di:.U~u.

19.0 21.5

Temperatura (OC)

16.5 24.014.0

Temperatura (OC)

Figura 4.6. Datos hipotéticos de la temperatura ambiental presentados en la Figura 4.5ajustados a una dishibución normal.

Luego seleccionamos aleatoriamente un valor de temperatura para el primer día dela simulación (t = O) desde la distribución normal del día O, Y la temperatura para elsegundo día de la simulación (t = 1) desde la distribución normal para el día 1.

Además de la distribución normal existen otras distribuciones a las cuales se podríanajustar los datos históricos. La distribución uniforme y la de Poisson, por ejemplo, sonampliamente usadas en ecología. El grado de similitud entre la distribución de frecuen-cias de los datos y una distribución estadística particular se puede evaluar usando prue-bas estándar de bondad de ajuste Oohnson y Kotz 1969). Existe una variedad de algorit-mos para generar números al azar a partir de diversas distribuciones estadísticas y usaren modelos de simulación estocásticos (Hastings y Peacock 1975).

Distribuciones estadísticas generadas por un análisis de regresión. Otra formade representar la temperatura ambiental como una variable aleatoria consiste en generarlas distribuciones estadísticas necesarias a partir de una regresión entre la temperaturay el día del año. Supongamos que estamos interesados en simular las fluctuaciones delpeso de un animal para un período particular de 30 días, y que los datos del sistema realsugieren que la temperatura ambiental durante este período disminuye linealmente des-de 20°C a 15°C (Figura 4.7a). En este caso, podríamos estimar los parámetros de unaregresión entre la temperatura y el día, y usar el cuadrado medio del error de la regre-sión (CME) para generar una distribución normal de la temperatura predicha para cadadía. Debido a que el CME es un predictor no sesgado de la varianza (0"2), la distribuciónnormal asociada a la predicción de la temperatura diaria contiene la temperatura predi-cha por la regresión como su media y una varianza igual al CME. Para este ejemplo, laecuación de regresión es temperatura = 20 -0.167t y el CME = 2.0006 (Figura 4.7a). De lamisma ~orma en que lo hicimos anteriormente, debemos seleccionar aleatoriamente unvalor de temperatura para cada día desde la distribución normal. La distribución normalde la temperatura generada para el día 15 (t = 15) basada en el CME se muestra en laFigura 4.7b.

58 desarrollo del modelo cuantitativo

De la discusión anterior se puede deducir la relación que existe entre análisis estadís-tico, o modelos estadísticos, y modelos de simulación. Comúrunente empleamos técnicasestadísticas para que nos ayuden a determinar la representación cuantitativa de rela-ciones particulares en un modelo de simulación cuando existen datos acerca de estas rela-ciones. Frecuentemente, los modelos estadísticos usados para analizar los datos, o másestrictamente hablando, los r~sultados de los análisis estadísticos, pasan a formar partede los modelos de simulación. Por ejemplo, si usamos un modelo de regresión lineal paracorrelacionar el consumo y el peso del animal con base en los datos de la Figura 4.3, ellado derecho de la ecuación de regresión (de la forma f3o + .8J ...peso) será el lado derechode la ecuación de la transferencia de material que describe el consumo en nuestro mode-lo de la fluctuación del peso (consumo = f3o + .f3¡ ...peso).

a) 22

uo-ro'-~~'-Q)Q..E~

Temperatura = 20 -0,167 t

~CME;= 2,0006

....

~I I I I I I ,. I

4 8 12 16 20 24 28 32

Día (t)

20

18

16

14o

b)Temperatura el día 15

Alta

ro.(3c:Q):J

Q)'-LL

Baja

14.5 17.5

Temperatura (OC)

20.5

Figura 4.7. (a) Regresión que representa la relación entre la temperatura y el díadel año para un conjunto de datos hipotéticos que abarcan un período de 30 días,

y (b) distribución normal de los valores de la temperatura predicha parael día 15 usando ~ = 9 para el día 15 y 02 como el cuadrado medio

del error de la regresión (CME).

codificar las ecuaciones del modelo en la computadora 59

CODIFICAR LAS ECUACIONES DEL MODELO EN LA COMPUTADORA4.6

Las ecuaciones del modelo se pueden escribir en una computadora usando una va-riedad de lenguajes de computación o programas de simulación. Si se usa un lenguaje decomputación, la estrategia general para programar un modelo de simulación en unacomputadora digital comprende: (1) construir un diagrama de flujo indicando los pasosinvolucrados en la solución iterativa de las ecuaciones del modelo para simular el com-portamiento del modelo (Figura 4.2), (2) escribir las ecuaciones de acuerdo con el lenguajeescogido para qu.e se cumplan los pasos mencionados anteriormente, (3) corregir los erro-res de lógica o sintaxis que impidan que la computadora ejecute el modelo, y (4) verificarsi la computadora está cumpliendo correctamente las órdenes establecidas anteriormen-te. Si se usa un programa de simulación, los pasos que se deben seguir varían dependien-do del programa en particular. Durante el desarrollo de todos los modelos presentadosen este texto, hemos usado el programa de simulación Stella@II, el cual resulta particular-mente útil (High Performance Systems, Inc. 1996).

