intervalos, semirrectas, entornos y valor absoluto
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Intervalo abierto y cerrado
Definic ión de intervalo
Se l lama intervalo a l conjunto de números rea les comprend idos
ent re o tros dos dados: a y b que se l laman extremos del intervalo .
Intervalo abierto
Intervalo ab ierto , (a, b) , es e l conjunto de tod os los números
reales mayores que a y menores que b .
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerrado
Intervalo cerrad o , [a, b] , es el conjunto de todos los números
reales mayores o igua les que a y menores o iguales que b .
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la i zquierda
Intervalo semiab ierto p or la izquie rda , (a, b] , es el conjunto
de todos los números reales mayores que a y menores o igua les que
b .
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiab ierto p or la derecha , [a, b) , es e l conjunto d e
todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b .
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Cuando queremos nombrar un conjun to de pun tos fo rmado por dos o
más de es tos interva los , se ut i l iza e l s igno (unión) en tre e llos .
Semirrectas
Las semirrectas es tán de te rm inadas por un número . En una
semirrec ta se encuen tran todos los números mayores (o menores) que
él.
x > a
(a, +∞) = {x / a < x < +∞}
x ≥ a
[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}
x < a
(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}
x ≤ a
(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}
Entornos
Definic ión de entorno
Se l l ama entorno de centro a y radio r , y se denota por E r(a) o
E(a,r) , a l intervalo ab ierto (a-r, a+r).
E r (a) = (a-r, a+r)
Los entornos se exp resan con ayuda de l valor absoluto .
E r (0) = (-r, r) se expresa tamb ién |x|<0 , o b ien, - r < x < r .
E r (a) = (a-r, a+r) se expresa tamb ién |x-a|<0 , o b ien, a -r < x <
a+r .
Entornos latera les
Por la izqu ie rda
E r (a -) = (a-r, a )
Por la d erecha
E r (a+) = (a, a+r)
Entorno reducido
Se emp lea cuando se quie re sabe r qué pasa en las prox im idades del
punto , s in que in te rese lo que ocur re en d icho pun to .
E r* (a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}
Valor absoluto de un número real
Valor absoluto de un número rea l a , se esc r ibe |a| , es e l mismo
número a cuando es pos it iv o o cero , y opuesto d e a, s i a es neg ativo .
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2 < x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x< 2 ó x>2 (−∞ , 2 ) (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Propiedades del valor absolu to
1 Los números opuestos t ienen igua l valor absoluto .
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2El valor absoluto de un producto es ig ua l a l producto de los
valores absolutos de los fac tores .
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
3El va lor absolu to de una suma es menor o igual que la suma
de los valores absolutos de los sumand os .
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7
Distancia
La distanc ia en tre dos números reales a y b, que se esc r ibe d(a,
b) , se de fine como e l va lor ab soluto de la dife rencia de ambos
números:
d(a, b) = |b − a|
La distancia ent re −5 y 4 es:
d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|