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UNIVERSIDAD TECNOLOGÍCA DE TORREON Intervalos de confianza con datos apareados Estadística Mariana Berenice Barraza González 10/04/2014

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Page 1: Intervalos de confianza con datos apareados

UNIVERSIDAD TECNOLOGÍCA DE TORREON

Intervalos de confianza con datos apareados

Estadística

Mariana Berenice Barraza González

10/04/2014

Page 2: Intervalos de confianza con datos apareados

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN

INTERVALOS DE CONFIANZA CON DATOS APAREADOS

Mariana Berenice Barraza Gonzalez

En algunos casos, es mejor diseñar un experimento con el propósito de que cada

elemento en una muestra se empareje con un elemento en la otra. A

continuación se muestra un ejemplo.

Para una muestra de nueve automóviles, se mide el millaje (en mil millas) de los

patines de frenos frontales originales que se han desgastado 10% de su espesor

original, así como el millaje de los patines de los frenos traseros originales que se

han desgastado 10% de su espesor original.

Los resultados están dados en la tabla siguiente:

Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en la media de

tiempos de vida entre los patines de frenos delanteros y traseros.

-

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

0 2 4 6 8 10

De

sgas

te

Automovil

Delanteros

Traseros

Automóvil Delanteros Traseros

1 32.80 41.20

2 26.60 35.20

3 35.60 46.10

4 36.40 46.00

5 29.30 39.90

6 40.90 51.70

7 40.90 51.60

8 34.80 46.10

9 36.60 47.30

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INTERVALOS DE CONFIANZA CON DATOS APAREADOS

Mariana Berenice Barraza Gonzalez

Hay coincidencia considerable en el millaje para las dos muestras. Es difícil decir

de la columna si hay una diferencia entre delanteros y traseros.

Sin embargo, cuando los datos se revisan en pares, está claro que, en general, los

delanteros tienen más millas que los traseros. La razón de analizar los pares es

presentar un esquema más claro del resultado, que los automóviles varían mucho

en cuanto a las millas marcadas.

Cuando los datos se consideran en pares, la variabilidad entre los automóviles

desaparece, porque ambas muestras provienen del mismo automóvil.

Automóvil

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Traseros 41.20 35.20 46.10 46.00 39.90 51.70 51.60 46.10 47.30

Delanteros 32.80 26.60 35.60 36.40 29.30 40.90 40.90 34.80 36.60

Diferencia 8.40 8.60 10.50 9.60 10.60 10.80 10.70 11.30 10.70

La tabla presenta, para cada automóvil, el millaje, así como la diferencia entre

ellos.

Se desea encontrar un intervalo de confianza de 95% % para la diferencia en la

media de tiempos de vida entre los patines de frenos delanteros y traseros en una

forma que resulta ventajosa para reducir la variabilidad producida por el diseño

apareado.

La forma de hacer esto último es pensar en una población de pares de valores,

en la cual cada par consiste de mediciones de patines de frenos delanteros y

traseros en el mismo automóvil.

Para cada par en la población, hay una diferencia (Trasero-delantero), por lo que

hay una población de diferencias. Los datos constituyen, entonces, una muestra

aleatoria poblacional de pares y sus diferencias representan una muestra

aleatoria poblacional de diferencias.

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Con el propósito de poner lo anterior en notación estadística, sea (X1, Y1), . . . , (X9,

Y9) los nueve pares observados, con Xi representando los patines de frenos

traseros del i-ésimo automóvil y Yi representando los patines de frenos delanteros

del i-ésimo automóvil.

Sea Di = Xi - Yi las diferencia entre las millas de los patines de frenos del i-ésimo

automóvil. Sean X y Y las medias poblacional para X y Y, respectivamente.

Se desea encontrar un intervalo de confianza de 95% para la diferencia X - Y.

Sea D la media poblacional de diferencias.

Entonces D = X - Y. En consecuencia, un intervalo de confianza para D

también será un intervalo de confianza para X - Y.

Dado que la muestra D1, . . . , D10 es una muestra aleatoria de una población con

media D, es posible utilizar métodos para encontrar intervalos de confianza para

D.

En este ejemplo, puesto que el tamaño muestral es pequeño, se usa el método t

de Student.

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Los valores observados de la media muestral y la desviación estándar muestral

son: D= 10.13 SD=8.44

Automóvil Delanteros Traseros Diferencia Desviación

1 32.80 41.20 8.4 3.00444444

2 26.60 35.20 8.6 2.35111111

3 35.60 46.10 10.5 0.13444444

4 36.40 46.00 9.6 0.28444444

5 29.30 39.90 10.6 0.21777778

6 40.90 51.70 10.8 0.44444444

7 40.90 51.60 10.7 0.32111111

8 34.80 46.10 11.3 1.36111111

9 36.60 47.30 10.7 0.32111111

10.13333333 8.44

El tamaño muestral es nueve, por lo que hay ocho grados de libertad. El valor

adecuado t es = T8, 0.025 = 2.306.

Por tanto, el intervalo de confianza es

10.13 + (2.306) = (3.7458, 16.621)