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Intervalos de Confianza

Álvaro José Flórez

1Escuela de Ingeniería Industrial y EstadísticaFacultad de Ingenierías

Febrero - Junio 2012

Intervalo de ConfianzaSe puede hacer una estimación puntual de µ . . . pero no hay razónpara esperar que esta estimación proveniente de una muestra seaexactamente igual al parámetro poblacional que se supone estima(diferentes muestras arrojan diferentes resultados). En el caso que sequiera estimar µ por medio de x̄:

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0 20 40 60 80 100

5560

6570

# Muestra

Est

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ParámetroEstimación

Intervalo de ConfianzaUna estimación por intervalos para un parámetro poblacional esllamada un intervalo de confianza. No podemos estar seguros queel intervalo contiene al verdadero valor del parámetro poblacionaldesconocido. Sin embargo, el intervalo de confianza es construidode forma que se tenga una alta confianza (probabilidad) de queel intervalo contenga el parámetro poblacional (Montgomery andRunger, 2004).

Definición: Dada una muestra aleatoria X1, . . . , Xn con función dedensidad f(xi, θ), un intervalo de confianza de (1−α)×100 % paraun parámetro θ es un intervalo aleatorio (T1, T2) con Pr(T1 < θ <T2) = 1− α.

Para la estimación de µ el intervalo de confianza estará determinadocomo:

x̄± Error de estimación

Intervalo de Confianza para µ

Si se tiene una muestra aleatoria x1, . . . , xn proveniente de una distribuciónnormal con media µ desconocida y σ2 conocida (o de cualquier distribuciónde probabilidad con un n suficientemente grande). Entonces, x̄ se distribuyenormalmente con media µ y varianza σ2/n. Además se tiene que:

Z =x̄− µσ/√n∼ Normal(0, 1)

Un intervalo de confianza para µ es un intervalo de la forma LI ≤ µ ≤ LS,donde LS y LI son calculados a partir de la muestra (Variables aleatorias).Estos valores se determinan de tal forma que se cumpla la siguientecondición:

P (LI ≤ µ ≤ LS) = 1− α

Donde 0 ≤ α ≤ 1. Lo que indica que hay una probabilidad de 1 − α deque para la muestra seleccionada el intervalo de confianza contenga a µ


Dado que:

Z =x̄− µσ/√n∼ Normal(0, 1)

Entonces:

P

(zα/2 ≤

x̄− µσ/√n≤ z1−α/2

)= 1−α

0Z(α/2) Z( 1 − α/2)

Prob = α/2Prob = α/2

Los valores de LS y LI se encuentran al despejar µ en la desigualdad.


Si x̄ es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño nproveniente de una población normal (o de cualquier distribución sin es suficientemente grande) con varianza σ2 conocida, entonces elintervalo del (1− α)× 100 % para µ está dado por:

x̄+ zα/2σ√n≤ µ ≤ x̄+ z1−α/2

σ√n

• Se tiene probabilidad (1− α) de seleccionar una muestra aleatoriaque produzca un intervalo que contenga µ.

• A mayor nivel confianza mayor seguridad de que el intervalo dadocontiene a µ.

Ejemplo

Un fabricante produce pistones para motores de vehículos. Porespecificaciones del fabricante se sabe el diámetro de los pistonesestá normalmente distribuido con σ = 0,01mm. Para realizar uncontrol de calidad sobre el producto se decide observar una muestraaleatoria de 15 pistones y se encontró que el promedio del diámetrode 76,03mm.

• Construir un intervalo del 99% de confianza para la media deldiámetro de los pistones.

• Construir un intervalo del 95% de confianza para la media deldiámetro de los pistones.

Ejemplo

Un fabricante produce pistones para motores de vehículos. Porespecificaciones del fabricante se sabe el diámetro de los pistonesestá normalmente distribuido con σ = 0,01mm. Para realizar uncontrol de calidad sobre el producto se decide observar una muestraaleatoria de 15 pistones y se encontró que el promedio del diámetrode 76,03mm.