4.7 EJECUTAR LAS SIMULACIONES DE REFERENCIA

La simulación de referencia representa el comportamiento del sistema de interés, o lasolución del modelo, en el marco del conjunto de condiciones correspondientes a la situa-ción normal del sistema. Esta simulación de referencia sirve de base para comparar elcomportamiento del sistema bajo diferentes condiciones que son de nuestro interés. Lasimulación de referencia es el producto final de la segunda etapa del análisis de sistemas,tal como el diagrama del modelo conceptual es el producto final de la primera etapa delanálisis de sistemas. En la evaluación del modelo, como veremos en el Capítulo 5, vamosa examinar detalladamente .las predicciones de la simulación de referencia para los atri-butos de interés y las compararemos con las observaciones de los mismos atributos en elsistema real. Luego, en el Capítulo 6, Uso del Modelo, compararemos los resultados dela simulación de referencia con los resultados de aquellas simulaciones de las políticas demanejo o situaciones ambientales que queremos examinar.

Supongamos que la situación normal, o de referencia que queremos simular usandoel modelo de la fluctuación del peso, consiste de un período de 30 días para el cual tene-mos datos del sistema real y durante el cual la temperatura disminuye linealmente des-de 20°C a 15°C (Figura 4.7a). Recordemos que la ecuación de regresión que representa latemperatura en función del día durante este período es:

temperatura (OC) = 20 -0.167t

donde O $ t,< 30 representa el día. El modelo de la fluctuación del peso se modificó alincluir esta nueva ecuación para calcular la variable externa temperatura ambiental:

temperatura = 20 -0.167t

60 desarrollo del modelo cuantitativo

Los resultados de la simulación de referencia indican que el animal aumenta de pesodurante todo el período de 30 días, pero que la tasa de aumento, tanto en términos abso-lutos (g/ día) como proporcionales al peso del animal (g/ g-día), aumenta a medida que

C04MODO1 disminuye la temperatura ambiental (Figura 4.8).

100.0

o 7 15días

22 30

Figura 4.8. Resultados de la simulación de referencia del modelode la fluctuación del peso (Figura 2.1).

4.7.1 Simulaciones de referencia para modelos estocásticos

Para los modelos determinísticos existe sólo una simulación de referencia, mientrasque para los modelos estocásticos la simulación de referencia consiste en un conjunto desimulaciones, cada una de las cuales representa una réplica de la simulación de referencia.Debemos, por lo tanto, considerar cuántas réplicas (simulaciones) se deben correr paralos modelos estocásticos. Esta pregunta es análoga a la pregunta sobre cuántas muestrasse tleben obtener en un experimento en el mundo real.

No existe una respuesta simple para la pregunta relacionada con el tamaño de lamuestra. Tal vez se podría obtener una buena respuesta al considerar el marco dentro delcual el mo~lo será utilizado y replantear la pregunta como: ¿cuán grande debe ser unamuestra para demostrar que una diferencia de magnitud o, entre diferentes políticas demanejo o condiciones ambientales, es estadísticamente significativa a un nivel a con unaprobabilidad P de ser detectada (si es que ésta existe) (Sokal y Rohlf 1969: 246).

Podemos contestar esta pregunta si conocemos: (1) la variabilidad inherente de losobjetos que estamos muestreando y (2) la magnitud de la diferencia entre diferentesmuestras de objetos (que representan diferentes políticas de manejo o diferentes condi-ciones ambientales) que consideramos prácticamente significativas en relación con elproblema en estudio.

61ejecutar las simulaciones de referencia

Se pueden obtener estimaciones de la variabilidad de los objetos que estamos mues-treando corriendo suficientes simulaciones estocásticas bajo las condiciones de referenciapara calcular la varianza del atributo en que estamos interesados. Aunque es difícil defi-nir "suficientes" simulaciones, es importante destacar que, a medida que aumentamos elnúmero de simulaciones iniciales, la estimación de la varianza debería alcanzar un nivelestable. Debemos determinar la magnitud de las diferencias entre las muestras que con-sideramos de importancia práctica, independientemente del modelo, con base en nuestroconocimiento acerca de la magnitud de las diferencias entre estas muestras que son rele-vantes en el sistema real.

La fórmula para calcular el número necesario de muestras para detectar una diferen-cia dada entre promedios muestrales, suponiendo que tenemos una estimación de la va-riabilidad dentro de las muestras, es:

n ~ 2 (O" + Ó)2 [ta.y + t2o.P),y)2

(Sokal y Rohlf 1969: 247), donde

n(J

"y

-

ap

-

ta,y Y t2(1 -P),y

número de réplicas ;

desviación estándarmínima diferencia que queremos detectargrados de libertad de la desviación estándar de la muestra con bgrupos y n réplicas por grupo, o 'Y = b(n -1)nivel de significanciaprobabilidad deseada de que una diferencia sea significativa siésta es tan pequeña como ()valores de la tabla de t de dos colas con 'Y grados de libertad ycorrespondiendo a las probabilidades de cx y 2(1 -P), respectiva-mente.