Para el caso del 99% el intervalo queda de la siguiente forma:

(76,02335; 76,03665)

Lo que nos indica que con un 99% de confianza se puede concluirque el diámetro medio de los pistones está entre 76.02335mm y76.03665mm


Fig: Simulación de 50 intervalos del 95% confianza para µ

Muestra

inte

rval

o de

con

fianz

a

0 10 20 30 40 50

µ

Si se toman muchas muestras de la misma población, todas delmismo tamaño, y construimos un intervalo para cada uno, se puede afirmarque el (1 − α) × 100 % de los intervalos así construidos contendrán elverdadero valor del parámetro.

Comportamiento de los intervalos deconfianza

Para estimar µ:

x̄± z1−α/2σ√n

Estimación ± Error de estimación

Es deseable tener un nivel de confianza alto y un error de estimaciónpequeño. El último se hace pequeño cuando:

• El nivel de confianza (1− α) se hace pequeño.• La variabilidad entre los elementos de la población es pequeña.(σ es pequeño).

• Se incrementa el tamaño de muestra.


Para estimar µ:

x̄± z1−α/2σ√n


Este procedimiento es correcto sólo en circunstancias concretas:

• Los datos deben proceder de una muestra aleatoria.• La población de los datos debe ser normal.• Si la población no es normal, el tamaño de la muestra debe sergrande (teorema central del límite).

• Se tiene que tener conocimiento de la desviación estándar.


Para estimar µ:

x̄± z1−α/2σ√n


En la mayoría de los casos no se tiene la suerte de conocer el valorde la varianza de la población de la cual se seleccionan las muestrasaleatorias

¿Qué pasa cuando no se tiene conocimientode la desviación estándar?


Si se tiene una muestra aleatoria x1, . . . , xn proveniente de unadistribución normal con media µ y σ2 desconocida, entonces esrazonable la utilización de la media (x̄) y la varianza muestral (S2)para realizar los cálculos. Donde se tiene que:

T =x̄− µS/√n∼ tn−1

Entonces el intervalo del (1− α)× 100 % para µ está dado por:

x̄+ tn−1,α/2S√n≤ µ ≤ x̄+ tn−1,1−α/2

S√n

Donde S2 =∑n

i=1(x1−x̄)2

n−1 y tn−1 se refiere a una distribución deprobabilidad t-student con n− 1 grados de libertad.

Distribución t-student

Una variable aleatoria X tiene una distribución t-student con ngrados de libertad si su función de densidad está dada por:

Γ((n+ 1)/2)√πnΓ(n/2)

(1 +

x2

n

)(n+1)/2

,

−∞ < x <∞, n > 0

−3 −2 −1 0 1 2 3

Normal(0,1)t(20)t(5)t(1)

Ejemplo

Una compañía constructora resuelve estudiar la resistencia a lacompresión de una mezcla de concreto, con el objetivo de hacercontrol de calidad. Para ello se tomaron 18 cilindros de prueba deacuerdo con las normas establecidas. Se encontró en la muestra que,luego de 28 días de curado, x̄ = 280kg/cm2 y S = 19,3kg/cm2.

Construir un intervalo de confianza del 95% y 90% para el valor dela resistencia a la compresión media de la mezcla de concreto

Intervalo del 95% de confianza:

(270,4023; 289,5977)

Lo que nos indica que con un 95% de confianza se puede concluirque la resistencia media a la compresión de la mezcla de concretoestá entre 270.4023kg/cm2 y 289.5977kg/cm2

Ejercicio

Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura mediade una fibra. Diseña un experimento en el que se observan las tensiones deruptura (libras) de 16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. Losresultados son:

20.8 20.6 21 20.919.9 20.2 19.8 19.620.9 21.1 20.4 20.619.7 19.6 20.3 20.7

Según el fabricante la tensión de ruptura de una fibra se encuentramodelada por una distribución normal con desviación estándar de 0.45lb.

Construir un intervalo de confianza del 94% para el valor real de la tensiónde ruptura promedio de la fibraConstruir un intervalo de confianza del 90% para el valor real de la tensiónde ruptura promedio de la fibra (la varianza es desconocida)

Intervalo de confianza para σ2

Se tiene una muestra aleatoria x1, . . . , xn proveniente de una distribuciónnormal con media µ y σ2 desconocida. En algunos casos es de interésestimar un intervalo de confianza para la varianza poblacional (σ2). Parala estimación se utiliza la varianza muestral (S2) y se tiene la siguienteexpresión:

X2 =(n− 1)S2

σ2∼ χ2

n−1

χ2n−1 se refiere a una distribución chi cuadrado con n−1 grados de libertad.

Entonces el intervalo del (1− α)100 % para σ2 está dado por:

(n− 1)S2

χ2n−1,1−α/2

≤ σ2 ≤ (n− 1)S2

χ2n−1,α/2

Distribución χ2

Una variable aleatoria X tiene una distribución χ2 con n grados delibertad si su función de densidad está dada por:

1

2n/2Γ(n/2)xk/2−1e−x/2

x > 0, n > 0

0 10 20 30 40

Chisq(2)Chisq(5)Chisq(10)Chisq(20)

Ejemplo

Una maquina de llenado es utilizada para llenar botellas condetergente líquido. Una muestra aleatoria de 20 botellas dio comoresultado una varianza muestral de S2 = 0,0153onzas2. Si lavarianza del volumen de llenado es muy grande, habrá una proporcióninaceptable de botellas con contenidos de líquidos muy alejados de lamedia. Suponiendo que el llenado de la maquina está normalmentedistribuido, construya un intervalo de confianza del 95% para lavarianza

(0,0088; 0,0326)

Lo que nos indica que con un nivel de confianza del 95% la varianzadel volumen de llenado de las botellas está entre 0.0088 y 0.0326

Intervalos de confianza

¿Qué pasa si la distribución de los datos no es normal?



Las inferencias con respecto a la media son, en general, robustas,esto debido al Teorema Central del Límite.

Los intervalos de confianza y contrastes basados en la distribución tson aproximadamente válidos independientemente de la distribuciónde partida, aunque dejan de ser óptimas.



Las inferencias respecto a varianzas son muy sensibles a estesupuesto. Para cualquier población S2 es un estimador centradode σ2. pero su distribución y varianza es muy dependiente de lapoblación. En consecuencia, los intervalos o contrastes serán pocoprecisos si la población no es aproximadamente normal.


Fig: Simulación de 50 intervalos de confianza del 95% para σ2 = 1(Normal)

0 10 20 30 40 50

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Fig: Simulación de 50 intervalos de confianza del 95% para σ2 = 1(Exponencial)

0 10 20 30 40 50

02

46

8

inte

rval

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¿Cómo probar si un conjunto de datos sedistribuye normalmente?

Gráficamente se pueden observar algunas características de ladistribución normal como son:X Los datos provenientes de una distribución de probabilidad

normal deben ser aproximadamente simétricos alrededor de lamedia.

X Debido a que las colas de las curvas normales descienden muyrápidamente, las muestras de poblaciones normales debentener muy pocas observaciones atípicas.

Intervalos de confianza¿Cómo probar si un conjunto de datos se distribuye

normalmente?

Fig: Datos provenientes de tres distribuciones de probabilidad diferentes

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Normal t−student exponencial

−4

−2

02

46

Intervalos de confianza para una proporción

En algunos casos es necesario construir un intervalo para una proporciónpoblacional (P ). Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n de unapoblación grande y se observa que X(≤ n) observaciones presentan unacaracterística de interés. Entonces p̂ = X/n es la estimación puntual de laproporción poblacional.

Si n es lo suficientemente grande entonces: p̂ ∼ Normal(µ = P, σ2 =p(1− p)/n)

Entonces el intervalo de confianza (aproximado) del (1 − α)100 % quedadefinido como:

p̂+ zα/2

√p̂(1− p̂)

n≤ P ≤ p̂+ z1−α/2

√p̂(1− p̂)

n

Ejemplo

El gerente de una empresa de producción asegura que su procesogenera una proporción de unidades defectuosas cercana al 5%, altomar una muestra de su producto se obtiene que de 200 unidadesrevisadas, un total de 15 unidades fueron defectuosas. Construyaun intervalo de confianza del 90% para la proporción de artículosdefectuosos ¿Los datos corroboran la afirmación del productor?

(0,0443; 0,105)

Con una confianza del 90% la proporción de unidades defectuosasse encuentra entre el 4.43% y el 10.5%

Bibliografía

Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería yciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition.

Gutierrez, A. and Zhang, H. (2010). Teoría Estadística: Aplicacionesy Métodos. Universidad Santo Tomás, Bogotá,Colombia, vol. 1edition.

Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadísticaaplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.

Moore, D. S. (2005). Estadística aplicada básica. Antoni BoschEditor, Barcelona, España, vol. 2 edition.

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