No es posible resolver la ecuación para n directamente, ya que no conocemos"(, el cualdepende de n. En esta situación debemos:

1. suponer un valor para n2. calcular 'Y3. resolver la ecuación para n

Luego comparamos el valor calculado de n con el valor supuesto de n. Si el valor den calculado, aproximado al número entero más cercano, no es igual al n supuesto, debe-mos ajustar el n supuesto y repetir el procedimiento.

Supongamos que queremos representar la temperatura como una variable aleatoriaen el modelo de la fluctuación del peso y deseamos usar la versión estocástica para sim-ular la misma situación de referencia que simulamos previamente usando la versióndeterminística (Figura 4.8). Para esto modificamos el cálculo de la variable externa tem-

62 desarrollo del modelo cuantitativo

peratura, de tal forma que podamos elegir aleatoriamente la temperatura para cada díaa partir de la distribución normal. El promedio de esta distribución normal es igual a lapredicción de la temperatura obtenida con la ecuación de regresión que relaciona la tem-peratura y el día del año, y la varianza es igual al CME (cuadrado medio del error) de la

regresión (Figura 4.7). Supongamos, además, que queremos usar el modelo para com-parar el peso de un animal de 100 g al inicio de la simulación en el marco de dos condi-

C04MODO2 ciones: (1) después de 30 días de exposición a las condiciones de referencia, y (2) despuésde 30 días de exposición a un régimen de temperaturas cálidas. En este caso queremosdetectar una diferencia de peso 3 g (o) a un nivel de significancia estadística a = 0.05 conuna probabilidad P = 0.80 de que la diferencia sea detectada, si es que existe. Cincuentaréplicas de la simulación de referencia indican que 7.14 g es una buena estimación de lavariabilidad inherente «(52) del peso después de 30 días de exposición a las condicionesde referencia. Suponiendo que este valor también es una buena estimación de la variabi-lidad inherente del peso después de 30 días de exposición a temperaturas cálidas, pode-mos estimar el número apropiado de réplicas como:

n ?: 2 (O" + 0)2 [t(l.Y + t2o-p).J2

Si estimamos que n = 14, entonces

cr = ~ = 2.67

"'Y

ap

- 32(14 -1) = 26

0.050.80lO.OS, 26 = 2.056

.u,y

y

t2(1 -P),y tO.40, 26 = 0.856

Por lo tanto, la fórmula queda como

14 ?: 2(2.67/3)2(2.056 + 0.856)2o

14 ~ 13.43

En resumen, deberíamos correr 14 réplicas de la simulación de referencia y 14 répli-cas de la simulación que representa las condiciones cálidas.

Desde el punto de vista práctico, el mejoramiento de la estimación de n por las itera-ciones, ,no tiene importancia. Usualmente establecemos 'Y = 00 y usamos el valor de ncalculado in~cialmente como la estimación del tamaño de muestra necesario, recordando

63presentar las ecuaciones del modelo

que el valor podría estar levemente subestimado. Si hubiéramos hecho esto para el ejem-plo anterior, hubiéramos calculado n ~ 12.44 Y probablemente hubiéramos elegido untamaño de muestra de 13 6 14.

Tabla 4.1. Presentación formal de las ecuaciones del modelo de la fluctuacióndel peso. A cada ecuación se le ha denominado de acuerdo con la designación

dada a las variables en la Figura 2.1 y organizada según la secuenciaen que se resuelve cada tipo de ecuación.

Condición inicial de la variablede estadoValores de las constantesEcuaciones de las variables externas

pesaD = 100tasa cons = 0.05temp del agua = 20 si t = Otemp del agua = 19 si t = 1tasa resp = 0.0025 * temp del aguaEcuaciones de las variables auxiliares

Ecuaciones de las transferenciasde material

Ecuación de la variable de estado

consumo =:' tasa cons 01- peso

respiración = tasa resp 01- peso

peso¡ +1 = peso¡ + consumo -respiración

4.8 PRESENTAR LAS ECUACIONES DEL MODELO

La presentación forn'lal de las ecuaciones del modelo ayuda en la solución de éste ypermite describir su estructura, en forma precisa y comprensible para otros usuarios. Unaforn'la efectiva de presentar las ecuaciones del modelo es mediante una tabla organizadade acuerdo con la secuencia en la que se resuelven los diferentes tipos de ecuaciones. Pri-mero se presentan las ecuaciones de las variables externas, seguidas de las ecuaciones delas variables auxiliares, de las ecuaciones de las transferencias de material y finalmentede las ecuaciones de las variables de estado. Las condiciones iniciales de las variables deestado y las constantes del modelo también deben especificarse en esta tabla. Las ecua-ciones del modelo de la fluctuación del peso están representadas formalmente en laTabla 4.1. Este conjunto de ecuaciones describe al modelo en forn'la única, y tambiénrelaciona las ecuaciones del modelo y el diagrama del modelo conceptual (Figura 2.1). CO2MOIXJl